автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы поиска колебаний в динамических системах с использованием процедур гармонической линеаризации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВАГАЙЦЕВ Владимир Игоревич

АЛГОРИТМЫ ПОИСКА КОЛЕБАНИЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОЦЕДУР ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-2 пен 2910

Санкт-Петербург 2010

004614917

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент КУЗНЕЦОВ Николай Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ДЕМЬЯНОВИЧ Юрий Казимирович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических наук, ведущий научный сотрудник АНДРИЕВСКИЙ Борис Ростиславич (Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

Ю3Л

Защита состоится "16" декабря 2010 г. в'_ часов на заседании совета Д 212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " <--> " _2010 г.

Ученый секретарь ^ г—

дассертащюнного совета ^^ ДаугавегИ.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации разработаны алгоритмы поиска периодических и хаотических колебаний, основанные не объединении метода гармонической линеаризации и прикладной теории бифуркаций. Эти алгоритмы применены к вычислениям аттракторов в цепях Чуа.

Актуальность темы. Нелинейные колебания являются основой современной радиотехники. Импульсные колебания тактовых генераторов — основой компьютерной и телекоммуникационной техники. Нелинейные колебания в системах управления часто приводят к выходу из строя таких систем. Поэтому задача локализации и вычисления таких колебаний является актуальной.

Основное внимание в настоящей работе уделено скрытым колебаниям, т.е. колебаниям, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей стационарных состояний.

Таким образом, разработанный аналитико-численный метод позволяет локализовывать и вычислять колебания нелинейных систем, которые являются скрытыми.

Цель работы. Целью работы является разработка и реализация алгоритмов поиска периодических и хаотических колебаний в динамических системах с использованием аналитических и численных методов исследования колебаний динамических систем, современных вычислительных средств и специализированных математических пакетов.

Методы исследования. Методы исследования включают в себя аналитические методы гармонической линеаризации и численные методы локализации последовательностей аттракторов динамических систем. Разработанный многошаговый аналитико-численный метод поиска колебаний реализован в пакете МаЙаЬ.

Результаты, выносимые на защиту.

• Описан и обоснован метод гармонической линеаризации для динамических систем с непрерывной векторной нелинейностью, который

применяется в качестве первого шага в алгоритме локализации аттракторов.

• Разработан и реализован в пакете Matlab алгоритм численной локализации скрытых аттракторов для системы Чуа.

• Разработан и реализован в пакете Matlab алгоритм численной локализации скрытых аттракторов для модифицированной системы Чуа с векторной нелинейностью.

Достоверность результатов. Все полученные аналитические результаты математически строго доказаны. Разработанные в диссертации алгоритмы локализации дают для классических аттракторов Чуа такие же результаты как в известных работах L.O. Chua, C.W. Wu, A. Huang, G.Q. Zliong, G. Chen, E. Bilotta, P. Pantano и др.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют производить эффективную численную локализацию скрытых колебаний в нелинейных динамических системах, например, локализовывать и вычислять скрытые странные аттракторы в системе Чуа.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "International Conferencc on Dynamics, Vibration and Control" (Китай, Гуанчжоу - 2010), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", имени Е.С. Пятницкого (Россия, Москва - 2010), "IFAC Workshop Periodic Control Systems" (Турция, Анта-лья - 2010), конференция памяти В.Я. Ривкинда (Финляндия, Ювяскюля - 2010) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики (2008 - 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в 2 статьях.

Статьи [1,2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1-3,5,6] соавторам принадлежит постановка задачи. В работе [1] диссертанту принадлежат теоретические результаты по обоснованию метода для систем с многомерной нелинейностью, реализация алгоритмов и компьютерное моделирование. В работах [2,3,5,6] диссертанту принадлежат реализация алгоритмов и компьютерное моделирование.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, трех приложений, списка литературы, включающего 110 наименований, изложена на 132 страницах машинописного текста и содержит 80 рисунков.

Во введении дается история методов поиска колебаний в многомерных динамических системах (в частности, метода гармонической линеаризации) и представлен обзор литературы, посвященной изучению области применения метода гармонической линеаризации и оценке его погрешности. Также во введении обосновываются актуальность и научная новизна диссертации, формулируются задачи, решаемые в диссертации.

Первая глава посвящена описанию и обоснованию многошагового аналитико-численного метода поиска локально устойчивых колебаний в многомерных динамических системах с непрерывной векторной нелинейностью, т.е. в системах вида

где х € К", Р — постоянная п х п -матрица, ^(х) — непрерывная п-мерная вектор-функция и -ф{0) = 0.

Данный многошаговый метод основан на процедуре гармонической линеаризации, т.е. на первым шагом является поиск близкого к гармоническому стартового периодического решения. Для поиска периодического решения, близкого к гармоническому колебанию, рассмотрим матрицу К такую, чтобы матрица Ро = Р + К линейной системы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

— = Рх+ </>(*)

(1)

имела пару чисто мнимых собственных значений ±icJo(wo > 0), а остальные сс собственные значения имели отрицательные вещественные части. Тогда систему (1) можно переписать в виде

^ = Рох + <р(х); (3)

где <р(х) = тр(х) — Кх.

Введем конечную последовательность непрерывных функций <^°(х), ^Mi • ■ •: Vm(x) TaKi чтобы графики соседних функций ip3 и ipi+1 в некотором смысле мало отличались друг от друга, функция у°(х) была мала и <£т(х) = <р(х).

Малость функции у°(х) позволяет обосновать существование близкого к гармоническому устойчивого периодического решения x°(i) для системы

^=P0x + </(x). (4)

Все точки этого устойчивого периодического решения x°(t) либо расположены в области притяжения устойчивого периодического решения x*(i) системы

^=Р0х + Их) (5)

с j = 1, либо при переходе от системы (4) к системе (5) с j = 1 наблюдается бифуркация потери устойчивости и исчезновения периодического решения. В первом случае можно численно определить х1^), выпуская траекторию системы (5) с j = 1 из начальной точки х°(0). Вычислительная процедура, стартуя из точки х°(0), после переходного процесса выходит на периодическое решение xx(i) и вычисляет его. Для этого промежуток [0,Т], на котором происходит вычисление, должен быть достаточно большим.

После вычисления х1 (t) можно перейти к следующей системе (5) с j = 2 и организовать процедуру вычисления локально устойчивого колебания x2(i), выпуская из начальной точки х2(0) = хх(Т) траекторию, которая при возрастании t приближается к траектории x2(i).

Продолжая эту процедуру далее и вычисляя х-7^t), используя траектории системы (5) с начальными данными xJ(0) = xJ_1(T), либо приходим к вычислению локально устойчивого колебания системы (5) с j = т (т.е.

исходной системы (3)), либо на некотором шаге наблюдаем бифуркацию потери устойчивости и останавливаем вычислительный процесс. Отметим, что на некотором шаге вместо периодического решения здесь может возникнуть локально устойчивый аттрактор. Этот эффект подробно оиисан в настоящей диссертации для систем Чуа.

Наиболее простым н естественным классом функций в описанной выше процедуре являются функции <р°(х) = Еср{х)^ ¥'1(х) = гг^х),..., <^т_1(х) = £т_1<р(х), фт(х) = уэ(х), где е - "классический" малый положительный параметр и, например, = ]/т, ] = 1,..., т.

Рассмотрим систему (4) с нелинейностью = е<^(х), где £ — ма-

лый положительный параметр. Будем полагать, что у?(х) удовлетворяет условию Липшица в некоторой достаточно большой окрестности (7 нулевого решения

|<р(х') — <р(х")| < Ь\х — х"|, \/х,х ев. (С)

Неособым линейным преобразованием х = Б у систему (4) приведем к виду

2/1 = -ЫйУ2 + £4>\{уи 2/2, Уз),

У2 = ^т + £¥?2(г/1,г/2,уз), (7)

Уз = Ауз + £^з(уь2/2,Уз)-

Здесь

/ VI (у) \ / 2/Л

У2

¥>(у) = Му) V Уз (у) /

2/1,2/2 6 К, УзбМ""2,

V Уз /

¥>1,¥?2 ~ непрерывные скалярные функции, — (п — 2)-мерная непрерывная вектор-функция, А — постоянная (п — 2) х (п — 2) матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные вещественные части.

Согласно (6), функции <р1, и также удовлетворяют аналогичным условиям Липшица.

Для случая со скалярной нелинейностью имеем соотношения <^(у) = Я<£(г*у) и К = ^г*, где я и г — п-мерные векторы, </>(<т) — непрерывная скалярная функция ((/5(0) =0), к — коэффициент гармонической линеаризации, * — операция транспонирования. Тогда после применения неособого

линейного преобразования нелинейности системы (7) примут вид

<¿>1(2/1,2/2, Уз) = Ъцр{у1 + с*уз),

<Р2{У1,У2,Уз) = Ь2<р{у1 + с*уз), (8)

(Рз{У1-2/2, Уз) = Ь ¡р{уг + с*у3),

где Ь и с — (п — 2)-мерные векторы, и Ь2 ~ некоторые вещественные числа.

Не умаляя общности, можно принять, что для матрицы А существует положительное число а > 0, такое что

Уз (А + А*)уз < —2а|уз|2, \/у3 е К"-2. (9)

Рассмотрим следующее множество в фазовом пространстве системы

(7)

О = {г/1 6 [аь а2], у2 = 0, |у3| < £>г},

здесь й1,й2,0 — некоторые положительные числа.

Из вида системы (7) и условия (6) получим соотношения для решений нелинейной системы (7) с начальными данными (2/1(0), у2{0) = 0,уз(0)) 6 П при 4 € (О, Г]

2/1(4) = со8(ш0Оу1(0) + 0(е))

У2&) = 8Ш{^Ы0) + О{Е), (Ю)

у3(4) = ехр(А4)у3(0) + Оп_2(е),

где Оп_г(£) — (п — 2)-мерный вектор с компонентами О (г).

Из формул (10) следует, что для любой точки (2/1(0), 2/2(0) = 0,уз(0)) € П существует число

Т = Т(е,У1(0),Уз(0))=2?г/и;0 + 0(Е)

при котором

2/1 СО > 0, у2(Т) = 0,

и одновременно не выполнены соотношения

2/1(0 > о, 2/2(4) = 0, VI £{0,Т).

Введем отображение Пуанкаре ^ множества П для траекторий системы (7)

(И)

2/1(0) уЛТ)

0 = 0

Уз(0) Уз(Т)

Введем описывающую функцию

2л/ш(1 _

СОЙ(шоОУ1 (а со8(шо0>а йт(а;о£), 0) -Ь

Ф(а)= I

4- з1п(шо0¥32(ас05(шо01 0)

В работе доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Если выполнены неравенства

Ф(<ц) > О, Ф(а2) < О,

М.

(12)

то при достаточно малых е > 0 отображение Пуанкаре (11) множества П является отображением в себя: Ff2 С О.

Следствие. Если выполнены неравенства (12), то при достаточно малых £ > О система (7) имеет периодическое решение с периодом

ио

Это решение устойчиво в том смысле, что его окрестность П отображается в себя: с П.

Теорема 2. Если неравенства (12) противоположного знака, то при достаточно малых е > 0 отображение Пуанкаре (11) множества имеет гиперболический характер: происходит сжатие по хз и растяжение по х\: Гй1 < ах, Ра2 > ач-

Эти результаты являются обобщением на векторный случай результатов Г. А. Леонова и продолжают исследования, начатые Б.В. Булгаковым (см. книгу Б.В. Булгакова "Колебания", М.: Гостехиздат, 1954).

Во второй главе на основе разработанного метода производится численная локализация скрытых аттракторов системы Чуа. Рассмотрим

Рис. 1. Цепь Чуа. Электрическая схема с обратной связью.

систему, описывающую поведение цепи Чуа с пятью линейными элементами (см. Рис. 1), записанную в безразмерных координатах

х = а(у-х) - af(x),

y = (x-y + z), (13)

¿ = -{(Зу + iz),

где x,y,z £ К, а, /?, j - параметры линейной части системы Чуа, функция f(x) = mix 4- (mo — mi)sat(x) = m\x + ^(^o - mi)(|x + 1| — \x — 1|) (14)

характеризует нелинейный элемент системы (13), называемый также "диодом Чуа". Поведение такой модели описано в работах Т. Matsumoto, L.O. Chua, C.W. Wu, G.Q. Zhong, Л. Huang, G. Chen, M.E. Yalcin, J.A.K. Suykens, J. Vandewalle, R. Barboza, E. Bilotta, P. Pantano и др. Рассмотрим систему Чуа в виде системы Лурье

(15)

где

/ — a(mi + 1) а 0

Р =

\

-1 1

-0 -7

-о\ 0

0 /

г =

х е

ф(х) = (то — т^а^а:). (16)

Введем коэффициент гармонической линеаризации к, малый паргь метр £ и перепишем систему (15) в виде

йх

dt

= P0x + qe</>(r*x),

(17)

где

Р0 = Р + А^г* =

( -а(ггц + 1 + к) а О \ 1 -1 1 \ 0 -р -7)

, ¡р(а) = ф[ст) - ка,

А^ = ±ши, Аз" = А = -в, < О.

Далее систему (17) при помощи неособого линейного преобразования х = Бу приведем к виду (7) с нелннейностями (8)

(18)

где

0 0 \ (ьл ' 1 \

0 0 , Ь = Ъг 0

0 0 -й ) \ 1 )

Н =

Выпишем передаточные функции Игр0(р) системы (17) и Шц(р) системы (18)

^Ро(р) = г,(Р0-р1)-1Ч,

1^н(р) =

-Ь\Р + Ь2и0 Ь>

+ •

(19)

Р2 + р + (1

Используя равенство передаточных функций систем (17) и (18), получим соотношения

к

<1 =

Н =

к

-а(тп1 + тп + 7) + - 7 - Р а(1+7) '

а + ^р-/?+1+7 + 72

1 + 7

а(7 + 0 - (1 + -у)й + й2)

аЬ + р-<4~0- + 7)<0

и>п

■<Р

Ь2 =

+ (Р)

Поскольку система (17) приводится к виду (18) неособым линейным преобразованием х = Бу, для матрицы Б верны следующие соотношения

Н = Б^РоБ, Ь = в'Ч и* = г*Б.

Решив эти матричные уравнения, найдем матрицу преобразования

/ 5п 512 513 \

э = 521 622 Я23

\ 531 532 533 /

где

511 = 1, ^12 = 0, з13 = -Л,

шо /г(а(т1 + 1 + к) - с1)

521 = + 1 + л, 522 =--, «23 =--,

а а

а{т\ + к) - и)п а(/3 + 7)(тх + /с) + а/3 - 70^

«31 = -, 532 =-->

а аи<0

а(тх + к){й - 1) + ¿(1 + а - й)

5зз = Ь-

а

О

V 0 /

(20)

Для достаточно малых г можно получить соотношения для начальных данных системы (18)

( 2/1(0) \ / а0 \ У(0) = 2/гСО)

V Уз(0) )

где амплитуда ао — это корень уравнения Ф(а) = 0.

Используя соотношения (20), запишем соотношения между начальными данными систем (17) и (18)

а0

х(0) = 8у(0) = Э | 0 | =

а05ц

ао521 \ а0531

Таким образом, полученные соотношения для начальных данных позволяют нам численно моделировать систему Чуа, записанную в виде (17), применяя вышеописанный многошаговый алгоритм. Возвращаясь к обозначениям системы Чуа, имеем следующие формулы для определения начальных данных:

а{т 1 + к) — Шд

ж(0) = а0, г/(0) = а0{гп1 + 1 +к), г{0) = а0-

а

(21)

Рассмотрим систему Чуа с численными значениями параметров а = 8.4562, ¡3 = 12.0732, 7 = 0.0052, ш0 = -0.1768, тщ = -1.1468. (22)

Численное моделирование систем Чуа будем проводить согласно описанному алгоритму, последовательно увеличивая е г шагом 0.1 от значения £l = 0.1 до СЮ = 1-

На Рис. 2 показаны проекции на плоскость {ж. -у} решений классической системы Чуа при значениях параметра £¿ = 0.1. £7 = 0.7 и сщ = 1 соответственно. На Рис. 3 изображена нелинейность е<р(х) при £j = 0.1. £7 = 0.7 и сю = 1 и сектора устойчивости. Здесь при Е\ = 0.1 и £7 = 0.7 нелинейность лежит в секторе неустойчивости, а при £ю = 1.0 в секторе устойчивости.

Система (13) с параметрами (22) имеет три положения равновесия: локально устойчивое нулевое Eq и два симметриных неустойчивых седла Е±. Поведение траекторий системы вблизи положений равновесия показано на Рис. 4. В фазовом пространстве системы присутствуют устойчивые сепарирующие многообразия седел. Каждое из этих многообразий сепарирует фазовое пространство системы на траектории, стремящиеся к нулю и к бесконечности. Характеристические ляпуновские экспоненты локализованного аттрактора равны соответственно Ах = 2.2199, Аг = —0.9913, A3 = —0.9928. Таким образом, колебание, локализованное с помощью разработанного алгоритма в рассмотренной системе Чуа, является скрытым странным аттрактором, т.е. здесь невозможно классическое возбуждение хаотического колебания из окрестностей положений равновесия, которое изучалось в работах L.O. Chua, G. Chen, М. Komuro, Т. Matsuinoto, G.N. Lin, Zhong G.Q., E. Bilotta, P. Pantano и др.

Рис. 2. Локализация скрытого аттрактора в классической системе Чуа.

///У/

V/// У/ / 1

........ г - 7/ /у -/

-^fj

Рис. 3. Нелинейность и сектор устойчивости при г = 0.1, 0.7, 1.0.

Рис. 4. Скрытый аттрактор в пространстве {ж, у, z} и проекция на плоскость {ж, у}.

Следуя работам J.A.K. Suykens, L.O. Chua, A. Huang, J. Vandewalle, M.E. Yalcin, F.A. Savaci, Tang K.S., Man K.F., Zhong G.Q., Chen G., в ди-сертации также рассмотрена обобщенная система Чуа, т.е. система (13) с модифицированной нелинейностью

■ф{х) = f(x) + - m0)(\х + ¿о| -\х- Jo|). (23)

Здесь Jq и s — параметры, отвечающие за устойчивость нулевого положе-

ния равновесия. Параметр 5 выбирается так, чтобы линейная часть обобщенной системы Чуа была устойчивой, параметр 50 определяет область устойчивости нулевого положения равновесия.

Для обобщенной системы Чуа также проведен аналог построения матрицы Э пеособого линейного преобразования, обоснована актуальность применения многошаговой процедуры, вычислены характеристические ля-пуиовские экспоненты и получены аналогичные результаты локализации скрытых аттракторов.

Далее в диссертации рассмотрена модифицированная система Чуа с векторной нелинейностью

х = а(у — х) - а/0),

у = х-у + г + д(у), (24)

г = -{Ру + 72),

где

/(х) = кгх + 1с3х3 + к5х5, (25)

д(у) = су2. (26)

Отметим, что матрицу К в описанном в первой главе алгоритме можно сразу выбрать так, чтобы матрица Ро имела нужный блочно-диагональный вид, т.е. чтобы Рц = Н. В таком случае отпадает необходимость в построении матрицы преобразования Э для систем с векторной нелинейностью.

Для модифицированной системы Чуа на основе разработанного в 1 главе метода также проведена численная локализация скрытых аттракторов.

Приложения.

В Приложении 1 представлен компьютерный код алгоритма локализации скрытых аттракторов классической системы Чуа.

В Приложении 2 представлен компьютерный код алгоритма локализации скрытых аттракторов обобщенной системы Чуа.

В Приложении 3 представлен компьютерный код алгоритма локализации скрытых аттракторов модифицированной системы Чуа с векторной нелинейностью.

ty to

Публикации по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Леонов Г.А.. Вагайцсв В.И.. Кузнецов Н.В. Алгоритм локализации аттракторов Чуа на основе метода гармонической линеаризации // Доклады Академии наук. 2010, сер. Теория управления, Том 433, Вып. 3. С. 323-327.

2. Вагайцсв В.И., Кузнецов Н.В., Леонов Г.А. Локализация скрытых аттракторов обобщенной системы Чуа па основе метода гармонического баланса ,// Вестиик С.-Петерб. ун-та, 2010, Сер. 1, Вып. 4, С. 62-76.

Другие публикации:

3. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Vagaitsev V.I. Algorithms for Localization of Chua At tractors // Proceedings of The Third International Conference on Dynamics. Vibration and Control, ICDVC-2010, 2010, Hangzhou, China, p. 247.

4. Вагайцев В.И. Аттракторы Чуа /7 XI Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" им. Пятницкого, Тезисы докладов, 2010, Москва, Россия, С. 81.

5. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Vagaitsev V.I. Analytical-Numerical Method for Attractor Localization of Generalized Chua's System. // Abstracts of the International Conference "PSYCC^OIO", 2010, Antalya, Turkey, p. 7-8.

6. Bragin V.O., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Vagaitsev V.I. Analytical-Numerical Methods for the Localization of Hidden Oscillations: Aizerman and Kalman Problems, Hidden Attractor in Chua Circuits // Abstracts of the International Workshop "Mathematical and Numerical Modelling in Science and Technology", 2010, Jyvaskvla, Finland.

Подписано к печати 01.11.10. Формат 60 *84 1/16 . Бумага офсетная. Гирни ¡ура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4962. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СП6ГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел : (812) 428-40-43,428-69-19

Введение

1 Многошаговый аналитико-численный метод поиска колебаний в динамических системах с векторной нелинейностью на основе метода гармонической линеаризации.

1.1 Многошаговый алгоритм поиска колебаний в динамических системах.

1.2 Обоснование алгоритма.

1.2.1 Оценка решения системы, содержащей малый параметр.

1.2.2 Обоснование метода гармонической линеаризации для поиска стартового решения многошагового алгоритма.

2 Локализация скрытых аттракторов в системе Чуа.

2.1 Многошаговый аналитико-численный метод поиска колебаний в динамических системах со скалярной нелинейностью на основе метода гармонической линеаризации.

2.2 Классическая система Чуа.

2.3 Обобщенная система Чуа.

2.4 Модифицированная система Чуа с векторной нелинейностью.

Нелинейные колебания являются основой современной радиотехники, импульсные колебания тактовых генераторов — основой компьютерной и телекоммуникационной техники. Нелинейные колебания в системах управления часто приводят к выходу из строя таких систем. Поэтому задача локализации и вычисления таких колебаний является актуальной.

Основное внимание в настоящей работе уделено скрытым колебаниям, т.е. колебаниям, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей стационарных состояний.

Разработанный в диссертации аналитико-численный метод позволяет эффективно локализовывать и вычислять периодические и хаотические колебания нелинейных систем, которые являются скрытыми. Основное внимание в диссертации будет уделено именно скрытым хаотическим колебаниям.

Рассматриваемые в данной работе алгоритмы поиска решений основываются в первую очередь на- методе гармонической линеаризации. Метод гармонической линеаризации (метод описывающих функций), см. например [Крылов & Боголюбов, 1934, Крылов & Боголюбов, 1937, Айзерман, 1958, Попов & Пальтов, 1960, Розенвассер, 1969, Гольдфарб, Александровский & Балтрушевич, 1972, Сю к Мейер, 1972, Бесекерский & Попов, 1975, Попов, 1979,

Первозвапский, 1986, КЬаШ, 2002], является широко распространенным приближенным методом поиска близких к гармоническим периодических колебаний нелинейных динамических систем. За счет своей простоты метод гармонического баланса пользуется популярностью в инженерной практике, см. например [Попов, 1959, Попов &; Пальтов, 1960, Бесекерский к Попов, 1975, Попов, 1979, Khalil, 2002].

Поскольку метод гармонического баланса является приближенным методов поиска близких к гармоническим периодических колебаний (он дает нам приближенное значение "возможных" частоты и амплитуды на выходе линейной части системы), уместно привести оценки его погрешности и попытаться устранить недостатки, см. например [Глатенок, 1957, Попов, 1957, Гарбер, 1963, Розенвассер, 1964, Гарбер к, Розенвассер, 1965, Розенвассер, 1969, Khalil, 2002], его применимости, см. например [Попов, 1954, Айзерман к Смирнова, 1954, Попов, 1956, Розенвассер, 1963, Рябов, 1963], а также провести его математическое обоснование, см. например [Айзерман к Смирнова, 1955, Попов, 1956, Бэсс, 1961, Загиров, 1962, Bergen к Franks, 1971]. Такие попытки приведены в ряде известных работ. Строгому обоснованию метода гармонического баланса для разрывных систем посвящена работа [Macki, Nistri к Zecca, 1990].

Известно, что метод гармонической линеаризации может давать неверные результаты, например при наличии в периодических режимах нескольких близких по величине гармоник [Розенвассер, 1963]. Неверные результаты для релейных систем приведены в [Цыпкин, 1955]. Для гладких систем напомним гипотезу Айзермана, [Айзерман, 1949]. В книге [Айзерман к Гантмахер, 1963] показано, что с точки зрения классического метода гармонической линеаризации эта гипотеза справедлива. Однако в работах [Плисс, 1958, Leonov, Burkin к Shepelyavy, 1996, Leonov, Poriomarenko к Sminiova, 1996] выделены классы нелинейных систем, где гипотеза Айзермана, неверна. Таким образом, для этих классов гладких нелинейных систем стандартный метод гармонической линеаризации даст неверные результаты.

В связи с этим в течение многих лет делались попытки найти классы систем, где метод гармонической линеаризации (и различные его обобщения) оказывался точным и давал верные результаты. Одними из первых в этом направлении были работы [Булгаков, 1943, Булгаков, 1954], где применялся вариант классического метода малого параметра.

В дальнейшем это направление подверглось серьезной критике. Ее основанием являлось то, что "эти методы малого параметра опираются на предположение о том, что исходная система мало отличается от линейной системы, обладающей собственной порождающей частотой. В теории автоматического регулирования подобные предположения не могут быть сделаны, так как система заведомо не консервативна и условия устойчивости в линейном приближении выполняются с достаточным запасом" [Айзерман, 1953].

С учетом этой критики стали разрабатываться другие методы введения малого параметра и обоснования метода гармонической линеаризации, основанные на гипотезе фильтра [Попов, 1955, Попов, 1962, Гарбер к Розенвассер, 1965, Bergen к Franks, 1971, Браверман, Меерков к Пятницкий, 1975, Mees к Bergen, 1975].

Развитие численных методов, вычислительной техники и прикладной теории бифуркаций позволяют вернуться к ранним идеям по применению метода малого параметра и процедуры гармонической линеаризации в динамических системах и рассматривать их с новых позиций.

С точки зрения современных компьютерных вычислений не представляет труда вычисление асимптотически устойчивого периодического решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным данным, находящимся в области притяжения этого асимптотически устойчивого периодического решения. То есть из начальной точки, находящейся в области притяжения искомого решения, после переходного режима вычислительная процедура выходит на периодический режим и вычисляет его.

Совместное применение процедуры гармонической линеаризации, классического метода малого параметра и численных методов позволяет сделать вычисление периодических режимов некоторой многошаговой процедурой, где на первом шаге и применяется метод гармонической линеаризации.

Аналитико-числепный метод поиска периодических решений, включающий в себя процедуру гармонической линеаризации, метод малого параметра и численные методы, впервые был предложен Г.А. Леоновым для автономных нелинейных систем со скалярной нелинейностью [Леонов, 2009, Леонов, 2010]. Этот метод дает более точные результаты по сравнению с классическим методов гармонического баланса. В настоящей работе этот метод обоснован для многомерных динамических систем систем с векторной нелинейностью [Леонов, Вагайцев к Кузнецов, 2010]. Стоит отметить, что благодаря развитию вычислительной техники и математического программного обеспечения реализация данного метода не представляет большой сложности. Численный метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений и их систем на сегодняшний день реализован во всех известных математических пакетах (Matlab, Maple, Mathematica).

В первой главе подробно описан и обоснован многошаговый аналитико-численный метод поиска колебаний в многомерных автономных нелинейных динамических системах с непрерывной векторной нелинейностью. Приведены основные положения метода, базовые оценки, доказаны основные теоремы.

Во второй главе разработанный алгоритм поиска колебаний применен для численной локализации скрытых аттракторов системы Чуа. Исследованию поведения цепей Чуа посвящено множество работ, см. например [Matsumoto, 1984, Chua, Komuro к Matsumoto, 1986, Broucke, 1987, Chua к Lin, 1990, Chua, 1992, Chua, 1992a, Chua к Huynh, 1992, Chua, 1993, Chua и др., 1993, Chua, 1995, Chua, Pivka к Wu, 1995, Altman, 1993, Madan, 1993, Zhong, 1994, Huang и др., 1996, Lakshmanan к Murali, 1996, Кузнецов, 2001, Lakshmanan к Rajasekar, 2003, Barboza к Chua, 2008, Mital, Kumar к Prasad, 2008, Bilotta к Pantano, 2008,

Fortuna, Frasca к Xibilia, 2009]. В диссертации рассмотрены три типа систем: классическая система Чуа с пятью линейными элементами и две ее модификации — обобщенная система Чуа, см. например, [Леонов, Вагайцев к Кузнецов, 2010, Вагайцев, Кузнецов к Леонов, 2010] и модифицированная система

Чуа с векторной нелинейностью. Для всех трех типов систем приведены примеры численной локализации скрытых аттракторов. Впервые обнаружены скрытые колебания в классической системе Чуа, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей состояний равновесия системы.

В настоящее время численная локализация аттракторов становится все более актуальной в связи с развитием областей применения прикладного хаоса. В работах [Tonelli, Chua к Meloni, 2002, Tonelli к Meloni, 2002] установлена зависимость между бифуркационными параметрами цепи Чуа и энергетическими уровнями атомов химических элементов. Генераторы хаотических колебаний могут применяться в телекоммуникации и передаче информации, см. например [Kennedy, Rovatti к Setti, 2000, Кузнецов, 2001, Lau к Tse, 2003, Stavroulakis, 2005, Larson, Tsimring к Liu, 2006, Tarn, Lau к Tse, 2007, Feng к Tse, 2008]. В настоящее время предложен целый ряд схем, обеспечивающий связь на хаотических сигналах. Коммуникационные возможности хаотических колебаний отражены в работах [Hayes, Grebogi к Ott, 1993, Koh к Ushio, 1997, Hasler к Vandewalle, 1999, Grassi к Mascolo, 1999, Tang, Man к Chen, 2001].