автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Параметрическая идентификация распределённых моделей водородопроницаемости

На правах рукописи

Попов Владимир Витальевич

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЁННЫХ МОДЕЛЕЙ ВОДОРОДОПРОНИЦАЕМОСТИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск — 2004

Работа выполнена на кафедре математического моделирования систем управления Петрозаводского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Заика Юрий Васильевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Габис Игорь Евгеньевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Ефлов Владимир Борисович.

Ведущая организация:

Тамбовский государственный университет.

Защита состоится 2004 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.190.03 в Петрозаводском государственном университете по адресу: 185640, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан « ^¿¿¿ф/Ябс. 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного обаета. .

Поляков Владимир Витальевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проблемы энергетики являются одним из фундаментальных научных направлений исследований. В качестве перспективного энергоносителя рассматривается водород. Другие важные области применения: проектирование химических реакторов, ракетостроение, вакуумная техника и технология. Наконец, перспективы термоядерной энергетики связаны с использованием изотопов водорода — дейтерия и трития. Поэтому ведётся интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки, а также защиты конструкционных материалов от водородной коррозии (водородного охрупчивания металлов). Экспериментальные исследования в этой области требуют разработки моделей и вычислительных методов, позволяющих моделировать взаимодействие водорода с твердым телом (конструкционными материалами) с учетом современных физико-химических представлений. Актуальной является разработка эффективных методов решения задач параметрической идентификации моделей водородопрони-цаемости. Сложность таких задач в том, что они являются нелинейными обратными задачами математической физики.

Имеется широкий спектр физико-химических представлений и соответствующих математических моделей для различных стадий взаимодействия водорода с твердым телом. Вычислительные эксперименты позволяют выбрать адекватные экспериментальным данным модели. Оценка параметров моделей дает возможность уточнить механизм взаимодействия водорода с твердым телом, выделить лимитирующие процессы. Применение математических методов и программного обеспечения приводит к сокращению расходов на дорогостоящие и трудоёмкие эксперименты.

В работе рассматриваются модели переноса водорода применительно к экспериментальным методам проницаемости и концентрационных импульсов. Учитываются ад(аб)сорбци-онно-десорбционные процессы на поверхности, диффузия с

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I

обратимым захватом водорода в ловушки (дефекты физико-химической структуры), диффузия в канале ловушек и ограничение ёмкости ловушек. Модели водородопроницаемости содержат нелинейные граничные условия III рода и динамические — дифференциальные уравнения для поверхностных концентраций. Модели переноса водорода в двухслойных материалах (проблема защитных покрытий) включают в себя условия сопряжения на стыке слоев.

Параметрическая идентификация моделей является нелинейной обратной задачей. Разработанные градиентные методы минимизации невязки экспериментальных и модельных -данных для решения подобных задач требуют выполнения численного интегрирования уравнений в частных производных на каждом шаге. Большой объем вычислений и недостаточная эффективность общих методов заставляет искать более специализированные алгоритмы оценивания параметров с учётом специфики экспериментальных методов.

Задача численного моделирования потребовала разработки разностных схем для рассматриваемых моделей. Определённой сложностью при конструировании разностных схем и разработке методов решения систем разностных уравнений являлось наличие нелинейных динамических граничных условий, условий сопряжения на стыке слоев двухслойных материалов, учёт физико-химических особенностей материалов (диффузия в канале ловушек, ограничение их ёмкости).

Цели исследования.

1. Разработка численных методов для решения краевых задач водородопроницаемости с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) для экспериментальных методов проницаемости и концентрационных импульсов.

2. Построение эффективных помехоустойчивых алгоритмов параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным.

3. Разработка современного программного комплекса моделирования и идентификации.

4. Численное исследование математических моделей и алгоритмов параметрической идентификации в широком физически оправданном диапазоне параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы).

5. Выбор адекватных моделей и оценка параметров переноса водорода в конкретных материалах (аморфное и рекристаллизованное железо).

Методы исследования. В работе применена теория разностных схем для разработки численных методов моделирования водородопроницаемости. Используется техника рядов Фурье, аппарат сопряженных уравнений математической физики и методы нелинейной оптимизации. Для создания программного комплекса использована среда программирования Delphi и математический пакет MatLab (SciLab).

Численное исследование математических моделей, алгоритмов параметрической идентификации, оценка параметров аморфного и рекристаллизованного железа были проведены с помощью разработанного программного комплекса.

Научная новизна.

1. Разработаны разностные схемы для краевых задач во-дородопроницаемости одно- и двухслойных материалов с нелинейными граничными условиями (Ш рода и динамическими) для экспериментальных методов проницаемости и концентрационных импульсов. Предложен вариант метода прогонки для решения полученных систем разностных уравнений.

2. Разработаны помехоустойчивые алгоритмы параметрической идентификации на базе техники рядов Фурье и сопряженных уравнений.

3. Предложен метод.повышения точности алгоритмов параметрической идентификации, построенных с исполь-

зованием сопряженных уравнений, для моделей с нелинейными динамическими граничными условиями.

4. Численно исследованы модели переноса водорода и алгоритмы параметрической идентификации в широком диапазоне изменения параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы).

5. Проведена оценка параметров переноса водорода в аморфном и рекристаллизованном железе (сплав FeTT.zNi1.1SiT.TB13 6Ca.2P0.009) и получены характерные зависимости стационарных значений плотностей де-сорбционного потока от температуры, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным.

Практическая значимость.

1. Численные методы моделирования и параметрической идентификации моделей водородопроницаемости позволяют сократить расходы на экспериментальные исследования, оценивать параметры материалов и выявлять лимитирующие факторы, уточнять физические представления о различных стадиях переноса водорода в конструкционных материалах.

2. Программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, позволяет на современном уровне решать проблемы математического сопровождения экспериментальных исследований.

3. Оценены параметры водородопроницаемости аморфного и рекристаллизованного железа.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Численные методы математического моделирования во-дородопроницаемости конструкционных материалов (разностные схемы и вариант метода прогонки).

2. Алгоритмы параметрической идентификации моделей водородопроницаемости однослойных и двухслойных материалов.

3. Программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы.

4. Результаты численных исследований моделей и алгоритмов (адекватность моделей, чувствительность к вариациям параметров), оценка параметров переноса водорода в аморфном и рекристаллизованном железе (сплав Fe77.3Nii.iSi7.7Bi3,6C0,2Po.oo9) Для метода концентрационных импульсов (МКИ).

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным использованием математических методов. Полученные результаты моделирования и параметрической идентификации согласуются с физическими представлениями и экспериментальными данными.

Поддержка исследований. Работа выполнена в рамках следующих проектов и программ.

1. Проект Б0027 ФЦП "Интеграция" "Совместные фундаментальные и поисковые исследования по актуальным направлениям современной физики", подпроект №6 "Ингибирование водородопроницаемости твердотельными пленками" (совместно с НИИ Физики им. В.А.Фока, СПбГУ).

2. Программа фундаментальных исследований ОМН РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач", проект "Численные методы, решения задач с динамическими граничными условиями и подвижной границей" (государственный контракт с

ИПМ им. М.В.Келдыша №10002-251/ОМН-03/026-030/ 240603-810).

Получен грант ФЦП "Интеграция" для участия в международном симпозиуме по металло-водородным системам МН2004 в 2004 г. (Краков, Польша).

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях: Third Inter-Karelian Conference "Teaching mathematics and physics in secondary and higher education" (Petrozavodsk, 1998); второй международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения'.' (СПбГТУ, 1998); первой и второй все-

российской научной школе "Математические методы в экологии" (Петрозаводск, 2001, 2003); второй и четвертой международной конференции,"Tools for Mathematical Modelling" (СПбГТУ, 1999, 2003).

Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, из них 6 статей и 6 тезисов докладов на международных, всероссийских и региональных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы содержит 57 наименований.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы, изложенные в диссертации, получены автором.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, методы исследования, основные результаты, научная и практическая ценность, приводится описание структуры диссертации.

Первая глава содержит постановку задачи. Приведены обозначения, общие для всех моделей, предположения, используемые в дальнейшем. Кратко описаны экспериментальные методы проницаемости и концентрационных импульсов (МКИ). Приведены различные математические модели переноса водорода в однослойных и двухслойных материалах.

Метод проницаемости состоит в следующем. Мембрана из исследуемого материала служит перегородкой вакуумной камеры. С одной стороны при фиксированной температуре образца поддерживается постоянное давление молекулярного водорода, а с другой газ откачивается вакуумной системой. Водород ад(аб)сорбируется на входной поверхности, диффундирует и десорбируется в вакуум. С помощью масс-спектрометра измеряется давление водорода с выходной стороны. По давлению определяется плотность десорбционно-

го потока. Эта величина содержит информацию о физико-химических процессах переноса и используется для идентификации параметров. В случае МКИ в камере с молекулярным водородом на входе установлен диссоциатор. Включение диссоциатора вызывает образование атомарного водорода, легче проникающего в мембрану. Включением и выключением диссоциатора с определенным периодом создаются практически прямоугольные импульсы концентрации, растворённого водорода в приповерхностном слое. Период выбирается достаточно большим для установления на полупериодах стационарной водородопроницаемости.

Ограничимся рассмотрением двух характерных моделей переноса водорода в однослойных мембранах (метод проницаемости), для которых ниже изложены результаты. Диффузия с обратимым захватом и объемной десорбцией (ОД): се((,х) = Псхх^,х) —счф,х) +а.2г(1,х), (1)

г,(«|х) = 01ф,®)-а2г(*|1), («,*) 6 (О,«*) х (0,/), (2)

Диффузия по двум каналам с обменом между ними, учётом емкости ловушек и поверхностной десорбцией (ПД):

г1Ц,х)=£)гхх(1,х)+а1ф,х){1-г/гтах)-а2г^,х), х€(0,*), (7)

В моделях с(4,х),.г(^х) — концентрации атомарного водорода растворённого и захваченного в ловушки материала; <70(*), ?<(<) — поверхностные концентрации; гтах— ёмкость

с (0, ж) = ?(*), г(0,х) = ф(х), хб[<М], цвр- Ьсо(<) = ~Осх{Ь%0), /мрг(«)-Ьс?(«) = .О <*(*,<). I € [0.

(3)

(4)

(5)

с(0,х) = <р(рс), г(0 ,х)=ф(х), хе[0,£], 9о(«) = ~Ь<А1(0 + Б

с(4,0) = ОТо(0. с(4,0=ОТ<(0. «ер,«*].

(8) О) (Ю) (И)

ловушек; Б, Г) — коэффициенты диффузии растворённого и захваченного в ловушки водорода; <ц, аг — коэффициенты поглощения и выделения водорода ловушками; д — коэффициент соответствия между концентрацией на поверхности и в приповерхностном слое; ц — кинетическая константа в — коэффициент прилипания водорода в газовой фазе к поверхности; Ь — коэффициент десорбции (в (4), (5) и (9), (10) это разные величины); £ — толщина мембраны; ро(*)>р*(0 — Давления молекулярного водорода (при мощной вакуумной системе возвратом десорбировавшегося водорода можно пренебречь: в (5) и (10) цэр^г) « 0). В дальнейшем обозначим —БЬ-1!2, Х2=ОдЬ~1/2 — комплексы искомых параметров;

Ьс"}(?), J¿(t) = — плотность выходного десорб-

ционного потока в моделях с ОД и ПД, определяемая как решение интегрального уравнения

Динамические граничные условия (9), (10) учитывают накопление атомов водорода на поверхности, их приток (отток) из объема. Уравнения (11) соответствуют быстрому растворению. Они получаются из баланса fci<jo-fc2c(t,0) =Dcx(t,0) (k\qt—kic{t,i) = -Dcx{t,t)) когда диффузия относительно медленная по сравнению с процессами растворения и выхода на поверхность: Doi(t,0)«0 g — ki/ki. Коэффици-

енты считаем аррениусовскими по температуре, например D=-D(T)=D0exp{-i?D/RT(t)} [Dq,Ed — предэкспоненциаль-ный множитель и энергия активации, R — газовая постоянная). Поскольку эксперимент проводится при Т = const, то зависимость от температуры далее явно не указывается. Время окончания эксперимента t* выбирается так, чтобы в методе проницаемости выходной поток успевал выйти на стационарный уровень, а в МКИ колебания выходного потока успевали установиться. Для МКИ по постановке эксперимента переходные процессы на входе относительно быстрые, поэтому вместо (4), (9) используем модель ступенчатого

изменения концентрации:

c(í,0) = Q0 + (-l)fcQi, te{kx/u,{k+ 1)«г/ы), (12)

coi = Qo - Qii сол = Qo + Qi, Qo>Qi>0, k = 0,1,..., coi = [(¿'spo - J«)/6] V2> coi = 9[(l¿spo - Jn)¡b]l/2. (13) Здесь u> — частота колебаний; си, coh — концентрации водорода у входной поверхности при выключенном и включённом диссоциаторе; ро — давление водорода, постоянное в течение эксперимента; Ja, Jth — стационарные значения-плотности выходного десорбционного потока при выключенном и включённом диссоциаторе. Чтобы поток достигал этих уровней, частота и выбирается достаточно малой. Уровни концентраций (13) соответствуют стационару при выключенном диссоциаторе. Константы Q¿ не заданы, известен лишь характер изменения концентрации. Типичные для МКИ плотности потоков Jt{t) показаны на рис. 1—4 (стр. 18).

Во второй главе описываются численные методы моделирования водородопроницаемости. Построены разностные уравнения, соответствующие различным краевым задачам, и вариант метода прогонки для их решения. Использован шеститочечный шаблон на сетке с фиксированными шагами. т, h по t, х на множестве П= [0,t*]x[0,£]. Через z* обозначены приближённые значения концентраций c{tk,Xj),z{tk,Xj) в узлах сетки. Модели (6)-(11) соответствуют следующие разностные уравнения. Для уравнений (6), (7):

Асс)Х\ + + £cc*+í = Fj + Q

l

oD

B] = - +<r

3 т

'■j-i = Fj + Q*

zi ' Jk+1

L I 1

2 D Zmax — Z*

tt +ai-

« ¿mox

(14)

(15)

f; =

1 „ J 2D

Qc =

cj+(l-ir)

A' = E' = -

aD

T '\h? Zmax

+ o

Z-max

aiCi \

----02

Zmax j

aJ+U-ff)

• +02 D(é

j+i

Q'=aai,

h.2

Для уравнений (9),(10):

1/<4+1 + и1С*+1 + и24+1 = и3,

(16) (17)

п 1 х X

£/о = — + о , + о

9Т

Уз = рзро +

2Л'

—--(1 — <т)

9Г

Ух =-а

2£>

14 = Л,

1Н

С/дг = — 9Т

и3 = +

Ьск+1

+ СТ

ЗО

2Л

_ 3£ \

А2 ал)

II

п

4 + (1-а>

и N-2 — а —

--(1-<7) 9Т

Ьс%

ЗО 2/»

+ {!"»)

2Л О

2Л'

2Л

При а=0 имеем явные разностные схемы, в которых следует считать В случае неявных разностных

схем (0 < а < 1) имеем схему предиктор-корректор. Сначала по явным разностным схемам получаются приближенные

значения с ждения с*+1

*+1 гЫ-1

V ¿+1

которые затем используются для нахо-

по неявной разностной схеме с помощью разработанного варианта метода прогонки. Такой способ нахождения с*+1, обеспечивает второй порядок аппроксимации по т и х. В основе предложенного варианта метода прогонки лежит использование линейного разложения

= ^-1/2 + Ки/2 + (18)

= Ц-1/2^ + Щ-Г/2 + (19)

Верхние индексы коэффициентов Ь, К, Р указывают на принадлежность уравнению. Вначале находятся коэффициенты этого разложения, потом значения функций с*+1, начиная с j = N. При нахождении с£+1, вместо разложения для ] = 1 удобнее использовать (16),(17). Для j — 2 коэффициенты в (18),(19) имеют вид:

и. О'О'

№ = в\- ~ЕС---,

1 1 {/о В1+2Е' 1 "

41 и0'

Ес — Ас

и0

В1 + 2 Е'

0е Г к: _

У/2 - ~

Е- - Л*

Я5 I В1 + '2Е*

Далее значения cJ+J, е {2,..., N} определяются из

(18), (19) по известным коэффициентам и c*+1, z*+1. Значения находятся из (16), (17). Для граничных условий объемной десорбции получаются разностные уравнения вида (16), (17), но с другими коэффициентами. В случае моделей переноса водорода в двухслойных материалах разностные схемы и метод прогонки строятся аналогичным образом.

Третья глава посвящена методам параметрической идентификации моделей водородопроницаемости. Построены алгоритмы идентификации параметров на основе техники рядов Фурье и сопряжённых уравнений математической физики. Рассмотрим для определённости построение алгоритма параметрической идентификации модели (1)-(5) для МКИ. Часть информации получается из анализа стационарной проницаемости. Для однослойных материалов после установления стационарного режима (в экспериментах по методу проницаемости на рассматриваемом промежутке времени, в экспериментах по МКИ — на полупериодах) в уравнениях (1),(2) производные по времени равны нулю, следовательно стационарам соответствует линейное распределение концентрации водорода в моменты включения и выключения дис-социатора Ц (для ОД):

c(tk,x) = Jt{tk){e - x)/D + (Jí(íO/b)V2, (21)

coi = Qo~Qi = (Jei/b)V2 + Jul/D, (22)

C0h = Qo + Qi = (Jth/b)V2 + Jthe/D. (23)

Выражения для моделей с ПД:

с (t*,*) = Je(tk)(£ - x)/D + g(Jt(tk)/b)V2, (24)

coi =Qo~Qi= 9(Jei/b)1/2 + Jue/D, (25)

сол = Qo + Qi= g{Jeh/b)y2 + Jthi/D. (26)

Аналогичные выражения получаются для второго слоя двухслойных материалов. Для определения s при известных параметрах D, b (в случае ПД при известных D, b, g) для моделей переноса в однослойных мембранах с ОД имеем:

(27)

Для моделей переноса с ПД достаточно заменить Хх на

Суть метода параметрической идентификации на основе рядов Фурье в следующем. Для МКИ на периоде установившихся колебаний представим концентрации в виде:

Подставляя эти представления в уравнения (1), (2), получим:

ти)Сп(х) = Лс'^(х) - Сп(х),

тш + й2

Решение запишем в виде с„(х)=Лпехр{А2:}+Впехр{—Ах}, А =

гп(х) = г

а!Сп(х)

»по; +12

(а1+а2)ти—(пы)2

(30)

(31)

Обозначим через Jt{„), £<(„) — коэффициенты Фурье от Jt(t) и Ь({г) — \fJtit). Используя выражения для Сп{(), ¿„(е) из = Ъс((1) и (5) (считаем цзр((£) « 0), получим: ( Ап + Вп = сп(0),

| Ап ехр{А0 + Вп ехр{—А^} = ЬЦп)/-Л, (32)

I Ап ехр{А£} - Вп ехр{—А£} = -Зц^/БХ.

Выражение (12) перепишем в виде:

с(г,0) = <?о -г<?1 2(тг)-1ехр{икЛ}. (33)

п=±1,±3,...

Выразим с„(0) из (33) с учетом (21) и Ь«=4/2, ин=3\к'-с„(о) = д0 = [х,^ + 1а) + е{]1к + Л/)] /(2П), » = о,

сп(0) = 0, п = 2т,

с„(0) = -2г<?1/(п7г) = -«[XIЛ«)] /(.Омг), « = 2т-1.

Подставляя с„(0) в (32), после преобразований получим:

0;

D

~2Jt{n) sinh(Al) + \C(Jeh + Ju) _ A[2L,<n> cosh(A^) - (La + Leh)] ' 1'

-J<<n) sinh(Al) _ ^^ АЬцп) cosh(A£) '

= Xlt

(34)

n = 2m; (35) n = 2m - 1. (36)

nnJt(n) sinh(Al) + i£X(Jeh — Ja)

A[t(L« - Lth) - мтЬцп) cosh(Ai)]

В вьфажениях (34)—(36) левые части зависят от п, а правые только от искомых параметров. Используя выражения для нескольких п, найдем комплекс параметров и, как следствие, параметры D, Ь. Через Fi(n, A)/F2(n, А) обозначим формально левую часть выражений (34)—(36). Ищем значение параметров D, о^, а2 как решение задачи минимизации:

G( D ) = |-Fl("l.A(ni,D,ai,a2)) Fi(w2,A(n2,P,ai,a2))|

(пиn2, , 1, V |F2(niiA(ni)£,)aiia2)) Fj(n2,Л(п2,D,ai,a2))I'

G(ni,n2,D,aifa2) —* min, п\фп2- (37)

Более точный результат при решении задачи минимизации можно получить, учитывая, что отношения Fi(n;, A)/F2(nj,A), из-за неизбежных погрешностей, дают комплексную величину, а искомая величина Ху является действительной. В «идеале» имеем Xi = ReFi/ReF2 = lmFi/lmF2, поэтому экстремальную задачу (37) заменим на

гы „ Пп п 1 гуи»^"!) ,'mfl(«i)\ учв^(иа) .1тЛ(иа)Ма

G("i,n2,.D,<ii,a2) —i► min, пу ф n2. (38)

В (38) используются средние значения Ху, поскольку, из-за погрешностей, величины полученные отношением действительных и мнимых частей Fi, F2, различаются. Ищем Ху = Db~V2 = (ReFi/ReF2+lmFi/lmF2)/2, подставляя найденные D, oi, о2. Параметр Ь определяем из Xi, зная D. Далее из (27) находим s. Численные исследования показали, что грубую

окрестность значений Б, ах, аз при исходной неопределенности в несколько порядков следует искать, решая (37), для уточнения D, ах, аг целесообразно использовать (38).

Параметры Д ах, аг в выражениях (34)—(36) непосредственно определяют только значения А(...). Поэтому для различных значений параметров В, ах, аг, которым соответствуют одинаковые А(...), наблюдаются одинаковые значения целевых функций (37), (38). Имеется некоторое множество значений параметров D, ах, аг доставляющих минимум выбранной целевой функции, т.е. при решении экстремальных задач можно найти а\(0), аг(£)). Для точного определения ах, аг желательно иметь максимально точные априорные оценки Б. Оценки Б можно получить другими алгоритмами, в частности алгоритмами для более простых моделей. Функция при фиксированном Б имеет «овраг» с пологим дном, что затрудняет поиск минимума градиентными методами (в том числе и методом овражного спуска). Поскольку для разных по чётности пар гармоник направления оврагов различны, то следует использовать целевые функции вида

Другой подход к построению алгоритмов параметрической идентификации заключается в использовании аппарата сопряженных уравнений. Рассмотрим в области (0,£*) X (0,£) уравнение с определёнными краевыми усло-

виями, где А — заданный интегро-дифференциальный оператор. Используя формулу интегрирования по частям, для произвольной гладкой функции ^{Ь^х) получим:

0= / / ${сг-Ас)<1х<И = - I I (39)

Jo Jo Jo Jo

Здесь слагаемое / содержит только величины, связанные

с краевыми условиями. Если теперь фиксировать решение сопряженного уравнения то получим соот-

ношение / = 0, содержащее искомые параметры и экспериментальные данные. Подчеркнем, что для сопряженного уравнения не фиксируются краевые условия. Выбирая те-

перь различные решения получаем систему уравне-

ний = 0 для определения искомых параметров. Конкретные выражения здесь не приводятся из-за громоздкости.

В четвертой главе содержатся результаты численных исследований. Ввиду большого разброса порядков величин использовались масштабирующие множители. Для различных моделей водородопроницаемости исследовано, поведение плотности выходного десорбционного потока при варьировании условий проведения экспериментов и параметров моделей в физически оправданном диапазоне величин. Основное внимание уделено исследованию методов и алгоритмов идентификации. Для алгоритмов на основе рядов Фурье определены целевые функции и гармоники, дающие минимальные относительные погрешности идентификации параметров. Приведены зависимости относительных погрешностей идентификации параметров от длительности периода включения (выключения) диссоциатора, интенсивности его работы и использованных для идентификации гармоник. Оптимальным является использование пар различных по чётности гармоник при длительности выхода потока на стационар

« 40 — 90% от общей длительности периода. Использование только нечётных гармоник и незначительное изменение длительности периода увеличивает относительную погрешность в пределах единиц — десятков процентов. Удовлетворительно определить параметры при использовании только чётных гармоник обычно не удаётся. Следует использовать гармоники с малыми номерами ввиду того, что высокие гармоники сглаживаются мембраной и в экспериментах зашумлены. В широком диапазоне параметров следует использовать целевые функции вида (37), позволяющие получить приближенные значения параметров И, 01,0.2 (для модели (1)—(5)). Более точные значения параметров определяются с использованием (38) в окрестности найденного приближения. Комплекс параметров Х\ = ВЬ~1^2 лучше определяется для чётных гармоник из выражения Х\ = (Re^<i/ReF2+lmF^/ (п^г)/2. В ал-

горитмах для моделей, включающих параметры: д, 01,02, ввиду «овражности» целевых функций и наличия нескольких минимумов целесообразно применять сумму целевых функций для пар различных по чётности гармоник (например (7(1,3,-0,01,02) + £7(2,4,X),01,02)). Это обсуловленно зависимостью направления оврага от использованных гармоник.

Для алгоритмов, построенных с использованием сопряжённых уравнений, исследован вопрос выбора различных функций ф^,х). При выборе всех вариантов ф(Ь, х) получаются плохообусловленные системы уравнений, что ведёт к большой погрешности идентификации Ь, д. В большинстве случаев получаются нелинейные системы уравнений, которые при более - высокой трудоёмкости решения дают точность идентификации сопоставимую с точностью идентификации при решении линейных систем для гр{Ь,х) = х/£. Для моделей с динамическими граничными условиями существенное повышение точности идентификации достигнуто учётом переходных процессов на входной стороне мембраны. В случае МКИ лучшие результаты даёт использование для идентификации самого первого периода колебаний в силу различных начальных распределений водорода в материале. Для обоих экспериментальных методов высокая точность идентификации достигается при проведении экспериментов в два этапа с разными входными давлениями.

Разработанными алгоритмами идентификации на основе техники рядов Фурье проведено оценивание параметров во-дородопроницаемости для аморфного и рекристаллизован-ного железа (сплав •Ге77.з№1Л5»7.7£1з.бСо.2Д>.оо9) по экспериментальным данным, предоставленным Н.И.Сидоровым (Институт металлургии УрО РАН, Екатеринбург) и ЕАЕвардом (НИИ Физики им. ВАФока СПбГУ, Санкт-Петербург). Использовалась модель переноса с диффузией и обратимым захватом в ловушки, объемной десорбцией. Часть полученных результатов содержатся в таблице №1 {(¡о + Яг — концентрация в приповерхностном слое, создаваемая тлеющим раз-

рядом), некоторые десорбционные потоки экспериментальные и смоделированные по идентифицированным параметрам приведены на рис. 1—4 (сплошной линией — экспери-ментальные).-Для других температур получены аппроксимации такого же порядка точности. Ввиду зашумленности данных для коэффициентов 6, 5 .удалось определить только

порядки величин: Ь?

,х 10м

(10

-17

s«10-a-10"

Т» 2 N

'§15

si

Ч- 1 0.5

— ехрег.

— арргох.

ехрег. арргох.

Ров 500 600 700 (.3 800 Рис. 1. Аморф. железо, Т = 225°С.

*Г

„ 2.5

5 ^ 1 05

— ехрег.

— арргох

Й)0 250 300 350 8 40« Рис. 2. Аморф. железо, Г = 250°С\

800 1000 1200 1400 ^ 8 <600 Рис. 3. Рекрисг. железо, Т = 200°С.

1000 1200 1400 (з 1600 Рис. 4. Рекрисг. железо. Т = 225°С.

Таблица №1. Идентифицированные значения параметров.

№ 1 Т. °С 1 О, ст2з-1 1 в1, з-1 | а2, з"1 | Оп+Ои ст~3

Аморфное железо

1 225 4.0-10"8 6.01-ю-2 4.16-Ю-2 • 1.41-1018

2 250 7.0-Ю-8 6.02-Ю-2 9.50-Ю-2 3.39-1017

3 275 8.5-10-® 4.51-Ю-2 6.14-Ю-2 1.57-1017

Рекрисгаллизованное железо

4 175 2.5-10-8 1.54-10"2 1.82-Ю-2 6.22-1017

5 200 2.8-10~8 5.13-10"3 2.60-Ю-2 2.42-1018

6 225 3.5-10 ~8 6.53-Ю-3 9.55-10~3 1.79-1018

Рис. 5. Целевая функция с ложным Рис. 6. Концентрация

мин., рекрнстал. железо, Т= 200°С.

Рис. 7. Зависимости .7* от Т, Рис. 8. Зависимости ог Г,

экспериментальные. модельные.

Удалось получить характерные зависимости стационарных значений десорбционных потоков от температуры, аналогичные экспериментальным ', которые свидетельствуют об адекватности модели экспериментальным данным (рис. 7, 8). Вид кривых обусловлен разной динамикой физико-химических процессов (диффузии, адсорбции, десорбции) при изменении температуры.

'Е.А.Евард, Н.И.Сидоров, И.Е.Габис Водородопроницаемость аморфною м рекристаллизованного сплавов на основе железа//ЖТФ, 2000, т.70, в.З, стр. 90-92.

Численные методы моделирования и параметрической идентификации реализованы в программном комплексе, созданном в визуальной среде программирования Delphi. Основными возможностями комплекса являются:

— ведение базы данных численных экспериментов;

— использование средств визуализации MatLab (рис. 6);

— использование вычислительных возможностей MatLab;

— использование алгоритмов, написанных на произвольных языках и оформленных в виде динамически подключаемых библиотек (DLL).

Программный комплекс обладает удобным интерфейсом. Общий вид комплекса приведен на рис. 9.

Рис. 9 Общий вид программною комплекса

В заключении приведены основные изложенные в диссертации результаты, их приложения и возможные направления дальнейших исследований.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи

1. Zaika Yu.V., Popov V.V. The definition of parameters of hydrogen permeable metals // Proceedings of Third Inter-Karelian Conference "Teaching mathematics and physics in secondary and higher education", Karelian State Pedagogical University, Petrozavodsk, 1998, pp. 315-319.

2. Заика Ю.В., Попов В.В. Моделирование водородопрони-цаемости мембран и алгоритм параметрической идентификации // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, выпуск 1, Петрозаводск, 1999, с. 153-168.

3. Попов В.В. Повышение точности идентификации параметров модели водородопроницаемости // Труды Петрозаводского государственного университета, прикладная, математика и информатика, выпуск 10, Петрозаводск, 2001, с. 97-109.

4. Попов В.В. Численное моделирование переноса водород да в конструкционных материалах // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, выпуск 3, Петрозаводск, 2002, с. 248-274.

5. Попов В.В. Алгоритмы определения параметров водородопроницаемости // Труды IV международной конференции "Tools for mathematical modeling"(Mathtools'03), СПбГТУ, 2003, с. 132-138.

6. Заика Ю.В., Попов В.В. Алгоритмы определения параметров модели переноса водорода методом концентрационных импульсов // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, выпуск 4, Петрозаводск, 2003, с. 20-35.

Тезисы докладов

7. Zaika Yu.V., Popov V.V. The definition of parameters of hydrogen permeable metals // Third Inter-Karelian Conference "Teaching mathematics and physics in secondary and higher education", book of abstracts, Petrozavodsk, 1998.

8. Заика Ю.В., Попов В.В. Идентификация модели водоро-допроницаемости двухслойных мембран / / Вторая международная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения", сборник тезисов докладов, СПбГТУ, 1998.

9. Заика Ю.В., Попов В.В, Идентификация модели переноса водорода методом концентрационных импульсов // Вторая международная конференция "Средства математического моделирования"(Mathtools'99), сборник тезисов докладов, СПбГТУ, 1999.

10. Попов В.В. Программный комплекс моделирования газопроницаемости материалов // Всероссийская научная школа "Математические методы в экологии", сборник тезисов докладов, ИПМИ КарНЦ РАН, Петрозаводск, 2001, с. 275-277.

11. Popov V.V. Algorithms for definition hydrogen transfer parameters //The fourth international conference "Tools for mathematical modelling" (Mathtoolsr03), book of abstracts, Saint-Petersburg, 2003, p. 114.

12. Попов В.В. Алгоритмы определения параметров водо-родопроницаемости // "Обозрение Прикладной и Промышленной Математики", т. 10, вып. 1, М., 2003, с. 206.

Подписано в печать 12.03.2004. Формат 60x84 1/16.

Бумага офсетная. Офсетная печать. Уч.-изд.л. 1. Усл. кр.-отт 7. Тираж 100 экз. Изд. №45 Петрозаводский государственный университет Типография Издательства Петрозаводского государственного университета 185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

р-5858

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Экспериментальные методы.

1.1.1 Метод проницаемости.

1.1.2 Метод концентрационных импульсов (МКИ).

1.2 Основные обозначения.

1.3 Модели водородопроницаемости

1.3.1 Физико-химические процессы внутри мембраны

1.3.2 Начальные условия.

1.3.3 Нелинейные граничные условия

1.3.4 Условия сопряжения для двухслойных мембран

1.3.5 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

1.3.6 Модели переноса сквозь двухслойные мембраны

2 Численное моделирование водородопроницаемости

2.1 Разностные схемы.

2.1.1 Физико-химические процессы внутри мембран

2.1.2 Нелинейные граничные условия

2.1.3 Условия сопряжения для двухслойных мембран

2.1.4 Замечания.

2.2 Вариант метода прогонки.

2.2.1 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

2.2.2 Модели переноса сквозь двухслойные мембраны

3 Численные методы параметрической идентификации

3.1 Анализ стационарной проницаемости.

3.2 Метод рядов Фурье.

3.2.1 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

3.2.2 Модели переноса сквозь двухслойные мембраны

3.3 Метод сопряжённых уравнений.

3.3.1 Модели переноса сквозь однослойные мембраны

3.3.2 Повышение точности алгоритмов идентификации 4 Вычислительные эксперименты

4.1 Моделирование водородонроницаемости.

4.1.1 Перенос водорода в однослойных мембранах.

4.1.2 Перенос водорода в двухслойных мембранах.

4.1.3 Экспериментальные десорбционные потоки.

4.2 Результаты параметрической идентификации.

4.2.1 Идентификация параметров алгоритмами на основе рядов Фурье для МКИ.

4.2.2 Идентификация параметров алгоритмами на основе

- сопряжённых уравнений.

4.2.3 Идентификация параметров аморфного и рекристал-лизованпого железа

4.2.4 Адекватность моделей экспериментальным данным

4.3 Программный комплекс моделирования и параметрической идентификации.

Актуальность темы

Проблемы энергетики являются одним из фундаментальных научных направлений исследований. В качестве перспективного энергоносителя рассматривается водород. Другие важные области применения — проектирование химических реакторов, ракетостроение, вакуумная техника и технология. Наконец, перспективы термоядерной энергетики связаны с использованием изотопов водорода — дейтерия и трития. Поэтому ведётся интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки, а также защиты конструкционных материалов от водородной коррозии (водородного охрупчива-ния металлов). Экспериментальные исследования в этой области требуют разработки моделей и вычислительных методов, позволяющих моделировать взаимодействие водорода с твёрдым телом (конструкционными материалами) с учетом современных физико-химических представлений [4,6,7, 12, 13, 15,16,25,27,51,56]. Актуальной проблемой является создание эффективных методов параметрической идентификации моделей водородоироницаемости. Сложность таких задач в том, что они являются нелинейными обратными задачами математической физики.

Имеется широкий спектр физико-химических представлений и соответствующих математических моделей для различных стадий взаимодействия водорода с твёрдым телом [10,56]. Вычислительные эксперименты позволяют выбрать адекватные экспериментальным данным модели. Оценка параметров моделей даёт возможность уточнить механизм взаимодействия водорода с твёрдым телом, выделить лимитирующие процессы. Применение математических методов и программного обеспечения приводит к сокращению расходов на дорогостоящие и трудоёмкие эксперименты.

В работе рассматриваются модели переноса водорода применительно к экспериментальным методам проницаемости и концентрационных импульсов [4,9,10,12,13]. Учитываются ад(аб)сорбциошю-десорбциониые процессы на поверхности, диффузия с обратимым захватом водорода в ловушки (дефекты физико-химической структуры), диффузия в канале ловушек и ограничение ёмкости ловушек. Модели водородонропи-цаемости содержат нелинейные граничные условия III рода и динамические — дифференциальные уравнения для поверхностных концентраций. В этом заключается основная специфика рассматриваемых моделей. В литературе подробно изучены линейные краевые задачи I-11I рода. [2,26,29,30,34-36,40,47,49,52,55,57]. Численному решению подобных краевых задач посвящены книги [3,18,19,37,41-45]. Нелинейные краевые задачи и уравнения изучены d меньшей степени [5,14,24,28,30,31,48,49,55]. Модели переноса водорода в двухслойных материалах (проблема защитных покрытий) дополнительно содержат условия сопряжения слоев.

Параметрическая идентификация моделей является нелинейной обратной задачей. Разработанные градиентные методы минимизации невязки экспериментальных и модельных данных для решения подобных задач требуют выполнения численного интегрирования уравнений в частных производных на каждом шаге [1]. Большой объём вычислений и недостаточная эффективность общих методов заставляют искать более специализированные алгоритмы оценивания параметров с учётом специфики экспериментальных методов. Применительно к части рассматриваемых моделей такие алгоритмы предложены в публикациях Ю.В.Заики [22,23], которые послужили основой для разработки более точных алгоритмов для широкого класса моделей, в том числе для моделей ранее не рассматривавшихся.

Задача численного моделирования потребовала разработки разностных схем для рассматриваемых моделей, эффективных в классе жёстких задач [39]. Определённой сложностью при конструировании разностных схем и разработке методов решения систем разностных уравнений являлось наличие нелинейных динамических граничных условий, условий сопряжения на стыке слоёв двухслойных материалов, учёт физико-химических особенностей материалов (диффузия в канале ловушек, ограничение ёмкости ловушек).

Цели диссертационной работы

1. Разработка численных методов для решения краевых задач водоро-донроницаемости с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) для экспериментальных методов проницаемости и концентрационных импульсов.

2. Построение эффективных помехоустойчивых алгоритмов параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным.

3. Разработка современного программного комплекса моделирования и идентификации.

4. Численное исследование математических моделей и алгоритмов параметрической идентификации в широком физически оправданном диапазоне параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы).

5. Выбор адекватных моделей и оценка параметров переноса водорода в конкретных конструкционных материалах (аморфное и рекри-сталлизованное железо).

Методы исследований

В работе применена теория разностных схем для разработки численных методов моделирования водородопроницаемости. Используется техника рядов Фурье, аппарат сопряжённых уравнений математической физики и методы нелинейной оптимизации. Для создания программного комплекса использована среда программирования Delphi и математический пакет MATLAB (Scilab).

Численное исследование математических моделей, алгоритмов параметрической идентификации, оценка параметров аморфного и рекри-сталлизованпого железа были проведены с помощью разработанного программного комплекса.

Научная новизна

1. Разработаны разностные схемы для краевых задач водородопропи-цаемости одно- и двухслойных материалов с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) для экспериментальных методов проницаемости и концентрационных импульсов. Предложен вариант метода прогонки для решения полученных систем разностных уравнений.

2. Разработаны помехоустойчивые алгоритмы параметрической идентификации на базе техники рядов Фурье и сопряжённых уравнений математической физики.

3. Предложен метод повышения точности алгоритмов параметрической идентификации, построенных с использованием сопряженных уравнений, для моделей с нелинейными динамическими граничными условиями.

4. Численно исследованы модели переноса водорода и алгоритмы параметрической идентификации в широком диапазоне изменения параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы).

5. Проведена оценка параметров переноса водорода в аморфном и ре-кристаллизованном железе (сплав Fc-!7^Nii{Si7jB\2(,Cci.2lyo(m) и получены характерные зависимости стационарных значений плотностой дссорбционпого потока от температуры, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным.

Практическая ценность работы

1. Численные методы моделирования и параметрической идентификации моделей водородопропицаемости позволяют сократить расходы на экспериментальные исследования, оценивать параметры материалов и выявлять лимитирующие факторы, уточнять физические представления о различных стадиях переноса водорода в конструкционных материалах.

2. Программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, позволяет на современном уровне решать проблемы математического сопровождения экспериментальных исследований.

3. Оценены параметры водородопропицаемости аморфного и рекри-сталлизованного железа.

Реализация результатов работы

Создан программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, с помощью которого были проведены численные исследования моделей и алгоритмов, оценены параметры аморфного и рекристал-лизованного железа.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях: Third Inter-Karelian Conference "Teaching malhematics and physics in secondary and higher education" (KSPU, Petrozavodsk, 1998); второй международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения" (СПбГТУ, 1998); на первой и второй всероссийской научной школе "Математические методы в экологии" (ИПМИ КарНЦ РАН,

Петрозаводск, 2001, 2003); на второй и четвёртой международной конференции "Tools for Mathematical Modelling" (СПбГТУ, 1999, 2003).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, из них 6 статей и 6 тезисов докладов на международных, всероссийских и региональных конференциях (стр. 113).

Результаты, выносимые на защиту

1. Численные методы математического моделирования водородопроницаемости конструкционных материалов (разностные схемы и вариант метода прогонки).

2. Алгоритмы параметрической идентификации моделей водородопроницаемости однослойных и двухслойных материалов.

3. Программный комплекс, реализующий разработанные численные методы и алгоритмы.

4. Результаты численных исследований моделей и алгоритмов (адекватность моделей, чувствительность к вариациям параметров), оценка параметров переноса водорода в аморфном и рекристалли-зованпом железе (сплав А; 7 7. з Л7 ?' i л S ? 7.7 # м б Со. 2 Лм ш) для метода концентрационных импульсов (МКИ).

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием математических методов. Полученные результаты моделирования и параметрической идентификации согласуются с физическими представлениями и экспериментальными данными.

Поддержка исследований

Работа выполнена и рамках следующих проектов и программ.

1. Проект Б0027 ФЦП "Интеграция" "Совместные фундаментальные и поисковые исследования но актуальным направлениям современной физики", нодпроект № 6 "Ингибирование водородопропицаемо-сти твердотельными пленками" (совместно с НИИ Физики им. В.А.Фока, СПбГУ).

2. Программа фундаментальных исследований ОМН РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач", проект "Численные методы решения задач с динамическими граничными условиями и подвижной границей" (государственный контракт с ИПМ им. М.В.Келдыша № 10002-251/ОМН-03/026-030/ 240603-810).

Получен грант ФЦП "Интеграция" для участия в международном симпозиуме по металло-водородным системам МН2004 в 2004 г. (Краков, Польша).

Личный вклад автора

Все основные результаты работы, изложенные в диссертации, получены автором. Методы и алгоритмы параметрической идентификации разработаны иод руководством Ю.В.Заики. Данные по аморфному и рекри-сталлизованному железу предоставлены Н.И.Сидоровым (Институт металлургии УрО РАН, Екатеринбург) и Е.А.Евардом (НИИ Физики им. В.А.Фока СПбГУ, Саикт-Петербург).

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и приложения. Во введении обосновывается актуальность темы, изложены цели, методы иссле

Все выводы, сделанные в этом пункте, справедливы для алгоритмов на основе рядов Фурье для других моделей.

Идентификация параметров модели диффузии с ПД

При исследовании выбора гармоник и условий проведения экспериментов для алгоритма идентификации этой модели получены результаты, аналогичные изложенным (см. 4.2.1). Поэтому приведём отличия.

В этом алгоритме после определения грубых значений параметров при решении (3.28) (стр. 42) следует уточнить их значения, решая (3.29). Численные исследования показали, что минимум функции G(ni,n2,D,g) из (3.29) для всех гармоник находится на дне пологого оврага (значение функции в минимуме незначительно отличается от значений функции в соседних точках оврага). Такое поведение функции затрудняет поиск минимума даже методом оврагов [3] (разновидность метода градиентного спуска, учитывающая информацию о предыдущих шагах). Поскольку направление оврага (рис. 33—35) зависит от чётности выбранных гармоник (п;), то использование суммы функций для различных по чётности гармоник позволяет получить более выраженный минимум (рис. 36), который стабильно находится методами градиентного спуска. На рис. 33— t

35 приводятся типичные функции G(ni,n2,D,g) из (3.29) для различных по чётности гармоник, полученные для эксперимента 2 из таблицы 11 (волнистость и многочисленные минимумы на дне оврагов обусловлены дискретностью изменения переменных D, д при построении графиков). В алгоритме идентификации и для построения графика на рис. 36 использована целевая функция С(2,4, D,g) + G(3,5, D,g).

Заключение

В диссертациониой работе получены следующие результаты.

1. Неявные разностные схемы типа предиктор-корректор второго порядка аппроксимации по т, h для широкого класса моделей переноса водорода в одно- и двухслойных материалах с нелииейиыми граничными условиями (III рода и динамическими) применительно к экспериментальным методам проницаемости и концентрационных импульсов.

2. Вариант метода прогонки для решения полученных систем разностных уравнений.

3. Помехоустойчивые алгоритмы параметрической идентификации ряда моделей (в том числе для ранее не рассматривавшихся) водородопроницаемости одно- и двухслойных материалов на базе техники рядов Фурье и сопряжённых уравнений математической физики.

4. Метод повышения точности алгоритмов параметрической иденти-В фикации, построенных с использованием сопряжённых уравнений, для моделей с нелинейными динамическими граничными условиями, учитывающий переходные процессы на входной поверхности.

5. Численные исследования моделей и алгоритмов параметрической идентификации в физически оправданном диапазоне изменения параметров (чувствительность к вариациям параметров, лимитирующие факторы). Для алгоритмов на основе рядов Фурье определены оптимальные (в смысле минимальной относительной погрешпо-сти идентификации параметров) гармоники, целевые функции. В случае алгоритмов, построенных с использованием сопряжённых уравнений, исследован вопрос выбора уравнений для различных вариантов функции rp(t,:г), удовлетворяющей сопряжённому уравнению. Для метода концентрационных импульсов определены условия проведения экспериментов (длительность периода, интенсивность работы диссоциатора) для наилучшей идентификации параметров с использованием предложенным алгоритмов.

6. Оценка параметров переноса водорода в аморфном и рекристалли-зованном железе (сплав Fe77.3Ni1.iSi7.7B1x6Co.2Po.009)- Получены характерные зависимости стационарных значений плотностей десорб-ционного потока от температуры, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным.

Рассмотренные в работе методы и алгоритмы моделирования и параметрической идентификации моделей переноса водорода могут быть использованы для исследований взаимодействия водорода с твёрдым телом, адаптированы для сходных задач и моделей. Полученные в работе результаты численных исследований согласуются с физическими представлениями.

Дальнейшие исследования в данной области направлены на разработку алгоритмов параметрической идентификации для более сложных моделей, учитывающих дополнительные, «второстепенные» физико-химические процессы. Также требуется рассмотрение некоторых сугубо математических вопросов, касающихся устойчивости построенных разностных схем, применимости рядов Фурье к подобным нелинейным граничным задачам и др. Актуальным является оценка параметров широкого набора конструкционных материалов и защитных покрытий, выбор адекватных моделей переноса водорода (структурная идентификация).

1. Алифаиов О.В., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Паука, 1988. 288 с.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968. 749 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

4. Бекман И.Н., Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А., Лясни-ков В.Н. Исследование водородопроницаемости в технологии производства изделий электронной техники // Обзоры по электронной технике, сер. 7. Вып. 1(1084). М., 1985. 66 с.

5. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. Киев: АН СССР, 1974. Т. 1. 452 е.; Т. 2. 292 с.

6. Взаимодействие водорода с металлами / Ред. Захаров А.П. М.: Наука, 1987. 296 с.

7. Водород в металлах / Ред. Г. Алефельд и В. Фёлькль. М.: Мир, 1981. Т. 1. 506 е.; Т. 2. 430 с.

8. Евард Е.А., Сидоров Н.И., Габис И.Е. Водородопроницаемость аморфного и рекристаллизованного сплавов на основе железа //ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 3. С. 90-92.

9. Габис И.Е. Метод концентрационных импульсов для исследования транспорта водорода в твердых телах //ЖТФ. 1999. Т. 69, №1. С. 99-103.

10. Габис И.Е. Перенос водорода в металлах 16 группы и тонкопленочных системах полупроводник-металл: Автореф. дис. на соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук. СПб: СПбГУ, 1995.

11. Габис И.Е. Перенос водорода в пленках графита, аморфного кремния и оксида никеля // Физика и техника полупроводников. 1997. Т. 31, №2. С. 145-151.

12. Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А. Поверхностные процессы и проникновение водорода сквозь металлы // Взаимодействие водорода с металлами. / Ред. Захаров А.П. М.: Наука, 1987. С. 177-206.

13. Габис И.Е., Курдюмов А.А., Тихонов Н.А. Установка для проведения комплексных исследований по взаимодействию газов с металлами // Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. 4. Вып. 2. 1993. С. 77-79.

14. Гасвский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

15. Гельд П.В., Мохрачева Л.П. Водород и физические свойства металлов и сплавов. М.: Наука, 1985. 231 с.

16. Гельд П.В., Рябов Р.А., Кодес Е.С. Водород и несовершенства структуры металла. М.: Металлургия, 1979. 221 с.

17. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации. М.: Мир, 1977. 290 с.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. 340 с.

19. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

20. Заика Ю.В. Интегральные операторы наблюдения и идентификации динамических систем: Дис. на соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук. СПб, 1998.

21. Заика Ю.В. Разрешимость уравнений модели переноса газа сквозь мембраны с динамическими граничными условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36, №12. С. 108-120.

22. Заика Ю.В. Управление и алгоритмы наблюдения и идентификации / Уч. пособие. Петрозаводск: ПетрГУ, 2001. 164 с.

23. Заика Ю.В. Идентификация модели водородопроницаемости металлов. //ЖТФ. 1998. Т. 68, №11. С. 38-42.

24. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975. 228 с.

25. Колачев Б.А. Водородная хрупкость металлов. М.: Металлургия, 1985. 217 с.

26. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1962. 767 с.

27. Кунин Л.Л., Головин А.И., Суровой Ю.И., Хохрин В.М. Проблемы дегазации металлов. М.: Наука, 1972. 324 с.

28. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

29. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

30. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 560 с.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

32. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

33. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992. 336 с.

34. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

35. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

36. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

37. Никитенко Н.И. Исследование нестационарных процессов тепло- и массопереноса методом сеток. Киев: Наукова думка, 1971. 226 с.

38. Радкевич Е.В., Меликулов А.С. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент: ФАН, 1988. 183 с.

39. Ракитский Ю .В., Устинов С .М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

40. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 589 с.

41. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 315 с.

42. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

43. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 1999. 319 с.

44. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

45. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 2002. 350 с.

46. Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

47. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 702 с.

48. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса. Киев: Наукова думка, 1969. 259 с.

49. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

50. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

51. Шаповалов В.И. Влияние водорода на структуру и свойства железоуглеродистых сплавов. М.: Металлургия, 1982. 232 с.

52. Bleecker D„ Csordas G. Basic Partial Differential Equations, International Press, Cambridge, Mass., USA, 1996. 735 p.

53. Evard E.A., Kurdumov A.A., Berseneva F.N., Gabis I.E. Permeation of hydrogen through amorphous ferrum membrane // International Journal of Hydrogen Energy №26, 2001. P. 457-460.

54. Gabis I.E., Evard E.A., Sidorov N.I. Transport of hydrogen through amorphous alloy // Hydrogen Recycling at Plasma Facing Materials, 2000. P. 125-131.

55. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19, AMS, Providence, Rhode Island, 1998. 662 p.

56. Hydrogen Materials Science and Chemistry of Carbon Nanomaterials. Сборник тезисов VIII международной конференции / Ред. Щур Д.В., Загинайченко С.Ю., Везироглу Т.Н.

57. Levin Н. Partial Differential Equations. AMS, International Press, Studies in Advanced Mathematics. Vol. 6, 1997. 706 p.

58. Публикации автора по теме диссертации1. Статьи

59. Заика Ю.В., Попов B.B. Моделирование водородопроницаемости мембран и алгоритм параметрической идентификации // Труды Института прикладных математических исследований КарПЦ РАН. Вып. 1. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 1999. С. 153-168.

60. Попов В.В. Повышение точности идентификации параметров модели водородопроницаемости // Труды Петрозаводского государственного университета, прикладная математика и информатика. Вып. 10. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2001. С. 97-109.

61. Попов В.В. Численное моделирование переноса водорода в конструкционных материалах // Труды Института прикладных математических исследований КарНЦ РАН. Вып. 3. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2002. С. 248-274.

62. Попов В.В. Алгоритмы определения параметров водородопроницаемости // Труды IV международной конференции "Tools for mathematical modeling"(Mathtools'03). СПб: Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 2003. С. 132-138.

63. Заика Ю.В., Попов В.В. Алгоритмы определения параметров модели переноса водорода методом концентрационных импульсов // Труды Института прикладных математических исследований КарНЦ РАН. Вып. 4. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2003. С. 20-35.1. Тезисы

64. Zaika Yu.V., Popov V.V. The definition of parameters of hydrogen permeable metals // Third Inter-Karelian Conference "Teaching mathematics and physics in secondary and higher education", book of abstracts, Petrozavodsk, 1998.

65. Заика Ю.В., Попов В.В. Идентификация модели водородопроницаемости двухслойных мембран // 2-я международная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения", тез. докл., СПб: Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет, 1998.

66. Попов В.В. Программный комплекс моделирования газопроницаемости материалов // Всероссийская научная школа "Математические методы в экологии", тез. докл., Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2001. С. 275-277.

67. Popov V.V. Algorithms for definition hydrogen transfer parameters // The fourth international conference "Tools for mathematical modelling" (Mathtools'03), book of abstracts, Saint-Petersburg, 2003. P. 114.

68. Попов В.В. Алгоритмы определения параметров водородопроницаемости // "Обозрение Прикладной и Промышленной Математики", Т. 10, вып. 1. Москва, 2003. С. 206.