автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами линейного приближения

на правах рукописи

Зудашкина Оксана Валентиновна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ЛОКАЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ В КЛАССЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕУПРАВЛЯЕМЫМИ СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК- 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов Евгений Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Павлов Андрей Юрьевич

Ведущая организация: Сан/г Т-Петеррургснии гое, ¿/Ш^ыГе?

Защита состоится "22" марта 2006 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета КМ.212.117.07 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан " 15 " февраля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ка

>

~ззлГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблемам управления. Исторически задачи управления встречались еще в древние века, однако интерес к ним особенно возрос в последнее время, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, развитием техники и ростом возможностей ЭВМ, благодаря которым стали осуществимы расчет и реализация сложных законов управления.

При исследовании математических моделей часто возникает задача о построении управляющего воздействия, которое переводит объект в заданное состояние. Например, при моделировании движения автомобиля, при исследовании модели трехсекторной экономики возникает задача о переводе системы в заданную точку, принадлежащую некоторой окрестности нуля. Особый интерес и актуальность представляют задачи исследования свойств решений управляемой системы, расположенных в окрестности известного решения. Примером такого типа задач может служить задача управления ядерным реактором.

Настоящая работа посвящена разработке методов исследования математических моделей, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Задачей исследования является определение условий, при которых рассматриваемые математические модели являются локально управляемыми.

Значительный вклад в развитие математической теории управления внесли Калман P.E., Понтрягин JT.C., Болтянский В.Г., Красовский H.H., Зубов В.И., Ли Э.Б., Маркус Л., Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Арутюнов A.B., Мастерков Ю.В., Тонкое Е.Л., Воскресенский Е.В. и многие другие математики.

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории управления процессами. В настоящее время диапазон задач, в которых приходится учитывать управляющее воздействие, стал весьма широким. Как никогда прежде, ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Поскольку область приложения обширна, то естественны сложность и многообразие получаемых математических моделей. В силу этих причин общего решения задачи управления пока не найдено. В частности, наименее изученной остается задача управления для нелинейных систем. Следовательно, задача поиска условий, при которых математические модели, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений, могут быть переведены в заранее заданную точку, является актуальной.

Цель работы. Развитие качественных и аналитических методов исследования математических моделей, описываемых управляемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Ставится задача - определить условия существования управления, при котором решение нелинейной системы

* = /.

---—

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ ■ БИБЛИОТЕКА I

(0.1)

С. Петербург ОЭ Щ^мгг

удовлетворяет равенствам х(0) = 0, х(Т) = Ь, причем вектор Ь может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля. Предполагается, что х - п-мерная вектор-функция, и - т-мерная вектор-функция (управление), тйп, Т ~ фиксированное число.

Определяются необходимые и достаточные условия, при которых функционал

7(м)=(0.2)

о

заданный на решениях системы (0.1), имеет локальный минимум.

Методика исследования. Управление, являющееся решением поставленной задачи, может быть найдено в виде произведения известной тп х и -матрицы и постоянного п -мерного вектора, в виде тригонометрического многочлена, или в виде кусочно-постоянной функции. Вопрос о локальной управляемости системы сводится к вопросу о разрешимости нелинейного операторного уравнения. Доказательства теорем основаны на применении принципа сжимающих отображений.

Проблема существования локального минимума функционала (0.2) сводится к задаче исследования форм четного порядка на знакоопределенность. Предложены два способа исследования форм двух и более переменных на знакоопределенность.

Научная новизна. В диссертации найдены новые достаточные условия локальной управляемости математических моделей, необходимые и достаточные условия существования локального минимума нелинейного функционала, разработаны методы исследования форм четного порядка на знакоопределенность, установлены теоремы о структуре решения управляемой системы.

Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений с управляющим параметром, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Условия локальной управляемости системы (0.1) в случае, когда матрица линейного приближения операторного уравнения является неособенной (некритический случай).

2. Алгоритм исследования задачи локальной управляемости в критическом случае с использованием свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов системы (0.1).

3. Необходимые и достаточные условия существования локального минимума нелинейного функционала (0.2), заданного на решениях системы (0.1).

4

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, им. С.А. Есенина, а также на следующих конференциях:

1. VI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии (апрель 2002 года),

2. Научная конференция "Герценовские чтения - 2004" в Российском государственном педагогическом университете (г.Санкт-Петербург, апрель 2004 года),

3. IX Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии (апрель 2004 года),

4. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XVй (г. Воронеж, май 2004 года),

5. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" в Тульском государственном университете (ноябрь 2004 года),

6. Семинар Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е.В. Воскресенский (г.Саранск, февраль 2006 года)

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в четырнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложений и библиографического списка литературы, включающего 109 наименований. Общий объем диссертации -133 страницы машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.

В главе 1 изучается проблема локальной управляемости объектами, движение которых описывается нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

В § 1 устанавливается вид решения управляемой системы. Рассматривается система дифференциальных уравнений

х = A(t)x + B(t)u + g(t, и) + /(/, х,и). (1.1)

Здесь хеЕп, (£„ - и-мерное векторное пространство), иеЕт - управление, пх.п -матрица A(t) и их те-матрица B(t) непрерывны на сегменте [0; Т\, тйп, g(t,u) и f{t,x,u) - заданные и-мерные вектор-функции. Вводятся следующие обозначения:

1) H = max{k|) • Д'-^-мерный вектор вида у = (у,у2.....ук)\

2) ||g(.)| = sup |g(/)|, g(t) - вектор-функция, определенная на сегменте [0;Г];

3) ||Я|| — sup | BzI, В-матрица, ||Я(.)|| = sup||б(/)||;

|r|il «[ох]

4) D(ô„) = {(t,x,u) U б [О;Г], хеЕп,иеЕя, |*| < ô0, |u| < ô0), ВД) = {(/,«) иф,Т\ и е Еш, |м|¿S0},

D2(Ôq) = {(t,x) : t e [0;Г], x e £„, |x| ^ S0}, S0 - некоторое число.

Предполагается, что вектор-функция g(t,u) определена на множестве Dt(S0) и удовлетворяет следующим условиям: 11) функция g(t,u) непрерывна по всем аргументам, 2\) g{t,u)l\u\ 0 при и -V 0 равномерно по t, 3,) g(t,0) = 0 при любом t е [0;Г],

вектор-функция f(t,x,u) определена на множестве D(S0) и удовлетворяет условиям:

Ь) f(t,x,u) непрерывна по всем аргументам,

22) /(г, х, и) /\у\ -> 0 при у -> 0 равномерно по t, где у = (х, м),

32) /(/,0,0) = 0 при любом / е [О; Т],

^ ч w f(t,x,u) ^

42) существует положительное число M такое, что —- й M.

И

В качестве допустимых управлений рассматриваются непрерывные или кусочно-непрерывные (в частности, кусочно-постоянные) на сегменте [0; г] функ-

ции u(t), удовлетворяющие условию ||и(.)|| 5 <£с. Множество всех допустимых управлений обозначим U(S0).

Под решением системы (1.1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию, определенную на сегменте [0;Г], удовлетворяющую на этом сегменте уравнению (1.1) за исключением, может быть, точек, в которых управление имеет разрыв.

Для системы (1.1) ставится задача - найти представление решения в окрестности нулевого решения, которое может быть использовано при исследовании проблемы локальной управляемости.

Будем предполагать, что система (1.1) удовлетворяет условиям существования, единственности, непрерывной зависимости решения от параметра на множестве D2(S0)xU(S0).

Обозначим решение системы (1.1) с начальным условием х(0) = 0, соответствующее управлению и е U(S0), следующим образом: t -> х = x(t,u), при этом х(0,и) = 0.

Из условий 31) и 32) следует, что х = О является решением системы (1.1) при и ~ 0. Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра найдется ¿5j е (О;50] такое, что для любого и s U(S, ) система (1.1) имеет решение t -» х = x(t,u), определенное на сегменте [0;Г] и |x(î,m)|<<?0 для любого t е [О; Г].

Одновременно с системой (1.1) рассмотрим систему

у = A(t)y+B(t)u+g(t, и)+f{t, x(t, и), и). (1.2)

Теорема 1.1. Решение t -*x = x{t,u) системы (1.1) с начальным условием х(0,и) = 0, определенное на сегменте [0;Г], является решением системы (1.2). И, наоборот, решение системы (1.2) t у = y(t), удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0, является решением системы (1.1) и x(t,u) = y(t) для любого

Из теоремы 1.1 следует, что решение системы (1.1) t-*x = x(t, и) определяется соотношением

x(tM))=m)x-\4)№)u(Z)+g(tAi))+№x(4, "О). «(£))]#•

о

пусть q(tM-))=m'!x-wig(£Mf))+f(f,x(iM)\

о

Теорема 1.2. Решение системы (1.1) t->x = x(t,u), u&U(ö,) для любого t е [О; Г] представимо равенством

*(',"(•)) = m )x-\t) Bfâutf) dÇ+o(u), где Jim ^ = 0.

В § 2 задача локальной управляемости системы (1.1) сводится к вопросу о разрешимости нелинейного операторного уравнения.

Ставится вопрос о возможности за конечное время Т перевести систему из положения х0 (которое в дальнейшем будем считать началом координат) в другое фиксированное положение х, с помощью допустимого управления. Практически вопрос решается численными методами. В связи с этим полезно заранее знать условия, достаточные для существования указанного управления.

Определение 1. Система (1.1) называется управляемой, если для любой точки xsE„ существует управление из класса допустимых управлений, переводящее систему (1.1) из положения í, = 0 в точку х за некоторое фиксированное время Т.

Систему дифференциальных уравнений, не удовлетворяющую условию определения 1, будем называть неуправляемой.

Определение 2. Будем говорить, что система (1.1) локально управляема, если существует такая окрестность начала координат в пространстве Ег, в каждую точку которой можно перевести систему из положения х„ = 0 с помощью допустимого управления за некоторое фиксированное время Т.

Пусть ÍV(ó') = {хеЕп:|*| £ <П.

Ставится задача - определить условия существования числа S' > 0 такого, что для каждой точки b е W(S') найдется управление и е U{St), при котором решение системы (1.1) удовлетворяет равенству

х(Т,и) = Ь. (2.1)

Из теоремы 1.2 следует, что систему (2.1) можно записать так:

Х{Т) jpr'tf) B{4)u{4)d4 + q(T,u{-)) = Ь, (2.2)

о

где q(T, «(.)) = о(и).

Управление u(t)eU(ój), удовлетворяющее равенству (2.2), будем искать в виде u(t) = R(t)a, где Л(/)- известная тих «-матрица, непрерывная (кусочно-непрерывная) на сегменте [0;Г], а - неизвестный п -мерный вектор.

Число S7>0 определим согласно равенству 8г = • Тогда при любых а (|а| <S2), te [0;Г] будет справедливо соотношение |н(/)| = S ||Л(.)|||а| á S{.

Пусть Р = Х(Т) )х'' (4)В(£) R(0 d£. Система (2.2) примет вид

о

Ра+ц{а)=Ь, (2.3)

где Р - известная их «-матрица, fi(a) = q(T,R(.)a).

Лемма 2.1. В системе (2.3) fi(a)=о(а) при u(t) = R(t)a.

Замечание. В случае совпадения размерности управляющего параметра с размерностью фазового вектора, то есть m = n, управление u(t) может быть найдено в виде u(t) = <p{t)a, где <p(í) - известная скалярная функция, а - неизвест-

ный «-мерный вектор. Тогда п х п -матрица Р = Х(Т) рТ1 (£)В(£) и лемма

о

2.1 будет справедлива в данном случае.

Таким образом, задача нахождения управления, удовлетворяющего системе уравнений (2.1), сводится к задаче нахождения вектора а, являющегося решением операторного уравнения (2.3).

В § 3 рассматривается построение операторного уравнения в случае, когда управление представимо в виде тригонометрического многочлена.

Задачу локальной управляемости, сформулированную в предыдущем параграфе, будем решать в предположении, что искомое управление может быть представлено в виде

"(О = о„ + Е^», «я» у"'' + Ь, sin yu ] >

где а„, а,, 6, - неизвестные т-мерные векторы, а величина к выбирается таким образом, чтобы выполнялось неравенство (1 + 2к)т > п.

Под нормой вектора «(/) будем понимать следующее:

M-W+tkl+iw

1-1 /-1

Система уравнений (2.2), к исследованию которой сводится рассматриваемая задача, в данном случае будет иметь вид

Х{Т) pr'tf) + cos Щ-it + b, sm^-itJjd^ + q{TM.))=b, (3.1)

.. q{T, и(.)) в котором lim ——= 0.

||„(.)|

Пусть a = coloti(al>,ax,b„...,ak,bk) - вектор размерности (1 + 2 k)m, fi{a) = q(T,«(.)). Можно убедиться, что lim - 0.

а

Пусть

о

с;=х(Т)\х-Ч{№) cos—, i=üi,

о

.2 ж,

С= Х(П\Х-\£Ш)ы , 1 = 1, ко I

Тогда систему уравнений (3.1) можно записать в виде

/-1 /-1

и, следовательно, в виде

Pa+fi(ct) = b, (3.2)

где Р = (Са, С[, С",..., С'к, С'к) - известная матрица размерности пх(] + 2к)т, /х(а) = о(а).

Итак, чтобы определить условия, при которых система (1.1) является локально управляемой, достаточно исследовать операторное уравнение (3.2) и найти условия его разрешимости.

§ 4 посвящен построению операторного уравнения для кусочно-постоянного управления.

Управление меЩ), удовлетворяющее равенству х(Т,и) = Ь, будем искать в виде кусочно-постоянной функции. Сегмент [0; Т] разобьем на части точками 0 = („<(,,< г2,< ...< г,, = Т, г = 1,2.....т. Количество точек разбиения определяется исходя из постановки конкретной задачи, или может быть выбрано про-

т

извольным образом, при этом числа А, должны удовлетворять условию ^к, >п..

Пусть для любого / = 1, т

К, >etO,U

/V 'е Л,

где ир = const, j = 1, .

Из теоремы 1.2 следует, что искомое управление u(t) должно удовлетворять соотношению

Х(Т) рГ'(£) B(Z)u(Z)dt+q{T,u(.)) = b, (4.1)

о

в котором urn -З-т—= 0.

||«(.)||

Обозначим G(^) = и [G(f)]( - i -тый столбец матрицы G(g), где

i = 1, m.

Пусть a-colon{un,u1,,...,uiX,un,un,...,uki2,...,uim,u2m,...,utm) - вектор размерности (к, + кг +... + кя). Так как |и(.)|| = max{|«y,j} = \а\, то

ajsk,

q(T, и(.)) = о(м) = о(а). Пусть Да) = д(Т,и(.)), тогда ц(а)=о(а). Введем обозначения:

о

Atl=X(T) \[G{Z)\dt,

тогда систему (4.1) можно представить в виде

Ра+м(а)=Ь, (4.2)

где Р = colon (А,,^,,..., At „ А,2, AJ2, ...,At¡2,..., А,а, А7т,..., Ак_„), Р- известная

матрица размерности nxí^k,

Vw

Следовательно, для решения задачи локальной управляемости системы (1.1) в предположении, что управление является кусочно-постоянной функцией, требуется определить условия, при которых для каждого b из некоторой окрестности нуля существует решение операторного уравнения (4.2).

Глава 2 посвящена исследованию нелинейного операторного уравнения, к разрешимости которого сводится задача локальной управляемости системы (1.1).

В § 5 рассматривается операторное уравнение вида

Ра + ц{а)=Ь, (5.1)

в котором р(а)=о(а).

Причем, если управление отыскивается в виде u(f) = R(t)a, то матрица Р является ихи-матрицей.

В предположении, что управление может быть найдено в виде тригонометрического многочлена или в виде кусочно-постоянной функции, мы получим матрицу линейного приближения, содержащую п строк и не менее п столбцов. В первом из указанных случаев в качестве искомого вектора а рассматривается вектор, координатами которого являются коэффициенты тригонометрического многочлена, а во втором случае координатами вектора а являются значения кусочно-постоянного управления на временных отрезках.

Можно убедиться, что если система линейного приближения системы (1.1) не является управляемой, то матрица Р имеет ранг г, 0 £ г < п.

Ставится задача - определить условия, при которых для каждого вектора Ъ из множества W(S') = {х s : |xj< £'}, 5'- некоторое число, существует вектор а, удовлетворяющий уравнению (5.1).

Будем предполагать, что на множестве D,(S) функция g{t,u) удовлетворяет условию Липшица по переменной и, на множестве D{5) функция f(t, х,и) удовлетворяет условию Липшица по переменным х, и. Можно убедиться, что существует число S' такое, что на множестве векторов {а:\а\<5'} для величины //(а) будет выполняться условие Липшица по переменной а.

Далее будем предполагать, что в равенстве (5.1) число неизвестных переменных равно числу уравнений, то есть матрица линейного приближения является квадратной матрицей размерности пхп.

Дня матрицы Р будет выполнено одно из следующих условий:

I. rang Р = п - некритический случай;

II. rang P = r, 0 йг <n - критический случай.

I. Рассмотрим вопрос о разрешимости операторного уравнения (5.1) в некритическом случае.

Теорема 5.1. Если матрица Р является неособенной, то существуют числа 5' >0, S > 0 такие, что для любого вектора beW(S') операторное уравнение (5.1) имеет единственное решение во множестве G(S) = {а: \а\ < 5 }.

Замечание. При выполнении условия теоремы 5.1, равенство Ра + ¿i(a)=b на множестве W(S') определяет вектор-функцию <р: b -> а = (р{Ь).

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда существует число S' > 0 такое, что равенство а = Р~,Ь-Р~'р(а) определяет вектор-функцию <р: b -> а = <р(Ь), непрерывную на множестве W(S*).

Теорема S3. Если матрица Р является неособенной, то найдется положительное число 5' такое, что для любого Ъ е W(S') существует единственное управление u(t) из некоторого множества, при котором решение x(t, м(.)) системы (1.1) удовлетворяет равенству х(Т,и(.)) = b и имеет на множестве fV(S') представление л:(/,«(.)) = X{t) ¡рГ'(£) B(£)u(Z)d£+o(b).

о

Из теоремы 5.3 следует, что если матрица линейного приближения в уравнении (5.1) является неособенной, то система дифференциальных уравнений (1.1) является локально управляемой.

II. Рассмотрим вопрос о разрешимости операторного уравнения (5.1) в критическом случае.

Предположим, что функции /(/, х, и) и g(t, и) допускают представления:

A) f(t,x,u) = fk (t, х, и) + o^yf), где fk{t,x,u) - форма к-то порядка относительно у, у = (х,и), к> 2.

B) = + гДе gt форма к-то порядка относительно

и.

Тогда система (5.1) преобразуется к виду

Pa+hk(ac) +щ(а)=Ь, (5.2)

гдеИт^ = 0.

"-0 \а\

Hi. Рассмотрим случай ненулевой матрицы Р. Пусть rang Р -г, 0<г<я. Тогда в матрице Р существует минор порядка г, отличный от нуля. Для определенности будем предполагать, что этот минор расположен в левом верхнем углу. Тогда с помощью элементарных преобразований систему (5.2) можно свести к системе:

/>а + й,(а) + Д(а)=6,

где Р'- матрица, составленная из первых г строк матрицы Р; ht(a), Ц(а) - г-мерные вектор-функции, ht(a), Д(ог) - (и-г)-мерные вектор-функции, Д(а) = о|а|*), Д(а) = о^а\к), вектор b' = (b, Ь) получен из вектора Ъ путем выполнения элементарных преобразований.

Положим a = pv,p>0,peR. Тогда система (5.3) преобразуется к виду

(p-V+pk-%{V)+M,{pv)=b/p,

где = Q равномерно относительно !v| < А', Д'>1 - некоторое число,

щ 1

lim Д (pv)=0 равномерно относительно |v| 5 А'. Далее введем следующие обозначения:

ri{y) = o(y),tcm = viy)=0{y), если lim^(v)=0.

Выражение вида rj(ya), удовлетворяющее условию: = 0 равно-

мерно относительно jöj < А, далее будем обозначать символом о(ув>),

Выражение вида rj{ya), удовлетворяющее условию: \\тт]{усо)-0 равномерно относительно \а>\ < А, далее будем обозначать символом О(усо).

Теорема 5.4. Пусть A = {v: |vj = 1}, S(v) = colon (p*v, hk (v)). Если 5(v) * 0 для

любой точки v e Л, то для любого числа 8 найдется число д>0 такое, что в 8-окрестности точки а- О существует множество G, в котором нет решений системы (5.2) при любом b е W(S), то есть, для любого вектора b е W(8) не существует вектора а е G, удовлетворяющего равенству х(Т, и(.)) = b.

Поэтому далее будем предполагать, что существует такая точка (v*| = 1, что

P'v = 0 и h„(v) = 0.

Используя форму Тейлора, вектор-форму ht(v) можно представить равенст-= _ к BOM hk (v) = ht (v') + D(v )(v - v') + X Д, (v*, V - v'), гДе ö(v')~ матрица Якоби, вы-

i-i

численная в точке v', R, (v', v - v') - форма i -го порядка относительно (v - v'). Пусть z = v - v', |z| < А, А < 1. Система (5.4) сведется к следующей системе

(5.5)

P'z + pk-'hk{2 + v') + öCp'-'iz + v'f) = b/p,

D(v')z + £*,(v\r)+0(p|z+v'| ) = Ырк.

Обозначим: L = colon(P', D(v')), R,(y', z) = colon (0Д...,0,R,(v',z)), ft(ft,p) = colon (ft /p, b /pk). Тогда систему (5.5) можно представить равенством

1* + £Д(у\ z) + 0(p|z + v* I*) = ft (ft, p). (5.6)

Теорема 5.5. Пусть L- неособенная матрица. Тогда для любого числа 8' > О существует число б" > 0 такое, что в окрестности точки а = 0 имеется множество, в котором при любом beW(S') система (5.2) имеет единственное решение.

Из теоремы 5.5 следует, что если L является неособенной матрицей, то существует число 5' > 0 такое, что при любом b е W(S') найдется единственное z из некоторой окрестности, удовлетворяющее равенству (5.6). Значит, найдется единственное управление u(t) из некоторого множества, определяемое вектором а - p'(z + v'), р < 5', удовлетворяющее равенству х(Т, м(.)) = ft. То есть, в этом случае система (1.1) является локально управляемой.

Если матрица L в системе (5.6) является особенной, то есть, rang L = rt, г <г, <п, то повторим алгоритм, описанный выше. Так как на каждом шаге ранг исследуемой матрицы не может уменьшиться, то либо система (5.6) не будет иметь решения, либо мы через конечное число шагов получим матрицу с рангом п, и в этом случае будет существовать единственное решение рассматриваемой системы, либо процесс преобразований будет бесконечным и задача локальной управляемости для системы (1.1) не разрешима рассмотренным в диссертации методом.

Н2. Рассмотрим случай, когда матрица Р в равенстве (5.2) является нулевой, то есть rang Р = 0. Получим операторное уравнение

ht(a)+nXa)=b, (5.7)

где /^(а) = о|а|*).

Пусть а = pv, р>0, peR. Тогда уравнение (5.7) примет вид

hk(v) + 0(f^k) = b/pk, (5.8)

где Ит 0(рЦ1) = 0 равномерно относительно |v| < Д", Л" > 1.

Аналогично, как и в теореме 5.4 можно показать, что если hk (v) Ф 0 для любого вектора |v| = 1, то в любой окрестности точки а - 0 существует множество, в котором нет решений системы (5.8).

Пусть существует точка [v* | = 1, для которой hk(y') = 0. Положим z = v - v', |z| < А0, Д° < 1. Используя форму Тейлора, уравнение (5.8) представим равенством

Av> + tД,(у\ z) + 0(p\z + v>{) = b(b,p) (5.9)

ml

в котором J[v') - значение матрицы Якоби вектор-формы hk(v) в точке v', R, (v > v - v') - форма i -го порядка относительно (y-v), b(b,p) = b/ рк. 14

Получили систему вида (5.6), где матрицей L является матрица Якоби J(v').

Теорема 5.8. Пусть J (у)- неособенная матрица. Тогда для любого числа 8' > О существует число 5' > О такое, что в окрестности точки а - 0 имеется множество, в котором при любом beW(S') система (5.7) имеет единственное решение.

Если же матрица J (у) является особенной, и rang J (у ) = q, 0<q <п, то с помощью элементарных преобразований систему (5.9) представим в виде системы двух систем, первая из которых содержит q уравнений, а вторая - (« - q) уравнений. К полученной системе применим алгоритм, описанный в пункте II |. Тогда либо получим отсутствие решения, либо через конечное число шагов получим уравнение, имеющее единственное решение для любого вектора Ь, принадлежащего некоторой окрестности нуля, либо процесс преобразований будет бесконечным .

В § б исследуется операторное уравнение с прямоугольной матрицей линейного приближения.

Рассмотрим операторное уравнение

Pa + ju(a)=b. (6.1)

в случае, когда Р является их s -матрицей, s>n, Ь - и-мерный вектор, а - неизвестный s -мерный вектор, ц{а)=о{а).

I. Пусть rangP = и и минор и-го порядка, отличный от нуля, расположен в левом верхнем углу. Тогда уравнение (6.1) можно представить равенством

Pia[+P2a2+//(a)=b, (6.2)

в котором Рх и Рг - известные матрицы размерности пхп и nx(s-n) соответственно, rangPt~n, а, - и-мерный вектор, а2 - (i- и) -мерный вектор, а = colon (а,, а,).

Теорема 6.1. Если rangP = n, то существуют положительные числа 5', <5j, 5 такие, что для любых векторов beW(S') и |а2|SS, во множестве fi(<?) = {а,:|а,|äS} найдется единственное а,, удовлетворяющее уравнению (6.2).

Из теоремы 6.1 следует, что если rang Р = п, то задача локальной управляемости для системы (1.1) разрешима.

II. Пусть rangP = г, 0йг<п.

Будем предполагать, что выполнены условия А) и В). Тогда исследуемое уравнение (6.1) примет вид

Pa + ht(a)+fi,(a)=b, (6.3)

где =

III.Рассмотрим случай, когда rangP = г, 0 < г < и.

Аналогично рассуждениям, проведенным в § 6 в пункте Iii, показывается, что система (6.3) преобразуется к виду

1= = t = (6.4)

*-l|v|*j _

где lim , , 1 = 0, lim О (plvf) = 0 равномерно относительно |v) < А, Д > 1.

Теорема 6.2. Пусть A = {v:|v|=l}, Г(у) = colon (рv, ht(v)). Если Т(у)Ф0 для

любой точки V е Л, то для любого числа 8 найдется число 8 > 0 такое, что в 8 -окрестности точки а = 0 существует множество G, в котором нет решений системы (6.3) при любом Ъ е fV(8), то есть, для любого вектора Ъ е W(8) не существует вектора а еС, удовлетворяющего равенству х(Т, и(.)) = Ь.

Будем предполагать, что существует точка |v'| = 1, для которой Pv = 0 и

ht(v') = 0. Пусть z = V — V*, |zj < А', А' < 1. Применяя форму Тейлора, систему (6.4) запишем в виде равенства

Lz + iRXv, z) + Ö(jc\z + v\>)=b(b,p), (6.5)

i»2

где L - colon (Р, ЕХу)).

Предположим, что rang L-n.C помощью элементарных преобразований матрицу L можно привести к виду L = (£,, ¿2), причем неособенная пхп-матрица, Ьг~ пx(s-я)-матрица. Тогда систему (6.5) можно записать следующим образом:

i,z, +t R,(v\ z)+0(fi\z+vf) = b(b,p), (6.6)

/-2

z, - и-мерный вектор, z2 - (5 - п) -мерный вектор, z = colon (zp z2).

Теорема 63. Если rang L = л, то существуют положительные числа 8t, 6', при которых для любых |z2|<<5J, р<8' найдется <У* >0 такое, что для всякого вектора 6 е )Т(<Г) существует единственное z,, удовлетворяющее системе (6.6).

Из теоремы 6.3 следует, что если rangL = n, то задача локальной управляемости для системы (1.1) разрешима.

Если ra/jg L = q, г <q<n, то для исследования системы (6.5) применим алгоритм, описанный в §5. Таким образом, либо система (6.5) не будет иметь решения, либо через конечное число шагов получим матрицу с рангом п (и задача локальной управляемости будет разрешима), либо процесс преобразований будет бесконечным.

И2. Если rang Р = 0, то операторное уравнение (6.3) запишем так:

hi(a)+u>(a)=b. (6.7)

К системе (6.7) применим алгоритм, описанный в §5.

В главе 3 исследуются свойства функционала, определенного на решениях нелинейной системы дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Проблема существования локального минимума функционала сводится к определению условий, при которых форма четного порядка является определенно-положительной.

В §7 исследуются формы четного порядка с действительными коэффициентами на знакоопределенность. Пусть

РЛ*> *) = «2„ х2" + х2"'г + хи'2г2 +... + а02У". (7.1) Ставится задача - определить условия, при которых форма Р2п (х, г), п> 1 является определенно-положительной.

Очевидно, что для определенной положительности функции Р2„(х, г) необходимо, чтобы а2п0 > 0 и а0 3я > 0.

Далее будем предполагать, что условия а2„ „ > 0, а0 2я > 0 выполнены. Функцию Р2„(х, г) можно преобразовать к виду

(7.2)

Если п = 1, то для исследования квадратичной формы можно использовать критерий Сильвестра.

Далее будем исследовать формы четвертого и более высоких порядков.

Пусть

/>2„ (х, + а1п_и Xму + я2„_22 +... + а^ху"" + У", (7.3)

где и£2.

Рассмотрим два способа преобразования форм четного порядка, с помощью которых получены некоторые достаточные условия знакоопределенности рассматриваемых функций.

1) Представление форм четного порядка в виде произведения квадратичных

форм

Теорема 7.2. Для того чтобы форму Р2„(х,у), заданную равенством (7.3), можно было представить в виде произведения Р211(х,у) = = Р?Хх,у)Р?\х,у)...Р1пХх,у), где Р^\х,у) = х2+а'иху+у\ /=й, необходимо, чтобы форма Р2„(х, у) являлась симметрическим многочленом. Рассмотрим форму 4-го порядка

Р, (*, у) = х*+ а31 х'у + а22 х2у2 + а>, ху' + у*. (7.4)

Теорема 73. Если коэффициенты формы РА (х, у), определяемой равенством (7.4) удовлетворяют условию аз,-4(аг2-2)>0, то возможно представление данной формы в виде произведения двух квадратичных форм, то есть РА(х,у) = \хг + /Зху + у2\х2 +(а31 -/$)ху + у2}, где число р определяется из уравнения 02 -а}>{3 + (а22-2) = 0.

Рассмотрим форму 6-го порядка

РАх,у)= х6 +а„х,у+а42хУ + а„х'у1 + апх2у* +а„х/ +/. (7.5)

Теорема 7.4. Форму 6-го порядка, заданную формулой (7.5), можно представить в виде произведения

Р„ (*, 7) = {х'+а х'у+р х2 у1 + у ху> + у4 \х2 +{а„-а)ху +у2), где числа а, у?, у определяются равенствами

а3 - 2 а51а2 + (а,, +аи- 3 )а + (а33 - а51а24 + ) = О, Р~а2 - а„а + аи -1, у = а.

Рассмотрим симметрическую форму порядка 2п. Применяя описанный способ разложения многочлена на множители, получим достаточные условия представления формы в виде Р2„ = Р2п_2 -Р'п. Далее применим описанный алгоритм к форме Р2п_2, получим Р2„,2 = -Р^2) при выполнении некоторых условий и т.д.

Если удастся разложить форму Р1п на произведение квадратичных форм, то есть, если возможно представление Ри =Р21> •Р2(2)...Р2"', то Р2п будет определенно-положительной, если среди множителей Р2° имеется четное число определенно-отрицательных функций, а остальные квадратичные формы являются определенно-положительными функциями.

2) Представление форм четного порядка в виде суммы конечного числа слагаемых, являющихся знакопостоянными формами того же порядка Рассмотрим форму 4-го порядка

Р<(х,у)=х4 + амх3у + аг 2 х2у2 +а„ху3 + у4. (7.6)

Если найдутся действительные числа акр такие, что аъ р = — и аръ = —, то

4 4

данная форма может быть представлена в виде Р4(х,у) = = (ах + Ру)4 + (1 - ЬАОх<) + (а22 - Ъ12 )х2у2 + (1 - Ь„ )у4, где Ью = а4, Ь22 =6а2р2, Ьы=р4.

Теорема 7.5. Если существуют действительные числа |а| < 1, |/?| < 1, удовлетворяющие условиям

4 4

6 а2р2<ап,

то форма 4-го порядка Рл(х, у), заданная формулой (7.6), является определенно-положительной. Рассмотрим

Р6 (х, у) = х6+ а„х'у+а42х4у1 + а„ х'у' + аи х2у4 + а„ху> + у6. (7.7)

Если найдутся числа а и /?, удовлетворяющие равенствам а'/2 =—, а0> = — ,

6 6

то будет возможно разложение

Р< (*, у) = (ах+ЦуУ +(1-6м )х* + (1 -Ьм)у6 + х2 у2- Р2 (х, у), где Ьм=а\ Ьаь=Р\

Р2(х,у) = (а„-15а'/32)х2 + (а„-20а3р3)ху+(а2, -15 а2р')у2. (7.8) Теорема 7.6. Для того чтобы форма Р6(х,у), заданная формулой (7.7), была определенно-положительной, достаточно, чтобы существовали действительные числа \а\ < 1 и Щ < 1, удовлетворяющие системе

о о

при которых квадратичная форма Р2(х,у), определяемая равенством (7.8), является определенно-положительной.

Аналогично можно определить условия, при которых форма Р2„(х, у), п>3 является определенно-положительной. Пусть

Р>Л*,У) = хг" У + (7.9)

Теорема 7.7. Для того чтобы форма Р2п(х,у), определяемая равенством (7.9), была определенно-положительной, достаточно, чтобы существовали действительные числа \а\ < 1 и \f}\ < 1, удовлетворяющие системе

Р 2п

ав1"-1

2 п

2я-2

при которых форма Р2„_л(х,у)= £(а2„_,,)х2"~'~V"2, являет-

1-2

ся определенно-положительной.

Таким образом, при исследовании формы P¡„(x, у) возникает необходимость рассмотреть форму порядка (2«-4). Применяя описанный алгоритм к функции P2a_t(x,y), придем к форме Рг„^(х,у) и т.д. Через конечное число шагов получим форму 4-го или 2-го порядка. Форму 4-го порядка исследуем с помощью теоремы 7.4, а к форме второго порядка применяем критерий Сильвестра.

Описанный способ представления формы четного порядка в виде суммы знакопостоянных форм того же порядка можно обобщить на случай, когда форма является функцией т переменных, т > 3.

В §8 исследуется проблема существования локального минимума нелиней-_ г

ного функционала J(u) - jO(f, х, u)dt, заданного на решениях x(i, и) системы

о

x = A(t)x + B(t)u + f(t,x,u). (8.1)

Пусть при u = u0eU система (8.1) имеет решение t -> x(t, м0), определенное на сегменте [0; Т]. Введя замену переменных v = u-u0, y = x-x(t,u0), получим систему вида (8.1), имеющую нулевое решение при и = 0.

г

Будем рассматривать функционал J (и) = |0(i, х, u)dt, 7(0) = 0, заданный на

о

решениях x(t, и), х(0, и) = 0, ||м|| < 80 системы (8.1).

Предположим, что функция f(t,x,u) на множестве Л, = {(/, x,u) :t е[0; Г], jx(t, и)|iе0, ||к|<SJ допускает представление

/(', х, и) = /ы (/, х, и)+), где fM (t, х, и) - вектор-форма порядка (к +1) относительно у = (х, и), к>2.

Пусть функция Ф(г, х, и) определяется равенством

Ф(Г, х, и) = (<p(t), х) + (ф(1), u) + p,(t, х,и)+о(\у\), где <p(t)~ я-мерная вектор-функция, -мерная вектор-функция, p,(t,x,u)-

форма порядка I относительно у, 2 <1<к. Символом (а, Ь) обозначено скалярное произведение векторов а, Ь.

Будем предполагать, что матрица Р, входящая в уравнение (5.1), является неособенной. Из результатов главы 2 следует, что существует окрестность fV(S') точки ¿> = 0 такая, что для любого вектора beW(S') найдется единственное управление u(t) из некоторого множества, удовлетворяющее равенству х(Г, и) = Ь. Можно убедиться, что исследуемый функционал представим в виде

J(u) = J<D(i, х, u)dt = (d, b) + o(\bf) + p, (b) + o(\b\), be W{8').

0

Поскольку / < к, то

J(b) = (d,b) + p,(b) + o{\bi). (8.2)

Так как при и = 0 функционал обращается в нуль, то и при b = 0 получим нулевое значение функционала J(b).

Пусть значение 6*0, bеW(S'). Находим соответствующее управление u(t), при котором х(Т,и) = Ь, определяем вид решения x(t, и) и вычисляем значение функционала J(b).

Ставится задача - определить условия, при которых существует такое число Д > 0, что для любого < А выполняется неравенство J{0) < J(b), то есть функционал имеет локальный минимум в точке Ь-0.

Теорема 8.1. Для того чтобы функционал J(b), определяемый равенством (8.2), имел локальный минимум в точке Ь = 0, необходимо, чтобы вектор d = 0.

Далее будем предполагать, что в соотношении (8.2) вектор d = 0, то есть рассматриваемый функционал определяется равенством

J(b) = p,(b)+o(\tf). (8.3)

Теорема 8.2. Если функционал J{b) определяется равенством (8.3), где р,(Ь)~ определенно-положительная форма четного порядка, то ЛЬ) имеет локальный минимум в точке Ь = 0.

Теорема 8.3. Если функционал J{b) определяется равенством (8.3), где Р/(Ь)- форма нечетного порядка, то необходимым условием существования локального минимума функционала J{b) в точке 6 = 0 является р,(Ь) = 0.

Таким образом, проблема существования локального минимума функционала J(u) сводится к задаче исследования форм четного порядка на знакоопределенность.

Полученные результаты применены для исследования прикладных задач: математической модели движения автомобиля, модели трехсекторной экономики, задачи управления ядерным реактором. Составлена программа в среде Ое1рЬу для форм 4-го и 2-го порядков, реализующая описанный алгоритм исследования форм на знакоопределенность.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехину за руководство, помощь в работе и всестороннюю поддержку.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Алешукина (Зудашкина) О.В. Инвариантные многообразия нелинейных систем (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 7 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 24-26 апреля 2002 г.). Рязань: Изд-во РГРТА, 2002. С. 11 - 12.

2. Мамонов С.С., Алешукина (Зудашкина) О.В. Применение дифференциальных уравнений к решению проблемы турбулентности движения жидкости // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2003, №7. С. 59-61.

3. Зудашкина О.В. О достаточных условиях локальной управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2004" (Санкт - Петербург, 12-16 апреля 2004г.). СПб., РГПУ, 2004, С. 42 - 47.

4. Зудашкина О.В. О свойствах решений управляемой системы дифференциальных уравнений (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 9 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. (Рязань, 21-23 апреля 2004 г.). Рязань: Изд-во РГРТА, 2004. С. 6-7.

5. Зудашкина О.В. К вопросу о локальной управляемости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (тезисы доклада) // Совре-

менные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 3-9 мая 2004 г.). Воронеж, ВГУ, 2004. С. 99.

6. Зудашкина О.В. Представление решения управляемой системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2004, №8. С. 32 - 35.

7. Зудашкина О.В. О локальной управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2004, №8. С. 36-41.

8. Зудашкина О.В. О локальной управляемости в критическом случае // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. - Рязань: РГПУ, 2004. С. 39 - 43.

9. Зудашкина О.В. О локальной управляемости в некритическом случае // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. - Рязань: РГПУ, 2004. С. 44-47.

10. Зудашкина О.В. О разрешимости операторных уравнений в критическом случае (тезисы доклада) // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции (Россия, Тула, 17-19 ноября 2004 г.). Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 16 - 18.

11. Зудашкина О.В. Об условиях локальной управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений в одном критическом случае // Известия ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 3-11.

12. Зудашкина О.В. Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений // Известия ТулГУ. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. С. 32 - 40.

13. Зудашкина О.В. О локальном минимуме нелинейного функционала, определенного на решениях системы дифференциальных уравнений И Саранск: Средневолжское матем. общество, 2006, препринт № 91 - 24с.

14. Зудашкина О.В. Об условиях разрешимости задачи локальной управляемости для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2004. - 16 с. Деп. в ВИНИТИ 09.12.04, № 1971-В2004.

Зудашкина Оксана Валентиновна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ЛОКАЛЬНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ В КЛАССЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕУПРАВЛЯЕМЫМИ СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано к печати 08 02.2006. Формат бумаги 60x84 1/16 Печать ризографическая Объем 1,0 п.л. Заказ №35 Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано в ООО «Интермета» 390000, г. Рязань, ул. Каляева, д.5

5321

Введение.

Глава I. Построение операторного уравнения для решения задачи локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

§1. Представление решения управляемой системы дифференциальных уравнений.

§2. Построение операторного уравнения при условии, что управление u{t) = R(t)a.

§3. Операторное уравнение в случае, когда управление ф представимо в виде тригонометрического многочлена.

§4. Построение операторного уравнения для кусочнопостоянного управления.

Глава II. Условия разрешимости операторного уравнения

Ра + р(а) = Ь.

§5. Условия разрешимости операторного уравнения в критическом и некритическом случаях.

§6. Исследование разрешимости операторного уравнения с прямоугольной матрицей линейного приближения.

Глава III. Решение задачи о существовании локального минимума нелинейного функционала.

§7. Исследование форм четного порядка на знакоопределенность.

§8. Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений.

Актуальность темы. В настоящей работе изучаются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Задачей исследования является определение условий, при которых система является локально управляемой.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, экономических и других процессов [5, 7, 9, 10, 12, 37, 48, 53, 57. 60, 64, 70, 71, 89, 90, 92, 95]. Помимо традиционных областей приложения - точных и опытных наук - математика начинает заниматься такими вопросами, которые ранее изучались только на гуманитарном уровне: конфликтными ситуациями, иерархическими отношениями в коллективах, согласием, авторитетом, общественным мнением [38, 83].

Разнообразные реальные процессы, происходящие в окружающем мире, зачастую являются управляемыми, то есть протекают различным образом в зависимости от конкретного воздействия на них управляющей стороны. Исторически задачи управления встречались еще в древние века, однако интерес к ним особенно возрос в последнее время, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, развитием техники и ростом возможностей ЭВМ, благодаря которым стали осуществимы расчет и реализация сложных законов управления.

При исследовании математических моделей часто возникает задача о построении управляющего воздействия, которое переводит объект в заданное состояние. Приведем некоторые практические задачи, для решения которых могут быть применены изложенные в диссертации методы.

Задача 1. Рассмотрим материальную точку массы т, движущуюся по прямой Ох под действием силы тяги иг и силы трения (к^+с^х, кх > 0, с, > 0. Обозначим через хх = х координату точки, а через х2 = х - ее скорость. Тогда уравнения движения имеют вид [5]

ТУЬХ-^ — кхХ2 С^Л^Х^* Данная система используется как модель движения автомобиля или вагона, причем управление м, характеризует силу, приложенную к тормозной колодке. Положим с1 = т~1, к = кхт~х, с = схт~\ получим систему (0.1) х>£ 2 кх21 си^х^ *

Пусть требуется вывезти автомобиль из гаража. То есть, требуется с помощью выбора управлений щ, и2 за фиксированное время Т перевести систему из начала координат (0,0) в конечное положение (л:,(Г), х2{Т)), причем точка (х,(Г), х2(Т)) выбирается произвольно из некоторой окрестности нуля.

Задача 2. Рассмотрим трехсекторную модель экономики [32], в которой первый (материальный) сектор производит предметы труда, второй (потребительский) - предметы потребления, третий (фондосоздающий) -средства труда.

Предполагается, что за каждым сектором закреплены основные производственные фонды, в то время как труд и инвестиции могут свободно перемещаться между секторами. Производственные возможности каждого сектора заданы в форме производственных функций Х]=Р]{К],Ь]), у = 1,2,3, где X., К], Ь] - соответственно выпуск, основные производственные фонды и число занятых в ] -том секторе. Предположим, что производственные функции задаются формулой Х] = NJK2J + М, у = 1,2,3, N^ MJ - постоянные величины. В относительных показателях модель принимает следующую форму: й—^+^ЧСМз+л^з2),

Уг = +§ + Л^2), (0.2) 2

Л = "Л-Уз + (М3 + А^2), где . = — - фондовооруженность у -того сектора, Ь в] = — -доля числа занятых в у -том секторе в общем числе занятых, vJ = —--доля инвестиций в у -тый сектор в общем объеме инвестиций

Хг управляющий параметр), коэффициент Л учитывает долю выбывших за год основных производственных фондов и годовой темп прироста числа занятых, при этом в1+в2+въ=\, V^+V2+Vi=l.

Стационарная точка дифференциальных уравнений (0.2) задается следующими алгебраическими уравнениями

-Л1у1Лу1(М3+МУ3) = 0, -Я2у2+^2(М3+МУ3) = 0, (0.3)

-^з+|-Vз(Mз + ^32) = 0.

Стационарная точка характеризуется постоянством удельных показателей (производительности труда, фондовооруженности и т.п.). С экономической точки зрения стационарное состояние — это состояние "усеченного" расширенного воспроизводства, когда инвестиции расходуются на замену выбывших средств труда и частично на такое расширение основных произ водственных фондов, которое обеспечивает сохранение фондовооружен-ностей на постоянном уровне.

Предположим, что в начальный момент времени система находится в некотором стационарном состоянии. Требуется выбрать управление таким образом, чтобы в момент времени Т экономика находилась в достаточной близости от стационарного состояния.

Пусть у = у° удовлетворяет системе (0.3) при у = у°. Положим и = у-у°, х = у-у0. Тогда система (0.2) преобразуется к виду -Л1х, + 2№'°-Уз° х3 + %(М3 + Щу?)2)и, + вх вх м1*з + 2у1щхг + У,°Х32 ),

С7,

-Ля Л(м,+Мг(у1)% + с/, С72 я

0.4) —/У3 {и2х\ + 2у\игхг + у\х\ ),

Ог хъ = {-Хг+2м/гу1)х,+{м,+ыг{у1)% + тУ3 (^3X3 + 2у\щхг + ).

Для системы (0.4) начальное условие примет вид х(О) = 0. В качестве допустимых управлений будем рассматривать управления м(/), удовлетворяющие условиям: ||^.)-у0||<^0, 30 - некоторое число, и,(/) + м2(/) + м3(0 = 0 для любого /е[0;Т]. Ставится задача - найти такое управление, чтобы в фиксированный момент времени Т решение системы (0.4) удовлетворяло равенству х(Т) = Ъ, где вектор Ъ может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля.

При решении подобных задач полезно заранее знать условия, достаточные для существования искомого управления. Поиск управления можно осуществить, используя различные численные методы [52]. В настоя-^ щей работе устанавливаются условия, при которых имеется управление, переводящее динамическую систему за фиксированное время из начала координат в конечное состояние (достаточно близкое к нулю).

Другой тип задач, возникающий при изучении математических моделей, - задача нахождения управления, удовлетворяющего заданному критерию качества. Особый интерес и актуальность представляют задачи исследования свойств решений, расположенных в окрестности известного решения.

Задача 3. Рассмотрим задачу управления ядерным реактором [5]. Среди разнообразных продуктов деления урана-235 ( 235£/) образуется нестабильный изотоп ксенон-135 ('35Хе). Влияние 135Хе на работу ядерного реактора обусловлено тем, что он имеет большое сечение захвата тепловых нейтронов и поэтому его присутствие в реакторе подобно наличию поглотителя нейтронов.

Схема образования и распада 135Хе имеет вид

Вероятность верхней цепочки реакций весьма высока: ух = 0,06, а нижней цепочки ^2 =0,003. Таким образом, в основном П5Хе образуется из 135/. Обозначим через и х2(0 концентрации 135 / и ,35Хе в момент а через и(¡) - управление, под которым удобно понимать среднюю плотность тепловых нейтронов в реакторе. Считается, что концентрация ядерного горючего в процессе управления не меняется. Тогда имеют место следующие уравнения:

Те->,35/->,35Хе->,35С*->,35Ва,

Хе->'3^->'35Ва. х,(0 = -Л1х1(0 + Г,стМ0> х2 (0 = Я1х1 (/) - Л2х2 (0 + /2сг,м(0 - а2и^)х \ (/),

0.5) здесь Л1, Л2, , у2, сг,, ст2 - некоторые величины, которые при сделанных допущениях можно считать постоянными.

Первое уравнение описывает изменение количества атомов 135 / во времени: член Л,х, — количество исчезающих в единицу времени атомов

1351 из-за /?-распада атомов йода, член ухстхи — количество 1357 , образующегося за счет деления ядерного горючего (ух =0,06, сг, - макроскопическое эффективное сечение деления ядерного горючего, постоянное в силу предположения о постоянстве концентрации ядерного горючего). Аналогично, для второго уравнения член Лххх показывает количество П5Хе, образующегося за счет /?-распада 1351, член - Л2х2 учитывает ¡5-распад 135Хе, член у2сгхи — прямое возникновение П5Хе при делении 235£/ согласно нижней цепочке реакций в схеме, член (т2ихг2 - описывает выгорание П5Хе за счет реакции, связанной с захватом тХе тепловых нейтронов. г

Рассмотрим функционал J(u)= заданный на решениях сисо темы. Отметим, что выделяемая энергия пропорциональна Пусть нам известно решение системы соответствующее управлению и = и0, удовлетворяющее условиям х(0, и0) = 0, х(Т, и0) = Ь0. Наряду с этим решением будем рассматривать решения х^,и), удовлетворяющие условиям: д;(0, и) = 0, х(Т, и) = Ь, где ||и -и0|| < 5Х, \Ь-Ь0\ < 82, 8Х, б2~ некоторые числа. Требуется определить, является ли значение функционала J{u0) минимальным среди значений J(u), определенных на решениях

В работе излагаются математические методы, применимые к решению подобных задач.

Цель работы. Развитие качественных и аналитических методов исследования математических моделей, описываемых управляемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Ставится задача - определить условия существования управления, при котором решение нелинейной системы удовлетворяет равенствам х(0) = 0, х(Т) = Ь, причем вектор Ь может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля. Предполагается, что х - п-мерная вектор-функция, и - т -мерная вектор-функция (управление), т<п, Т - фиксированное число.

Определяются необходимые и достаточные условия, при которых функционал заданный на решениях системы (0.6), имеет локальный минимум.

Методика исследования. Управление, являющееся решением поставленной задачи, может быть найдено в виде произведения известной пгхп -матрицы и постоянного п -мерного вектора, в виде тригонометрического многочлена, или в виде кусочно-постоянной функции. Вопрос о локальной управляемости системы сводится к вопросу о разрешимости нелинейного операторного уравнений. Доказательства теорем основаны на применении принципа сжимающих отображений.

Проблема существования локального минимума функционала (0.7) сводится к задаче исследования форм на знакоопределенность. Предложены два способа исследования форм двух и более переменных на знакоопределенность.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда прежде, ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, освоение космоса, создах = , X, и),

0.6) т

0.7) ние электронной вычислительной техники. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основание думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.

Развитие управляемых систем, вызванное запросами практики, и, прежде всего, потребностями современной техники, определило круг задач, которые составили предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на поиск управления, удовлетворяющего заданному критерию качества, теория наблюдения и стабилизации. Теория управления механическим движением и технологическими процессами рассматривает много разных по формулировке и трактовке задач, при анализе которых важную роль играет теория дифференциальных уравнений. Каждая задача содержит вопрос о существовании управления, возможности его формирования при некоторых ограничительных условиях и о нахождении приближения к управлению из некоторого класса объектов. Наиболее важные и ценные результаты получены в управлении движением, описываемым конечными системами дифференциальных уравнений для числовых функций. Здесь, прежде всего, можно отметить результаты, полученные P.E. Калманом [30], В.И. Зубовым, [27, 28], H.H. Красов-ским [34, 35], Е.А. Барбашиным [6] и другими.

Красовский H.H. в работе [35] для линейной системы х = A(t)x + B{t)u + w(t), x{ta) = xa, x(tp) = xp задачу об управлении рассматривает как проблему моментов, в статье [36] обсуждаются задачи программного управления и управления по принципу обратной связи.

Краевая задача для линейных и квазилинейных систем рассматривалась Зубовым В.И. [27]. Большое внимание уделяется возможности численного решения с помощью методов последовательного приближения.

Система х = Ах + Ви, хеЯ", иеЯ"' с постоянными параметрами достаточно подробно исследовалась в работах [8, 30, 41, 66, 82]. При условии 1Н1 < М определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач.

Изучению управляемости бесконечномерными линейными системами посвящена работа [82]. Исследуется проблема £-управляемости, то есть, возможность перевода системы из точки в ее произвольную е окрестность, как автономными, так и неавтономными системами. Предложено решение рассматриваемой задачи с помощью конечномерного и бесконечномерного управлений.

В теории оптимальных процессов наиболее полные исследования и окончательные результаты относятся к необходимым признакам оптимальности. Широким по содержанию, строго обоснованным и удобным по форме для приложений критерием оптимальности является принцип максимума [66]. Другой подход к проблемам управления - метод динамического программирования рассмотрен в книге [5]. Работы, посвященные проблеме существования оптимального управления процессами [1, 8, 29, 40, 54, 66, 87], основываются на предположении, что система обладает свойством управляемости, то есть, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

Одной из трудных и мало разработанных проблем, в особенности для нелинейных систем, остается краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное конечное состояние. При этом целесообразно изучить данную задачу об управлении сначала даже без учета требования оптимальности по тому или иному показателю.

Исследованию проблемы управляемости нелинейных систем посвящены работы [4, 11, 21 - 26, 44 - 47, 49 - 51, 55, 61 - 63, 67 - 69, 72 - 77, 84 - 86, 88, 91, 93, 94]. Большинство результатов этих работ относятся к изучению задачи локальной управляемости.

В работе [81] Шарафеевым Д.Р. найдены условия существования тройки "начальное значение - управление - параметр", разрешающей периодическую краевую задачу.

Устойчивость управления по параметру исследуется Терехиным М.Т. в работах [73, 74]. В статье [76] изучаются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, исследуется проблема определения множества управляемости.

Пантелеевым В.П. в работе [59] устанавливается критерий локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = А{{)х + и).

В работах [49-51] Митрохиным Ю.С., Степановым А.Н. исследуется система вида х = /(х) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, формулируются необходимые и достаточные условия управляемости нелинейной системы в малом.

Воротников В.И. рассматривает задачу нуль-управляемости по части переменных [11], то есть, задачу о переводе нелинейной системы за конечное время из некоторой области в положение, где заданная часть фазовых переменных равна нулю. Ее решение выбором структуры управлений и нелинейных замен переменных сводится к простым линейным задачам оптимального управления.

Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Воскресенским Е.В. [12 - 17]. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств, например, устойчивость.

Метод сравнения использовал в своих работах также Павлов А.Ю. В с1х статье [58] система — = + + /(/, х, и) + сравнивается с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.

Для поиска управлений, разрешающих краевую задачу, Терехин М.Т., Землякова J1.C. [75] предлагают метод вариации промежуточной точки, Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. [18] используют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы, авторы работ [85, 86, 91] при исследовании систем применяют теорию неподвижных точек.

В работах [44, 45] Мастерковым Ю.В. введены понятия локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N-управляемости является наиболее сильным.

Петров H.H. при исследовании нелинейной автономной системы в работе [61] не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. При помощи функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат. Рассматривая проблему локальной управляемости нелинейных систем в работах [61 - 63] Петров H.H. в качестве множества допустимых управлений рассматривал кусочно-постоянные функции, принимающие значения из конечного множества.

Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных функций занимались Раковщик JI.C. [67, 69], Нгуен Тхянь Банг [55], Землякова JI.C. [21 - 26].

В статье [33] авторами с помощью теоремы Брауера о неподвижной точке доказана полная управляемость нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с равномерно ограниченными возмущениями в классе непрерывных управлений. При этом предполагается, что возмущающие члены удовлетворяют локальному условию Липшица по * и по и, а главная (треугольная) часть - глобальному условию Липшица.

В работе [69] Розановой A.B. доказана теорема о локальной управляемости системы, описываемой нелинейным эволюционным уравнением в банаховом пространстве, когда управлением является множитель в правой части.

Содержание работы. Особую роль при исследовании математических моделей занимают исследования управляемых систем. Большое прикладное значение имеет проблема локальной управляемости нелинейных систем. Исследованию этой проблемы посвящены в частности работы [2, 3,27, 45,61,72].

Вопрос о локальной управляемости рассматривался H.H. Красовским [35], В.И. Зубовым [27], ЭТ. Альбрехтом, О.Н. Соболевым [2, 3], Р.Ф. Га-басовым, Ф.М. Кирилловой [18] в предположении полной управляемости системы линейного приближения. Результаты, полученные в настоящей работе, не связаны данным ограничением. Условия существования требуемого управления определяются свойствами как линейных, так и нелинейных частей системы.

Критические случаи изучались и ранее, но приводимые в работах [49 -51] критерии управляемости предполагают наличие у правых частей системы частных производных по х высокого порядка, а применение теорем Мастеркова Ю.В. [44, 45] связано с нахождением решений исследуемой системы, обладающих определенными свойствами, что в ряде случаев может вызвать затруднения. В отличие от указанных работ в диссертации методом неподвижной точки устанавливаются критерии локальной управляемости, которые могут быть использованы при решении прикладных задач.

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения.

В §1 главы I устанавливается вид решения управляемой системы дифференциальных уравнений, который используется в дальнейшем при исследовании проблемы локальной управляемости. Остальные три параграфа посвящены сведению задачи локальной управляемости к вопросу существования решения нелинейного операторного уравнения.

A.B. Арутюновым и В.Н. Розовой предложен другой подход к исследованию нелинейных управляемых систем. В статье [4] изучен вопрос существования регулярного нуля у квадратичного отображения, описывающего поведение динамической системы в окрестности вырожденной точки. На основе полученных результатов авторами найдены условия локальной управляемости нелинейной системы в вырожденном случае.

Вторая глава посвящена проблеме разрешимости нелинейного операторного уравнения относительного постоянного вектора. В §5 получены достаточные условия разрешимости уравнения в предположении, что матрица линейного приближения является квадратной, рассмотрены некритический и критический случаи. В §6 изучен случай прямоугольной матрицы линейного приближения. Показано, что полученные результаты могут быть применимы при исследовании модели движения автомобиля и трех-секторной модели экономики.

Известно [77], что система x = f{x,t,u), (x,t)eRn xfo,^], ueUaR"', локально управляема, если Oeintt/, и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения. Для локальной управляемости линейной системы х = A(t)x + B{t)u достаточно [35], чтобы rang(B(r), ГВ(т),.,Г"'хВ{т))= п в некоторой точке г е [/„,/,].

Исследованию систем в критическом случае посвящены работы [45, 47, 50, 51, 62]. При этом Петров H.H. в работе [62] рассматривает автономные системы, Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. исследуют систему вида х = f{x) + Bu. Мастерков Ю.В. изучает условия управляемости в нуль системы х = /0(х) + и /¡(х) в критическом случае. В статье [45] автор выделяет класс систем, для которых имеет место устойчивая локальная управляемость и показывает, что устойчивая управляемость занимает промежуточное положение между N -управляемостью и локальной управляемостью. В данной работе предложен алгоритм исследования систем более общего вида, допускающего наличие нелинейных по управлению и фазовым переменным членов.

В третьей главе обсуждается задача существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях дифференциальной системы уравнений. В §8 получены необходимые и достаточные условия, при которых функционал на заранее заданном решении принимает минимальное значение. Показано, что рассматриваемая задача сводится к определению условий знакоопределенности форм четного порядка. В §7 описываются методы, позволяющие исследовать формы четного порядка двух и нескольких переменных на знакоопределенность. В качестве примера рассмотрена задача управления ядерным реактором.

Отметим, что необходимые условия оптимальности определяются с помощью принципа максимума Понтрягина [5], который основан на рассмотрении отдельных траекторий. Другой подход - метод динамического программирования - основан на изучении всего множества оптимальных траекторий. В данной работе найдены достаточные условия оптимальности известного решения. При этом метод динамического программирования позволяет свести задачу оптимального управления к исследованию задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных, с помощью принципа максимума решение задач управления сводится к изучению краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При изучении свойств решений управляемых систем предложенным в диссертации способом возникает необходимость исследования форм четного порядка с действительными коэффициентами, что может оказаться удобным при решении задач прикладного характера.

В приложении приведены блок-схемы и программа в среде Ое1рЬу, проверяющая условия теорем, установленных в §7.

Необходимые сведения по математическому анализу взяты из [79], по теории дифференциальных уравнений - из [20, 56, 65, 80], по функциональному анализу - из [31, 42, 78], по линейной алгебре - из [19, 39].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Условия локальной управляемости системы (0.6) в случае, когда матрица линейного приближения операторного уравнения является неособенной (некритический случай).

2. Алгоритм исследования задачи локальной управляемости в критическом случае с использованием свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов системы (0.6).

3. Необходимые и достаточные условия существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях системы (0.6).

Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII, IX Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской радиотехнической академии, на научной конференции "Герценовские чтения - 2004" в г.Санкт-Петербурге, на конференции Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XV", на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в г.Туле, на семинаре Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е.В. Воскресенский.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [96

Заключение ■

Работа посвящена разработке методов исследования математических моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с управляющим параметром. Основное внимание уделено решению двух проблем теории управляемых процессов: проблеме локальной управляемости системы и проблеме существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы.

В работе проводится поиск управления, переводящего динамическую систему из нулевого положения в произвольную заранее заданную точку, расположенную в окрестности нуля. При доказательстве теорем су-• ществования требуемых управлений используется метод неподвижной точки нелинейного оператора. Получены необходимые и достаточные признаки существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях управляемой системы. Исследования опираются на свойства функций нескольких переменных. Предложены два метода исследования форм четного порядка на знакоопределенность. В приложении приводится текст программы в среде Ое1рЬу, проверяющей условия уста-ф новленных теорем для форм 2-го и 4-го порядков.

Важным разделом теории управляемых процессов является исследование практических задач. В диссертации рассмотрены модель движения автомобиля, трехсекторная модель экономики, задача управления ядерным реактором, иллюстрирующие возможность применения изложенных методов к решению практических задач.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

2. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1969, Т.5, №3. С. 430 -442.

3. Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. Синтез систем управления с минимальной энергией // Дифференциальные уравнения, 1995, Т.31, №10. С. 1611-1616.

4. Арутюнов A.B., Розова В.Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1999, Т.35, №6. С. 723 728.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. -447 с.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. -233 с.

7. Беляева Н.П., Цирлин A.M. Оптимальное управление покупкой и продажей ценных бумаг // Автоматика и телемеханика, 1998, №4. С. 135 -143.

8. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408 с.

9. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972, 544 с.

10. Волков И.К., Крищенко А.П. Качественный анализ модели развития популяции // Дифференциальные уравнения, 1996, Т. 32, №11. С. 1457 1465.

11. Воротников В.И. О нуль-управляемости по части переменных нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика, 1997, №6. С. 50-63.

12. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск: СВМО, 2001. 300 с.

13. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. ун-та Саран, фил., 1999. 224 с.

14. Воскресенский Е.В. О методе сравнения и периодических решениях нелинейных систем // Укр. мат. журн., 1991, Т.43, №10. С. 1366 1371,

15. Воскресенский Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения. Саранск: Средневолжское математическое общество, 2002, препринт №47. 23 с.

16. Воскресенский Е.В., Черников П. Г. О сравнении и управляемости нелинейных систем // Труды СВМО, 1998, Т. 1, №1. С. 37 76.

17. Воскресенский Е.В., Черников П. Г. Управляемость численным процессом // Труды СВМО, 1999, Т.2, №1. С. 3 17.

18. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.-501 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.-472 с.

21. Землякова JI.C. Существование кусочно-постоянного управления для одной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 13, Рязань, 1979.

22. Землякова JI.C. Управляемость в малом в случае пространства Еп П Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 15, Рязань, 1980. С. 47 52.

23. Землякова JI.C. Об управляемости некоторой системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1996. С. 63 68.

24. Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С. 72 78.

25. Землякова Л.С. Управляемость систем с периодической правой частью // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997. С. 33 35.

26. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.— 459 с.

27. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматиче-ф ского регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 335 с.

28. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

29. Калман P.E. Об общей теории систем управления. Труды I Международного конгресса ИФАК, T.II. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

30. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-572 с.ф 32. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. 240с.

31. Коробов В.И., Павличков С.С. Управляемость треугольных систем с равномерно ограниченными возмущениями // Вестн. Харьков, ун-та, 1999, №444. С. 10-14.

32. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

33. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. -476 с.

34. Красовский H.H. О некоторых задачах управления // Тр. Мат. ин-та

35. РАН, 1999. 224. С. 208-217.

36. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2003. 688 с.

37. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Николаичев А.Н. Математические модели нелинейных динамических процессов в социологии // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 437.

38. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. 432 с.

39. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968.-192 с.

40. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.-576 с.

41. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-510 с.

42. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

43. Мастерков Ю.В. О некоторых задачах управляемости нелинейных систем: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Изд-во УГУ, 1999.

44. Мастерков Ю.В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае // Известия вузов. Математика. 1999, №2. С. 68 74.

45. Мастерков Ю.В. Некоторые вопросы управляемости нелинейных систем // Удм. гос. ун-т. Изв. Ин-та мат. и инф-ки. 1999, №2. С.41 101.

46. Мастерков Ю.В., Родина Л.И. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы в критическом случае // Дифференциальные уравнения, 2004, Т.40, №1. С. 33 40.

47. Миронова В.А., Соболев В.А., Цирлин A.M. Оптимальное управление потоками сырья и готовой продукции путем выбора цен // Автоматика и телемеханика, 1998, №2. С. 91 100.

48. Митрохин Ю.С. Об управляемости в малом нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Труды Рязан. радиотехн. ин-та. Рязань, 1976, вып.69. С. 25 30.

49. Митрохин Ю.С. Степанов А.Н. Некоторые критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений // Труды Рязан. радиотехн. ин-та. Рязань, 1974, вып.53. С. 62 67.

50. Митрохин Ю.С. Степанов А.Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С. 61 70.

51. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528 с.

52. Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Кинетическая модель инфляции // Экономика и математические методы, 2004, Т.40, №1. С 129 134.

53. Нарманов А .Я., Петров H.H. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов. I // Дифференциальные уравнения, 1985, Т.21", №4. С. 605-614.

54. Нгуен Тхянь Банг. Об управляемости квазилинейных систем // Прикладная математика и механика, 1969, Т.31, №1.

55. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

56. Николаев Л.К. О циклах экономической активности в процессе роста капитала // Экономика и математические методы, 2003, Т.39, №1. С. 33-42.

57. Павлов А.Ю. Об управляемости нелинейных систем // Вестник Мордовского университета, 1995, №1. С. 54 57.

58. Пантелеев В.П. Об управляемости нестационарных линейных систем // Дифференциальные уравнения, 1985, Т.21, №4. С. 623 628.

59. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C., Летова Т.А. Оптимальное управление в примерах и задачах. М.: Изд-во МАИ, 1996. 211 с.

60. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем // Дифференциальные уравнения, 1968, Т.4, №7. С. 1218 1232.

61. Петров H.H. Об управляемости автономных систем // Дифференциальные уравнения, 1968, Т.4, №4. С. 606 617.

62. Петров H.H. Решение одной задачи теории управляемости // Дифференциальные уравнения, 1969, Т.5, №5. С. 962 963.

63. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. М.: Учпедгиз, 1962. 184 с.

64. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

65. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.-384 с.

66. Раковщик JT.C. Построение допустимых управлений I // Автоматика и телемеханика, 1962, Т.23, №10.

67. Раковщик JI.C. Построение допустимых управлений II // Автоматика и телемеханика, 1964, Т.25, №1.

68. Розанова A.B. Управляемость для нелинейного абстрактного эволюционного уравнения // Мат. заметки, 2004. 76, №4. С. 553 567.

69. Смит Дж. Математические идеи в биологии. М.: Мир, 1970. 180 с.

70. Смит Дж. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. 184 с.

71. Терехин М.Т. Управляемость в малом системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динимики: Межвуз. сб. науч. тр. Горький: Горьк. ун-т, 1987. С. 48 52.

72. Терехин М.Т. Устойчивость управления по параметру // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 1998, №1. С. 86-96.

73. Терехин М.Т. Об устойчивости управления по параметру // Известия ВУЗов. Математика, 2000, №9. С. 38 46.

74. Терехин М.Т., Землякова JI.C. Метод вариации промежуточной точки для исследования управляемости системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1994. С. 116 124.

75. Терехин М.Т., Землякова JI.C. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С. 141-150.

76. Тонков E.JI. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикладная математика и механика, 1974, Т.38, вып.4. С. 599-606.

77. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Высшая школа, 1980. -495 с.

78. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. I. 608 с.

79. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

80. Шарафеев Д.Р. Существование периодических решений нелинейных управляемых систем с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001, №5. С. 182 188.

81. Шолохович Ф.А. Об управляемости и е -управляемости линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах // Известия УРГУ. Математика и механика, 1998, №1. С. 102 126.

82. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Дело, 2002. 440 с.

83. Akhmet М., Zafer A. Controllability of two-point nonlinear boundary-value problems by the numerical-analytic method // Appl. Math, and Comput., 2004. 151, №3. P. 729-744.

84. Balanchandran K., Park J.Y., Anandhi E.R. Local controllability of quasilinear integrodifferential evolution systems in Banach spaces // Math. Anal, and Appl. 2001. 258, №1. P. 309 319.

85. Balanchandran К., Dauer J.P. Local controllability of semilinear evolution systems in Banach spaces // Indian J. Pure and Appl. Math. 1998. 29, №3. P. 311 -320.

86. Barnett S. Introduction to mathematical control theory. O.U.P., Oxford, 1975.

87. Dauer J.P., Mahmudov N.I. Controllability of some nonlinear systems in Hilbert spaces // Optimiz. Theory and Appl. 2004. 123, №2. P. 319 329.

88. Friedman A., Ни B. Optimal control of a chemical vapor deposition reactor // Optimiz. Theory and Appl. 1998. 97, №3, P. 623 644.

89. Kleis D., Sachs E.W. Optimal control of the sterilization of prepackged food // SIAM J. Optimiz. 2000. 10, №4. P. 1180 1195.

90. Liu Weijiu. Local boundary controllability for the semilinear plate equation // Commun. Part. Differ. Equat. 1998. 23, №1-2. P. 201 221.

91. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1973.

92. Mirza K.B., Womack B.F. On the controllability of a class of nonlinear system // IEEE Transactions on automatic control. 1972. №4. P. 531 535.

93. Vassilyev Stanislav N. On controllability of nonlinear systems under phase restrictions and persistent perturbations // Nonlinear Anal. Theory, Meth. .and Appl. 1997. 29, №1. P. 1 - 7.ч

94. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Salvador Symposium on Dynamical Systems, Academic Press, 1973. P. 683-741.

95. Мамонов С.С., Алешукина (Зудашкина) О.В. Применение дифференциальных уравнений к решению проблемы турбулентности движенияжидкости // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2003, №7. С. 59 61.

96. Зудашкина О.В. Представление решения управляемой системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2004, №8. С. 32 35.

97. Зудашкина О.В. О локальной управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2004, №8. С. 36 41.

98. Зудашкина О.В. О локальной управляемости в критическом случае // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: РГПУ, 2004. С. 39 - 43.

99. Зудашкина О.В. О локальной управляемости в некритическом случае // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: РГПУ, 2004. С. 44 - 47.

100. Зудашкина О.В. О разрешимости операторных уравнений в критическом случае // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 16 18.

101. Зудашкина О.В. Об условиях локальной управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений в одном критическом случае // Известия ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 3 - 11.

102. Зудашкина О.В. Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений // Известия ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. С. 32 - 40.

103. Зудашкина О.В. О локальном минимуме нелинейного функционала, определенного на решениях системы дифференциальных уравнений // Саранск: Средневолжское матем. общество, 2006, препринт № 91 -24с.

104. Зудашкина О.В. Об условиях разрешимости задачи локальной управляемости для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2004. - 16 с. Деп. в ВИНИТИ 09.12.04, № 1971-В2004.