автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы построения контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана

004616311

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БРАТИН Виталий Олегович

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНТРПРИМЕРОВ К ПРОБЛЕМАМ АЙЗЕРМАНА И КАЛМАНА

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕН 2010

Санкт-Петербург 2010

004616311

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент КУЗНЕЦОВ Николай Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ДЕМЬЯНОВИЧ Юрий Казимирович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических наук, ведущий научный сотрудник АНДРИЕВСКИЙ Борис Ростиславич (Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

Зс

Защита состоится "16" декабря 2010 г. в часов на заседании совета Д212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "___"_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Даугавет И. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации разработаны алгоритмы построения контрпримеров к гипотезам Айзермана и Калмана, основанные на обобщенном методе В.А. Плисса, численных методах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и прикладной теории бифуркаций.

Актуальность темы. Проблемы Айзермана и Калмана играют центральную роль в теории автоматического управления. Их исследованию и обсуждению посвящены работы И.Г. Малкина, Н.П. Еругина, H.H. Красов-ского, В.А. Плисса, Г.А. Леонова, Е. Нолдуса, P.E. Фиттса, Н.Е. Бараба-нова, Дж. Либре. Однако, если решение проблемы Айзермана для многих классов динамических систем является достаточно полным, то по проблеме Калмана имеются только отдельные частные результаты. Поэтому разработка и реализация алгоритмов построения контрпримеров к проблеме Калмана является актуальной задачей.

Цель работы. Целью данной работы является разработка алгоритмов построения контрпримеров к гипотезам Айзермана и Калмана с использованием аналитических и численых методов исследования колебаний динамических систем, современных вычислительных средств и специализированных математических пакетов.

Методы исследования. Методы исследования включают обобщенный метод В.А. Плисса и численные методы построения решений нелинейных динамических систем. Разработанный многошаговый метод поиска периодических колебаний реализован в пакете Matlab.

Результаты, выносимые на защиту.

• Оценка частоты и амплитуды периодических решений многомерных систем дифференциальных уравнений специального вида обобщенным методом В.А. Плисса.

• Разработка алгоритмов поиска периодических решений для систем удовлетворяющих обобщенным условиям Рауса-Гурвица.

• Выделение классов систем, для которых проблемы Айзермана и Кал-

мана имеют отрицательное решение.

Достоверность результатов. Все полученные аналитические результаты математически строго доказаны. Разработанные в диссертации алгоритмы дают для систем, рассмотренных в работах Дж. Либре и P.E. Фиттса такие же результаты, как у этих известных авторов.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют производить эффективный поиск колебаний в нелинейных динамических системах, которые удовлетворяют условиям гипотез Айзермана и Калмана.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "IFAC Workshop Periodic Control Systems" (Турция, Анталья - 2010), конференция памяти В.Я. Ривкинда (Финляндия, Ювяскюля, 2010) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики (2008 - 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах, в том числе в 2 статьях.

Статьи [1,2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1-4] соавторам принадлежит постановка задачи. В работах [1-4] диссертанту принадлежат разработка и реализация алгоритмов и компьютерное моделирование.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, трех приложений, списка литературы, включающего 99 наименование, изложена на 118 страницах машинописного текста и содержит 80 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается система вида

— = Рх + ч0(г*х), х € К", (1) ас

где Р - постоянная п х п-матрица, я, г - постоянные п-мерные векторы, * -операция транспонирования, 'ф(сг) - дифференцируемая скалярная функция и т/>(0) = 0.

Для системы (1) рассматриваются известные гипотезы. В 1949 году М.А. Айзерман выдвинул следующую гипотезу для системы (1): если для всех к £ {ци^ъ) система (1) с ф(<г) = ка асимптотически устойчива (,матрица Р + qA:r* гурвицева), то система (1), удовлетворяющая свойству

Цхсг < ф(а) < ц2сг а ф 0, (2)

имеет асимптотически устойчивое в целом пулевое решение.

Позднее в 1957 году Р.Е. Калман видоизменил условие М.А. Айзерма-на, выдвинув аналогичную гипотезу с более "жестким" условием на нелинейность яр : если выполнено условие

т < II/(а) < ц2, (3)

то система (1) имеет асимптотически устойчивое в целом нулевое решение.

Первая глава посвящена описанию алгоритма поиска периодических решений для систем удовлетворяющих гипотезам Айзермана и Кал-мана.

Рассматривается система (1х

— =Р0х + ч^г*х), х€1Г. (4)

Здесь предполагается, что матрица Ро имеет два чисто мнимых собственных значения > 0) и остальные ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части, пусть для всех к 6 (0, цг) система (4) с 1р{а) = ка асимптотически устойчива. Тогда не умаляя общности

систему (4) можно записать в виде:

¿1 = -и0х 2 + bi<p(xi + с*х3), х2 = üJqx 1 4- b2ip{x I + с*х3), (5)

i3 = Ахз + ty?^! + с*х3).

Здесь х\, Х2 6 К1, Хз € Мп~2, А — постоянная (п —2) х (п — 2)-матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные вещественные части, b и с — постоянные (п — 2)-мерные векторы, и 62 — некоторые числа. Введем в рассмотрение функцию tp°(cr)

{¡.icr, V |сг| < i;

/и, Vo-:i<H<e; (6)

sign(cr)Me3, V \<т\ > s.

Здесь fi < ß2, M — некоторые положительные числа, e, ö — малые положительные параметры, такие что 0 < е — <5 < 52,

/(сг) = 1/1 ((о- - sign(<7)e)2)(> - sign(cr)i) + v2{{o - sign(o»2)(cr - sign(cr)£)+ + г/з(сг - sign(ff)i) +

где

(l-l>3

Vi ~

v2 =

V3 =

Me3 - /«5

е-5 ' г/4(ст) = sign(a)(J,S.

Отметим здесь, что функция /(ст) выбрана таким образом, что у?°(<7) является дифференцируемой. График функции у°(ст) изображен на рисунке Рис. 1.

Далее доказана следующая теорема Теорема 1. Если выполнены неравенства &! <0,

0 < д62^о(с*Ь + Ь) + Ьц^д,

Рис. 1. График функции <£>°(îx)

то для достаточно малого е система (5) с нелинейностью (6) имеет периодическое решение, удовлетворяющее соотношениялг:

ал (0 = - sin(wQi)a;2(0) + 0(е), x3(i) = 0(е), X2{t) = cos(woi)x2(0) + 0(е), с начальными данными

Xl(0 ) = 0(е2), хз(0 = О (s2),

(7)

Г ((H- + ¿>i) + Mo2)

(8)

При этом можно показать, что траектории с близкими начальными данными мало отличаются от указанного периодического решения.

Для построения алгоритма поиска периодического решения вводится конечная последовательность дифференцируемых функций

( V И < г,-;

<р>(а) = | />), Уа:6^<\а\<еГ,

( ш8п(а)Ме*, V |<т| > (9)

3

fi ? е\

~ m V M' _ £j 4

где j = 0,1,..., m;

/J(<j) = i>ij{{o- - sign(a)£j)2)(ij - sign(<r)5j) + v2j{{o - ^п(ст)<у2)((Х-- sign(ff)ej) + vZj{a - sign(tT)5j) + u4j{a),

„ - Р-Ъ} Ме) -

Будем выбирать т так, чтобы графики функций цй и </>,+1 мало отличались друг от друга. Функция <р° имеет вид (6).

Теорема 1 позволяет определить близкое к гармоническому периодическое решение х(Ь) = х°(£) системы

П.Т

- = Р0х + Ч^(г*х) (10)

с 3 = 0. Все точки этого периодического решения либо расположены в области притяжения устойчивого решения х!(£) системы (10) с ^ = 1, либо при переходе от системы (10) с j = 0 к системе (10) с j = 1 наблюдается бифуркация потери устойчивости и исчезновения периодического решения. В первом случае можно численно определить х1^), выпуская траекторию системы (10) с ] = 1 из начальной точки х°(0).

Стартуя из точки х°(0), вычислительная процедура после переходного процесса выходит на периодическое решение и вычисляет его. Для этого промежуток [0,Т], на котором происходит вычисление, должен быть достаточно большим.

После вычисления х'(£) можно перейти к следующей системе (10) с 3 = 2 и организовать аналогичную процедуру вычисления периодического решения х2(£), выпуская из начальной точки х2(0) = х^Т) траекторию, которая при возрастании £ приближается к периодической траектории х2(£) (либо здесь наблюдается бифуркация потери устойчивости и исчезновения периодического решения).

Продолжая эту процедуру далее и последовательно вычисляя периодические решения х-7^), используя траектории системы (10) с начальными данными х-'(О) = х^_1(Т), либо приходим к вычислению периодического решения системы (10) с з = то, либо на некотором шаге наблюдаем бифуркацию исчезновения периодического решения и останавливаем алгоритм.

Предположим, что нами вычислено периодическое решение xm(i) системы (10) с функцией <рт(<х) которая является неубывающей и дифференцируемой. Далее рассматриваются два возможных варианта построения контрпримеров к гипотезе Калмана.

В первом случае можно организовать аналогичную вычислительную процедуру для последовательности систем с дифференцируемыми нсли-нейностями

Нт

- = P0X + q#(r*X), (11)

h, ф°(а) = ipm(a) и

ца, V \<т\ < Sm;

д\а), V а : 5т < |<т| < £т; (12)

г(а - sign(<j)sm)N + sign(cr)/xem, V|a| > sm. гДе

gl(o) = vu((a - sign(а)ет)2)(а - sign(<7)<5m) + u2i((a - sign(<7)Jm)2)(a--- sign(a)em) + i/3i(a - sign(a)6m) + vu{o),

li ~ »ы

v\i =

Vn =

{&ТП 6

iN - - г/3 i

umJ

Me3 - - fiSm

- А ' £гп От

1/41(0-) = sign (а)ц6т.

Здесь N - некоторый положительный параметр, такой что ИЫ < Стоит отметить здесь, что (ф1(а))' > 0 при г = 1,..., И.

Нахождение периодических решений хг(£) системы (11) дает при каждом г = 1,..., к некоторый контрпример к гипотезе Калмана.

Во втором случае можно организовать аналогичную процедуру для последовательности систем

¿х

— = Рох 4- я0г(г*х), (13)

где г = 0,1, .., в, в°{а) = <рт(ст) и

9\а)=ч,т(<т) + Ш-<ртШ (14)

Здесь 7° = 0, 71 = 1/s, 72 = 2/s,..., Y = 1; g(a) — функция удовлетворяющая условию (3). В результате при 7S = 1 получаем систему с нелинейностью д(сг).

Вторая глава на основе разработанных алгоритмов производится построение контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана для конкретных систем.

Рассмотрим систему

¿1 = —%2 — Ю <р(жх — 10.1 з^з - 0.114)

¿2 = xi — 10.1 f(x\ — 10.1 £3 — 0.1Х4)

¿3 = Х4

¿4 = — Хз ~ Х4+ ip(xi — 10.1 £3 — 0.1 Х4) Здесь <р—скалярная дифференцируемая нелинейность, при <р(сг) = ка асимптотическая устойчивость линейной системы (15) имеет место для к 6 (0,9.9), и для нелинейности <р(о) = <р°(<т) с достаточно малым е по вышеизложенной теореме существует периодическое решение.

Используя вышеизложенный алгоритм можно последовательно строить периодические решения. Возьмем [i~M = 1, £1 = 0.1, ¿1 = 0.05, £2 = 0.2, ¿2 = 0.15, ..., ею = 1, ¿ю = 0.95 и будем для j = 1,..., 10 последовательно строить решения системы (15), полагая нелинейность с/з(ст) равной <р]((?) согласно (9). Здесь для всех öj, j = 1,..., 10 будут существовать периодические решения.

Начальные данные периодического решения на первом шаге при j = 0 согласно теореме имеют вид:

®i(0) = 0(е), г3(0) = 0(е), аг4(0) = 0(е), х2(0) = -1.7513 + 0(е).

Поэтому при j = 1 выпускаем траекторию xL(t) из точки х\(0) = хз(0) = Ж4(0) = 0, .т2(0) = —1.7513. Рассмотрим траекторию x*(i) на большом временном промежутке. Конечная точка траектории х:(Т) берется как начальные данные для вычисления периодического решения при j = 2.

График нелинейности проекция траектории решения на плос-

кость (хь^г) и выход системы r*x(£) = a;i(i) —10.1:сз(£)—0.1x4(i) при j = 1 изображены на Рис. 2.

1 1. 'Д;. .

-20 0 20

Рис. 2. График нелинейности </'1(сг); проекция траектории на плоскость (,XI, Х2) и выход системы при £1 = 0.1, ¿1 = 0.0975.

Здесь видно, что после переходного процесса происходит выход на периодическое решение.

Продолжая эту процедуру при ] = 2, ...10 последовательно приближаем периодическое решение системы (15) при £ю = 1, ¿ю = 0.95. На Рис. 3, 4 и 5 изображены периодические решения для j = 4, ] = 8 и ] = 10 соответственно.

Рис. 3. График нелинейности у24(а), проекция траектории на плоскость (х1, хг) и выход системы при е\ = 0.4, 64 = 0.3975.

Рис. 4. График нелинейности проекция траектории на плоскость

(жь^г) и выход системы при е8 = 0.8, ¿8 = 0.7975.

Ш : .. %г

11 : - ч

-20 0 20

Рис. 5. График нелинейности ср10(а), проекция траектории на плоскость {х\,х2) и выход системы при Ею ~ 1, ¿ю = 0.9975.

Заметим, что при ею = 1 нелинейность (рю(с) является неубывающей.

Отметим здесь, что если вместо последовательного увеличения е^ вычислять решение с начальными данными согласно (8) при е = 1, то решение "сорвется" к нулю.

Продолжим далее последовательное построение периодических решений для системы (15), заменив нелинейность <р(о) на строго возрастающую функцию 1рг{о) (11), где ц = 1, ет = 1, N = 0.01, при 1=1,...,5. Начальные данные при г = 1 берутся согласно алгоритму в виде х(0) = х10(Т).

Полученные периодические решения изображены на Рис. 6 и 7 при г = 1 и г = 5 соответственно.

Заметим, что при вычисление решения при г = 6 происходит исчезновение периодического решения Рис. 8.

« ? ШппШшШШ

" 0 50 100 150 200

Рис. б. График нелинейности а), проекция траектории на плоскость (х\, хг) и выход системы при г = 1

Рис. 7. График нелинейности тр5(сг), проекция траектории на плоскость (х1,Ж2) и выход системы при г = 5

О 100 200 300 400 500

Рис. 8. График нелинейности (сг), проекция траектории на плоскость (х\, жг) и выход системы при г = 6

Теперь вместо введения функций ~фг будем строить периодических решений для системы (15), заменив нелинейность (р(<т) на функцию 0г(а) = 1р10{а)+{1йпЦа)-1р10(а))'у\щег = 1,..., 10, 71 = 0.1, 72 = 0.2,..., 710 = 1. Стартуя при г = 1 из точки х(0) = х10(Т) находим периодическое

решение. Результат работы данного алгоритма изображен на Рис. 9-12.

Рис. 9. График нелинейности 01(п), проекция траектории на плоскость Х2) и выход системы при 71 = 0.1

Рис. 10. График нелинейности 0i(a), проекция траектории на плоскость (Х1,Х2) и выход системы при 74 = 0.4

Рис. 11. График нелинейности проекция траектории на плоскость

(яь Х2) и выход системы при 7» = 0.8

Таким образом здесь получено периодическое решение для системы с нелинейностью 01О(ст) = 1апК(сг).

30 __x

20 f \ :

10 ! V^

0 V \

-10 -20 N ; j

-30 •••—-

—20 0 20

П П

Рис. 12. График нелинейности в10(а), проекция траектории на плоскость (xi,x2) и выход системы при 7ю = 1

Приложения. В Приложении 1 представлен компьютерный код построения периодических решений для систем Фиттса, Барабанова и Либре.

В Приложении 2 представлен компьютерный код алгоритма поиска периодических решений для двух динамических систем.

В Приложении 3 представлен компьютерный код алгоритма поиска периодических решений для систем Барабанова и Либре.

Публикации по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Леонов Г.А., Брагин В.О., Кузнецов Н.В., Алгоритм построения контрпримеров к проблеме Калмана //Доклады Академии наук, 2010, сер. Мертематика, Том 433, Вып. 2, С. 1-4

2. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Брагин В.О., О проблемах Айзермана и Калмана // Вестник С.-Петерб. ун-та, 2010, Сер. 1, Вып. 3, С. 31-47.

Другие публикации:

3. Bragin V.O., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Algorithm for construction of counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures // Abstracts of the International Conference "PSYC02010", 2010, Antalya, Turkey, p. 7.

4. Bragin V.O., Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Vagaitsev V.I., Analytical-Numerical Methods for the Localization of Hidden Oscillations: Aizerman and Kalman Problems, Hidden Attractor in Chua Circuits // Abstracts of the International Workshop "Mathematical and Numerical Modelling in Science and Technology", 2010, Jyvâskylâ, Finland.

Подписано к печати 03.11.10. Формат 60 »84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4967. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Введение

1 Многошаговый аналитико-численный метод поиска контрпримеров к гипотезам Айзермана и Калмана.

2 Построение контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана.

Одним из основных вопросов исследования нелинейных систем управления является вопрос, касающийся их абсолютной устойчивости. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. где Р - постоянная п X п-матрица, я, г - постоянные п-мерныс векторы, ф(а) - дифференцируемая скалярная функция. Здесь функция ^>(г*х) трактуется как вход, а г*х - как выход. В дальнейшем будем полагать, что ф(0) = 0. Здесь и далее * обозначается операция транспонирования. Такая форма записи нелинейных динамических систем с одной нелинейностью традиционна для теории абсолютной устойчивости нелинейных систем управления [Лурье , 1951, Г^всЬейг, 1965].

В 1949 году М.А. Айзерман [Айзерман, 1949] выдвинул следующую гипотезу для системы (0.1): если для всех к Ё (/¿1,^2) система (0.1) с ф{а) = ка асимптотически устойчива (собственные числа матрицы Р + qA;r* имеют отрицательные вещественные части), то система (0.1), удовлетворяющая свойству имеет асимптотически устойчивое в целом нулевое решение (т.е. нулевое решение устойчиво по Ляпунову и любое решение системы (0.1) - Рх + цф(г*х), хег

0.1) о < ф(а) < (¿2а о ф 0,

0.2) стремится к нулю при Ь со).

В 1952 году И.Г. Малкин [Малкин , 1952], Н.П. Еругин [Еругин , 1952] и H.H. Красовский [Красовский , 1952] полностью разрешили проблему Айзермана при п = 2. Здесь проблема Айзермана имеет положительное решение кроме случае, когда матрица Р Н- ß±qr* имеет кратное двойное нулевое собственное значение и

При выполнение этих условий H.H. Красовским [Красовский , 1952] было показано, что система (0.1) имеет решения, стремящиеся к бесконечности. Это был первый контрпример к проблеме Айзермана, который в дальнейшем был обобщен на системы (0.1) произвольного порядка [Noldus, 1971, Леонов , 1970].

Позднее в 1957 году P.E. Калман [Kaiman, 1957] видоизменил условие М.А. Айзермана, выдвинув аналогичную гипотезу с более "жестким" условием на нелинейность ф : если выполнено условие то система (0.1) имеет асимптотически устойчивое в целом нулевое решение. Ясно, что для п — 2, за исключением контрпримера Красовского, гипотеза Калмана верна.

В [Leonov, Ponomarenko & Smirnova, 1996] показано, что из частотных- критериев- устойчивости следует положительное решение проблемы Калмана для п = 2 и п = 3.

Обобщение вопроса, поставленного P.E. Калманом, было сформулировано в [Markus &Yaraabe, 1960] и известно как гипотеза Маркуса.-Ямабе. i < ф'(а) < //2,

0.3)

В 1958 году В.А. Плисс [Плисс , 1958] развил метод построения нелинейных систем, удовлетворяющих условию Айзермана и обладающих периодическими решениями. В дальнейшем этот метод был обобщен на систему (0.1) произвольной размерности [Noldus, 1971, Леонов , 1970].

Однако классы этих систем не удовлетворяли условию Калмана.

Гипотезам Айземапа и Калмана и вопросами, связанными с ними, посвящено большое количество работ, например

Willems^; Willems, 1968, Mahalanabis& Bhaumik, 1969, Воронов , 1977,

Воронов , 1978, Vidyasagar, 1978, Калитин & Черчуп , 1978, Grujic, 1978,

Singh& Kumar, 1978, Груйич , 1980, Онайбаев , 1980, Опойцев , 1981,

Grujic, 1981, Гиль , 1983, Скородинский, 1984, Смоляр, 1986,

Лапин , 1987, Cheng, 1990, Grujic, 1993 , Gil, 1994, Kaiqi, 1995,

Okuyama& Takemori, 19981, Gil& Ailon, 1998, Okuyama к Takemori , 19982,

Curran, 1998, Gil, 2000, Gil, 2001, Medinafc Gil, 2003, Altshuller, 2008,

Fitts, 1966, Fannin& Rushing, 1974, Fannin& Connelly, 1975,

Djebrane& Fannin, 1981, Барабанов, 1988, Bernat& Llibre, 1996,

Vidyasagar, 2000, Либерзон, 2006]

Известным контрпримером к гипотезе Калмана являются результаты

Фиттса [Fitts, 1966], где проведено компьютерное моделирование системы

0.1) при п = 4 с передаточной функцией р2 w [{p + ß)2 + w2}[{p + ß)2 + í.i2] (0'4) и с кубической нелинейностью (р(а) = ка3.

Проведем компьютерное моделирование системы Фиттса. При ß = 0.01 и к = 10, восстанавливая систему по передаточной функции (0.4), получим

1 = Х2 ¿2 =

0.5) з = Ж4

4 = —0.9803^1 - 0.0404о;2 - 2.0206.т3 - 0.0400ж4 + <р(-х3) Моделируя данную систему с начальными данными ^i(O) = 85.1189, ж2(0) = 0.9222, ж3(0) = -2.0577, ж4(0) = -2.6850, получим "периодическое" решение (Рис. 0.1). 20 ю 0 -10 -20

-100 -50 0 50 100 0 200 400 600 800 t

Рис. 0.1. Проекция траектории с начальными данными жх(0) = 85.1189, х2(0) = 0.9222, ж3(0) = -2.0577, а;4(0) = -2.6850 системы (0.5) на плоскость (reí, х2)

В своих экспериментах Фиттс обнаружил периодические решения системы (0.1) при некоторых значениях параметров (3 и к. Однако для части параметров /3G.(0.572,0.75), рассмотренных Фпттсом, было показано [Барабанов, 1980, Барабанов, 1988], что результаты. экспериментов неверны.

В 1988 году Н.Е. Барабанов [Барабанов, 1988] приводит доказательство существования системы (0.1) при п = 4, для которой о гипотеза Калмана не выполнена. Это доказательство было подвергнуто критике [Bernat& Llibre, 1996, Meisters, 1996, Глуцюк, 1997]. В работе [Bernat& Llibre, 1996] говорится "Barabanov tried to prove that his system and systems close to his have a periodic orbit. But his arguments are not complete, and we checked numerically that in the region where he tries to find the periodic orbit all the solutions have w-limit equal to the origin", в [Meisters, 1996] говорится, что "In 1988 Barabanov gave ideas for constructing a class C1 Markus-Yamabe-system in 4 dimensions with a nonconstant periodic orbit, and hence a counterexample to Markus-Yamabe Conjecture in RA But the details of his paper were in some doubt", в [Глуцюк, 1997] говорится, что "в 1988 г. Н.Е Барабанов сделал попытку построить контрпример к теореме Маркуса-Ямабе в Мп при п > 4. Недавно в его статье были найдены ошибки".

Рассмотрим систему

1 = х2

2 = —Ж4 р(а) = sign(cr). (0.6) i.'3 = Х\ ~ 2х4 — <р(%4)

X4 = Х\ + Х3 - Х4 - ip(x4), предложенную в [Барабанов, 1988].

Возьмем <р специального вида, которая, будет "близкой" к нелинейности Барабанова. - •

0.7)

График такой нелинейности изображен на Рис. 0.2. ф(о) о

-0.5

Рис. 0.2. График <р(сг) и сектор линейной устойчивости

Для системы (0.6) с нелинейностью (0.7) найдем периодическое решение. Промоделируем данную систему с начальными данными жх(0) = О, ^2(0) = 1/2, £3(0) = 0, 2:4(0) = 0. Полученное периодическое решение изображено на Рис. 0.3.

Рис. 0.3. Проекция траектории на плоскость (2:3,2:4) и выход системы (0.6)

В [Bernat&: Llibre, 1996] предприняты попытки преодоления проблем возникших в [Барабанов, 1988] при помощи аналитико-численных методов.

Проведем моделирование системы, предложенной в [Bernatfc Llibre, 1996], где

XI = х2

Х2 — —Х4 о 9131 , Ч

Хз = х\ — 2X4--^тг

900

4 = .Г\ + Хз - XI

1837 180

4>(х 4),

0.8)

4>(сг) о

У|сг| <

900

9185' . , 900 . . 900 81&П(СТ)9185' > 9185-График такой нелинейности изображен на Рис. 0.4.

0.9)

0 1

0.05 ф(о)о

-0 05

-0.1

-1 О о

Рис. 0.4. График уэ(сг) и сектор линейной устойчивости

Промоделируем систему (0.8) с начальными данными £1(0) — 0, £2(0) — 1/2, £з(0) = 0, £4(0) = 0. Полученное^периодическое решение изображено на Рис. 0.5.

Здесь необходимо отметить, что в рассмотренных выше примерах поиск начальным данных, для вычисления периодического решения, осуществляется либо эмпирически, либо в результате громоздких формул, 1

Ч О -1

-2-1012 'о Ю00 2000 2,00 2200 3000 х3(« I

Рис. 0.5. Проекция траектории на плоскость (£3,3:4) и выход системы (0.8) полученных методом точечных отображений. На поиск самих систем, а так же их решений затрачивается много времени и сил.

В настоящей работе описывается современное состояние исследований проблем Айзермана и Калмана и новый подход к их решению, основанный на вычислительных алгоритмах, где на первом шаге применяется модифицированный метод гармонической линеаризации [Леонов , 20091, Леонов , 20092, Леонов , 2010]. Классический метод гармонической линеаризации (описывающих функций), см. например [Крылов & Боголюбов , 1934, Крылов & Боголюбов , 1937, Айзерман, 1958, Попов & Пальтов , 1960, Розенвассер, 1969,

Гольдфарб, Александровский & Балтрушевич, 1972, Сю &: Мейер , 1972, Бесекерский & Попов, 1975, Попов, 1979, Первозванский , 1986, Kha.ni, 2002], широко распространен и часто применяется при анализе нелинейных динамических систем для поиска близких к гармоническим периодических колебаний см. например [Попов , 1959, Попов & Пальтов , 1960, КЬаШ, 2002]. Однако этот метод не является строго математически обоснованным и относится к приближенным методам анализа динамических систем (дает приближенное значение "возможных" частоты и амплитуды на выходе линейной части системы). В связи с этим уместно приводить оценки его погрешности см. например [Глатенок , 1957, Попов , 1957, Гарбер , 1963, Розенвассер, 1964, Гарбер & Розенвассер , 1965, Розенвассер, 1969, Khalil, 2002], и попытаться устранить недостатки его применимости, см. например [Попов , 1954, Анзерман & Смирнова, 1954, Попов , 1956, Розенвассер, 1963, Рябов, 1963] Также важно проводить его математическое обоснование, см например [Айзерман & Смирнова, 1955, Попов , 1956, Бэсс , 1961, Загиров П., 1962,' Bergen &z Franks, 1971]. Работа [Macki& Nistri & Zecca, 1990] посвящена строгому обоснованию метода гармонического баланса для разрывных систем.

В некоторых случаях метод гармонической линеаризации может давать неверные результаты, например при наличии в периодических режимах нескольких близких по величине гармоник [Розенвассер, 1963]. Для релейных систем неверные результаты приведены в [Цыпкин, 1955]. В книге [Айзерман h Гантмахер , 1963] показано, что с точки зрения классического метода гармонической линеаризации для гладких систем гипотеза Айзермана справедлива. Однако в работах [Плисс , 1958, Leonov& Burkin & Shepelyavy, 1996, Leonov, Ponomarenko Sc Smirnova, 1996] выделены классы нелинейных систем, для которых гипотеза Айзермана неверна. Таким образом, для этих классов гладких нелинейных систем стандартный метод гармонической линеаризации дает неверные результаты.

Опишем связь метода гармонической линеаризации с проблемами

Айзермана и Калмана. Для этого напомним стандартную процедуру метода гармонической линеаризации применяемую к системе (0.1). Введем передаточную функцию для системы (0.1) см. например [Попов & Пальтов , 1960, Попов, 1979, Первозванский , 1986, КЬаШ, 2002] р)=г*(Р0-р1)-1(1 (0.10) где р - комплексная переменная.

Для поиска гармонического колебания сг(£) = г*х(£) ~ асоэ^о^), которое является приближенным решением сг(£) = г*х(£) системы (0.1) вначале определим коэффициент гармонической линеаризации ко так, чтобы матрица линейной системы = Р0г, г 6 Г, (0.11) где Ро = Р + коцг*, имела пар)' чисто мнимых собственных значений ^Ыио(шо > 0), а остальные ее собственные значения имели отрицательные вещественные части. Предположим, что найдется такое ко.

Для определения величин и ко на практике используют передаточную функцию Иг{р). Из уравнения

1т\¥(шо) = 0 находим шо, а затем находим ко по формуле ко = — (КеИ^(га^о))

Если такие шо и ко найдены, то утверждается, что система (0.1) имеет периодическое решение х(£), для которого амплитуда а находится из уравнения

2тг 27Г

J ф(а соз(и>о^) со8(шо£)сИ = ако ^ сов^о^)2^-о о

Применим описанную здесь процедуру к проблеме Айзермана. Ясно, что в этом случае выполнено условие € (/хх, ¡х^)• Но тогда при любых ненулевых значениях а либо к^о2 < ф(ст)сг либо к$а2 > ф(сг)а. Отсюда следует, что при всех о ^ 0 выполнено неравенство

2тг

J(ф(асоБ(шо^)асоз(шо^ — ко(асоз(и/о£)2))а?£ ф 0. о

Таким образом, в условиях Айзермана (а так же Калмана) система (0.1) согласно методу гармонической линеаризации не имеет периодических решений, что противоречит исследованиям В.А. Плисса [Плисс , 1958] и его последователей [Г^оИив, 1971, Леонов , 1970].