автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вычислительные методы и компьютерное исследование задач с пограничными слоями в математических моделях гидродинамики водоемов

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ.

ГЛАВА 1. СЕТОЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ МОНОТОННОГО ВИДА.

§1.1. Некоторые классы операторов монотонного вида и принцип максимума.

§1.2. Априорные оценки решений сеточных уравнений.

§1.3. Метод решения системы уравнений (1.46), основанный на сведении к задаче Коши.

ГЛАВА 2. ПРОЕКЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ИНТЕГРО-ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО

МЕТОДА.

§2.1. Задача с начальными условиями для уравнения первого порядка.

§2.2. Двухточечная краевая задача для несамосопряженного уравнения без младшего члена.

§2.3. Двухточечная краевая задача для несамосопряженного уравнения с младшим членом.

§2.4. Двухточечная краевая задача для самосопряженного уравнения.

§2.5. Двухточечная краевая задача для несамосопряженного уравнения в консервативной форме.

§2.6. Двумерное эллиптическое уравнение в градиентной форме.

§2.7. Двумерное эллиптическое уравнение с дивергентной формой младших членов.

§2.9. Аппроксимация по времени в параболических ■ задачах.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ "Р-Н" ВЕРСИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ К РЕШЕНИЮ СИНГУЛЯРН0-В03МУЩЕНН0И

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

§3.1. Формулировки основных результатов.

§3.2. Описание p-h версии МКЭ для задачи (3.1).

§3.3. Исследование сходимости в узлах сетки.

§3.4. Оценки сходимости в "энергетической норме" и норме пространства СГО,13.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ.

§4.1. Экспериментальное определение порядка равномерной сходимости. Несамосопряженные тестовые задачи.

§4.2. Самосопряженные тестовые задачи.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕМ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

В ГЛУБОКОМ ВОДОЕМЕ.

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ

ОКЕАНИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ.

§1.1. Система уравнений "b-s" модели турбулентности.

§1.2. Анализ вспомогательной системы уравнений

§1.3. Выбор констант' С 3 в случае однородной бездиффузионной) "b-s" модели.

§1.4. Аппроксимация задачи (I.I) - (1.6)

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

ГЛУБОКОМ ВОДОЕМЕ.

§2.1. О вычислении баротропных составляющих движения в моделях общей циркуляции океана.

§2.2. Многоуровенная гидротермодинамическая модель глубокого водоема

§2.3. Построение разностных схем для уравнений интегральной функции тока и уровенной поверхности океана

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОДИНАМИКИ ВОДОЕМА

ВЫТЯНУТОЙ ФОРШ

§3.1. Постановка задачи

§3.2. Дискретная модель

§3.3. Интегральные законы изменения основных характеристик

§3.4. Результаты численных расчетов

Познавая природу физических явлений и стремясь создать при этом детальную картину исследуемых процессов, мы приходим к необходимости строить все более сложные математические модели, что, в свою очередь, требует совершенствования методов их дискретизации. Современный уровень требований, предъявляемых к используемым в гидротермодинамйческих моделях разностным схемам, предполагает преемственность основополагающих свойств операторов исходной и отвечающей ей разностной задач. Одной из важных положительных характеристик разностной схемы является ей способность сохранять в дискретной форме интегральные законы, присущие исходной дифференциальной задаче и отражающие поведение моделируемого объекта в целом. Интегральные свойства разностной схемы особенно значимы для задач с быстро изменяющимися решениями, если, по тем или иным причинам, шаг разностной сетки не может быть выбран достаточно малым, чтобы обеспечить теоретически обоснованную сходимость. В подтверждение сказанного достаточно упомянуть монографии Г.И.Марчука [13, А.А.Самарского и Ю.'П.Попова [2], P.J.Roache[3], Н.И.Булеева [4]. Отметим также необходимость сохранения схемой свойства монотонности, если оно было присуще исходному дифференциальному оператору (А.А.Самарский [5], b.Collatz [6]). Решения многих гидротермодинамических задач обладают особенностями, такими как пограничные и внутренние переходные слои. Примерами могут служить задачи о переносе тепла с. большими числами Пекле, о течениях Навье-Стокса с большими числами Рейнольдса. Наличие относительно малых подобластей с большими градиентами решения делает такие задачи сложными для численной реализации и требует использования разностных схем, учитывающих их специфику (E.P.Doolan, J.J.Miller & W.H.A.Schilders [7], P.J.Roache [3]). Аналогичные проблемы возникают и при решении задач для интегральной функции тока и уровенной поверхности в моделях гидротермодинамики глубоких водоёмов, учитывающих рельеф дна (см., например, Г.И.Марчук, В.П.Кочергин, А.С.Саркисян и др. [8], В.П.Кочергин [9], Г.И.Марчук и А.С.Саркисян [10], А.С.Саркисян и др. [II]). Более того, эти задачи требуют качественной аппроксимации не только решения, но и его производных, так как последние входят в определение баротропных составляющих горизонтальных компонент скорости и, тем самым, точность их расчёта существенно влияет на точность расчёта по модели в целом. Напомним также, что краевые условия в задаче для определения уровенной поверхности имеют форму "наклонных" производных, что служит ещё одним аргументом для использования алгоритмов, дающих возможность вычислять в рамках единого подхода как решение задачи, так и его производные. Таким образом, проблема поиска методов дискретизации, позволяющих автоматически сохранять вышеуказанные свойства при переходе от исходной дифференциальной задачи к её дискретному аналогу является актуальной. Отметим также, что возможности вычислительной техники в настоящее время позволяют использовать достаточно сложные дискретные модели, если они гарантируют более высокий уровень адекватности дифференциальной постановке.

Основные цели, преследовавшиеся данной работой, заключались в

- создании методики дискретизации, позволяющей автоматически сохранять основные свойства дифференциальных задач в их разностных аналогах и дающей возможность в рамках единого подхода аппроксимировать как решение, так и его производные; - использовании этой методики при построении вычислительных алгоритмов для решения различных классов задач с пограничными слоями;

- разработке на базе новых методов и алгоритмов дискретных математических моделей гидротермодинамики водоемов эффективно реализуемых на ЭВМ.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации, попытаемся при этом определить место, которое они занимают в общем потоке исследований по данной теме. В работе приводится описание метода • построения разностных схем для решения достаточно широкого круга дифференциальных задач. Предлагаемая методика основана на проекционном принципе Петрова-Га леркина и включает элементы интегро-интерполяционного метода (см. А.А.Самарский [5], Г.И.Марчук и В.И.Агошков [12]), поэтому она условно названа "проекционный вариант интегро-интерполяционного метода" (ПВИИМ). В качестве основного объекта для приложения ПВМММ в диссертации выбран класс так называемых сингулярно возмущенных краевых задач или задач для дифференциальных уравнений с малыш параметрами при старших производных (см.,например, А.Б.Васильева и В.Ф.Бутузов[13], R.E.O'Malley,Jr.[14] и др.). Известно, что такие задачи возникают в гидротермодинамических моделях и, как уже отмечалось выше, предъявляют повышенные требования к разностным схемам, осуществляющим их численную реализацию. Одним из основных критериев качества разностной схемы, аппроксимирующей сингулярно возмущенную краевую задачу, является требование равномерной по малому параметру сходимости приближенного решения к точному. Принято считать (см.,например, E.P.Doolan, J.J.Miller & W.H.A.Schilders [7]), что наличие равномерной сходимости свидетельствует о том, что разностная схема в достаточной степени отражает специфику сингулярно возмущенной задачи. Реализация этого критерия существенно сужает класс подходящих разностных схем и усложняет технику получения оценок скорости сходимости, так как требует априорной информации об асимптотических свойствах решения исходной задачи и детального отслеживания параметрических зависимостей в константах этих оценок. Тем не менее, схемы, обладающие свойством равномерной по малому параметру сходимости, являются в некотором смысле ушверсальными: они гарантируют достаточную точность решения при любых соотношениях между малыми параметрами и размерами сеточных ячеек.

Можно выделить два основных подхода к конструированию равномерно сходящихся численных алгоритмов для сингулярно возмущенных краевых задач. Первый связан с построением разностных схем "специального" вида на равномерных сетках и берет свое начало с работы А.М.Ильина [15]. Второй подход основан на использовании неравномерных сеток, адаптирующихся к особенностям решения, и исторически связан с именем Н.С.Бахвалова [16]. Построенные на основе ПВШМ разностные аппроксимации используют неравномерные сетки, однако в данной работе мы не касаемся методов адаптации этих сеток, учитывающих свойства решения. Тем не менее, ПВИИМ, на наш взгляд, не исключает возможности дополнительного применения некоторых методов адаптации сетки и даже может быть использован для выработки критериев такой адаптации. Учет специфики исходной дифференциальной задачи в предлагаемом подходе осуществляется методом дискретизации автоматически, таким образом, схемы построенные при помощи ПВИИМ можно отнести к схемам специального вида.

Остановимся кратко на методах, обычно используемых при построении схем специального еидэ. Метод экспоненциальной подгонки используется в большой группе работ, представленных монографией E.P.Doolan, J.J.Miller & W.H.A.Schilders [7], а также в работах А.М.Ильина [15], В.Н.Игнатьева и А.И.Задорина [17, 18]. При исследовании вопросов сходимости здесь применяется метод двух сеток, восходящий к уже упоминавшейся работе А.М.Ильина (см. также J.J.Miller [19]), либо метод двухсторонних оценок (R.B.Kellog & A.Tsan [20]). Некоторыми авторами' при построении аппроксимаций для двухточечных сингулярно возмущенных краевых задач используется метод усечения точной разностной схемы, предложенной А.А.Самарским

М.В.Алексеевский [21], К.В.Влельянов [22, 23], Г.И.Шишкин [24]). Имеются работы, в которых применяется аппроксимация сплайнами, например, J.E.Flaherty & W.Mathon [25], K.Surla [26], K.Surla & Z.Uzelac [27]. И, наконец, большая группа работ посвящена исследованию*проекционно-сеточных методов и, в частности, метода конечных элементов: I.Babuska et al. [28-30], P.P.N.de Groen & P.W.Hemker [31], J.W.Barret & K.W.Morton [32, 33], A.R.Mitchell et al. [34], E.O'Riordan [35], P.Bar-Yoseph & M.Israeli [36], D.Givoli [37], R.E.Bank et al. [38], Б.М.Багаев и В.В.Шайдуров [39], Б.М.Багаев

40]. Однако, в ситуациях, когда наряду с решением сингулярно возмущенной краевой задачи требуется вычислять и его производные, вышеперечисленные методы, на наш взгляд, оказываются недостаточно эффективными. Кроме того, эти методы, за исключением метода конечных элементов, недостаточно удобны для обобщения на многомерный случай и для краевых условий, включающих значения производных на границе области. Предлагая ПВИММ, мы надеемся на, хотя бы частичное, решение этих проблем.

Часть первая (4.1) диссертации содержит четыре главы, в ней обсуждаются методы построения разностных схем для решения задач с пограничными слоями.

В главе I (4.1) рассматривается круг вопросов, связанных с понятиями "монотонность" и "принцип максимума". В применении к разностным задачам эти понятия дают эффективный инструмент исследования их корректности и доказательства оценок сходимости в сильной сеточной норме. Многие результаты, связанные с принципом максимума для сеточных операторов, хорошо известны по монографиям А.А.Самарского и А.В.Гулина

41], А.А.Самарского [5]. Однако они, вообще говоря, не применимы в случаях, когда разностная задача получена после аппроксимации дифференциальной с оператором дивергентного вида." Этот пробел восполняют работы Е.И.Голанта [42] ,

Н.В.Кареткиной [43], В.П.Ильина и Г.Я.Перекрестовой [44], С.Н.Скляра и Л.А.Алтынниковой [45]. В §1.1 введены и исследованы классы сеточных операторов монотонного вида (см. L.Collatz [6]), обобщающие те, что рассмотрены А.А.Самарским и Е.И.Голантом. В §1.2 «для уравнений с операторами из этих классов доказаны оценки устойчивости. В этом же параграфе рассмотрены уравнения специального вида относительно неизвестных значений сеточных функций и t|y=

Лс ■■ оио - Vo = foil). + M.u. - Е u = F<°> 1 11 (1=0,1,.,N-1) (1)

- fi+i + Gi+iui+i " Hi+iui = Fil!' ^ +TlA = V возникающие при использовании проекционного варианта интег-ро-интерполяционного метода. При определенных условиях на коэффициенты системы (1) доказаны оценки вида l\lh.» < ко IVo0) + (Pol +кЗУк0> + к=1 kn ivn ' +<м (2) в сеточной норме ||и^|| ю = maxC|u±|: 1=0,1,. ,N), аналогичные оценки получены и для сеточной функции ф^. В §1.3 предложен прямой метод решения системы (1) основанный на сведении задачи (1) к задаче с начальными условиями. Результаты главы I и, в частности, оценки вида (2) играют ключевую роль при исследовании сходимости разностных схем в главе 2.

Глава 2 (4.1) посвящена систематическому применению ПВИММ при построении разностных аппроксимаций для различных я» классов сингулярно возмущенных задач с краевыми условиями общего вида. Идеология излагаемого в данной главе ПВШМ предложена в работах автора [46-49], развивалась в статьях [50-52], а для двумерного случая реализована в [53-55]. Отметим также работу В.В.Пененко [56], в которой использован близкий к ПВШМ метод дискретизации адвективно-диффузионных уравнений.

В нескольких словах опишем существо предлагаемой методики. Для каждой сеточной ячейки конструируется интегро-разностное тождество, в которое входят: искомое решение, произвольная тестовая функция и набор параметров, аппроксимирующих данные задачи. Следующим шагом-осуществляется выбор достаточного количества линейно-независимых тестовых функций: выбирая их из ядра некоторого дифференциального оператора специального вида (его можно трактовать как сопряженный к оператору, аппроксимирующему исходный дифференциальный оператор) мы, с одной стороны, избавляемся от "главного" интегрального члена в тождестве, а с другой стороны, привносим специфику задачи в разностную схему. Теперь отбрасывая ошибку аппроксимации, выделяемую в процессе построения ин-тегро-разностного тождества, в одномерном случае сразу приходим к семейству разностных схем, в случае двумерной задачи необходимо дополнительно позаботиться об аппроксимации оставшихся в тождестве одномерных интегралов. На этом этапе некоторые известные схемы могут быть получены в рамках ПВИММ, в этих случаях удается либо уточнить доказанные для них ранее оценки скорости сходимости, либо доказать их для более широкого класса сеток и краевых условий общего вида. Построенные при помощи ПВИММ аппроксимации производных, на наш взгляд, служат естественным дополнением для этих схем. Кроме того, для различных классов двухточечных задач получены новые аппроксимации как решения, так и соответствующего потока, гарантирующие второй порядок равномерной по малому параметру сходимости на произвольной неравномерной сетке. Эти аппроксимации построены на пути уточнения схем первого этапа, используемая при этом априорная информация об асимптотических свойствах решения была получена не выходя за рамки ПВИЩ.

В §2.1 рассмотрена начальная задача для уравнения первого порядка с малым параметром при производной. При помощи ПВИИМ для нее построено семейство разностных схем, гарантирующих второй порядок равномерной по малому параметру сходимости на произвольной неравномерной сетке. В частности, в рамках ПВИММ получена схема E.P.Doolan & W.H.A.Schilders [57] и для нее доказана оценка скорости сходимости характеризующая асимптотические свойства схемы. Подобная оценка ранее не была известна. Результаты этого параграфа опубликованы в [51] и используются при построении аппроксимаций по времени для параболических задач в §2.8.

В §§2.2, 2.3 рассматривается задача: eu"(x) + a(x)u'(x) - b(x)u(x) = f(x), х € (0,1), (3) cqu(o) - tj0suf (0) = ф0, ^11(1) +7]18u'(1) =фг (4) для которой s-малый положительный параметр, Ь(х) ^ О при х € [0,1], а коэффициенты в граничных условиях (4) удовлетворяют неравенствам:

С0. V * 0; со + % > °> ^ + V, > 0.

Задача (3), (4) при b(x) = О является простейшей математической моделью диффузионно-конвективного процесса, и, как правило, используется многими авторами при разработке новых разностных схем для задач тепло- массопереноса. При записи формул, во избежание их громоздкости, ограничимся лишь этим случаем (он рассмотрен в §2.2). Применяя к задаче (3), (4) вышеописанный процесс ПВИИМ на первом этапе получаем разностную задачу вида (1) со следующими значениями коэффициентов (1=0,1,N-1): ^ к

1+1/2

I+R|J.(R)+R ]

Н.З G i+1 ~ 1+1" Е

Р(0) s f

1+1/2 X

1+1/2 ,

Л» rv ГУ -1

1+Rfi(R)-R JjL+1/2 ,

Fd) s f i+i

1+1/2 1+1/2 2 1il(R

1+1/2^1+1/2

1+1/2

5) v rv где jjl(R) = cthR-1/R, R = ah/26, R = ah/2e. В случае, когда параметры задачи (1),(5) удовлетворяют условиям: i^±+^/гл(х)i'+15i+i/2"а(х)i+1/г1(х)i+1ai+i/2~а(х)i * Gh' ( х € [xi,xi+1], 1=0,1,.,N-1, h = max Uii+i/2})' и коэффициент a(x) уравнения (3) не обращается в нуль, доказана оценка

6) с константой С не зависящей от в и параметров сетки.

Отметим, что известная схема А.М.Ильина (см. также D.N.de G.Allen & R.V.Southwell [58]) может быть получена из rv системы (1),(5), если положить а±+1/2= а(х±), а±+1/2= а(х±+1), fl+1/2= f(x±), ?i+1/2= при 1 = 0,1,.,N-1.

Схема Т.М.El-Mistlkawy & M.J.Werle [59], сходимость которой в случае первой краевой задачи и для равномерной сетки была исследована в работах A.E.Berger et al. [60], E.C.Gartland Jr. [61], входит в (1),(5) при

Ч+иг~ §i+i/2= ^(х±) + а(х1+1)]/2.а1+1/2,

При b(x) 0 и в аналогичной ситуации семейство схем, полученное при помощи ПВМММ в §2.3, содержит различные варианты схем полной экспоненциальной подгонки, исследовавшиеся в работах Г.М.Шишкина и В.А.Титова [62], J.Carroll & J.J.Miller [63], A.E.Berger et al-[64], Lin Peng-cheng & Sun Guang-fu [65]. Краевые задачи со смешанными граничными условиями для уравнения диффузии-конвекции изучались К.В.Емельяновым [66], А.И.Задориным и В.Н.Игнатьевым [67], O.Axelson & G.F.Carey [68], результаты в этом направлении имеются в монографии E.P.Doolan, J.J.Miller & W.H.A.Schilders [7]. Заметим, однако, что аппроксимации для краевых условий и производных решения, даваемые системой (1),(5) отличаются от предложенных в упомянутых выше работах.

Если рассматриваемое семейство сеток является квазиравномерным, то оценка (6) для задачи (1),(5) может быть уточнена; связанные с этим уточнением результаты также приведены в §§2.2, 2.3. Далее, в рамках ПВИИМ производится модификация схемы (1),(5); с этой целью на основе формул ПВШМ, полученных на предыдущем этапе, исследуются асимптотические свойства ошибки аппроксимации и главная ее часть сохраняется в разностных уравнениях. Построено несколько вариантов модифицированных схем, приведем один из них, он имеет вид (1) с коэффициентами (1=0,1,.,N-1)

E.S M.= 8 [l+R|i(R)+R 1

1 1 -Т 4-1 /Р L J

4+1/2 L ^1+1/2 ■

4+1/2 L ^1+1/2 ' (7) mi Г h2 1 m Г h2 1

Fili 3 " Pl+1/2 [Ih "ТТ" + T ]i+1/2 .

Здесь: v(R) = |i(R)/R и

Pi+1/2 E [1 + ~Ж~ •

В работе доказано, что задача (1),(7) порождает сеточный оператор монотонного вида и, при определенных условиях на коэффициенты уравнения (3), гарантирует равномерную по s сходимость со вторым порядком на произвольной неравномерной сетке:

Таким образом, в отличие от схем А.М.Ильина и Т.М.Е1-Mlstikawy & M.J.Werle, схема (1),(7) обладает равномерной по малому параметру supra-сходимостыо (H.O.Kreiss et al. [69], J.A.Mackenzie & K.W.Morton [70]), что играет существенную роль при аппроксимации динамического оператора в задачах циркуляции жидкости в водоеме (см. В.П.Кочергин [71]). •

В §2.4 рассматривается самосопряженный вариант уравнения (3) (а(х) = 0, Ь(х) > 0). В случае первой краевой задачи равномерно точные разностные схемы для этого уравнения были построены в работе A.F.Hegarty, J.J.Miller & E.O'Riordan [72], третья краевая задача изучалась А.И.Задориным [73]. В настоящей работе для самосопряженной задачи реализуется вышеописанная методология ПВШМ: построено семейство схем, гарантирующих первый порядок равномерной сходимости на произвольной неравномерной сетке, оно включает, в частности, вышеупомянутую схему A.F.Hegarty et al. и схему с переменным подгоночным параметром, описанную у E.P.Doolan, J.J.Miller & W.H.A.Schilders [7]; исследована сходимость этих схем для случая квазиравномерных сеток; получены модифицированные схемы, обладающие вторым порядком равномерной сходимости на произвольной неравномерной сетке.

Первая и третья краевые задачи для уравнения (3) в консервативной форме (слагаемое аи' заменено на (аи)') рассматривается в §2.5. При помощи ПВШМ построено семейство аппроксимаций вида (1); на классе квазиравномерных сеток для него доказана сходимость типа h2/(s+h.), а также проверено выполнение дискретных аналогов основных интегральных законов, присущих исходной задаче. Отметим, что разностные аппроксимации несамосопряженного уравнения в консервативной форме получены и исследованы также в работах R.В.Kellogg et al. [74], A.E.Berger [75], и в монографии E.P.Doolan, J.J.Miller & W.H.A.Schilders [7], однако, вариант, предложений в настоящей работе, отличается от схем из указанных источников, кроме того, он позволяет получить аппроксимацию производной.

В §§2.6, 2.7 ПВШМ используется для дискретизации двумерных эллиптических уравнений, рассмотрены уравнения как с градиентной (§2.6):

Зх[г(х,У)^] + gy[a(x,y)g^] + а(х,у)^ + b(x,y)^ = f(x,y), так и с дивергентной (§2.7) формой младших членов. Обсуждению вопросов, связанных с аппроксимацией двумерных сингулярно-возмущенных эллиптических краевых задач, посвящено достаточно много работ. В этом множестве выделим работы Б.М.Багаева [76], Н.И.Булеева [4], В.А.Гущина и В.В.Щенникова [77],

В.Ф.Козлова [78], В.П.Кочергина [9], В.Д.Лисейкина [79], Г.И.Шишкина [80, 81], G.O.Chen et al. [82], M.E.Fiadero & G.Veronis [83], P.W.Hemker [84], R.B.Kellogg [85], E.O'Riordan et al. [86], M.E.Rose [87]. В рамах предлагаемого в диссертации подхода могут быть получены как новые, так и некоторые из ранее известных разностных схем, при этом обеспечивается возможность аппроксимации производных, что ,как уже отмечалось, имеет принципиальное значение для вычисления баротропных составляющих движения в моделях циркуляции жидкости в водоеме. Предлагается два способа построения тестовых функций в рамках ПВИИМ для многомерного случая, основные результаты опубликованы в [54].

В §2.8 рассматривается следующая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой обычно сводятся параболические задачи после дискретизации по пространственным переменным с использованием метода конечных разностей: е + A(t)u(C,t) = g(C,t), С € to, о < t < Т ,

8) u(C,o) = ф(С), С € to.

Здесь s > о, ш -пространственная сеточная область, состоящая из конечного числа узлов, A(t)-onepaTop, при фиксированном t € (0,Т), действующий в пространстве сеточных функций над со и являющийся дискретным аналогом эллиптического оператора, при этом считается, что краевые условия учтены оператором A(t) и функцией g(C,t). С использованием результатов §2.1 (см. также [45, 51]) для задачи (8) построены различные варианты безусловно устойчивых аппроксимаций, среди которых и аппроксимации, обобщающие известные схемы I.C.Chien [88], S.V.Patankar & B.R.Baliga [89]; исследованы вопросы их сходимости; изложение опирается на работы [90, 91].

В главе 3 (4.1) изучаются возможности "p-h" Еерсии метода конечных элементов (МКЭ) при ее использовании для дискретизации задач с пограничными слоями. В традиционном МКЭ пространства аппроксимантов обычно состоят из полиномов максимальная степень которых фиксирована. В результате применения такого МКЭ для дискретизации сингулярно-возмущенной краевой задачи получается разностная схема с алгебраической аппрокси-мационной вязкостью, которая не гарантирует равномерной по малому параметру сходимости приближенного решения к точному. Сходимость в традиционном МКЭ обеспечивается за счет уменьшения верхней границы "1Г площадей элементов триангуляции, поэтому его иногда называют "1Г версией МКЭ. В отличие от "h" версии, "p-h" версия МКЭ обладает дополнительным рычагом ускорения сходимости, им является увеличение максимальной степени "р" полиномов, используемых при построении пространств аппроксимантов. Такие методы изучались в работах I. Babuska et al. [92-97], B.Q.Guo [98], M.R.Door [99], однако, нам не известны приближенные методы, автоматически использующие этот рычаг, т.е. самостоятельно осуществляющие выбор пространства аппроксимантов с целью обеспечения нужного порядка сходимости. Такие методы, самонастраивающиеся по "степени сингулярности", могли бы оказаться полезными при решении сингулярно возмущенных задач. В настоящей главе предлагается численный алгоритм вышеуказанного типа. Рассматриваеся одномерная задача диффузионно-конвективного переноса. Приближенное решение строится на основе вариационного принципа Бубнова-Галеркина и "p-h" версии МКЭ. Для его определения во внутренних точках сеточных ячеек используются пространства полиномов Лежандра; для вычисления значений этого решения в узлах сетки (вообще говоря, неравномерной) получается монотонная разностная схема с "дозированной" алгебраической аппроксимационной вязкостью, насчитывающейся рекуррентно при помощи цепной дроби ( §§3.1, 3.2). Доказаны равномерные оценки сходимости метода в сеточной (§3.3), интегральной "энергетической" норме и норме пространства непрерывных функций (§3.4). Излагаемые результаты опубликованы в работах [100, 101].

В главе 4 (4.1) приведены результаты численных расчетов для задач с известными решениями, иллюстрирующие работу предложенных в главе 2 новых схем. Для сравнения рассмотрены также некоторые классически известные аппроксимации. Сравнение различных методов проводилось в рамках численных экспериментов по определению порядка равномерной сходимости. Эти эксперименты, требующие, по существу, набора некоторой статистики, позволяют достаточно эффектно проиллюстрировать работу разностной схемы, а при наличии отработанной методики (набор тестовых задач и алгоритм, обеспечивающие "хорошее совпадение" теоретических и экспериментальных оценок для широкого круга известных схем) могут служить инструментом для предварительной оценки качества новых методов. Используемый в настоящей ^ работе алгоритм является модификацией алгоритма, предложенного P.A.Farrell [102]. В §4.1 приведены результаты расчетов для несамосопряженных тестовых задач, а в §4.2 рассмотрены самосопряженные уравнения.

Часть вторая (Ч.11) диссертации состоит из трех глав, в ней приведены математические модели динамики жидкости в водоемах. При разработке этих моделей были использованы реф зультаты Части первой работы.

К настоящему Бремени построены математические модели, при помощи которых проведены исследования важные для понимания природы фундаментальных процессов, происходящих в Мировом океане и его частях (K.Bryan [103, 104], M.D.Cox [105], Ю.Л.Демин и Р.А.Ибраев [106, 107], С.Г.Демышев и Г.К.Коротаев [108]; В.И.Климок, В.П.Кочергин и Г.Фридрих [I09-III], В.И.Кузин [112, ИЗ], Э.Н.Михайлова и Н.Б.Шапиро [114, 115]). Однако, как было отмечено А.С.Саркисяном при подведении ито-щ гов калибращш моделей в рамках программы "Разрезы" [116], работа по усовершенствованию этих моделей, прежде всего в алгоритмическом плане, еще далека от своего завершения. Важным моментом в усовершенствовании моделей общей циркуляции является также достаточная проработанность используемых в них параметризаций процессов пбдсеточных масштабов, таких как мелкомасштабная турбулентность.

В главе I (4.II) рассмотрена модель мелкомасштабной турбулентности в океане (В.П.Кочергин, В.А.Сухоруков и Е.А.Цветова [117]; Г.И.Марчук, В.П.Кочергин и др. [118]), основанная на системе энергетических уравнений турбулентности: уравнении баланса кинетической энергии турбулентных пульсаций (Ь) и уравнении скорости ее диссипации (е): дЬ т де т k^v - В^ АЛ £ г> - В. а ш v дЪ г U +

§zl5 Ш, гv 661

9)

Коэффициент вертикального турбулентного обмена v определяется соотношением: v =г > <10>

А1 = (Щ + (эй " р^ Э§ • Б1 = 1 • u, v -горизонтальные составляющие скорости течения; р, р0 -плотность и средняя плотность морской воды, g -ускорение свободного падения. Система (9),(10) дополняется соответствующими начальными и граничными условиями. Эмпирические константы С , б, С не являются универсальными и варьируются различными авторами: известны варианты W.Eodi [119], A.0mstedt et"al. [120], В.П.Кочергин и др. [118, 121]. В §1.2 система (9),(10) рассматривается без диффузионных слагаемых; найдены и выписаны в аналитическом виде все ее решения в случае произвольных постоянных А , В . Отметим, что от

1 I С. I , с дельные решения бездиффузионной системы (9),(10) были найдены также В.Н.Лыкосовым [122] и H.Baumert (устное сообщение). Анализ этих решений, проведенный в §1.3, позволил дать рекомендации по выбору констант С при использовании однородной (бездиффузионной) "b-s" модели. В рамах этого же анализа может быть получена модифицированная формула А.М.Обухова [123], используемая для параметризации мелкомасштабной турбулентности в некоторых моделях динамики океана (В.П.Кочергин и В.А.Сухоруков [124]; В.И.Климок, В.П.Кочергин и Г.Фридрих [109]). На основе найденных решений бездиффузионной системы (9),(10) в §1.4 построены полуаналитические аппроксимации полной "b-s" модели. Основные результаты главы I (4.II) опубликованы в работах [125, 126].

В главе 2 (4.II) обсуждаются некоторые вычислительные аспекты моделирования гидродинамических процессов в глубоком водоеме. В §2.1 изучено влияние аппроксимации по времени в уравнении для функции тока на изменение кинетической энергии баротропного движения; предложен новый вариант вычисления производных функции тока, основанный на интерполяции с использованием точных решений вспомогательных двумерных задач диффузии-конвекции. Представлены результаты тестовых расчетов, дополняющие качественный анализ. Изложение соответствует работам [127-129].

Параграф 2.2 посвящен описанию дискретной гидротермодинамической модем глубокого водоема, основанной на системе полных нелинейных уравнений гидротермодинамики океана, записанных с учетом традиционных приближений: Буссшеска, гидростатики и несжимаемости. В декартовой системе координат (ось

Т tiqrrp.c," ттлттп IIя нПРФЛ'" v —oatjOTi г ■п-^т'тн","гг.--> N ~ т*т

Л. XICJ DUO.l Jib j j irj wvui/^z ) J'v w ijii.L.uii.-i.v uiulu / uiJ: уравнения имеют следующий вид: J ат , awr а г„ aTi Л г<э2т , а2т^ aur avT М/М т+ тг " згГт azj - Ат[^2+ ~ тг ~ w {и) as , aws a r^ asi А ra2s , a2si aus avs m + шг ~ m) = As^2+ ^sj ~dr~w

15) p=p(T,S). (16)

В (11)-(16) использованы обозначения:

Р(ф)аАЙ + ^1 (ф = u,v); ах2 ay2 u, v, w -компоненты вектора скорости, соответствующие осям х, у и z; Т -температура, S -соленость; р, р - аномалия и среднее значение плотности, Р3-давление на неЕозмущенной поверхности, 1 -параметр Кориолиса; A, v; Ат, зет; Ад, зе3- коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости, диффузии тепла и соли, соответственно.

Система уравнений (11)-(1б) дополняется начальными и граничными условиями. На невозмущенной поверхности задаются температура и соленость (либо их потоки), шток импульса и используется условие "жесткой крышки" для вертикальной скорости. На дне принимаются условия отсутствия потоков тепла и а* соли, а для скорости может быть выбрано либо условие прилипания, либо условие обтекания с трением. На боковой границе ставятся условия отсутствия потоков тепла и соли, а также условие прилипания для скорости.

Предлагаемый в работе *метод решения системы уравнений (11)-(16) предполагает разделение горизонтальной части вектора скорости на баротропную и бароклинную составляющие (K.Bryan [103]). Баротропная составляющая находится с использованием функции тока, причем вычисление функции тока и ее производных базируется на методах, предложенных в предыдущих разделах диссертации. Общий алгоритм модели основан на двухслойной аппроксимации по времени, позволяющей использовать различные варианты явно-неявного представления адвективных и кориолисовых слагаемых в уравнениях движения. Метод решения задачи для бароклинной составляющей позволяет осуществить полное обращение разностного оператора по вертикальной координате, подобное предложенному ранее В.П.Кочергиным [71, 130]. Для решения этой задачи разработан новый вариант матричной прогонки для уравнений в дивергентной форме, дающий возможность вычислять придонное трение (в случае условий прилипания) одновременно с бароклинными составляющими вектора горизонтальной скорости. Пространственные аппроксимации и учет граничных условий в модели осуществлены в рамках подхода, изложенного в Части первой работы. Основные фрагменты модели представлены в [131].

Качество модели иллюстрируется расчетами для бассейна Черного моря. В работе представлены результаты расчетов, проведенных для зимнего сезона в рамках адаптационного подхода (А.С.Саркисян и др. [II]), который состоит в восстановлении полей течений с одновременной гидродинамической фильтрацией известных из наблюдений полей температуры и солености с помощью прогностической модели, интегрируемой на относительно короткий срок. Поскольку, в частности, решалась задача срав нения представленной выше модели с моделью В.И.Климок, В.П.Кочергин и Г.Фридрих [109], адаптированной для бассейна Черного моря (В.И.Климок и К.К.Макешов [132, 133], далее: К-М), то данные о температуре и солености (Э.Н.Альтман и др. [134]), о касательном напряжении ветра (S.Heller- man & M.Ro-sensteln [135]), а также процедура их интерполяции в узлы расчетной сетки полностью соответствовали работам К-М. Как и в модели К-М использовались модифицированная формула Обухова для параметризации мелкомасштабной турбулентности и уравнение состояния в форме Эккарта. Результаты расчетов показали определенное совпадение как с результатами, полученными по модели К-М, так и с данными наблюдений (G.Neuman [136], Д.М.Филиппов [137]). Однако, результаты расчетов по двум моделям имеют и некоторые различия. Так, в отличие от модели К-М, установление кинетической энергии в расчетах по представленной в работе модем происходит достаточно быстро (в течение трех суток), и этот период может служить, соответствующим периодом адаптации. Отметим также регулярный характер поведения вертикальной скорости, полученной по новой модели, который сохраняется вплоть до больших глубин с соответствующим изменением поведения вертикальных движений.

В §2.3 построена монотонная разностная схема для расчета уровенной поверхности. Уровенная поверхность редко используется в качестве интегральной функции в полных моделях крупномасштабной циркуляции (Ю.Л.Демин и А.С.Саркисян [138]; Ю.Л.Демин и Р.А.Ибраев [107, 139]). Одна из причин-необходимость решать задачу с краевыми условиями типа "наклонной" производной и малыш параметрами при старших про-изеодных в уравнении, что делает ее сложной для численной реализации. Тем не менее, использование уровня в качестве вспомогательной функции в модели имеет определенные перспективы: это, по-еидимому, единственный путь для перехода от условия "жесткой крышки" к кинематическому условию на поверхности; кроме того, уровень океана может быть измерен как непосредственно на побережье, так и со спутников. Методы решения задач для уровня были предложены в работах Г.И.Марчука

140], В.П.Кочергина и А.В.Щербакова [141], А.С.Саркисяна и др.[II]. В настоящем параграфе представлены результаты работ [53, 55, 142], е которых дискретизация задачи для уровня осуществлена при помощи ПВИММ в форме близкой к методу конечных элементов со специальным выбором базисных функций. Проведены тестовые расчеты по сравнению со схемой Кочергина-Щербакова

141], подтвердившие эффективность предлагаемого метода.

В главе 3 (4.II) представлена математическая модель для расчета нестационарных турбулентных течений и процессов переноса тепла в водоемах вытянутой формы. Отправным пунктом при построении модели служат уравнения (11)-(14) (ось х направлена вдоль водохранилища, z-вертикально ениз), к которым добавляется соответствующее уравнение состояния. Краевые условия несколько отличаются от используемых в главе 2: поток импульса и кинематическое условие для вертикальной скорости задаются на уровенной поверхности водоема, на боковой поверхности и на дне ставится условие обтекания с трением. Модель допускает возможность постановки различных краевых условий во еходном и выходном сечениях водоема, которые могут состоять из жидких и непроницаемых участков; выбор того или иного варианта зависит от конкретной ситуации, а также от имеющихся в распоряжении данных, что позволяет решать практические задачи широкого круга. Постановка задачи и ее последующие преобразования составляют содержание §3.1.

Если к приближениям, сделанным при выводе системы (11)-(14), добавить некоторые ограничения на геометрию водоема (отсутствие больших градиентов для функций, описывающих топографию русла) и характер течения (распределение температуры и скорости течений достаточно равномерно по ширине в каждом поперечном сечении), то упомянутая система уравнений вместе с а* граничными условиями без существенных потерь точности сводится к более простой (двумерной) с помощью операции осреднения по ширине водоема. Двумерные в вертикальной плоскости модели, полученные после осреднения по ширине русла трехмерной системы уравнений, разрабатывались и использовались при изучении гидротермодинамических процессов в вытянутых, относительно узких водоемах многими авторам. Отметим прежде всего работы О.Ф.Васильева, В.М.Квона и их учеников [143-145],а также монографии Ю.И.Шокина и В.М.Белолипецкого с соавторами [146, 147], этим же вопросам посвящены работы А.Н.Бугрова и Т.В.Ду-нец [148, 149], З.Н.Добровольской и др. [150], C.B.Vreugden-Ш [151]. В настоящей работе осредненная задача преобразуется к задаче в прямоугольной области, используемое при этом преобразование осуществляет одновременное "спрямление" как дна, так и свободной поверхности водоема. Некоторые авторы (Б.В.Архипов [152], С.В.Думнов [153]) ограничиваются спрямлением дна, предполагая малым отклонение уровня от его невозмущенного значения, однако, в случае высокогорных водохранилищ, на которые, в частности, ориентирована предлагаемая модель, наблюдаются большие перепады уровня свободной поверхности.

Дискретная модель обсуждается в §3.2. Общий алгоритм модели основан на двухслойной неявной аппроксимации по времени и пространственных аппроксимациях, полученных в Части первой работы. Здесь, также как и в предыдущей главе, реализуется полное обращение разностного оператора по вертикальной координате, предложена оригинальная методика для вычисления уровня и его наклона.

В §3.3 показано, что дискретная модель обладает интегральными законами изменения основных характеристик (температура и ее квадрат, горизонтальная скорость и кинетическая энергия горизонтального движения), присущими дифференциальной постановке.

В §3.4 приведены результаты расчетов термодинамического я* режима верхнего бъефа Нурекской ГЭС (на реке Вахш в Таджикистане), проведенных с использованием разработанной модели. Для геометрической схематизации расчетной области, задания граничных условий и описания теплового взаимодействия воды водохранилища с атмосферой йспользовалась реальная гидрометеорологическая информация за 1977 год, предоставленная УГМС Таджикистана и сотрудниками Среднеазиатского отделения Всесоюзного института "Гидропроект" им.С.Я.Жука. Сопоставительный анализ результатов численных расчетов с осредненными по ширине водоема данными натурных наблюдений показал их достаточно хорошее как качественное, так и количественное согласование. Основные результаты главы 3 опубликованы в работе [1541.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, в краткой форме приведены в Заключении.

На базе предложенных автором алгоритмов созданы комплексы программ для численного решения задач, возникающих при моделировании гидротермодинамических процессов в водоемах. Разработанные алгоритмы и программы переданы для использования в ряд организаций. В частности, результаты диссертации, связанные с разработкой численной модели гидротермодинамики Черного моря, нашли практическое использование в Морском гидрофизическом институте АН Украины (г. Севастополь), по заказу которого в 1991, 92 г.г. была выполнена работа по теме "Разработка модели и создание пакета программ для расчетов гидротермодинамики Черного моря". Новые разностные схемы для решения задач с пограничными слоям и полуаналитические аппроксимации "b-s" модели турбулентности вошли в работу по теме "Математические модели циркуляции океана", выполненную в 1992 г. для Государственного океанографического института (г. Москва). Копии "Актов приемки" этих работ приведены в Приложении.

Автор признателен коллективу Научно-исследовательского центра математического моделирования HAH КР, в котором была выполнена данная работа, в особенности кандидатам физ.-мат. наук Алтынниковой I.A., Бакирову Ж.Ж., Дунец Т.В., Султанову Р.К., активно сотрудничавшим с автором. Автор выражает глубокую благодарность члену-корреспонденту НАН КР В.П.Кочерги-ну за постоянную поддержку, научные консультации и идейное участие в работе.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Предложена методика построения разностных схем для решения достаточно широкого круга дифференциальных задач. Методика основана на проекционном принципе Петрова - Галер-кина и включает элементы интегро-интерполяционного метода , поэтому она условно названа "проекционным вариантом интегро-интерполяционного метода" (ПВШМ). ПВИММ позволяет в рамках единого подхода получать аппроксимации как решения, так и его производных, исследовать вопросы сходимости этих аппроксимаций, а также предоставляет широкие возможности улучшения уже построенных схем. ПВИИМ дает возможность автоматически сохранять в дискретной форме многие свойства исходной диф-ферефциальной задачи, например, такие как консервативность и монотонность.

2. При поиощи ПВИИМ построены ноЕые алгоритмы для решения различных классов сингулярно - возмущенных задач с краевыми условиями общего вида: исследованы одномерные уравнения первого и второго порядков, последние как с самосопряженным, так и с несамосопряженным дифференциальными операторами, в консервативной и неконсервативной формах; в двумерном случае рассмотрены эллиптические уравнения второго порядка с градиентной и с дивергентной формой младших членов. Изучены вопросы сходимости предложенных аппроксимаций: доказаны равномерные по малому параметру оценки скорости сходимости (с первым и со вторым порядком) для случая произвольной неравномерной сетки.

Предложены различные безусловно устойчивые варианты аппроксимации по времени в параболических задачах, для которых также доказаны оценки сходимости.

3. На примере простейшей сингулярно - возмущенной задачи исследованы возможности "р - 1Г версии метода конечных элементов. Получена монотонная разностная схема с "дозированной" алгебраической аппроксимационной вязкостью. Доказаны равномерные оценки сходимости метода в сеточной, интегральной "энергетической" норме и норме пространства непрерывных функций.

4. Предложена модиффикация алгоритма для вычисления порядка равномерной сходимости разностной схемы и с его помощью экспериментально подтверждена эффективность новых аппроксимаций.

5. Для однородной (бездиффузионной) "b-s" модели турбулентности в случае стационарных источников найдены все аналитические решения. Анализ этих решений позволил дать рекомендации по выбору эмпирических констант при использовании однородной модели. На основе найденных решений построены разностные аппроксимации полной "b - е" модели.

6. Разработана дискретная многоуровенная модель гидротермодинамики глубокого водоема, основанная на системе примитивных уравнений. Алгоритмы модели основаны на схемах, построенных при помощи ГОШМ и, в частности, используют новые аппроксимации для функции тока и ее производных. Качество работы трехмерной модели иллюстрируется расчетами для бассейна Чёрного моря.

7. Построена разностная схема для расчета уровенной поверхности. Особое внимание уделено аппроксимации краевых условий типа "наклонной" производной, с этой целью использован ПВИММ в форме близкой к методу конечных элементов. Приведены результаты численных экспериментов для тестовых задач, подтверждающие эффективность предлагаемых методов.

8. Разработана математическая модель для расчета нестационарных турбулентных течений и процессов перекоса тепла в водоемах вытянутой формы. Основу модели составляют двумерные в вертикальной плоскости уравнения гидротермодинамики. Моя* дель допускает возможность постановки различных краевых условий во входном и выходном сечениях водоема, которые могут состоять из жидких и непроницаемых участков. Выбор того или иного варианта зависит от конкретной ситуации, а также от имеющихся в распоряжении данных, что позволяет решать практические задачи широкого круга. Для дискретизации уравнений модели применяется ПВМШ, позволяющий сохранить в дискретной модели ряд интегральных сеойств исходных дифференциальных уравнений. Представлены результаты численного моделирования течений и переноса тепла в Нурекском водохранилище .

Таким образом, в диссертации предложена эффективная методика дискретизации, позволяющая автоматически сохранять многие свойства дифференциальных задач в их разностных аналогах. При помощи этой методики построены новые разностные схемы для решения различных классов задач с пограничными слоями. Эти схемы и новые алгоритмы использованы при разработке дискретных математических моделей гидротермодинамики водоемов.

1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. -608 с.

2. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1980. -352 с.

3. Roache P.J. Computational fluid dynamics. Hermosa publishers. Albuquerque, 1976. (Русский перевод: Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. -616 с.)

4. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. -М.: Наука, 1989. -344 с.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1983. -616 с.

6. Collatz L. Funktionalanalysis und numerishe mathema-tik. Springer-Verlag. Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1964. (Русский перевод: Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969. -447 с.)

7. Марчук Г.И., Кочергин В.П., Саркисян А.С. и др. Математические модели циркуляции в океане. -Новосибирск: Наука, 1980. -288 с.

8. Кочергин В.П. Теория и методы расчета океанических течений. -М.: Наука, 1978. -127 с.

9. Марчук Г.И., Саркисян А. С. Математическое • моделирование циркуляции океана. -М.: Наука, 1988. -302 с.а*

10. Саркисян А.С. и др. Методы и результаты расчета циркуляции вод Мирового океана. JL: Гидрометеоиздат, 1986. -151 с.

11. Марчук Г.И., Агопцеов В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981. -416 с.

12. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. -М.: Наука, 1973. -272 с.

13. R.E.O'Malley, Jr. Introduction to singular perturbation. Academic Press, New York and London, 1974. -206 p.

14. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Ма-тем. заметки. -1969. -Т.6. -Вып. 2. -С. 273-248.

15. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // ЖВМ и МФ. -1969. -Т.9. -Л 4, -С. 842-859.

16. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром на неравномерной сетке. Новосибирск, 1980. -26 с. -(Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр; 229).

17. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. О плохой обусловленности при численном решении уравнений с малым параметром. -Новосибирск, 1981. -29 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр; Jfi 84).

18. Keilog R.B., Tsan A. Analysis of some differenceapproximations for a singular perturbation problem without turning points // Math. Comput. -1978. -V.32. -J6 144. -P. 1025-1039.

19. Алексеевский M.B. Разностная схема высокого порядка точности для сингулярно-возмущенной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. -1981- -Т.17. 7. -0. II7I-II92.

20. Емельянов К.В. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1980. -Т.П. 5. -С. 54-74.

21. Емельянов К.В. Трехточечная разностная схема произвольного порядка точности для дифференциального уравнения с малым параметром // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. -Свердловск, 1983. -С. 38-52.

22. Шишкин Г.И. Разностная схема для сингулярно-возмущенного дифференциального уравнения // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1982. -Т.13. -,№ I. -С.147-164.

23. Flaherty, J.E., Mathon, W. Collocation methods lor singularly perturbed boundary value problems // Boundary and interior lauers computational and asymptotic methods, ed. J.J.H.Miller, Boole Press, Dublin. -1980. -P.77-92.

24. Surla, K. Numerical solution of singularly perturbed boundary value problems using adaptive spline function approximation // Anal. Numer. Theor. Approx. -1987. -V.I6. -J6 2. -P.175-189.

25. Surla, K., Uzelac, Z. Some uniformly convergent spline difference scheme for a singularly perturbed boundary value problems // IMA Journal of Numer. Anal. -1990. -V. 10.

26. Babuska, I., Osborn, J. Analyis of finite element methods for second order boundary value problems using mesh dependent norms // Numer. Math. -1980. -V.34. -P. 41-62.

27. Babuska, I., Szymczak, W.G. An error analysis for the finite element method applied to convection diffusion problems // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. -1982. -V.3I. -P. 19-42.

28. Szymczak, W.G. Babuska, I. Adaptivity and error estimation for the finite element method applied to convection diffusion problems // SIAM J. Numer. Anal. -1984. -V.2I.5. -P. 910-954.

29. Barrett, J.W., Morton, K.W. Optimal finite element solutions to diffusion-convection problems in one dimension // Int. J.Numer. Methods Eng. -1980. -V.I5. -P.I457-I474.

30. Barrett, J.W., Morton, K.W. Optimal Petrov-Galerkin methods through approximate symmetrization // IMA J. Numer. Anal. -I981. -V.I. -P.439-468.

31. E.O'Riordan. Singularly perturbed finite element • methods // Numer. Math. -1984. -V.44. -J6 3. -P.425-434,

32. Bar-Yoseph, P., Israeli, M. An asymptotic finite element method, for improvement of solutions of boundary layer problems // Numer. Math. -1986. -V.49. -JG 4. -P.425-438.

33. Givoli, D. Non local and. semi-local optimal weighting functions for symmetric problems involving a small parameter // Int. J. Numer. Methods Eng. -1988. -V.26. -P.1281-1298.

34. Bank, R.E., Burgler, J.P., Fichtner, W., Smith, R.K. Some upwinding techiques for finite element approximations of convection-diffusion equations // Numer. Math. -1990. -V.58. -P.185-202.

35. Багаев, Б.М., Шайдуров, В.В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром // Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. -Новосибирск: ВЦ 00 АН СССР, 1977. -С.89-99.

36. Багаев, Б.М. Исследование параболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1988. -Т.2. -J6 3. -С.З-15. •

37. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. -415 с.

38. Голант Е.И. О сопряженных семействах разностных схем для уравнений параболического типа с младшими членами // ЖВМ и МФ. -1978. -Т.18. -J6 5. —С. 1162—1169.

39. Кареткина Н.В. Безусловно устойчивая разностная схема для параболических уравнений, содержащих первые производные // ЖВМ и МФ. -1980. -Т.20. -J6 I. -С.236-240.

40. Ильин В.П., Перекрестова Г.Я. Об одной разностной схеме-для параболического уравнения с первой производной.

41. Новосибирск, 1981. -17 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр; J& 79).

42. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. Дискретный принцип максимума и аппроксимация по времени в параболических задачах // Теория и методы математического моделирования задач окружающей среды. -Бишкек: Илим, 1991. -С.79-93.

43. Скляр С.Н. Разложение билинейной формы и его использование при дискретизации сингулярно-возмущенных краевых задач // Изв. АН Киргизской ССР. Физ.-техн. и матем. науки. -1988. -Jfi I. -С.3-13.

44. Скляр С.Н. О дискретизации задач с пограничным слоем при помощи одного проекционного варианта метода интегральных тождеств. III. Самосопряженное уравнение // Изв. АН Киргизской ССР. Физ.-техн. и матем. науки. -1989. -J6 4. -C.3-II.

45. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. Проекционный вариант интегро-интерполяционного метода для уравнения первого порядка с малым параметром при производной. ДЕЛ в ВИНИТИ 03.08.96.2646-В96. -30 с.4

46. Скляр С.Н., Бакиров Ж.ЗК. Проекционный метод построения разностных схем для задач с пограничными слоями // Изв. НАН Кыргызской Респ.: "Эхо науки". -1997. J 2-3. -С.36-47.

47. Кочергин В.П., Скляр С.Н., Султанов Р.К. К вопросу о численном моделировании гидротермодинамических задач океана // Морской Гидрофизический журнал. -1990. -J6 2. -С. 10-18.

48. Скляр С.Н., Бакиров Ж.ЗК. Двумерное эллиптическое уравнение: вычисление решения и его производных. ДЕЛ в ВИНИТИ 14.06.95. -Jfi I745-B95. -22 с.

49. Kochergin V.P., Sklyar S.N., Sultanov R.K. On the problem of numerical ocean hydrodynamics modelling // Soviet Journal of Physical Oceanography. -1991. -V.2 -}L2. -P.89-98.

50. Пененко В.В. Численные схемы для конвективно-диффузионных уравнений с использованием локальных сопряженных задач. -Новосибирск, 1993. -49 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр; 984).

51. Doolan Е.Р., Schilders W.H.A. Uniformly convergent difference scheme for stiff initial value problems // Boundary and interior layers-computational and asymptotic methods, ed.J.J.H. Miller, Boole Press, Dublin. -1980. -P.256-259.

52. D.N.de G.Allen, R.V.Southwell. Relaxation methods applied to determine the motion, in 2-D, of a viscous fluid past a fixed cylinder // Quart.J.Mech.Appl.Math. -1955. -V.8. -Jfi 2. -P. 129-145.

53. El-Mistikawy, T.M., Werle, M.J. Numerical method for boundary layers with blowing the exponential box scheme //

54. AIAAJ. -1978. -V.I6. -P.749-751.

55. Berger A.E., Solomon I.M.,Ciment M. An analysis of a uniformly accurate difference method for a singular perturbation problem // Math. Comput. -1981. -V.37. -J6 155. -P.79-94.

56. E.C.Gartland Jr. An analysis of a uniformly convergent finite difference finite element scheme for a model singular-perturbation problem // Math. Comput. -1988. -V.5I. -Jfi 183. -P.93-106.

57. Шишкин Г.И., Титов В.А. Разностная схема для дифференциального уравнения с двумя малыми параметрами при производных // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1976. -Т.7. -J6 2. -С. 145-155.

58. Carroll J., Miller J.J.H. Completely exponentially fitted finite difference schemes for some singular perturbation problems, Boundary and interior layers-computational and asymptotic mehtods, ed. J.J.H.Miller, Boole Press, Dublin, 1980, pp.225-230.

59. Berger A.E., Houde Han, Kellogg R.B. A priori estimates and analysis of a numerical method for a turning point problem // Math. Comput. -1984. -V.42. -J6 166. -P.465-492.

60. Lin Peng-cheng, Sun Guang-fu. A completely exponentially fitted difference scheme for a singular perturbation problem // Journal of Computational Mathematics. -1990. -V.8. -Jfi I. -P.1-15.

61. Емельянов К.В. О разностном методе решения третьей краевой задачи для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // ЖВМ и МФ. -1975. -Т. 15. -J6 6. -С.1457-1465.

62. Задорин И., Игнатьев В.Н. Численное решение сингу-• лярно возмущенной третьей краевой задачи для обыкновенногоуравнения второго порядка // Изв. ВУЗов. Математика. -1986. -И II. -С.20-26.

63. Axelson 0., Carey G.F. On the numerical solution of two-point singularly perturbed boundary value problems // Comput. Meth.Appl. Mech. 'and Eng. -1985. -V.50. -.№ 3. -P.217-229.

64. Kreiss H.O., Manteuffel T.A., Swartz В., Wendroff В., and White A.B. Supra-convergent schemes on irreqular grids // Math. Comput. -1986. -V.47. -P.537-554.

65. Mackenzie J.A. and Morton K.W. Finite volume solutions of convection-diffusion test problems // Math. Comput. -1992. -V.60. 201. -P.189-220.

66. Кочергин В.П. К вопросу обращения динамического оператора в задачах циркуляции жидкости в водоеме // Изв. АН Киргизской ССР. Физ.-техн. и матем. науки. -1988. -J6 4. -С.З-10.

67. Hegarty A.F., Miller J.J.H., E.O'Riordan. Uniform second order difference schemes for singular perturbation problems, Boundary and Interior layers-computational and asymptotic methods, ed. J.J.H.Miller, Boole Press, Dublin, 1980, pp.301-305.

68. Задорин А.И. Разностная схема для самосопряженной сингулярно-возмущенной третьей краевой задачи // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. -Т.3(20). -Jfi I. -С.77-82.

69. Kellogg R.B., Shubin G.R. and Stephens A.B. Uniqueness and the cell Reynolds number // SIM J. Numer. Anal. -1980. -V.I7. -P.733-739.

70. Berger A.E. A conservative uniformly accurate diffe-• rence. method for a singular perturbation problem in conservation form // SIAM J.Numer.Anal. -1986. -V.23. -)J° 6. -P.I24I-I253.

71. Багаев Б.М. Выделение особенностей для задач с пограничным слоем // Моделирование в механике. -Новосибирск, 1989. -Т.3(20). -16 2- -С.29-46.

72. Гущин В.А., Щенников В.В. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности // ЖВМ и МФ. -1974. -Т.14. -Я 3. -С.789-792.

73. Козлов В.Ф. 0 применении монотонных разностных схем при диагностических расчетах морских течений // Физика Атмосферы и Океана. -1977. -Т.13. -J6 7. -0.728-737.

74. Лисейкин В.Д. О численном решении двумерного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1983. -Т.14. -JB 4. -С. 110—115

75. Шишкин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. II. Аппроксимация производных // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1979. -Т.10. 5. -С.127-143.4

76. Chen G.O., Gao Z. and Yang Z.F. A perturbational h exponential finite difference scheme for the convective diffusion equation // Journal of Computational Physics. -1993. -V.I04. -P.129-139.

77. Fiadeiro M.E. and Veronis G. On weighted-mean schemes for the finite-difference approximation to the advection-diffusion equation // Tellus. -1977. -V.29. -P.512-522.л*

78. Hemker P.W. An accurate method without directional bias for the numerical solution of a 2-d elliptic singular perturbation problem // Lecture Notes in Mathematics. -1982. -V.942. -P.192-206.

79. Kellogg R.B. Analysis of difference approximation for a singular perturbation problem in two dimensions. Boundary and interior layers-computational and asymptotic methods, ed. J.J.H.Miller, Boole Press, Dublin, 1980, pp.113-117.

80. Rose M.E. Weak-element appoximation to elliptic differential equations // Numer. Math. -1975. -V.24. -P.185-204.

81. Chien I.C. A general finite-difference formulation with application to Navier-Stokes equations // Journal of Computational Physics. -1976. -V.20. -Я 3. -P.268-278.

82. Patankar S.V., Baliga B.R. A new finite-difference scheme for parabolic differential equations // Numerical Heat Transfer. -1978. -V.I. -P.27-37.

83. Скляр C.H., Алтынникова JI.А. Об устойчивых аппроксимациях по времени в параболических задачах // Моделирование в механике. -Новосибирск, 1990. -Т.4(21). -J® 6. -С.134-145.

84. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. Аппроксимация параболических задач, содержащих малый параметр при производной по Бремени // Изв. НАН Кыргызской Респ.: "Эхо науки". -1996.3. -С.18-26.

85. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h end p versions of the finite element method // Nnmer.

86. Math. -1981. -V.37. -P.257-277.

87. Rank E., Babuska I. An expert system for the optimal mesh desing in the h-p version of the finite element method // Int. J. Numer. Methods Eng. -1987. -V.24. -P.2087-2106.

88. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for domains with curved boundaries // SIAM J. Numer. Anal. -1988. -V.25. -Jfi 4. -P.837-861.

89. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for problems with nonhomogencous essential boundary condition // Сотр. Methods in Appl. Mech. and Eng. -1989. -V.74. -P.1-28.

90. Babuska I., Suri M. The p version of the finite element method for constraint boundary conditions // Math. Corn-put. -1988. -V.5I. -Jfi 183. -P.I-I3.

91. Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions by the p-version of the finite element merthod // Numer. Math. -1989. -V.55. -P.97-121.

92. Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for elliptic equations of order 2m // Numer. Math. -1988. -V.53. -P.199-224.

93. Dorr M.R. The approximation of solutions of elliptic boundary-value problems via the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. -1986. -V.23. -Jfc I. -P.58-77.

94. Скляр С.Н. Применение p-h версии метода конечных элементов к решению сингулярно-возмущенных краевых задач // Численное моделирование в проблеме окружающей среды. -Фрунзе:1. Илим, 1989. -С.55-82.

95. Скляр С.Н., Бакиров Ж.Ж. О некоторых вопросах аппроксимации сингулярно-возмущенных задач // Численное моделирование в проблеме окружающей среды. -Фрунзе: Илим, 1989. -С.93-97.

96. Farrell P.A. Sufficient conditions for uniform convergence of a class of difference schemes for a singularly perturbed problem // IMA Journal of Numerical Analysis. -1987. -V.7. -P.459-472.

97. Bryan K. A numerical method for the study of the World ocean // J. Comput. Phys. -1969. -V.4. -P.347-376.

98. Sarmiento J.L., Bryan K. An ocean transport model for the North Atlantic // J. of Geoph. Res. -1982. -V.87,CI. -P.394-408.

99. Cox M.D. A baroclinic numerical model of the World ocean: preliminary results. -In: Numerical Models of Ocean Circulation, 1975, NAS Washington, D.C., P.107-120.

100. Демин Ю.Л. Гидродинамический диагноз циркуляции вод Мирового океана / Автореф. дисс. докт. физ.- матем. наук. -Севастополь, 1987. -38 с.

101. Демин Ю.Л., Ибраев Р.А. Модель динамики океана // Численные модели и результаты калибровочных расчетов течений в Атлантическом океане. -Москва: Институт вычислительной математики РАН, 1992. -С.42-95.

102. Климок В.И., Кочергин В.П., Фридрих Г. Математическая модель гидротермодинамики океана, ее дискретный аналог и организация вычислений // Математическое моделирование динамических процессов в океане. -Новосибирск, -1987. -С.4-28.

103. ПО. Климок В.И. Численная модель гидрофизических процессов и ее приложение к исследованию сезонной изменчивости Мирового океана и его частей / Автореф. дисс. докт. физ.-матем. наук. -Севастополь, 1989. -34 с.

104. Кузин В.И. Численное моделирование динамики океана на основе метода конечных элементов / Автореф. дисс. докт. физ.- матем. наук. -Новосибирск, 1988. -31 с.

105. ИЗ. Кузин В.И. Численная модель циркуляции океана, основанная на методе конечных элементов с расчеплением // Численное моделирование динамики океана и внутренних водоемов. -Новосибирск, 1984. С.97-117.

106. Михайлова Э.Н., Шапиро Н.Б. Гидротермодинамическая многослойная модель океана. -Севастополь, 1992. -40 с. -(Препринт / АН Украины. Морской гидрофизический институт).

107. Саркисян А.С. Краткий анализ и сравнение результатов расчетов по четырем моделям калибрации // Численные модели и результаты калибровочных расчетов течений в Атлантическом океане. -Москва: Институт вычислительной математики РАН,1992. -С.26-41.

108. Кочергин В.П., Сухоруков В.А., Цветова Е.А. Моделирование процессов вертикальной турбулентной диффузии в океане // Численные методы расчета океанических течений. -Новосибирск: Вычислительный Центр СО АН СССР, 1974. -С.129-153.

109. March.uk G.I., Kochergin V.P., Klimok V.I., Sukhoru-kov V.A. On the Dinaraics of the Ocean Surface Mixed Layer // J. Phys. Oceanogr. -1977. -V.7. -P.865-875.

110. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды // Методы расчета турбулентных течений / Под ред. В.Колльмана. -М.: Мир, 1984. -С.227-332.

111. Omstedt A., Sahlberg J., Soensson U. Measured and numerically-simulated autumn coolind- in Bay of Bothnia // Tellus. -1983. -V.35A. -P.231-240.

112. Кочергин В.П., Климок В.Н., Сухоруков В.А. Турбулентная модель экмановского слоя океана // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск: Вычислительный Центр СО АН СССР, 1976. -Т.7. -М I. -С.72-84.

113. Лыкосов В.Н. О проблеме замыкания моделей турбулентного пограничного слоя с помощью уравнений для кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации // Известия Российской АН. Физика атмосферы и океана. -1992. -Т.28. -J6 7.

114. Обухов A.M. Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере // Труды Института теорет. геофиз. АН СССР. -1946. -Я 24(151). -С.3-42.

115. Кочергин В.П., Сухоруков В.А. Двупараметрическая модель развитой турбулентности // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск: Вычислительный Центр СО АН СССР,-1975. -Т.6. -16 5. -С.81-93.•с

116. Kochergin V.P., Sklyar S.N. Semianalytical version of approximation of system of equations in "b-s" turbulence model // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -1992. -V.7. -J6 5. -P.405-418.4

117. Кочергин В.П., Скляр С.Н., Султанов Р.К. 0 вычислении баротропных составляющих движения в моделях общей циркуляции океана // Морской гидрофизический журнал. -1994. -J6 I. -С.20-25.

118. Kochergin V.P., Sklyar S.N., Sultanov R.K. On the calculation of the barotropic components of motion in models for the general circulation of the ocean // Physical Oceanography. -1995. -V.6. -Jftl. -P.19-24.

119. Кочергин В.П. Численный метод решения некоторых задач циркуляции океана // Метеорология и гидрология. -1970.5. -С.67-75.

120. Кочергин В.П., Скляр С.Н., Султанов Р.К. Многоуро-венная модель гидротермодинамики глубокого водоема // Морской гидрофизический журнал. -1994. -.№ 3. -С.3-13.•г»

121. Климок В.И., Макешов К.К. Численное моделирование сезонной изменчивости гидрофизических полей Черного моря // Морской гидрофизический журнал. -1992. I. -С.27-34.

122. Климок В.И., Макешов К.К. Исследование сезонной изменчивости гидрофизических полей Черного моря в рамках адаптационного подхода. // Теория и методы математического моделирования задач окружающей среды. -Бишкек, 1991. -С.56-67.

123. Альтман Э.Н., Гертман И.Ф., Голубева З.А. Климатические поля солености и температуры воды Черного моря // Труды ГОИН. -Севастополь, 1987. -108 с.

124. Hellerman S., Rosenstein V. Normal montlly wind stress over the World Ocean with error estimates // J. Phys. Oceanogr. -1983. -V.I3. -J6 7. -P.I093-II04.

125. Neuman G. Die absolute topografic des physikalisch-en Meers niveans des schwarren Meers // An. Hydrogr. Maritime Meteorol. -1942. -Bd.70. -P.265-282.

126. Филипов Д.М. Циркуляция и структура вод Черного моря. -М.: Наука, 1968. -135 с.

127. Демин Ю.Л., Саркисян А.С. К динамике течений экваториальной зоны океана // Изв. АН СССР. ФАО. -1977. -Т. 13. -J6 3. -С.287-297.

128. Демин Ю.Л., Ибраев Р.А. Численный метод расчета течений и уровня в многосвязных областях. -Москва, 1988. -26 с. (Препринт / АН СССР. Отдел вычислительной математики; 16 183).

129. Марчук Г.И. О численном решении задачи Пуанкаре для океанических циркуляций // Докл. АН СССР. -1969. -Т.185. -J6 4-6. -С.1041-1044.

130. Кочергин В.П., Щербаков А.В. О решении задачи Пуанкаре по схеме направленных разностей // Числен, метода механ.-С.41-46.

131. Добровольская З.Н., Егшхов Г.П., Корявов П.П., Моисеев Н.Н. Математические модели для расчета динамики и качества сложных водных систем // Водные ресурсы. -1981. -J6 3. —С.33—51.

132. Vreugdenhil С.В. Approximations in mathematical model for stratified flows (Delft Hudraulics Lab., Rep. on basic research, S.114, pt.IV), Delft Hydraulics Laboratory, 1974, -24 p.

133. Думнов С.В. Математическое моделирование гидротермических процессов в устьевой области реки. Дисс. канд. физ.-матем. наук. -Новосибирск, 1985. -121 с.

134. Dunets T.V., Sklyar S.N. Mathematical model for thermodynamics of an elongated reservoir // Russian Journal of Numerical Analysis .and Mathematical Modelling. -1994. -V.9. -Jfi 6. -P.515-533.

135. Dorr F.W. An example of ill-conditioning in the numerical solution of singular perturbation problems // Math. Comput. -1971. -V.25. -J§ 114. -P.271-283.

136. Самарский А.А., Николаев E.C. Метод решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. -592 с.

137. Kadalbajoo M.K.,Reddy Y.N. Asymptotic and numerical analysis of singular perturbation problems : a survey // Appl.Math. and Comput. -1989. -У.30. -P.223-259.

138. Пограничные и внутренние слои: вычислительные иасимптотические методы. Библиографический указатель Jfi 25324. -Новосибирск, 1986. -123 с. -(АН СССР. Сиб. отд-ние. ГПНТБ, ИТПМ).

139. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е. Адэптиено-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. -Новосибирск, 1989. -258 с.

140. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. -1957. -Т.12. -Вып. 5(77). -С.2-122.

141. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981. -400 с.

142. Nayfen А.Н. Introduction to perturbation techniques. J.Wiley. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1981. (Русский перевод: Найфэ А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир, 1984. -535 с.)

143. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. -М.: Наука, 1989. -336 с.

144. Niijima К. Construction of a difference scheme for some singular perturbation problem by a Liouville-Green transformation // Met.Numer.Math. -I98I-I982. -JS.8-9.1. P.21-38.

145. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. -408 с.

146. Dorr, F.W., Parter, S.V., Shampine, L.P. Applications of the maximum principle to singular perturbation problems // SIM Review. -1973. -V.I5. -J£.I. -P.43-88.

147. E.C.Gartland Jr. Strong uniform stability and exact discretisations of a model singular perturbation problem and Its finite-difference approximations // Appl. Math, and

148. Comput/*-I989. -V.3I. -Jfi.5. -P.473-485.

149. Manteuffel T.A. and A.B.White, Jr. The numerical solution of second-order boundary value problems on nonuniform meshes // Math. Comput. -1986. -V.47. -P.511-535.

150. Hsiao G.C., Jordan K.E. A finite element method for singularly perturbed parabolic equations, Boundary and interior layers-computational and asymptotic methods, ed. J.J.H.Miller, Boole Press, Dublin, 1980, pp.317-331.

151. Титов В.А. Численное решение уравнения с малым параметром при производной по времени // Дифференциальные уравнения с малым параметром. Свердловск: УНЦ АН СССР. -1980. -С.130-137.

152. Багаев Б.М. Решение параболического уравнения с малым параметром при производной по времени // Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1986. -Т.17. -№.4. -С.137-26.

153. Козлов В.Ф. Об одном классе разностных схем для параболических уравнений // Числен, методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1978. -Т.9. -J6.I. -С.84-89.

154. Aubin J.P. Approximation of elliptic boundary value problems. Wiley, New York, 1972. (Русский перевод: Обзн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.:1. Мир, 1977. -383 с.) W

155. Ciarlet P.G. The finite element method for elliptic problems. North-Holland Pub. Сотр.Amsterdam, New York, Oxford, 1978 (Русский перевод: Сьярле P. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.)

156. Fletcher C.A.J. Computational Galerkin methods. New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1984. (Русский перевод: Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. -М.: Мир, 1988. -352 с.)

157. Mitchell A.R., Wait R. The finite element method. In partial differential equations. Wiley, Chichester, New York, Brislane, Toronto, 1377, (Русский перевод: Митчелл Э.,

158. Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частнымипроизводными. -М.: Мир, 1981. -216 с.)

159. Oden J.T. Finite elements of nonlinear continua. MeGraw-Hill, New York, 1972. (Русский перевод: Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.)

160. Strang G., Fix G. An analysis of the finite element method. Prentece Hall, New Jersey, 1973. (Русский перевод: Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977.)

161. Zienkiewicz О.С. The finite element method in en-geneering science. MeGraw-Hill, New York, 1971. (Русский перевод: Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975.)

162. Корнеев В.Г. Схем метода конечных элементов высоких порядков точности. Ленинград. Изд-во Ленинградского унта, 1977. -208 с.

163. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван. Изд-во АН Арм. ССР, 1979. -235 с.

164. Jones W.B., Thron W.J. Continued fractions. Analytic Theory and applications. Addison-Wesley Publishing Co. -1980. (Русский перевод: Джоунс У, Трон В. Непрерывные дроби. -М.: Мир, 1985.)

165. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1979.

166. Baker G.A., Graves-Morris J.P. Pade approximants.

167. Addison-Wesley Publishing Co. -1981. (Русский перевод: Бей-кер Дне., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. -М.: Мир, 1986.)

168. Parrell P.A. Sufficient conditions for the uniform convergence of a difference schemes for a singularly perturbed turning point problem // SIAM J. Numer. Anal. -1988. -V.25. -Jfi.3. -P.618-643.

169. Скляр С.Н., Бакиров Ж.Ж. О модификации одной классической разностной схемы для решения самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи // Изв. АН Киргизской ССР. Физ.-техн. матем. и горно-геологич.науки. -1991 -JE.I. С.10-16.

170. Дмитриев Н.В., Сухоруков В.А. Сравнительный анализ моделей вертикального турбулентного обмена в океане // Математические модели в исследовании динамики океана. -Новосибирск, 1988. -С.18-30.

171. Дмитриев Н.В. Математическое моделирование вертикального турбулентного обмена в верхнем слое океана. -Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1993. -154 с.

172. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974. -332 с.

173. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности несжимаемой вязкой жидкости для очень больших чисел Рейноль-дса // Докл. АН СССР. -1941. -Т.30. -С.299-303.

174. Скляр С.Н. Достаточные условия равномерной сходимости разностных схем для некоторых классов сингулярно возмущенных краевых задач // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. -Бишкек: Илим, 1990. -С.188-206.

175. Климок В.И., Фридрих Г., Скляр С.Н., Гришняков Б.Ю. Численное моделирование термогидродинамики Мирового океана иэкваториальной Атлантики. -Новосибирск, 1985. -32 с. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислит, центр; $.605).

176. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Ж. прикл. мех. и техн. физ. -I960. -Т.З. -С.20-55.

177. Дифференциальные уравнения с частными производными: Труды симпозиума, посвященного бо-летию акад. С.Л.Соболева / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. -М.: Наука, 1970. -251 с.

178. Скляр С.Н. 0 базисе из собственных функций оператора, связанного с одной задачей С.Л.Соболева // Динамика сплошной среды. -Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1974. -Вып.17. -С.81-88.

179. Скляр С.Н. Спектральные свойства пучка дифференциальных операторов, связанного с одной смешанной задачей // Динамика сплошной среды. -Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1976. -Вып.27. -С.93-100.

180. Скляр С.Н. О полноте системы собственных функций оператора, связанного с одной смешанной задачей // Сибирский матем. журнал. -1977. -Т.18. -$.6. -C.I38I-I392.

181. Скляр С.Н. О базисе из собственных функций одного пучка дифференциальных операторов // Сибирский матем. журнал. -1978. -Т. 19. -JS.I. -C.I6I-I7I.

182. Беляев В.И., Тимченко И.Е. О применении объективного и четырехмерного анализа в океанографии // Мор. гидро-физ. исслед. -1972. -J6.2. -С.80-92.

183. Кочергин В.П., Тимченко И.Е. Мониторинг гидрофизических полей океана. Л.: Гидрометиздат, -1987. -279 с.

184. Кочергин В.П., Климок В.И., Сухоруков В.А. Однородный слой океана в рамках "дифференциальных" моделей //

185. Числен."*методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1977. -Т.8. -Jft.5. -C.I02-II4.

186. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. -JL: Гидрометеоиздат, 1974. -303 с.

187. Кочергин В.П. 0 методе выделения баротропного движения в задачах динамики океана // Изв. АН Киргизской ССР. Физ.-техн. и матем. науки. -1990. -J6.4. -С.7-15.

188. Булеев Н.И., Тимухин Т.И. 0 составлении разностных уравнений гидродинамики еязкой несжимаемой жидкости // Числен. методы механ. сплошной среды. -Новосибирск, 1972. -Т.З. -J6.4. -С.19-26.

189. Марчук Г.И., Саркисян А.С. Программа "Разрезы" и моделирование вод Мирового океана. Численное моделирование климата Мирового Океана. / Под ред. Г.И.Марчука. -Москва: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1986. -С.5-18.

190. Кныш В.В., Саркисян А.С., Тимченко И.Е., Моисеенко В.А. Комплексное использование измерений на гидрофизических полигонах океана в четырехмерном анализе // Докл. АН СССР. -1980. -Т.252. -JM. -С.832-836.

191. Кочергин В.П. 0 параметризации пограничных течений // Численное решение задач динамики океана. -Новосибирск, 1982. -С.6-14.

192. Stommel Н. The Gull Stream. California: University of California Press (I960), 226 p. (Русский перевод: Стомелл Г., Гольфстрим. -М.: ИЛ, 1965. -227 с.)

193. Boericke R.R., Hogan J.M., An X-Z hydraulic thermal model for estuaries // Journ. Hyd. Div. ASCE. -1977. -HY I. -P.19-37.

194. Козлов В.Ф. Лекции по теории стационарных океанических течений. -Владивосток: ДВГУ, 1969,

195. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. О разностных схемах для уравнения диффузии-конЕекции, сохраняющих монотонность начального профиля. ДЕЛ в ВИНИТИ 20.03.95. -J&.738-BS5. -8 с.

196. T.J.Simons, Development of three- dimensional numerical models of the Great Lakes. Sci.Ser.CCIW (1973), No 12, 25p.

197. Скляр С.Н., Рафатов И.Р. Итерационные методы решения одной нелинейной сингулярно возмущенной задачи с особенностью // Исследования по интегро-дифференциальнымуравнениям. -Бишкек: Илим. -1999. -Вып.28. -С.262-269.аю" ктора айны1. Иванов1991г.1. Илилг

198. Утверждаю" фектор ИМ АН РК1. А К Гприемки научноисследсаательской работы

199. ЩШЩ) *1\\ академик 'L|\ liiftf >§ 4- к Имаяналиев--"«ф^ 1 1991г.

200. Создание численной модели циркуляции Черного моря и проведение расчетов по климатическому банку данных".г. Севастополь1991 г.

201. Мы, нижеподписавшиеся, представители заказчика (Морской гидрофизический институт АН Украины) и исполнителя (Институт, математики АН PKJ провели приемку названной работы, выполненной исполнителем в период с 1.01.1991 г. по 31.12.1991 г.

202. В результате рассмотрения представленных исполнителем:- программной продукции;- расчетов по климатическому банку данных1. УСТАНОВЛЕНО:

203. Работа выполнена в полном об'еме и с хорошим качеством.

204. Полученные результаты и комплекс программ внедрены в МГИ АН Украины и нашли свое практическое применение. При выполнении работы учтены рекомендации заказчика.о

205. Представители МГИ АН Украины1. J-v- С. Н СфОлмЛ фраков л ф>1. Ао^Дл 1991 г.// "

206. Представители ИМ АН РК зав. лабораторией Скляр С. Н. ' 1991 г.у? инженер 't^u^bJ* Султанов Р. к.1. V/