автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы идентификации нестационарных объектов

I ^

V- «Ч

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

БОНДАРЕНКО Мирослава Владимировна

АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.01 Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата техшгческлх наук

Москва 1993

Работа выполнена в Институте проблем управления Российской Академии Наук.

Научный руководитель: академик РАН Я. 3. ЦЫПКНН

Официальные оппоненты: доктор технических наук В. А. ЛОТОЦКИИ, доктор технических наук С. В. ШИЛЬМАН.

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

•Зашита состоится " " 1993 г. в час. на заседании

специализированного совета Д002.68.02 Института проблем управления (117806, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИПУ. Автореферат разослан " * 199 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук

В. К. АКИНФИЕВ

Общая характеристика работы

Актуальность тематики

Диссертация посвящена задаче идентификации объектов с переменными параметрами фиксированной структуры при помехах типа скользящего среднего. Такие задачи сводятся по существу к оцениванию переменных параметров и возникают при построении навигационных систем, при управлении технологическими процессами, синтезе речевых сигналов, в эконометрии при анализе временных рядов, и в ряде других областей. Растущее число таких задач вызывает необходимость создания и исследования свойств алгоритмов идентификации объектов с переменными параметрами при помехах, отличных от независимых.

В связи с развитием средств вычислительной техники наиболее удобными представляются рекуррентные алгоритмы. Применение таких алгоритмов вызывает необходимость исследования их свойств, таких как состоятельность оценок и скорость сходимости.

При независимых помехах известны оптимальные алгоритмы идентификации линейных динамических объектов с переменными параме- • трами, однако исследование их свойств представляет собой отдельную, еще не решенную задачу. При зависимых помехах использование известных алгоритмов приводит к смещенным оценкам параметров. Разработка и исследование алгоритмов оценивания параметров при помехах типа скользящего среднего также представляет собой задачу, решаемую в диссертации.

Все сказанное выше дает основание считать актуальным разработку и исследование свойств алгоритмов идентификации объектов с переменными параметрами.

Цепь работы

Целью данной работы является:

• получение условий сходимости оценок алгоритмов идентификации объектов с переменными параметрами к истинным, зависящим от времени, значениям параметров в случае независимых помех

оценка скорости сходимости алгоритмов при известном законе изменения параметров

• исследование влияния неточности и неполноты имеющейся априорной информации о законе изменения параметров на качество отслеживания траектории параметров

• реализация полученных алгоритмов на ЭВМ в целях прикладного использования и иллюстрации полученных результатов

• применение алгоритмов для решения задач атомной энергетики и эюнометрических задач.

Общая методика

При решении поставленных задач использовались общие методы теории вероятностей, матричной алгебры, теории разностных уравнений, аппарат теории мартингалов, метод функций Ляпунова.

Научная новизна

1. Доказана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность рекуррентных алгоритмов идентификации типа расширенного МНК, при независимых помехах в случае, когда закон дрейфа параметров известен с точностью до начальных условий.

2. Доказана сильная состоятельность алгоритмов типа метода инструментальных переменных при оценивании переменных параметров.

3. Предложен новый алгоритм идентификации (модификация расширенного МНК), гарантирующий состоятельность оценок в случае помех типа скользящего среднего и доказана его сходимость.

4. Исследованы свойства алгоритма типа расширенного фильтра Ка-лмана в случае наличия ^параметризуемого слагаемого в уравнении изменения параметров.

5. На моделях изучено влияние неполного соответствия используемого закона дрейфа реальным явлениям.

Практическая ценность

1. Разработанный алгоритм идентификации переменных параметров позволяет решать задачи обработки при быстро меняющихся параметрах и помехах типа скользящего среднего.

2. На моделях исследовано влияние неточности априорной информации на качество оценок.

3. Алгоритмы реализованы на ЭВМ, проиллюстрирована их эффективность.

4. Алгоритмы использованы для оценивания параметров модели равновесия плазмы в токамаке и для анализа временных рядов в экономике.

Реализация результатов

Результаты диссертации использованы в ходе работы по теме № 307 -92 / 07 "Разработка фундаментальных проблем робастного управления сложными многосвязными системами", номер гос. регистрации 01.92.0017893, и в работе в соответствии с хозяйственным договором 064-92/63 между Министерством Российской федерации по атомной энергии и Институтом проблем управления РАН.

Апробация результатов работы

Результаты диссертации представлены в докладе на международном симпозиуме по адаптивным системам в управлении и обработке сигналов в Гренобле, июль 1992, и на общемосковском семинаре но робастному управлению. Основные положения работы обсуждались также на научных семинарах Института проблем управления.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано пять научных работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений, содержащих доказательства установленных в диссертации теорем, и списка литературы, содержащего 83 названий. Общий объем работы 100 страниц.

Содержание работы Введение

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определены цель и задачи исследования, приведено краткое содержание работы, изложены основные результаты.

Первая глава

В первой главе приводится краткий обзор работ, посвященных оцениванию переменных параметров. Рассматриваются способы описания зависимости параметров от времени.

Рассматриваются динамические объекты с линейной зависимостью от параметров (РАРСС объекты), описываемые линейными разностными уравнениями вида

Пл Пд По

У W + £ <hrin)y{n - m) = £ Ьгт(п)и(п - тп) + £ ~ т)>

ttui m=o тп=О

которое хадже может быть залисано в операторной

Л(д, п)у(п) = B(q, n)u(n) + D(q, п)((п),

и векторной

ïW = ÎT(nM") + Î(n). (1)

форме. Здесь использованы обозначения: q- оператор запаздывания: с) =' х(п — m), i4(q,,n) и B(q,n)~ операторные полиномы по g с зависящими от времени коэффициентами :

B(q, п) = Ьо{п) + î>i(n)ç + ... + Ьпв(»)«Пв. A(q,n) = 1 + апл(п)дПл,

- полином от д с постоянными коэффициентами

^(п) - вектор наблюдений

¿т(«) = [-»(л-1),...,-У(П-ГМ); (2)

и(п),..., и(п - - 1), • • ■ - пя)],

где и(п) - входные воздействия, £(п)- помехи, в{п) - вектор параметров, включающий постоянные и зависящие от времени компоненты

= (3)

гДе т

01(п) = Мп))...1апЛ(п)Л(п),...6пв(п)] ,

Т

Далее задача состоит в выборе способа описания зависимости параметров от времени, т.е. в выборе модели дрейфа параметров.

Рассматриваются различные способы описания дрейфов. Далее изучение ограничивается дрейфами, которые могут быть описаны линейным разностным уравнением, возможно содержащим непараметризуе-мую составляющую. Показано, что при этом охватывается широкий класс достаточно гладких дрейфов, в том числе периодические и полиномиальные дрейфы. Показано, что если в непрерывном времени производная порядка р функции, описывающей дрейф, имеет константу Липшица Ь на интервале [О, Г], то при дискретизации с интервалом АТ этот дрейф описывается уравнением вида (4), причем | т][п) < Ь ДТ"^1. Выбирая интервал дискретизации ДТ достаточно малым, можно уменьшать величину ошибки аппроксимации т)(п).

Расширение пространства параметров

Пусть изменение во времени переменной части компонент ^(п) вектора параметров б(п) (3) описывается многошаговым уравнением

<?г(п) = - 1) + ... + Мп - г) + ч(п). (4)

Необходимо по наблюдениям (^(1),у(1))(Ф{п),у(п)) построить вех-тор оценок в(п) параметров который в некотором вероятностном смысла приближался бы к в(п), т.е. такой что

|| ¿(п) - 0(т») Ц-» 0 при п -юо.

При построении алгоритмов оценивания переменных параметров удобно основываться на одношаговом уравнением дрейфа вида

<Чп) = <*№-!))+ »>(«)■ (5)

Для сведения многошагового уравнения дрейфа к одношаговому строится расширенный вектор параметров с(п)

с(п) = [аЦп),.. .,а!(п — /1);... ;опд(п),...,Опд(л — 1^)',

¿^....¿гц,] ,

где Ц, ту (г = 1,..., п^ 7 = 0,... ,«в) - натуральные числа, которые хаг растеризуют порядки разностных уравнений, описывающих дрейф параметров.

Изменение во времени расширенного вектора параметров с(п) имеет вид

с{п) = Сс(п-1) + 2(п|, (7)

где (7 - блочная матрица:

в =

Су О О О бм О 0 0/

(8)

матрицы Су и (7и в свою очередь состоят из блоков, имеющих форму Фробениуса, а

а(") = М»), О,-..,0;...;чпв(п),0,...,0]Т, (9)

Собственные значения матриц Су и Си совпадают с корнями характеристических уравнений, описывающих дрейф компонент вектора параметров.

Вводится также расширенный вектор наблюдений х(п)

Ощ 0,..., 0,..., и(п — пв), 0,..., 0 (10)

«п-1).....«я-ял}]Т.

Тогда уравнение объекта (1) можно представить в виде:

у(п) = гТ(п)с(п) + «п), (И)

что, в совокупности с уравнением дрейфа (7), совпадает с постановкой задачи в теории Калмановской фильтрации.

Вторая глава

Во второй главе устанавливаются алгоритмы идентификации переменных параметров при независимых помехах и отсутствии ^параметризуемой составляющей в законе дрейфа параметров, при помехах типа скользящего среднего, а также при независимых помехах в уравнении объекта и наличии непараметр из уемой составляющей в уравнении дрейфа параметров.

Синтео локально-оптимальных алгоритмов. Рассматривается проблема построения оптимальных алгоритмов. Приводится обзор работ, посвященных синтезу оптимальных алгоритмов идентификации объектов с переменными параметрами, и выписываются алгоритмы, полученные в этих работах. Так, при независимых, центрированных, с ограниченным вторым моментом помехах в уравнении объекта и наличии возмущений в уравнении дрейфа параметров локально-

эщий матрицу ковар нации ошибки имеет вид

оптимальный алгоритм, минимизирую! V(n) = S{(c(n) - c(n))(c(n) - c(n))*h и

К(п - 1) = GT(n - 1)СТ+ S К '

с(п) = Gc{n - 1) + r(n)x(n)(j/(n) - xT{n)Gc{n - 1)),

где

5 = RJ<r\

т

с(п) = [а1(п),...,а1(п-11),...,ЬПа{п),...,Ьг^(п-тп„в)] . (13)

Iх

г(п) = [у(п - П.О,...^ ... ,«(п - пв),0,...,0^] , (14)

Он совпадает по структуре с Калмановским фильтром и является асимптотически оптимальным в классе алгоритмов, линейных относительно невязки.

При отсутствии возмущений 1}(п) в уравнении дрейфа параметров алгоритм (12) совпадает с алгоритмом типа расширенного метода наименьших квадратов, минимизирующим квадратичный критерий.

Алгоритмы идентификации при помехах типа скользящего среднего

Рассматриваются два типа алгоритмов оценивания параметров при помехах типа скользящего среднего: алгоритм типа метода инструментальных переменных, в котором оцениваются только параметры регрессионной и авторегрессионной частей, и алгоритм с оцениванием коэффициентов корреляции помехи.

Пусть закон дрейфа расширенного вектора параметров не содержит непараметризуемых возмущений.

Алгоритм типа метода инструментальных переменных.

Предположим, что порядок пд полинома Р(д) известен. Алгоритм ти-' па метода инструментальных переменных для оценивания расширенного вектора параметров с(п) (13) имеет вид

¿(п) = вс{п - 1) + Г(п)г(п) (у(п) - хТ(п)в^п - 1))

^ ' 1 + хт{п)К(п- 1)г(п) К{п - 1) = вГ(п -

(15)

где расширенный вектор наблюдений г(п) имеет вид (14). Вектор г(п) выбирается в виде:

*(п) = Т(ф(п), (16)

где Т(д) - некоторый устойчивый полином, такой, что случайные величины (г(1), £(*)), ..., (*(£), £(* — «Г»)) независимы.

Алгоритмы с оценкой коэффициентов корреляции помехи.

В алгоритме с оцениванием коэффициентов корреляции помехи расширенный вектор параметров с(п) включает себя коэффициенты полинома D(q) и имеет вид (6).

Алгоритм с оцениванием "цветности" помехи имеет вид:

с{п) = тn{Gc(n - 1) + Г(п)г(п)е(га)},

р/ \ _ ТС in П ^(n-l)i(n)x{nfK(n-l)

KU n-m« nС* CT(rv- l)G^(n)I/(n)TGT(n - 1 )GT c(0) = consty Г(0) = pl,p> 0. Здесь e(n) - обобщенная невязка

£(n) = y(n) - xT(n)Gc(n - 1), x(n) - оценка вектора наблюдений x(n) (10)

&(n) = [У(п - 1), 0,..., 0,......, y(n - im), 0,..., 0

x»(n),0,...,0,.......ti(n-ns),0,...,0 (18)

е(п),£(я-1),...,с(п-по)].

?rn{.} - оператор проектирования на заданное ограниченное при каждом натуральном п множество Сп (содержащее при каждом п истинный вектор параметров с(п)) по норме г"1(п)Г~1(п), r(n) = trr_1(n), то есть

!Me}-e|k<l|e-e|k Ve' GСщ II *¡lk = *^n, Sn=-(n)T(n)-\ (19)

При этом Яп{-} предполагается таким, что подмножество компонент ¿1, • ■ • »¿по вектора тгп{с(п)} всегда принадлежит множеству

Ое - {¿1,..., ¿по : 1>(д) устойчив с е- запасом, 0 < £ < 1}.

Последовательность и(п) введена для регуляризации свойств алгоритма и строится так, чтобы

= А п/, (20)

где .Fn_i = -Лп-^-По,-- • ,

An - — померим ал случайная величина, удовлетворяющая условию:

пАп "= С(ш)г(п - 1)е, е € (0,1/2),

где С(ш)— некоторая константа.

Указан один из способов построения v(n).

О вооможыости использования нелинейных преобразований невяоки

Известно, что в классе алгоритмов с нелинейным преобразованием не^ вязки линейные алгоритмы являются оптимальными для гауссовских помех. Если же помеха негауссовская, то при соответствующем выборе нелинейности алгоритмы с нелинейным преобразованием невязки обеспечивают более высокую скорость сходимости, чем линейные алгоритмы.

Приводится обзор работ, посвященных синтезу оптимальных алгоритмов с нелинейным преобразованием невязки, рассматриваются локально-оптимальные алгоритмы с нелинейным преобразование невязки для PAP и РАРСС объектов.

Третья глава

Третья глава посвящена исследованию свойств алгоритмов. Исследуется состоятельность оценок и скорость сходимости алгоритмов. Устанавливаются достаточные условия сходимости в случая отсутствия возмущений в уравнении дрейфа. Изучаются свойства ошибки оценивания при наличии возмущений в уравнении дрейфа параметров. Исследуется скорость сходимости оценок.

• Сходимость алгоритмов оценивания PAP процессов при отсутствии воомущекий в уравнении дрейфа параметров.

Пусть идентифицируемый объект описывается PAP моделью, причем помеха £(п) в уравнении объекта - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и дисперсией а3.

Для построения оценок расширенного вектора параметров с(т») применяется алгоритм типа расширенного МНК, минимизирующий квадра-

тичныи критерии

c(n) = Gc(n - 1) + Г(п)г(п) (у(п) - xT(n)Gc{n - 1)) ,

ад=к(п-1) - т", от

К(п) = GT{n)GT, где ¿(0) - любой фиксированный начальный вектор, К(0) = pl, р > 0.

Теорема 1 Пусть последовательность оценок с(п) расширенного вектора параметров с(п) строится в соответствии с алгоритмом (21). Пусть также с вероятностью единица существует предел

UminfRn=R (22)

матриц

1W _ fco_

it^iG-^G^-^xt

fco

Тогда вектор Я(с(») — е(п)) —+ 0 с вероятностью 1 при п —► оо.

Далее формулируются следствия, которые устанавливают сходимость оценок на подпространстве в случае вырожденности предельной матрицы R, и приводится доказательство теоремы и следствий.

Отмечается, что в случае стационарных объектов условие (22) теоремы выполняется при выполнении условия достаточного разнообразия входов. Для нестационарных объектов, когда дрейф параметров неограничен или авторегрессионная часть объекта неустойчива, аналогом условия достаточного разнообразия входов может служить условие существования предельной матрицы

Í>(í)*T(i)

X = fíza Ч-• (23)

4=1

Для всех рассматриваемых в диссертации примеров существование предельной матрицы проверялось при помощи моделирования, результаты сведены в таблицу. Часть результатов может быть получена аналитически и рассмотрена в разделе, посвященном скорости сходимости алгоритмов.

Сходимость алгоритмов оценивания регрессионно-авторегрессионных процессов при помехах типа скользящего среднего.

Метод инструментальных переменных.

Пусть последовательность оценок с(п) расширенного вектора параметров с(п) (13) строится с помощью алгоритма типа метода инструментальных переменных (15). Если существует предел

Нт^ ¿п/ Д/(п) = Я/ последовательности матриц

то

Я15(п) —* оо п.к. при п —> оо.

Алгоритмы с оцениванием коэффициентов корреляции помехи.

ТЬорема 2 Пусть выполнены следующие условия;

1) {¿(п)} - последовательность независимых случайных величин, такая, что

£«(»)} = 0» » = 1,2,..., £{*(*)<} <оо;

2) полином 1)~г(д)—1/2 обладает строго положительной действительной частью (5ЯР)

На [Л"» -£]><);

3) матрица б не имеет собственных значений вне единичного круга, причем при наличии собственных значений на границе единичного круга выполнено условие

\ггшП(0-1в-Т) < 1

4) если требуетсж идентификация Ьо, Ьх,...,Ьп^, то последовательность входных величин {ы(п)} должна быть такой, что

Ит. С^ш) "> О,

Л<и п

4=1

5) существует € [0,2е—1], с > 1/2, при котором выполнено условие ограниченности четвертых моментов входных воздействий:

Пт . (-ГХ У\уШ I "< со;

Обозначим через Ц нижний предел

П-+оо г(п)

Если в разложении ..

£ = и1^иТ, и'1 = ит

• матрица Aq полного ранга, то с вероятностью 1 последовательность {с(п)} оценок, порождаемых алгоритмом (17), сходится к истинному значению вектора параметров с(п), т.е.

• если матрица Ло вырождена, то к истинным значениям сходится не весь вектор с(п), а лишь некоторая линейная комбинация его компонент, именно

[l7T(c(n) - с(п))].^0, г = 1,... ,р, р = rank Ло.

Доказательство теоремы и используемых в ней лемм приводится в Приложении А.

Сходимость алгоритмов оценивания регрессионно—авторегрессионных процессов- при наличии воомущений в уравнении дрейфа параметров.

Пусть в уравнении объекта (1) D(q) -- 1, т.е. помеха в уравнении объекта независимая, а закон дрейфа параметров содержит непараме-тризуемую составляющую.

Теорема 3 Пусть выполнены следующие условия:

• Все собственные значения матрицы G расположены внутри единичного круга или на его границе.

• Для вектора наблюдений <Д(п) выполнено условие достаточного разнообразия входов в виде

±£ф{1)фТ{1)-+Ф> 0.

п 4=0

• Матрица

= И") с*(п)... g*"**-1*^)]

4dima(,ri)xdim3(ri) ~ ||а:(п)||

невырождена при всех п

Тогда последовательность оценок с(п), построенных с помощью алгоритма типа расширенного фильтра Калмана (12), обладает свойством:

EQmfän) - с(п) - G-'iKn))/^,} = 0.

Доказательство теоремы приведено в Приложении В. Заключение теоремы пояснено и проиллюстрировано численными примерами в четвертой главе.

Если выполнены первые два условия теоремы, а третье условие не выполнено, то доказано более слабое утверждение, а именно

Е{ Hm Н(с(п) - с(п) - G-'rjin))/^} = 0,

где II - матрица, состоящая из нулей и единиц и преобразующая расширенный вектор параметров с(п) в первоначальный вектор параметров 0(п) 0(п) = Яс(п).

Исследование скорости сходимости алгоритмов.

В параграфе 3.1 была доказана теорема, устанавливающая сходимость с вероятностью единица оценок алгоритма типа расширенного МНК для РАР-объекта в случае, когда закон дрейфа параметров не содержит непараметризуемой составляющей. Ниже приводится теорема об асимптотической нормальности этих оценок.

Теорема 4 Пусть выполнены условия теоремы (1), и существует предел

lim Яп = R

ГЬ—»оо

последобапгмъности матриц

_ fco_

EgiG-^iG^-Mzt

fco

Пусть последовательность оценок с(п) строится в соответствии с алгоритмом типа расширенного МНК (21). Если матрица R невырождена, то вектор ошибки

5(п) = с(п) - с(п),

умноженный на ^г(п), асимптотически нормален с нулевым математическим ожиданием и матрицей ковариации Я-1^3, т.е.

Если матрица R вырождена, она представима в виде:

URUT —

Roo О О Rn

где Roo - полного ранга, U'1 = Тогда вектор, составленный из первых т = rankRoa компонент вектора US(n), умноженный на \fr(n), асимптотически нормален с нулевым математическим ожиданием и матрицей К06йри<хции RqqO^i 77l.C.

V?(n) [(US)U..., (U6UT1 A/"(0, ñooV).

В качестве примера рассмотрена регрессионная модель первого порядка полиномиальным дрейфом параметра. Для нее аналитически вычислена предельная матрица R.

Аналогичным образом формулируется и доказывается теорема о свойствах оценок метода инструментальных переменных. Этот результат-приведен в главе 5 и проиллюстрирован численными примерами.

Четвертая глава

В четвертой главе приведены результаты реализации рассмотренных выше алгоритмов на ЭВМ.

Алгоритм типа расширенного МНК

На моделях проиллюстрирована эффективность алгоритма типа расширенного МНК для различных дрейфов параметра. В явном виде вычислена скорость сходимости компонент вектора параметров к истинным значениям при линейном дрейфе параметра.

На моделях показано, что предельная матрица R для рассматриваемых объектов существует, но для регрессионных и авторегрессионных объектов с одинаковыми предельной матрицей X и переходной матрицей G она различна.

Показано, что алгоритмы типа расширенного МНК и алгоритмы типа расширенного фильтра Калмана с разностью порядка к в модели дрейфа могут применяться для оценивания гладких дрейфов. Если в этом случае отклонение закона дрейфа, принимаемого в модели, от реального загона дрейфа параметров не превосходит некоторой величины Д, то отклонение оценки алгоритма типа расширенного фильтра Калмана от истинных значений параметров пропорционально А.

Показано также, что алгоритм (12) может применяться для оценивания постоянных параметров неустойчивых авторегрессионных объектов.

Метод инструментальных переменных. Приведены результаты моделирования метода инструментальных переменных для простейшего РАРСС - объекта

y(n) = a(n)y(n - 1) + «(п)Ь(п) + í(n) + d((n - 1). (24)

Показано, что при устойчивой авторегрессионной части и ограниченном дрейфе параметров алгоритм типа расширенного МНК дает смещенные оценки, в то время как оценки алгоритма типа метода инструментальных переменных асимптотически несмещены. При этом для алгоритма типа метода инструментальных переменных характерен большой разброс оценок на начальном этапе.

В случае неустойчивой авторегрессионной части или при неограниченном дрейфе параметров оба метода дают состоятельные оценки, поскольку при неограниченном росте любого из параметров амплитуда помехи по отношению к норме вектора наблюдений убывает с ростом п .

Алгоритм с оцениванием коэффициентов корреляции помехи. Приводятся результаты моделирования алгоритма с оцениванием коэффициентов корреляции помехи для простейшего РАРСС объекта

(24).

Рассмотрены примеры ограниченных и неограниченных дрейфов, устойчивой и неустойчивой авторегрессионной части. На моделях продемонстрирована состоятельность оценок алгоритма.

Алгоритм типа расширенного фильтра Калмана. Рассматривается регрессионно-авторегрессионный объект первого порядка с некоррелированной помехой. В качестве входов берется последователь-

ность независимых одинаково распределенный случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией.

Закон дрейфа вектора параметров задается уравнением:

0(п) = д1в(п - 1) + А0(п - 2) + 1?(п), в{п) = [а(п),6(п)]Г.

где т]{п) -последовательность центрированных случайных независимых векторов.

Для оценивания параметров объекта вводится расширенный вектор параметров с(п) (??) и расширенный вектор наблюдений г(п) (??), и применяется алгоритм типа расширенного фильтра Калмана (12).

Рассмотрены случаи различных дрейфов параметров. Приведены графики зависимостей числа обусловленности матрицы Г-1 (п) (равного отношению максимального и минимального собственных чисел) и следа г(п) = *гГ-1(п). Графики числа обусловленности Г_1(п) и г(п) = ¿7Т-1(п) иллюстрируют ограниченность (снизу) минимального и (сверху) максимального собственных значений обратной матрицы шагов.

Также показано экспоненциальное убывание с ростом п нормы матричного оператора, выражающего зависимость ошибки оценивания от начальных условий. Приведены графики истинных значений параметров а(п) и Ь(п) и их оценок. Эти графики иллюстрируют убывание усредненных отклонений оценок от истинных значений параметров с ростом п. .

Пятая глава

В пятой главе алгоритмы идентификации нестационарных объектов применяются к задаче оценивания параметров модели равновесия плазменного шнура в токамаке и к задаче анализа временных рядов в эконометрии.

Оценивание параметров модели равновесия плазменного шнура в токамаке.

Проблема поддержания равновесия плазмы в установках типа тока-мак (тороидальная камера с магнитной катушкой) является одной из основных при управлении плазменными процессами. Знание параметров модели установившегося плазменного шнура позволяет оценить границы области управляемости объекта и не допустить выход системы из области управляемости, тем самым предотвращая срыв плазменного

шнура и аварийные ситуации. В этом разделе рассматривается задача оценивания параметров плазменного шнура в системе стабилизации по вертикали.

Уравнение системы имеет вид:

f Lpl + rl = -GKz - GKKdpz + Gui« \ pz = az + bl + f + cpl,

где- первое уравнение описывает вертикальное смещение плазменного шнура, второе - используемый ПИД-регупятор, р - оператор дифференцирования. ...

Получено уравнение замкнутой системы и условия устойчивости. Параметры регулятора находятся из условия устойчивости системы и из условий на максимально допустимое отклонение смещения плазменного шнура и максимально допустимую амплитуду тока.

Задача состоит в получении оценок параметров модели плазменного шнура, т.е. оценок величин a(n), Ь(п), f(n) и с(п), где п - дискретное время. Для итого уравнение плазменного шнура записывается в виде регрессионной модели

Уп = 9пхп>

ГЛе гг,

Ai = [йщ&п, /п, СпГ Фп= [глДп, 1, (dl/di) „]

и наблюдаемая выходная величина уп равна (dz/dt)n.

Алгоритм. В соотсетствии с выбираемой моделью дрейфа вводится расширенный вектор параметров v(n) и расширенный вектор наблюдений. Для построения оценок расширенного вектора параметров fn применяется алгоритм (21). Предполагается, что параметры объекта дрейфуют достаточно медленно, и параметры модели плазмы аппроксимируются полиномиальными сплайнами соответствующих степеней. Применяется алгоритм (21), причем устанавливается Гп = Г0 в начале каждого гладкого участка и затем полученные оценки сглаживаются. При атом ошибка оценивания определяется рассогласованием уравнения модели дрейфа и истинного закона дрейфа параметров.

Этот алгоритм продемонстрировал высокую точность оценок на модельных данных. Затем он был применен для оценивания возмущений по экспериментальным данным системы стабилизации вертикального положения плазмы в установке JET (Joint European Тогиз, Англия) импуль-

са разряда N23348, а также при оценивании возмущений объекта в численном моделировании системы аналогичного назначения в токамахе COMPASS (Калэмская лаборатория, Англия).

В качестве критерия качества оценки использовалась величина относительной ошибки предсказания (отношения невязки к сигналу z). Дальнейшие резервы в увеличении точности алгоритма состоят в одновременном увеличении порядка аппроксимирующих полиномов и введении регуляризации.

Применение алгоритмов оценивания нестационарных параметров АРМА процессов к задаче прогнозирования временных рядов в экономике.

Статистическая обработка временных рядов занимает значительное место в эконометрии. Данный раздел посвящен применению методов оценивания параметров регрессионно-авторегрессионных процессов с нестационарными коэффициентами к задаче прогнозирования временных рядов в экономике.

Предсказание временного ряда на основе модели гладкого тренда.

Один из подходов к задаче прогнозирования значений эконометри-ческих временных рядов основан на предположении, что временной ряд является суммой достаточно гладкого тренда и помехи. Рассматривается тренд, представляющий собой возрастающую функцию времени при наличии сезонных колебаний. Приводятся алгоритмы прогнозирования значений ряда при известной и неизвестной частоте сезонных колебаний. Эффективность алгоритмов демонстрируется путем применения их к предсказанию биржевого курса ваучера.

. Регрессионный анализ временных рядов.

Одним из наиболее широко используемых методов при прогнозировании временных рядов является регрессионный анализ. Он основан на установлении взаимозависимости между различными временными рядами и использовании этой зависимости для построения прогнозов на основе регрессионных моделей.

Рассматриваются временные ряды с высоким коэффициентом корреляции между ними, для анализа которых строится РАР-модель. Коэффициенты модели оцениваются с помощью алгоритма типа фильтра

Калмана (12) с переменной матрицей В результате формируются векторы оценок параметров модели и прогноо. Алгоритм проиллюстрирован на примере анализа динамики пена - объем продаж и анализа динамики цен фьючерсных контрактов в зависимости от цены актива.

Заключение

Диссертация посвящена задаче оценивания нестационарных параметров регрессионно-авторегрессионных процессов при помехах типа скользящего среднего. Основное внимание уделяется случаю, когда изменение параметров во времени описывается линейным многошаговым разностным уравнением с известными коэффициентами и неизвестными начальными условиями, причем уравнение может содержать непараметриэуе-мые возмущения. Исследуются свойства известных алгоритмов идентификации при независимых помехах. Для помех типа скользящего среднего предложен новый алгоритм, исследованы его свойства и на моделях проверена работоспособность.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Показано, что при независимых помехах алгоритм идентификации переменных параметров типа расширенного МНК обеспечивает сильную состоятельность оценки и асимптотическую нормальность взвешенных линейно независимых компонент вектора ошибки.

• Доказана сильная состоятельность опенок и асимптотическая нормальность взвешенных линейно независимых компонент вектора ошибки для алгоритма типа метода инструментальных переменных при оценивании переменных параметров в условиях помех типа скользящего среднего.

• Предложен и исследован на сходимость алгоритм оценивания нестационарных параметров регрессионно-авторегрессионных процессов с оцениванием коэффициентов корреляции помехи в условиях стационарных помех типа скользящего среднего.

• Исследованы свойства оценок алгоритма типа расширенного фильтра Калмана в случав независимых помех в уравнении наблюдений.

На численных примерах покапана высокая эффективность этого метода в случае неполной априорной информации о законе дрейфа параметров.

• Работоспособность алгоритмов продемонстрирована путем их применения в задаче оценивания параметров модели плазменного шнура в токамаке и в задаче анализа временных рядов в экономике.

Публикации по теме диссертации

1. Бондаренко М. В., Поэняк А. С. Асимптотическая нормальность и оценка скорости сходимости алгоритмов идентификации нестационарных объектов. // Автоматика и телемеханика, 1992, No. 7, с.44-55.

2. Бондаренко М. В., Позняк А. С. Сходимость алгоритмов оценивания нестационарных параметров регрессионно-авторегрессионных объектов при помехах типа скользящего среднего. // Автоматика и телемеханика, 1993, No.8, с. 90-108..

3. Бондаренко М. В. Исследование алгоритмов идентификации нестационарных объектов. // Автоматика, 1990, No.l, с.66-76.

4. Tsypkin Ya. Z. and Bondarenko M. V. An optimal algorithm for identification of rapidly time-varying systems. / / IEEE Trans. Autom. Contr., Vol.37, No. 2, 1992, pp.237-239..

5. Poznyak A. S., Bondarenko M. V. Asymptotic normality and estimation of convergence rate for ident-f-cation algorithms of linear dynamic systems with time-varying parameters. // Proc. Int. Symp. on Adaptive Systems in Control and Signal Processing, Ensieg-Grenoble-France, July 1-3,1992..