автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез регуляторов систем управления на основе минимизации функционала невязки

АНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.И.УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА НЕВЯЗКИ

Специальность: 05.13.01 - управление в технических системах.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

Абделелах Кидхер Махмоод

Санкт-Петербург - 199;?

Работа выполнена в Санкт-Петербургском ордена Ленина и о дена Октябрьской Революции электротехническом'институте имен В.И.Ульянова (Ленина).

Научный руководитель -кандидат технических наук с.н.с. Раженков Е.Т.

Официальные оппоненты: доктор технических наук профессор Зарицкий B.C. кандидат технических наук доцент Богатырев М.Ю.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский институт точно механики и оптики

Защита состоится "2Z " Й1992 г. в 10.часов н заседании специализированного совета К 063.36.03 Санкт-Петер бургского ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции элект технического института имени В.И.Ульянова (Ленина) по адресу 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Автореферат разослан "21 " — t О 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Кутузов 0.И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Среди большого многообразия проблем еории управления, несмотря на значительное число существующих етодов, проблема синтеза регуляторов остается в центра внима-ия исследований. Подтверждением этого обстоятельства является аличие большого числа публикаций по вопросам, связанным с син-езом управляющих устройств.

В процессе управления некоторыми объектами необходимо за-;ать переходные процессы замкнутой системы. Эта заданная динамка обусловлена необходимостью разработки наиболее эффективных [етодов синтеза оптимального регулятора, обеспечивающего желае-ые переходные процессы (эталон).

Синтез регуляторов систем автоматического управления с ис~ юльзованием метода аналитического конструирования регуляторов АКР), обеспечивающих заданные динамические и статические свой-:тва замкнутой системы для достаточно общего случая описания (бъекта управления (ОУ), остается до конца нерешенной. Наибо-!ее простую ситуацию можно иллюстрировать на примере выбора юсовых коэффициентов функционала качества в задаче аналитического конструирования регуляторов при квадратичном критерии ка-гества. Если не иметь в виду некоторые достаточно известные гастные случаи, связь между коэффициентом функционала качества I характером переходного процесса вплоть до последнего времени >ставалась, казалось бы, неразрешимой проблемой. Кроме этого летод АКР основан на решении матричного уравнения Риккати, которое имеет вычислительные сложности. Поэтому необходимо найти зпособ вычисления коэффициентов функционала качества и избе-кать вычислительные сложности уравнения Риккати.

В работе синтез регуляторов осуществляется на основании минимизации функционала невязки. Метод разработан под руководством Раженкова Е.Т. с участием Лаврова Н.А.

Цель работа. Целью диссертационной работы является разработка способов синтеза регуляторов систем автоматического управления на основе минигазации функционала невязки между исходной динамикой объекта и желаемой динвуячой замкнуто»! ситемы (эталон).

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе применяются методы устойчивости Ляпунова, АКР, матричной алгебры, дифференциальные уравнения, а также численного модели рования на ЭВМ.

Новые научные результаты. В процессе решения поставленных задач получены следующие основные результаты:

1. Разработан асимптотический метод достижения эталонной динамики через выбор особого параметра в функционале качества в задаче АКР.

2. Разработаны конкретные формулы вычисления весовых коэффициентов функционала качества в задаче АКР, в результате переходный процесс приобретает вид эталона.

3. Разработаны алгебраические процедуры определения параметров регулятора, не требующие решения уравнения Риккати.

Практическая ценность результатов работы состоит в следующем.

На основе минимизации квадрата функционала от невязки предложены новые процедуры в задаче АКР во временной области, которые обеспечивают желаемый переходный процесс для одномерного и многомерного объекта управления.

Алгебраические процедур! определения параметров регулятора, не требующие АКР в классе уравнения Риккати, причем решающ ся линейные уравнения и число неизвестных меньше, чем число неизвестных в уравнении Риккати.

Реализация работы. Результаты работы применены при синтезе регулятора двухсекционного зеркала, который стабилизирует форму поверхности.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались н» всесоюзной конференции в Ашхабаде 4-0 октября 1990 г. "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление".

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертации опубликовано в 2 печатных работах.

Структура и объем работл. Диссертация состоит из введения '.;етнррх глав с выводами, заключения, списка литературы, включа-таегэ 95 нгимэнованиЯ. Основная часть работы изложена на 106 ст'Л'-.чи-ах магглнэпнснэро теггта. Работа содержит 13 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ'

Во введении обоснована актуальность темы и сформулированы ;ель и задача исследования, а также приводится краткое изложе-ие работы по главам.

В первой главе предложены модели линейных систем. Одна из их описывает объект управления (ОУ) в виде систем стационарных инейных дифференциальных уравнений в форме вход-выход. Вторая юдель связана с описанием поведения системы в абстрактном ли-ейном пространстве состояний. Для каждой модели ОУ существует годель регулятора.

В общем случае синтез регулятора обеспечивает следующие войства замкнутой системы:

а) стабилизация системы;

б) минимизация (подавление) возмущений в переходных режи-

1ах;

в) реализация размещения собственных чисел в заданной об-асти или достижение желаемой динамики;

г) повышения грубости системы.

В обзоре даются существующие современные методы синтеза югулятора с заданными динамическими характеристиками. Кроме >того изучены разные способы синтеза регулятора на основе ана-[итического конструирования регулятора (АКР).

При АКР систем управления большое внимание уделяется понижению желаемых динамических характеристик системы (время ¡ереходного процесса, величина перерегулирования и т.п.). Раэ-1ые публикации по проблеме АКР изучали выбор квадратичных ¡ункционалов качества и синтез регуляторов, обеспечивающих понижение желаемых характеристик переходных процессов.

Существующие работы по методам синтеза линейных систем штоматического регулирования САР позволяют сделать следующие шводы.

I. Методы синтеза САР рассматриваемого класса систем, как фавило, направлены на нахождение обратной связи, такой, чтобы з замкнутой системе обеспечивалось бы заданное место или об-тасть расположения полюсов, причем в методах АКР рпшсрноэ расположение полюсов не всегда гар^нтирова-ю.

2. При синтезе регулятора многомерных систем, используя АКР, до сих пор нет конкретной процедуры для выбора весовых коэффициентов, обеспечивающих заданные динамические свойства замкнутой системы. Обычно для достижения желаемых переходных процессов весовые коэффициенты выбираются методом проб и ошибок.

Из вышеизложенного следует необходимость создания методов синтеза систем, соединяющих в себе все достоинство методов АКР, но в то не время лишенных главного недостатка АКР - сложности (иногда неопределенности) выбора параметров коэффициентов функционала качества, как функции желательных характеристик переходных процессов синтезируемой системы управления. Решению такой задачи посвящены последующие главы диссертации.

Во второй главе рассматривается одномерный объект управления (ОУ) в форме вход-выход, описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением

7со;у с-о = Рсо;> или, (I)

где - управляемая переменная, - управление,

Ь - время ( ■££ Со < оо) ), 0= "мГ" ~ символ производно! и

____+2.,

Р С£>;>::{т [Г ./т-10"— .

- дифференциальные операторы соответственно порядков У» и т ( 1Г1^.П )• Предполагается, что ОУ полностью управляем и наблюдаем.

Наряду с уравнением (I) зададим эталонное дифференциальное уравнение с постоянными параметрами

э э

ъсс»ка)=о У -ьсо,оо>, (2)

-У, ~. ^

где = D + Zn*-fD Л .

- устойчивый оператор порядка »лз, т.е. оператор, собственные числа которого лежат в левой полуплоскости. Движение будем называть эталонным движением (переходный процесс), а оператор - эталонным оператором.

В случае,' когда Пэ = И синтезируется регулятор для ОУ в

виде

PC[»uC£jsRCD)xa), (3)

где

И rrt-'

PCD) = D+/°^-i D +.—4-А ,

л А \ ,.1*1 --г

RCO)-къ-i D +.—+KS ,

такой, что замкнутая система (I), (3) при выполнении условий совпадения начальных данных с эталоном (2) ^оо^оо ,

DxCo5=Dx Cö?____D XCcO=D А С») является

устойчивой и обладает движениями , возможно близкими

к движениям У. Ci)

Невязка определяется в виде

1С D,X, u Ci)) 2aCD; -ZCD)3 X Cl)+ PCO)UCO • (4)

Задача синтеза регулятора заключается в.том, чтобы минимизировать невязки или квадратичный функционал в виде

О^/^СО.Х.ЮЛ • . (5)

В этом случае задача построения управления О- =. ЛГ формально сводится к задаче аналитического конструирования регулято^юв (АКР).

Чтобы избежать проблемы, связанной с стсуютвьем у ф;/як:ши

в общем случае положительной определенности и исключить из рассмотрения неограниченные по амплитуде управления, целесообразно вместе с (5) ввести функционал

з=УС^со,х.ю .лЧша3Д,

(6)

где ^ - весовая константа.

На основе представления ОУ в форме пространства состояния в вице

где вектор матрица Л , ¿»

/ГО п-ут

(7)

А=

'(ш

п-1

где Е. К-1 - единичная матрица размера к.хк С к» ,

® - нулевые матрицы, ф - нулевые столбцы и строки,

"21 гзС-^О/ ,----•

разработана асимптотическая форма синтеза регулятора, где- функционал качества (6) приведен к форме, не содержащей перекрес ных членов видаХ'(\Э ( ' = I, 2, ...,\г\ + гг\ ). функционал качества не содержит перекрестных членов потому, что.введено управление уЛ) , связанное с управлением. "О соотношением

+ , где называется пострегулятором,-

предрегулятором. Из решения уравнения Риккати находится чМ = = .

На последующем этапе определяются параметры регулятора в форме вход-выхид (3) путем выбора константы ^ , обеспечивающей заданную эталонную динамику замкнутой системы или достаточно близкую к ней в смысле нормы, индуцируемой функционалом (5).

В неасимптотической форме синтез регулятора для ОУ (I) выполняется на основе минимизации функционала от невязки..В этом случае функционал качества (5) приведен в следующую форму '

Д^иэЪД . (8)

0 КИ

Здесь так же, как в случае асимптотической формы, управление|

представляется в виде суммы предрегулятора ЧУ^мл и пострегулятора чл) с использованием представления ОУ в форме пространства состояния (7).

Коэффициент вычисляется по формулам как функция

параметров уравнения эталона.

пг эг.^

=С2. пл ) Л 2-п-1. ;

1-\г-з.= С2 п-ч-^-2.^.1 + 23:«-1 ;

I I

сго'л^3, .ДЙг!,

Из решения уравнения Риккати вычисляется ЧХ) = _\СА- для функционала качества (8). В окончательном шаге определяются параметры регулятора в форме вход-выход, обеспечивающего эталонну динамику замкнутой системы.

1 Оптимальная система, спроектированная на основе минимизации функционала (б) и (8), обладает

I) запасом устойчивости по фазе ^1/6 О ;

' 2)¡запасом устойчивости по амплитуде |_~7/ 2. ; 3) показателем колебательности •

В алгебраической форме для синтеза регулятора рассматрива ются объект управления в форме вход-выход (I) и регулятор в форме вход-выход (3). После очевидных преобразований получает ся уравнение замкнутой системы в следующей форме

С учетом того факта, что оператор С. Р2.-1^3.- кмеет ПРИ старшей производной единичный коэффициент, можно представить априори оператор замкнутой оптимальной системы в виде следующего разложения

где оператор РСЛ)} , с. СО) разложен в виде произведений

5 км

2ЭсЪ} =Тг СО-ЪО.

где \Л - нули ОУ в левой полуплоскости, Ч/^ - значения нулей ОУ, отраженных на левой части полуплоскости, - корн* характеристического эталонного оператора •

Приравнивал коэффициенты при одинаковых степенях прои&вог ни:: в правой и левой частях равенства (10), получаем си-

зтему у-^уу! линейных уравнений относительно неизвестных параметров регулятора р,- ( • = О, I, . ,.,т-1 ), г^ = = О, I, ..., >г\-1 ).

На осноБ1 иасщепления операторов оптимального регулятора оказывается, что можно осуществить дальнейшее упрощение процедуры синтеза оптимального регулятора и уменьшить размерность системы алгебраических уравнений <10) с_*1+кп до щ-т-"?» » где - число нулей 0У в левой полуплоскости и на мнимой оси.

Тогда оптимальный регулятор., минимизирующий функционал невязки, тлеет следующую конструкцию.

Рт^.1 —- +РоЭтг и со-

= . (И)

Из (II) следует сделать вывод, что для определения регулятора необходимо найти только Пй-гл-*^ коэффициентов, т.е.?*п-ч.-1,

Синтезируемый регулятор, реализующий минимальный функционал от невязки, обеспечивает в замкнутой системе (ЗС) следующее распределение собственных чисел:

- ул собственных чисел замкнутой системы совпадают с собственными числами ^ , ^^ , эталона ( 2- );

- Ъ. собственных чисел ЗС совпадают с нулями Л, ,

..., исходного 0У ( 1 ), лежащие в левой полуплоскости и на мнимой оси: 1

- ¡"^-ъ собственных чисел ЗС , чЗъ+г. , являются нулж,и 0У, отраженными в левую полуплоскость относительно мнимой оси. '

В третьей главе рассматривается обобщение схемы невязок применительно к задачам стабилизации многомерных линейных стационарных объектов управления. Как и для одномерных САР, в ^ случае задач синтеза многомерных систем автоматического регулирования (МСАР) на основе'процедуры мичимтаэции функционала невязки удается сформулировать задачи АКР, решение которых обеспечивает близость свойств синтезировантЯ ЖАР гс сэтйстгк'

системы эталона.

Объект управления, описываемый системой стационарных линейных уравнений, представляется в виде:

где Х-Ст?^....,^ , и-Си^и.1,.-..

векторы регулируемых переменных^ и управляющих переменных и

(12)

гсо)=

2мШ.-ЪгС0У 1 ! ¿нсо)—'г.ггсо)

/ Рсо>

Я. со)____со)

I I

• '

Для многомерного объекта управления (полностью управляемый и наблюдаемый) синтезируется регулятор в виде следующего уравнения:

РссО исо * Ш Со

(13)

где

Рсо>

&С0;>____Р.СО)

I

ЯиСо)___Й^с©

I I

I I

Яг.СЛЛ —

Параметры регулятора определяются на основе минимизации следующего функционала от невязки.

1= о,х , и > ЬСЪ, *,и> «М> /

где

<к-Съ= С7. Рссйи

(14)

и 7- - прямоугольная матрица эталона размера скалярных

да^еречцнзльных операторов с постоянными ко'-эффициентами.

В ^етвротоП глпье ь качестве примера рассматривается син-

тез регулятора двухсекционного зеркала. Регулятор стабилизирует форму поверхности зеркала. Зеркало как объект управления конструктивно имеет две одинаковые секции (подсистемы) по три степени свободы на каждую секцию. Подвижка секций осуществляется толкателями (приводами). Однозначное положение системы задается вектором линейных перемещений секций в точках крепления приводов, С.ХI г,___по три компонента на

каждую секцию и шестью управляющими входами и. =£ ^ , и.г , ...» .

Из схемы расположения точек приложения внешних усилий на секции двухэлементного зеркала и центра масс представлена динамика секции зеркала. Используя уравнение усилий, развиваемых приводами, записана модель системы секция-привода как объект управления в форме пространства состояний.

Синтез регуляторов систем управления является сложной задачей из-за большого числа управляемых переменных. Поэтому для решения задачи используются методы точной декомпозиции.

В результате уравнение декомпозиционной формы для секции зеркала написано в виде двух независимых подсистем второго и первого порядка;

Динамика системы секции в разомкнутом виде показывает высокую колебательность и большое перерегулирование. Для того чтобы реализовать желаемые требования, необходимо синтезировать многомерный регулятор. Регулятор секции выполнен в рамках процедуры АКР. В результате время переходного процесса в замкнутой системе составляет 0,3-0,35 сек, а перерегулирование не превышает 1%.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена методика синтеза систем автоматического регулирования во временной области на основе минимизации функционала невязки между динамикой исходного объекта и эталонной ля намикой замкнутой системы.

2. Построены процедуры'определения в^соеьи кооффицкзчтоз задаче АКР для заданного переходного процесса пзгг'луто'! сотому.

, 2J. На основе понятия минимизации невязки или некоторого функционала от невязки разработан алгоритм АКР для различных порядков модели - эталона по отношению ^ порядку объекта.

4. Разработан алгебраический метод синтеза регулятора систем управления, не требующий решения уравнения Риккати.

5. Разработанные процедуры синтеза регуляторов апробированы на примерах конкретньрс систем, включая задачу управления двухсекционны^ зеркалом телескопа.

' ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абделзлах K.M., Лавров H.A., Раженков Е.Т. Синтез оптимальных управлений на основе минимизации возмущений// Дифференциальные уравнения и оптимальное управление // Тезисы докладов всесоюзной конференции - Ашхабад: Ылым, 4-6 окт. 1990. - С. 145.

2. Абделелах K.M., Волков Е.Ф., Храбров В.Н. Методы точной декомпозиции линейной многомерной системы // Известия ЛЭТИ, Вып. 422, Л., 1990. - С. 24.

Поцп. к печ. 01.10.92. Формат 60x84 I/I6. Офсетная печать. Ноч. л.. 0,75; уч.-изд.л. 0,75. Тираж 100 экз. Зак. 1. 36Z

Ротапринт С.-Пб.ЭТИ 197375, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5