автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вычислительный эксперимент при исследовании нелинейных моделей переноса протонов в системах с водородной связью

ЧЕРНОВИЦКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ю. ФЕДЬКОВИЧА

На правах рукописи

КУТ Н И В

Мирослав Владимирович

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ПРОТОНОВ В СИСТЕМАХ С ВОДОРОДНОЙ связью

Специальность 03.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черновцы — 1991

' * • / г> , > / л -ч

ч ' у

\ ■ V"

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Львовского -ордена Ленина политехнического института им. Ленинского комсомола.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор БЕДОВ Ю. А., кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЗОЛОТАРЮК А. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ТЕР-КРИКОРОВ А. М., доктор физико-математических наук', старший .научный сотрудник ГАФИИЧУК В. В.

Ведущая организация—Московский государственный университет, физический факультет.

Защита диссертации состоится « » [ХАриЛ1991 г. в

00

мин. в аул

.Л-

на заседании специализированного совета

К 068.16.05 в Черновицком государственном университете им. Ю. Федьковича по адресу: 274012, г'. Черновцы, ул. М. Коцюбинского, 2.

С диссертацией можно ознакомиться- в научной библиотеке Черновицкого университета.

Автореферат разослан « .1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Л. М.'САДОВЯК

.TT* , . ' 'ч t

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

■ •тдол j :бртацим

-Актуальность темы. Твердотелые молекулярные системы с во-

дсродньми связями такие, как лед, имидазол, сульфат гидратив-ного лития, полимер водородного фторида и многие биологические макромолекулы обладают повышенной протонной проводимостью. Так, например, подвижность протонов во льду только на порядок ниха подвижности электронов в металах. Согласно современна представлениям, выработаннш на основе экспериментальных данных, проводимость в кристалах с льдоподобной структурой осуществляется через транспорт протонов вдоль водородных связей. Интерес к таким системам особенно усилился с тех пор, как основные транспортные процессы в биоэнергетике, т.е. перенос энергии и за-, ряда в биомолекулярных системах, стали связывать с возможностью движения в них возбуждений в виде уединенны«: волн (солитонов). Механизм протонного транспорта основьваетоя на миграции в системах с водородной связью так называемых ионных и ориентацион-ных (бьеррумовских) деффектов. В. соответствии с этим механизмом к с учетом кооперативного характера водородных связей В. Я. Ан-тонченко, A.C. Давыдовым и A.B. Золотаркком предложена одномерная двухкомпонентная модель переноса протонов в цепочках с водородной связью, которая учитывает влияние вибраций тяжелых ионов. При этом предполагалось, что каждый из протонов находится в локальном одночастичном двухямном потенциале.

В диссертационной работе исследуются многомерные математические модели протонного транспорта в системах с водородной связью для различных нелинейных потенциальных функций.

Наиболее эффективным средством исследования нелинейных проблем является вычислительный эксперимент СВЭ). включахадий в себя выбор физической и математической модели изучаемого явления, разработку численных методов и алгоритмов, реализацию их на ЭВМ, анализ и интерпретацию результатов эксперимента. . Результаты расчетов сопоставляются с имеющимися данными наблюдений натурных экспериментов и в случае необходимости модифицируют математическую модель. Использование современных ЗВМГ s методологии и технологии ВЗ позволяет с помощью математических моделей получать научно обосновании* результаты.

Цель работы заключается в «зученчч протонной проводимости в системах с Еодородной связью на основе применения методов математического моделирования 33 ; построении и обосновании эффективных численных методов ч алгоритмов решения нелинейных уравнен'-??, з частых производных, описывающих процесс переноса протонов.

Научная новизна.. Зпервь'е предложены и изучены многомерные математические «оде*-, переноса протонов в системах с водородной связью для широкого класса нелинеен!« потенцчалов. Исследованы вопросы существовали?. к единственности решения основной нелинейной краевой зада"!-: для системе. уравнений в частных производных. В одномерно;* случае получены. анс_>!чткческье решения типа бегущих волн.. -

Построены и обоснованы разностные схемы решения многомерных нелинейных систе»; уравнений в частных производных, описывающих перенос протонов,, для которых при отсутствии внешних, возмущений выполняется разностный аналог закона сохранения по временной переменно?. Предложены экономичные локально-одномерные схемы численного решения двумерных задач, обладающие таким же свойством.

Для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны и исследованы обобщенный неявные многошаговые методы с переменным шагом, обладающие свойством А и Ь-устойчивости- которые возникают при применении к исходной задаче метода прямых.

Проведено численное моделирование, переноса протонов в системах с водородной связью. Исследована динамика протонного транспорта при различных значениях параметров и прилагаемых внешних переменных полях. " •

Практическая ценность. Разработанные численные, методы и алгоритмы использовались 'при моделировании на ЭВМ нелинейных процессов протонного транспорта в с-стемах с водородной связью, изученио которых в настоящее врем* представляет практический к теоретический интерес для современной биофизики. Полученные с пок'лью ВЭ результаты позволили представить как качественную, так и количественную картину иоследуемых процессов, объяснить о новых позиций ряд явлений, в частности явление повышенной про-

тонной проводимости з молекулярных системах с водородной связью.

На защиту выносятся;

'Ношл нелинейные математические ¡.¡одел-.., описывающие процесс переноса протонов в «логомерных счстемах о водородной связью и их качественное н численное исследование^

-условия разрешимости (существования и единственности решения) соответствующей нелинейной краевой задачи для системы уравнений в частных производных;

-разностные схемы, удовлетворяющие дискретным аналогам закона сохранения по временной переменной, и их обоснование;

-построение обобщенных неявных разностных многошаговых А и Ъ-устойчивых методов, характеристические уравнения которых имеют один отличный от нуля корень1;

-результаты ВЗ по исследованию систем нелинейных уравнений в частных производных, описьващих динамику движения протонов при линейном трении, и в переменных внешних полях.

Аппробащя работы. Основные результаты докладывались на • Ю-й Всесоюзной школе 'Теоретические и п; икладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г.Рига,1985 г.), республиканской сколе-семинаре "Методы оптимизации вычислений" (г.Одесса,¡989 г.)„ 2-й республиканской конференции "Математическое ■ моделирование элементов и фрагментов БИС (г.Рига, 1990 г.), Всесоюзной школе "Математическое моделирова- . ние в естествознании и технике" (г.Ижевск, 1390 г.), а также научно-технических конференциях Львовского политехнического института (1985-1990 г.),на республиканском семинаре при' Западном научном центре /Л УССР "Численные методы для жестких.систем и математическое моделирование" (1985-1990 г.), на республиканских семинарах Киевского и Черновицкого государственных университетов. . • Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глаз, заключения, списка литературы, содер; жащего Н2 наименований. Работа содертат ПО страниц машинописного текста, включая 14 рисунков.

С0ДЕР1АНИЕ РАБОТУ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, дан краткий обзор литературы по теме исследования, сформулированы цели диссертационной работы, изложено содержание работы по главам.

ß первой главе обоуадаотоя лоотановки основных задач для. уравнений в чаогных производных , опиоываюцих перенос протонов в системах с Бодородной связью и проводится их аналитическое исследование.

В §1.1 излагается механизм процесса переноса протонов в системах о водородной связью и приводится соответствующая физическая модель.. Последняя представляет собой две взаимодействующие подрешетки гармонически связанных протонов и тяжелых ионов, которме вставлены друг в друга таким образом, что кавдьй протон находится в локальном одночастичном потенциале о двумя . (. или более ) минимумами, созданном парой ближайших сооедних тяжелых ионов. Рассматривая случай, когда можно пренебречь движением ионов, масоа которьк на порядок (или больше) превышает массу протона, приходим к однокомпонентной модели переноса протонов в многомерных системах с водородной связью. Эта модель при' учете внешних и диссипативных сил в цилиндрической области ( х »

* ( .....Хр ),-<•> < хл < », а « Т^р , 0 < t s т ) описьваетоя

уравнением в безразмерных переменных вида

i2u йФ(и>

« Ди--т — + fii.-t) (I)

»l* du at

о начальными и граничили условиями

*u(i,0)

u(x.O) - Ujjix) , —— - Üq(x> , ;

Ilm -* о. a « TTp ,

V ±m «a

где u(x,t) -поле стцэний протонов из неустойчивого положения равновесия, Ф(и) - потенциальная функция, 7 t О - коэффициент

трвния, 1(х,х) - функция, характеризующая янедаде силу, 4 - оператор Яаплгса. Заметим» что обычно в качестве потенциала Ф(и) выбирается функции вида

®(ц) = (1-и2)2/4, Ф(и) - (1-|и[)2/г, Ф(а) - 1-соз(и).

Модели с такими потенциалами описывает двнзенмэ ионного дефекта. Для одновременного умета в модели диналихи конного м ориен-тационного дефектов рассмотрена также потенциальная функция вида

- л.

Ф(и)

сов (ц/2) - к г , -

1 - г»(соз(и/2)-Я) ]

В §1.2 предложена многомерная двухкомпоне^^ модель протонного транспорта в система* о водородной связью, которая опи-сьвает как динамику протонов» так и динамику системы тяжелых ионов. При этом предполагалось, что локальна^ одночастичньй потенциал существенно зависит от смещений тяделых ионов, и каадьй-ион находится во внешнем локальном о даосом потенциала, который в простейшем случае имеет квадратична вид. С учетом внега-' них возмущений в континуальном прибшдвн^и получена следущая система уравнений движения деухко№9дедет,чй£ среды в безразмерных переменных

л2и <*&(и,р) «и

<»2р „ ¿р = с^Др--- - 7о —• +

(2)

решения которой должны удовлетворять начальны« и граничным условиям • •.

ц(зяЬ> = 4g.fi), р(х,0) = р0(х), (3)

«и(х.О) _ »р(х,0) _

■ -—.^(Х).. . _ (4)

ÎU(JC.t) llffi--= 0„

¿p(xst) _

11з> -- 0 , a=T7p , (b)

X Ч-+С5 ¿X

где p(x»t) -поле смещений равновесных положений тяжелых ионов, 71л2£0 " коэффициенты прения з протонной и ионной подрешетках соответственно, 11 (хЛ).î2(з„t)-функциие характеризующие &неш-нив поля, c=yq/c0» c0,v0 -характеристические скорости (скорости звуковых волн соответственно в протонной к ионной подсистемах).

При численно»: и аналитической исследовании задачи (2)-(5) в качестве потенциальной функции Ф(и,р) вьбирались, в частности, следующее

Ф(и.р) «. <&0(и)'-'2()р(Ф0(и))1/2 + w2p?/2.

(6)

00(u).- <1-u2)2M. Ф0(и) - (1-|uf)2/2, Ф0(и) - 1-cos(u), (7)

cos(u/2) - \ « (u) - 2 --

g l }-v(c0b(ll/2)-*)

, 0SX<1,'-(1+X)"1< V <(1-\Г1. (8)

В §1.3 доказаны теоремы существования и единственности : решения задачи (2)-(5).

Теорема 1.1. Предположим» что выполнены условия

Г1(хд),г2(х,г)«ь2<арх]д,а!£), \^<х),р0(х)-ь"(йр)г^(нр), й0(х).р0(х)«Ь2(Нр)0 Ф(и0(х),ро(х))«Ь1(Нр):

Функция Ф(и.р) -непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов и такая, .что Ф(и,р)гО»

вф(и,р)

«и

s 01{Ф(и,р))1/'г juj,

аф(ц.р) «р

s 02«6(и,р))1/г1р|.

где СЦ,С2 - конотанты. Тогда существуют функции u(X,t). р(х,г). • которые удовлетворяют условиям:

*u(x,t) *p(r,t)

u(x,t),p(x,t)«L (O.T;V),

et ■ 9t

m оиотеме (2) о начальны® условиями (3),(4).

^L"(0,T;L2(Rp))

Здесь

г»т ? «V

— « 12(ЛР), Ига — ех х ч-±оо ах

а сх.

п > »ИЬПИпИтГ1

г о о *'7 —

= { « Ь2(НР), - « 12(ЯР), 11Л1 —=0, а=) ,р.

V = /(и.рхи.р«»^^;, Ф(и.риъ\я?). —«ь1тр), —-ь1(нр))

«и »0 •»

у(х)=0(!х| р), р > 2, ти)=0(1п(|хГ1)). р=2 |

—. Ь1(Ир), —

9\1 9р

Теорема 1.2. Пусть вшолнены условия теоремы I. I и кроме

того

I «ц «и * « ах •»' '

, г _ - ] * о,

¿р «р ' ах *

тогда задача (2)-(5) имеет единственное решение. .

Заметим, что условия теоремы 1.2, вообще говоря, трудно проверяемы , поэтому в работе получен также более простой критерий проверки единственности решения задачи (2)-(5), которьй сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.3. Пусть вьполнены условия теоремы 1.1 и кроме

того

вФО^.р,) «ФО^.р^ ли «и

| 5 сэ( цуи^ |ргр2|).

лф(ц. ,р.) оФОг,,Р?) I . ■ ----| * С4(1и1-и2|+|р1-рг|),

где С4 - некотормэ. постоянный. Тогда задача (2)-(5) имеет едшственное решение.

Во второй главе построены и обоснованы разностные схемы решения систем нелинейных уравнений в частных производных, огс.ч-сываюиих перенос протонов, для которых при отсутствии внешних возмущений выполняется диокретньй аналог закона сохранения по временной переменной. Разработаны алгоритмы .численного моделирования протонного транспорта на основе метода прямых.

-ю-

В §2.1 расокиТр^йбТЬй' Нелинейная система уравнений в частник производных •

Г *2и ¿ЁЧи.р) ¿и

Ди---7П — + 1,(1.*).

<2Р

ли

I - у р <*«(и,р) ар

. с'&р---у _ + г2(хД),

х « О = { г»^,...,^), 0<ха<1а, а=Т7р }, оа<т о начальны»; и граничными условиями

иа.оиух), р(х.О)=р0(г),

* . -—— =р0(г)'

ЛЛ(ХД)

оц, 1 а.

о,

ДЦ(ХД)

*х

X »1 л <х

о,

др(х.г)

*Р(х,г) «г..

О , а=Т7р = 0 , а=ТТр

(9)

(Ю)

(11)

(12)

Используя принцип усреднения нелинейных членов по области изменения точного решения, на равномерной сетке для

данной задачи построено семейство разностных схем порядка аппроксимации ВИД 8»

Ф(у,е)-Ф(у,е>

у^ - Л(о,у + о-го^у + о,у)--:- - + «р.,,

(13)

;> - V Ф(У,в)-ф(У.в)

е^- осшгв + (1-2о2)в + аге> - -——--т2е^ +

i, л. = ^ лл i

^да dj i dg - вёщеотбеййШ параметры, Л. = ^ Ла

ot=1

при = О ,

у- t При s s j

Ы ot

-2У*/Н<* при *« = •

Л, =

ПбрЬов HaManiHoe уоловий на сетке аппрокоимируетоя точни/

ä йтороэ aiinpoKbHi^pyetCfl о порядком Ott2). Имеет ¡¿вето

Теорема 2.1. Еолй Т-|" 72"* * " т0

решение разностной охемы (13) удовлетворяет равенству

V4;) > = Fh<°>

(14)'

где

W е 2 * h 2 <°1 - 1

«=1

hi +

Z Й « Z V 2 £ + 2 " ^ А f(o2- ¡)r*f I. <

V. Л А я Ot

+ fl" "I 2 Ö5 + | fe . + [ i ®(р,9) + i ö(y,|S) ,1 г.

Заметим8 что энергетическое тождеотво (14) является {зазно-бтньн аналогом интегрального закона сохранения исходной задачи

Р(Т)=Р(0) ,

(15)

О * ! а ' , ' у

1 , »p(X.tk2 2Jäfdp(X.tL2 ■ 1

> + jdx. -

Очевидно, что при 0,= о?= 1/4 (14) полностью согласуется с (15), есл< о1>1/4 или ог>1/4г то разностная схема (13) обладает дисбалансом.

Кроме того, предлагается итерационная процедура реализации схемы (13). Приводятсг разностные схемы-для численного решения уравнений в частных производных, описызаадне однокомпонентную модель.

В §2.2 предложена локально-одномерная разностная схема

р

порядка аппроксимации 0() численного решения задачи (9)-

(12) при р=г

-ф.(У(«)'&(а)) _ 1 „ у (ос)- У(» + i ф

v 2 '1 2 y1C

(16)

11 = ( > - ^Mi^AJM^.

2 '2 2 v2a '

4<e<«re<*)> .

a « 1,2 , Ф(и,р) = Ф,(и,р) + ®g(u,p),

+ *12* f2= f21+ f22 • Справедлива следующая

Теорема 2.2. Еоли 7,= т2= 0, f1e(x,t) * 0, r2ei(x,t)'« О, 0*1,2 то для ранения разностной схемы (16) выполняется равенство

VV - v'°>« 'W = 2«Ц ** г 11 УГ/2 +

+ 2 и %4 + 2 » г* + 22" 4

.1+1/2 ¿и 3+1

+ I «а ? + ®2(у ,в ). 1 г.

Аналогичная охеМа Построена и для решения уравнения (I).

Рассматриваются Мерационныэ процессы реализации предложенных Локально-одномерных схем.

13 §2.5 йроводигся численное моделирование переноса протонов на осИойв мотода прямых. Этот метод позволяет свести крае-йую задачу (9)-(12) к задача Коши для системы обькновенных ди^ фореицйаЛьныч уравнений

4Т ей,У). Т«!^, g:RN+1-^

dt

Y(tn) = Yn

Разработаны новые неявнь» обобщенные многошаговые методы с' Переменным шагом а-го порядка точнооти

о

Yn = Vi * Vе - П7)

где

а(0)у +й(0)у

= X *iq)«< WW » Fo - ° V - ;

k=0 Ъ

q-L a(q-i) q-i-1 _ _ .

Vi -1 -V'Vk+ Z • •

£¿0 п ic=0 .

Cq - число комбинаций из q по i элементов , А-лакрица Якоби ил»; некоторая ее аппроксимация, Е - единична" матрица, а - постоянный параметр , s:{=Otq-l-i , 1=0,q-,,

¡c=0,q-i, 1=) ,q-!, а ^-коэффициенты, завиоятие от

йвличин " °' >%n-q.+2 и а ' /

Доказано, что при соответствующей выборе параметров метод (17) обладает свойством А к Ь-уотойчмвооти, причем среди корней характеристического уравнения есть только одиь корень отличтЯ от нуля. Решение неявной схема С17) вычисляется способом проо-

той итерации, так как, в случае линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, сходи-кость итерационного процесса не требует ограничений на шаг интегрирования. Приводятся примеры численных методов, обладающих указанными вьше свойс" ами от первого до четвертого порядков точности.

Р третьей главе для одномерной системы уравнений в частных производных вида (2) получены аналитические решения-типа бегу-з;их волн, которые дают качественное представление о характере протекающих в системах с водородной связью процессов, а также используются для проверки эффективности разработанных в работе численных методов. Обсуждаются результаты численного моделирования протонного транспорта.

В §3.1 для одномерной задачи

<s2u

5?

лф(и,р)

ей

огр „ а2р <Ф(и,р)

= С —5 - -,

ох ох <?р

Ilm u(x,t) = U., Um u(x,t) = Ц2, • p(x,t) = О

с.потенциалъньми функциями (6)-(8) построен ^адитические решения вида u(x,t) = U(x-x0~ct), p(x,t) = Жх-^-с!), где U # f? определяются из выражений

и

f ÜW , 1-2ß?/w2 т/г

j (2®0(w)) О

{t-i-H /и/

i

R - 2ß№0(U>>1/2/ü2.

В §3.2 проведена проверка качества предложенных в работе разностных схем путем'численного моделирования одномерной од-иокомлонентной задачи и ..сравнения полученных результатов с соответствующими аналитическими решениями. Численно изучается

процесс переноса прогонов при линейном трении и переменных внешних полях вида i(x%t) = f0sln(o0t).

В §3.3 приведены результаты ВЭ по иооледованию двухкомпо-нентной модели переноса протонов, показано преимущество предложенных в §2,1 разностных схем при решении задач о большим временны«! шагсэти. Численно установлены условия, при которьк одномерная задача имеет солитоноподобнье речения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И. ВЫВОДЫ

1. Предложены многомерные -модели перенооа протонов в сиотемах о • водородной связью, описьваемыв Нелинейны® уравнениями в чаот-ных производных. В одномерной случае найдены аналитические решения в виде бегущих волн для конкретных потенциалов.

2. Доказаны теоремы существования и единственнооти для основной нелинейной краевой задачи, моделирующей протонньЯ транспорт.

3. Построены и обоснованы разностные схемы решения систем нелинейных уравнений в частных производных типа Клейна - Гордона, удовлетворяющие при отсутствии внешних возмущений дискретному аналогу закона сохранения по временной переменной.

4. Разработаны и исследованы обобщенные неявные многошаговье А и L-устойчивь» мэтоды с пороййдаьм пагом для численного KHtor-рирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые возникают при применении метода прямых к изучаемой !в работе задаче. j

5. Приводятся результаты численного моделирования протонного транспорта в оистемах о водородной овязьв, иооледована динамика переноса протонов при линейном трении и в переменных внешних 'полях. . .

Основные результаты диооертационной работы опубликованы в следующих работах:

I. Belov YU.A., Zolotaryufc A.V.,Kutnir M.W Nunerlcal solution of equations for proton transfer in hydrc^n-bonded chains;, //Plrat International conference on lnfomaclon technologies for image analysis and pattern recognition : Proceeding JiTlV, 1990.-V.2.-P .232-234-.

-itl-

2. Кутнив M.B. Разностные схемы для нелинейных уравнений Клейна-Гордона // Вестник Львовского политехнического института: Дифференциальные уравнения и их приложения. -I99I,lf25I.-С.82-84. - На укр. яз.

.3. Кутнив М,.В.? СлонеаскиЯ Р.В. Неявные дробно-рациональные численные методы рвения жестких систем. - Львов, 1989.-16с. -Доп. в УкрНИИНТИ 27.10.89, Я2343-Ук89.

4. Кутнив М.В., Слоневский Р. В. Многошаговые неявцые дробно-рациональные численные методы решения жестких систем.-Львов,1990.-14с.-Деп. в УкрНИИНТИ 17.05.90,Г857~Ук90.

5. Кутнив M.ß, Дробно-рационально итерационный метод решения дифференциальных уравнений // 10 Всесоюзная школа "Теоретические и прикладные, проблемы вычислительной математики и математической физики". Тез. лекций и докладов. -Рига. 1985. -С.85-86.