автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ и синтез многомерных робастных динамических систем с заданными частотными показателями качества

Сяикт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (Технический университет)

Р Г Б О Л На правах рукописи

ЛКУНОВЛ Лкнлая

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МНОГОМЕРШХ РОЕАСТШХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАДАНИЯМИ ЧАСТ ОТ! ИМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ КАЧЕСТВА

05.13.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа выполнена на кафедра Автоматики и телемеханики Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета).

Научннй руководитель - доктор технических наук,

профессор Ушаков А.Е.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Шароватов В.Т. - кандидат технических наук, нач.отд. АО "Кировский зееод" Волков С.Ю.

Ведущая организация - Государственный Электротехнический

Университет (б.ЛЗТИ,Санкт-Петербург)

"защита состоится 17 октября 1995 г. в 15 ч. 20 мин. на заседании диссертационного ссьета Д.053.26.02 Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета) по адресу:

Санкт-Петербург, ул. Сэблпнская 14, СПйГИТМО.

С диссертацией мохто ознакомиться в библиотеке С1ЮТГГЫ0.

Автореферат разослан " "__ 1995 г.

Л

I I |

Учений секретарь диссертационного у' \

совета Д.053.26.02. л.т.н., про$.\ \ \ 1.В.авакса

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуал ьно с ть _ т е мы. Тема диссертации связана с выполно-лием Комплексной целевой программы "Издучетга" по репониэ научно-технической проблемы "Поиск принципов и создание ногах типов антенных систем для перспективных радиотэхпичэских комплексов, разработка теории и квтодов ггрооктироЕягп5яи, в которую ЛИТМО (СПОГИТМО, Санкт-Петербург) включен соясполп-толзн по разделу 03.02.05 "Исследований катодов и разработка гппэратурн высокоточного и автоматизированного контроля фор-ьш зеркал болызих зеркальных антенн (БЗА)".

Предаетной областью диссертационной работы являэтся многосистемный автоматизированный измерительный комплекс ко-' нтроля деформаций металлоконструкций (ЫК) радиотелескопа (РТ), научной - задачи анализа и синтоза робастннх динамических систем с заданными частотными показателями качества.-

иель_рзботы. В аналитической и синтетической шствшв-ках задача контроля деформаций Ш РТ формулируется как задача анализа и синтеза мнсгосистэмного комплекса, наибодэо характерном реетмом функционирования которого являэтся реяим гармонического экзогенного воздействия, приведшего автора 1« постановке комплексной задачи "Анализа и синтеза кногомэршпс робзстных динамических систем с задапиьмя частотными показателями качества" применительно к проблеме построет1я автоматизированной система контроля деформаций больших полноповоротных радиотелескопов типа ТНА.-1500, состоящее в:

- конструировании частотных характеристик векторных процессов в непрерывных и дискретных многомерных системах с номинальными параметрам в форме их минорант и маяерант, а тзкяэ распространении этих методов конструирования на случай интервальных реализаций систем;

- развитии аппарата систем срзвнзния, испояъзукцаго положения теоремы Н.Н.Красовского с цельа получения констант оценок многомерных процессов в класса экспоненциальных покрытий наименьшей достаточности, а также возможности БТП-покритий для номинальных и Е первалъннх реализаций

■ многомерных систем;

- конструировании оценок частотных показателей качества многомерных систем с использованием, числа обусловленности

рашэчап матричного уравнения Ляпунова;

- анализа качества интериакыадх многомерных динамических систем с использованием подхода В.Л.Харитонова и аппарата матриц С5Шгулярной чу s с т вите льн о с та в задачах синтеза ро-баотиых шогомэрнах систем:

- разработке критвриав рсйастности в частотней области;

- разработке прикладного алгоритмического и программного обзсп&чшша в задаче анализа к синтеза многомерных робаст-шх доншягчаиккх систем с заданными частотными показателями качества;

- синтезе многомерных робастних динамических систем с задан-нжлз ^сстотпжя показателями качества применительно к проблема построещ5Я подсистем АСКД больших ПОЛНОПОЕОрОТНЫХ радиотелескопов типа ТНА-1500.

M2SSS8_i!SS5§fi9S§HSS ■ ДР15 решении поставленных зада1; используются метода пространства состояний, интервального 'вшиза, теории чувствительности, метода решения алгебраических гиатричных уравнений, а така;е методы нелинейного программирования в решении задач недифференцируемой оптимизации.

На^ч!5ад_нд{1'лзн£1 диссертационной работы заключается в ангорской разработке и дальнейшем развитии:

1. Цатодов конструирования частотных характеристик Еакторних процессов е непрерывных и дискретных многомерных системах с номинальными параметрами в форме six минорант к мажорант, а такие распространении этих методов на случай интервальных реализаций систем;

2. Аппарата систем сравнения, используетего положения теоремы Н.Н.Красовского с целью получения констант сценок многомерных процессов б класса экспоненциальных .покрытий наимень-¿ей достаточности, а такяэ возмолмости SYD-пскрытиЯ для но-гаяалишх и интервальных реализаций многомерных систем;

3. иатодоа конструирования оценок частотных показателей качества многомерных систем, использувдих для этих, целей вэз-масйэстп числа обусловленности р&Е5:гал матричного уравнение Ляпунова;

4. Цзтодов анализа качества интервальных многомерных динами-чосз-Jt систем с пспсльзованием подхода Ь.Л.Харитонова и ьп-П::.р5ТЬ ЫЭТрЗД сакгуларнгй ТГЬСТВИТсЛгК^ГТП i. зздьчзх скнга»:. Г"i:. кпзгсьйрпш спстс-; ;

5. Критериев.рсбастности в частотной области, шзЕашЕаого решить задачу синтеза робастных. многотарных систем п классэ

модальных управлений.

г^актямескзя_ценность работа заключается тз':

[. Решении прикладных задач синтеза многокзрпих робастных динамических систем с заданными чзстопигл! показателя^ качества применительно к проблема построения подсистем АСИД больших полиопсворотных радиотелескопов там ТНЛ-1ЕОО. 2. Разработке прикладного алгоритмического п программного обеспечения задач анализа и синтеза ьзюгааврпах робастгх динамических систем с заданными частотными показателями качества .

Лпробяп'лп результатов работа, Основшш полошшя диссертации докладывались и овсуздались на: Маздународеой ¡конферв» ии по интервальным и стохастическим методам в науке и технике "йНТЕРЗАЛ-эг" (Москва, 1992 г.); Магдунйродном конгрессе по компьютерным системам я прикладном математическим катодам (CSAJS'93) (Санкт-Петербург, 1393 г.); Маздгнародаой конференции "y¡iITEPEAJI-94" (Санкт-Петербург, 1934 г.); Международной конференция "ЯРОаЧЕШ МЕХДШШ И ТЕХНОЛОГИИ" (Бишкек, 1994 г.); на XXVIII научно-практической конференции профессорско-прэподзвателького состава СПбГКТКО . (Санкт-Пэтербург, 1ЭЭ5 г.)

Публикации. Основные результата дяссэртация опубликованы в 10 печатных работах.

Стр^тстхра_ргбдта. Диссертационная работа изложена на 175 страницах малтнопиского текста п состоит из введения, четырех глав, списка использовшиой литература (106 наименований) и приложений.

СОДЕКШШ РАБОТУ

Во Еводокга показана актуальность и значимость проблеет, сформулированы подозрения, выносимаа на защиту.

шсвягцона конструирований частотных характеристик стационарных многомерных систем в форме мажоранты и юпюрантн этих характеристик, формируемых как точная нижняя и верхняя границы на сфере начальных состояний источника знеинего гармонического воздействия.

В качестве базового модельного представления непрерывных динамических систем в работе . используется векторно-

- s -

.матричное описание последних е форме

x(t)=l?îx(t)+lGlg(t); х(О); y=Cx(î). (1)

где х - вектор состояния, g - вектор внешнего (экзогенного) воздействия , у - вектор выхода, I?3, IG3 - интервальные матрица состояния и входа, 0 - стационарная матрица выхода, J€Rn; yeR"; [ï3€Rnxn, £СЗ£НгЛт. gtiT; CiR™3"1.

Система (1 ) образована путем введения в линейный объект управления с интервальными параметрами вида

xfî.!=tAlxfî.)fiB3ufi.); х(О); y(i)=Qx(t), линойного стационарного закона управления (ЗУ)

u(î)=KEg(t)-Kx(t), (2)

в виде обратной связи (ОС) по вектору состояния х с матрицей К, р&ализуыдэй стабилизирующее управление и прямой связи по вектору входа £, где Шей""1, Е,Ктейг'"в, ней"*. Ш=Ш-1ВЗК, [G3=[B3K., meR"*", [BkR71**. В приведенных

соотношениях использованы обозначения: t ( • )3={ ( • )е[(¿Ж (> )3) - интервальные матрицы, С (• ) 1 принимает смысл матриц i?3,IG3, 1 A3, tBl, (•) - принимает смысл номинальных раали-

аащй матриц ¿,Е,Г,С,С с аяемантами +(•)) .

Номинальная линейная многомерная непрерывная система

x(t)=ïx(t)+Gg(t); х(О); у=Сх(î). (3)

образована путем Еведешгя в номинальную реализации линейного многомерного непрэрщтего объекта управления (ОУ)

x(t)=Ax(tHbu(t); х(О); y(t)=Cx(t), M)

закона управления (2).

Матрица прямых связей ищется из условия требуемой ориентации система относительно внешнего воздействия g(t), г арзнтируяцзго условие единичного замыкания. Тогда ориентированные закон управления (2) в декомпозированном но входу gU), вцходу y(î) и состояние x(t ) записывается

îiii;==K ijfîJ-K yfî.)-K х(t bK.sCîJ-K x(t), (5)

в ¿г* > x ~ «

где Efî.î-s g(t)-y{t) - оешбка рассогласования, Ke - уатрлде

яриак связей по csEtixe. Иатрш»; Кх к КС=К..=К„ в (5) кгхо.

/з?сз с сомощ-я иатр:гимг ссотясгьннй

- ? -

ционарных многомерных непрерывных и дискретных систем используется сингулярное разложение матрицы г. в линейной алгебраической задача

(?)

где хеПр, . Действительно, если в векторно-

мэтричном ссотношнвш (7 ) перейти к отношению по егашедоЕШ векторным нормам, то будут справедливы оценочные неравенства

^^ * <8)

где cu...^, о*,.... - экстремальные элементы S^iit) алгебраического спектра сингулярных чисел матрица и.

Для целей конструирования мааорант и минорант частотных характеристик многомерной системы (3) полагается, что. внешнее гармоническое воздействие gît) генерируется на выходе линейной зетономной конечномерной система, именуемой источником' Епепгаего воздействия (ЖЗВ)

z(t)=rz(t); z(O); g(t)=?zft), Гей1*1 .ZiR1 ;PcR1=,e. (Э) Мажоранта к миноранта частотных характеристик конструируется с использованием соотношений (7) и (8), если в них вектору % придать емкая вектора z(Q), а вектору з; - соответственно х, у и s, наблюдаемые в установившемся режиме,. Конструирование матрицы тс для этих случаев в диссертации осуществлено в Биде системы утверждений. Причем, матрица тс в (7) и (8) зависит от ферм! задания ИЕВ (9) и может Сыть кокплексноз-качной и веществеинозначЕой.

Утверждение I. Для гармонического внешнего воздействия g(t,w.J скалярные покрытия векторных процессов, наблюдаемых в установившемся режиме в пространстве состояния, выхода и ошибки системы управления (3), порезденныа сферой начальных состояний jzf0,>î=0 ИГВВ (9) определяются оценочными неравенствами для евклидовых векторных норм

I«ri,uj|/I«(0)| « aft^;^, tu (10)

где ж принимает смысл х, у, в, ах (м, t !С-л, t )=Tezp(Vt

ay (u,î .'cS-,^. fw, t )-Cîexp(Vt .)|,a£ (ш,t .Jç0a|^£fu, t .)= (T-CT)ezp(Tt .)},

®aH-))-алгебраический спектр сингулкрных чисел матрицы (<). Y решение уравнения Сильвестра

TT-iT=GP. (11)

В случае Енёшнего гармонического ноляглексксзжхчногя векторного воздействия аналитическое решение_уравнения Сильвестра (11) с целью конструирования матриц тс^'ш,!.!, ги в (11) МО—эт быть получено ь форме

; 1=17?*] • (12) Матричная экспонента едр(Гг) для случая комплекснсзнзчного Енеснзго гармонического Еоадэйствия гадает вид

_ езр<Г* )*&ищ{ехр(Г-1,1 )*ехрГЛ), V; -

которая является унитарной. В силу свойства сингулярных ад-сед -матрац не меняться от умножения этих, матриц слева, или справа на любые унитарные матрицы, справедливо ■ .

Утверждение 2. Для- гармонического внешнего. воздействия оценочные неравенства вида (10) являются . стационарными: во врэмэни, т.е. . , . . :. ;; '..'

©дС^ш,! \=$ехр(П Д=ва{Т) ;©а{г. (и>,* ^¿{СТеярГГг

=0а{СТ}; 6а{гЕ(ш,1)=(Р-СТ.)егрГГ1 . . • (13)

В случае одночастотного с частотой и комплекснознзчного: возбуздзкия всех входов системы в (12) для вычисления матрицы Т следует положить и для что для Т. позволяет записать г л <

Т=(ля-у]"*аР. (14)

При Р=Х (14) представляет собой, пере даточную матрицу • "Еход-состояние" чисто мнимого аргумента мноюмерной системы Ф, (./ш). В свои очередь матрица СТ суть передаточная матрица, а- мвт-": рица. (Р-СТ) представляет. собой пере даточную матрицу - по ошибка.

¿В случае бтцгстбепкознзчлог.й шеинего гармонического■ во-адбйствия ИГВВ (9) характеризуется матрицами • - .-•-■-■'••

■-•"•""Г-сИав^Л^О "но, | Р=[1®[1_ , аз], (15)

гдэ' Ф - знак кронэкеровского произведения матриц, ш - частота внешнего гармонического-Воздействия (г), возОувдапдв--* го 1-еход системы (3). Аналитическое решение матричного ура-5: внения Сильвестра (11) для матрицы Т дает

' т=гсЦ[-(ш;1;г г1 У 1+?2Г1¿>-; иг^"}.". . (16)'

В случае одночастотного вевестЕеннозначнсто внешнего гаржнйчаского воздействия (ы^; (=Сг" ^матрица . Т (16) ...' иринсмаат едд

- э -

Матричная экспонента етр{П) в (10) является блочно-даагоналъной, тлеет вид

соа( (18)

является ортогональной, в силу чего справедливо (13).

Использование оценок (10) позволяет изучать частотные сесйствп многомерной системы (3) аналогично тому, как это делается в теории и практика едномэрных систем. Кривые и^'^пх^; М^Е*««^: О-М^щМ:

позволяют поучить такие скалярные оценки качества процессов управления многомерными системами, как мажоранту и миноранту показателя колебательности, полос пропускания на уровне заданных значений амплитудной частотной характеристики МСш.) и относительной амплитудной частотной ошибки ОСш.).

Результаты переносятся на случай дчекрешых многомерных' процессов с точностью до преобразования типа матричная функция от матрицы.

Вторая_гляЕа посвящена вопросам использования возможностей аппарата систем сравнения в анализе и синтезе многомерных систем.

Е главе з сжатой форме пригодятся сведения из современ- ' ной теории аппарата систем сравнения, в основном базирующихся на результатах Н.Н.Красовсхого и Д.Шилака на предмет анализа достаточности оценок качества процессов в исследуемой системе, доставляемых с помощью систем сравнения, сконструированных в рамках данных подходов.

При исследовании экспоненциальной устойчивости рассматривается автономная версия многомерной система (3)

Ь-ТхЦ), х(0), П9)

для которой 3 а>0, р>0 такие, что оказывается справедливым неравенство

8^1)||4Р|х(0)|елр(-а1). (20)

В соответствии с теоремой Н.Н.Красовского может быть построена система сравнения, определяемая правой частью (20), с

параметрами р=0,/С1 и а=с|/2с^,где константы к=1,3; находятся из соотношений

с;=т1пв{Р), с^=тло1е{Р), с^=т1п©{а), 131)

0{(•))-алгебраический спектр собственных значений матрицы (•).матрицы Р и 0 удовлетворяют матрйггаому уравнению Ляпунова

РтР+Р?—а. <22)

Полученная таким образом модель сравнения, а следовательно и сцанга: качества процессов, обладает высокой доста- -точностью, с целью уменьшения которой автором предлагается использовать при конструировании констант аире (£0) свойство регулярного пучка квадратичных форм, которое с использованием отношения Релая приводит к спектру корней обобщенного характеристического уравнения, построенного на паре (Р,0). Тогда системой сравнения меньшей достаточности является правая часть неравенства (20) с парой (р,а), определяемой 'соотношениями .,,

• р=С ' *{РЗ, а=цв1г./2. (23)

где С{Р)-|Р|>|Р~1| - число обусловленности матрицы Р,.вычисленное с использованием спектральных корм матриц.> Р и Р"1,. Цш1п - минимальный адамант спектра корнай обобщенного характеристического уравнения. сйЛ'рР-О.^С. (24)

Поиск способов сокращения избыточности оценок а и р экспоненциального покрытия (20) процессов, в система (19) приводит к особой конструкции матриц Р и 0, которые вводятся с помощью следующего утверждения.

Утверждение 3, Матрицы Р и 0; Р=РТ; Р>0; ; С1>0 вида ?= (тс"! )тг."1 ; 0=-(тс"5 )т (ГЧГТ ! , (25)

где матрицы тс, Г связаны с матрицей. У состояния (3), (19) однородным матричным уравнением Сильвестра тсГ=?тс, удовлетворяют уравнзнию Ляпунова (22).

Соотноаение (25) позволяет упростить конструкции оценки р и придать ей новое содержание, определяемое утверздением 4.

Утпврх,5.-этаа_4. Оценка р, определенная соотношением ,(23) в форма р=с'' "{?) для случая, когда матрица Р задается в форма (25), мэжэт Оыть..вычислена с помощью соотноиения р=С1х}

Если под скалярными функциями а^ (¥}, а_{?3 матрицы ? понимать ф^тисшш, реализующие отображения а^ ,

которые ставят в .соответствие матрице Р•соответственно максимальное-и мпнималькоэ сингулярные числа и а . этой матрицы,. то мохат быть ВЕэден ноеый класс систем сравнения с помощью сл&дупцего утверждения.

. Утзаржд^жа 5. ЕУВ-систекы сравнения А.. , «р.'?г )}|.ги»|

• ьтс ■ V: " ■

- и -

яеляются соответственно мажорирующей и минорируэдай система-га сравнения многомерной система (3), (19).

Кведзнза автором мажорирующая ЗТО-система сравнения иозволйгТ пепледовзтадэ,изучать тонкую природу процессов по норме, тг.>; как является огибащай всех, возможных процессов по норме !х(г)5 векторного процесса х(П на множестве х(О), принадлежащих сфере }.т(0) |=сопз*.

Во второй "часта главы ставится задача расширения воз-мозностзй аппарата систем сравнения с тем, чтобы конструировать оценки не только теша сходимости процессов, а такяа ях колебательности. Для этих целей используется связь параметра р экспоненциального покрытия сходящихся по множеству начал!,ных состояний .г¡"О.) процессов определяемого мажорирующей частый неравенств (20) с числом обуаловленпости ССР>-матрицы Р, для чего сформулировано

В класса эквивалентности, образованней системами (3), (19) одинаковых по размерности и базисным представлениям, характеризупяимися одинаковыми значениями оценки а, процессы по норма ¡г(£.)| вектора состояния х, об-ладзициз большей колебательностью, будут мажорироваться экспоненциальным покрытием гида (£0) с тем большей оценкой р, чем больше наблюдаемаг колебательность процессов, проявляемая в выбросах последних.

Для случая системы (3) с Вояинируацей парой кахиексна-сапряяенниг лод матрицы Р, допускающей редуцирование по Б.Муру до систем! второго порядка получены аналитические соотношения, устанавливающие сеязь Мл1_зс=,Н1п ф,а) показателя колебательности ^ системы о дсминируыаей парей комплексно-сопряженных мод от числа обусловленности репенмя матричного уравнегая Ляпунова (13) в форме числа р

для СЛУЧаЯ С12 < (Мяа*-уО*-Т)

й .= 0(1 «0/2:а .(26) для случая а2>0.5К=а* ({£=»*-гЫах- 1 ) " '7

-УИГсгл- 1 ; К

.. =(2а+1 )р+/р2-4а(ай )/4а(аИ) (27)

Из пр!»4ера пглд! ;2) с дсмикирувдей парей комолексно-сопрдгеккых ¡..¿д • .. •.--•„ • , .•*■•■.

Утверждение 7.Пара чисел , определенных е силу

(20),а=?/Т, порождает колебательное звено

Ф(а.)=С(я1-?)"1С=1/(Т2й2+г5Тя+1) (28)

Г О

I

Г= 1

1

;С=[цо]. (29)

процессы в котором характеризуется колебательность» с оценками (26), (27) показателя колебательности Кмз, причем параметры ? и Т в (23), (25) определяется соотношениями

• {={0.5(1 -о >. >у *, т»еа 1 Использование аппарата систем сравнения позволило автору сконструировать экспресс-оценку такого частотного показг.тзлн качества, как показатель колебательности.

Третья_глзЕи посвящена знали; у качества многомерных интервальных динамических систем.

Ставится и рекается задача не основе интервального анализа, базирующегося на теоремах В.Д.Харитонова сведения многомерной интервальное динамической системы (1) к семейств!' стационарных систем, для которых требуется построить семейство систем сравнения. Для решения поставленной задача ис-пользувтея следуицие понятия. Под .тарылокобекой реализацией ? интервальной матрицы состояния ГГЗ система управления (1) понимается сепаратная реализация последней, характеристический полином которой совпадает с одним из харктоновских полиномов. Под ларгдпоксвсгшл пакета« понимается семейство из четырех харитонозскях реализаций ?х1, £=773.

Для конструирования предлагается воспользоваться матри-'.шм соотношением подобия =М~1 1=1,4; гда ? -

шг'ра.; ;, задавшая во фробеняусовом базисе всопровоздащай 1~иЯ хэритоновскиа характеристический полином форме.М^С, =РМ, й - кт1р;игд подобия, связаващая номинальную реализации матрица 1- ь ■;?) с матрицей Г в сопрововдавдей номинальную реализация журнального характеристического полинома

сй{(Л1-[Г))=?,гЧСал ]Л."",+(а2ЗА.п"2+ -'+(ап] (30)

Поставленная задача может быть ре^знг, зели сконструировать для каздой харитоновской рааьлацкк харитоновско-го пакета свою сепаратную скстсму сраЕнешл вида (20).. При

- то, _

этом обнаруживается возможность сжатия информации о качэствЗ процессов в системе (1) путем построения на хзритоиовскои пакете глобальной система сравнения,которая макет быть построена двумя способами: с использованием мажорирования в классе экспоненциальных вида (20) с параметрами ¡3*=!пух^Рл а*=я}п(а ), где |3 , с^ -параметр; семейства систем сравнения, соответствующих четырем полиномам Харитонова и, 5\'1)гпокрнтай, имеющей вид 25уЕ1(^)=а6(4)1х(0)|, где а0(1) -максимальный элемент алгебраического спэктра сингулярных

чисел фундаментальней, матрицы В(г)=с11с1ё^}ехр(а1г),

Интервальная реализация некоторой величины некоторым механизмом интервализации может быть осуществлена вариацией параметров относительно их номинальных значений. В' реальных технических-системах диапазоны Еариаций такова, что они допускают применение аппарата теории чувствительности в пределах еозмокноот&й 5ункции чувствительности первого порядка. Данное обстоятельство кладется в основу ревения задачи конструирования оценок частотных характеристик интервальных систем с использованием матрицы сингулярной чувствительности при параметрических возмущениях матричных компонент Р,Г: в (3).

- В силу того, что модальные оценки частотных характерно тли вычисляются на алгебраическом спектре сингулярных чисел конструируемых критериальных матриц % вида (13), поставлен- ' ная задача мокет 'быть сведена к задаче исследования'параметрической" чувствительности сингулярных чисел.

Если элементы некоторой критериальной матрицы %(д), а следовательно и ее спектр сингулярных- чисел претерпеваят параметрические Еозмущения так, что т(д):~ 0аКд)У=Са: (д),

/=Т7Т>')деПр, тогда матрицей функций, чувствительности ашгу- ■ лярных чисел (сингулярной" чувствительности) критериальной матрицы %(д) Судет называться матрица вида

За={а1а.=-2.а (д). 4=те.->ТГр| (31)

а 1 5Ч1 Од. ' ¡ч=л0 _ > . - ,

где - функция чувствительности. 1-го сингулярного.., числа

а4 к вариации, „'-го- элемента д} вектора параметров д. Матрица позволяет 'связать Еектор ¿а конечных приргцекий сингулярных чисел с ы-.уг.'.ум конечных приравняй Щ ьектора пар&мт-

ров q соотношением Да=8аДд, где вектор конечных приращений Дд вектора параметров д-определяется в форме Дд£{д-у), 1д] =

1д,д]. Вычисления функций чувствительности сингулярных чисел а1ч для конструирования 5а могут Сыть осуществлены с использованием утверждения 8.

утверждение_В. функция чувствительности а 1-го сингулярного числа а, к вариациям /-го элемента д, вектора параметров д может быть определена соотношением а =3.^;

!=ГДГ ; ,/=Г/р', где матрица чувствительности конструируется в виде Б =1!ти; V.

ч I а

Применение утверждения 8 лад вычисления функций чувствительности а^, модальных оценок чпетотных характеристик

позволяет записать т

зоч., к «ч, к * 1 •

* 4

где ж принимает смысл х, у и н в (1), - матрицы со-

ответственно левого и правого сингулярного базисов в сингулярном разложении критериальной матрицы

Для определения матрицы чувствительности тг.^ к вариации алементоз д^ ееотпра дафяизтрэв д кпе воспользоваться уравнением типа Сильвестрл (11)

Т«г}Г-Т(дУГ<д)=а<д)Т, (33)

прямое дифференцирование которого по гектору д в точке а~дп

О 0

с учетом обозначений ((«)«7))|а__ =(•)." — ((•)<£/))(_, =(->„;

14 Ч0 рд ' 4 1С 4

где (•) принимает смысл матриц Г, в. Те соотношении (33), дает Тчг-ртч =СгчР+РчТ, решение которого относительно позволяет сконструировать искомую матрицу ^ в выражении (32) * ч.з

с помощью (13) в форме % =Т ; я ~СТ ; тс,. =Р-СТ .

ч^ гч^ ч^ ьч^ ч.

Решение задачи оценки вариаций модальных сценок частотных характеристик параметрически возиуирнцого, представления интервальной системы (1 ) относительно номинальных реализаций (3) может быть определено в форме

Д(.),(ю,д0,Д-7)<3{Дд: Л(•). (^ . .-з^Дд где ае принимает смысл векторов х, у и 'О. (ДО. (•). (и) принимает' соотвестгзнно сшсл ьжхорант и минорант

(ы) змаштуднсЯ частотной характеристики по состоят«) х, М. <ш) ,М_ (и) амплитудной частотной характеристика по выходу у, и, (и), й_ (с.» амплитудной частотной сжгбкэ,

- соотпественно первая п послэдияя строки матрица сингулярной чувствительности вида (32), конструируемой для конкретной критериальной матрицы. Тогда искомкэ оценки шзш:туд-ksix частотных характеристик црипимзвт еид

(•}, (ш,д0,&д} = ( •), (ю)+Д( •). (ыгд); (■). (и,да Дд)=( ■), (ы)*Д( •>_ {,<|>

L';; 3 5 § .Л 9 Т е SP 1 § я посЕят-'/эна яройааизм синтеза мяогсмэрши - ':3асткнх д-дасмичэсгаис систем с заданным! частотными пскеза-теляки качеств,';.

В гл'жа 1 модальные оценю! частоглкх характеристик как для непрерывных, так и для дискретных многомаранх систем упраиления были получены с использованием сингулярного разложения критериальных матриц и вида (10), сгягивЕгзда вак-тсрннй процесс ж с вектором начальных состояний zo=z(0) источника внешнего .гармонического Еоздейсткия, т.е. путая сведения проблем к виду , где а приникает смысл х,у а е. В такой постановке проблема робасткости многомерна* процзс-coii сводится к задаче исследования чувствительности пэнтсра ■& к вариациям элементов матрицы ia и is0 вектора з0. Если под ситасюпельюи прирядею&я ö( t , понимать величину, определенную соотнесением Ö, = ?Д(> )|/|((- )|, где (•) ари-

нимаэт смысл Еекторов 32, 20 И МатрИЦЫ "яу. то иогйт бИТЬ 3s-

писано соотношение )jö. ^ö^-tS. • ö_|, где Oifc^)^

I^S'S-«"2 число обусловленности матрица. Если учесть, что модальные оценки частотных характеристик в (20) конс-

труируются 113 условия |ZQ| =ccnsi , TO 5iC2CHO ограничиться деть вариациями тс , т.о. mozko записать

(34)

где для евклидовых векторшх кора Ois.,} ¡язкат быть опрвдз-леяо с псжсью соотношения Ci/а , „ гд;) а „,

Л CyßiÄ X.,:" In" ¡.Я *

с.^ =4в - экстремальные элементы алгебраического ссэптра eas-

гулярных- чздлл 3 (*„> изтрицн s.,. Из (34) едгпо, тго

йггь ягол.и.зова$;о "е качество жри робйсттосгз з rjr'jj:;, ч.ьа vjb-rje тчсдо обуслсз:ennoc« "™л

спназкой этой критериальной матрицей. Автором ееодптся поня-теэ чвсшпного числа обусловленности номинальной реализации лшого4зриой системы управления (3), под которым понимается парсязтразовенная частотой ш характеристика вида

С„(ш)=а (ш)/а . (ш), (35)

X -гейтах ^ ' 1к»1п "

гдэ зг принимает сишхн вектора состояния т, еыходз и ошибки ^«х« ««¿»»»е®а V» %х ~ храториалъиая матрица в

силу (20) икает роалгзации иг=СТ; г£= (Р-СТ).

Дея интервальной реализации многомерной система управления И) под частотным числом обусловленности понимается па-рсглэтркзоашная частотой ш и определенная на хэритоновском ЩСЕЭТЭ ХарЖГврЕСТПКО ВЗДЙ г

(3б)

гдэ Сш (ш)-шаслэ обусловленности, вычисляемые с помощь» (37) для харатошвских реализаций интервальной системы (1 ),е пра-ккезт скнсл х, у и е, п-4 кощность харитоковского пакета.

Введенные частотные числа обусловленности в форме (35), (33) могут быть использованы для целей конструироваккя функционала робастности для случая кофинальной (3) и интервальной роалазации многомерной системы управлении (I), если в кглзствэ таковоЯ использовать экстремальна норму "С(и)}ю

дяя вход-ЕЫХОДКНХ отновоикй 1Гу=8С..(Ы)21а, (и)

Авторок показано, что введенные шры робастнопти позволяет рокить задачу синтеза кногскэрных рсбаияккг динамическое их систем с аедашшка чаатотвыкв показателями качества путей сведашш во к задача ойо&^нного модального управла-игш, которая хгаэо? шлчую г; редуцированную Еерсии. При этом задача обойденного модального уарг!Елениа состоит в синтезе

закона уаюашюиия к ©тает

и Г4)=-Нх(1), (37)

досоталнэдвгсгштржэ состо.«?кия ?=А-ВК, системы (3) желаемую

структуру мод ©{Г)=С/\1; С=ГГ»3 и илземый гвомэтрэтескпй

спсктр схСотгзнкых Езитороз , .>1,1), Кгс.'

В диссертации рошвяке. задачи обобкзигого модального

упраалвшя базируетая на ксполъзовзши; урэгнвнил

Сальвэстра (УС)

относительно кгзтркдн йрозораэе*; -„¿га И, где пара

- Yt -

иаблвд&еккя napa tsaipm» (Г,H) задает ведшэдтз гадвяь

z(t)*Tz(t); zlO); vft)^-m(t), reHn3,nsrfRnЖЯ*'""? так, что Г в (40) является коснтагеа тввазоЗ стрзкггури «У1 матрацы ? состояния систеки (3). Матрица подойяя У евэдаа<т-вает выполнение вокторно-матрижнх соотаоиопай

X(î)~iiz(î); z(QMIz(0), MIVRI, ©{DeSíyj-gij ;t=fT¡lJ. Ира использовании уравнения Сильвестра (23) boí&eosrísjü долган яолтт.атаровать отсутствия к~рэсв':эпкя спэятрса xs&rpsn V В Д. ¡ЪГрйПГ. 00 К Е (ЗТ) ОарЗЛвЛЯвТСЯ С007С0285!ИвИ K=KM~S.

Автором установлено оценочное нарапзпстло для частотного числа обусловленности а форчэ

С (шКСГШ) .CÍO) -GÍG) .Gs''2{tif Il-г2}, (39)

правая часть которого вхплеот в качпстпе сокяогатазш OKI) число обуслсвлзяности матрица подобия II давгсиаяггяррззяго преобразования, стдОцк которой составлена ез ссбсзгагшх векторов матрицы Р состояния синтезируемой кяогскэржй см$-теш управлетш (3). Isгатгд ofipaco'j, :-.з (39) следует, что задача обеспечения робаетвоста кногомеркях систсм кэгат Снть сведена к задаче робастного обобзугнпего модального упргвлзнпя.

■ Во второй части главы реаена задача ситпзсз дзугктаадь-пой фотоэлектричекой угломерной слздядай састеш «г£*дзкия комплекса АСКД систст. управляли рздкотадзсхоаска .THÜ-ISQ0. Синтез осуществлен по трзбоваиаяа к частотикм Шйссзгтааяа в форма мажоранты показателя колебательности M ,.31.3 и полосы пропускания Ь&Ь с"'на уровне БЗ-иой относятогьпсй с:т1ли-тудной частотной ошибки при интервальных значениям базоз"лх физических параметров системы, не превисаетах 1 Р."-пего отк-ленения от ионивалышх вначвгяй, а ts:cïo обеспаюкая частотной робастности. Получены дае верит репенил задачи. S первой версии требование к полосе пропускания в (¿ор'дз ганорзятн ганорант удовлетворено, но при этом нз удовлетворен трзбо-bshzk к показателе колебательности. Вторая - удовлзтворг.2т гота T-j/t^racaaaj требованиям, но прп згой умгеповдзш np'i.no-jjs питерггясп ячрзгятрсв мрзгаягя: элегантов OTîioeuïOJ&sa •jz аяявахкяах значоагй, пра катера лестгвязншу зо,г.этз то*"!? «доцгоскя реализуемой ргеотяз.

ЗШШЧЕШЕ

Основная результата диссертационной работа состоят в авторской разработке и дальнейшем развитии:

1. Мзтодов конструирования частотных характеристик векторных процессов в непрерывных и дискретных многомерных системах о коияналышш параметрами в форме их минорант и мажорант, а тпкйз распространении этих методов на случай интервальных реализация систем;

2. Аппарата систем срэвнэнгш, исполъзуюцего положения теоремы Н.Н.Красовского с далью получения констант оценок многомерных процессов в классе экспоненциальных. покрытий накмень-азй достаточности, а также нозможноста ЗТП-покрытпЯ .для номинальных и интервальных реализаций многсмершх систем;

3. МатодоЕ конструиропмшя оценок частотных показателей качества многокэрнах систем, использующих для этих целей еоз-коююстн числа обусловленности решения матричного уравнения Ляпунова;

■4, Методов анализа качества интервальных кногомернвх динамических систем с использованием подхода В.1.Харитонова я аппарата матриц сингулярной чувствительности г задачах синтеза рабестньн икогеиерннх систем ;

5. Критериев робастности в частотной области, позволившего решать задачу синтеза робастних многоместных систем п класса иэдэльтгх управлений.

6. Нркклгтаого алгоритнмчесюто и программного обеспечения в задача анализа :? синтеза многомерных робастнах динаклческих сестзя с заданным! частотными показателя;.!!! качества.

7. Прлкяаднах зьдач синтеза многомерных робастных данамичес-кзх слотам с заданны;«! частотными показателями качества прл-кятгсемздю к проблзж построения подсистем АСКД больших пол-Езповоротиах радиотелескопов типз ТНА-1Б00.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЯ

f. Лилова А., Акупс-З Т.Л., Ласков А.В. ¿налог кя^эя'.-за кро-пвссоз а интервальными параметрами с поьткю сегойс-пи. сяо-яа сраьнения. // Синтез алгоритмов саю^-^ спзт-нл. »¿¿-¿вед. иазгчио-техняч. сборкик, вып..9. Таганрог: 1&33,

2. Лиунова А., Анунсв 7.А., А.Б, Конструирование сае-

тьва срэЕнэн^я дт.л -.тклирват ггзц&ссов управления с ¡гч^р-

вальной матри ей состояния //Интервальные вычисления, 1992. 3. Акуно&а А., лкунов Т.Л., УшкоЯ А.В. Оценка колебательности управляемых процессов в многомерных системах с помодь» числа обусловленности решения матричного уравнения Ляпунова. ,■ / Автоматика и телемеханика, 1394, ¿S3.

t. лкунова А., Аауноб Т.Л., Ушаков А. В. Конструирование сис-¡ь-мы сравнения для многомерного объекта управления г, интервальными параметрами //Мездународнаи конференция по интервал!и слохз^тичзскам методам в науке и технике (МНТЕР-BAJi-r:-:): "г.орник трудов 22-26 сентября 1992.-М. :ЫЭИ,т.1 .С.5-8. 5. Акцно&а л., .Щ,иов Т.А., Уникод Л.В. Оценка колебательности нелинейных многомерных процессов методами интервального анализа. /,' Сборник трудов Международной конференции "ИНТЕРВАЛА", Санкт-Петербург, 1934.

<■':. Лиц::с;б(1 л., Аиупсе Т.А., Уисиюв А.В. Эллипсоидная линеаризация : выдаче анализа качества нелинейных многомерных процессов с&рияк трудов Мездународной конференции "ПРОБЛЕМЫ MB^jMKI! 11 ТЕХНОЛОГИИ", Бишкек, 1994. 7. АнунйОи а., АяукоЬ Т.А., Ушкоб Л.в. Оценка процессов в if0 о покозд.» числа обусловленности решения матричного урав-кенкл Ляпунова /.' X XYi II научно-техническая конференция СП.?ГКТМО. СПС.: 1996. С. 13-19.

S. Ah^itoda А., .исукой Т.А., Ушксв А.В. Решение задачи интервального модального управления // XXVIII научно-техническая конкуренция СПбГИТУ.О. СПб.: 1995. С. 18-19. 9. 4. Abunava, T.A./Jnaiov A.Y.Ushokov. Design ol Comparison System for ttuLtl-Dlmu3ional Control iiodel with Interval Parameters. // Proceeding of International Conference on Interval ana stochastic methods In science and engineering (Interval-Hi'), 1 ««2.

Ш.' A. Akunuixi, T.A.Akunov A.V.Uahakov. Estimation ior the Oscillation оt liultivariable Controllable Process with Interval Parameters. // International Congress on Computer Sy sterns and Applied Mathematics (CSAitf'93).Abstracts. St .Petersburg, 1У92.

Подписано к печати L4.07.S5 г. Объем 1,2 п.л.

Ззкс.з 161 Тираж 100 экз. Бэсллатпо

Ротппркнт. И7УЗ. /-'-У-Оа, Санкт-Петербург, пзр. ГриЕцсва, 14