автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Частотные модели периодически нестационарных систем с распределенными параметрами

На правах рукописи <

Ли Бн Кван

ЧАСТОТНЫЕ МОДЕЛИ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор ЧЕЧУРИН Сергей Леонидович Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор ДРОЗДОВ Валентин Нилович кандидат технических наук, доцент ПОЛЯНСКИЙ Владимир Анатольевич

Ведущая организация: Научно-производственная фирма «Системавтоматика»

Защита состоится 04 декабря 2003г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.212.229.10 Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» (ГОУ «СПбГПУ») по адресу: 195251, С-Петербург, ул. Политехническая, 29, корп. 9. факультет технической кибернетики, ауд. 535.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ «СПбГПУ» (Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, Главное здание)

Автореферат разослан 04 ноября 2003г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.229.10 Доктор технических наук, профессор

Малыхина Г. Ф.

\ ~J Общая характеристика работы

Актуальность темы. Периодически нестационарные динамические системы с распределенными параметрами широко используются в технике управления, электротехнике, электромеханике, механике, тепло-, гидро-, газодинамике, радиофизике и в других областях. Примером подобных систем служит система управления координатой робота-манипулятора, в которой периодически нестационарным звеном является МДМ (модуляция-демодуляция) усилитель, а звеном с распределенными параметрами служит упругий вал привода схвата. Другим примером периодически нестационарной системы с распределенными параметрами является элекгромашинный преобразователь энергии, содержащий двигатель постоянного тока и синхронный генератор. В этой системе периодически изменяющимся со временем звеном служит взаимная индуктивность обмоток статора и ротора синхронного генератора, а нагрузкой генератора служит длинная линия -звено с распределенными параметрами.

Задачи тепло-, гидро-, газодинамики описываются, как правило, нелинейными уравнениями в частных производных, т.е. представляют собой сложные нелинейные динамические системы с распределенными параметрами. Как известно, задача устойчивости периодических движений в подобных системах сводится к решению периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.

Задачами расчета периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами занимались крупные ученые Хилл Г., Болотин В.В., Валеев К.Г., Лурье А.И., Розенвассер E.H., Якубович В.А., Фомин И.Н., Весницкий А.И., Сейранян А.П.. Левинпггейн М.Л., Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш., Чечурин С.Л. и многие другие. Процессы и решения периодически нестационарных систем с распределенными параметрами необычайно сложны, так что точные аналитические решения существуют лишь в редких простейших случаях. Таким образом, задачи исследований, поставленные в диссертационной работе, являются актуальными.

Цель исследования. Цель диссертации заключается в разработке приближенного метода расчета колебаний периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.

Методы исследования. Поставленная цель достигается следующими путями:

1) использованием частотных характеристик для анализа периодически нестационарных систем с распределенными параметрами (ПНСРП);

2) выбором цифрового моделирования звеньев с распределенными параметрами;

РОС национальная} 1 библиотека i

сI

3) использованием прямого и обратного Z-преобразований для получения частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами;

4) модификацией одночастотного метода стационаризации.

Основные научные результаты

1) Разработана методика расчета частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами.

2) Получены частотные модели и определены условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.

3) Найдены решения прикладных задач механики, электромеханики и управления.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается

1) рамками одночастотного приближения;

2) существующими точными решениями задач;

3) численным методом конечных элементов;

4) вычислительным экспериментом;

5) экспериментальными наблюдениями;

6) в решениях прикладных задач.

Научная новизна. В диссертации впервые сформулирована методика расчета частотных характеристик на основе цифрового моделирования. На базе модифицированного в работе известного метода одночастотной стационаризации получены новые условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.

Практическая ценность результатов работы заключается в простоте получения решений прикладных задач. Большую практическую значимость представляет полученная в работе возможность использования в расчетах экспериментальных частотных характеристик. Наконец, самостоятельную практическую ценность составляют полученные решения прикладных задач: расчет колебаний балки Тимошенко, расчет систем управления роботом-манипулятором и электромашинного преобразователя.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в пяти печатных трудах и обсуждались на семинарах «Моделирование и управление» в СП6ГТ1У, на международных конференциях «АРМ-2002» (20-24 июня 2002, С-Петербург) и Physics and Control '2003 (22-24 августа 2003, С-Петербург).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 105 наименований. Полный объем диссертации - 150 страниц, включая 71 рисунок и 7 таблиц.

Содержание работы

В первой главе дан обзор методов исследования периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами. Показаны некоторые примеры систем с распределенными параметрами и рассмотрены основные методы моделирования систем с распределенными параметрами: метод Релея-Ритца и методы взвешенной невязки, в частности, метод Галеркина, метод наименьших квадратов и метод конечных элементов (МКЭ). Приведены примеры периодически нестационарных систем, а также рассмотрено несколько известных методов исследования систем с периодически изменяющимися параметрами, таких как спектральный метод и метод приведения. Поставлены задачи разработки частотного метода расчета периодически нестационарных систем с распределенными параметрами: модификации метода стационаризации, разработки методики частотного анализа, выбора метода цифрового моделирования.

Во второй главе разработаны методики расчета частотных моделей систем с распределенными параметрами. Осуществлен и обоснован выбор метода цифрового моделирования. Частотные модели систем с распределенными параметрами получены с помощью прямого и обратного ^преобразований.

Рассматривается дифференциальное уравнение в частных производных ЛГ-го порядка для непрерывных динамических систем " ™ я1

§§*■ ="■ ®

где Яг] — константы, не зависящие от х и (, и функция у(х,г) , зависящая от пространственной координаты х и временной г, которое допускает разделение на некоторые уравнения первого порядка

II3к=1>2.....и • ®

где (¿¡¡¡Щ, 1 = 0,1,...,л -1, _/ = 0,1,...,т, к = 1,2.....п, являются константами, полученными

из уравнения (1). Преобразование Лапласа уравнений (2) по временной и пространственной координатам дает

II 2>Ч(*>/0 + 11 = 0 Д=7,2...„ п, (3)

(=0 у«0 /-0 J-0

где рид - операторы Лапласа по времени и координате, соответственно. Переходя к

цифровой модели, заменим аргумент д на одну из г-форм [1]

г_1 ^^ д = —— (метод прямой разности - МПР), п

1 г-1

д = ---(метод обратной разности - МОР), (4)

л г

2 2-1

д = ---- (билинейное преобразование - БЛП),

п г + \

где й - шаг дискретизации но пространственной координате. Уравнения (3) выражаются как 2-преобразованные формы

+ = *= 1,2.....и, (5)

(-0 /«0 ¡=0 7=0 где д(г) - одна из 7-форм (4). Обратное г-преобразование уравнений (5) приводит к

дискретным уравнениям

2 £ (« +1Р) +1Е Фр'У, (я, р) = 0 *=1,2...„ и. (6)

(=0 1.0 1-0

При преобразовании пространственной координаты необходимо учитывать граничные условия. С их учетом (6) переписывается как

1-0 1-0 Сгруппировав и применив обратное 2-преобразование к уравнениям (8),

окончательно получим

+ = к=1,2.....п. (8)

Ы0 1-0 1-0 /-о

Здесь Г* и Г* являются константами, связанными с <2* и £>* . Уравнения (8)

описывают при р-]<о амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) динамической системы. В уравнениях (8) учитываются граничные условия в концевых точках. АФЧХ была получена при условии разделения дифференциального уравнения Л^-го порядка на п дифференциальных уравнений первого порядка. Если это условие не выполнено, окончательные уравнения должны иметь граничные условия в других точках.

Приведены иллюстрации построения АЧХ систем с распределенными параметрами с помощью преобразования Лапласа и 2-преобразования на примере однородных 1фуглых валов с постоянным сечением и длинной линии электрической передачи, имеющей комплексные погонные последовательные и параллельные сопротивления. Проведено сравнение выбранного метода моделирования с другими (Рис. 1). Предложенный метод имеет лучшую сходимость, чем МКЭ, в котором число

элементов не может быть увеличено без дополнительных ресурсов вычислительного времени и памяти. Показано, что из методов цифрового моделирования наибольшей точностью обладает метод БЛП.

- Е*«Я РЕМ

гам • ах

#Ы «1ипмМ * 5

10X1 1500 2000 2500 ЭОХ1 Рж|имсу(Н2)

500 1000 1500 3000 Рг*фипсу{Н4

(а) (б)

Рис. 1. Характерный вид АЧХ характеристик вала со свободными концами при использовании разных методов моделирования. Слева 5 конечных элементов, справа

-10 конечных элементов

Возможности метода демонстрируются решением задачи о колебаниях балки Тимошенко, уравнения движения вынужденных колебаний которой, с учетом эффектов ротационной инерции и деформации сдвига, даются в стандартных обозначениях как

д л, г л*" --У + / = рА—г- дх ^ д/2 (9а)

дх д? (9Ь)

дм> У = кАОф-кЛв— дх (9с)

М = . дх (М)

Применяя преобразование Лапласа по времени и заменяя дифференцирование по координате х г-формой БЛП (4), уравнения (9) могут быть записаны в дискретной форме. Применяя к ним /.-преобразование, получаем систему из 4х алгебраических уравнений относительно 4х изображений неизвестных. Разрешая ее и применяя обратное /-преобразование, приходим к окончательным выражениям.

Щп, =д со$Н>л+(д совЬ+г^^^+д соз1н7Я-(д соэЬ'+г^)^^1 (10а)

вшЬ» 8шЬс

Ф(^J)=дcosh'^H-(дcosh'+г^)^^+дcoshv?If(p4coshv+и4)^2^, (10Ь)

вида З1ПЬУ

(Юс) (ИМ)

«п «12 «13 «14 ' т( 0) А/(и,л)

«21 ап аг з «24 у(0)

«31 аъг «зз «34

«41 «42 «43 «44.

Подстановкой граничных условий в уравнения (10) получается окончательное матричное уравнение вида

(П)

Уравнения (11) позволяют при р=}а> получить частотные характеристики при различных граничных условиях. Уравнения (11) также приводят к решению проблемы собственных значений балки с заданными граничными условиями.

Получены выражения АЧХ для различных краевых условий. Так, для случая поперечной вынуждающей силы ^, приложенной к одному концу, и свободного другого, из (11) получим

а,,а,, -а,,аг

(12)

Результаты вычислений АЧХ по формуле (12) даны на рис. 2 для трех типов балки -Эйлера, Релея и Тимошенко (длина 1.6м, ширина 5 см, толщина 2 см, модуль Юнга 200-109Н/м2, коэффициент Пуассона 0.3, коэффициент сдвига 5/6, плотность 8000кг/м3). Результаты показывают, что, как и ожидалось, балки Эйлера и Релея имеют более высокие собственные частоты, чем балка Тимошенко. Существенно различие собственных частот в случае толстой балки (толщина 10см).

к

Ро

Вячиепсу^

Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики балок со свободными концами: (а) тонкая (б) толстая балка

Собственные частоты, полученные методами БЛП и МКЭ, сведены в Таблице 1. Видно, что вычисленные обоими методами собственные частоты близки.

Таблица 1. Сравнение частот собственных колебаний

МКЭ (Гц) БЛП (Гц)

Моды Релея Эйлера Релея Тимошенко

1 40.15 40.15 40.15 40.15

2 110.51 110.70 110.70 110.50

3 218.50 217.50 217.20 216.75

4 359.83 359.85 359.25 358.05

5 524.77 538.50 537.15 534.30

6 764.42 753.60 750.90 745.35

4 В главе разобраны задачи и представлены результаты расчетов балок с другими

краевыми условиями по этой же методике.

В третьей главе проведена модификация известного метода стационаризации периодически нестационарных систем, позволяющая упростить поиск условий возбуждения параметрических колебаний в частотной области.

Как показано в главе 2, стационарная часть систем с распределенными параметрами имеет многорезонансный характер. В силу этого задача определения условий возбуждения параметрического резонанса в подобных системах может иметь множество решений. Иллюстрация этого положения содержится в плоскости годографа Найквиста на рис. 3-а и в обратной плоскости на рис. З-б.

Рис. 3. Условия параметрического возбуждения систем с распределенными параметрами в прямой плоскости (а) и обратной плоскости (б) годографа Найквиста

Как следует из рисунков, отыскание решений - точек пересечения годографов в комплексной плоскости - представляет определенные трудности. С целью облегчения задачи проводится модификация метода сгационаризации для случая периодического нестационарного элемента а(Г) со средним значением д0 и периодической частью со средним значением (Рис. 4-а). Вместо нее предлагается использовать

эквивалентную схему (Рис. 4-6), отнеся среднее значение параметра ао к стационарной части.

а)

\1Г(р)

б)

¥

«1(0

а0+а,( 0

Рис. 4. Эквивалентные представления периодически нестационарной системы

При этом эквивалентная стационарная часть системы принимает вид

Пр)

1+«о Пр)

(13)

Теперь описание периодически нестационарного элемента составит центральная окружность с радиусом аг. С вычислительной точки зрения для систем с распределенными параметрами множество собственных частот удобнее отыскивать из простого условия

К

' .га

= \а„\ или

г

= я.

(14)

Геометрически условие (14) иллюстрируется на рис. 5-а в комплексной плоскости годографа, а на 5-6 проведена иллюстрация решения задачи в вещественной плоскости амплитудно-частотной характеристики. Штрихованными являются неустойчивые области.

^ комплексной плоскости

Г

Приведен пример расчета и обсуждены особенности численного моделирования к систем с распределенными параметрами с использованием модифицированного

метода стационаризации.

В четвертой главе исследуются параметрические резонансы в двух системах с распределенными параметрами.

Система управления координатой манипулятора. Система состоит из упругого вала с сосредоточенной массой на конце, двигателя и МДМ усилителя (Рис. 6). Обратная связь строится по измерению координаты массы оптическим датчиком.

a(t) a(t)

Рис. 6. Блок-схема робота-манипулятора

Упругий вал системы представляет собой звено с распределенными параметрами, а МДМ-усилитель является периодически нестационарным элементом с частотой изменения параметра £2 = 2ам , который преобразовывает входной сигнал uc{i) в напряжение двигателя u(t) в виде

м(г) = a(t) • ис (i) = (л/2 sin &Mtf ис (i) = (1 - cos 2a>Mt)uc (t). Частотная передаточная функция разомкнутой стационарной части системы имеет вид

= к

(Кр + Кл]еоХ](о)

ЗД®),

(15)

(тьтми<*>)2+тмиа,) + 1)

где - частотная передаточная функция упругого вала, кр и кл обозначают

пропорциональную и производную составляющие звена коррекции ПДР (пропорционально-дифференциального регулятора).

Частотные характеристики системы с распределенными параметрами рассчитаны в соответствии с (15) и следующими данными для вала : 10 = 0.09 кг-м2, р = 7.8-103 кг/м3, радиус вала г = 0.01 м., длина I = 0.36 м., коэффициент демпфирования ь = 0.0005 Н-с/м, Модуль сдвига б = 40-109 Н/м2.

Для стабилизации стационарной следящей системы с жестким валом <

используется звено коррекции №с(р) = 0.01р + 1. Частотная передаточная функция ,

мотора с числовыми данными имеет вид ,

При использовании модели жесткого вала реакция сосредоточенной системы затухает во времени. Однако анализ годографа Найквиста стационарной части системы с распределенными параметрами показывает, что частотная характеристика заданной следящей системы попадает внутрь окружности -ТУъМр) первого параметрического резонанса, т.е. в системе возникает параметрический резонанс на частоте со, равной половине частоты изменения параметра П.

Частотная модель вала получена по методике, описанной в главе 2, а для численной проверки полученного результата передаточная функция упругого вала получена с помощью метода конечных элементов. Численное моделирование выполнено с помощью программы «81МШЛЫК». Эксперимент показывает наличие ^

первого параметрического резонанса (см. рис. 7-6), который не проявлялся при отсутствии изменяющегося во времени параметра (см. рис. 7-а).

Таким образом, показано, что ПДР, обычно используемый для коррекции 4

сосредоточенной системы, может приводить к потере устойчивости системы из-за возбуждения параметрического резонанса при периодическом изменении параметра -МДМ усилителя. Кроме того, пренебрежение распределенностью параметров для простоты расчетов может пропустить потерю устойчивости равновесия системы.

IV -

" тыог

70 р

(16)

8-10"5р2 +0.081/7 + 1

а)

б)

Рис. 7. Сравнение переходных процессов без учета (а) и с учетом распределенных

параметров системы (а)

Электромеханический преобразователь. Рассматривается работа системы «двигатель-генератор» на сеть с различными типами нагрузки (рис. 8). Генератором служит синхронная электрическая машина. Роль двигателя играет электрическая машина постоянного тока, параметры которой выбирались из каталога.

Рис. 8. Система "двигатель-генератор" (ДГ). Обозначения: и и /- напряжение и ток в цепи двигателя постоянного тока; К и I - активное сопротивление и индуктивность двигателя постоянного тока; Мер и Мс - вращающий момент двигателя и момент сопротивления генератора на валу; а - угловая скорость вращения двигателя, вала и генератора; /„ - ток возбуждения якоря генератора; и - напряжение в цепи нагрузки

Для однофазной синхронной электрической машины (генератора), сисгема уравнений, связывающая введенные переменные, имеет вид

(17)

(18)

М = См1-Мс

и = Ш + Ы + С А

М =

дМ ,т

-и

да

дМ Э/

= 2„ь

(19)

(20)

где приняты следующие обозначения параметров: 3 - момент инерции вала и роторов

И

системы «двигатель-генератор»; а - угол поворота вала; См - электромеханическая постоянная двигателя; Се - электрическая постоянная двигателя; М - взаимная индуктивность обмоток статора и якоря генератора; ZA~ комплексное сопротивление нагрузки (импеданс); i - ток статора генератора.

Изменение взаимного расположения обмоток статора и якоря, вызванное вращением последнего, отражается в том, что М необходимо считать периодической функцией времени. В настоящей работе принят гладкий вариант этой зависимости

М (0 = Си sin а = Си sin m0t, где Си- максимальное значение взаимной индукции (при полной соосности обмоток).

Из уравнений (17) - (20), полное уравнение системы записывается в виде

Т„Тиа + Тиа + а + « + T.kJTt (р)

'.(дмЛ(а2м).г ГЭД/У..'

tJH l^Jа

и_

С.

где Та-ЫЯ, Тм-ВЛСцСм обозначают электрическую и механическую постоянные времени соответственно, к]=(Тм!в2)и и - передаточная функция от

напряжения к току цепи нагрузки.

Линеаризованное уравнение системы имеет вид

дМ) д М

ТаТмръАа + ТмргАа + р&а + \2к^„(,р)л« + Аа +

дМ\2

А а = 0.

(21)

Поскольку М = CV sin а и, соответственно,

дМ да

д2М

= Сисо$а, —г-=-Су sin а и да

д М

да3 "

-Су cosa,

стационаризация (21) приводит к уравнению

ГЛ Р' + \ти + \ Ят* )р2 + [1 + \ Я У + 0 ЯТ„ + (д ч + ]ш0 {7Та )д + 1 е» ] = 0.

где <7 = к^п{р)С1. Откуда условие возбуждения первого параметрического резонанса 1 + ИГ(р>Г(/р) = 0, (22)

где

f(p)\„.ji1 =

(д ЧТ. У* + Q. q + Ja„ (2 Т, )q jp +

ТЛр3 +{Tu +i?r„y +

5 т 2

ИИ«

W(J<p) Jj где Q=2i»o-частота изменения параметра.

Таким образом, в соответствии с критерием Найквиста, равномерное со скоростью £Иь вращение вала системы двигатель-генератор при работе на цепь нагрузки с передаточной функцией W„(p) при законе изменения взаимной индукции M(t) = Сц sin corf неустойчиво, если годограф разомкнутой передаточной функции fV(p)Wi(j<p) охватывает точку (—1 у'О). Из условия W(jQ/2)Wl(jip) = -1 или Wx(jq>) = -W{x(jCll2) находятся критические частоты (и амплитуды) изменения параметра, приводящие к возбуждению первого параметрического резонанса. В работе показано, как из уравнения (22) при простой активной нагрузке можно теоретически вычислить частоту возбуждения параметрического резонанса.

Приведены результаты расчетов условий возбуждения параметрического резонанса для активной и реактивной нагрузок. Показано, что при значениях нагрузок, имеющих технический смысл, электрический преобразователь не может иметь параметрического резонанса при вращении вала с частотой 300 рад/с.

Отдельно рассмотрен случай работы ЭМП на длинную линию. С помощью цифрового моделирования по методике, изложенной в главе 2, передаточная функция нагрузки W„(p) представляется в следующей конечномерной аппроксимации

W(p) = —-1-, (23)

"ху> sinh v . , , .. _ . ,' v '

■-sinh vN + cosh vN -R,(p)

Г<

где N обозначает количество ячеек конечномерной модели, v и у - некоторые параметры, зависящие от оператора р, физических свойств линии и выбранного порядка аппроксимации. При чисто активном сопротивлении г„ на конце длинной линии: Re{p)= г„; при чистой индуктивности 1„ : Re(p) = 1„р ; при реактивной нагрузке в виде колебательного контура:

RAP)=l"c"rf2\l"p;r" • (24)

hcnP +1

Рассмотрена работа ЭМП на длинную (250м) линию с параметрами: rL~ 1е-6 Ом/м, /¿=1е-5 Гн/м, Ci=le-8 Ф/м. На конце линии имеется сосредоточенная индуктивная нагрузка /л=0.032Гн. При этом Wn(p) рассчитывается по (23). На рис. 9-а приведены годографы W(jm), а на рис. 9-6 - амплитудно-частотные характеристики передаточных функций -WX\(j<p) и W(JQ/2) в ограниченном несколькими первыми резонансами частотном диапазоне.

а)

б)

300 300 403 500 Рпцшпсу (НФ*м)

Рис. 9. Расчет условий возбуждения ЭМП; сплошной - приведенная частотная характеристика системы с распределенной нагрузкой Ш(]0/2\ пунктирной - частотная характеристика стационаризованного элемента, -^^ф): (а) годограф Найквиста (б) АЧХ

Расчет показывает, что третий резонансный пик стационарной части системы находится в непосредственной близости от номинальной частоты вращения 300 рад/с.

Также проведено численное исследование зависимостей частот возбуждения параметрического резонанса от длины электрической линии (Рис. 10).

2. зоо *>

3п1 4Ш

тгМчг::

5Л 6№ 7й1 : ■

150 200 250 Длина(м)

с

Рис. 10. Частоты возбуждения параметрического резонанса в зависимости от длины линии: пунктирной - частота вращения вала 300 рад/сек

Откуда видно, что параметрические колебания возникают при следующих длинах : 170м (вторая мода), 250м (третья мода), 310м (четвертая мода), 360м (пятая мода) и т.п.

Для численного построения переходных характеристик выбран простейший путь разбиения АЧХ на отдельные моды. 14

Стационарную часть №(/0/2) из уравнения (22) можно переписать как

Щр)

Щр)"

(р).

1+т (р)Щ(Р)

где передаточные функции 1У{(р) и 1¥ъ(р) определяются как = 0.5к1Сц(?ар + \) и = 0.С^{5Тар + 3) ТаТиР2+ТмР +1 ТаТмрг+Тмр + \

а передаточная функция Й^О?) есть передаточная функция нагрузки, в данном случае Иг2(р) = Кл{р).

Численный эксперимент с помощью среды 81МЦЫЫК показал наличие первого параметрического резонанса на частоте изменения параметра, равной удвоенной частоте вращения ротора (рис. 11).

Рис. 11. Осциллограмма нарастания качаний вала ЭМП при численном эксперименте, (а) - общий вид первого параметрического резонанса на 303,04 рад/сек, (б) -фрагмент (пунктирной - колебания параметра, сплошной - колебания в системе)

Заключение

Основные результаты работы состоят в следующем:

1) Предложена методика часютаого анализа систем с распределенными параметрами. Суть методики заключается в использовании билинейного преобразования при переходе к описанию системы дифференциально-разностными уравнениями, с последующим использованием аппарата прямого и обратного 7-преобразования.

2) Получено новое решение задачи колебаний балки Тимошенко.

3) Проведена модификация известного метода стационаризации периодически нестационарных систем, позволяющая упростить поиск условий возбуждения параметрических колебаний в частотной области. Сущность модификации

состоит в переходе к эквивалентной передаточной функции стационарной части с последующим использованием равенства модулей в частотной области.

4) Предлагаемый метод построения частотных моделей периодически нестационарных систем с распределенными параметрами состоит в использовании метода частотного анализа систем с распределенными параметрами главы 2 и модифицированного метода стационаризации главы 3.

5) Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора.

6) Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия.

«

7) Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные на1рузки, включая длинную линию щ электроснабжения.

8) Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования.

9) Полученные в работе теоретические результаты подтверждаются расчетами практических задач и численным моделированием.

Публикации по теме диссертации

1. Lee Y. К. A new modeling technique for distributed parameter systems - digital modeling. Kumoh National University of Technology, Master's dissertation, 1995.

2. Lee Y. K. A study on dynamic analysis of the continuous system by digital modeling /

Y. K. Lee, I. S. Kim, S. W. Hong, S. L. Tchetchourine // Journal of KSNVE(Korea ч

Society of Noise and Vibration Engineering), 1997. Vol7.№ l.P. 135-142.

3. Lee Y. K. Distributed parameter systems. Глава 4 в книге "Frequency Analysis for

dynamic systems" / S. L. Tchetchourine, S. W. Hong St. Petersburg-Kumi, 1997. 248. 4

с. (C. 181-240)

4. Ли Б. К. Частотный анализ систем с распределенными параметрами с использованием цифрового моделирования // Инновации в науке, образовании и производстве Труды. СПбГПУ. № 484. С. 184-190.

5. Ли Е. К. Параметрический резонанс в системах электромеханического преобразования / Е. К. Ли, Л. С. Чечурин // Exponenta Pro, 2003. №.3. С. 46-51.

Лицензия ДР №020593 от 07.08.97.

Подписано в печать 40. 2,ооъ Объем в п.л. о.

Тираж 100. Заказ

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства СПбГПУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Отпечатано на ризографе 1Ш-2000 ЕР Поставщик оборудования — фирма "Р-ПРЙНТ" Телефон: (812) 110-65-09 Факс: (812) 315-23-04

3-QO^ - A P 17 2 7 2

ВВЕДЕНИЕ.

А Глава 1. Обзор методов исследования периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами.

1.1 Системы с распределенными параметрами.

1.1.1 Метод Рэлея - Ритца.

1.1.2 Методы взвешенной невязки.

1.1.3 Формулировка метода конечных элементов (МКЭ).

1.2 Методы исследования периодически нестационарных систем.

1.2.1 Спектральный метод.

1.2.2 Метод приведения.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Выводы к главе 1.

Глава 2. Частотные модели систем с распределенными параметрами.

2.1 Введение.

2.2 Применение цифрового моделирования к системам с пространственными координатами.

2.3 Структурные модели.

2.3.1 Механическая система.

2.3.2 Электрическая система.

2.4 Частотные модели.

2.4.1 Механическая система.

2.4.2 Электрическая система.

2.5 Вычислительный эксперимент.

2.5.1 Расчет вала методом конечных элементов (МКЭ).

2.5.2 Точное решение задачи.

2.5.3 Цифровое моделирование задачи.

2.5.4 Точное решение задачи с одним защемленным концом.

2.5.5 Цифровое моделирование задачи с одним защемленным концом.

2.6 Сравнительный анализ конечномерных приближений.

2.7 Прикладная задача: расчет балки Тимошенко.

2.7.1 Окончательные уравнения отклика.

2.7.2 Проблемы собственных значений решений балки Тимошенко с различными граничными условиями.

2.7.3 Вычислительный эксперимент: балка со свободными концами.

2.7.4 Вычислительный эксперимент: балка с одним защемленным концом.

2.8 Выводы к главе 2.

Глава 3. Параметрический резонанс в системах с распределенными параметрами.

3.1 Расчет условий возбуждения параметрических колебаний в системах с сосредоточенными параметрами.

3.2 Расчет условий возбуждения параметрических колебаний в системах с распределенными параметрами.

3.2.1 Особенность параметрического возбуждения систем с распределенными параметрами. Модификация метода стационаризации.

3.2.2 Особенность численного моделирования систем с распределенными параметрами.

3.2.3 Пример расчета периодически нестационарной системы с распределенными параметрами.

3.3 Выводы к главе 3.

Глава 4. Расчет прикладных задач.

4.1 Система управления роботом-манипулятором.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Моделирование упругого вала.

4.1.3 Расчет условий параметрического резонанса.

4.2 Электромеханический преобразователь.

4.2.1 Описание электрических машин.

4.2.2 Линеаризация и стационарное описание электрического преобразователя при малой электрической постоянной двигателя.

4.2.3 Анализ системы с учетом электрической постоянной двигателя

4.2.4 Моделирование распределенной нагрузки (длинной линии) и расчет условий возбуждения параметрического резонанса.

4.3 Выводы к главе 4.

Актуальность темы. Периодически нестационарные динамические системы с распределенными параметрами широко используются в технике управления, электротехнике, электромеханике, механике, тепло-, гидро-, газодинамике, радиофизике и в других областях. Примером подобных систем служит система управления координатой робота-манипулятора, в которой периодически нестационарным звеном является МДМ (Модуляция-Демодуляция) усилитель, а звеном с распределенными параметрами служит упругий вал привода схвата. Другим примером периодически нестационарной системы с распределенными параметрами является электромашинный преобразователь энергии, содержащий двигатель постоянного тока и синхронный генератор. В этой системе периодически изменяющимся со временем звеном служит взаимная индуктивность обмоток статора и ротора синхронного генератора, а нагрузкой генератора служит — длинная линия — звено с распределенными параметрами.

Задачи тепло-, гидро-, газодинамики описываются, как правило, нелинейными уравнениями в частных производных, т.е. представляют собой сложные нелинейные динамические системы с распределенными параметрами. Как известно задача устойчивости периодических движений в подобных системах сводится к решению периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.

Задачами расчета периодически нестационарных систем и систем с распределенными параметрами занимались крупные ученые: Г. Хилл[14], А. М.

Ляпунов [37], В.В. Болотин [10], Н. Н. Боголюбов [9], К.Г. Валеев [14], Е. Н.

Розенвассер [50], В. Н. Челомей [60], С. В. Челомей [61, 62], Л. Д. Акуленко [4, 4

5], В .А. Якубович [69-70], И. Н. Фомин [58], Ф. Д. Байрамов [7], М. Я. Израилович [27, 28], С. В. Крысов [32], А. И. Весницкий [15-21], А. П. Сейранян [39-41,51,52,95], М. Я. Леонов [34], М. Л. Левинштейн [33], Д. Ю. Скубов [55], Л. Б. Рапопорт [48], В. А. Тафт [56,57], С. А. Агафонов [1-3], Г. Шмидт [68], С.Л. Чечурин [8,24-26,29, 45-47, 49, 64-66, 96-98], С. S. Hsu [83], Т. Iwatsubo [85], К. Okumura [92], W. К. Tso [103], R. Gryhos [80], Т. A. Kotera [86] и многие другие. Процессы и решения периодически нестационарных систем с распределенными параметрами необычайно сложны, так что точные аналитические решения существуют лишь в редких простейших случаях. Таким образом, задачи исследований, поставленные в диссертационной работе, являются актуальными.

Цель исследования. Цель диссертации заключается в разработке приближенного метода расчета колебаний периодически нестационарных систем с распределенными параметрами.

Методы исследования. Поставленная цель достигается следующими путями:

1) использованием частотных характеристик для анализа периодически нестационарных систем с распределенными параметрами (ПНСРП);

2) выбором цифрового моделирования звеньев с распределенными параметрами;

3) использованием прямого и обратного Z-преобразований для получения частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами;

4) модификацией одночастотного метода стационаризации. Основные научные результаты.

1) Разработана методика расчета частотных характеристик звеньев с распределенными параметрами.

2) Получены частотные модели и определены условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.

3) Найдены решения прикладных задач механики, электромеханики и управления.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается

1) рамками одночастотного приближения;

2) существующими точными решениями задач;

3) численным методом конечных элементов;

4) вычислительным экспериментом;

5) экспериментальными наблюдениями;

6) в решениях прикладных задач.

Научная новизна. В диссертации впервые сформулирована методика расчета частотных характеристик на основе цифрового моделирования. На базе модифицированного в работе известного метода одночастотной стационаризации получены новые условия возбуждения параметрических колебаний в периодических нестационарных системах с распределенными параметрами.

Практическая ценность. Практическая ценность результатов работы заключается в простоте получения решений прикладных задач. Большую практическую значимость представляет полученная в работе возможность использования в расчетах экспериментальных частотных характеристик. Наконец, самостоятельную практическую ценность составляют полученные решения прикладных задач: расчет колебаний балки Тимошенко, расчет систем управления роботом-манипулятором и электромашинного преобразователя. 6

Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в 5 печатных трудах [35, 36, 87, 88, 98] и обсуждались на семинарах «Моделирование и управление» в СПбГПУ, на международных конференциях «АРМ-2002» (20-24 июня 2002, С-Петербург) и Physics and Control '2003 (22-24 августа 2003, С-Петербург).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и литературы из 105 наименований. Полный объем диссертации - 150 страниц, включая 71 рисунок и 7 таблиц.

4.3 Выводы к главе 4

1. Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора. Периодически нестационарным элементом является МДМ-усилитель, а элементом с распределенными параметрами - упругий вал схвата.

2. Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия.

3. Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные нагрузки, включая длинную линию электроснабжения.

4. Составлены нелинейные дифференциальные уравнения поведения системы. Задача устойчивости вращения преобразователя сводится к расчету периодически нестационарной системы с распределенными параметрами, описываемой уравнениями в приращениях. Периодически нестационарным элементом в системе служит меняющаяся во времени индуктивность обмоток статора синхронного генератора.

5. Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования.

6. Проведенный анализ двух практически важных технических систем подтверждает теоретические результаты диссертации.

Глава 5. Заключение

В диссертации проведены частотные модели периодически нестационарных систем с распределенными параметрами. В ходе исследования получены следующие основные результаты.

1. Предложена методика частотного анализа систем с распределенными параметрами. Суть методики заключается в использовании билинейного преобразования при переходе к описанию системы дифференциально-разностными уравнениями, с последующим использованием аппарата прямого и обратного 2-преобразования.

2. Получено новое решение задачи колебаний балки Тимошенко.

3. Проведена модификация известного метода стационаризации периодически нестационарных систем, позволяющая упростить поиск условий возбуждения параметрических колебаний в частотной области.

4. Сущность модификации состоит в переходе к эквивалентной передаточной функции стационарной части с последующим использованием равенства модулей в частотной области.

5. Предлагаемый метод построения частотных моделей периодически нестационарных систем с распределенными параметрами состоит в использовании метода частотного анализа систем с распределенными параметрами главы 2 и модифицированного метода стационаризации главы 3.

6. Проведен расчет условий возбуждения параметрического резонанса в системе управления одной координатой робота-манипулятора.

7. Показана недопустимость замены в расчетах упругого вала на жесткий, так как при этом пропускается потеря устойчивости равновесия.

8. Проведен расчет системы электромеханического преобразователя, содержащего двигатель постоянного тока и синхронный генератор, работающий на разнообразные нагрузки, включая длинную линию электроснабжения.

9. Получены условия потери устойчивости вращения преобразователя за счет возбуждения параметрического резонанса. Полученные условия подтверждаются результатами численного моделирования

10. Полученные в работе теоретические результаты подтверждаются расчетами практических задач и численным моделированием.

Глава 6. Приложение

1. Агафонов С. А. Эффект стабилизации равновесия маятника циглера параметрическим возбуждением // МТТ. 1997. № 6. С. 36-40.

2. Агафонов С. А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруговязкого стержня, находящегося под действием следящей силы // МТТ. 1996. №3. С. 137-141.

3. Агафонов С. А. О Стабилизации движения неконсервативных систем посредством параметрического возбуждения // МТТ. 1998. № 2. С. 199-202.

4. Акуленко Л. Д. Параметрические колебания мембраны в переменном электрическом поле / Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // ПММ. 1994. Т. 58. В. 1.С. 95-102.

5. Акуленко Л. Д. Параметрические колебания цилиндрической оболочки в переменном электрическом поле / Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // МТТ. 1997. №2. С. 151-160.

6. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витг, С. Э. Хайкин. — М.: гос. изд. физ.-мат. лит., 1959. 915. с.

7. Байрамов Ф. Д. Об устойчивости систем с распределенными параметрами и сосредоточенными усилиями / Ф. Д. Байрамов, М. Ю. Сафронов // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 350-355.

8. Бабко Л. В. К теории цифровых автоматических интегрирующих приборов с широтно-импульсной модуляцией / Л. В. Бабко, В. И. Созипов, С. Л. Чечурин//Изв. вузов, приборостроение. 1981. Т. 23. № 1. С 14-17.

9. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейныхколебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. -М.: Наука, 1974.141504. с.

10. Болотин В. В. а. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: гостехиздат, 1956 600. с. б. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961.

11. Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. - М.: Наука, 1987. 382. с.

12. Вавилов А. А. Частотные методы расчета нелинейных систем. —Л.: Энергия, 1970. 323. с.

13. Важнов А. И. Электрические машины. — Л: Энергия, 1969. 768. с.

14. Валеев К. Г. Исследование устойчивости решений линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента методом Хилла // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 4. С. 755-761.

15. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. — М.: Физматлит, 2001. 320. с.

16. Весницкий А. И. Экспериментальные исследования параметрического возбуждения колебаний в одномерных механических системах / А. И. Весницкий, С. В. Крысов, А. И. Потапов // Прикл. мех. 1980. Т. 16, № 12. С. 122-125.

17. Весницкий А. И. Параметрическое возбуждение импульсов в распределенных системах с нестационарными границами / А. И.

18. Весницкий, С. В. Крысов, С. Р. Шохин // ПМТФ. 1976. № 4. С. 145-151.142

19. Весницкий А. И. Параметрическое возбуждение колебаний импульсной формы в ветвях передачи с гибкой связью / А. И. Весницкий, А. Ф. Ляхов // Машиноведение. 1981. № 5. С. 34-38.

20. Весницкий А. И. Параметрическая неустойчивость поперечных колебаний нити, параметры которой изменяются по закону бегущей волны / А. И. Весницкий, А. Ф. Ляхов // ПМТФ. 1982. № 3. С. 163-169.

21. Весницкий А. И. Параметрическое возбуждение импульсов в одномерных системах с переменной длиной / А. И. Весницкий, А. И. Потанов. В кн.: Теория дифракции и распространения волн. Т. 3. 1977. — М.: ИРЭ АН СССР, 1977. С. 113-116.

22. Вибрации в технике. Т. 1. Колебания линейных систем // Под ред. В.В. Болотина. — М.: Машиностроение, 1978. 352. е.

23. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Усп. мат. наук. 1962. Т. 17. вып. 6. (108). С. 3-126.

24. Григориев А. Г. Резонансный контроль цифровых систем автоматического управления / А. Г. Григориев, С. Л. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1989. Т. 32. №6. С. 11-15.

25. Долбежкин В. А. Инвариантность условий возбуждения параметрического резонанса периодически нестационарных систем / В. А. Долбежкин, И. Л. Туккель, С. Л. Чечурин // Изв. вузов. Электромеханика. 1986. Т. 7. С. 110112.

26. Ерихов М. М. Расчет линейных импульсных систем по непрерывной модели / М. М. Ерихов, М. Я. Островский, С. Л. Чечурин // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. Т. 25. № 9. С. 20-24.

27. Израилович М. Я. Параметрическое возбуждение автоколебаний // МТТ. 1997. №3. С. 54-63.

28. Израилович М. Я. Параметрическое управление вынужденными периодическими режимами гармонически линеаризируемых механических систем // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. № 4. С. 15-22.

29. Карлос Р. Расчет условий возбуждения параметрических колебаний / Р. Карлос, С. JI. Чечурин // Радиотехника. 1979. Т. 34. № 8. С. 51-53.

30. Колылов И. П. Электрические машины. — М.: Логос, 2000. 607. с.

31. Конторович М. И. Нелинейные колебания в радиотехнике. — М. 1973. 288. с.

32. Крысов С. В. Параметрическое возбуждение колебаний импульсной формы в гибких элементах машин и механизмов: Дис. канд. Физ.-мат.наук. / ЛПИ. -Л. 1979.

33. Левинштейн М. Л. Явление параметрического резонанса при работе синхронной машины на емкостную нагрузку // Труды ЛПИ им. Калинина. 1948. №3. С. 13-41.

34. Леонов М. Я. Управляемый параметрический резонанс // Избр. Проблемы прикл. мех. — М.: Наука, 1974. С. 445-451.

35. Ли Е. К. Параметрический резонанс в системах электромеханического преобразования / Е. К. Ли, Л. С. Чечурин // Exponent Pro, 2003. №.3. с. 46-51.

36. Ли Е. К. Частотный анализ систем с распределенными параметрами с использованием цифрового моделирования // Инновации в науке, образовании и производстве Труды. СПбГПУ. 2002. № 484. с. 184-190.

37. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. Соч. Т.2.- М.: Изд-во. АН СССР, 1956. С. 7-263.

38. Магнус К. Колебания: введение в исследование колебательных систем.— М.: Мир. 1982. 304. с.

39. Майлыбаев А. А. О границах области параметрического резонанса / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 6. С. 947-962.

40. Майлыбаев А. А. Особенности границ областей устойчивости / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 984-995.

41. Майлыбаев А. А. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией / А. А. Майлыбаев, А. П. Сейранян // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 779-792.

42. Мигулин В.В. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин. - М.: Наука, 1978. 392 с.

43. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. 2-е изд. -М.: Наука, 1980.

44. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972.

45. Островский М. Я. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения в первом гармоническом приближении (1. ч) / М. Я. Островский, С. JI. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1981. Т. 23. № 10. С. 20-25.

46. Островский М. Я. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения в первом гармоническом приближении (2. ч) / М. Я. Островский, С. JI. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1982. Т. 25. № 7. С. 27-32.

47. Островский М. Я. Расчет ударных параметрических колебаний / М. Я. Островский, С. JI. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1980. Т. 23. № 12. С. 30-33.

48. Рапопорт JI. Б. Об устойчивости линейных механических систем припараметрических возмущениях // МТТ. 1997. № 5. С. 41-45.145

49. Ривольта К. К расчету условий возбуждения параметрических колебаний / К. Ривольта, С. Л. Чечурин // Изв. вузов, приборостроение. 1978. Т. 21. № 5. С.

50. Розенвассер Е. Н. Периодически нестационарные системы управления. -М.: 1973. 511. с.

51. Сейранян А. П. Об особенностях границ областей устойчивости гамильтоновых и гироскопических систем / А. П. Сейранян, А. А. Майлыбаев // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 6. С. 756-760.

52. Сейранян А. П. Область резонанса для уравнения Хилла с демпфированием // Докл. РАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 44-47.

53. Солодов А.В. Линейные автоматические системы с переменными параметрами / А. В. Солодов, Ф. С. Петров. - М.,1971. 620. с.

54. Солодовников В.В. Частотные методы анализа и синтеза нестационарных линейных систем / В. В. Солодовников, Ю. М. Бородин, А. В. Ионнисян. — М., 1972. 168. с.

55. Скубов Д. Ю. Нелинейная электромеханика / Д. Ю. Скубов, К. Ш. Ходжаев. - М.: Физматлит, 2003. 360 с.

56. Тафт В. А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем. -М.: Энергия, 1978. 272. с.

57. Тафт В.А. Основы спектральной теории и расчет цепей с переменными параметрами. -М., 1964. 206. с.

58. Фомин И. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. - Л.: Изд-во. ЛГУ, 1972.

59. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: 1977. 600 с.

60. Челомей В. Н О возможности повышения устойчивости упругих системпри помощи вибрации // Докл. АН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345-347.146

61. Челомей С. В. Динамическая устойчивость при высокочастотном параметрическом возбуждении // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. № 4. С. 853858.

62. Челомей С. В. О динамической устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252. № 2. С. 307-310.

63. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1990. 176. с.

64. Чечурин С. JI. О приближенном исследовании цифровых систем с обратной связью // Труды ЛПИ им. М. И. Калинина, 1965. № 256.

65. Чечурин С. Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 220 с.

66. Чжичжэнь Л. Цифроаналоговые модели динамических систем управления / Л. Чжичжэнь, С. Л. Чечурин -СПб.: Изд. Компьютерные системы. 1993. 169. с.

67. Шильман С. В. Метод производящих функций в теории динамических систем. — М.: Наука, 1978. с.

68. Шмидт Г. Параметрические колебания. — М.: Мир, 1978. 336 с.

69. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Стражинский. — М.: Наука, 1972. с.

70. Якубович В. А, Параметрический резонанс в линейных системах / В. А. Якубович, В. М. Стражинский. — М.: Наука, 1987. 328 с.

71. Bathe К. J. Finite element procedures in engineering analysis. Prentice Hall, 1980.

72. Bellos J. Frequency response of nonproportionally damped lumped parameter, linear dynamic systems / J. Bellos, D. J. Inman // ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1990.

73. Bolotin V. V. Dynamic stability of structures // Nonlinear Stability of Structures. Theory and Computational Techniques / Eds. A. N. Kounadis and W. B. Kratzig. Wien; New York: Springer, 1995. P. 3-72.

74. Cafeo J. A., et. al., Beam element structural dynamics modification using experimental modal rotational data // ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1995. V. 117. P. 265-271.

75. Crandall C. H. An Introduction to the mechanics of solids / C. H. Crandall, N. C. Dahl, T. J. Landner. MIT press

76. Davis R., Henshell R. D. Warburton G. B., "A Timoshenko beam element / R. Davis, R. D. Henshell, G. B. Warburton // ASME Journal of Sound and Vibration, 1972. V. 22. P. 475-487.

77. Davis R. J. The prediction of instabilities of linear differential equations with periodic coefficients // Aeronaut. Res. Couns. Repts and Mem. 1970. № 3713. 32 P.

78. Eastham M. S. The spectral theory of periodic differential equations. Edinburg, Scottish Acad. Press. 1973.

79. Ehrich F. F. Handbook of rotordynamics. McGraw-Hill, 1992

80. Gryhos R. Parametric vibrations of a system with two degrees of freedom // Proc. Vibr. Probl. Pol. Acad. Sci. 1972. V. 13. № 4. P. 357-375.

81. Gupta R. S. Finite element eigenvalue analysis of tapered and twisted Timoshenko beams / R. S. Gupta, S. S. Rao // ASME Journal of Sound and Vibration. 1978. V. 56. P. 187-200.

82. Hashish E. Finite element and modal analyses of rotor-bearing systems under stochastic loading conditions / E. Hashish, T. S. Sankar // Technical conference of ASME, 1983.

83. Hsu C. S. On the parametric excitation of a dynamic system having multiple148degrees of freedom // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1963. V. 30. № 3. P. 367-372.

84. Hwang J. H. On the approximate solution of non-classically damped linear systems / J. H. Hwang, F. Ma // ASME Journal of Applied Mechanics, 1993.

85. Iwatsubo T. Simple and combination resonances of columns under periodic axial loads / T. Iwatsubo, Y. Sugiyama, S. Ogino // ASME J. Sound and Vibration. 1974. V. 33. №2. P. 211-221.

86. Kotera T. A new method of determining regions of instability of parametric excitation system // Mem. Fac. Eng. Kobe Univ. 1978. № 24. P. 41-43.

87. Lee Y. K. A new modeling technique for distributed parameter systems - digital modeling. Kumoh National University of Technology, Master's dissertation, 1995

88. Lee Y. K. A study on dynamic analysis of the continuous system by digital modeling / Y. K. Lee, I. S. Kim, S. W. Hong, S. L. Tchetchourine // Journal of KSNVE(Korea Society of Noise and Vibration Engineering), 1997. Vol. 7. № 1. P. 135-142.

89. Meirovitch L. Analytical method in vibrations. Macmillan, New York, 1967.

90. Meirovitch L. Computational methods in structural dynamics. Sijthoff & Noordhoff, 1980.

91. Ogata K., " Discrete-Time Control Systems ", Prentice Hall, 1987

92. Okumura K. A method for analysing parametrically excited system by matrix functions / K. Okumura, A. Kishima // Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ. 1981. V. 43. № 3. p. 376-386.

93. Rao S. S. Mechanical vibrations. Addison Wesley, 1990

94. Reddy J. N. Finite element method. McGRAW-HILL, 1993

95. Seyranian A. P. Stability analysis for multiparameter linear periodic systems / A.149

96. P. Seyranian, F. Solem, P. Pedersen // Archive Appl. Mech. 1999. V. 69. № 3. P. 160-180.

97. Tchetchourine S. L. Lecture notes on parametric resonance & digital modeling. KNUT, 1994.

98. Tchetchourine S. L. Modern Automation Basics / S. L. Tchetchourine, S. H. Cheong, S. D. Kim, S. J. Lee. St.Petersburg-Kumi, 1995. 230. p.

99. Tchetchourine S. L. Frequency Analysis for dynamic systems / S. L. Tchetchourine, S. W. Hong. St. Petersburg-Kumi, 1997. 248. p. (p. 181-240, chapter 4)

100. Thomas D. L. Timoshenko beam finite elements / D. L. Thomas, J. M. Wilson, R. R. Wilson //ASME Journal of Sound and Vibration, 1973. V. 31. P. 315-330.

101. Thomas J. Finite element model for dynamic analysis of Timoshenko beam / J. Thomas, B. A. Abbas // ASME Journal of Sound and Vibration, 1975. V. 41. P. 291-299.

102. Thomas J. R. The Finite Element Method / J. R. Thomas, Hughes. Prentice Hall, 1987.

103. Timoshenko S. P. Vibration Problems in Engineering / S. P. Timoshenko, D. H. Young, W. Weaver, Jr. New York: Van Nostrand, third edition, 1975.

104. Tso W. K. Multiple parametric resonance in a nonlinear two degree of freedom system / W. K. Tso, K. G. Asmis // Int. J. Non-linear Mech. 1974. V. 9. № 4. P. 269-277.

105. Yang B. Exact receptances of nonproportionally damped dynamic systems // ASME Journal of Vibration and Acoustics, 1993.

106. Zienkiewicz O. C. The finite element method. McGraw Hill, fourth edition. 1984.