автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитическое и численное моделирование процессов электро- и теплопереноса в многоточечных электрических контактах

На правах рукописи

САМОЙЛОВ ВАДИМ ВЛАДИМИРОВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРО- И ТЕПЛОПЕРЕНОСА В МНОГОТОЧЕЧНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТАХ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической и математической физики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный

университет

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Журавлёв Виктор Михайлович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ульяновский государственный технический университет

Защита состоится «30» июня 2004 г. в 1530 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: 432700, г. Ульяновск, Набережная р. Свияги, 40, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан 2004 г.

доктор физико-математических наук, профессор Семенцов Дмитрий Игоревич доктор технических наук, профессор Измайлов Владимир Васильевич

Учёный секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы. Математическое моделирование физических и технологических процессов в настоящее время приобретает решающее значение в связи со значительным повышением быстродействия компьютеров и снижением их стоимости. Одновременно математические модели рассматриваемых процессов усложняются и приобретают новые черты. Модели всё более структурированы вслед за многокомпонентными, зачастую иерархическими, системами, которые они описывают и в которых проявляются процессы взаимовлияния компонентов. Модели с «непрерывным» математическим аппаратом не всегда могут описать особенности системы или процесса, поэтому современные модели в той или иной степени дискретны. Сложность моделей вслед за сложностью процессов также может быть обусловлена топологией источников полей, в том числе их относительным расположением и большим количеством.

Все отмеченные особенности в полной мере возникают при исследовании процессов электро- и теплопереноса в электрических контактах. Во-первых, контакт двух поверхностей принципиально дискретен. Наличие нескольких уровней отклонения реальной поверхности от идеальной приводит к иерархии размеров контактных пятен и группировке пятен на вершинах отдельных элементов поверхности. Во-вторых, процессы в электрических контактах сопровождаются взаимосвязанными изменениями электромагнитных, тепловых и механических полей, геометрии и топологии системы (изменением числа и размеров пятен), фазовыми переходами (плавлением и испарением материала в пятнах), химическими процессами (образованием плёнок различной природы). При этом связи между процессами обусловлены, в первую очередь, температурными зависимостями характеристик системы.

Возможности экспериментальных методов при изучении процессов в контактах ограничены, а наиболее результативным методом исследования является математическое моделирование. Для решения проблемы контактных явлений необходимо создание и исследование математических моделей, принципиальными элементами которых являются многоточечность контакта и взаимовлияние пятен.

В настоящее время при моделировании многоточечных контактов используются два подхода - исследование краевых задач для процессов переноса и исследование схем замещения контакта. Краевые задачи для процессов переноса в многоточечных контактах можно классифицировать как задачи со многими случайно расположенными источниками поля. Аналитическое решение, построенное для многоточечного контакта, универсально в смысле произвольного расположения источников и применимо к ана-

}

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

»

логичным задачам электроразведки1, селективной диффузии примеси через многооконную защитную маску при производстве полупроводниковых приборов2, использования полупроницаемых мембран3. Для развития этого направления исследований представляется целесообразным поиск новых аналитических решений, учитывающих температурные зависимости максимального количества факторов, и корректный учёт физических эффектов более высокого порядка, например, термоэлектрических эффектов.

При исследовании схем замещения многоточечного контакта возникают проблемы выбора элементов схем и определения параметров (сопротивлений и индуктивностей) элементов и всей схемы. Традиционно строят последовательно-параллельное соединение областей стягивания тока и плёнок в отдельных пятнах, параметры которых берутся одинаковыми. Для сопротивления и индуктивности всей схемы это означает усреднение параметров элементов по числу пятен. Понятно, что такой подход грубый и для более точного определения параметров схемы необходима информация о геометрической структуре контакта. В настоящей работе предлагается в качестве элемента схемы принять срачу всю трубку тока отдельного пятна. Сопротивления и индуктивности являются функционалами интегрального типа от пространственных распределений электромагнитных и тепловых полей, поэтому для их нахождения необходимо определить как области интегрирования, так и подынтегральные функции. Таким образом, встают проблемы построения разбиения пространства контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен, и, опять же, решения краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является моделирование процессов электро- и теплопереноса в замкнутых электрических контактах с учётом их многоточечности и взаимовлияния пятен контакта друг на друга. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить и исследовать новое точное решение краевой задачи для процессов электро- и теплопереноса в многоточечном замкнутом контакте, пятна которого покрыты плёнкой, с учётом термоэлектрических эффектов.

2. Разработать алгоритм разбиения пространства контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен и определения геометрических и электрических параметров этих трубок.

1 Жданов М. С. Электроразведка. — М.: Недра, 1986.

2 Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. - М.: Высшая школа, 2001.

3 Батаронов Л. И., Хрипунов К. Г., Шалимов Ю. П., Шунин Г. Е. Моделирование усреднённого граничного условия на полупроницаемой мембране // Материалы III международного семинара «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах». -Воронеж, ВГТУ, 2004. С. 158-160.

3. Исследовать процессы электро- и теплопереноса в многоточечном контакте в условиях изменения параметров трубок тока пятен. Методы исследования. Методологическую базу исследования составили фундаментальные работы Г. Ф. Вороного4 и Н. Б. Делоне5 по построению разбиений плоскости и пространства; А. Я. Сочнева6 по определению напряжённости векторного поля и теории особых точек поля; Р. Хольма7, Е. И. Кима, В. Т. Омельченко, С. Н. Харина8 и С. А. Некрасова9 по исследованиям электрических и тепловых полей при различных режимах работы контактов. В диссертационной работе непосредственное применение нашли методы математической физики, векторного анализа, линейной алгебры, вычислительной геометрии, электродинамики, теории теплопроводности, физической кинетики, теории упругости и пластичности и теоретической электротехники. Научная новизна.

1. Показано, что при исследовании процессов переноса в сильноточных многоточечных контактах нельзя пренебрегать термоэлектрическими эффектами и их необходимо учитывать, как и при рассмотрении слаботочных контактов.

2. Впервые построено точное решение краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом контакте двух проводников в виде полупространств с одновременным учётом термоэлектрических эффектов, многоточечности контакта и присутствия плёнок окисления на пятнах контакта.

3. Впервые математический аппарат разбиения Вороного-Делоне применён к изучению процессов в многоточечных контактах. Построено разбиение контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен контакта. Показано, что границы пар трубок тока определяются электрическими полями соответствующих пар пятен и приближённо описываются частями гиперболоидов. Вследствие малой дисперсии параметров пятен гиперболоиды почти вырождены и близки к плоскостям, а разбиение электродов на трубки тока в плоскости контакта близко к классическому разбиению Вороного для центров пятен.

4. Модель Хольма-Буша стягивания тока в проводниках конечного сечения обобщена на случай многоточечного контакта. Показано, что по-

4 Вороной Г. Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах // Собрание сочинений. — Киев: Изд-во АН УССР, 1952. Т. 2. С. 239-368.

5 Делоне Н. Б. О пустоте сферы // Известия АН СССР. ОМЕН. 1934.4. С. 793-800.

6 Сочнев А. Я. Расчет напряженности поля прямым методом. -Л.: Энергоатомиздат, 1984.

7 Хольм Р. Электрические контакты. - М.: ИЛ, 1961.

8 Ким Е. И., Омельченко В. Т., Харин С. Н. Математические модели тепловых процессов в электрических контактах. - Алма-Ата: Наука, 1977.

9 Некрасов С. А. Математическое моделирование процессов тепло-, массо- и электропереноса в коммутационной и электроразрядной аппаратуре // Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук.-Новочеркасск: Новочеркасский политехнический институт, 1992.

строенная модель может быть применена к исследованию процессов в контактах при изменяющейся геометрии пятен.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Можно отметить следующие приложения результатов работы:

1. С помощью физических аналогий метод решения и исследования краевой задачи для процессов электро- и теплопереноса может быть применён к другим «многоточечным» задачам - например, к электроразведке с помощью многих электродов или к расчёту диффузии сквозь многооконный шаблон при производстве полупроводниковых приборов.

2. Построенное решение краевой задачи может быть использовано при разработке и усовершенствовании методик исследования кинетических свойств проводников при высоких температурах.

3. Алгоритм разбиения электродов на трубки тока пятен может быть применён для приближённого определения особых точек и сепаратрис физических полей, полученных суперпозицией от многих источников.

4. Разработанный алгоритм определения параметров трубок тока может быть использован при составлении и исследовании схем замещения контактных узлов.

5. На основе результатов исследования возможно усовершенствование существующих методик прогноза срока службы контактных соединений.

6. Созданные модели и алгоритмы могут быть использованы при разработке и конструировании контактных систем новых автоматических выключателей низкого напряжения.

Положения, выносимые на защиту.

1. Новое точное решение краевой задачи для стационарной системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом многоточечном контакте проводников в виде полупространств, учитывающее термоэлектрические эффекты и наличие плёнок окисления в пятнах контакта.

2. Пятна многоточечного контакта неэквипотенциальны, а пространственное распределение плотности тока в отдельном пятне зависит от геометрии всех пятен.

3. Метод определения токов пятен по минимизации функционала энергии, выделяющейся в контактной системе, который сводится к квадратичной форме токов пятен.

4. Новый приближённый метод разбиения пространства электродов на трубки тока отдельных пятен, основанный на разбиении Вороного-Делоне.

5. Обобщение модели Хольма-Буша стягивания тока для случая многоточечного контакта.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

• 45th IEEE Holm Conference on Electrical Contacts (Pittsburgh, USA, 1999);

• 7-й международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» (Москва, 2000 г.);

• 3-й международной объединённой конференции «Математическое моделирование физических, экономических и социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2000 г.);

• 3-м всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем-00 (МНС-2000)» (Красноярск, 2000 г.);

• 4-й международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001 г.);

• международной конференции «Электрические контакты (ЭК-2002)» (Санкт-Петербург, 2002 г.);

• 5-й международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003 г.);

• международной конференции «Электрические контакты и электроды (ЭК-2003)» (Кацивели, Украина, 2003 г.);

• 10-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-10 (Москва, 2004 г.);

• 3-м международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2004 г.);

• научных семинарах кафедры теоретической и математической физики Ульяновского государственного университета, кафедры физики Тверского государственного технического университета.

Результаты диссертации использовались также при написании отчёта о НИР по теме «Исследования процессов гашения электрической дуги большой мощности в автоматических выключателях» (ЗАО «Контактор», Ульяновск) и при руководстве дипломными работами по электроприводу и автоматизации промышленных установок и технических комплексов. Личный вклад автора. Сведение системы уравнений электро- и теплопе-реноса к уравнению Лапласа и построение нового решения уравнения Лапласа проведены совместно с научным руководителем, д.ф.-м.н., профессором В. М. Журавлёвым; разработка теоретических положений, построение моделей и методов их исследования, постановка задач, проведение аналитических и численных расчётов, анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, прямыми вычислениями для кон-

кретных конфигураций пятен, а также сравнением полученных результатов с результатами для других моделей, известных из литературы. Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 работах. Из них 2 - статьи, 2 - опубликованы в трудах конференций, 10 — в тезисах докладов конференций и семинаров.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, двух приложений, списка литературы из 108 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, изложена на 149 страницах печатного текста, включает 46 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, результаты, выносимые на защиту, отмечена научная новизна работы.

Глава 1 состоит из четырёх параграфов и посвящена описанию математических моделей электрических контактоз и постановке краевой задачи для системы уравнений переноса в замкнутых контактах.

В параграфе 1.1 проводится литературный обзор по исследованиям процессов переноса в электрических контактах. Анализируются существующие теоретические модели одноточечных и многоточечных электрических контактов.

В параграфе 1.2 на основе анализа литературы выявлен ряд неточностей в постановке краевых задач, используемых в существующих исследованиях. В частности, показано, что вопреки установившемуся мнению10 при исследовании процессов переноса в сильноточных многоточечных контактах термоэлектрическими эффектами пренебрегать нельзя. Это следует из того, что отношение мощностей джоулевых и томсоновских потерь пропорционально плотности тока в отдельном пятне, которая мало изменяется в случае сильно- и слаботочного контакта. Действительно, известно11, что площадь контакта увеличивается за счёт вовлечения в контакт новых пятен, дисперсия размеров которых мала. Также слабо меняется и ток одного пятна - увеличение общей силы тока компенсируется увеличением числа пятен (номинальные токи современных сильноточных выключателей и радиоэлектронной аппаратуры различаются в 103-104 раз, что совпадает по порядку величины с числом пятен в контактах выключателя).

В параграфе 1.3 с учётом выявленных неточностей и особенностей физики процессов переноса ставится стационарная краевая задача для системы уравнений электро- и теплопереноса в многоточечных замкнутых кон-

10 Ким Е. И., Омельченко В. Т., Харин С. Н. Математические модели тепловых процессов к электрических контактах. - Алмa-Ата: Наука, 1977.

11 Мышкин Н. К., Петроковец М. И. Трибология. Принципы и приложения. - Гомель: ИММС НАИБ, 2002.

тактах. Область контакта между катодом (/=1, 0£хг+.уг <оо, 2<—Ю) и анодом (/=2, <<*>, г>0) многосвязна и представляет собой N прямых круговых цилиндров с основаниями ^¡(х-х^+^-^У^Л*, * = случайных радиусов Л*, к=1..М, и квазиметаллической проводимостью (пятна покрыты плёнкой окисла). Слой толщины Ь (средняя толщина прослойки воздуха) затем исключим, сведя задачу к контакту двух полупространств, а величину Ь учтём в скачках потенциала дд>ь(х,у) на выступах и плёнках пятен. В системе протекает постоянный ток I. Геометрические характеристики контактов будем генерировать случайным образом. Необходимо определить распределения электрического потенциала ф, плотности тока ] и температуры Т в контактирующих проводниках.

Стационарные электрические и температурные поля в замкнутых контактах описываются системой дифференциальных уравнений:

где <р - электрический потенциал, Т- температура. а(Т) —электропроводность, Х{Т) — теплопроводность, ц{Т) — уровень Ферми, а(7) — абсолютная дифференциальная термоэдс (коэффициент Зеебека).

Вдали от плоскости контакта потенциал и температура постоянны:

[гДх.^.г)»^,

где ис - напряжение на контактах, Т^^ - температура внешней среды. Вне пятен выполняются условия электрической и тепловой изоляции:

2 * при х2+.у2+г3 =<», / = 1,2,

Граничные условия в пятнах на границах «плёнка-катод» и «плёнка-анод» заключаются в непрерывности электрохимического потенциала <р-р1{Т)/е, температуры Г, и z-компонент плотности тока ] и плотности теплового потока д.

Зададимся также модельными зависимостями кинетических характеристик металлов:

где

значение уровня Ферми

при абсолютном нуле, к - постоянная Больцмана, а=СОИ5Л

Пару выступов с плёнкой характеризуем падением напряжения:

д<рк (х,у)=Ек5к (х,у)+1к рк Ь-,

где .Ег=сои$7 - напряжённость поля в к-й. плёнке, д^ху) - толщина к-й. плёнки, 1ц, р!а - ток, среднее удельное сопротивление, длина и площадь поперечного сечения к-й. пары выступов, к=1.. N.

В параграфе 1.4 сформулированы выводы по главе 1.

В главе 2, состоящей из пяти параграфов, построено и исследовано новое точное решение поставленной краевой задачи для уравнений переноса в замкнутых контактах с учётом термоэлектрических эффектов, дискретной структуры контакта и образования плёнок.

В параграфе 2.1 система уравнений переноса сводится к уравнению Лапласа для обобщённого потенциала Н(х,у,2).

Воспользуемся теоремами Р. Хольма12 об электротепловых аналогиях: при определённых условиях эквипотенциальные поверхности в контактирующих изотропных проводниках являются также изотермическими, причём ни электрический ток, ни тепловой поток через область контакта не могут изменить конфигурацию эквипотенциалей и изотерм. Условия заключаются в эквипотенциальности и изотермичности областей входа и выхода тока в систему, а также в электрической и тепловой изоляции всех остальных поверхностей. Наши граничные условия соответствуют этим условиям.

Введём переменную ) и будем искать решение, зависящее от

£ в виде:

При такой подстановке система уравнений электро- и теплопереноса

приводится к виду: * /

И

+ аТ'

Я е

дя=о,

где штрих означает производную по Су^сотЪ а величина Я является обобщённым потенциалом, так как её градиент со знаком «минус» представляет собой плотность тока:

- УЯ = |- осЯТ=].

12 Хольм Р. Электрические контакты. - М.: ИЛ, 1961.

10

Из двух первых уравнений можно получить уравнение Абеля второго рода, связывающее величины <р и Т: ф> (я1 к2Т |

сГГ ^ Зе//0 Т)

где сделана подстановка

а также уравнение, связывающее Ни Т:

где Нтах - значение обобщённого потенциала при максимальной температуре системы Тщах-

В частном случае, когда термоэлектрические эффекты не рассматриваются, указанные соотношения принимают вид:

где температура отсчитывается от

т■ -3 Т'

... 2 ±|^].г„(г„_згЬА, „.^.х].

Р{(р,К) — эллиптический интеграл 1-го рода, П(<р/1,к) - эллиптический

интеграл 3-го рода,

т-тдт^-т) 1Ттах-Т7

т.-т^-ту4 ]] т,-т2

Соотношения ^(7) И Н{Т) взаимнооднозначны, поэтому все особенности решения задачи содержатся внутри решения

Граничные условия для обобщённого потенциала Н и контакта полупространств становятся следующими:

Здесь мы вырезали слой —Ь<г<0, так что катодом теперь является полупространство Скачок обобщённого потенциала на слое выражается по теореме о среднем:

дНк

где дсрь 37* - скачки потенциала и температуры на слое, ак, —значение электропроводности и величины в некоторой вну-

тренней точке слоя. Новым в такой постановке граничных условий является различие скачков потенциалов для разных пятен.

Краевая задача является задачей с разнородными краевыми условиями на поверхности контакта полупространств. В параграфе 2.2 построено новое решение уравнения Лапласа для обобщённого потенциала Н, обобщающее известные решения Е. И. Кима, В. Т. Омельченко, С. Н. Харина13 и С. А. Некрасова14. Оба решения являются частными случаями выражения:

где А^тсою/—1,2, Рк=(х-х$+(у-у$, Як, хь Ук - радиусы, абсциссы и ординаты центров пятен, £=1..„У,-У - число пятен. Решение Кима, Омельченко, Харина соответствует случаю N=1, а решение Некрасова случаю

Допустим, что функции отличны от констант и не противоре-

чат граничным условиям. Будем искать их в виде:

где оО, ¡im Ь^(х,у)= 0, /=1,2. Подстановка этого выражения в уравнение

Лапласа даёт нам рекуррентные соотношения для функций

Здесь - двумерный оператор Лапласа.

13 Ким Е. И., Омельченко В. Т., Харин С. Н. Математические модели тепловых процессов в электрических контактах. - Алма-Ата: Наука, 1977.

14 Некрасов С. А. Математическое моделирование процессов тепло-, массо- и электропереноса в коммутационной и электроразрядной аппаратуре // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Новочеркасск: Новочеркасский политехнический институт, 1992.

которые находятся из граничных условий:

Решение уравнения Лапласа определяется двумя функциями bo'\xj>) и

где F(x,y), G(x,y), К(х,у), Цху) - произвольные функции, а постоянные величины Ck, Dt определяют постоянные Ац, А®' Ai2+Atl=Cl, Ац ~Ап = Dt,

Таким образом, для построения решения уравнения Лапласа искомого вида необходимо задать четыре функции F(x,y), G(x,y), К(х.;у), L(xj>) и набор из 2N+1 чисел с, Сц, Di, k=i...N.

Получим дополнительную информацию о плотности тока в пятнах, введя в рассмотрение токи пятен и выразив через них постоянные А/ц, Сь £>*. Для этого проинтегрируем граничное условие для производной dfflöz по поверхности к-то пятна Sí: 2 яМи - = -2xRtAt2 + Jj[¿?>M-c#(*. У))*® = ~h,

откуда получим:

после чего представим плотность тока в к-м пятне в следующем виде:

Это выражение показывает, что плотность тока в к-м пятне многоточечного контакта качественно отличается от плотности тока в одноточечном контакте на величину ^ху), не дающую вклада в ток пятна, так как интеграл тождественно равен нулю, но меняющую распреде-

ление плотности тока в пятне. Таким образом, при свободном выборе функций Г(ху), (Цху) и параметров с, можно варьировать распределение плотности тока в пятне в широких пределах. Достаточно наложить условие интегрального типа

для того, чтобы плотность тока j;lc> стала равна любой функции Ь1-1\х,у)-сЬо^\х,у), удовлетворяющей этому условию.

Для завершения построения решения краевой задачи необходимо найти токи Д, то есть решить задачу распределения ресурса — общего тока /. При построении целевой функции оптимизационной задачи воспользуемся принципом минимума диссипации энергии15.

Пусть - часть системы, включающей металлические проводники. Тогда распределение плотности тока соответствует минимуму интеграла

(т)

-г{Т))ЧТ -\Ki\dV

с лагранжевым множителем

V

Здесь г=

ЛГ

- коэффициент Томсона. Функционал возможно

свести к поверхностному интегралу по границе и, в конечном итоге, к сумме интегралов по поверхностям пятен:

=+1 Я5?» (*>У)ЙК*.у№У=£ |/(г/с+,

Выражая скачки потенциала и плотности тока в пятнах через токи пятен, сведём задачу минимизации функционала к задаче квадратичного программирования для токов пятен: необходимо минимизировать квадратичную форму

15 Ландау Л Д, Лифшиц С. М. Теоретическая физика. Т. VIII Электродинамика сплошных сред. - М: Наука, 1982.

V * V

А-1 м

при ограничении ^ ^ ^

Коэффициенты квадратичной формы зависят от взаимного расположения пятен, свойств плёнок пятен и параметров внешней цепи.

Используя метод множителей Лагранжа, после дифференцирования квадратичной формы по токам 1т и множителю к получим относительно них систему линейных алгебраических уравнений:

В параграфе 2.3 представлены результаты расчётов на модельных задачах. Они показывают, что общий ток I распределяется между пятнами примерно поровну, то есть дисперсия токов Д мала, даже в случае большой дисперсии размеров пятен. Вследствие этого потенциал в малых пятнах больше по модулю - в соответствии с формулами для Аь. В случае же малой дисперсии по размерам средние потенциалы пятен выравниваются.

Рис. 1. Распределение потенциала в плоскости Рис. 2. Величина, обратная модулю плотности г=0 в случае 6 пятен с эквипотенциалями. тока, в плоскости г=0 в случае 6 пятен с изоли-

ниями модуля плотности тока.

На рис. 1 изображено распределение потенциала, а на рис. 2 - величины, обратной модулю плотности тока, в плоскости контакта для шести пятен. Рис. 1 показывает неэквипотенциальность пятен контакта, что являет-

ся следствием многоточечности контакта, но часто игнорируется. Наиболее резкое изменение плотности тока (рис. 2) происходит на границах соприкасающихся трубок тока и в местах встречи трёх трубок тока, в которых плотность тока равна нулю.

Рассмотрение многоточечности контакта позволяет сформулировать следующую гипотезу о существовании замкнутых трубок тока. Наряду с незамкнутыми трубками тока, каждая из которых проходит ровно через одно пятно и связывает в системе области ввода и вывода тока, существуют замкнутые трубки тока, связывающие пары пятен контакта.

Подобные кольцевые токовые структуры присутствуют на границах «металл-вакуум»16 или «металл-плазма»17, образованных средами с резко различающимися электрофизическими свойствами. В случае контакта двух металлов доводом в пользу возникновения замкнутых трубок тока может служить различие параметров плёнок пятен, в частности скачков потенциала на них (аналогов различных работ выхода на пятнистом эмиссионном катоде).

В параграфе 2.4 на основе обзора формул для сопротивления стягивания многоточечного контакта сделан вывод о необходимости дополнительного исследования схем замещения контактных узлов, а именно выделения типичного элемента схемы - трубки тока отдельного пятна, - разбиения проводников на трубки тока пятен и нахождения их параметров.

В параграфе 2.5 сформулированы выводы по главе 2.

Глава 3 состоит из пяти параграфов. В этой главе полученное решение используется для построения разбиения контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен и исследования геометрических свойств этого разбиения. Показано, что приближённое разбиение на трубки тока можно построить, используя аппарат разбиения Вороного-Делоне для совокупности центров контактных пятен.

Параграф 3.1 содержит предварительные сведения о методе Вороного-Делоне. Этот метод вычислительной геометрии18'19 имеет дело с построением по системе точек-центров в пространстве любой размерности разбиений этого пространства (без наложений и разрывов). Разбиение Г. Ф. Вороного соотносит каждому центру область Вороного - геометрическое место точек, более близких к данному центру, чем к остальным. В случае точек на плоскости области Вороного представляют собой многоугольники, а в случае точек в пространстве - многогранники.

16 Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. - М: Наука, 1966.

17 Подольский Д. В. Численное моделирование электромагнитных полей в автоматических воздушных выключателях низкого напряжения. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. - Ульяновск: Ульяновский государственный университет, 1999.

18 Медведев Н. Н. Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры неупорядоченных систем. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. - Новосибирск, 1996.

19 Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. М., Мир, 1989.

Разбиение Н. Б. Делоне представляет собой триангуляцию части плоскости - выпуклой оболочки нескольких точек (тетраэдризацию части пространства) и обладает по сравнению с другими триангуляциями некоторыми экстремальными свойствами.

Разбиения Вороного и Делоне дуальны друг другу и могут быть построены друг через друга. Отметим, что существуют многочисленные обобщения разбиения Вороного: не для точек, а других геометрических объектов; для пространств различных размерностей; при измерении расстояния до нескольких объектов; при изменении понятия расстояния и т. п.

Для моделирования процессов в многоточечных контактах удобно выделять объекты, связанные с отдельным пятном. Нам представляется удобным выделить в качестве такого объекта трубку тока, протекающего через пятно, и рассматривать совокупность трубок тока всех пятен, которая представляет собой разбиение пространства проводника. Интуитивно ясно, что разбиение на трубки тока зависит не только от геометрии пятен, но и от электрофизических характеристик системы. Далее показано, как можно построить искомое разбиение, опираясь, в основном, на геометрическую информацию.

В параграфе 3.2 построено разбиение контактирующих проводников на трубки тока в плоскости контакта. Показано, что приближённо границы трубок тока описываются частями гипербол, которые вследствие малой дисперсии пятен по размерам почти вырождены и близки к прямым.

Выведем уравнение границы двух трубок тока соседних пятен. Положим, что плёнки в пятнах контакта отсутствуют, тогда Н и j определяются по принципу суперпозиции:

где Hk, j* - аксиально-симметричные относительно оси ¿-го пятна компоненты потенциала и плотности тока. Пусть трубок тока пятен граничат между собой (рис. 3). Выберем две точки Аь, Ai, лежащие на границах пятен (x-Xj)2+(y~yJ)l=Rj', j-k, I, и произвольную точку Мв плоскости z=0. Далее выберем любой контур в плоскости , начинающийся в

заканчивающийся в А/ и проходящий через М.

Так как плотность тока - потенциальная функция: j = -VH, то для любого контура Aß, связывающего фиксированные точки А и В:

Вследствие суперпозиции запишем это выражение отдельно для компонентов плотности тока и потенциала, связанных с пятнами к и 1:

{ФМ-О'РМ^'Ф'УъМ-ЪМ+НАМ),

где (Л), 0',) - средние значения плотности тока на контурах ЛцМ, АМ \АкЩ, \АМ - длины контуров АкМ, А[М. Выражение справедливо для любого контура АкМА¡. Выделим на плоскости геометрическое место точек М, удовлетворяющих дополните- рис з к выводу уравнения границы труб0к тока пятен * и /. льным условиям, и соотнесём его с границей трубок тока пятен к, I. Выбор контура АкМА/ в виде двухзвенной ломаной облегчит нам усреднение (/). Положим (Л) = (//) =

-{}), так как по расчётам средняя плотность тока слабо меняется в области между пятнами. Далее имеем:

так как функция Ди=[Нк(Ак)-ЩА1)-Н1,(М)+Н/(М)]/(]) также слабо зависит от координат в области между пятнами Ли/. Окончательно получаем, что граница трубок тока пятен ки!в плоскости z=0 приблизительно описывается одной из ветвей некоторой гиперболы.

На рис. 4 представлен пример разбиения, описываемого гиперболами, в плоскости 2=0 для случая шести пятен. Здесь же представлены изолинии модуля плотности тока решения, построенного в главе 2. Наблюдается неплохое совпадение точек встречи двух или трёх ячеек разбиения соответственно с точками перевала и локальных минимумов плотности тока. Обратим внимание на то, что на рис. 4 изображены именно гиперболы. Вследствие короткого стягивания и малой дисперсии размеров и токов пятен величины близки к нулю, а гиперболы вырождаются в прямые. Поэтому

Рис. 4. Разбиение плоскости г=0 на трубки тока 6 пятен и изолинии модуля плотности тока. Границы трубок тока - части гипербол.

разбиение плоскости контакта 2=0 на трубки тока пятен близко к разбиению Вороного на многоугольники для центров пятен.

Многоугольники, на которые разбивают трубки тока плоскость z=0, имеют стороны различной длины, что отражает характер стягивания тока вблизи пятен. Вблизи внутренних пятен группового пятна стягивание тока короткое, и гиперболы не успевают искривиться на меньших сторонах многоугольников. Периферийные пятна имеют длинное стягивание и большее искривление гипербол. Таким образом, вырождение гипербол больше для внутренних пятен группового пятна, чем для пятен, лежащих на периферии.

В параграфе 3.3 показано применение построенного разбиения плоскости к нахождению положения особых точек модуля двумерного векторного поля, полученного суперпозицией от нескольких источников.

Метод Сочнева определения напряжённости электрического поля20 использует информацию об особых точках поля, где напряжённость неопределённа (равна нулю или бесконечности). Некоторые особые точки, положение которых не может быть сразу найдено (например, из соображений симметрии), называются Сочневым блуждающими. Координаты особых точек определяют геометрическую структуру всего поля и по ним находятся угол у наклона вектора Е напряжённости электрического поля к одной из координатных осей и модуль вектора Е.

Для нас особыми поверхностями являются границы трубок тока пятен, а блуждающими точками в плоскости контакта являются точки, общие для трёх областей Вороного соседних троек пятен, и точки, лежащие на пересечении каналов Вороного соседних пар пятен с линиями, соединяющими центры этих пятен (точки N на рис. 3). Разбиение проводников по методу §3.2 и применение физических аналогий позволяет находить особые точки для широкого круга задач.

В параграфе 3.4 продолжено построение разбиения на трубки тока в объёме проводников в случае контакта полупространств и проводников конечного сечения.

Мы можем обобщить на случай пространства формулу Р„М\-\0,Л/| = Rk - R, + Ди = const,

то есть принять, что границы трубок тока в объёме проводников являются кусочно-гиперболоидальными поверхностями. Доводом в пользу описания границ трубок тока частями гиперболоидов вращения служат два факта. Во-первых, граница трубки тока есть огибающая линий тока, а в эллиптической модели единственного пятна линии тока являются гиперболами21. Особенно близость гиперболоидальной огибающей и линий тока-гипербол

20 Сочнев А. Я. Расчет напряжённости поля прямым методом.-Л.: Энергоатомиздат, 1984.

21 Ким Е. И., Омельченко В. Т., Харин С. Н. Математические модели тепловых процессов в электрических контактах. - Алма-Ата: Наука, 1977.

проявляется на бесконечности, когда и линии тока, и граница трубки тока стремятся к своим асимптотам - прямым и конусу вращения. Во-вторых, в сферической модели пятна22 плоский объект (пятно) заменяется сферой бесконечной проводимости, поэтому мы можем применить обобщённое разбиение Вороного для шаров разных радиусов. Теперь расстояние до пятна эквивалентно расстоянию до поверхности заменяющей его сферы.

Отмеченное в §3.2 вырождение гипербол в прямые сохраняется и в пространстве - гиперболоиды близки к вырождению и поэтому могут быть заменены некоторыми плоскостями, а разбиение объёма проводников на трубки тока пятен близко к разбиению Вороного на многогранники для центров пятен. Поскольку все центры пятен лежат в одной плоскости 2=0, то все плоскости Вороного перпендикулярны этой плоскости. Из этого факта вытекает следующее: вследствие того, что границы трубок тока, как и все линии тока, нормальны плоскости 2=0, и вследствие малой кривизны границ трубок тока контактные пятна лежат внутри проекций своих трубок тока на плоскость контакта.

В случае контакта проводников конечных размеров необходимо учесть искривление трубок тока вблизи границ проводников. Сделаем это при помощи метода зеркальных отображений на примере проводников прямоугольного сечения. Отобразим все пятна относительно четырёх граней проводников. Припишем пятнам-отражениям токи тех же знаков, что и в исходных пятнах. Общее распределение потенциала найдём как сумму полей всех пятен для случая полупространств. В силу зеркального метода построения системы пятен границы периферийных трубок тока совпадут с границами проводников.

В параграфе 3.5 сформулированы выводы по главе 3.

Глава 4 состоит из четырёх параграфов и посвящена применению разбиения проводников на трубки тока к определению параметров схем замещения контактов и некоторым прикладным проблемам.

В параграфе 4.1 обобщена модель Хольма-Буша23 стягивания тока вблизи пятна контакта на случай многоточечного контакта. Указанная модель является одной из моделей стягивания тока для одноточечного контакта (рис. 5), и представляет собой упрощение сферической модели пятна. В каждом из двух коаксиальных цилиндрических проводников граница реальной области стягивания заменяется полусферической оболочкой радиуса, равного радиусу электродов. Данная оболочка делит трубку тока пятна на две области. Внутри области стягивания линии тока направлены ради-ально к центру пятна (заменяющей его сферы), а вне её - параллельны оси цилиндров. Данная модель позволяет достаточно просто оценить сопротивление R и индуктивность L стягивания:

22 Хольм Р. Электрические контакты. - М.: ИЛ, 1961.

23 Хольм Р. Электрические контакты. - М.: ИЛ, 1961.

la

L = C(B-b),

где р - среднее удельное сопротивление материала контакта в области стягивания, а - радиус пятна, С=^//о(21п2—1)Лг, ¡1 - магнитная проницаемость, //0=4;г10'7 Гн/м, Ь=2а!ж - диаметр сферы бесконечной проводимости, заменяющей пятно.

Рис. 5. Модель Хольма-Буша. а - радиус пятна; Ь - радиус сферы бесконечной проводимости; В - радиус цилиндрических проводников.

Рис. 6. Модель Андеа-Делесега. 1,2 - цилиндрические проводники; 3 - тор кольцевого контакта; 4, 5 - границы торов стягивания радиусов Т\ и С; а - радиус сечения тора 3; А - радиус проводников 1,2.

Подход, развитый Бушем и Хольмом, применён к кольцевому контакту двух коаксиальных цилиндрических проводников в работе П. Андеа и И. Делесега24. При этом в отличие от модели Хольма-Буша область стягивания в каждом из электродов разрывна и составлена из двух торов, имеющих в сечении четверть круга (рис. 6). Радиусы этих кругов различны и определяются размерами электродов и расстоянием между пятнами.

Построим дальнейшее обобщение модели Хольма-Буша, на случай многоточечного контакта двух проводников прямоугольного сечения, использующее построенное разбиение проводников на трубки тока. Заменим по Хольму каждое пятно эквивалентной сферой бесконечной проводимости (рис. 7). Учёт свойств одиночных и групповых пятен приводит к тому, что трубки тока близки к многогранникам Вороного. Пусть каждая трубка тока представляет собой цилиндрическую поверхность, сечение которой есть многоугольник Вороного для центра пятна в плоскости контакта. Область стягивания каждого пятна ограничена поверхностью, опирающейся на его многоугольник Вороного. Линии тока вне области стягивания тока

24 Andca P., Delesega I. About the current density in electrical contact // Proceedings of the 20th International Conference on Electrical Contacts, 2000, Stockholm, Sweden.

пятна параллельны оси трубки тока. Внутри области стягивания линии тока прямолинейны и направлены к центру заменяющей пятно сферы.

Рис. 7. Обобщённая модель Хольма-Буша для случая многоточечного контакта.

Рис. 8. Кусочно-цилиндрическая граница области стягивания одного пятна, опирающаяся на многоугольник Вороного его центра.

Сохраним в модели то свойство, что сечение границы области стягивания плоскостью, проходящей через центр пятна и нормальной этой границе, является четвертью круга. Отсюда получаем, что граница области стягивания составлена из частей прямых круговых цилиндров, проецирующихся на треугольники, на которые разбивается многоугольник Вороного (рис. 8). Ось каждого цилиндра лежит в плоскости пятен, проходит через центр пятна и параллельна соответствующей стороне многоугольника Вороного. Радиус цилиндра равен высоте, опущенной из центра пятна на сторону многоугольника.

Теперь параметры трубок тока можно определять аналогично Хольму-Бушу, но с помощью аппарата разбиения Вороного. При этом роль В играет характерный размер трубки тока.

В параграфе 4.2 проведено моделирование коммутации тока с одного контактного пятна на другое при размыкании контакта. Рассмотрим случай двух контактных площадок, соответствующий линейному самоустанавливающемуся контакту после большого числа отключений, и переходный процесс коммутации тока с одной площадки на другую. Будем рассматривать две пары сферических неровностей разных радиусов. Это означает, что размыкание пар неровностей происходит неодновременно, и при снятии упругой деформации в меньшем из пятен, произойдёт сброс тока на остающееся пятно.

Механически наша система может быть описана в терминах задачи Герца. Динамика сближения к контактов описывается уравнением

где /.1=т\т21(т1+т2) - приведённая масса контактов, Л* —деформация /-й пары неровностей, /=1,2, Ф(х) - единичная функция Хевисайда, V - относительная скорость контактов после отброса, к=2ЯИ'/(51ХД+Я')),

опк - коэффициент Пуассона, Еь - модуль Юнга к-то тела, £=1,2, Я,Л' - радиусы кривизны неровностей.

С другой стороны рассмотрим переходный процесс перераспределения тока в параллельном соединении двух трубок тока. Сопротивления .й/ и индуктивности ЬI трубок определим по §4.2. Они зависят от переменной геометрии трубок и, соответственно, от времени. Модель замыкается уравнениями Кирхгофа и теплопроводности для сферической модели пятна.

Расчёты показывают, что ток постепенно переходит на большее пятно, а напряжение на контакте (параллельном соединении пятен) растёт. В момент, близкий к моменту полного размыкания первой пары неровностей, напряжение испытывает скачок. Представляет интерес также тот факт, что график изменения со временем доли тока в меньшем пятое имеет сглаженный максимум, то есть в течение размыкания неровности, несмотря па то, что радиус пятка уменьшается, меньшее пятно продолжает оттягивать на себя какую-то долю тока: Построенная методика позволяет оценивать поведение контактной системы при размыкании и строить временные зависимости механических, электрических и тепловых характеристик контактов.

В параграфе 4.3 рассмотрен ещё один пример применения результатов главы 3. Это развитие методик прогноза срока службы контактных соединений. Известные методики определения ресурса контактов25'26'27 базируются на моделях окисления контактов и проникновения окисла на контактные пятна. Показано, что наряду с применением разбиения на трубки тока в существующих методиках возможно учесть с геометрических позиций другие факторы - расчёт при произвольном профиле плёнки в пятне; при разных скоростях диффузии кислорода сквозь окисел и металл; при временной разнице в окислении внутренних и внешних пятен группового пятна (вследствие фильтрации кислорода внешними пятнами).

В параграфе 4.4 сформулированы выводы по главе 4.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, а также затронуты проблемы, требующие дальнейших исследований.

25 Брон О. Б., Евсеев М. Е., Фридман Б. Э., Мирошников И. П., Федоров В. Н. Прогнозирование поведения замкнутых контактов при длительной эксплуатации в различных средах // Электротехника, 1978, №2.

26 Дзекцер Н. Н., Висленев Ю. С. Многоамперные контактные соединения. - Л.: Энергоатомиздат, 1987.

27 Справочник по расчету и конструированию контактных частей сильноточных электрических аппаратов / Адоньсв Н. М., Афанасьев В. В., Борисов В. В. и др. - Л.: Энергоатомиздат, 1988.

Приложения содержат вывод коэффициентов главной диагонали минимизируемой в главе 2 квадратичной формы токов пятен и особенности численного построения разбиений Вороного и Делоне.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В настоящей работе исследовано влияние многоточечности и геометрической структуры электрического контакта на его характеристики. Построено новое точное решение для системы уравнений электро- и теплопе-реноса в замкнутых многоточечных контактах, показывающее, что потенциалы пятен, а также плотности тока в них зависят от всей совокупности геометрических параметров пятен. Решение содержит произвольные параметры, что оставляет возможность для исследования «функциональности» решения и управления ею. Построено разбиение контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен, базирующееся на разбиении Воро-ного-Делоне, и с помощью которого находятся координаты особых точек двумерных векторных полей, а для многоточечного контакта обобщена модель стягивания тока Хольма-Буша. Объединение подходов Вороного-Делоне и Хольма-Буша даёт нам инструмент исследования многоточечных физических систем с геометрических позиций, в частности моделирования процессов в контактах при изменяющихся размерах пятен. Дальнейшего исследования требует гипотеза о замкнутых трубках тока, связывающих пары пятен, и, следовательно, вопрос адекватности структуры схем замещения исследуемым контактным узлам.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Samoilov V., Akachev S., Kapustin V., Meshcheryakov V. Physical processes at opening contacts // Proceedings of the 45th IEEE Holm Conference on Electrical Contacts, October 4-6,1999, Pittsburgh, USA. P. 111-120.

2. Самойлов В. В. Моделирование контакта металлов в случае больших токов // Тезисы докладов VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», 12-15 апреля 2000 г., Москва. Серия «Физика». С. 273.

3. Самойлов В. В. Расчёт коммутации тока с одной контактной площадки на другую при размыкании сильноточных контактов // Труды III Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических и социальных систем и процессов», 26-30 июня 2000 г., Ульяновск. С. 55.

4. Мещеряков В. П., Акачев С. А., Капустин В. В., Самойлов В. В. К вопросу о времени неподвижности дуги отключения на размыкающихся контактах // «Электротехника», 2000, № 7. С. 29-36.

5. Самойлов В. В. Имитационное моделирование расширения опорной площадки сильноточной дуги на размыкающихся контактах автоматического выключателя // Материалы III Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем-00» (МНС-2000), 20-22 октября 2000 г., Красноярск. С. 225-226.

6. Самойлов В. В. Численные расчёты электрических, температурных и механических полей в замкнутых сильноточных контактах. Построение модели // «Учёные записки УлГУ. Серия физическая», 2000, вып. 2. С. 40-50.

7. Самойлов В. В. Распределение тока в иерархической структуре электродных пятен // Труды IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», 10-12 декабря 2001 г., Ульяновск. Секции естественнонаучных дисциплин. С. 62-64.

8. Мещеряков В. П., Самойлов В. В., Акачев С. А., Благороднова Ю. В. Методика расчёта эрозии контактов низковольтных выключателей при токах короткого замыкания // Сборник докладов Международной конференции «Электрические контакты ЭК-2002», 22-25 мая 2002 г., Санкт-Петербург. С. 117-121.

9. Самойлов В. В. Моделирование электрических и температурных полей в замкнутых многоточечных контактах // Труды V Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», 16-18 июня 2003 г., Ульяновск. С. 149-151.

10. Самойлов В. В. Применение метода Вороного-Делоне к изучению процессов в многоточечных контактах // Труды V Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», 16-18 июня 2003 г., Ульяновск. С. 151-153.

11. Самойлов В. В. Моделирование процессов электро- и теплопере-носа в замкнутых многоточечных контактах // Сборник тезисов международной конференции «Электрические контакты и электроды ЭК-2003», 1521 сентября 2003 г., Кацивели, Украина. С. 72-73.

12. Самойлов В. В. Разбиение электродов на трубки тока отдельных пятен и его применение к моделированию многоточечных контактов // Сборник тезисов международной конференции «Электрические контакты и электроды ЭК-2003», 15-21 сентября 2003 г., Кацивели, Украина. С. 7375.

13. Самойлов В. В. Обобщение модели Хольма-Буша стягивания тока для многоточечных контактов // Сборник тезисов докладов 10 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-10,1-7 апреля 2004 г., Москва. С. 726-728.

14. Самойлов В. В. Развитие модели стягивания тока в случае многоточечного контакта // Материалы III международного семинара «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах», 22-24 апреля 2004 г., Воронеж. С. 140143.

Подписано в печать 12.05.04. Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman Cyr. Усл. печ. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ №67144д

Отпечатано с оригинал-макета в Лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42

04" 1 45 70

Введение

Глава 1. Моделирование электрических и температурных полей в замкнутых многоточечных контактах

1.1. Существующие теоретические модели электрических контактов (литературный обзор).

1.2. Неточности при рассмотрении электротепловых процессов в контактах

1.2.1. Недостатки в постановке краевых задач.

1.2.2. Влияние термоэлектрических эффектов на процессы в сильноточных контактах.

1.3. Постановка краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутых многоточечных контактах.

1.3.1. Уравнения краевой задачи.

1.3.2. Граничные условия краевой задачи.

1.3.3. Коэффициенты краевой задачи.

1.4. Выводы.

Глава 2. Структура электрических и температурных полей в замкнутых многоточечных контактах

2.1. Сведение задачи к краевой задаче для уравнения Лапласа.

2.1.1. Преобразование уравнений без учёта термоэлектрических эффектов.

2.1.2. Преобразование уравнений с учётом термоэлектрических эффектов.

2.1.3. Преобразование граничных условий.

2.2. Построение решения краевой задачи.

2.2.1. Структура решения.

2.2.2. Построение добавочных функций.

2.2.3. Выражение для плотности тока в пятнах.

2.2.4. Принцип минимума диссипации энергии.

2.2.5. Задача математического программирования для токов пятен.

2.3. Исследование решения краевой задачи.

2.3.1. Результаты расчётов.

2.3.2. Гипотеза о существовании замкнутых трубок тока.

2.4. Обобщённый подход к определению сопротивления стягивания.

2.5. Выводы.

Глава 3. Применение метода Вороного-Делоне к разбиению контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен

3.1. Метод Вороного-Делоне.

3.1.1. Введение в метод.

3.1.2. Совокупность трубок тока отдельных пятен как обобщённое разбиение Вороного.

3.2. Построение разбиения на трубки тока отдельных пятен в плоскости контакта.

3.3. Нахождение положения особых точек модуля плотности тока.

3.4. Построение разбиения на трубки тока отдельных пятен в объёме проводников.

3.4.1. Случай полупространств.

3.4.2. Случай проводников конечного сечения.

3.5. Выводы.

Глава 4. Применение разбиения контактирующих проводников на трубки тока к изучению процессов в многоточечных контактах

4.1. Обобщение модели Хольма-Буша на случай многоточечных контактов

4.2. Расчёт переходного процесса коммутации тока с одного контактного пятна на другое при размыкании сильноточных контактов.

4.3. Развитие методик определения ресурса контактных соединений.

4.4. Выводы.

Актуальность исследования

Математическое моделирование физических и технологических процессов в настоящее время приобретает решающее значение в связи со значительным повышением быстродействия компьютеров и драматическим снижением их стоимости. Но одновременно с этим усложняются и математические модели рассматриваемых процессов, приобретающие, к тому же, новые черты. Рассмотрим некоторые из них.

Существующие модели становятся всё более сложными и структурированными вслед за системами, которые они описывают. В многообъектных, многокомпонентных, зачастую иерархических, системах проявляются процессы взаимовлияния компонентов, что не может не найти отражения в моделях этих систем для адекватного описания их поведения.

Математические модели с «непрерывным» математическим аппаратом не всегда могут описать особенности системы или процесса. Современные модели в той или иной степени дискретны. Это или присутствие дискретных переменных, или применение изначально дискретного аппарата моделирования, например, клеточных, в том числе составных, автоматов, или постановка задачи, учитывающая дискретные, например комбинаторные, свойства системы.

Сложность моделей вслед за сложным поведением физических и технологических процессов также может быть обусловлена топологией источников полей, в том числе их относительным расположением и большим количеством.

Все отмеченные особенности в полной мере возникают при исследовании процессов переноса в электрических контактах. Проблема изучения процессов электро- и теплопереноса в электрических контактах остаётся актуальной на протяжении нескольких десятилетий. Контакты являются критическим звеном в электрических цепях различного назначения и для них традиционны задачи обеспечения устойчивой работы -уменьшения эрозии, дребезга, предотвращения сваривания и т. п. явлений. На современном этапе развития науки и техники контактные явления продолжают играть ключевую роль при разработке исследовательских методик и конструировании новых коммутационных аппаратов. При этом тенденции миниатюризации приборов и устройств, более плотной упаковки элементов в приборах, повышения коммутируемых токов, напряжений и мощностей ведут к более жёстким режимам работы контактных элементов.

Отметим особенности, присущие электрическому контакту.

Во-первых, электрический контакт двух поверхностей принципиально дискретен вследствие отклонения реальной поверхности от идеальной. Наличие нескольких уровней такого отклонения (макроотклонения, волнистость, шероховатость, субшероховатость) приводят к иерархии размеров контактных пятен и группировке пятен на вершинах отдельных элементов поверхности (рис. 0.1). При движении по иерархии размеров контактные пятна можно рассматривать как кластеры более мелких пятен.

Во-вторых, физические явления в электрическом контакте весьма разнообразны. Процессы в электрических контактах сопровождаются взаимосвязанными изменениями электрических, магнитных, температурных и механических полей, геометрии и топологии структуры системы (изменением числа и размеров контактных пятен), а также фазовыми переходами (плавлением и испарением материала в пятнах) и химическими процессами (образованием плёнок различной природы). При этом связи между процессами обусловлены, в первую очередь, температурными зависимостями характеристик системы.

Требования обеспечения устойчивой работы контактов в более жёстких условиях диктуют необходимость учёта более низких уровней иерархии размеров пятен, то есть учёта контактных пятен, связанных не только с

Рис. 0.1. Многосвязность механического контакта двух поверхностей с волнистостью и шероховатостью. Пятна схематически показаны круглыми. На плане сплошной линией, пунктиром и штриховкой показаны номинальная, контурная и фактическая площади контакта соответственно. Ширина эквивалентного зазора L определяется из равенства объёмов выступов и впадин. волнистостью, но и с шероховатостью и даже с субшероховатостью, и изучения физических процессов в контакте с учётом эффектов более высокого порядка, например, термоэлектрических эффектов.

Возможности существующих экспериментальных методов при исследовании процессов в контактах ограничены. Визуальное наблюдение процессов и прямые измерения их характеристик в контактных зонах микронных размеров исключены. Введение измерительных элементов может существенно исказить параметры контактов, в частности, электрические. Поэтому, в данном случае, наиболее результативным методом исследования процессов в контактах являются теоретические исследования в сочетании с математическим моделированием.

Для решения проблемы контактных явлений необходимо математическое моделирование процессов в контактах, то есть создание и исследование математических моделей, принципиальными элементами которых являются многоточечностъ контакта и взаимовлияние пятен.

В настоящее время при моделировании многоточечных контактов используются два подхода - исследование краевых задач для процессов переноса и исследование схем замещения контакта.

Краевые задачи для процессов переноса в многоточечных контактах можно классифицировать как задачи со многими случайно расположенными источниками поля. Аналитическое решение, построенное для многоточечного контакта, универсально в смысле произвольного расположения источников и применимо к аналогичным задачам электроразведки [0.1], селективной диффузии примеси через многооконную защитную маску при производстве полупроводниковых приборов [0.2], использовании полупроницаемых мембран [0.3], зондовых методов измерения удельного сопротивления полупроводников [0.4] с упорядоченным расположением источников. Для развития этого направления исследований представляется целесообразным поиск новых аналитических решений, учитывающих температурные зависимости максимального количества факторов, то есть повышение идеальности математических моделей. Этому может способствовать тот факт, что в системе наблюдается большая степень подобия - совокупность элементов-пятен близкой формы, -и даже самоподобия - пятна образуют иерархию по размерам и пространственному расположению. Также представляется целесообразным корректный учёт физических эффектов более высокого порядка, например, термоэлектрических эффектов.

Моделирование процессов в контактных системах с помощью схем замещения используется как в научно-исследовательской, так и в инженерно-конструкторской практике, например, для создания инженерных методик расчёта (приближённых расчётов без катастрофической потери точности). При исследовании схем замещения многоточечного контакта возникают проблемы выбора элементов схем и определения параметров (сопротивлений и индуктивностей) элементов и всей схемы. Традиционно рассматривается параллельное или последовательно-параллельное соединение областей стягивания тока и плёнок в отдельных пятнах контакта, параметры которых принимаются одинаковыми. Для сопротивления и индуктивности всей схемы это означает усреднение параметров элементов по числу пятен. Понятно, что такой подход грубый и для более точного определения параметров схемы необходимо использовать информацию о геометрической структуре контакта. В настоящей работе предлагается в качестве элемента схемы замещения принять сразу всю трубку тока, протекающего через отдельное пятно. Заметим при этом, что выяснение структуры схемы замещения контактного узла требует отдельного исследования.

Сопротивления и индуктивности схем замещения являются функционалами от пространственных распределений электромагнитных и тепловых полей и выражаются через интегралы от этих распределений. Для их нахождения необходимо определить как области интегрирования, так и подынтегральные функции - распределения потенциала и температуры в контактирующих проводниках. Таким образом, встают проблемы построения разбиения пространства контактирующих проводников на типичные области (трубки тока отдельных пятен), которые будут служить элементами схемы замещения, и, опять же, решения краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса.

Таким образом, представляется насущным проведение математического моделирования процессов электро- и теплопереноса в замкнутых многоточечных контактах, а именно построение аналитических моделей, изначально учитывающих температурные зависимости наибольшего числа факторов, построение разбиения проводников на трубки тока отдельных пятен контакта и разработка на их основе методик численного расчёта характеристик контактных узлов.

Цель и задачи исследования

Основной целью диссертационной работы является моделирование процессов электро- и теплопереноса в замкнутых электрических контактах с учётом их многоточечности и взаимовлияния пятен контакта друг на друга.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Построить и исследовать новое точное решение краевой задачи для процессов электро- и теплопереноса в многоточечном замкнутом контакте, пятна которого покрыты плёнкой, с учётом термоэлектрических эффектов.

• Разработать алгоритм разбиения пространства контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен и определения геометрических и электрических параметров этих трубок.

• Исследовать процессы электро- и теплопереноса в многоточечном контакте в условиях изменения параметров трубок тока пятен.

Методологическую базу исследования составили фундаментальные работы Г. Ф. Вороного [0.5] и Н. Б. Делоне [0.6] по построению разбиений плоскости и пространства; А. Я. Сочнева [0.7] по определению напряжённости векторного поля и теории особых точек поля; Р. Хольма [0.8],

Е. И. Кима, В. Т. Омельченко, С. Н. Харина [0.9] и С. А. Некрасова [0.10] по исследованиям электрических и тепловых полей при различных режимах работы контактов. Характер и направление исследования во многом были определены работами и концепциями Н. Н. Медведева, А. В. Скворцова, Н. Е. Лысова, О. Б. Брона, В. Е. Решетникова, В. Мерла, Дж. Гринвуда, К. К. Намитокова, Н. Б. Дёмкина, Н. Н. Дзекцера, В. В. Измайлова, Ю. М. Долинского, В. С. Савченко, А. П. Левина, Р. Малуччи, Л. Бойера и других учёных.

В исследовании непосредственное применение нашли методы математической физики, векторного анализа, линейной алгебры, вычислительной геометрии, электродинамики, теории теплопроводности, физической кинетики, теории упругости и пластичности и теоретической электротехники.

Научная новизна исследования

1) Показано, что при исследовании процессов переноса в сильноточных многоточечных контактах нельзя пренебрегать термоэлектрическими эффектами и их необходимо учитывать, как и при' рассмотрении слаботочных контактов.

2) Впервые построено точное решение краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом контакте двух проводников в виде полупространств с одновременным учётом термоэлектрических эффектов, многоточечности контакта и присутствия плёнок окисления на пятнах контакта.

3) Впервые математический аппарат разбиения Вороного-Делоне применён к изучению процессов в многоточечных контактах. Построено разбиение контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен контакта. Показано, что границы пар трубок тока определяются электрическими полями соответствующих пар пятен и приближённо описываются частями гиперболоидов. Вследствие малой дисперсии параметров пятен гиперболоиды почти вырождены и близки к плоскостям, а разбиение электродов на трубки тока в плоскости контакта близко к классическому разбиению Вороного для центров пятен.

4) Модель Хольма-Буша стягивания тока в проводниках конечного сечения обобщена на случай многоточечного контакта. Показано, что построенная модель может быть применена к исследованию процессов в контактах при изменяющейся геометрии пятен.

Практическая значимость исследования

Работа носит теоретический характер. Можно отметить следующие приложения результатов исследования:

1) С помощью физических аналогий метод решения и исследования краевой задачи для процессов электро- и теплопереноса может быть применён к другим «многоточечным» задачам - например, к электроразведке с помощью многих электродов или к расчёту диффузии сквозь многооконный шаблон при производстве полупроводниковых приборов.

2) Построенное решение краевой задачи может быть использовано при разработке и усовершенствовании методик исследования кинетических свойств проводников при высоких температурах.

3) Алгоритм разбиения электродов на трубки тока пятен может быть применён для приближённого определения особых точек и сепаратрис физических полей, полученных суперпозицией от многих источников.

4) Разработанный алгоритм определения параметров трубок тока может быть использован при составлении и исследовании схем замещения контактных узлов.

5) На основе результатов исследования возможно усовершенствование существующих методик прогноза срока службы контактных соединений.

6) Созданные модели и алгоритмы могут быть использованы при разработке и конструировании контактных систем новых автоматических выключателей низкого напряжения.

Основные положения, выносимые на защиту

1) Новое точное решение краевой задачи для стационарной системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом многоточечном контакте проводников в виде полупространств, учитывающее термоэлектрические эффекты и наличие плёнок окисления в пятнах контакта.

2) Пятна многоточечного контакта неэквипотенциальны, а пространственное распределение плотности тока в отдельном пятне зависит от геометрии всех пятен.

3) Метод определения токов пятен по минимизации функционала энергии, выделяющейся в контактной системе, который сводится к квадратичной форме токов пятен.

4) Новый приближённый метод разбиения пространства электродов на трубки тока отдельных пятен, основанный на разбиении Вороного-Делоне.

5) Обобщение модели Хольма-Буша стягивания тока для случая многоточечного контакта.

Личный вклад автора в получение результатов исследования: сведение системы уравнений электро- и теплопереноса к уравнению Лапласа и построение нового решения уравнения Лапласа проведены совместно с научным руководителем, д. ф.-м. н., профессором В. М. Журавлёвым; разработка теоретических положений, построение моделей и методов их исследования, постановка задач, проведение аналитических и численных расчётов, анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 45-й международной Хольмовской конференции по электрическим контактам Holm

1999 (Питтсбург, США, 1999 г.); 7-й международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» (Москва,

2000 г.); 3-й международной объединённой конференции «Математическое моделирование физических, экономических и социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2000 г.); 3-м всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем-00 (МНС-2000)» (Красноярск, 2000 г.); 4-й международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001 г.); Международной конференции «Электрические контакты (ЭК-2002)» (Санкт-Петербург, 2002 г.); 5-й международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2003 г.); Международной конференции «Электрические контакты и электроды (ЭК-2003)» (Кацивели, Украина, 2003 г.); 10-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-10 (Москва, 2004 г.); 3-м международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2004 г.); научных семинарах кафедры теоретической и математической физики Ульяновского государственного университета, кафедры физики Тверского государственного технического университета, научно-исследовательского отдела ЗАО «Контактор» (Ульяновск).

Результаты диссертации использовались также при написании отчёта о НИР по теме «Исследования процессов гашения электрической дуги большой мощности в автоматических выключателях» (ЗАО «Контактор») и при руководстве дипломными работами по электроприводу и автоматизации промышленных установок и технических комплексов.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 14 работах. Из них 2 -статьи, 2 - опубликованы в трудах конференций, 10 - в тезисах докладов конференций и семинаров.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, двух приложений, списка литературы из 108 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, изложена на 149 страницах печатного

4.4. Выводы

1. На основе разбиения на трубки тока обобщена модель Хольма-Буша стягивания тока для случая многоточечного контакта.

2. Определены сопротивления и индуктивности трубок тока отдельных пятен.

3. Составлены схемы замещения контактных систем с параметрами, определёнными по обобщённой модели Хольма-Буша. Предложенный подход применён к моделированию размыкания многоточечного контакта и к развитию методик определения ресурса контактных соединений.

Заключение

В настоящей работе исследовано влияние многоточечности и геометрической структуры электрического контакта на его характеристики. Главными итогами работы являются новое точное решение для системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутых многоточечных контактах и метод разбиения контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен.

Построенное точное решение для системы уравнений переноса в замкнутых многоточечных контактах показывает, что потенциалы пятен, а также плотности тока в них зависят от всей совокупности геометрических параметров пятен. Решение содержит произвольные параметры, что оставляет возможность для исследования «функциональности» решения и управления ею.

Построенное разбиение контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен базируется на разбиении Вороного-Делоне. С помощью развитого метода находятся координаты особых точек двумерных векторных полей, полученных суперпозицией от многих источников. На основе этого метода модель стягивания тока Хольма-Буша обобщена для многоточечного контакта. Объединение подходов Вороного-Делоне и Хольма-Буша даёт нам инструмент исследования многоточечных физических систем с геометрических позиций, в частности моделирования процессов в контактах при изменяющихся размерах и расположении пятен. Дальнейшего исследования требует гипотеза о замкнутых трубках тока, связывающих пары пятен, и, следовательно, вопрос адекватности структуры схем замещения исследуемым контактным узлам.

Основные научные результаты, сформулированные, обоснованные и полученные в настоящем исследовании заключаются в следующем:

1. При исследовании процессов электро- и теплопереноса в сильноточных многоточечных контактах нельзя пренебрегать термоэлектрическими эффектами и их необходимо учитывать, как и при рассмотрении слаботочных контактов. Плотность тока в отдельном пятне слабо меняется при переходе от слаботочного (одноточечного) контакта к сильноточному (многоточечному), поэтому также слабо меняется соотношение мощностей джоулевых и томсоновых потерь.

2. Впервые построено точное решение краевой задачи для системы уравнений электро- и теплопереноса в замкнутом контакте двух проводников в виде полупространств с одновременным учётом многоточечности контакта, термоэлектрических эффектов и присутствия плёнок окисления на пятнах контакта. Распределение плотности тока в отдельном пятне многоточечного контакта качественно может отличаться от распределения плотности тока в контакте с единственным пятном. Процедура построения решения включает в себя метод определения токов пятен по минимизируемой энергии, выделяющейся в контактах.

3. Впервые математический аппарат разбиения Вороного-Делоне применён к изучению процессов в многоточечных контактах. Построено аналитическое, а затем и численное разбиение контактирующих проводников на трубки тока отдельных пятен контакта. Показано, что границы пар трубок тока определяются электрическими полями соответствующих пар пятен и приближённо описываются частями гиперболоидов. Вследствие малой дисперсии параметров пятен гиперболоиды почти вырождены и близки к плоскостям, а разбиение электродов на трубки тока в плоскости контакта близко к классическому разбиению Вороного для центров пятен.

4. Модель Хольма-Буша стягивания тока в проводниках конечного сечения обобщена на случай многоточечного контакта. Показано, что построенная модель может быть применена к исследованию процессов в контактах при изменяющейся геометрии пятен, в частности в размыкающихся многоточечных контактах.