автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Забачи стабилизации нестационарных периодических и почти периодических систем автоматического управления

томский ордена октябрьской ррволвции и ордена трудового красного знамени госндорствегннп унивпргйтет ну.ени в.в.куйшева

Н* правок рукописи

КОТИРГННй АЛЕКСАНДРА СТАНИСЛАВОВНА ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И

почти периодических Систем автоматического управления

СпвЦйадьнос*ь 054 13.01 - Упрээл?низ ё теяпических системах

автореферат

дисЛёртацнн на соискание ученей степчнч кандидата технических Наци

Томск - 19?2

Работа выполнена у Омской политехническом институте

Научный руководитель: диктор технических наук.

про^ьссор Й.И.Параев

Официальны* оппсивитн: диктор технических наук,

гаЕ.отделан Н№! йЗП В.И.Алексеев

I

кандидат технических наук, доцеит В.Оиыатив

Ведущая организация: КБ ПО " Полег", г.Омск

Эащиа состоится года

в _________часов на засьдании специализированного совета

Д 063.53.03 Томского ордена Октябрьской Револшции и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени В.ОуЛбииева I634010, г, Томск, проспект Ленина,36).

С диссертацией ыоино ознакомиться в Научной библиотеке Томного государственного унивнрситета.

асгуёГЪ

Автореферат рнгослан ___952г.

Ученый секрктарь спеЦиэлизирйЕачного совета кандидат фиэико - иатёмати-

.О

ческих наук, доцент Ь-\ // /1 Б.Е.Тривохенк

/

•;*пj сезая хрдктеритичй работы

fi к т у э л ь н о с т ь. О^на из задач, яозникасцих при конструировании систсч автоматического управления ( СПИ ) - задача стабилизации, состоящая в ойесиечзнии затухания отклонений гщранетров управляемого об'екта от раичлт.чого режима, желательно с максимально больгой - окопонен.чизльмой по ерзиеки - скоростью. Математически эта задача приводится к обеспечении экспоненциальной устойчивости соответствуяяе-го ролеиия систени дифференциальнкя уравнений. ипксывэтащх цин1микц САУ. D связи с больэой практической ьавностьп пой задач:» в ВО -- е годн началась интенсивная разработка методой стабилизации СА9 в работах В.А.Зкубозича, Р.Кглмана, П.К.Лурье и В.Н.Постникова, В.М.Попова, Е.Й.Попова. А.А.Воронова. В.Н.Андреева. А.Н.Лзтспа к других. Получен ряд глубоких трг-ретическйх результатов успешно реаено Збльвое число конк-рвтнйх задач сичтсза CAS, Имеется класс задач стабилизации, приводящий к анализу нестационарных систем цифференци.мальных уравнений'с п 6 р и о д я ч е с к и н и ми почти п е р и о r/h ч е с к и H и коэффициентами» Зэяньш примером такого класса, задач являются задачи управления ориентацией косничес.чих аппаратов С НА). В периодическом ;лучае и»евтся хоропо известие метода расчета На стабнлнза-зив, основанные на теорки мультипликаторов Флокв - Ляпунова, эднако в конкретных задачах они иогуг оказаться h е э о -} б н t и н а н и из-за вычислительной неусТобчисости Алгоритма внчИсления нультипликэторов. В почти периодическом :лучее обэде подходи к решении задачи стабилизации практически не разработаны.

3 связи с эти« является актуальной разработка эффективно ipOBepasaax критериев стабилизируеиости для нсстационэ'рнях тернодичесяих и почти периодических Ш й дчеТйй специфики эасснатриваэиого класса задач.

Цель раб о TU. Разработка, на основе метода оугжцйА Ьпуноза. практически .ярорвряакях критериев стаСяя«грде?уобтн ! экспоненциальной устойчивости) для неетационарпкх ппргодпччс-гяж а почти перипдйчейких Cfi'J и приивнение этих кршерйсв к

реыения некоторых задач синтеза систем управления Кй.

Научная новизна работы состоит в

- Разработке ыетода функций Ляпунова для линейных цочтн периодических систеи диффаренциальних уравнений.

- На этой основе получение коэффициентного признака стаби-дазируеиости для векторного л.швйьога дифференцкльного уравнения второго порядка с почти периодическими коэффициентам, встречаицегося в задачах управления ориентацией космических аппаратов. ;

- Получение критерия суеествования и экспоненциальной устойчивости периодического ревения квазилинейной периодической системы и оценки для его акплитудь по ааплитуде свободного чле на.

- На основе разработанных нетодов решение задачи управлеши ориентацией К9 с поиовьо пассивного кеипфировання и с покоцыз активного пряного (Еесткого) и неяркого (иягкогс) управлений,

- Разработка алгоритма и пакета программ для расчета степеь устойчивости СА9 , позволявшего (в стационарьоц и пернодаческс случаях) оценивать скорость экспоненциального затухал возкуцений.

Методы исследования. Математические модели систем управления построены с помомьи лагранхева формализма ке хашшн. Пнализ построениях ыоделей опирается на иетоды линейно алгебры, функционального анализа, теории функций, а такйе на разработанные в диссертационной работе критерии стабилизируемое™. Пакет програии для ЭВИ составлен на языке Паскаль.

Тейретическая и практическая це носи, Теоретические результаты работы (глава 2) представл вт самостоятельный интерес независимо от последуицих применени к синтезу Ш, В частности, результат пункта 2.1 существенно дополняет и утопает классическую теорему Ляпунова об асииптот «текпй устойчивости! нестационарных линейных систеи для вааного потного случая, когда матрица коэффициентов почти периодична, г; й;шетса новых и для хорого разработанного случая периодичес кик коэффициентов.

Реализация результатов работ и.

Диссертационная работа является составной частьв научно- не яздовательской работы,выполнялась в соответствии с планоа ФУН

- 3 -

дамеиталышх и поисковых НИР.

Работа шизана о госбюджетной тематикой кафздри мате-

матики Окского политехнического чнстпп'та (Гос. номера регистрация <02104513:), 0Ш0081 131.01Р507П4Г8 3 и хоздоговорными ПИР 333 - ИПУ.250 - НПУ с КБ 110 "Полет" г. Омск, которая выполнялась пп координационному плану НИР низов страня на 13Г!?-133Ь годи в области технической кибернетики ( раздел "норм и методика создания ЯСНИ"). Содвржаиилса з райоте рекомендации по синтезу систем управления ориентацией ¡'П применяется па практике, имеется акт внедрения.

Апробация работы. Отдельные результата работа докладывались на ссмикаре по те ори л дифференциальных уравнений в Омском политехническом институте под руководством доктора физика - математических наук Р.К.Романовского, с участием научннх сотрудников Института информационных технологий и прикладной математики СО ПН России н ведущих специалистов КЗ ПО 'Полет' ( 1900.1391 ,1932гг.Диссертация в целом докладывалась л Томской государственном учичсрсятето( 1932).

Структура и об 'ем работ и. Работа состоит из сведения, трех глав и приложения. Об'зм работы 137 иатвпо-пнених страниц, библиография 93 наименования. 14 рисунков.

И б л н к а ц и и. По томе диссертации опубликованы 7 работ.

основные пошения, ваносияис НА зпр.итз

1. Метод Функций Ляпунова для почти периодических линейных систем.

2. Коэффициентный признак стабилизируемое™ дла систем линейках дифференциальна« уравнений а-орого порядка п почти перко-вическими (в частности, с периодическими) коэффициентами. встое-чаюпихся в задачах управления ориентацией косиичеких аппарате!- ^

3. Критерий суяестЕисаиия и зксиаяеициалы/ой устойчивости периодического рвмзиия кпазшшнейнэй пэриодической системы, оценка его амплитудн по амплитуде свободного члзна. характеризуемо величину эксцзнтриситетних колебаний косчичвшгс аппаратов зтносително центра масс.

4. Рвение задач управления ориентацией космически/ аппара-

- 5 - ■

тов с поыокьо пассивного демпфирования, с понгщьв прямого управления, и с помяньи непрямого управления при двтении центр« иасс космического аппарата г.о эллиптической ( з первой случае) и круговой ( во втсром и третьей случаях).

5. Алгоритм, поззолялаий р&оать задачу оптимизации степени устойчивости для подкласса счс/ек автоиатического управления.

КРАТКОЕ СОДЕРВАНИЕ PftßOVU

В вспомогательной глава 1 содаряатся обзор работ, примыкавших к текс диссертации, постановка задачи диссертации (пункт М>. а так ве используемые далее обцие сведения о системах упразлчния с обратной связью (пункт 1,2).

Главы 2,3 является основными.

В теорзтичзсксй глэгз 2 устанавлиеаится, на основе метода Функций Ляпунова, признаки экспоненциальной устойчивости для некоторых классов линейных и квазилинейных систеи дифференциальных уравнений с периодический« и почти периодическими коэффициентам, используемые в главе 3 для ранения задач стабилизации САУ. Глазной результат главц содерхитсе в пункте 2,1.

.Определение. Функция a[t):{R—> ¡Г: называется почти периодической (принадлехит классу f ), если она являете*

тригонометрический многочленом с лвбыии часто

тами или, более пбцо, пределом равномерно сходящейся

на оси последовательности тригонометрических многочленов. Матрица Jft) нэзиваятся почти периодичоской, если осе ее элемзнтн почти периодические функции,

Рассмотрим систему уравнений с почти периодической матрицей

&' - а- -/Z; (1)

н Фуккцис Ляпцнзеа вида

<£/Sja,Jt>f 6,6 еР, (2)

где_/ - скалярное произведение ь С™ £*• ä,

С 1- - единичная матрица, т . - половительяая постоянная).

- •/ ~

Т е о р е и a i. Если для си^теин (1) существует функция Ляпунопа вила 12) такая, что произподьал

'ФаJ ' < Се * м +л*£)сг, х >

ФУНКЦИЙ (?.) В СКЛЧ СИСТвМ (1? УДСЗЛ510ирЯ8Т иСЛОСЧЯИ

1°. Vs'О для всех t

2°. для каждого ненулевого ревения я ft) снг.тйкн (1)

Футшия Vfaft), ¿) отлична от твгдссгсгннсю пу.чг, ?& сисгеи.ч Ш зкспокеншкш-нс- усгоАчкзз: щги /ибого peacfm

¡¿им л лАе (3j

где а/> •• половагельааи поетсянвии, '.

Закстин, что требования к ^ б теореме 1 значительно волге елгбае, чйя d теореко Лйлуньоа для обчих лнмейних сисгев с непрерывной ¡мтркцей *

Дсказатсдьстпо теоремк разбитб два пункта. В первой пункте доказано «тсткое утверждение: если иэтвица 5Ю * 1 удовлетворяет условиям rsopenu. то есть

/ АМ + А'Ш <0,

J

] < W)х ft), г-ft) >

^ О на ненулевая реветш,

то рсвекиг! исходной сист?.иа акспечсоциально устоЛ^псо.

Во еторск пункте путей гакегш Ляпунова л и ксхсдкая

систеаз приводится к зиду:

g* /rft^ , J, - ->

Очевидно, что

- Й -

Такин сбразои, иопад^и в условия первого пункта. 6 пуанта 2.2 на основе ширвии 1 получен коаффициинпшй признак акшомеициз иной устойчлвости для вектерного дн^ферзнцналь ного уравншша вида

а -г > +/¿¿2=0, с/(/71 -/г-} (4)

где матрицы. ¿И/)% удовлетворяет условняы

г/) Г3 + Р ; у- >/г/1} у- *{/) = ; с э >

Творема2, Если при условиях (5) выполняется иатрич-нио неравенства

+ |фИВСвх ¿г

? ■ / V (6)

( у т Ча У" > ¡Г' х01Я при одной

(т.е. матрица в левой част неотрицательно определена и хотд би при одно* ■£ пояотелыш определит), то уравнение (4) экспоненциальна устойчиво.

Ь пункте 2.3 рассматривается нелинейная система

Я'МаяГа^+ЯО, я'-* О (7)

здесь Й^й - еьклияова норьа иатрицц ^

I е о Р в в а 3, Если все слагаешь в правой части (7) Т ~ пйркодичнм по и система первого приблиаениа (1) эьспснаьцналько устойчива, то вблизи нулевого равновесие $той систеьш суыьсткузт единственное Т' - периодическое ревэние 5систэим (7), етс ренсние экспоненциально устойчиво к варка оцьнка

< таз: ¡///01 > {/

/¡ригиич еяпваин, в ситуации теорема 3 установлено сщест-(ованяз периодцчзсксго цстьиоьявиегося ретан с аиплитидой, пропорционально!*' амплитуде источника

Яостоягчшз А, , входяиие в (3), характеризу-

ем? амплитуду к скорость экспоненциального затдханкя зоэ-увечий, названы з работе я а-р.а и г т р а и н с т а-и л и з а ц и и . Для периодического случая в пункта 2.2 олучслы оцечг.и дла параметров стабидигзции. Таи аз введено умственное понятие 'пера обусловленности' периодической атриця

1^1) -- Т ГГ7а ¿г Л///У/ (8,

' ГСГ.7

ара/теризувцее вычислительна«) устойчивость или неустойчивость зоцедуры приблинейного вычисления мультипликаторов системы П: при малш; я та процедура вычислительно устой-

1в'а, при больших •• нет.

Отиетиа. чтп результаты теорем 1,2 для почш-периодичэских »аьнениА залявтия ксвимк и в периодическом случае.

Б главе 3 рассматривается задача управления ориентацией КО, |д который понимается обеспечение экспоненциально быстрого чухания ролеЭпний НА относительно центра масс с тем, чтоба :ь симметрии НП совпадала с направленная 'центр масс Ь'й -|Итр масс Звали'. анализу математических моделей управления здяеитвует в пунктах 3,1-3.3 вывод моделей с поиосьи лагран-ва формализма, 8 пункте 3,1 принята, без ущерба для прило-иий, упроченная конфигурация Кй( 'гравитационный диполь'", пунктах 3.2,3.3 реальная.

В пункте 3.1 изучается задача упразлзнна ориентацией Кй с иоць» пассивного демпфирования. Глазная трудность здась сос-ит в том, что рассматривается даихоние КА г.о орЗитв с п р о-э в о л ь н и н эксцентриситетом. В этой ситуации колебания нодвлирувтея нестационарный неоднородным нелинейный векторным авнениеи вида

с-мл гш=¿) ///

(95

где % & - сферические координаты е -

центригигет орбиты, d, У', ^ / периодична по t с ; оипдон Т'Я/Ч, - частота обращения спутника вокруг Зеилч при услигиш, чтпба орбита йияа круговой с тем se cat¡:m Фокальный параметром, /" '-У^ >/??! 9

/¿Г/J, cío

- матрица, иодельрцпщаа мьмнфирозамгг ('трение') и нааиеаеиа реСоте тензорои удельмоЛ диссип&цаи. Сводя фаговый ввкюр

.г --/г; р. Pj т (Н)

приводов (S) к виду (7) в ситуации твореии 3. Анализ устой-чнсости системы первого приближения иа стандартной методике «owotíbs '/улыипликагороь - «казздея малоэффективном, так как число (8:- здесь ив язачстся малый. Прныешш к системе перпог приближения (5) системы (3) теорему 2 а ^атем к системе

(8) тэореуу 3. получки, с учетом конкретного вида матриц ^ и наличия коэффициента при свободном члене ъ (9). елвдцвчий результат.

В ы в о д 1. Если компоненты тензора удельной диссипации

(9) удовлетворяют условиям:

{{({) >

d ' jjf'- s

i/ Ar, где К"/ /^¡Ij^l^-— ; "Jk.Jí: - массы и собственные иоиенп

i-.нерции основного тела и успокоителя, li- - расстояние ы

¡:?!гграии мл с о, г л Фаэоеий вы:гор СИ), начик авцийся вблизи

точки :0,0.0,0). с течением времени выходит с ькспонекцлзлы

скпрг.стьп на устэновлмийся рским незатухапких периодичзем

¡'г-.гс-аний с периоде« ¡T= к амплитудой 'пропорционально!

ы:сцентрис>тти ербктн.

В представлявшей рь-альнай интерес случай слабоэдяиятичес!

орбит акг.лктуда stих колебаний пренебрегло мала и с болыго!

cLUJ

- и -

шос.-ки нспно считать внполненноА оценку СЗ). Кз гезудьта-; глава 2 сяйдцмт приблигеккке оуркцлц для пара-мтроп с'аЗили-:ии.

Э пункте 3.2 рзсснатриБаетст задача г.табилиззд«.и иплчбанкй КП юио^ъш активного управления с обратной связью при сш:тствни ¡сивиого демпфирования. 9грои<вдно предположения: орбита М даолагаетса круговой {пээтпнз пзлцченкые рвконендеци;! йрнке-ш при дькйркии по сдгбоэллиптнчзской орбите), колебания КЛ |дполагаатся происходящими ь плоскости орбита. При этих ус-1иях колебания Кй оггисцЕавтся (после линеаризации и без учета .атной связи) стационарами векторным уравнением

^ = т, АЛ7, <12)

| & - угол отклонения ссн симыеши КА от оси 'центр маге

- центр масс Згилк', - цпр&влааднй угловой паоэиетр, % (прагляоциА мокзит,

Л*-Л', ¿>Р. (13)

[кдвчая н ¿стационар иди обратнуз связь специ-■него вида

4' - - ////Л^'л/7, (14)

I - периодическая или. более збас, п.п. фуциция,

- , получим нестационарная сиспшу пратго ■ »авяечиа (12) (14). Подставляя (14) в (12),приведем С1 ?" гиду (4), однако, коэффициентный критерий стабилизируемое^ I для уравнения (4) здесь нз работает: матрица а левой

!ти (6) оказызается внрогданапй при всех т^ . Приводя, юе, (4) к системе первого порядка (1) с оазовна вектором |рименяя более тонкий критерий теорема 1, получки В и в о д 2. Если в (12)-(14)

¿'и ~ К1 г

(1В)

где Я {/ • элеигтти «ачриц . то Особый

сектор удоп.'ытгоррет экгпонекцаелокой оценка '3).

Нррзвянгтзэ (<6). записанные в тоскинах коиструкишинх пар?иетров систеик, дачт, с учетом (15?, простой, практи-чес1;к реализуемый критерий стабипизирузмости. Полученный результат. в частности, показывает целесообразность применения нестационарного управления вида (14) к .стационарному объекту (12): в силу (1Ь) допустимы периодический импульс н не управления с налим носителем (рис. 1), трвбуювне иаяых затрат ® н е р г и и на Аорту.

V

ш)

п п п п

£

Рис. 1

В пункте 3.3 рассмотрена та ае задача при дополнительной условиями предполовении: штанге успокоителя не являатся абсо летио хесткой. Б этой случае ток ке колебания Кй опненгэвтея, дс введения обратной сгязн, стационарным уравнением вш!а (12),

& - угол прогиба итонги, - матрицы третьего порядк

удовлетворявшие 113). 3 этой ситуации дсбиться стабнлизиоу • ености с поаочья простойного импульсного управления вида (14) не удается, иозтому в пункте 3.3 предлагаете.! насколько рол^е словноэ непрямое импульсное управление с малой амплитудой:

■ . (1?)

где ( > о - «алий параметр, > с> - "тренид" в регу-

ляторе. Применяя к полученной нестационарной снстзиз урззнйний (12),(17) поиицип усреднения йогплп^пвд - К^члова и затсч чзстотпйй критерий ст.эЯиянзкрмогти длт стацконарнчх сизтсм негсяного управления с гаиильтоновии аярпвдяланм сбъкстм, чз-лучик"

В ц з о д 3. Если функция ^^у удовлетзоряет челуп-.т (15). V >с? и матрицы удозлетаоряат цгкотсрак

неравенствам, апалог!;чт:м (18) (эти неравенства вклтмии в пункте 3.3 в терминах конструктивных паоаиетров систем»), то при достаточно малой "амплитуде" > о <5>азозяй ьек-тор • «ув ¿> г удовлетворяет зкепонпнциальной оценке (3).

Представляет практический интерес выбор ь классе управлений зада (17) таких, которые, помимо трейозакия стабилизируемое™, удовлетворяет другим критериям качества. В прклоаешм к работе 1редлояеи алгоритм, пояполявчий оптимизировать степ з п ь устойчивости для подкласса систем непрямого уарзвле-¡ия ( применительно к системе из пункта 3.3 си соркулнруетса ) терминах параметров системы ч среднего значзння функции 15».

Имеется пакет программ, реализующий этот алгоритм. Б ре-»ультате счета найдены оптимальные ¡иоактеристнии переходах процессов изучаем* систем. Б связи с тек. что собственные шела система по вичнслаятся, программа работает 30 се,ч. и ¡езудьтаты точные, о чей имеется акт внедрения,

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ РАПОТИ

В результате проведенных в работе исследований получены еле-Швчие основные научные и практические результаты:

- 1'? -

i ,?r.r,работай истод фучкцай Ляпунова для линейных почти перло/;,1■>incm.x систем д^Сшренциадышх уравнений, на этой основе пог.;«йн »¡озтзэдммтквй признак стабшшруек'ости для векторного

дгу-гр^пиальиого ързвкешл второго порядка с почти пггл:эздчпс<;.{ки когадкзнентеки, гстречаэдсгося в задачах управ-.:гн.'.а ориентацией костдчосвих аппаратов.

2. Пллучск крктери* существования и экспоненциальной устойчИ ву.'тк пор;;о)1.ичпскогс реиения кеззилинейчсй периодической систем сиг.нка его елш(туян по амплитуде свободного члена.

?■, На основе полученнчх кутогос регаш задача управления ори еитацнвй г.осмлчзскнг аппаратов с поодьв пассивного декпоиро-ланид при движении центра касг космического аппарата по зллип-тичгской орЯитп.

■5. Ракет задача управления ориентацией космических аппарате с походы! правого управления при двивмии центра масс по круго-аей орбите.

5. Репека елдпча управления ориентацией косничоских аппарате с поносьа нппряного управления при дви2от.л центра масс по кру-гооой срСите.

6. Рз:.работаи алгоритн и пакет программ, позволявший репать задачу оптимизации твпени устойч;шости для подкласс! систей автоматического управления.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Котаргика А.С. Снагика E.U. Стссилпзацил линейных нчетацнонарнкх систеи с подинониальннии коэффициентами. // Тг-асг., 1SCC. - 15 с. - flen. в БИЙИТК.K34G3i - БЬО.

2. Китарп^а А.С. Стабилизация /.инойных стационарных систем при заданной качестве переходного процесса,// Томск, 1387. -12 е.- fien Б ВИНИТИ, ¡¡2 4239 - Е67.

3. ".от&угина А.С.Вычисление степени устойчивости к апровляввих п<:гчл.е;,)0з с задаче непрямого управления. // Омск, 1980, -

10 - Г.еп п ВИНИТИ, 6271 - В30. '

4. ¡¡ибрссслг.скпД С.Ы.. Котврпша А.С. Об устойчивости линейно-1 ч. AKCtpOi>eiiiytiAbitoro уразконяя зторого порядка с р»зрцвивни коэ^Снциенга«;! почти периодического типе, // Окск, 1591. - 10 с • Лги. а ВИНИТИ. ¡¡>2968 - 831.

ДобрсзольстеЛ С.М., Котсзгкна Й.С., Рггмновс кич Р.К. I' ^н-:-ях Ляпунова- ?лл почт:: периодических ли'/ай';!;;: •мет".!!. // Сие;, ияриит Ш'.ТЙПЦ, 1592. - 10 с.

Котиргияа Л.С.. РомэаосскаЛ Р.К. Пиалке чстзЛчнсоети л::чпГг гпгс кторпого уравнения второго порядка периодически»« кт.^итае:-:-*и. // Сиск.ОиПИ. ЗачАсчлтелы1цД отчет по .тпке Р ЗЬз - Ш, -8& г. - 28 с.

Которгшм Л.С., Снзикоз В.П.Стабилизация колебание откссиго/,:-цантра касс нелзсткого граоктзцконнсго дкполк с пзиог;ья ак--виого управления при отсутстски пассивного денгтгшроания. Омск. ОвПЙ. Закявчителышй отчот ло тгие Р 230-НПИ. - 1300. ЗЙ с. •