автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Аналитическое конструирование оптимального регулятора системы управления деформируемым зеркалом

На правах рукописи

Аналитическое конструирование оптимального регулятора системы управления деформируемым зеркалом.

05.11.16 - Информационно-измерительные и управляющие системы ( в машиностроении)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук с.н.с. Вакуленко Сергей Августович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор технических наук, профессор Фрадков Александр Львович кандидат физико-математических наук доцент Бондарко Владимир Александрович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт-Петербургский Государственный Университет Аэрокосмического Приборостроения

Защита состоится 20 апреля 2006 г. в 14 часов на заседании

диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте Проблем

Машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр.В.О.,д.61, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института Проблем Машиноведения РАН.

Автореферат разослан « » _2006 г.

Ученый секретарь _

диссертационного совета Д 002.075^,4 -—. Дубаренко В.В. доктор технических наук —

67 6А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы оптимизации управления поведением поверхностью пластины, входящей в состав различных технических устройств, подтверждается многочисленными исследованиями в этой области в последние 15 лет Управление поверхностью упругих конструкций дает возможность коррекции аберраций изображений зеркал и телескопов, улучшать аэродинамические и гидродинамические качества поверхностей подъемных элементов, а также улучшать точность наведения в оптико-лазерных системах, антеннах и больших рефлекторах. Основные усилия при таких исследованиях сосредоточены на применении уже имеющихся методов и средств управления упругими элементами и системами.

В современных телескопах применение адаптивной оптики позволяет корректировать искажения, вызванные атмосферной турбулентностью. Для этого необходимо управлять зеркалами телескопа таким образом, чтобы, используя исполнительные устройства - толкатели, деформировать поверхность зеркала в соответствии с сигналами сенсора волнового фронта и компенсировать искажения. Большинство исследований по управлению деформируемыми зеркалами проведено для случая, когда будущее и текущие положения пластины не зависят от времени. Также необходимо разработать алгоритм определения сил в толкателях, обеспечивающий оптимальное положение поверхности пластины. Решение оптимизационных задач позволяет найти так называемое идеальное управление и идеальный регулятор, который является основой для нахождения физически реализуемых регуляторов. Таким образом, решение задач об оптимальном управлении поверхностью упругой пластины и аналитическом конструировании оптимального регулятора, является актуальным.

Целью диссертационной работы является аналитическое конструирование оптимального по точности регулятора для управления положением поверхности пластины- деформируемого зеркала телескопа. Предполагается, что желаемый прогиб заранее не известен и зависит от фронта приходящей световой волны. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. синтез регулятора толкателей деформируемого зеркала телескопа, минимизирующий среднеквадратичное отклонение прогиба пластины и^дот желаемого и>(дна основе асимптотически точных решений задачи об управлении прогибом пластины, при соответствующих ограничениях на силы в исполнительных устройствах-толкателях;

2. разработка методики построения значений прогиба во всей пластине по данным, измеряемым в конечном числе точек пластины;

3. синтез закона управления деформируемой пластиной-зеркалом, входящей в состав типичной адаптивной оптической системы для стационарного изменения фронта воны;

4. качественного исследования возможного оптимального начального положения пластины для ее последующего перевода в желаемое для исправления возникших искажений фронта положение за минимально возможное время;

Методы исследования. В процессе выполнения работы применялись методы теории оптимального управления, методы теории случайных процессов, компьютерное моделирование.

Научная новизна работы состоит в следующем-

1. найдено решение задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для системы управления поверхностью деформируемого зеркала на основе асимптотического решения задач об оптимальном управлении для случаев: когда внешнее воздействие более медленное, чем внутренняя характерная величина, определяющая первые периоды колебаний самого зеркала и, когда, наоборот, внешнее воздействие есть быстро осциллирующая функция;

2 получены основные параметры физически реализуемого регулятора для управления пластиной деформируемого- зеркала .

3 найдена аналогия между задачами управления системой, находящейся под угрозой разрушения и управлением начальным положением пластины, воспроизводящей неизвестный заранее прогиб; проведено качественное исследование стохастической устойчивости нелинейной системы, сетевого типа (генетическая, нейронная) находящейся под угрозой гибели под совокупностью случайных воздействий.

Практическая ценность работы состоит в следующем'

Предложен регулятор для деформируемого зеркала в виде обратной связи, представляющий собой пропорциональный регулятор с переменным коэффициентом. Данный регулятор обеспечивает коррекцию аберраций волнового фронта световой волны. Преимуществом данного регулятора перед существующими в настоящее время является то, что параметры регулятора могут быть вычислены один раз и впоследствии использоваться для любых допустимых временных воздействий того типа, для которых они были найдены. - Предложена методика определения параметров регулятора для управления деформируемым зеркалом, входящим в состав типичной адаптивной

оптической системы телескопа

-Разработан алгоритм управления положением поверхности линейной пластины при наличии внешнего случайного воздействия, когда управляемым параметром является форма фронта приходящей волны.

Полученные в работе результаты были использованы в научной программе Президиума РАН N19 " Управление механическими системами", вошли в отчет ИПМаш РАН "Управление резонансными режимами работы вибрационных машин" для НПО ОАО "Механобр-Техника".

Достоверность научных результатов и рекомендаций диссертации обусловлена использованием хорошо апробированных классических и современных методов теории оптимального управления, а также подтверждается сопоставительным анализом полученных результатов с известными результатами, полученными другими методами

Положения, выносимые на защиту:

-метод получения решения задачи об аналитическом конструировании оптимального по точности регулятора управления пластиной при внешнем сигнале для случаев: когда внешний сигнал более

медленный, чем временная характеристика , определяющая первые периоды колебаний самой системы с учетом демпфирования, и, когда внешний сигнал есть быстро осциллирующая функция. - доказательство аналогии между задачами управления сетевой системой, находящейся под угрозой разрушения и управлением начальным положением пластины, принимающей стохастический сигнал ; -методика определения параметров регулятора для управления

деформируемым зеркалом, входящим в состав типичной адаптивной

оптической системы телескопа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: Международной конференции " День дифракции 2005 " С-Петербург , Петербургское отделение Математического Института им. Стеклова РАН, 43 Международном европейском семинаре по применению новых методов в теории управления для целей промышленности, Дельфт, Нидерланды 2004, семинаре проф. А.Л.Фрадкова в ИПМАШ РАН.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 научных трудах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Объем работы составляет

119 страниц, включая 25_ рисунков и 2 таблицы. Список использованных

источников включает 43 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснованна актуальность исследования, определены цели и задачи работы, сформулированы итоги аналитического обзора и указана возможная область применения проведенных исследований

Для решения задач оптимизации в 60-е годы Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко предложили новый подход - знаменитый принцип максимума Понтрягина. Это положило начало современной теории оптимального управления. Дальнейшее развитие теория управления получила в трудах В.А.Якубовича, А.С.Матвеева, Ф.Р.Черноусько, Л.Д. Н.Н.Красовского, А М.Летова, А.Б.Куржанского, Поляка Б.Т., АкуленкоЛ.Д. и многих других. Вопросы, связанные с управлением поверхностью пластин интенсивно изучались на протяжении последних 20 лет многими исследователями, среди которых, Ляхов Д.М. ,Сафонов М.Г., ШехтерД., Шишаков К.В.,Шмальгаузен В .И. , Апполонов В.В., Сычев В.В., Харди Дж., Миерович Л., Тайсон Р.и др.. Эти исследования были связаны с применениями адаптивных оптических устройств в телескопах и измерительных устройствах.

В диссертационной работе, в отличии от имеющихся в настоящий момент решений, поставлена задача аналитического конструирования оптимального по точности регулятора для управления пластиной - деформируемым зеркалом телескопа,, для

случая, когда прогиб пластины является функцией времени. Такая постановка вызвана новыми требованиями, предъявляемыми адаптивной оптикой.

В первой главе дается постановка задачи аналитического конструирования оптимального по точности регулятора для управления положением поверхности пластины - деформируемого зеркала при внешних воздействиях, с целью максимально точного воспроизведения желаемого прогиба п(х,у,1) .зависящего от времени. Полученный в результате решения задачи регулятор должен быть физически реализуем. При его синтезе предполагалось наличие достаточно точной информации о параметрах объекта управления и среды. Это означает, что имея данные измерений искажений фронта световой волны и, предполагая характер возможной динамики фазы приходящего фронта, надо определить управление в тот же момент наблюдения так, чтобы деформирование пластины происходило оптимальным образом Для описания объекта управления используется линейная теория тонких пластин, так как величины прогибов, требуемых для целей практики, не превышают 0.01 от ее толщины. Уравнение динамики объекта управления -деформируемого зеркала телескопа выбрано в виде:

где \о{х,у,1)- прогиб пластины, /- внешние силы со стороны актуаторов-толкателей, /7 -коэффициент трения. На первом этапе рассматривался случай отсутствия трения. Толкатели пластин-зеркал телескопа считались симметрично расположенными по секторам, на которые всегда можно разбить пластину, и воздействие их на пластину моделировалось как сосредоточенное. Таким образом, решалась задача о подборе таких сил в толкателях, чтобы минимизировать среднеквадратичное отклонение прогиба пластины у, О от

желаемого н{х,у,1), при ограничениях на силы в толкателях

где \г(х, у, /) -прогиб пластины. В дальнейшем в качестве граничных условий для задачи рассматривались либо жесткая заделка, либо свободное опирание на жесткий контур. Начальные условия: \у(х,0)=\уо, 1У(х,0)=\^ 0

Для получения решения задачи о колебаниях пластины-зеркала круглой в плане ( одной из наиболее распространенных на практике форм) использовался метод Бубнова -Галеркина В качестве базисных функций были выбраны полиномы Цернике, которые используют для описания аберрации в оптике-

+а 2Д2и' + 7И'1 = /

г

К„'(г,р) = Л»ехр(л/^ВД п > |/|,(и-|/|) = 2у,у = 0,1,2...,/ = 0,1,2.

(1.1)

Предполагаем, что желаемый прогиб ¡V имеет вид:

^-Е^Л'Ж.Ч'.*) (1-2)

где: >%(/) - коэффициенты, которые могут зависеть от времени 1 Далее удобно ввести обозначение: ц>к = Уп{г,(р) где: к =( 1, п)- двойной индекс. Решение для прогиба пластины разыскивалось в виде:

к

Для нахождения коэффициентов Хк получена следующая система:

V

(1.3)

где обозначает скалярное произведение в Ь2 (О).

Если Г представлено в виде разложения по функциям типа (1.1), тогда величину /к из (1.3) можно вычислить аналитически, так как полиномы Цернике ортогональны, и получить' = - здесь к по-прежнему двойной индекс.

-

Введем вектор X =' '

к=1,...Ы

X - имеет структуру вида ,..........Х„, X,................Хм ^.

где: 1Ч-число выбранных мод в процедуре Галеркина. Тогда получим:

Х = АХ + / , (1.4)

где А =

(О Л „ г

блоки размера NxN

<Ит А = {2Ыу.2ЪГ) -размер.

Здесь Т- управление, имеющее вид Г=Вп где В-оператор:

Ви = ^¿{х-х^у-у^и,«)

где Ь-число толкателей, - сосредоточенные силы, которыми управляется толкатель-актуатор.

Во второй главе для нахождения оптимального по точности регулятора рассматривался случай полной информации о состоянии объекта. Задача состоит в нахождении величины и , которая дает минимум целевому функционалу на интервале [О, Г, ]

где £),, (?2 ■ заданные матрицы, определяющие функционал управления. Х(1) - коэффициенты, определяющие заданный прогиб IV ()2 -определяет цену управления.()2 имеет размер ЬхЬ,

Здесь заданы и ищем и(1) на интервале /е(0,/,), и е 3?".

В общем случае, как известно, не решена задача о синтезе обратной связи, поэтому зачастую не удается представить решение задачи в виде соотношения-и = Р(Х) Однако, в рассмотренном в этой главе случае задача может быть полностью решена благодаря своей линейно-квадратичной структуре Для построения решения был использован метод, предложенный Матвеевым и Якубовичем в рамках абстрактной теории оптимизации Для этого уравнения рассматриваемой задачи были приведены к виду, используемому в работе Матвеева и Якубовича. Положим 2 = X - X и получим:

о

Х, = АХ + Ви, Х\1ш0 = О

(2 1)

, Ql - есть матрица размером N х N

(2.2)

2(0) = г0

(2.3)

<P = J[(aZ,Z) + (Ô2«, «)ty-»min (2.4) 0

Оптимальное управление, найденное Матвеевым и Якубовичем имеет вид'

М(/) = г(0'*(') + />« (2.5)

где r(t) and p(t) - матрицы, которые стандартным образом находятся из некоторых систем дифференциальных уравнений При этом вид этих систем полностью определен упругой системой (деформируемым зеркалом) и не зависит от желаемого прогиба при определении величины r(t) Величина p(t) определяется интегралом от t до Т, куда входят величины, зависящие от заданного прогиба и его производной Необходимо отметить, что из-за наличия этого интеграла оптимальный регулятор физически не реализуем, т.к. он зависит от будущих значений внешнего воздействия, т.е. от будущих значений переменной X (t) Для преодоления этой трудности рассмотрены два новых метода построения физически реализуемого регулятора Первый может быть применен, когда внешнее воздействие значительно более медленное, чем внутренняя характерная величина, определяющая первые периоды колебаний самой системы с учетом демпфирования Именно такой случай характерен для деформируемого зеркала, используемого для коррекции искажений волнового фронта приходящей волны. Тогда управление может быть найдено по приближенной формуле'

u(t) = U",(lu'(r)R(T)dT)g(t) (2 6)

t

величины U, R - не зависят от входного воздействия и могут быть численно рассчитаны Здесь величина g(t) , берется в момент прихода сигнала Отметим, что скорость приближения R к пределу •

|Л(г)-Д.|<СехрН/Г)

параметр Т описывает время релаксации, соответствующее демпфированию. Если входящий сигнал имеет характерное время изменения ТШр, то тогда условие применимости метода имеет вид:

Второй случай, когда можно построить физически реализуемый регулятор, это случай, когда g(t) быстро осциллирует Для решения задачи использовались известные математические результаты, полученные для осциллирующих интегралов и метод стационарной фазы. Окончательный вид решения следующий'

щ*-и\т)тъех^)) (2.7)

Чтобы вычислить эту величину, необходимо выразить S" через g(t). Таким образом, алгоритм решения задачи следующий. Разлагаем g (t) в амплитуду ср и фазу S : g(t)=p(/)cos AS = <p(t)g , где |g| S1 • Управление имеет вид'

u(t) = r'(t)X + p{t) (2.8)

Р = -QiB'S 1 _ s2

S s -U'R(t)—é-<p(j) g = pcoS/ÎS g

г(0=-(л(05)е;'

Полученные в этой главе приближенные решения представляют собой, по сути, пропорциональные регуляторы с коэффициентом пропорциональности, зависящим от времени в соответствии с зависимостью типа (2.6)или (2.8) Основным преимуществом данного подхода является отсутствие зависимости от знания будущего значения приходящего сигнала В этом случае достаточно один раз определить коэффициент пропорциональности путем вычисления необходимых подынтегральных функций и решения уравнения Риккати для заданных параметров системы. Отметим, что математическая постановка задачи об управлении высокочастотными вибрациями элементов измерительных устройств с целью их подавления или создания при внешнем воздействии, дается системой уравнений (2.2)-(2.4), где величина g(t) может быть рассмотрена, как внешнее воздействие Поэтому найденный регулятор может быть использован для управления динамической системой, если она допускает математическое моделирование с помощью уравнений (2.2-2.4).В частности, к таким задачам относятся задачи об измерениях высокочастотной вибрации элементов конструкций с использованием интерференционных методов, а также о подавлении вибраций элементов машин, фото и видео камер в процессе их эксплуатации.

Далее в главе дан алгоритм решения задачи о построении значений прогиба во всей пластине-зеркале по данным, измеряемым в конечном числе точек Пусть известны значения входного поля W(x,y,t) только в TO4Kax(jct,j>t).

Имеется m таких точек. Необходимо оценить коэффициенты Xj в разложении:

j

где у/- используемый ортогональный базис. При решении задачи фиксируется время t .поскольку t входит только как параметр Минимизируем выражение'

min (2.10).

где - данные значения прогиба. Далее используется стандартный метод наименьших квадратов. Полученный таким способом алгоритм дает возможность определить с заданной погрешностью прогибы во всей пластине. Таким образом, полученные в главе решения позволяют построить следующую схему системы управления деформируемым зеркалом:

Рис.1

На этой схеме задача блока измерения БИ- текущие координаты вектора X, а Наблюдателя восстановить недостающие данные о X Вычислитель коэффициента К(0 - синтезируется на основе предположения о возможной динамике фронта волны ( медленное или быстро осциллирующее во времени изменение). ДЗ - деформируемое зеркало, БП- блок произведения, С-сенсор волнового фронта, Р-регулятор, ЦАП- преобразователь цифрового сигнала в аналоговый.

В третьей главе приводится алгоритм решения задачи об определении оптимального начального положения пластины для ее последующего перевода в требуемое для исправления возникших искажений фронта положение Пусть время перевода телескопа из состояния с прогибом ¡У0(х,у,() в состояние с прогибом У/(х,у,I) есть т(И/а,И/) Можно ожидать, что это время пропорционально интегральной характеристике отклонения №(х,у,1) от №0(х,у,1) Таким образом, приходим к задаче минимизации времени: ищем состояние пластины Ц,0 такое, что т(\¥а,\У) -> тш

Предполагается, что вероятность иметь сигнал IV на входе есть ). Тогда получаем для нахождения неизвестной

величины IV,) следующее условие:

I г(И/0, -> шш (3 1)

(С

Интеграл в (3 1) - функциональный, по всем полям IV, но тем не менее его возможно заменить конечномерным, если рассмотреть только конечномерные аппроксимации вида.

W =fjXjV](x,у) j-1

здесь Vj - полиномы Цернике.

Далее рассмотрен случай, когда потенциально возможен приход различных типов сигналов, каждый из которых характеризуется распределением q,(W), 1 = 12,.....т.

Необходимо , чтобы форма пластины была такой, чтобы за минимально возможное время перейти в желаемое положение, какой бы сигнал не поступил Такая задача была рассмотрена автором совместно с Вакуленко С А в [2,3] в связи с оптимальным управлением распределенными сетями (в частности, нейронными) при угрозе уничтожения сети под влиянием внеплановых воздействий Анализ стохастической устойчивости системы, подверженной внешней угрозе (воздействию) уничтожения, приводит к задаче'

max ^piu'jcjj (u)du -> min (3.2)

' и

где. cjj{u)- вероятность гибели под j-ой угрозой в состоянии u ; р{и)-

неизвестная плотность вероятности. Для пластины имеем задачу

maxJr(^0 ,W)qJ(W)p(W,1)dW min (3 3)

1 н

где t(Wq,W) - время перехода из состояния W0 в W , Н - фазовое пространство,qt(W)-вероятность иметь состояние W на входе при j - ом типе входного воздействия; p(W) - неизвестная функция, плотность начальных состояний W0, на аттракторе динамической системы, соответствующей пластине Задачи (3.2) и (3 3) - аналогичные задачи минимаксного типа На основе результатов[3] показано, что может оказаться выгодным реализовать стохастический или осциллирующий режим функционирования пластины, чтобы потом ее за минимально возможное время перевести в желаемое положение,. В работе [3] рассмотрена динамическая система, находящаяся под внешним случайным воздействием. Пусть состояние системы есть и е Н, где Н -фазовое пространство Считается, что система "выживает " (помехоустойчива, не разрушается, устойчива), если и остается в некоторой фиксированной области П сг Н Выдвинута и обоснована идея о том, что система с хаотическим поведением под действием случайного шума может быть устойчивее, чем с простым поведением во времени. Этот результат позволяет сделать рекомендацию о том, что при использовании пластины-зеркала, она может быть закреплена, например, на пьезоэлемент, который в свою очередь, может иметь высокочастотную вибрацию Вибрирующая пластина будет представлять собой низко-частотный фильтр для турбулентных атмосферных возмущений волнового фронта падающей волны, что улучшит требуемую коррекцию фронта

В четвертой главе разработана методика управления деформируемым зеркалом при наличии внешнего случайного сигнала. При этом рассмотрен случай, когда коррекция положения пластины осуществляется с целью исправления искажений

первой производной от формы фронта падающей волны. Разработан алгоритм выработки команды для управления толкателями. Так как число толкателей ограничено, то коррекция возможна лишь с определенной ошибкой. Найдены соотношения между статической ошибкой измерения профиля наклона и сигналом обратной связи. Любой временной разрыв между измерением и коррекцией волнового фронта вызывает динамическую ошибку. Поэтому, применяя следующую команду к толкателю, необходимо компенсировать влияние динамической ошибки. Это может быть сделано в случае, если заранее предсказать положение фронта в момент времени, когда будет проводиться корректировка Для оценки будущего положения фронта вводится затухающий фактор в его текущее значение. В управляющую систему этот фактор может быть введен как временной интегратор или фильтр низких частот Была найдена оптимальная команда а(1), для толкателя, минимизирующая Е[<У - На, ф - На))] ,где ф -наблюдаемое измерение сенсором наклона фронта Для иллюстрации изложенных выше подходов было использовано компьютерное моделирование Был использован метод Монте Карло для задачи небольшой размерности Алгоритмы оценивания величины фи) сравнивались с

оригинальной выборкой <¿(7) и результаты этого сравнения предсказывают распределение вполне удовлетворительно.

В пятой главе рассматриваются примеры нахождения параметров предложенных в работе регуляторов. В начале главы более детально рассмотрен частный случай решенной задачи, - стационарный. Предложены схемы контура обратной связи, применительно к управлению деформируемым зеркалом

Найдена связь между коэффициентами мод волны и пластины Разработан алгоритм компенсации ошибки с учетом возможных источников динамических возмущений в контуре обратной связи деформируемой пластины зеркала. Разработан компенсационный алгоритм для коэффициентов мод приходящей волны Основа синтеза структуры компенсации состоит в настройке влияния эффективного возмущения а на коэффициенты мод. Далее в главе рассмотрен случай, учитывающий динамику пластины Рассмотрена модель с 7 толкателями. В уравнения движения системы были подставлены параметры, взятые из открытой печати (зеркало из Ливерморской лаборатории в США) и проведен расчет Уравнения движения были запрограммированы на МаЙаЬ для получения логарифмических амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ) системы. Вид этих кривых приведен на рис 2 и рис.3.

Рис.2 и Рис.3

Параметры зеркала, использованные при расчетах приведены в приложении 1 к диссертации. Каждый из толкателей имеет одинаковые параметры. При этом число мод в разложении прогиба пластины было выбрано в результате численного эксперимента равным 8. На рис 4 показаны: семейство ЛАЧХ для системы со многими входами и многими выходами системы для случая 7 толкателей при использовании описанной в открытой литературе системы управления. При уменьшении отношения жесткости пластины к жесткости толкателя возникает взаимное влияние толкателей друг на друга. На рисунке это соответствует расплыванию картинки для нижних графиков

Далее была исследована робастность системы, с предложенным во второй главе регулятором, по отношению к таким ее параметрам, как коэффициент демпфирования и масса пластины Были проведены расчеты величин, входящих в выражение для полученного решения для случая, когда внешний сигнал изменяется медленнее, чем процессы демпфирования в самой системе При исследовании робастности системы коэффициент демпфирования уменьшался в два раза, а масса пластины увеличивалась в два раза На рис 5 приведена функция чувствительности по выходу системы управления с предложенным регулятором Как видно из рис 5, при больших возмущениях они могут усиливаться до 5 дб В то же время, система управления, использующаяся для рассматриваемой пластины, входящей в состав адаптивного зеркала, взятого из открытой печати в настоящее время, усиливает возмущения до 8 дб. На рис.6 показана переходная функция системы с предложенным в диссертации регулятором, когда сигнал, типа ступеньки, действовал в центральном толкателе. Как видно из рис. 6, влияние выходных каналов друг на друга отсутствует для этого случая

о рао с Рис.5

ССУ

Рис.6

Необходимо отметить, что, как показало сравнение, регулятор, предложенный в диссертации, быстрее выводит систему на режим, и имеет меньшее время регулирования, и меньшее перерегулирование, по сравнению с используемым в

настоящее время Усилия, необходимые для воздействия со стороны толкателей на поверхность для используемой в настоящее время системы и предлагаемой в диссертации примерно одинаковы. Сравнение характеристик систем в частотном диапазоне показывает, что по отношению к возмущениям предложенный регулятор имеет преимущество Необходимо отметить также, что предлагаемая система управления устойчива.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1.В результате проведенного исследования были найдены новые асимптотические решения задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для

-случая внешнего сигнала, который изменяется медленнее, чем первые периоды колебаний системы с учетом демпфирования ,

-случая быстро осциллирующего внешнего сигнала

Найденные регуляторы для управления положением поверхности пластины-деформируемого зеркала, могут быть использованы для коррекции искажений волнового фронта. Полученные решения можно также использовать для синтеза регуляторов при управлении высокочастотными вибрациями тонкостенных элементов измерительных устройств и других конструкций, имеющих в своем составе элементы в виде пластин.

2.Полученные регуляторы обладают следующими преимуществами'

-Управление происходит в режиме реального времени в виде замкнутой обратной связи.

-Раз вычисленные значения для подынтегральных выражений-матриц, входящих в решение задачи в виде обратной связи, остаются одними и теми же для рассчитываемой пластины-зеркала. Это делает возможным использование регулятора при внешних заранее неизвестных сигналах того типа, для которых они были найдены.

3 В реальных условиях, когда сигнал заранее не известен, оптимальным начальным положением пластины является не статическое, а динамическое периодическое или хаотическое по времени

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИСЕРТАЦИИ

1С А Вакуленко, А А Абрамян, Асимптотические решения задачи оптимального управления пластиной при внешнем воздействии Диф уравнения и процессы управления. СПГПУ, 2006,N 1, стр.3-15.

2. S.A.Vakulenko, A.A.Abramian, Stability of diffusively coupled networks and technical systems, Диф.уравнения и процессы управления. СПГПУ, 2006,N 2, стр.. 15-26.

3. S A.Vakuleriko, A.A.Abramian, Stability of Networks under random noise, Proceedings of DD05,pp 61-73,St.Petersburg, POMI Steklova.2005

4 A.AAbramian, Optimization of elastic plate surface under external exitation, Proceedings of 43 European seminar of Ph D students "Control theory and application- Mathematics with industry", pp 23-31,2004, TUDelft, Netherlands

Подписано в печать 16.03.2006

Тираж 100 экз. 199178, Санкт-Петербург, В.0,61

Заказ 17

ИПМАШРАН

¿ocfcA 6 7 6 4 67GA

Введение.

ГЛАВА 1. Математическая модель объекта управления и постановка задачи оптимального управления.

1.1 .Выбор механической и математических моделей объекта управления.

1.2.Учет симметрии пластины. Схема Бубнова - Галеркина.

ГЛАВА 2.3адача об оптимальном управлении линейной пластиной при наличии внешнего воздействия и отсутствии шума.

2.1.Общая постановка задачи.

2.2.Асимптотически точные решения. Аналитическое конструирование оптимального по точности регулятора.

2.3.0ценка поступающего сигнала по показаниям конечного числа датчиков.

ГЛАВА 3. Пластина деформируемого зеркала в ждущем режиме.

3.1 .Постановка задачи.

3.2.Аналогия между задачами управления системой, находящейся под угрозой и управлением пластиной, принимающей неизвестный заранее сигнал.

3.3.Устойчивость сетей под действием случайного шума.

3.4.Стохастическая устойчивость сетей (систем).

3.5.Устойчивость при действии шума типа скачка.

Глава 4.Управление упругой пластиной при наличии внешнего случайного воздействия.

4.1 .Постановка задачи.

4.2. Минимальная оценка.

4.3. Управление толкателями.

ГЛАВА 5.Примеры аналитического конструирования регулятора для управления пластиной.

5.1. Аналитическое конструирование регулятора для управления деформируемым зеркалом: стационарный случай.

5.1.1 .Схема контура обратной связи пластины-зеркала.

5.1.2. Преобразование сигнала в команды для толкателей.

5.1.3. Алгоритм компенсации.

5.1.4 Структура компенсатора.

5.2.Управление пластиной деформируемым зеркалом: динамический случай.

Создание новой техники требует разработки адекватных методов для ее управления. Объектами управления (ОУ) могут быть живые организмы, коллективы людей, научно-производственные предприятия, производственные процессы, отдельные станки, машины и т.п.

В зависимости от типа объекта управления и задачи управления могут быть самыми различными: от самых простых систем регулирования, поддерживающих неизменной какой-либо параметр объекта управления, например скорость полета самолета, до сложных, содержащих десятки управляющих вычислительных машин (УВМ), решающих задачи оптимального управления множеством процессов, например при создании образцов новой техники в научно-производственном предприятии.

При синтезе систем управления прежде всего возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или ином смысле или оптимального управления объектом или процессом. Речь может идти, например, об оптимальности в смысле быстродействия, т.е. достижении цели за кратчайшее время или, например о достижении цели с минимальной ошибкой и т. д.

В настоящее время, в связи с бурным развитием средств вычислительной техники, наиболее различные вычислительные методы оптимизации, например методы динамического программирования, генетические алгоритмы, методы основанные на теории нейронных сетей. Методы оптимальной теории управления опираются на знание математической модели объекта и входящих в эту модель параметров. Оптимальный закон управления обычно существенно зависит от параметров задачи.

Для решения задач оптимизации в 60-е годы Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко был предложен новый подход - знаменитый принцип максимума Понтрягина. Это положило начало современной теории оптимального управления. Применяя принцип максимума, удалось решить много новых оптимизационных задач. Дальнейшее развитие теория получила в трудах:

В.М.Алексеева,Р.К.Габасова,А.Я.Дубовикого,В.И.Зубова,В.Ф.Демьянова, Н.Н.Красовского,В.Ф.К.ротова, Ф.М.Кирилловой, А.МЛетова, К.А.Лурье, Н.Н.Моисеева,А.С.Матвеевым,В.И.Плотникова,Б.Н;Пшеничного,Л.И.Рознера, Т.К.Сиразетдинова, В.М.Тихомирова, А.Ф.Филиппова, Г.Л.Харатишвили, Ф.Р.Черноусько,В.А.Якубовича,А.Л.Фрадкова,Р.Белмана,Р.Калмана,И.Д.Берков ича,Дж.Варги,Л.Нейштадта,Е.Ли,Ж.Лионса,Л.Чезаре,Е.Полака,Л.Янга и др. Абстрактная теория управления была разработана В.А.Якубовичем [1-4 ] и развита А.С.Матвеевым в работах [5,6 ]. В этой теории условие оптимальности выведено для задач весьма общего вида, сформулированных на языке функционального анализа. Использование абстрактной теории, как пишут ее авторы " целесообразно потому, что в настоящее время , по-видимому, не существует единой "хорошей" системы уравнений, которая описывала бы большую часть встречающихся в приложениях математических моделей конкретных систем, и вряд ли такая единая конкретная система уравнений вообще возможна".

Применение теории оптимального для решения задач оптимизации управления распределенными системами рассматривалось в работах [7,8,9 ]. Теория построения асимптотических решений оптимального управления явилась содержанием монографии Л.Д. Акуленко [10].

Последние 15 лет в технике стали использовать технические устройства, которые обладают способностью изменять поверхность своих элементов. Управление поверхностью упругих конструкций дает возможность коррекции аберраций изображений зеркал и телескопов, улучшать аэродинамические и гидродинамические качества поверхностей подъемных элементов, а также улучшать точность наведения в оптико-лазерных системах, антеннах и больших рефлекторах. Большинство таких устройств для изменения поверхности используют пьезоэлектрические ( или электрострикционные) актуаторы ( толкатели). В том случае, когда необходимо проводить коррекций с небольшой скоростью реакции актуаторов используются гидравлические и работающие на сжатом воздухе устройства этого типа. Зачастую актуаторы встроены в сами конструкции, поверхности которых подлежат управлению. Управление поверхностью в тонких конструкциях может быть достигнуто путем прикладывания одновременно растягивающих и сжимающих сил в различных точках поверхности, имеющей единственный элемент или набор актуаторов, которые создают изгиб.

Параметры изгиба и его величина зависит от размеров конструкции механических , физических параметров материала, из которого она сделана-например, модуля Юнга, жесткости, мест приложения толкателей и величины прикладываемых усилий. Одним из устройств с изменяемой поверхностью является деформируемое зеркало. Такие зеркала используются в лазерах для получения переменного наведения, возбуждения на определенной частоте колебаний, оптического переключения и коррекции изменений кривизны зеркал, возникающих из-за собственного веса от ветровых и тепловых воздействий. Также подобные зеркала используются в больших телескопах для коррекции атмосферных аберраций волнового фронта и для получения изображений в зеркалах заднего вида в автомобилях .В аэрокосмической промышленности использование управления поверхностью может и находит свое применение для управления поверхностью крыльев, лопаток роторов вертолетов, пропеллеров и стабилизаторов ракет. Возможность управления формой крыльев сделает возможным снижение силы аэродинамического сопротивления, увеличит скорость и снизит расход топлива летательным аппаратом. Необходимо отметить, что необходимость управления поверхностью протяженных космических конструкций вызвана их малой жесткостью, гибкостью и легкостью. Так как в космосе сила тяжести незначительна и отсутствует аэродинамическое сопротивление, а конструкции подвержены значительным перепадам температур, то такие операции как стыковки элементов космических аппаратов становятся весьма сложными без возможности коррекции их формы. Протяженные космические конструкции представляют собой соединение таких элементов как стержни и пластины. Упругие деформации в таких элементах могут быть минимизированы с использованием управления жесткостями таких конструкций. Поведение многих элементов многих вышеупомянутых конструкций может быть смоделировано как поведение пластин. Поэтому вопрос об оптимальном управлении поверхностью пластин является актуальной задачей. Вопросы, связанные с управлением поверхностью интенсивно изучались на протяжении последних 20 лет многими исследователями, среди которых Кридон Дж. , Апполонов В.В., Харди Дж., Миерович Л., Тайсон Р., Ляхов Д.М. ,Сафонов М.Г., ШехтерД. В работе последнего [11 ] была рассмотрена проблема оптимального локального управления поверхностью упругой структуры для стационарного случая и получены выражения для сил, требуемых для создания необходимой поверхности, однако, вопросы устойчивости не были рассмотрены. Винсент Т. рассмотрел в [12 ] проблему управления пластиной с целью представления поведения упругой пластины как твердого тела. Ляхов Д.М. и Шанин О.И., в [13] решали задачу об оптимизации поверхности круглой пластины для стационарного случая внешнего воздействия. Шишаков К.В. и Шмальгаузен В .И. исследовали проблему оптимального управления поверхностью пластины в одноконтурной системе с обратной связью [14].В диссертационной работе рассматривалась задача аналитического конструирования оптимального регулятора для управления упругими элементами конструкций, используемых в оптических приборах при действии на них сосредоточенных внешних воздействий. Получение асимптотически точных решений задачи оптимального управления для упругих структур типа пластин может быть крайне полезно, даже если техническая реализация полученных регуляторов будет затруднена. Полученные решения позволят найти физически реализуемые регуляторы, на которые, в зависимости от конкретного технического исполнения, можно будет использовать в системе управления.

Цель и задачи работы.

Главной задачей работы является является аналитическое конструирование оптимального по точности регулятора для управления положением поверхности пластины- деформируемого зеркала, входящего в состав оптической системы телескопа, при действии на нее внешних воздействий, с целью максимально точного воспроизведения желаемого прогибач/(х,у,() зависящего от времени.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: -разработка регулятора оптимального управления упругой пластиной при внешнем воздействии, изменяющемся более медленно, чем внутренние процессы диссипации и демпфирования в ней;

-разработка регулятора оптимального управления пластиной при высокочастотном внешнем воздействии и отсутствии шума; -о построении значений прогиба во всей пластине по данным, измеряемым в конечном числе точек; -качественного исследования режима оптимального начального положения пластины для ее последующего перевода в желаемое для исправления возникших искажений фронта положение, за минимальное время; -синтез контура обратной связи системы управления деформируемой пластиной-зеркалом;

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованных источников и приложения.

Заключение.

В результате проведенного исследования были найдены аналитические асимптотические решения задачи об оптимальном управлении для:

-случая внешнего воздействия, которое изменяется медленнее, чем демпфируются процессы внутри системы;

-случая быстро осциллирующего внешнего воздействия.

Полученные решения позволили предложить регуляторы, которые обладают следующими преимуществами перед другими возможными, но приближенными решениями поставленной задачи.

1) Управление происходит в виде замкнутой обратной связи.

2) Заранее вычисленные значения для подынтегральных выражений-матриц, входящих в решение задачи в виде обратной связи , остаются одними и теми же для рассчитываемой пластины. Это делает возможным заранее просчитать возможные варианты для случая неизвестного заранее внешнего воздействия.

3) Единственные временные затраты - затраты на вычисление переменного коэффициента пропорциональности для регулятора.

4) Регулятор, предложенный для коррекции искажений волнового фронта, позволил уменьшить резонансные пики на 20 дб , повысить коэффициент усиления на 20 дб , частота среза сдвинута на декаду в сторону высоких частот, что расширило полосу пропускания системы в 10 раз, ошибка воспроизведения фронта уменьшилась в 1.5 раза.

5) Система управления обладает робастностью при изменении внешних воздействий и параметров объекта управления.

В случае нескольких стохастических сигналов, воздействующих на упругую пластину существует математическая аналогия с задачей на выживание сетевой системы при действии на нее стохастического шума. Решение последней проблемы приводит к выводу, что оптимальным начальным положением пластины для перевода ее за минимальное время при действии на нее нескольких выбранных случайно из некоторой совокупности сигналов является, не статическое, а динамическое: периодическое или хаотическое, вообще говоря, по времени.

Этот результат позволяет сделать рекомендацию о том, что при использовании в качестве деформируемой пластины-зеркала, оно может быть наклеено, например, на пьезоэлемент, который в свою очередь может иметь высокочастотную вибрацию. Вибрирующая пластина будет представлять собой низко частотный фильтр для турбулентных атмосферных возмущений волнового фронта, что улучшит требуемую коррекцию фронта.

1. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления 1,Сибирский мат.журн. 1977.т18,3.

2. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления2,Сибирский мат.журн. 1978.т19,2.

3. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления 1,Сибирский мат.журн. 1979.т20,4.

4. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управленияЗ,Сибирский мат.журн. 1979.т20,5.

5. Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. Спб., Издательство СпГУ, 1994.

6. Матвеев A.C., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. Спб., Издательство СпГУ, 2003.

7. Красовский H.H. Теория управления движением. М.Наука. 1968.

8. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.Наука. 1973

9. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.Наука. 1987.

10. Ю.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.; Наука Л 984.1 l.Schaechter D.B., 1981, Optimal local control of Flexible Structures,Journas of Guidance and Control,Vol.4.,N l,Jan-Feb., pp. 22-26.

11. Vincent T.L. et. all.,Controlling a flexible plate to Mimic a rigid one, Control and Dynamic systems,Vol. 35., pp. 87-135.1990.

12. З.Ляхов Д.М., Шанин О.И., Оптимизация управления поверхностью оптических круглых пластин.ЖОТ, т.61 , N7, стр.522-525.1994.

13. М.Шишаков К.В. Шмальгаузен В.И.,Оптимизация управления поверхностью в системах с обратной связью., Автоматизация и телемеханика, N 53, стр.1866- 1871.

14. Steven W.Schlosser,J.L.Griffin,D.F.Nagle,G.R.Ganger. Desingning Computer systems with MEMS-based Storage. In ASPLOS 2000, Nov. 13- 15,2000.

15. Морозов Н.Ф.О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения, ДАН СССР , 176: 3(1967), 522-525.

16. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.Мир 1972.

17. В.А.Бондарко,А.Л.Фрадков , Необходимые и достаточные условия пассифицируемости линейных распределенных систем. Автоматика и телемеханика. М.Наука. N 4. 2003, стр.3-17.

18. Борн М.,Вольф Э., Основы оптики, Москва,Наука, 1970.

19. Дэвис М.Х.А. Линейное оцениваний и стохастическое управление. М.Наука, 1984.

20. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды.М.Наука,1987.

21. Arnold Т.А., Bliss Е . et. all " Design overview of a large aperture Deformable mirror for the National Ignition Facility" ASPE Annual Meeting, St.Louis, Missouri, 1998.

22. R.N.Paschal, D.J.Anderson" Linear quadratic gaussian control of a deformable mirror adaptive optics system with time-delayed measurements", Applied Optics 2000, 32(31), pp.6347-48.

23. A. Vakulenko, A. A. Abramian Stability of Networks under Random Noise, Proc .DD05 , pp.71-79 .

24. Ж-Л. Обэн, И Экланд, Прикладной нелинейный анализ.М.Мир. 1988.

25. М. Gromov and A. Carbone,Mathematical slices of molecular biology, Preprint IHES/M/01/03, 2001.

26. S. Vakulenko, D. Grigoriev, S. Vakulenko, D. Grigoriev,Evolution in Random

27. Environment and Structural Stability, Zapiski nauchnich seminarov POMI, vol. 325, (2005).

28. R. Albert and A. L. BarabVasi,Statistical mechanics of complex networks, Rev. Modern Physics, ( 74), (2002), 47-97.

29. A. L. Lehninger, D. L. Nelson and M. M. Cox, Principles of Biochemistry, 2nd. ed. (Worth, New York, 1993.

30. E. Mjolness,D. H. Sharp and J. Reinitz, A connectionist Model of Development, J. Theor. Biol., (1991) 429-453

31. J. Reinitz and D. H. Sharp, Mechanism of formation of eve stripes Mechanisms of Development, (1995) 133-158.

32. P. Smolen, D. Baxter,. H. Byrne, Mathematical modelling of gene networks, Review in Neuron, (25), (2000) 247-292.

33. S. A. Vakulenko,Dissipative systems generatingany structurally stable chaos,Advances in Diff. Equations,(2000), 1139-1178.36 . J. P. Aubin, L'analyse non linVeaire et ses motivations'economiques, Masson, Paris, 1984.

34. A. D. Ventsel and M. I. Freidlin, Random Perturbations of Dynamic Systems (Springer, New York, 1984).

35. А.Е.Городецкий, И.Л.Тарасова, Ю.Н.Артеменко Интерференционно-Кодовые преобразования. Спб.Наука.2005.

36. Острей К. Введение в стохастическую теорию управления., М., Мир , 1973.40 . S. Karlin, A first course in stochastic processes, Academic Press, New York London 1968.

37. J.L.Melsa and D.L. Cohn, Decision and Estimation Theory, McGraw-Hill, NewYork,1978.

38. D.G.Luenberger, Optimization by Vector space Methods, Willey&Sons,New York, 1968.

39. J. Hardy, Adaptive optics for Astronomical Telescopes, Oxford University Press, 1998.