автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитические методы исследования дискретных систем управления и наблюдения

На правах рукописи

Крылова Мария Владимировна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

Авторефер

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

003492374

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Зубов Н.В.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Абрамов А.П.

Доктор физико-математических наук, профессор Бутусов О.Б.

Ведущая организация: Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана.

Защита диссертации состоится марта 2010г. в часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН.

Автореферат разослан «_» 2010 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций

к. ф.-м.н.

Мухин A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При практическом решении задач управления и наблюдения, а особенно при реализации этих решений в реальных технических системах необходим переход к исследованию дискретных аналогов рассматриваемых непрерывных моделей. Это связано с тем, что информация, поступающая на вход системы управления или наблюдения, в основном носит дискретный характер, т.к. по мере ее поступления она с определенной тактовой частотой подвергается преобразованию в цифровой код для ее хранения и дальнейшей обработки. Заметим, что в достаточно сложных реальных технических системах управляющие сигналы формируются с помощью микропроцессоров и также носят дискретный характер.

С другой стороны, если задача управления или наблюдения решена для динамической системы описываемой системой дифференциальных уравнений, т.е. это решение получено, на основе исследования непрерывной модели, то это не означает, что полученное решение непосредственно можно воплотить на практике для любой сложной технической системы. С этих позиций становится понятным, почему исследованию дискретных систем управления и наблюдения посвящено достаточно много работ.

Настоящее диссертационное исследование направлено на решение очень важной практической задачи структурной минимизации дискретных систем управления и наблюдения. Решение этой задачи заключается в поиске минимального числа входов (выходов) так, чтобы рассматриваемую открытую дискретную систему сделать полностью управляемой (наблюдаемой). Дальнейшее направление исследований заключается в построении аналитических конструкций всего множества дискретных систем управления (наблюдения) обладающих минимальной структурой и полностью решающих задачу управления (наблюдения).

Другой не менее важной задачей поставленной в данной работе является поиск критериев существования и методов построения программных управлений и движений в дискретных управляемых системах удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также решение задачи построения оптимального управления при наличии этих ограничений.

Выбранное направление исследований является крайне важным как с теоретической, так и с практической точки зрения, т.к. с одной стороны оно позволяет определить избыточность существующих дискретных систем управления (наблюдения), а с другой еще на этапе создания этих систем выбрать их оптимальную структуру, что обеспечит громадную экономию материальных ресурсов при их создании и эксплуатации.

До настоящего времени при исследовании вопросов полной управляемости или наблюдаемости использовали знаменитый критерий Калма-на, который, хотя и дает необходимые и достаточные условия управляемости и наблюдаемости в непрерывном и дискретном случае, однако оставляет в стороне такой важный вопрос как структурная минимизация этих систем, а также вопросы избыточности уже существующих систем.

Развитие современного промышленного производства невозможно без широкого использования дискретных систем управления и наблюдения, позволяющих значительно повысить его эффективность и обеспечить конкурентноспособность отечественных отраслей промышленности. В настоящее время разработка новых методов анализа дискретных систем управления и наблюдения, а также изучение динамики их функционирования обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, а также бурным развитием компьютерной техники.

Эти методы с одной стороны, позволяют еще на этапе создания дискретных систем управления и наблюдения решать вопросы их структурной оптимизации, а с другой, дают возможность более точного прогнозирования динамики функционирования этих систем, при использовании различных законов управления и тем самым определять границы их динамической безопасности.

Представленная работа посвящена развитию математических методов, позволяющих осуществлять общий и прикладной анализ дискретных систем управления и наблюдения, включающий не только структурный анализ этих систем, но и построение законов управления в этих системах, обладающих требуемыми качествами.

Качественные и аналитические методы исследования систем управления и наблюдения для динамических объектов были развиты в трудах зарубежных и российских ученых, начиная с Д.К. Максвелла, И.А. Вышне-градского, P.E. Калмана, H.H. Красовского, Я.З. Цыпкина, Е.П. Попова, A.M. Летова, Б.Н. Петрова, В.И. Зубова, A.A. Воронова, Ф.Л., C.B. Емельянова, Р. Габасова, В.А. Бессекерского, Ф.М. Кириловой, Р. Беллмана, Ж.П. Ла-Салля и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Разработке и созданию методов анализа дискретных систем управления и их динамики в последнее время посвящено большое число научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как: C.B. Емельянов, С.К. Коровин, С.Н. Васильев, Ю.Г. Евтушенко, Ю. И. Журавлев, Ф.Л. Черноусько, Е.А. Федосов, А.Б. Куржанский, Ю.С. Попков, Б.Т. Поляк, А.И. Егоров, В.Б. Колмановский, Е.Д. Теряев, Б.М. Шамриков, В.А. Фурсов, Николаев Ю.А., Рутковский В.Ю. и многим другим.

Целью диссертационного исследования является решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения и задач по-

строения программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также разработку методов построения оптимальных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

Областью исследования являются дискретные аналоги математических моделей динамических, объектов, представляющих собой линейные и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются основой при создании и эксплуатации систем управления и наблюдения в промышленности.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы исследования дискретных систем управления и наблюдения, так и методы качественной теории дифференциальных уравнений. Кроме того, используются методы теории устойчивости, математического анализа, линейной и высшей алгебры.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на известных достижениях в рассматриваемой области, корректности постановок задач, строгом использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, линейной и высшей алгебры. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые дано конструктивное решение задачи структурной оптимизации для дискретных систем управления и наблюдения. При решении задач построения программных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены способы построения оптимальных в том или ином плане управлений удовлетворяющих условиям удерживающего и неудерживающего типа.

Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих дискретных систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем, а с другой позволяют строить программные управления в этих системах, удовлетворяющие краевым условиям и являющимися оптимальными.

Практическая полезность. На основе результатов полученных в диссертации созданы новые критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления (наблюдения) дающих возможность конструировать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем управления (наблюдения). Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных дискретных систем управления и наблюдения. Необходимо также отметить, что результаты, полученные в диссертации, позволяют для дискретных систем, удовлетворяющих краевым условиям удерживающего и неудерживающего типа, находить программные управления и отвечающие им движения, а также строить оптимальные управления в этих системах, удовлетворяющие различным краевым условиям. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию дискретных систем управления и наблюдения. Результаты работы могут быть использованы в учебных курсах по теории управления сложными техническими объектами и инженерами, занимающимися конструированием дискретных систем управления и наблюдения.

Реализация результатов. Результаты диссертации были использованы при проведении НИР в отделе нелинейного анализа и проблем безопасности ВЦ РАН и в учебном процессе.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Построен алгоритм, позволяющий для рассматриваемой открытой дискретной системы находить все системы управления (наблюдения) обладающие минимальной структурой. Предложены методы позволяющие найти программные управления и движения в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Разработаны методы построения оптимальных управлений, удовлетворяющих ограничениям удерживающего и неудерживающего типа.

Апробация работы. По основным результатам диссертационного исследования автором были сделаны доклады на 3 международных и 1 вузовской научных конференциях, проходивших в Москве, Пензе и Киеве. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах Вычислительного центра РАН, а также на семинарах Института системного анализа РАН.

Публикации. По теме диссертации М.В. Крыловой опубликовано 11 научных работ, общим объемом 3 пл., среди которых 3 работы вышли в изданиях рекомендованных перечнем ВАК для публикации результатов по кандидатским и докторским диссертациям объемом 1 пл.. В работах, опубликованных с соавторами, диссертанту принадлежит не менее 50 % материала.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем.

Объем диссертации - 117 страниц. Список литературы содержит 93 наименования.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Разработаны конструктивные критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления, наблюдения и стабилизации.

Для дискретных линейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения управлений и отвечающих им движений.

Предложены методы решения задачи синтеза программных управлений и методы построения оптимальных управлений в дискретных управляемых системах.

Краткое содержание диссертации

Во введении диссертации приведена общая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новизну, практическую значимость, реализацию результатов, полученных в работе. Также во введении приведено краткое содержание диссертации и даны сведения о ее апробации.

В первой главе приведены математические модели и методы исследования дискретных (цифровых) систем, а также известные критерии управляемости, наблюдаемости и достижимости для дискретных систем. В этой главе также изложены новые результаты по структурной минимизации дискретных систем управления и наблюдения.

В первом параграфе дано описание одночастотных и многочастотных дискретных (цифровых) систем в пространстве состояний и условий эквивалентности непрерывных и дискретных систем.

Во втором параграфе приведены известные критерии управляемости, наблюдаемости и достижимости для дискретных систем и изложены новые результаты полученные автором по структурной оптимизации дискретных систем управления и наблюдения.

Впервые решена задача поиска минимального числа р управляющих воздействий, при которых открытая дискретная система

Хы = АХк, к = 0,1,2,..., X,={xa,xa,...,xJ (1)

может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы B = {Bi,...,Bp} полного ранга, т.е. задачу минимизации

структуры системы управления, при которой замкнутая система

Xk4 = AXk+BUk, к =0,1,2,...,, (2)

будет полностью управляемой. Здесь А и B = {Bt,...,Bp} постоянные матрицы размера (ихи) и (их/?); U = (uv...,up)T - вектор управлений и, - const.

Не ограничивая общности под полной управляемостью системы (2) будем понимать то, что для любого начального положения Х0 и конечного положения Хп системы (2) можно построить дискретное управление (векторы переводящее систему (2) из этого начального положения в конечное [1].

Определение. Назовем характеристикой полной управляемости системы (2) (системы (1)) минимальное число р управляющих воздействий, при которых систему (1) можно сделать полностью управляемой путем выбора матрицы В = {В1,...,Вр) полного ранга.

Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике полной управляемости матрицы А.

Теорема 1. Характеристика полной управляемости матрицы А равна максимальной геометрической кратности ее собственных чисел.

Теорема 2. Если ранг матрицы В меньше характеристики полной управляемости матрицы А, то система (2) не является полностью управляемой.

Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то система (1) может быть сделана полностью управляемой с помощью скалярного управления [1].

Доказательство этих теорем целиком опирается на тот факт, что если характеристика полной управляемости матрицы А равна р, то всегда можно выбрать р линейно независимых вещественных векторов являющихся столбцами матрицы В так, что ранг матрицы 0 = {В,АВ,АгВ,...,А"АВ} был равен п. Если же ранг матрицы В меньше р, то система (2) не является полностью управляемой [1].

Для линейной стационарной дискретной системы наблюдения

Хы=АХк, Гк=СХк, * = 0,1,2,..., ^ =(.ха,хк2,...,хы)т, Ук =(ук],уп,...,укг)т

где А и С - постоянные матрицы размера их и и гхп соответственно, ^к = {Ук\'Ук2'---'УкгУ вектор наблюдений (выходы системы) впервые решена задача поиска минимального числа р выходов, при которых открытая система

Хы=АХк, к = 0,1,2,..., Х1 = (хп,ха,...,хлУ (4)

может быть сделана полностью наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы С размера рхп полного ранга, т.е. задачу структурной минимизации системы наблюдения. Полная наблюдаемость означает, что

по значениям векторов наблюдений Ук, к = 0,п можно восстановить начальное положение системы (4) Хй [4].

Определение. Назовем характеристикой полной наблюдаемости системы (3) минимальное число р выходов, при которых открытая система (4) может быть сделана наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы С размера рхп полного ранга.

Справедлива теорема.

Теорема 3. Характеристика наблюдаемости матрицы А равна максимальной геометрической кратности ее собственных чисел.

Доказательство теоремы целиком опирается на тот факт, что если величина р для матрицы А, является максимальной геометрической кратности ее собственных чисел, то всегда можно выбрать р линейно независимых вещественных векторов С,,...,С , являющихся столбцами матрицы

С так, что ранг матрицы Vт =[СГ,АТСТСт] был равен п. Если же ранг матрицы С меньше р, то система (3) не является наблюдаемой

Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то система (3) может быть сделана наблюдаемой с помощью скалярной системы наблюдения [4].

В третьем параграфе для дискретных управляемых систем приведены инвариантные преобразования в пространстве состояний и основные модели и методы исследования дискретных систем.

Вторая глава носит в основном справочный характер. В ней для дискретных систем приведены наиболее известные методы исследования устойчивости, робастной устойчивости, устойчивости по части координат и робастной устойчивости по части координат. Обзор этих исследований

необходим для дальнейшего изложения собственных результатов по построению критериев линейной стабилизации дискретных управляемых систем, что дает возможность построения системы стабилизации минимальной структуры.

В первом параграфе приведены наиболее известные критерии устойчивости и робастной устойчивости дискретных управляемых систем и проведен анализ их возможного применения.

Во втором параграфе дано подробное описание критериев устойчивости и робастной устойчивости по части координат, полученных в последние годы В.В. Дикусаром, Г.А. Зеленковым и Н.В. Зубовым.

В третьем параграфе впервые решена задача структурной минимизации дискретных систем линейной стабилизации.

В третьей главе полностью решена проблема управляемости для дискретных нестационарных систем управления и разработаны методы построения программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Также в этой главе дано решение задачи синтеза этих управлений и предложены методы их оптимизации в том или ином смыслах.

В первом параграфе впервые получены критерии полной управляемости для дискретных нестационарных систем, причем сама система управления в этих системах может быть также нестационарной.

Пусть задана нестационарная дискретная управляемая система со скалярным управлением

Хм = РкХк+Вик + Рк, к = 0,1,2,..., Х,=(ха,ха,...,хт)т, (5) где Рк е Кп'п и ^ е Л", к - 0,1,2,...вещественные, постоянные матрицы размеров пхп и пх 1, ВеЯ" вещественный постоянный вектор размера

пх\, а ик, к = 0,1,2,... управляющие воздействия (вещественные величины).

Определение 1. Будем говорить, что система (1) является полностью управляемой на промежутке [0,7/] (я>7У), если для любого начального положения системы (1) Х(0) можно выбрать управления II = (и0,и1,...,иы_])т так, чтобы для любого конечного положения Х(М) этой системы выполнялись равенства Хй = Х(0), X,, = Х(Щ, т.е. управление и = (м0,и,,...,иу_,)7 переводит систему (1) из начального положения Х(0) в конечное положение Х(Л') за N шагов. Любое управление и = (и0,щ,...,иы_])т дающее решение поставленной выше задачи будем называть программным управлением.

Доказана следующая теорема.

Теорема 4. Для того чтобы система (1) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица А(М) = 0(/\г)0т (А') была положительно определенной (А(Щ >0).

Здесь матрица 0(И) размера nxN имеет вид:

д ло • • • Л-Л я}

/=1 1=2

При этом все множество программных управлений для рассматриваемой задачи можно выписать в явном виде.

В случае нескольких управлений будем считать, что В е Яшт вещественная постоянная матрица размера пхт, а ик=(ик],икг,...,икт), к = 0,1,2,... управляющие воздействия (вещественные векторы).

Доказана следующая теорема.

Теорема 5. Для того чтобы система (1) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица A(N) = D(N)DT(N) была положительно определенной (A(N) > 0).

Здесь матрица D(N) размера nx(m-N) столбцы которой имеют

вид:

Y[PlBpBj / = 1,2.....ЛГ-1, j =

При этом все множество программных управлений для рассматриваемой задачи можно выписать в явном виде.

Полученные результаты обобщены на случай, когда сама система управления является нестационарной, т.е. когда система (5) имеет вид:

XM=PkXk+Bkuk+Fk, к = 0,1,2,..., X,=(xa,xa,...,xJ, (6) где Вк=(Вп,Вп,...,Вкгп)т - вещественные постоянные матрицы размера nxm, a BkJ, j =1,2,...,/и их столбцы. В этом случае теоремы 4 и 5 остаются в силе с заменой матрицы D(N) на матрицу

D(N) = {fj^0,n/>B„.. A-J

и столбцов матрицы D(N) на столбцы матрицы D(N)

BN]J, k = \,2,...,Nj = \,2,...,m.

i=к

Во втором параграфе разработаны критерии существования программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих удерживающим связям, и предложены методы построения этих управлений и соответствующих им движений.

В третьем параграфе разработаны критерии существования программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетво-

ряющих неудерживающим связям, а также предложены методы построения этих управлений и соответствующих им движений.

В четвертом параграфе для дискретных управляемых систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, предложены методы их синтеза и методы построения управлений, оптимальных в том или ином смыслах.

В заключение диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе.

Основные результаты диссертационной работы.

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер и. с одной стороны касаются общих задач теории дискретных систем управления и наблюдения, а с другой связаны с задачами построения программных управлений в дискретных системах управления, удовлетворяющих различным краевым условиям и выбора из них управлений оптимальных в том или ином смысле. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на три группы.

1. Результаты, которые получены при решении общих проблем теории управляемых систем:

Разработаны новые критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления, наблюдения и стабилизации, включающие:

— критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления;

— критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем наблюдения;

— критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем стабилизации.

2. Результаты, полученные при решении проблем построения программных управлений и решения задач оптимизации:

- установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения управлений и движений для дискретных систем удовлетворяющих удерживающим и неудерживающям связям;

- предложены методы построения управлений в дискретных системах удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям оптимальных в том или ином смысле.

Основные публикации по теме диссертации

1. Зубов Н.В., Борунов В.П., Крылова М.В. Скалярные системы управления и критерий полной управляемости. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 32(2). М: Изд. ЖИ, 2008, с. 21-31.

2. Зубов Н. В., Крылова М. В., Дихусар В. В. Квазилинейные системы стабилизации минимальной структуры. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 42(2). М: Изд. Либроком, 2009, с. 12-25.

3. Крылова М. В., Дикусар В. В., Зубов Н. В. Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 42(2). М: Изд. Либроком, 2009, с.35-39.

4. Дивеев А.И., Крылова М.В., Сафронова Е.А. Метод генетического программирования для многокритериального структурно-параметрического синтеза систем автоматического управления. В сб. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Вып. 10, 2008, с. 93-100.

5. Дедков В.К., Крылова М.В. Преобразование непрерывных случайных функций в дискретные последовательности некоррелированных случайных величин. В сб. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Вып. 11,2009, с. 80-91.

6. A.B. Бецков, M.B. Крылова. Методический подход в решении ценообразования, оценки качества и организации аэромобильного комплекса. Труды международной конференции. Фундаментальные проблемы безопасности. М.: Вузовская книга, 2008, с. 479-491.

7. Крылова М.В., Щенникова Е.В. О задаче оптимальной стабилизации многосвязной управляемой системы. Сборник докладов XII научной конференции МГТУ «Станкин» по «Математическому моделированию и информатике», Москва ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2009, с. 63-64.

8. М.В. Крылова, В.А. Осташкевич. Методические подходы к исследованию аварийных ситуаций. Труды международной конференции. Фундаментальные проблемы безопасности. М.: Вузовская книга, 2008, с. 233-238.

9. Северцев H.A., Зубов Н.В., Крылова М.В. Структурная минимизация дискретных систем управления. Тезисы докладов Международного симпозиума «Надежность и качество». Пенза, 2009, с. 75-76.

Ю.Дикусар В.В., Зубов Н.В., Крылова М.В. Критерии оптимизации дискретных систем наблюдения. Тезисы докладов Международного симпозиума «Надежность и качество». Пенза, 2009, с. 338.

П.Зубов Н.В., Крылова М.В., Зеленков Г.А. Структурная оптимизация дискретных систем наблюдения. International Conference Dynamical system modeling and stability investigation, Kyiv, 2009, c. 289.

Подписано в печать 10.02.2010 г.

Заказ № 3254 Тираж: 70 экз.

Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Методы исследования дискретных управляемых систем.

§ 1. Некоторые подходы к моделированию цифровых систем и их основные свойства.

§ 2. Структурная минимизация стационарных дискретных систем управления и наблюдения.

§ 3. Основные методы исследования дискретных систем.

ГЛАВА 2. Критерии устойчивости и стабилизируемости дискретных управляемых систем.

§ 1. Критерии устойчивости и робастной устойчивости дискретных систем.

§ 2. Графические методы исследования устойчивости и устойчивости по части координат дискретных систем.

§ 3. Построение систем линейной стабилизации в дискретных управляемых системах.

ГЛАВА 3. Проблемы управляемости для нестационарных дискретных систем управления.

§ 1.Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления.

§ 2. Программные управления в дискретных нестационарных системах, удовлетворяющих удерживающим связям.

§ 3. Программные управления в дискретных нестационарных системах, удовлетворяющих неудерживающим связям.

§ 4. Синтез программных управлений и проблемы оптимизации в дискретных систем управления.

Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных управляемых систем. Необходимо разрабатывать новые аналитические, качественные и количественные методы исследования динамики функционирования управляемых систем, методы аналитического конструирования систем и законов управления, методы построения программных управлений и оптимальных систем стабилизации.

Анализ направлений развития науки в этой области, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед исследователями, работающими в данном направлении, будут, следующие:

Разработка систем глобального мониторинга для контроля и минимизации негативных сторон развития цивилизации и усиления позитивных направлений этого развития. Создание таких систем необходимо в частности для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как изменение климата и использование биологического, сверхточного ракетно-космического, а также психотропного оружия. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий;

Разработка математических методов исследования систем управления динамическими объектами и технологическими процессами, включающих качественный анализ их динамики функционирования;

Разработка аналитических методов построения систем управления обеспечивающих надёжность и динамическую безопасность технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

На современном этапе развития систем управления и наблюдения наибольший интерес представляют цифровые системы управления и наблюдения, т.к. основой функционирования почти всех сложных систем управления и наблюдения являются вычислительные устройства. Известно, что динамика работы всех цифровых систем завязана на тактовую частоту и поэтому динамика их функционирования описывается дискретными управляемыми системами, которые представляют собой системы рекуррентных уравнений. С другой стороны вопрос об исследовании дискретных систем возник задолго до создания первых ЭВМ. Дело заключается в том, что любой численный метод решения дифференциальных уравнений и представляет собой рекуррентную цепочку, которая и является дискретной системой. Таким образом, создание методов исследования динамики поведения дискретных систем имеет длительную историю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При практическом решении задач управления и наблюдения, а особенно при реализации этих решений в реальных технических системах необходим переход к исследованию дискретных аналогов рассматриваемых непрерывных моделей. Это связано с тем, что информация, поступающая на вход системы управления или наблюдения, в основном носит дискретный характер, т.к. по мере ее поступления она с определенной тактовой частотой подвергается преобразованию в цифровой код для ее хранения и дальнейшей обработки. Заметим, что в достаточно сложных реальных технических системах управляющие сигналы формируются с помощью микропроцессоров и также носят дискретный характер.

С другой стороны, если задача управления или наблюдения решена для динамической системы описываемой системой дифференциальных уравнений, т.е. это решение получено на основе исследования непрерывной модели, то это не означает, что полученное решение непосредственно можно воплотить на практике для любой сложной технической системы. С этих позиций становится понятным, почему исследованию дискретных систем управления и наблюдения посвящено достаточно много работ.

Настоящее диссертационное исследование направлено на решение очень важной практической задачи структурной минимизации дискретных систем управления и наблюдения. Решение этой задачи заключается в поиске минимального числа входов (выходов) так, чтобы рассматриваемую открытую дискретную систему сделать полностью управляемой (наблюдаемой). Дальнейшее направление исследований заключается в построении аналитических конструкций всего множества дискретных систем управления (наблюдения) обладающих минимальной структурой и полностью решающих задачу управления (наблюдения).

Другой не менее важной задачей поставленной в данной работе является поиск критериев существования и методов построения программных управлений и движений в дискретных управляемых системах удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также решение задачи построения оптимального управления при наличии этих ограничений.

Выбранное направление исследований является крайне важным как с теоретической, так и с практической точки зрения, т.к. с одной стороны оно позволяет определить избыточность существующих дискретных систем управления (наблюдения), а с другой еще на этапе создания этих систем выбрать их оптимальную структуру, что обеспечит громадную экономию материальных ресурсов при их создании и эксплуатации.

До настоящего времени при исследовании вопросов полной управляемости или наблюдаемости использовали знаменитый критерий Калмана, который, хотя и дает необходимые и достаточные условия управляемости и наблюдаемости в непрерывном и дискретном случае, однако оставляет в стороне такой важный вопрос как структурная минимизация этих систем, а также вопросы избыточности уже существующих систем.

Развитие современного промышленного производства невозможно без широкого использования дискретных систем управления и наблюдения, позволяющих значительно повысить его эффективность и обеспечить конкурентноспособность отечественных отраслей промышленности. В настоящее время разработка новых методов анализа дискретных систем управления и наблюдения, а также изучение динамики их функционирования обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, а также бурным развитием компьютерной техники.

Эти методы с одной стороны, позволяют еще на этапе создания дискретных систем управления и наблюдения решать вопросы их структурной оптимизации, а с другой, дают возможность более точного прогнозирования динамики функционирования этих систем, при использовании различных законов управления и тем самым определять границы их динамической безопасности.

Представленная работа посвящена развитию математических методов, позволяющих осуществлять общий и прикладной анализ дискретных систем управления и наблюдения, включающий не только структурный анализ этих систем, но и построение законов управления в этих системах, обладающих требуемыми качествами.

Качественные и аналитические методы исследования систем управления и наблюдения для динамических объектов были развиты в трудах зарубежных и российских ученых, начиная с Д.К. Максвелла, И.А. Выш-неградского, P.E. Калмана, H.H. Красовского, Я.З. Цыпкина, Е.П. Попова, A.M. Летова, Б.Н. Петрова, В.И. Зубова, A.A. Воронова, Ф.Л., C.B. Емельянова, Р. Габасова, В.А. Бессекерского, Ф.М. Кириловой, Р. Белл-мана, Ж.П. Ла-Салля и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Разработке и созданию методов анализа дискретных систем управления и их динамики в последнее время посвящено большое число научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как: C.B. Емельянов, С.К. Коровин, С.Н. Васильев, Ю.Г. Евтушенко, Ю. И. Журавлев, Ф.Л. Черноусько, Е.А. Федосов, А.Б. Куржан-ский, Ю.С. Попков, Б.Т. Поляк, А.И. Егоров, В.Б. Колмановский, Е.Д. Теряев, Б.М. Шамриков, В.А. Фурсов, Николаев Ю.А., Рутковский В.Ю. и многим другим.

Целью диссертационного исследования является решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения и задач построения программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также разработку методов построения оптимальных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

Областью исследования являются дискретные аналоги математических моделей динамических объектов, представляющих собой линейные и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются основой при создании и эксплуатации систем управления и наблюдения в промышленности.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы исследования дискретных систем управления и наблюдения, так и методы качественной теории дифференциальных уравнений. Кроме того, используются методы теории устойчивости, математического анализа, линейной и высшей алгебры.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на известных достижениях в рассматриваемой области, корректности постановок задач, строгом использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, линейной и высшей алгебры. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые дано конструктивное решение задачи структурной оптимизации для дискретных систем управления и наблюдения. При решении задач построения программных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены способы построения оптимальных в том или ином плане управлений удовлетворяющих условиям удерживающего и неудерживающего типа. Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих дискретных систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем, а с другой позволяют строить программные управления в этих системах, удовлетворяющие краевым условиям и являющимися оптимальными.

Практическая полезность. На основе результатов полученных в диссертации созданы новые критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления (наблюдения) дающих возможность конструировать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем управления (наблюдения). Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных дискретных систем управления и наблюдения. Необходимо также отметить, что результаты, полученные в диссертации, позволяют для дискретных систем, удовлетворяющих краевым условиям удерживающего и неудер-живающего типа, находить программные управления и отвечающие им движения, а также строить оптимальные управления в этих системах, удовлетворяющие различным краевым условиям. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию дискретных систем управления и наблюдения. Результаты работы могут быть использованы в учебных курсах по теории управления сложными техническими объектами и инженерами, занимающимися конструированием дискретных систем управления и наблюдения.

Реализация результатов. Результаты диссертации были использованы при проведении НИР в отделе нелинейного анализа и проблем безопасности ВЦ РАН и в учебном процессе.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Построен алгоритм, позволяющий для рассматриваемой открытой дискретной системы находить все системы управления (наблюдения) обладающие минимальной структурой. Предложены методы позволяющие найти программные управления и движения в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Разработаны методы построения оптимальных управлений, удовлетворяющих ограничениям удерживающего и неудерживающего типа.

Апробация работы. По основным результатам диссертационного исследования автором были сделаны доклады на 3 международных и 1 вузовской научных конференциях, проходивших в Москве, Пензе и Киеве. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах Вычислительного центра РАН, а также на семинарах Института системного анализа РАН.

Публикации. По теме диссертации М.В. Крыловой опубликовано 11 научных работ, общим объемом 3 п.л., среди которых 3 работы вышли в изданиях рекомендованных перечнем ВАК для публикации результатов по кандидатским и докторским диссертациям объемом 1 п.л. В работах, опубликованных с соавторами, диссертанту принадлежит не менее 50 % материала.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации -117 страниц. Список литературы содержит 93 наименования.

Основные результаты диссертационной работы.

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер и. с одной стороны касаются общих задач теории дискретных систем управления и наблюдения, а с другой связаны с задачами построения программных управлений в дискретных системах управления, удовлетворяющих различным краевым условиям и выбора из них управлений оптимальных в том или ином смысле. Все представленные в работе результаты можно разделить на две группы.

1. Результаты, которые получены при решении общих проблем теории управляемых систем:

Разработаны новые критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления, наблюдения и стабилизации, включающие:

- критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления;

- критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем наблюдения;

- критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем стабилизации.

2. Результаты, полученные при решении проблем построения программных управлений и решения задач оптимизации:

-для дискретных нестационарных систем впервые получены критерии полной управляемости, причем эти критерии охватывают тот случай, когда сама система управления является нестационарной;

- установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения управлений и движений для дискретных систем удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации впервые дано конструктивное решение задачи структурной оптимизации для дискретных систем управления и наблюдения. При решении задач построения программных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены способы построения оптимальных в том или ином плане управлений удовлетворяющих условиям удерживающего и неудерживающего типа. Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих дискретных систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем, а с другой позволяют строить программные управления в этих системах, удовлетворяющие краевым условиям и являющимися оптимальными.

1. Айзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования. -М.: Гостехиздат, 1956.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Издательство АН СССР, 1963.

3. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов A.B., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. - 164с.

4. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных систем -СПб.: Изд. СпбГУ, 2003. 112 с.

5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999.

7. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

8. Андронов A.A. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

9. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1956.

10. Ю.Барабашин Е.А. Функции Ляпунова. -М.: Наука, 1970.11 .Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

11. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1958.

12. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002.

13. Н.Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.

15. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

16. Р. Габасов, Ф. Кирилова. Качественная теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1971, 507 с.

17. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. Москва: Наука, 1967. - 576с.

18. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

19. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963.

20. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979.-304 с.

21. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Условия существования выпуклых множеств неустойчивых полиномов. Доклады академии наук. Теория управления. Том 429, № 2, 2009, с. 174-175.

22. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Критерии существования однородных классов эквивалентности неустойчивых интервальных полиномов. Доклады академии наук. Теория управления. Том 429, № 3, 2009, с. 322-324.

23. В.В. Дикусар, Г.А. Зеленков, Н.В. Зубов. Робастная устойчивость по части координат. СПб. СПбГУ: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2009.

24. Дикусар В.В., Зубов Н.В., Крылова М.В. Критерии оптимизации дискретных систем наблюдения. Тезисы докладов Международного симпозиума «Надежность и качество». Пенза, 2009, с. 338.

25. В.В. Дикусар, Г.А. Зеленков, Н.В. Зубов. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости. М.: Изд. ВЦ РАН, 2007, 234 с.

26. Евтушенко Ю.Г., Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Методы построения оптимальных систем стабилизации. Тезисы докладов «Международной конференции по математической теории управления и механике». Суздаль, 2009, с.65-66.

27. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Изд-во "Физико-математическая литература", 2004. - 503 с.

28. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, 1979.

29. Жабко А.П., Прасолов B.JL, Харитонов B.JI. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М.: Высшая школа, 2003. - 285с.

30. Заде JL, Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

31. Зубов A.B. Аналитические свойства многомерной механической системы. // Математическое моделирование. Т. 18, № 12. 2006. с 45-51.

32. A.B. Зубов, Н.В. Зубов. Динамическая безопасность управляемых систем. СПб. СПбГУ: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2009.-172 с

33. Зубов A.B. Стабилизация программных движений и кинематических траекторий в динамических системах в случае прямого и непрямого регулирования. Ж. // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3, с. 19-32.

34. Зубов В.И. . Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 495 с.

35. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. 1.: Судпромгиз, 1959.37.3убов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

36. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.39.3убов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. — СПб.: СПбГУ, 2001.-353с.

37. Зубов Н.В., Борунов В.П., Крылова М.В. Скалярные системы управления и критерий полной управляемости. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 32(2). М: Изд. ЛКИ, 2008, с. 21-31.

38. Зубов Н. В., Крылова М. В., Дикусар В. В. Квазилинейные системы стабилизации минимальной структуры. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 42(2). М: Изд. Либроком, 2009, с. 12-25.

39. Зубов Н.В., Крылова М.В., Зеленков Г.А. Структурная оптимизация дискретных систем наблюдения. International Conference Dynamical system modeling and stability investigation, Kyiv, 2009, c. 289

40. Калман P., Фалб П., Арбиб M. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400с.

41. Кац A.M. Определение параметров регулятора по желаемому характеристическому уравнению системы регулирования // Автом.телемех. 1955. №3. С. 269-272.

42. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

43. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

44. Крылов А.Н., Крутков Ю.А. Общая теория гороскопов и некоторых технических их применений. М.: Изд-во АН СССР, 1932.

45. Крылова М. В., Дикусар В. В., Зубов Н. В. Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 42(2). М: Изд. Либроком, 2009, с.35-39.

46. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

47. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

48. Ларин В.М., Науменко К.И., СунцевВ.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наук. Думка, 1971.

49. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.:ИЛ, 1964.

50. Лагранж Ж. Аналитическая механика. — М.: Гостехиздат, 1950.

51. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962.

52. Левитан Б.М. Почти периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953.

53. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

54. Ляпунов A.M., Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

55. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. -М.: АН СССР, 1949.

56. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

57. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов A.A., Витт A.A., Горелик Г.С., Хайкин С.Э. Новые исследования нелинейных колебаний. М. -: Радиоиздат, 1936.

58. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Высшая школа, 1974.

59. Найфе А.Х. Методы возмущений. М., 1976.

60. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2-е изд. -М.: ГИТТЛ, 1949.

61. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. -М.: Наука, 1978.

62. Немировский A.C., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // Автом. телемех. 1994. № 11. С. 113119.

63. Ниренберг Jl. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.,1977.

64. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C. Теория управления в примерах и задачах. — М.: Высшая школа. 2003. 583 с.

65. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. 270 с.

66. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

67. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002, 303 с.

68. Попов Е.П. Динамика систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1954.

69. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

70. Северцев H.A., Зубов Н.В., Крылова М.В. Структурная минимизация дискретных систем управления. Тезисы докладов Международного симпозиума «Надежность и качество». Пенза, 2009, с. 75-76.

71. Е.Д. Теряев, Б.М. Шамриков. Цифровые системы и поэтапное адаптивное управление. М.: Издательство Наука, 1999, 334 с.

72. Солодов A.B. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. М., 1962.

73. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1953.

74. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

75. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения.1978. Т. 14. №11, С. 2086-2088.

76. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

77. Цыпкин Я.3. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостезиздат, 1955.81 .Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

78. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207с.

79. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., 1972.

80. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Conditions for the Existence of Convex Sets of Unstable Polynomials. DOKLADY MATHEMATICS, Vol. 80, No. 3, 2009, pp. 942-943.

81. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Criteria for the Existence of Uniform Equivalence Classes of Unstable Interval Polynomials. DOKLADY MATHEMATICS, Vol. 80, No. 3, 2009, pp. 947-949.

82. V.V. Dikusar, A.V. Zubov, N.V. Zubov. Nonstationary matrices with su-' perstabiluty. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 63-64.

83. V.V. Dikusar, A.V. Zubov, N.V. Zubov. Minimal value of control ac-tions.5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 61-62

84. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Criteria for the Existence of Uniform Equivalence Classes of Unstable Interval Polynomials. DOKLADY MATHEMATICS, Vol. 80, No. 3, 2009, pp. 947-949.

85. Dicusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Quadratic Form for Evalution of Location the Eigenvalues of Matrix. 4-th International Workshop, CASTR 2007. Poland, Siedlce: 2007, p. 87-89.

86. A.V. Zubov, V.V. Dikusar, N.V. Zubov. Minimal value of control actions. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 61-62.

87. A.V. Zubov, V.V. Dikusar, N.V. Zubov. Nonstationary matrices with su-perstabiluty. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 63-64.

88. Kaszkurevich E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 2000.

89. Helton J.W., Merino O. Classical control using H00 methods. Philadelphia: SIAM, 1998.