автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры неупорядоченных систем

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК, СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

МЕТОД ВОРОНОГО - ДЕЛОНЕ В ИССЛЕДОВАНИИ СТРУКТУРЫ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

РГ6 од

- 8 ОКТ 1996

на правах рукописи

МЕДВЕДЕВ Николай Николаевич

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1996

Работа выполнена в Институте химической кинетики и горения СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, проф. Б.Р. Гельчинский

доктор физико-математических наук, проф. А.Д. Медных

доктор физико-математических наук, проф. В.А. Толкачев

Ведущая организация: Институт физической химии РАН

Защита диссертации состоится 22 октября 1996 г. в "_ часов на заседании диссертационного совета Д.002.10.02 при Вычислительном центре СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск 90, пр. Академика Лаврентьева, 6, ВЦ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ СО РАН

Автореферат разослан

1996 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Г.И.Забиняко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема описания структуры неуПорядоченных упаковок стоит во многих областях науки. Для физики жидкостей и аморфного состояния представляет интерес строение ближайшего окружения атомов и мотивы пространственного распределения микроструктурных неоднородностей. Разрабатываются подходы для описания общих закономерностей заполнения пространства атомами без трансляционной симметрии. Формируется наука "аморфография". В физической химии и теории фильтрации важную роль играет структура свободного пространства внутри образца. Необходимы количественные подходы для исследования доступного объема для задач диффузии примесей и просачивания. Современная техника и методы компьютерного моделирования позволяют получать достаточно большие модели некристаллических упаковок, содержащие координаты всех составляющих ее частиц. Однако извлечение содержательной структурной информации из множества значений координат частиц является непростой задачей.

Прогресс на пути решения всех этих проблем становится возможным на основе общих геометрических результатов Вороного и Делоне о разбиении пространства системы дискретных точек.

Цель работы. Целью работы является разработка последовательного геометрического подхода для описания структуры неупорядоченных упаковок сферических частиц и применение его к исследованию строения жидкостей, стёкол, а также к анализу порового пространства внутри зернистых материалов.

Научная новизна. Разбиение Вороного - Делоне использовано для изучения структурных мотивов в простых жидкостях и стеклах (исследование структуры на "средних масштабах").

Сетка Вороного системы шаров применена в качестве "навигационной карты" межшарового пространства.

Сделано обобщение геометрических результатов Вороного и Делоне на системы шаров разного размера.

На молекулярно-динамических моделях простых стекол обнаружены структурные неоднородности на масштабах в несколько межатомных расстояний.'

Показаны геометрические аспекты фазового перехода жидкость — стекло, уточнено представление о "перколяционном" характере этого перехода.

• Создан метод эффективного расчёта химического потенциала, использующий количественное описание структуры межатомного пространства при компьютерном моделировании жидкостей.

Построены компьютерные модели трёхмерных упаковок Аполлония и изучены их структурные свойства.

Развиты подходы для анализа строения доступного, межшарового пространства и нахождения критических радиусов зондов (при прохождении сквозь образец) для компьютерных моделей упаковок сферических частиц.

Практическая ценность работы. На базе строгих теоретических предпосылок реализован общий подход для решения различных научных задач, связанных с исследованием структуры и порового пространства некристаллических систем. Сделано математическое обобщение метода Вороного - Делоне на полидисперсные системы, что существенно расширило область исследуемых объектов.

Разработаны алгоритмы и созданы пакеты программ для построения разбиения Вороного - Делоне, применимые для различных приложений. Создан комплексный пакет программ для структурных исследований, включающий программы генерации компьютерных моделей жидкостей, стекол и упаковок шаров, программы исследования структуры, перко-ляционного анализа кластеров на неупорядоченных сетках, а также программы для анализа межшарового пространства.

Создан метод эффективного расчёта химического потенциала при компьютерном моделировании простых и сложных жидкостей при реальных плотностях. Получено распределение частиц по размерам, реализующее предельно плотную трехмерную упаковку полидисперсных частиц.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях "Строение и свойства металлических и шлако-

вых расплавов" (Свердловск, 1983, 1986; Челябинск, 1990; Екатеринбург, 1994); Всесоюзных симпозиумах и рабочих совещаниях "Молекулярные взаимодействия и конформации молекул" (Пущино, 1984, 1985, 1986; Коломна, 1987; Новосибирск, 1990; Черноголовка, 1992); на конференциях: "Совершенствование систем водоснабжения НХЗ и НПЗ" (Уфа, 1993), "Структурная наследственность в процессах сверхбыстрой закалки расплавов" (Ижевск, 1995); на научных семинарах и рабочих совещаниях ИТФ (Киев), ИОНХ, ИФХ, МИСС (Москва), кафедре геометрии НГУ, ИМ, ИК (Новосибирск); на международных конференциях " Simposium on the Structure of Liquids and Solutions" (Hungary, Veszprem, 1984), "VII Annual Europen Molecular Liquid Group Conference" (USSR, Novosibirsk, 1989), "6-th Research Conference on Exploration-Production. Physical Chemistry of Colloids and Interfaces in Oil Production" (France, Saint-Raphael, 1991), "2nd Liquid Matter Conference of the European Physical Society" (Italy, Firenze, 1993), "Molecular Liquids Conference, Structure and Order in Liquids (Belgium, Blankenberg, 1995), "Modern Trends in Chemical Kinetics and Catalysis" (Russia, Novosibirsk, 1995).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 47 работ, в том числе одно учебное пособие.

Структура и объём диссертации. Диссертации изложена на 322 страницах, состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературы (273 наименования).'

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются научные задачи, рассматриваемые в диссертации, и подходы для их решения. Прежде всего эта проблема описания структуры некристаллических веществ. В отличие от кристаллов, для описания строения которых существует наука кристаллография, аморфные вещества требуют совершенно иных подходов. Здесь мы не можем использовать законы симметрии, на которых базируется вся кристаллография. Требуется более общий математический базис. В этом направлении сейчас ведутся различные исследования, формируется наука аморфография. Большое значение здесь приобретают геометрические результаты, полученные Г.Ф. Вороным (1868 - 1908) и Б.И.Делоне

(1890 - 1980) . для разбиения пространства системы дискретных точек на многогранники. Это позволяет, с одной стороны, работать с геометрическими образами, такими как многогранник Вороного и симплекс Делоне, что оказывается удобней для понимания структуры, чем иметь дело с исходным множеством координат центров. С другой стороны, с помощью единого разбиения Вороного - Делоне удобно исследовать структурные мотивы в неупорядоченных системах. Таким образом, мы имеем геометрическое построение, восполняющее, в некотором смысле, отсутствующую здесь кристаллическую решетку.

Ещё одним важным достоинством разбиения Вороного - Делоне оказывается то, что сетка Вороного является "навигационной картой" межшарового пространства. Узлы сетки Вороного определяют самые " глубокие" ( в смысле удаленности от поверхностей шаров) места в упаковке, а связи сетки Вороного являются "фарватерами", указывающими путь через узкие горла между соседними глубокими местами. Это свойство позволяет подойти к другой научной проблеме — исследованию порово-го пространства внутри упаковок сферических частиц. Количественная структурная информация о межшаровом пространстве важна для многих научных и практических, задач, некоторые из них рассмотрены и решены в диссертации. Одна из них — это проблема эффективного расчета химпотенциала, важнейшей термодинамической характеристики для физической химии. Другая задача — создание моделей очень плотных упаковок полидисперсных шариков. Решение ее дает теоретические предсказания для подбора дисперсного состава частиц в порошковых технологиях. Наконец, проблемы просачивания газов и жидкостей сквозь зернистые сита, а также методические проблемы ртутной порометрии могут быть количественно исследованы на компьютерных моделях соответствующих систем.

В первой главе изложены математические основы метода Вороного - Делоне. Вкратце излагаются исторические предпосылки метода. Г.Ф. Вороной впервые подробно исследовал математические свойства многогранников Вороного и симплексов Делоне, однако работал он только с решеточными системами. Заслуга Б.И. Делоне заключается в том, что он обобщил результаты Вороного на произвольные неупорядоченные системы.

Суть основополагающих результатов Вороного - Делоне достаточно проста. Объектом исследования является система точек (центров) {Л}. Оговаривается только, что эти центры не должны лежать бесконечно близко друг к другу и, с другой стороны, в системе не должно быть неограничено больших пустот. В остальном система может быть какой угодно. Используемые геометрические построения просты и понятны. Поверхность Вороного — это геометрическое место точек равноудаленных от двух заданных центров. Она делит все пространство на две части, точки каждой из них лежат ближе к своему центру, чем к другому. Для точечных центров поверхность Вороного является плоскостью. Канал Вороного — это геометрическое место точек, равноудаленных от трех заданных центров. Канал Вороного здесь является прямой линией. Основным геометрическим построением является многогранник Вороного, который определяется для любого центра из {Л} и представляет собой область пространства, все точки которой ближе к данному центру системы, чем к любым другим центрам этой системы. Очевидно, что такая область всегда существует и представляет из себя выпуклый многогранник, см. рис. 1. Другим фундаментальным понятием является симплекс Делоне. Симплекс — это простейшая фигура в пространстве данной размерности. В нашем случае он определяется четырьмя центрами системы {Л}, описанная сфера вокруг которых пуста, т. е. не содержит других центров системы {Л}.

Многогранники Вороного всех центров системы {Л} образуют мозаику, которая реализует разбиение пространства, т. е. покрывает пространство без щелей и наложений и называется разбиением Вороного. Основополагающий геометрический результат Вороного и Делоне выражается следующей теоремой, сформулированной и доказанной Б.Н. Делоне для произвольной системы дискретных точек.

Теорема о разбиении Вороного. Многогранники Вороного системы {Л} не входят друг в друга и заполняют пространство , будучи смежными по целым граням. Разбиение пространства на многогранники Вороного однозначно определяется системой {Л} и, наоборот, однозначно её определяет.

Всё сказанное для многогранников Вороного полностью справедливо для симплексов Делоне. Совокупность всех симплексов Делоне систе-

Рис. 1: Построение многогранника Вороного для центра г' двумерной системы. Плоскости Вороного центра 1 с соседями 1 — 5 образуют грани многогранника Вороного. Центр 7 не образует грани, его плоскость Вороного отсечена от центра I более близкими плоскостями. Плоскость Вороного соседа 6 проходит через вершину многогранника Вороного, он также не образует грани у данного многогранника

мы {А} даёт разбиение Делоне. Оба разбиения системы {Л} можно рассматривать как различные воплощения одного и того же разбиения Вороного - Делоне. На рис. 2 приведена их двумерная иллюстрация.

Совокупность всех вершин и ребер многогранников Вороного образует сетку Вороного. Эта сетка в трёхмерном случае является четырех-связанной для всех невырожденных систем — в каждый узел (вершину) сходится ровно по четыре связи (ребра). Совокупность всех вершин и ребер симплексов Делоне определяет сетку Делоне. Каждый узел этой сетки есть центр системы {Л}, а связь связывает центры, являющиеся геометрическими соседями (их многогранники Вороного имеют общую грань).

Сетка Вороного системы {А} представляет из себя навигационную карту пространства внутри системы. Узлы ее являются наиболее "глубокими" точками, т.е. наиболее удаленными от соседних центров системы. Каждая связь является "фарватером", т.е. указывает путь,

Рис. 2: Разбиение Вороного - Делоне для двумерной системы. Кружками обозначены центры системы, сплошными линиями — мозаика Вороного, пунктирными — мозаика Делоне

вдоль которого можно переместить непроницаемую пробную сферу максимального радиуса с одного узла сетки на соседний. Связь характеризуется радиусом ее "узкого горла" — радиусом прохода связи.

При переходе от системы точек {А} к системе непроницаемых шаров возникает проблема с поверхностями шаров. Для учета поверхности следует, строго говоря, ввести новое понятие — 5-область Вороного, которая есть область пространства, все точки которой ближе к поверхности данного шара, чем к поверхностям других шаров системы. Однако, если все шары имеют одинаковый радиус, то 5-области Вороного тождественно совпадают с многогранниками Вороного, построенными для центров шаров. Поэтому для таких систем достаточно иметь дело с обычной сеткой Вороного.

Задачу исследования порового пространства между шарами можно представить как перколяционную задачу связей на сетке Вороного. Удобно ввести понятие элементарной (симплпцпальной) поры, которая есть область внутри симплекса Делоне, незанятая шарами. Любую боль-

р

О

2

Рис. 3: Геометрическое место точек, равноудаленных от поверхностей двух шаров, являетсх гиперболоидом вращения. Разность poi — ро^ всегда равняется постоянной величине Ri — Я2, так как = ps2

циальных пор. Такие кластеры удобно исследовать на сетке Вороного.

Для системы разных шаров, однако, разбиение Вороного построенное для системы центров шаров уже не совпадает с ^-разбиением этих шаров. Для исследования порового пространства таких систем следует использовать именно Я-разбиение Вороного.

Во второй главе исследуются математические свойства 5-разбие-ния Вороного для системы полидисперсных шаров. Вводятся некоторые новые определения, доказываются необходимые утверждения. Объектом исследования здесь является ансамбль неперекрывающихся шаров {.В}. Он может быть весьма произвольным. Предполагается только, что радиусы шаров могут различаться в конечное число раз и их центры представляют систему {А}.

Исходные геометрические построения здесь уже отличаются от таковых для точечных центров. Так геометрическое место точек, равноудаленных от поверхностей двух шаров — Б-поверхность Вороного — является гиперболоидом вращения (гиперболоидом Вороного), см. рис. 3. Геометрическое место точек, равноудаленных от поверхностей трех заданных шаров — Б-канал Вороного — уже не является

шую пору внутри системы можно представить как кластер из симпли-

прямой линией. При этом он может быть замкнутым или незамкнутым (уходить концами в бесконечность). Смысл 5-канала Вороного в том, что по нему движется центр пустой сферы, касающейся всех трех шаров сразу. Минимальный радиус такой пустой сферы реализуется в точке пересечения 5-канала Вороного с центральной плоскостью данной тройки, т. е. плоскостью, в которой лежат центры наших шаров. В этом месте реализуется "узкое горло" между данной тройкой шаров. Б-область Вороного строится по тому же принципу, что и многогранник Вороного. Для данного шара системы {В} надо построить ¿'-поверхности Вороного этого шара со всеми другими шарами системы. Каждая ¿'-поверхность Вороного ограничивает полупространство, точки которого ближе к поверхности данного шара, чем к поверхности другого. Пересечение всех этих полупространств высекает вокруг нашего шара искомую область. Гранями ¿-областей Вороного являются куски гиперболоидов Вороного. Несмотря на то, что 5-область Вороного в общем случае невыпуклая фигура, она обладает полезными свойствами выпуклых многогранников: а) целиком лежит по одну сторону от поверхности любой грани, б) изоморфна сфере. Это позволяет, в частности, исследовать их топологию с помощью диаграмм Шлегеля. Интересным новым моментом для ¿-областей является то, что при особых конфигурациях шаров они могут иметь топологию, невозможную для многогранников. Могут получится двугранники (с нольугольными гранями) и трехгранники, грани которых являются двухугольными. Однако какими бы не являлись ¿-области Вороного, принципиальным результатом является то, что они реализуют разбиение пространства. В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема о ¿-разбиении Вороного. Б-области Вороного системы {В} не входят друг в друга и заполняют пространство, будучи смежными по целым граням. Разбиение пространства на Б-области Вороного однозначно определяется системой {5} и, наоборот, однозначно её определяет.

Из теоремы следует, что любая система {В} имеет ¿-сетку Вороного. Однако из-за возможного присутствия двух- и трехгранников топология ¿-сетки Вороного может отличаться от топологии обычной сетки Вороного. В общем случае ¿-сетка Вороного может быть несвязанной.

Рис. 4: Двумерная иллюстрация Б-сеток Вороного. Пространство разбито на Б-области Вороного. Все точки внутри каждой области ближе к поверхности своего шара, чем к поверхностям других шаров системы. Слева — система одинаковых шаров. Здесь 5-сетка Вороного тождественно совпадает с обычной сеткой Вороного построенной для центров шаров. Справа — система шаров разных радиусов.

Это возможно, когда маленькие шары расположены в узкой щели между большими шарами. Такие системы мы называем несимплексируемыми. Однако для большинства физических систем 5-сетки Вороного односвя-занные (симплексируемые), более того, они могут быть топологически подобными обычной сетке Вороного (в этом случае они называются регулярными), см. рис. 4.

Для количественного анализа межшарового пространства полидисперсных систем важно то, что 5-сетка Вороного системы является навигационной картой межшарового пространства. Другими словами можно сказать, что для перемещения пробной сферы максимально возможного размера внутри системы следует двигаться вдоль связей 5-сетки Вороного. При этом, если зонд заданного радиуса невозможно провести из

одного места в другое по связям 5-сетки Вороного, то не существует никакой другой траектории внутри системы {В}, по которой можно было бы передвинуть данный зонд между указанными местами.

Резюмируя главы 1 и 2 диссертации, можно сказать, что в них изложены математические основы метода и проведено его развитие в плане расширения области научных приложений.

В третьей главе исследуется структура жидкостей, стекол и некристаллических упаковок шаров. В начале рассказывается об основных этапах развития представлений о структуре некристаллического состояния, дается краткий обзор первых работ с использованием построений Вороного и Делоне. Осознание физиками понятия "структура жидкости" как предмета научного исследования потребовало немало времени и научных дискуссий. Структура жидкости не есть какая-либо функция распределения, извлекаемая из дифракционного эксперимента. Это более содержательная категория. Подобно тому, как кристаллографы, исследуя структуру кристалла, ищут характерные для него структурные элементы и затем определяют мотивы их расположения в пространстве, исследователи некристаллической фазы также пытаются выделить характерные структурные элементы и найти закономерности их взаимного расположения. Развитие компьютерного эксперимента и вычислительной техники дало возможность поставить эти вопросы для количественного исследования. Модели некристаллических систем представляют сравнительно большие массивы значений координат всех атомов. Обрабатывать такую информацию, очевидно, невозможно без компьютера.

Традиционным направлением исследования структуры некристаллических систем является изучение "ближнего порядка". Для этого оказываются удобными многогранники Вороного. По своему определению многогранник Вороного является геометрическим образом ближайшего окружения атома. В диссертации достаточно подробно изучены метрические и топологические характеристики многогранников Вороного различных жидкостей и моделей аморфной фазы. Из метрических характеристик, кроме величины объема V, площади поверхности 5, представляет интерес коэффициент сферичности к^ = Зб7гУ2/53, характеризующий "равномерность" окружения атома соседями. Информативно также радиальное распределение геометрических соседей (д-

распределение). Особенность некристаллических систем в том, что многогранники Вороного для них имеют большое топологическое разнообразие. На рис. 5 приведены распределения многогранников Вороного по числу граней граней и граней по числу углов для разных систем. Мы видим, что уже простейшие топологические характеристики четко различают разные типы неупорядоченных систем. Однако многогранники Вороного позволяют исследовать более тонкие структурные особенности, чем, например, между жидкостью и случайными точками. В диссертации исследованы структурные отличия между разными термодинамическими состояниями одного и того же вещества, в частности, между жидким и застеклованным состоянием. С этой целью использованы более чувствительные характеристики — топологические индексы, V дексы соседств и диаграммы Шлегеля (изображение многогранника в в. це плоского графа), см. рис. 6.

Другим важным построением для изучения локального взаимного расположения атомов является симплекс Делоне. Ценность его в том, что он определяет простейшую (симплициальную) конфигурацию атомов. В трехмерном пространстве — это четверка "взаимоближайших" атомов. Симплексы Делоне, однако, имеют одинаковую топологию: все они тетраэдры. Поэтому, в отличие от многогранников Вороного, их можно различать между собой только метрически, т. е. размером и формой. В диссертации исследованы симплексы Делоне различных плотных систем сферически симметричных частиц: компьютерные модели жидкого и застеклованного состояния леннард-джонсовских и металлических систем, упаковки твердых и мягких шаров. Для сферических атомов наиболее энергетически выгодной является укладка четырех атомов в вершинах правильного тетраэдра. Для выявления подобных конфигураций была предложена простая безразмерная мера формы симплекса Т (тетраэдричность):

><}

где ¿у есть длины ребер данного симплекса, а ¿о — их средняя длина. Таким образом, малые значения меры Т означают, что данный симплекс близок к правильному тетраэдру.

Для однозначного выявления симплексов, близких по форме к пра-

—Г"1 ц а) - Ч г г 1-1

4 5 « 10 12 5 7 9 11 13 / 14 15 ъ 1С 1« 20 22 24 2« 17 19 21 23 23 Г 6) - 1 3 Г 4 5 £ 1 7 9 11 13 15 < 10 12 14 ПЗ

4 < < 10 12 14 К 11.20 22 24 1в . 5 7 9 11 13 15 17 1» 21 23 25 Г 3 4 _г —1—1—1—1—Г-1—П -Г- Г- I ■ I 1 5- 7 9 11 13 15 С 8 10 12 14 Ш

4 С I 10 12 14 1С 11 20 22 24 2« 5 7 » 11 13 19 17 1» 21 23 23 Г г) - 1—1—г-т—1—I—1 I I—1 I1 1 1 ,— 3 5 7 9 11 13 15 4 С « 10 12 14 Ш Л.

« I 10 12 14 1« II 20 22 24 26 3 5 7» II 13 15

5 7 9 II 13 15 17 1» 21 23 25 Г 4 4« 10 12 14 Ш

Рис. 5: Распределение многогранников Вороного по числу граней (слева) и граней по числу углов (справа): а) кристалл ГЦК при температуре вблизи точки плавления; б) леннард-джонсовская жидкость при той же температуре; в) нерегулярная тетраэдри-ческая сетка; г) система случайных точек

логический индекс 0282. Они различаются взаимным расположением 4- и 6-угольных граней

вильному квартоктаэдру (четверть правильного октаэдра) использовалась своя мера (октаэдричность):

0 = £ (Ь, - ьу/ш20 + £(£;- Ьт/^2)2/Ы1.

Она полностью аналогична мере Т, однако учтено, что одно ребро идеального квартоктаэдра в \/2 раз больше остальных. На рис. 7 приведены гистограммы распределений симплексов Делоне систем сферически симметричных атомов в различных термодинамических состояниях: нагретый кристалл, жидкость и аморфная фаза. Обратим внимание, что в аморфной фазе, как и в кристалле присутствует большая доля симплексов, форма которых близка к совершенной — правильному тетраэдру (рис. 7 в, слева) или правильному квартоктаэдру ((рис. 7 в, справа). На это указывают четкие пики при малых значениях меры.

Наш геометрический подход дает нам сетки Вороного и Делоне. Наличие этих сеток существенно облегчает описание пространственных корреляций атомов в некристаллических системах. С их помощью исследование структурных мотивов сводится к изучению кластеров из "окрашенных" узлов или связей. Другими словами, эти сетки служат канвой, на которой мы можем увидеть "узоры", изображающие особенности взаимного расположения атомов в пространстве. Такое возможно, поскольку узлы и свячи сеток Вороного и Делоне имеют вполне определенный структурный смысл и однозначно связаны со своими структурными еди-

Рис. 7: Распределения симплексов Делоне по значениям меры Т (слева) и О (справа) для разных систем: а) нагретый кристалл ГЦК; б) жидкость и в) аморфная фаза сферически симметричных атомов. Пунктирными линиями обозначены "граничные" значения Ть = 0,018, Оь = 0,030

ницами. Так каждый узел сетки Вороного непосредственно связан со своим симплексом Делоне. Поэтому на ней можно изучать пространственное расположение симплициальных конфигураций атомов. Используя, например, меру Т, можно изучать кластеры из симплексов, близких по форме к правильному тетраэдру. Для этого достаточно выделить (окрасить) только те узлы на сетке Вороного, которые соответствуют симплексам с наименьшими значениями меры Т. На рис. 8 показаны скелеты кластеров на сетке Вороного леннард-джонсовской жидкости, изображающие расположение симплексов с высокой степенью тетраэдрич-ности. Видны только пятичленные кольца. Отметим, что такие структурные фрагменты несвойственны никаким кристаллическим системам. Мера О, аналогично, позволяет выделить кластеры из хороших кварт-

Рис. 8: Изображение мотивов взаимного расположения хороших тетраэдрических конфигураций атомов на сетке Вороного в леннард-джонсовской жидкости (500 атомов в модельном кубе с периодическими граничными условиями). Выбраны узлы сетки, соответствующие симплексам, имеющим значение меры Т < 0.01. К ним относится 20% всех симплексов, однако изображены только скелеты получившихся кластеров. Видны только пятичленные кольца. Каждое такое кольцо означает укладку пяти смежных по граням симплексов Делоне. ' " .

октаэдров, мотивы расположения которых совершенно иные. Используя комбинированную меру Я (совершенность) .5 = тт(Т,0), можно увидеть области внутри образца, где атомы располагаются в виде "совершенных" конфигураций. Величина 5 симплекса принимает его значение меры Т или О, в зависимости от того, что меньше для данного симплекса. Анализ застсклованного (аморфного) состояния систем сферических атомов показывает наличие большой доли совершенных конфигураций. Однако, в отличие от плотного кристалла, который состоит из тех же структурных элементов, в аморфной фазе совершенные конфигурации уложены без трансляционной симметрии. Геометрически это возможно, но только в масштабах 3- 5 атомных размерах. Вне этих областей

Рис. 9: Области совершенной и несовершенной структуры в модели аморфного аргона (500 атомов с периодическим граничными условиями) на сетке Делоне. Изображено 33% атомов с самыми совершенными окружениями (а); столько же атомов в той же конфигурации модели имеющих самые несовершенные окружения (б) .

расположение атомов уже не может оставаться правильным, образуется область "несовершенной" структуры. В результате простые стекла имеют неоднородную структуру. Области совершенной и .несовершенной структуры пронизывают весь образец, " прослаивая" друг друга. Именно такой геометрической природой неоднородностей удается объяснить многие наблюдаемые особенности аморфной фазы, в частности, универсальное превышение плотности колебательных состояний по сравнению с дебаевской в стеклах на низких частотах. Особенно наглядно такие структурные неоднородности видны на сетке Делоне, см. рис. 9. Узлами сетки Делоне являются сами атомы системы. Поэтому на ней удобно изучать мотивы пространственного распределения по объему образца различных физических характеристик, непосредственно относящихся к атомам: потенциальную и кинетическую энергию, свободный объем, квадрат смещения и т. п.

Используя молекулярно-динамические модели простых (леннард-джонсовских) и сравнительно сложных (кремний) жидкостей и стекол,

в диссертации изучены спектры плотности колебательных состояний. Показано, что низкочастотные моды локализуются преимущественно на областях несовершенной структуры, что явилось прямым указанием на причину, обуславливающую универсальное превышение плотности колебательных состояний над дебаевской при низких частотах, наблюдаемое в физических экспериментах в стеклах.

В диссертации подробно исследуется также проблема структурных перестроек при стекловании. Этот вопрос является непростым и касается важной проблемы структурной релаксации аморфной фазы. Рассматривая " жидкоподобные" атомы (свободный объем которых больше некоторого критического), мы изучили агрегаты, образуемые ими в разных термодинамических состояниях конденсированной фазы. Количественный анализ показал, что перколяционные характеристики кластеров из таких атомов одинаковы как для текучей жидкости, так и для твердого состояния. Это означает, что перколяция по свободным объемам не имеет прямого отношения к текучести. Однако при стекловании все же происходят "критические" изменения в структуре, но другого рода. Показано, что в простой жидкости можно усмотреть перколирующий кластер из "рыхлых" симплициальных конфигураций (соответствующих симплексам Делоне с большими радиусами описанных сфер). В стекле такого кластера нет, но зато есть перколирующий кластер из " жестких" симплициальных конфигураций (представляющих из себя хорошие тетраэдрические конфигурации). Такой кластер может играть роль мгновенной арматуры, придающей жесткость образцу. В жидкой фазе подобная арматура, пронизывающая образец, отсутствует.

При переохлаждении жидкости не происходит качественных структурных перестроек. На примере молекулярно-динамических моделей жидкого и переохлажденного аргона исследована динамика перестройки ближайшего окружения атомов и связь скорости этой перестройки со средним коэффициентом самодиффузии. Показано, что несмотря на высокую подвижность жидкости, некоторые атомы очень долго сохраняют неизменными большинство атомов в своем ближайшем окружении. В широком интервале температур и значений коэффициента самодиффузии жидкости показан универсальный характер динамики изменения ближайшего окружения в жидкости.

В качестве характерного представителя непростых жидкостей в диссертации подробно исследованы молекулярно-динамические модели жидкой воды при разных плотностях и температурах. Показано, что при понижении плотности от 1.0 до 0.8 г/см3 происходит улучшение те-траэдрической координации молекул воды. Существенным методологическим моментом в этом исследовании было то, что при анализе струк- • туры воды мы используем строгий геометрический подход, не апеллируя изначально к сетке водородных связей, определение которых всегда имеет произвол.

Итак, в третьей главе изложены результаты подробных исследований структуры компьютерных моделей различных некристаллических систем. Помимо исследования локального порядка изучено распределение структурных особенностей по пространству — "структура на средних масштабах". С геометрических позиций рассмотрен процесс стеклования и универсальные динамические проявления в стеклах.

В четвертой гладе метод Вороного - Делоне применяется для анализа межатомного пространства в жидкостях и стеклах, а также для изучения пор внутри упаковок шаров. Полученные результаты весьма разнообразны и показывают широкие возможности использования строгого геометрического подхода.

Интересное приложение метода посвящено решению чисто термодинамической проблемы — вычислению химического потенциала при компьютерном моделировании жидкостей. В теории жидкостей существует простая формула, предложенная Видомом для вычисления химпотенци-ала

Мех = ~кТ 1п(е~&). Здесь 11 есть энергия взаимодействия пробной частицы, помещаемой в равновесную конфигурацию системы из N частиц, а усреднение больц-мановского фактора производится по всему объему конфигурации. При практическом использовании этой формулы необходимо осуществить большое число "бросаний" пробной частицы в модельный бокс. Для относительно плотных систем эта работа оказывается весьма трудоемкой. Дело в том, что вклад в /-¿ех дают только те случаи, когда пробная частица попадает внутрь области, где нет сильного перекрывания с соседями. Однако найти такое место непросто. Опыт расчетов говорит,

что при случайном бросании пробной частицы таких удачных событий оказывается менее 1%. Другое дело, если мы будем предварительно знать местоположение всех областей, доступных для пробной частицы. Эта идея легко реализуется для одноатомных жидкостей. Для исследуемой системы атомов строится разбиение Делоне. Зная радиус описанной сферы каждого симплекса Делоне, а также ван-дер-ваальсовский радиус атомов и радиус пробной частицы, легко сразу указать симплексы, недоступные для пробной частицы. Оставшиеся (доступные) симплексы, которых при реальных плотностях жидкостей оказывается незначительное меньшинство, используются для усреднения больцмановского фактора. Как показали расчеты, эффективность вычисления химпотен-циала при таком подходе возрастает в десятки раз не смотря на необходимость рассчитывать симплексы Делоне. При этом высокая плотность системы уже не ограничивает возможность применения метода Видома. В диссертации рассчитан химпотенциал леннард-джонсоновских систем при плотностях 0.2 < р* < 0.9 вдоль изотермы Т* — 1.2 и проведено сравнение с другими методами.

Сделанное обобщение метода Вороного - Делоне на системы шаров разного размера позволило применить его также для ускорения расчета химпотенциала в полиатомных системах. Здесь подход с использованием симплексов Делоне в общем случае не работает. Однако разработан алгоритм, позволяющий определять доступный для пробной частицы объем используя непосредственно навигационную карту межатомного пространства.

Возможность эффективного выявления доступного пространства внутри произвольной системы сферических частиц полезно не только для расчета химпотенциала. Это нужно, в частности, для изучения диффузии примесей и задач порометрии. На рис. 10 для иллюстрации изображен объем, доступный для двух разных пробных частиц {В^ = 1,5 А и Щ = 0.75 А) внутри конфигурации застеклованного полипропилена, моделируемого в методе Монте Карло цепными молекулами составлен-йыми из трех типов связанных шаров. Для большей пробной частицы доступен ограниченный объем. Для меньшей —г доступный объем пронизывает модельный бокс, позволяя примеси такого размера проходить сквозь образец.

Рис. 10: Точками внутри модельного бокса выделен объём, доступный для пробной частицы в модели застеклованного полипропилена (о^ = 2.0Л,<Т2 = 1.8А, <т3 = 1.3А). Радиус пробной частицы Щ = 1.5А (слева). Радиус пробной частицы Щ = 0.75Д (справа)

В диссертации подробно исследованы размеры пор и радиусы узких горл для различных монодисперсных и полидисперсных упаковок шаров. На рис. 11 показаны распределения радиусов узких горл для систем, имеющих различный разброс величин радиусов шаров АЯ , но примерно одинаковую степень заполнения пространства: т) ~ 0.586.

Умение количественно обрабатывать межшаровое пространство помогает построить компьютерные модели очень плотных упаковок шаров. Действительно, зная расположение и размеры пор в заданной произвольной конфигурации шаров, мы можем поместить туда новые шары подходящего размера. При этом получим новую, более плотную конфигурацию шаров. Проанализировав эту конфигурацию, можно вставить в нее новые частицы, в результате будем иметь еще более плотную систему. Продолжая эту процедуру, теоретически возможно достигнуть любой высокой плотности, однако при этом появляется много малень-

Рис. 11: Распределение радиусов узких горл для полидисперсных упаковок твёрдых сферических частиц: а) — число частиц N = 955, степень заполнения пространства щ = 0.589, разброс радиусов около среднего значения ДЯ = 0.01; б) — N = 1072, VI = 0.585, ДЯ = 0.20; в) — N = 1078, щ = 0.586, ДЯ = 0.50

ких частиц. В диссертации получены модели, степень заполнения пространства в которых достигала значения т] ~ 0,9. При этом в модели получается около 50 тысяч частиц (в том случае, если мы стартуем от исходной конфигурации, содержащей 100 частиц).

Практический интерес представляет получение упаковок, размеры шаров в которых варьируются в ограниченных пределах. Предсказание оптимального распределения частиц по размерам для получения наиболее плотной упаковки, при таком ограничении может представлять интерес для порошковых технологий. Предлагаемая процедура получения упаковок реализует наиболее оптимальный вариант заполнения пространства. Поэтому извлекаемое из таких моделей распределение частиц по размерам имеет как теоретический, так и практический интерес. На рис. 12 приведено "весовое содержание" частиц по размерам

Рис. 12: Зависимость весовой доли частиц в упаковке (см. текст) от радиуса частиц. Пунктирна» и точечная линии соответствуют разным моделям: 171 = 0.862 и »72 = 0.856. Сплошная линия рассчитана по формуле т(г) ~ г_в+2, которая описывает асимптотическое поведение т(г) для упаковки Аполлония в области мелких частиц. Значение фрактальной размерности О = 2.45

для двух наших упаковок (771 = 0,862 и щ = 0,856), размеры частиц которых варьируются в пределах одного порядка.

Наконец, следует отметить что предлагаемая процедура итерационного добавления шаров реализует трехмерный вариант известной в математике упаковки Аполлония. Эта упаковка обладает масштабной инвариантностью и является объектом математических исследований, однако, до сих пор только в двумерном случае. В диссертации исследована структура трехмерных упаковок Аполлония. Показано, что Б-сетка Вороного на глубоких итерациях напоминает ковер Серпинского. Рис. 13. Найдена фрактальная размерность наших трехмерных упаковок Б = 2,45.

Резюмируя четвертую главу, отметим эффективность применения метода Вороного - Делоне для различных задач, требующих количественного исследования межчастичного пространства. Это расчет хим-потенциала для физической химии, анализ порового пространства для теории фильтрации и катализа, моделирование и анализ плотных упаковок шариков для материаловедения.

В приложении приведены созданные автором алгоритмы для по-

дуры построения упаковки Аполлония. Э-сетка Вороного упаковки Аполлония имеет в пределе, вид, подобный изображённому на вставке

строения разбиений Вороного - Делоне. Один из них удобен для расчета индивидуальных многогранников Вороного, другой ориентирован на вычисление сетки Вороного. Обсуждаются способы задания сеток Вороного и Делоне при их реализации на компьютере. Суммированы также основные свойства выпуклых многогранников.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Развит строгий геометрический подход для анализа структуры некристаллических систем, предназначенный для изучения ближнего порядка, протяженных структурных мотивов, а также для количественного описания порового пространства внутри упаковок сферических частиц. Созданы алгоритмы построения многогранников Вороного и полного разбиения Вороного - Делоне, позволяющие использовать подход в

научных исследованиях.

2. Сделано обобщение геометрических результатов Вороного и Делоне на системы шаров разного размера. Введено понятие 5-области Вороного (области пространства, ближайшей к поверхности данного шара). Доказаны основные математические свойства разбиения пространства на эти области. В результате область применёния метода расширена на полиатомные и полидисперсные системы.

3. Подробный анализ структуры компьютерных моделей простых жидкостей, стекол и упаковок шаров показал, что для плотных некристаллических систем характерны конфигурации атомов, близкие по форме к правильным тетраэдрам и квартоктаэдрам. Пространственные мотивы в расположении таких конфигураций не удовлетворяют требованию трансляционной симметрии, что приводит к возникновению структурных неоднородностей в системе.

4. На молекулярно-динамических моделях стекол исследованы динамические проявления структурных неоднородностей. Избыточная плотность колебательных состояний на низких частотах, наблюдаемая в физических экспериментах в фононных спектрах стекол, локализуется на областях несовершенной структуры.

5. На молекулярно-динамических моделях одноатомных систем изучены структурные перестройки в процессе перехода жидкости в твердую аморфную фазу. Показан перколяционный характер этого явления. При стекловании возникает пронизывающий образец кластер из "жестких" и исчезает таковой из "рыхлых" симплициальных конфигураций атомов.

6. Количественный анализ межшарового пространства удобно проводить с помощью "навит ационной карты", получаемой из разбиения Вороного -Делоне. Исс дована структура свободного пространства внутри жидкостей, стекол и упаковок шаров: рассчитаны радиусы узких горл и распределение пор по объему образца, найдены критические радиусы пробной частицы для проникновения сквозь различные упаковки, вычислены области доступного объема для зондов разного размера.

7. Используя возможности количественного описания структуры межатомного пространства, разработан метод, существенно ускоряю-

щий расчет важнейшей термодинамической характеристики — химического потенциала при компьютерном моделировании жидкостей.

8. Созданы компьютерные модели трехмерных упаковок Аполлония, являющиеся теоретическими моделями плотнейших упаковок полидисперсных сферических частиц.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. N.N.Medvedev, Yu.I.Naberukhin. Voronoi polyhedra study of disordered systems. // Coll. Abstract of Simposium on the Structure of Liquids and Solutions. Hungary, Veszprem, 27-30 Aug. 1984. p. 97-98.

2. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин. Многогранники Вороного нерегулярных упаковок. Часть 1. Анализ возмущённых кристаллических упаковок. // ЖСХ. 1985. т.26, N.3, с.59-67.

3. В.П.Волошин, Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин. Многогранники Вороного нерегулярных упаковок. Часть. 2. Простые жидкости. // ЖСХ. 1985. т. 26, N.3, с.68-76.

4. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин. Исследование симплексов Делоне в плотных неупорядоченных системах. // Тез.докл. VI Всесоюзной конференции построению и свойствам мет. и шлаковых расплавов. Свердловск 17-19 Сент.1986, Часть 1, с.270-271.

5. N.N.Medvedev, Yu.I.Naberukhin, V.P.VoIoshin. Local environmental geometry of atoms in the Lennard-Jones system. // Materials Chemistry and Physics, 1986, v.14, p.533-548.

6. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин. Симплексы Делоне простых жидких и аморфных веществ. // ДАН СССР, 1986, т.288, N.5, с.1104-1107.

7. N.N.Medvedev. Algorithm for three-dimensional Voronoi polyhedra. // J. Comput. Physics. 1986, v.67, p.223-229.

8. Ю.И.Наберухин, В.П.Волошин, Н.Н.Медведев. Собственные структуры конденсированных сред. // Препринт ИТФ, Киев, 1986. -с.39.

9. Н.Н.Медведев, В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин. К вопросу об икоса-эдрической координации атомов в простых жидкостях. // ЖСХ, 1986, т.27, N.4, с.91-97.

10. Н.Н.Медведев,Ю.И.Наберухин, В.П.Волошин. Об икосаэдрических и кристаллических координацию^ атомов в простых жидкостях. // Расплавы. 1987, т.1, вып.1, с.22-29.

11. Н.Н.Медведев, В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин. Изучение формы атомных конфигураций в плотных леннард-джонсовских, системах. // ЖСХ, 1987, т.28, N.2, с.62-69.

12. Ю.И.Наберухин, В.П.Волошин, Н.Н.Медведев. Собственные структуры конденсированных сред. Машинное моделирование леннард-джонсовских систем. // Расплавы, 1987, т.1, вып.2, с.71-77.

13. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин. Исследование структуры простых жидкостей и аморфных тел методами статистической геометрии. // ЖСХ, 1987, т.28, N.3, с.117-132.

14. N.N.Medvedev, Yu.I.Naberukhin. Shape of the Delaunay simplices in dense random packings of hard and soft spheres. // J. Non-Chryst.Solids, 1987, v.94, p.402-406.

15. N.N.Medvedev, Yu.I.Naberukhin. Structure of simple liquids as a percolation problem on the Voronoi network. // J.Phys.A: Math.Gen., 1988, v.21, p.L247-L252.

16. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин, В.П.Волошин. Структура простых жидкостей как перколяционная проблема на сетке Вороного. // ЖСХ, 1989, т.ЗО, N.2, с.98-105.

17. V.P.Voloshon, Yu.I.Naberukhin, N.N.Medvedev. Can varios classes of atomic configurations (Delaunay simplices) be distinguished in random dense packings of spherical particles? // Mol.Simulation, 1989, v.4, p. 209227.

18. N.N.Medvedev, A.Geiger. Percolation analysis of liquid and quenched rubidium on the Voronoi network. The problem of fluidity. // VII Annual ENLG Conference, Statistical mechanics of Chem. Reacting Liquids. Abstracts. Novosibirsk, 11-15 Sep. 1989, p.93.

19. V.I.Skrinnikova, V.P.Voloshin, N.N.Medvedev. Tetrahedral order regions on the hydrogen-bond network in the water. // VII Annual ENLG Conference, Statistical mechanics of Chem. Reacting Liquids.Abstracts.

Novosibirsk, 11-15 Sep. 1989, p.102.

20. Yu.I.Naberukhin, N.N.Medvedev, V.P.Voloshin. Structure of simple liquids as a percolation problem on the Voronoi network. // VII Annual ENLG Conference, Statistical mechanics of Chem. Reacting Liquids. Abstracts. Novosibirsk, 11-15 Sep. 1989, p.95.

21. Н.Н.Медведев. Кинетика структурной релаксации в леннард-джон-совской жидкости. // Тез. докл. VII-ая Всесоюзная конф." Строение и свойства метал, и шлаковых расплавов". Челябинск 1990, т. 1, часть.1, с.172-173.

22. Н.Н.Медведев. В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин. Структура жидкого и аморфного рубидия. // Тез. докл. VII-ая Всесоюзная конф."Строение и свойства метал, и шлаковых расплавов". Челябинск 1990, т. 1, Часть 1, с.184-187.

23. В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин, Н.Н.Медведев. Исследование пустого пространства в компьютерных моделях одноатомных систем с помощью методов разбиения пространства Вороного-Делоне. // Тез. докл. VIII-ой Всесоюзный симпозиум по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул. Новосибирск 1990, Часть 1, с.77.

24. Н.Н.Медведев. В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин. Особенности структуры жидкого и аморфного рубидия. // Тез. докл. VIII-ой Всесоюзный симпозиум по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул. Новосибирск 1990, Часть 2, с.34.

25. Н.Н.Медведев. Структура и динамика в леннард-джонсовской жидкости. // Тез. докл. VIII-ой Всесоюзный симпозиум по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул. Новосибирск 1990, Часть 2, с.33.

26. N.N.Medvedev. Aggregation of tetrahedral and quartoc-tahedral Delaunay simplices in liquid and amorphous rubidium. // J.Phys.:Condens.Matter, 1990, v.2, p.9145-9154. Printed in the UK.

27. N.N.Medvedev, A.Geiger, W.Brostow. Distinguishing liquids from amorphous solids: Percolation analysis on the Voronoi network. // J.Chem.Phys. 1990, v.93, no.ll, p.8337-8342.

28. Yu.I.Naberukhin, V.P.Voloshin, N.N.Medvedev. Geometrical analysis of the structure of simple liquids: percolation approach. // Mol. Phys., 1991, v.73, No.4, p.917-936.

29. N.N.Medvedev, Yu.I.Naberukhin, V.P.Voloshin. Geometry of empty space inside of granular system. // Proceeding of Vl-th IFP conference "Physical chemistry of colloids and interfaces in oil production" ed.H.Toulhoat and J.Lecourtier, Paris, 1992, v.l p.321-323.

30 Н.Н.Медведев. Динамика и клеточный эффект в леннард-джонсовской жидкости. // ЖФХ, 1992, т.66, N.1, с. 152-154.

31. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин, В.П.Волошин. О связи текучести и структуры. Анализ молекулярно-динамической модели жидкого и аморфного рубидия. // ЖФХ, 1992. т.66, N.1, с.163-166.

32. В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин, Н.Н.Медведев. Исследование межатомного пространства в моделях одноатомных систем с помощью методов Вороного-Делоне. // ЖФХ, 1992, т.66, N.1, с.155-162.

33. А.Гайгер, Ю.И.Наберухин, Н.Н.Медведев. Структура стабильной и метастабильной воды. Анализ многогранников Вороного. // ЖСХ, 1992, т.ЗЗ, N.2, с.79-87.

34. Н.Н.Медведев, В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин. Геометрия пустого пространства зернистых фильтров. // Материалы научно-практической конференции специалистов СНГ. Совершенствование систем водоснабжения НПЗ и НХЗ. 17-19 нояб.1992г. Уфа. с.66-67.

35. N.N.Medvedev. The life-time of the nearest environment of atoms in the Lennard-Jones liquids. // Europhysics conference abstracts. 2nd Liquid Matter Conference. Italy, Firenze. 18-22 Sep. 1993, p.82.

36. Yu.I.Naberukhin, V.P.Voloshin. N.N.Medvedev. Structural peculiarities in the model of amorphous argon. // Europhysics conference abstracts. 2nd Liquid Matter Conference. Italy, Firenze. 18-22 Sep. 1993, p.102.

37. Н.Н.Медведев, А.Аппельхаген, А.Гайгер Время жизни ближайшего окружения атомов в Леннард-Джонсовских жидкостях. // ДАН, 1993, т.332, N.2, с.191-194.

38. Н.Н.Медведев. Приложение метода Вороного-Делоне к описанию

структуры межшарового пространства в полидисперсных системах. // ДАН, 1994, т.337, N.6, стр.767-771.

39. Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин В.А.Лучников. Области "совершенной" структуры в аморфном аргоне. // ЖСХ, 1994, т.35, N.1, с.53-63.

40. Н.Н.Медведев. Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических упаковок. // НГУ, учебное пособие, Новосибирск, 1994. 112 стр.

41. В.А.Лучников, Н.Н.Медведев, Ю.И.Наберухин. Локализация колебательных мод на неоднородностях структуры в компьютерной модели аморфного аргона. // ЖФХ, 1995, т.69, N.1, с.33-37.

42. R.Bieshaar, A.Geiger, N.N.Medvedev. Calculation of chemical potentials by a novel Delaunay-Simplex- Sampling technique for particle insertion. // Mol.Simulation, 1995, v.15, p.189-196.

43. В.П.Волошин, Ю.И.Наберухин, Н.Н.Медведев. О перколяционном характере фазового перехода жидкость - аморфное твердое тело. // ЖСХ, 1995, т.Зб, N.3, с.473-480.

44. V.A.Luchnikov, N.N.Medvedev, Yu.I.Naberukhin, V.N.Novikov. Inhomogeneity of the spatial distribution of vibrational modes in a computer model of amorphous argon. // Phys.Rev.B., 1995, v.51, no.21, p.15569-15572.

45. V.P.Voloshin, Yu.I. Naberukhin, N.N.Medvedev and Mu Shik Jone. Investigation of free volume percolation under the liquid-glass phase transition. // J. Chem.Phys. 1995, v.102, p.4981-4986.

46. N.N.Medvedev. Method for quantitative description of pores withing realistic models of catalysts. // Abstracts of II Conference: Modern Trends in Chemical Kinetics and Catalysis. Novosibirsk 21-23 Nov. 1995, p.301.

47. S.V.Anishchik, N.N.Medvedev. Three-dimentional Apollonian packing as a model for dense granular systems. // Phys.Rev.Lett. 1995, v.75, no.23 p.4314-4317.