автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математические проблемы синхронизации автоколебательных систем с близкими частотами

На правах рукописи

КОРОЛЬКОВ Олег Геннадьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С БЛИЗКИМИ ЧАСТОТАМИ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ 4849507

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 ИЮН 2011

ВОРОНЕЖ - 2011

4849507

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СТРЫГИН Вадим Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор ЛОЗГАЧЕВ Геннадий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор ТЮРИН Василий Михайлович

Ведущая организация: Институт Проблем Управления

им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва

Защита состоится 23 июня 2011 г. в 1700 на заседании диссертационного совета Д.212.038.10 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, физический факультет, ауд. 428.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

МАРШАКОВ В. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Термин «синхронизация» относится ко множеству явлений, встречающихся во всех областях естественных наук, техники и социальной жизни, явлений, которые кажутся совершенно различными, но, тем не менее, подчиняются универсальным закономерностям1.

Голландский ученый Христиаан Гюйгенс был, по всей видимости, первым исследователем, наблюдавшим и описавшим явление синхронизации еще в XVII столетии. В дальнейшем эффект синхронизации был обнаружен и изучен в различных устройствах (музыкальных инструментах, электронных генераторах, силовых электрических установках, лазерах, решетках джо-зефсоновских контактов и т.д.), ему было найдено множество различных применений в инженерном деле. В XX веке была создана ставшая классической теория синхронизации периодических колебаний, основные положения которой были сформулированы И.И. Блехманом.

В настоящее время «центр тяжести» исследований сместился в сторону изучения хаотических систем2. Впрочем, явление синхронизации автоколебаний в рамках классической теории синхронизации периодических колебаний по-прежнему привлекает особое внимание исследователей, что обусловлено важностью данного явления с точки зрения практических приложений. Так, большое значение имеет явление синхронизации мощных генераторов периодических колебаний слабым воздействием от внешнего высокостабильного генератора, что позволяет существенно улучшить их характеристики.

Настоящая диссертация касается прежде всего вопроса взаимной синхронизации двух автоколебательных систем, поскольку этот случай является наиболее универсальным. Система из двух слабонелинейных осцилляторов подробно изучена в работе D.G. Aronson3. В работах Д.А. Куликова изучается система из двух идентичных осцилляторов. Наконец, В.В. Стрыгин и Г.Ю. Северин вывели и исследовали более широкий класс динамических систем, представляющих собой два слабо связанных абстрактных генератора колебаний общего вида, с тем лишь исключением, что на правые части рассматриваемых уравнений наложены определенные ограничения.

'Пиковский А.С. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление / А.С. Пиковский, М.Г. Розен-блюм, Ю. Курте. — М. : Техносфера, 2003

2Анищенко B.C. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуации / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова. — Долгопрудный : Интеллект, 2009

3 Aronson D.G. Amplitude response of coupled oscillators / D.G. Aronson, G.B. Ermentrout, N. Kopell 11 Physica D : Nonlinear Phenomena. - 1990. - Vol. 41, No. 3. - P. 403-449

В настоящей диссертации проведено исследование явления взаимной синхронизации двух слабо связанных автоколебательных систем в общем случае, когда на коэффициенты правых частей рассматриваемых уравнений не наложены никакие дополнительные условия (кроме, естественно, условия возникновения автоколебаний в каждой из парциальных систем). Исследуются условия, при которых имеет место фазовая синхронизация, т.е. устанавливаются взаимоотношения между фазами взаимодействующих систем.

Принцип фазовой синхронизации широко распространен в современной технике и реализуется в работе систем самой различной природы. В данной работе преобразование фаз осуществляется за счет слабой связи между системами. Особый интерес здесь представляет вопрос о возможности взаимной синхронизации автоколебательных систем с заданной наперед разностью фаз.

Необходимость решения указанных проблем определяет актуальность развития асимптотических методов теории нелинейных колебаний и их применение к исследованию явления синхронизации.

Цель работы: разработка универсального метода, позволяющего получить достаточные условия взаимной синхронизации малых автоколебаний двух слабо связанных динамических систем общего вида. Требуется получить условия, зависящие от коэффициентов, отвечающих за связи между парциальными системами, чтобы эффекта синхронизации можно было достичь для двух произвольных динамических систем путем выбора связей.

Методы исследования. Для сведения исходной (п+т+4)-мерной системы дифференциальных уравнений к четырехмерной использован метод интегральных многообразий. Асимптотическое приближение 27г-периодического решения системы на многообразии ищется с помощью метода Пуанкаре, разработанного И.Г. Малкиным для нелинейных систем общего вида. Для исследования устойчивости 27г-периодического решения используется метод Боголюбова - Штокало, а также критерий Рауса - Гурвица.

Численные расчеты проведены в пакете символьных вычислений Maple 12.

Научная новизна работы заключается в том, что предложен новый математический аппарат исследования задачи о синхронизации автоколебательных систем с близкими частотами. Разработан метод, позволяющий для рассматриваемого класса сложных систем получить достаточные условия синхронизации малых автоколебаний с любой наперед заданной разностью фаз. Предложенный подход не предполагает никаких дополнительных ограничений на коэффициенты парциальных систем (за исключением условий возникновения автоколебаний в каждой из них).

Практическая ценность работы. Полученные в данной работе результаты могут быть использованы при решении различных прикладных задач из таких областей, как механика, радиоэлектроника, связь, лазерная физика.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

• Класс сложных систем, в которых возможно возникновение синхронных автоколебаний.

• Определение синхронизации малых автоколебаний для данного класса сложных систем.

• Универсальный метод, позволяющий получить условия, при которых в исследуемой системе возникают синхронные автоколебания с любой заданной наперед разностью фаз, а также исследовать многие другие задачи, касающиеся теории синхронизации малых автоколебаний.

• Достаточные условия возникновения синхронных автоколебаний (в фазе и в противофазе)

- для случая двух близких динамических систем (теорема 2);

- для случая двух идентичных динамических систем (теорема 3);

- для случая двух динамических систем с произвольными коэффициентами, но близкими частотами (теорема 4).

Личный вклад автора. Постановка задач и определение направлений исследований выполнены научным руководителем. Выбор методов, используемых при решении поставленных задач, осуществлялся совместно автором и научным руководителем. В частности, лично автором была предложена идея поиска приближенного 2п-периодического решения системы на многообразии с целью дальнейшего его исследования на устойчивость. Рассматриваемые приложения были предложены лично автором. Подробное проведение рассуждений и доказательств, а также все аналитические и численные расчеты выполнены лично автором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались

на

• X Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 3-6 июня 2008 г.;

• Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 27 января - 2 февраля 2009 г.;

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 22-24 июня 2009 г.;

• XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 1-4 июня 2010 г.;

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 20-22 сентября 2010 г.;

• семинаре Кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета, Воронеж, 7 декабря 2010 г.;

• Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 25 января - 1 февраля 2011 г.

• семинаре Лаборатории адаптивных и робастных систем управления им. Я.З. Цыпкина Института Проблем Управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва, 5 апреля 2011 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять научных работ, в том числе одна статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 78 наименований. Объем диссертации составляет 104 страницы текста, включая 11 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность темы, описаны цель и задачи работы, показана ее научная новизна. Указаны основные результаты и научные положения, выносимые на защиту, их практическая значимость и область применения.

В первой главе приведен обзор результатов по данной проблеме, дана интерпретация исследуемому явлению синхронизации автоколебаний. Введен класс сложных систем, в которых возможно возникновение малых синхронных автоколебаний, дана общая постановка задачи о синхронизации малых автоколебаний в сложной (га+т+4)-мерной системе. Исходная система методом интегральных многообразий сведена к четырехмерной системе на многообразии. Выведены условия возникновения малых автоколебаний в парциальных системах.

Рассматриваются две динамические системы, описываемые следующими системами обыкновенных дифференциальных уравнений:

^Г = -6 + фп6 + «12(2) + Xi (£ъ 6, "ь • ••,«»)>

dt du

= 6 +£(0216+0226)

= (csi«i +----bcsnu,) (s = 1,2,...,n);

^ = -42 + £(611% + b 12m) + Yi(r)um, vi,..., vm), £(b2l4l + Ь22Щ) + V2(r/b 1)2, vu..., vm),

dvk

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

— = (dklV! + '" + 4a) +Vfc(r/1,7/2,^1,.. .,t;r„) 1,2,... ,m), (6)

где e > 0 - малый параметр; an + 022 > 0, Ьц + b22 > 0; коэффициенты csr и dki таковы, что уравнения

СЦ - Л С\2

С21 С22 - А ...

Сн1

Сп2

Cln

C2,i 'in — А

= 0,

dn - Ц di2 d21 C?22 - Ц

dm\ dm2

dim dim

dmm J-*

= 0

имеют корни только с отрицательными вещественными частями; нелинейности Xit Us, Yj и Vk имеют непрерывные производные до третьего порядка включительно по каждой из переменных. Предполагается, что устойчивость нулевого положения равновесия систем (1)-(3) и (4)-(6) зависит только от линейных, квадратичных и кубических членов.

Определение 1. Будем говорить, в системе (1)-(3) возникают малые автоколебания, если существует такое е0 > 0, что для всех е из (0,£-0) эта система имеет ненулевой орбитально-устойчивый предельный цикл Г(£,£•) = £1 (t,e), ..., un(t,s)}, обладающий следующими

свойствами при е —> 0, t —► 00:

1) период цикла Г(£, е) стремится к 2п,

2) функции £i(t,s), £i(i, г), ui{t,e), ..un{t,e) стремятся к нулю.

Аналогичное определение справедливо и для системы (4)-(6). После введения малых линейных связей между системами (1)-(3) и (4)-(6) получена сложная система, описываемая (п + т + 4)-мерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

~ = - 6 + «фиб + a)26) + ^к(рит]1 + pnm) +

+ ^i(6,6,«i,---,«n), (7)

~ = 6 + г(й21б + 0226) + + Р22Т72) +

+ ^2(6,6, Щ, •••,««), (8)

= (c^uiH----+ cmu„) 4- [/«(6,6, "1, (5= 1,2,..., п), (9)

-V2 + e{bum + bum) + £^(<7n6 + 9126) + + Y1(T]i,r)2,VU...,Vm), (10)

= щ + e(62i'7i + + ^«(9216 + to6) +

+ ^(r)l,TJ2,Vi,...,l)m), (11)

^ = + • • • + dknVn) + Vfc(7h,7?2,t>i,...,t>m) (fc = 1,2,..., m), (12)

где у > 0, к = {—1;1}. Перейдем в (7)—(12) к полярным координатам 6 = = г cos а, £2 = г sin а, щ = gcos/З, щ = £? sin/9.

Определение 2. Будем говорить, что в системе (7)—(12) имеет место синхронизация малых автоколебаний, если в каждой из систем (1)-(3) и (4)-(6) имеют место малые автоколебания, а также существует такое е0 > 0, что для всех е из (0,£о) система (7)—(12) имеет ненулевой орбиталъно-устойчивый предельный цикл T(t,e) = {fi(t,e), £2(t,s), ui(t,e), ..., un(t,e), rf\(t,e), r)2(t,£), v\(t,e), ■.., vm(t,e)}, обладающий следующими свойствами при е —> Out —► 00:

1) период цикла стремится к 2п,

2) функции &(t,e), (i(t,e), щЦ,е), ..., u„(t,e), T}i(t,e), r)2(t,e), vi(t,e), ..., vm(t,e) стремятся к нулю,

3) разность фаз a(t,e) — (3(t,e) стремится к некоторому фиксированному числу <ро.

Заметим, что если при этом ipo = 0, то имеет место синфазная синхронизация, а если tpo = ж, то имеет место синхронизация в противофазе.

Основная задача работы заключается в нахождении достаточных условий, при которых в системе (7)—(12) имеет место синхронизация малых автоколебаний. Предполагается, что в каждой из систем (1)-(3) и (4)-(6)

имеют место малые автоколебания, а синхронизация достигается за счет выбора коэффициентов ру и <7у (i,j = 1,2).

В разделе 1.3 методом интегральных многообразий задача сведена к исследованию четырехмерной системы на многообразии, построенном для исходной системы (7)—(12) вблизи начала координат. Члены асимптотического разложения этого интегрального многообразия найдены в виде форм с неизвестными числовыми коэффициентами. Движение на полученном многообразии описывается следующей четырехмерной системой:

d£i

- 62 + фпб + <11262) + evn{pnm + P12V2) + + + + 9+ + 2eJ^2 + eft*) +

+ + + Зд?Ы22 + 9?%3) + -, (13)

df2

— = 61 + e(a2i£i + а22Ь) + evn{p2n)l + Р22Ч2) +

+ mi + + эГе2) + e(e?g + 2e»6i6 + е^22) + + №1 + 3<fe216& + З^С? + «) + • • • , (И)

~ = ~Г]2 + фпт + Ьпщ) -f £VK.{qn^i + 51262) +

+ (ftftf + 2h\%b + h?&) + е№1 + 2fl%b + !\Щ) +

+ + ЗВД& + 3ft}2^22 + hf$) + • • • , (15)

~ = Щ + Е(Ь217Ц + £>22%) + £"«(02161 + 92262) +

+mi+2/4416+hftt)++2/2n66+f?e2)+ + mt+зл!1^+3h\%e2+hfe2)+• • •, m

где grk,r\ erk,r\ hrk>r\ fkir2 (rur2 = 0,1,2,3, k= 1,2) - известные числовые коэффициенты.

В разделе 1.4 получено классическое условие возникновения малых автоколебаний в парциальных системах. Для этого система (13)—(14) при v = 0 записана в полярных координатах 6i=r cos a> 62= r sin а, введен новый масштаб г = s?S и осуществлен переход от времени t к фазовой переменной а. Ненулевое 2л--периодическое решение полученного уравнения найдено, в виде ряда по степеням е*. Условие существования, единственности и устойчивости этого решения имеет вид д < 0, где

9 = l^+tf+gf+g^-l^gT-g^-gl1 (д?+дГ)+д\1 (д?+д?))-

Теорема 1. Пусть

1) ап + а22 > 0,

2) д< 0,

тогда в системе (1)-(3) имеют место малые автоколебания.

Для системы (4)-(6) несложно записать аналогичные условия. Во второй главе изложен и обоснован метод исследования четырехмерной системы (13)—(16), а также рассмотрен случай и = ег, когда сила взаимодействия между парциальными системами слабее силы, вызывающей малые автоколебания в каждой из них, а связь между системами слабо влияет на амплитуды колебаний в каждой из них.

Исследование системы (13)-(16) в общем случае основано на поиске ненулевого 27Г-периодического решения и исследовании его устойчивости. Предварительно в системе (13)-(16) осуществляется переход к полярным координатам = г cos а, ^ = г sin а, щ = gcos/З, щ = g sin /3, новым масштабам г = £2,5, q = elТ и новым фазовым углам у = ф = а также переход от времени t к угловой переменной (р. В итоге получаем систему

^ = ^ = Ft(S,T,^,£), ^ = Fv(S,T,<p,1>,e), (17)

где F$, Ft, Fv — 2-гг-периодические функции по ф. Ненулевое Зет-периодическое решение полученной системы ищется в виде рядов по степеням ез;

S*{ip, е) = S„W0 + е^ф) + e&W + eis3(i&) + £2S^) + ■■■, (18) Т'(ф,е) = Т0(ф) + М{ф) +еТ2(ф) +еН,{ф) + е2Т4(ф) + ■■■, (19) у*(ф, е) = <р0(ф) + e*<pi (ф) + е<р2(Ф) + £*<Рз (Ф) + £2П{Ф) + •■■ , (20)

причем для отыскания условий синхронизации в фазе нулевое приближение разности фаз <ро(ф) берется равным нулю, а для отыскания условий синхронизации в противофазе — равным

Асимптотические приближения Б^ф), Т^ф), (г = 0,1,...) ищутся с точностью до констант. Для нахождения этих констант средние от правых частей получившихся уравнений приравниваются к нулю. Таким образом выводятся условия существования и единственности искомого ненулевого 27г-периодического решения.

Для получения условий устойчивости найденного решения система линеаризуется и приводится к автономному виду при помощи замены Боголюбова - Штокало. При помощи критерия Рауса - Гурвица выводится условие отрицательности всех собственных значений матрицы автономной системы.

Совместно полученные условия существования, единственности и устойчивости ненулевого 27г-периодического решения исследуемой системы обеспечивают возникновение синхронных автоколебаний в системе (13)-(16).

Во второй главе рассматриваются две близкие динамические системы, и их близость характеризуется следующим образом:

a>j ~ bij = Lic>j> (г'> j = 2)> (21)

9{Г] ~ 4Г1Г2) = /4Г"'г) (п, Г2 = о, 1,2,3, к =1,2), (22)

где /х > 0 - малый параметр, который без ограничения общности положен равным £2; Су, (Гк}г2 - известные числа.

Исследование системы (13)—(16) по изложенному выше алгоритму позволяет получить условия существования и единственности ненулевого 2ir-периодического решения (18)—(20) системы (17):

Л((рп + Р22) - (gu + to)) + Я((р21 ~ Р12) - (921 - 912)) + С = 0, (23)

-в((рп +Р22) + (911+922)) +^((Р21 -Р12) + (921-912))

(24)

где константы А, В, С выражены через коэффициенты систем (1)-(3) и (4)-(6). Условие устойчивости найденного 27г-периодического решения имеет вид

-в[{ри + Р22) + (911 + 922)) +А((р21-рп) + (921 -912)) « (25)

Теорема 2. Пусть коэффициенты системы (13)—(16) удовлетворяют условиям теоремы 1 и условиям близости (21)—(22); v = ц = е?; О A({pu +Р22) - (911 + 922)) + В^(р21 -Р12) - (921 -912)) + С = О,

2) -В((Р11+Р22) + (911 + 922)) + ^((Р21 — P12) + (921 - 912)) < -£'2> тогда в системе (7)-(12) имеет место синхронизация малых автоколебаний. Если при этом к — 1, то имеет место синфазная синхронизация, а если к = -1, то имеет место синхронизация в противофазе.

В случае ц <с еК когда разность между коэффициентами динамических систем пренебрежимо мала, условие 1 теоремы 2 значительно упрощается:

Теорема 3. Пусть коэффициенты системы (13)-(16) удовлетворяют условиям теоремы 1 и условиям близости (21)—(22); v = s*, // -с

1) Pll +Р22 = 911 + 922, Р21 - Р12 = 921 ~ 912,

2) ~в({рп + Р22) + (911 + 922)) -Р12) + (921 -912)) « ~еК

тогда в системе (7)—(12) имеет место синхронизация малых автоколебаний. Если при этом к = 1, то имеет место синфазная синхронизация, а если к = — I, то имеет место синхронизация в противофазе.

Для иллюстрации выполнимости условий теоремы 2 приведен численный пример системы, в которой при определенном выборе коэффициентов щ и 4ij (hj = 1)2) наблюдается синхронизация малых автоколебаний.

В третьей главе рассмотрен случай v = 1, когда сила взаимодействия между парциальными системами имеет тот же порядок, что и сила, вызывающая малые автоколебания в каждой из них, а связь между системами в значительной мере влияет на амплитуды колебаний в каждой из них. Это позволило получить достаточные условия возникновения синхронных автоколебаний без наложения дополнительных условий на коэффициенты парциальных систем.

В разделе 3.1 получены достаточные условия возникновения малых синхронных автоколебаний двух систем с близкими собственными частотами. Установлено, что для существования и единственности ненулевого 27г-периодического решения (18)—(20) системы (17) требуется выполнение следующих условий:

(рп + Рг2, <7и + (/22) е Q, (26)

D(p2i-pi2) + E(q2l-q12)+F = 0, (27)

\А\ ф 0, (28)

где Q - область в К2, для нахождения которой было проведено численное исследование; константы D, Е, F выражены через коэффициенты систем (1)-(3) и (4)-(6), а элементы матрицы А выражены через коэффициенты систем (1)-(3) и (4)-(6) и линейно через коэффициенты ру и Доказано, что для устойчивости найденного 27г-периодического решения требуется отрицательность всех собственных значений матрицы А.

Теорема 4. Пусть коэффициенты системы (13)—(16) удовлетворяют условиям теоремы 1, О {ри +P22,qu +922) е Q,

2) D (Р21 - р13) + Е (<72! - qn) + F = о,

3) действительные части всех собственных значений матрицы А отрицательны.

Тогда в системе (7)—(12) имеет место синхронизация малых автоколебаний. Если при этом к = 1, то имеет место синфазная синхронизация, а если к = — 1, то имеет место синхронизация в противофазе.

Для иллюстрации выполнимости условий теоремы 4 приведен численный пример системы, в которой при определенном выборе коэффициентов р^ и lij (hj = 1)2) наблюдается синхронизация малых автоколебаний. В четвертой главе приведены некоторые примеры и приложения. В разделе 4.1 в качестве механического примера рассмотрена система, состоящая из двух маятников Фроуда, соединенных пружиной малой жесткости. Показано, что для двух «почти одинаковых» маятников их малые движения вблизи положений равновесия синхронны.

В разделе 4.2 рассмотрена важная классическая задача о синхронизации генератора Ван дер Поля внешним периодическим воздействием малой амплитуды:

х — (г — х2)х + lo\x = и, (29)

й-(С2£2-и2)й + ш2и = 0, (30)

где х, и 6 R, е > 0 — малый параметр, С > 0, cjq > 0, и > 0.

Предполагается, что частота внешнего воздействия ш достаточна близка к собственной частоте генератора ш»:

где р > 0 — малый параметр, который положен равным ег; АеК.

Для определения условий синхронизации применен метод, изложенный в первых трех главах. После перехода к новому времени г = tot, полярной замены х = rcosa, —х = rsina, и = дcos/З, —й = gs'mf}, перехода к новым масштабам г = e?S, д = еТ, введения разности фаз ip = а — /3 и, наконец, перехода от времени т к углу /?, получилась система

^ = Fs(S,T,<p,0,£), ^ = FT(S,T,v,P,e), = ад2>,/?,<■), (31)

где Fs, Fx, Ftp — известные 27г-периодические функции по /3. Ненулевое 2я--периодическое решение системы (31) найдено в виде рядов по степеням е*. При помощи замены Боголюбова - Штокало получено условие устойчивости найденного 27г-периодического решения:

I LUq — U)2

| < Су/2Ё. (32)

Итак, при выполнении условия (32) в системе (29)-(30) возникают синхронные автоколебания, причем при > ш имеет место синфазная синхронизация, а при Ldo < и — синхронизация в противофазе. Синхронизация в

данном случае означает и то, что генератор (29) подстраивает свой ритм под частоту внешнего воздействия (30).

В разделе 4.3 проведено исследование вынужденных колебаний в случае, когда одна из парциальных систем не является автоколебательной: для этого в системе (1)-(6) положено ац + а^г < 0. Требуется определить основные характеристики вынужденных колебаний.

После полярной замены, перехода к новым масштабам г = £?S, д = е^Т, введения разности фаз <р = а — /3 и, наконец, перехода от времени t к углу /3 получена система

^ = Fs{S,T,<p,P,e), ^ = FT{S,T,v,!3,e), ^ = Fv{S,T,<p,P,e), (33)

где Fs, Ft, Fv — известные 2я--периодические функции по (3. Ненулевое 27г-периодическое решение системы (33) ищется в виде рядов по степеням £2. Для нулевого приближения амплитуды S получено уравнение вида

Л5ц + BSJ} + CSq + D = 0, (34)

имеющее от одного до трех положительных действительных решений. При помощи замены Боголюбова - Штокало выведено условие устойчивости соответствующих 27г-периодических решений исходной системы

В заключении подведены итоги диссертации, сделаны общие выводы и сформулированы основные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

На основе результатов, полученных в диссертационной работе, можно сделать следующие выводы:

• Для двух автоколебательных систем с близкими частотами возможна синхронизация с любой наперед заданной разностью фаз, причем синхронизация достигается за счет выбора параметров, которые отвечают за связи между парциальными системами.

• Чем больше разнятся синхронизируемые системы, тем более сильное взаимодействие требуется для достижения результата. Однако в любом случае синхронизация достигается за счет малых по модулю связей между парциальными системами.

• При изменении знаков параметров, отвечающих за связи между системами, синфазная синхронизация сменяется противофазной и наоборот.

Полученные результаты подтверждаются численными расчетами, а также полностью согласуются с результатами экспериментов и теоретическими данными, изложенными в классической литературе по данной тематике. Разработанные методы могут быть использованы для решения широкого класса задач управления колебаниями.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Корольков О.Г. Синхронизация автоколебаний двух близких динамических систем / О.Г. Корольков, Г.Ю. Северин, В.В. Стрыгин // Доклады Академии Наук, 2009. - Т. 428, № 1. - С. 38-40.

2. Стрыгин В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами (Общий случай) : Препринт №24 НИИМ ВГУ : Сентябрь 2007 / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин, О.Г. Корольков. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 2007. — 35 с.

3. Стрыгин В.В. Математические проблемы синхронизации малых автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин, О.Г. Корольков // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : Тезисы докладов X Международного семинара им. Е. С. Пятницкого. - М. : Изд-во ИПУ РАН, 2008. - С. 285287.

4. Стрыгин В.В. Достаточные условия возникновения синхронных автоколебаний в двух динамических системах / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин, О.Г. Корольков // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конференции. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 2009. — С. 22.

5. Корольков О.Г. Метод исследования синхронных автоколебаний двух динамических систем / О.Г. Корольков, Г.Ю. Северин, В.В. Стрыгин // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч. 1 : сборник трудов Международной конференции. — Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. - С. 264-266.

6. Корольков О.Г. Динамика двух слабо связанных автоколебательных систем / О.Г. Корольков // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : Тезисы докладов XI Международной конференции. — М. : Изд-во ИПУ РАН, 2010. - С. 185-187.

7. Корольков О.Г. Синхронизация автоколебательных систем с близкими частотами / О.Г. Корольков // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сборник трудов Международной конференции. - Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2010. - С. 196-200.

8. Корольков О.Г. Синхронизация автоколебаний двух близких динамических систем (полная версия) : Препринт №33 НИИМ ВГУ : Июнь 2010/ О.Г. Корольков, Г.Ю. Северин, В.В. Стрыгин. — Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2010. - 47 с.

9. Корольков О.Г. Применение асимптотических методов к исследованию задачи о возникновении синхронных автоколебаний / О.Г. Корольков // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2011. - С. 180-181.

Работа № 1 опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Подписано в печать 16.05.11. Формат 60*84 7,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 677.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежскою государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

1 Введение в проблему и общая постановка задачи о синхронизации малых автоколебаний двух динамических систем

1.1 Введение в проблему синхронизации автоколебаний.

1.2 Постановка задачи о синхронизации малых автоколебаний двух динамических систем

1.3 Применение метода интегральных многообразий.

1.4 Условие устойчивости малых автоколебаний в парциальных системах.

2 Синхронизация малых автоколебаний двух близких динамических систем

2.1 Описание метода исследования четырехмерной системы

2.2 Условия существования и единственности периодического решения

2.3 Условие устойчивости.

2.4 Основной результат

2.5 Численный пример.

3 Синхронизация малых автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами

3.1 Вывод достаточных условий синхронизации.

3.2 Численный пример.

4 Примеры и приложения

4.1 Синхронизация двух маятников Фроуда.

4.2 Синхронизация автоколебаний внешним воздействием

4.3 Исследование явления резонанса.

Актуальность темы. Термин «синхронизация» относится ко множеству явлений, встречающихся почти во всех областях естественных наук, техники и социальной жизни (см. [1-7]), явлений, которые кажутся совершенно различными, но, тем не менее, подчиняются универсальным закономерностям.

Голландский ученый Христиаан Гюйгенс, наиболее известный своими работами по оптике и конструкцией телескопа и часов, был, по всей видимости, первым исследователем, наблюдавшим и описавшим явление синхронизации еще в XVII столетии (см. [8]). В дальнейшем эффект синхронизации был обнаружен и изучен в различных устройствах (музыкальных инструментах [9], электронных генераторах [10-13], силовых электрических установках, лазерах [14], решетках джозефсоновских контактов [15] и т.д.), ему было найдено множество различных применений в инженерном деле (см. [2,3]). В XX веке была создана ставшая классической теория синхронизации периодических колебаний (см. [1-3,6,7,10-13,16-23]).

В настоящее время «центр тяжести» исследований сместился в сторону изучения хаотических систем (см. [1,5,6]). Впрочем, явление синхронизации автоколебаний в рамках классической теории синхронизации периодических колебаний по-прежнему привлекает особое внимание исследователей, что обусловлено важностью данного явления с точки зрения практических приложений (см. [1-7]). Так, большое значение имеет явление синхронизации мощных генераторов периодических колебаний слабым воздействием от внешнего высокостабильного генератора, что позволяет существенно улучшить их характеристики.

Настоящая диссертация касается прежде всего вопроса взаимной синхронизации двух автоколебательных систем, поскольку этот случай является наиболее универсальным. Исследуются условия, при которых имеет место фазовая синхронизация, при которой устанавливаются взаимоотношения между фазами взаимодействующих систем.

Принцип фазовой синхронизации широко распространен в современной технике и реализуется в работе систем самой различной природы. В данной работе преобразование фаз осуществляется за счет слабой связи между системами. Особый интерес здесь представляет вопрос о возможности взаимной синхронизации автоколебательных систем с заданной наперед разностью фаз.

Необходимость решения указанных проблем определяет актуальность развития асимптотических методов теории нелинейных колебаний и их применение к исследованию явления синхронизации

Цель работы: разработка универсального метода, позволяющего получить достаточные условия взаимной синхронизации малых автоколебаний двух слабо связанных динамических систем общего вида. Требуется получить условия, зависящие от коэффициентов, отвечающих за связи между парциальными системами, чтобы эффекта синхронизации можно было достичь для двух произвольных динамических систем путем выбора связей.

Методы исследования. Для сведения исходной (n + т + 4)-мерной системы дифференциальных уравнений к четырехмерной использован метод интегральных многообразий [45-51]. Асимптотическое приближение 27Т-периодического решения системы на многообразии ищется с помощью метода Пуанкаре, разработанного И.Г. Малкиным для нелинейных систем общего вида (см. [53-55]). Для исследования устойчивости 27Г-периодичес-кого решения используется метод Боголюбова - Штокало [56-63], а также критерий Рауса - Гурвица.

Численные расчеты проведены в пакете символьных вычислений Maple

12.

Научная новизна работы заключается в том, что предложен новый математический аппарат исследования задачи о синхронизации автоколебательных систем с близкими частотами. Разработан метод, позволяющий для рассматриваемого класса сложных систем получить достаточные условия синхронизации малых автоколебаний с любой наперед заданной разностью фаз. Предложенный подход не предполагает никаких дополнительных ограничений на коэффициенты парциальных систем (за исключением условий возникновения автоколебаний в каждой из них).

Практическая ценность работы. Полученные в данной работе результаты могут быть использованы при решении различных прикладных задач из таких областей, как механика, радиоэлектроника, связь, лазерная физика.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

• Класс сложных систем, в которых возможно возникновение синхронных автоколебаний.

• Определение синхронизации малых автоколебаний для данного класса сложных систем.

• Универсальный метод, позволяющий получить условия, при которых в исследуемой системе возникают синхронные автоколебания с любой заданной наперед разностью фаз, а также исследовать многие другие задачи, касающиеся теории синхронизации малых автоколебаний.

• Достаточные условия возникновения синхронных автоколебаний (в фазе и в противофазе) для случая двух близких динамических систем (теорема 2); для случая двух идентичных динамических систем (теорема 3); для случая двух динамических систем с произвольными коэффициентами, но близкими частотами (теорема 4).

Личный вклад автора. Постановка задач и определение направлений исследований выполнены научным руководителем. Выбор методов, используемых при решении поставленных задач, осуществлялся совместно автором и научным руководителем. В частности, лично автором была предложена идея поиска приближенного 27г-периодического решения системы на многообразии с целью дальнейшего его исследования на устойчивость. Рассматриваемые приложения были предложены лично автором. Подробное проведение рассуждений и доказательств, а также все аналитические и численные расчеты выполнены лично автором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на

• X Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 3-6 июня 2008 г.;

• Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 27 января - 2 февраля 2009 г.;

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 22-24 июня 2009 г.;

• XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 1-4 июня 2010 г.;

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 20-22 сентября 2010 г.;

• семинаре Кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета, Воронеж, 7 декабря 2010 г.;

• Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 25 января - 1 февраля 2011 г.

• семинаре Лаборатории адаптивных и робастных систем управления им. Я. 3. Цыпкина Института Проблем Управления им. В. А. Трапезникова РАН, Москва, 5 апреля 2011 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять научных работ [70-78], в том числе одна статья [74] в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура работы. Работа состоит из введения и четырех глав. Первые три главы - теоретические, тогда как в четвертой главе рассмотрены примеры и приложения теории синхронизации.

В первой главе вводится класс сложных систем, в которых возможно возникновение малых синхронных автоколебаний. В разделе 1.1 приводится обзор результатов по данной проблеме, а также дается интерпретация исследуемому в настоящей диссертации явлению синхронизации автоколебаний. В разделе 1.2 дается общая постановка задачи о синхронизации малых автоколебаний в сложной (п + т + 4)-мерной системе. В разделе 1.3 исходная система методом интегральных многообразий [45-51] сводится к четырехмерной системе на многообразии. В разделе 1.4 получены условия возникновения малых автоколебаний в парциальных системах. Эти условия сформулированы в виде теоремы 1.

Во второй главе изложен и обоснован метод исследования четырехмерной системы на многообразии, а также рассмотрен случай, когда сила взаимодействия между парциальными системами слабее силы, вызывающей малые автоколебания в каждой из них, а связь между системами слабо влияет на амплитуды колебаний в каждой из них. При этом рассматриваются две близкие динамические системы.

В разделе 2.1 описывается метод, позволяющий получить достаточные условия возникновения малых синхронных автоколебаний в рассматриваемой системе.

В разделе 2.2 проводится исследование автоколебаний в четырехмерной системе. Для этого осуществляется переход к полярным координатам, новым масштабам и новым фазовым углам, затем четырехмерная автономная система приводится к трехмерной неавтономной с 27г-периодическими правыми частями. Наконец, ищется асимптотическое приближение 27г-пе-риодического решения полученной системы, выводятся условия его существования и единственности.

В разделе 2.3 иследуется устойчивость найденного решения. Для этого система линеаризуется и приводится к автономному виду при помощи замены Боголюбова - Штокало (см. [56-63]).

В разделе 2.4 сформулирована теорема 2 о синхронизации автоколебаний двух близких динамических систем, а также теорема 3 о синхронизации автоколебаний двух идентичных динамических систем (в случае, когда разница между парциальными системами настолько мала, что ею можно пренебречь). В разделе 2.5 приведен численный пример системы, в которой при определенном выборе коэффициентов, отвечающих за связи между парциальными системами, наблюдается синхронизация малых автоколебаний.

В третьей главе рассмотрен случай, когда сила взаимодействия между парциальными системами имеет тот же порядок, что и сила, вызывающая малые автоколебания в каждой из них, а связь между системами в значительной мере влияет на амплитуды колебаний в каждой из них. Это позволяет получить достаточные условия возникновения синхронных автоколебаний без наложения дополнительных условий на коэффициенты парциальных систем.

В разделе 3.1 получены достаточные условия бифуркации малых синхронных автоколебаний двух систем с близкими собственными частотами. Методы решения данной задачи в целом совпадают с методами, примененными во второй главе при решении задачи о синхронизации двух близких динамических систем, с той лишь разницей, что для установления условий единственности и вещественности амплитуд потребовалось дополнительное численное исследование. В разделе 3.2 приведен численный пример системы, в которой при определенном выборе коэффициентов, отвечающих за связи между парциальными системами, наблюдается синхронизация малых автоколебаний.

В четвертой главе приведены некоторые приложения теории синхронизации. В разделе 4.1 в качестве механического примера рассмотрена система, состоящая из двух маятников Фроуда, соединенных пружиной малой жесткости. В разделе 4.2 рассматривается важная классическая задача о синхронизации генератора Ван дер Поля внешним периодическим воздействием малой амплитуды. Наконец, в разделе 4.3 проводится исследование вынужденных колебаний в случае, когда одна из парциальных систем не является автоколебательной.

В заключении подводятся итоги диссертации, делаются общие выводы и формулируются основные результаты.

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, профессору Стрыгину Вадиму Васильевичу за ценные замечания и поддержку.

Заключение

На основе результатов, полученных в диссертационной работе, можно сделать следующие выводы:

• Для двух автоколебательных систем с близкими частотами возможна синхронизация с любой наперед заданной разностью фаз, причем синхронизация достигается за счет выбора параметров, которые отвечают за связи между парциальными системами.

• Чем больше разнятся синхронизируемые системы, тем более сильное взаимодействие требуется для достижения результата. Однако в любом случае синхронизация достигается за счет малых по модулю связей между парциальными системами.

• При изменении знаков параметров, отвечающих за связи между системами, синфазная синхронизация сменяется противофазной и наоборот.

Полученные результаты подтверждаются численными расчетами, а также полностью согласуются с результатами экспериментов и теоретическими данными, изложенными в классической литературе по данной тематике. Разработанные методы могут быть использованы для решения широкого класса задач управления колебаниями.

1. Пиковский A.C. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление / A.C. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Курте. — М. : Техносфера, 2003. - 494 с.

2. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем / И.И. Блехман. — М. : Наука, 1971. — 894 с.

3. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике / И.И. Блехман. — М. : Наука, 1981. — 352 с.

4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence / Y. Kuramoto. — Berlin ; New York : Springer, 1984. — 161 p.

5. Balanov A. Synchronization: from simple to complex / A. Balanov, N. Janson, D. Postnov, O. Sosnovtseva. — Berlin ; Heidelberg : Springer, 2009. 426 p.

6. Анищенко B.C. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Ва-дивасова. — Долгопрудный : Интеллект, 2009. — 312 с.

7. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы / П.С. Ланда. 2-е изд. - М. : ЛИБРОКОМ, 2010. - 360 с.

8. Гюйгенс X. Три мемуара по механике / X. Гюйгенс ; пер., ред. и примеч. К.К. Баумгарта. М. : Изд-во АН СССР, 1951. - 378 с.

9. Стретт (лорд Рэлей) Дж. Теория звука : В 2 т. . / Дж. Стретт (лорд Рэлей) ; пер. с 3-го англ. изд. П.Н. Успенского и С.А. Каменецкого; подред. и с предисл. С.М. Рытова. — 2-е изд. — М.: Гос. изд-во техн.-теорет. литературы, 1955. — Т. 1, 2.

10. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator / E. V. Appleton // Proc. of the Cambridge Philosophical Society. Math, and Phys. Sciences. 1922. - Vol. 21. - P. 231-248.

11. Поль, Б. ван дер. Нелинейная теория электрических колебаний / Б. ван дер Поль ; пер с англ.; с предисл. С.Э. Хайкина. — М. : Связь-техиздат, 1935. — 140 с.

12. Андронов А.А. К математической теории захватывания / А.А. Андронов, А.А. Витт. — Журнал прикл. физики. — 1930. — Т. 7, № 4. — С. 3-20.

13. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. — М. : Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 568 с.

14. Siegman А.Е. Lasers / А.Е. Siegman. — Sausalito, СА : University Science Books. 1986. - 1283 p.

15. Hadley P. Phase locking of Josephson-junction series arrays / P. Hadley, M.R. Beasley, K. Wiesenfeld // Physical Review B. 1988. - Vol. 38, No 13. - P. 8712-8719.

16. Майер А.Г. К теории связанных колебаний двух самовозбуждённых генераторов / А.Г. Майер // Уч. зап. ГГУ. 1935. - Т. 2, № 5. -С. 3-11.

17. Гапонов В.И. Два связанных генератора с мягким возбуждением / В.И. Гапонов // Журн. техн. физ. 1936. - Т. 6, № 6. - С. 801.

18. Бремзен А.С. Анализ работы двух связанных релаксационных генераторов / А.С. Бремзен, И.С. Файнберг // Журн. теорет. физики. — 1941. Т. 11, № 10. - С. 959-971.

19. Теодорчик К.Ф. Томпсоновские автоколебательные системы с двумя степенями свободы / К.Ф. Теодорчик // Радиофизика. — 1946. — Т. 1, № 3. С. 3-18.

20. Хохлов Р.В. Об одном случае взаимной синхронизации отражательных клистронов / Р.В. Хохлов // Радиотехника и электроника. — 1956. — Т. 1, № 1. С. 88-97.

21. Уткин Г.М. Взаимная синхронизация автогенераторов на кратных частотах / Г.М. Уткин // Радиотехника и электроника. — 1957. — Т. 2, № 1. — С. 44-56.

22. Минорский Н. О синхронизации / Н. Мипорский // Труды Между-нар. симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 1. — Киев : Изд-во АН УССР, 1961. С. 351-366.

23. Марченко Ю.И. О взаимной синхронизации молекулярных генераторов / Ю.И. Марченко, В.П. Рубаник // Известия вузов. Радиофизика. 1965. - Т. 8, № 4. С. 679-687.

24. Rand R.H. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators / R.H. Rand, P.J. Holmes // Int. J. of Non-Linear Mechanics. 1980. - Vol. 15, No. 4-5. - P. 387-399.

25. Chakraborty T. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators / T. Chakraborty, R.H. Rand // Int. J. of Non-Linear Mechanics. — 1988. — Vol. 23, No. 5-6. P. 369-376.

26. Aronson D.G. Amplitude response of coupled oscillators / D.G. Aronson, G.B. Ermentrout, N. Kopell // Physica D : Nonlinear Phenomena. — 1990. Vol. 41, No. 3. - P. 403-449.

27. Pastor-Diaz I. Dynamics of two coupled van der Pol oscillators / I. Pastor-Diaz, A. Lopez-Fraguas // Physical Review E. — 1995. — Vol. 52, No. 2. — P. 1480-1489.

28. Ivanchenko M.V. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators / M.V. Ivanchenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, J. Kurths // Physica D : Nonlinear Phenomena. — 2004. — Vol. 189, No. 1-2. — P. 8-30.

29. Кузнецов А.П. Особенности синхронизации в системе связанных осцилляторов Ван-дер-Поля, неидентичных по управляющему параметру / А.П. Кузнецов, В.И. Паксютов, Ю.П. Роман // Письма в журн. техн. физ. 2007. - Т. 33, № 15. - С. 15-21.

30. Задорожний В.Г. Асинхронные автоколебания в двухконтурном автогенераторе / В.Г. Задорожний, В.И. Непринцев, А.А. Кузнецов // Вестн. Воронеж, ун-та. Сер. Систем, анализ и информ. технологии. — 2007. — № 1. С. 133-138.

31. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от них в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов / ДА. Куликов // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. — 2005. — Т. 5. С. 120-132.

32. Куликов Д.А. Автомодельные циклы и их локальные бифуркации в задаче о двух слабосвязанных осцилляторах / Д.А. Куликов // Прикл. мамем. и механика. — 2010. — Т. 74. № 4. — С. 543-559.

33. Стрыгин В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин // Вестн. Воронеж, ун-та. Сер. Систем, анализ и информ. технологии. 2006. - № 2. - С. 36-45.

34. Абарбанель Г.Д.И. Синхронизация в нейронных ансамблях / Г.Д.И. Абарбанель, М.И. Рабинович, А. Селверстон, М.В. Баженов, Р. Хуэрта, М.М. Сущик, JI.J1. Рубчинский // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166, № 4. - С. 363-390.

35. Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. Киев : Изд-во АН УССР, 1937. - 364 с.

36. Волосов В.M. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений / В.М. Волосов // Успехи математических наук. — 1962. Т. 17, № 6. - С. 3-126.

37. Волосов В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1971. 507 с.

38. Mitropolsky Iu.A. Averaging method in non-linear mechanics / Iu.A. Mitropolsky // Int. J. Non-Linear Mechanics. — 1967. — Vol. 2, No 1. P. 69-96.

39. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. — М. : Наука, 1974. — 504 с.

40. Стрыгин В.В. Об одной модификации метода усреднения при отыскании высших приближений / В.В. Стрыгин // Прикладная математика и механика. 1984. - Т. 48, К0- 6. - С. 1042-1045.

41. Strygin V.V. The Principles of Averaging in the Theory of Nonlinear Oscillations and the Separation of Movement / V.V. Strygin // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1986. — Vol. 66, No. 11. — P. 560-561.

42. Strygin V.V. Method of Separation of Movement and Higher Order Averaging for Nonlinear Systems with Quasiperiodic Coefficients // V.V. Strygin, D.G. Esippenko // Nonlinear World. — 1996. — No. 4. — P. 807-834.

43. Стрыгин В.В. Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных условно-периодических нерезонансных систем / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин // Вестн. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. — 2006. — № 1. — С. 199-203.

44. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения / В.А. Плисс // Изв. АН СССР. Мат. Сер. 1964. 28. - С. 1297-1324.

45. Бибиков Ю.Н. О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н. Бибиков, В.А. Плисс // Дифференциальные уравнения. — 1967. Т. 11, № 3. - С. 1864-1881.

46. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М. : Мир, 1966. 230 с.

47. Kelley A. Changes of variables near a periodic surface or invariant manifold / A. Kelley // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. - Vol. 131, No 2. -P. 356-364.

48. Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds / A. Kelley //J. Differential Equations. 1967. - Vol. 3, No 4. -P. 546-570.

49. Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова. — М. : Наука, 1973. — 512 с.

50. Стрыгин В.В. Разделение движений методом интегральных многообразий / В.В. Стрыгин, В.А. Соболев. — М. : Наука, 1988. — 256 с.

51. Стрыгин В.В. Смена устойчивостей и бифуркация малых автоколебаний систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной / В.В. Стрыгин // Докл. АН СССР. — 1971. — Т. 199, № 1. С. 33-35.

52. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — М.; JI. : Гос. изд-во техн.-теорет. литературы, 1952. — 432 с.

53. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И.Г. Малкин. — М. : Гос. изд-во техн.-теорет. литературы, 1966. — 492 с.

54. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний / А.П. Проскуряков. — М. : Наука, 1977. — 256 с.

55. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффициентами / И.З. Штокало // Матем. сб. — 1946. — Т. 19(61), № 2. — С. 263-286.

56. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами / И.З. Штокало. — Киев : Изд-во АН УССР, 1960. — 80 с.

57. Штокало И.З. Операционное исчисление (обобщения и приложения) / И.З. Штокало. — Киев : Наукова думка, 1972. — 304 с.

58. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов. — М. : Наука, 1970. — 352 с.

59. Burd V. Method of Averaging for Differential Equations on an Infinite Interval: Theory and Applications / V. Burd. — London ; New York : Chapman & Hall/CRC, 2007. 348 p.

60. Бурд В.Ш. Системы дифференциальных и разностных уравнений: метод усреднения и асимптотика решений : учебное пособие /В.Ш. Бурд, П.Н. Нестеров. — Ярославль : ЯрГУ, 2008. — 192 с.

61. Куницын A.J1. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем / A.JT. Куницын, JI.T. Ташимов. — Алма-Ата : Гылым, 1990. 195 с.

62. Ко лесов А.Ю. Специфика автоколебательных процессов в резонансных гиперболических системах / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов, В.Г. Сушко // Фундамент, и прикл. матем. — 1999. — Т. 5. № 2. — С. 437-473.

63. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Многочастотный параметрический резонанс в нелинейном волновом уравнении / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. - Т. 66. № 6. - С. 49-64.

64. Тхай В.Н. Цикл в системе, близкой к резонансной системе / В.Н. Тхай // Прикл. мамем. и механика. — 2004. — Т. 68. № 2. — С. 254272.

65. Барабанов И.Н. Стабилизация колебаний из однопараметрического семейства автономной системы / И.Н. Барабанов, В.Н. Тхай // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 2. — С. 35-41.

66. Тхай В.Н. Вынужденные резонансные колебания нелинейной автономной системы в окрестности равновесия /В.Н. Тхай // Автоматика и телемеханика. 2010. — № 11. - С. 112-118.

67. Стрыгин В.В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами (Общий случай) : Препринт № 24 / В.В. Стрыгин, Г.Ю. Северин, О.Г. Корольков. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 2007. 35 с.

68. Корольков О.Г. Синхронизация автоколебаний двух близких динамических систем / О.Г. Корольков, Г.Ю. Северин, В.В. Стрыгин // Доклады Академии Наук, 2009. Т. 428, №1. - С. 38-40.

69. Корольков О.Г. Динамика двух слабо связанных автоколебательных систем / О.Г. Корольков // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : Тезисы докладов XI Международной конференции. М. : Изд-во ИПУ РАН, 2010. - С. 185-187.

70. Корольков О.Г. Синхронизация автоколебательных систем с близкими частотами / О.Г. Корольков // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сборник трудов Международной конференции. Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2010. - С. 196-200.

71. Корольков О.Г. Синхронизация автоколебаний двух близких динамических систем (полная версия) : Препринт № 33 НИИМ ВГУ : Июнь 2010 / О.Г. Корольков, Г.Ю. Северин, В.В. Стрыгин. — Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2010. 47 с.