автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивость математических моделей систем фазовой синхронизации

005043072

На правах рукописи

Перкин Алексей Александрович

Устойчивость математических моделей систем фазовой синхронизации

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 7 МАЙ 2012

Великий Новгород - 2012

005043072

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» на кафедре прикладной математики и информатики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Смирнова Вера Борисовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Чурилов Александр Николаевич (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, профессор)

кандидат физико-математических наук, доцент Кондратьева Наталья Васильевна (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, доцент)

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук (ИПМаш РАН)

Защита состоится 28 мая 2012 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д.212.168.04 при Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого по адресу 173003, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, Д.41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Автореферат разослан «¿( » апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.168.04 к.ф.-м.н., доцент Токмачев М.С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Системы, основанные на принципе фазовой синхронизации, широко применяются в различных областях механики, радиотехники, электроники, связи. К ним можно отнести системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), системы электропривода, вибрационные машины, системы дальней связи. Задачи проектирования и анализа работы систем фазовой синхронизации требуют подробного изучения влияния значений конструктивных параметров системы на установление в ней того или иного режима.

Особенно важно определить область значений параметров, при которых для любых начальных состояний системы в ней устанавливается режим синхронизма. Такие системы называются глобально асимптотически устойчивыми. К задаче о глобальной устойчивости тесно примыкает задача об определении частот периодических режимов и задача об оценке наибольшего отклонения выхода системы от его начального состояния.

Задачам асимптотического поведения систем фазовой синхронизации различной природы посвящено много работ. Фазовые системы второго и третьего порядков, в том числе и с запаздыванием в петле обратной связи, рассматривались в исследованиях В.В. Шахгильдяна, A.A. Ляховкина, Ю.Н. Бакаева, Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белыха, Л.З. Фишмана, В.Н. Сафонова, С.И. Евтянова, Б. Бисваса, П. Банерджи, А. Бхаташариа, И.И. Блехмана, Л. Шперлинга, A.C. Сомолиноса, O.P. Рыкина, Е.Л. Урмана, Е.И. Юревича и многих других авторов.

К решению задач асимптотического поведения фазовых систем применялись различные качественные, качественно-численные, численные методы.

Поскольку системы фазовой синхронизации являются нелинейными системами автоматического управления, большое значение для их исследования получил второй (прямой) метод A.M. Ляпунова, широко применяемый и развиваемый с 30-х годов XX века. При этом специфика систем фазовой синхронизации: неединственность состояний равновесия и периодический характер нелинейности, потребовала построения новых классов функций Ляпунова.

Началом исследований в этом направлении явилось введение Ю.Н. Бакаевым и A.A. Гужем периодической функции Ляпунова для фазовых систем третьего порядка. В 70-е годы XX века Г.А. Леоновым в рамках второго метода Ляпунова была предложена серия методов, позволяющих конструировать функции Ляпунова специального вида для многомерных систем фазовой синхронизации: метод периодических функций Ляпунова, метод нелокального сведения, метод инвариантных конусов. Г.А. Леоновым, Ю.А. Корякиным, Ф. Райтманном, В.Б. Смирновой, О.Б. Ершовой, Л.С. Сперанской эти методы были распространены на бесконечномерные и дискретные системы. Результаты формулировались в терминах передаточной функции линейной части системы в виде эффективно проверяемых частотных неравенств.

Второй метод A.M. Ляпунова является методом математически обоснованным и, следовательно, не может приводить к ошибочным результатам, как приближенные методы. С другой стороны, оценки областей устойчивости, получаемые с его помощью в пространстве параметров системы, достаточно близки к истинным областям устойчивости.

Разработанные Г.А. Леоновым периодические функции Ляпунова успешно использовались затем другими исследователями (Н.В. Утина, А.И. Шепелявый, Я. Янг, Л. Хуанг, П. Лу) для изучения проблем устойчивости и проскальзывания циклов систем фазовой автоподстройки.

Результаты, доставляемые вторым методом A.M. Ляпунова, носят характер достаточных условий устойчивости. Они могут быть улучшены путем конструирования новых функций Ляпунова.

Задача построения новых функций Ляпунова и, как следствие, улучшения оценок областей глобальной асимптотической устойчивости, является весьма актуальной задачей теории систем фазовой синхронизации.

Цель работы состоит в получении новых эффективно проверяемых критериев глобальной асимптотической устойчивости и отсутствия периодических режимов второго рода определенной частоты для математических моделей сосредоточенных и распределенных систем фазовой синхронизации, а также реализации этих критериев для построения оценок областей устойчивости в пространстве параметров конкретных систем и оценок частоты колебаний второго рода для этих систем.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить модификации периодических функций Ляпунова, применяемых при исследовании устойчивости сосредоточенных систем управления с периодическими нелинейностями.

2. Разработать новый класс функционалов Попова для исследования асимптотического поведения распределенных систем с периодическими нелинейностями.

3. Получить многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовых системы, описываемых дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями.

4. Преобразовать критерии глобальной устойчивости в критерии отсутствия у фазовой системы периодических режимов второго рода определенной частоты.

5. На основе частотных условий устойчивости установить оценки числа проскальзываний циклов для сосредоточенных и распределенных фазовых систем.

6. Разработать численные методы и соответствующие им алгоритмы для проверки частотных критериев устойчивости для систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с запаздыванием в петле обратной связи.

7. Разработать комплекс программ для реализации алгоритмов проверки частотных критериев для систем ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.

Методы исследования. В работе использованы второй метод Ляпунова, метод априорных интегральных оценок Попова, теорема Якубовича-Калмана о разрешимости специальных матричных неравенств, методика построения периодических функций Ляпунова, теория тригонометрических рядов.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

1.Для систем фазовой синхронизации, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с дифференцируемыми нелинейными функциями, получены

• новые многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости;

• новые частотные оценки числа проскальзываний циклов;

• частотные условия, гарантирующие отсутствие циклов второго рода определенной частоты.

2. Разработаны численные методы и соответствующие им алгоритмы, обеспечивающие проверку частотных критериев для систем фазовой автоподстройки частоты с запаздыванием в петле обратной связи.

3. Разработан комплекс программ для оценки полос захвата и частоты биений для систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в следующем:

• для различных математических моделей систем фазовой синхронизации установлены как достаточные условия глобальной устойчивости, так и условия отсутствия периодических решений второго рода, и получены новые оценки числа проскальзываний циклов;

• полученные критерии устойчивости, а также реализующие их алгоритмы и программы могут быть эффективно использованы для построения оценок областей глобальной устойчивости конкретных систем фазовой синхронизации в пространстве их параметров;

• полученные оценки числа проскальзываний циклов, а также реализующие их алгоритмы и программы позволяют выделять внутри областей устойчивости подмножества, характеризующиеся заданным числом проскальзываний циклов.

Комплекс программ, разработанный в диссертации, зарегистрирован в отделе регистрации программ для ЭВМ ФГУ ФИПС.

Достоверность изложенных в работе результатов. Области устойчивости в пространстве параметров конкретных систем синхронизации, полученные с помощью результатов диссертации, близки к областям устойчивости, полученным путем решения уравнений численными методами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости для математических моделей сосредоточенных и распределенных систем фазовой синхронизации.

2. Частотные критерии отсутствия периодических решений второго рода для математических моделей систем фазовой синхронизации с сосредоточенными и распределенными параметрами.

3. Частотные оценки числа проскальзываний циклов для многомерных и бесконечномерных фазовых систем.

4. Численные методы и алгоритмы проверки частотных критериев для систем с дробно-рациональной передаточной функцией и запаздыванием в петле обратной связи.

5. Комплекс программ для построения оценок полос захвата и частоты биений для систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром при наличии и отсутствии запаздывания в петле обратной связи.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 57-й, 58-й, 59-й, 60-й, 61-й международных научно-технических конференциях молодых ученых СПбГАСУ (2004, 2005, 2006, 2007, 2008 гг.); 66-й, 67-й, 68-й научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников,

инженеров и аспирантов СПбГАСУ (2009, 2010, 2011 гг.); международном конгрессе "6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics" (Zürich, Switzerland, 16-20 July, 2007); X международном семинаре им. E.C. Пятницкого, "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 3-6 июня 2008г); международной конференции "Sixth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference" (Saint-Petersburg, Russia, June 30 - July 4, 2008); VII всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 22-26 сентября, 2008г.); международной конференции "3-rd IEEE Multi-Conference on System and Control" (Saint-Petersburg, Russia, July 8-10, 2009); международных конференциях "4-rd International Scientific Conference on Physics and Control" (Catania, Italy, 1-4 September, 2009), "5-th International Scientific Conference on Physics and Control" (Leon, Spain, 5-8 September 2011); XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)" (Москва, 1-4 июня, 2010г.); XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (С.-Петербург, ЦНИИ "Электроприбор", 15-17 марта 2011г.); 14-й международной научно-технической конференции "Моделирование, иденитификация, синтез систем управления" (Канака, Украина, 11-18 сентября 2011г.)

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах [1-24]; работы [1-4J опубликованы в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК. В научных работах соискателя, написанных в соавторстве, В.Б. Смирновой принадлежит общее руководство работой, соавторам А.И. Шепелявому и Н.В. Утиной принадлежит исследование устойчивости дискретных систем фазовой синхронизации.

Объем и структура работы. Диссертация объемом 134 страницы состоит из четырех глав, заключения и списка литературы. Библиография содержит 86 наименований.

Содержание работы

Первая глава носит вводный характер. В ней, прежде всего, обосновываются исследуемые в диссертации математические модели систем фазовой синхронизации (СФС). В ней описываются основные задачи, возникающие при исследовании асимптотического поведения СФС, и методы, применяемые для их решения. Особое внимание уделяется прямому методу А.М. Ляпунова и методу априорных интегральных оценок В.-М. Попова. В этой главе сформулированы также основные результаты диссертации.

Вторая глава посвящена исследованию асимптотики сосредоточенных многомерных фазовых систем. Математической моделью таких систем является система обыкновенных дифференциальных уравнений.

z = Az + Bf(a), & = C'z + Rf(cr).

Здесь А, В, С, R - действительные матрицы размерностей тут, mxl, /их/ и /х/ соответственно, zit) — т-векторная функция (z(t) = \zt(Ojl,.., „)> cr(i) — /-векторная функция (<т(0 = |о';(0|. j (), /(с) - /-векторная функция с компонентами ipj(сг;)

0 = 1,.../). Символом * здесь и далее обозначено эрмитово сопряжение.

Предполагается, что пара (А, В) наблюдаема, пара (А, С) управляема, а матрица А гурвицева. Предполагается, что р,(<х,) 0 = 1,...,/) - Ду-периодическая непрерывно дифференцируемая функция, причем

£>,(о-)Л7<0 0 = 1,...,/). Предполагается также, что функция щ(сг) имеет на промежутке [0,Ду) два нуля 1 < а1, > причем

Р2Ц) + (?Н))2''0 0' = 1.....Л* = 1,2).

Система (1) является системой непрямого управления. Ее основной характеристикой является передаточная матрица линейной части системы от входа / к выходу (-&)

К(р) = -11 + С\А-рЕт)-1В (реС), где через Ет обозначена единичная тх т -матрица. Все результаты этой главы сформулированы в терминах К(р).

Система (1) обладает счетным множеством положений равновесия как устойчивых в малом, так и неустойчивых.

Определение 1. Говорят, что система (1) глобально асимптотически устойчива, если любое ее решение стремится к какому-либо ее положению равновесия.

Определение 2. Решение {г - г((),а = сг(()} системы (1) называется предельным циклом второго рода, если можно указать такое положительное число Т и такие целые

числа /у * О (у = 1...../), что для всех I > 0 выполнены равенства

г(г+Г) = г( О,

о-,(/ + Г) = СТ,.(0 + /А 0 = 1,•••■/)•

Величина со = Щ- называется частотой предельного цикла второго рода.

Во второй главе устанавливаются достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости системы (1), а также достаточные условия отсутствия у системы (1) предельных циклов второго рода определенной частоты.

Введем в рассмотрение такие числа ак] О= 1,...,/;& = 1,2), что

¿от,

и сформируем диагональные матрицы

А = •••>«*;} (* = и)-

Введем далее числа

- 0=1,-,О,

£/<ру(а)Жу р | <9](о)\р-а1)ч>)(о))(1 - аГ](р}(о))Ат

Параграфы 2.2 и 2.3 второй главы посвящены вопросу глобальной асимптотической устойчивости. В параграфе 2.2 доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть существует такая диагональная матрица ге = а'г^{а;1,...,аг(}, положительно определенные диагональные матрицы т = <Иа${т1,...,т,}, 3 = <£а%{<?,,...,<5)},

с = и такие числа д, е[0,1 ] (к = 1.....1), что выполняются следующие

требования:

1) для всех ¿а > О справедливо неравенство

Ле{агК(1«и) - А"' (1й))£К(1й>) - {к (¡(а) + ¿йЦ-1) г-(А'(/<») + 1ай2-1 )}-<?> О О'2 = -1);

2) квадратичные формы

где = 1 - ак (к = 1,...,/), являются положительно определенными. Тогда справедливы предельные соотношения

—> 0 при г->+со, <т)(/)-*с] при ¿-»-ню,

где ру(с,) = 0 0 = 1,...,/).

Доказательство теоремы 1 основано на применении прямого метода Ляпунова и частотной теоремы Якубовича-Калмана. При построении периодической функции Ляпунова реализовано обобщение процедуры Бакаева-Гужа. Как и в случае стандартной процедуры Бакаева-Гужа, функция Ляпунова конструируется в виде «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности», причем компоненты векторной нелинейной функции под знаком интеграла имеют те же периоды и те же нули, что функции <р1, но обладают нулевым средним на периоде. Однако используемая в диссертации нелинейная функция имеет более сложную структуру, чем в стандартной процедуре.

Теорема 1 является обобщением известных теорем о глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем, доказанных с использованием периодических функций Ляпунова. Она позволяет использовать при проверке частотного неравенства большее число варьируемых параметров.

В параграфе 2.3 второй главы описано применение теоремы 1 для построения оценок полос захвата систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с пропорционально-интегрирующим фильтром (ПИФ) и синусоидальной характеристикой фазового детектора.

Система (1) при т = 1 = 1 является распространенной математической моделью ФАПЧ с ПИФ. Здесь а(1) описывает разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов.

Нелинейная функция в данном случае является скалярной. Она задается формулой

/(cr) = sin cr - y (ye (0,1)), где у - нормированная начальная расстройка.

Передаточная функция рассматриваемой системы имеет вид

К(р) = Т(0</?<1).

Тр + 1

Области устойчивости ФАПЧ с ПИФ в пространстве параметров , доставляемые теоремой 1, сравниваются как с областями устойчивости, полученными численным решением системы (1), так и с областями, доставляемыми периодическими функциями Ляпунова, использованными Г.А. Леоновым [Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М.: Наука, 1978]. (Последние являются частным случаем функций Ляпунова, построенных при доказательстве теоремы 1, когда at-1 (íc = l,...,/)). Для значения /3 = 0.2 результаты проведенного сравнения представлены на рис. 1. Область устойчивости, полученная с помощью теоремы 1, лежит ниже кривой (3). Ниже кривой (1) лежит истинная область глобальной устойчивости. Ниже кривой (2) лежит область, полученная Леоновым Г.А. при а, = 1. Использование обобщенной процедуры Бакаева-Гужа позволило расширить область глобальной асимптотической устойчивости, доставляемую прямым методом Ляпунова.

¡ у ......-—

I (V*

Щ-

Г У /'у'\ 2>

Рис.1.

В параграфе 2.4 второй главы обобщение процедуры Бакаева-Гужа использовано с целью определения гарантированной верхней оценки для возможной частоты циклов второго рода.

Теорема 2. Пусть для какого-либо набора диагональных матриц ж,£ > 0,г > 0,<5 > 0 и чисел ак е[0,1], удовлетворяющих требованию 2) теоремы 1, частотное неравенство (2) выполнено для (о = 0 и для всех со >со0. Тогда система (1) не имеет предельных циклов второго рода частоты со>юа.

Доказательство теоремы 2 основано на разложении Г-периодических фунций г((), <т(/) и /(сг(/)) в ряды Фурье.

В параграфе 2.5 второй главы теорема 2 применена для оценки областей отсутствия режима биений в системе ФАПЧ с ПИФ и синусоидальной характеристикой

Нза

-ГГ {»

(2)/

/ &>/ / / i ; 1/ , ю/

У 1

Рис.2.

фазового детектора, описанной в параграфе 2.3. Полученные области сравнивались с областями, доставляемыми процедурой Бакаева-Гужа с фиксированным параметром а, = 1 [Сперанская JI.С. Автореферат канд. дисс. "Частотные условия существования периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений." Нижний Новгород, 1994].

Для случая /3 = 0.2, 7" = 10 результаты приведены на рис.2. Кривая (3) соответствует теореме 2, кривая (2) - результатам JI.C. Сперанской. Области, где отсутствуют циклы второго рода, лежат левее соответствующих кривых. Теорема 2 выделяет для каждого значения начальной расстройки более обширную гарантированную область отсутствия циклов II рода. На рис. 2. показана также кривая зависимости частоты биений от значений начальной расстройки, полученная численным методом - кривая (1).

В третьей главе результаты второй главы распространяются на фазовые системы с распределенными параметрами, математической моделью которых является система интегродифференциальных уравнений Вольтерра

&{t) = cj„{t) + Rf{a{t-h))-[r{t-T)f{<j{T))dT (t>0;h> 0). (3)

Здесь o-(0 = ||o-J(0|y.l ^о(0 = К(0||^ /(O'HMMU , - вектор-функции, R - 1x1 -матрица, Ц/^ (0|t , " 1x1 -матричная функция.

Предполагается, что функции a0J(t) непрерывны и стремятся к 0 при t->+co, а функции у и (0 измеримы. Предполагается также, что существует такое с > 0, что

,7,j(/У 6 L2[0,+оо) (у,г = 1,...,/).

Относительно функции /(с) остаются в силе все предположения главы 2. Передаточная матрица линейной части рассматриваемой системы от входа / к выходу (-&) имеет вид

K{p) = -Re-'h + [r{t)e-p,dt (ре С). (4)

Система (3) также, как и система (1), обладает счетным множеством положений равновесия.

В параграфе 3.2 главы 3 устанавливаются два частотных критерия глобальной асимптотической устойчивости системы (3).

Теорема 3. Пусть для некоторых положительных диагональных матриц œ = diag{се,,...,£е,}, т = diag{z^...,<г,}, S = diag{Si,...,S,}, s=diag{sx,...,£,} и чисел ак 0,1] (& = 1,...,1) выполнены требования 1) и 2) теоремы 1, где К{р) вычисляется по формуле (4). Тогда для решения сг(() системы (3) справедливы предельные соотношения

&k (t) 0 при t -к», <jt (l) ск при t —> -и»,

где pt(c,) = 0 (А = 1,...,/).

Теорема 4. Пусть для некоторых положительных диагональных матриц x = diag{sel,...,xl}, т = сИа§{т1,...,т1}, ¿> = diag{St,...,Sl}, е = <Иа§{£у,...,е,} и матричной функции (4) выполнено требование 1) теоремы 1. Пусть далее компоненты матриц е, 8, ге удовлетворяют неравенствам

г^Г^у^ о = 1,...,о,

где

1'ч>№_

1 + «,>;(сг))(1 -а2>;(О-)) Ах.

Тогда справедливо заключение теоремы 3.

В основе доказательства теорем 3 и 4 лежит метод априорных интегральных оценок Попова. Второй критерий доказан с помощью модификации процедуры Бакаева-Гужа. К функционалам Попова применяется обобщенная процедура Бакаева-Гужа, разработанная во второй главе.

В параграфе 3.3 приведены результаты применения теоремы 3 к исследованию системы ФАПЧ с ПИФ, синусоидальной характеристикой фазового детектора и запаздыванием в петле обратной связи. Ее передаточная функция имеет вид

Тр + \

Нелинейная функция имеет вид

/(о-) = ятст-у Ое(0,1)).

Полученная граница области глобальной асимптотической устойчивости для /7 = 0,1 приведена на рис. 3. Это - кривая (2). Кривая (1) - граница, полученная в работе [Л.Н. Белюстина, М.С. Киняпина, Л.З. Фишман. Динамика систем фазовой синхронизации с запаздыванием. В кн. Теоретическая электротехника, № 48, Львов, 1990] качественно-численными методами. Области устойчивости лежат ниже своих границ.

Ь'х\

" Ч X'

X

0.1 I 1« 1

Рис.3.

В параграфе 3.4 теорема 3 применяется для исследования задачи о

11

самосинхронизации неуравновешенных роторов, находящихся на общей колеблющейся платформе. Динамика медленно изменяющихся фаз неуравновешенных роторов описывается системой двух дифференциальных уравнений второго порядка с синусоидальной нелинейной функцией, зависящей от их разности. Система дифференциальных уравнений сводится к интегральному уравнению вида (3), где a{t) -разность медленно меняющихся составляющих фаз роторов. С помощью теоремы 3 сформированы алгебраические требования на параметры механической системы, обеспечивающие синхронную работу двух роторов. Установлено, что условия самосинхронизации, доставляемые теоремой 3, являются менее жесткими , чем условия самосинхронизации, полученные с помощью стандартной процедуры Бакаева-Гужа.

Параграф 3.5 третьей главы посвящен изучению периодических решений второго рода системы (3).

Определение 3. Решение ег(<) системы (3) называется периодическим решением второго рода, если существует такое число Т>0 и такие целые числа 1к *0 (£ = 1,...,/), что

<т,(/ + Г) = <т,(0 + /А (А = 1....,/)-Величина 'Щ- называется частотой периодического решения второго рода.

Теорема 5 Пусть для каких-либо положительных диагональных матриц a; = c/i'ag{2e1,...,£e,}, х = diag{rt,...,T,}, S = diag{ôl,...,S,}, c = diag{e1>...,£,} и чисел ак G[0,1]

(¿ = 1.....1), удовлетворяющих условию 2) теоремы 1, частотное неравенство (2), где

матрица К(р) определяется формулой (4), выполнено для а = 0 и всех са>аза >0. Тогда система (3) не имеет периодических решений второго рода частоты а>со0.

Теорема 5 применяется в параграфе 3.5 к определению областей отсутствия периодических решений второго рода для систем ФАПЧ с ПИФ и запаздыванием в петле обратной связи.

Четвертая глава диссертации целиком посвящена задаче о числе проскальзываний циклов в фазовой системе. Рассматриваются как сосредоточенные, так и распределенные фазовые системы. В параграфе 4.1 рассматривается сосредоточенная фазовая система со скалярной нелинейностью. Ее математическое описание имеет вид

ji4z + Mo) (,йеЛ»рбД) (5)

[а = с z + p<p(cy). v '

Здесь А - шхm гурвицева матрица, пара (А,Ь) - управляема, пара (А,с) — наблюдаема. Функция <р(о) — Д-периодическая непрерывно дифференцируемая функция с отрицательным средним и двумя нулями на периоде.

Определение 4. Говорят, что решение системы (5) проскальзывает к циклов, если существует такое число Т > 0, что

|<т(Г)-<т(0)|=М, и для всех t справедливо неравенство.

|<т(0-ст(0)|<(* + 1)Д.

В параграфе 4.1 периодические функции Ляпунова, построенные в параграфе 2.2, используются для построения оценок числа проскальзываний циклов для решений

системы (5).

Пусть а, = іпґ«[о,д)^'(сг), а, = sup„^фХсг). Введем в рассмотрение функции Ф(<т) =

U(a)da + (~iy r/Jfc.e.xî-i—g-(7 = 1,2),

£\<pmdff

X

œk

r0!(k,x,x)~-

+ (-1

_<§k_

¡Ma)\<p(a)\Jo-

0' = U2)

и матричные функции

Tj(k,x,x) =

—xarAk, ге, x) 2

—aarXk, œ,x) 2 '

0

-xa0r0J(k, аг,*)

где є, S, гс,т,а0, a - параметры. Построим матрицы

Q =

А Ь О с

, L = , D =

О 0 1 Р

У =

и функцию Ç(t) = — ip(cr(t)).

dt

z(t)

9**0))

Рассмотрим квадратичную форму переменных >> е Л""*1, £ є R

G(y, Ç) = 2 y'H(Qy + Ц) + y'DeD'y+y'LxD'y -(D'y - а~Ч)' rK'i - D'y) + y'LSL'y, где Н = Н' - (т + 1)х(ш + 1)-матрица, аг, є, S, г -параметры. Выполнение частотного неравенства

Re{xK(ico) - є | К (і со) |2 -т(к(и.о) + а~Чй))' ■ (К(іа>) + іаа2)}-3>0, где

K(p) = c{A-pÉ)^b-p, гарантирует существование такой матрицы Я, что выполнено неравенство

G(y, 4 ) < О, У у є RmH, £ є R. (7)

Теорема 6 Пусть существует такое число де [0,1], положительные є, S, г, число

(6)

£^0 и натуральное к, что выполняются условия:

1) для всех со > 0 справедливо частотное неравенство (6);

2) матрицы Т;.(к,х,у'{0)Ну(0)-1) 0 = 1,2), где а„=\-а, 1 = у'{1)Ну(1), являются положительно определенными для некоторой Я = #', удовлетворяющей (7). Тогда для решения (5) при всех / > 0 справедлива оценка

|<т(0-<х(0)|<ДА. (8)

Параграф 4.1 содержит также несколько модификаций теоремы 6.

В параграфе 4.2 результаты параграфа 4.1 распространяются на решения интегродифференциального уравнения

<т(/) = <т0(() + рр(а(1-Н))~1г(1-тМф))с1т (< > 0;й > 0), (9)

у которого функции сг0(г) и /(/) обладают теми же свойствами, что функции <тоу и в главе 3, а функция <р(а) описана в параграфе 4.1.

Передаточная функция линейной части уравнения (9) от входа <р к выходу (-<х) имеет вид:

К(р) = -ре-"" + [г(0е-р'Л (ре С). (10)

Теорема 7 Пусть существуют такие положительные числа ж, е, 5, г, число а е [0;1] и натуральное число к, что выполняются условия:

1)для всех й)> 0 справедливо частотное неравенство (6), где К(р) определяется формулой (10);

2) матрицы где а0=1-а, а величина () вычисляется с помощью специальной процедуры, являются положительно определенными.

Тогда для любого решения уравнения (9) при всех / > 0 выполнена оценка (8).

В параграфе 4.3 описана процедура применения теоремы 7 к системе ФАПЧ с ПИФ и синусоидальной характеристикой фазового детектора. Для числа проскальзываний циклов приводятся конкретные оценки, выраженные через параметры системы.

В параграфах 4.4 и 4.5 результаты параграфов 4.1 и 4.2 распространяются соответственно на многомерные и бесконечномерные фазовые системы с векторной нелинейностью.

Заключение.

В диссертации решены следующие задачи:

1. Построено обобщение периодических функций Ляпунова для фазовых систем дифференциальных уравнений. Разработан новый класс функционалов Попова для исследования асимптотического поведения интегродифференциальных систем с периодическими нелинейными функциями.

2. С помощью новых периодических функций Ляпунова и функционалов Попова получены новые многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости математических моделей сосредоточенных и распределенных систем фазовой синхронизации.

3. Получены новые многопараметрические частотные критерии отсутствия у математических моделей фазовых систем периодических решений второго рода.

4. На основе частотных условий глобальной асимптотической устойчивости установлен ряд частотных оценок числа проскальзываний циклов для систем фазовой синхронизации.

5. Разработаны численные методы и алгоритмы проверки частотных критериев для систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), содержащих запаздывание в петле обратной связи.

6. Разработан комплекс программ для реализации проверки частотных критериев для систем ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.

Публикации автора по теме диссертации

Работы, опубликованные в изданиях из перечня ВАК:

1. Смирнова В.Б., УтинаН.В., Шепелявый А.И., Перкин A.A. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовой системе с векторной нелинейностью // Вестник СПбГУ сер.1, вып. 1, 2009, С.33-43.

2. Смирнова В.Б., Утина Н.В., Шепелявый А.И., Перкин A.A. Покоординатные оценки векторного выхода многомерных систем с фазовым управлением. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып.3,2009, С.70-78.

3. Перкин A.A., Смирнова В.Б., УтинаН.В., Шепелявый А. И. О применении метода периодических функций Ляпунова// Вестник СПбГУ, сер.1, вып.З, 2011, С.31-40.

4. Перкин A.A. Устойчивость фазовых систем управления с дифференцируемыми нелинейностями // Гироскопия и навигация, №2, 2011, С. 110.

Другие публикации по теме диссертации:

5. Перкин A.A., Смирнова В.Б. Частотные критерии устойчивости интегро-дифференциальных уравнений с периодическими нелинейными функциями. // "Актуальные проблемы современного строительства." 57-я международная научно-техническая конференция молодых ученых. Сборник докладов 4.1; , С.-Петербург. СПбГАСУ. 2004, С.43-47

6. Перкин A.A., Смирнова В.Б. Глобальная асимптотика систем фазовой синхронизации // "Актуальные проблемы архитектуры, строительства и транспорта. 58-я международная научно-техническая конференция молодых ученых. Сборник докладов" 4.II; С.-Петербург. СПбГАСУ. 2005, С.206-210.

7. Перкин A.A., Смирнова В.Б. Оценка областей устойчивости систем с фазовым управлением // "Сборник докладов победителей конкурса грантов 2005г." С.-Петербург. СПбГАСУ. 2006, С.75-103.

8. Смирнова В.Б., Перкин A.A. Оценка частоты периодических режимов II рода систем с фазовым управлением // "Актуальные проблемы современного строительства." 59-я международная научно-техническая конференция молодых ученых. Сборник докладов. Ч.Ш; С.-Петербург. СПбГАСУ. 2006, С.121-131.

9. Смирнова В.Б., Утина Н.В., Шепелявый А.И., Перкин A.A. Об асимптотических свойствах многомерных фазовых систем с векторным управлением // X международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления." Тезисы докладов. Москва. ИПУ РАН. С. 271-272

10.Smirnova V.B., ShepeliavyiA.I., UtinaN.V., PerkinA.A. The problem of cycle-slipping for multidimensional phase control systems. // Proceedings of Sixth Euromech Nonlinear Dymanics Conference. 2008, St.Petersburg, Russia http://lib.physcon.ru/doc?id=ea 176cf6d656

11. Смирнова В.Б., УтинаН.В., Шепелявый A.M., ПеркинА.А. О задаче проскальзывания циклов для многомерных систем с векторным фазовым управлением. // Труды VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". Издательский дом "Диалог культур" т. I, Нижний Новгород, 2008, С. 314-318.

12. Smirnova V.B., PerkinA.A. Multiparametric frequency-domain criterion for stability of distributed systems with multiple equilibria. // PAMM, volume 7, Issue 1, p.2030045-2030046; http://www.interscience.wiley.eom/journal/l 21560479/abstract

13. ПеркинА.А., Смирнова В.Б. Многопараметрические оценки числа проскальзываний циклов в системах фазовой синхронизации. // "Актуальные проблемы современного строительства." 61-я международная научно-техническая конференция молодых ученых. Сборник материалов. 4.IV; С.-Петербург. СПбГАСУ. 2008, с.100-106.

14. Smirnova Vera, Perkin Alexey, Shepeliavyi Alexander. Frequency-domain criteria for gradient-like behavior of phase control system with vector nonlinearities. // 3-rd IEEE Multi-Conference on Systems and Control. Saint-Petersburg, July 2009. Papers. P.142-146

15 .ПеркинА.А., Смирнова В.Б. Частотные оценки решений фазовых систем с дифференцируемыми векторными нелинейностями // Доклады 66-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ. Ч. II, С.-Петербург, СПбГАСУ, 2009, С.147-152.

16. Alexey A. Perkin, Vera В. Smirnova, Alexander I. Shepeliavyi, Natalia V. Utina The employment of periodic Lyapunov function for asymptotic analysis of multidimensional phase control systems // Proceedings of 4-th International Scientific Conference of Physics and Control. Catania, 2009. http://lib.physcon.ru/doc?id=8cdela59c28c

17. Перкин A.A., Смирнова В.Б., УтинаН.В., Шепелявый А.И. Многопараметрические частотные критерии в теории устойчивости многомерных фазовых систем. // XI международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)". Тезисы докладов. Москва. ИПУ РАН. 2010 С.315-317

18. Перкин А.А., Смирнова В.Б. Устойчивость сингулярно-возмущенных уравнений фазовой синхронизации. // Доклады 67-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ. Ч. IV, С.Петербург, СПбГАСУ, 2010, С. 188-192.

19 .ПеркинА.А., Смирнова В.Б., Шепелявый А.И. Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем. // Труды ИПММ НАН Украины, т.21, 2010, С. 177-187

20. Перкин А.А. Частотные условия отсутствия у многомерной фазовой системы предельных циклов II рода. // Доклады 68-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов СПбГАСУ. С.Петербург, СПбГАСУ, Ч. 4, 2011, С. 108-112.

21. Alexey A. Perkin, Vera В. Smirnova, Alexander I. Shepeliavyi. Gradient-like properties of distributed and discrete phase systems. // Proceedings of 5-th International Scientific Conference of Physics and Control. Leon, 2011.

http://lib.physcon.ru/doc7icNi32a549fd913

22. Перкин A.A. Устойчивость фазовых систем управления с дифференцируемыми нелинейностями.// Навигация и управление движением. Материалы XIII конференции молодых ученых, С.-Петербург, 2011, С.305-311

23. Перкин A.A., Перъева Е.Л., Смирнова В.Б., Шепелявый А.И. Многопараметрические частотные оценки числа проскальзываний циклов для фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями. // Сб. тезисов Четырнадцатой международной научно-технической конференции "Моделирование, идентификация, синтез систем управления". Москва-Донецк, 2011. С. 16-17.

24. Перкин A.A. Комплекс программ. "Частотный анализ сосредоточенных и распределенных систем фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром" // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011619249

Подписано в печать 19.04.12 Формат 60x84'/i6 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 24/04 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

61 12-1/926

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Устойчивость математических моделей систем фазовой синхронизации

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

На правах рукописи

Перкин Алексей Александрович

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф-м.н. Смирнова Вера Борисовна

Санкт-Петербург - 2012

Оглавление

Стр.

Глава 1. Введение 4

1.1. Математические модели систем фазовой синхронизации ............4

1.2. Основные задачи, возникающие при исследовании СФС..............7

1.3. Методы исследования асимптотики многомерных и бесконечномерных СФС..............................................................9

1.4. Основные результаты диссертации...................12

Глава 2. Многопараметрические частотные критерии устойчивости многомерных фазовых систем 17

2.1. Постановка задачи............................ 17

2.2. Применение периодических функций Ляпунова к исследованию глобальной асимптотики фазовых систем...............20

2.3. Оценки полос захвата для системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.......................26

2.4. Условия отсутствия у фазовой системы предельных циклов второго рода определенной частоты.....................30

2.5. Исследование частоты биений для системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.............40

Глава 3. Частотные критерии устойчивости некоторых классов распределенных фазовых систем 43

3.1. Постановка задачи и описание результатов..............43

3.2. Глобальная асимптотика интегродифференциальных систем с периодическими нелинейными функциями ...............45

3.3. Глобальная асимптотика системы ФАПЧ с запаздыванием.....57

3.4. Условия самосинхронизации двух роторов, находящихся на абсолютно жесткой платформе с одной степенью свободы........64

3.5. Периодические режимы второго рода. Частотные условия отсутствия периодических режимов определенной частоты........70

Глава 4. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фазовых системах 74

4.1. Частотные оценки числа проскальзываний циклов для сосредоточенных фазовых систем со скалярной нелинейностью........74

4.2. Оценки числа проскальзываний циклов для распределенных систем со скалярной нелинейностью...................89

4.3. Оценка числа проскальзываний циклов для системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.............98

4.4. Покоординатные оценки векторного выхода многомерных систем . 107

4.5. Оценки выхода бесконечномерной системы с векторной нелинейностью ...................................117

Глава 1 Введение

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решений класов систем дифференциальных и интегродифференциальных уравнений, являющихся математическим описанием систем фазовой синхронизации. В диссертации исследуются фазовые системы, обладающие счетным множеством положений равновесия.

1.1. Математические модели систем фазовой синхронизации

Системы фазовой синхронизации (СФС) представляют собой системы непрямого регулирования с периодическими нелинейностями. СФС широко распространены в различных областях механики, радиотехники, радиоэлектроники, связи[1]-[10]. Они основаны на принципе фазовой синхронизации, суть которого состоит в том, что синхронизация генераторов колебаний достигается за счет воздействия на них некоторого преобразования фаз этих генераторов. Как генераторы, так и преобразования фаз могут быть различной природы. Так в радиоэлектронных системах фазовой автоподстройки частоты генераторы являются электронными, преобразование разности фаз осуществляется фазовым детектором. Вместе с тем в вибрационных машинах генераторами являются неуравновешенные роторы, а преобразователем разности фаз - общее основание.

СФС может работать в различных режимах. Если частоты синхронизируемых генераторов равны, то система работает в режиме синхронизма (удержания). Вопрос о том, будет ли СФС при любых начальных значениях работать в режиме синхронизма является весьма актуальным для фазовых систем. Ответ на вопрос о том, каково множество параметров системы, обеспечивающее режим синхронизма, дает исследование устойчивости адекватных

математических моделей.

В данной диссертационной работе рассматриваются математические модели, охватывающие СФС различной природы. С одной стороны они соответствуют описанию механических систем, полученному на основе уравнений Лагранжа второго рода[8], с другой стороны они эквивалентны операторным уравнениям с помощью которых принято описывать широко распространенные инженерные системы [3, б, 2].

Так, сосредоточенные системы фазовой автоподстройки частоты(ФАПЧ) и системы дальней связи с нелинейным блоком, имеющим скалярный вход и скалярный выход, в инженерной литературе описываются операторным уравнением

где а и ¡3 - постоянные, К(р) - коэффициент передачи фильтра нижних частот или коэффициент усиления системы, (р - А-периодическая характеристика фазового детектора или дискриминатора, о - выходная величина, выделяемая фазовым детектором или дискриминатором. Коэффициент передачи фильтра в общем случае имеет вид

где щ, (г = 0, - действительные коэффициенты многочленов А(р) и

В(р), Ък ф 0. Предполагается, что многочлены рВ(р) и А(р) взаимно просты.

Используя стандартный прием [11], перейдем от операторного описания (1.1) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Перепишем уравнение (1.1) в виде

(1.1)

К(р) =

А(р) _ акрк + ак-\Рк 1 Н-----Ь а\Р + а0

В(р) Ъкрк + Ьк„1рк-1 Н-----Ь Ьхр + Ь0

(1.2)

5(р)а(г) = а(р)ф)

(1.3)

где 5(р) = рВ(р), а(р) = -аА(р), = /К*)) = <р(<т) - ¡3/аК(0).

(1.4)

Построим векторную функцию

\\г1и)Шз=о,1,..,к,

где через г]^ обозначена производная порядка $ от функции г]. Построим матрицы

/

Р =

О 1 0 • • • 0 0 1 •••

0 0 0 0

о

0

1

Ьк-i

\

0 —h. __.__

\ Ьк Ьк ьк )

q =

' о ^

о

1 /

г

( \

—аао —аа\

\

-аак

/

Функция x(t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений

x(t) = Px(t)+qf(a(t)), a(t) = r*x(t).

(1.5)

Таким образом, операторное описание СФС в терминах коэффициента передачи фильтра приводит к стандартному описанию системы автоматического управления с обратной связью. Спецификой фазовой системы является наличие нулевого собственного значения у матрицы линейной части системы. В этом случае (т.е. с!е1;Р = 0) система (1.5) может быть записана в виде[12]

z(t) = Az{t) + bf(a(t)), à(t) = c*z(t) + pf(a(t)),

(1.6)

где г(р) - ^-мерная векторная функция, р - число, Ъ и с - к-мерные векторы, А - к х к-матрица, /(сг) - А-периодическая функция.

Если в цепи обратной связи ФАПЧ присутствует линия задержки или сигнал, проходя по линии связи, запаздывает по времени, то операторное уравнение приобретает вид

6,

р<т + аК{р)е~р,г(р{(т) = /3 (р

dt

h>0

(1.7)

Ему эквивалентно интегродифференциальное уравнение Вольтерра

à = a(t) + pf(cr(t - h)) + [ g(t - T)f(a(r))dr, (1.8)

J о

где p = aak/bk, g(t) - оригинал для изображения по Лапласу функции а ( К(р) — ^ ), а функция a(í) зависит от начального состояния системы.

V °kj

В диссертации объектами исследования являются обобщения системы (1.6) и уравнения (1.8) на случай векторных нелинейных характеристик СФС. Именно, рассматриваются системы дифференциальных уравнений

§ = Az(t) + Bf(c(t)),

где А, В, С, R- матрицы размеровтхт,тх1,тх1и1х1 соответственно, z(t) = \\Ф)\\Т=п <r(t) = ||a-fc(í)||Li, f(cг) = Кfj((Tj)\\lj=l - векторные функции, и системы интегодифференциальных уравнений Вольтерра.

^ = a(t) + Rf(a(t - h)) + J* g(t - r)f(a(r))dr, (h > 0,t > 0) (1.10)

где a(t), cr(t), f(cr(t)) = ||/j(<Tj)|| - /-мерные векторные функции, R - I x l-матрица, g(t) - I x ¿-матричная функция.

Функции fj(u) предполагаются Aj-периодическими, имеющими по два простых нуля на промежутке [0, A j).

Системы (1.9), (1.10) не исчерпывают всех разновидностей математических моделей, порожденных различными классами СФС. Так за рамками этих систем осталось описание синхронных электрических машин, представляющее собой систему дифференциальных уравнений, содержащих нелинейные функции двух аргументов, периодические по одному из них[13].

1.2. Основные задачи, возникающие при исследовании СФС

Исследованию асимптотического поведения систем (1.9) и (1.10) уже посвящена обширная литература. Подробная библиография приведена в статье [14]. Ее следует дополнить статьями [15, 16, 17], [18, 19], [21], [20].

Опишем некоторые задачи, принципиальные для исследования асимптотики СФС.

Определение 1.1[12] Говорят, что система (1.9) обладает глобальной асимптотической устойчивостью (является глобально асимптотически устойчивой), если при любых начальных данных ж(0), сг(0) ее решение удовлетворяет предельным соотношениям

x(t) 0 при t +00, (1.11)

<j(t) —> aeq при t —у -foo, (1-12)

где f(creq) = 0.

Определение 1.2[22] Говорят, что система (1.10) обладает глобальной асимптотикой, если для любой функции a(t) (из определенного класса функций) и любой начальной функции cr0(i) (t 6 [—h, 0]) ее решение удовлетворяет предельному соотношению (1.12).

Наличие свойства глобальной асимптотики у математической модели соответствует режиму удержания (синхронизма) СФС. Задача о глобальной асимптотике является основной задачей теории фазовой синхронизации.

К задаче о глобальной асимптотике тесно примыкают две другие задачи. Одна из них носит название задачи о числе проскальзываний циклов[23]. Дадим ее постановку для системы со скалярной нелинейностью.

Определение 1.3[24] Говорят, что решение системы (1.6) (или системы (1.8)) проскальзывает к циклов, если можно указать такое значение t, что

|сг(0) — <j(t)\ = кА,

и для всех t > 0

|сг(0) — cr(t)\ < (к + 1)Д. (1.13)

Еще одна задача, уточняющая асимптотическое поведение СФС, - это задача об отсутствии у системы периодических решений (или режимов) второго рода определенной частоты.

Определение 1.4[25] Решение z — z(t),cr = a(t) называется периодическим решением второго рода системы (1.9), если можно указать такое Т > О и такие целые числа Ij ф 0 (j — 1,..., I), что для всех t > 0 выполнены равенства

z(t + T) = z(t), (1.14)

cjjit + Т) = Gj(t) + IjAj (j = 1,..., I). (1.15)

Величина ш = — называется частотой периодического решения второго рода.

Определение 1.5[26] Решение а — cr(t) называется периодическим решением второго рода для системы (1.10), если для некоторого Т > 0 и некоторых целых Ij ф 0 (j = 1,..., I) выполнены равенства (1.15).

Периодическое решение II рода соответствует режиму биений СФС.

1.3. Методы исследования асимптотики многомерных и бесконечномерных СФС

Простейшей моделью СФС является уравнение второго порядка

а + а& -I- f(a) = 0 (а = const), (1-16)

где /(<т) - Д-периодическая функция. В частном случае, когда f(a) = 6 sincr — 7, (1.16) - уравнение математического маятника.

Так что первой работой, посвященной исследованию асимптотики СФС, следует считать статью Трикоми[27] . Исследованию уравнения (1.16) посвящена серия работ [28]-[31]. Полученные результаты описаны в монографии [32]. Основной результат состоит в том, что для параметра а существует бифуркационное значение асг такое, что при а > асг уравнение (1.16) обладает глобальной асимптотикой, а при а < асг у (1.16) существуют решения, для которых &(t) > г > 0. Для значения асг в [32] приведены аналитические оценки. Его можно устанавливать и численными методами.

В середине 60-х, начале 70-х годов XX века изучаемые модели СФС были усложнены: рассматривались системы второго порядка[33], уравнения третьего порядка[34, 35, 36, 37], системы второго порядка с запаздыванием[38, 39]. Применялись как методы качественного исследования[34, 35, 36, 37], так и качественно-численные методы[33, 39] и приближенные методы[38].

Из применяемых качественных методов следует особенно выделить прямой (второй) метод Ляпунова, т.к. возможности этого метода не ограничены порядком исследуемой системы дифференциальных уравнений.

Второй метод Ляпунова, первоначально описанный в [40], стал особенно интенсивно развиваться, начиная с 40-х годов XX века. Этот метод, основанный на применении функций со специальными свойствами, имеющих знакоотрицательную производную в силу исследуемой системы (называемых функциями Ляпунова), позволил решать многие задачи устойчивости движения.

Второму методу Ляпунова посвящена обширнейшая литература, отраженная в монографиях [41, 42]. Различные механические и физические задачи требовали, как правило, создания новых классов функций Ляпунова. От удачной конструкции функции Ляпунова существенно зависит успех решения задачи. Так, в теории автоматического управления успешно применялись функции Ляпунова вида "квадратичная форма"и "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности "(функция Лурье-Постникова) [43].

Хотя СФС и являются системами автоматического управления, но в силу специфики этих систем (периодичность нелинейных функций, неединственность положений равновесия) применение к ним функций Ляпунова указанных видов дает пустую область устойчивости в пространстве параметров системы. Таким образом, для исследования устойчивости СФС потребовалось создание новых классов функций Ляпунова.

В статье [36] для системы третьего порядка со скалярной нелинейностью был предложен следующий вид функции Ляпунова. Это - аналог функции

Лурье-Постникова, в котором под знаком интеграла помещается периодическая функция с нулевым средним на периоде, выделенная из исходной нелинейности с помощью специальной процедуры. Процедура выделения из периодической функции слагаемого с нулевым средним на периоде разработана в статье [36]. Ее часто называют процедурой Бакаева-Гужа. Построенную с помощью указанной процедуры функцию Ляпунова называют периодической функцией Ляпунова.

В статье [44] процедура Бакаева-Гужа была распространена на системы (1.9) произвольного порядка в векторной нелинейностью. В статье [45] предложена модификация процедуры Бакаева-Гужа. В этой статье для дифференцируемых нелинейных функций предложен еще один способ выделения слагаемого с нулевым средним на периоде.

Необходимые и достаточные условия существования периодической функции Ляпунова формулируются в работах [44, 45] с помощью частотной теоремы Якубовича-Калмана[46], в виде частотных неравенств. В применении к операторному описанию (1.1) условия глобальной асимптотики представляют собой требования выполнения неравенства специального вида относительно функции где г2 = —1, ы 6 Я.

Параллельно с методом периодических функций Ляпунова в рамках второго метода Ляпунова развивался также метод нелокального сведения[47, 48, 49]. Он состоит в том, что в состав функции Ляпунова для системы порядка п вводится траектория системы более низкого порядка (она называется системой сведения), обладающей нужными асимптотическими свойствами. Теоремы, полученные методом нелокального сведения, также формулируются в виде частотных неравенств.

Совместное применение процедуры Бакаева-Гужа и метода нелокального сведения позволило получать хорошие оценки областей устойчивости в пространстве параметров СФС.

Частотные критерии, полученные для сосредоточенных фазовых си-

стем вторым методом Ляпунова, были распространены на распределенные системы[50, 51] с помощью метода априорных интегральных оценок Попова[52].

Начиная с работы[52], метод априорных интегральных оценок успешно применялся в теории автоматического регулирования для исследования асимптотики систем, описываемых интегральными уравнениями[52, 53, 54, 55]. Он развивался параллельно со вторым методом Ляпунова, позволял переносить результаты, полученные совместным применением прямого метода Ляпунова и частотной теоремы Якубовича-Калмана с систем дифференциальных уравнений на интегральные уравнения.

Метод априорных интегральных оценок основан на построении интегралов (функционалов Попова) от квадратичных форм, содержащих функции cr(t), à(t), r](t) = f(a(t)), f](t), по произвольному промежутку [О,Т] (Т > 0). На основе свойств этих функционалов при Т —» +оо делаются выводы об асимптотическом поведении функций cr(t) и fj(t).

При исследовании СФС метод априорных интегральных оценок сочетался и с процедурой Бакаева-Гужа, и с методом нелокального сведения[50, 51]. Процедура Бакаева-Гужа была реализована для выделения функции с нулевым средним на периоде в подынтегральном выражении функционала Попова. Метод нелокального сведения использовался для введения в состав функционалов Попова траекторий систем сведения.

Следует отметить, что все теоремы, полученные вторым методом Ляпунова и методом априорных интегральных оценок, устанавливают лишь достаточные условия существования исследуемого асимптотического свойства.

1.4. Основные результаты диссертации.

В диссертации изучаются все три задачи устойчивости фазовых систем, описание которых приведено в параграфе 1.2. Рассматриваются как математи-

ческая модель (1.9), так и математическая модель (1.10).

Задачей диссертации является получение новых теорем, позволяющих устанавливать оценки областей глобальной асимптотики в пространстве параметров системы, оценки частоты периодических решений второго рода, оценки числа проскальзываний циклов.

С этой целью в диссертации разработан прием, обобщающий обе модификации процедуры Бакаев�