автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы

064609372

на пр к рукописи

Юханова Мария Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ РЕКЛАМНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ТУРИСТИЧЕСКОЙ ФИРМЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з О СЕН 2010

САРАНСК- 2010

004609372

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов Евгений Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Мамедова Татьяна Фанадовна

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится " 30 " сентября_2010 г. в 14 часов 00 минут

на заседании диссертационного совета Д.212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68, корп. 1, ауд. 225

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан " 26 " августа 2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

Л.А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей работе построена математическая управляемая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы, исследована возможность управления рекламной деятельностью с целью получения желаемого результата. Проблема управляемости математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы сведена к проблеме'локальной управляемости систем дифференциальных уравнений, содержащих' Управляющий параметр. • !

В последние десятилетия все сильнее ощущается потребность более детального изучения разнообразных процессов и явлений, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, а прогресс в области вычислительной техники открывает принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов.

Особый интерес и актуальность представляет проблема разработки методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений. Не ослабевает интерес и к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости.

Значительный вклад в развитие математической теории управления внесли Калман P.E., Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Красовский H.H., Зубов В.И., Ли Э.Б., Маркус JL, Алексеев В.М., Тихомиров В.М. На создание математических основ решения задачи об управляемости систем существенное влияние оказали работы Воскресенского Е.В., Арутюнова А.В, Тонкова Е.Л. и 'многих других математиков.

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории управления процессами. Несмотря на то, что изучению задачи управления посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы вызывают необходимость поиска новых мегодов решения задач управления. Так, наименее изученной осгаёгбя'задача; ytipiffiteHiM для нелинейных систем. Следовательно, задача поиска условий, при которых математические модели, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений, могут быть переведены в заранее заданное состояние, является актуальной. '

Цель работы состоит в разработке методов определения условий локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений и применение их к исследованию математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы.

Методика исследования. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной. Поставленная задача своз

дится к поиску условий существования решения нелинейного операторного уравнения. Доказательство теорем об условиях существования управлений, удовлетворяющих задаче локальной управляемости системы дифференциальных уравнений, проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора.

Научная новизна. Предложена математическая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы, которая представима системой нелинейных дифференциальных уравнений. В формулировках теорем, определяющих достаточные условия локальной управляемости, отсутствуют предположения о полной управляемости системы линейного приближения. В диссертации получены новые достаточные условия локальной управляемости математических моделей, допустимые управления - непрерывные функции.

Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов математической теории управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, могут быть использованы при исследовании математических моделей других реальных процессов, протекающих в природе и социуме, которые могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений с управляющим параметром.

На защиту выносятся следующие положении:

1. Построение математической модели.

2. Достаточные условия локальной управляемости математической модели, установленные без использования фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной математической модели.

3. Достаточные условия локальной управляемости математической модели, полученные с помощью фундаментальной .матрицы решений соответствующей линейной математической модели.

4. Алгоритм решения задачи локальной управляемости математической модели в критических случаях, с привлечением свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов математической модели.

5. Результаты исследования конкретных математических моделей.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете имени С.А. Есенина, а также на следующих конференциях:

1. IV Молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения -2005" (г. Казань, декабрь 2005 года),

, 2. XIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (г. Дубна, январь 2006 года),

3. XI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанском государственном радиотехническом университете (апрель 2006 года),

4. Научная конференция "Герценовские чтения - 2006" (г. Санкт-Петербург, апрель, 20Об года),

5. VII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, май 2006 года), '"

6. Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям в Рязанском государственном университете (октябрь 2006 года),

7. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, ноябрь 2006 года),

8. Семинар Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е.В. Воскресенский (г. Саранск, март 2007 года),

9. Третья Международная научная школа « Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ » (г. Саранск, июль 2007 года).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в шестнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на''параграфы,' заключения, приложений и библиографического списка литературы, включающего 122 наименования. Общий объем диссертации-120 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.

В главе 1 рассматривается построение математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы, дается определение локальной управляемости, доказаны теоремы о наличии управления, при котором математическая модель является локально управляемой, без использования фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной математической модели.

§ 1 содержит постановку задачи.

Пусть R0 - общий, запланированный объем продаж туристических путевок. Для определенности предположим, что фирма обслуживает три направления туриндустрии и пусть к моменту времени [ первым направлением продано путевок на сумму r,(i), вторым направлением - r2(t), третьим направлением - гъ (/). Общий объем продаж путевок к моменту времени t r(t) равен r(t) - r{ (t) + гг (t) + r3 (I), что составляет по отношению к R0 величину

R0 R(l R0 R0

Пусть Q - запланированный расход на рекламную деятельность на сезон и пусть к моменту времени t израсходовано на рекламу первого направления q^t), на рекламу второго направления - q2(t), на рекламу третьего направления - q}(t). Общий расход определяется равенством q(t) = qi (t) + q2 (t) + q3 (t). Относительно 0i(O q2 (0 (0

ныи расход на рекламную деятельность определяется = ^ + —h ^ .

y v v

Введем следующие обозначения: s, =— ,s2 =— ,s3 =-

R0 ' R0 Rt

Естественно предположить, что темп продаж путевок первого направления в относительных величинах к моменту времени I пропорционален величине (г). Темп продаж путевок первого направления зависит от величины вложения в рекламу первого направления, пропорциональной оставшемуся количеству путе-

? , ч \

5,(0 ] -

-—— , от продаж путевок, как второго, так и третьего направлении х2(1),

вок

з3(0> от прямого вложения ц(г) в рекламную деятельность, от вложения величины, пропорциональной величине и2 (/).

Возможны влияния других факторов.

Следовательно, математическая модель организации рекламной деятель-

ности по продаже путевок первого направления имеет вид \

+b2s2+b¡si+b^sls2+b5ul+b6olü2.

s¡ = blsl + k¡v,

* n

Аналогично составляется математическая модель рекламной деятельности по двум другим направлениям.

,

¿з-6ГУ1 +Ь2й2 +к2и2 1—~ +Ь^}+Ь^2з3+Ь}и2+Ь6и2о}, (1.1.1)

¿з = b"lsl +b2s2 +b¡sJ +k}v з

f л

„о

+b¡sls3 +b¡v} +b"6vxuy

Системой вида (1.1.1) можно также описать организацию рекламной деятельности нескольких туристических фирм. В общем виде математическую модель организации рекламной деятельности туристической фирмы можно записать так:

s = f(t,s,o), (1.1.2)

л

где s = (.v,,.v2,...,.v„), и = о - управление, при этом s(t) = - объ-

ы

т

ем продаж путевок фирмой в момент времени t, v(t) = XU¡(0 " объем шгвести-

¡=i

ций, вложенных фирмой в рекламную деятельность в момент времени t.

Постановка задачи - определить управление (относительный объем вложений инвестиций в рекламную деятельность фирмы) таким образом, чтобы к моменту Т объем продаж Г0 = ^1sí(T) путевок удовлетворял бы неравенству s0 =1,

i—1 ' : •■■<■. m ' \ , ■ i i . ,

объем инвестиций va = ]Г ц (Г) - неравенству tJ0 á 1.

Пусть s„ =(sl(T),s2(T),...,s„(T))> u0 = (ц(Г),v2(T%::.X(T)j. Заменой переменных x = s-s0, и = u-v0 систему (1.1.2) сведем к системе

.... '/.ч,'.!-- X — f(t,X,U) (1.1.3)

Пусть при t — 0 объем продаж путевок равен s(0) = í0 + а. ■/.,■■ Поставленную выше задачу можно сформулировать так: определить управление u(t), заданное на сегменте [о,г] таким образом, чтобы система х- f(t,x,u(í)) имела решение ,т(/), .г(0) = а, определенное на сегменте [0,Г] и удовлетворяющее равенству х(Т) = 0.

Всюду далее исследуется математическая модель (1.1.3), представленная в виде >

x = A(t)x+B(t)u+f{t,x,u), , (1.2.1)

где A(t),B(f)-матрицы, /(/,jc,«)-n-мерная вектор - функция.

: В § 2 строится теория локальной управляемости для математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы, которая представлена нелинейной системой дифференциальных уравнений вида (1.2.1). Теория основывается на теореме о существовании неподвижной точки нелинейного оператора, зависящего от параметра.

Введем следующие обозначения:

Ы =тахЬ' |}, где у е Я3,Л* -я - мерное векторное пространство,

||Я(.)||= 8ир|5(0||,|И = 8ир|&|,5 - матрица, (ф,П |4<1

эир g(t) - вектор - функция, определенная на [0,Г], Ге[0,г1

#(<?„) = ■■ I е [ъ,т\х е Я",и е Дт,|х| 250,\и\ < <?0}

Я,(^0) = [о,7'],х £ Л\|х| <й'0}

Нг{80) = ■ ^ б [0 ,т\х е Л",се Д" ,|х| < <У0,|с| < <?„}

= (а| < £>„} д0 - некоторое положительное число.

Будем предполагать, что в системе (1.2.1) хеК\иеК",ли),В{1) - непрерывные ограниченные матрицы, т<п, Ге[0,г],/(Г,х,м) - п - мерная вектор -функция, определенная и непрерывная на множестве Н(д'0), удовлетворяющая на этом множестве следующим условиям:

10 /(г,0,0) = о при любом г е [о, т],

20 для любого 8е(0,£0], при любых /е [0,7'], |м,|<<У, |и2|^(!>

справедливо |/(г,х,,и,) - /хг,м,)|<I,(<У)|н, -и2\ + 12(<У)|х,

1!(5)->0,12(5)->0 при <5->0,

30 Х.'Ы^ -» 0 при У -> 0 равномерно по /, где а = (х,и).

И

В качестве допустимых управлений будем рассматривать непрерывные на сегменте [0,г] вектор - функции и(1), удовлетворяющие условию |и(.)|<<5'0. Множество всех допустимых управлений обозначим и(5й).

Под решением системы (1.2.1) будем понимать непрерывно дифференцируемую вектор - функцию, определенную на сегменте [0,Г] и удовлетворяющую на этом сегменте уравнению (1.2.1).

Символом х(1,а,и(.)) будем обозначать решение системы (1.2.1), удовлетворяющее начальным условиям х(0,а,«(.))-а.

Определение 1.2.1. Математическую модель (1.2.1) назовем локально управляемой на сегменте [0,г], если существует число 8 >0, что для любого вектора а е IV(3) найдется и е и{5) такое, что решение системы (1.2.1) будет удовлетворять равенству х(Г,а,и(.)) = 0.

Ставится задача - определить условия, при которых система (1.2.1) локально управляема.

Управление u(t) будем искать в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной

u(t) = tp(t,x,c) = S(t)x+R(t)c + p(f,x,c), (1.2.2)

где S(í),R(í)- известные их п матрицы, ограниченные па сегменте [0,г], с-.-, неизвестный вектор, с е C'(S0) = е R": |с| < ¿>0}. Выбор управления в таком виде позволяет максимально контролировать влияние инвестиций в рекламу в каждый момент времени на текущий объем продаж определенного вида туров. В качестве множества допустимых управлений будем рассматривать множество Ü(ö0) = {«(/): u(t) = S(t)x + R(t)c + f(t,x,c), x(t) e D(S0), с e ОД)}.

С учетом представления u(t) в виде (1.2.2) математическую модель организации рекламной деятельности туристической фирмы (1.2.1) можно представить в виде:

x = A(t)x + N(t)c + f(t,x,c), (1.2.3)

где A(t) = A(t)+B(t)S(t),N(t) = B(t)R(t)-nxn известные, непрерывные на сегменте [О,Г] матрицы, f(t,x,c) = B(t)<p(t,x,c)-hf(t,x,p(t,x,c)) - известная, непрерывная на множестве Н2 (ó) п - мерная вектор - функция.

Требуется определить условия, при которых система (1.2.3), а, следовательно, и система (1.2.1) локально управляема.

На множестве D(k) определим оператор F следующим равенством:

Fcx = о; +1(л(s')x + + /(í-,. Пусть x(t)eD(k). Рассмотрим функцию

о

x(t) = a + j{A(s)x(s) + N(s)c + f(s,x(s),c)jds. Следовательно, x=Fcx. Убедимся, о

что число к можно выбрать так, чтобы для любой вектор - функции x(í) е D(k) выполнялось x(t) е D(k).

Определены условия, при которых: а) существует положительное число к такое, что для произвольной вектор - функции x(t) е £)(/с) справедливо неравенство |х(0| á к,

б) для любого е > О найдется д > О такое, что для любых í,,í2 е [О, J'], для любой функции x(í) е D(k) |Зс(/2)-Зс(/,)| < е, как только |íj-f¡| <ö . Выясним, при каких условиях справедливо равенство х(Т) ~ 0. Рассмотрим уравнение

т т ',■:'. -л.

a + Nc + \A(s)x(s)ds+\f{s,x(s),c)ds^ö< : (1.2.4)

00 т

относительно переменных а,с, N = JВ(t)R(t)dl, доказаны следующие теоремы:

о

Теорема 1.2.1. Если матрица N является неособенной, то найдутся положительные числа S'.S" е (О,д0], k¡ s (О, ка] такие, что для любой вектор - функции

х(0 £ D{k{), любого вектора а е W(¿>") уравнение (1.2.4) имеет единственное решение во множестве С(д').

Теорема 1.2.2. Если выполнены условия теоремы 1.2.1, то найдется единственное управление u(t), определяемое равенством (1.2.2) и вектором с е C(S'), при котором решение x(t,a,u(.)) системы (1.2.1) удовлетворяет равенству х(Г,а,«(.))= 0.

Пусть rangN = r,0 < г < ti. Тогда элементарными преобразованиями систему (1.2.4) можно свести к системе

а + Nc + jjl(s)x(s)ds + jfl(s,x(s),c)ds = 0.

TÍ Г° (1-2-5)

<p(a)+¡A2(s)x(s)ds+J f2(s,x(s),c)ds = 0,

о 0

где N-гхп- матрица, составленная из первых г строк матрицы N, гап^Ы = г.

Пусть |/(г, х(0,с)сЛ = /р (с) + о(с|" ) /р (с) - вектор - форма порядка р ото

носительно с, нетождественно равная нулю. Введем замену с = рг, р> 0, тогда '

—а+Ш+~\А1 + ) = 0,

р Ро (1.2.6)

\ <р{а)+/»+х ШШч+4ф|р)=0. Р Р о

_ (1 т~ 1 iV(z) = colon(Nz,f"(z)), q(x,p) = со/ол - í —f Л, (*)?(*)<&

U>o . Pp o *

^ Р" Получим уравнение , ,

>щ(а,р)+Ж2)+д(х,р) + 0'[р |г|р)=0. (1.2.7)

Теорема !.2.3. Пусть на множестве 7. - {г: = 1} N(2) Ф 0. Тогда найдутся такие положительные числа 5[,8", к2 е(ОД0], что для любых фиксированных р < ¿'I, а е 1¥(3[), любой вектор - функции 5с(0 е 0{к2) уравнение (1.2.7) не имеет решений во множестве 2.

Теорема 1.2.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.3. Тогда существует множество \р\: р <д[, |г| = 1}, в котором нет вектора с а зНачйт и управления и(1), определяемого равенством (1.2.2), при котором решение системы (1.2.1) удовлетворяло бы равенству х(Т, а, и(.)) = 0.

Пусть существует 2*: |г*| = 1 такое, что Л'г* = 0 /Дг*)= 0. Тогда система (1.2.6) запишетсятак ю

т(а,р) + H0v + q(x,p) + j^R'^z, v) + 0'Lz' + v|P)= О, (1.2.9) ¡=2

где H0=cobn(N,DB(z"^j, /)0(z") - значение матрицы Якоби вектор - функции fp(z) в точке г*, v = z-z', R'i(z\v) = co!on([),...,0,Ri(z' Ri{z*,v) - форма порядка г относительно v.

Теорема 1.2.5. Пусть Н0 - неособенная матрица. Тогда найдутся такие положительные числа S2,(У3,¿"4,р < (У3, /с3 е(0Д'о], что для любого фиксированного |«|<£4, любой вектор - функции x(t) е D(k3) уравнение (1.2.9) имеет единственное решение во множестве A(â2) = {v : |v| < ô\).

Теорема 1.2.6. Если выполнены условия теоремы 1.2.5, то существует единственное управление, определяемое равенством (1.2.2), вектором с = p*(z* + v"), |z*| = l,|i/| < S2,p" < и вектор - функцией x(t) e D(k3), при котором решение x(t,a,uQ) системы (1.2.1) удовлетворяет равенству х(Т, ог,м(.)) = 0.

Если же Я0 является особенной матрицей, то повторяем алгоритм, описанный выше. Так как на каждом шаге ранг исследуемой матрицы не может уменьшиться, то либо система (1.2.1) не будет иметь решения, либо через конечное количество шагов получим матрицу с рангом п, и в этом случае будет существовать единственное решение рассматриваемой системы, либо процесс преобразования будет бесконечным и задача локальной управляемости для системы (1.2.1) данным методом не разрешима в рассматриваемом классе допустимых управлений.

Случай, когда в уравнении (1.2.4) матрица N является нулевой, рассматривается аналогично вышеизложенному.

Замечание 1.2.1. Исследования, проведенные в §2, не исключают возможности нахождения управления в любом из следующих случаев: u(t) = <p(t,x,c) = R(l)c, u(t) = (p{t>x,c), u(t) = <p(t,x,c) = S(t)x + <p(t,x.,c), u(t) = <p(t, x, с) = R(t)c + x, с), н(0 = ç(t, x, c) = S(t)x+R(t)c.

Замечание 1.2.2. Не исключается случай, когда в системе (1.2.1) A(t) - нулевая матрица, в системе (1.2.3) A(t) - нулевая матрица.- i{,.

В § 3 рассматривается система дифференциальных уравнений вида (1.2.1), в предположении, что матрицы A(t), B(t) нулевые, a f(t,x,u) представима в виде суммы двух вектор - функций, то есть f(t,x,u) = fl(l,x) + f2(t,x,uy, причем вектор -функции fy{t,x), f2(t,x,u) определены и непрерывны на множествах II l (SQ ) и

H(â0) соответственно, то есть '""' ' ' .....

; : x = f1{t,x) + fI(t,x,u). ' ' (1.3.1)

С учетом представления управления u(î) в виде (1.2.2), система (Î.3.1) может быть записана так

.f-/i(/,.r) + .7,(/,.r,r), (1.3.2)

причем вектор - функция f2(t,x,c) определенна и непрерывна на множестве

нШ

Таким образом, задача определения условий локальной управляемости системы (1.3.1) сведена к поиску условий локальной управляемости системы (1.3.2).

На множестве В{к) определим оператор Г следующим равенством:

^ = а + }(/;(£х) + 72(£,х,с))#.

о

Пусть х(0 е В(к). Рассмотрим Зс(/) = а +1 (/I (#, х(£)) + /2 (£ Щ)х)\1с, то

о

есть х = Т^х. Убедимся, что существует положительное число к такое, что для любой вектор - функции х(/) е О(к) имеет место х(() е В(к).

Установлено, что: а) существует положительное число к, что для любой вектор - функции х(() е О(к) будет выполнено |х(/)] < к,

б) для любого е >0 найдется 6 >0 такое, что для любых б [0,Г], для любой функции х(1) е О(к) |х(/2) -х(г,)| < е, как только |г2 < 3, Выясним, при каких условиях вьшолняется равенство х(Г) = 0. Рассмотрим уравнение

г т

а+\/1{1,х(0)с11+\/2(1,х((),с)сИ = 0. (1.3.3)

о о

Пусть для любого Зс(г) 6 В(к) |/2({,х(0,с) = /Дс) + о(с|а) /Дс) - вектор -

о

форма порядка ^ по с.

Тогда равенство (1.3.3) примет вид ; ■ ' -

а + /Лс) + ]мих{№+о{с\*)=0. (1.3.4)

о

Положим с = рг, р е. Я, р >0. Систему (1.3.4) сведем к системе

+ + (1.3.5)

Р Ра

Теорема 1.3.1. Пусть при любом г: = 1 /¡.(г) Ф 0. Тогда существуют такие положительные числа ¿>*,<У2, к1г что для любого фиксированного р < 5*, любого ае1¥(д2), любой вектор-функции х(1) е 0(к,) уравнение (1.3.5) не имеет решений при любом г: = 1.

Теорема 1.3.2. Если выполнены условия теоремы 1.3.1, то определено множество {р'г:р" <5*,|г| = 1}, в котором нет вектора с, а значит и управления г/(г), представляемого равенством (1.2.2), при котором решение системы (1.3.1) удовлетворяло бы равенству х(Т,а,и(.)) = 0.

Пусть существует г*: |г*| = 1 такое, что /Дг*)=0. Тогда систем)' (1.3.5) можно записать так

+ + + + у[)= О, (1.3.6)

Р ¡=2 Р о

где 1)х (г*) - значение матрицы Якоби вектор - формы в точке г*, к = г - г*, ^ (г*, у) - форма порядка 1 относительно V.

Получили уравнение, аналогичное уравнению (1.2.9). Уравнение (1.3.6) разрешается как и уравнение (1.2.9).

Таким образом, в первой главе получены условия при выполнении которых решение системы (1.2.1) в момент времени Т имеет значение, удовлетворяющее (1.2.1) и равенству х(т,а,и{.)) = 0.

В §4 рассматривается математическая модель вида (1.2.1) с конкретными значениями коэффициентов, исследование которой выполнено методами, изложенными в первой главе. Установлено, каким должно быть управление (размер инвестиций), чтобы математическая модель имела решение, удовлетворяющее равенству х(Т,а,и{.))~0, чтобы туристическая фирма реализовала запланированный объем продаж путевок.

Во 2 главе решается та же задача, которая была поставлена в первой главе. Однако исследование математической модели проводится с использованием фундаментальной матрицы линейного приближения математической модели, что позволяет ослабить некоторые условия, при которых выполнены исследования в первой главе.

В §1 рассматривается математическая модель, представленная нелинейной системой вида:

х = А{1)х + В{1)и+/{их,и) (2.1.1)

при указанных в §2 главы 1 предположениях.

С учетом представления «(/) равенством (1.2.2), получим систему вида:

х = А{1)х + Щ0с + У с) 2.1.2)

Требуется определить условия, при которых система (2.1,2) локально управляема.

На множестве Б{к) оператор Р определим равенством

I I

Рсх = Х^)а + Х{1)1х-\5)М{$)с<Ь + Х{^\Х'1{5)У{5,х,с)<1х, где Х{{) - фундамен-0 о

тальная матрица системы х = А (Г)*, Х{0) = Е.

Возьмем произвольную вектор - функцию х{0 е В{к) и пусть

< I

Щ) = Х(1)а + Х(Г)\Х~1 („у)Лг0')а/.у + Х(Г)\ х, с)сЬ.

о о

Очевидно, что х - Рсх. Убедимся, что число к можно выбрать так, чтобы для любой вектор - функции х{() е О(к') выполнялось х (г) е О(к').

Доказано, что: а) существует положительное число к, что для любой вектор - функции х(0 е 0{к) будет вьшолнено |х(0| £ к,

б) для любого е >0 найдется 8 >0 такое, что для любых г,,/2 е[о,Г], для любой вектор - функции х(г)еВ(к) имеет место неравенство |х((2)-х(<,)|<£, как только |г2 — г11 < (5".

Выясним, при каких условиях справедливо равенство х(Т) = 0.

Рассмотрим систему уравнений

т

а + + / АГ ЧлОА * Д (*), с)Ж = 0, (2.1.3)

о

~ г

относительно переменных а,с, в которой

о

Теорема 2.1.1. Если матрица N является неособенной, то найдутся положительные числа 8,8(0,£0], к[ такие, что для любого фиксированного вектора а е IV(д\), любой вектор - функции х{1) е 0(к[), уравнение (2.1.3) имеет единственное решение во множестве С{8).

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1. Тогда равенством (1.2.2) и вектором с еС(8) определено единственное управление и(1), при котором решение х((,а,и(.)) системы (2.1.1) удовлетворяет равенству

§2 посвящен рассмотрению случая, когда в уравнении (2.1.3) матрица N особенная, rangN = г,0< г < п. Рассмотрение этого случая проводится аналогично вышеизложенному в главе 1.

В §3 исследуется нелинейная математическая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы методом, изложенным в главе 2. Определено управление, при котором туристическая фирма реализует запланированный объем продаж путевок.

Глава 3 посвящена решению задачи локальной управляемости нелинейной математической модели в конечномерном пространстве начальных значений и параметра управления.

В § 1 сформулированы основные определения, получен общий вид решения системы, задача локальной управляемости сведена к решению операторного уравнения, построение которого осуществлено с учетом представления решения исследуемой системы.

Рассмотрим математическую модель организации рекламной деятельности туристической деятельности, определенную следующей системой:

х = ДО* +-0(0"+/(*,*> и), (311)

где А{1)-пхп-матрица, Л (г)-пк~т-матрица, хеК",иеИт -управление, т<п, г е[0,г], Т- некоторое число, матрицы Л(г)>#(0-непрерывны на ,и)~п-мерная вектор-функция, определенная и непрерывная на множестве Л(80).

В качестве допустимых управлений будем рассматривать непрерывные на сегменте [(),г] функции u(t), удовлетворяющие условию |i((.)| 5 ¿>0 ■ Множество всех допустимых управлений обозначим U(S0).

Под решением системы (3.1.1), определенном на [0,Г] при любом u(t)eU(ö0), будем понимать непрерывно дифференцируемую на этом сегменте вектор - функцию, удовлетворяющую системе (3.1.1).

Символом x(t,a,u(.)) обозначим решение системы (3.1.1), соответствующее управлению u(t)e U(S0), удовлетворяющее начальному условию х(0 ,а,и) = а.

Основная задача: определить условия локальной управляемости системы

(3.1.1).

Будем предполагать, что система (3.1.1) удовлетворяет условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра на множестве Н{д0).

Управление u(t) будем искать в виде функции, зависящей от фазовой переменной, то есть

«(/) = <p(t,x,c) = S(t)x + R(t)c+<p(t,x,c), (3.1.2)

где S(t),R(t)- известные тхп матрицы, непрерывные на сегменте [О,Т\, с- неизвестный вектор, с £ C(S0) = ^ е Л": ]с| < }, <p(t,x,c) известная т - мерная вектор - функция, определенная и непрерывная на множестве H2(S0).

С учетом равенства (3.1.2) система (3.1.1) примет вид

x = A(t)x + N(f)c + f{t,x,c), (3.1.3)

где A(t)-A(t)+B(OS(t),N(t)-B(t)R(i)-nxn известные матрицы, непрерывные на [О,Г], f(t,x,c) = B(t)<p{t,x,c) + f(t,x,<p(t,x,c)) - известная л-мерная вектор -функция. Будем предполагать, что f{t,x,c) удовлетворяет на множестве Н2{5й) условиям: ' ! 1 v

и 1 ю) /(i,x, с) непрерывна по всем аргументам,

2ю) удовлетворяет условию Липшица по переменным х и с, т.е. для любого <Уе(о,<У0] на множестве H2(S) для любых xi,x2,cl,c.2,t е [0,7'] справедливо

^{Ux^-fiUx^c^MliS^-c^-x^, М{(<5)~> 0 при ¿->0.

310) 7(i,0,0) = 0 для любого l е [0,Г],

I f iUx ,с)\ г 1 _

4ю) lim -—-q—1 = 0 равномерно по t е [0,2'J, со = (х,с).

'"->3 !<у]

Таким образом, задача локальной управляемости системы (3.1.1) сводится к задаче локальной управляемости системы (3.1.3).

Очевидно, что х s О При с = 0 является решением системы (3.1.3). Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра найдется ¿>0* е (0,<50], такое, что для любых а е с е с(<50*) система (3.1.3)

имеет решение x(t,a,c), определенное на сегменте [0,г], и при любом t е [О, т\ удовлетворяющее неравенству \x{t,a,c)\ < S0.

Теорема 3.1.2. Решение системы (3.1.3) x(t,a,c) с начальным условием х(0, а,с)-а,ае W (д*0), с е С(5"0) для любого t е [О, Т\ представимо равенством

x{t,a,c) = X(t)a + X{t)\X-\%)N(%)cd% + o{X),

о

где Л = (а,с).

Из теоремы 3.1.2 следует, что задачу о локальной управляемости системы (3.1.3) можно свести к задаче нахождения условий существования решений системы уравнений вида

Х(Т)а + X(T)]x~'(£)N(4)cd^+о(Я) = 0, (3.1.5)

о

где X(t) - фундаментальная матрица решений системы х = A(t)x, Х(0) = Е, А = (а,с).

Систему (3.1.5) запишем в виде:

а + Рс.+о(Л) = 0, (3.1.6)

т

где P = jX~l(^)N(^)d^-nxn известная матрица.

о

Таким образом, задача о локальной управляемости системы дифференциальных уравнений (3.1.1) сводится к задаче нахождения вектора с, являющегося решением системы уравнений (3.1.6).

В §2 найдены достаточные условия локальной управляемости системы дифференциальных уравнений в некритическом случае, когда матрица Р операторного уравнения неособенная.

Теорема 3.2.1. Если матрица Р является неособенной, то найдутся 8,8 е(0,4 что для любого вектора aeW(8), операторное уравнение (3.1.6) имеет единственное решение во множестве С(8).

Теорема 3.2.2. Если выполнены условия теоремы 3.2.1, то для любого вектора аеЩ8) равенством (3.1.2) определено единственное управление u(t), при котором решение «,»(.)) системы (3.1.1) удовлетворяет равенству

х(г,а,и())= 0.

§3 и §4 посвящены поиску условий локальной управляемости в критических случаях.

Пусть функция f(t,x,c) представима следующим образом f(t,x,c) = f'(t,c) + f"(t,x,c), где

ln) f'(t,c) = + где ft(t,c)- форма к - го порядка относитель-

но с, к > 2;

2ц) f\t,x,c) = /¡(/,x,c)+o|ffl|'), где /¡(t,x,c) - форма порядка I относительно ¿у, Ш = (х,с), 1>2.

Тогда с учетом условий 1ц) и 2ц) система (3.1.6) преобразуется в систему

а + У>с + /Дс) + /,(Л) + о,(с)+02(Л)=О. (3.3.1)

Пусть rangP = г,0<г<п. С помощью элементарных преобразований систему (3.3.1) можно записать так

Га+Рс + Л(с) + /|(А) + о1(с) + ад = 0, 3

1 <р(а)+?к(.с) + МЛ) + Ц(с) + и2а) = О,

где Р -г х и - матрица, составленная из первых г строк матрицы Р, rangP=r.

Положим а - рр,с - ру,р> 0,р е К. Тогда система (3.3.2) сведется к сис-

теме

(3.3:3)

[ Рр + Рру + (V) + р11 (Д V) + о, (ру) + о, (Л) = О,

Р<Р(Р)+ркК (у)+Р']\ (А У)+Ц(РУ)+о2 (Л)=0.

Первый критический случай

Пусть к<1. Систему (3.3.3) можно представить в виде

Р-.■ РV+о{рк '||'|А)=0

Рк-

Обозначим Х{\,) = со1оп[ру,У1(у)),т{р,р) = со]оп Д—\ц;(р{р) ,

V Р У

Тогда систем}' (3.3.4) можно записать так

т(р,р)+8(у) + о{р\у\1)= 0. (3.3.5)

Теорема 3.3.1. Пусть на множестве Ь = {г: = 1} Б (у) Ф 0. Тогда существуют такие числа 8', 8 е (о, ¿>0*], р<8' и множество в окрестности точки с = 0, в котором нет решений системы (3.3.5) при любом \р\ < 8.

Предположив, что существует такая точка = 1, что Ру" = 0 и /к(у*) = 0, систему (3.3.4) запишем в виде ' ■ " ;

в которой (З^соЬп^,^^")), - значение матрицы Якоби вектор - формы

/Ду) в точке у*, у = у-\*, К" (у" ,у) = со1оп((),...-0,К1(у" ,у)), Щу", у) - форма / - го порядка относительно у, О'^у + |= со1оп\р[ркА\у +1/*| +

Теорема 3.3.2. Пусть () - неособенная матрица. Тогда найдется такое число 81 е (о,<?0*], что при любом : |/?| < 81 система (3.3.7) разрешима.

Теорема 3.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.3.2. Тогда существуют число 81 е (0А'] и множество С такое, что для любого а = рР, \р\ < 81 во мно-

жестве С существует единственная точка с, удовлетворяющая равенству х{Т,а,и(.)) = 0.

При этом множество С определяется равенством С = \z\c = + у")}, у* - решение системы (3.3.7).

Если же матрица Q особенная, то повторяем алгоритм, описанный выше. Так как на каждом шаге ранг исследуемой матрицы не может уменьшиться, то либо система (3.3.7) не будет иметь решения, либо через конечное число шагов получим матрицу с рангом п, и в этом случае будет существовать единственное решение рассматриваемой системы, либо процесс преобразования будет бесконечным и задача локальной управляемости для системы (3.1.1) не разрешима предложенным способом.

Если в уравнении (3.3.1) матрица Р нулевая, то после замены а = pß,c = pv,p >Q,peR получим уравнение вида (3.3.5), которое разрешается аналогично уравнению (3.3.5).

Второй критический случай

Рассмотрим систему (3.3.3) при 1 < к. Систему (3.3.3) запишем в виде ß+Pv+ö{ph]\of)=0,

где a = (ß,v).

Обозначим Q(ß,v~) = colon(Pv,Jt(ß,v)), m(ß,p) = colon^ß,-\^^>(ß)j,

0(4ф=сокт\р1р"И)>оШ1

Тогда система (3.4.1) примет вид

m(ß,p) + Q(ß,v) + Ö(p\o\') = 0. (3.4.2)

Пусть при ß = 0 существует такая точка v*:|v*| = l, что вектор ö(0, v") ненулевой. Тогда существует число 8 > 0 такое, что на множестве W'(ö) = ^t = (j3,v): ¡/?| S |v - v*| < |к*| = l} вектор Q(ß,v) ненулевой.

Теорема 3.4.1, Пусть существует точка г": |v*| = 1 такая, что 0(0,у*)^0. Тогда существуют положительные числа 8г и множество в окрестности точки с = 0, в котором нет решений системы (3.4.2) при любом а - pß,p < , |/?| < ö2. Пусть существует точка к*: |v*| = 1, что Р v" = 0 и пусть на множестве

W'(S) равенство f¡(.P,v) =0 определяет единственную вектор - функцию

V = у(ß) в окрестности точки ß =0 со значениями из окрестности точки

V = V*, у/{0) - V*, и пусть Ty/(ß)=0.

Тогда систему (3.4.1) можно представить следующим образом:

K(ß,p)+L(ß)w + j%{ß,w)+o(f\a{]=Q, (3.4.4)

i=2

где L(J3) = colon{P ,D{p,у/(р))), D(/3,y/{pty - значение матрицы Якоби вектор-функции ft(P,v) в окрестности точки w = v -y/{fi),

KiP,p) = colorip,-^n<p{fi)\, R,{P,w) = colon(0,...,0,Rl(fi,w)), R,(P,w) - формаno-

\ P ) _

рядка / относительно w, o[f\a\}= со1оп{р{р'^\с^\о[р\<^\

Теорема 3.4.2. Если матрица L(0) является неособенной, то существует число ¿'>0 такое, что для любого фиксированного |/i| < д система (3.4.4) разрешима.

Теорема 3.4.3. Если выполнены условия теоремы 3.4.2, то равенством (3.1.2) и вектором с - p"(w' + у/(/9*)), постоянными |w*| < , р' <5[, |/Г| < S определено единственное управление u(t), при котором решение x(t,a,u(.)) системы (3.1.1) удовлетворяет равенству

Случай, когда detZ,(o) = 0, rangL(0) = г', О < г' < п, в диссертации подробно рассмотрен, определены условия локальной управляемости системы (3.1.1).

В §5 исследуется математическая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы методами конечномерного пространства, изложенными в главе 3, установлен вид управления посредством которого туристическая фирма реализует запланированный объем продаж путевок.

Составлена программа в среде Maple, проверяющая условия теоремы 1.2.6 для различных моделей.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М. Т. 'Герехину за руководство, помощь в работе и всестороннюю поддержку.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Юханова М.В. О локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Вып. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2006. -С. 39-42.

Публикации в других изданиях

2. Юханова М.В. Локальная управляемость системы дифференциальных уравнений // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Лобачевские чтения - 2005. Материалы IV Всероссийской молодежной научной школы - конференции. - Казань: Казанское математическое общество -2005, Т.31.С. 182-184.

3. Юханова М.В. О существовании решения системы дифференциальных уравнений с управляющим параметром// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - Рязань: Изд-во РГУ. - 2006. - №10. - С. 86-89.

4. Юханова М.В. Об условиях локальной управляемости нелинейной системы дифференциальных уравнений в некритическом случае// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения- Рязань: Изд-во РГУ. - 2006. - №10. -С. 90-94.

5. Юханова М.В. Условия локальной управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы докладов XIII Международной конференции. - М. — Ижевск: Изд-во "Регулярная и хаотическая динамика" - 2006. - Вып. 13. - С.38.

6. Юханова М.В. О способе решения одного операторного уравнения в критическом случае // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции " Герце-новские чтения- 2006". - СПб., 2006. С. 155-157.

7. Юханова М.В. О разрешимости операторного уравнения в различных случаях // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина. - Рязань: Изд-во РГУ. - 2006. - № 7. - С. 130-133.

8. Юханова М.В. О локальной управляемости системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае // Новые информационные технологии :в'научных исследованиях и в образовании: Тезисы докладов XI Всерос-сййскЬй научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: Изд-во РГРУ. - 2006. - С. 11-12.

9. Юханова М.В. К вопросу локальной управляемости в одном критическом случае // Труды СВМО, 2006, Т. 8, № 2."С. 216-222.

10. Юханова М.В. Об одном методе решения задачи локальной управляемости // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (материалы Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям). -2006. -№11- С. 256-257.

11. Юханова М.В. Локальная управляемость нелинейных систем // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2006. - С. 101-102.

12. Юханова М.В. Условия локальной управляемости нелинейных систем // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. - Рязань: РГУ. -

2006.-С. 139-143.

13. Юханова М.В. Об условиях локальной управляемости одной системы дифференциальных уравнений // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научи. трудов. Том 2. / Под ред. Г.Ю. Ризниченко. - М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2006. - С. 118-126.

14. Юханова М.В. Локальная управляемость при специальном виде допустимых управлений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2007. -№12.-С. 110-113.

15. Юханова М.В. Математическая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. -

2007. -№12. - С. 114-116.

16. ТерёхинМ Т., Юханова М.В. Построение и исследование математической ' 'модели организации рекламной деятельности туристической фирмы // Известия РАЕН: Дифференциальные у равнения. -2010. -№15. - С. 133-137.

Юханова Мария Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ РЕКЛАМНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ТУРИСТИЧЕСКОЙ ФИРМЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано к печати 23.08.2010. Формат бумаги 60x84 1/16 Печать ризографическая Заказ №4733 Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО «НПЦ «Информационные технологии» 390035, г. Рязань, ул. Островского, д.21/1. Тел.: (4912) 98-69-84

Введение.

Глава I. Решение задачи локальной управляемости математической модели организации рекламной деятельности туристической' фирмы.5.!.

§1. Построение математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы. Постановка задачи.

§2. Условия локальной управляемости математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы.

§3. Локальная управляемость математической модели, не содержащей линейных членов с фазовой переменной и управлением.

§4, Численное интегрирование математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы.

Глава П. Исследование проблемы локальнойуправляемостиматематической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы посредством фундаментальной матрицы системы линейного приближения.

§1. Условия локальной управляемости математической модели в случае неособенной матрицы линейного приближения (2.1.3).

§2. Исследование задачи локальной управляемости, когда матрица линейного приближения особенная (2.1.3).

§3. Численное решение математической модели.

Глава III. Решение задачилокальной управляемости* на множестве непрерывных функций в конечномерном пространстве.

§1. Постановка задачи. Общий вид решения исследуемой системы.

§2. Достаточные условия локальной управляемости модели в некритическом случае.

§3. Локальная управляемость в критических случаях. Первый критический случай.

§4. Второй критический случай.

§5. Применение численных методов к исследованию математическоймодели организации рекламной деятельности туристической фирмы.

Актуальность темы. В настоящей работе построена математическая управляемая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы, исследована возможность управления рекламной деятельностью с целью получения желаемого результата. Проблема управляемости математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы сведена к проблеме локальной управляемости систем дифференциальных уравнений, содержащих управляющий параметр.

Необходимость решения задачи об управляемости нелинейных систем возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, экономических, социальных и других процессов [4, 6, 8, 10, 11, 13, 36, 43, 55, 60, 63, 68, 72, 77, 80, 83, 92, 101, 102, 104, 107]. Потребности естествознания, техники, экономики, всей практической деятельности человечества постоянно ставили перед математикой новые задачи и стимулировали ее развитие. В настоящее время математика широко применяется и в других науках, казалось бы, совершенно от нее далеких — психологии, лингвистике, юриспруденции [45, 81].

Большинство реальных процессов в окружающем мире, как правило, управляемые, то есть различное их протекание обусловлено конкретным воздействием управляющей стороны. Задачи управления известны еще с древних времен, но потребность, особенно в последнее время, более детального изучения разнообразных процессов и явлений, прогресс в области вычислительной техники открывают принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов.

Особый интерес представляют методы исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений. Не ослабевает интерес к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости, к выбору множества допустимых управлений. Поэтому задача определения условий управляемости математической модели (выбор множества допустимых управлений) является актуальной.

Цель работы состоит в разработке методов определения условий локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений и применение их к исследованию математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы.

Методика исследования. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной. Поставленная задача сводится к поиску условий существования решения нелинейного операторного уравнения. Доказательство теорем об условиях существования управлений, удовлетворяющих задаче локальной управляемости системы дифференциальных уравнений, проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Математическая теория управления возникла недавно, наибольшее развитие получила во второй половине 20 века. Но, несмотря на это, в развитии современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основания полагать, что в будущем эта роль станет еще значительней. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, как результат исследования проблемы перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процесса, теория наблюдения и стабилизации. В основе современной науки об управлении, в том числе и в теории управления механическим движением и технологическими процессами, лежит математическое описание процессов посредством, дифференциальных уравнений. Основные результаты, по теории управления процессами; описываемыми, системами дифференциальных уравнений получены Р;Е. Калманом [34], В.И. Зубовым [30, 31], Н.Н. Красовским [40, 41], Е.А. Барбашиным [7] и другими.

В работах [9, 34, 48, 74, 97] достаточно подробно исследована система х = Ах + Ви, х е R", и e Rm с постоянными параметрами. При условии ||и|| < М определена структура области управляемости, исследованы; свойства решений краевых задач.

Задача об управляемости линейной системы х = A(t)x + B(t)u + w(t) , x(ta)>=xa, x(tp) = хр в работе Красовского Н.Н. [41] рассматривается как проблема; моментов. В работе [42]«изучаются* задачи^ программного управ-ленияш;управления по принципу, обратнотсвязи. .

Краевая задача для линейных и квазилинейных систем рассматривалась Зубовым В.И. в работе [30], большое внимание уделяется возможности численного решения* краевой: задачи? с: помощью методов последовательного приближения.

Численному решению: краевых задач также, посвящены^ работы [39; 44]. "'.'-'• ' .

Автором работы [97] изучается' проблема управляемости; бесконечномерными линейными системами; Предложено решение данной: задачи? с помощью конечномерного и бесконечномерного управлений.

В теории оптимальных процессов > принципиальными положениями, касающимися /математической, стороны; вопроса;, являются;, во-первых, фундаментальный принцип максимума Л.G. Нонтрягина (необходимые условия оптимальности) [74],. во-вторых, метод динамического программирования [9, 41]. При этом следует отметить, что работы, посвященные проблеме существования оптимального управления^ [1, 9, 33, 47, 61,. 74, 100], основываются на предположении, что система обладает свойством управляемости, то есть, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

Большой» трудностью до сих пор является исследование проблемы управляемости нелинейных систем. Этой проблеме посвящены работы [5, 12, 23, 25-29, 51-54, 56-58, 64, 69-71, 75, 76, 78, 79, 84-91, 98, 100, 103, 105, 106]. Большинство результатов этих работ относятся» к изучению задачи локальной управляемости.

В работе Тонкова Е.Л. [90] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы.

В4работе Пантелеева'В.П. [67] установлен необходимый и-достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х ='A(t)x + b(t,u).

Работы [56-58] Митрохина Ю.С., Степанова А.Н! посвящены исследованию системы вида х = / (х) + Ви. Полагая, что система* линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимое и достаточные условия локальной управляемости систем, линейно зависимых, от управления.

Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Воскресенским Е.В. [13-19]'. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для, исследования системой. При этом помимо решения проблем теории управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств решений- например, устойчивость. В работе [19] на- основании принципа сравнения решаются задачи управляемости движением с обратной связью, при условии, что система имеет линейное приближение. За счет малости нелинейной части, управляемости системы линейного приближения свойством управляемости обладает и нелинейная система.

Павлов А.Ю., используя метод сравнения, исследовал систему dx = A(t)x + B(t)u + f(t,x,u) + F(t) [68] в предположении, что в фиксиро-dt ванном классе управлений система сравнения является управляемой за конечный или бесконечный промежуток времени.

Известно [90], что система x = f(x,t,u), (x,t) eR" и eUczRm, локально управляема, если 0еint U, и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения. Для локальной управляемости линейной системы х = A(t)x + B(t)u достаточно [41], чтобы rang(B(T),rB(T),.,r"~lB(r)) = n в некоторой точке т<е[?0,/,].

При решении проблемы существования управлений, разрешающих краевую задачу для нелинейных систем, Габасов Р.Ф. и Кириллова Ф.М. [20] применяют метод приращений, Терехин М.Т., Землякова JI.C. [87] предлагают метод вариации промежуточной точки, в работе [102] используется метод неподвижных точек.

Мастерковым Ю.В. в работах [51, 52] исследовались множества локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N- управляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости.

Петров Н.Н. в работе [69] при исследовании нелинейной автономной системы не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. Методом функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат. Рассматривая проблему локальной управляемости нелинейных систем, в работах [69-71] Петров Н.Н. в качестве множества допустимых управлений рассматривал кусочно-постоянные функции, принимающие значения из конечного множества.

Проблему управляемости динамических систем с помощью кусочно-постоянных функций исследовали Раковщик JI.C. [75, 76], Нгуен Тхянь Банг [64], Землякова JI.C. [24-29], Зудашкина О.В. [32].

Вопросом устойчивости управления по параметру занимался Тере-хин М.Т. [85, 86]. Шарафеевым Д.Р. в статье [96] получены условия существования тройки "начальное значение — управление — параметр", разрешающей периодическую краевую задачу.

Содержание работы. Диссертация, в отличие от работ [2, 3, 56-58], содержит исследования системы, являющейся нелинейной и по1 управлению, и по фазовым переменным. Рассматривая вопрос о локальной управляемости, Н.Н. Красовский [41], В.И. Зубов [30], Э.Г. Альбрехт, О.Н. Соболев [2, 3], Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кириллова [20] основывались, на предположении о полной управляемости системы, линейного приближения. В-предлагаемой работе не требуется выполнение данного условия.

Принципиально новым в данной работе является метод исследования проблемы нелинейной математической модели без- использования фундаментальной матрицы соответствующей линейной модели.

Критические случаи изучались, и ранее, но приводимые в работах [56-58] критерии управляемости предполагают наличие у правых частей системы частных производных по х высокого порядка, а применение теорем Мастеркова Ю.В. [51, 52] связано с нахождением решений исследуемой системы, обладающих определенными свойствами, что в ряде случаев может вызвать затруднения. В отличие от этих и других работ, сформулированные в настоящей работе условия локальной управляемости опреде- ' ляют признаки существования специальных управлений в виде вектор--функций, зависящих от фазовой переменной, что позволяет сделать важные выводы при решении прикладных задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения. Во введении содержатся обоснование актуаль

Заключение

Работа посвящена построению и исследованию математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы, при этом задача управляемости математической модели сведена к проблеме локальной управляемости систем дифференциальных уравнений, содержащих управляющий параметр.

В работе получены достаточные условия локальной управляемости математической модели, установленные без использования фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной математической модели; достаточные условия локальной управляемости математической модели, полученные с помощью фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной математической модели; разработан алгоритм решения задачи локальной управляемости математической модели в критических случаях, с привлечением свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов математической модели; перечисленные выше результаты продемонстрированы при исследованию конкретных математических моделей. Доказательство теорем об> условиях существования управлений, удовлетворяющих задаче локальной управляемости математической модели, проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

2. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1969, Т.5, №3. С. 430-442.

3. Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. Синтез систем управления с минимальной энергией // Дифференциальные уравнения, 1995, Т.31, №10. С. 1611-1616.

4. Андриевский Б.Р., Гузенко П.Ю., Фрадков А.Л. Управление нелинейными колебаниями механических систем методом скоростного градиента // Автоматика и телемеханика. 1996. № 4. с. 4 -17.

5. Арутюнов А.В., Розова В.Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1999; Т.35, №6. С. 723 — 728.

6. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая-школа, 1989. -447 с.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. -' 233 с.

8. Беляева Н.П., Цирлин A.M. Оптимальное управление покупкой и продажей ценных бумаг // Автоматика и телемеханика, 1998,,№4. С. 135-143.

9. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408 с.

10. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972, 544 с.

11. Волков, И.К., Крищенко А.П. Качественный анализ модели- развития? популяции // Дифференциальные уравнения, 1996, Т. 32, №11. С. 1457-1465.

12. Воротников В.И; О нуль-управляемости по части переменных нелинейных динамических систем // Автоматика и; телемеханика; 1997, №6. С. 50 -63.

13. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск: GBMO, 2001, 300 с.

14. Воскресенский Е.В; Методы сравнения в нелинейном . анализе:. Саранск: Изд-во Сара г. ун-та Саран, фил., 1999. — 224 с.

15. Воскресенский Е.В; О методе сравнения; и периодических решениях " нелинейных систем // Укр. мат. журн;, 1991, Т<43>, №10: С., 1366^—1371.

16. Воскресенский Е.В- Оптимальная стабилизация? программного? движения. Саранск: Средневолжское математическое общество, 2002, препринт №47. 23 с.

17. Воскресенский; Е.В., Черников П. F. О сравнении и управляемости; нелинейных систем// Труды СВМО, 1998; Т.1, №1. С. 37 -76;.

18. Воскресенский Е.В., Черников; П. Г. Управляемость численным* процессом^ Труды СВМ0|1999^ Т.2-.№1?. С. 3?-1/7.• 19;. Воскресенский! Е.В: Управляемость и: синтез управления? нелинейных' систем // Труды СВМО, 2006, Т.8, №1. С. 24 35.

19. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М: Качественная теория оптимальных процессов^.М1::Наука, 1971.-501с. ,

20. Еантмахер ФФ.Теоршгматриц. М;: Наука, 1988: .- 552с: '221; Дёмидович БЛ: Лекции: по шатематическойз теории устойчивости: Mi:. Наука, 1967. 472 с.

21. Евстафьева В.В., Камачкин A.M. Управляемость динамической гистерезисной системы с внешним воздействием // , Вёстн: С.-Петерберг. ун-та. Сер. 10. 2004, №1 2. С. 101 - 109.

22. Землякова JI.C. Существование кусочно-постоянного управления для одной краевой' задачи // Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 13, Рязань, 1979.

23. Землякова JI.C. Управляемость в малом в случае пространства Еп И Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Вып.15, Рязань, 1980. С. 47 52.

24. Землякова JI.C. Об управляемости некоторой системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1996. С. 63-68.

25. Землякова JI.C. Управляемость- нелинейных систем-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения-(Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С. 64-71.

26. Землякова JI.C. Управляемость систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-воРГПУ, 1995. С. 72 78.

27. Землякова JI.C. Управляемость систем с периодической правой частью // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997. С. 33 35.

28. Зубов В.И. Лекции по- теории управления. М:: Наука, 1975. 459 с.

29. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. — 335 с.

30. Зудашкина О.В. Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами линейного приближения: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск, 2006.

31. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. — 336 с.

32. Калман Р.Е. Об общей теории систем, управления. Труды I Международного конгресса ИФАК, T.II! М.: Изд-во АН СССР, 1961.

33. Канторович JT.B., Акилов Г.П. Функциональный; анализ. М:: Наука, 1984.-572 с.

34. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.

35. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций- и функционального анализа. — М.: Наука; 1976:.— 544 с.

36. Коробов В.И!, Навличков G.C. Управляемость треугольных систем с равномерно» ограниченными возмущениями // Вести. Харьков, ун-та, 1999, №444. G. 10-14. \

37. Красников- С .Д., Кузнецов Е.Б. К параметризации численного решения краевых задач // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № 7. G. 1-9.40! Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории* устойчивости движениям М.: Физматгиз; 1959) — 211 с.

38. Красовский Н.Н. Теория управления* движением; М.: Наука; 1968. -■ 476 с. . ■'■'■./;.'"• ' , ' '

39. Красовский Н:Н. О некоторых задачах управления // Тр. Мат. ин-та РАН;.1999! 224! С! 208— 217. ; . . Л

40. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2003. — 688 с.

41. Кузнецов Е.Б., Микрюков В.Н. Параметризация дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом // Докл. РАН. 2007. Т: 412. № 4. С. 456-459.

42. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П:, Николаичев А.Н. Математические модели; нелинейных динамических процессов в социологии // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. Mi: Прогресс-Традиция, 2000. С. 437.

43. Леваков А.А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 5. С. 798 806.

44. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968.-192 с.

45. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.49; Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-510 с.

46. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. — 532 с.

47. Мастерков Ю.В. О' некоторых задачах управляемости' нелинейных систем: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Удмуртский гос: ун-т. Ижевск: Изд-во УГУ, 19991

48. Мастерков (Ю.В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае // Известия вузов.- Математика. 1999, №2. С. 68 — 741

49. Мастерков Ю.В. Некоторые вопросы управляемости нелинейных систем,// Удм. гос. ун-т. Изв. Ин-та мат. и инф-ки. 1999, №2. С.41 -101.

50. Мастерков» Ю.В1, Родина Л.И. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной- системы в критическом, случае // Дифференциальные уравнения, 2004, Т.40, №Г*. С. 33 40.

51. Миронова В.А., Соболев В.А., Цирлин A.M. Оптимальное управление потоками сырья и готовой продукции путем выбора цен // Автоматика и телемеханика, 1998, №2. С. 91 100.

52. Митрохин Ю.С. Об- управляемости в малом нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования-// Труды Рязан. радиотехн: ин-та. Рязань, 1976, вып.69. С. 25-30.

53. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975; 528 с.

54. Накоряков В:Е., Гасенко В.Г. Кинетическая модель инфляции // Экономика и математические методы, 2004, Т.40, №1. С 129 134.

55. Нарманов А.Я., Петров Н.Н. Нелокальные проблемы, теории оптимальных^ процессов; I // Дифференциальные уравнения; 1985, Т 21', №4; О. 605 — 614. .

56. Натансон И;П. Теория функций вещественной переменной. М;: Наука, 1974V—4801с.

57. Нгуен Куанг Хынг, Уткин В.А. Задачи управления электродвигателем постоянного тока // Автоматика и телемехника. 2006; №• 5. с. 102 -118. .

58. Нгуен Тхянь Банг. Об управляемости квазилинейных систем // Прикладнаяшатематика шмеханика, 1969;,Т.31, №1.

59. Немыцкий В.В., Степанов В.В: Качественная теория дифференциальнь1х уравнений; Mi: ЕИТТЛ; 1949:—550 с. *

60. Павлов А.Ю; Об управляемости нелинейных систем // Вестник-Мордовского университета^ 1995, №1. С. 54 — 57.

61. Пантелеев В.П. Об управляемости нестационарных линейных сисгем // Дифференциальные уравнения, 1985, Т.21, №4. С. 623 628;.

62. Пантелеев А.В-, Бортаковский А.С., Летова Т.А. Оптимальное управление в примерах и задачах. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 211 с.

63. Петров; Н.Н;. Локальная, управляемость автономных систем: // Дифференциальные уравнения,Л968;Л;.4, №7. С. 1218— 1232.

64. Петров Н.Н. Об управляемости автономных систем- // Дифференциальные уравнения, 1968, Т.4, №4. С. 606 — 617.

65. Петров Н.Н. Решение однот задачи теории, управляемости- // Дифференциальные уравнения, 1969, Т.5, №5. С. 962 963.

66. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. М.: Учпедгиз, 1962. 184 с.

67. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

68. Понтрягин JI.C., Болтянский* В.Г., Гамкрелидзе Р., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. -384 с:

69. Раковщик JI.C. Построение допустимых управлений I // Автоматика и телемеханика, 1962, Т.23, №10.

70. Раковщик Л.С. Построение допустимых управлений II // Автоматика,и. телемеханика, 1964, Т.25, №Г.

71. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. Москва — Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2003. — 184 с.

72. Романовский ЮМ., Степанова Нг. В., Чернавский Д.С. Математическая.биофизика. М.: Наука, 1984. — 304 с.

73. Саати Томас Л. Математические модели конфликтных ситуаций. М.: Сов. радио, 1977. 304 с.

74. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:ИЛ, 1954.-Т.2.-416 с.

75. Смит Дж. Математические идеи в биологии. М.: Мир, 1970. 180 с.

76. Терехин М.Т. Управляемость в малом системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динимики: Межвуз. сб. науч. тр. Горький: Горьк. ун-т, 1987. С. 48 52.

77. Терехин М.Т. Устойчивость управления по параметру // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 1998, №1.С. 86-96.

78. Терехин М.Т. Об устойчивости управления по параметру // Известия ВУЗов. Математика, 2000, №9. С. 38 46.

79. Терехин М.Т., Землякова JI.C. Метод вариации промежуточной точки для исследования, управляемости системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1994. С. 116 124.

80. Терехин М.Т., Землякова JI.C. Об управляемости* систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз.,сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С. 141 150.

81. Терехин М.Т. Бифуркация, периодических решений функционально — дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. 1999. № 10(449). С. 37-42.

82. Тонков E.JI. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикладная математика и механика; 1974, Т.38, вып.4. С. 599 606.

83. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Высшая^ школа, 1980. — 495 с.

84. Ухин М.Ю. Синтез приближенно оптимального управления на дискретных моделях // Автоматика и телемеханика. 2006. №7. С. 75 — 87.

85. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. Главная» редакция физико-математической литературы, 1985. 224" с.

86. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

87. Шарафеев Д.Р. Существование периодических решений нелинейных управляемых систем с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001, №5. С. 182 188.

88. Шолохович Ф.А. Об управляемости и с -управляемости линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах // Известия УРГУ. Математика и механика, 1998, №1. С. 102 126.

89. Akhmet М!, Zafer A. Controllability of two-point nonlinear boundary-value problems by the' numerical-analytic- method // Appl. Math, and' Comput, 2004. 151, №3. P. 729-744.

90. Barnett S. Introduction» to mathematical control theory. O.U.P., Oxford,1975.

91. Dauer J.P., Mahmudov N.L Controllability of some nonlinear systems in Hilbert spaces // Optimiz. Theory and АррГ. 2004. 123, №2. P. 319 329.

92. Friedman A., Ни B. Optimal control of a chemical! vapor deposition reactor // Optimiz. Theory and Appl'i 1998. 97, №3, P! 623 644.

93. Kleis D., Sachs E.W. Optimal control of the sterilization of prepackged food // SIAM J. Optimiz. 2000. 10, №4. P. 1180 1195.

94. Liu Weijiu. Local boundary controllability for the semilinear plate equation // Commun. Part. Differ. Equat. 1998. 23; №1-2. P. 201 221.

95. May R.M. Stability and complexity in1 model ecosystems, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1973.

96. Mirza K.B., Womack B.F. On the controllability of a class of nonlinear system // IEEE Transactions on automatic control. 1972. №4. P. 531 535.

97. Vassilyev Stanislav N. On controllability of nonlinear systems under.phase restrictions and persistent perturbations // Nonlinear Anal: Theory, Meth. and Appl. 1997. 29, №1. P. 1 - 7.ч

98. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Salvador Symposium on Dynamical Systems, Academic Press, 1973. P. 683-741.

99. Юханова; МШ! ; Of существовании» решения? • системы* дифференциальных уравнений с управляющим параметром// Известия® РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во Р1ТУ. - 2006. -№10. - С. 86-89: .

100. Юханова М.В. О разрешимости операторного уравнения в различных случаях // Аспирантский вестник Рязанского государственногоуниверситета им. С.А. Есенина. Рязань: Изд-во РГУ. - 2006. - № 7. — С. 130-133.

101. Юханова М.В. К вопросу локальной управляемости в одном критическом случае // Труды СВМО, 2006, Т. 8, № 2. С. 216-222.

102. Юханова М.В. Локальная управляемость нелинейных систем // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2006. - С. 101-102.

103. Юханова М.В. Условия локальной управляемости нелинейных систем // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. -Рязань: РГУ. 2006. - С. 139-143.

104. Юханова М.В. О локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия ТулГУ. Серия

105. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Вып. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ. 2006. - С. 39-42.

106. Юханова М.В. Локальная управляемость при специальном виде допустимых управлений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2007. - №12. - С. 110-113.

107. Юханова М.В. Математическая модель организации рекламной деятельности туристической фирмы // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2007. - №12. — С. 114-116.

108. ТерёхинМ.Т., Юханова М.В. Построение и исследование математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения.-2010.-№15.-С. 133-137.1.l