автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование длинных поверхностных волн с использованием адаптивных сеток

л На правах рукописи

1" 0 ^ : 1

, .. УДК 532.5

1 1 исп

Варахннн Владимир Борисович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛИННЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АДАПТИВНЫХ СЕТОК

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1996

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск)

Научные руководители: академик, профессор Ю.И.Шокин,

к.ф.-м.н., доцент Г.С.Хакимзянов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Воеводин, доктор физико-математических наук Г.Г.Черных

Ведущая организация — Вычислительный центр СО РАН (г.Красноярск)

Защита диссертации состоится " $ " *р Г^ 1996 года в " часов на заседании диссертационного совета К 002.23.04 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИМ СО РАН (630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.)

Автореферат разослан "Н " о^-ТЛЬрЗ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Г.В.Демиденко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение воздействия поверхностных волн на берег и прибрежные сооружения играет важную роль в инженерных приложениях гидродинамики. Одним из современных методов исследования указанного процесса является метод прямого численного моделирования волновых движений жидкости, при этом используемая математическая модель должна адекватно отг-лжать основные особенности течения и, вместе с тем, быть достаточно экономичной при ее реализации на ЭВМ. Этими свойствами обладают, в частности, нелинейная модель мелкой воды и различные нелинейно-дисперсионные модели. Однако численная реализация многих нелинейно-дисперсионных моделей осложняется наличием в соответствующих уравнениях производных высокого порядка искомых функций (например, скорости), в частности, смешанных производных по времени и пространственным переменным. Поэтому весьма актуальным является создание алгоритмов, позволяющих достаточно точно аппроксимировать указанные производные.

В реальных задачах область течения имеет, как правило, сложную форму с искривленными берегами, вследствие чего в расчетах целесообразно использовать криволинейные сетки, адаптирующиеся к очертаниям берега. С целью повышения экономичности алгоритма желательно сгущение узлов сетки в области сосредоточения особенностей решения. Так как распространение поверхностных волн представляет собой существенно нестационарный процесс, то адаптивные сеткн, отслеживающие особенности решения, должны быть подвижными. Указанные свойства расчетных сеток делает актуальным использование разностных схем, которые могут быть реализованы в подвижной криволинейной системе координат с наименьшими вычислительными затратами.

Цель работы состоит в разработке экономичных численных методов решения одномерных и плановых уравнений модели мелкой воды и одной из современных нелинейно-дисперсионных моделей (далее именуемой моделью Железняка), а также в создании на их основе комплекса программ для расчетов поверхностных волн в областях с криволинейными границами.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

а) для решения на подвижных неравномерных сетках уравнений модели мелкой воды и модели Железняка предложена и исследована явная конечно-разностная схема предиктор-корректор с автоматически настраиваемой аппроксимационной вязкостью;

б) разработаны экономичные алгоритмы построения одномерных и плановых криволинейных динамически адаптивных сеток на основе ме-

тода равнораспределения, учитывающего расположение узлов на предыдущем временном слое;

в) предложен алгоритм расчета правой части уравнений Железняка, зависящей от производных скорости по времени, заключающийся в решении эллиптического уравнения, не содержащего таких производных в явном виде;

г) на основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ численного моделирования течений идеальной несжимаемой жидкости с поверхностными волнами;

д) численно исследованы свойства предложенных вычислительных алгоритмов на разнообразных задачах волновой гидродинамики, показана достоверность и надежность получаемых результатов;

е) в рамках модели мелкой воды и модели Железняка проведено численное исследование косого наката уединенной волны на вертикальную стенку, а также исследованы волновые процессы в водоеме сложной формы.

Практическая ценность работы. Разработанный численный метод решения уравнений модели мелкой воды и модели Железняка, осно-. ванный на явной конечно-разностной аппроксимации, реализуется на криволинейных сетках, адаптирующихся к сложной форме области, что позволяет точнее по сравнению с методами, использующими прямоугольные сетки, исследовать течения в областях сложной формы. Адаптация сетки к особенностям течения позволяет получать результаты высокой точности на сетках с небольшим количеством узлов, вследствие чего достигается экономия времени счета и машинной памяти. Созданные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы в заинтересованных организациях для численного решения разнообразных задач волновой гидродинамики.

Достоверность полученных результатов подтверждается анализом свойств численного метода и проведением многочисленных тестовых расчетов с применением мер контроля точности получаемых решений и хорошим согласованием результатов с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались на V Всероссийском совещании "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики" (Казань, 3-7 сентября 1994 г.), Совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 2-4 октября 1994 г.), Международной конференции "Современные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 20-24 июня 1995 г.), Совещании по природным и антропогенным катастрофам (Новосибирск, 18-21 сентября 1995 г.), Международном симпозиуме "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах" (Новосибирск, 26-28 сентября 1995 г.), Международной конференции "Математиче-

ские модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 28 мая - 1 июня 1996 г.), Пятом Российско-Японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Новосибирск, 3-6 июня 1996 г.), обсуждались на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН и в Институте математики СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

1. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. О применении подвижных сеток при численном решении одномерных задач наката волн цунами на берег// Вычислительные технологии.-Новосибирск, ИВТ СО РАН,

1994.-Т. 3.-N 9.-С. 7-17.

2. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Применение динамически адаптивных сеток для численного решения задач теории мелкой воды// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов.-1994.-Вып. 4.-С. 39-44.

3. Барахнин В.Б. Конечно-разностные схемы для численного решения задач теории мелкой воды с использованием адаптивных сеток// Вычислительные технологии.-Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995.-Т. 4.-N 11.-С. 38-50.

4. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численная реализация краевых условий в одномерных задачах теории мелкой воды// Актуальные проблемы современной математики.-Новосибирск, НИИ МИОО НГУ,

1995.-Т. 1.-С. 18-30.

5. Barakhnin V.B., Khakimzyanov G.S. On the application of adaptive grids to the numerical solution of one-dimensional problems in the shallow-water theory// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling.-1995.-Vol. I0.-No.5.-P. 373-391.

6. Barakhnin V.B., Khakimzyanov G.S. Adaptive grid-numerical solution of unidimensional and two-dimensional problems for the shallow water equations// Advanced Mathematics, Computations and Applications. Abstracts-Novosibirsk, 1995.-P. 34-36.

7. Barakhnin V.B., Khakimzyanov G.S. Adaptive-grid numerical solution of one-dimensional and two-dimensional problems for the shallow-water equations// Advanced Mathematics: Computations and Applications. Proceedings of AMCA-95. (Eds. A.S.Alexeev, N.S.Bakhvalov).-Novosibirsk, 1995.-P. 144-153.

8. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами в рамках двумерной модели мелкой воды// Материалы международного симпозиума "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах.-Новосибирск, 1996.-С. 23.

9. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С. Численная реализация краевых условий в плановых задачах для нелинейных уравнений мелкой воды// Актуальные проблемы современной математики.-Новосибирск, НИИ МИОО НГУ, 1996.-Т. 2.-С. 3-12.

10. Барахнив В.Б., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование поверхностных волн на основе плановых моделей мелкой воды с использованием адаптивных сеток// Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международной конференции.-Новосибирск, 1996.-С. 30-31.

11. Барахнин В.Б., Хакимзянов Г.С., Чубаров Л.Б., Шкуропацкий Д.А. Некоторые проблемы численного моделирования волновых режимов в огражденных акваториях// Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международной конференции.-Новосибирск, 1996.-С. 32-33.

В работах [1, 2, 4-10] Хакимзянову Г.С. принадлежат общая постановка задачи и идея нахождения правой части уравнений Железняка путем решения эллиптического уравнения. Барахнин В.Б. исследовал свойства используемых разностных схем (теоретически и численно), предложил два способа построения двумерных сеток на основе одномерного метода равнораспределения, разработал способы реализации описанных алгоритмов, провел численное исследование одномерных задач, задачи косого наката уединенной волны на стенку, а также численные расчеты волновых процессов в верхнем водоеме Днестровской ГАЭС.

В работе [11] общая постановка задачи принадлежит Хакимзянову Г.С. и Чубарову Л.Б. Барахнин В.Б. провел расчеты по одномерной и плановой модели мелкой воды, Хакимзянов Г.С. - по модели потенциальных течений, Чубаров Л.Б. и Шкуропацкий Д.А. проделали сравнительный анализ одномерных разностных схем и осуществили расчеты по модели Сен-Венана.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 наименований. Полный объем диссертации 177 страниц, включая 52 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение начинается с обзора работ, посвященных задачам волновой гидродинамики. Эти задачи исследовались в рамках различных математических моделей в работах Л.В.Овсянникова, Ю.И.Шо-кина, Ан.Г.Марчука, Л.Б.Чубарова, Г.С.Хакимзянова, З.И.Федотовой, А.М.Франка, Н.Е.Вольцингера, К.А.Клеванного, Е.Н.Пелиновского, М.И.Железняка, К.Синолакиса и др. Отмечается, что наиболее часто используемой приближенной моделью является модель мелкой воды первого приближения. К ее достоинствам можно отнести простоту и теоретическую изученность. Недостатком модели является то, что она дает достоверные результаты лишь для волн малой амплитуды. Из

множества нелинейно-дисперсионных моделей особый интерес вызывает модель Железняка, так как ее отличительной чертой является отказ от предположения о малости относительной амплитуды волн. Эта модель имеет точное решение в виде солитона. Уравнения рассматриваемых моделей в плановом случае имеют в безразмерных переменных следующий вид:

#,+div(tfu) = О,

(1)

u, + (U-V)U+S7T} = D, где для модели мелкой воды D — 0, для модели Железняка 1 /Я3 Я2 \ /Я \

Л, = (divu)t + (м • V)divu - (divu)2, R2 = w, • Vh + (u • V)(w • V/i).

Здесь ua(xl,x2,t) - декартовы компоненты вектора скорости u, ^(х1, x2,t) - возвышение поверхности над невозмущенным уровнем, Я = г/ + h - полная глубина, 2 = —h(xl,x2) - функция, описывающая рельеф дна.

С целью экономии машинных ресурсов при численном решении этих уравнений целесообразно использовать динамически адаптивные сетки. Обзоры публикаций по моделированию поверхностных волн с использованием адаптивных сеток имеются в работах Дж.Ромейта, Н.Е.Вольцингера, К.А.Клеванного и Е.Н.Пелиновского. Одним из широко распространенных методов построения сеток, адаптирующихся к особенностям решения, является метод равнораспределения (называемый в иностранной литературе equidistribution method), основные идеи которого изложены К.Буром, а также Х.Двайером, Р.Ки и Б.Сандерсом. В основе метода лежит следующее требование: произведение меры ячейки сетки на значение заданной управляющей функции должно быть для всех ячеек величиной, близкой к постоянной. Во введении приводится обзор работ, анализирующих достоинства метода и указывающих на его недостатки, многие из которых устранены в модифицированном варианте метода, предложенном Ю.И.Шокиным и А.И.Урусовым. Этот вариант позволяет учитывать при построении сетки на данном временном слое расположение ее узлов на предыдущем слое.

Наконец, во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели и приведено краткое содержание глав.

Первая глава посвящена одномерным моделям. В § 1, содержащем математическую постановку задачи, приводится одномерный аналог системы (1). Посредством достаточно гладкого невырожденного преобразования

t = т, х = x(q, т)

осуществляется переход к новой системе координат, при этом на физическую область il(t) = (0,jL(t)) отображается неподвижная область Q — (0,1), абсцисса точки уреза L(t) будет соответствовать координате q = 1, J = xq - якобиан преобразования. Далее переменную времени в новых координатах будем обозначать через t. Система уравнений записывается:

— в т.н. квазидивергентной форме (т.е. с дивергентной левой частью):

Vj + F, = G,

где для модели мелкой воды полагаем

V = (HJ,HuJ)T, F = (H{u-xt), Hu(u-xt)+H2/2)T, G = (0, Hh„f, а для модели Железняка

V = (HJ,uJf, F = (H(u - x,), u2/2 - uxt + tj)T, G = (0, DJ)T,

— в недивергентной форме:

v< + Av4 = f,

где для модели мелкой воды

v = (Я, и)т, А = i ( " 7ы 5Х( ) , f = (0, hjjf, а для модели Железняка

v

В § 2 содержится описание явной конечно-разностной схемы предиктор-корректор с автоматически настраиваемой аппроксимацион-ной вязкостью. На предикторе расчетные величины вычисляются в целых узлах qj, qj = (] — 1)Л, ] = 1,..., N, а на корректоре - в полуцелых узлах 9^+1/2, 3 = 1) •••, N — 1, где Л = 1/(Лг — 1) - шаг сетки. Разностная схема для уравнений мелкой воды выглядит следующим образом:

VJ ~ ii(V?+)/2 + У"-1/з) 1,.в .„ 4V"+l/2 - v"-l/2 _ fn

-^Г-+ 2(л'-+1'2 + Л^2> h ~ '

j = 2, ...,N — 1,

т„ п

где функция Р^- вычисляется по величинам V,-, подсчитанным на предикторе. Для вычисления величины ш используется формула

- min (1, 1/2 + 7|7tf+1/2 - v"-i/2|/(^+i/2 - »J-i/a)) •

Если 7 = 0(h), то для гладких решений разностная схема имеет 2-й порядок аппроксимации. Благодаря этой формуле расчеты в подобластях малых градиентов функции г; проводятся со значениями ш, близкими к 1 /2, что обеспечивает более высокую точность. Напротив, если значения |т7х| велики, то в этой подобласти возможно появление осцилляций численного решения, которые будут сглаживаться из-за возрастания аппроксимационной вязкости схемы при больших значениях ш.

При численном решении уравнений Железняка возникают дополнительные трудности, связанные с аппроксимацией правой части, зависящей от производных скорости по времени. Обозначив через d ускорение частиц жидкости: d = щ + иих и используя уравнение движения, в координатах (q,t) имеем d = D — щ/J. Выражая D через d, получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения (I. Таким образом, каждый временной шаг решения уравнений Железняка распадается на 4 этапа: подсчет значений d в целых узлах сетки; предиктор, где используются найденные значения d\ повторный подсчет значений d с учетом предикторных величин; корректор. Формулы предиктора и корректора аналогичны использованным для уравнений мелкой воды.

Проведено исследование устойчивости, диссипативных и дисперсионных свойств линеаризованных вариантов рассматриваемых схем в зависимости от их параметров. В частности, при постоянном и> необходимое (а для модели мелкой воды и достаточное) условие устойчивости имеет вид w > 1/2, эе = т/h < 1/(\/2ш).

В § 3 описана численная реализация граничных условий при расчетах на подвижных сетках. На наш взгляд, этому вопросу обычно уделяется недостаточно внимания, вследствие чего мы подробно излагаем алгоритмы обработки границ, применяемые для решения задач о движении уединенной волны и ее взаимодействии с берегом достаточно произвольной формы. Для границы в виде наклонной (не обязательно плоской) стенки предложен усовершенствованный алгоритм расчета. Его новизна состоит в том, что для нахождения точки - правой границы расчетной х^1"1 области используется значение иц на шаге предиктор n-го слоя по времени и лишь после этого строится сетка на п + 1-м слое. Заметим, что для модели Железняка алгоритм расчета граничных условий на наклонной стенке разработан впервые.

Рассматривается также случай неотражающих граничных условий, причем при их численной реализации на динамически адаптивных сетках получаются лучшие результаты, чем на равномерных сетках (пусть даже и мелких). Дело в том, что большинство методик расчета граничных условий хорошо работает лишь для длинных волн. Если в расчетах возникают дисперсионные хвосты из коротких волн, то последние

проходят через границу со значительным отражением. В то же время при использовании динамически адаптивных сеток эти волны сглаживаются вследствие того, что минимальные ячейки сетки находятся в окрестности гребня основной волны, а в областях расположения дисперсионных хвостов сетка имеет разрежения, приводящие к подавлению коротких волн.

В § 4 описана методика построения сеток, в основе которой лежит модифицированный метод равнораспределения, предложенный Ю.И.Шокиным и А.И.Урусовым:

(w{x»,tn)x?% = р - и") ,

где Р = const > 0, w(x,t) = у] 1 + aif + «iгЦ, г) берется с n-го слоя. На основании ряда примеров выведены эмпирические соотношения на параметры сетки, при которых рассматриваемые задачи решаются с высокой точностью. Как правило, полагалось /3 = а/10, 0 < <*i < 0.3а. Сходимость разностной схемы при изменении сгущения сетки проверялась для задачи наката солитона на вертикальную стенку в рамках модели Железняка. Вычисленные значения максимального заплеска сравнивались с теоретическими. На рис. 1 изображены верхняя и нижняя границы изменения параметра а в зависимости от амплитуды а такие, что при расчетах на сетках с N = 101 и а, лежащими между этими кривыми, указанное отклонение не превышает 1%.

1000

0.2 0.4 0.6

Рис. 1. Границы изменения параметра а (по вертикальной оси шкала логарифмическая).

Были проделаны тестовые расчеты, доказывающие преимущества использования динамически адаптивных сеток по сравнению с неадаптивными. Например, для модели Железняка рассматривалась задача распространения солитона амплитуды а = 0.5 в бассейне с горизонтальным дном. Количество узлов сетки подбиралось так, чтобы при расчете на ней амплитуда волны за время прохождения расстояния, равного ее длине, уменьшалась не более, чем на 1%. Указанное уменьшение амплитуды происходит, если подвижная сетка имеет 101 узел, а = 20, Я1 = 0, /3 = 2. Неподвижная равномерная сетка требует порядка 1000 ячеек. Время работы вычислительной части программы на компьютере с процессором 4860X2/66 МГц составляет в первом случае около

3.2 с, а во втором - 128 с. Заметим, что расчет на неподвижной сетке с N = 101 дает уменьшение амплитуды примерно на 10%.

Рис. 2 изображает траектории узлов сетки, использованной при расчете наката уединенной волны на плоский откос. В этой задаче правая граница области - точка уреза - является подвижной. Из рисунка видно, что сетка хорошо адаптируется к профилю волны и к области течения.

Рис. 2. Траектории узлов сетки в задаче паката уединенной волны на наклонную стенку, образующую угол ф с горизонтом, при о = 0.3, ctg ф = 5 (модель Железняка).

О 10 20 30 *

В § 5 содержатся результаты расчетов по изложенным численным алгоритмам. Процесс наката солитона на вертикальную стенку хорошо исследован теоретически, численно и экспериментально, поэтому расчеты носили преимущественно тестовый характер. Менее изучена задача с примыкающим к вертикальной стенке подводным откосом. Значения максимального заплеска, полученные по модели Железняка, сравнивались со значениями, полученными Ю.И.Шокиным и Г.С.Хакимзяновым на основе модели потенциальных течений (см. рис. 3).

R 4 у □

2* Г

а

Рис. 3. Значение максимального заплеска.

"—" — потенциальная модель, "О" —неподвижная сетка, N = 501, "+" — подвижная сетка, N = 151, 1 —ctg^ = 3, 2 — ctgф = 5, 3 — ctg ф = 10, 4 — ctg ф - 20.

0.05 0.2 035 0.5 0.65

Анализ результатов показывает, что при а < 0.3 отличие величин Дтах, рассчитанных на подвижной и неподвижной сетках, не превосходит 1%. Для этой задачи проверялась реальная эффективность применения подвижных сеток. По сравнению с мелкими равномерными сетками наблюдалась экономия времени в 8-10 раз при одинаковой точности расчета. Проведено также моделирование наката уединенной волны

на наклонный берег, уточнены некоторые результаты М.И.Железняка относительно хронограмм давления синусоидального импульса, набегающего на вертикальную стенку.

Во второй главе описаны алгоритмы решения задач, поставленных в рамках плановой модели мелкой воды. В § 1 приводятся квазидивергентная и недивергентная формы записи уравнений в декартовых координатах (ж1, а:2, г) и криволинейных координатах (д\д2,£)> содержится постановка граничных условий.

В § 2 описана явная конечно-разностная схема типа предиктор-корректор на подвижной криволинейной сетке с автоматически настраиваемой аппроксимационной вязкостью. Эта схема совершенно аналогична использованной в одномерном случае, ее шаблон изображен на рис. 4. Исследованы ее диссипативные и дисперсионные свойства для

i}2 j+1-h к1

Рис. 4. Шаблон схемы, о - узлы подсчета предикторных величин, • - узлы подсчета корректорных величин. Стрелками показаны точки, используемые при аппроксимации производных, необходимых для подсчета предикторных величин в узле (л, ]2 + 1/2).

j-,1 i, i+i i+2

двумерного уравнения переноса. На основании методик, разработанных П.Лаксом и Б.Вендроффом, а также Э.Туркелем, доказана следующая теорема (ж0 = r/ha).

Теорема 1. Схема предиктор-корректор для линеаризованной системы уравнений мелкой воды будет устойчива при и> = const > 1/2, если выполняется одно из условий: . 1

1)

2)

4 у/ш'

I V3 + «2 <

а = 1,2; 1

(2w)2/3'

В § 3 содержится подробный вывод граничного условия для функции возвышения т} на вертикальной стенке произвольной формы. Оно имеет

г \2

вид = —ве(иг) , где п - единичный вектор внешней нормали, ит -дп

касательная составляющая вектора скорости, ае - кривизна границы с приписанным ей знаком. Приводятся также алгоритмы численной реализации граничных условий на вертикальной стенке, на наклонной (не обязательно плоской) стенке и на участках втекания-вытекания жидкости.

В § 4 описано численное решение задачи набегания под углом ■ф уединенной полны на вертикальную стенку. Область течения показана на рис. 5, причем на твердой стенке ABC ставилось условие непротекания, на границе ABC - "мягкие" граничные условия.

Рис. 5. Область течения в задаче косого взаимодействия уединенной волны со стенкой.

Названное явление подробно исследовалось ранее теоретически Дж.Майлсом, показавшим, что в рамках одной из нелинейно-дисперсионных моделей заплеск волн бесконечно малой амплитуды может составить 4а, экспериментально - П.Перраудом, В.Мелвиллом, Т.Удой, С.Танакой и Х.Ито, численно в рамках различных моделей - М.Фунакоши, Ю.И.Шокиным и Г.С.Хаюшэяновым, О.А.Серебренниковой и А.М.Франком. В рассматриваемой задаче картина течения устанавливается по истечении длительного промежутка времени, за которое волна проходит очень большое расстояние. Указанное обстоятельство делает применение адаптивных сеток, позволяющих сократить машинное время решения задачи и получить результаты высокой точности при сравнительно небольшом числе узлов, особенно актуальным.

Так как применение двумерного метода равнораспределения требует больших затрат машинного времени, при решении рассматриваемой задачи мы пользовались более экономичным комбинированным

Ряс. 6. Фрагмент адаптивной сетки, а)0=26.5°, б)V" = 45°.

дифференциально-алгебраическим методом построения сеток, идея которого впервые предложена в работе Т.Г.Дармаева и В.Д.Лисейкина. Сначала с использованием одномерного метода равнораспределения расставлялись узлы на границе А!В С?, после чего через каждый узел проводилась прямая, параллельная оси Ох2, и вдоль нее узлы расставлялись так, чтобы их ординаты удовлетворяли одномерному условию равнораспределения. На рис. 6 показан фрагменты получающихся сеток, соответствующие случаям маховского и регулярного отражения. Расчеты проводились на сетке 101 х 21 в "окне", движущемся относительно области течения.

На рис. 7 показана зависимость максимального заплеска К/а на стенку от величины ф/у/3а. Сплошной линией показана теоретическая зависимость, полученная Майлсом, а маркерами - результаты, полученные численно. Видно, что для рассмотренных амплитуд имеет

место качественное соответствие теоретических и численных результатов. Анализ графика показывает что при использовании адаптивной сетки достигается лучшая согласованность с теорией.

В § 5 описаны результаты математического моделирования верхнего водоема Днестровской гидроаккумулирующей электростанции. Расчеты проводились на криволинейной неподвижной сетке (рис. 8). Численно исследованы течения с поверхностными волнами, возникающие в водоеме после взрывной разборки временной дамбы. Проведено исследование опорожнения и наполнения водоема.

Рис. 7. Максимальный эаплеск уединенной волны на стенку, о = 0.07(о); а = 0.1(»); о = 0.13(0); о = 0.13(х) - неадаптивная сетка.

Рнс. 8. Расчетная сетка (Ni = 61, N2 = 21).

Третья глава посвящена численному моделированию поверхностных волн в рамках двумерных (плановых) уравнений нелинейно-дисперсионной модели Железняка. В § 1 приводится запись системы уравнений Железняка в декартовых координатах. Правая часть рассматриваемой системы содержит, в частности, производные' компонент вектора скорости по времени и по пространственным переменным. Вводя аналогично одномерному случаю обозначение d = щ + (й • V)u и предполагая, что дно горизонтальное, из уравнений движения имеем

Обозначив Hd — Vip, мы свели нахождение правой части уравнений движения к решению скалярного уравнения эллиптического типа относительно функции ip:

д .1 dip. д Л dip 3 _ дх^^Ндх^' + д^^Нд^' ~ IP9 ~

of а- -\2 п,дщди2 дщдщ. 3

В § 2 система уравнений Железняка и эллиптическое уравнение для нахождения tp записаны в криволинейных координатах. Выведено граничное условие на функцию <р для случая вертикальной стенки:

В § 3 описан конечно-разностный алгоритм решения системы уравнений Железняка. Этапы осуществления каждого временного шага аналогичны одномерному случаю. Аппроксимация левой части системы Железняка совпадает с аппроксимацией системы уравнений мелкой воды. Схема, используемая для решения эллиптического уравнения относительно <р, получена на основе интегроинтерполяционного метода.

Для оператора Лапласа, аппроксимируемого на квадратной сетке, эта схема переходит в схему "косой крест". Задачу Неймана для рассматриваемого уравнения аппроксимирует конечно-разностный оператор А. Он обладает следующим свойством.

Теорема 2. Оператор А является в соответствующем пространстве сеточных функций самосопряженным и положительно определенным, причем имеет место оценка

(<Р, <р) < (А<р,<р) < (с21 + с12)(<р,<р),

где

. ЗJ 3/

«1 = Ш1П -—г, й2 = тал —г, ,60 Нл 9е0 Нл

o¡ = тах яеЯ

911 + 922 + \/(gii ~ g22)2 + 4fff2 , /4 4\

2hj ' l~max\hr Ц)'

gap - компоненты метрического тензора.

Указанные свойства разностного оператора позволяют решать систему конечно-разностных уравнений итерационными методами.

В § 4 описаны результаты вычислительных экспериментов. Проведено численное моделирование процесса косого взаимодействия уединенной волны с вертикальной стенкой. Так как уравнения Железняка, в отличие от уравнений мелкой воды, имеют точное решение в виде со-литона, то модель Железняка лучше отражает суть рассматриваемого явления. В частности, после достижения волной максимального запле-ска на стенке происходит установление ее амплитуды, в то время как при расчетах по модели мелкой воды волна, достигнув максимального заплеска, сбрасывает "хвосты", что приводит к немедленному уменьшению амплитуды.

Многочисленные эксперименты, проведенные на предварительном этапе расчетов, показали, что искривления ячеек сетки или большая неравномерность длин их сторон в направлении распространения волны приводит к резкому снижению точности и возникновению осцилля-ций. Именно поэтому в расчетах по модели Железняка область течения не имела разгонного участка ABA В . Кроме того, при малых углах ф, когда отражение носит маховский характер, волна на стенке может значительно опережать набегающую волну. Эти соображения привели нас к следующей методике построения сетки. Сначала расчетная область покрывалась 2-м семейством параллельных координатных линий так, что выполнялось соотношение rj+\/rj = k > 1, j = 1,..., А^ — 2, где r¡ -расстояние между j-й и j + 1-й линиями. Затем вдоль каждой из этих линий узлы сетки расставлялись так, чтобы их абсциссы удовлетворяли одномерному уравнению равнораспределения. На рис. 9 показаны

фрагменты получающихся сеток, соответствующие случаям маховско-го и регулярного отражения (сетка в расчетном окне имела 251 х 21 узел).

140

■ ЛШ'ь!

* 'ч и «и; щ

4'Л ' 1 г

^■ , , __^.160 180

а)

Рис. 9. Фрагмент адаптивной сетки, а)ф — 20°, б)ф = 45°.

Рис. 10 изображает зависимость максимального заплеска Я/а на стенку от величины Сплошной линией показана теоретическая

Рис. 10. Максимальный эаплесх уединенной волны на стенку, а — 0.1 (о); а = 0.15(«); а — 0.2(0); а = 0.2(х) - пеадаптивная сетка.

зависимость, полученная Майлсом, а маркерами - результаты численных экспериментов. График демонстрирует качественное соответствие теоретических и численных результатов. Кроме того, видно преимущество адаптивных сеток перед сетками, не имеющими сгущения в направлении оси Ох1.

Отличие численных значений максимального заплеска от теоретических можно объяснить следующей причиной. Теоретическая зависимость получена Майлсом для уравнений типа модели Кортевега -де Фриза в предположении бесконечной малости амплитуды набегающей волны, в то время как в наших исследованиях использовалась более точная модель, а амплитуда волны была достаточно велика. Заметим, что при использовании в расчетах моделей, способных сохранять профиль уединенной волны, соотношения Д/а = 4 не удавалось достичь никому. Так, при расчетах по модели потенциальных течений Ю.И.Шокин и Г.С.Хакимзянов получили значение Л/а, несколько превосходящее 3. О.А.Серебренниковой и А.М.Франку удалось достичь значения К/а — 3.5. Эксперименты также не дают значений Я/а, близких к 4.

В этом же параграфе описаны результаты численного моделирования начальной стадии волновых процессов, происходящих при взрывной разборке временной дамбы верхнего водоема Днестровской ГАЭС (дно водоема полагается ровным). Имеет место качественная согласованность этих результатов с результатами расчетов по другим моделям.

В заключении перечислены основные результаты проведенных исследований:

1. Разработана и исследована явная схема предиктор-корректор с автоматически настраиваемой аппроксимационной вязкостью для решения на подвижных неравномерных сетках уравнений модели мелкой воды и модели Железняка.

2. Разработаны экономичные методы построения одномерных и плановых сеток на основе одномерного метода равнораспределения, учитывающего расположение узлов на предыдущем временном слое.

3. Предложен алгоритм нахождения правой части уравнений Железняка путем решения эллиптического уравнения.

4. Создан комплекс программ, основанных на разработанных алгоритмах, для расчетов широкого класса сложных волновых течений жидкости.

5. В рамках модели мелкой воды и модели Железняка исследован косой накат уединенной волны на вертикальную стенку, проведено исследование волновых процессов в верхнем водоеме Днестровской ГАЭС.

Автор выражает глубокую признательность научным руководителям: академику Юрию Ивановичу Шокину, поставившему задачу и оказывавшему внимание и поддержку на всех этапах работы над диссертацией, и к.ф.-м.н. Гаязу Салимовичу Хакимзянову, осуществлявшему постоянную помощь автору, щедро делившемуся своими знаниями и опытом, проявляя при этом долготерпение и педагогический талант.