автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Приближенные методы в параметрической робастности линейных систем управления

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ им. В. А ТРАПЕЗНИКОВА

На правах рукописи

Щербаков Павел Сергеевич

Приближенные методы в параметрической робастности линейных систем управления

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

Научный квшулкгалк доктор технических наук

Б. Т. Поляк

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Л. Б. Рапопорт,

доктор физико-математических наук, профессор А. И. Матасов,

доктор физико-математических наук, профессор М. М. Коган

Ведущая организация: Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Защита состоится 27 декабря 2004 г. в 13 часов на заседании Диссертационного совета Д.002.226.02 при Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, Профсоюзная ул., д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д.002.226.02

кандидат технических наук В. Н. Лебедев.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При анализе свойств реальных систем и построении законов управления ими необходимо учитывать неопределенность, которая неизбежно присутствует в описании объекта и действующих на него возмущений. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная секторная) легла в основу теории абсолютной устойчивости, развитой в 40-е-50-е годы прошлого века А.И.Лурье, МААйзерманом, Ф.Р.Гантмахером и позже Е.С.Пятницким. В то же время появились работы Ю.И.Неймарка по исследованию устойчивости систем с параметрической неопределенностью (в частном виде такая задача ставилась ИАВышнеградским еще в 1876 г.).

В работе под неопределенностью понимается неполнота математического описания самого объекта, а не внешних возмущений или ошибок измерений. В теории управления известно несколько моделей неопределенности: параметрическая, матричная, частотная и др. Одним из основных способов описания систем в современной теории управления является метод пространства состояний. Рассматриваемая в диссертации модель параметрической неопределенности удобна при таком описании и соответствует инженерной практике.

В такой постановке имеют дело с семейством систем, отвечающих всем возможным значениям параметров внутри допусков, и задача заключается в обеспечении требуемого свойства (прежде всего, устойчивости) для всех систем семейства; при этом говорят о робастности данного свойства системы по отношению к имеющейся неопределенности, или просто о робастности системы. Целью теорииробастных систем управления является разработка методов исследования робастности, будь то анализ или синтез, т.е. построение законов управления, обеспечивающих робастность.

Основные отличия моделей неопределенности, принятых в теории параметрической робастности, от стандартных моделей в теории оценивания и идентификации параметров заключаются в том, что параметры имеют детерминированную, а не статистическую природу, и при этом заданы жесткие границы их изменения. Это роднит их с моделью "неизвестных, но ограниченных" возмущений, которая используется в теории ^-оптимизации, а также при оценивании состояний динамических систем и связанной с ним техникой гарантированного оценивания, развитой Ф.Швеппе, А.Б.Куржанским,

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ 13 БИБЛИОТЕКА

Ф.Л.Черноусько, А.И.Матасовым. Отметим отличие понятия робастности от требования грубости, введенного АААндроновым в 30-е годы. Грубость системы предполагает сохранение ею какого-либо свойства при малых отклонениях параметров от номинальных значений и количественно измеряется так называемой чувствительностью, тогда как в теории робастности отклонения могут быть большими.

Начало современного этапа систематического развития теории параметрической робастности положила работа В.Л.Харитонова 1978 года об устойчивости интервального семейства полиномов. С тех пор получен ряд фундаментальных результатов: различные обобщения теоремы Харитонова, доказательство реберной теоремы, разработка графических критериев робастно-сти, робастные аналоги классических результатов и методов теории управления (робастный критерий Найквиста, робастное D-разбиение). Важной вехой явилась разработка С.Бойдом в 90-х годах аппарата линейных матричных неравенств (введенных в теорию управления ВАЯкубовичем в 60-е годы), основанного на численных методах выпуклого программирования, с помощью которого удается единообразно решать многие задачи управления с параметрической неопределенностью. Большой вклад в развитие теории внесли С.В.Емельянов, С.К.Коровин, А.Б.Куржанский, Б.Т.Поляк, В.Л.Харитонов, Я.З.Цыпкин, Ф.Л.Черноусько, Ю.Аккерманн, Б.Бармиш, Ш.Бхаттачария, П.Дорато, Дж.Коган, М.Мансур, М.Миланезе, Р.Темпо, К.Холлот.

Однако большинство полученных результатов (1) относились к скалярным системам, т.е. к робастной устойчивости полиномов; (й) были посвящены в основном анализу робастной устойчивости, а не построению робастно стабилизирующих регуляторов; (ш) использовали частные типы зависимости от параметров (большей частью линейную). Все эти задачи и принятые модели являлись сильной идеализацией реальных систем, и многие важные проблемы, возникающие на практике, оставались почти нетронутыми.

Препятствия дальнейшему развитию теории и ее применению к решению практически значимых задач управления были осознаны к середине 90-х гг. Сюда прежде всего относится невыпуклость многих задач робастности, таких как синтез стабилизирующей обратной связи по выходу, относительно параметров, что делает невозможным или ненадежным использова-

ние стандартных процедур оптимизации. Другой трудностью является ЫР-сложность, присущая таким естественным задачам, как анализ асимптотической устойчивости интервальной системы. Получение точного решения таких проблем за разумное время принципиально невозможно. Основной вклад в понимание и математическую формализацию указанных препятствий внесли А.Немировскй, В.Блондель, ДжДициклис, М.Видьясагар, Дж.Дойл и др. Наконец, существенное ограничение общепринятого подхода к робастности составляет так называемый консерватизм: максимально допустимая величина неопределенности, при которой сохраняется робастность, определяется наихудшим элементом семейства, и с практической точки зрения получаемые границы робастности оказываются неоправданно заниженными.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы обусловлена тем, что подавляющее большинство реалистично поставленных задач управления системами при наличии параметрической неопределенности в их описании не поддается точному решению методами, известными из литературы. Имеющиеся в настоящее время подходы к анализу и синтезу неработоспособны при больших размерностях и при общего вида нелинейной структуре неопределенности.

Целью работы является разработка простых с вычислительной точки зрения приближенных методов исследования задач робастного управления при параметрической неопределенности, применимых к более широкому кругу проблем, чем методы, известные из литературы. Рассматриваемые "трудные" задачи характеризуются прежде всего общего вида нелинейной структурой неопределенности и большим количеством параметров, а предлагаемые в работе методы ориентированы на простоту воплощения и единообразие применения как к различным постановкам задач, так и к анализу и синтезу систем управления.

Методы исследования. В работе используется аппарат теории управления, методы теории оптимизации, матричного анализа, линейной алгебры, теории вероятностей, а также компьютерное моделирование.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты, доказательства утверждений, а также разработанные методы и их алгоритмические реализации являются новыми. Предложен также ряд новых постановок задач. К

таким новым положениям относятся следующие:

1. Методы анализа робастности систем и построения робастных и оптимальных регуляторов, использующие продуктивное достаточное условие устойчивости — сверхустойчивость.

2. Общий оптимизационный подход к решению задач робастного анализа и синтеза в полиномиальной и матричной постановках на основе идей теории возмущения.

3. Вероятностные аналоги детерминированных критериев робастности, основанных на принципе исключения нуля, и их применение к анализу ро-бастной устойчивости систем с неопределенными запаздываниями.

4. Теорема о линейном преобразовании равномерного распределения на шаре; ее применение к анализу робастной устойчивости полиномиальных и матричных семейств со сферической неопределенностью и к вероятностному описанию множества достижимости дискретных динамических систем.

5. Достаточное условие робастной устойчивости матричных семейств с произвольной поэлементной неопределенностью и его вероятностный аналог.

6. Понятия приближенной допустимости и обусловленности задач робаст-ности. Метод масштабирующих интегралов для решения задач робастно-го анализа и его модификации на задачи с управляющими параметрами. Методы индикаторных функций для определения приближенной допустимости.

7. Понятие проекционной прямоугольности и распространение принципа равномерности на класс ПП-множеств. Метод построения внутренней ПП-оболочки для общего вида допустимого множества в задачах ро-бастности. Основанная на нем процедура нахождения нижней оценки вероятностного радиуса робастности.

8. Постановка и полное решение задачи о наихудшей геометрии множества нарушения в проблемах робастности и характеризация связанного с ней

оптимального вероятностного распределения неопределенных параметров.

Практическая ценность. Полученные результаты и предложенные методы исследования робастности представляются практически значимыми и удобными при обработке больших массивов данных (технологии data mining) и построении законов управления движением манипуляторов с большим числом степеней свободы при неполноте описания модели. На практике выводы о качестве систем часто делаются на основе статистического моделирования; достоверность этих выводов может быть значительно повышена при учете теоретически обоснованных в работе рекомендаций по выбору оптимальных распределений.

Все разработанные методы реализованы алгоритмически в виде компьютерных кодов в системе MATLAB и могут служить основой создания пакетов алгоритмического обеспечения ЭВМ. Работоспособность предлагаемых новых алгоритмов подтверждена большим количеством модельных примеров.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Конгрессах ИФАК (Пекин, 1999; Барселона, 2002), Конференции по принятию решений и управлению, CDC (Сан Диего, 1997; Сидней, 2000; Гаваи, 2003), Американской конференции по управлению, АСС (Денвер, 2003; Бостон, 2004), Конференции ИФАК по негладким задачам управления и оптимизации (Челябинск, 1998), Аллертоновской конференции по связи, управлению и вычислениям (Монтичелло, 1996), Международной конференции "Робастность в идентификации и управлении" (Сиена, 1998), Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999, 2003), 3-м Европейском рабочем совещании по вычислительным методам в управлении и обработке данных (Прага, 1998), Конференции по информации и системам (Принстон, 1998; Балтимор, 1999), 6-м С.-Петербургском симпозиуме по теории адаптивных систем (Санкт-Петербург, 1999), Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления", SICPRO (Москва, 2004), а также обсуждались на научных семинарах Института проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Московского авиационного института, Института проблем передачи информации РАН, Института системного анализа РАН,

Университетов Висконсин-Мэдисон, Кейс Вестерн, Мэриленд (США), Туринского политехнического института (Италия), Университета Рединг (Англия).

Исследования по теме диссертации проводились в соответствии с плановой тематикой работ Института проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН (направление 2415/04 "Разработка теории анализа и синтеза детерминированных и стохастических систем управления") в рамках тем № 307-01/07 "Новые методы синтеза оптимальных и робастных регуляторов", № 807-02/07 "Сверхустойчивость и ее использование для задач управления" и № 401-04/07 "Робастное и оптимальное управление" (Программа № 19 Президиума РАН).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-37].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 174 наименования; общий объем работы 215 стр. В основной текст включены 19 рисунков и 3 таблицы.

Краткое содержание работы

Во введении приведен обзор результатов, относящихся к теме работы, обозначены трудности на пути дальнейшего развития теории робастного упразления при параметрической неопределенности, которые обуславливают актуальность темы диссертации, поставлены цели исследования и дана общая характеристика работы.

В первой главе разработаны методы анализа и синтеза линейных систем управления, основанные на продуктивном достаточном условии асимптотической устойчивости, названном сверхустойчивостью.

Рассматривается непрерывная линейная стационарная система

хЦ) = АхЦ) + х(0) = 10, Ае Гхп, В € Кпхт, (1)

где х({) € К" — вектор состояний, а и(£) € Ит — внешнее возмущение. Определение 1.1. Матрица А — (ау) £ Кпхп (исистема (1)) называется сверхустойчивой, если

а = (г(А) = > 0, (2)

о величина <г(А) называется степенью сверхустойчивости.

Основные свойства таких систем: если (1) сверхустойчива, то

а) при и{{) = 0 норма Цх(£)|[ монотонно убывает, и справедлива оценка

б) при <1, < > 0, и любом начальном ||жо|| <(1= Ц-ВЦ/ст имеем

Везде в первой главе рассматривается оо-норма для векторов и индуцированная ей строчная норма || • Ц1 для матриц. В дискретном времени сверхустойчивость определяется следующим образом: матрица А = (й^) £ Цпхп называется дискретно сверхустойчивой, если

и имеют место аналогичные свойства а) и б).

Сверхустойчивость формулируется в виде линейных ограничений на элементы матриц системы, а не ее собственных значений, что позволяет сводить проблемы робастной устойчивости к линейному программированию и единообразно решать задачи больших размерностей, при этом вычислительные затраты невысоки. Свойство а) говорит о наличии у сверхустойчивой системы кусочно-линейной функции Ляпунова У(х) = ||х||, а монотонность убывания нормы решения предотвращает эффекты всплеска, характерные для просто устойчивых систем. Свойство б) — это наличие у сверхустойчивой системы инвариантного множества — куба. В совокупности с линейностью условий (2) и (5) свойства а) и б) составляют основу эффективного решения многих трудных задач линейной теории управления.

Робастнаяустойчивость интервального семейства. Рассмотрим классическую трудную задачу о робастной устойчивости интервальной матрицы. Дана

где AQ гурвицева, заданные числа йу- > 0 определяют масштабы неопределенностей а 7 — их общий размах. Требуется определить, устойчивы

ли все матрицы семейства и найти радиус робастности 7тах — максимально допустимое 7, при котором сохраняется устойчивость. Эта задача является ¡УР-сложной. Переход к сверхустойчивости приводит к существенному упрощению, и удается в явном виде указать радиус сверхустойчивости 7^. Теорема 1.4. Пусть с(Ло) > 0, тогда семейство (6) сверхустойчиво при

В частности, при = 1 имеем 7^ = а(Ао)/п.

Задала, о статическомрегуляторе по выходу. Для непрерывной системы

где х 6 К" — состояние, а у € К' — наблюдаемый выход, найти управление и е Кт в форме

которое стабилизировало бы замкнутую систему

Удовлетворительное решение задачи отсутствует, в частности, неизвестно, является ли она ЖР-сложной.

Поскольку элементы матрицы замкнутой системы Ас являются аффинными функциями от коэффициентов матрицы усиления К, то при переходе к сверхустойчивости такая задача заметно упрощается, т.к. условие сверхустойчивости Ас записывается в виде системы линейных неравенств относитель-

Проверку совместности этой системы удобно производить, переходя к задаче линейного программирования.

Теорема 1.6. Если N,K,a —решение задачи ЛП max <7

-аси(К) > <х, г = 1,..., п,

№

-nij < ac{j{K) < ni}, i,j = I,..., n, i^j,

и с > 0, то обратная связь и = Ку обеспечивает сверхустойчивость замкнутой системы.

Поскольку сверхустойчивость влечет устойчивость, то тем самым получаем стабилизирующий регулятор по выходу.

Задача ЛП (8) имеет невысокую размерность: она содержит 2п2 — п неравенств, и число переменных в ней также порядка п2. С помощью современных программных реализаций методов ЛП удается решать задачи с десятками тысяч ограничений, т.е. при размерностях п вектора состояний порядка сотен, что вполне достаточно для задач управления, встречающихся на практике.

Робастная и одновременная стабилизация. Полученному результату о стабилизации по выходу нетрудно придать робастную модификацию для случая интервальной неопределенности в матрице А.

Теорема 1.8. Рассмотрим систему (7) при неопределенности (6). Пусть ^»Tmax — решение задачи линейного программирования

max 7,

п

)ф\ j=l

_пч < ^ "и. М = !.•••, п. гфз,

и > 0. Тогда управление и — Ку робастно сверхстабилизирует семейство (7)-(6) при всех 7 < 7^ 0 7тах ~ радиус сверхстабилизируемости.

Вариацией на тему робастной стабилизации является задача об одновременной стабилизации. В матричной форме она формулируется следующим образом: даны непрерывных систем существует

ли один регулятор в форме обратной связи по состоянию и = Кху стабилизирующий все эти системы? При I > 3 общий метод решения задачи неизвестен; косвенным подтверждением ее сложности является так называемая рациональная неразрешимость.

Если вместо устойчивости рассматривать сверхустойчивость, то решение возможно на основе линейного программирования. Каждое из условий

является системой линейных неравенств относительно элементов К, и мы заключаем, что если у совокупной системы линейных неравенств

имеется решение К, то регулятор и = Кх одновременно сверхстабилизирует (а значит и просто стабилизирует) все I систем. Совершенно аналогично задача решается для регулятора по выходу; в этом случае неравенства имеют вид

Оптимальноеуправление: подавление внешних возмущений. Рассмотрим непрерывную систему

где — внешнее возмущение, относительно которого предполагается лишь ограниченность во все моменты времени, а остальные величины те же, что и раньше. Требуется построить регулятор по выходу и ~ Ку, который минимизирует критерий

Для дискретного времени задачи такого типа рассматриваются в рамках теории ^-оптимизации. Они очень трудны даже для скалярных систем; основная трудность — высокий порядок получаемых оптимальных регуляторов, который к тому же невозможно оценить заранее. Еще хуже ситуация в задаче с непрерывным временем: здесь оптимальный регулятор u = C(s)y может оказаться бесконечномерным, т.е. оптимальная функция С^) не является дробно-рациональной.

Использование сверхустойчивости существенно упрощает решение и допускает обобщение на многомерные непрерывные системы (9). Потребуем, чтобы регулятор и — Ку сверхстабилкзировал замкнутую систему

т.е. чтобы р(Ас) > 0, и среди всех таких регуляторов ищем тот, который минимизирует критерий. Для сверхустойчивой системы (10) с < 1

свойство б) (формула (4)) записывается как

при условии, что Примем величину в правой части (И)

за верхнюю оценку показателя качества J и будем минимизировать ее по всем К при условии, что регулятор К — сверхстабилизирующий. Теорема 1.9. Еслизадача параметрическоголинейного программирования

1

шп-Щ + ВКЫ

К,а а

(12)

а{А + ВКС) > а > 0.

имеетрешение К, а соптимальнымзначением 3 критерия (11), торегу-лятори — Ку сверхстабилизирует систему (9), и при любых начальных условиях ||ж(0)|| < 7 будет ||г(*)|| <7, * > 0.

Приведенное решение обобщается на робастный случай, когда помимо внешнего возмущения в системе присутствует интервальная неопределенность вида (6). Требуется робастно стабилизировать семейство и при этом наилучшим образом подавить возмущения. Встав на позиции сверхстабилизации, приходим к задаче (12), в которой ограничения заменены на

где — элементы матрицы AQ+BKC замкнутой номинальной системы.

Все приведенные результаты почти дословно переносятся на дискретные системы, т.к. и в этом случае условия сверхустойчивости формулируются в виде линейных ограничений (5).

Во второй главе разработан общий оптимизационный подход к решению задач робастности при произвольной дифференцируемой зависимости от параметров, реализованный в виде итеративной процедуры негладкой оптимизации для отыскания ближайшего неустойчивого или устойчивого элемента в полиномиальном (или матричном) семействе. Обе эти задачи можно сформулировать в виде задачи оптимизации при ограничениях. Рассмотрим гурвицеву устойчивость семейства полиномов р(ф, зависящих от параметра Вводя функцию

г\(д) = тахИе (13)

где приходим к задаче

Движение из начальной точки д°, в которой т/(д0) < 0, отвечает задаче поиска ближайшего неустойчивого элемента семейства (нахождение радиуса робастности); если 7}(д°) > 0, то это отвечает поиску устойчивого элемента (построение стабилизирующего регулятора).

В общей постановке задача (13)—(14) выглядит безнадежной, поскольку ограничения невыпуклые и негладкие. Попытки ее численного решения в ряде частных случаев предпринимались Э.Полаком, И.Варди, М.Миланезе, Н.А.Бобылевым, Б. Д. О. Андерсоном, но все имеющиеся в литературе методы чрезвычайно трудоемки и неработоспособны при больших размерностях.

Предлагаемые в диссертации итеративные методы используют на каждом шаге линейные аппроксимации к корням Зц(д) в текущей точке, т.е. ограничения линеаризуются, и решение линеаризованной задачи принимается за очередное приближение к решению д задачи г)(д) = 0; при этом корни полинома p(q) итеративно сдвигаются к мнимой оси.

Центральное место в методах занимает построение указанных линейных аппроксимаций, основанное на идеях теории возмущений корней полиномов, зависящих от параметров. Существенную роль играет следующий известный результат.

Утверждение 1.1. Пусmьp(s,q) — полином от а Е С, зависящий от параметров д = (д\,... £ К*, степень которого постоянна = П.

Пусть p(s, q) дифференцируем no q в нуле; обозначим

dp{s, g)

ж¡(s) =

dqi

î=0

Пусть Sk = Sk(0) — простой корень полинома pq(s) = p(s, 0); тогда для достаточно малого q существует корень Sk(q) полтома p(s, q), и при этом Sk{q) = Ч + {wk, q) + o(q), где

\Т

w

= -гфr*, rk = p(,(s)|3=v тг* = (^(s*),...,^*)) . (16)

Воспользуемся линейными аппроксимациями 1,..., п, и рассмотрим задачу определения радиуса робастности.

Пусть гурвицев; потребуем устойчивости для полученных аппрок-

симаций его возмущенных корней:

max (Res* + (Reш*, g)) < 0.

(17)

Перейдем теперь к робастной устойчивости, т.е. потребуем выполнения (17) для всех q £ Q. Пусть множество неопределенности Q задано в виде Q = {q Е : ||?|| ^ т}> гДе II * II — некоторая норма в К*, тогда вместо (17) потребуем

или иначе

?eQ 1<*<п i<Jt<n М<1

Отсюда следует простая оценка для радиуса робастности 7тах] основанная на

линейных аппроксимациях Sk(q)'

-Re Sk

7 = min

i<*<n max (Re wk,q)' ll?ll<i

(18)

Обозначим через q значение параметра q, на котором она достигается. Величина 7 является лишь оценкой для расстояния 7max до границы устойчивости, поскольку минимальное "дестабилизирующее" возмущение q получено решением не исходной задачи (14), а ее линеаризации: min |[g|| при 7j(g) = 0, ?j(q) = maxResjt(g). Поэтому, если 7/(3) < 0, то, принимая q за приближение к решению (14), сдвигаемся в точку q и поовторяем описанные действия. Сформулируем схему метода.

Алгоритм I.

1. Положить q = 0.

2. Вычислить корни st полинома p(s, 0) и векторы wk, к = 1,...,п,в соответствии с (15), (16).

3. Для всех к = 1,...,п найти hk = тах^еиД q) и qk = arg ^^(Re wk, q).

Найти 7 = min(-ReSjt//i*) и тп = argmin(-Resjfc//i*); взять <jm в качек к

стве направления движения и 7 в качестве длины шага: q = 7gm.

4. Е с л й ч и в, заменить п е р е м ед положить q q + q. Перейти к шагу 2.

Если p(s,q) неустойчив, найти arajn = min{a > 0: p(s, aq) неустойчив},

положить q :== q + атщ? и принять 7 = ||д]| за оценку радиуса устойчивости.

В работе приведены явные выражения для wk (16) при различных типах зависимости от q и для величин q и 7 (18) при использовании разных норм. В случае шуровской устойчивости изменения минимальны. Все сказанное переносится на матричные семейства с использованием известного результата о возмущениях собственных значений, аналогичного Утверждению 1.1.

На каждом шаге метода ищется локально оптимальное решение, и т.к. задача невыпуклая, то сходимость к глобальному минимуму не обеспечена, — решение q, вообще говоря, не является ближайшей дестабилизирующей точкой, т.е. 7 > 7тах, На практике алгоритм демонстрирует быструю сходимость к точке на границе области устойчивости, а величина оказывается

приемлемой оценкой радиуса робастности

Во второй части главы идея итеративного сдвига корней на основе линейных приближений применяется к поиску ближайшего устойчивого элемента в семействе. В такой "обратной" задаче все корни должны быть передвинуты в левую полуплоскость; оказывается, что при этом типично возникновение вещественного корня кратности два. Утверждение 1.1 неприменимо, поэтому для таких корней в работе предложены аппроксимации второго порядка, которые также линейны по параметру q. Условия обнуления их вещественных

частей составляют ограничения в задаче минимизации нормы ||д||, решение которой дает направление движения на текущем шаге.

Пусть А). — возмущение неустойчивого корня в/, полинома р(в, 0), вызванное приращением q параметра. Считаем возмущенный корень устойчивым, если Ие (в* + Д*) < —5 с некоторым малым 5 > 0, т.е. если

ЕеАк < -цк, ¿= Кевк + д.

(19)

В случае, когда корень простой, линейная аппроксимация этого условия строится на основе Утверждения 1.1.

Пусть теперь 8* — вещественный корень кратности два полинома р(з, 0) и пусть при малом возмущении д он переходит в близкий корень ¿¿(д) — я^+Д^. Разлагая д) в окрестности точки (я^, 0) с точностью до членов второго порядка и отбрасывая квадратичный член, получаем, что Д& удовлетворяет квадратному уравнению с решениями

Здесь обозначено

В зависимости от выбора вещественным или комплексным, предлагаются два вида линейных условий на гарантирующих выполнение (19):

В работе даны рекомендации по выбору той или иной возможности и предложен Алгоритм II итеративного отыскания ближайшего устойчивого элемента, использующий построенные аппроксимации. Он исходит из допущения о том, что кратность корня, встречающегося в процессе итераций, не превышает двух, и такой корень вещественный. Теоретически возможны и иные ситуации, но вычислительная практика свидетельствует о том, что они являются

редкими исключениями, в то время как изученный случай присущ задачам стабилизации. С незначительными модификациями Алгоритм II применим к таким трудным задачам, как стабилизация регуляторами низкого порядка, одновременная стабилизация, максимизация степени устойчивости, поиск устойчивого элемента в интервальном семействе и др.

Предлагаемый в гл. 2 оптимизационный подход — приближенный: поскольку задача невыпукла, то если ее решение и существует, оно может быть не найдено. Исходная задача не поддается точному анализу, поэтому мы жертвуем гарантией получения правильного ответа ради простоты подхода, единообразия его применения к проблемам анализа и синтеза в полиномиальной и матричной постановках, возможности работать с задачами высоких размерностей при весьма общих типах зависимости от неопределенности. Такая универсальность и гибкость, вероятно приобретается за счет того, что разработанные методы работают не с элементами матриц, как в гл. 1, а непосредственно с собственными значениями. Это относится и к семействам полиномов: в отличие от подхода на основе принципа исключения нуля, мы не переходим в частотную область, а исследуем сами корни как функции от параметров.

Алгоритмы I и II реализованы программно; тестирование на большом количестве примеров, в том числе и известных из литературы, показало их преимущество над существующими численными методами решения задач ро-бастности как по точности, так и по скорости сходимости.

Третья глава посвящена развитию вероятностного подход к робастно-сти. Параметры предполагаются случайными с равномерным распределением на множестве неопределенности, и выводы о сохранении системой желаемого свойства делаются с некоторой высокой вероятностью. Первые результаты в этом направлении получены в работах Р.Стенгеля, Л.Рэй, Б.Бармиша, Б.Т.Поляка; весомый вклад в развитие теории внесли А.И.Кибзун, Ю.С.Кан, К.Зу, Р.Темпо, Дж.Дойл. Среди достоинств вероятностного подхода — возможность решать задачи с произвольной зависимостью от параметров и существенное снижение консерватизма детерминированных критериев за счет малого допустимого риска потери робастности.

В первых разделах главы рассматривается система с неопределенными за-

паздываниями, заданная квазиполиномом следующего вида:

I

■ А(«,т) = АоМ + ^иМе-4'. (20)

1=1

Здесь Ао(я) = ро(з)е~г,>3 — фиксированный квазиполином; />¡(5), г = — фиксированные полиномы; Ц = г® + ц^, г = — интервальные запаздывания, \5ц\ < р — их общий размах. Множество всех таких неопределенных запаздываний обозначим через цТ. Пусть Ло(з) устойчив, т.е. все его корни имеют отрицательную вещественную часть. Задача заключается в проверке робастной устойчивости семейства (20) и определении максимального размаха 1Хтах, сохраняющего устойчивость. Регулярные методы решения задачи неизвестны.

При некоторых общих условиях, для квазиполинома (20) с устойчивым справедлив принцип исключения нуля: семейство робастно устойчиво тогда и только тогда, когда область значений

не содержит начала координат:

Величина /1ш определяется как максимальное значение /л, при котором выполнено (22). В данной задаче множество (21) невыпукло, и проверка условия (22) невозможна. Предлагается следующий вероятностный аналог принципа исключения нуля.

Полагаем независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на своих интервалах неопределенности, рассматриваем двумерную случайную величину строим для нее доверительное множество У1_е(ш) из условия Р{ЛШ € Ух_е(ш)} > 1 — е,

£ > 0 малб, и называем ее 100( 1 — е) -процентным доверительным ядром множества У(о>). Теперь проверку условия (22) можно производить не для самой области значений, а для ее ядра, и на этом пути оценивать вероятность устойчивости неопределенного семейства.

Ядро строится исходя из центрально-предельного поведения случайного вектора Он представляется суммой независимых случайных векторов, и если количество I параметров достаточно велико, то при некоторых общих предположениях он ведет себя приблизительно как двумерная гауссовская случайная величина со средним и матрицей ковариаций которые вычисляются явно:

где

Поэтому множество V(w) хорошо описывается доверительным эллипсом

где v задает доверительный уровень. Иными словами, если р„ — соответствующая доверительная вероятность, то для данного и имеем

Важно отметить, что даже при значениях pv, близких к единице, эллипс Б„(ш) часто существенно меньше, чем вся область значений V(w). Поэтому, если, опираясь на вероятностный аналог принципа исключения нуля (нуль не принадлежит Е„(о>) для всех ш) принять в качестве вероятностногорадиуса робастности величину

[ip — max{fi: 0 ^ Е„(ш) V w € [0, оо)},

то окажется, что fip > /imax- Таким образом, пренебрегая событиями малой вероятности, можно значительно снизить консерватизм. Более того, вероятностный подход особенно выигрывает, если число параметров велико, а этот случай как раз наиболее труден для детерминированных методов. В то же

время вычислительная сложность вероятностных методов не зависит от размерности вектора неопределенных параметров: отказавшись от точного описания области значений, пользуемся приближением, которое задается двумерной ковариационной матрицей.

Предложенный подход — приближенный, поскольку качество получаемых с его помощью оценок строго обосновать не удается. Окончательную проверку можно производить путем последующего статистического моделирования; исходя из накопленного вычислительного опыта, можно утверждать, что вероятность робастной устойчивости довольно точно соответствует доверительной вероятности для фиксированного и.

В третьем разделе главы для вектора неопределенных параметров системы рассматривается равномерное распределение на шаре. Основной математический результат дается следующей теоремой о распределении линейного преобразования такого случайного вектора.

Теорема 3.1. Пусть случайный вектор € R" имеетравномерноераспреде-ление на единичном шаре В С К" в евклидовой норме, иматрица А 6 Kmxn имеет ранг rank Л = т<п. Тогда случайная величина

с= ((AAT)~lAq, Aq)

имеет бета-распределение^ ^у2 + 1) с плотностью

(26)

Теорема 3.1 дает явное описание доверительного эллипсоида для линейной функции Ад от случайного вектора с равномерным распределением на шаре. Форма этого эллипсоида задается матрицей а размер определяется квантилью бета-распределения.

В частном случае т = 2 функции распределения величины £ выписывается явно:

Этот случай интересен для задач управления, т.к. область значений V(w]| является двумерным образом множества неопределенности Q = В при отображении p(ju), •).

Из теоремы следует важный вывод об изменении природы равномерного распределения на шаре при линейном преобразовании. С ростом dimg распределение преобразованного вектора Aq стремится сосредоточиться ближе к центру своего носителя (образа шара — эллипсоида). Именно с этим эффектом связаны выгоды, получаемые при применении вероятностного подхода к робастности при сферической неопределенности.

Одно из таких применений — робастная устойчивость аффинных семейств полиномов при сферических ограничениях на параметры. В работе формулируется вероятностный аналог принципа исключения нуля для таких семейств, причем доверительное ядро для эллипсоидальной области значений выписывается явно. Среди других применений — вероятностная характеризация псевдоспектра матрицы при возмущениях, ограниченных во фробениусовой норме. Именно, рассматривается матричное семейство из вида

где AQ — номинальное значение, а Д — возмущение. Совокупность собственных значений матрицы А при всех допустимых Д называется ее псевдоспектром. Его простое приближенное описание осуществляется в работе путем построения линейных аппроксимаций к возмущенным собственным значениям AQ методами гл. 2 и последующим применением Теоремы 3.1. Как следствие, для случая гурвицевой AQ ЕГО дает оценку радиуса робастности.

Еще один пример использования результата Теоремы 3.1 — вероятностное описание множества достижимости дискретной динамической системы Xi+i = Axk + Bwk+1, AeRnxn, BeRn*m, toker,

в которой неопределенность {ti»i,..., Wjv}, накопленная к iV-му шагу, удовлетворяет ограничению Такая модель неопределенности часто употребима, представляя собой ограничение на энергию внешнего возмущения.

В пятом разделе главы предлагается новое достаточное условие робастной устойчивости матриц при произвольной поэлементной неопределенности.

Теорема 3.4. Пусть Р > 0 — решение матричного уравнения Ляпунова А$Р + РАо = -I для гурвицевой ма^риЩ*п. Рассмотриммноже-

ство

К= {деГ5: ¿(А№; + |Д,-,-||И)<1})

гдерц — элемент Р, ар' — г-й столбец Р, и ||р'|| —егоевклидова

норма. Если Д € К, томатрица Аа + Дустойчива.

В соответствии с теоремой, область асимптотической устойчивости матрицы Ло аппроксимируется изнутри многогранной областью К квадратичной устойчивости. При этом учитывается асимметрия области устойчивости матрицы Ао по различным направлениям, и в результате Теорема 3.4 дает значительно более широкие множества допустимых возмущений Д, чем критерии, известные из литературы; в частности, множество К может быть неограниченным. Для дальнейшего снятия консерватизма предложенного условия в работе описывается его вероятностный аналог и связанная с этим техника моделирования равномерного распределения на К.

В четвертой главе проблема робастности сводится к задаче оптимизации некоторого выпуклого критерия, оценивающего сверху степень нарушения требуемого свойства. Предлагается процедура построения оценок, скорость сходимости которой определяется с помощью вводимого показателя обусловленности задачи. Подход может применяться к широкому классу проблем робастности с нелинейно входящей неопределенностью.

В этой главе робастность семейства систем параметризованных вектором понимается как сохранение знака некоторой непрерывной функции ¡{(¡) Е' —> К при изменении параметра q на компактном множестве при этом говорим о робастности пары (/, 0). К такой форме сводятся многие проблемы: робастная невырожденность матриц, робастная управляемость, робастная устойчивость, некоторые задачи теории ННа-пример, проверка робастности условия для неопределенной передаточной функции сводится к проверке отрицательности функции при всех и робастная устойчивость неопределенного полинома эквивалентна положительности определителя его матрицы Гурвица: /(д) = —№{<}) и т.д.

Как правило, непосредственная проверка условия f(q) < 0 при всех q € Q невозможна в силу общего нелинейного вида функции /, невыпуклости Q и большой размерности q. Поэтому, как и в предыдущей главе, рассматривается смягченный вариант задачи, когда допускается малое нарушение робастно-сти. В отличие от вероятностного подхода выводы носят детерминированный характер, статистическое моделирование отсутствует, непростое обоснование применимости аппарата теории вероятностей не требуется. Определение 4.1. Задача (/, Q) называется приближенноробастнойсуров-неме € [0, 1), если

Vol(Qw) < eVol(Q),

где

—множество нарушения. Для робастной пары (/, Q) введем ее показатель обусловленности

/тах /min

в =

/min = min/(<?), /тах = таxf(q). q£Q qtQ

|/тах "1" /mini

Для а > 0 и целого четного к > 0 определим масштабирующий интеграл

Функции ФкМ выпуклы; обозначим Ф* = ттФ*(а).

а>0

Теорема 4.1. Для всех четных к имеет место оценка

Уо1(0ы) < Ф*.

ЕслизадачаЦ,0)робастна,то Ф* 0, причем

ф* < ^Уо1(д).

Обратно, есл&к —> 0, то(/, Q)нестрогоробастна: <0У q £ Q.

Робастность многих задач управления описывается полиномиальной функцией /(д); и если множество Q — куб (что отвечает "трудным" интервальным

ограничениям на параметры), то оценки вычисляются в явном виде.

24

Для робастной задачи в < 1, поэтому если пара (/, Q) хорошо обусловлена (в малб), то заданный допустимый уровень s из Определения 4.1 достигается при небольших значениях индекса к, и при использовании предлагаемого подхода удается избегать серьезных вычислительных трудностей, с которыми сталкиваются методы, известные из литературы. В работе приведены многочисленные примеры задач управления с хорошей обусловленностью.

Рассмотрены другие показатели обусловленности, а также обобщения на случай нескольких целевых функций /¿.

Второй раздел главы посвящен оцениванию показателя обусловленности. Основной результат дается следующей теоремой.

Теорема 4.2. Пусть Q С R' замкнуто иограничено, f: Q R непрерывна, f(q) ф const и существует q £ Q : f(q) < 0. Для а € R и четных натуральных к рассмотрим функции

и обозначим = mina 9k{a), а* = argmin0jt(a).

Если задача робастна, то последовательность вк монотонно возрастает и сходится к в, при этом ак -¥ 2/|/majt + /тш|. В противном случае вк монотонно сходится к единице.

В разделах 3 и 4 рассматриваются модификации метода масштабирующих интегралов на задачи с управлением. В описание добавляется вектор настраиваемых параметров х£Х С Rn и рассматривается тройка (/, X, Q) с непрерывной функцией /: X X Q -¥ R. Задача заключается в нахождении такого значения для которого при всех если оно су-

ществует, то называем его робастным (допустимым) решением для (/, X, Q). Определение 4.2. Задача (J,X,Q) называется приближенно робастной, если для любого е > 0 найдетсятакое Xе £ X, что

при этом хе называется £-приближенным решением, а соответствующее ему множество нарушения обозначается через фы^)-

Vol({5€Q: f(xe,q) > 0}) < е;

По аналогии с масштабирующими интегралами, для х Е Кп и а > 0 введем при четном к функции

и обозначим Ф* = inf Ф*(а, х). Далее, для х € X обозначим /^(х) i mnf{x,q)] fmaix) = maxf{x,q),

и для робастной задачи (/, Q, X) определим ее обусловленность в точке х*:

где х* — робастное решение; для таких х* имеем 0 < в(х*) < 1. Наконец, введем обусловленностьзадачи

Имеет место результат, аналогичный Теореме 4.2. Теорема4.3.Длялюбогочетногок,неотрицательного а илюбого х € R" справедлива оценка

Vol(0ы(1)) < Ф*(а,х).

Если задачаробастна, п lim Ф* = 0, ч е м

Ф* < 0*Vol(Q). Обратно,

fc-»oo

если lim Фк = О, тозадачаприближенноробастна. к-юс

В работе также формулируется "реализуемый" вариант Теоремы 4.3, в котором гарантируется выпуклость Ф*(а,:г), а также обсуждаются некоторые ее уточнения для случая компактного множества X.

Далее рассматриваются модификации метода масштабирующих интегралов, в которых в качестве подынтегральной функции используется не последовательность степенных функций, а одна функция-индикатор, удовлетворяющая необременительным условиям (особое внимание уделено экспоненциальным индикаторам). В таких модификациях выпуклость критерия обеспечивается при более слабых предположениях, а в ряде задач

эти методы проще в реализации и могут приводить к более точным оценкам объемов множества нарушения.

Эффективность разработанных методов иллюстрируется применением к робастному варианту задачи о наименьших квадратах, робастной квадратичной устойчивости интервальной системы, робастному решению систем линейных алгебраических неравенств.

Пятая глава посвящена вопросам характеризации оптимального распределения при вероятностном взгляде на робастность. Первые исследования в этом направлении проведены Б.Бармишем и К.Лагоа; важные результаты получены в работах А.И.Кибзуна, Ю.С.Кана.

В литературе задача ставится следующим образом. Рассматривается семейство систем параметризованное вектором ^ из куба = {д 6 К': Ц9Ц00 ^ 7}) и пусть 7тах — его детерминированный радиус устойчивости:

7шах = 8ир{т: 5(д) устойчива V д € <Э7}.

Положим и обозначим

ЯдЫ = {? € <57: 5(д) устойчива}, <2ш = {?€<?7: 5(д) неустойчива}.

На множестве р7 естественным образом вводится широкий класс вероятностных распределений: параметры qi считаются независимыми случайными величинами, заданными на [—7, 7], и каждое qi имеет ограниченную плотность /<(я»), для которой предполагается лишь симметричность =/»(—Зч) и невозрастание относительно В частности, равномерное распределение и усеченные равномерные распределения принадлежат Вектор с плотностью / € обозначается .

Для произвольно!^) 1] вероятностныйрадиусустойчивости определяется как

То распределение /:=/*£ которое доставляет минимум в (29), называется оптимальным: оно дает наименьшую вероятность устойчивости:

Р{дг € Ядоол) < е Ядоой) для всех / € 27

поэтому при оценивании вероятностного радиуса методами статистического моделирования именно им и следует пользоваться.

Известны следующие принципыравномерности иусеченнойравномерно-сти. Если (¿дао! выпукло и симметрично относительно нуля, то /* = щ, а в общем случае оптимальным является одно из распределений иК Требуемые свойства множества С^дооЛ как правило не удается проверять аналитически, а поиск оптимального и' является невыпуклой параметрической задачей, поэтому практическое использование этих результатов затруднено.

Во втором разделе главы вводится широкий класс множеств, не связанных с выпуклостью и симметричностью, для которых также справедлив принцип равномерности.

Определение 5.2. Для данной точки X £ множество

называется ее проекционным прямоугольником. Множество С К' называется проекционно-прямоугольным (ПП-множеством), если для каждого х 6 X выполнениях) С X.

Теорема 5.1. Пусть X С К' — ПП-множество. Тогдадлялюбого 7 > О тшР^'еХ} = Р{аЛеХ}.

Этот результат представляет собой обобщение принципа равномерности на класс ПП-множеств. Кроме того, он дает возможность оценивать вероятностный радиус робастности путем построения так называемой ПП-оболочки для множества (^доой-Определение 5.3. Множест во

Хпл = {х 6 X: П(г) С X}

называется внутренней ПП-оболочкоймножества С К'.

Пусть (¿доЫДП — ПП-оболочка множества в описанной выше задаче робастности. Для £ £ [0,1] обозначим

В соответствии с Теоремой 5.1 эта оценка оптимальна в том смысле, что при

Поскольку выполнены следующие включения: С (¿д^пд С <5доо^, то

при любом £ £ [0, 1] справедливы неравенства

Иначе говоря, оценка снизу для вероятностного радиуса может быть получена путем построения ПП-оболочки для и использования статистического моделирования с теоретически обоснованным равномерным распределением.

Формирование оценки 7пл(е) осуществляется следующим образом. Пусть для рассматриваемой задачи о робастной устойчивости имеется детерминированный алгоритм Л, дающий приданном 7 ответ А^^) = 1, если система Б(д) устойчива при всех q € Я-/, И = 0 в противном случае. Для каж-

дого значения из некоторого интервала будем строить

оценку р1 вероятности Р {д"7 £ фуооцш}- С этой целью генерируем выборку ql,...,qN из равномерного распределения и7,для каждого д* строим его проекционный прямоугольник П(д*), с помощью алгоритма Л проверяем условие П(д*) С <Эго«г и полагаем р7 = ^Х^Л^Щд*)).Наконец, оценку 7пп(£)лля 7пп(е) получаем по формуле

Эффективность описанной процедуры иллюстрируется на примере гурви-цевой устойчивости интервального семейства полиномов.

В третьем разделе главы для множества (^дооЛ общего вида указывается оптимальное распределение в ситуации, когда известен объем Такая информация представляется естественной, поскольку оценка объема может быть получена в результате моделирования по Монте Карло с равномерным распределением на всем множестве неопределенности.

Слегка изменяя введенные выше обозначения, за множество неопределенности примем единичный куб который будем обозначать просто радиус робастности будем обозначать через а соответствующий максимальный

куб, внутри которого сохраняется робастность, обозначаем Ят Считаем, что 7 < 1, — тогда множество нарушения Яш непусто. Для данного V > 0 определим совокупность множеств нарушения, имеющих объем

2« = {Яш С Я Яш измеримо, Уо\(Яш) = V, Яш П (Зт = 0}.

Поскольку то предполагается, что

Класс распределений, заданный на обозначим через Т. Введем в рассмотрение совокупность усечений, задаваемую

с каждым 4 € Т свяжем усеченный куб

а усеченное равномерное распределение, соответствующее точке I обозначим через В соответствии с принципом усеченной равномерности, для фиксированного поиск оптимального распределения в сводится к поиску оптимального усечения Поэтому ограничимся такими распреде-

лениями, и для всякого и введем риск потери устойчивости:

е(Яш,$ = Р{?и< € Яш}-

Задача о наихудшей геометрии множества нарушения формулируется следующим образом. При данном такие, что

е(ЯшХ) > е[Яш,*) для всех Яш € и <6Т.

(30)

Решение поставленной задачи дается следующей теоремой. Теорема 5.2.

I. При 0 < V < 2'(7 - У) решение задачи (30) достигается на любом усечении вида

илюбоммножестве нарушения,удовлетворяющем

Яш 2 иЛЗт;

при этом риск потери устойчивости равен

<{Ош,П = 1-7М. (31)

II. При 2^7 — У) < и < 2^(1 — У) решение задачи (30) достигается на

1 < < 1, ¿ = 1.....

и множестве нарушения

при этом риск потери устойчивостиравен

В Теореме 5.2 явно описываются наихудшие возможные формы множества нарушения и соответствующие им оптимальные распределения, реализующие максимальный риск. Выражения (31)—(32) для <*) свидетельствуют о

том, что необоснованное использование равномерного распределения на < может приводить к сильно завышенным оценкам вероятности устойчивости.

Во второй части теоремы наихудшее множество нарушения "окружает" допустимый куб Соответствующие этому случаю оптимальные усечения названы окружающими, а усечения, отвечающие множествам из части I теоремы, — неокружающими. В заключительной части главы исследуется соотношение этих двух типов распределений в зависимости от размерности I.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и кратко изложены основные выводы.

любомусечении вида

1=1

Основные публикации по теме работы

1. ЩЕРБАКОВ П. С, Использование априорной информации для уточнения оценок параметров // Автоматика и телемеханика, 1988, № 5, с. 80-89.

2. SHCHERBAKOV P. S., Alexander Mikhailovitch Lyapunov: On the centenary of his doctoral dissertation on stability of motion // Automatica, 1992, Vol. 28, No. 5, p. 865-871.

3. НАЗИН А. В., ЩЕРБАКОВ П. С, Метод усреднения траекторий в пассивной стохастической аппроксимации (линейный алгоритм) // Проблемы передачи информации, 1993, т. 29, № 4, с. 35-45.

4. НАЗИН А. В., ЩЕРБАКОВ П. С, Пассивная стохастическая аппроксимация с усреднением вдоль траектории // Автоматика и телемеханика, 1994, № 5, с. 48-58.

5. НАЗИН А. В., ЩЕРБАКОВ П. С, Реализуемый оптимальный алгоритм пассивной стохастической аппроксимации с усреднением вдоль траектории // Проблемы передачи информации, 1994, т. 30, № 3, с. 68-78.

6. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., SHMULYAN S. В., Construction of

' value set for robustness analysis via circular arithmetic // Intern. J. Robust

& Nonlin. Control, 1994, Vol. 4, No. 3, p. 371-385.

7. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., SHMULYIAN S. В., Circular arithmetic and its applications in robustness analysis // in: Modelling Techniques for Uncertain Systems, A. B. Kurzhanski and V. M. Veliov, eds., Boston: Birkhauser, 1994, pp. 229-243.

8. ПОЛЯК Б. Т., ЩЕРБАКОВ П. С, Алгоритмы матричного оценивания // Автоматика и телемеханика, 1995, ДО 11, с. 122-139.

9. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., Robust stability of systems with uncertain delays // Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, (UK), 1996, Vol. 32, No. 7/8,118-121.

10. BARMISH В. R., LAGOA С. M., SHCHERBAKOV P. S., Probabilistic enhancement of robustness margins provided by linear matrix inequalities // Proc. 34th Allerton Conf. on Communication, Control and Computing, Monticello, II, Oct. 2-4,1996, pp. 160-169.

11. ПОЛЯК Б. Т., ЩЕРБАКОВ П. С, Вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздываниями // Автоматика и телемеханика, 1996, № 12, с. 97-108.

12. LAGOA С. М., SHCHERBAKOV P. S., BARMISH В. R., Probabilistic enhancement of classical robustness margins: The unirectangularity concept // Proc. 36th Conf. Decision and Control, San Diego, CA, Dec. 1997, pp. 48744879.

13. LAGOA С M., SHCHERBAKOV P. S., BARMISH B. R., Probabilistic enhancement of classical robustness margins: The unirectangularity concept // Systems and Control Letters, 1998, Vol. 35, No. 1, p. 31-43.

14. PCLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., Numerical solution of hard problems in control via perturbation theory // Int. IFAC Conf. Nonsmooth and Discontinuous Problems ofControland Optimization, Chelyabinsk, Jun. 1720,1998.

15. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., Numerical search of stable or unstable member in matrix or polynomial families: Unified approach to robustness analysis and stabilization // Proc. Int. Conf. "Robustness in Identification and Control," University of Siena, Certosa di Pontignano, Italy, Jul. 30 -Aug. 2,1998, pp. 21-23.

16. ЩЕРБАКОВ П. С, Достаточное условие робастной устойчивости неопределенных матриц // Автоматика и телемеханика, 1998, № 8, с. 71-79.

17. SHCHERBAKOV P. S., A sufficient criterion for robust stability of uncertain matrices // Proc. 3rd Eur. IEEE Workshop on Computer-Intensive Methods in ControlandData Processing, Prague, Sep. 7-9, 1998, pp. 155-160.

РОС НАЦИОНАЛЫ,«, БИБЛИОТЕКА j С. Петербург ■> О» Мит t ■ »¡я»

18. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., Numerical search ofstable or unstable element in matrix or polynomial families: A unified approach to robustness analysis and stabilization // in: Robustness in Identification and Control, Lecture Notes in Control and Inf. Sci., Vol. 245, 1999, Berlin: Springer, pp. 344-358.

19. BARMISH B. R., SHCHERBAKOV P. S., Linear matrix inequalities with uncertain parameters: The approximate feasibility concept // Proc. Conf. Information Science and Systems, Baltimore, MD, Mar. 1999.

20. ЩЕРБАКОВ П. С, Probabilistic robustness under parametric uncertainty // Междушр. конф. по проблемам управления, Москва, 29 июня - 2 июля,

1999, т. 1, с. 231-234.

21. SHCHEREAKOV P. S., New problems in probabilistic robustness under parametric uncertainty // Избранные труды Междунар. конф. по проблемам управления, Москва, 29 июня - 2 июля, 1999, т. 2, с. 296-303.

22. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., A new approach to robustness and stabilization of control systems via perturbation theory // Proc. 14th World Congress oflFAC, Beijing, Jul. 5-9,1999, Vol. C, pp. 13-18.

23. SHCHERBAKOV P. S., LAGOA С M., BARMISH B. R., Characterization of worst-case uncertainty geometry in the theory of probabilistic robustness // Proc. Цй World Congress oflFAC, Beijing, Jul. 5-9,1999,Vol. G, pp. 401406.

24. BARMISH B. R., SHCHERBAKOV P. S., Distributionally robust least squares // Proc. 6th St. Petersburg Symposium on Adaptive Systems Theory, St. Petersburg, Sep. 7-9,1999, Vol. 1, pp. 5-8.

25. POLYAK B.T., SHCHERBAKOV P. S., Random spherical uncertainty in estimation and robustness // IEEE Transactions on Automatic Control,

2000, Vol. 45, No. 11, p. 2145-2150.

26. BARMISH B. R., SHCHERBAKOV P. S., On avoiding vertexization ofrobust-ness problems: The approximate feasibility concept // Proc. 39th Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, Dec. 2000.

27. POLYAK В. Т., SHCHERBAKOV P. S., Random spherical uncertainty in estimation and robustness // Proc. 39th Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, Dec. 2000, pp. 3339-3340.

28. BARMISH B. R., SHCHERBAKOV P. S., On avoiding vertexization of robustness problems: The approximate feasibility concept // IEEE Transactions on Automatic Control, 2002, Vol. 47, No. 5, p. 819-824.

29. POLYAK В., SZNAIER M., SHCHERBAKOV P., HALPERN M., Superstable control systems // Proc. 15th World Congress oflFAC, Jul. 2002, Barcelona, Spain, pp. 799-805.

30. ПОЛЯК Б. Т., ЩЕРБАКОВ П. С, Сверхустойчивые линейные системы управления. I: Анализ // Автоматика и телемеханика, 2002, т. 8, с. 3753.

31. ПОЛЯК Б. Т., ЩЕРБАКОВ П. С, Сверхустойчивые линейные системы управления. II: Синтез // Автоматика и телемеханика, 2002, т. 11, с. 56-75.

32. ПОЛЯК Б. Т., ЩЕРБАКОВ П. С, Робастпая устойчивость и управление, М.: Наука, 2002.

33. ЩЕРБАКОВ П. С, Метод масштабирующих интегралов и обусловленность задач робастности", тез. докл. 2-й Международной конф. по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, июнь 2003, т. 1, с. 66.

34. BARMISH В. R., SHCHERBAKOV P. S., A dilation method for robustness problems with nonlinear parameter dependence // Proc. American Control Conference, Jun. 2003, Denver, Colorado, pp. 3834-3839.

35. SHCHERBAKOV P. S., BARMISH B. R., On the conditioning of robustness problems // Proc. 42nd Conference on Decision and Control, Dec. 2003, Maui, Hawaii, pp. 1932-1937.

36. ПОЛЯК Б. Т., П. С. ЩЕРБАКОВ П. С, Возможные подходы к решению трудных задач линейной теории управления // Пленарные доклады III

Международной конференции "Идентификация систем и задачиуправ-ления"SICPRO'04, Москва, январь 2004, ее. 6-46.

37. BABAYIGIT H. A, BARMISH В. R., SHCHERBAKOV P. S., On robust stability with nonlinear parameter dependence: Some benchmark problems illustrating the dilation integral method // Proc. American Control Conference, Boston, MA, Jul. 2004, pp. 2671-2673.

Принято к исполнению 24/11/2004 Исполнено 25/11/2004

Заказ № 486 Тираж: ПО экз.

0 0 0 «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095) 747-64-70 (095)318-40-68 www.autoreferat.ru

1*26*49

Введение

0.1 Неопределенные системы. Робастность.

0.2 Трудности на пути решения задач робастности.

0.3 Возможные подходы.

0.4 Постановка задач параметрической робастности.

0.5 Список обозначений.

1 Достаточные условия: Сверхустойчивость

1.1 Сверхустойчивые непрерывные и дискретные системы. Определения и основные теоремы

1.2 Робастная устойчивость.

1.3 Стабилизация.

1.4 Робастная и одновременная стабилизация.

1.5 Оптимальное управление

1.6 Выводы к главе.

2 Итеративные методы: Теория возмущений

2.1 Оптимизационный подход.

2.2 Робастная устойчивость семейств полиномов и матриц

2.3 Численные примеры.

2.4 Стабилизация.

2.5 Численные примеры.

2.6 Выводы к главе.

3 Вероятностный подход: малый риск потери робастности

3.1 Вероятностная постановка задач робастности.

3.2 Применение к неопределенным системам с запаздываниями

3.3 Сферически равномерное распределение.

0.1 Неопределенные системы. Робастность.

В современной линейной теории управления описание систем в пространстве состояний является одним из основных. В настоящее время методы пространства состояний представляют собой стройную и хорошо развитую теорию, в основе которой лежит классический аппарат линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры и матричного анализа. В рамках такого описания за последние 40-50 лет получены фундаментальные результаты как в анализе систем, так и в синтезе регуляторов и в теории оптимального управления; эти достижения отражены в монографиях и учебниках [2, 8, 13, 17, 22, 26, 27, 30, 43, 45, 47, 49, 55].

Однако в реальном объекте неизбежно присутствует неопределенность, которая должна учитываться в математической модели, а система управления им должна быть работоспособна при наличии неопределенности. Всюду в работе под неопределенностью понимаем неполноту математического описания собственно системы, а не действующих на нее возмущений. В теории управления известно несколько способов описания неопределенности: в параметрической и матричной форме ([9, 56, 40, 60, 64, 78, 116]), в частотной области ([100,102,108, 124,127, 148, 166, 173]) и др. При описании систем в пространстве состояний коэффициенты дифференциальных уравнений модели обычно имеют вполне определенный физический смысл массы, коэффициентов трения и жесткости, электрического сопротивления и индуктивности и т.д. При таком подходе представляется естественным описывать неопределенность в тех же терминах, что и исходную систему: рассматривать отклонения (допуски) реальных физических параметров системы от некоторых идеальных номинальных значений. Таким образом, модель параметрической неопределенности удобна при описании систем в пространстве состояний и соответствует инженерной практике. В настоящей работе рассматривается именно параметрическая модель неопределенности.

В такой постановке имеем дело с семейством систем, соответствующих всем возможным значениям параметров внутри допусков, и задача заключается в обеспечении некоторого требуемого свойства (прежде всего, устойчивости) для всех систем семейства; при этом говорят о робастности данного свойства системы по отношению к имеющейся неопределенности, или просто о робастности системы. Соответственно, целью теории робастных систем управления является разработка методов исследования робастности, будь то анализ или синтез, т.е. построение законов управления, обеспечивающих робаст-ность.

Основные отличия моделей неопределенности, принятых в теории параметрической робастности, от стандартных моделей в теории оценивания и идентификации параметров заключаются в том, что, во-первых, параметры имеют детерминированную, а не статистическую природу, и при этом заданы жесткие границы их изменения. Это роднит их с моделью "неизвестных, но ограниченных" возмущений, которая используется в теории Zi-оптимизации ([3, 151]), а также при оценивании состояний динамических систем и связанной с ним техникой гарантированного (эллипсоидального) оценивания, развитой Ф. Швеппе [152], А. Б. Куржанским [117], Ф. JL Черноусько [92], А. И. Матасовым [126]. Во-вторых, отметим отличие понятия робастности от требования грубости, введенного А. А. Андроновым еще в 30-е годы. Грубость системы предполагает сохранение ею какого-либо свойства при малых отклонениях параметров от номинальных значений и количественно измеряется так называемой чувствительностью, тогда как в теории робастности отклонения могут быть большими. Сам термин "робастность" (дословная калька с английского "robust" — крепкий в конструкции, нечувствительный к нарушению исходных предположений) введен в русскоязычную литературу (Я. 3. Цып-киным и Б. Т. Поляком) именно для того, чтобы подчеркнуть это отличие.

Необходимость учета неопределенности при описании управляемого объекта подчеркивалась многими исследователями. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная секторная) легла в основу теории абсолютной устойчивости, развитой в 40-е-50-е годы прошлого столетия А. И. Лурье, М. А Ай-зерманом, Ф. Р. Гантмахером [1, 24, 25, 44] и позже Е. С. Пятницким [44]. Примерно в то же время появились работы Ю. И. Неймарка [29], в которых исследовалась устойчивость полинома при двух неопределенных параметрах (для частного случая полиномов третьей степени такая задача была поставлена И. А. Вышнеградским еще в 1876 г.). Разработанная в них техника D-разбиения широко используется в методах современной теории параметрической робастности.

Начало современного этапа систематического развития теории положила работа В. JI Харитонова [51] 1978 года об устойчивости интервального семейства полиномов. В ней показано, что для устойчивости такого семейства (содержащего континуальное множество элементов) необходима и достаточна устойчивость четырех конкретных его элементов, независимо от степени полинома. Простота и неожиданность решения задачи, казавшейся сложной, вызвала в середине 80-х лавину работ в этом новом направлении теории управления. Последовавшее десятилетие характеризуется небывалым обилием результатов в области робастности при параметрической неопределенности; достаточно перечислить следующие из наиболее значимых.

Сюда прежде всего относятся многочисленные обобщения теоремы Харитонова: на случай комплексных параметров, дробно-рациональную неопределенность, иные области локализации корней, отличные от левой полуплоскости (модальность) и др. Появился термин "вершинный результат", отвечающий ситуации, когда проверка робастности континуального семейства может быть сведена к проверке конечного числа систем из семейства. Следующий важный шаг — доказательство так называемой реберной теоремы, относящейся к аффинным семействам полиномов, — более общему классу неопределенности, чем интервальная. В этом случае кроме вершинных полиномов требуется проверять устойчивость элементов семейства, соответствующих ребрам куба неопределенности.

Были предложены методы проверки робастной устойчивости для систем при зависимых неопределенностях (например, сферической и мультилиней-ной) и для систем дискретного времени. Разработаны удобные графические критерии, позволяющие единообразно исследовать как случаи непрерывного и дискретного времени, так и различные структуры неопределенности; при этом не только дается ответ о робастной устойчивости, но и находится максимальный размах неопределенности — радиус робастности — при котором гарантирована устойчивость. Эти методы, основанные на принципе исключения нуля, составили целое направление в теории параметрической робастности.

Появились первые результаты, относящиеся к нелинейной структуре неопределенности (в частности, полилинейной), к системам с неопределенными запаздываниями, и др. Были обнаружены феномены, связанные с особенностями структуры области устойчивости систем в пространстве параметров и с возможной разрывностью радиуса робастности как функции от данных.

Робастная модификация была придана многим классическим результатам и методам теории управления: так, были разработаны робастный критерий Найквиста и робастное .D-разбиение, а упомянутые выше графические критерии по-существу представляют собой робастную модификацию критерия Михайлова.

Появились отдельные результаты по робастной стабилизации — построению регуляторов (в том числе регуляторов заданного порядка), стабилизирующих систему при наличии в ней параметрической неопределенности, а также работы, посвященные матричной неопределенности.

Основное внимание уделялось робастной устойчивости; однако изучалась также робастность иных ключевых свойств систем управления, таких как управляемость, апериодичность, строгая положительная вещественность.

Большой вклад в развитие теории внесли С. В. Емельянов, С. К. Коровин, А. Б. Куржанский, Б. Т. Поляк, В. J1. Харитонов, Я. 3. Цыпкин, Ф. JI. Черно-усько, Ю. Аккерманн, Б. Бармиш, Ш. Бхаттачария, П. Дорато, Дж. Коган, М. Мансур, М. Миланезе, Р. Темпо, К. Холлот, и другие.

Таким образом, к середине 90-х годов были успешно решены большинство поставленных важных задач робастности; методы решения обрели стройный и общий вид и были подытожены в ряде монографий. Так, в [169] сделана -попытка систематизации материала, набранного к началу 90-х, и приведен очень полный их обзор. Основой подхода, применяемого в [60] (первое издание относится к 1993 г.), является разбиение множества неопределенности на области и численное решение задачи на сетке. В [88] разработан мощный аппарат линейных матричных неравенств (введенных в теорию управления В. А. Якубовичем в 60-е годы), основанный на численных методах выпуклого программирования, и показано, что с его помощью могут решаться многие задачи управления с параметрической неопределенностью. В [64] развиты элегантные средства исследования робастности линейных систем, основанные на принципе исключения нуля и понятии области значений. Общая картина состояния теории и методов на середину 90-х годов дана в [78]. Новые направления развития обозначены в книге [11] и ряде статей, например, [12].

0.2 Трудности на пути решения задач робастности.

Во второй половине 90-х годов наметился спад активности в рассматриваемой области теории управления. Причинами этого явились казавшиеся непреодолимыми трудности решения практических проблем при "нефизичности" некоторых имеющихся постановок задач. Действительно, например, коэффициенты характеристического полинома линейной системы обычно не имеют прямого инженерного смысла; они представляют собой довольно сложные комбинации физических параметров объекта, и их принадлежность допускам проверить непросто. Таким образом, модель интервальной неопределенности является сильной идеализацией реальной системы. Классическим примером является задача о робастной устойчивости цепочки простых звеньев, замкнутых единичной обратной связью, в которых постоянные времени (физические параметры) интервальны. При этом коэффициенты характеристического полинома оказываются полилинейными функциями параметров; такая реальная проблема оказалась трудной, и ее непростое решение было получено лишь в 1997 г. [19].

Как следствие, усилия исследователей были направлены на задачи, в которых решение могло быть получено относительно просто, в то время как многие практически значимые проблемы оставались почти нетронутыми. Таким образом, большинство результатов, полученных к середине 90-х, (i) относились к скалярным системам, т.е. к робастной устойчивости полиномов; (ii) были посвящены в основном анализу робастной устойчивости, а не построению робастно стабилизирующих регуляторов; (iii) использовали хотя и важные, но частные типы зависимости от параметров (большей частью линейную).

В 90-е годы пришло понимание трудностей, присущих большинству реалистично поставленных задач. Основными препятствиями дальнейшему развитию теории робастных систем управления являются следующие.

Первая трудность: Невыпуклость многих задач робастности относительно параметров. Это делает невозможным или ненадежным использование стандартных процедур оптимизации. Как правило, в реальных задачах имеем общего вида нелинейную зависимость от неопределенных параметров, которая не поддается анализу численными методами. В управлении такими задачами являются проверка робастной устойчивости неопределенных систем в пространстве состояний, построение регуляторов заданного порядка, синтез стабилизирующей обратной связи по выходу и многие другие. Кроме того, целевая функция часто оказывается недифференцируема, например, таковой является максимальная вещественная часть корней полинома, зависящего от параметров.

Вторая трудность: Вычислительная сложность. Строгое определение классов алгоритмической и вычислительной сложности довольно громоздко, поэтому ограничимся нестрогими формулировками. Задача называется NP-сложной, если не существует алгоритма нахождения ее точного решения, число операций в котором не более, чем полиномиально зависит от ее размерности. Если такой алгоритм существует, то говорят, что задача принадлежит полиномиальному классу сложности Р. Например, имеющиеся алгоритмы обращения матрицы п х п требуют порядка 0(п3) операций, — это "простая" задача; задача о максимальном разрезе на графе с п вершинами не может быть решена за число шагов, выражающееся полиномом от п, — эта задача iVP-сложна. ;

Классической трудной задачей робастности является анализ асимптотической устойчивости интервальной системы в пространстве состояний (гурви-цевость интервальной матрицы), для которой, в частности, не имеется вершинного результата, т.е. устойчивость вершин не гарантирует устойчивости всего семейства. Однако, даже если задача и допускает вершинную формулировку, число вершин, подлежащих проверке, часто растет экспоненциально с ростом размерности вектора неопределенных параметров, и уже при весьма скромных размерностях задача не может быть решена в разумное время. Типичным примером является iVP-сложная задача проверки квадратичной устойчивости интервальной системы: уже при размерности матрицы состояния выше четырех требование к памяти и быстродействию вычислительной техники превышает возможности современных персональных компьютеров и математического обеспечения. Иными словами, даже использование достаточных условий робастности часто не приводит к принципиальному сокращению вычислений.

Вообще говоря, понятие N Р- с л ож] i о сти имеет чисто теоретическое смысл — оно описывает асимптотическое поведение метода при п —ь оо, и при конечных малых размерностях iVP-сложная задача тем не менее может быть решена. На практике принято считать, что если число параметров превышает 10, то это задача большой размерности. Для задач управления характерно наличие гораздо более высоких размерностей, например, если вектор состояний имеет 5 компонент (более чем скромная величина), то матрица состояний содержит 25 неопределенных параметров, и задача проверки гурвицевости такого семейства необозрима. Поскольку степени полиномов, оценивающих алгоритмическую сложность задачи, и входящие константы могут быть велики, то преимущество полиномиального метода над сверхполиномиальным проявится при столь больших значениях п, что на современных компьютерах оба таких алгоритма не могут быть реализованы в разумное время. Однако на практике подавляющее большинство полиномиально сходящихся алгоритмов ведут себя приемлемо для задач больших размерностей, и jVP-сложность задачи принято считать синонимом ее практической сложности.

К середине 90-х появились статьи и монографии по вычислительной сложности задач управления, [130, 83, 84, 85]; ранее интуитивное понимание трудности многих важных проблем нашло строгое теоретическое обоснование. Основной вклад в решение этих вопросов внесли А. Немировскй, В. Блон-дель, Дж. Цициклис, М. Видьясагар и др.

Третья трудность или, точнее, существенный недостаток классического подхода к робастности кроется в его минимаксной природе: максимально допустимая величина неопределенности, при которой сохраняется робастность, определяется наихудшим элементом семейства. Иными словами, классические методы рассчитаны на наихудшую возможную неопределенность, реализация которой на практике может быть крайне маловероятной, т.е. с практической точки зрения получаемые границы робастности оказываются неоправданно заниженными. В англоязычной литературе такое явление называют консерватизмом, понимая под этим, что границы изменения параметров могут быть расширены при малом риске нарушения желаемого свойства.

0.3 Возможные подходы.

Таким образом, в исходной постановке большинство реалистично поставленных задач робастности не поддаются точному анализу, поэтому приходится либо ограничиваться достаточными условиями, дающими субоптимальное решение, либо пользоваться численными методами, либо переформулировать задачу, обходя имеющиеся трудности, а не преодолевая их. Иными словами, предлагается жертвовать гарантией получения правильного ответа ради возможности нахождения хоть какого-то решения, простоты методов, широты области их применимости и возможности работать с задачами больших размерностей. При этом получаемое приближенное решение должно не сильно отличаться от истинного; кроме того, желательно, чтобы такие методы могли применяться единообразно к различным постановкам задач как анализа робастности, так и синтеза регуляторов.

Целью диссертации является разработка простых с вычислительной точки зрения методов решения задач робастности, применимых к более, широкому кругу задач, чем известные из литературы. Рассматриваемые задачи прежде всего характеризуются общего вида нелинейной структурой неопределенности и большим количеством параметров, а предлагаемые в работе методы отличаются простотой и единообразием применения к анализу и синтезу. За такую "универсальность" разработанных методов приходится платить, в частности, тем, что не всегда удается формулировать строгие математические результаты о качестве получаемого решения, скорости сходимости и т.д.

Предлагаемые в настоящей работе методы условно делятся на несколько типов, и под термином "приближенные методы" понимается следующее:

1. Методы, основанные на достаточных условиях. Центральное место здесь занимает новое продуктивное понятие сверхустойчивости, являющееся достаточным условием асимптотической устойчивости. Оно формулируется в терминах элементов матрицы, а не ее собственных значений, что, в частности, позволяет сводить задачу робастности при разнообразных ограничениях на неопределенность к линейному или квадратичному программированию. При таком подходе различные задачи робастности, стабилизации и оптимального управления при параметрической неопределенности могут решаться с единых позиций, при этом вычислительная сложность методов низка.

2. Численные методы, использующие идеи теории возмущений. Представляют собой специальные итеративные процедуры негладкой оптимизации, работающие непосредственно с собственными значениями возмущенной матрицы или корнями полинома. С их помощью удается единообразно решать задачи робастного анализа и синтеза как в полиномиальной, так и в матричной постановке и легко находить субоптимальные решения в традиционно трудных задачах. На практике эти методы являются мощным средством решения типичных задач, возникающих в управлении, хотя, строго говоря, они не дают гарантии получения решения, даже если оно существует.

3. Вероятностные методы. Исходя из предположения о том, что неопределенные параметры — случайные величины, делаются выводы о робастности системы с некоторой высокой вероятностью. При этом, во-первых, удается решать задачи с нелинейно входящей неопределенностью, во-вторых, большие размерности не представляют проблемы, в-третьих, снимается консерватизм детерминированных критериев, т.е. даже при очень малой вероятности потери устойчивости ограничения на неопределенности можно значительно ослабить.

Первая глава посвящена методам первого типа. Вводится понятие сверхустойчивой системы в пространстве состояний (в дискретном и непрерывном времени) и показывается каким образом многие задачи управления при неопределенности сводятся к задачам линейного программирования. Эффективность предлагаемого подхода демонстрируется на таких важных трудных проблемах как оценивание радиуса устойчивости интервальной матрицы; построение статического регулятора по выходу, в том числе и робастного; новая задача оптимального управления, связанная с минимизацией линейного показателя качества и др.

Во второй главе разрабатывается оптимизационный подход к решению задач робастности. Предложены итеративные методы негладкой оптимизации для отыскания устойчивого или неустойчивого элемента в матричном или полиномиальном семействе. Их математическая основа — теория возмущений собственных значений матриц и корней полиномов, зависящих от параметров [52]. Методы применимы к решению как задач анализа робастности систем управления, так и к построению стабилизирующих регуляторов. Особенностью методов является простота численной реализации, применимость к широкому кругу задач управления и возможность работать с большими размерностями.

В третьей главе развивается вероятностный подход к робастности. Параметры предполагаются случайными с некоторым распределением на множестве неопределенности, и делаются выводы о сохранении желаемого свойства с высокой вероятностью. Первые результаты в этом направлении получены в [147, 69, 35], среди других работ отметим [18, 90, 99, 91, 68, 161].

Среди достоинств вероятностного подхода — возможность решать задачи с произвольной зависимостью от параметров и существенное снижение консерватизма детерминированных критериев. В первой части главы на основе центрально-предельного поведения строится доверительное ядро для области значений неопределенной системы и приводится вероятностный аналог принципа исключения нуля. Такой подход проиллюстрирован на примере систем с неопределенными запаздываниями. Далее рассматривается равномерное распределение на шаре и формулируется теорема о распределении линейного преобразования от случайного вектора с таким распределением. Этот результат применяется к оцениванию вероятностного радиуса устойчивости аффинных семейств полиномов со сферической неопределенностью. Среди других применений — вероятностная характеризация псевдоспектра матриц при возмущениях, ограниченных во фробениусовой норме, и вероятностное описание множеств достижимости дискретных динамических систем с ограничением на энергию внешнего возмущения.

Четвертая глава примыкает к третьей — вероятность сохранения системой желаемого свойства описывается в терминах объема множества нарушения в пространстве параметров. Проблема робастности сводится к оцениванию сверху этого объема и последующей оптимизации выпуклого критерия. Большая часть главы посвящена понятию обусловленности задач робастности, которое характеризует вычислительные затраты, ожидаемые при реализации такого подхода. Также вводится понятие индикаторов приближенной робастности и предлагаются использующие это понятие методы проверки приближенной робастности. На этой же основе разработаны методы решения задач с управлением, в частности, задачи робастной квадратичной стабилизации. .

Пятая глава посвящена вопросам выбора оптимального распределения при вероятностном взгляде на робастность. Понятие вероятностного радиуса робастности, введенное в гл. 3, зависит от принимаемого распределения вероятностей для случайных параметров. Неправильно выбранное распределение может привести к получению неоправданно больших величин для радиуса и чересчур оптимистичным выводам о вероятности робастности. Такие вопросы ставились в работах [66, 18, 15], но результаты относились к частным случаям; использовались довольно жесткие предположения. Вводится новый класс множеств, названных ПП-множествами, которые удовлетворяют так называемому принципу равномерности [66]; предлагается процедура построения оптимальной нижней оценки вероятностного радиуса, использующая аппроксимацию исходного целевого множества множеством из ПП-класса. Во второй части главы для целевого множества общего вида оптимальное распределение указывается явно, если доступна дополнительная информация о его объеме.

Подробный обзор литературы по соответствующим темам будет дан в главах.

0.4 Постановка задач параметрической робастности

В классической теории параметрической робастности рассматривается следующая модель неопределенности. Считаем, что в описание системы входит вещественный вектор неопределенных параметров q G относительно которого известно лишь, что он принадлежит некоторому множеству неопределенности или, иначе, допустимому множеству Q С R^. Обычно предполагается, что Q — замкнутое ограниченное множество в М^; как правило — это куб радиуса у в некоторой векторной норме || • || в величина 7 > 0 называется размахом неопределенности.

Конкретный вид функциональной зависимости системы от параметров q называется структурой неопределенности. Рассмотрим семейство полиномов p(s,q) = a0(g) + ai(g)s +----h an(q)sn, q = (qi,.,qe)T и будем различать следующие структуры.

1. Линейная (аффинная). Коэффициенты aj(q) являются линейными функциями от вектора параметров. Собирая члены с qi, можем записать аффинное семейство в виде p(s, q) = p0(s) + gipi(s) +----b qePe(s), где pi(s) — известные полиномы, a po(s) — так называемый номинальный полином.

Важным частным случаем линейной зависимости является интервальная неопределенность, когда сами коэффициенты щ являются неопределенными параметрами, независимо принимающими значения на интервалах:

Н = Qii q. < 4i < qit г = 0,1,., п.

2. Мулътилинейная: функции аг-(д) являются линейными по каждой компоненте вектора q при фиксированных остальных компонентах

3. Полиномиальная, или более общо, интегрируемая в явном виде зависимость от параметров, будет рассматриваться в главе 4, где предложены аналитические методы, использующие так называемые масштабирующие интегралы.

4. Дифференцируемая: функции a{(q) предполагаются дифференцируемыми, а в остальном произвольны. Такая весьма общая структура неопределенности поддается анализу методами, основанными на идеях теории возмущений, рассматриваемых в главе 2.

5. Произвольная зависимость от вектора параметров будет рассматриваться в главах, посвященных вероятностным методам в робастности.

Совершенно аналогично эти структуры неопределенности вводятся для матричных задач. Рассматривается также модель матричной неопределенности вида

А = А0 + А, где Ао — номинальное значение неопределенной матрицы А, а неопределенность А = (Aij) ограничена в некоторой матричной норме: ||ДЛ|| < 7. Как правило, будет рассматриваться фробениусова норма, по сути сохраняющая параметрическую векторную природу неопределенности, ибо это есть евклидова норма вектора, полученного вытягиванием столбцов матрицы в один вектор-столбец.

Подчеркнем, что задачи с общей нелинейной структурой неопределенности не поддаются анализу стандартными методами классической теории робастности; это же относится и к семействам полиномов.

Считаем, что параметры не меняются во времени, но могут принимать любые фиксированные значения из допустимого множества; таким образом, имеем семейство <5 стационарных линейных систем S(q), параметризованное вектором q. Иногда будем записывать

Q1 = {qe RC: \\q-qo\l < 7>, где (ft) Е К^ — значение параметра, соответствующее номинальной (невозмущенной) системе.

Пусть V — некоторое желаемое свойство системы (устойчивость, качество переходного процесса и др.); предполагается, что оно выполнено для номинальной системы. Задача заключается в проверке робастности семейства, т.е. сохранения свойства V для всех элементов семейства. Основное внимание в работе уделено случаю, когда свойство V — асимптотическая устойчивость, т.е. траектория каждой системы семейства стремится с течением времени к нулю при любых начальных условиях; при этом говорим просто о робастной устойчивости.

Радиусом робастности 7тах семейства называется максимальная величина размаха неопределенности 7, при которой обеспечивается робастность для всех 7 < 7тах

В анализе робастных систем различаем две задачи: (1) определить, робастна ли система при данном фиксированном размахе 7 и (2) найти радиус робастности. Задача робастного синтеза заключается в построении регулятора, ро-бастно стабилизирующего неопределенную систему или нахождении радиуса робастной стабилизируемости. Точные определения будут даны ниже, равно как и конкретизация свойства Р, нормы, определяющей множество Q, структуры неопределенности, специфика задачи в дискретном и непрерывном времени и др.

0.5 Список обозначений

В работе используются следующие стандартные обозначения: R, С множества вещественных и комплексных чисел. sign х знак числа х Е R.

Rez, Imz вещественная и мнимая части комплексного числа z £ С, z = Re z + jIm я, j = z* комплексное сопряжение zG С, т.е. если z = Re z-\- j Im г, то z* = Re z — j Im

Rn, Cn пространства n-мерных векторов x с вещественными и комплексными координатами: х = ., хп)т. х|| норма конечномерного вектора х £ Мп или х £ Сп, в частности: модуль х при п = 1; П ч 1/р

1р-норма: ||ж||р = ( \xi\p) , 1 < р < оо; в том числе:

4=1 ' п л при р = 2 — евклидова норма: ЦжЦг = ( Xj Ixi\ ) > при р = оо: |Ы|ос = max 1аЫ; l<i<n n при p = 1: 11 ж I j 1 = J2 \х{\. i=1 a, 6) скалярное произведение векторов из Rn или Cn.

Rnxm, cnxm пространства n x га матриц А с вещественными и комплексными элементами aij, г = 1,., n, j = 1,., m. ац) матрица с элементами a^-. diag (ai,., an) диагональная матрица с элементами щ G Сп.

I единичная матрица.

Ат транспонирование А = (%')• Ат = (%'»)■

А* комплексное сопряжение и транспонирование матрицы A G

Спхп, т.е. если А = (ay), то А* = (а£). rank Л ранг матрицы А.

Аг(Л) г-е собственное значение матрицы А G Спхп, г = 1,., п. п tr.A след матрицы Л = (а^-) G С"хп: tr А = ац. г=1 det А определитель матрицы А р(А) спектральный радиус матрицы A G Спх", т.е. максимум модуля ее собственных значений: р(А) = max|Ai|. г cri(A) г-е сингулярное число матрицы A G Спхш: <тг(А) = Л У2 (А* А), i = 1,. ,m.

А > 0, >0 матрица A G Rnxn симметрична и положительно (неотрицательно) определена.

А\\ норма матрицы A G Rnxm или A G Спхш; если не указана явно, то подразумевается любая норма или индуцированная норма; в частности: спектральная норма (2-норма):

Л||2 = шахЛг1/2(у1М) = шах^(А); строчная норма (1-норма): ЦЛЦ1 = гпахГ^ |«n|V, l<i<n\j=i / столбцовая норма (оо-норма): ЦЛЦоо = шах ( ^ |аг-»| );

- 1 <J<m\=i / / п \ : фробениусова норма: ||Л||р = ( J2 \a,ij\2) з=1 J hj

1/2 интервальная норма: ||-А||г-п^ = max |atj|. degp(s) степень полинома р(s). равно по определению. конец доказательства или примера.

Если не указывается особо, прописными буквами обозначаются матрицы; области в Мп обозначаются прописными буквами полужирным шрифтом; рукописным шрифтом обозначаются семейства, классы, а также некоторые вероятностные распределения. Неопределенные параметры как правило обозначены строчной буквой q; размерность неопределенности обозначается через а буква 7 зарезервирована для размаха неопределенности.

5.4 Выводы к главе

В данной главе характеризуются оптимальные распределения при вероятностном подходе к вопросам робастности. Введен в рассмотрение широкий класс множеств (ПП-множества), не связанных со свойствами выпуклости и симметричности, для которых справедлив принцип равномерности. Предложен метод построения внутренней ПП-оболочки для общего вида множества Qgood в задачах робастности. Основанная на нем процедура нахождения нижней оценки вероятностного радиуса робастности использует статистическое моделирование с равномерным (оптимальным) распределением.

Сформулирована и полностью решена задача о наихудшей геометрии множества нарушения, когда доступна информация об объеме Vol (Qbad). Удается точно указать специфическую форму множества Qbad и соответствующее ей оптимальное распределение, реализующие максимальный риск потери робастности.

Показано, что необоснованное использование равномерного распределения может приводить к существенно завышенным оценкам вероятности робастности.

Заключение

В работе обрисован круг задач линейной теории управления, не поддающихся решению с помощью традиционных методов. Обозначены причины, по которым эти задачи трудны, — прежде всего это невыпуклость и вычислительная сложность. К таким трудным задачам, рассматривавшимся в работе, относятся робастная устойчивость систем в пространстве состояний при интервальной матричной неопределенности и отыскание радиуса робастности; стабилизация (в том числе и робастная) статическим регулятором по выходу и регуляторами заданного порядка; одновременная стабилизация; робастная квадратичная стабилизация; некоторые задачи оптимального управления, такие как подавление внешних ограниченных возмущений и задача о линейно-линейном регуляторе.

Для всех этих задач невозможно построить эффективные алгоритмы, приводящие к точному решению за разумное время, и в работе предложено несколько подходов к их приближенному решению.

Первый из разработанных подходов основан на продуктивном достаточном условии устойчивости, названном сверхустойчивостью. Простота решения приобретается за счет того, что условия сверхустойчивости формулируются в виде линейных ограничений на элементы матриц системы, что позволяет свести проблему к решению задач линейного (или квадратичного) программирования. Предложенный подход применйм к задачам с;аффинной структурой зависимости от параметров; в эту схему укладываются многие из упомянутых выше задач управления.

Основа второго подхода — процедуры негладкой оптимизации, использующие линеаризацию целевых функций и ограничений, исходя из идей теории возмущения для корней полиномов и собственных значений матриц. На каждом шаге таких итеративных процедур решение линеаризованной задачи принимается за очередную аппроксимацию к искомому решению. Методы эффективны для задач с произвольной дифференцируемой зависимостью от параметров.

Третий подход, развитый в диссертации, имеет вероятностную природу: параметры, входящие в описание систем, полагаются случайными величинами с известным (равномерным) распределением на допустимом множестве. Выводы о сохранении системой желаемого свойства (прежде всего устойчивости) делаются с некоторой высокой вероятностью. Подход применйм к произвольной структуре неопределенности; к другим достоинствам относится снятие консерватизма, присущего детерминированным методам.

Подход, идейно близкий к вероятностному, разработан в четвертой главе. Он заключается в мажорировании объема множества нарушения требуемого свойства (в пространстве параметров) с помощью выпуклых функций и их последующей минимизации. Получаемые на этом пути выводы имеют детерминированный характер; разработанный подход особенно эффективен при решении широкого класса задач управления с полиномиальной зависимостью от параметров.

Наконец, вопросы выбора оптимального распределения при использовании вероятностного подхода исследованы в пятой главе. Получено обобщение принципа равномерности на класс невыпуклых множеств, а также сформулирована и решена задача о наихудшей геометрии множества нарушения. Определение оптимального распределения представляется важным с практической точки зрения, поскольку использование "неправильного" распределения может приводить к сильно завышенным оценкам вероятности робастности.

Предложенные подходы имеют в своей основе различные идеи, но их объединяют следующие характерные черты: простота математической и численной реализации; возможность нахождения приближенных решений в ситуациях, когда точное решение недоступно; единообразие применения ко многим задачам анализа робастности, синтеза регуляторов и оптимального управления в полиномиальной и матричной постановках, при различных структурах неопределенности и ограничениях на допустимое множество параметров; "практически приемлемая" точность предложенных методов подтверждена многочисленными модельными примерами, в которых решение может быть получено с помощью иных подходов.

Как теоретические выводы, так и проверка на тестовых примерах, подтверждают, что в целом предлагаемые подходы эффективны, и поставленные в работе цели достигнуты.

1. айзерман М. А., Ф. Р. Гантмахер, Абсолютная устойчивость регулируемых систем, М.: Изд-во АН СССР, 1963.

2. Бобылев Н. А., С. В. Емельянов, С. К. Коровин, "Оценки возмущений устойчивых матриц", Автоматика и телемеханика, 1998, 4, 15-24.

3. Бобылева О. Н., Е. С. Пятницкий, "Системы с кусочно-линейными функциями Ляпунова", Автоматика и телемеханика, 2001, 9, 25-36.

4. ГОРОВИЦ И., Синтез систем с обратной связью, М.: Советское радио, 1970.

5. ДМИТРИЕВ Н. А., Е. Б. ДЫНКИН, "О характеристических числах стохастических матриц", Докл. АН СССР, 1945, 49, 159-162.

6. Емельянов С. В., С. К. Коровин, Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности, М.: Физматлит, 1997.

7. ЕмЕльянрв С. В., С. К. Коровин, "Устойчивость и стабилизация неопределенных динамических систем", Проблемы системного анализа и управления, М.: УРСС, 2001, с. 7-32.

8. Заде JL, Ч. Дезоер, Теория линейных систем, М.: Наука, 1970.

9. ИЗМАЙЛОВ Р. Н., "Эффект 'всплеска' в стационарных линейных системах со скалярными входами и выходами", Автоматика и телемеханика, 1987, 8, 56-62.

10. К ан Ю. С., "Об обосновании принципа равномерности в задаче оптимизации вероятностного показателя качества", Автоматики и телемеханика, 2000, 1, 54-70.

11. КАРПИЛЕВИЧ Ф. И., "О характеристических корнях матриц с неотрицательными элементами", Известия АН СССР, Сер. матем., 1951, 15, 361-383.

12. КВАКЕРНААК X., Р. СИВАН, Линейные оптимальные системы управления, М.: Мир, 1977.

13. Лурье А. И., В. Н. Постников, "К теории устойчивости регулируемых систем", Прикл. матем. мех., 1944, VIII, 3.

14. МЕЕРОВ М. В., Исследование и оптимизация многосвязных систем управления, М.: Наука, 1986.

15. Поляк Б. Т., П. С. ЩЕРБАКОВ, "Алгоритмы матричного оценивания" Автоматика и телемеханика, 1995, 11, 122-139.

16. Поляк Б. Т., П. С. Щербаков, "Вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздываниями", Автоматика и телемеханика, 1996, 12, 97-108.

17. Понтрягин л. С., в. г. Болтянский, р. в. Гамкрелидзе, е. ф. мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, м.: Наука, 1961.

18. ПЯТНИЦКИЙ Е. С., Избранные труды. Теория управления, М.: Физ-матлит, 2004, т. 1.45 46 [4748 495055рудин У., Функциональный анализ, М.: Мир, 1975.

19. Справочник по теории автоматического управления, А. А. Красовский ред., М.: Наука, 1987.

20. У ил кс С., Математическая статистика, М.: Наука, 1967.уонэм М., Линейные многомерные системы управления, М.: Наука, 1980.

21. Щербаков П. е., "Достаточное условие робастной устойчивости неопределенных матриц", Автоматика и телемеханика, 1998, 8, 71-79.

22. Anderson B. D. O., N. K. Bose, E. I. Jury, "Output feedback stabilization and related problems—solution via decision methods," IEEE Trans. Autom. Control, 1975, 20, 1, 53-66.

23. Anderson B. D. O., Moore J. В., Optimal control: linear quadratic methods, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989.

24. Babayigit H. A, B. R. Barmish, P. S. Shcherbakov, "On robust stability with nonlinear parameter dependence: Some benchmark problems illustrating the dilation integral method," in: Proc. American Control Conference, Boston, MA, Jul. 2004, pp. 2671-2673.

25. BARMISH B. R., New tools for robustness of linear systems, New York: MacMillan, 1995.

26. Barmish B. R., M. Corless, G. Leitmann, "A new class of stabilizing controllers for uncertain dynamical systems," SI AM J. Control Optimiz., 1983, 21, 2, 246-255.

27. Barmish B. R., С. M. Lagoa, "The uniform distribution: A rigorous justification for its use in robustness analysis," Math. Contr. Sig. Syst., 1997, 10, 203-222.

28. BARMISH B. R., Z. SHI, "Robust stability of perturbed systems with time delays," Automatica, 1989, 25, 3, 371-381.77. barmish b. R., R. tempo, "On the spectral set for a family of polynomials," IEEE Trans Automat. Control, 1991, 36, 1, 111-115.

29. BLONDEL V., Simultaneous stabilization of linear systems, London: Springer, 1995.82. blondel V., M. gevers, "The simultaneous stabilization of three linear systems is rationally undecidable," Math. Contr. Sig. Syst., 1994, 6,135-145.

30. Blondel v., J. N. Tsitsiklis, "NP-hardness of some linear control design problems," SIAM J. Contr. Optim., 1997, 35, 6, 2118-2127.

31. Blondel V., J. N. Tsitsiklis, "A survey of computational complexity results in systems and control," Automatica, 2000, 36, 1249-1274.

32. Boyd S. P., L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia PA,1994.

33. Calafiore G., F. Dabbene, R. Tempo, "Uniform sample generation of vectors in lp balls for probabilistic robustness analysis," in: Proc. 37-th IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, FL, 1998.

34. CALAFIORE G., В. Т. POLYAK, "Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMI," IEEE Trans. Automat. Control, 2001, 46, 11, 1755-1759.

35. Doyle J. С., B. A. Francis, A. R. Tannenbaum, Feedback control' theory, Englewood Cliffs, NJ: MacMillan, 1992.

36. El GHAOUI L., H. Lebret, "Robust solutions to least-squares problems . with uncertain data," SIAM J. Matr. Anal. Appl, 1997, 11, 1035-1064.102. francis B. A., A course in H^ control theory, Berlin: Springer-Verlag, 1987.

37. Frazer R. A., W. J. Duncan, "On the criteria for the stability of small motions," Proc. Roy. Soc., Ser. A, 1929, 124, 642-654.

38. Fu M., A. W. OLBROT, M. P. Polis, "Robust stability for time-delay systems: the edge theorem and graphical tests," IEEE Trans. Automat.

39. Control, 1989, 34, 8, 306-311.

40. Gao Z., P. J. antsaklis, "Explicit asymmetric bounds for robust stability of continuous and discrete-time systems," IEEE Trans. Autom. Control, 1993, 38, 2, 332-335.

41. Garcia G., P. Pradin, S. Tarbouriech, F. Zeng, "Robust stabilization and guaranteed cost control for discrete-time linear systems by static output feedback," Automatica, 2003, 39, 1635-1641.

42. Garloff J., B. graf, "Solving strict polynomial inequalities by Bernstein expansion," in: The use of symbolic methods in control system analysis and design, N. Munro, ed., London: IEE, 1999, pp. 339-352.

43. Lagoa С. M., P. S. shcherbakov, B. R. Barmish, "Probabilistic enhancement of classical robustness margins: The unirectangularity concept," in: Proc. 36th CDC, San Diego, CA, 1997, pp. 4874-4879.

44. Lagoa С. M., P. S. Shcherbakov, B. R. Barmish, "Probabilistic en-, hancement of classical robustness margins: The unirectangularity concept," Systems and Control Letters, 1998, 35, 1, 31-43.

45. Lao xlao Xin, "Necessary and sufficient conditions for stability of a class; of interval matrices," Int. J. Control, 1987, 45, 1, 211-214.

46. Malan S., M. Milanese, M. Taragna, "Robust analysis and design of control systems using interval arithmetic," Automatica, 1997, 33, 7, 13631372.

47. MATASOV A. I., Estimators for uncertain dynamic systems, Dordrecht: Kluwer, 1999.

48. McFARLANE D. С., K. Glover, Robust controller design using normalized coprime factor plant description, New York: Springer-Verlag, 1990.

49. Milanese M., G. Fiorio, S. Malan, "Robust performances control design for a high accuracy calibration device," Automatica, 1993, 29, 1, 147-156.

50. MULLER M. E., "A note on a method for generating random points uniformly on n-dimensional spheres," Comm. ACM, 1959, 2, 19-20.

51. Nemirovskii A. A., "Several TVP-hard problems arising in robust stability analysis," Math. Control, Signals and Systems, 1993, 6, 99-105.

52. SHCHERBAKOV P. S., "A sufficient criterion for robust stability of uncertain matrices," in: Proc. 3rd Eur. IEEE Workshop on Computer-Intensive Methods in Control and Data Processing (CMP'98), Prague, Sep. 7-9, 1998, pp. 155-160.

53. SHCHERBAKOV P. S., "New problems in probabilistic robustness under parametric uncertainty," Избранные труды Междунар. конф. по проблемам управления, Москва, 29 июня 2 июля, 1999, т. 2, с. 296-303.

54. SOH С. В., С. S. berger, K. P. dabke, "On the stability properties of polynomials with perturbed coefficients," IEEE Trans Automat. Control, 1985, 30, 10, 1033-1036.

55. STENGEL R. F., L. R. Ray, "Stochastic robustness of linear time-invariant systems," IEEE Trans. Automat. Control, 1991, 36, 1, 82-87.

56. Syrmos V. L., С. T. Abdallah, P. Dorato, K. Grigoriadis, "Static output feedback: a survey," Automatica, 1997, 33, 2, 125-137.

57. Tempo R., E. W. BAI, F. Dabbene "Probabilistic robustness analysis: explicit bounds for the minimum number of samples," Syst. Control Lett., 1997, 30, 237-242.

58. Tempo R., G. Calafiore, F. Dabbene, Randomized algorithms for analysis and control of uncertain systems, London: Springer-Verlag, 2004.

59. TSYPKIN Ya. Z., M. Fu, "Robust stability of time-delay systems with an uncertain time-delay constant," Int. J. Control, 1993. 57, 4, 865-879.

60. Tsypkin Ya. Z., В. T. Polyak, "Frequency domain criteria for £p-robust ; stability of continuous linear systems," IEEE Trans. Automat. Control, 1991. 36, 12, 1464-1469.