автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами

На правах рукописи

Масина Ольга Николаевна

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и информатики Елецкого государственного университета имени И. А. Бунина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Меренков Юрий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дикусар Василий Васильевич; доктор физико-математических наук, профессор Дружинина Ольга Валентиновна

Ведущая организация: Воронежская государственная технологическая академия

Защита состоится 29 сентября 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 при Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. A.A. Дородницына РАН.

Автореферат разослан 26 августа 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

А.В.Мухин

QqOG-Ч 12 328

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования В настоящее время развитие системного анализа динамики управляемых и неуправляемых систем с многозначными операторами обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления приводят к необходимости пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность, аналитические и качественные методы исследования систем с многозначными операторами. Эти методы позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем.

Одним из математических аппаратов описания процессов динамики и управления системами являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккре-тивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, то есть задачи создания новых эффективных приемов управления различными технологическими объектами, обуславливают развитие средств анализа систем с многозначными операторами, описывающих динамику функционирования управляемых и неуправляемых систем.

Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.

Вопросы исследования монотонных операторов и качественного поведения систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами, изучались, начиная с работ М.М.Вайнберга и V.Barbu, в работах русских и иностранных ученых: Ю.В.Трубникова, А.И.Перова, В.К.Кириакиди, Ph.Benilan, H.Brezis, F.Browder, M.Crandall, P.J.P.Egberts, T.Kato, Y.Konishi, T.Liggett, A.Pazy, G.F.Webb и других ученых.

Вопросы управляемости систем изучались в работах Л.С.Понтрягина, В.И.Благодатских, В.И.Зубова, Е.Ф.Мищенко, А.А.Воронова, Дж.Варга, Р.В.Гамкрелидзе, Ф.Чаки, К.Негойцэ и других ученых.

Цель работы состоит в исследовании устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами в правой части.

Для достижения этой цели в диссертации были поставлены и решены следующие взаимосвязанные задачи:

- исследование устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором;

- исследование устойчивости экосистем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями;

- анализ управляемости системы перемещения объекта с выходом в вертикальное положение, описываемой дифференциальными включениями;

- построение и анализ модели теплообменника с регулируемым тепловым потоком, которая описывается уравнением теплопроводности с обобщенно аккретивным оператором в правой части. Методы исследования. В диссертации использованы методы системного анализа, теории управления, качественной теории систем с многозначными операторами, первый и второй метод Ляпунова.

Научная новизна диссертации состоит в следующих результатах, полученных диссертантом. В диссертационной работе:

1) доказаны новые теоремы об аккретивности для выделенного класса операторов в различных банаховых пространствах;

2) описан новый класс обобщенных монотонных (аккретивных) операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах, представляющий собой обобщение и конкретизацию исследований, проведенных А.И.Перовым и Ю.В.Трубниковым1;

3) доказаны новые теоремы, уточняющие исследования Н.Вгег15 и ^У-Бй-аиБв2 об аккретивности оператора Лапласа в банаховых пространствах Ь1д и Ь2в, состоящих из интегрируемых и интегрируемых с квадратом функций, определенных на измеримой области Q пространства Л";

5) построена модель теплообменника, которая отличается от известных в литературе алгоритмом вычисления приближенного значения решения, меняющимися начальными и граничными значениями и регулируемым тепловым потоком;

6) предложен алгоритм для системы управления по перемещению объекта к цели в трехмерном пространстве; в отличие от известных в литературе алгоритмов система описывается дифференциальным включением, что позволяет выделять из множества возможных движений устойчивое единственное движение при условии, что цель перемещается произвольно с ограниченной скоростью на плоскости;

1 Трубников Ю В Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями/ ЮВ Трубников, А И Перов Мн Наука и техника, 1986

2 Brezis Н, Strauss W A Semi-linear second order elliptic equations in L1 / H Bre:is, W A Strauss // Math Soc Japan 1973 V 25 P 565-590

7) исследовано качественное поведение экосистемы с тремя взаимодействующими популяциями, описываемой дифференциальным включением, которое обобщает результаты Дж. Смит, В.Д. Горяченко, В. Вольтерра, А.Д. Базыкина на системы с многозначной правой частью.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения колебательных систем, экосистем, систем теплообмена, систем автоматического регулирования, а также в задачах управления движением тела в конкретных или нечетких условиях.

Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и качественной теории динамических систем, по теории управления, а также по теории нелинейных многозначных операторов.

Достоверность и обоснованность научных результатов основана на корректности постановок задач, строгом и обоснованном использовании методов системного анализа, теории управления, качественной теории и теории устойчивости дифференциальных уравнений с многозначными операторами, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для теорем даны строгие и корректные доказательства.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликованных работах научному руководителю Ю.Н. Меренкову принадлежат постановки задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

— на научно-практических конференциях Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина (Елец, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003,2004, 2005 гг.);

— на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических систем Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2004, 2005 гг.);

— на IV региональной научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» (Борисоглебск, 2003 г.);

— на второй Российской научно-практической конференции «Математика и механика в современном мире» (Калуга, 2004 г.);

— на межвузовской научно-практической конференции «Информатика: концепции, современное состояние, перспективы развития» (Елец, 2004, 2005 гг.);

- на научно-исследовательском семинаре кафедры ВМиИ ЕГУ им. И.А.Бунина «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы компьютерной математики» (Елец, 2004, 2005 гг.);

- на двенадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005г.);

- на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН (Москва, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата и среди которых статьи в журналах, статьи в межвузовских сборниках и в трудах российской и региональной конференциях.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 139 страницах, список литературы содержит 105 наименований работ отечественных и иностранных авторов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задачи работы, отмечается ее научная новизна и практическая значимость. Во введении также приводится обзор литературы по теме диссертации.

В первой главе рассмотрены объекты исследования и охарактеризованы области их практического применения, даны математические постановки задач, охарактеризованы методы их решения, а также изучаемые системы с многозначными операторами:

1) система Sis te mi, описываемая дифференциальным включением

7teAx (1)

с монотонным оператором А в одномерном евклидовом пространстве;

2) система Sisteml перемещения груза из начальной точки в конечную с выходом в вертикальное направление, описываемая дифференциальными включениями

тх Ер,

"í= 1 ту Eq-mg,

где р, q, г, s выбираются из интервалов (рь р2), (qu q2), (r\, r2), (su ¿2) соответственно;

3) система Sisteml теплообменника, описываемая нелинейным одномерным дифференциальным уравнением с частными производными

u,=Bü+AUs,t), (3)

тхG-r,

(2)

ту Es-mg,

где и{х,() - температура в области <?::={(х,()\0 £ х <: А, обоб-

щенно аккретивный оператор В:С-*Х определяется равенством Л £/::=£/„, а Х- банахово пространство интегрируемых с квадратом на отрезке [О, А] функций;

4) экологическая система описываемая системой дифференциальных уравнений

ру, = ед - К2М2(М1 - К)+к,м2 + ад,

М2-К^г-К6М,{М2-М.), (4)

где Л^ь N2, N3 - объемы популяций растений, травоядных и хищников в условных единицах, М и М« - минимальный объем растительной популяции и минимальное количество травоядных, К, (/=1,2,3,4,5,6,7,8) - положительные параметры.

5) экосистема 5и/е»г5 , обобщающая систему (4)

^¡—-х,[в,(х1,...,х„)-а1],г=1г2,...,п, (5)

где g,{x|,...7x„) - дифференцируемые монотонные функции от входящих переменных, а, — постоянные.

Далее в этой главе исследуются общие свойства систем с многозначными операторами.

В банаховом пространстве X с нормой || рассматривается

многозначный оператор А: Х-*2?, где 2х есть множество всех непустых подмножеств из X, с областью определения В(А)::={х(=Х: Ах*0} и множеством значений 1т(А):: =их<Еп(Ау4х.

Нелинейный многозначный оператор А: Х^*2х называется аккре-тивным, если для любых х, у€Ш)(А) и любых х*(=Ах, у*(ЕАу выполняется неравенство:

УХ>0, |х + Ъс*-у-Ху % а \\х - у\х.

Согласно современной терминологии, в отечественной литературе вместо термина аккретивный предлагается использовать термин монотонный, но точного определения монотонного оператора ни в одной из работ нет, хотя термин «монотонный» обычно относится только для функций вида Поэтому в диссертации термин «монотон-

ный» вводится по мере появления аккретивных операторов, которые можно доопределить как монотонные или обобщенно монотонные. Эти операторы продолжают конкретизацию, представленную в монографии А.И.Перова и Ю.В.Трубникова.

В этой же главе введено понятие резольвенты ^::={1+'кА)"1 оператора А с областью определения А.::=£)(Л) -(7+) и доказано предложение о взаимосвязи аккретивного (монотонного) оператора и

резольвенты. Далее определено новое понятие обобщенно неубывающей (невозрастающей) многозначной функции.

Пусть Х=Я есть одномерное евклидово пространство со скалярным произведением (а,Ь)::=аЬ.

Многозначная функция /:/?-»■ 2я называется обобщенно неубывающей (невозрастающей), если для любых и любых х*£_/{х), у*&Лу) при х*у выполняется неравенство: {х-у){х *-у *):>0 (соответственно (х-у)(х*-у*)* 0).

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если функция /:/?-» 2" неубывающая, то соответствующий оператор/ будет аккретивным.

Из теоремы 1 следует, что при Х=Я аккретивный оператор будет иметь счетное число точек разрыва первого порядка, а в точке х, где имеется скачек от значения а к значению 0>а, множество Ах совпадает с отрезком [а,0] или с произвольной его частью. Если всегда в точке разрыва х множество Ах совпадает с соответствующим отрезком [а,Р], то график отображения у=Ах будет непрерывной кривой, показанной на рисунке 1. Далее в этой главе приведены примеры аккре-тивных (монотонных) операторов, иллюстрирующие изложенные выше результаты.

В настоящей главе определяется понятие обобщенно монотонной функции и вводится новый класс обобщенно монотонных операторов. Обобщенно монотонными (обобщенно аккретивными) функциями называются кусочно-монотонные функции //?-»/?, область определения которых разбивается на счетное число интервалов, в каждом из этих интервалов функция не убывает и непрерывна, или не возрастает и непрерывна, и в каждой граничной точке между двумя интервалами имеются конечные пределы и слева, и справа (рис. 2).

У

х

Рис 2 Пример графика обобщенно монотонной функции

В этой главе также определено новое понятие неубывающего (не-возрастающего) многозначного оператора. Если ел, п= 1, 2, ... есть ортонормированный базис гильбертова пространства X, то многозначный сепарабельный оператор

называется неубывающим (невозрастающим) в X, если при каждом п многозначная функция /„: Л -* 2я неубывающая (невозрастающая). Все такие операторы названы в диссертации монотонными. Установлена связь между неубывающими многозначными операторами и монотонными операторами в гильбертовом пространстве в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Если банахово пространство X гильбертово и опера-

тор А(х) ::= V/п (хп)еП неубывающий, то оператор А(х) будет ак-

кретивным.

Далее в главе 1 исследуется на монотонность оператор -Д, который отличается от оператора Лапласа Д только знаком, но для простоты для него используется то же название - оператор Лапласа.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. В банаховом пространстве Х\:=Ь2[-ц] функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [-/,/]С/?, оператор Лапласа -Ь:Х-»Х аккретивный.

Теорема 4. В банаховом пространстве Х::=Ь2п функций, интегрируемых с квадратом на параллелепипеде П = {-1к й хк £ 1к к £ и} С И", оператор Лапласа - А: X -* X аккретивный.

со

Теорема 5. В банаховом пространстве У::=Ь2а функций, интегрируемых с квадратом в измеримой ограниченной области Q, оператор -А: У-»У аккретивный.

Теорема 6. В пространстве функций, интегрируемых с

квадратом на неограниченной измеримой области <2 п-мерного пространства, оператор -А: является аккретивным.

Теорема 7. В пространстве У::=1}а функций, интегрируемых на Онеограниченной) измеримой области Q п-мерного пространства, оператор -Д:У-»К является аккретивным.

Для любого невозрастающего оператора А оператор -А неубывающий и поэтому будет аккретивным. Такой оператор А в работе назван обобщенно аккретивным (обобщенно монотонным), при этом резольвента вычисляется по формуле Л::=(/-АЛ)"'. В частности, примером обобщенно аккретивного оператора является оператор А в пространствах Ь2й и с резольвентой А::=(1-ХА)'1.

В этой главе далее доказана теорема о существовании решения дифференциального включения

^-е-Ли, и(0)=*, (6)

описывающего систему 6, где А: Х-^2хесть монотонный оператор и иЯ+-*Х есть непрерывная функция (Я+ - множество всех неотрицательных действительных чисел). Установлено, что при условии

1т(1+кА)эЩА),

где £>(А) есть замыкание множества В(А), решение включения (6) представимо в виде и(() ::= 1ип(/ + —А)'" х . При этом показа-

л-« и

но, что множество решений образует на множестве £>(Л) непрерывную полугруппу сжатия и выполняются условия:

УЫ), ЧхуеЩА), [^(Одс-^СОЯ^И^-Я-

Чм>елх, Н.яох-^ФЦ^Н! \t-sl

Во второй главе проведен анализ устойчивости систем с многозначными операторами. Здесь вводятся понятия движения, непродол-жаемого движения и непродолжаемого решения включения (1).

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 8. Если оператор А:(а,Ь)-*Я аккретивный, то включение (1) для каждого начальной точки (я,д)ЕЯу.(а,Ь) имеет единственное непродолжаемое решение х(1) такое, что х(У)=д.

Теорема 9. Если оператор A:{a,b)-^2R обобщенно аккретивный, то для любого начального значения x(s)=qGR, s£.(a,b) включение (1) имеет единственное непродолжаемое решение.

Далее в этой главе проведено исследование устойчивости и качественного поведения системы Systeml на основе метода функций Ляпунова. Получена следующая теорема.

Теорема 10. Если оператор А принимает значение {0} в некоторой точке сЕ(а,Ь), то точка с относительно включения (1) будет асимптотически устойчива. При этом если 0 внутренняя точка множества Ас, то каждое решение включения (1) попадает в точку с в конечный момент времени t и остается в этой точке при всех больших значениях t.

В диссертации далее отмечено, что если оператор А непрерывен в точке с, как на рисунке 1,а, то все равно все решения включения (1) могут попадать в точку с за конечное время. В случаях, показанных на рисунках 1,в и 1,г, также имеет место асимптотическая устойчивость точки покоя с=а и с=Ъ соответственно. Отсюда ясно, что любое решение включения (1) также асимптотически устойчиво и это останется верным, если а=-оо или Ь=+«>. Здесь приведены соответствующие примеры, иллюстрирующие полученные результаты об устойчивости и асимптотической устойчивости.

Далее в этой главе первым методом Ляпунова проведен анализ устойчивости состояний равновесия экосистемы Sistemé. При этом установлено, что найденное состояние равновесия в начале координат неустойчиво по Ляпунову, а второе состояние равновесия В является устойчивым по Ляпунову фокусом или узлом. Показано, что эта система является грубой, то есть при малых изменениях параметров устойчивость по Ляпунову остается, а само состояние равновесия В может несколько смещаться вместе с параметрами. Изучена качественная картина траекторий системы SistemA и построен фазовый портрет этой системы. Также построена модель системы в виде дифференциального включения с заменой постоянных параметров на многозначные. Это включение можно использовать при заданной начальной точке для определения влияния каждого параметра на скорость возрастания i объема популяций и на смещение устойчивого состояния равновесия.

Также во второй главе установлены достаточные условия устойчивости экологической системы Sistem5.

В третьей главе проведен анализ управляемости транспортной системы Sisteml. Рассмотрен случай, когда параметры системы Sisíeml определяются однозначно, и для этого случая определено оптимальное управление. Когда параметры определяются неоднозначно, проводится коррекция движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут. При постоянных параметрах соответ-

ствующие вычисления были проведены в системе компьютерной математики МаЛепШка 4.1.

Далее в главе 3 рассматривается динамическая система, в которой происходит контроль температуры с помощью регулируемого теплообменника в закрытом помещении, которое в первом приближении можно рассматривать как стержень, на концах которого идет теплообмен с окружающей средой. Распределение тепла описывается одномерным дифференциальным уравнением в частных производных (3) с обобщенно аккретивным оператором в правой части уравнения.

Решение этой задачи проводится численными методами. Используя метод конечных разностей, для исходной задачи получено одно-параметрическое семейство схем, являющееся обобщением явной и неявной разностных схем. Решение данной схемы находится методом прогонки. Этот метод реализован в форме компьютерной программы на языке Паскаль для получения приближенных решений с заданной точностью вычислений и для экспериментирования с различными начальными и граничными условиями.

Получены следующие результаты: при использовании гладких функций для начальных и граничных значений и увеличении числа точек достигается высокая точность вычислений.

Разработанная компьютерная программа может быть использована при решении многочисленных технических задач, связанных с автоматической регуляцией температуры, и на производстве тепловых сетей (в работе ТЭЦ, тепловых котлов, кондиционеров).

В заключении диссертации перечислены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости решений системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором.

2. Доказаны теоремы об аккретивности операторов, действующих в евклидовых и гильбертовых пространствах.

3. Сформулированы и доказаны теоремы об аккретивности оператора оператора Лапласа в пространствах Ьгв и Ь2а функций, интегрируемых и интегрируемых с квадратом на измеримой области Q пространства Л".

4. При изучении систем с многозначными операторами описан класс обобщенных монотонных и аккретивных операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах.

5. Предложена модель теплообменника с регулируемым тепловым потоком при различных начальных и граничных условиях. Создана компьютерная программа на языке Паскаль для персонального ком-

пьютера для получения приближенных решений с заданной точностью вычислений.

6. Проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными включениями, для которой определено для однозначных параметров управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.

7. Проведен качественный анализ и выяснены условия устойчивости в экосистемах, описываемых уравнениями с многозначными правыми частями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Масина (Щукина) О. Н. (совместно с Меренковым Ю. Н.) Устойчивость решений дифференциальных включений, определяемых аккретивными операторами // Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2000. С. 99-102.

2. Масина (Щукина) О. Н. Формула интегрирования по частям в и-мерном пространстве // Исследование устойчивоподобных и прочностных свойств динамических транспортных систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2001.С. 85-87.

3. Масина (Щукина) О. Н. Аккретивность нелинейных многозначных операторов в банаховом пространстве // Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2002. С. 139-143.

4. Масина (Щукина) О. Н. Экспоненциальная формула аккретивного оператора // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2003. С. 245-254.

5. Масина (Щукина) О. Н. Применение пакетов символьной математики в курсе уравнений математической физики // Информационные и коммуникационные технологии в образовании. Сборник материалов IV региональной научно-практической конференции. БГПИ, 2003, С. 88-90.

6. Масина (Щукина) О. Н. (совместно с Меренковым Ю. Н.) О свойствах аккретивных операторов // Математическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 89-93.

7. Масина (Щукина) О. Н. Об аккретивности оператора Лапласа в пространствах интегрируемых функций с областями определения из л-мерного пространства // Вестник Елецкого государственного уни-

верситета им. И.А.Бунина. Вып. 5: Серия «Математика. Физика». Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004. С. 89-95.

8. Масина (Щукина) О. Н. (совместно с Меренковым Ю. Н.) Численные методы решений одномерной модели, описываемой уравнением теплопроводности//Вестник Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина. Вып. 5: Серия «Математика. Физика». Елец: ЕГУ им. И .А.Бунина, 2004. С. 36-42.

9. Масина (Щукина) О. Н. (совместно с Меренковым Ю. Н.) Численное моделирование тепловых процессов, описываемых уравнениями теплопроводности // Математика в современном мире: материалы второй Российской научно-практической конференции. Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э.Циолковского, 2004. С. 191-199.

Ю.Масина (Щукина) О. Н. Анализ управляемости системы с монотонным оператором // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 6(2). М.: ВЦ РАН, 2004. С. 97-105.

11.Масина (Щукина) О. Н. (совместно с Меренковым Ю. Н.) Анализ математической модели динамического объекта с управлением // Устойчивость и качественный анализ математических моделей динамических систем транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2005. С. 86-90.

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 06146 Дата выдачи 26.10.01 Формат 60 х 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,2 Тираж 100 экз.. Заказ 84

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И.А.Бунина.

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28

ЯП 5 3 8 3

РНБ Русский фонд

2006-4 12328

Введение.

Глава 1 — Постановка научной задачи. Вопросы корректности решений в случае систем с многозначными операторами.

1.1. Введение.

1.2. Изучаемые системы с многозначными операторами и их прикладная направленность

1.3. Содержательная постановка основных задач.

1.4. Исследование общих свойств систем с многозначными операторами.

1.4.1. Определения основных понятий.

1.4.2. Аккретивные операторы в одномерном евклидовом пространстве.

1.4.3. Свойства монотонных операторов в гильбертовом пространстве.

1.4.4. Монотонные операторы в пространствах измеримых функций и пространстве R2.

1.5. Анализ системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором.

1.5.1. Экспоненциальная формула аккретивного оператора.

1.5.2. Существование решения.

Выводы по первой главе.

Глава 2 — Исследование устойчивости систем с многозначными операторами.

2.1 .Введение.

2.2. Анализ устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором, в одномерном евклидовом пространстве.

2.3. Качественные исследования систем с монотонными операторами.

2.4. Качественный анализ экосистемы трех взаимосвязанных популяций, описываемой дифференциальным включением.

2.5. Исследование устойчивости обобщенной экосистемы взаимодействия популяций.

Выводы по второй главе.

Глава 3 - Анализ специальных классов управляемых и неуправляемых систем с многозначными операторами.

3.1. Введение.

3.2. Постановка задачи исследования управляемой системы с монотонным оператором.1.

3.3. Анализ управляемости системы перемещения объекта, описываемой дифференциальными включениями.

3.4. Построение и анализ модели теплообменника с регулируемым тепловым потоком.

3.4.1. Алгоритм решения задачи компьютерного моделирования динамической системы, описываемой уравнением теплопроводности с обобщенно монотонным оператором в правой части.

3.4.2. Описание компьютерной программы регулирования теплового потока.

3.4.3. Анализ и обоснование рекомендаций использования программы.

Выводы по третьей главе.

Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.

В диссертации проводится исследование устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями и системами дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным.

Такие системы используются при изучении разнообразных проблем физики, химии, биологии, экологии, экономики, в частности процессов переноса тепла, колебательных процессов, процессов диффузии, а также при изучении многочисленных технических задач.

В диссертационной работе системность прослеживается в решении следующих взаимосвязанных задач: исследование устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором; исследование устойчивости экосистем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями; анализ управляемости системы перемещения объекта с выходом в вертикальное положение, описываемой дифференциальными включениями; построение и анализ модели теплообменника с регулируемым тепловым потоком, которая описывается уравнением теплопроводности с обобщенно аккретивным оператором в правой части.

Использование качественных методов исследования систем с многозначными операторами осуществляется на основе функций Ляпунова, при этом широко используются методы системного анализа, теории управления, методы теории полугрупп непрерывных операторов, методы качественной теории и теории устойчивости.

Перейдем к краткому обзору известных результатов и литературы по тематике диссертационной работы.

Пусть X— банахово пространство с нормой ||.|. Нелинейный многозначу у ный оператор А: X —>2 , где 2 есть множество всех непустых подмножеств из X, с областью определения D(A)::={хеХ:Ахч^0} и множеством значений 1т(А)::=ихещАу4х называется [87] аккретивным, если для любых х, y^D{A) и любых х*<еАх, у*еАу выполняется неравенство

VA>0, ]х + Ъс*-у- Ху > \\х - у\\х.

Согласно современной терминологии, в отечественной литературе [42,43,48] вместо термина аккретивный предлагается использовать термин монотонный, но точного определения монотонного оператора ни в одной из указанных выше работ нет, хотя термин «монотонный» обычно относится только для функций вида f.R->R . Поэтому будем вводить термин «монотонный» по мере появления аккретивных операторов, которые можно доопределить как монотонные или обобщенно монотонные. В частности, в «-мерном случае обобщенно монотонными операторами будем называть действительнозначные функции f.R—>Rn, и действительнозначные функции со значениями в гильбертовых пространствах у которых все компоненты возрастающие или невозрастающие, или убывающие или неубывающие всюду.

Обобщенно возрастающие и неубывающие операторы f.R-^R", 1 <«<qo будут аккретивными. Что касается обобщенно убывающих или невозрастаю-щих операторов, то такие операторы в гильбертовых пространствах, строго говоря, аккретивными не являются. Однако, можно ввести понятие обобщенно аккретивного оператора, если такими называть убывающие и невозрастающие операторы/i?—1 <п<со, при этом резольвента записывается с противоположным знаком в условии аккретивности, то есть резольвента обобщенно аккретивного оператора А имеет вид (I-XA)'1. В других пространствах надо сначала определить понятия монотонности и аккретивности, и только после этого доказать, что для таких операторов выполняется условие аккре-тивности. В диссертации замена понятия аккретивности на понятие монотонность используется только для случаев, для которых понятия аккретивности и монотонности, возможно обобщенные, уже определены. Например, оператор Лапласа А по определению не является аккретивным, но оператор -А ак-кретивен. Поэтому считаем А обобщенно аккретивным оператором, и А можно называть монотонным оператором.

Понятие монотонного оператора и первые публикации по теории монотонных операторов принадлежат М.М.Вайнбергу [10]. Он определял понятие монотонности как обобщение на нелинейный случай свойства неотрицательной определенности линейного оператора.

Дальнейшее развитие монотонные операторы получили в работах V.Barbu [52,53], T.Kato [88], Y.Komura [93]. В частности, T.Kato [88] ввел понятие максимально аккретивного и локально максимально аккретивного операторов, V.Barbu [52] доказал, что если А'Х-^Х нелинейный многозначный максимально аккретивный оператор и ВХ-^Х непрерывный, всюду определенный нелинейный аккретивный оператор, то оператор А+В максимально аккретивный в банаховом пространстве X, a H.Brezis [56] сформулировал необходимое и достаточное условие аккретивности операторов в гильбертовом пространстве.

Однако, несмотря на большое количество работ по монотонным и аккретивным операторам (например, работы [56], [59], [72], [63], [66], [73], [88], [89]), систематическое изложение данного круга вопросов впервые было дано в монографии Ю.В.Трубникова и А.И.Перова [43]. Авторы изучили условия монотонности различных классов отображений (в частности многочленов, линейных операторов, дифференцируемых операторов), ввели понятие ^/-монотонного, (С/,х)-монотонного, (С/,х,а)-монотонного операторов и доказали ряд важных теорем о существовании решений краевых задач с нелинейными краевыми условиями.

В диссертации продолжена классификация аккретивных операторов на более широкие классы операторов и функций. Введены обобщенные понятия аккретивности и монотонности, а также обобщенной монотонности в евклидовых и гильбертовых пространствах, основные из которых перечислены ниже.

Пусть R — одномерное евклидово пространство со скалярным произведением (a,b)::=ab. D

Функция / :R-> 2 называется обобщенно неубывающей (невозрас-тающей), если для любых xyeR и любых х*еДх), у*ц/(у) при хФу выполняется неравенство: (х-у, jt*-j>*)>0 (соответственно (х-у, х*->>*)<0).

Если еп, п = 1, 2, . , есть ортонормированный базис гильбертово пространства X, то многозначный сепарабельный оператор

00 п—\ называется неубывающим (невозрастающим) в X, если при каждом п многозначная функция fn:R->2R обобщенно неубывающая (невозрастающая). все такие операторы названы в диссертации монотонными.

Обобщенно монотонными (обобщенно аккретивными) функциями называются кусочно-монотонные функции f.R—>R, область определения которых разбивается на счетное число интервалов, в каждом из этих интервалов функция не убывает и непрерывна, или не возрастает и непрерывна, и в каждой граничной точке между двумя интервалами имеются конечные пределы и слева, и справа.

Монотонные (аккретивные) операторы часто используются в системах в виде дифференциальных уравнений или включений, включения используются, когда операторы в некоторых или во всех точках имеют значением многоэлементные множества. Среди работ по дифференциальным включениям в пространстве Rn следует отметить работы А.Ф.Филиппова [44], В.И.Благодатских [9], а в общих банаховых пространствах вопросы существования решений рассмотрены А.А.Толстоноговым [41]. В монографии Ю.Н.Меренкова [26] установлены теоремы о свойствах решений неавтономных дифференциальных включений с допустимой правой частью, обобщающие работы De Glas [85], полученные для автономного случая. Дифференциальные включения изучаются в последнее время, в частности, в связи с приложениями к теории управления. Большой вклад в развитие оптимального управления внесли Р.В.Гамкрелидзе [14], Л.С.Понтрягин [29], В.И. Зубов [19], В.И.Благодатских [8], которые стояли также в начале исследований дифференциальных включений. Отметим, что на практике включения с ак-кретивной правой частью можно заменить на дифференциальное уравнение, если в точке с многозначным значением выбирать одно из значений, а другие включения с регулярной правой частью (например, с локально допустимой правой частью и выпуклым значением) можно заменить на однозначную реализацию [44], по крайней мере в евклидовом пространстве.

В данной диссертации проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными уравнениями в контингенциях. Многозначность в правых частях дифференциальных уравнений возникает ввиду сопротивления разреженной среды, которое в первом приближением не учитывается (учитывается только масса объекта, сила тяги по вертикали и горизонтали и постоянное ускорение свободного падения). Для исследованной транспортной системы для однозначных параметров определено управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.

Среди систем с многозначными операторами следует отметить экологические системы. Большой вклад в развитие математического подхода к изучению изменений в составе биологических сообществ внес В.Вольтерра [13]. В работе [5] А.Д.Базыкиным проведен анализ режимов динамического поведения в системах нескольких взаимодействующих популяций и их качественных перестроек при изменении условий. Автором предложена биологическая интерпретация выявленных режимов. Среди работ по устойчивости биологических сообществ следует отметить Ю.М.Свирежева и Д.О.Логофет [37,38], В.Д.Горяченко [16]. В отличие от этих работ, в диссертации проведено исследование на устойчивость и качественный анализ экосистемы с тремя взаимодействующими популяциями, описываемой дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями, и получены достаточные условия устойчивости обобщенной экосистемы.

В работе рассматриваются также вопросы существования решения дифференциального включения — е-Аи, и(0у=х, описываемого систему с моноdt тонным оператором А.Х-+2х, где u:R+-+X (R+ есть множество всех неотрицательных действительных чисел). J.M.Ball [50] доказал, что если оператор А линейный, то данное включение имеет единственное решение, названное слабым и определенное с помощью сопряженного оператора Л*. В общем же случае, когда оператор А нелинейный, решение определяется другим способом, используя теорию нелинейных полугрупп, изложенную в работах V.Barbu [52], M.Crandall [73].

В диссертации доказано существование решения указанного включения методом аппроксимации в виде экспоненциальной формулы w(0"=S(f)x:::=lim(/ + —А)~пх=ехр(^А)х. Показано, что множество S(t) обрап—>ао у1 зует непрерывную полугруппу. Экспоненциальная формула для аккретивно-го оператора Л+со/, где &eR, была разработана в работе [76]. Условия существования указанного выше предела получили H.Brezis и A.Pazy [58], F.Browder [62, 63], T.Kato [90, 92].

Дальнейшее изучение систем с аккретивными (монотонными) операторами связано с понятием функции Ляпунова для аккретивного оператора. Определение функции Ляпунова для аккретивного оператора привел A.Pazy [100,101] и на основании ее свойств исследовал поведение решения u(t) дифференциального уравнения —=-Аи с монотонным оператором A: D(A)czX-±X dt при /->оо. A.Pazy получил критерий, по которому полунепрерывная снизу функция ср: X-+R является функцией Ляпунова. Этот критерий основан на теории полугрупп и результатах действия оператора А на резольвенту J^.:={I+XAyx. Изложенные в диссертации результаты являются продолжением перечисленных выше исследований.

Также в диссертационной работе проведен анализ перспективных примеров аккретивных операторов из M.G.Crandall и T.Liggett [68, 76], которые находят применение при построении многих моделей математической физики и их приложений в различных отраслях народного хозяйства.

В данной диссертации мы остановились на построении модели регулируемого теплообменника, которая описывается монотонным оператором. Построение соответствующих моделей требует составления уравнений движения - для этой модели таким является одномерное уравнение теплопроводности, у которого правая часть есть оператор Лапласа, который является частным случаем аккретивного оператора.

Таким образом, актуальность вопросов, рассмотренных в диссертационной работе, следует из возрастающего потока теоретических работ по теории устойчивости и управляемости различных систем с многозначными операторами и их технических реализаций и из перспективности использования аккретивных операторов для построения и анализа этих систем.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным.

Выводы по третьей главе

В третьей главе проведен анализ управляемости системы с использованием дифференциальных включений, многозначная часть которых заменяется однозначной реализацией. Эта система перемещения груза из начальной точки в конечную с выходом в вертикальное направление описывается монотонным оператором. Этот пример можно использовать для расчета перемещения объекта в сильно разреженной среде с постоянным ускорением свободного падения. Найдено оптимальное управление, при вычислениях использовался математический пакет Mathematica 4.1. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.

Отличие системы перемещения груза с выходом в вертикальное положение состоит в том, что в качестве груза обычно рассматривается реактивный управляемый снаряд, в качестве конечной точки рассматривается медленно перемещающаяся цель с критерием — степенью поражения цели за кратчайшее время с минимальным расходом топлива. В нашей упрощенной системе в качестве критерия взята сумма компонент силы тяги, и в качестве перемещающегося груза рассматривается шар с передачей энергии для перемещения по волноводу.

В третьей главе также разработана компьютерная программа на языке Паскаль для персонального компьютера для анализа динамической системы с монотонным оператором и построена модель теплообменника с регулируемым тепловым потоком при различных начальных и граничных условиях. Цифровые подтверждения эффективности применения компьютерной модели выражаются в более чем двойном возрастании точности при каждом удвоении числа точек.

Рассмотренная система теплообменника отличается от известных в литературе [40] алгоритмом вычисления приближенного значения решения, peaлизацией алгоритма в компьютерной программе, начальными и граничными значениями и регулированием тепловым потоком.

При решении конкретной практической задачи компьютерная программа может быть легко дополнена по желанию заказчика дополнительными возможностями, например, полученная упрощенная система может быть использована для построения различных теплообменников с управлением, которые широко применяются при отоплении жилых и хозяйственных строений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости решений системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором.

2. Доказаны теоремы об аккретивности класса операторов, действующих в евклидовых и гильбертовых пространствах.

3. Сформулированы и доказаны теоремы об аккретивности оператора

1 2

Лапласа в пространствах LQ и LQ функций, интегрируемых и интегрируемых с квадратом на измеримой области Q пространства R".

4. При изучении систем с многозначными операторами описан класс обобщенных монотонных и аккретивных операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах.

5. Предложена модель теплообменника с регулируемым тепловым потоком при различных начальных и граничных условиях. Создана компьютерная программа на языке Паскаль для персонального компьютера для получения приближенных решений с заданной точностью вычислений.

6. Проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными включениями, для которой определено для однозначных параметров управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.

7. Проведен качественный анализ и выяснены условия устойчивости в экосистемах, описываемых уравнениями с многозначными правыми частями.

1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. М.: Наука, 1991.412 с.

2. Альбер Я.И. О решении нелинейных уравнений с монотонными операторами в банаховом пространстве / Я.И Альбер II Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 1.С. 384-394.

3. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов. / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. М.: Высш. шк., 2003. 614 с.

4. Ахиезер НИ. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, ИМ. Глазман. М.: Наука, 1996. 544 с.

5. Базыкин АД. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А Д. Базыкин. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 386 с.

6. Барбашин ЕЛ. Введение в теорию устойчивости / ЕА. Барбашин. М.: Наука, 1967. 224 с.

7. Березин И.С. Методы вычислений. В 2-х томах. Т. 2. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 620 с.

8. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория): Учебник 1В.И. Благодатских. Под ред. В.А. Садовничего. М.: Высш. шк., 2001. 239 с.

9. Благодатских В.И. Теории дифференциальных включений. 4.1. / В.И.Благодатских. М.: МГУ, 1979. 256 с.

10. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений /ММ Вайнберг. М.: Наука, 1972. 416 с.11 .Вержбицкий В.М. Численные методы / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000. 268 с.

11. Годунов С.К. Введение в теорию разностных схем / С.К. Годунов, В.С.Рябенький. Физматгиз, 1962. 394 с.1 б.Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. / В.Д. Горяченко. М.: Высш. шк., 2001. 395 с.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Учеб. пособие / Б.П. Демидович. М.: МГУ, 1998. 480 с.

13. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1962. 368 с.

14. Зубов В.И. Лекции по теории управления / В.И.Зубов. М.: Наука, 1975. 496 с.

15. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. М.: Наука, 1978. 296 с.21 .Катулев А.Н. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности / А.Н. Катулев, Н.А. Северцев. М.: Наука, 2000. 320 с.

16. Кириакиди В.К. Несжимающие и аккретивные операторы в пространстве Крейна. Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук / В.К. Кириакиди. Воронеж, 2000. 16 с.

17. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. 496 с.

18. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1989. 456 с.

19. Матвеева О.П. Критерии и алгоритмы проверки асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений. Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук / О.П. Матвеева. Якутск, 2000. 17 с.

20. Меренков Ю.Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем. Автореф. дис.докт. физ.-матем. наук I Ю.Н. Меренков. М.: РГОТУПС, 2003. 34 с.

21. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений: Монография / Ю.Н. Меренков. М: РУДН, 2000. 124 с.

22. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений/В. jB. Немыцкий, В.В. Степанов. М.: Гостехиздат, 1949. 550 с.

23. Понтрягин JI.C. Математическая теория оптимальных процессов/ Л.С.Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкремидзе, Е.Ф.Мищенко. М.: Наука, 1961.342 с.

24. Ъ2.Рябенький B.C. Об устойчивости разностных уравнений / B.C. Рябенький, А.Ф. Филиппов. М.: Гостехиздат, 1956. 436 с.

25. Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. 368 с.

26. ЪА.Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А.П. Михайлов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 320 с.

27. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1983.314 с.

28. Самарский А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А.В. Гулин. М.: Наука, 1989. 325 с.

29. Свирежев Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Сви-режев,Д.О. Логофет М.: Наука, 1978. 256 с.

30. Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, катастрофы и диссипативные структуры в экологии / Ю. М. Свирежев. М.: Наук, 1987. 254 с.

31. Смит Дж.М. Модели в экологии: Пер. с англ. /Дж.М. Смит. М.: Мир, 1976.267 с.

32. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А. А.Самарский. Наука, 1996. 736 с.

33. Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А. А. Толстоногое. Новосибирск: Наука, 1986. 324 с.

34. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-нейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Мн.: Наука и техника, 1986. 199 с.

35. Трубников Ю.В. Экстремальные конструкции в негладком анализе и операторные уравнения с аккретивными нелинейностями / Ю.В. Трубников. М.: Астропресс -XXI, 2002. 214 с.

36. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / А.Ф. Филиппов // Вестник МГУ. Сер. Мат., мех. 1967. №3. С. 16-26.

37. ASJCapirmaH Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф.Хартман. М.: Наука, 1964. 720 с.

38. Хъюнг Ле Тхи Тхиен. Нелинейные уравнения с монотонными операторами: Автореф. дис. канд. физ.-матем. наук / Ле Тхи Тхиен Хъюнг. Воронеж, 1985. 13 с.

39. АП.Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А.А. Шестаков. М.: Наука, 1990. 316 с.

40. Юргелас В.В. О существовании и приближенном нахождении решений уравнений с равномерно монотонными операторами / В.В. Юргелас. В кн.: Операторные методы в нелинейном анализе. Воронеж, 1982. С. 139-143.

41. Aranson D., Crandall M.G. Stabilization of solutions of a degenerate nonlinear diffusion problem / D.Aranson, M.G. Crandall II Nonlinear Anal. 1982. V. 6. № 10. P. 1001-1022.

42. Barbu V. Differential perturbations of nonlinear m-accretive operators in Banach spaces / V. Barbu II Bolletino U. M. I. 1972. V. 6. P. 270-278.

43. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces/ V.Barbu. Noordhoff-Leiden, 1976.

44. Benilan P. Opetateurs accretifs et semi-groups dans les espaces Lp/ P.Benilan II Functional Analysis and Numerical Analysis France-Japan Seminar. H.Fujita (ed.) Tokyo, 1978.

45. Brezis H. Operateurs maximaux monotones et semigroups de contractions dans les espaces de Hilbert / H.Brezis. North-Holland, Amsterdam, 1973.

46. Brezis H., Crandall M.G. Uniqueness of solutions of the initial-value problem for игЛфО)=0 / H.Brezis, M.G.Crandall U J. Math. Pures Appl. Ser.9. 1979. V. 58. №2. P. 153-163.

47. Brezis H., Pazy A. Accretive sets and differential equations in Banach spaces / H.Brezis, A.Pazy II Israel Journal of Mathematics. 1970. V. 9. P. 367-383.

48. Brezis H., Pazy A. Semi-groups of nonlinear contractions on convex sets / H.Brezis, A.Pazy И J. Func. Anal. 1970. V. 6. P. 237-281.

49. Brezis H., Strauss W. A. Semi-linear second order elliptic equations in L1 / H.Brezis, W. A.Strauss // Math. Soc. Japan. 1973. V. 25. P. 565-590.

50. Browder F.E. Nonlinear accretive operators in Banach spaces/ F.E.Browder II Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. P. 470-476.

51. Browder F.E. Nonlinear operators and nonlinear equations of evolution in Banach spaces / F.E.Browder II Proc. Symposium Nonlinear Functional Anal. Chicago, American Mathematical Society, 1968.

52. Chidume Charles E. Nonlinear accretive and pseudo-contractive operator equations in Banach spaces / Charles E. Chidume. Miramare-Trieste. 1996.

53. Crandall M. G., Pazy A. Semi-groups of nonlinear contractions and dissipa-tive sets /M.G. Crandall, A. Pazy II J. Func. Analysis. 1969. V. 3. P. 376-418.

54. Cranda.il M.G. A generalized domain for semigroups generators/ M.G.Crandall II Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V. 37. № 2. P. 434-440.

55. Crandall M.G. An introduction to evolution governed by accretive operators in dynamical systems / M.G. Crandall 11 An Inter. Symp., L. Cesari, J. Hale and J. LaSalle (eds.). Academic Press, New York, 1976. P. 131-165.

56. Crandall M.G. On accretive sets in Banach spaces/ M.G. Crandall //J. Func. Analysis. 1970. V.5. P. 204-217.

57. Crandall M.G. Semi-groups of nonlinear transformations in Banach spaces / M G. Crandall II Contributions to Nonlinear Functional Analysis. Academic Press, 1971.

58. Crandall M.G., Pazy A. Nonlinear evolution equations in Banach spaces / M.G. Crandall, A. Pazy II Israel J. Math. Sec. F. 1972. V. 11. № l.P. 57-94.3 3

59. A. Crandall M. G., Evans L. C. On the relation of the operator--1--to evoдт dslution governed by accretive operators I M.G. Crandall, L.C. Evans II Israel J. Math. 1975. V. 21. P. 261-278.

60. Crandall M.G.у Liggett T. A theorem and a counterexample in the theory of semi-groups of nonlinear transformations I M.G. Crandall, T. Liggett II Transactions of the American Mathematical Society. 1971. V. 160. P. 263-278.

61. Crandall M.G., Pazy A. On accretive sets in Banach spaces / M.G.Crandall, A. Pazy II J. Func. Analysis. 1970. № 5. P. 204-217.

62. Crandall M.G., Pazy A. On the range of accretive operators / M.G.Crandall, A. Pazy II Israel J. Math. 1977. V. 27. № 3-4. P. 235-246.

63. Zl.Dorroh J.R. A nonlinear Hille-Yosida-Phillips Theorem / J.R.Dorroh II J. Func. Analysis. 1969. V. 3. P. 345-353.

64. Dyson J., Villella-Bressan R. Functional differentional equations and nonlinear evolution operators / J.Dyson, R. Villella-Bressan И Proc. Royal Soc. Edinburgh, 75a. 1975/76. P. 223-234.

65. Dyson J., Villella-Bressan R. Semigroups of translations associated with functional and functional differentional equations and nonlinear evolution operators / J.Dyson, R. Villella-Bressan H Proc. Royal Soc. Edinburgh, 82a. 1979. P. 171-188.

66. De Glas M. Theory of fuzzy systems / M. de Glas II J. Fuzzy Sets and Systems. 1981. V. 19. P.65-77.

67. Egberts P. J. On the sum of accretive operators: Diss. / P. J. Egberts. Delft. 1992. 115 c.

68. Evans L.C. Nonlinear evolution equations in an arbitrary Banach space / L.C. Evans II Israel J. Math. 1977. V. 26. № 1. P. 1-41.

69. Kato T. Accretive operators and nonlinear evolutions equations in Banach spaces / T. Kato II Proc. Symposium Nonlinear Functional Analysis, A. M. S.1968.

70. Kato T. Linear evolution equations of "Hyperbolic" type II / T. Kato II J. Math. Soc. Japan. 1973. V. 25. P. 648-666.

71. Martin R.H. A global existence theorem for autonomous differential equations in a Banach space / R.H. Martin II Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V. 26. P. 307-314.

72. Martin R. H. Lyapunov functions and autonomous differential equations in Banach space IR.H. Martin II Math. Systems Theory. 1973. № 7. P. 66-72.

73. Miyadera I., Oharu S. Approximation of semi-groups of nonlinear operators/ I.Miyadera, S. Oharull Tohoku Mathematical Journal. 1970. V. 22. P. 24-27.

74. Neuberger J.W. An exponential formula for one-parameter semi-groups of nonlinear transformations I J.W. Neuberger I I Journal of the Mathematical Society of Japan. 1966. V. 18. P. 154-157.

75. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York etc.: Springer / A.Pazy. 1983. 8, 279 c.

76. Pazy A. The Lyapunov method for semigroups of nonlinear contractions in Banach spaces / A.Pazy II J. D'Analyse Mathematique. 1981. V. 40. P. 241-262.

77. Pazy A. Semigroups of nonlinear contractions and their asymptotic behaviour / A.Pazy II Pitman Research Notes in Math. 1979. V. 30. P. 36-134.

78. Sinestrari P. Accretive differential operators / P. Sinestrari II Bolletino U.M.I. (5). 1976. V. 13-B. P. 19-31.

79. Webb G. F. Accretive operators and existence for nonlinear functional differential equations / G.F. Webb II J. Differential Equations. 1973. V.14. № 1. P. 57-69.

80. Webb G. F. Nonlinear perturbations of linear accretive operators in Banach spaces / G.F. Webb И J. Func. Analysis. 1972. V. 10. P. 191-203.

81. Webb G. F. Nonlinear evolution equation and product integration in Banach spaces / G.F. Webb И Trans. Amer. Math. Soc. 1970. V. 148. P. 273-282.