автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Краевые задачи в моделировании формования волокна

На правах рукописи

Дрегля Алена Ивановна

краевые задачи в моделировании формования волокна:

аналитические и численные методы

05.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 АПР 2013

Иркутск - 2013

005052116

005052116

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Иркутский государственный университет" Научный руководитель: Сидоров Николай Александрович доктор физико-математических наук, профессор Официальные оппоненты: Иванов Федор Илларионович доктор физико-математических наук, профессор, Иркутский государственный университет, Институт математики, экономики и информатики, профессор кафедры прикладной алгебры и защиты информации Чистяков Виктор Филимонович доктор физико-математических наук, Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ульяновский государственный технический университет" Защита состоится 17 мая 2013 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003. г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20, Институт математики, экономики и информатики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета.

Автореферат разослан 28 марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент Антоник Владимир Георгиевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава полимера. В настоящее время возросла потребность в оптоволокнах, гипоаллергенных тканях и тканях с определенными свойствами (водоотталкивание, влаговпитывание и др.). Для повышения эффективности производства необходимо развивать методы математического моделирования технологических процессов. Моделирование взаимодействия волокна и воздушных потоков является достаточно сложной задачей. На свойства волокна влияют скорость потока воздуха в процессе охлаждения, поверхностное натяжение волокна в жидком состоянии, молекулярная структура полимера и другие факторы.

Одним из способов исследования поведения полимера при различной вязкости и оценки его свойств является метод использования краевых задач. Проблему математического моделирования с указанием алгоритмов расчетов рассматривали Глауэрт и Лайтхилл1, Сакиадис2, Ссбан и Бонд3, Ришелье, Тассе и Рейтмюллер4, Шишкин Г.И.5 и др. Соответствующие модели строились и исследовались в работах Шона, Брюна6, Гота7 и др.

Согласно экспериментам, пограничный слой, в котором строилось решения, являлся логарифмическим профилем скоростей. Но обоснования выбора такого профиля нигде не давалось, так как асимптотики решений обычно строились формально.

Физико-технические модели, связанные с формованием волокна, сводятся к исследованию систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных

1 Olaucrt. М.В., Lighthill M.J. The axisymmetric boundary layer oil a long thin cylinder // Proc. of the Royal Socicty of London. Series A, Mathematical and Physical Scicnccs. 1955. Vol. 230, Issue 1181. P. 188-203.

2Sakiadas B.C. Boundary layer behaviour on continues solid surface, AIChE J. 1961. Vol. 7, Issue 2. P. 221-225.

3Seban R.A., Bond II. Skin-friction and heat transfer characteristics of a laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow j j J. Aeronaut. Sci. 1951. Vol 18. P. 671-675.

4llichelle E., Tasse R., Riethmuller M.L. Momentum and thermal boundary layer along a slender cylinder in axial flow // International Journal of Ileal and Fluid Flow. 2003. Vol. 10, Issue 2. P. 99-105.

5Farrel P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., Shishkin G.I. Robust computational techniques for boundary layers. Boca Raton: Chapman and Hall CRC Publ., 2000. 256 p.

6Schone A., Briinig H. Modeling a multifilament spinning // Arch. Mech. 1990. No. 42. P. 571—582.

7Gotz T. Interactions of fibers and flow: asymptotics theory and numerics / PhD Thesis, University of Kaiserslautern, 2000.

производных. В литературе, посвященной теории и приложениям моделирования формования волокна, известен ряд математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных (краевые задачи Прандтля, Блазиуса и др.), но нет обзоров и систематизации соответствующих моделей формования волокна.

Таким образом, в широком спектре краевых задач, связанных с процессом формования волокна из расплава, остался ряд нерешенных проблем, как с точки зрения теоретического обоснования используемых аналитических методов, так и с точки зрения вычислительных методов. При моделировании производства синтетических волокон нередко использовались эвристические методы. Сходимость рядов не доказывалась, основную роль играли экспериментальные данные. Например, в статье Глауэрта и Лайтхилла1 предполагалось, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Так как физико-технические модели, связанные с формованием волокна, сводятся к нелинейным моделям, описываемым уравнениями в частных производных типа Навье - Стокса, то актуальными являются следующие проблемы: моделирование пограничного слоя в случае аксиальной симметрии волокна, редукция краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса, решение сингулярной краевой задачи на полуоси, исследование краевой задачи в моделировании теплообмена в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем, доказательство существования решений краевых задач, возникающих при моделировании формования волокна.

Исследование указанных проблем и составляет содержание данной диссертационной работы.

Цели работы. Исследование математических моделей, описывающих процесс производства полимеров, построение аналитических методов, разработка вычислительных алгоритмов и комплекса программ, предназначенных для изучения поведения полимера с различной вязкостью.

Основные задачи работы:

— исследование математических моделей, описываемых уравнениями в частных производных типа Навье - Стокса, сводимых к обыкновенным дифференциальным уравнениям;

— постановка и решение краевых задач с целью вычисления важных ха/-рактеристик модели с учетом вязкости;

— исследование вопросов существования решений, построения точных и приближенных решений;

— разработка алгоритмов и программного обеспечения для осуществления экспериментов с построенными моделями на ЭВМ;

— проведение вычислительных экспериментов с использованием адаптивных сеток.

Методы исследования.

В работе используются методы математического моделирования, гидродинамики, вычислительной математики, элементы теории дифференциальных уравнений.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

— систематизированы и исследованы основные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих технологию формования волокна;

— доказаны теоремы существования решения краевых задач погранслоя, предложен асимптотический метод построения решений краевых задач в математических моделях формования волокна, доказана сходимость соответствующего ряда;

— проведена редукция краевых задач в моделях с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям, построены точные решения в ряде моделей, отвечающих различным профилям скорости потока.

— разработан и апробирован программный комплекс численного решения нелинейной краевой задачи Блазиуса для математического моделирования формования волокна, получено свидетельство № 2012616439.

Научная новизна:

— впервые доказаны теоремы существования решений краевых задач теории пограничного слоя, возникающих в математических моделях формования волокна;

— разработан аналитический метод построения решений в одномерных стационарных моделях с краевыми условиями, установлена и впервые доказана сходимость рядов в асимптотическом методе Глауэрта - Лайтхилла;

— построено разрешающее уравнение относительно функции тока и точные решения для двухмерных нелинейных систем Блазиуса;

— для краевой задачи Блазиуса предложены и исследованы численные методы, разработан и зарегистрирован комплекс программ.

Соответствие специальности. В диссертации разработаны аналитические методы решения краевых задач пограничного слоя, возникающие в математических моделях процесса формования синтетических волокон. Проведены исследования разрешимости соответствующих систем уравнений, доказаны теоремы о существовании решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя сеточные методы Шишкина, построены устойчивые методы решения краевых задач с большими диапазонами изменения числа Рейнольдса, разработан комплекс программ и проведены вычислительные эксперименты.

Теоретическая и практическая значимость диссертации лежит в области систематизации гидродинамических меделей формования волокна, развития аналитических методов и алгоритмов, построения и реализации комплекса программ для решения краевых задач, возникающих в технологиях производства полимеров. В работе описан алгоритм получения пограничного слоя разной геометрии и вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости. Кроме того, вычислена толщина пограничного слоя для различных значений вязкости с высокой точностью. Разработанный устойчивый численный метод и его теоретическое обоснование могут использоваться на практике для исследований структуры и поведения вязких жидкостей в состоянии покоя и в движении при конкретных параметрах.

Исследования проводились в рамках следующих программ: тема НИР задания Федерального агентства по образованию (проект 091-08-102/1.2.08); Федеральная целевая программа "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 годы (госконтракты № П696 и № 14.В37.21.0365). Работа выполнена при частичной поддержке Дублинского

технологического института (Ирландия) и компании Kliiber Lubrication.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

— III Международная школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи", 2012 г., Иркутск;

— 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, ICIAM 2007, (минисимпозиум NR . IC/MP/015/S/111) Zurich, Switzerland;

— Международная конференция по вычислительной математике МКВМ-2004, 2004 г., Новосибирск;

— Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, 2005 г., Новосибирск;

— Международная конференция "Тихонов и современная математика", 2006 г., Москва;

— Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа, 2007 г., Новосибирск;

— International Congress "Nonlinear Dynamical Analysis - 2007" dedicated to the 150th anniversary of Academician A.M. Lyapunov, 2007, SPb, Russia;

—IX Международная четаевская конференция "Analytical Mechanics, Stability and Control of Motion", 2007 г., Иркутск.

— V Международная конференция "Inverse Problems: Identification, Design and Control", 2007 г., Москва;

— XIII и XIV Байкальские международные школы-семинары "Методы оптимизации и их приложения", 2005 г. и 2008 г., Северобайкальск - Иркутск;

— VI Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", 2005 г., Новосибирск;

— GAMM (Gesellschaft fur Angewandte Mathematik und Mechanik) Annual Scientific Conference, 2003, Padua, Italy;

— Международная конференция по вычислительной математике СМАМ-1, 2003 г., Минск;

— The Second Annual Workshop on Numerical Methods for Problems with Layer Phenomena, 2003, Limerick, Ireland;

— The Third Stokes Summer School, 2002, Skreen, County Sligo, Ireland. Автор благодарит профессоров Д. Гильберт, Г.И. Шишкина, Н.А. Сидо-

рова и член-корреспондента РАН В.В. Пухначева за внимание и полезные советы.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 15 работ в которых отражено её основное содержание. В число указанных работ входят 5 статей [1]-[5] в журналах из перечня рецензируемых научных журналов ВАК РФ, 1 монография [6], 2 статьи в научном журнале [12], [15], 6 полных текстов докладов [8-11], [13], [14] в материалах всероссийских и международных конференций, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [7].

В совместных публикациях [2], [3], [8-11], [13] автору принадлежат численные и некоторые аналитические расчеты. В диссертационную работу включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, заключения и списка литературы содержащего 81 наименование. Общий объём диссертации составляет 141 стр., включая 18 рисунков и 12 таблиц.

Во введении дана техническая постановка проблемы и обоснована ее актуальность, приведен обзор литературы и результатов в этой области, сформулированы задачи диссертационного исследования. Приведено краткое содержание диссертации и ее основные результаты.

Первая глава посвящена аналитическому обзору и исследованию некоторых краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокон. Приводятся результаты расчетов, выполненных автором (согласно ее монографии [6]). Основное внимание уделено четырем моделям, вытекающим из системы уравнений Навье - Стокса.

В п. 1.3, гл. I рассмотрена система уравнений Прандтля4

Содержание работы

ди ди

1 дР д2и

ди dv дх ду

описывающая "почти"параллельные течения.

Получены точные решения для скорости потока в аксиальном и радиальном направлении.

В п. 1.4 изложены расчеты автора по вычислению скорости в аксиальном направлении. С помощью коэффициентов построенной асимптотики вычислена толщина пограничного слоя при различных значениях вязкости.

В п.1.4.1 рассматривается математическая модель формования волокна в случае потока с аксиальной симметрией. Для такой модели система пограничного слоя имеет вид3

ди dv v

7Г+ 7Г + —— = W

ах оу а + у ди ди /д2и I ди\ дх ду \ду2 а Л-уду)'

Построены классы точных решений. С помощью точных решений указан алгоритм получения пограничного слоя разной геометрии и вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости.

Если а — const то система (I) и (2) имеет точное решение

и = Ci In (а + у) + с2, v = 0.

Такое решение назовем логарифмическим профилем. Если а — функция от у, то система (I) — (2) имеют точное решение

и =

С2 + Ci J е f "W+vdy,

v = 0.

Профиль пограничного слоя определяется конкретным выбором функции а(у). При а — const и v ф 0 система (I) и (2) имеет и другой класс точных решений:

v ,

и = с3 + с2—(о + у) - , Ci

С1

V = —-,

а + у

где с\, С2, сз — произвольные постоянные. Такое решение назовем гиперболическим профилем в радиальном направлении и параболическим в аксиальном.

В п. 1.4.2 приводится редукция уравнения импульсного пограничного слоя в частных производных к краевой задаче на полуоси для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка.

В п. 1.4.3 с помощью замены и подбора параметров эта краевая задача сведена к задаче Коши. Приведены результаты численного решения.

В п. 1.4.4 для исследования краевой задачи, моделирующей тепловой процесс в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем, применен асимптотический метод Кармана - Польгаузена7 для поиска распределения температуры и оценки скорости теплопроводности. Возникающее при этом дифференциальное уравнение интегрируется числено методом Рунге — Кутта 5-го порядка, приведены результаты расчетов. Результаты согласуются с ранее построенной асимптотикой в пределах 5% на больших расстояниях от фильеры.

Далее исследуется краевая задача, возникающая при моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем. Уравнения пограничного слоя здесь имеют вид3

+ = (3)

ди ^ ди _ р д / ^

дх дг г дг\ дг у' идТ + ^дТ_ _ кд_ дх дг г дг \ дг) Параметрические семейства точных решений этих уравнений, зависящих только от г, строятся в квадратурах:

С1 1 .

V = —, и = С11/Г" + С2,

Г

Т = С1 кг* + с3, и = с11пг + с2, Т = с31пг + с4, V = О,

где cj,...,c4 —const. Учитывая граничные условия

и\ = U0,v\ =0,Т\ =Т0,

I г=а I г—а 1 \т-а

lim и = 0, lim V = 0, lim Т = Тос,

г—У оо ?—»оо г—юо

строится разрывное решение краевой задачи (3) — (5) в замкнутой форме: u = <t a<r<R>

R < г < оо,

T=|T0+^lnJ, a<r<R, [T^, R<r< oo.

В п. 1.4.5 рассмотрено моделирование теплопередачи от движущегося волокна. Здесь изучена система уравнений4

¿(«о + ¿м = 0. (6)

+ v®U — и ^ ( (7)

дх дг г дг \ дг J'

дТ дТ V д { дТ\

"to + W * = Л* ■ (8)

Показано, что система (6) - (8) имеет два класса параметрических семейств точных решений, зависящих только от г :

С1 . С2 1 Г 1 _Pl£l ,

V = —, и = сз Н--1/Г", 1 = es + С4 / —е аг,

г Ci у г

V = О, и = С\ In Г + С2, Т = С'з In Г + С4.

Далее изучается система

<ЭУ

(1 + XY)

d2F

д_ dY

(1 + ХУ)

dY2 <9G

d2F

dF d2F dF d2F

dY +PF§ + PX

dX dY2 dY dXdY dF_dG_ _ dF dG dX dY ~ WdX

= 0, = 0,

(9) (10)

к которой уравнения (6) — (8) преобразованы с помощью замены переменных (см. статью8).

Crane L.J. Heat transfer on continuous solid surfaces // Ing. Arch. Bd. 1974. Vol. 43. P. 203-214.

В п. 1.4.6 доказана теорема существования разрывного решения системы (9), (10) с начальными и граничными условиями.

Теорема 1. Существует Я > 0 такое, что в области Б = {0 < х < г, 0 < у < оо}, где 0 < г < Я, уравнения (9)-(10) имеют решение

F =

G =

F(X, Y), 0 < Y < R, 0 < X < R, с, R < Y < оо,

\G{X,Y) о <Y < R,0 < X < R, to, R < Y < 00.

Здесь с — const, функции F(X,Y), G(X,Y) определяются однозначно как единственное решение уравнений (9), (10) с начальными условиями

F(X, 0) = 0, F^(X, 0) = 2, 0) = а(Х),

G(X,0) = 1, GY(X,0) = b(X), где а(Х), b(X) фиксированные функции, аналитические при 0 < X < г;

dF

lim = 0, lim G = 0

y-ico Oy 3/-юо

В п. 1.4.7 рассмотрены уравнения, моделирующие пограничный слой в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна9:

du dv V

7Г + + = 0' п)

ох ду а + у

du ^ ди _ /д2и 1 pUdx pVду ^ \ду2 а + у ду J '

дТ ЗТ к 9/. 1 .

U^- + V1T = -( , \(a + y)lT + -(13)

дх ду рср(а + у)ду \ ду J pep

Построено точное решение и(у), v(y), Т{у) системы (11) - (13), зависящее

только от у:

V = 0, и = ci 1п(а + у) + с2,

9Sweetlaiid M. and Lienhard J. Evaporative cooling of continuously drawn glass fibres by water sprays // Int. J. Heat Mass Ttansfer. 2000. Vol. 43. P. 777-790.

Че У

,2

а

Т(у) = с4 + с3 1п(а + у)

к 4

j +-(У - 1п(а + у)) .

В п. 1.4.8 рассмотрены уравнения пограничного слоя в постановке Л. Крайна8. Построены точные решения.

Вторая глава состоит из двух частей. В п. 2.1.1 изложены вспомогательные сведения из нелинейного анализа и теории уравнений в частных производных.

В п. 2.1.2 доказана теорема существования классического решения нелинейной краевой задачи

теории пограничного слоя на конечном интервале.

Теорема 2. Пусть функция R(x, t) определена и непрерывна на компакте

Доказательство теоремы 2 проведено с помощью принципа неподвижной точки Шаудера путем сведения задачи (14) — (15) к решению нелинейного интегрального уравнения.

В п. 2.1.2 доказана теорема существования и единственности классического решения двухточечной нелинейной краевой задачи погранслоя. Теорема дала возможность получить достаточные условия существования и единственности классического решения с краевыми условиями на неограниченном полуинтервале. В п. 2.1.3 рассмотрено уравнение

с малым параметром Л при старшей производной.

Предлагаемые численные алгоритмы решения этой задачи требуют на каждом шаге решить линейную двухточечную сингулярную задачу с малым параметром при старшей производной. В п. 2.1.4 рассмотрена регуляризация

x"'(t) + R(x(t),t)x"(t) = О, а < t < ß, х(а) = а, х'(а) = b, x(ß) = с

(14)

(15)

= /КЛ)> Mli=o = 0,«|i=i = 0

dt2

этих вычислительных алгоритмов на конкретном примере. Приведен иллюстративный пример вычислений для прямого численного решения такой сингулярной линейной краевой задачи. При численном решении сингулярных краевых задач процесс эффективно регуляризируется с помощью адаптивных сеток Г.И. Шишкина5, получивших в литературе название робастных.

В п. 2.2.1 рассмотрено построение аналитических решений задачи Коши для модели Глауэрта-Лайтхилла1, описывающей течение в осесимметричном пограничном слое несжимаемой жидкости

д{а(х) + у)и + д(а{х)+у)у = 0 дх ду '

ди ди _ /32м 1 ди\ .

дх ду \ду2 а(х) + у ду/'

с начальными условиями

Як

= Р(х), (18)

и\ .= и! п= о, ^ 1у=о |у=о ' ду

у=о

где функция а(х) определена при < Л, \у\ < р. Доказана теорема существования аналитического решения этой задачи.

Теорема 3. Пусть

а(х) : I С Я'

- аналитическая функция. Тогда найдется окрестность \у\ < г такая, что система (16), (17) с начальными условиями (18), где /3(х) — аналитическая функция в области I, имеет при |у| < г в классе аналитических функций единственное решение. Это решение представимо в виде равномерно сходящихся рядов

и = щ(х)у\ у = ч{х)у\ ;>1 ¿>2

Доказательство теоремы использует замену

1 др 1 др -,у = —

а(х) + уду' а(х) + у дх

и решение задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных 3-го порядка относительно функции тока р(х).

Для определения коэффициентов асимптотики выведены рекуррентные формулы. Построено решение, где первые три члена совпали с формальной асимптотикой Кармана - Польгаузена, построенной в работе Глауэрта и Лайтхилла1. На основе полученных формул асимптотики построены графические иллюстрации распределения скорости. На рис. 1, 2 представлены распределения скорости в аксиальном направлении для различных значений вязкости:

пи-1.осюо пи = .50000 пи-.41667е-1

Рис. 1: Распределения скорости в аксиальном направлении при различной вязкости в случае асимптотики третьего порядка

Рис. 2: Распределения скорости в аксиальном направлении при различной вязкости в случае асимптотики пятого порядка

В случае, представленном на рис. 1, использовалась асимптотика третьего порядка и влияние вязкости при распределении скорости в аксиальном направлении не прослеживалось. В случае рис. 2 использована асимптотика пятого порядка, где в четвертом и пятом коэффициентах вязкость присутствует явно.

В п. 2.2.2 рассматривается построение решений в модели Глауэрта и Лайтхилла (16) - (17) методом последовательных приближений.

Таким образом, в итоге показано, что решение задачи Коши в модели Глау-эрта - Лайтхилла (16) — (17) можно строить методом неопределенных коэффициентов в виде рядов или методом последовательных приближений. Для определения коэффициентов разложения получены рекуррентные формулы, в которых установлена зависимость от вязкости.

В п. 2.3 рассмотрена модель Блазиуса [1]:

ди ди _ 1 /д2и 1ди^ дг дг Яе \дг2 г дг у дги дгу дх дг

Получено точное решение при линейном выборе радиуса волокна, построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений системы Блазиуса, моделирующей процесс обтекания плоской пластины.

В третьей главе описан алгоритм решения уравнений Блазиуса с помощью решения краевой задачи

Пл) + 1ШЪ) = о, (19)

/(0) =/'(0) = о, Нт/'(77) = 1. (20)

Г]->00

Интервал [0, оо) разбивался на два интервала [0,1/] и \Ь, оо]. Формулы (19), (20) с учетом замены переменных £ = ет] и обозначений £ = к£ = f' переписывалась в виде:

еШ) + Н0К(0 = о, (21)

МО) = 0, ке( 1) = 1, (22)

где /г(0) = 0 и /г(С) = О(С) Для всех С > е- Далее строился алгоритм решения сингулярно возмущенной краевой задачи (21)-(22) с малым параметром е с помощью метода адаптивных сеток Г.И. Шишкина5.

В п. 3.1.2 изложен алгоритм нахождения решения и производных. Вводится сетка I^ = {щ : щ = гИ^Ьк, 0 < г < N}Q , на подинтервале [0, Ьц] и строятся приближения ^, Б+Р и 0+Б+Р для Д, и на узлах сетки

Используется разностная схема:

52(D~ F)(ra) + F(Vi)D+(D-F)(ni) = О, F(0) = D+F{0) = 0, D°F{77ÍV-I) = 1, для всех t]í G , 2 < i < N — 1. Далее для построения функции u,v в модели Блазиуса использовалась сетка = {(a^jfj)} с числом итераций М = 8\nN и числом узлов сетки N = 16384, где Xi = i + h,

{2ja/N при 0 < j < N/2, а + (2 (i - N/ 2)(1 - <t))/N при N/2 <j<N Параметр а выбирается согласно методу Г.И. Шишкина5 по формуле

<т = mini i, . lnjvl. 12 v^ J

Результаты вычислений приведены в табл. 1-3.

Таблица 1: - максимальная погрешность, В" - двухсеточная разность, - порядок

т? 7"

сходимости для четверной точности для Ь на 1и ._

N 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

en dn PN 0.018727 0.007741 0.67 0.011030 0.004851 0.80 0.006181 0.002788 0.83 0.003393 0.001567 0.85 0.001826 0.0008070 0.86 0.000956 0.0004878 0.87 0.000478 0.000261 0.88 0.000217 0.000141 0.89

Таблица 2: Е" - максимальная погрешность, Ок - двухсеточная разность, ргя .... н сходимости для четверной точности для П+Р на 1и . — порядок

N 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

en dn PN 0.001266 0.000607 1.04 0.000679 0.000296 0.77 0.000386 0.000174 0.83 0.000212 0.000098 0.85 0.000114 0.000054 0.86 0.000060 0.000030 0.87 0.000030 0.000016 0.88 0.000014 0.000009 0.89

Таблица 3: Е" - максимальная погрешность, Б14 - двухсеточная разность, рк - —N сходимости для четверной точности для .О+.О4^ на /„ . — порядок

N 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

en dn PN 0.006279 0.002669 0.75 0.003608 0.001585 0.80 0.002023 0.000910 0.83 0.001112 0.000513 0.85 0.000599 0.000285 0.86 0.000314 0.000157 0.87 0.000157 0.000086 0.88 0.000071 0.000046 0.89

Таким образом, разработан устойчивый к вязкости численный метод решения задачи Блазиуса, позволяющий находить скорость, толщину пограничного слоя и коэффициент трения.

Автором написан программный комплекс [7], использовавшийся при этих расчетах.

Программа обеспечивает выполнение следующих функций:

— графическое построение решения краевой задачи Блазиуса, ее первой и второй производной;

— графическое построение скорости потока в аксиальном и радиальном направлении;

— построение таблицы ошибок и порядок сходимости.

Используемый инструмент позволяет проводить вычисления с высокой точностью со скоростью сходимости порядка один.

В заключении подведены итоги проделанной работы и перечислены основные научные результаты диссертации.

Основные публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах,

рекомендованных ВАК:

1. Дрегля А.И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров / А.И. Дрегля // Сиб. журн. ин-дустр. -математики " 2008. - Т. 11. - С. 61-70.

2. Dreglea A. Melt Spinning Process Modeling: Existence of Nonlinear PDE Systems' Analytical Solution / A. Dreglea, D. Sidorov // Thermal Processes in Engineering. - 2009. - Vol. 11. - P. 500-512.

3. Дрегля А.И О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в секториальных окрестностях / H.A. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев, А.И. Дрегля // Мат. заметки. - 2012. - Т. 91. - С. 120-135.

4. Дрегля А.И. О применении преобразования Себана — Бонда и теоремы Коши - Ковалевской в одной краевой задаче для системы Навье - Стокса / А.И. Дрегля // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2012. - Т. 5, № 3. - С. 32-40.

5. Дрегля А.И. О разрешимости одной краевой задачи в моделях пограничного слоя / А.И. Дрегля // Соврем, технологии. Систем, анализ. Моделирование. - 2012. - № 4. - С. 27-30.

Монография:

6. Дрегля А.И. Краевые задачи в моделировании формования волокон, аналитические и численные методы / А.И. Дрегля; LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG. - Sarbrucken, 2012. Germany. - 110 c. - ISBN: 9873-8484-8621-2.

Другие научные публикации:

7. Дрегля А.И. Программный комплекс численного решения нелинейной краевой задачи Блазиуса для математического моделирования формования волокна: свидетельство 2012616439 / А.И. Дрегля (RU); правообладетель ФГБОУ ВПО "Иркутский государственный университет", 17 июля 2012. -2012614220; заявл. 24.05.2012; зарегистр. 17.07.2012, реестр программ для ЭВМ.

8. Dreglea A. Heat Transfer from a Stationary Glass Fibre Which is Being Cooled by Water Sprays / A. Dreglea, B. Redmond // Proc. of the Annual Scientific Conference GAMM 2003, Abano Terme - Padua, Italy, 2003. - P. 23-24.

9. Dreglea A.I. Robust Numerical Method Based on Blasius Approach for a Flow Past Flat Plate For Large Refnolds Numbers / A.I. Dreglea, G.I. Shishkin // Proc. of Irish Soc. Sci. and Eng. Comput.: Ann. Symp., Irish Soc. Sci. and Eng. Comput. Publ., - Belfield, Dublin, Ireland, 2003, - P. 14.

10. Dreglea A.I. Robust Numerical Method Based On Blasius' Approach For Flow Past a Flat Plate in The Case Of Heat Transfer For Large Reynolds Numbers / A.I. Dreglea, G.I. Shishkin // Abstracts of the International Conference CMAM-1, Minsk, Belarus, Editorial Board of the Journal "Computational Methods in Applied Mathematics", 2003. - P. 19-20.

11. Dreglea A. I. Robust Numerical Method For a Singularly Perturbed Equation With Unboundedly Growing Convective Term at Infinity / A.I. Dreglea G.I. Shishkin // Proc. of Intl. Conf. on Computational Mathematics (ICCM-2004), eds. / G.A. Mikhailov, V.P. Il'in, Yu.M. Laevsky ; Inst, of Сотр. Maths

and Math. Geoph. Publ. - Novosibirsk, 2004 - P. 835-838.

12. Дрегля А.И. О существовании непрерывных решений в одной модельной задаче теории пограничного слоя / А.И. Дрегля // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2007. -Т. 1, К» 1. - С. 113-117.

13. Dreglea A.I. Continuous Solutions of Some Boundary Layer Problem / A.I. Dreglea, N.A. Sidorov // Proc. in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM Journal). Special Issue: Sixth International Congress on Industrial Applied Mathematics (ICIAM07) and GAMM Annual Meeting. - Zurich, 2007 - Vol. 7(1). - P. 2150037-2150038.

14. Dreglea A.I. Some Analytical Solutions of the Glauert-Lighthil and Blasius Systems in the Theory of Modelling Polymers / A.I. Dreglea // Proceedings of 9th International Chetayev Conference "Analitical Mechanics, Stability and Control of Motion". Vol. 5. - Irkutsk, 2007. - P. 108-117.

15. Дрегля А.И. О решениях одной нелинейной краевой задачи на полуоси с малым параметром / А.И. Дрегля // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2009. -Т. 2, № 1. - С. 313-316.

Научное издание

Дрегля Алена Ивановна

краевые задачи в моделировании формования волокна: аналитические и численные методы

Автореферат

Подписано в печать 2G.03.2013. Формат 60x90 1/16 Усл. печ. л. 1,2. Тираж 150 экз. Заказ 5

Издательство ИГУ 6G4003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 36

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Иркутский государственный университет"

На правах рукописи

04201358202 ^ '

Дрегля Алена Ивановна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МОДЕЛИРОВАНИИ ФОРМОВАНИЯ ВОЛОКНА: аналитические и численные методы

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Н.А. Сидоров

ИРКУТСК — 2013

Оглавление

Список обозначений 4

Введение 6

1 Математические модели формования волокна: аналитический обзор 20

1.1 Математические модели пограничного слоя, возникающего при формовании волокна............... 20

1.1.1 Формование волокна (технический аспект) .... 20

1.2 Точные решения уравнения Навье-Стокса для слоистого плоскопараллельного течения без учета массовых сил. . . 22

1.2.1 Плоское течение Пуазейля.............. 23

1.2.2 Плоское течение Куэтта...............24

1.3 Приближенные решения уравнений Навье-Стокса для течения с пограничным слоем................ 25

1.4 Математическая модель формования волокна в случае потока с аксиальной симметрией.............. 31

1.4.1 Осевая симметрия пограничного слоя вдоль длинного тонкого цилиндра.............31

1.4.2 Вывод краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса...................41

1.4.3 Решение сингулярной краевой задачи на полуоси . 44

1.4.4 Краевая задача в моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем.......48

1.4.5 Теплопередача от движущегося волокна...... 55

1.4.6 Теплообмен на малых расстояниях от фильеры . . 57

1.4.7 Краевые задачи в теории охлаждения испарением

в процессе формования стекловолокна ......67

1.4.8 Модель испарения пограничного слоя неподвижного волокна в подвижном воздухе......... 71

2 Некоторые аналитические методы возникающих при моделировании формования волокна 81

2.1 Существование решений краевых задач в задачах с пограничным слоем....................... 81

2.1.1 Некоторые сведения из нелинейного анализа ... 82

2.1.2 Нелинейные операторные уравнения с параметром 83

2.1.3 Теорема Коши-Ковалевской.............84

2.1.4 Теоремы существования решений нелинейных краевых задач .................... 85

2.1.5 Решение краевых задач на неограниченном интервале ........................92

2.1.6 Регуляризация вычислений в двухточечных сингулярных краевых задачах с помощью сеток Шишкина.......................95

2.2 Построение аналитических решений............99

2.2.1 Построение решений задачи Коши для модели

Глауэрта - Лайтхилла................102

2.2.2 Метод последовательных приближений решения

задачи Коши (2.2.1)-(2.2.3).............107

2.3 Построение точных решений в моделях Глауэрта-

Лайтхилла и в моделях Блазиуса..............108

2.3.1 Построение точного решения для модели Глауэрта Лайтхилла при линейном выборе радиуса волокна...................108

2.3.2 Разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений модели Блазиуса..............110

3 Численное решение краевых задач в теории моделирования полимеров 114

3.1 Краевые задачи, возникающие при моделировании импульсного теплового пограничного слоя..........115

3.1.1 Сингулярно возмущенная природа задачи Блазиуса! 16

3.1.2 Равномерный по параметру метод для задачи с пограничным слоем .................119

Заключение 126

Список обозначений

а— радиус волокна [га]

Ai — kevap коэффициент аппроксимации кривой [m2/sK2] В- (крер)/(kfPfCpf)

В\— kevap коэффициент аппроксимации кривой [т?/sK] С\ — кешр коэффициент аппроксимации кривой [ra2/s] ср— теплоемкость внешней среды [J/kgK] Cpj — теплоемкость волокна [J/kgK]

Dq— диаметр начальной капли на выходе из фильеры [га] D— диаметр капли [га] hfg — латентное тепло испарения [J/kg] к— теплопроводность внешней среды (воздуха) W/m ■ К kf— теплопроводность волокна W/m ■ К kevap— коэффициент испарения [ra2/s] га'"— скорость локального испарения kg/m^s tlq— плотность распыления во внешней среде [drops/га3] п— плотность распыления в пограничном слое [drops/га3] Рг— число Прандтля учитывает влияние физических свойств теплоносителя на теплоотдачу

Nu— число Нуссельта характеризует соотношение между интенсивностью теплообмена за счёт конвекции и интенсивностью теплообмена за счёт теплопроводности

<5— конвективный тепловой поток волокна [IV] де— объемное нагревание в силу испарения [ТУ/га3] ¿— время [в]

Т— температура воздуха в пограничном слое [К] Те— температура воздуха внешней среды [К] Tf— температура волокна [К]

и— скорость пограничного слоя в аксиальном направлении [т/в] II— скорость волокна [т/в]

V— скорость пограничного слоя в радиальном направлении [т/в] х— аксиальное расстояние от фильеры [га] X— безразмерная величина хи/11а2 у— радиальное расстояние от поверхности волокна [га]

а— параметр профиля скорости /3— параметр профиля температуры д— толщина импульсного пограничного слоя [га] 8т~ толщина теплового пограничного слоя [га]

г)— безразмерная величина, характеризующая отношение энергии,

Оср)/(р/сР/)

©— отклонение температуры воздуха пограничного слоя [К]

0у— отклонение температура волокна [К]

¡1— динамическая вязкость [кд/т • в]

V— кинематическая вязкость [га2/в]

р— плотность воздуха [кд/т3]

р/— плотность волокна [кд/т3]

ри,— плотность воды [кд/т3]

Введение

Постановка задачи и ее актуальность

Настоящее исследование посвящено изучению краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава полимера (см., например, работы [6], [41], [2], [25], [5], [80], [43], [8], [32], [27], [63]). Кратко опишем суть процесса формования волокна. Расплавленный полимер продавливается через сопло фильеры, охлаждается потоком воздуха, и затем полимер затвердевает. В застывшем состоянии волокно наматывается на приемный валик со скоростью значительно превосходящей скорос ть продавливания (экструзии) полимера через сопло. Отмстим, что по мерс удаления от фильеры радиус волокна уменьшается, принимая стационарное значение. В конце технологического процесса готовое волокно наматывается на приемный валик. Сразу после выхода из фильеры полимер слегка набухает, а затем сжимается, как только скорость увеличивается до конечной скорости. В промышленных установках одновременно производится несколько сотен волокон. Математическое моделирование взаимодействия волокна и воздушных потоков является достаточно сложной задачей, соответствующие модели строились и исследовались в работах А. Шона [39], Т. Готса [26], Д. Гагона [24], Борна и Элисто-на [6], Свитланда и Ленхарда [41], Р. Тассе [42], А. И. Дрегля [56], О. В. Апдрющспко [44], Б. А. Снигерева [70],С. Д. Старыгина [711. На

свойства волокна влияет совокупность таких факторов, как скорость потока воздуха, поверхностное натяжение волокна в жидком состоянии, молекулярная структура полимера и другие факторы (см. работы Т. Клопе [2], Глауэрта и Лайтхила [25], Борпа и Диксона [5], Л. Красна [7], Ришелье [34], Себана [40]).

В статье Глауэрта и Лайтхилла [25] используется тот факт, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Это позволило [25] решить задачу более точно. Подобный логарифмический профиль использовался и ранее Сакиадисом [36]. Сакиадис нашел решение уравнения Блазиуса. Ссбан [40] и позднее Глауэрт [25| заметили, что ламинарный импульсный пограничный слой может быть описан безразмерно с помощью преобразования системы координат. Факт наличия малого ускорения установлен на основе Релеевского решения [33]. В статье Ришелье [34] рассмотрен ламинарный подход к задаче формования волокна. Используя безразмерный импульсный пограничный слой вдоль волокна с круглым сечением в аксиальном направлении, мы исследовали два типа граничных условий. Один тип называется квазиподобньш решением и вычислен на полу бесконечности, а другой тин соответствует непрерывно движущейся поверхности.

Полуаналитическое решение уравнений с погранслосм для несжимаемого потока с постоянными свойствами (т. с. не зависящими от температуры) указано в монографии Шлихтинга |80], численные методы описаны в монографии Г. И. Шишкина и его коллег [35].

При построении и исследовании математических моделей эффективным оказалось сочетание классических методов гидродинамики О. Ладыженской [62], [30], [29], численных и аналитических приближенных методов решения нелинейных задач с сингулярностями (В. И.

Юдович [81], В. В. Пухначев [66], Р. Темам [72]). Особо отмстим устойчивые разностные схемы Г. И. Шишкина [35], используемые и в наших работах [54], [17], [18], [19]. В настоящей работе мы рассматриваем единичное волокно. Условия производства волокна, в особенности его затвердевание после выхода из сопла фильеры, оказывают наиболее существенное влияние на качество и характеристики готового волокна (см. [10], [24], [71]). Глубокое понимание процесса затвердевания волокна способствует улучшению его производства. Поэтому моделирование процесса формования имеет как теоретический, так и практический интерес, привлекая внимание многих математиков.

Исследуемые физико-технические модели

Рассматривая широкий спектр краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава, можно обнаружить довольно много белых пятен и нерешенных проблем, как с точки зрения теоретического обоснования уже используемых аналитических методов, так и с точки зрения вычислительных методов.

Теория пограничного слоя - один из важнейших разделов гидродинамики [80], [9], [32], [27], [63], [62]. Основным объектом приложений этой теории была и остается задача обтекания. Вместе с тем, в последние годы область ее приложений значительно расширилась. Были изучены пограничные слои с замкнутыми линиями тока [64], в диффузорах и трубах [46], на вращающихся телах и проницаемых поверхностях, рассмотрены некоторые задачи о внутренних пограничных слоях п пограничных слоях вблизи границы раздела двух жидкостей, исследовано влияние малой вязкости па поведение слабых разрывов в жидкости, построена асимптотика неустановившихся движений конечной массы жидкости при стремлении вязкости к нулю, исследован ряд

важных задач со свободной границей для уравнений Навье-Стокса.

В литературе (см. библиографию [58], [56], [60], [48], [75], [50], [74]), посвященной теории и приложениям моделирования формования волокна, известен ряд математических задач, некоторые из которых рассматриваются и впервые решаются в настоящей диссертации:

- моделирование пограничного слоя в случае осевой симметрии волокна;

- вывод краевой задачи с использованием преобразования Блази-уса;

- решение сингулярной краевой задачи на полуоси;

- исследование краевой задачи в моделировании теплообмена в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем;

- доказательство существования решений краевых задач, возникающих при моделировании формования волокна.

Математические модели, связанные с формованием волокон, сводятся к исследованию решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящей работе основное внимание уделяется математическим моделям, в которых исходные нелинейные модели, описываемые уравнениями в частных производных типа Навье-Стокса, мы сводим к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируются краевые задачи, исследуются вопросы существования решений, построения точных и приближенных решений. В диссертации используются известные строгие методы гидродинамики, нелинейного анализа и вычислительной математики. В данной работе численные расчеты с использованием адаптивных сеток являются точными в пределах погрешности входных данных и информативными, т.к. решение

ищется строго в рамках пограничного слоя, учитываются такие сингулярности, как кромка (расчеты вблизи нуля, соответствующего соплу фильеры) и расчеты на бесконечности. В работах Г.И.Шишкина (см. библиографию в монографии [35]), используемых в данном исследовании, метод получил название робастного за счет устойчивости к такому важному параметру как вязкость.

Научная новизна диссертации

В диссертации изложены следующие научные результаты, полученные автором:

- разработан аналитический метод построения решений в одномерных стационарных моделях с краевым условием, установлена сходимость рядов в асимптотическом методе Глауэрта-Лайтхилла;

- для двумерных нелинейных систем Блазиуса построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных решения;

- доказана теорема существования решения краевых задач с по-гранслосм и предложен численный метод решения нелинейной краевой задачи теории погранслоя;

- разработан численный метод расчета компонент скоростей, температуры, трения и толщины пограничного слоя для плоской пластины, в котором относительные ошибки вычислений не зависят от числа Рейнольдса;

- впервые доказано существование решений краевых задач, возникающих в физико-технических моделях полимеров, с использованием теоремы Копш-Ковалевской и принципа неподвижной точки Шаудера;

- при помощи общих теорем существования решений нелинейных уравнений с векторным параметром доказано существование решений одной краевой задачи из теории пограничного слоя на неограниченном полуинтервале.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении дана техническая постановка проблемы, приводится обзор литературы и результатов в этой области, формулируются задачи диссертационного исследования. Приводится краткое содержание диссертации и се основные результаты.

Первая глава посвящена аналитическому обзору постановок краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокон. Параллельно приводятся результаты расчетов, выполненные автором в Дублинском технологическом институте (см. статьи [54], [17], [18], [19], [58], [56] и авторские отчеты [11], [12]). Основное внимание уделено четырем моделям, вытекающим из уравнения Навьс-Стокса.

В пункте 1.3 гл. I. рассмотрена система уравнений Прандтля, описывающая "почти" параллельные течения с определенными граничными условиями. Система Прандтля и является первым приближением для точной модели волокна. Получены точные решения для скорости потока в аксиальном и радиальном направлении. В пункте 1.4 изложены расчеты по вычислению скорости в аксиальном направлении. Кроме того, с помощью явных формул вычислена толщина пограничного слоя для различных значений вязкости с высокой точностью. В рассмотренной модели Прандтля построены два класса точных решений. При этом с помощью второго класса точных решений указан алгори тм получения пограничного слоя разной геометрии и вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости. В пункте 1.4.2 проводится редукция уравнения в частных производных импульсного погранслоя к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению третьего порядка с граничными условиями. В разделе 1.4.3 с помощью замены и подбора параметров спн-

гулярная краевая задача на полуоси сведена к задаче Коти, решение которой строится численно. В пункте 1.4.4 для исследования краевой задачи, моделирующей тепловой процесс в подвижном цилиндрическом волокне с осесиммстричным пограничным слоем, применен метод Карман Польгаузона для поиска распределения температуры и оценки скорости теплопроводности. Возникающее при этом дифференциальное уравнение интегрируется численно методом Рунгс-Кутта 5-го порядка при 0 < а < 10 с шагом 0.05. Используя результаты решения этой задачи Коши находим зависимость радиуса волокна от скорости потока и температуры (см. результаты расчетов, приведенные на рис. 1.4.4, для различных чисел Прандтля). Результаты покггзапы в Таблице 1.3 для воздуха с числом Прандтля а = 0.72. Результаты согласуются с ранее построенной асимптотикой в пределах 5% на больших расстояниях от фильеры. В пункте 1.4.5 рассмотрено моделирование теплопередачи от движущегося волокна. Здесь найдено первое приближение для распределения тепла для функций С?о,Ст и их первой производной. Доказана сходимость рядов, в которые раскладывается решение. Показано, что па полуоси уравнения имеют разрывные решения. А именно, на основании теоремы Коши-Ковалевской доказана теорема существования. В пункте 1.4.7 рассмотрены краевые задачи в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна. Здесь построено точное решение уравнения модели, зависящее от произвольных параметров. В пункте 1.4.8 рассмотрена краевая тепловая задача, постановка которой предложена профессором Лоренсом Крайном (Тринити Колледж Дублин). На этой основе автором были получепы уравнения для определения характеристик теплового пограничного слоя.

Вторая глава состоит из двух частей. В п. 2.1.1 изложены вспомогательные сведения из нелинейного анализа и теории уравнений в частных производных. В п. 2.1.2 с помощью п