автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Адаптация предикторных моделей временных рядов с использованием конечно-разностного подхода

На правах рукописи

□□3 165651

Каладзе Гай Владимирович

АДАПТАЦИЯ ПРЕДИКТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО ПОДХОДА

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 2007

003165651

Работа выполнена на кафедре «Прикладной математики и экономико-математических методов» в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежская государственная технологическая академия»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Матвеев Михаил Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Буховец Алексей Георгиевич

ФГОУ «Воронежский государственный аграрный университет имени К Д Глинки»

кандидат технических наук, Иващенко Владимир Иванович

НОУ «Международный институт компьютерных технологий»

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Воронежский

государственный университет»

Защита диссертации состоится «14» ноября 2007 г в 15— на заседании диссертационного совета Д 212 035 02 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу 394000, г Воронеж, пр Революции, 19, а 30 (конференц-зал)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» Автореферат размещен 12 10 2007 на официальном сайте ВГТА http //www vgta vrn ru/

Автореферат разослан «12» октября 2007 г

Ученый секретарь /у

диссертационного совета к т н И А Хаустов

Актуальность. В настоящее время для анализа и прогнозирования экономических процессов широкое применение находят структурно детерминированные модели временного ряда, параметры которых определяются как статистические оценки, требующие большого объема статистической информации Однако механизм функционирования рынка с течением времени претерпевает структурные изменения, что приводит к снижению информативности полученных ранее данных, те к эффекту «старения» информации

В таких ситуациях наиболее применяемые инструменты моделирования основываются на методе экспоненциального сглаживания, который придает больший вес новой информации и при этом с каждым шагом «обесценивает» старую Р Брауном и Р Манером была предложена адаптивная реализация такого подхода в форме полиномиальной предикторной модели, с предварительной обработкой текущей информации на основе многоуровневой экспоненциальной фильтрации В этой модели оценка параметров временного полинома проводится методом наименьших квадратов Однако сложность формирования и громоздкость расчетов в решаемой системе уравнений затрудняют в практических приложениях формализацию моделей выше второго порядка, что серьезно сужает область ее применения

1 аким образом, возникает необходимость разработать подход, в основе которого лежит конечно-разностное представление параметров временного полинома, что должно позволить получить улучшенную структурную и функциональную модификацию модели Брауна Это в свою очередь должно обеспечить разработку эффективных процедур адаптации модели прогнозирования и расширить область ее применения Необходимость проведения настройки параметров модели в процессе анализа и прогнозирования экономических показателей обуславливается изменениями в объекте исследования Такая модель должна обладать возможностью отслеживать и прогнозировать основную тенденцию развития временного ряда, включающую трендовые и сезонные составляющие

Необходимость повышения эффективности модельных прогнозов, в том числе за счет текущей адаптации моделей, обуславливает актуальность исследования

Тематика диссертационной работы соответствует направлению НИР ГОУ ВПО ВГТА кафедры ПМиЭММ «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№ г р 01200003664)

Цель диссертационной работы заключается в разработке и исследовании адаптивных полиномиальных предикторных моделей временных рядов с использованием конечно-разностного подхода к оценке параметров модели, обеспечивающей упрощенный расчет ее параметров, что способствует повышению эффективности прогнозирования основной тенденции временного ряда

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи

• Исследовать существующие методы анализа и прогнозирования временных рядов в условиях текущих изменений порождающих их механизмов,

• Разработать метод оценки параметров предикторной модели временного ряда, на основе конечно-разностного подхода, обеспечивающий текущую адаптацию этой модели,

• Разработать полиномиальную предикторную модель временного ряда, использующую на каждом уровне фильтрации индивидуальные коэффициенты сглаживания, с текущей адаптацией порядка полинома и расчета его параметров на основе конечно-разностного подхода для повышения точности прогнозирования поведения временных рядов и обеспечения возможности повышения степени адаптации модели исследуемого процесса

• Разработать алгоритм адаптивной настройки вектора коэффициентов сглаживания многоуровневой фильтрации в предикторной модели, обеспечивающий повышение эффективности прогнозирования поведения временных рядов,

• Провести численный анализ эффективности разработанных моделей и алгоритмов, их апробацию на реальных данных в задачах прогнозирования развития тенденции экономических показателей

Методы исследования. В работе использованы методы вычислительной математики, численные методы анализа, теории вероятностей, математической статистики, методы анализа и прогнозирования временных рядов, теории оптимизации.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной

1 Разработан метод оценки параметров предикторной модели временного ряда, отличающийся использованием конечно-разностных отношений

2 Разработана полиномиальная предикторная модель временного ряда, отличающаяся индивидуальными коэффициентами сглаживания на различных уровнях фильтрации

3 Разработан алгоритм адаптивной настройки процесса многоуровневой фильтрации в условиях вектора параметров сглаживания притом, что каждый компонент вектора соответствует своему уровню сглаживания

Практическая ценность работы заключается в повышении эффективности краткосрочного прогнозирования временных рядов за счет объективной оценки основной тенденции временного ряда и настройки вектора коэффициентов сглаживания

Разработанные методы анализа и прогнозирования временных рядов реализованы в виде независимого программного модуля и могут использоваться для математического и программного обеспечения процесса принятия решений Они позволяют проводить исследования широкого спектра задач, требующих использования технологий прогнозирования временных рядов

Предикторная модель является составной частью программного комплекса «Автоматизированная система поддержки приятия решений в маркетинге», который прошел эксплуатацию и показал эффективность в маркетинговых исследованиях при краткосрочном прогнозировании ситуации на корпоративном субрынке Он был принят в опытную эксплуатацию в ОАО «Воронеж - Конверсионные Объекты»

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные в ходе исследования методики и алгоритмы анализа временных рядов были использованы в производственной деятельности По результатам проделанной работы получен акт внедрения в систему мониторинга цен ООО «Электронная торговая площадка - Центрально-Черноземная» Результаты диссертационной работы также используются в учебном процессе Воронежской государственной технологической академии при подготовке студентов по специальности 080801 «Прикладная информатика (в экономике)»

Апробация работы. Материалы работы, ее основные научные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и межвузовских конференциях, в том числе на Всероссийской научно-технической конференции «Информационные Технологии», ВГТУ, 2005, Международной конференции «Современные сложные системы управления НТС8'2005», ИПУ, ВГАСУ, 2005, Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», ВГТА, 2005; шестой Международной научно-методической конференции «Информатика проблемы, методология, технологии», 2006, Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование модели и методы», ВГУ, 2006, Международной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике», МИКТ, 2007, а также на научных семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА

Публикации. По результатам исследования опубликовано 15 печатных работ, из них 4 - без соавторов, в том числе 3 статьи в изданиях рекомендованных ВАК РФ

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем выполнены в [7, 8, 15] — программная реализация, [12] - расчеты. [1, 2, 9, 10, 11, 13] - автором предложены и сформулированы модели третьих порядков и работа с ними

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 88 наименований, 5 приложений Объем основного текста составляет 126 страниц машинописного текста

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель исследования и задачи, направленные на ее реализацию, указываются методы исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое содержание диссертации по главам

В первой главе проводится обзор методов анализа и прогнозирования временных рядов, описывающих экономические процессы, проводится также сравнительное исследование известных моделей рядов, отслеживающих их основную тенденцию

Временной ряд , рассматривается как дискретный

случайный процесс, нестационарный в смысле своего первого начального момента х(() В связи с этим для целей исследования использовано аддитивное представление процесса в виде его первого начального момента и центрированной части ^(t)

y{t) = x(t) + 4(f) (1)

Первый начальный момент процесса x(t) определяет его основную тенденцию развития во времени Центрированная часть £(t) случайного процесса представляет собой стационарный процесс с нулевым первым начальным моментом, а второй центральный момент = const < со, а нулевые

ковариационные моменты определяют независимость его значений

Для работы с процессами такой структуры Браун и Майер предложили следующую модель экспоненциального сглаживания

2' Ш t^o

где yt — значение временного ряда в момент времени /, At - величина интервала прогнозирования

Расчет модели выше второго порядка связан с серьезными вычислительными трудностями, препятствуя ее широкому применению

Регистрация значений экономических процессов происходит в равноотстоящие моменты времени В связи с этим значения временной переменной t в узлах квантования обозначены через i Модель Брауна имеет в своей основе экспоненциальный фильтр S,(y) = (1 - + а у,, где 0 < а < 1, (3)

который за счет своего адаптивного параметра сглаживания а придает новой информации больший вес, чем у раннее полученной, что позволяет учитывать динамичное обновление информации.

Браун ввел понятие обобщенной экспоненциальной средней к -го порядка, в виде

S* (j) = (1 - а)?*, (у) + a S^ (у), У к = (3')

где iS,1 = 5,, т е представляет собой (3)

Оценки а01,аи,...,аП1 коэффициентов а0,а{,. ,ап полинома (2), определяемые наблюдениями ,.. .,_у,, рассчитываются для

каждого уровня иерархической структуры (3')

В общем виде эта зависимость описывается выражением

' р, р< (л-1)!?г

Основными недостатками модели Брауна являются предположение о неизменности, на некотором наперед заданном интервале исследования, порядка полинома, определяющего основную тенденцию случайного процесса, а также постоянство значений коэффициентов полинома и параметра сглаживания а на всех уровнях экспоненциального сглаживания

Таким образом, необходимо разработать подход, представляющий собой функциональное и структурное усовершенствование модели Брауна В основе такого подхода должна лежать возможность формирования предикторной модели временного ряда требуемого порядка, что достигается повышением количества членов в разложении, тем самым, позволяя описывать изменения в поведении сложного экономического процесса

Во второй главе представлена методика построения предикторной модели временных рядов, на основе конечно-разностного подхода, различной степени сложности

Исходя из общего представления процесса (1) и оценивая основную тенденцию х(1) временного ряда _}'(/) разложением Тейлора с конечным числом членов

где, как и ранее, I - текущий момент времени,

Aí - величина интервала прогнозирования, получим модель исследуемого процесса

Для описания параметров модели используется система многоуровневой фильтрации, представленная на каждом уровне формулами последовательного экспоненциального сглаживания

(/) = (1-«)$,_,(/) +а/,

где 0 < а < 1, (5)

^(Л-О-аК.СЛ + а^ГЧ/),

причем за счет линейности структуры оператора можно записать [5,""'(/)] =положив при этом = = Номер

старшего уровня здесь непосредственно связан с порядком модели

Оценки мгновенных значений производных в разложении (4) получаются естественным образом с использованием метода конечных, разностей при переходе к дискретному представлению информации

Таким образом, полученная модель представима различными степенями сложности

Нулевой /1+х = /, - стационарный процесс (6)

Г, =8,(у)

Переходя к линейному изменению основной тенденции, для получения сглаженной оценки применяется оператор сглаживания к разнице значений наблюдаемого и сглаженного предиктором предыдущего порядка, а для оценки дискретной производной применяется конечно-разностный метод

Первый —/,+/,' - линейный процесс (7)

1 -а

Второй = / + - квадратичный процесс (8)

I - а (1 -а)

Третий /1+1=/1 + /:+/Г+]~Г (9)

1 - а (1-а)

/"'-Т^г! итд

(1-а)

Процедура прогноза формируется на основе полученных выражений (6)-(9)

На основе представленного алгоритма осуществлен расчет членов разложения Тейлора и построение модели конечно-разностными методами (дискретной производной) Что позволяет вывести естественным образом модели старших порядков

В третьей главе разработана расширенная предикторная модель временного ряда на основе вектора коэффициентов

сглаживания а — (а, ,...,ап\ где 1 = \,п, определяется как

коэффициент для г -го уровня сглаживания в (5) Также сформирована процедура настройки коэффициентов предикторной модели, основанная на квазиоптимальных поисковых алгоритмах

Если для исследуемого процесса требуется более гибкая модель, -то имеет смысл усилить ее свойства фильтрации, вводя на каждом /-м уровне в (5) свой коэффициент сглаживания а,, что ведет к повышению точности прогноза аппроксимирующей модели основной тенденции временного ряда Полученный набор коэффициентов

\а1 }"=1 можно рассматривать как вектор коэффициентов сглаживания предикторной модели Таким образом, в линейном случае имеем двумерный вектор коэффициентов сглаживания а =(а,,а2)

Я+1 ~ /+1 = fl+ X =

с 1 о Л ( -> 1

^ 1 — ОТ, 1 — OCгJ

1 - а, 1 —

а квадратичном - трехмерный а = {сс1,а2,а3)

у,/.+/:+/,"=

^ (Ю)

6_7 + 3а,

1а

2 3а2 -18а,а2

а7а3

1-а, 1 -а2 (1-а,)(1-а2) (1-а2)(1

■"з)

+

3 - 27 а; За,

(1 -а,)2 (1 -а2)2

6-

27а, 1-а,

■ + -

+

9а,

•9а, а2

а.

(1-а,)(1-а2) (1

• а

:)0

1 -а2 За, а.

■ + -

За3 1 - а.

■«з) О-^К1-^)

+

+

9а, + 27а,

Т^Г

3

а,

(1-а2)2 (1-а3)2

+

3 + -6*'

1 - а.

За,а2

За, + 9а,"

1-а3 (1-а,)(1_«2)

В связи с тем, что в многомерном случае {п> 2) эвристическая настройка достаточно трудоемка, в диссертационной работе был разработан метод автоматической настройки векторного параметра сглаживания а на основе критерия наименьших квадратов

/ = лф(а)] = м[(7-/(а))2] ->гшп, (11)

а

где у - исходные значения временного ряда, /(а) - предикторная модель, а =(а,, ,а„) - варьируемый вектор оценок

Исследования функции цели на линиях равного уровня показали сложность характера ее поверхности отклика, с нарушением условия унимодальности Применение в этих условиях метода наименьших квадратов сводит задачу (11) к системе нелинейных уравнений и уже при размерности задачи выше двух неоправданно увеличивает трудоемкость расчетов Поэтому вместо аналитических методов нахождения оценок целесообразно применять поисковые алгоритмы

Для решения этой проблемы при настройке параметров предикторной модели были использованы квазиоптимальные алгоритмы в комбинации с методами случайного поиска, успешно работающие на функциях отклика со сложной поверхностью Увеличение размерности задачи незначительно отражается на изменении самой структуры квазиоптимальных алгоритмов

Статистические квазиоптимальные процедуры основаны на вероятностной переформулировке исходной задачи Сложный характер целевой функции рассматривается как стохастическая неопределенность, за счет чего появляются возможности применения стандартных методов стохастической выпуклой оптимизации

Настройка значений а осуществлялась на основе метода деформируемого многогранника Стратегия этого метода состоит в подборе наилучших точек в смысле движения в сторону точки глобального оптимума Выбор наилучшего направления определяется с использованием генерации случайного вектора

Структура итерационной процедуры поиска, основанная на пропорциональной схеме учета направления на оптимум

— N +\ — т -а А/+1

где а — оценка а на А/ +1 шаге, А - направление поиска,

— величина шага в выбранном направлении, N — номер итерации используется и для решения стохастической задачи На основании записи условия локального улучшения можно получить различные схемы поиска, отличающиеся способами генерации направления поиска и настройки шага поиска Индекс N

может совпадать с номером г члена временного ряда, а может и не совпадать, если поиск ведется с интерполирующим пересчетом

Для определения направления поиска было использовано выражение

т™ -Щ——Аш"-й),

-N

со., \и - т

Г р{т")

— N+1 ~ —//+1

где т - математическое ожидание случайного вектора а , соп - площадь поверхности п -мерной единичной сферы, й -случайный вектор с плотностью распределения р(шы) Это стохастический аналог метода деформируемого многогранника для решения рандомизированной задачи

Процесс поиска идет до тех пор, пока вершины многогранника не войдут в достаточно малую окрестность, чей радиус определен по критерию останова На основании этого критерия при большом числе итераций поиск может также завершиться исходя из требований по числу итераций или, что тоже, времени поиска

Обучение процедур отслеживания и прогнозирования временных рядов на основе предикторов сведено к решению задачи нахождения вектора оценок а = (от, ,...,&„). Таким образом,

многошаговым методом взаимоуточняющихся оценок решаются совместно обе задачи: настройки параметров предиктора и обучения процедуры прогноза исследуемог о процесса.

Для достижения этих целей используется пакет программ поисковой оптимизации, в котором происходит автоматический выбор схемы поиска, адекватной текущим условиям.

В четвертой главе описаны вычислительные эксперименты по исследованию предложенных предикторных моделей, в которых наряду с имитационными экспериментами проводилась проверка моделей на реальных реализации пищевой продукции.

В ходе вычислительного эксперимента были исследованы особенности модели при прогнозировании значений основной тенденции. На каждом шаге оценивалось качество фильтрации стохастической составляющей процесса и прогноза основной тенденции в соответствии с критерием Фишера. Так преимущество качества прогноза предикторной модели по отношению к модели Брауна подтверждается тем, что расчётное значение критерия

составило Р = 1,45 при Рта(п =1,96 для /, = 24, /2 = 25, уровня

значимости р = 0,05 .

и

1 10 19 28 37 46 55 64 73 32 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199 20В —•—модель Брауна Предикторная модель Время, 1

Рис. 1. Дисперсия оценок модели Брауна и предикторной модели

Были проведены вычислительные эксперименты по настройке параметра а предикторной модели для линейной, квадратичной и осциллирующей основной тенденции с целью нахождения области его допустимых значений В качестве образцов исследуемых процессов были взяты данные, отражающие информацию об изменениях ценовых рядов Мегпе^рынков и реализации пищевой продукции

Было установлено, что для отслеживания медленно изменяющейся основной тенденции сглаживающие коэффициенты ах е [0,63,0,68], аг е [0,26;0,37] Если основная тенденция колебательная, то а, е [0,44,0,69], а2 е [0,28,0,47], а3 е [ОД4,0,19]

10000

5000

1 3 Ш 7 1 „ „"Л^ й 3^29 3, 37 39 41 «"А"«, 43 5,

Рис 2 Предикторная модель I порядка ^ е[0.630,6^, а2 е [0,26,0,37]

Кроме того, в ходе вычислительного эксперимента было

• проверено свойство эргодичности имитированных процессов - оценки характеристик процесса на сечениях 10 реализаций оказались достаточно близки к их оценкам на интервале из 25 временных узлов,

• установлено, что остатки стационарны, с

математическим ожиданием близким к нулю, дисперсией постоянной в пределах заданной точности

сг2) = ]е [9714,18658] и соответствующем среднеквадратичном отклонении )е [98,1 Зб]

Результаты проведенных вычислительных экспериментов подтвердили достоверность теоретических заключений

В заключении приведены основные результаты работы

1 Проведено исследование существующих методов сглаживания, анализа и прогнозирования основной тенденции временного ряда Из класса полиномиальных моделей выделена модель Брауна, как одновременно фильтрующая и прогнозирующая временной ряд Сформулированы цели и задачи исследования

2 Разработан метод оценки параметров предикторной модели временного ряда на основе конечно-разностного подхода, что позволило обеспечить текущую адаптацию этой модели

3 Реализована полиномиальная предикторная модель временного ряда на основе конечно-разностного подхода, использующая на каждом уровне фильтрации индивидуальные коэффициенты сглаживания, в рамках которой осуществляется текущая адаптация порядка полинома на основе сравнительного анализа с моделью Брауна, что привело к повышению точности прогноза и упрощению расчетов параметров

4 Разработана процедура адаптивной настройки вектора индивидуальных коэффициентов сглаживания в предикторной модели с использованием квазиоптимальных алгоритмов, что позволило увеличить эффективность качества прогноза

5 В результате проведенных вычислительных экспериментов

• подобраны адекватные процедуры квазиоптимальной настройки а на основе сравнения алгоритмов поисковой оптимизации,

• выявлены особенности работы разработанных моделей

• области значений коэффициентов а и а. для различных видов основной тенденции монотонных, колебательных

• в результате сравнительного анализа предикторной модели с моделью Брауна установлено ее преимущество в отслеживании и прогнозировании основных тенденций

6 Проведены расчеты по реальным статистическим рядам для выявления основной тенденции процессов на МегпеЬрынках и реализации пищевой продукции с использованием разработанных моделей различных порядков

7 На основе разработанных предикторных моделей создан и зарегистрирован в Государственном Фонде Алгоритмов и Программ программный комплекс АСППРМ, апробированный в системе маркетинговых исследований ОАО «Воронеж — Конверсионные

Объекты», а также в системе мониторинга цен ООО «Электронная торговая площадка - Центрально-Черноземная». Апробация подтвердила соответствие разработанного программного комплекса поставленным целям, его работоспособность и эффективность

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

ИЗ СПИСКА ВАК

1 Каладзе, Г В Сравнительный анализ операторов статистического оценивания [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Вестник ВГТУ Воронеж ВГТУ, 2005 -1 1, № 5 -С 14-18

2 Каладзе, Г В Предикторные алгоритмические модели нестационарных случайных процессов [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Вестник ВГТУ Воронеж ВГТУ, 2005 -Т 1, №5 - С 25-29

3 Каладзе, Г В Динамические модели нестационарных случайных процессов [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Вестник ВГТУ Воронеж ВГТУ, 2006.-Т 2, №5 -С 4-8

ДРУГИЕ ПУБЛИКАЦИИ

4 Каладзе, Г В Технический анализ в экономических системах управления Базовый подход [Текст] / Г В Каладзе // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы в экономике» Воронеж ВГТА, 2004 -Вып 1 -С 164-170

5 Каладзе, Г В Технический анализ в экономических системах управления Комбинированный подход [Текст] / Г В Каладзе // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы в экономике» Воронеж • ВГТА, 2004 - Вып 1 -С 159-164

6 Каладзе Г В Вычислительный эксперимент по стохастическому оцениванию [Текст] / Г В Каладзе // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы в экономике». Воронеж ВГТА, 2004 -Вып 2 -С 105-111

7 Программный комплекс «Скользящие предикторы в поддержке принятия решений» [Электронный ресурс] / Е А Ганцева, А В Ерофеев, В А Каладзе, Г В Каладзе // Зарегистрирован в Государственном фонде алгоритмов и программ, регистрационный номер 50200401035 от 20 08 2004

8 Каладзе, Г В Программный комплекс «Автоматизированная система поддержки принятия решений» [Электронный ресурс] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Зарегистрирован в Государственном фонде алгоритмов и программ, регистрационный номер 50200401135 от 23 09 2004

9 Матвеев, М Г Настройка параметров предикторов с использованием квазиоптимальных алгоритмов [Текст] / Е А Ганцева, Г В Каладзе, М Г Матвеев // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Информационные Технологии» Воронеж ВГТУ, 2005 -С 316-318

10 Каладзе, Г В Сравнительный анализ элементарных операторов сглаживания [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Труды Международной конференции «Современные сложные системы управления HTCS'2005» Воронеж ИПУ, ВГАСУ, 2005 -С 37-41

11 Каладзе, Г В Основная методология формирования структуры предикторов [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Труды Международной конференции «Современные сложные системы управления HTCS'2005» Воронеж ИПУ, ВГАСУ, 2005 -С 41-45

12 Матвеев, М Г Анализ области определения параметров предикторной модели временного ряда [Текст] / Г В Каладзе, М Г Матвеев // Труды Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» Воронеж ВГТА, 2005 -С 147

13 Каладзе, Г В Обучающая нечеткая продукционная система [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Труды шестой Международной научно-методической конференции

«Информатика проблемы, методология, технологии» Воронеж, 2006.-С 535-538

14 Каладзе, Г В Алгоритмические модели прогноза временных рядов [Текст] / Г В Каладзе // Материалы Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование модели и методы» Воронеж ВГУ, 2006. -С 49-51

15 Каладзе, Г В Моделирование системной поддержки принятия решений в маркетинге [Текст] / Е А Ганцева, В А Каладзе, Г В Каладзе // Материалы Международной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике» Воронеж МИКТ, 2007 -Т 2 - С 208-211

Подписано в печать 11 10 07 Уел печ л -1,0 Тираж 100 экз Заказ -№ 324

ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ВГТА) Отдел полиграфии ГОУ ВПО «ВГТА» Адрес академии и отдела полиграфии 394000 Воронеж, пр Революции, 19

СОДЕРЖАНИЕ:.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ И КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ В ОПИСАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧЕ ОТЛЕЖИВАНИЯ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.5. НЕСТАЦИОНАРНОСТЬ ЭВОЛЮЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА.

1.6. МЕТОДЫ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ.

1.7. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

ГЛАВА 2. ПРЕДИКТОРНЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

2.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕДИКТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ.

2.2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ.

2.3. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

2.4. ОБУЧЕНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧЕ АДЕКВАТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

ГЛАВА 3. ОБУЧЕНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА УРОВНЕ НАСТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ. ПОДБОР ПОИСКОВЫХ ПРОЦЕДУР НАСТРОЙКИ.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБУЧЕНИЯ И ПОДБОРА АЛГОРИТМОВ ПОИСКА.

3.2. КРИТЕРИЙ НАСТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ ПРЕДИКТОРА.

3.3. ПОДБОР ТЕСТОВЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ АЛГОРИТМОВ ПОИСКОВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ.

3.4. ПОИСКОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ, КАК ПРОЦЕДУРА ОБУЧЕНИЯ ПРЕДИКТОРОВ.

3.5. ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ПОИСКОВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ТЕСТОВЫХ ФУНКЦИЯХ, ИМИТИРУЮЩИХ УСЛОВИЯ ПРОГНОЗА.

3.6. КВАЗИОПТИМАЛЬНАЯ НАСТРОЙКА ПРЕДИКТОРНЫХ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДИКТОРНЫХ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

4.2. ФОРМИРОВАНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.ZJzEzl.

4.3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ И НАСТРОЙКА ЕЁ ПАРАМЕТРОВ

Актуальность. В настоящее время для анализа и прогнозирования экономических процессов широкое применение находят структурно детерминированные модели временного ряда, параметры которых определяются как статистические оценки, требующие большого объёма статистической информации. Однако механизм функционирования рынка с течением времени претерпевает структурные изменения, что приводит к снижению информативности полученных ранее данных, т.е. к эффекту «старения» информации.

В таких ситуациях наиболее применяемые инструменты моделирования основываются на методе экспоненциального сглаживания, который придаёт больший вес новой информации и при этом с каждым шагом «обесценивает» старую. Р. Брауном и Р. Майером была предложена адаптивная реализация такого подхода в форме полиномиальной предикторной модели, с предварительной обработкой текущей информации на основе многоуровневой экспоненциальной фильтрации. В этой модели оценка параметров временного полинома проводится методом наименьших квадратов. Однако сложность формирования и громоздкость расчётов в решаемой системе уравнений затрудняют в практических приложениях формализацию моделей выше второго порядка, что серьёзно сужает область её применения.

Таким образом, возникает необходимость разработать подход, в основе которого лежит конечно-разностное представление параметров временного полинома, что должно позволить получить улучшенную структурную и функциональную модификацию модели Брауна. Это в свою очередь должно обеспечить разработку эффективных процедур адаптации модели прогнозирования и расширить область её применения. Необходимость проведения настройки параметров модели в процессе анализа и прогнозирования экономических показателей обуславливается изменениями в объекте исследования. Такая модель должна обладать возможностью отслеживать и прогнозировать основную тенденцию развития временного ряда, включающую трендовые и сезонные составляющие.

Необходимость повышения эффективности модельных прогнозов, в том числе за счёт текущей адаптации моделей, обуславливает актуальность исследования.

Тематика диссертационной работы соответствует направлению НИР ГОУ ВПО ВГТА кафедры ПМиЭММ «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№ г.р. 01200003664).

Цель диссертационной работы заключается в разработке и исследовании адаптивных полиномиальных предикторных моделей временных рядов с использованием конечно-разностного подхода к оценке параметров модели, обеспечивающей упрощённый расчёт её параметров, что способствует повышению эффективности прогнозирования основной тенденции временного ряда.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Исследовать существующие методы анализа и прогнозирования временных рядов в условиях текущих изменений порождающих их механизмов;

• Разработать метод оценки параметров предикторной модели временного ряда, на основе конечно-разностного подхода, обеспечивающий текущую адаптацию этой модели;

• Разработать полиномиальную предикторную модель временного ряда, использующую на каждом уровне фильтрации индивидуальные коэффициенты сглаживания, с текущей адаптацией порядка полинома и расчёта его параметров на основе конечно-разностного подхода для повышения точности прогнозирования поведения временных рядов и обеспечения возможности повышения степени адаптации модели исследуемого процесса.

• Разработать алгоритм адаптивной настройки вектора коэффициентов сглаживания многоуровневой фильтрации в предикторной модели, обеспечивающий повышение эффективности прогнозирования поведения временных рядов;

• Провести численный анализ эффективности разработанных моделей и алгоритмов, их апробацию на реальных данных в задачах прогнозирования развития тенденции экономических показателей.

Методы исследования. В работе использованы методы вычислительной математики, численные методы анализа, теории вероятностей, математической статистики, методы анализа и прогнозирования временных рядов, теории оптимизации.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработан метод оценки параметров предикторной модели временного ряда, отличающийся использованием конечно-разностных отношений.

2. Разработана полиномиальная предикторная модель временного ряда, отличающаяся индивидуальными коэффициентами сглаживания на различных уровнях фильтрации.

3. Разработан алгоритм адаптивной настройки процесса многоуровневой фильтрации в условиях вектора параметров сглаживания притом, что каждый компонент вектора соответствует своему уровню сглаживания.

Практическая ценность заключается в повышении эффективности краткосрочного прогнозирования временных рядов за счёт объективной оценки основной тенденции временного ряда и настройки вектора коэффициентов сглаживания.

Разработанные методы анализа и прогнозирования временных рядов реализованы в виде независимого программного модуля и могут использоваться для математического и программного обеспечения процесса принятия решений. Они позволяют проводить исследования широкого спектра задач, требующих использования технологий прогнозирования временных рядов.

Предикторная модель является составной частью программного комплекса «Автоматизированная система поддержки приятия решений в маркетинге», который прошёл эксплуатацию и показал эффективность в маркетинговых исследованиях при краткосрочном прогнозировании ситуации на корпоративном субрынке. Он был принят в опытную эксплуатацию в ОАО «Воронеж - Конверсионные Объекты».

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные в ходе исследования методики и алгоритмы анализа временных рядов были использованы в производственной деятельности. По результатам проделанной работы получен акт внедрения в систему мониторинга цен ЗАО «Электронная торговая площадка «Центрально-Чернозёмная». Результаты диссертационной работы также используются в учебном процессе Воронежской государственной технологической академии при подготовке студентов по специальности 080801 «Прикладная информатика (в экономике)».

Апробация работы. Материалы работы, её основные научные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и межвузовских конференциях, в том числе на: Всероссийской научно-технической конференции «Информационные Технологии», ВГТУ, 2005; Международной конференции «Современные сложные системы управления HTCS'2005», ИЛУ, ВГАСУ, 2005; Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», ВГТА, 2005; шестой Международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», 2006; Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы», ВГУ, 2006; Международной конференции «Компьютерные технологии в технике и экономике», МИКТ, 2007, а также на научных семинарах кафедры ПМиЭММ ВГТА.

Публикации. По результатам исследования опубликовано 15 печатных работ, из них 4 - без соавторов, в том числе 3 статьи в изданиях рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем выполнены: в [7, 8, 15] - программная реализация; [12] - расчёты; [1, 2, 9, 10, 11, 13] - автором предложены и сформулированы модели третьих порядков и работа с ними.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографического списка из 88 наименований, 5 приложений. Объём диссертационной работы составляет 126 страниц машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в диссертационной работе теоретических исследований и практических экспериментов достигнуты следующие результаты работы:

1. Проведено исследование существующих методов сглаживания, анализа и прогнозирования основной тенденции временного ряда. Из класса полиномиальных моделей выделена модель Брауна, как одновременно фильтрующая и прогнозирующая временной ряд. Сформулированы цели и задачи исследования.

2. Разработан метод оценки параметров предикторной модели временного ряда на основе конечно-разностного подхода, что позволило обеспечить текущую адаптацию этой модели.

3.Реализована полиномиальная предикторная модель временного ряда на основе конечно-разностного подхода, использующая на каждом уровне фильтрации индивидуальные коэффициенты сглаживания, в рамках которой осуществляется текущая адаптация порядка полинома на основе сравнительного анализа с моделью Брауна, что привело к повышению точности прогноза и упрощению расчётов параметров.

4. Разработана процедура адаптивной настройки вектора индивидуальных коэффициентов сглаживания в предикторной модели с использованием квазиоптимальных алгоритмов, что позволило увеличить эффективность качества прогноза.

5. В результате проведенных вычислительных экспериментов:

1) подобраны адекватные процедуры квазиоптимальной настройки а на основе сравнения алгоритмов поисковой оптимизации;

2) выявлены особенности работы разработанных моделей:

3) области значений коэффициентов а и а для различных видов основной тенденции: монотонных, колебательных.

4) в результате сравнительного анализа предикторной модели с моделью Брауна установлено её преимущество в отслеживании и прогнозировании основных тенденций.

6. Проведены расчёты по реальным статистическим рядам для выявления основной тенденции процессов на Internet-рынках и реализации пищевой продукции с использованием разработанных моделей различных порядков.

7. На основе разработанных предикторных моделей создан и зарегистрирован в Государственном Фонде Алгоритмов и Программ программный комплекс АСППРМ, апробированный в системе маркетинговых исследований ОАО «Воронеж - Конверсионные Объекты», а также в системе мониторинга цен ЗАО «Электронная торговая площадка «Центрально-Чернозёмная». Апробация подтвердила соответствие разработанного программного комплекса поставленным целям, его работоспособность и эффективность.

1. Anderson, Т. W. The Statistical Analysis Of Time Series Stanford University John Wiley & Sons Text. / T. W. Anderson. Inc. New York, London, Sydney, Toronto, 1971. - 760 p.

2. Box, G. E. P. Some Statistical Aspects Of Adaptive Optimization And Control Text. / G. E. P. Box, G. M. Jenkins // J. Roy. Statist. Soc. 1962. - В 23, № 2. -P. 297-343.

3. Box, G. E. P. Criteria for judjing adequacy of estimation by an approximation response function Text. / G. E. P. Box, J. Wetz // Techn. report. Univ. of Wisconsin. 1973. - № 9. - 95 p.

4. Box, G. E. P. Time series analysis Text. / G. E. P. Box, G. M. Jenkins. San Francisco : Holden Day, 1970. - 553 p.

5. Box, G. E. P. Time series analysis: Forecasting and control Text. / G. E. P. Box, G. M. Jenkin. San Francisco : Holden-Day, 1976. - 575 p.

6. Brown, R.G. The Fundamental Theorem Of Exponential Smoothing Text. / R. G. Brown, R. F. Meyer // Operation Research : 1961. V. 9, № 5. - P. 673.

7. Jazwinski, A. H. Stochastic Processes and Filtering Theory Text. / A. H. Jazwinski. New York : Academic Press, 1970. - P. 53-54.

8. Kalman, R. E. Control system analysis and design via the "second method" of Lyapunov Text. / R. E. Kalman, J. E. Bertram : Trans. Am. Soc. Mech. Engrs., Series D, Basic Eng., 1960. № 82. - P. 371-393.

9. Kalman, R. E. New results in linear filtering and prediction theory Text. / R. E. Kalman, R. S. Bucy : Trans. Am. Soc. Mech. Eng., Series D, Basic Eng., 1961.-№83.-P. 95-108.

10. Kalman, R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems Text. / R. E. Kalman // Journal of Basic Engineering : Transactions ASME, 1960.-№82.-P. 35-45.

11. Wiener, N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series Text. / N. Wiener. J. Wiley, N. Y., 1949. - 176 p.

12. Айвазян, С. А. Прикладная статистика, основы эконометрики Текст. В 2 т. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика / С. А. Айвазян,

13. B. С. Мхитарян. М. : ЮНИТИ, 2001. - 656 с.

14. З.Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов Текст. /

15. Т. Андерсон. М.: Мир, 1976. - 755 с. Н.Аоки, М. Введение в методы оптимизации Текст. : пер. с англ. / М. Аоки. -М. : Наука, 1977.-С. 344.

16. Банди, Б. Методы оптимизации: вводный курс Текст. / Б. Банди. М. : Радио и связь, 1988. - 128 с.

17. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление Текст. / Дж. Бокс, Г. Дженкинс. М.: Мир, 1974. - Вып. 1. - 408 с.

18. Брандт, 3. Анализ данных Текст. / 3. Брандт. М. : Мир, 2003. - С. 490.

19. Вагер, Б. Г. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Текст. / Б. Г. Вагер // Межвуз. сб. тр. СПб. : СПбГАСУ, 1999. - С. 38-42.

20. Вайнштейн, Л. А. Выделение сигналов на фоне случайных помех Текст. / Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков. -М. : Советское радио, 1960. 447 с.

21. Вентцель, Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология Текст. : учеб. пособие для вузов / Е. С. Вентцель. М. : Дрофа, 2004.1. C. 84-111.

22. Вучков, И. Прикладной линейный регрессионный анализ Текст. / И. Вучков, Л. Бояджиева, Е. Солаков. М. : Финансы и статистика, 1987. -С. 243.

23. Статистическое моделирование и прогнозирование Текст. / Г. М. Гамбаров, Н. М. Журавель, Ю. Г. Королев и др. М. : Финансы и статистика, 1990. - 383 с.

24. Годунов, С. К. Разностные схемы Текст. / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. М. : Наука, 1977. - 439 с.

25. Голяндина, Н. Э. Анализ временных рядов Текст. : учеб. Пособие / Н. Э. Голяндина. СПб. : Изд-во СПбГУ, 2000. - 76 с.

26. Гуляев, И. Временные ряды в динамических базах данных Текст. / И. Гуляев. М. : Радио и связь, 1998. - 127 с.

27. Давние, В. В. Адаптивное прогнозирование: Модели и методы Текст. / В. В. Давние. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1997. - 196 с.

28. Прогноз и статистический выбор Текст. : монография / В. В. Давние, Е. К. Нагина, В. И. Тинякова, В. А. Ищенко. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2004. - 216 с.

29. Давние, В. В. Прогнозные модели экспертных предпочтений Текст. : монография / В. В. Давние, В. И. Тинякова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2005. - 248 с.

30. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики Текст. / Б. П. Демидович, И. А. Марон. СПб.: Лань, 2006. - 672 с.

31. Денискин, В. В. Основы экономического прогнозирования в пищевой промышленности Текст. / В. В. Денискин. М. : Колос, 1993. - 237 с.

32. Джонстон, Дж. Эконометрические методы Текст. / Дж. Джонстон. М. : Статистика, 1980. - 445 с.

33. Доугерти, К. Введение в эконометрику Текст. / К. Доугерти. М. : ИНФРА-М, 1999. - 402 с.

34. Изерман, Р. Цифровые системы управления Текст. : пер. с англ. / Р. Изерман. М. : Мир, 1984. - 541 с.

35. Каладзе, Г. В. Алгоритмические модели прогноза временных рядов Текст. / Г. В. Каладзе // Материалы Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы». Воронеж : ВГУ, 2006. - С. 49-51.

36. Каладзе, Г. В. Вычислительный эксперимент по стохастическому оцениванию Текст. / Г. В. Каладзе // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы в экономике». Воронеж : ВГТА, 2004. - Вып. 2. - С. 105-111.

37. Каладзе, Г. В. Динамические модели нестационарных случайных процессов Текст. / Е. А. Ганцева, В. А. Каладзе, Г. В. Каладзе // Вестник ВГТУ. Воронеж : ВГТУ, 2006. - Т. 2, № 5. - С. 4-8.

38. Каладзе, Г. В. Основная методология формирования структуры предикторов Текст. / Е. А. Ганцева, В. А. Каладзе, Г. В. Каладзе // Труды Международной конференции «Современные сложные системы управления HTCS'2005». Воронеж : ИЛУ, ВГАСУ, 2005. - С. 41-45.

39. Каладзе, Г. В. Предикторные алгоритмические модели нестационарных случайных процессов Текст. / Е. А. Ганцева, В. А. Каладзе, Г. В. Каладзе // Вестник ВГТУ. Воронеж : ВГТУ, 2005. - Т. 1, № 5. - С. 25-29.

40. Каладзе, Г. В. Сравнительный анализ операторов статистического оценивания Текст. / Е. А. Ганцева, В. А. Каладзе, Г. В. Каладзе // Вестник ВГТУ. Воронеж : ВГТУ, 2005. - Т. 1, № 5. - С. 14-18.

41. Каладзе, Г. В. Сравнительный анализ элементарных операторов сглаживания Текст. / Е. А. Ганцева, В. А. Каладзе, Г. В. Каладзе // Труды Международной конференции «Современные сложные системы управления HTCS'2005». Воронеж : ИПУ, ВГАСУ, 2005. - С. 37-41.

42. Каладзе, Г. В. Технический анализ в экономических системах управления. Базовый подход Текст. / Г. В. Каладзе // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы в экономике». Воронеж : ВГТА, 2004. - Вып. 1. - С. 164-170.

43. Каладзе, Г. В. Технический анализ в экономических системах управления. Комбинированный подход Текст. / Г. В. Каладзе // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы в экономике». -Воронеж : ВГТА, 2004. Вып. 1. - С. 159-164.

44. Каплинский, А. И. Конструирование поисковых алгоритмов оптимального проектирования Текст. / А. И. Каплинский. Воронеж : ВПИ, 1993. - 108 с.

45. Кильдишев, Г. С. Анализ временных рядов и прогнозирование Текст. / Г. С. Кильдишев, А. А. Френкель. М. : Статистика, 1973. - 103 с.51 .Климов, Г. П. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. / Г. П. Климов. М.: МГУ, 1983. - 328 с.

46. Колмогоров, А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей Текст. / А. Н. Колмогоров. М. : Известия АН СССР, 1941. - Вып. 1, № 5. - С. 3-14.

47. Колмогоров, А. Н. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром Текст. / А. Н. Колмогоров // Юбилейный сборник АН СССР.

48. М., 1947.-Т. 1.-С. 242-254.

49. Коробов, Ю. Ф. Теория фильтрации сигналов Текст. / Ю. Ф. Коробков. -М., 2002.-321 с.

50. Красс, М. С. Математика в экономике. Математические модели и методы Текст. / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. СПб. : Питер, 2007. - С. 544.

51. Кремер, Н. Ш. Исследование операций в экономике Текст. : учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер. М.: ЮНИТИ, 1997. - 407 с.

52. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика Текст. : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 543 с.

53. Крутько, П. Д. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем Текст. / П. Д. Крутько, А. И. Максимов, JI. М. Скворцов. М. : Радио и связь, 1988. - 306 с.

54. Ли, Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление Текст. / Р. Ли. М.: Наука, 1966. - 176 с.

55. Машунин, Ю. К. Векторная оптимизация многоуровневых иерархических систем Текст. / Ю. К. Машунин //Системных подход в исследовании экономики освоения океана. Владивосток : ДВНЦ АН СССР, 1984. -С. 95-103.

56. Машунин, Ю. К. Методы и модели векторной оптимизации Текст. / Ю. К. Машунин. М. : Наука, 1986. - 141 с.

57. Месарович, М. Теория иерархических многоуровневых систем Текст. / М. Месарович, Д. Мако, И. Такахара. М. : Мир, 1973. - 344 с.

58. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1981.-400 с.

59. Моисеев, Н. Н. Математика ставит эксперимент Текст. / Н. Н. Моисеев. -М. : Наука, 1979. 224 с.

60. Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа Текст. / Н. Н. Моисеев. М. : Наука, 1981.-448 с.

61. Моисеев, Н. Н. Методы оптимизации Текст. / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. М. : Наука, 1979. - 352 с.

62. Назин, А. В. Адаптивный выбор вариантов: рекуррентные алгоритмы Текст. / А. В. Назин, А. С. Поздняк. М. : Наука, 1986. - 288 с. (Теоритические основы технической кибернетики).

63. Налимов, В. В. Теория эксперимента Физико-математическая библиотека инженера Текст. / В. В. Налимов. -М.: Наука, 1971. 208 с.

64. Официальный сайт электронного рынка Forex Электронный ресурс. -Режим доступа : http://www.forex.ru/. Загл. с экрана.

65. Поляк, Б. Т. Введение в оптимизацию Текст. / Б. Т. Поляк. М. : Наука, 1983.-384 с.

66. Пугачев, В. С. Основы автоматического управления Текст. / В. С. Пугачев. Изд. 3-е, испр. и доп. - М. : Наука, 1968. - 720 с.

67. Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем Текст. / В. С. Пугачев, И. Е. Казаков, JI. Г. Евланов. М. : Машиностроение, 1974. - 400 с.

68. Пугачев, В. С. Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления Текст. / B.C. Пугачев. Изд. 3-е, испр. - М. : Физматгиз, 1962. - 884 с.

69. Пустыльник, Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений Текст. / Е. И. Пустыльник. М.: Наука, 1968. - 288 с.

70. Розов, А. К. Нелинейная фильтрация сигналов Текст. / А. К. Розов. 2 изд. - М. : Политехника, 2002. - 372 с.

71. Сысоев, В. В. Системное моделирование многоцелевых объектов Текст. / В. В. Сысоев // Методы анализа и оптимизации сложных систем. М. : ИФГП. РАН, 1993. - С. 80-88.

72. Тейл, Г. Экономические прогнозы и принятие решений Текст. / Г. Тейл. -М. : Статистика, 1971. с. 488.

73. Турунцева, М. Ю. Анализ временных рядов (промежуточный уровень) Текст. / М. Ю. Турунцева, Г. Г. Канторович. М. : Государственный университет - Высшая школа экономики, 2000. - 28 с.

74. Тюрин, Ю. Н. Статистический анализ данных на компьютере Текст. / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров. М. : ИНФРА, 1998. - 528 с.

75. Федосеева, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели Текст. / В. В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.

76. Харкевич, А. А. Борьба с помехами Текст. / А. А. Харкевич. 2-е изд. -М.: Физматгиз, 1965. - С. 280.

77. Хеерман, Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике Текст. / Д. В. Хеерман. М. : Наука, 1990. - С. 134-144.

78. Черноруцкий, И. Г. Методы оптимизации в теории управления Текст. / И. Г. Черноруцкий. СПб. : Питер, 2004. - С. 256.

79. Четыркин, Е. Н. Статистические методы прогнозирования Текст. / Е. Н. Четыркин. М. : Статистика, 1977. - 200 с.

80. Чураков, Е. П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике Текст. / Е. П. Чураков. М.: ФинСтат, 2004. - 240 с.

81. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики Текст. В 2 т. Т.1. Факты. Модели; Т.2. Теория / А. Н. Ширяев. М. : Фазис, 1998. -1017 с.