автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод сравнения и управляемость нелинейных систем

На правах рукописи УДК 517.917

Павлов Андрей Юрьевич

МЕТОД СРАВНЕНИЯ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1995

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Е. В. Воскресенский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Н. Е. Кирин

кандидат физико-математических наук, доцент

И. Ю. Попов

Ведущая организация - Институт математического моделирования

РАН, Москва

Защита диссертации состоится "_"_!_1995 г.

в _ часов на заседании Специализированного Совета

Д-063.57.33 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербувг, Васильевский остров, 10 линия, дом 33, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПГУ им. А.М.Горького (Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9).

Автореферат разослан "_"_1995 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, доктор физико-математических наук

А. П. Жабко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача управляемости систем за конечное мя играет важную роль в математической теории управления. Магические основы решения таких задач были созданы Р. Калманом, [. Красовским, В.И.Зубовым и другими. Для случая, когда в пра-I части системы матрицы не зависят от времени, эта задача све-;ь к известной алгебраической задаче. В.И. Зубовым, кроме зада-управляемости, решена задача об общем виде программных движе-I. Здесь заранее фиксируется время перевода одной точки в дру-ю. Затем указываются условия, при которых произвольная фиксиро-нная точка переводится в другую произвольную точку, причем им указан общий вид всех программных движений.

В нелинейных системах, рассмотренных В. И. Зубовым , управле-:е зависит не только от переводимой и конечной точки, но и от лого параметра, причем значение малого параметра зависит от сазанных точек. Другими словами, по двум точкам определяется тчение малого параметра, а затем, в зависимости от этих двух эчек, мало'го параметра и времени перевода подбирается подходя-эе управление из класса допустимых управлений.

В работах В.И. Зубова, Е.В. Воскресенского и других решается адача об управляемости систем за бесконечное время. В этом слу-ае фиксированная точка переводится в сколь угодно малую окрес-ность другой точки, причем в дальнейшем из этой окрестности пе-еводимая точка не выходит. Из управляемости за конечный промеясу-■ок времени такая управляемость в общем случае не вытекает. И [аоборот: из управляемости за бесконечное время не вытекает уп-)авляемость за конечное время.

В диссертационной работе рассматривается задача об управ-

ляемости нелинейной системы вица

г?хе А (.-^ - -матрица, непрерывная на множестве

6 ~ _ матрица, непрерывная на множестве

класс допустимых управлений.

Даются условия, при которых эта система управляема за конечное и за бесконечное время.

11ель работы. Получение оценок для решений управляемых систем. Решение задачи об управляемости нелинейной системы за бесконечное зремя. Решение этой же задачи за конечное время. Реие-ние задачи об .устойчивости и стабилизации программных движений. Решение задачи синтеза управления.

Методика исследований. Е работе используются следующие методы: I) метод сравнения; 2) методы асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений Е.В.Воскресенского; 3} метоп, основанный на теоремах о неподвижной точке; 4) метод вариаций произвольных постоянных Дагранжа; 5) первый метод Ляпунова.

Научная новизна. I. Получены новые оценки для решений нелинейных дифференциальных уравнений. 2. Получена новая теорема о равномерной ограниченности решений. 3. Получены оценки для решений управляемых систем. 4. Решена задача об управляемости нелинейной системы типа Липшица. 5. Решена задача об управляемости нелинейной системы типа Липшица в нуле. 6. Приведены новые результаты, относящиеся к устойчивости решений.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют на ранней стации проектирования систем автоматического регулирования аналитически построить программные управления, получить асимптотические формулы для программных движений, обосновать параметры систем, провести оценку точности расчета, этих параметров при решении задач устойчивости и стабилизации.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях семинара по дифференциальным уравнениям Мордовского госуниверситета (19921995 г.г.), на Огаревских чтениях Мордовского госуниверсите-га (1992-1994 г.г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске (декабрь, 1994 г),на семинаре по дифференциальным уравнениям Санк?-Пе-тербургского госуниверситета (май,1995$.

Публикации. По результатам исследований опубликовано пять работ. Бее результаты автором диссертационной работы получены самостоятельно. Е.В.Воскресенскому принадлежит постановка задач. Также им преклонены методы решения поставленных проблем.

Объем и структура работы. Диссертация галогена на 143 стра-¡ииах и состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы, включающего 87 наименований.

СОДЕРГШКЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор результатов по теме ксследова-!ий, дано обоснование актуальности решаемых проблем. Сформули-ювана постановка задачи.

Пусть дана система (I)

Спрашивается: при каких условиях система (I) управляема за конечное время? При каких условиях эта же система управляема за бесконечное время?

Каков при этом класс допустимых управлений? Эти задачи являются главными в настоящей работе.

В основе метопа решения основной задачи находится принцип сравнения. В этом случае решения уравнения

тМ.С^ (2)

исследуются 8 зависимости от решений уравнения

причем главную роль играет малость функции

- ^.(М4)- (4)

Тогца уравнение (. 3 ) является уравнением сравнения.

Кроме системы ("■-! ') рассматривается линейная система

-- (5)

которая в фиксированном классе допустимых управлений является управляемой за конечное или бесконечное время. Спрашивается, при каких условиях, система (I) также является управляемой в этом же классе допустимых управлений? Эта задача решается на основе принципа сравнения, когда исследуемая система- система вида (1),а уравнением сравнения является система вида (5).

В первой главе введены все основные понятия и определения: управляемость за конечное и бесконечное время, асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений и т.д.

Что означает управляемость за бесконечное время? Пусть точка Х0 переводится в точку Х^ за бесконечное время управлением 4 х '. о, - соответствуюшее программное движение. Тогда х (Д-, о, х0, ^ = хЛ . Отсюда

4. -у оа

следует, что пля любого £>0 существует Т-Т(£,^>0> такое что II х Н'-0, х.,и} - х, \\ < как только . Другими сло-

вами, движущаяся точка, начиная с некоторого момента времени!", попадает в £ - окрестность точки и оттуда не выходит при всех ^Т".

В первом параграфе первой главы решается задача об управляемости за бесконечное время системы (5).Здесь же рассмотрено понятие асимптотического равновесия.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

= (б)

У О) - фундаментальная матрица этого уравнения, нормированная в нуле, У(о) = Е .

Пусть УОО = 1г1 УО~)+о, Тогда

^ -V » во

говорят, что система (6) имеет асимптотическое равновесие.

Теорема 1.1.2. Пуст.ь

1) система (6) имеет асимптотическое равновесие,

* ~ т

2) матрица Ас (.^»Л - I &„ Сч) является невырожденной. 4 '

3) ¿ь _ существует.

О

В этом случае система (5) является управляемой за бесконечное время, а допустимое управление имеет вид

+ оо

и СО = СО С (* (^'С* -) *л - 1о & СО «А 5. - х„), (8)

где ?>„ ^ = В С*), - У'С-Ь) РСО.

Во втором параграфе первой главы получены новые оценки для решений нелинейных дифференциальных .уравнений. Получена новая теорема о равномерной ограниченности решений.

Теорема 1.2.2. Пусть уравнение С 6. ) тлеет асимптотическое равновесие и 1\ Ц С^, х*) \\ $ УС'ЦЦхй^ ,

X1, ЦТ,*«*}* ^ ([•!>«} »

ХСМО) «хал,1) Тоща если:

1) з = ^ ХО,«^^ пси существует;

2) 1

<А<к

, —--— со

3) - ] '^з ¿^ равномерно стремится к епинице

относительно А. при -Ь +» , то решения уравнения

= АМх + ^СЦх) (9)

равномерно ограничены.

Замечание 1.2.1. Если уравнение (6) имеет асимптотическое

равновесие и X (Л, = ^ х \1, гпв

^ С1»4) < -V 00 , то в этом случав выполняются все услала

вия теоремы 1.2.2.

В третьем параграфе первой главы рассмотрены условия асимптотической эквивалентности дифференциальных .уравнений. Эти результаты основываются на работах Воскресенского Е.В.

Определение 1.3.1. Пусть 2 -множество дифференциальных уравнений вида

(Ю)

гае £ С (СЛ, + * ^ , £ ^ и иля .уравнения (10 •) для любых начальных данных ( ** ), ¿а ъ Т существует единственное решение Ц . Будем говорить, что уравнения

(И)

с1Ь

и

из множества 2 асимптотически эквивалентны по Брауеру относительно функции С ( С Т, ' Со, f») , если существуют два отображения : íT— , Рг ■. vT такие, что

х <Л". Ц - ^ (.4-. t., ^ х.) + о С t (Ц, (13)

^■•t.,^-- + (I4)

при -t » .

Вторая глава является основной и она содержит следувдие результаты.

В первом параграфе второй главы получены оценки для решений управляемых систем. Основной здесь является лею/а 2.1 Л. Леыыа 2.1 Л. Пусть

W U,XJ(uty\ ¿ЧЛО^-хД-^Дк) l\u,-uau

IV <Л - ч Ct, ^ W s W IV \\

для любых х,,хг) £Rnj f;£C([3, + «) Co,*«)),

й fflWo(s<^) где

Torna пля решений CO = * ^'• Цх0, и =

^ к et-. l„, x^a^y u, = u (-Ц-дД, u^uC-t,^) справедливо неравенство

ПхД^-х^Н á R. Ii lito, (I5>

Eo втором параграфе второй главы методом сравнения решена задача об управляемости системы (. t ) типа Липшица.

Определение 2.2.1. Будем говорить, что система (I) из множества типа Липшица, если

длялобых Xfl u«,^6*™, Mfi е С UV-\ t»4,2.

Теорема 2.2.1. Пусть система (I) типа Липшица и асимптотически эквивалентна по Брауеру при любом ^ £ К. системе (5). Если справедливы условия леммы 2ЛЛ, формула

^ xC-t.H i jy (16)

и

^ = f U Ja^'^H <Х Л- ^ (<,)) ¿s < i J

то для любого Х„ & существует управление <д G К , переводящее точку Х0 в точку у* за бесконечное время.

В теореме 2.2.2 снято условие асимптотической эквивалентности, точнее говоря,наложены такие условия, при которых условие асимптотической эквивалентности будет выполняться.

Теорема 2.2.2. Пусть система (6) имеет асимптотическое равное

новесие, ~ Е .Система (I) типа Липшица и j Ci) JU < + °°

т '

j_nB(s>n ds < -к» ( Ас= } ds

' дьляетса небы?ожд,ениои, 6e =V существует,

Тогда для всех t„, для которых

*t<3

система (I) является управляемой за бесконечное время в классе

= [u: в.а^г'совео, се^,

В третьем параграфе второй главы решена задача методом сравнения об управляемости системы (I) типа Липшица в нуле.

Определение 2.3.1. Будем говорить, что система (I) из множества Ь- типа Липшица в нуле, если

W $ ОЦ х, ^ 4 í С^ И к « + t и 1\ мя ВСеХ

xa", € С (IT, t«.)( ¿ = •(, 2,

Теорема 2.3.1. Пусть система (I) типа Липшица в нуле, система (6) имеет асимптотическое равновесие,

т +«• т т '

матрица = ] &„ (л) (<>} с( ь является

1 ЭД Т

невырожденной, $ существует. Тогда для всех ,

т

для которых

* "^о -V о« ^

где т -

система

(I) является управляемой за бесконечное время в классе К0 = (и; и-- ВГ- с>.

В этом Ее параграфе изучены асимптотические свойства нелинейных систем (I). Здесь же даны условия управляемости системы вида

В четвергом параграфе второй главы решается задача об управляемости системы (I) за конечное время. Причем и здесь основной является идея принципа сравнения.

Теорема 2.4.3. Пусть система (I) типа Липшица,а система (5) является управляемой в классе за время Т ,матрица

А« С Л " ] б-С«.4) Ь0 ("О ^ $ является невырох-

"Ьо

денной,

^ ^ Тогда при достаточно большом ,

таком что а

для любого ^ существует управление и. € К0 >

переводящее точку Х0 в точку ^ * за конечное время т .

Объединив теоремы 2.2.2. и 2.4.3 единой формулировкой, получим. ' • • ' .

Теорема 2.4.4. Пусть система (I) типа Липшица,

т

j <Ь < , L = 2 , т < т 4 + ~

т '

Ч (Л4) - Y i'ù, dit Y (С) 4 о система (5) является управляемой в ч.-* т %

классе Y-0 , $ < + « .матрица Д0 (т) =

= j Ь. (s>) <i $ является не выроете иной, J т т "г *

J \\ J{ (л, о,оу\ d,s существуют и конечны. Тогда при всех ,

для которых <р J кЧ (<.~)\\ (fc, dls < 1,

для любого х„ сушествует управление u t К0 .пере-

водящее точку в точку у* за время т .

В третьей главе решаются задачи об устойчивости и стабилизации программных движений 23 .

Практическое применение алгоритма для нахождения управления, построенного в теореме 2.2.1, возмотао лить в случае, когда при малых изменениях начальных данных и управления, программное двияение меняется незначительно. Поэтому необходимо обеспечить устойчивость программных движений при малых возмущениях начальных данных.

Определение 3.1.3. Решение х (Ч'. называется

сильно устойчивым, если для любого £ > О существует S >О такое,что как только у < §" ,

Теорема 3.1.1. Для того, чтобы рещение х С* было сильно устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы оно было устойчивым по Ляпунову в классе управлений KQ и устойчивым относительно управления. Теорема 3.1.2. Пусть

>

ИЧСЛЧ (s)VUt, s, J -^«U * + ~ .Тогда любое решение управ-

ления ( I ) устойчиво по Ляпунову в классе KQ.

Теорема 3.1.3. Если \\ Ч W) \\ $ ce> -t ч о и справен-,

ливы условия леммы 2.1.I, то все решения уравнения ( I ) устойчивы относительно управления и £ .

Ео втором параграфе третьей главы решена задача о стабилизации программных движений. Эта задача решается теоремой 3.2.1.

Теорема 3.2.1. Если уравнение

-Ц = LA U^+bU) С(А)1 г имеет асимптотическое равновесие, $ L (<>) +

* и C(&)ttl d.s < 00 , то при ч •= COt) х состояние рав- . новесия Х=0 уравнения

Jg = + BW« + _ | v.)

устойчиво.

Здесь V0 - управлявшее воздействие. Этому воздействио соответствует частное решение ^С^.Кэ теоремы 3.2.1 вытекает, что при отклонении управлявшего воздействия w = С (А) у стабилизируется заданное движение

Замечание 3.2.1. В параграфе 3.1.Г показана сильная устойчивость всех движений. Поэтому здесь задача стабилизации решена.

В этом же параграфе приведены обзше результаты, относящиеся к устойчивости решений.

В третьем параграфе третьей главы рассматривается зависимость допустимых управлений от переводимых точек.

Пусть выполняются все условия, при которых уравнения (I) и (5) рассмотрены в теореме 2.2.1. Тогда для каждой переводимой точки Х0 при помоши уравнения движения (I) существует невырожденная квадратная матрица PQ такая, что иско-

мое управление имеет вид ц - и (А, Введем обозначения

U (-Ц ^о О = v t-fc.x.y (17)

Тогда получим класс Kj допустимых управлений для уравнения движения (I). Причем класс Kj получается из класса KQ с учетом равенства (17).Тогда уравнение движения (I) имеет вид

^ = A(-tW + -гРОУ {18)

Полученный класс допустимых управлений Kj обладает свойством: каапой переводимой точке XQ в момент времени £ соответствует единственное значение управления v -^ (Л, хсУ,

Е этом случае будем говорить, по аналогии с терминологией оптимального управления, что для задачи управляемости решена проблема синтеза управления. Поэтому если рассмотрим синтезирующую функиив v (Л,х) и подставим ее в уравнение движения (18), то получим уравнение

ij - & -t CG:). (19)

Для этого уравнения точка является притягивающей при

4, . Другими словами, все решения х (-t

при стремятся к точке

РАБОТЫ, ОПУБЖКОЕ АШЫЕ iß ТЕМЕ ДИССЕРШИЙ

Еоскресенский Е.Е., Павлов А.Ю. Управляемость, построение и стабилизация программных движений //Вестн.Мора.ун-та. 1993.Ю, с.55-61.

2. Павлов А.Ю. Управляемые системы 1/ ХХП Огаревские чтения: ¡¿зтериалы научной конференции /Саранск: Иза-во Мордов.ун-та, 1994,с. 84.

3. Павлов А.Ю. Управляемость за бесконечное время и построение программных движений в линейных системах }} Тр.семин.по дифференц.управлением Морд.гос.ун-та, Саранск, янв.-ионь, 1994 /Деп. а ЕИКИТИ 08.ffi.94, № 2053- В 94, с 9-20.

-154. Павлов А.Ю. Об управляемости нелинейных систем J J Тез.докл. межа.конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения".-Са-рансч, 1994, с. 150. 5. Павлов А.Ю. Об управляемости нелинейных систем П Вестн. Мора.ун-та.1995. »1, с. 54-57.

Госкостат Республики Мордовия Заказ Ь35 Тираж 100 экз.