автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Выбор рациональных параметров физически нелинейных конструкций летательных аппаратов

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

На правах рукописи

Чехов Владимир Валерьевич

ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Специальность 05.07.03 — прочность летательных аппаратов

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

г. Жуковский - 1998

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте

Научный руководитель д.т.н., с.н.с. Селюгин С.В.

Официальные оппоненты: д.т.н., с.н.с. Гришин В.И.

(ЦАГИ им. проф. Жуковского)

к. т. н. Сугаков В. А.

(ЭМЗ им. Мясищева)

Ведущее предприятие АО «ОКБ им. Сухого»

Защита состоится «__»____1998 г. в__час.

на заседании Специализированного совета К.063.91.07 на факультете аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института по адресу:

г.Жуковский, 140160, ул. Гагарина, д.-16, ФАЛТ МФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФАЛТ МФТИ. Автореферат разослан «__»____1998 г.

Учёный секретарь Специализированного совета к.ф.-м.н.

I

А.И.Киркинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В авиастроении проектирование силовых конструкций ведётся на основе рассмотрения разрушающих нагрузок, при этом к авиационным конструкциям предъявляются высокие требования по весовому совершенству. Поведение конструкции при нагрузках, близких к разрушающим, как правило, нелинейно. Нелинейность связи «напряжение-деформация» (называемая физической нелинейностью) относится к существенным факторам, влияющим на параметры конструкций. Традиционно при решении задач прочности летательных аппаратов (ЛА) учёт нелинейных эффектов производился при помощи методов, в основе которых лежит метод редукционных коэффициентов. С введением в практику проектирования достаточно мощной вычислительной техники учёт нелинейного деформирования конструкций всё более активно производится при расчёте конструкций методом конечных элементов (МКЭ), в связи с чем возрастает потребность в разработке эффективных методов рационального проектирования конструкций на основе МКЭ. Для создания таких методов требуется исследование задач оптимизации конструкций.

Цель работы — рациональное проектирование агрегатов силовых конструкций летательных аппаратов с учётом физической нелинейности.

Научная новизна. В работе впервые получены условия оптимальности для задач оптимизации физически нелинейных конструкций, проектируемых с использованием нескольких материалов. Полученные условия применены при построении алгоритмов рационального проектирования. Указанные условия были также использованы для расчёта параметров конструкции силового шпангоута.

Практическая ценность работы. Полученные и использованные в работе алгоритмы рационального проектирования могут быть применены на начальных этапах разработки ЛА: при проработке технического предложения (аванпроекта), а также на стадии эскизного проекта для уточнения параметров конструктивно-силовой схемы. Подход по расчёту рациональных параметров конструкции силового шпангоута, приведённый в работе, может быть использован при проектировании агрегатов силовых конструкций ЛА.

Достоверность результатов диссертации подтверждается корректностью постановок задач, решением тестовых задач с

использованием различных теорий, описывающих нелинейное поведение материала, а также сравнением результатов расчётов, произведенных при помощи различных программ МКЭ.

На защиту выносятся описываемые в работе результаты теоретических и алгоритмических исследований, а также результаты численных исследований модельных конструкций и рационального проектирования конструкции силового шпангоута.

Личный вклад автора. Автором произведено обобщение теоретических и алгоритмических результатов, относящихся к задачам, в которых используется один конструкционный материал, на случай применения произвольного количества материалов. Автором выполнены также все численные исследования данной работы.

Публикации и апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 38-й научной конференции МФТИ (1-4 декабря 1995г.), 3-й Крымской Международной Математической школе (16-23 сентября 1996г.), Юбилейной научной конференции, посвящённой 50-летию МФТИ, «Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики» (29-30 ноября 1996г.), 2-й научно-технической конференции молодых учёных ЦАГИ «Современные проблемы аэрокосмической науки» (10-11 апреля 1997г.), Всероссийской научно-технической конференции молодых учёных «Современные проблемы аэрокосмической науки» (27-29 мая 1998г.), и опубликованы в сборниках МФТИ и Трудов ЦАГИ, а также выпущены в виде ряда научно-технических отчётов.

Структура и объём работы. Работа состоит из семи разделов, в число которых входят введение, выводы и библиография, содержащая 95 наименований. Работа, изложенная на 103 страницах, содержит 3 таблицы и 38 рисунков.

Содержание работы

Первый раздел диссертации является введением. В подразделе 1.1 (п. 1.1) дан краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность вопросов учёта нелинейностей. Рассмотрены работы, касающиеся учёта основных типов нелинейных эффектов, влияния физической нелинейности на параметры конструкций, алгоритмического подхода к проектированию. Отмечено, что в работах, посвящённых проектированию физически нелинейных конструкций при помощи как анализа чувствительности, так и метода критериев оптимальности, исследования посвящены конструкциям, в которых

используется только один материал, а задачи, использующие несколько материалов, рассмотрены только в линейно-упругой постановке. В конце введения, в п. 1.1, дано краткое содержание последующих разделов диссертации. В п. 1.2 даются используемые в работе обозначения и сокращения.

Второй раздел посвящён постановкам и исследованию задач оптимизации конструкций. В п. 2.1 кратко обосновано значение задач рационального проектирования на начальном этапе разработки ЛА. Отмечено, что при рациональном проектировании агрегатов ЛА следует учитывать как расчётные (разрушающие) нагрузки, которые должны соответствовать несущей способности конструкции, так и эксплуатационные (безопасные) нагрузки, при которых в конструкции должны отсутствовать остаточные деформации. В п. 2.2 указано, что нелинейное поведение конструкций в авиастроении традиционно учитывалось при помощи методов, основанных на методе редукционных коэффициентов. При применении же МКЭ в настоящее время обычно используется линейно-упругий расчёт. Использование линейно-упругой модели оправдано при расчёте с учётом эксплуатационных нагрузок. При нагрузках же, близких к разрушающим, реальная оценка прочности должна производиться в учётом нелинейных эффектов. Отмечено, что у конструкции, спроектированной под расчётные нагрузки с учётом физической нелинейности, нет гарантии отсутствия остаточных деформаций при действии эксплуатационных нагрузок. Наиболее подходящим представляется проектирование с одновременным учётом уровней напряжений, являющихся допускаемыми при действии расчётных и эксплуатационных нагрузок. В п. 2.3 приводятся постановки задач, являющихся частными задачами проектирования агрегатов конструкций ЛА. Полагается, что проектируемая конструкция имеет заданную конструктивно-силовую схему, в которой используется произвольное количество материалов, и представлена в виде расчётной схемы МКЭ с возможностью одновременного использования конечных элементов (КЭ) различных типов (при условии, что каждый КЭ состоит из одного материала и имеет один проектный параметр). Конструкция нагружена одной системой статических нагрузок. Для описания нелинейного поведения материалов при нагружении в работе используется гиперупругая модель материала, которая характеризуется однозначной зависимостью между напряжениями и деформациями, описываемой посредством соответствующих потенциалов напряженийи деформаций. При активном нагружении посредством гиперупругой модели могут

также быть описаны пластическое деформирование материала и (с использованием известной аналогии) стационарная ползучесть. Рассматривается задача минимизации массы силового материала конструкции при ограничении сверху на ее податливость (или снизу на жёсткость) и конструктивных ограничениях, а также взаимная к ней задача минимизации податливости (максимизации жёсткости) конструкции при заданном значении её массы и конструктивных ограничениях. В качестве мер податливости и жёсткости в работе рассматриваются величины соответственно общей дополнительной энергии и потенциальной энергии конструкции. Под конструктивными ограничениями понимаются ограничения снизу на величины проектных параметров. В принятых предположениях указанные постановки записываются соответственно в виде:

n

W = У р La ^ min

R = Уа JRdl < R (i)

1=1 i а, >а,, i = 1,...,n

Я —^тш

И

Ж=Ш (2)

а >ц, /=\...п

где п — общее число конечных элементов, {а} и Я — соответственно масса силового материала, вектор проектных параметров и общая дополнительная энергия конструкции, Я=]Ыа — значение удельной дополнительной энергии в данной точке текущего элемента, р., а., , 1. — величины для 1-го элемента соответственно массовой плотности материала, проектного параметра (обычно это поперечный размер элемента: например, толщина пластины, площадь поперечного сечения стержня и т.п.), минимально допускаемого значения проектного параметра, отношения объёма элемента к его проектному параметру. Величины с чертой сверху являются заданными и неизменяемыми.

Отмечено, что указанные постановки задач практически являются частью более сложной задачи, в которую должны входить также и ограничения сверху на уровни напряжений, необходимые для

обеспечения несущей способности конструкции. Так, наиболее распространенной в практике проектирования является задача минимизации массы конструкции при ограничениях сверху на уровни напряжений в ее элементах и конструктивных ограничениях.

Так как проектируемая конструкция при нагружении находится в равновесии, к рассматриваемым постановкам задач должен быть присоединён один из вариационных принципов:

U = П-A ^ min (3)

И ~

— кинематический вариационный принцип, где U, П, A, u — соответственно потенциальная энергия, общая потенциальная энергия деформации конструкции, потенциал (работа) внешних сил и перемещение;

R ^ min (4)

Ы

— статический вариационный принцип.

В п. 2.4 описывается получение условия оптимальности для задачи (1). При этом в задаче вместо ограничения сверху на податливость рассматривается эквивалентное ему ограничение снизу на жёсткость конструкции. Для получения условия оптимальности используются теорема Минковского-Фаркаша и вариационный принцип (3). Условие оптимальности имеет вид:

П i

=K2, если ai

Р (5)

< K2, если ai = ц,

Р.

где угловые скобки означают усреднение по объёму 1-го конечного элемента (КЭ), П=|а^ — удельная потенциальная энергия деформации, р. — плотность 1-го элемента, К — некоторая константа. По построению соотношение (5) является необходимым и достаточным условием глобального оптимума.

Подраздел 2.5 посвящён получению условия оптимальности для задачи (2). При этом задача (2) записывается в виде эквивалентной задачи максимизации жёсткости конструкции. Для неё записывается условие стационарности функционала Лагранжа, откуда при использовании вариационного принципа (3) следует условие оптимальности, имеющее вид (5). По построению оно является необходимым условием локального оптимума.

Таким образом у оптимального согласно задачам (1) и (2) проекта величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения.

Третий раздел посвящён алгоритмам рационального проектирования. Выполнение каждого шага рассматриваемых алгоритмов подразделяется на два этапа. На первом этапе анализируется напряжённое состояние конструкции, на основании которого проектные параметры элементов модифицируются таким образом, чтобы в конструкции выполнялось условие оптимальности и удовлетворялись конструктивные ограничения. При этом внутренние усилия в конструкции полагаются «замороженными». На втором этапе алгоритмов внутренние усилия в конструкции «размораживаются» с целью удовлетворения условиям совместности деформаций. Таким образом, рассматриваемые алгоритмы являются одношаговыми для статически определимых конструкций и итерационными для более общего случая. В п. 3.1 производится построение алгоритма минимизации податливости при заданной массе конструкции и конструктивных ограничениях. Для построения используются условие оптимальности задачи (2) и условие постоянства массы. Чтобы из этих соотношений можно было явным образом выразить величины проектных параметров, используется степенная аппроксимация зависимостей между напряжениями и деформациями применяемых в конструкции материалов (показатель степени обозначен далее через q). Таким образом построенный алгоритм имеет вид:

Для построенного алгоритма доказывается монотонное уменьшение величины общей дополнительной энергии конструкции. При этом используется вариационный принцип (4).

Для получения вариантов конструкции, рациональных в соответствии с задачей минимизации массы при ограничениях на

где через к обозначен номер итерации,

(6)

допускаемые напряжения, в работе используется эвристический алгоритм отыскания полностью напряжённой конструкции (ПНК), которому посвящён п. 3.2:

а(к+1) = а« ^ , (7)

_ ° 1

где о(к) и о1 — значения в 1-м КЭ соответственно напряжения (т.е. меры напряжённого состояния) после к-й итерации алгоритма и его максимально допускаемой величины. В качестве напряжений в элементах в данной работе используется величина среднего по объёму элемента эквивалентного (согласно критерию Мизеса) напряжения. Хотя ПНК не соответствует в общем случае минимуму массы, но из-за своей простоты алгоритм (7) часто используется на начальном этапе проектирования конструкций, давая хорошее начальное приближение для применения других методов.

В работе также используется более общий вид алгоритма (7), сформулированный с учётом двух случаев нагружения:

a(k+1) = a(k) max

V °i1 ' °i2 )

(8)

где i=1,...,n, — номер КЭ, k=0,1,2,... — номер итерации, нижние индексы 1 и 2 — номера случаев нагружения.

В четвёртом разделе описываются численные исследования модельных конструкций.

В п. 4.1 посредством алгоритма (7) произведены расчёты конструкции, составленной из двух 10-стержневых ферм (Рис. 1), при помощи которой в ряде работ иллюстрируется влияние на свойства линейно-упругой ПНК перехода от использования в конструкции одного материала к использованию нескольких материалов (см., например, Fleury C. An efficient optimality criteria approach to the minimum weight design of elastic structures. Computers & Structures, 1980, 11, 163-173). В данном случае приводится сравнение результатов линейно-упругого и упругопластического расчёта ПНК. Проектными параметрами являются площади поперечного сечения стержней. Когда в обеих фермах заданы одинаковые значения о и р (случай «1» на Рис. 1), использование алгоритма (7) привело к ПНК, имеющим в линейно-упругом и упругопластическом случаях близкие распределения проектных параметров, однако в упругопластической ПНК внутренние усилия распределены более равномерно и, как следствие, конструктивные ограничения активны всего у двух КЭ (против 10 у линейно-упругой ПНК). При задании в одной из ферм величины о, в 2

а =50000 Р = 0,4

Рис. 1.

раза большей, чем о у другой фермы, применение алгоритма (7) привело к более заметному различию в распределениях материала в линейно-упругой и упругопластической ПНК. В обеих ПНК большая часть силового материала сосредоточилась в той ферме, которая имеет меньшее значение о. В физически нелинейной ПНК это выражено сильнее и в ней практически вся нагрузка воспринимается фермой с меньшим о. Данный расчёт был проведён при задании

одинаковых значений р в обеих фермах (случай «2» на Рис. 1; ПНК в этом случае не является рациональным проектом), а также при увеличенном в 4 раза значении р в ферме, имеющей большее о (случай «3» на Рис. 1; ПНК в этом случае рациональна). Однако различие между значениями массы линейно-упругой и упруго-пластической ПНК во всех расчётах данного примера не превышает 0,3% (см. Табл. 1). Отметим, что

Табл. 1.

Проект Масса ПНК

Линейная упругость Упрочнение

«1» 1224,1 1224,2

«2» 1221,4 1224,8

<6» 1230, 0 1226, 2

ы о о

А-А

6300 к

100 см

Пояса Стенка

Рис. 2.

результаты линейно-упругого расчёта практически совпали с аналогичными результатами Fleury.

В качестве модельной задачи, в которой используются различные типы КЭ, в п. 4.2 рассматривается статический изгиб консольно заделанной трёхслойной балки поперечной силой, приложенной к её свободному концу (Рис. 2). Стенка балки, соединяющая стальные пояса, выполнена из алюминиевого сплава и смоделирована при помощи мембранных КЭ, а сами пояса — при помощи стержневых КЭ. Для описания нелинейного поведения материалов использована деформационная теория пластичности (Ильюшина). Проектные параметры — площади поперечного сечения стержней и толщины

||1111ИИ,,ми|"",'М"'

— —■ __ щ щ н _ ПНК. тпрш Кльюшиш

— *1|ЙЙЙВВаВа

■ ■■I

■■ ивииинввввяр^

М ч ч ^ ^ ^ ^ Мннныуы подаишеост.

еи|>||Я ИЛЬЮШИН!

■■■■■и

_______■■ II

____шя*ття*ш

мембран. Конструктивные ограничения в задаче не используются. На Рис. 3 показаны распределения обезразмеренных проектных параметров в конструкции: чем темнее окраска КЭ, тем больше величина его проектного параметра. После применения алгоритма (7) силовой материал в конструкции распределился с образованием фактически дополнительных «поясов», образованных элементами стенки (см. Рис. 3 вверху), что, очевидно, менее рационально, так как изгибающий момент вдали от нагрузки выгоднее воспринимать более сильно разнесёнными стальными поясами. В упругопластической ПНК (см. Рис. 3, в центре) указанный эффект менее ярко выражен, чем в линейно-упругой ПНК. Соответственно и масса первой (2,15 кг) оказалась меньше, чем масса второй (2,2 кг). К упругопластической ПНК был применён алгоритм (6), после чего материал перераспределился более рационально («пояса» в конструкции почти исчезли, см. Рис.3 внизу) и величина максимального узлового перемещения при той же массе уменьшилась более чем на 13%. Условие оптимальности (5) в конструкции оказалось выполненным, а напряжения в поясах при этом стали меньше допускаемых.

Расчёты балки при помощи алгоритма (7) были повторены при другом материале стенки, имеющем по сравнению с первоначальным меньшую величину а (47 кг/мм2 против 50 кг/мм2). Соответствующие распределения материала показаны на Рис. 4. Здесь эффект вырождения поясов с образованием «поясов» из материала стенки выражен заметно более сильно, чем на Рис. 3. Масса линейно-упругой ПНК составила 2,85 кг, а масса упругопластической ПНК — 3,26 кг. В последнем случае силовой материал фактически полностью переместился из поясов в область стенки, что и объясняет большую массу конструкции. Приведённые результаты позволяют сделать СИ? .—1J—, _____ПНК. пннсйнал ггл-гагь

^ЙвВЙВВВВВйййВйвввв—

СП С2.

пУ11вВ1В1ВВВ1ИИВЯРВв».

1 1—1 __________ПНК. тетрт Нпьюшш

«МШМПНншит,, «

рКдВВЯВЯвВВЯЯЯВвввввятв-

вывод о необходимости очень точного подбора материалов при разработке конструкции.

В п. 4.3 более подробно проанализирован один из результатов численных исследований задачи изгиба балки, заключающийся в том, что при использовании нескольких материалов учёт упруго-пластического деформирования не всегда приводит к уменьшению массы ПНК в сравнении с её линейно-упругим расчётом. Данный результат не вполне соответствует общепринятым представлениям о том, что влияние физической нелинейности при проектировании конструкций невелико и идёт в основном «в запас». Известные аналитические результаты, подтверждающие улучшение несущей способности либо экономию материала конструкций при учёте пластичности, получаются обычно на простейших примерах типа задач чистого изгиба или кручения бруса, нагружения трёхстержневой фермы (Рис. 5) и т.д. Заметим, что во всех этих примерах использован один конструкционный материал. В п. 4.3 на примере симметричной трёхстержневой фермы из двух материалов (Рис. 5) аналитически демонстрируется, что при определённых условиях учёт физической нелинейности приводит к увеличению массы оптимального проекта. Если индексами «1» и «2» обозначать величины, относящиеся к стержням с соответствующими номерами (см. Рис. 5), то условие совместности деформаций для данной задачи при малых перемещениях имеет вид е2 = 2е1. Исходя из данного условия, а также из уравнения статического равновесия и нелинейной связи «о - е»,

■пасс. Р

еЬ2 - 2еы:

Рис. 6

показывается, что задача минимизации массы конструкции при ограничениях сверху на уровни напряжений в стержнях и конструктивных ограничениях является задачей линейного программирования с областью допустимых значений проектных параметров и областью возможных направлений градиента целевой функции, показанными на Рис. 6. Решением данной задачи, в зависимости от соотношения плотностей и вида кривых «о - е» материалов, будет являться проект, соответствующий на Рис. 6 либо точке В, либо точке С, либо любой точке отрезка ВС. При этом одно из ограничений на допускаемые напряжения будет всегда (при е2 Ф 2е1, где через 8 обозначается деформация, соответствующая для данного материала величине о) пассивным. Показано, что при материалах, для которых выполняются соотношения е2 < 2е1 и ел™' < 28л™' (здесь индексом «лин.» обозначены величины, относящиеся к линейно-упругому расчёту), учёт физической нелинейности даёт увеличение массы оптимальной конструкции в сравнении с линейно-упругим расчётом, если стержень «1» имеет ненулевое конструктивное ограничение, а напряжение в материале «1», соответствующее деформации е2/2, при линейно-упругом расчёте больше, чем при нелинейном расчёте (последнее, например, всегда выполняется, если материал «2» хрупкий, а материал «1» — упрочняющийся), причём данный эффект имеет место вне зависимости от плотностей материалов. Если же материалы таковы, что выполняется е2 > 281 и ел™. < 28Лин', то масса оптимального

упругопластического проекта будет больше, чем масса аналогичного линейно-упругого проекта при достаточно большой величине отношения плотностей р1/р2.(например, при нулевых конструктивных ограничениях данная величина должна быть больше, чем значение оЬ1/ (2оЬ2)). В рассматриваемой задаче возможны и другие случаи, при которых име-ет место данный эффект, причём для этого нетрудно подобрать реальные материалы.

Пятый раздел посвящён исследованию рациональных параметров силового шпангоута маневренного самолёта. Ввиду симметрии конструкции и расчётного случая в качестве расчётной схемы рассматривается одна из половин шпангоута, показанная вместе с приложенными нагрузками на Рис. 7. Схема содержит стержневые (для поясов) и мембранные (для стенки) КЭ, в ней использовано два материала (сталь ВКС-9 и алюминиевый сплав В-95ПЧ-Т1).

В п. 5.1 для рассматриваемой конструкции производится построение и исследование вариантов ПНК. Для построения ПНК при действии расчётных нагрузок был применён алгоритм (7), у которого в качестве о использовались величины оь материалов. Использование при этом в материалах линейно-упругой модели привело к проекту, распределение проектных параметров в котором показано на Рис. 8 (наиболее светлая окраска КЭ означает, что данный КЭ имеет активное конструктивное ограничение), а использование реальных диаграмм «о - е» — к проекту, показанному на Рис. 9. Можно заметить, что в большей части конструкции, как и в примере с балкой (см. Рис. 3 и 4), имеет место вырождение стальных поясов с образованием «поясов» из элементов стенки (что, очевидно, не является рациональным).

.............

Рис. 8.

Данный эффект более ярко выражен у физически нелинейной ПНК, которая оказалась тяжелее на ~8%. Кроме того вычисление для линейно-упругой ПНК напряжённо-деформированного состояния (НДС) при использовании реальных диаграмм «о - е» материалов показало наличие элементов, в которых превышены уровни оь. Таким образом использование линейно-упругой модели для конструкции из нескольких материалов не всегда приводит к проектированию «в запас». У проекта, являющегося ПНК при расчётных нагрузках (см. Рис. 9) было вычислено НДС при действии эксплуатационных нагрузок. Расчёт показал наличие нескольких КЭ, в которых превышены уровни о02, являющиеся предельно допустимыми для данного случая, т.е. данный вариант конструкции не является

допустимым проектом. Был также построен вариант конструкции, полностью напряжённый при действии эксплуатационных нагрузок, для чего использовался алгоритм (7), у которого в качестве о использовались величины о02 материалов. Полученный вариант оказался на ~25% легче, чем проект на Рис. 9, а анализ НДС при действии расчётных нагрузок показал, что уровни оь превышены почти во всех КЭ данного проекта. Таким образом в данном случае построение ПНК с учётом только одной системы нагрузок (расчётных либо эксплуатационных) приводит к недопустимому проекту. Поэтому для построения был применён алгоритм (8), в котором учтены оба рассматриваемых случая нагружения (каждый со своими уровнями о в элементах). В результате получился проект с массой и распределением силового материала, незначительно отличающимися от соответствующих величин проекта, показанного на Рис. 9. Расчёты НДС показали, что данный вариант является допустимым при действии как расчётных, так и эксплуатационных нагрузок.

У проекта, полученного при помощи алгоритма (8), была произведена минимизация податливости при действии расчётных нагрузок, описание которой приводится в п. 5.2. Для уменьшения податливости был применён алгоритм (6). В результате был получен проект, распределение материала в котором, показанное на Рис. 10, стало уже более рациональным: дополнительные «пояса» либо исчезли, либо заметно уменьшились, а силовой материал из них переместился в пояса из ВКС-9. Как следствие, практически при той же массе конструкции, что и у исходного (см. Рис. 9) проекта, общая

дополнительная энергия стала меньше на « 44%, а величина максимального перемещения в конструкции уменьшилась более чем на 73%. Кроме того у полученного проекта выполняется условие оптимальности (5), то есть он согласно задаче (2) действительно имеет минимальную при своей массе податливость. Данный проект оказался допустимым и при действии эксплуатационных нагрузок, причём в этом случае напряжения в элементах не превышают 88% от о0,2 для КЭ из материала В-95 и 76% от о02 для КЭ из ВКС-9, а величина максимального перемещения уменьшилась в сравнении с исходным вариантом на 9%. Кроме того, и при расчётных нагрузках во всех КЭ данного проекта напряжения оказались меньше своих предельных величин (оь) для В-95 на «1,5%, а для ВКС-9 на «13,2%.

Наличие запасов напряжений во всех элементах конструкции у проекта, имеющего минимальную податливость (см. Рис. 10), позволяет предположить, что за счёт минимизации этих запасов возможно уменьшение массы конструкции (при некотором увеличении её податливости). Данный вопрос рассмотрен в п. 5.3. К конструкции был применён алгоритм (7), в котором в качестве о для элементов из В-95 использовалась величина оь, а для КЭ из ВКС-9 величина о была задана на «12% меньше, чем оь, что обеспечило выполнение условия (5) с максимально возможным значением К (дальнейшее его увеличение приведёт к превышению оь для В-95. Начальным приближением являлся проект, показанный на Рис. 10. В результате применения алгоритма силовой материал в конструкции перераспределился так, как показано на Рис. 11. От исходного (см. Рис. 10)

/

полученный проект отличается не очень сильно, однако в районе нижнего пояса различие заметно: силовой материал, сосредоточенный на Рис. 10 в мембранных КЭ из В-95, образующих дополнительный «пояс», на Рис. 11 сосредоточен уже в стержневых КЭ из ВКС-9, что является более рациональным для передачи общего изгиба. Полученный проект имеет большее, чем исходный вариант, значение общей дополнительной энергии Я (на 4,9%), т.е. он более рационален в соответствии с задачей (1), и поэтому должен иметь меньшую массу. Масса конструкции действительно стала меньше, чем у исходного проекта (на 2,4%). В то же время максимальное перемещение при расчётных нагрузках увеличилось на 17%. При действии эксплуатационных нагрузок полученный проект является допустимым.

Оба варианта конструкции (показанные на Рис. 10 и Рис. 11) имеют лучшую, чем ПНК, совокупность жесткостных и массовых характеристик. Поэтому любой из них (в зависимости от применяемого критерия выбора) может быть принят для использования на дальнейших этапах разработки ЛА.

Характерные величины массы и податливости проектов шпангоута, рассмотренных в данном разделе, даны в процентах Табл. 2.

Проект Масса конструкции При расчётных нагрузках При эксплуатационных нагрузках

Общая доп. энергия Макс. перемещение Общая доп. энергия Макс. перемещение

ПНК (Расч. нагрузки, лин. уп -ругость, Рис. 8) 92, 6 — — 100, 3 99, 5

ПНК (Расч.на-грузки, Рис. 9) 100, 1 100, 1 100, 0 — —

ПНК (Эксплуа-тац. нагрузки) 74, 7 — — 124, 2 123, 2

ПНК (Рас.+Экс. нагрузки) 100 100 100 100 100

Минимум податливости (Рис.10) 100, 2 56, 2 26, 6 90, 3 88, 8

Максимум П/р (Рис. 11) 97, 8 58, 9 31, 2 92, 4 100, 0

в Табл. 2.

В шестом разделе работы сформулированы следующие

выводы:

1. Получено необходимое условие локальной оптимальности для задачи минимизации общей дополнительной энергии конструкции, статически нагруженной одной системой консервативных нагрузок, при заданном значении массы силового материала и конструктивных ограничениях. Условие состоит в том, что величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к массовой плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения.

2. Получено необходимое и достаточное условие глобальной оптимальности для задачи минимизации массы силового материала при ограничении сверху на величину общей дополнительной энергии и конструктивных ограничениях, состоящее в том, что величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к массовой плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения. Приведённая формулировка условия оптимальности совпадает с формулировкой условия оптимума для задачи минимизации общей дополнительной энергии конструкции при заданном значении массы и конструктивных ограничениях.

3. Разработан алгоритм минимизации податливости физически нелинейной конструкции заданной массы. Доказано, что применение данного алгоритма приводит к монотонному уменьшению величины общей дополнительной энергии (характеризующей податливость) конструкции.

4. Установлено, что при построении полностью напряжённых конструкций из нескольких материалов использование линейно-упругой и упруго-пластической моделей приводит в общем случае к различным проектам, причём меньшее значение массы может иметь как физически нелинейный проект, так и линейно-упругий (в зависимости от комбинации используемых в конструкции материалов).

5. Показано, что построение конструкции из нескольких материалов, полностью напряжённой при расчётных нагрузках и предельно допускаемых напряжениях оь, с использованием линейно-

упругой модели материалов не всегда приводит к проектированию «в запас».

6. Показано, что ряде случаев полностью напряжённая конструкция из нескольких материалов является более тяжёлой, чем конструкция, в которой напряжения в части элементов не достигли уровней для полностью напряжённой конструкции, а величина отношения средней по КЭ удельной потенциальной энергии деформации к плотности постоянна для всех элементов с пассивными конструктивными ограничениями.

Публикации

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

• Чехов В.В., Селюгин С.В., Условия оптимальности для физически нелинейных сложных силовых конструкций при статическом нагружении. // «Проблемы нелинейной динамики»: Межведомственный сб. науч. тр. - М., МФТИ, 1996 г., 79-85;

• Селюгин С.В., Чехов В.В. Алгоритмы оптимизации физически нелинейных сложных конструкций. // Тез. докл. 3-й Крымской Междунар. Матем. школы, Алушта, 1996 г., 39-40;

• Селюгин С.В., Чехов В.В. Исследование рациональных параметров силового шпангоута с учетом физической нелинейности. // «Современные проблемы аэрокосмической науки»: Тез. докл. 2-й научно-технической конференции молодых ученых ЦАГИ. -Жуковский, ЦАГИ, 1997 г., 25;

• Селюгин С.В., Чехов В.В. Расчет рациональных параметров физически нелинейных конструкций. // Труды ЦАГИ, 1998 г., вып. 2632, 85-95;

• Чехов В.В. Численные исследования алгоритмов рационального проектирования физически нелинейных конструкций. // «Современные проблемы аэрокосмической науки»: Тез. докл. Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых. - Жуковский, ЦАГИ, 1998 г., 77-78.

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1 Литобзор

1.2 Краткая характеристика данной работы.

1.3 Используемые обозначения и сокращения

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ АГРЕГАТОВ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

2.1 О задачах рационального проектирования агрегатов конструкций летательных аппаратов

2.2' Учет нелинейного поведения конструкций в авиастроении

2.3 Постановки задач рационального проектирования

2.4 Условия оптимальности для задачи минимизации массы конструкции при ограничении на податливость и конструктивных ограничениях.

2.5 Условия оптимальности для задачи минимизации податливости конструкции при фиксированной массе силового материала и конструктивных ограничениях.

1.1 Литобзор

Интерес к задачам оптимизации конструкций существует очень давно. Задачи такого типа рассматривали такие известные ученые, как Галилей, Лагранж, Леви, Максвелл [2]. Ниже приводится не претендующий на полноту обзор работ по оптимизации и рациональному проектированию конструкций, в ходе которого отмечены моменты, представляющие интерес с точки зрения темы данной работы.

В течение нескольких последних десятилетий в значительной степени возросло количество работ, посвятттенных оптимизации конструкций, что было обусловлено развитием математических методов оптимизации и введением в практику проектирования расчетов на ЭВМ [2]. Исследования, проводившиеся ранее, в основном относятся к достаточно простым задачам [2]. Тем не менее, в то время были получены некоторые важные результаты.

Так, Леви, по-видимому, одним из первых рассмотрел при оптимизации конструкции работу ее внутренних сил или потенциальную энергию [87].

Максвелл [88] вывел формулу для объема материала равнопрочной статически неопределимой упругой фермы, впоследствии его результат стал известен как теорема Максвелла.

Мичеллом [89] была доказана теорема о форме легчайшей упругой фермы, передающей заданное усилие на заданную опорную поверхность, при заданном диапазоне напряжений в стержнях. В соответствии с этой теоремой ферма должна быть статически определимой и равнопрочной, а стержни должны располагаться вдоль линий главной деформации.

Следуя Леви, Уманский и Горбунов [60] использовали потенциальную энергию конструкции как средство для исследования ее массы, получив ряд интересных зависимостей. Но особо много внимания, начиная с 1939 г., уделил применению этой энергии к задачам оптимизации конструкций польский ученый З.Васютинский. В работах его школы (соответствующая библиография имеется, например, в [97]) задача о минимуме веса при заданной нагрузке заменяется в определенном смысле близкой к ней с точки зрения решения задачей о максимуме жесткости (минимуме работы внутренних сил) при заданном объеме материала. Наиболее полное, после указанной выше работы Леви, исследование статически неопределимых упругих ферм минимального веса было выполнено в классической работе И.М.Рабиновича [40].

Дальнейшее развитие исследований по оптимизации конструкций до середины 60-х годов нашего столетия шло по двум направлениям [41]: в нашей стране изучались в основном упругие конструкции, а за рубежом — задачи минимизации веса жестко-пластических конструкций.

Важнейшими из зарубежных работ, посвященных задачам оптимизации жестко-пластических конструкций при статическом нагружении, явились работа [79] и работы Прагера (см., например, [39, 94]). В работе [79] был получен важнейший критерий оптимальности — так называемый принцип равной мощности диссипации для однократно нагруженной жестко-пластической конструкции минимального веса.

Из отечественных исследований оптимальных статически неопределимых упругих конструкций здесь можно отметить работы А.И. Виноградова [11], который предложил алгоритм оптимального исчерпания запасов, А.А.Комарова [31], разработавшего методы и алгоритмы проектирования конструкций максимальной жесткости. А.И.Лурье [36] рассмотрел приложение теории оптимального управления к проектированию одномерных конструкций. Для выбора наилегчайшей основной системы из заданной статически неопределимой фермы Ю.А. Радцигом [42] была разработана специальная теория поиска минимума линейных модулярных функций.

Когда при проектировании начала использоваться мощная вычислительная техника, стало возможным производить расчет сложных конструкций произвольного вида, а также учитывать нелинейное поведение конструкций. При этом наряду с традиционными методами расчета, основанными на инженерных теориях (тонкостенных стержней, балок, пластин) [1, 8, 21], в настоящее время активно применяются численные методы, в особенности метод конечных элементов (см. например, [20, 22, 24, 69, 85]) как обладающий наибольшей универсальностью. Одним из достоинств метода конечных элементов по сравнению с другими численными методами является возможность естественным образом описывать расчетные схемы, имеющие границы раздела между областями из разных материалов. Проектированию конструкций, в которых используется несколько материалов, посвящены, например, работы [ 12, 67, 80]. В работе [80] выводится условие оптимальности для задач минимизации массы линейно-упругих конструкций с ограничениями, наложенными на заданные линейные комбинации узловых перемещений (таким образом можно вводить ограничения на обобщенные перемещения в конструкции либо на напряжения в линейно-упругой конструкции), состоящее в том, что линейная комбинация отношений плотностей виртуальной энергии деформации (то есть энергии деформации, соответствующей перемещениям в конструкции, задаваемым коэффициентами податливости) к плотностям материала равняется единице во всех активных элементах. Данное условие для статически неопределимых конструкций в общем случае отличается от часто применяемых в инженерной практике понятий равнопрочности и полной напряженности. Таким образом, во многих случаях может быть получена конструкция, обладающая массой, меньшей, чем масса равнопрочной конструкции (см. например, [43]).

Учет нелинейностей, возникающих при нагружении конструкций, особенно важен в авиастроении, где проектирование ведется по разрушающим нагрузкам [1]. Нелинейные эффекты, имеющие место в поведении нагруженных конструкций, принято разделять на три вида, называемые физической, геометрической и конструкционной нелинейностями [20]. Под физической нелинейностью понимается нелинейность связи «напряжение-деформация» (в рамках теории бесконечно малых деформаций). Геометрической нелинейностью называют нелинейность связи «деформация-перемещение», имеющую место при учете конечности перемещений. Проектированию с учетом геометрической нелинейности посвящены, например, работы [68, 71, 73, 83, 86, 90, 96]. Конструкционная нелинейность обусловлена изменением характера работы или взаимодействия конструктивных элементов в процессе деформирования, этот тип нелинейности проявляется в сложных конструкциях при изменениях поверхностей контакта (контактные задачи, см., например, [7]) и характеристик соединений элементов, при потере устойчивости элементов под действием больших сжимающих и сдвигающих напряжений (см. например, [15, 16, 19, 57]), при разрушении элементов и соединений [20].

Исходя из тематики настоящей работы, следует более подробно коснуться исследований, посвященных физической нелинейности. У традиционных материалов, используемых в авиационных конструкциях и имеющих на диаграмме напряжение-дсфирмация область линейной упругости, при выходе за границы этой области следует учитывать отклонение как от линейно-упругой, так и от жестко-пластической моделей. Используемое в данной работе понятие физической нелинейности не включает в себя жестко-пластическую модель. Из работ, посвященных оптимизации жестко-пластических конструкций, помимо [79] можно отметить работы В. Прагера (например, [39, 94]), в которых был разработан общий метод оптимизации конструкций, базирующийся на использовании соответствующих вариационных принципов, а также получены условия оптимальности для рамных конструкций минимального веса.

При проектировании авиационных конструкций всегда принималось во внимание отклонение от линейной модели поведения материала. Еще в тридцатых годах был разработан метод редукционных коэффициентов, позволяющий учитывать как пластичность материала, так и падение жесткости сжатых элементов после потери устойчивости [1, 8, 19]. Конструкция при этом представляется в виде балочной расчетной схемы, что позволяет использовать при расчетах простые соотношения сопротивления материалов. Благодаря своей эффективности данный метод активно используется и в настоящее время. Так, в работе [21] с помощью метода редукционных коэффициентов проведен анализ несущей способности ряда конструкций и выполнено сравнение полученных результатов с результатами, полученными при использовании линейно-упругой модели. Отмечено, что использование линейно-упругой модели, как правило, позволяет проектировать конструкцию «в запас».

Для учета нелинейности материала при анализе конечно-элементных расчетных схем на ЭВМ обычно используются такие методы, как метод переменных параметров упругости (другое его название — метод переменной жесткости, [24]), метод упругих решений (метод начальных напряжений, метод начальных деформаций, [24]), а также способ, использующий пошаговое приращение нагрузки от нуля до действующего значения (аналогично тому, как это делается для решения нестационарных задач) с применением на каждом шаге одного из указанных методов (переменных параметров упругости либо упругих решений) для итерационного уточнения [24, 85]. Последний способ позволяет производить вычисления для материалов, описываемых нелинейной теорией упругости, имеющей соотношения только для приращений напряжений и деформаций, а не для их полных значений.

Физическую нелинейность следует также учитывать при выборе материалов, используемых в проектируемой конструкции. Так, в работе [67] разработана методика выбора материалов и оптимальных параметров конструкций, обеспечивающих теоретически минимальную массу Показано, что когда сравниваемые материалы при одной и той же нагрузке находятся в разных зонах (например, один в зоне упругости, а другой уже в зоне пластичности), то оценка их весового качества традиционным способом (при помощи коэффициентов весового качества: удельной прочности, удельной жесткости и т.п.) может приводить к грубым ошибкам и, как следствие, к перетяжелению конструкции. Предлагаемая методика заключается в преобразовании формул или графиков расчета допускаемых напряжений в зависимость «нагрузка - масса», построении графиков в этих координатах и выявлении на них огибающей минимальных значений массы.

В работе [12] рассмотрена задача оптимального размещения нескольких материалов по сечению скручиваемого призматического стержня. Материалы предполагаются нелинейно-упругими или упругопластическими, количество каждого материала задано. Цель проектирования — максимизация или минимизация запасаемой упругой энергии при фиксированном угле закручивания единицы длины стержня. Показано, что эта проблема сводится к решению задачи кручения для некоторого нелинейного материала, закон состояния которого определяется данными оптимизационной задачи. Проект характеризуется наличием зон пространственных скользящих режимов управления, которые в данном случае представляют собой области, занятые бесконечно часто чередующимися слоями из исходных материалов, расположенных либо вдоль линий уровня функции Прандтля (задача максимизации момента), либо поперек их (задача минимизации веса проекта). Приводятся примеры проектов стержней круглого и квадратного поперечного сечения, изготовленных из двух упруго пластических материалов.

Отдельные вопросы для задач оптимизации однократно статически нагруженных ферм на основе использования степенной и билинейной зависимостей напряжение-деформация были рассмотрены в монографии [14]. Исследован класс равнонапряженных конструкций, получены условия, выделяющие из этого класса конструкцию с минимальным объемом материала.

Помимо явлений пластичности и нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями физическая нелинейность может иметь и иные проявления. Например, поведение конструкции является существенно нелинейным при действии динамических или ударных нагрузок (см., например, [5, 29, 35]). Нелинейности в поведении конструкции возникают также при работе в условиях повышенных температур. Они проявляются в ползучести, изменении характеристик материалов, релаксации и т.д. (см., например, [19, 25, 26, 33, 78]). Оптимизации в условиях стационарной ползучести посвящены работы [34, 94]. В работе [22] рассматривается применение метода конечных элементов для решения задач ползучести. Нелинейным образом ведут себя и конструкции, в которых использованы композиционные материалы [19, 23].

С точки зрения алгоритмического подхода работы по оптимизации и рациональному проектированию конструкций можно разделить на две группы [3]. Большее количество исследований проводится на основе анализа чувствительности (см., например, [68, 71, 72, 73, 82,

83, 90, 96]), требующего вычисления соответствующих производных целевой функции, ограничений задачи и уравнений состояния. Этот подход позволяет строить алгоритмы оптимизации для произвольной критериальной функции и произвольной системы ограничений. Так, в работах школы проф. Ароры (например, [68, 71, 73, 96]) рассматриваются задачи одновременно и физически, и геометрически нелинейных конструкций. При этом используются соответствующие вариационные принципы, в которых учитывается влияние температурных условий.

В работе [72], авторы которой являются представителями школы проф. Майера, рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной изгибаемой упругопластической конструкции при ограничениях на перемещения и конструктивных ограничениях. Используется теория пластичности Майера и метод конечных элементов. Представлены примеры расчетов оптимальных конструкций.

В работе [70] на основе использования теории пластичности Майера проведен анализ чувствительности в задачах оптимизации ферм. Приведен пример численного определения фермы максимальной жесткости при ограничениях на объем и конструктивных ограничениях.

В работе [82] рассмотрена задача оптимального выбора расположения точек опирания изгибаемых балочных конструкций из материала со степенной зависимостью «напряжение-деформация». Точки опирания и начальные перемещения в них могут выбираться из соображений максимизации жесткости конструкции. Приведен пример, иллюстрирующий разработанный подход.

Помимо работ, базирующихся на анализе чувствительности, существует ряд работ, использующих так называемый метод критериев оптимальности [3]. Он характерен тем, что вначале при помощи математических преобразований либо интуитивных соображений выводится условие оптимальности, после чего разрабатывается алгоритм, целенаправленно изменяющий текущий проект для удовлетворения полученному условию. К этому типу работ можно отнести, например, работы [6, 45 - 49, 64, 65, 74, 75, 77, 84, 91 - 93, 95].

В работе [6] классические алгоритмы типа отношения напряжений, широко используемые для линейно-упругих задач, перенесены (без строгого обоснования) на задачи минимизации массы упру-гопластических упрочняющихся статически нагруженных оболочек, деформирование которых описывается ассоциированным законом течения.

Задача оптимизации упругопластических ферменных и балочных конструкций при одном статическом нагружении в условиях линейного изотропного упрочнения была рассмотрена в работах А.П. Чижаса [64, 65, 76], где на основе использования вариационных принципов данная задача сведена к двум парам двойственных задач оптимизации, одна из которых относится к переменным проектирования (параметрам конструкции), а вторая — к переменным состояния.

В работе [74] рассмотрена задача оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических балок из упрочняющегося материала, деформирование которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера по методу конечных элементов. Отыскивается минимум некоторой конечномерной функции стоимости, линейной по параметрам проектирования — геометрическим размерам сечения, при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Получены необходимые условия оптимальности первого порядка в рассмотренной задаче (условия Куна - Таккера). На основе этих условий построена численная процедура оптимизации конструкции, относящаяся к классу методов, основанных на использовании критериев оптимальности. Представлены примеры расчетов некоторых балочных конструкций.

В работе [75] рассмотрена задача оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических балок из упрочняющегося материала, деформирование которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера. Распределение конструктивных параметров предполагается гладким. Минимизируется некоторый линейный функционал параметров проектирования при ограничениях на перемещения и конструктивных ограничениях. Методами вариационного исчисления получены необходимые условия оптимальности первого порядка в рассмотренной задаче. Проведен качественный анализ нескольких примеров, допускающих аналитическое решение. Затем рассмотрено, как полученные континуальные условия оптимальности трансформируются при описании поведения конструкции по методу конечных элементов. Построена численная процедура оптимизации конструкции, относящаяся к классу методов, основанных на использовании критериев оптимальности. Приведены примеры расчетов конструкций.

В работе [77] получено условие постоянства потенциальной энергии деформации на поверхности оптимального трехмерного физически нелинейно-упругого тела со степенной зависимостью напряжение-деформация, нагруженного одной системой статических нагрузок. В качестве минимизируемой целевой функции рассматривалась податливость конструкции в виде общей дополнительной энергии, объем силового материала считался заданным. Разработаны алгоритмы оптимизации и приведены иллюстративные примеры расчетов.

В работе [81] для сжатых колонн в отсутствие ограничений по потере устойчивости было получено условие постоянства напряжений в качестве условия оптимальности для задачи минимизации объема материала при заданной обобщенной податливости.

В работе [84] рассмотрены задачи оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических ферм, поведение которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера. Отыскивается минимум некоторой линейной функции параметров проектирования при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Получены соответствующие условия оптимальности. Разработана численная процедура поиска оптимального решения, приведены примеры расчетов.

В работе [91] исследовалась конструкция, составленная из линейно-упругих колонн и физически нелинейно-упругих двутавровых балок, нагруженная одной системой статических нагрузок. Было установлено, что условием минимума объема такой конструкции является условие равенства средних потенциальных энергий деформации для балок.

В работе [92] рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной физически нелинейной фермы при ограничениях на напряжения и конструктивных ограничениях. Получены соответствующие условия оптимальности. Разработана численная процедура для нахождения оптимальной конструкции, базирующаяся на линейной аппроксимации указанных условий. Приведен пример оптимизации конструкции 16-элементной фермы.

В работе [93] рассмотрена задача минимизации податливости однократно статически нагруженной конструкции заданной геометрии из физически нелинейного анизотропного материала со степенной зависимостью напряжение-деформация. Учитываются ограничения на объем материала, на напряжения, и конструктивные ограничения. Получен критерий оптимальности в виде условия постоянства потенциальной энергии деформации. Представлены результаты численных расчетов с использованием рекурсивной процедуры оптимизации, разработанной на основе полученного условия оптимальности.

В работе [95] рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной физически нелинейной фермы при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Зависимость напряжение-деформация предполагается несимметричной (вследствие возможной потери устойчивости при сжатии) и заданной. Получены необходимые условия оптимальности первого порядка. На основе этих условий построена численная процедура оптимизации конструкции. Приведены примеры расчетов.

В работах С.В. Селюгина [45, 46, 47] рассмотрены задачи минимизации объема материала континуальных и дискретно описанных конструкций при ограничениях на податливость либо на допускаемые напряжения и конструктивных ограничениях, а такж минимизации податливости при фиксированном объеме материала и конструктивных ограничениях. Материал конструкций описывается гиперупругой моделью. В работе [45] рассмотрены балочные и рамные конструкции, в [46] исследованы конструкции, работающие в условиях плоского напряженного состояния (мембранные), в [47] — ферменные конструкции. Получены условия оптимальности для рассматриваемых задач. При одном случае нагружения для стержневых и мембранных конструкций указанные условия означают постоянство удельной потенциальной энергии деформации в тех местах оптимальной конструкции, где пассивно конструктивное ограничение, и фактически являются условиями постоянства уровня напряжений. Для балочных конструкций условия оптимальности соответствуют постоянству уровня напряжений на крайнем волокне балки. На основании полученных условий оптимума построены итерационные алгоритмы оптимизации дискретно описанных конструкций. Проведены тестовые расчеты.

Следует отметить, что почти все указанные выше работы, посвященные проектированию на основе как анализа чувствительности, так и метода критериев оптимальности, относятся к нелинейным конструкциям, выполненным из одного материала. Конструкции, проектируемые с использованием нескольких материалов, исследованы только в линейно-упругом случае.

Данная работа является развитием работ [45, 46, 47], на случай использования в конструкции нескольких физически нелинейных материалов, а также применения расчетных схем, включающих несколько типов конечных элементов. При этом исследуется различие в свойствах проектируемой конструкции, обусловленное использованием для ее материалов линейно-упругой и физически нелинейной моделей. Кроме того в работе рассмотрено проектирование агрегатов авиационных конструкций с учетом расчетных и эксплуатационных нагрузок.

Основные результаты работы докладывались на 38-й научной конференции МФТИ (1-4 декабря 1995г.), 3-й Крымской Международной Математической школе (г. Алушта, 16-23 сентября 1996г.) [52], Юбилейной научной конференции «Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики», посвященной 50-летию МФТИ, (29-30 ноября 1996г.), 2-й научно-технической конференции молодых ученых ЦАГИ «Современные проблемы аэрокосмической науки» (10-11 апреля 1997г.) [54], Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки» (г. Жуковский, 27-29 мая 1998г.) [63], и опубликованы в сборниках МФТИ [62] и Трудов ЦАГИ [56], а также выпущены в виде ряда научно-технических отчетов [50, 51, 53, 55].

Автор выражает благодарность Г.Н. Замуле, К.М. Иерусалимскому, М.П. Тепеницыну, В.В. Чедрику.

6. выводы

1. Получено необходимое условие локальной оптимальности для задачи минимизации общей дополнительной энергии конструкции, статически нагруженной одной системой консервативных нагрузок, при заданном значении массы силового материала и конструктивных ограничениях. Условие состоит в том, что величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к массовой плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения.

2. Получено необходимое и достаточное условие глобальной оптимальности для задачи минимизации массы силового материала при ограничении сверху на величину общей дополнительной энергии и конструктивных ограничениях, состоящее в том, что величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к массовой плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения. Приведенная формулировка условия оптимальности совпадает с формулировкой условия оптимума для задачи минимизации общей дополнительной энергии конструкции при заданном значении массы и конструктивных ограничениях.

3. Разработан алгоритм минимизации податливости физически нелинейных конструкций заданной массы. Доказано, что применение данного алгоритма приводит к монотонному уменьшению величины общей дополнительной энергии (характеризующей податливость) конструкции.

4. Установлено, что при построении полностью напряженных конструкций из нескольких материалов использование линейно-упругой и упругопластической моделей приводит в общем случае к различным проектам, причем меньшее значение массы может иметь как физически нелинейный проект, так и линейно-упругий (в зависимости от комбинации используемых в конструкции материалов).

5. Показано, что построение конструкции из нескольких материалов, полностью напряженной при расчетных нагрузках и предельно допускаемых напряжениях аь, с использованием линейно-упругой модели материалов не всегда приводит к проектированию «в запас».

6. Показано, что в ряде случаев полностью напряженная конструкция из нескольких материалов является более тяжелой, чем конструкция, в которой напряжения в части элементов не достигли уровней для полностью напряженной конструкции, а величина отношения средней по КЭ удельной потенциальной энергии деформации к плотности постоянна для всех элементов с пассивными конструктивными ограничениями.

1. Астахов М.Ф., Караваев Л.В., Макаров С.Я., Суздальцев Я.Я. Справочная книга по расчету самолета на прочность. Москва, Оборонгиз, 1954 г., 708 с.

2. БаничукН.В. Оптимизация форм упругих тел. Москва, Наука, 1980 г., 256 с.

3. БаничукН.В. Введение в оптимизацию конструкций. Москва, Наука, 1986 г., 304 с.

4. Баничук Н.В., Бирюк В.И. Сейранян А.П. Фролов В.М. Яремчук Ю.Ф. Методы оптимизации авиационных конструкций. Москва, Машиностроение, 1989 г., 296 с.

5. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Шаранюк А.В. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. Москва, Наука, 1989 г., 264 с.

6. Барашков В.Н. Люкшин Б.А. Алгоритм прочностного проектирования осесимметричных упругопластических конструкций с использованием конечно-разностного метода. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1988 г., вып. 39,91-97

7. БегеевТ.К.,ГришинВ.И. Решение упруго-пластических задач о контактном взаимодействии методом конечных элементов. Ученые записки ЦАГИ, 1990, 21 (3), 88-94.

8. Беляев В.Н. Расчет свободнонесущих крыльев. Техника воздушного флота, 1932 г., № 7, 609-648, № 8, 737-773.

9. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования рациональных конструкций современных летательных аппаратов. Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1776, 64 с.

10. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. Москва, Машиностроение, 1977 г., 232 с.

11. Виноградов А.И. Вопросы расчета сооружений наименьшего веса. Труды Харьковского института инженеров железнодорожного транспорта, вып. 25, 1955 г., 35-41.

12. Гибянский Л.В. Черкаев А.В. Оптимальное проектирование нелинейно-упругих и упругопластических скручиваемых стержней. Изв. АН СССР (МТТ), 1988 г., № 5, 168-174.

13. Головачев И.В. Сорокин А.П. Исследование силовых схем шпангоутов перспективных летательных аппаратов (типа ВКС и перспективных истребителей) с помощью методов линейного программирования. Научно-технический отчет ЦАГИ № 3278, 1978 г.

14. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем. Ленинград, ЛГУ, 1980 г., 208 с.

15. Грошев Г.П., Липин Е.К. Оптимизация панелей по условиям прочности и устойчивости. Труды ЦАГИ, 1984, вып. 2229,102113.

16. Дзюба А.С., Липин Е.К. Оптимальное проектирование силовых конструкций минимального объема при ограничениях по прочности и устойчивости. Ученые записки ЦАГИ, 1980, 11 (1), 58-71.

17. Егер С.М., Лисейцев Н.К., Самойлович О.С. Основы автоматизированного проектирования самолетов. Москва, Машиностроение, 1986 г., 232 с.

18. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. Москва, Наука, 1976 г., 192 с.

19. Замула Г.Н. Закритическое поведение композитных панелей при двухосном сжатии и нагреве. Труды ЦАГИ, 1997 г., вып. 2628, 11-20.

20. ЗамулаГ.Н., Иванов А.И., Иерусалимский К.М., ЖебраковаГ.В. Методы решения нелинейных задач прочности на основе МКЭ (1968-1980 гг.). Обзор ОНТИЦАГИ, 1983 г., № 623, 182 с.

21. Замула Г.Н., Иерусалимский К.М. Анализ расчетных методов оценки прочности авиационных конструкций. Труды ЦАГИ, 1998 г, вып. 2631,81-92.

22. Замула Г.Н., Павлов В.А. Решение задач ползучести методом конечных элементов. Ученые записки ЦАГИ, 1981 г., 12 (6), 87-97.

23. Зарубин В.А., Комаров В.А. О парадоксах концепций полнонапряженности и согласованности в проектировании конструкций из волокнистых композитов. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1989, 40-45.

24. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Москва, Мир, 1975 г., 544 с.

25. Иванов С.Н. Пластические деформации подкрепленных панелей при нестационарном нагреве. Ученые записки ЦАГИ, 1979, 10(2), 76-83.

26. Ильюшин А.А., Поспелов И.И. О методе последовательных приближений в задаче о неустановившейся ползучести. Инженерный журнал, 1964, 4 (4), 697-704.

27. Кан С.Н. Свердлов И.А. Расчет самолета на прочность. Москва, Машиностроение, 1966 г., 520 с.

28. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. Москва, Наука, 1969 г., 420 с.

29. Кире Ю.Т. Оптимальная форма упрочняющейся круговой пластины при динамическом нагружении. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1988, вып. 39, 72-79.

30. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Наука, 1968 г., 496 с.

31. Комаров А.А. Основы проектирования силовых конструкций. Куйбышев, Куйбгосиздат, 1965 г., 88 с.

32. Краскевич В.Е. Зеленский К.X. Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях. Киев, Вища школа, 1986г, 264 с.

33. Кутьинов В.Ф. Расчет несущей способности клеевого соединения при совместном воздействии нагрузок и температур с учетом реальной диаграммы деформирования клеевого слоя. Труды ЦАГИ, 1997 г., вып. 2629, 3-15.

34. Леллеп Я. Оптимальное проектирование балок в условиях стационарной ползучести. Изв. СССР (МТТ), 1977 г., 1, 202205.

35. Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование неупругих конструкций в случае динамического нагружения. Таллин, Валгус, 1982, 196 с.

36. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики. Труды Ленинградского политехнического института, 252, 1965 г., 34-46.

37. Материалы в машиностроении. Выбор и применения. Справочник: в пяти томах. Ред. Кудрявцев И.В. 1967—. Т. 1 Цветные металлы и сплавы. Ред. Лужников Л.П., Москва, Машиностроение, 1967 г., 304 с.

38. Нератова Л.М., Тепеницын М.П. Расчетное и экспериментальное сравнение двух проектов моделей шпангоута. Научно-технический отчет ЦАГИ №03-6375, 1992 г.

39. ПрагерВ. Основы теории оптимального проектирования конструкций. Серия «Механика. Новое в зарубежной науке» (ред. Ишлинский А.Ю. Черный Г.Г.), 1977 г., вып. 11. Москва, Мир, 109 с.

40. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. Москва, Трансжелдориздат, 1933, 120 с.

41. Рабинович И.М. Стержневые системы минимального веса. В кн. Механика твердого тела. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Обзорные доклады. Вып. 3. Москва, Наука, 1966 г., 265-275.

42. Радциг Ю.А. Статически неопределимые фермы наименьшего объема. Труды КАИ, вып. 51, 1960 г., 108 с.

43. РазаниР. Поведение равнонапряженной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса. Ракетная техника и космонавтика, 1965 г., т. 3, № 12, 115-124.

44. СауринВ.В. Исследование силовых шпангоутов экспериментального самолета. Научно-технический отчет ЦАГИ №03-5883, 1989 г.

45. СелюгинС.В. Об оптимизации балок и рам из упрочняющихся упругопластических материалов. Препринт ЦАГИ № 53, 1992 г., 29 с.

46. Селюгин С.В. Разработка и исследование алгоритмов оптимизации конструкций-мембран из упрочняющихся упругопластических материалов. Препринт ЦАГИ № 83,1993 г., 45 с.

47. СелюгинС.В. Об оптимальных физически нелинейных фермах. Препринт ЦАГИ№. 100, 1994 г., 52 с.

48. Селюгин С.В. Исследование свойств оптимальных физически нелинейных ферм, находящихся в условиях нескольких нагружений. Препринт ЦАГИ № 101, 1995 г., 28 с.

49. СелюгинС.В., Чехов В.В. Условия оптимальности для физически нелинейных сложных конструкций при статическом нагружении. Научно-технический отчет ЦАГИ № 03-679,1995 г.

50. Селюгин С.В. Чехов В.В. Разработка алгоритмов рационального проектирования физически нелинейных сложных конструкций. Научно-технический отчет ЦАГИ№. 03-6737,1996 г.

51. Селюгин С.В., Чехов В.В. Алгоритмы оптимизации физически нелинейных сложных конструкций. Сборник тезисов докладов 3-й Крымской Международной Математической школы, Алушта, 16-23 сент. 1996 г., 39-40.

52. СелюгинС.В. Чехов В.В. Исследование рациональных параметров конструкции силового шпангоута, проектируемого с учетом физической нелинейности. Научно-технический отчет ЦАГИ № 03-6825, 1996 г.

53. СелюгинС.В. Чехов В.В. Исследования по моделированию и рациональному проектированию высоконагруженных агрегатов с учетом физической нелинейности. Научно-технический отчет ЦАГИ No 03-6870, 1997 г.

54. Селюгин С.В. Чехов В.В. Расчет рациональных параметров физически нелинейных конструкций. Труды ЦАГИ, вып. 2632, 1998 г, 85-95.

55. Старокадомская З.М. Симонов В.Г Оптимизация авиационных конструкций на несколько случаев нагружения с применением метода конечных элементов при учете общей потери устойчивости панелей при сжатии. Труды ЦАГИ, вып. 1777, 1976 г, 23-41.

56. Тепеницын М.П., Нератова JT.M. Проектировочный расчет шпангоута самолета. Научно-технический отчет ЦАГИ№ 036082, 1990 г.

57. Теребушко О.И. Основы теории упругости и пластичности. Москва, Наука, 1984 г., 320 с.

58. Уманский А.А. Горбунов Б.Н. О зависимости между нагрузкой, усилиями и геометрическими элементами в стержневых системах. В сб. Рамы и фермы пространственные и плоские. Москва, 1933.

59. Ходж Ф.Г Расчет конструкций с учетом пластических деформаций. Москва, Машгиз, 1963 г., 380 с.

60. Чехов В.В. СелюгинС.В. Условия оптимальности для физически нелинейных сложных силовых конструкций при статическом нагружении. В межведомственном сб. «Проблемы нелинейной динамики», Москва, МФТИ, 1996 г., 79-85.

61. Чижас А.П. Расчет стержневой системы при нелинейном законе деформирования. Литовскии механический сборник, 1970, 1(6).

62. Чижас А.П. К расчету упругопластических упрочняющихся одномерных систем. Строительная механика и расчет сооружений, 1973 г., 2, 16-20.

63. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва, Наука, 1965 г., 424 с.

64. Юрьев К.Д. Весовое качество материалов и конструкций. Москва, Машиностроение, 1994 г., 96 с.

65. Arora J.S. Wu С.С. Design sensitivity analysis and optimization of nonlinear structures. In: Computer aided optimal design: structural and mechanical systems. C.A.Mota Soares, ed. NATO ASI Series F, № 27, Berlin, Springer-Verlag, 1987, 589-603.

66. Bathe K.-J. FE procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall, Englewood, Cliffs, New Jersey, 1982.

67. Bendsoe M.Ph., Sokolowski J. Sensitivity analysis and optimization of elastic-plastic structures. Engineering Optimization, 1987, 11, 31-38.

68. Cardoso J.B., Arora J.S. Variational method for design sensitivity analysis in nonlinear structural mechanics. AIAA J., 1988,26, 595603.

69. Cazzani A., Rovati M. Sensitivity analysis and optimum design of elastic-plastic structural systems. Meccanica, 1991,26,173-178.

70. Choi K.K., Duan W. Shape design sensitivity analysis of hyperelastic solids. In: Abstract Book of the 1st World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization, Goslar, Germany, May 28 -June 2, 1995,255-256.

71. Cinquini C., Contro R. Optimal design of beams discretized by elastic-plastic finite element. Computers & Structures, 1985,20 (1 -3), 475-485.

72. Cinquini C., Contro R. Optimal design of elastic-plastic structures. In: Mota Soares C.A. (ed.). Computer aided optimal design: structural and mechanical systems. Berlin et al. Springer, 1987, 313-353.

73. Cizas A. On optimal design of strainhardening structures. In: Optimization in structural design. Eds. Sawczuk A., Mroz Z. Berlin, Springer, 1975,555-562.

74. Dems K., Mroz Z. Multiparameter structural shape optimization by the finite element method. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1978,13,247263.

75. Dems K., Mroz Z. Variational approach to sensitivity analysis in thermoelasticity. J. Therm. Stresses, 1987, 10 (4), 283-306.

76. Drucker D.C., Shield R.T. Design for minimum weight. In:Proc. 9th Intern. Congr. Appl Mech. Brussels, 1956, v. 5, 212-222.

77. FleuryC. An efficient optimality cri&ria approach to the minimum weight design of elastic structures. Computers & Structures, 1980, 11, 163-173.

78. Gajewski A. Effect of physical nonlinearities on optimal design of structures. In: Physical non-linearities in structural analysis (Hult J. and Lemaitre J., eds). Springer-Verlag, Berlin, 1981, 81-84.

79. Garstecki A., Mroz Z. Optimal design of supports of elastic structures subjected to loads and initial distortions. Meek Struct. & Mack, 1987, 15 (1), 47-68.

80. HaftkaR. Semi-analytical static nonlinear structural sensitivity analysis. AIAAJ., 1993,31, 1307-1312.

81. Kaneko I., Maier G. Optimum design of plastic structures under displacement constraints. Сотр. Metk Appl. Meek Eng., 1981, 27,369-391.

82. Lee S.H. MSC/NASTRAN Nonlinear Analysis Handbook. The Macneal-Schwendler Corp., 1992.

83. Lellep J. Optimization of plastic structures. Tartu Univ., Dept. of Theor. Mech. Tartu, 1991, 192 pp.

84. LevyM. La statique graphique et ses applications aux constructions (IV pt., note 1). Paris, 1874.

85. Maxwell C. Scientific Papers. II. Camb. Univ. Press, 1890, 175177.

86. Michell A.G.M. The limit of economy of material in frame structures. Phil Mag., Ser. 6, 8 (47), 1904, 589-597

87. Mroz Z., Kamat M.P., Plaut R.H. Sensitivity analysis and optimal design of nonlinear beams and plates. J. Struct. Mech. 1985, 13, 245-266.

88. Nakamura Т., Takewaki I. Ductility design via optimum design of nonlinear elastic frames. J. Struct. Eng., 1985, 115, 608-625.

89. Pedersen P., Taylor J.E. Optimal design based on power-law nonlinear elasticity. In: Optimal Design with Advanced Materials, Pedersen P. (ed.). Elsevier Science Publ. B.V. 1993,51-66.

90. SakaM.P. Optimum design of nonlinear space trusses. Computers & Structures, 1988, 30, 545-551.

91. Tsay J.J. Cardoso J.E.B., Arora J.S. Nonlinear structural design sensitivity analysis for path dependent problems. Part II: Analytical examples. Сотр. Meth Appl Meek Eng., 1990, 81, 209-228.

92. Wasiutynski Z., Brandt A. The present state of knowledge in the field of optimum design of structures. Appl. Mech. Rev., 1963, 16 (5), 341-350.