автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Зонные системы Делоне как единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

На правах рукописи

Коваленко Денис Владимирович

ЗОННЫЕ СИСТЕМЫ ДЕЛОНЕ КАК ЕДИНАЯ МОДЕЛЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ И ПОЧТИ-КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Специальность 05.13.18 - «Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Великий Новгород - 2004

Диссертация выполнена на кафедре алгебры и геометрии Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук Галиулин Равил Вагизович (Институт кристаллографии РАН)

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович

- кандидат физико-математических наук Андрушевский Николай Матвеевич

Ведущая организация - Вычислительный центр им. А.А. Дородницына

РАН

Защита состоится января 2005 года в часов на заседании

Диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого по адресу: 173003, Великий Новгород, ул. Б.С.-Петербургская, 41, НовГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НовГУ.

Автореферат разослан" 8 " декабря 2004 года

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.168.04 доктор физико-математических наук, профессо]

инов С.И.

¿/9

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена проблемам математического моделирования новых веществ, открытых физиками в конце прошлого столетия и получивших название квазикристаллов. Общую математическую модель расположения центров атомов в любом атомном образовании (плазме, газе, жидкости, аморфном теле, кристалле) дают дискретные точечные системы (с фиксированным радиусом дискретности и обладающие конечным радиусом покрытия). Впервые эти системы, а также метод их исследования, были представлены мировому научному сообществу в 1924 году российским геометром Б.Н. Делоне. Такие множества стали называть системами Делоне, а метод исследования - триангуляцией Делоне. Системы Делоне нашли широкое приложение в вычислительной математике и физике при вычислении сложных многомерных функций, а более всего - в кристаллографии и кристаллографической геометрии.

Главная особенность кристаллических структур состоит в том, что они составлены из одинаковых частиц (отдельных атомов или конечных их совокупностей), которые одинаково окружены другими такими же частицами. Если все эти частицы заменить точками, каждая из которых равно окружена другими точками, получается, так называемая, правильная система Делоне. Из равенства окружения точек следует, что для двух произвольно взятых точек системы существует преобразование симметрии, переводящее эти точки друг в друга, а всю систему в себя. Полная совокупность таких преобразований для данной правильной системы Делоне образует группу. В России ее называют федоровской группой в честь отечественного геометра и кристаллографа Е.С. Федорова, получившего в 1890 году полный список из 230 таких групп в трехмерном пространстве. Характерной особенностью федоровских групп служит то, что все содержащиеся в них преобразования имеют оси симметрии только второго, третьего, четвертого или шестого порядков. Последним самым крупным достижением в теории правильны " я локальная

теорема М.И. Штогрина о том, что всякая правильная система на евклидовой плоскости определяется локально, т.е. одинаковым окружением каждой точки системы другими ее точками в круге, радиус которого равен четырем радиусам минимального круга покрытия.

В 1984 году был получен сплав, атомная структура которого обладает осями симметрии пятого порядка, запрещенными в кристаллах. К этому времени математикам уже было известно покрытие Пенроуза плоскости двумя типами ромбов с углами 72° и 108°, 144° и 36° соответственно, которое не является периодическим, но любой конечный кусок встречается в нем бесконечное число раз и обязательно появляется в круге достаточно большого радиуса с центром в любой точке плоскости. Оказалось, что плоские сечения открытого физиками материала являются аппроксимантами покрытия плоскости (мозаики) Пенроуза. Впоследствии физиками были обнаружены новые материалы с осями симметрии восьмого, десятого и двенадцатого порядков. Такие почти-кристаллические соединения, благодаря своему специфическому строению, немедленно нашли свое применение в машино- и приборостроении. Как и в случае с покрытием Пенроуза, отвечающие этим веществам точечные системы не являются правильными системами Делоне, хотя и обладают некоторым дальним порядком. Возникла насущная необходимость в построении математической модели квазикристаллов.

С.П. Новиков в 1986 году определил n-мерную квазикристаллографическую группу, как подгруппу всех движений пространства R°, переводящую в себя некоторую квазирешетку (конечнопорожденную подгруппу в R", порождающую R" как линейное пространство). В дальнейшем в работах самого Новикова и его учеников достаточно подробно была исследована структура таких групп, в том числе получена классификация допустимых углов поворота в двумерном и трехмерном случаях. Одновременно с исследованиями группы Новикова и независимо от них в работах Н. Мермина, Д. Рокшара и Д. Райта возникло определение квазикристаллографических групп в терминах классов когомологий.

С.А. Пиунихин доказал существование взаимнооднозначного соответствия между квазикристаллографическими группами Новикова с конечной точечной группой и группами Мермина-Рокшара-Райта.

Однако предлагаемый Новиковым подход не дает нам удовлетворительной модели квазикристаллических структур уже по той причине, что возникающие в связи с квазикристаллографическими группами Новикова точечные системы (квазирешетки) не обладают свойством дискретности - главной особенностью любой атомной структуры. Кроме того, до сих пор не найдена квазикристаллографическая группа Новикова, которая соответствовала бы системе вершин плоской мозаики Пенроуза. Полностью выпадают из рассмотрения и реальные кристаллы, идеальная структура которых зачастую нарушена внешними примесями, деформациями и пр.

Наконец, все математические модели квазикристаллических структур, существующие в настоящее время, обладают еще одним существенным недостатком. Предлагая тот или иной способ конструирования точечных систем, а тем более некоторых групп преобразований, с заданным некристаллографическим порядком (симметрией), их авторы не получают (да и не могут получить при таком конструктивном подходе) общую модель строения вещества, обладающего какой-либо (кристаллографической или другой) симметрией, не дают критерия «почти-правильности» системы точек. Критерия, который бы выделял среди общих систем Делоне «почти-правильные». Поэтому, в отличие от кристаллов, полное описание строения которых задают правильные системы Делоне, почти-кристаллические структуры пока не имеют своего единого описания. Такое положение дел и определило направление настоящего исследования.

ОБЪЕКТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ являются общие точечные системы и системы Делоне как математическая модель расположения центров атомов в любом атомном образовании.

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ - зонные системы Делоне как единая математическая модель кристаллов и квазикристаллов.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Создание математической модели, описывающей кристаллические и почти-кристаллические структуры, как нового класса систем Делоне, и описание геометрических свойств систем этого класса. Для достижения этой цели, автор ставит перед собой следующие ЗАДАЧИ:

- ввести операцию расширения общих точечных систем;

- установить глобальный и локальный критерии постоянства общих точечных систем и систем Делоне при их расширении;

определить с помощью введенной операции новый класс систем Делоне, а именно, класс зонных систем;

- показать, что зонность системы Делоне есть признак ее почти-правильности;

- установить связь п-мерных зонных систем с одномерными;

- выявить геометрические свойства одномерных зонных систем с двумя различными возможными расстояниями между соседними точками и их связь со специальными числовыми последовательностями;

установить критерий зонности для таких систем;

- показать, что одномерные зонные системы с двумя различными возможными расстояниями между соседними точками сохраняют свойство зонности при повторном расширении.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В качестве методов исследования автором применяются элементы теории групп, алгебраической теории чисел, дифференциального исчисления функции одной переменной. Кроме того, оригинальными авторскими методами являются операция расширения точечных систем, и конструкция «трубы» как геометрического образа одномерной точечной системы с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В настоящей диссертации впервые вводится в рассмотрение операция расширения точечных систем и возникающий в связи с ней новый класс таких систем, занимающий промежуточное положение между

6

общими и правильными системами Делоне. Таким образом, впервые построена единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур, найден критерий «почти-правильности» системы точек.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть применены при дальнейших исследованиях систем Делоне в евклидовых, локально-евклидовых пространствах, а также в пространствах постоянной гауссовой кривизны. Полученная в работе единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур представляет интерес как математическая основа компьютерного моделирования широкого спектра структур - от наноматериалов до реальных кристаллов.

ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Важным методом исследования точечных систем является операция их расширения. В частности, точечные системы, стабильные (сохраняющиеся) при этой операции, - это системы вида Х=С1хС2х...хС„, где -произвольное расширение аддитивной группы Ъ, а стабильные системы Делоне - решетки Т=г".

2. Выделяемые с помощью операции расширения из общего множества систем Делоне зонные системы - новый класс точечных систем, существенно более широкий, чем правильные системы, и являющийся единой моделью кристаллических и почти-кристаллических структур.

3. Многомерные зонные системы могут быть получены из одномерных как подмножества их декартова произведения.

4. Одномерные зонные системы с двумя возможными несоизмеримыми расстояниями а и Ъ между соседними точками являются зонными тогда и

только тогда, когда последовательность {рк=—}, где тк есть количество

Пк

вхождений расстояния а, а пк - количество вхождений расстояния Ъ между к-соседками (точками х, и х,+к системы), сходится. В частности, зонными являются системы вершин плоского покрытия (мозаики) Пенроуза.

5. Одномерные зонные системы с двумя возможными несоизмеримыми расстояниями а и b между соседними точками сохраняют свойства зонности при повторном расширении.

ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов работы основана на строгости математических доказательств и на корректности проведения исследования с помощью математического моделирования. Кроме того, полученный в работе результат о зонности системы вершин плоской мозаики Пенроуза согласуется с результатами физических исследований структуры квазикристаллов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались автором на:

- объединенном научном семинаре члена-корреспондента РАН В.Г.Болтянского и профессора С.С. Рышкова в Математическом Институте им. В .А. Стеклова РАН (1993),

- научном семинаре кафедры алгебры и геометрии НовГУ (1996,2004),

- научном семинаре члена-корреспондента РАН, профессора Ю.Г. Евтушенко в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН (2004),

- VI международной конференции «Кристаллы: рост, реальная структура, свойства, применение» (Александров, 2003),

- Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления" (Москва, Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, 2004),

- Всероссийской научно-методической конференции "Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе" (Великий Новгород, 2004);

и содержатся в 7 публикациях, список которых приводится в конце автореферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Общий объем диссертации составляет 72 страницы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 36 наименований, 32 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит общую характеристику работы, включающую актуальность, формулировку проблем, цели исследований, а также основные задачи, решаемые в диссертации.

Первая глава посвящена описанию новой операции, применяемой к общим точечным системам и системам Делоне.

Определение. Системой Делоне или (Яг)-системой называется множество точек X п-мерного евклидового пространства, удовлетворяющее следующим двум аксиомам:

a) аксиома дискретности: расстояние между любыми двумя точками множества X не меньше длины г некоторого фиксированного отрезка;

b) аксиома покрытия: расстояние от любой точки пространства до ближайшей к ней точки множества X не больше длины Я некоторого фиксированного отрезка.

Далее для произвольного множества точек X п-мерного евклидового пространства вводятся следующие понятия:

Векторной системой точки АеХ назовем множество УА, состоящее из векторов, соединяющих точку А со всеми остальными точками системы X. Векторной системой множества X назовем множество Ух векторов, соединяющих любые две точки системы X. Кроме того, если X является системой Делоне, то локальной векторной системой или ежом точки АеХ назовем множество векторов УА |ос, соединяющих А со всеми точками системы X из 2Я-окрестности А, где К - константа из аксиомы покрытия. Обобщенным Ягежом точки А назовем множество векторов, соединяющих А со всеми точками системы X из Я]-окрестности А. Наконец, дается следующее

Определение. Производной системы X назовем множество точек X', получающихся откладыванием от любой точки из X всех векторов векторной

системы Ух (Рис. 1). Операцию получения системы X' из X будем называть расширением.

Термины «производная» и «расширение» в применении к точечным системам автору представляются вполне оправданными, поскольку так же, как и производная функции в математическом анализе, вводимое понятие «производная точечной системы» характеризует направление и скорость роста атомной структуры.

А С

\

\

В

Система X и

векторная система точки А,УА

Операция расширения, как это видно на Рисунке 1, расширяет точечную систему в том смысле, что всегда ХсХ'. Далее в первой главе исследуется свойство стабильности точечной системы относительно расширения, а именно исследуются системы, для которых выполнено и обратное включение Х'сгХ, т.е. равенство Х'=Х. Показывается, что необходимым и достаточным условием этого служит равенство векторных систем всех точек: VУА,ВеХ. Доказывается следующий локальный критерий постоянства систем Делоне.

Теорема 1.1. Пусть X - система Делоне, ежи всех точек которой равны. Тогда и векторные системы всех точек из X совпадают.

Векторная система точки

Производная системы X, X1

Рис. 1

С каждой системой Делоне X, ввиду леммы о полномерности локального окружения, можно связать систему координат (в общем случае, далеко не единственную), такую, что вершины единичного симплекса - точки 0(0,0,0,...,0), А, (1,0,0,...,0), А2(0,1,0,...,0),..., Ап(0,0,0,...,1) - содержатся в X. Построенную на такой системе координат целочисленную решетку, т.е. множество всех точек с целыми координатами, будем называть решеткой, связанной с системой X, и обозначать Тх.

Для доказательства теоремы 1.1. сначала из равенства ежей всех точек выводится, что все точки решетки Тх, связанной с системой X, содержатся в X. Далее, используя лемму о связности систем Делоне, показываем, что для произвольных точек О, А, РеХ вектор ОР, как сумма векторов из ежей нескольких точек ломаной, соединяющей О с Р, присутствует в векторной системе точки А, что и означает равенство УА=У0.

Далее в первой главе доказывается глобальный критерий постоянства точечных систем при расширении.

Теорема 1.2. Пусть X - п-мерная система точек. Равенство Х'=Х будет выполнено тогда и только тогда, когда Х=01х02х...х0„, где Ок - расширение аддитивной группы Ъ.

Как и в доказательстве теоремы 1.1. сначала показывается необходимость включения ТхсХ. Далее показывается, что, добавляя к Тх=£п точку В(ЬьЬ2,...,Ьп) с сохранением условия Х-Х, мы расширяем по к-й координате аддитивную группу Ъ элементом Ьк.

Как следствие получаем, что системы Делоне, сохраняющиеся при расширении - это в точности решетки.

Вторая глава начинается с определения нового класса систем Делоне.

Определение 2.1. Будем называть систему Делоне X зонной, если X' снова является системой Делоне.

Важным примером зонных систем служат правильные системы Делоне и мультирешетки, т.е. объединение конечного числа параллельно расположенных

решеток ТьТ2,...,Тк. Кроме того, всякое подмножество зонной системы Делоне, удовлетворяющее аксиоме покрытия, также обладает свойством зонности. Это вытекает из того факта, что если ХсУ, то и Х'сУ.

Несмотря на достаточно общую формулировку, условие зонности приводит к почти-правильным системам точек, т.е. системам, в которых присутствует дальний порядок (симметрия). Обоснованием этого служит

Теорема 2.1. Для любого, сколь угодно большого, радиуса количество различных обобщенных Ягежей в зонной системе X конечно.

Для доказательства обосновывается конечность количества различных векторов в обобщенных Я^-ежах точек из X, а затем и конечность количества самих Ярежей. Таким образом, для любого И., система X разбивается на конечное число К]-эквивалентных точек (имеющих одинаковое Я,-окружение). Как следствие получается

Теорема 2.2. Зонные системы Делоне моделируют кристаллические и почти-кристаллические структуры.

Дальнейшим мотивом исследования геометрии зонных систем служит выявление связи многомерных зонных систем с одномерными. Показывается справедливость следующих теорем.

Теорема 2.3. Пусть Х1 и Х2 - зонные системы в пространствах Як и Я1 соответственно. Тогда их декартово произведение Х=Х,хХ2 - зонная система в пространстве Як+|.

Доказательство получается вычислением возможных расстояний между точками М1(а1ь-..,а1ьЬп,..-,Ьц), М2(а2Ь...,а2ЬЬ2Ь...,Ь2|), Мз(а11,...,а1к,Ь21,...,Ь21), М4(а2Ь...,а2к,Ьи,...,Ьц) в Як+1, полученными как декартово произведение точек А1(ап,а12,...,а1к), А2(а2,,а22,...,а2к)бКкиВ,(Ьп,Ь12,...,Ь11),В2(Ь2ьЬ22,...,Ь2|)еЯ|.

Теорема 2.4. Для любой зонной системы X в пространстве Я" можно выбрать такие направление 1 и гиперплоскость ш=К°"1, что проекции Хш и X] системы X на т параллельно 1 на 1 параллельно т - также зонные (Рис. 2).

Индукцией по размерности пространства п получаем

Теорема 2.5. Любая п-мерная зонная система X есть подмножество декартова произведения одномерных: ХсХ, хХ2х...хХ„.

Рис.2

Значимым примером зонных систем служит множество вершин мозаики Пенроуза. Как показал Амманн, вершины мозаики Пенроуза лежат на 5 семействах параллельных прямых, причем ширина полос (расстояний между соседними прямыми в одном семействе) принимает только два возможных значения а и Ь, отношение которых равно золотому сечению. Проецируя систему X вершин мозаики Пенроуза на одно семейство таких прямых параллельно второму, получаем, что ХсХ]ХХ2, где X] и Х2 - одномерные системы Делоне с двумя возможными расстояниями а и Ь между соседними точками.

Если система X - зонная (т.е. X' является системой Делоне), имеет смысл построить вторую производную Х"=(Х')', и вообще рассмотреть ряд ХсгХ'сХ"с... сХ(п)с..., где каждая последующая система есть производная предыдущей. В связи с этим рядом возникает вопрос о зонности получаемых производных. Положительный ответ на него в случае одномерных зонных

систем с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками дается в третьей главе настоящей работы.

Третья глава посвящена исследованию одномерных зонных систем. Показывается, что вопрос о зонности системы может быть сведен к вопросу о дискретности спектра расстояний системы X. Спектр расстояний представляется в виде прямого объединения множеств различных расстояний между к-соседками (точками системы, между которыми расположилось ровно

к-1 точка системы): 5р(Х)=Уд>, где Дк={|х,-х,+|С|| \е2}. Доказывается

к*0

Теорема 3.1. Для зонной одномерной системы Делоне X и ее спектра

ее

расстояний 8р(Х)=Уд4 выполнено |Дк|<0°, т.е. все множества Дк

к-0

конечны.

Согласно теореме 3.1., из зонности X необходимо следует Л1={гь г2,...,гт}

- конечное число возможных расстояний между соседними точками. Если все г,

попарно соизмеримы, то, полагая Г)=1, получаем г,=—, У1=1,...,т.

Ъ,

Поэтому ХсТ, где Т - решетка с шагом-——, и поэтому X', X",..., Х(к),...

НОКуЬг, От)

- также подмножества Т, а, следовательно, являются зонными системами.

Пусть теперь не все г, из Д1 соизмеримы между собой. Далее подробно рассматривается важный для приложений случай, когда |Д1|=2, т.е. Д| состоит из

двух несоизмеримых расстояний а и Ъ\ Л|={а, £>}, где —

ъ

Для систем X с Д ¡={а,Ь}, где -¿0, вводится геометрическая

Ь

интерпретация спектра расстояний или производной системы X' - конструкция бесконечной <арубы»: множество точек (т,п) с целыми координатами, где тя+п&еДш+п (Рис. 3).

Рис.3

Обозначим за Ак и ак наибольшее и наименьшее количество отрезков а (соответственно и - наибольшее и наименьшее количество отрезков Ь), входящих в расстояния между к-соседками. При этом ширина «трубы» на к-м участке (количество отрезков с целочисленными координатами, входящих в Дк) равна Ак-ак+1 (или Вк-Ьк+1). Так как любое расстояние между (к+1)-соседками образуется из расстояния между к-соседками добавлением либо а, либо Ь, то получаем Ак+,>Ак, ак+] <ак+\ и, аналогично, ЛкА>Лк-1, акА<ак. Отсюда следуют два важных свойства «трубы» для произвольной (не обязательно зонной) системы X:

Свойство 1. Если отрезок Дк принадлежит системе X', то ей, во всяком случае, принадлежат все целочисленные точки прямоугольника, имеющего Дк своей диагональю.

Свойство 2. Д„к не выходит за пределы «конуса», образованного лучами, исходящими из начала координат и проходящими через крайние точки Дк.

Для зонных систем X из этих свойств выводится условие наличия единой константы ш, ограничивающей мощность всех Дк:

Теорема 3.2. Пусть X -одномерная зонная система Делоне с Д1={а, Ь),

где -¿О.. Тогда Эзир(Лк-ак)=зир(Як-6к)=т<0°- Иными словами, найдется такое Ь к к

единое m, что для любого номера к Ак не может растягиваться по длине более, чем на m, т.е. для расстояний между к-соседками возможно лишь не более чем m различных комбинаций из а и Ъ.

Для доказательства рассматривается расстояние между прямой ax+èy=0 и концом вектора MN, соединяющего две точки «трубы» и отложенного от начала координат. Показывается, что отсутствие указанной константы m равносильно наличию такого вектора MN, для которого это расстояние сколь угодно мало, что нарушает аксиому дискретности для X', т.е. условие зонности системы X.

Далее исследуется числовая последовательность {рк=—}, где

Пк

шкя+пк0еЛк. Используя критерий Коши сходимости последовательности и свойства 1,2 «трубы», доказываются

Теорема 3.3. В условиях Теоремы 3.2. существует предел

к-ко Пк

Теорема 3.4. В условиях Теорем 3.2. и 3.3. прямая с угловым коэффициентом т целиком сЪдержится в «трубе» (т.е. пересекает уровень Дк для BcexkeN).

Теорема 3.5. Пусть X -одномерная система Делоне с А\={а, Ь}, где — gQ.

b

Предположим существует описанный в Теореме 3.3. предел

lim—=т-

к-*с Пк

Тогда система X - зонная.

Теоремы 3.3 и 3.5 в совокупности дают нам критерий зонности: система X - зонная тогда и только тогда, когда последовательность {Рк=—} сходится.

Пк

Кроме того, согласно теоремам 3.2 и 3.4, геометрически зонность системы X оказывается равносильна двум условиям:

i. есть прямая, целиком содержащаяся в «трубе»;

16

п. толщина «трубы» на каждом ее участке Лк не превосходит некоторой единой константы ш (Рис. 4).

В работах Амманна показано, что для плоских покрытий Пенроуза существует предел отношения количества широких полос Амманна к количеству узких, равный золотому сечению. Поэтому в качестве важного следствия теорем 3.3 и 2.3 получаем, что множество вершин плоских мозаик Пенроуза является зонной системой.

Завершается третья глава ответом на вопрос о сохранении свойства

зонности при повторных расширениях для систем X с А]={а,Ь}, где ^

о

Теорема 3.6. Пусть X - зонная одномерная система Делоне с Д1={а, Ь},

где Тогда X' - также зонная. о

Доказательство выводится из того факта, что свойства [ и «трубы» для зонной системы X влекут ограниченность векторов, соединяющих две произвольные точки трубы и имеющих разнознаковые координаты, по каждой своей координате. Следовательно, тем же свойством будет обладать и разность двух таких векторов, которая поэтому не может проходить сколь угодно близко от прямой ах+6у=0. Но разность двух векторов из X' - это не что иное, как

а

Ь

Рис.4

вектор из X". Тем самым X" удовлетворяет аксиоме дискретности, а X1 является зонной.

Заключение подводит итог диссертационной работе и намечает дальнейшие пути развития данного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Введена операция расширения точечных систем. Выделены из классов общих точечных систем и систем Делоне подклассы стабильных относительно этой операции систем, а именно систем вида Х=С1хС2х...хОп, где Ск - расширение аддитивной группы г, а в классе систем Делоне -решеток.

2. Введен в рассмотрение новый подкласс систем Делоне, а именно класс зонных систем, которые сохраняют аксиому дискретности при расширении. Показано, что этот класс может служить единой моделью для кристаллических и почти-кристаллических структур.

3. Показано, что многомерные зонные системы могут быть сконструированы из одномерных с помощью их декартова произведения, а затем выбрасывания произвольного подмножества точек.

4. Для исследования одномерных зонных систем и их спектра расстояний введена оригинальная геометрическая конструкция «трубы». Исследованы геометрические свойства такой «трубы» для общих и зонных одномерных систем Делоне с двумя возможными расстояниями между соседними точками. Выявлена связь между зонностью таких систем X и возникающими в спектре расстояний X особыми числовыми последовательностями, в частности доказано, что зонность X равносильна существованию предела таких последовательностей. Как следствие, установлено, что вершины плоских покрытий Пенроуза образуют зонную систему. Доказано, что зонность системы X влечет зонность ее производной X'.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Коваленко Д.В. Зонные системы Делоне и вопросы кристаллографии. // Труды 12-й международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях". Великий Новгород, 1999. С. 102.

2. Коваленко Д.В. Математические модели почти-кристаллических соединений: новый взгляд. // Известия Международной академии наук высшей школы. 2003. № 4 (26). С. 195-209.

3. Коваленко Д.В. Зонные системы Делоне как математическая модель почти-кристаллических структур //Вестник НовГУ. 2004. № 26. С. 117-123.

4. Коваленко Д.В. Математическое моделирование почти-кристаллических структур. // Труды Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". -Москва, Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, 2004. С. 209-

5. Коваленко Д.В. Локальный критерий постоянства систем Делоне. // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе". Великий Новгород, 2004. С. 43-45.

6. Коваленко Д.В. Точечные системы и кристаллографический анализ. // Труды VI Международной конференции "Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение". Александров: ВНИИСИМС. 2004. С. 475-481.

7. Коваленко Д.В. Зонные системы Делоне. // Труды VI Международной конференции "Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение". Александров: ВНИИСИМС. 2004. С. 482-502.

219.

Автор

Коваленко Д.В.

»2 7 2 14

РНБ Русский фонд

2006-4 219

Лицензия ЛР№ 020815 от 21.09 199& Подписано в печать 28 10 2004 Тираж 1С0 экз Заказ № Z, &С>-Физ печ л 1,25 Уч-изд л 0,7. Формат 60 * 84 1/]б Гарнитура Times New Román Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

Отпечатано в ИПЦ Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого по адресу 173003, Великий Новгород ул. Большая Санкт-Петербургская, 41.

Введение.

Глава 1. Расширение точечных систем.

1.1. Точечные и векторные системы.

1.2. Локальный и глобальный критерии постоянства системы Делоне при расширении.

Глава 2. Зонные системы Делоне.

2.1. Зонность системы Делоне как признак ее почти-правильности.

2.2. Связь многомерных зонных систем с одномерными.

Глава 3. Одномерные зонные системы.

3.1. Спектр расстояний.

3.2 Одномерные системы Делоне с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками -геометрическая интерпретация спектра расстояний.

3.3. Геометрические свойства производных.

3.4 Геометрия зонных систем.

В 1924 году российский геометр Б.Н.Делоне представил оригинальную конструкцию дискретных множеств (с фиксированным радиусом дискретности и обладающих конечным радиусом покрытия), а также метод ее исследования [1]. Такие множества стали называть системами Делоне [2], а метод исследования - триангуляцией Делоне [3]. Этим методом Делоне получил ряд важных результатов по геометрии решеток (полных совокупностей точек с целыми координатами относительно некоторого фиксированного репера): разработал классификацию решеток по комбинаторике и симметрии параллелоэдров Дирихле, получил алгоритм однозначного выбора репера в данной решетке и др. [4, 5].

Общие системы Делоне, которые представляют собой математическую модель расположения центров атомов в любом атомном образовании (плазме, газе, жидкости, аморфном теле, кристалле), нашли широкое приложение в вычислительной математике и физике при вычислении сложных многомерных функций, где иногда общая система Делоне более приемлема, как расчетная сетка, нежели решетка. Затем их стали использовать при разведке нефтяных месторождений для поиска оптимального расположения буровых скважин [4]. Но наиболее полного своего применения системы Делоне достигли в кристаллографии и кристаллографической геометрии.

Главная особенность кристаллических структур состоит в том, что они составлены из одинаковых частиц (отдельных атомов или конечных их совокупностей), которые одинаково окружены другими такими же частицами. Если все эти частицы заменить точками, каждая из которых равно окружена другими точками, получается, так называемая, правильная система Делоне. Из равенства окружения точек следует, что для двух произвольно взятых точек системы существует преобразование симметрии, переводящее эти точки друг в друга, а всю систему в себя. Полная совокупность таких преобразований для данной правильной системы Делоне образует группу. В России ее называют федоровской группой в честь отечественного геометра и кристаллографа Е.С. Федорова, получившего в 1890 году полный список из 230 таких групп. Одновременно с Федоровым эту работу проделал немецкий математик Шенфлис, и они несколько раз сверяли свои результаты, поправляя другу друга. Сегодня пользуются более простым алгебраическим выводом Цассенхауза [6] и его геометрической интерпретацией [7]. Характерной особенностью федоровских групп служит то, что все содержащиеся в них преобразования имеют оси симметрии только второго, третьего, четвертого или шестого порядков.

Последним самым крупным достижением в теории правильных систем Делоне является локальная теорема М.И. Штогрина о том, что всякая правильная система на евклидовой плоскости определяется локально, т.е. одинаковым окружением каждой точки системы другими ее точками в круге, радиус которого равен четырем радиусам минимального круга покрытия [8]. Еще ранее эта теорема была качественно (без указания строгих границ) обобщена на n-мерные пространства постоянной кривизны [9]. Как было показано Энгелом [10] на конкретном примере, в случае трехмерного пространства равного окружения в сфере радиуса 4R уже недостаточно. Предполагается, что граница эта равна 6R, но строгой границы пока не найдено.

Невзирая на то, что как общие, так и правильные системы Делоне уже достаточно полно и глубоко исследованы, на сегодняшний день не существует ни одной математической модели, которая бы выделяла промежуточный между ними класс точечных систем. Между тем, необходимость в выделении такого класса давно назрела - и у физиков, и у математиков.

В 1984 году был получен сплав с дальним (абсолютным) порядком, обладающим осями симметрии пятого порядка, запрещенными в кристаллах [И], т.е. открывалась возможность выращивать упорядоченные атомные структуры, обладающие любой симметрией. Подобные соединения получили название квазикристаллов. К этому времени уже было известно знаменитое покрытие Пенроуза [12] плоскости двумя типами ромбов с углами 72° и 108°, 144° и 36° соответственно, которое не является периодическим, но любой конечный кусок встречается в нем бесконечное число раз и обязательно появляется в круге достаточно большого радиуса с центром в любой точке плоскости. Де Брюин в 1981 году [13] пришел к выводу, что это покрытие может быть получено как проекция «лестницы» из двумерных граней пятимерной кубической кристаллической решетки на некоторую иррациональную плоскость. Оказалось, что плоские сечения открытого физиками материала являются покрытиями плоскости Пенроуза-де Брюина [14].

Полинг сразу же предложил две модели, объясняющие физический эксперимент по получению квазикристаллов, не противоречащие законам кристаллографии [11]. По первой модели квазикристаллы являются обычными закономерными сростками кристаллов, двойниками (весьма распространенное явление). Для второй модели Полинг ввел понятие аппроксимантов, т.е. кристаллов, которые, с точностью до ошибок эксперимента, обладают икосаэдрической симметрией. Подобного типа кристаллы образует, например, пирит.

Впоследствии физиками были обнаружены новые материалы с осями симметрии восьмого, десятого и двенадцатого порядков [15]-[18]. Такие соединения (Рис. 1) - будем в дальнейшем называть их почти-кристаллическими - благодаря своему специфическому строению, немедленно нашли свое применение в машино- и приборостроении, нефтяной промышленности, а также побудили математиков строить различные теории квазикристаллов.

• # • * щ Щ * • *

Ш ® IP

РФ ф » •

• * • •

• • •

• * • • • • ♦ % * * • • • • ♦ * •

I • • ш *

• * * • • • •

• • т * • *

Рис. 1

С.П. Новиков в 1986 году определил к-мерную квазикристаллографическую группу, как подгруппу всех движений пространства Rk, переводящую в себя некоторую квазирешетку (конечнопорожденную подгруппу в Rk, порождающую Rk как линейное пространство). В дальнейшем в работах самого Новикова и его учеников [19]-[21] достаточно подробно была исследована структура таких групп, в том числе получена классификация допустимых углов поворота в двумерном и трехмерном случаях [21].

Однако предлагаемый Новиковым подход не дает нам удовлетворительной модели квазикристаллических структур уже по той причине, что возникающие в связи с квазикристаллографическими группами Новикова точечные системы (квазирешетки) не обладают свойством дискретности - главной особенностью любой атомной структуры. Кроме того, до сих пор не найдена квазикристаллографическая группа Новикова, которая соответствовала бы системе вершин плоской мозаики Пенроуза. Полностью выпадают из рассмотрения и реальные кристаллы, идеальная структура которых зачастую нарушена внешними примесями, деформациями и пр.

Одновременно с исследованиями группы Новикова и независимо от них в работах Н. Мермина, Д. Рокшара и Д. Райта [22]-[24] возникло определение квазикристаллографических групп в терминах классов когомологий. С.А. Пиунихин доказал существование взаимнооднозначного соответствия между квазикристаллографическими группами Новикова с конечной точечной группой и группами Мермина-Рокшара-Райта [21].

Плоское покрытие Пенроуза, возникшее в связи с первым открытым квазикристаллом, достаточно подробно исследовано в работах Грюнбаума и Шепарда [25]. Интересные результаты по физическим свойствам кристаллов с точечными дефектами содержатся в работах Андрушевского Н.М. [26]-[28]. В 1989 году Данцер представил модель трехмерного аналога плоского покрытия Пенроуза [29].

Эти и другие математические модели почти-кристаллических структур, существующие в настоящее время, при всей глубине их разработки обладают и вполне очевидным недостатком. Предлагая тот или иной способ конструирования точечных систем, а тем более некоторых групп преобразований, с заданным некристаллографическим порядком (симметрией), их авторы не получают (да и не могут получить при таком конструктивном подходе) общую модель строения вещества, обладающего какой-либо (кристаллографической или другой) симметрией, не дают критерия «почти-правильности» системы точек. Критерия, который бы выделял среди общих систем Делоне «почти-правильные». Поэтому, в отличие от кристаллов, исчерпывающее описание строения которых задают правильные системы Делоне, почти-кристаллические структуры пока не имеют своего единого описания.

Таким образом, актуальность настоящего исследования определена, с одной стороны, самым широким применением в различных областях естествознания и промышленности кристаллических и почти-кристаллических структур, а, с другой стороны, отсутствием полного законченного описания всех таких структур с комплексной единой моделью.

Объектом настоящего исследования являются общие точечные системы и системы Делоне. Предмет исследования - зонные системы Делоне как модель почти-кристаллических структур.

Цель данного исследования — создание единой математической модели, описывающей кристаллические и почти-кристаллические структуры, как нового класса систем Делоне, и описание геометрических свойств систем этого класса. Для достижения этой цели, автор ставит перед собой следующие задачи:

- ввести операцию расширения общих точечных систем;

- установить глобальный и локальный критерии постоянства общих точечных систем и систем Делоне при их расширении;

- определить с помощью введенной операции новый класс систем Делоне, а именно, класс зонных систем;

- показать, что зонность системы Делоне есть признак ее почти-правильности;

- установить связь n-мерных зонных систем с одномерными;

- выявить геометрические свойства одномерных зонных систем с двумя различными возможными расстояниями между соседними точками и их связь со специальными числовыми последовательностями;

- установить критерий зонности для таких систем;

- показать, что одномерные зонные системы с двумя различными возможными расстояниями между соседними точками сохраняют свойство зонности при повторном расширении.

В качестве методов исследования автором применяются элементы теории групп, алгебраической теории чисел, дифференциального исчисления функции одной переменной. Кроме того, оригинальными авторскими методами, впервые опубликованными автором в [30], являются операция расширения точечных систем, и конструкция «трубы» как геометрического образа одномерной точечной системы с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками. Работа выполнена с привлечением большого количества иллюстративного материала, ко всем ключевым определениям автором подобраны соответствующие примеры.

Теоретическая значимость и новизна работы заключены в том, что в ней впервые вводится новый класс точечных систем, служащий промежуточным звеном между общими системами Делоне и правильными системами, а также предпринимаются шаги по исследованию геометрической структуры таких систем.

Достоверность результатов работы основана на строгости математических доказательств и на корректности проведения исследования с помощью математического моделирования. Кроме того, полученный в работе результат о зонности системы вершин плоской мозаики Пенроуза согласуется с результатами физических исследований структуры квазикристаллов.

Положения диссертации, выносимые на защиту: 1. Важным методом исследования точечных систем является операция их расширения. В частности, точечные системы, стабильные (сохраняющиеся) при этой операции, — это системы вида X=GixG2X.xGn, где Gk - произвольное расширение аддитивной группы Z, а стабильные системы Делоне — решетки T=Zn.

2. Выделяемые с помощью операции расширения из общего множества систем Делоне зонные системы — новый класс точечных систем, существенно более широкий, чем правильные системы, и являющийся единой моделью кристаллических и почти-кристаллических структур.

3. Многомерные зонные системы могут быть получены из одномерных как подмножества их декартова произведения.

4. Одномерные зонные системы с двумя возможными несоизмеримыми расстояниями а и Ъ между соседними точками являются зонными тогда и только тогда, когда последовательность {рк=—}> где тк есть

Пк количество вхождений расстояния а, а п^ - количество вхождений расстояния Ъ между k-соседками (точками х; и xi+k системы), сходится. В частности, зонными являются системы вершин плоского покрытия (мозаики) Пенроуза.

5. Одномерные зонные системы с двумя возможными несоизмеримыми расстояниями а и b между соседними точками сохраняют свойства зонности при повторном расширении.

Структура работы устроена следующим образом. Диссертация состоит из трех глав. В первой главе «Расширение точечных систем» автором вводится операция расширения, разбираются важные примеры точечных систем и их производных, формулируются и доказываются критерии (глобальный и локальный) постоянства точечных систем при их расширении. Вводится отношение эквивалентности на множестве точечных систем. Во второй главе «Зонные системы Делоне» автор дает определение зонных систем, показывает, что кристаллические и почти-кристаллические структуры моделируются зонными системами. Здесь же доказывается теорема о связи n-мерных зонных систем с одномерными. Третья глава диссертации «Одномерные зонные системы» является ключевой. В ней автором описывается оригинальный метод исследования одномерных точечных систем, вскрываются связи между такими системами и числовыми последовательностями, доказывается теорема о сохранении свойства зонности при повторном расширении в случае одномерных зонных систем с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками. В этой же главе излагается основной результат диссертации - критерий зонности одномерных систем с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками. Как важное следствие, устанавливается зонность системы вершин плоской мозаики Пенроуза.

Основные результаты диссертации докладывались автором на:

- объединенном научном семинаре члена-корреспондента РАН В.Г.Болтянского и профессора С.С. Рышкова в Математическом Институте им. В.А. Стеклова РАН (1993),

- научно-методическом семинаре кафедры алгебры и геометрии НовГУ (1996, 2004),

- научном семинаре члена-корреспондента РАН, профессора Ю.Г. Евтушенко в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН (2004),

- VI международной конференции «Кристаллы: рост, реальная структура, свойства, применение» (Александров, 2003),

- Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления" (Москва, Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2004),

- Всероссийской научно-методической конференции "Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе" (Великий Новгород, 2004); и содержатся в ряде опубликованных работ [30]-[36].

Автор благодарит своего научного руководителя, ведущего научного сотрудника Института кристаллографии РАН, доктора физико-математических наук, Р.В. Галиулина за введение в тему и помощь в постановке и разработке задачи, а также своего отца B.C. Коваленко содержательные беседы о кристаллографии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог всему, написанному выше, следует отметить следующее:

1. Автору удалось проанализировать существующий на данный момент модельный математический аппарат для исследования кристаллических и почти-кристаллических веществ и выявить существенный недостаток - отсутствие единой модели таких структур.

2. Для восполнения этого пробела автором была введена оригинальная операция расширения точечных систем.

3. Эта операция позволила автору выделить из классов общих точечных систем и систем Делоне подклассы стабильных относительно нее точечных систем, а именно систем вида X=GixG2X.xGn, где Gk — расширение аддитивной группы Z, а в классе систем Делоне - решеток. В частности, к стабильным относительно операции расширения точечным системам относятся квазирешетки - точечные системы, возникающие в работах других авторах при попытке построить математическую модель квазикристаллических структур.

4. Указанная операция расширения также позволяет расклассифицировать точечные системы по отношению эквивалентности - равенству производных.

5. В связи с операцией расширения автор вводит новый подкласс систем Делоне, а именно класс зонных систем. Показано, что этот класс, являясь существенно более широким, нежели класс правильных систем Делоне, и в то же время, будучи непосредственно связан с наличием в системе почти-кристаллического дальнего порядка, может служить единой моделью для кристаллических и почти-кристаллических структур.

6. Автором показано, что многомерные зонные системы могут быть сконструированы из одномерных с помощью их декартова произведения, а затем выбрасывания произвольного подмножества точек. Таким образом, вопрос о зонности многомерной системы Делоне может быть сведен к вопросу о зонности ее одномерных проекций.

7. Для исследования одномерных зонных систем и их спектра расстояний автором вводится оригинальная геометрическая конструкция «трубы».

8. Исследованы геометрические свойства такой «трубы» для общих и зонных одномерных систем Делоне с двумя возможными расстояниями между соседними точками. Показано, что зонность таких систем равносильна условиям ограниченности «трубы» по ширине и наличию прямой, целиком содержащейся в «трубе».

9. Выявлена связь между зонностью системы X с двумя возможными расстояниями между соседними точками и возникающими в спектре расстояний X особыми числовыми последовательностями, в частности доказано, что зонность X равносильна существованию предела таких последовательностей. Как следствие установлено, что одномерные проекции системы вершин плоского покрытия Пенроуза, а значит и сама плоская мозаика Пенроуза являются зонными системами.

10.Доказана теорема о сохранении свойства зонности при повторном расширении одномерной зонной системы X с двумя возможными расстояниями между соседними точками.

Таким образом, можно заключить, что цели и задачи, которые ставил перед собой автор настоящего исследования, были выполнены. Методы и результаты работы могут быть применены при дальнейших исследованиях систем Делоне в евклидовых, локально-евклидовых пространствах, а также в пространствах постоянной гауссовой кривизны. Полученная в работе единая модель кристаллических и почти-кристаллических структур может применяться в широком спектре фундаментальных и прикладных наук, занимающихся моделированием и исследованием различных точечных систем и физических веществ, например, в кристаллографии, геологоразведке, оптике, химии, электронике и электротехнике.

1. Delaunay B.N. Sur la sphere vide // Proc. Internat. Math. Congress. Toronto 1924. Univ. Toronto Press, 1928. P. 695-700.

2. Галиулин P.B. Системы Делоне // Кристаллография. 1980. Т. 25. № 5. С. 901-908.

3. Агиштейн М.Э., Мигдал А.А. Как увидеть невидимое. Эксперимент на дисплее // Первые шаги вычисл физ. Сер. Кибернетика. М. Наука, 1989. С. 141-170.

4. Делоне Б.Н. Геометрия положительных квадратичных форм // Успехи матем. наук. 1937. № 3. С. 16-62.

5. Делоне Б.Н., Долбилин Н.П., Рышков С.С., Штогрин М.И. Новое построение теории решетчатых покрытий n-мерного пространства равными шарами // Изв. АН СССР Сер. Матем. 1970. Т. 34. С. 298-307.

6. Zassenhaus Н. Uber einen algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen // Commentaria Math. Helvetici. 1948. V. 21. P. 117-141.

7. Галиулин P.B. Матрично-векторный способ вывода федоровских групп: Деп. ВИНИТИ, 1969.

8. Штогрин М.И. Правильные разбиения пространств постоянной кривизны и их приложения. — Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: МН РАН. 2000.

9. Делоне Б.Н., Долбилин Н.П., Штогрин М.И., Галиулин Р.В. Локальный критерий правильности системы точек // Докл АН СССР. 1976. Т. 227. № 1. С.19-21.

10. Engel P. Geometric crystallography Dordecht, D.Reidel Publish. Co. 1986. П.Гратиа Д. Квазикристаллы // Успехи физ. наук. 1988. Т. 156. № 2. С.347.364.

11. Penrose R. Pentaplexity // Eureka. 1978. V. 39. P. 16-22.13.de Bruijn N.G. Algebraic theory of Penrose non-periodic tilings // Nederl. Acad. Wetensch. Proc. 1981. № A84. P. 39-66.

12. Katz A., Duneau M., Quasiperiodic patterns and icosaedral symmetry // J. Phys. France 1986. V. 47. P. 181-196.

13. Chen H.D.X. and Kuo K.H. New Type of Two-Dimensional Quasicrystal with Twelvefold Rotational Symmetry // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1645-1648.

14. Elser V. An introduction to quasicrystal diffraction // Preprint AT&T Bell Laboratories. 1985.

15. Godreche C. The Sphinx. A limit-periodic tiling of the plane // J. Physics A. Math. Gen. 1989. V. 13. P. L1163-L1166.

16. Watanabe Y., Ito M., Soama T. Nonperiodic tessellation with eightfold rotational symmetry//Acta Cryst. 1987. V. 43. P. 133-134.

17. Пиунихин С.А. О квазикристаллографических группах в смысле Новикова // Матем. заметки. 1990. Т. 47. № 5. С. 81-87.

18. Levitov L.S. Local rules for Quasicrystals //Commun. Math. Phys. 1988. V. 119. P. 627-666.

19. JIe Ты Куок Тханг, Пиунихин С. А., Садов В. А. Геометрия квазикристаллов // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48. Вып. 1. С. 41-102.

20. Rokhsar D.S., Mermin N.D. and Wright D.C. Rudimentary quasicrystallography: the icosahedral and decagonal reciprocal lattices // Phys. Rev. 1987. V. 35. P. 5487-5495.

21. Rokhsar D.S., Wright D.C. and Mermin N.D. Scale equivalence of quasicrystallographic space groups // Phys. Rev. 1988. V. 37. P. 8145-8149.

22. Mermin N.D., Rabson D.A., Rokhsar D.S., and Wright D.C. The space groups of axial crystals and quasicrystals. Preprint. August. 1990.

23. Grunbaum В., Shepard G.C. Tilings and Patterns. W.H. Freeman and Company, 1986.

24. Andrushevsky N.M., Malinovsky T.I., Shchedrin B.M. The Ambiquity Problem of Vector Sets Interpretation /Acta Cryst. A, V. 44, 1988.

25. Андрушевский Н.М. и др. Диффузное рассеяние от кристаллов с точечными дефектами /Кристаллография. 2002. т. 47. № 3.

26. Andrushevskiy N.M., Shchedrin В.М., Simonov V.I. Algorithms for Solving Atomic Structures of Nanodimensional Clusters in Single Crystals Based on X-Ray and Neutron Diffuse Scattering Data. /Crystalography Reports. 2004. V. 41. №5.

27. Danzer L. Three-dimensional analog of the planar Penrose tilings and quasicrystals // Discrete mathematics North-Holland 1989. V. 76. P. 1-7.

28. Коваленко Д.В. Зонные системы Делоне и вопросы кристаллографии. // Труды 12-й международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях". Великий Новгород, 1999. С. 102.

29. Коваленко Д.В. Математические модели почти-кристаллических соединений: новый взгляд. // Известия Международной академии наук высшей школы. 2003. № 4 (26). С. 195-209.

30. Коваленко Д.В. Зонные системы Делоне как математическая модель почти-кристаллических структур // Вестник НовГУ. 2004. № 26. С. 117123.

31. Коваленко Д.В. Локальный критерий постоянства систем Делоне. // Материалы Всероссийской научно-методической конференции "Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе". Великий Новгород, 2004. С. 43-45.

32. Коваленко Д.В. Точечные системы и кристаллографический анализ. // Труды VI Международной конференции "Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение". Александров: ВНИИСИМС. 2004. С. 475-481.

33. Зб.Коваленко Д.В. Зонные системы Делоне. // Труды VI Международной конференции "Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение". Александров: ВНИИСИМС. 2004. С. 482-502.