автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений на полуоси и её применение к некоторым проблемам вибрации и синхронизации

На правах рукописи

003 169119

Северин Григорий Юрьевич

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПОЛУОСИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ПРОБЛЕМАМ ВИБРАЦИИ И СИНХРОНИЗАЦИИ

Специальность 05 13 18 - "математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ-2008 ^ ^ ^^

003169119

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СТРЫГИН Вадим Васильевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук, профессор САДОВСКИЙ Борис Николаевич

доктор технических наук,

профессор МАТВЕЕВ Михаил Григорьевич

Ведущая организация: ЛГТУ, г Липецк

Защита состоится 14 мая 2008 года в 15-40 на заседании диссертационного совета Д 212 038 20 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская площадь,1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета к ф-м н, доц

В В ПРОВОТОРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Асимптотические методы давно заняли прочные позиции в задачах механики, описывающих быстроос-циллирующие процессы Наибольшую актуальность для практических целей представляют методы, дающие высокую и равномерную точность на всей числовой полуоси, так как вибродинамика имеет практический интерес именно к длительным устойчивым процессам Физическая природа таких процессов, как, например, синхронизация, подразумевает именно длительное наблюдение за исследуемыми объектами

Многие практические задачи механики, электродинамики, оптики и другие приводят к необходимости исследования колебательных систем Вначале такие исследования проводились в рамках небесной механики Важнейшие результаты этого периода - локальная теория периодических решений Пуанкаре-Ляпунова, теория устойчивости Ляпунова, качественная теория динамических систем на плоскости Пуанкаре-Бендиксона, теория динамических систем Биркгофа.

Бурное развитие радио и электротехники повлекло создание новых методов исследования нелинейных колебаний Математические основы метода усреднения были заложены в работах Н Н Боголюбова, Н М Крылова, Ю А Митропольского и многих других исследованиях киевской научной школы Значительный прогресс при анализе многомерных систем с медленными и быстрыми фазами был достигнут В М Болотовым. Он проанализировал приближения второго порядка П П Забрейко, Л Б. Ледовская показали, как найти п-е приближения на конечном отрезке [0, В дальнейшем этот подход был развит в работах Л.М.Перко Д Кеворкян и Д Морисон, используя идеи метода многих масштабов, нашли новые приближения п порядка М Г Матвеев использовал многомасштабные разложения

з

для моделирования и управления периодическими процессами В В Стрыгин предложил для построения п-х приближений использовать понятия, тесно связанные с задачами механики гироскопических систем

Большинство задач, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживают ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и тд Мало того, если даже точное решение задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов Примерами таких решений являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента, двоякопериодические функции и другие Тав им образом, для получения информации о решениях уравнений исследователи вынуждены обратиться к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов

В 1665 году Х.Гюйгенс открыл явление синхронизации двух маятниковых часов, закрепленных на общей балке Позлее многие авторы обнаружили подобные явления в оптике, квантовой механике и тд Возникновение радиосвязи и электроники стимулировало бурное развитие в изучении синхронизации Важные прикладные результаты изложены в книгах И И Блехмана, который применял метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова для анализа динамических систем

В этой диссертации приводится новый подход к изучению явления синхронизации, опирающийся на теорию автоколебаний. Предложенным методом можно исследовать синхронизацию двух колебательных систем произвольных размерностей и природы (механической, оптической, электрической и др)

Цель работы.

• Обобщение асимптотических методов на бесконечную полуось,

• Применение этих обобщенных асимптотических методов к построению асимптотики приближенного решения для одной механической задачи, описывающей колебания системы при высокочастотном внешнем возмущении большой амплитуды,

• Использование этих обобщенных асимптотических методов для получения достаточных условий бифуркации малых устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольных размерностей с близкими частотами

Методика исследования. В диссертационной работе в интересах математического моделирования использовались и совершенствовались следующие известные результаты метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова, метод усреднения Боголюбова-Крылова, метод погранфункций А Б Васильевой, метод усреднения В В. Стрыгина отыскания высших приближений решений нелинейных систем с быстроосциллирующими коэффициентами на большом отрезке [0, Т/е], гибридный метод усреднения и погранфункций В В Стрыгина для отыскания высших приближений решений нелинейных сингулярно-возмущенных систем с быстроосциллирующими коэффициентами на большом отрезке [0, Т/е], обобщенный принцип сжимающих отображений А. И Перова для банаховых пространств с векторной нормой, теорема В А Плисса о существовании гладкого устойчивого инвариантного многообразия у некоторых систем с разделяющимся спектром

Научная новизна. Приводимые ниже научные результаты диссертации являются новыми.

1 Предложен легко реализуемый алгоритм построения приближенного решения на полуоси [0, оо) для одной нелинейной за-

дачи Коши с периодическими коэффициентами

2 Доказана равномерная на полуоси [0, оо) сходимость этих приближений

3 Предложен алгоритм построения приближённого решения на полуоси [0, оо) для одной нелинейной задачи Коши с условно-периодическими коэффициентами

4 Предложен гибридный алгоритм построения приближенного решений на полуоси [0, сю) для сингулярно-возмущенной задачи Коши с быстроосциллирующими коэффициентами

5. Доказана равномерная на полуоси [0,оо) сходимость этих приближений

6 Предложен конкретный вид асимптотики приближенного решения на полуоси [0,оо) для нелинейной задачи Коши, описывающей колебания механической системы при высокочастотных внешних возмущениях большой амплитуды

7 Доказана равномерная на полуоси [0,оо) сходимость этих приближений

8 Получен универсальный алгоритм выявления бифуркации устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольной природы и размерности.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в данной работе асимптотические методы могут быть применены для конструирования приближений высших порядков для нелинейных задач Коши с быстроосциллирующими коэффициентами, дающих равномерную точность на всей полуоси Описанный в данной работе алгоритм выявления бифуркации устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольных размерностей можно использовать для анализа синхронизационных свойств у двух систем произвольной физической природы

Апробация работы. Результаты работы докладывались на

• VII международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века", Россия, Воронеж, май 2006

• IX Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям, Россия, Рязань, октябрь 2006

• Научном семинаре по сингулярно-возмущенным системам профессора ГА Куриной, 20 марта 2008

• Научном семинаре профессора Б Н Садовского, 7 апреля 2008

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей, из них две ([2] и [6]) в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ Объём и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, изложенных на 98 страницах машинописного текста, включая 3 рисунка и список цитируемой литературы из 54 наименований на б страницах Общий объём диссертации составляет 104 страницы

Краткое содержание работы

Во введении показано место работы в современных исследованиях по данной тематике. Представлены цели работы, ее краткое описание, методы, применявшиеся при исследованиях, выделены новые результаты, их практическая значимость и возможные области применения

Первая глава посвящена обоснованию обобщений на полуось [0, оо) методов В В. Стрыгина отыскания высших приближений нелинейных систем с периодическими коэффициентами и имеет три параграфа

В первом параграфе обобщается на полуось метод усреднения для нелинейной задачи Коши с периодическими коэффи-

циентами

Г f = е[Л(х) + £ ВД зш(гт) + Сг(х) соз(гт)], L аг(0) = xq

Пусть t — ет Приближенное решение xn(t, т) этой задачи ищется в виде функции двух независимых переменных t, т на [0, со) х [0,оо)

xn{t, т) = щ{г) + e[ui(i) + vi(t, г) + wi(r)] + + en_1['«„(i) + vn(t,r) + wn{r)},

Неизвестные вектор-функции vt(t, t),w,(t)-2tt периодические по г и имеют нулевое среднее по т Более того, vt(t, т) —► 0 при t —► сю равномерно по г е [0,2тт] Приравнивая слагаемые при одинаковых степенях е, мы всегда (т е на каждом шаге) будем получать уравнение, правую и левую части которого можно однозначно представить в виде суммы трех слагаемых Первое слагаемое правой части зависит только от t и будет приравниваться к причем, для функции w,(f) при i > 0 будет получаться линейное уравнение, решение которого экспоненциально стремится к некоторому конечному вектору Второе слагаемое имеет нулевое среднее по г, зависит только от т и будет приравниваться к • Третье слагаемое также имеет по т нулевое среднее, но зависит от t и т , при t —> со экспоненциально стремится к нулю равномерно по г и будет приравниваться к откуда vt+i находится интегрированием по г при фиксированном t. Таким образом, неизвестные функции определяются в следующем порядке

u0{t), wi (т), vi(i, г),и i(i), w2{t), v2{t, г),..., unit), wn+1{r),vn+i(t, т)

Сходимость и равномерная на полуоси [0, оо) точность порядка £n+1 обобщенного на полуось метода обуславливается тремя предположениями

1° существование решения задачи Коши

W)

{ и0(0) = х0,

2°. существование конечного экспоненциального предела щ(оо) у нулевого приближения uo(t),

3°. гурвицевость постоянной матрицы Л'(гго(оо)) Во втором параграфе обобщается на полуось метод усреднения для нелинейной задачи Коши с условно-периодическими коэффициентами

х(т) = ак(х)ег^к)т, х(0) = z0 kezm

и нерезонансным вектором и> Вектор со мы называем нерезонансным, если найдутся такие положительные постоянные j и ß, что для всех к G Zm/{0} выполнено |(ш, к)\ > ч\к\~Р. При этом техника отыскания приближенного решения аналогична таковой для задачи Коши с периодическими коэффициентами из первого параграфа Второй параграф можно рассматривать как естественное обобщение результатов предыдущего параграфа с периодической на условно-периодическую правую часть

В третьем параграфе развивается на полуось [0, оо) гибридный метод усреднения и погранфункций для сингулярно-возмущенной задачи Коши с периодическими коэффициентами

dx du

ß = /(*, У, r), ej-t = C{x)y + D(x, r), x(0) = a , y(0) = ß.

Отображения / и D предполагаются 2я--периодическими по г Приближенное решение ищется в виде функций двух независимых переменных г • xs(t, т, е) = u(t,е) + v(t, т, е) + я(т,е),

ys(t, т, е) = V(t, т, е) 4- П(г, е),

где u(t,e) = uo(t) + £щ({) + e2U2(t) + . — регулярная часть приближения, u(i,r,e) = ev\(i, r) + e2i>2(i,r) + . .,

r, e) - r) + ^(i, r) + e?V2(t,r) + ..

-быстроосциллирующие части приближения Функции уг имеют нулевое среднее по т на отрезке [0,2тх) Функции Vt(t, т) есть 27г-периодические по т решения линейного дифференциального уравнения Наконец, 7г(т,е) = ещ(т) + е27г2(£,т) + . , П(г,е) = По(т) +elli(r) +е2П2(т) + —пограничные части приближения, то есть 7г,(т) —► 0, П,(г) —► 0 при т —> оо Более того, эти пределы экспоненциальные

Сходимость и высокая равномерная точность обобщаемого на полуось метода доказывается с помощью обобщенного принципа сжимающих отображений А И Перова для банаховых пространств с векторной нормой Доказательство опирается на предположения (I) — (V)

(I). Стандартные требования гладкости

(II) Найдется такое g > О, что все собственные значения \(х) (г = 1,.. ,т) каждой матрицы С(х) лежат левее вертикальной прямой

Re(\i{x)) = —g, то есть

Re{\{х)) < -в, (х € Щ

(III). Нелинейная начальная задача для отыскания однозначно разрешима на всей полуоси [0, оо), ее решение щ(Ь) принадлежит области Vi б Rn вместе с некоторой своей окрестностью и непрерывно дифференцируемо до s-го порядка включительно

(IV) При t —► оо функция щ(i) имеет экспоненциальный предел щ(оо).

(V) Матрица линейных систем L(t) для отыскания ut(t) (г > 0) при t —> оо стремится к гурвицевой матрице L{oo)

Вторая глава посвящена математическому моделированию с использованием обобщенных в первой главе методов

Первый раздел второй главы посвящен рассмотрению достаточно общих нелинейных систем, описывающих быстрые колебания при больших высокочастотных внешних возмущениях С помощью модификации принципа усреднения Боголюбова -Крылова для бесконечной полуоси находится приближенные решения этих систем Приводится строгое доказательство теоремы о равномерной оценке невязки на полуоси [0, оо) Вторая глава имеет два параграфа

В первом параграфе второй главы рассматривается механическая система с большим параметром ш 1

А^и+В^+С^) = д(0) = а, #) = 0,т = чЛ

Функция внешнего возмущения Ф(д, т,и) имеет вид <%, т, и) = Ф0(г) + ш^Ф^д, г) +... + иГвФа(д,г) + . ,

ш тп

Фо(т) = К81Псо:31Т\>$?(<?>т) - X) Ц (<?)гт гг(<?)соэгт].

1=1 1=1

Приближенное решение строится в виде

где .. - медленные слагаемые. Функции у^, т), г»2т),..

зависят от двух переменных от быстрого времени т периодически с периодом 2я" и от медленного времени £

Во втором параграфе второй главы рассматривается дифференциально-алгебраическая система с одной линейной геометрической связью, удерживающей систему материальных точек на п — 1 мерной гиперплоскости

71

Мя)ч + ВШ + С(я) = т, ш), ад» = <*, ап ф 0.

1=1

Вектор нормали а = (а^. .,ап)т и число й известны

С помощью метода множителей Лагранжа связь исключается и для отыскания приближенного решения можно воспользоваться результатом первого параграфа второй главы

Второй раздел второй глава посвящен изучению явления синхронизации с помощью обобщенных в первой главе асимптотических методов и имеет четыре подраздела

В первом подразделе рассматривается п + гп + 4—мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений (1х с1ц

— = Ах{е)х + еиКгу + Х(х, е), = А2{е)у + еиК2х + У {у, е),

где 0 < е « V2 < V < 1, А\{е), А2{е),К1 и К2 - линейные операторы, А^е) Мп+2 —> Мп+2, А2(е) Мт+2 —► 1Г+2А(е) = А\ + еА\ + . , А2{е) = А1 + еА\+ , Кх .

Ет+2 -> к2 _ Мп+2 -, Кт+2_ Для неЛИНеЙНОСТеЙ

Х(х, е) и У (у, е) известны их степенные разложения по ж и у

Х{х, е) = Х3(х, е)+ХА{х, е)+.., У (у, е) = У3{у, е)+У4(у, е)+..

Предполагается, что операторы и А® имеют по два простых мнимых характеристических числа ±г, а остальные характеристические числа лежат в левой открытой комплексной полуплоскости и обе пары собственных значений ±г матриц А\{е) и А2{е) при малых е смещаются в правую открытую полуплоскость и, поэтому, рассматриваемая система при К\ — 0 и К2 = О распадается на две системы, в которых при некоторых условиях могут рождаться малые автоколебания Так как спектры матриц таким образом разделяются, применяется метод устойчивых гладких инвариантных интегральных многообразий В А Плисса, с помощью которого в малой окрестности нуля можно корректно перейти от рассматриваемой п + т + 4—мерной системы к четырёхмерной системе

^ = -m+£(bnm+b12T]2)+eu{qu^+qi2^)^l(v, О, 0)+Ф}(»7, 0,0)+ ,

J

Далее делается переход в последней системе к двум парам полярных координат г, а и д,/3 £1 = г cos а, ^ = г sin а, rji = ¿»cos/?,772 = ¿>sin/5 и приводится строгое математическое определение малых синхронных устойчивых автоколебаний Будем говорить, что при е = 0 имеет место бифуркация малых синхронных устойчивых автоколебаний, если существует такое £о > О, что при всех е из (0, £о] эта система имеет ненулевой орбитально-устойчивый предельный цикл Г(е) = {£i(i,e),6(£,£),7?i(i,e),772(i>£)}) обладающий тремя следующими свойствами-

1 Период цикла Г(£) стремится к 27Г.

2 <011, ||6(«,е)||, ||ift(i,e)||, |||й(«,е)|| = ОШ

3. Разность фаз имеет порядок v a(t, е) — ¡3(t, е) = 0{v).

В третьем подразделе на четырехмерном многообразии рассматривается система с перекрестными линейными связями Здесь эта система претерпевает ряд преобразований переход к полярным координатам, изменение масштаба, переход от четырех переменных (двух углов и двух амплитуд) к трем (разность углов и две амплитуды), усреднение по медленной угловой переменной После чего ищется положение равновесия усредненной системы Все эти преобразования нужны для того, чтобы воспользоваться Следствием 1.1 из первой главы

Если положение равновесия усредненной системы устойчиво по первому приближению, то любая траектория исходной системы с начальными условиями, близкими к этому положению

равновесия, экспоненциально стремится при /3 —> оо в малую 1

£2 —окрестность этого положения равновесия.

В четвертом подразделе выводится условие устойчивости синхронизации Трехмерная система линеаризуется в найденном положении равновесия и, используя критерий Рауса-Гурвица, выписывается неравенство, связывающие коэффициенты исходной системы

Здесь же резюмируются результаты второго раздела второй главы в форме теоремы Пусть выполнены условия (I) — (VI) Тогда в исходной п + тп + 4—мерной системе имеет место бифуркация малого синхронного устойчивого автоколебания

В пятом подразделе приведен пример механической системы, в которой возможны малые устойчивые синхронные автоколебания

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

1 Стрыгин В В , Северин Г.Ю Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных периодических и условно-периодических систем/ В В. Стрыгин, Г Ю Северин// Препринт №16 НИИ Математики ВГУ, изд-во ВГУ, Воронеж, сентябрь 2005, 33 С

2 Стрыгин В В , Северин Г.Ю. Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных условно-периодических нерезонансных систем/ В В Стрыгин, Г.Ю. Северин// Вестник ВГУ, серия "Физика, Математика", 2006, №1, С 199-203

3 Стрыгин В В., Северин Г Ю. Высшие приближения метода усреднения на полуоси/ В В Стрыгин, Г.Ю. Северин// Известия Российской Академии Наук. Дифференциальные уравнения, Рязань, изд-во РГУ, 2006, №11, С 203-207.

4 Северин ГЮ Асимптотика на полуоси [0, оо) одной механической системы с большими вибрациями/ Г.Ю Северин// изд-во ВГУ, Воронеж, Препринт №25 НИИ Математики ВГУ, 2007, ЗОС

5 Стрыгин В В , Северин Г.Ю , Корольков О Г Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близким частотами (общий случай)/ В В. Стрыгин, ГЮ Северин// изд-во ВГУ, Воронеж, Препринт №24 НИИ Математики ВГУ, 2007, 36С

6 Стрыгин В В , Северин Г Ю Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близким частотами/ В В Стрыгин, ГЮ Северин// Вестник ВГУ, серия "Системный анализ и информационные технологии", 2006, №2, С. 36-45

7 Стрыгин В В , Северин Г Ю. Гибридный метод на полуоси [0, оо) для нелинейной сингулярно-возмущенной задачи Ко-ши с быстроосциллирующими коэффициентами/ В В Стрыгин, Г Ю Северин// изд-во ВГУ, Воронеж, Препринт №28 НИИ Математики ВГУ, 2008, 24 С

Работы [2,6] опубликованы в изданиях, соответсвующих списку ВАК

Подписано в печать 11 04 08 Формат 60x84 Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 732

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, г Воронеж, ул Пушкинская, 3

1 Математические аспекты асимптотики нелинейных систем с осциллирующими коэффициентами и малым параметром на полуоси [0, оо)

1.1 Высшие приближения метода двух масштабов на полуоси для нелинейных систем с периодическими коэффициентами

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Основные определения и обозначения.

1.1.3 Формализм и вспомогательные леммы.

1.1.4 Оценка невязки. Теорема 1.1.

1.1.5 Следствие 1.1.

1.1.6 Скалярный пример построения асимптотики

1.2 Нелинейные условно-периодические нерезонансные системы на полуоси [0,оо).

1.2.1 Постановка задачи, основные определения, предположения и вспомогательные.

1.2.2 Формальное построение асимптотики

1.2.3 Оценка остаточного члена.

1.3 Высшие приближения гибридного метода на полуоси для нелинейных сингулярно возмущённых систем с периодическими коэффициентами.

1.3.1 Постановка задачи.

1.3.2 Вид асимптотики и пять основных предположений

1.3.3 Обоснование формально построенной асимптотики

1.3.4 Пример построения приближённого решения сингулярно возмущённой начальной задачи при помощи гибридного метода на всей полуоси.

Многие практические задачи механики, электродинамики, оптики и другие приводят к необходимости исследования колебательных систем. Вначале такие исследования проводились в рамках небесной механики [43]. Важнейшие результаты этого периода - локальная теория периодических решений Пуанкаре-Ляпунова, теория устойчивости Ляпунова, качественная теория динамических систем па плоскости Пуанкаре-Бендиксона, теория динамических систем Биркгофа.

Бурное развитие радио и электротехники повлекло создание новых методов исследования нелинейных колебаний. Математические основы метода усреднения были заложены в работах Н.Н Боголюбова. Н.М.Крылова, Ю.А.Митропольского и многих других исследованиях киевской научной школы [15]-[40]. Значительный прогресс при анализе многомерных систем с медленными и быстрыми фазами был достигнут в работах В.М.Волосова [10]-[11]. Он проанализировал приближения второго порядка. П.П.Забрейко, И.Б. Ледовская в [13] показали, как найти пс приближения на конечном отрезке [0, j] В дальнейшем этот подход был развит в работах Л.М.Перко [48]. Д.Кеворкян [46] и Д.Морисон [47], используя идеи метода многих масштабов, нашли новые приближения и порядка. В.В.Стрыгин предложил для построения п-х приближений использовать понятия, тесно связанные с задачами механики гироскопических систем [31]-[32]. В последние годы метод усреднения нашёл применение для анализа задач вибрации [37|-[38], а также для задач параболичсского типа [14].

Большинство задач, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживают ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и т.д. Мало того, если даже точное решение задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двояко-периодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений исследователи вынуждены обратиться к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов.

Наибольшую актуальность для практических целей представляют приближённые методы, дающие высокую и равномерную точность на всей числовой полуоси, так как, например, вибродинамика часто имеет практический интерес именно к длительным устойчивым процессам. Физическая природа таких явлений, как. например, синхронизация, подразумевает длительное наблюдение за исследуемыми объектами.

С быстрым ростом вычислительных мощностей современных компьютеров у исследователей появилась возможность корректно проводить численные эксперименты в построении приближённых решений высокой точности на очень больших отрезках. Но при разработке этих методов возникают естественные проблемы, связанные со скоростью сходимости, машинной погрешностью и т.д. Не так просто перенести на бесконечную полуось метод, успешно работающий на конечном, пусть даже на большом, отрезке!

Триста лет назад Х.Гюйгенс открыл явление синхронизации двух маятниковых часов, закреплённых на общей балке. Позже многие авторы обнаружили подобные явления в оптике, квантовой механике и т.д. Возникновение радиосвязи и электроники стимулировало бурное развитие в изучении синхронизации. Обширный обзор приложений можно найти в [23], где приведены самые разнообразные задачи из биологии, лазерной физики, акустики. Важные результаты из механики изложены в [5]-[6] И.И.Блехманом, который применил метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова для анализа динамических систем, достаточно строго поставил математические задачи о синхронизации динамических систем. В данной работе мы понимаем синхронизацию как И.И.Блехман: "Явление синхронизации состоит в том, что несколько искусственно созданных или природных объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные или вращательные движения с различными частотами (угловыми скоростями), при наложении подчас весьма слабых связей начинают двигаться с одинаковыми, кратными или находящимися в рациональных отношениях частотами., синхронизируемые объекты рассматриваются как равноправные элементы единой автономной системы."

Качественно новый подход к изучению явления синхронизации был предложен профессором Стрыгиным В.В. Этот подход опирается на теорию автоколебаний и метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова. Предложенным методом можно исследовать синхронизацию двух колебательных систем произвольных размерностей и природы (механической, оптической, электрической и др.). С помощью метода интегральных многообразий анализ двух исходных систем произвольных размерностей сводится к анализу двух двумерных систем. В диссертации синхронизация понимается в смысле определения, впервые данного профессором Стрыгиным В.В.

Целью данной работы было обобщение некоторых асимптотических методов на бесконечную полуось; применение этих обобщений к построению асимптотики приближённого решения для одной вибрационной задачи и к получению универсального алгоритма выявления бифуркации устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольных размерностей.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, изложенных на 104 страницах машинописного текста, включая 3 рисунка и список литературы из 54 наименований.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний/ М., 1959.

2. Бибиков Ю.Н., Плисс В.А. О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения, №3, Т.11, 1967, с.1864-1881.

3. Боголюбов Н.Н., Митронольский 10.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1963, 410с.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике/ Киев: Изд-во "Нау-кова Думка", 1969, 245с.

5. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем/ М.: Наука, 1971.

6. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике/ М.: Наука, 1981.

7. Бутенин Н.В. Элементы теории нелинейных колебаний/ Л.: Суд-промгиз, 1962, 195с.

8. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений/ М.: Наука, 1973.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений/ М.: Наука, 1990.

10. Волосов В.М Метод усреднения// Докл. Акад. Наук СССР, №2, 1961, с. 221-224.

11. Волосов В.М. Высшие приближения усреднений// Докл. Акад. Наук СССР, 2, с. 382-385, 1961.

12. Волосов В.М. Усреднение систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи Мат. Наук, 7, №17. с.1-126, 1962.

13. П.П.Забрейко, И.Б.Ледовская, Высшие приближения метода усреднения Боголюбова-Крылова// Докл. Акад. Наук СССР, 117, №2, с.1453-1456, 1966.

14. М.И.Каменский, О принципе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием// ДАН, 1994, т. 337, №3, с. 304-306.

15. Крылов Н.М, Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику/ Киев: Изд-во АН СССР, 1930.

16. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы/ М.: Наука, 1980, 360с.

17. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения/ М.: Наука, 1966, 530с.

18. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/ М.: изд-во технико-теоретической литературы, 1956, 491с.

19. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике/ М.: Наука, 1973, 512с.

20. Моисеев В.И. Асимптотические методы нелинейной механики/ М.: главная редакция физико-математической литературы, 1969, 379с.

21. Перов А.И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебаний/ Учебное пособие по специальности 01050(010200) -Прикладная математика и механика, Воронеж, изд-во ВГУ, 2005.

22. Перов А.И. Обобщённый принцип сжимающих отображений/ Вестник ВГУ, серия "Физика, Математика", 2005, №1, с. 196-207.

23. Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление/ М.:Техносфера, 2003, 493с.

24. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения// Известия АН СССР, № 28. 1964, с. 1297-1324

25. Северин Г.Ю. Асимптотика на полуоси 0, оо) одной механической системы с большими вибрациями/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт №25, 2007, 30с.

26. Стрыгин В.В. Смена устойчивостей и бифуркация малых автоколебаний систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной// ДАН СССР, №1, Т. 199, 1971.

27. Стрыгин В.В., Северин Г.Ю. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близким частотами// Вестник ВГУ, серия "Системный анализ и информационные технологии", 2006, №2. С. 36-45.

28. Стрыгин В.В., Северин Г.Ю., Корольков О.Г. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близким частотами (общий случай)/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт №24, 2007, 36с.

29. Стрыгин В.В., Северин Г.Ю. Гибридный метод на полуоси 0, оо) для нелинейной сингулярно возмущённой задачи Коши с быстроос-циллирующими коэффициентами/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт №28, 2008, 24с.

30. Стрыгин В.В., Северин Г.Ю. Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных условно-периодичес-ких нерезонансных систем// Вестник ВГУ, серия "Физика, Математика", 2006, JV°1, С. 199-203.

31. В.В.Стрыгин, Об одной модификации метода усреднения при отыскании высших приближений// Прикл. Мат. и Мех. 48, No.6, 1984, с. 1042-1045.

32. Стрыгин В.В., Об асимптотическом интегрировании уравнений движения механических систем под действием быстро осциллирующих сил// Прикл. Мат. и Мех. Т53, №.3, 1989

33. Стрыгин В.В., Северин Г.Ю. Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных периодических и условно-периодических систем/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт №16, сентябрь 2005, 33с.

34. В.В. Стрыгин, Д.Г. Есипенко, Гибридный метод построения асимптотики для нелинейной сингулярно возмущённой задачи Коши с быстроосциллирующими условно-периодическими коэффициентами// Дифференциальные уравнения, Т.34, N.3, 1998, с 320-329.

35. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий// М.: Наука, 1988.

36. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах/ М.: Мир, 1966, 229с.

37. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть 1., // Ростов-на-Дону. 2003.

38. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть 2., // Успехи механики, 200G.

39. N.N. Bogolubov, Yu. A. Mitropolski, The Metod of Integral manifolds in Nonlinear Mechanics// In Contributions to Differential Equations. 2 New York, J.Wiley and Sons Inc., p. 123-196, 1963.

40. Yu. Mitropolski, Averaging Method in Nonlinear Mechanics// Int. J.Nonlinear Mechanics (2), p.69-96, 1967.

41. Delahney, M., Theorie du mouvement de la Lune, 1, 1860, 2, 1867. Memoires de l'Academie des Sciences de la France 28.

42. Fatou, P., Sur le mouvement d'un point material clans un champ de gravitation fixe/ Acta Astron. 2. 101, 1931.

43. Gauss,C.F., Determinatio attractionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis quo singulae partes describuntur unifoi miter esset dispertita, Werke 3, 331-335 1818, Gottingen, 1876.

44. Kelley A. Changes of variables near a periodic surface or invariant manifold// Trans. Amer. Math. Soc., №2, T.131,1968, p.356-364.

45. Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds// J.Different. Equations, №4, 1967, p. 546-570.

46. J.Kevorkian, The uniformly valid asymptotic representation of the solution of certain nonlinear ordinar}' differential equations/ Doctoral thesis, California Institute of Technology, Pasadena, 1991.

47. J.A.Morrison, Comparison of the modified method of averaging and the two variable expansion procedure// SIAM Rev. 8, p.66-85, 1966.

48. L.M.Perko, Higher order and related methods for perturbed periodic and quasi-periodic systems// SIAM. J. Appl: Math. 17, N№4 1968.

49. J.A.Sanders, F.Verhulst,Averaging methods in nonlinear dynamical systems// Springer-Verlag, New York, p.94-98, 1985.

50. V.V.Strygin, D.G.Yesippenko, Method of separation of movement and finding of higher order averaging for nonlinear systems with quasi-periodic coefficients// Nonlin. World 3 (1996), Walter de Gruyter, Berlin-New York, p.807-834, 1996.

51. V.V.Strygin, The Principles of averaging in the theory of nonlinear oscillations and the separation of movements// Z. Angew. Math. Mech. 66, №.11, p. 560-561, 1986.

52. Van der Pol, В., A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations/ Radio review, 1, p. 701-754, 1920.

53. F.Verhulst, Nonlinear differential equations and dynamical systems// Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, p.161-168, 1990.