автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Асимптотические свойства решений и управляемость механических систем

Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева

На правах рукописи

РГБ ОД УДК 517.91

Карпушкина Светлана Анатольевна

Асимптотические свойства решений и управляемость механических систем

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск -1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В.Воскресенский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.К. Горбунов

кандидат физико-математических наук М.И. Купцов

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

Защита состоится 23 сентября 1998 г. в 14 ч. 00 мин. На заседании диссертационного совета К 063.72.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 430000, г.Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан « /( » {/Л<Л1_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математическ""*

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Возникновение математической теории устойчивости движения обязано ениальному русскому математику и механику Александру Михайловичу Л я-[унову. Ее основы были разработаны менее 100 лет назад, когда было опубл и-:овано знаменитое сочинение А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости (вижения». Идеи Ляпунова были развиты и углублены в работах Н.Г.Четаева, }.М.Матросова, В.И.Зубова и др. В настоящее время теория устойчивости по 1япунову является общепризнанной и находит широкое применение в задачах 1еханики.

Наряду с этим за последние 40 лет интенсивное развитие получила задача i6 устойчивости движения по части переменных. Такая задача естественным |бразом возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда, исходя из ребований нормального функционирования объекта, достаточно обеспечить го устойчивость лишь по части переменных. Перечислим некоторые из этих [роблем: устойчивость по отношению к углу нутации вращающегося снаряда, >дноосная стабилизация спутника, устойчивость голономных систем с цикл и-[ескими координатами и, в частности, систем с вращающимися массами (рот о-1ами, твердых тел с упругими частями и полостями, содержащими жидкость), [еголономных систем. Постановка задачи об устойчивости движения относ и-ельно части переменных также принадлежит А.М.Ляпунову. В настоящее вре-1я теория устойчивости движения по части переменных развивается такими ■чеными как Румянцев В.В., Озиранер A.C. и др.

В механических системах, движение которых могут быть описаны ура в-[ениями Лагранжа и Гамильтона, наиболее часто в качестве функции Ляпунова ыбирается полная энергия системы или первый интеграл системы. Однако, (встроенная таким образом функция Ляпунова, не всегда удовлетворяет уел о-1иям теорем прямого метода Ляпунова. Вопрос построения вспомогательных зункций является весьма трудной проблемой.

Возникает идея использовать для изучения движения механических си сем, устойчивости их положения равновесия другие методы. В частности, м е-од классификации совокупности Н дифференциальных уравнений по качест-енным и асимптотическим свойствам. Как и в любой классификации, понятие ггношения эквивалентности дифференциальных уравнений играет важную юль. Оно порождает важное понятие инварианта как отображения рассматр и-¡аемой совокупности Н дифференциальных уравнений в другую совокупность i математических объектов, постоянного на классах эквивалентности. Если о т-гашение эквивалентности связано с асимптотическими свойствами решений, то iHO часто называется асимптотической эквивалентностью.

Допустим, на множестве 2 введено отношение эквивалентности, тогда иобая теорема об эквивалентности уравнений индуцируется группой или пол у-руппой с единицей (G, S). Исследуемому уравнению в соответствующем кла с-се эквивалентности ищется уравнение, асимптотическое поведение решений

которого хорошо изучено. Отсюда получаются асимптотические формулы для решений рассматриваемого уравнения.

Асимптотическое интегрирование возмущенных дифференциальных уравнений на основе различных классификаций имеет свою историю, восходящую к классикам А.М.Ляпунову, А.Пуанкаре, И.Г.Петровскому и другим, а в настоящее время этот метод эффективно разрабатывается Е.В.Воскресенским и его учениками.

Цель работы.

1. Получение новых теорем об асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.

2. Получение теорем об асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением по части компонент.

3. Применение полученных теорем в задачах небесной механики с целью изучения движения планет и спутников при стремлении времени к бесконечности.

4. Получение теорем об устойчивости положения равновесия относительно обобщенных скоростей механических систем с линейным первым приближением.

5. Получение теорем об устойчивости положения равновесия относительно обобщенных скоростей механических систем с нелинейным первым приближением.

6. Применение полученных теорем к задаче обращения теоремы Лагран-жа-Дирихле.

7. Получение теорем об устойчивости положения равновесия механических систем путем одновременного использования функций Ляпунова и асимптотических методов.

8. Получение теорем об управляемости механических систем с нелинейным первым приближением по некоторым компонентам за конечное время.

Общая методика исследования основана на применении теорем об асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений, принципе Шаудера-Тихонова, асимптотических методах сравнения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

1. Получены достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.

2. Получены достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением по части компонент.

3. На примере возмущенной задачи двух тел показано применение полученных теорем об асимптотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением.

4. Получены достаточные условия устойчивости относительно обобще н-:ых скоростей положения равновесия механических систем с линейным пе рым приближением.

5. Получены достаточные условия устойчивости относительно обобще н-:ых скоростей положения равновесия механических систем с нелинейным [ервым приближением.

6. Предложен метод решения задачи обращения теоремы Лагранжа-[ирихлс.

7. Получены теоремы об устойчивости положения равновесия механич е-ких систем путем одновременного использования функций Ляпунова и аси м-тотических методов.

8. Получены достаточные условия управляемости по обобщенным скор о-тям механических систем с нелинейным первым приближением за конечное ремя.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический и пр и-ладной характер, полученные результаты применяются в конкретных областях [еханики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались а научном семинаре Средневолжского математического общества под руков о-ством профессора Е.В.Воскресенского (Саранск 1995, 1996, 1997, 1998 гг.), на )гаревских чтениях (Мордовский госуниверситет, Саранск 1995, 1996, 1997 г.), на конференции молодых ученых (Саранск 1996, 1997, 1998 гг.), на Ме ж-ународных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» Саранск 1994, 1996, 1998 гг.), на VII Четаевской конференции «Аналитическая [еханика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997 г.).

Публикации. Основные результаты работы отражены в двенадцати пу б-икациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех пав, разбитых на параграфы, списка обозначений и библиографического сп и-ка. Общий объем диссертации 110 страниц. Библиографический список с о-ержит 93 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности решаемых в диссе рации задач, содержится обзор работ по теме диссертации, формулируются о с-овные результаты, полученные в работе.

В первой главе рассматривается вопрос о достаточных условиях аси м-тотической эквивалентности по Брауеру дифференциальных уравнений с н е-инейным первым приближением как по всем, так и по части переменных.

В первом параграфе этой главы приводятся определения асимптотич е-кой эквивалентности дифференциальных уравнений по Брауеру, Левинсону, [емыцкому относительно некоторой функции 1. Эти определения даны как по

Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Изд-во Сарат. ун-та, 1990. — 224с.

всем, так и по части переменных.

Пусть Е - некоторое множество дифференциальных уравнений вида

^ = 0>

Рассмотрим уравнения из множества Е:

= (2)

^=Ж>>у) (3)

Будем считать, что х{г-?о>хо) - решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным данным ('о'^о)' у{1:1о<Уо) - решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным данным ('о> Уо)-

Определение 1.1.1. Пусть для уравнений (2) и (3) при любом *о ^ Т существует биекция Л Л" —> Яп такая, что

л(/:/0.*о)= у{™о<Рхо) + о{»(1))' у{щ,Уо) = х(ыо> Р'1Уо)+ о(и(0)

при >+оо для всех решений •х0:'о>хо), >'о), определенных при

1 - 1о, М:[7\+с0) [0,+оо)_ фиксированная функция для всего множества Е . В этом случае уравнения (2) и (3) называются асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функции Ц.

Определение 1.1.2. Пусть для уравнений (2) и (3) при любом

- ^ существуют два отображения Р^.Я" —> /?п и Рг'-Рп Р" такие, что 'о-*о) = )'(': 'о • р2ха)+<>(и(0)> у{1'1о>УО)=Х(1:10,Р1Уо) + О{^)) при Г—>+со для всех решений -ф:*о>ло), >'('•''о >>'о), определенных при

I ^ 'о, И-;[^">+с0) [0.+°°) - фиксированная функция для всего множества Е . Тогда уравнения (2) и (3) называются асимптотически эквивалентными по Брауеру относительно функции Ц.

Аналогично даются определения асимптотической эквивалентности по Брауеру и Левинсону относительно части компонент.

)

<4,4(4

Во втором параграфе первой главы с помощью принципа Шаудера-'ихонова доказывается теорема об асимптотической эквивалентности по Брау-ру дифференциальных уравнений с нелинейным первым прибл ижением. Перепишем уравнение (3) в следующем виде:

^ = /1 М + «М,ЛМ + = /гМ (4)

це «ъСт\[Т,+х>)*КлХ).

Теорема 1.2.7. Пусть выполнены следующие условия: ) все решения х{{:{0'хо) уравнения (2) равномерно ограничены относительно Хо на интервале [Г,-Ко);

■де ТУ ес(я+3), И^/О^м.га) при г, <г2 „ Ч/(*.лг) е(л| хЯ|). ) все решения уравнения

авномерно ограничены относительно Хо на интервале [Т,+со);

+0О

)/(г,г) = < +00, г е[г,+оо), Г еЯ{;

/

)/(/,г)-»0 при /—>+») равномерно по ге .

Тогда уравнения (2) и (4) асимптотически эквивалентны по Брауеру отно-ительно постоянной.

Аналогично доказывается теорема о покомпонентной асимптотической квивалентности по Брауеру уравнений (2) и (4).

В третьем параграфе первой главы рассматривается возмущенная задача вух тел.

Пусть материальная точка (планета или спутник) движется под действием ритяжения другой материальной точки и добавочной возмущающей силы.

Обозначим через х, у, г - прямоугольные декартовы координаты движ у-(сйся точки, а X, У, Х- проекции возмущающего ускорения, вызываемого де й-гвием добавочной возмущающей с илы.

Уравнения движения движущейся точки в системе осей, имеющих ней з-енные направления и начало в притягива ющей точке, запишутся в виде:

• = + у2 + г2) 2 + У| г,х,у,г,х,у,г |;

г = -цг(*2 + ;у2 + г2) 2

.г + 2 + г «.дс.у.г.х.у.г .

Для системы (5) в качестве первого приближения возьмем невозмущенную систему

_3

х = -цх{х2 + у2 + г2) 2;

з

/9 9 9.\~

У

: = -|дг(.

(6)

В теореме 1.3.1 приводятся достаточные условия асимптотической эквивалентности по Брауеру невозмущенной системы (6) и возмущенной системы (5).

В четвертом параграфе первой главы с помощью теоремы о сжимающем отображении доказывается теорема об асимптотической эквивалентности уравнений (2) и (4) по Левинсону.

Теорема 1.4.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.7 и

где лз

2)

Х3 Х3(м,г,)£Цм,г2) при г,

]\3(г,л, < +оо г) е Я2;

Тогда уравнения (2) и (4) асимптотически эквивалентны по Левинсону относительно постоянной.

Результаты, полученные в теореме 1.4.1, можно применить не только для качественного исследования поведения решений дифференциальных уравнений

при /—>+со, но и, например, для численного нахождения решения >(':'оО'о) уравнения (4) на конкретном компакте. Это также показано в четвертом параграфе.

Во второй главе применением теорем первой главы находятся достаточные условия устойчивости относительно обобщенных скоростей положения равновесия механических систем.

В первом параграфе второй главы рассматривается вопрос приведения равнений движения механических систем, записанных в форме Лагранжа, к юрмальному виду.

Рассматривается механическая система с п степенями свободы, описы-

аемая обобщенными координатами <? е ^ " и обобщенными скоростями

]' е Я" Такой системе будет соответствовать кинетическая энергия и поте н-.иальная энергия

ТА хПх /?"->/?, (1,д,д')-^Т{1,д^'), П: / х П К, (г, д) П(м)-

дс ^ с Я" ,1 = ]т,+со[, те/?. Будем предполагать, что потенциальная энергия редставляет собой функцию класса С .

Пусть () - вектор обобщенных сил, воздействующих на си стему

<2:/хЯх/?"->• Я, -> <2{1,д,д').

1редположим, что вектор £2 непрерывен.

Часто кинетическую энергию Т записывают следующим образом:

Т = т{г,д, д') = ^д'тА((,д)д>' + Ь(г,д)Т д'' + ¿(м),

де А - (пхп) - матрица, Ь - (пх 1) - матрица и ¿- скаляр, определенные на /хП. "роме того, А,Ь,(1- функции класса С1.

Уравнения движения Лагранжа для такой системы имеют вид с! дЬ дЬ Л дд' дд~

де ь=т- П.

Пусть матрица Л (/,<?) неособая, тогда систему (7) можно привести к ормальному виду:

Ыд

(8)

Де

8ь{1,д) дс1(1,д) бгф.д^ Э? дд дд

Пусть

А~'(<.0)

от од

ап(г,д)

а?

ееО.Уг е/,

тогда система (8) имеет положение равновесия

? = 4' = 0. (9)

Во втором и четвертом параграфах положение равновесия (9) системы (8) исследуется на устойчивость относительно обобщенных скоростей Ч -

Во втором параграфе в качестве системы сравнения для (8) выбирается линейная система

-А

Обозначим через У(1) - фундаментальную матрицу системы (10), У(/о)=Е, ?об[Г,+со); через У"'(?) - матрица, обратная к Для системы (10) матрицы У(Г) и можно представить в следующем виде:

-1

(10)

(е

1о к,-'(о ;

Теорема 2.2.1. Пусть выполняются следующие условия:

гдеХбС([Г,+оо)х/?'+, /?1+)Д(Г,г1)<Цг,А-2)при г,<г2 для всех ?>Т;

2) функция теС([Т,+оо)х/? Л+)

удовлетворяет неравенству

3) при любом с>0

400

г

4) решения г(?:?о,-со) уравнения ограничены при всех ,

5) система (10) устойчива (асимптотически устойчива) относительно .

Тогда положение равновесия системы (8) устойчиво (асимптотически устойчиво) относительно Я.'.

\

В третьем параграфе рассматривается задача обращения теоремы Ла-гранжа-Дирихле и предлагается способ ее решения на основе асимптотических истодов.

В четвергом параграфе в качестве системы сравнения для (8) выбирается нелинейная система

Обозначим через

(?(/:*,), 4о .?о)><2г,(':'о.?о>9о))Г (12)

решение системы (11) с начальными данными

{Ь'Чо'Чо) (13)

крез

о>9о.?о). у{^0'Чо>я'о) = е (14)

фундаментальную матрицу решений уравнения в вариациях

-=Г° Е о

зтноситсльно решения (12) системы (11).

Теорема 2.4.1. Пусть выполняются следующие условия:

где Л\), Ц/.гО <Щг2)

три Г\<Г2 для всех

( е[г,г0], К>0, г еЯ;

0

/(/,г,с) = ел < +оэ г > т, с > 0;

I)г,с)® равномерно относительно с6 [0,со].

>) положение равновесия системы (И) устойчиво (асимптотически устойчиво) относительно ч'■

Тогда положение равновесия системы (8) устойчиво (асимптотически устойчиво) относительно ч'.

В пятом параграфе приводятся два метода сравнения: асимптотический и ютод сравнения, использующий функцию Ляпунова, на основании которых

можно получить новые теоремы сравнения, объединяющие в себе оба этик м е-тода.

Рассмотрим уравнение

^=/(,,4 /(,,<))* 0 У,е[7>со)> (15)

гделе/?", /еС(0'1)([Т,+сю)хЯ',,/гЛ).

Теорема 2.5.2. Пусть существует функция такая, что для некоторой функции иаК. ( а(г)еК, если а - непрерывная строго возрастающая функция при геМс[0,+оо), причем а{0)=0 ) и любых (ГдМГГгМхД"):

1) У(/,*):>а(И), ^,0) = 0;

2) Ш^М^Ч'^М).

где ИУ( 15) - одна из производных Дини от функции V в силу уравнения (15); и для уравнений

= + /г1(?,у)+/г2(г,у) = /)(/,у) (16)

¿и , / \

— М''И) (П)

выполняются следующие условия:

3)\\И2(^ук2(^2) 11^0,1к-У2 II) V УьУае/г"; Хе&т([Т,+оо)*н\, Д'Д Щг{)<Ц1,гг) при г,<г2 V Г>Г.

4) /г(?,0)=/г,(?,0)=Х(?,0)гО V Г>7;

5) / е[т,г0], АГ>0, г е/?; где

5и0

а и(Ыо,ио) - решение уравнения (17), проходящее через точку (?о,Мо)> /

7)/(г,г,с) О

'' (->+00

равномерно относительно се[0,с(|].

Тогда из устойчивости (асимптотической устойчивости) тривиального решения м=0 уравнения (17) следует устойчивость (асимптотическая устойч и-вость) тривиального решения хеО уравнения (15).

В третьей главе рассматриваются вопросы управляемости механических истем за конечный промежуток времени.

В первом параграфе этой главы уравнения движения управляемой меха-ической системы, заданные в форме Лагранжа приводятся к нормальному ви-У-

Рассмотрим управляемую голономную механическую систему с п степе-ями свободы, описываемую обобщенными координатами обобщен-

ыми скоростями Ч' е , с кинетической, потенциальной энергией и обоб-кнными силами, описанными во второй главе. Пусть на систему также дейст-уют некоторые управляющие силы Р

Р:1ха*Яп Я", (г,д,д',и)-»

це и- вектор управления, /=[0,7].

Уравнения движения Лагранжа для такой системы имеют вид: <1 Ы дЬ Л дq' д(1 це£,=Т- П.

Предполагая, что А(/,<?) неособая матрица и проводя рассуждения, анало-ичные приведенным в параграфе 2.1, приведем систему (18) к нормальному иду

¿1' I, , \ (19)

а,е

—-а'—-+-—- .

5/ 4 & дq Э?

Во втором параграфе третьей главы решается задача управляемости сис-гмы (19) относительно обобщенных скоростей за конечный промежуток вре-ени.

Определение 3.2.2. Система (18) называется управляемой относительно бобщенных скоростей за конечный промежуток времени, если для любых двух

эчек ЯоМ е К" существует управление и{1) такое, что соответствующее ему

ешение системы (19) удовлетворяет условиям = <7о>

= при некотором /(>?о.

Представим функцию £ из (19) в виде суммы двух функций g(t,q,q',u) = fx{t,q,q',u) + fг(t,q,q,,u),

где 8Мг еф,г]хЯ" х Г хЛ"1,/?"), и вместо системы (19) будем рассматривать

Л

= 4

(20)

Предположим, что система

Л

= 9

(21)

управляема относительно обобщенных скоростей ч' в некотором классе Л"о

функций и вида и = 11{1>с/'), " еС([о,т]хза конечный промежуток времени.

Выберем произвольное управление и(*>г) е г еЯ" и подставим его в функции Л. /2 . При этом системы (20) и (21) примут соответс твенно вид

Л

¿Я' I , \

— = .г),

Теорема 3.2.3. Пусть выполняются следующие условия: ЧЧиЧг.ч[>Чг*х,гг еЯ", где 7-,у еф.Г^со)), = 1,2.

(22)

(23)

2)<? = т)-ьх22(т))<з(хехр ¡1и(т)с1х

о ^о

<1,

где

I /

О = \\хп(О + Х-а ехр ,(*) + (5))<к

Тогда У<]о е К" существует, по крайней мере, одно управление «е^ц,

1ереводящее точку <7о в фиксированную точку ч1 за время т по инте-ральной кривой системы (20).

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Карпушкина С.А. Асимптотическая устойчивость автономных систем // Тез.докл. П-ой конф.молодых ученых Мордов. гос. ун-та, Саранск, 21-25 апреля, 1997. - Саранск, 1997. - С.19.

2. Карпушкина С.А. Асимптотическая устойчивость положения равновесия нелинейных автономных систем И Тр. семинара по диф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. - Саранск, январь-июнь 1997 / Мордов. ун-т. - Саранск, 1997. С. 84-91. Деп. в ВИНИТИ 06.08.97, №2618-В97.

3. Карпушкина С.А. Асимптотическая эквивалентность нелинейных диффере н-циальных уравнений И Тез. докл. Ш-ей конф.молодых ученых Мордов. гос. унта, Саранск, 22-24 апреля, 1998. - Саранск, 1998. - С.10.

4. Карпушкина С.А Асимптотические методы в задачах небесной механики // Тр. HI-ей Междун. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск, 19-21 мая, 1998. - Саранск, 1998. С.210.

5. Карпушкина С.А Применение принципа сравнения при исследовании усто й-чивости решений. - Саранск: Средневолжское матем. Общество, 1998, препринт №2.

6. Карпушкина С.А. Устойчивость механических систем при наличии гироск о-пических и диссипативных сил // Мат. моделирование, РАН - 1997. - Т.9, №10. -

7. Карпушкина С.А Устойчивость нелинейных автономных систем // Тез. докл. VII Четаевская конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 10-13 июня, 1997. - Казань: Изд-во Казан. Тех.ун-та, -1997.-С.50.

8. Фирсова С.А Второй метод Ляпунова и асимптотические методы интегрир о-вания дифференциальных уравнений // Тез. докл. Междун. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск, 20-22 декабря, 1994. - С а-ранск, 1994. - С. 160.

9. Фирсова С.А Второй метод Ляпунова и асимптотические методы интегрир о-вания дифференциальных уравнений // Тез. докл. 5-ой науч. межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 24-25 мая, 1995. -Самара, 1995.-С.59.

10. Фирсова С.А. Второй метод Ляпунова и асимптотические методы интегр и-рования дифференциальных уравнений И Мат. моделирование, РАН - 1995. -Т.7, №5. - С.78.

11. Фирсова С.А. Об устойчивости равновесия механических систем // Вестник Мордовского ун-та. - 1995. №4. - С. 62-66.

12. Фирсова С.А Применение функций Ляпунова при исследовании устойчив ости дифференциальных уравнений асимптотическими методами // Тез. докл. 6-ой межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 29-31 мая, 1996.-Самара, 1996,- 4.2. -С. 175-177.

С.13.