автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток

на правах рукописи

ВАСЕВА ИРИНА АРКАДЬЕВНА

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ВЕЛЬТРАМИ И ДИФФУЗИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ АДАПТИВНЫХ СЕТОК

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2005

Работа выполнена на кафедре высшей математики механико-математического факультета Новосибирского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Лисейкин Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Мацокин Александр Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент Чумаков Геннадий Александрович

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша

Защита состоится 28 декабря 2005 г. в 9.30 на заседании диссертационного совета Д003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу 630090, г. Новосибирск, пр. М.А. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомится в читальном зале вычислительной математики и информатики отделения ГПНТБ и ИВТ СО РАН по адресу 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. М.А. Лаврентьева, 6.

Автореферат разослан 25 ноября 2005 г.

ш

Ученый секретарь диссертационного совета У 1 / доктор физико-математических наук, профессор Чубаров Л.Б.

г 255191

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток. Адаптивные сетки находят широкое применение при решении различных задач математической физики. Они позволяют существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности даже при сравнительно небольшом количестве узлов сетки. Высокая точность достигается благодаря увеличению концентрации узлов сетки в зонах расположения особенностей исследуемого явления. При этом одной из важнейших проблем при построении адаптивных сеток является проблема управления свойствами сеток, такими как гладкость, ортогональность, соответствие граничным условиям, направленность координатных линий вдоль заданного векторного поля, адаптация к изменяющемуся со временем решению и т.д.

В исследуемом в работе методе управление свойствами сетки осуществляется при помощи мониторной метрики, входящей в уравнения Бельтрами и диффузии. Она определяется через переменные физической задачи, геометрические характеристики физической области или поверхности, заданные векторные поля и т.п., то есть через величины, по отношению к которым должна адаптироваться сетка. Изучение взаимосвязей между мониторными метриками и геометрическими свойствами сеток позволит более эффективно и автоматизированно управлять сеткой и получать более качественную адаптацию и более точное решение физической задачи.

Обращенные уравнения Бельтрами и диффузии дают возможность единым образом строить адаптивные сетки в областях с произвольной размерностью и на их границе. Эти уравнения дают возможность строить сетки, узлы которых гарантированно попадают внутрь физической геометрии. Обращенные уравнения Бельтрами обеспечивают также построение сеток, не зависящих от выбора параметризации физической геометрии, а в двумерном случае - невырожденных сеток.

Такие достоинства обращенных уравнений Бельтрами и диффузии свидетельствуют об их высоком потенциале для построения разностных сеток с помощью численного решения краевой задачи Дирихле. Поэтому аналитические и численные исследования этих уравнений имеют большое значение как для развития методов построения сеток в целом, так и для решения прикладных задач математической физики.

Цель работы.

1. Проведение теоретических и численных исследований по нахо-

рос. национальная , БИБЛИОТЕКА

СПетмвт^"^ ' 09 Щ »4

\

ждению мониторных метрик в уравнениях Бельтрами и диффузии для построения сеток с различными видами адаптации.

2. Проведение теоретических и численных исследований по применению сингулярных функций для построения адаптивных сеток.

3. Создание алгоритма построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и его реализация в виде комплекса компьютерных программ.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток. Построена адаптивная разностная сетка, согласованная с линиями магнитного поля, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортогональности сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток, согласованных с векторными полями, а также эффетивность использования сингулярных функций.

2. Аналитически получены оценки на производные решений двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами при первых производных. Эти оценки были использованы в качестве мониторных метрик для построения адаптивной сетки, на которой были численно решены эти задачи.

3. Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и комплекс компьюртерных программ, реализующий этот алгоритм.

Достоверность результатов подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью явной схемы с направленными разностями и с помощью неявной схемы стабилизирующей поправки. Для одномерных бисингулярных задач качественное поведение численного решения согласуется с проведенным анализом. Численное решение имеет большие градиенты в зонах, где аналитически было показано наличие слоя. Градиенты увеличиваются при уменьшении малого параметра. Сходмость метода была проверена при помощи измельчения сетки.

Теоретическое значение и научная новизна. Результаты исследования модели построения сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии являются существенным вкладом в развитие геометрических методов построения сеток, в решение проблемы взаи-

мосвязей мониторных метрик и качественных свойств сеток, а также раскрывают новые возможности применения сингулярных функций в методах построения сеток. Впервые получены оценки на производные решений двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами при первых производных.

Практическая ценность работы. Метод построения согласованной с магнитным полем ортогональной сетки в осесимметричном сечении камеры токамака может быть использован для расчетов течения плазмы. Разработанный комплекс программ можно эффективно использовать для расчетов различных задач математической физики.

Апробация работы: Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Абрау-Дюрсо, 2002), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002, 2004), Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления" (Москва, 2004), II Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004), Division of Plasma Physics Meeting (Savannah, 2004), International Sherrwood Theory Meeting Stateline (Nevada, 2005), 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (Paris, 2005), European Physical Society Plasma Physics Conference (Spain, 2005), 18th Chemnitz FEM Symposium (Germany, Schoneck, 2005).

Диссертационная работа была поддержана грантом Jf* 03-2.8-826 для поддержки научно-исследовательской работы аспиратнов высших учебных заведений Министерства образования и науки Российской Федерации, а также грантом Американского фонда гражданских исследований и разработок CRDF RU-M1-2579-NO-04.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 122 наименования. Общий объем работы — 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы, обосновывается актуаль-

ность темы диссертации, сформулированы цели исследования, отмечается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дана краткая аннотация разделов диссертации.

В Главе 1 описывается математическая модель построения сеток, основанная на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно мониторных метрик. Она формулируется для произвольной физической геометрии (кривая, область, поверхность произвольной размерности), задаваемой параметризацией

х(в) : -»■ К"4"*, х = (х1,..., хп+к), в = (з1,...,зп), п> 1, (1)

где 5П - п-мерная параметрическая область, х(в) - гладкая вектор-функция ранга п в каждой точке в € 5™.

В Разделе 1.1 излагается метод отображений, в котором разностная сетка в произвольной физической геометрии получается путем отображения эталонной разностной сетки, заданной в стандартной вычислительной области Еп.

При использовании метода отображений процесс построения сетки на физической геометрии Бхп сводится к нахождению промежуточного гладкого невырожденного преобразования

: Е", € = (2)

между параметрической областью 5™ и соответствующей вычислительной (логической) областью Н". При этом узлы сетки в 51П определяются как результат отображения узлов эталонной сетки с помощью композиции преобразований (1) и (2):

х[в(£)] : 2я -> Н"+*

В Разделе 1.2 вводятся сеточные уравнения, основанные на эллиптических операторах Бельтрами и диффузии.

Оператор диффузии определяется на множестве дважды дифференцируемых функций у(х), заданных на произвольном римановом многообразии Мп с ковариантным метрическим тензором (<?*) в локальных координатах хг, г = 1,... ,п. Оператор диффузии является эллиптическим и имеет следующий вид:

где х = (а;1,..., хп), (д^), з,к = 1,...,п, - контравариантный метрический тензор многообразия Мп в координатах хг, г = 1,... ,п, дх —

), и; (в) > 0 — весовая функция. Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Уравнения ДоМ = 0 называются уравнениями диффузии.

Уравнения диффузии эквивалентны уравнениям Бельтрами, при IV(я) = т/д5, где дв = ¿еЛ(дв3). Более того, при п ф 2 они полностью совпадают с уравнениями Бельтрами в метрике

независимо от значения весовой функции «Дв).

В Разделе 1.3 ставятся краевые задачи для сеточных уравнений Бельтрами и диффузии и обосновывается использование обращенных уравнений для построения сеток.

Задача Дирихле для уравнений Бельтрами и диффузии ставится относительно преобразования, обратного промежуточному преобразованию з(£)

в покомпонентной форме (т.к. дв >0):

СЫ» = , г = 1,... ,п ,

где д3ак — элементы контравариантного метрического тензора многообразия Мп в параметрических координатах в1,...,в™, д3 = дБ4 и дЕп — границы 5™ и 5", соответственно, <р(я) — взаимно однозначное непрерывное отображение (95 п на дБ". При = уравнения (3) становятся уравнениями Бельтрами.

В Разделе 1.4 выписываются краевые задачи Дирихле для обращенных уравнений Бельтрами и диффузии с помощью основного эллиптического оператора ]

где д*£ - контравариантные метрические компоненты мониторного многообразия М" в сеточных координатах £1,...,

Я*|эз» = 1 г = 1,...,п,

дз3~к дв3'1 (5)

где ф%(£) - 1-я компонента преобразования, обратного к ^(э).

Для использования на практике обращенных уравнений диффузии

с дГ

(4) необходимо выразить производные ^ через производные -щ^- до-

множить уравнения на квадрат якобина З2, 3 = . В такой

форме обращенные уравнения диффузии не имеют в знаменателе якобиана 3, что позволяет вести вычисления даже, если в некоторых узлах 3 = 0.

В двумерном случае обращенные уравнения для построения сеток записываются в следующем виде:

д2чг Я / \ Яч3~э

фдр у ' д{

1,2.

Для уравнений Бельтрами надо сделать замену ш(х) = у/д*.

Раздел 1.5 посвящен описанию мониторных метрик. Представлены формулы, необходимые для вычисления метрических компонент. Приводятся мониторные метрики для построения сеток, адаптирующихся к градиентам функции, значениям функции, согласованных с векторным полем и сбалансированных сеток. Выписан критерий отклонения сеточных линий от заданного векторного поля.

В Главе 2 описывается алгоритм численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток в одномерном (раздел 2.1), двумерном (раздел 2.2) и трехмерном (раздел 2.3) случае. Алгоритм основан на схеме стабилизирующей поправки, для которой система алгебраических уравнений решается методом прогонки.

В разделе 2.4 рассматривается программный инструментарий, используемый для проведения вычислительных экспериментов. Программный комплекс состоит из ряда расчетных модулей, и программы управления и визуализации расчетов. Он написан на языке С++ с применением принципов объектно-ориентированного программирования. Для синхронизации и обмена данными используется широко известная техника общих файлов.

Программа управления дает возможность останавливать вычислительный процесс и позволяет визуализировать результаты расчетов в

реальном времени и сохранять промежуточные и окончательные результаты в файл, а также отправлять на печать на принтер. Система визуализации имеет следующие возможности: отображает результаты расчетов в виде двумерной области и двумерной поверхности, реализует вращение и масштабирование поверхности.

Для расчетных модулей реализованы графические интерфейсы пользователя, позволяющие задавать параметры вычислительного алгоритма в удобной форме, с применением контроля вводимых значений. В качестве параметров пользователь имеет возможность вводить математические выражения в текстовой форме. Модуль лексического и синтаксического разбора строит абстрактное синтаксическое дерево данного выражения. Дерево используется во время расчетов для определения численного значения выражения. Еще одной интересной особенностью этого модуля является возможность аналитического вычисления производных путем перевода дерева в новое дерево, соответствующее производной исходного выражения.

Основной задачей расчетных модулей является решение одномерных, двумерных и трехмерных уравнений Бельтрами и диффузии. Реализованы модули для построения адаптивных сеток в 2-мерных областях, на поверхностях, в 3-мерных областях, в осесимметрическом сечении камеры токамака и модуль для построения адаптивных сеток и решения на них краевых задач для одномерных сингулярно-возмущенных уравнений.

В Главе 3 описаны результаты теоретических и численных исследований мониторных метрик и сингулярных функций для различных задач построения адаптивных сеток.

Рис. 1: Примеры адаптивных сеток в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях.

В разделе 3.1 представлены результаты численных экспериментов

по построению сеток, адаптирующихся к градиентам модельных функции, в двумерных областях и на поверхностях при помощи численного решения обращенных уравнений Бельтрами. Для определения монитор-ных метрик использовались сингулярные функции, градиенты которых принимают большие значения вблизи нуля. Такие метрики позволяют получать сгущение узлов сетки в окрестности кривых, заданных уравнением <р(з) = 0.

В разделе 3.2 рассматриваются задачи определения мониторных метрик для построения сеток, адаптирующихся к значениям функции, в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях. Для уравнений Бельтрами в двумерном случае пока не найдена мониторная метрика, реализующая адаптацию к значениям функции, в то время как для уравнений диффузии она известна и имеет простой вид. Поэтому для построения таких сеток были использованы уравнения диффузии. В качестве мониторных функций использовались комбинации сингулярных функций так, чтобы результирующая функция имела экстремум в окрестности заданной кривой ^(э) = 0. Необходимо отметить, что уравнения Бельтрами и диффузии отличаются только в двумерном случае.

Для построения сеток с адаптацией к градиентам и значениям в двумерном случае распределение узлов на границе параметрической области было получено при помощи решения одномерных сеточных уравнений. В случае адаптации к более чем одной кривой в качестве мо-ниторной функции использовалась линейная комбинация сингулярных функций.

Рис. 2: Интегральные линии векторного поля (слева), сетка, согласованная с векторным полем (справа).

В разделе 3.3 исследуются мониторные метрики для построения невырожденных согласованных с заданным модельным векторным по-

лем сеток. Степень согласованности определяется при помощи вычисления угла отклонения сеточных линий от векторного поля. Рассматриваются примеры векторных полей имеющих точки вырождения (например Рис. 2). Для таких полей невозможно строить невырожденные сетки, полностью согласованные с этими полями. Однако, можно построить невырожденные сетки, имеющие зоны, в которых с полем согласованы линии одного сеточного семейства, зоны согласованности с линиями второго сеточного семейства, и достаточно узкие переходные зоны. В качестве мониторных функций для построения таких сеток использовались сингулярные функции, близкие к нулю во всей области, за исключением окрестности точки вырождения поля.

Рис. 3: Примеры сбалансированных сеток.

В разделе 3.4 исследуется проблема построения сбалансированных сеток, то есть сеток одновременно согласованных с заданным векторным полем и адаптирующимися к градиентам и/или значениям функций. Мониторная метрика в такой ситуации задается в виде линейной комбинации этих индивидуальных метрик с весовыми функциями, определяющими степень и зону влияния каждой метрики. На Рис. 3 избражена сетка, согласованная с векторным полем и адаптирующаяся к значениям одной функции (слева), согласованная с тем же векторным полем и адаптирующаяся к градиентам другой функции (центр), сетка, согласованная с тем же векторным полем и адаптирующаяся к значениям и градиентам соответствующих функций (справа).

В разделе 3.5 предлагается метод сглаживания блочных сеток по аналогии с методом Шварца. В основе метода лежит идея введения дополнительного третьего блока, включающего в себя линию склейки двух основных блоков. В процессе итераций предлагается пресчиты-вать узлы третьего блока по тем же уравнениям и с той же мониторной метрикой, которые используются для нахождения узлов сетки в двух

основных блоках. Этот метод прост в реализации и позволяет получать гладкую сетку, удовлетворяющую условиям, накладываемым на сетку через уравнения и метрику, во всех узлах, в том числе и на линии склейки. На Рис. 4 представлены сетки, построенные на торе, со сгущением вдоль одной линии склейки. Слева изображена сетка с фиксированными узлами на второй линии склейки. Справа показана сетка со сглаживанием.

Рис. 4:

В разделе 3.6 изучаемый метод применяется для построения адаптивной сетки в осесимметричном сечении камеры токамака. Начальная сетка и данные по магнитному полю были предоставалены А. Глассе-ром, руководителем группы физики плазмы в Лос Аламосской Национальной Лаборатории. Узлы начальной сетки распределены равномерно вдоль магнитных линий. Таким образом, начальная сетка является идеально согласованной с магнитным полем, но при этом не является ортогональной и гладкой.

Для задания сложной топологии сечения токамака в качестве вычислительной области предлагается брать прямоугольник с разрезами.

Процессу ортогонализации сетки способствовало движение узлов на границе, проводимое таким образом, чтобы сеточные линии второго координатного семейства были перпендикулярны линии границы. При этом для областей, имеющих тупые углы, может возникнуть ситуация, при которой опускаемый перпендикуляр выйдет за границу области. Для таких областей предлагается формула, использующая сингулярные функции, для вычисления угла, достаточно близкого к 7г/2. Эта формула была использована для движения узлов на одной из границ сечения токамака.

В результате расчетов была получена сетка, фрагменты которой показаны на Рис. 5 (справа), слева изображены фрагменты начальной сетки. Критерий согласованности сетки с векторным полем позволил

сделать вывод, что полученная сетка в значительно большей степени удовлетворяет условию ортогональности между линиями сеточного семейства £2 и магнитного поля В при том, что согласованность линий сеточного семейства с этим полем нарушается в незначительно.

Рис. 5: Фрагменты начальной (слева) и полученной сетки (справа).

В Главе 4 метод построения адаптивных сеток с помощью обращенных уравнений Бельтрами и диффузии применяется для решения сингулярно-возмущенных задач.

Сингулярно-возмущенные задачи - это задачи с малым параметром е при старшей производной. Отличительной особенностью таких задач является наличие узких зон, так называемых пограничных и внутренних слоев, в которых градиенты решения быстро возрастают при уменьшении е. Наличие слоев приводит к снижению порядка сходимости при использовании стандартных численных методов. Такие задачи встречаются во многих областях науки и техники.

В работе исследуются два частных случая одномерной конвекционно-диффузионной задачи, а именно: две двухточечные несамосопряженные бисингулярные краевые задачи с граничными точками поворота и негладкими коэффициентами при первых производных

Бисингулярные задачи - это сингулярно-возмущенные задачи, решение которых имеет особенности, если е = 0.

Ци] = -ей" - х аи' + /(я, и) = 0 , 0 < х < 1, 0 < а < 1 , Г[и] = (и(0),«(1)) = (Х,В).

Ь[и] = -ей" + хаи' + /(х, и) = 0 , 0 < х < 1, 0 < а < 1 , Г[и] = (и(0),и(1)) = (А,В) .

(7)

(6)

В приложении к начальным или краевым задачам для систем сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений на стандартном интервале [0,1] метод отображений заключается в нахождении невырожденного отображения х(£, е) : [0,1] —> [0,1] такого, что каждая функция и,[а;(£, е), е], для г = 1,..., п, имеет равномерно ограниченные по е производные по £ до порядка р > 1, где иг(х,е) - г-тая компонента решения и(х,е) = (их(х,е),... ,ип(х,е)), х € [0,1], то есть имеет место следующее неравенство

с1 и

—<М, 0 < ^ < 1 , 0 < е < т , 0 < к <р . (8)

Здесь и далее М, т - константы, независящие от е. Если выполняется (8), то говорим, что преобразование х(£, е) устраняет особенности функции и(.т, е) до порядка р. Если такое преобразования найдено, то равномерная по е сходимость к решению может быть получена для обычных устойчивых численных аппроксимаций задачи на неравномерной сетке х„ г = 0,1,..., N, построеной при помощи отображения ж(£, е) с использованием формулы Х{ = х^/И, е). Более того, решение может быть равномерно интерполировано по е с узлов сетки на весь интервал [0,1], включая пограничные и внутренние слои. Таким образом, общее число узлов сетки И, которое необходимо для удовлетворения требования о заданной допустимой погрешности решения не зависит от е.

В одномерном случае преобразование е) : [0,1] —> [0,1], устраняющее до порядка р особенности решения некоторой сингулярно-возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть найдено как решение краевой задачи для одномерных обращенных уравнений Бельтрами на равномерной сетке £г = гк. Значение монитор-ной метрики определяется через производные решения искомой задачи.

В разделе 4.1. выводятся оценки на первые и вторые производные сингулярно-возмущенных задач (6) и (7).

Теорема 1

Пусть 0 < а < 1, f(x,u) € Сп([0,1] х Я), /и(х,и) > С > 0, тогда |<**и/(&*| < Фк(х,е), где

Ф1(х,е) = ехр(—а;а+1/е) + {х + е«<°+1> )~а + 1),

Ф2(я,е) = ехр(—ха+1/е) + (х 4- + 1),

и{х) - решение задачи (6), М, т^, т^ - произвольные положительные константы, не зависящие от х и е.

Теорема 2

Пусть 0 < а < 1/2, f{x,u) € С"([0,1] х Я), fu(x,u) > С > О, тогда \dku/dxk\ < Фк{х,е), где

= Mie^icie^ + х)-?1'1 + е-1 ехр((х - 1)е-1)), Я>2(х,е) = ^e^+i + х)~^2~2 + е-2 ехр((х - 1)е~2)),

ц(ж) - решение задачи (7), 01,02 > 0,_

ci > v/(A + + 2) - 1, с2 > у/(/?2 + 2)(02 + 3) — 1

В разделе 4.2. при помощи численного решения одномерных уравнений Бельтрами строятся сетки с узлами, сгущающимися в погрансло-ях сингулярно-возмущенных задач (6), (7). Мониторная метрика задается через оценки на производные решений задач да = y/^k(x,e) + С, к - 1,2.

При переходе от узла к узлу на этой сетке функция и(х) не будет сильно меняться, поскольку узлы сгущаются в областях слоев, поэтому можно применять обычные вычислительные методы. Для численного решения задач (6), (7) использовалась неявная схема с направленными разностями.

Приводятся численные эксперименты, которые подтверждают, что узлы сетки сгущаются в погранслоях. Число узлов в слое увеличивается при уменьшении е. Равномерная сходимость наблюдается для всех рассмотренных задач.

В заключении представлены основные результаты работы:

1. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций для различных модельных задач, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток.

2. Получены результаты численных экспериментов по построению разностных сеток:

а) адаптирующихся к градиентам функции;

б) адаптирующихся к значениям функции;

в) согласованных с векторным полем;

г) сбалансированных сеток;

д) блочных сеток со сглаживанием

в 1-мерных, 2-мерных и 3-мерных областях и на поверхностях.

3. Для практической задачи расчета течения плазмы в осесиммет-ричном сечении камеры токамака построена разностная сетка, согласованная с магнитным полем. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортогональности сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток,

согласованных с векторными полями, а также необходимость использования сингулярных функций.

4. Проведено теоретическое и численное исследование двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами перед первыми производными. Впервые получены оценки на производные решений этих задач. Полученные оценки были использованы в качестве мони-торных функций для построения адаптивных сеток, на которых были численно решены эти задачи.

5. Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мони-торных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и комплекс компьюртерных программ, реализующий этот алгоритм.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ю.И. Шокин, В.Д. Лисейкин, A.C. Лебедев, Н.Т. Да наев, И.А. Китпаева(Васева) Методы римановой геометрии в задачах построения разностных сеток. Новосибирск, Издательство "Наука", 2005.

2. В.Д. Лисейкин, A.C. Лебедев, И.А. Китпаева(Васева)Универсальный эллиптический метод построения разностных сеток. Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2004.

3. Глассер А., Лисейкин В.Д., Китпаева(Васева) H.A. Контролирование свойств разностных сеток с помощью мониторной метрики // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. -Т. 45. - № 8. - С. 1466-1483.

4. Glasser A.H., Liseikin V.D., Kitaeva(Vaseva) I.A. Specification of Monitor Metrics for Generating Vector Field-Aligned Numerical Grids / / Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2005. - Vol. 20. - № 5. - P. 439-461.

5. Glasser A.H., Liseikin V.D., Kitaeva(Vaseva) I.A. Likhanova Yu.V. Specification of Monitor Metrics for Generating Balanced Numerical Grids // Joint Bulletin of NCC and IIS. - 2005. - Vol. 13. - P. 1-13.

6. Kumaeea(Baceea) И.А., Лиханова Ю.В. Построение адаптивных сеток для численного решения бисингулярных задач при помощи координатных преобразований // Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики". Новороссийск. - 2002. - С. 30-32.

7. Kitaeva(Vaseva) I.A., Liseikin V.D., Lihanova Y.V. Numerical grid generation based on qualitative analysis of singularities // Труды международной конференции по вычислительной математике. Новосибирск. -2002. - С. 621-625.

8. А.Н. Glasser, V.D. Liseikin, A.S. Lebedev, I.A. Kitaeva(Vaseva) On a Method for Generating Field-Aligned Numerical Grids // Труды международной конференции по вычислительной математике. Новосибирск. -2004. - С. 846-851.

9. А.Н. Glasser, V.D. Liseikin, I.A. Kitaeva(Vaseva) Specification of Monitor Metrics for Generating Vector Field-Aligned Numerical Grids // Труды всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". Москва, Вычислительный центр РАН. - 2004. - С. 29-40.

10. Glasser А.Н., Lukin V.S., Liseikin V.D., Kitaeva(Vaseva) I.A. Adaptive Grid Generation for Magnetically Confined Plasmas. Proceedings of 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Paris, FYance, July 11-15, 2005.

Тираж 80 экз. Заказ №

Формат 60x84 1/16

Отпечатано в Издательском центре ИВТ СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6

Р2 513 8

РНБ Русский фонд

2006-4 28524

Предисловие

Глава 1. Описание математической модели построения сеток

1.1 Метод отображений. 1.2 Сеточные уравнения.

1.2.1 Уравнения Бельтрами.

1.2.2 Уравнения диффузии.

1.3 Постановка краевой задачи для сеточных уравнений.

1.4 Обращенные сеточные уравнения.

1.5 Мониторная метрика как средство управления свойствами сеток.

1.5.1 Вычисление метрических компонент. 1.5.2 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к градиеитам функции

1.5.3 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к значениям функции.

1.5.4 Мониторная метрика для построения сеток, согласованных с векторным полем.

1.5.5 Мониторная метрика для построения сбалансирован ных сеток.

1.5.6 Роль сингулярных функций в проблеме задания мониторной метрики.

Глава 2. Описание численного алгоритма решения сеточных уравнений

2.1 Одномерное уравнение.

2.2 Двумерные уравнения.

2.2.1 Алгоритм построения сеток в двумерных областях

2.2.2 Алгоритм построения сеток на двумерных поверхностях

2.3 Трехмерные уравнения

Ф 2.4 Программный инструментарий вычислительного эксперимента

Глава 3. Результаты исследования математической модели построения сеток

3.1 Разностные сетки, адаптирующиеся к градиентам функции

3.2 Разностные сетки, адаптирующиеся к значениям функции

3.2.1 Двумерные поверхности.

3.2.2 Трехмерные области.

3.3 Разностные сетки, согласованные с модельным векторным полем

3.4 Сбалансированные разностные сетки.

3.5 Построение гладких блочных сеток

3.6 Разностные сетки, согласованные с магнитным полем в тока-маке.

4 Глава 4. Применение метода для решения сингулярновозмущенных уравнений 4.1 Оценки производных.

4.2 Численные расчеты Заключение Литература

Диссертационная работа посвящена исследованию метода построения разностных сеток, основанного на применении обращенных уравнений Бель-трами и диффузии.

Существует два основных класса сеток — структурные и неструктурные. Подробное описание наиболее популярных методов построения разностных сеток дано в монографиях Томпсона, Варси, Мастина [112], Кнап-па, Стейнберга [70], Лисейкина [75], [77] и в обзорных статьях [13], [47], [106], [109], [111]. Результаты, связанные с построением подвижных сеток, применением техники растягивающих преобразований для численного решения сингулярно-возмущенных задач, применением нестационарных сеточных методов и методов эквираспределения в задачах распространения волн, были предложены в монографиях [1], [16], [76], [122], [21].

Методы построения адаптивных структурных сеток впервые были исследованы в работах Андерсона (1983) [24], Томпсона (1984, 1985) [107], [108]. Затем серия работ, посвященных общим адаптивным методам, была представлена в статьях Эйсмана [48], Хокена, Готлиба, Хансена [60], Лисейкина [74], Бэйкера [29]. Адаптивные методы построения подвижных сеток были описаны в [61], [122].

Методы построения неструктурных сеток были рассмотрены в работах [11], [28], [29], [34], [51], [52], [62], [89], [103], [113]. Подробное описание структурных и неструктурных методов дано в обзоре [113].

Применение результратов тензорной и дифференциальной геометрии к методам построения сеток впервые было представлено в работах Эйсмана (1980) [46] и Варси (1981) [115]. Геометрические инварианты для описания качественных свойств сеток впервые были введены в статье Джакотте (1987) [65]. Безразмерные геометрические характеристики для двумерных сеточных ячеек были впервые предложены в работе Прокопова (1989) [19]. Различные критерии качества сеток были рассмотрены в работах [26], [27], [41], [43], [50], [67], [79], [99].

Наиболее эффективными среди сеток являются сетки, полученные взаимно однозначным преобразованием s(£) : Еп —у Sn, которое отображает границу вычислительной области Еп на границу параметрической области Sn. Такие сетки называются согласованными с границей. Согласованная с границей сетка обычно строится сначала на выбранных ребрах, затем на гранях и, наконец, внутри области. Поэтому на каждом шаге преобразование s(£) известно на границе области, и это граничное преобразование продолжается с границы во внутреннюю часть области. Этот процесс аналогичен интерполяции функции по ее граничным значениям или решению краевой задачи Дирихле. На этой основе были разработаны три базисные группы методов нахождения отображения s(£) : Бп —» Sn, при заданном граничном преобразовании <9s(£) : дЕп —> dSn : — это алгебраические, дифференциальные и вариационные методы.

Алгебраические методы как правило используются для построения сеток в областях с гладкими и не сильно деформированными границами или для задания начального приближения в итерационном процессе построения сеток, основанном на эллиптическом методе. Простейшие двумерные интерполяционные формулы были предложены в работах [22], [39]. Стандартные формулы многомерной трансфинитной интерполяции были описаны в работах Гордона (1969) [56], [57]. Конструирование координатных преобразований при помощи формул трансфинитной интерполяции было впервые было предложено в работах Гордона (1973, 1982) [58], [59]. Интерполяция Эрмита была представлена в [91]. Подробный обзор интерполяций Лагранжа и Эрмита представлен в монографии [75]. Исследование и описание алгебраических методов проводится также в работах [46], [49], [75], [90], [92], [112].

Для построения сеток в областях и на поверхностях с произвольной границей обычно используются дифференциальные методы, основанные на решении эллиптических и параболических уравнений. Такие уравнения позволяют получать гладкие сетки; они учитывают распределение узлов сетки на границе физической геометрии, не распространяют граничные изломы внутрь; для них существует меньшая опасность перекрывания ячеек сетки и их можно эффективно решать различными хорошо разработанными методами. Использование параболических и эллиптических систем позволяет получать ортогональные и сгущающиеся координатные сеточные линии, причем во многих случаях принцип максимума, который, как правило,выполняется для этих систем, гарантирует невырожденность промежуточного преобразования. Эллиптические уравнения также используются для сглаживания неструктурных сеток или сеток, полученных алгебраическими и гиперболическими методами.

Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны, и, кроме того, они не применимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Поэтому гиперболические методы в основном используются для простых областей с выделенными боковыми гранями, для которых не требуется никакого специального распределения узлов.

Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах Годунова, Прокопова (1967) [5], Барфилда (1970) [30], Амсдена, Хирта (1973) [23]. Общая эллиптическая система для построения структурных сеток сеток была рассмотрена Чу [37]. Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена Кроули (1962) [42], Винслоу (1967) [120].

Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах Данаева, Лисейкина, Яненко (1980) [9], Винслоу (1981) [121] и развивалась в работах [48], [86].

Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно мониторных метрик подробно описан в монографиях Лисейкина (1999, 2004) [75], [77] и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах Кроули (1962) [42], Винслоу (1967) [120], Годунова, Прокопова (1967) [5], Варси (1981) [115] и Двински (1991) [44]. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах [18], [68].

Система уравнений Пуассона была предложена Годуновым, Прокопо-вым (1972) [6] в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях Томпсона, Тэймса, Мастина (1974) [110] и Томпсона, Варси, Мастина (1985) [112]. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах [98], [105], [102], [114], [119], [116]. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах [72], [93].

Метод построения сеток на гладких поверхностях, заданных в аналитическом виде г = f(x,y), при помощи квази-двумерной эллиптической системы, полученной проецированием трехмерной обращенной системы Лапласа, был предложен в [104]. Этот метод развивается в работах [101], [117] для произвольных поверхностей, заданных в параметрическом виде. Метод построения адаптивных сеток на поверхностях, заданных параметрически, при помощи общих уравнений Пуассона рассматривается в [71]. В работах [12], [73] эллиптическая система, полученная из вариационного принципа, дает п—мерные гармонические координатные преобразования, которые используются для построения равномерных и адаптивных сеток на поверхностях. Гармонические отображения для построения сеток на поверхностях при помощи эллиптической системы также были использованы в [25]. Метод конформных отображений для построения сеток на поверхностях предложен в [69].

Первый систематический анализ использования двумерных гиперболических уравнений для построения сеток был проведен в работах [94], [96]. Этот метод развивается в работах [40], [66]. Обобщение на трехмерный случай проводится в [36], [97], [100]. Гиперболический метод для построения сеток на поверхностях разрабатывается в [35], [95].

Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе [81], вариация этого метода разработана в [83]. Развитие метода для построения адаптивных сеток было проведено в [45], [84].

Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в [82].

Также популярными являются методы построения сеток, базирующиеся на вариационных подходах. Основная задача вариационного подхода заключается в том, чтобы описать все важные характеристики искомой сетки в подходящей функциональной форме и составить комбинированный функционал, который обеспечил бы корректную задачу минимизации. Функционал энергии в метрике вычислительной области Еп был предложен Годуновым, Прокоповым (1967) [5]. Исследованию и развитию этого подхода посвящены работы [3], [7], [38]. Вариационный принцип для построения адаптивных сеток использовался в работах [9], [10], [17], [31], [33], [53], [64], [63]. Вариационная формулировка сеточных свойств описана в [118].

Диссертационная работа посвящена исследованию обращенных уравнений Бельтрами и диффузии применительно к построению адаптивных сеток. Адаптивные сетки находят широкое применение при решении различных задач математической физики. Они позволяют существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности даже при сравнительно небольшом количестве узлов сетки. Высокая точность достигается благодаря увеличению концентрации узлов сетки в зонах расположения особенностей исследуемого явления. При этом одной из важнейших проблем при построении адаптивных сеток является также проблема управления свойствами сеток, такими как гладкость, ортогональность, соответствие граничным условиям, направленность координатных линий вдоль заданного векторного поля, адаптация к изменяющемуся со временем решению и т.д.

Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии позволяет в единообразной форме строить адаптивные сетки в областях с произвольной размерностью и на их границе. Управление свойствами сетки осуществляется при помощи мониторной метрики, входящей в уравнения Бельтрами и диффузии. Она определяется через переменные физической задачи, геометрические характеристики физической области или поверхности, заданные векторные поля и т.п., то есть через величины, по отношению к которым должна адаптироваться сетка. Изучение взаимосвязей между мониторными метриками и геометрическими свойствами сеток позволит более эффективно и автоматизированно управлять сеткой и получать более качественную адаптацию к решению физической задачи. Большую роль в задании мониторных метрик имеют сингулярные функции, которые описывают качественное поведение решений сингулярно-возмущеных задач, имеющие узкие зоны (слои), в которых градиенты решения резко изменяются. Сингулярные функции подходят для определения весовых и мониторных функций, которые либо задают саму метрику, либо определяют вклад индивидуальных метрик в общую формулу.

Системы уравнений Бельтрами и диффузии обладают следующими достоинствами:

1. Краевая задача Дирихле для уравнений Бельтрами и диффузии корректна, поскольку они являются линейными и эллиптическими.

2. Уравнения Бельтрами в отличии от уравнения Пуассона и двумерных уравнений диффузии инвариантны относительно выбора координатной системы, что гарантирует построение такой же сетки независимо от выбора параметризации физической геометрии.

3. Для уравнений Бельтрами и диффузии выполняется принцип максимума, поэтому для выпуклой вычислительной области узлы сетки будут гарантированно попадать внутрь физической геометрии.

4. В двумерном случае для уравнений Бельтрами выполняется теорема Радо, согласно которой сеточные преобразования, полученные решение уравнений Бельтрами будут невырожденными, если вычислительная область выпукла. Уравнения Пуассона и двумерные уравнения диффузии не дают гарантии невырожденности решения.

5. С помощью мониторной метрики реализуются произвольные невырожденные сеточные преобразования.

6. Поскольку уравнения Бельтрами популярны в теории Римановой геометрии, то многие их свойства уже изучены специалистами геометрами, что позволяет более эффективно формулировать мониторные метрики.

7. Уравнения Бельтрами эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала энергии.

8. Система уравнений Бельтрами и диффузии позволяет единообразно строить сетки в областях и на поверхностях произвольной размерности.

Такие достоинства уравнений Бельтрами и диффузии свидетельствуют об их высоком потенциале для построения разностных сеток с помощью численного решения краевой задачи Дирихле. Поэтому аналитические и численные исследования этих уравнений имеют большое значение как для развития методов построения сеток в целом, так и для решения прикладных задач математической физики.

Целью диссертационной работы являляется

1. Проведение теоретических и численных исследований по нахождению мониторных метрик в уравнениях Бельтрами и диффузии для построения сеток с различными видами адаптации.

2. Проведение теоретических и численных исследований по применению сингулярных функций для построения адаптивных сеток.

3. Создание алгоритма построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и его реализация в виде комплекса компьютерных программ.

Результаты исследования модели построения сеток на основе уравнений Бельтрами и диффузии являются существенным вкладом в развитие геометрических методов управления свойствами сеток, в решение проблемы взаимосвязей мониторных метрик и качественных свойств сеток, а также раскрывают новые возможности применения сингулярных функций в методах построения сеток.

Разработанный комплекс программ можно эффективно использовать для построения адаптивных сеток при расчетах различных задач математической физики. В частности, метод построения согласованной с магнитным полем, ортогональной сетки в осесимметричном сечении камеры токамака может быть использован для расчетов течения плазмы.

В Главе 1 описывается математическая модель построения адаптивных сеток, основанная на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии. Приводятся виды мониторных метрик, использующихся для построения сеток, адаптирующихся к градиентам функций, к значениям функций, согласованных с заданным векторным полем, сбалансированных сеток, а также формулы для определения ковариантных и контравариантных компонент и якобиана мониторной метрики.

В Главе 2 описывается алгоритм численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток в одно-, дву- и трехмерном случае и программный инструментарий, используемый для проведения вычислительных экспериментов.

В Главе 3 представлены результаты исследования применения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения разностных сеток с различными видами адаптации. Представлены результаты численных экспериментов по построению разностных сеток, адаптирующихся к градиентам функций, к градиентам модельных функции, в двумерных областях и на поверхностях при помощи численного решения обращенных уравнений Бельтрами. Рассматриваются модельные задачи по построению сеток, адаптирующихся к значениям функции, в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях при помощи уравнений диффузии. Исследуются мониторные метрики для построения невырожденных согласованных с заданным модельным векторным полем сеток. Изучается проблема построения сбалансированных сеток, то есть сеток одновременно согласованных с заданным векторным полем и адаптирующимися к градиентам и/или значениям функций. Предлагается метод сглаживания блочных сеток. Кроме модельных задач, в Главе 3 метод применятеся для построения адаптивной разностной сетки, согласованной с магнитным полем, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка обладает достаточно хорошей ортогональностью сеточных линий, необходимой для решения задач расчета течения плазмы.

В Главе 4 исследуются две одномерные бисингулярные задачи с негладкими коэффициентами перед первыми производными. Выводятся оценки на производные решений этих задач. Полученные оценки используются в качестве мониторных функций для построения адаптивных сеток, на которых были численно решаются эти задачи. Представлены результаты численных экспериментов, подтверждающих эффективность полученных оценок и самого метода.

На защиту выносятся следующие результаты:

I. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций для различных модельных задач, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток. Построена разностная сетка, согласованная с линиями магнитного поля, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортогонализации сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток, согласованных с векторными полями, а также полезность использования сингулярных функций.

2. Аналитически получены оценки на производные решений двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами при первых производных. Эти оценки были использованы в качестве мониторных метрик для построения адаптивной сетки, на которой были численно решены эти задачи.

3. Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и комплекс компыортерных программ, реализующий этот алгоритм.

Результаты работы докладывались на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Абрау-Дюрсо, 2002), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002, 2004), Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления"(Москва, 2004), II Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004), Division of Plasma Physics Meeting (Savannah, 2004), International Sherrwood Theory Meeting Stateline (Nevada, 2005), 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (Paris, 2005), European Physical Society Plasma Physics Conference (Spain, 2005), 18th Chemnitz FEM Symposium (Germany, Schoneck, 2005).

По результатам исследований опубликовано 10 работ.

Диссертационная работа была поддержана грантом № 03-2.8-826 для поддержки научно-исследовательской работы аспиратнов высших учебных заведений Министерства образования и науки России, а также грантом Американского фонда гражданских исследований и разработок CRDF RU-M1-2579-NO-04.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Дмитриевичу Лисейкину.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций для различных модельных задач, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток.

2. Получены результаты численных экспериментов по построению разностных сеток: а) адаптирующихся к градиентам функции; б) адаптирующихся к значениям функции; в) согласованных с векторным полем; г) сбалансированных сеток; д) блочных сеток со сглаживанием в 1-мерных, 2-мерных и 3-мерных областях и на поверхностях.

3. Для практической задачи расчета течения плазмы в осесимметричном сечении камеры токамака построена разностная сетка, согласованная с магнитным полем. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортого-нализации сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток, согласованных с векторными полями, а также полезность использования сингулярных функций.

4. Проведено теоретическое и численное исследование двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами перед первыми про

104 изводными. Впервые получены оценки на производные решений этих задач. Полученные оценки были использованы в качестве мониторных функций для численного решения этих задач.

5. Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, реализованный при помощи комплекса компьюртерных программ.

1. Ллалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева J1.JI., Плинер JI.A. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. Москва: Наука, 1970.

2. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т. 9. - т. - С. 842-859.

3. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.В., Яненко И.К. Использование класса квази-конформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1975. — Т. 15. С. 1499-1511.

4. Бриш Н.И. О краевых задачах для уравнения еу" = f(x,y,y') при малых е // Докл. АН СССР. 1954. - Т.ХСУ. - №3. - С. 429-432.

5. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. - Т. 7. - С. 1031-1059.

6. Годунов С.К., Прокопов Г.П Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1972. - Т. 12. - С. 429-440.10G

7. Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А. Построение сеток в сложных областях при помощи квазиконформных отображений // Труды ИМ СО РАН, Новосибирск: Наука, 1990. Т. 18. - С. 75-84.

8. Данаев Н. Т. О возможности построения изометрических сеток на поверхностях. Успехи Казах, гос. унив. Каз. Г. У., 1994. С. 110-116.

9. Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д., Япепко Н.Н. О численном расчете движения вязкого газа вокруг тела врадещения на подвижной сетке. // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМСО АН СССР, 1980. Т. 11. - № 1. - С. 51-61.

10. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Об алгоритме построения криволинейных сеток, состоящих из выпуклых четырехугольников. // ДАН -1988. Т. 36. ДО 1. - С. 51.

11. Круглякова Л.В., Неледова А.В., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурные адаптивные сетки в задачах математической физики // Мат. моделирование. 1998. - Т. 10. ДО 3. - С. 93-116.

12. Лисейкин В.Д. О построении регулярных сеток на n-мерных поверхностях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. - Т. 31. -ДО 11. - С. 41-57.

13. Лисейкин В Д. Методы построения трехмерных сеток в аэродинамике // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1991. - Т. 3. - С. 31-45.

14. Лисейкин В Д. О геометрическом анализе свойств разностных сеток // ДАН 2002. - Т. 65. - ДО 2. - С. 190-193.

15. Лисейкин В.Д. О геометрических методах в теории разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. - Т. 43. - N? 7. -С. 1035-1048.

16. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. Вычислительный центр СО АН СССР, Новосибирск, 1989.

17. Лисейкин В.Д., Япенко Н.Н. О построении оптимальных разностных сеток // Числ. методы механики сплошной среды. 1977. - Т. 8. № 7.- С. 100-104.

18. Молородов Ю.И., Хакимзянов Г.С. Построение и оценка качества регулярных сеток для двумерных областей // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1998. -Т. 1. - С. 19-27.

19. Прокопов Г.П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных двумерных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1989. Т. 3.- С. 98-107.

20. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

21. Хакимзянов Г. С., Шокин Ю. И., Барахнин В. В., Шокина Н. Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

22. Ahuja D.V., Coons S.A. Geometry for construction and display // IBM Systems J. 1968. - Vol. 7. - P. 188-205.

23. Amsden A.A., Hirt C.W. A simple scheme for generating general curvilinear grids //J. Comput. Phys. 1973. - Vol. 11. - P. 348-359.

24. Anderson D.A. Adaptive grid methods for partial differential equations. In Ghia, K.N., Ghia U. (eds.): Advances in Grid Generation. ASME, Houston. - 1983. - P. 1-15.

25. Babuska I. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Anal. 1978. - Vol. 15. - P. 736-754.

26. Baker T.J. Automatic mesh generation for complex three-dimensional region using a constrained Delauney triangulation // Eng. Comput. 1989.- Vol. 5. P. 161-175.

27. Baker T.J. Mesh adaptation strategies for problems in fluid dynamics // Finite Elements Anal. Design. 1997. - Vol. 25. - P. 243-273.

28. Barfield W.D. An optimal mesh generator for Lagrangian hydrodynamic calculations in two space dimensions. //J. Comput. Phys. 1970. - Vol. 6.- P. 417-429.

29. Bell J.В., Shubin G.R. An adaptive grid finite-difference method for conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. - Vol. 52. - P. 569-591.

30. Brackbill J.U. An adaptive grid with directional control // J. Comput. Phys. 1993. - Vol. 108. - P. 38-50.

31. Brackbill J. U., Saltzman J. Adaptive zoning for singular problems in two directions // J. Comput. Phys. 1982. - Vol. 46. - P. 342-368.

32. Carey G.F. Computational Grids. Generation, Adaptation, and Solution Strategies. Taylor and Francis, London, 1997.

33. Chan W.M., Buning P. G. Surface grid generation methods for overset grids // Computer and Fluids. 1995. - Vol. 24. - No 5. - P. 509-522.

34. Chan W.M., Steger L.G. Enhancement of a three-dimensional hyperbolic grid generation scheme // Appl. Maths. Comput. 1992. - Vol. 51. - No 1. - P. 181-205.

35. Chu W.H. Development of a general finite difference approximation for a general domain //J. Comput. Phys. 1971. - Vol. 8. - P. 392-408.

36. Chumakov G.A., Chumakov S.G. A method for the 2-D quasi-isometric regular grid generation //J. Comput. Phys. 1998. - Vol. 133. - P. 1-28.

37. Coons S.A. Surface for computer aided design of space forms. Project MAC, Design Devision Department of Mechanical Engineering, Mil, 1964; Reviced to MAC-TR-41, June, 1967.

38. Cordova J.Q., Barth T.J. Grid generation for general 2-D regions using hyperbolic equations, AIAA Paper 88-0520, 1988.

39. Cougny H.L., Shephard M.S., Georges M.K. Explicit node point smoothing within the octree mesh generator. Report 10-1990, SCOREC, RPI, Troy, NY, 1990.

40. Crowley W.P. An Equipotential Zoner on a Quadrilateral Mesh. Memo, Lawrence Livermore National Lab., 5 July 1962.

41. Dannelongue H.H., Tanguy P.A. Three-dimensional adaptive finite element computations and applicatoins to non-newtonian flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1991. - Vol. 13. - P. 145-165.

42. Dvinski A.S. Adaptive Grid Generation from Harmonic Maps on Riemannian Manifolds // J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. - P. 450-476.

43. Edwards T.A. Noniterative three-dimensional grid generation using parabolic partial differential equations. AIAA Paper 85-0485, 1985.

44. Eiseman P.R. Geometric methods in computational fluid dynamics. ICASE Report 80-11 and Von Karman Institute for Fluid Dynamics Lecture Series Notes, 1980.

45. Eiseman P.R. Grid generation for fluid mechanics computations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. - Vol. 17. - P. 487-522.

46. Eiseman P.R. Adaptive grid generation // Comput. Methods. Appl. Mech. Engng. 1987. - Vol. 64. - P. 321-376.

47. Eriksson L.E. Generation of boundary-conforming grids around wing-body configurations using transfinite interpolation // AIAA Journal. 1982. -Vol. 20. - P. 1313-1320.

48. Field D.A. Implementing Watson's algorithm in three-dimensions // Proc. 2nd Ann. ACM Symp. on Comput. Geometry. 1986. - P. 246-259.

49. Field D.A. The legacy of automatic mesh generation from solid modeling 11 Сотр. Aided Geom. Design. 1995. - Vol. 12. - P. 651-673.

50. George P.L., Borouchaki H. Delaunay Triangulation and Meshing. Editions Hermes, Paris, 1998.

51. Ghia K.N., Ghia U., Shin C.T. Adaptive grid generation for flows with local high gradient regions. In Ghia, K.N., Ghia, U. (eds.): Advances in Grid Generation. ASME, Houston TX. 1983. - P. 35-47.

52. Giannakopoulos A.E., Engel A.J. Directional control in grid generation // J. Comput. Phys. 1988. - Vol. 74. - P. 422-439.

53. Glasser A.H., Tang X.Z. The SEL macroscopic modeling code // Сотр. Phys. Comm. 2004. - Vol. 164. - P. 237-243.

54. Gordon W.J. istributive lattices and the approximation of multivatiate functions. In Shwenberg, I.J. (ed.) Symposium on Approximation with Special Emphasis on Spline Functions. Madison, Academic Press. 1969.- P. 223-277.

55. Gordon W.J. Blending-function methods of bivariate and multivariate interpolation and approximation // SIAM J. Numer. Anal. 1971. - Vol. 8.- P. 158-177.

56. Gordon W.J., Hall C.A. Construction of curvilinear coordinate systems and applications to mesh generation // Int. J. Numer. Meth. Engng. -1973. Vol. 7. - P. 461-477.

57. Gordon W.J., Thiel L. C. Transfinite mappings and their application to grid generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 171-192.

58. Hawken D.F., Gottlieb J. J., Hansen J.S. Review of some adaptive node-movement techniques in finite-element and finite-difference solutions of partial differential equations //J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. -P. 254-302.

59. Hedstrom G. W., Rodrigue C.M. Adaptive-grid methods for time-dependent partial differential equations // Lect. Notes Math. 1982. - Vol. 960. - P. 474-484.

60. Ho-Le Finite element mesh generation methods: a review and classification // Computer-Aided Design. 1998. - Vol. 20. - P. 27-38.

61. Huang W. Variational mesh adaptation: isotropy and equidistribution // J. Comput. Phys. 2001. - Vol. 174. - P. 903-924.

62. Huang W., Ren Y., Russel R.D. Moving mesh PDEs based on the equidistribution principle // SIAM J. Numer. Anal. 1994. - Vol. 31. - P. 709-730.

63. Jacquotte O.-P. A mechanical model for a new grid generation method in computational fluid dynamics // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. -1987. Vol. 66. - P. 323-338.

64. Jeng Y.N., Shu Y.-L. Grid combination method for hyperbolic grid solver in regions with enclosed boundaries // AIAA Journal. 1995. - Vol. 33. -No 6. - P. 1152-1154.

65. Kerlic C.D., Klopfer G.H. Assessing the quality of curveliniar meshes by decomposing the Jacobian Matrix // Appl. Math. Comput. 1982. - Vol. 10,11. - P. 787.

66. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Equidistriburion method for the construction of adaptive grids // Russian Journal of Numerical Analysis and Math. Modelling. 1999. - Vol. 14. - No 4. - P. 339-358.

67. Khamayseh A., Mastin C.W. Computational conformal mapping for surface grid generation // J. Comput. Phys. 1996. - Vol. 123. -P. 394-401.

68. Knupp P., Steinberg S. Fundamentals of Grid Generation. Boca Raton: CRC Press, 1993.

69. Lee K.D., Loellbach J.M. Geometry-adaptive surface grid generation using a parametric projection //J. Aircraft. 1989. - Vol. 2. - P. 162-167.

70. Lin K.L., Shaw H.J. Two-dimensional orthogoal grid generation techniques 11 Comput. Struct. 1991. - Vol. 41. - No 4. - P. 569-585.

71. Liseikin V.D. On a variational method of generating adaptive grids on n-dimensional surfaces // Soviet Math. Docl. 1992. - Vol. 44. - No 1. -P. 149-152.

72. Liseikin V.D. Construction of structured adaptive grids a review // Comput. Math. Math. Phys. - 1996. - Vol. 36. - No 1. - P. 1-32.

73. Liseikin V.D. Grid generation methods. Berlin: Springer, 1999.

74. Liseikin, V.D. Layer Resolving Grids and Transformations for Singular Perturbation Problems. VSP, Utrecht, 2001.

75. Liseikin V.D. A computational differential geometry approach to grid generation. Berlin: Springer, 2004.

76. Lorenz J. Nonlinear boundary value problems with turning points and properties of difference schemes // Lect. Notes in Math. 1982. - No 42. - P. 68-80.

77. Mastin C. W. Error induced by coordinate systems. In Thompson J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 31-40.

78. Nagumo M. Uber die Differentialgleichung y" = f(x,y,y') // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. - No 19. - P. 861-866.

79. Nakamura S. Marching grid generation using parabolic partial differential equations // Appl. Math. Comput. 1982. - Vol. 10. - No 11. - P. 775-786.

80. Nakamura S., Suzuki M. Noniterative three-dimensional grid generation using a parabolic-hyperbolic hybrid scheme // AIAA Paper 87-0277. -1987.

81. Noack R. W. Inviscid flow field analysis of maneuvering hypersonic vehicles using the SCM formulation and parabolic grid generation // AIAA Paper 85-1682. 1985.

82. Noack R.W., Anderson D.A. Solution adaptive grid // AIAA Journal. -1990. Vol. 28. - No 6. - P. 1016-1023.

83. Petravic M. Orthogonal Grid Constraction for Modeling of Transport in Tokamaks // J. Comput. Phys. 1987. - Vol. 73. - P. 125-130.

84. Reed C.W., Hsu C.C., Shiau N.H. An adaptive grid generation technique for viscous transonic flow problems // AIAA Paper 88-0313. 1988.

85. Rognlien T.D., Xu X.Q., Hindmarsh A.C. Application of Parallel Implicit Methods to Edge-Plasma Numerical Simulations //J. Comput. Phys. -2002. Vol. 175. - P. 249-268.

86. Ryskin G., Leal L.G. (1983) Orthogonal mapping // J. Comput. Phys. -1983. Vol. 50. - No 3. - P. 71-100.

87. Shephard M.S., Grice K.R., Lot J.A., Schroeder W.J. Trends in automatic three-dimensional mesh generation // Comput. Strict. 1988. - Vol. 30. -No 1/2. - P. 421-429.

88. Smith R.E. Two-boundary grid generation for the solution of the three-dimensional Navier-Stokes equations // NASA TM-83123. 1981.

89. Smith R.E. Algebraic grid generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 137-170.

90. Smith R.E., Eriksson L.E. Algebraic grid generation // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1987. - Vol. 64. - P. 285-300.

91. Soni B.K., Huddleston D.K., Arabshahi A., Yu. B. A study of CFD algorithms applied to complete aircraft configurations // AIAA Paper 930784. 1993.

92. Starius G. Constructing orthogonal curvilinear meshes by solving initial value problems // Numer. Math. 1977. - Vol. 28. - P. 25-48.

93. Steger J.L., Chaussee D.S. Generation of body fitted coordinates using hyperbolic differential equations // SIAM. J. Sci. Stat. Comput. 1980. -Vol. 1. - No 4. - P. 431-437.

94. Steger J.L., Rizk Y.M. Generation of three-dimensional body-fitted coordinates using hyperbolic partial differential equations. NASA, TM 86753, June, 1985.

95. Steger J.L., Sorenson R.L. Automatic mesh-point clustering near a boundary in grid generation with elliptic partial differential equations // J. Comput. Phys. 1979. - Vol. 33. - P. 405-410.

96. Steinberg S., Roache P.J. Variational curve and surface grid generation // J. Comput. Phys. 1992. - Vol. 100. - P. 163-178.

97. Tai C.H., Chiang D.C., Su Y.P. Three-dimensional hyperbolic grid generation with inherent dissipation and Laplacian smoothing // AIAA Journal. 1996. - Vol. 34. - No 9. - P. 1801-1806.

98. Takagi Т., Miki K., Chen B.C.J., Sha W.T. Numerical generation of boundary-fitted curvilinear coordinate systems for arbitrarily curved surfaces // J. Comput. Phys. 1985. - Vol. 58. - P. 69-79.

99. Tamamidis P., Assanis D.N. Generation of orthogonal grids with control of spacing 11 J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 94. - P. 437-453.

100. Thacker W.C. A brief review of techniques for generating irregular computational grids // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1980. - Vol. 15. - No 9. - P. 1335-1341.

101. Thomas P.D. Composite three-dimensional grids generated by elliptic systems // AIAA Journal. 1982. - Vol. 20. - No 9. - P. 1195-1202.

102. Thomas P.D., Middlecoff J.F. Direct control of the grid point distribution in meshes generated by elliptic equations // AIAA Journal. 1980. - Vol. 18. - No 6. - P. 652-656.

103. Thompson, J.F. Grid generation techniques in computational fluid dynamics // AIAA Journal. 1984. - Vol. 22. - No 11. - P. 1505-1523.

104. Thompson J.F. A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // AIAA Paper 84-1606. 1984.

105. Thompson J.F. A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // Appl. Numer. Math. 1985. -Vol. 1. - P. 3-27.

106. Thompson, J.F. A reflection on grid generation in the 90s: trends, needs influences. In Soni, B.K., Thompson, J.F., Hauser, J., Eiseman, P.R. (eds.): Numerical Grid Generation in CFD. Mississippi State University. 1996. -Vol. 1. - P. 1029-1110.

107. Thompson J.F., Thames F.C., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies // J. Comput. Phys. -1974. Vol. 15. - P. 299-319.

108. Thompson, J.F., Warsi, Z.U.A., Mastin C.W. Boundary-fitted coordinate systems for numerical solution of partial differential equations a review // J. Comput. Phys. - 1982. - Vol. 47. - P. 1-108.

109. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation. Foundations and applications. New York: Elsevier Science Publisher, 1985.

110. Thompson, J.F., Weatherill, N.P. Aspects of numerical grid generation: current science and art // AIAA Paper 93-3539. 1993.

111. Visbal M., Knight D. Generation of orthogonal and nearly orthogonal coordinates with grid control near boundaries // AIAA Journal. 1982. -Vol. 20. - No 3. - P. 305-306.

112. Warsi Z. U.A. Tensors and differential geometry applied to analytical and numerical coordinate generation. Starkville: MSSU-EIRS-81-1, Aerospace Engineering, 1981.

113. Warsi Z.U.A. Basic differential models for coordinate generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. 1982. - P. 41-78.

114. Warsi Z.U.A. Numerical grid generation in arbitrary surfaces through a second-order differential-geometric model //J. Comput. Phys. 1986. -Vol. 64. - P. 82-96.

115. Warsi Z.U.A., Thompson J.F. Application of variational methods in the fixed and adaptive grid generation

116. Comput. Math. Appl. 1990. - Vol. 19. - No 8/9. - P. 31-41.

117. White A.B. Elliptic grid generation with orthogonality and spacing control on an arbitrary number of boundaries // AIAA Paper 90-1568. 1990.

118. Winslow, A.M. Equipotential zoning of two-dimensional meshes //J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 1. - P. 149-172.

119. Winslow A.M. Adaptive vesh zoning by the equipotential method. UCID-19062. Livermore: Lawrence Livermore Nat. Labs, 1981.

120. Zegeling P.A. Moving-Grid Methods for Time-Dependent Partial Differential Equations. CWI Tract 94, Centrum voor Wiskund en Informatica, Amsterdam, 1993.