автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Восстановление распределения радиояркости космических источников излучения с помощью преобразований Гильберта

Российская Академия наук

1 h 1333

1 ИНСТИТУТ ЙРИШДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М.В.Кедцыша

lía правах рукописи

ФРОЛОВ ВАЛЕРИЙ АФАНАСЬЕВИЧ

ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЛДИСЙЕКОСТИ КОСМИЧЕСКИ! ИСТОЧНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГИЛЬБЕРТА

УДК 519.6

Специальность 05.13.16 - применение вячислитедьной техники, математического моделирования и математических иатодоз а научных псследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в форме научного доклада -

Ыосква - 1493г.

Работа выполнена в Физическом институте им. П.Н.Лебедева в Институте латосфорн РАН с участком Научно-исследовательского вычислительного центра РАН

Наужннй руководитель: доктор физико-математических наук И.Ф.Ыалов

Офпцкольныа оппоненты: доктор физико-математических наук

Э.А.Витрпчонко,

кандидат физико-шьтематичаскшс наук А.X.Пергамент

Ведущая организация: Госудэрстврнний астрономический институт им. П.К.Штернберга

Защита диссертации состоятся "__ 1993г.

в _ часов на заседания Специализированного совета

Д 002 40 03 Института прикладной математики им. М.В.Колдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская площадь, 4. 0 диссертацией можно ознакомиться в ¿иблиогеке ИПМ.

Диссертация в форме научного доклада разослана ю____1Э93г.

Учений оэкретарь Специализированного совета каадвдаг ф13пхо~математичесхга наук

М.П.Галанпн

Актуальность и постановка задачи. Одна из основных проблем радиоастрономии - восстановление .распределений радиояркости БРЯ £(х) в космическкт источниках излучения при отсутствующей, или измеренной с большими ошибками, фазе функции прост-

ранственной когерентности Г(и) = ! ГЫ1 ыр Г1<р(и)\ _ и -пространственная частота, & - база интерферометра,Л - длина волны наблюдения. При этом £1А к Г(и) - взаимные Фурье-образн. Среди методов получения ЕРЯ в подобной ситуации до недавнего времени наиболее распространенным был метод подбора (модели источника, для которой вычисленные значения модуля 1Пч)\ близки к измеренным. Перебор параметров тополей количество компонентов, их интенсивности, ширины, относительное расположение может быть довольно длительным, а окончательное решение, тем на менее, остается кооднозвачным / 1*, 2*/« В этом смысле рассматриваемая задача является типичной обратной некорректной задачей. Для решения подобных задач школой А.Н. Тихонова предложен метод регуляризации, суть которого состоит в поиске и внесении в условия задачи и в искомое решение некоторой дополнительной априорной информации, переводящей задачу из некорректной в корректную в определенном смысле / 3*/. На примере задачи восстановления в радиоастрономии покажем возможность использования в качестве регуляризирувдего фактора аналитических свойств функции Г(Ч), позволяющих получить дополни-.. тельное уравнение связи ее модуля и аргумента с помощью преобразований Гильберта и информации о ее комплексных нулях. В этом • случае будем иметь / 4* 5* 8 /:

<?(") = С")-»¿ТХои , ( I )

где (р . и ф могут быть получены из соотношений:

'тт 'К ср . (и)..

- главное значение интеграла и смысле Коши,

- комплексные и комплексно-сопряженные нули функции Г(и) в верхней полуплоскости и* комплексной & -плоскости. Последний член в (I) не влияет на форму профиля

и определяет его положение на оси координат х; х0- координата центра тякести профиля /£ (х) .

Вопрос о соотношении влияния "минимальной фазы'"с^ (и)/ <£,,„(£) и "фазы Бланке" ^(Я), Ч&СЕ) на росстаиавливаемые профили Е(х); £ (V) - центральный вопрос т.н. "фазовой проблемы в теории пространственно-временной когерентности", возникшей • в 60-х годах после публикации Э.Вольфа /4-7. До сих пор не найдено надёжной методики определения комплексных нулей или Т„ з практических случаях, когда имеются значения I ГС")| или ! Г(Т)| , изморенные с ошибками в отдельных точках на ограниченном интервале и или Т . С другой стороны, остаются нелс-¡шми границы применимости минимально-фазового решения, т.з. в нулевом приближении по параметру %/(р , . в отдельшх областях исследований.

Целью работы ерлязтся исследование возможностей применимо-

сти минимально-фазового решения в области пространственных частот в радиоастрономии з обратной задаче восстановления РРЯ по космическим источникам радиоизлучения.

Основное содержание исследований.

I. На первом этапе работы был проведён численный эксперимент по восстановлению профилей моделей Ем (>') , близких по форме профилям РРЯ космических источников, которые всегда могут быть представлены гладкими, вещественными, положительными, и ограниченными как по- амплитуде, так и по ширине, функциями. Отметим, что эти характеристики являются дополнительными эффективными факторами, регуляризирукхцими искомое решение в рассматриваемой задаче восстановления, а сам модельный этап исследования аналогичен этапу "квазиреального эксперимента" в. методе ПМНК А.Н.Тихонова /3*/.

По теореме Пэли-Винера фурье-образы ^Хо) подобных функций могут быть продолжены в комплексную плоскость Ы = ¿4: кале целые аналитические функции экспоненциального типа, для коте-' рых справедливы соотношения (2) и (3). Таким образом, получаем возможность сравнения поведения полной (модельной) и минимальной фазы, модельного и минимально-фазового профилей, решая следующие уравнения:

№1 = (Г^с»]^СГм$(й(и)]г/Д ' ; ГО

£

-б-

, 'о*)

г- ГиГг- „ , /<л

уа

Для получения £*т;и0<) использовались оба выражения (2) и (3), Результаты получились аналогичными как для моделей, так в дальнейшем и для конкретных РРЯ источников. В /3/ нами описан метод решнния, в результате которого интегральное уравнение (3) приводится к системе линейных уравнений, легко решаемой численно.

Типичные результаты эксперимента приведены, на рис. 1+3. Нарис.1: 1-экспоненциальная огибающая; (2, 5+14)-суммы гауси-ан; (3, 15)-лоренцовы профили; 16-суюла гаусианы (слева) и пяти лоренцовых огибающих; (4, 17+19)-ступенчатые функции. Справа для некоторых профилей приведены количественные оценки степени близости сравниваемых кривых: максимальное значение функции кросскорреляции К^«^ , среднеквадратичное С и среднее абсолютное & уклонения /8/. Критэриями "хорошего" восстановле ния (сохраняется число компонентов, их относительное положение ширина и интенсивность) могут служить условия: 0,^Д-&ЦЗ.

Отмстим, что визуальная оценка в ряде случаев даёт больше информации, для суждения о качестве эксперимента - см., например зеркально-симметричное восстановление моделей б и 12..

В большинство наиболее интересных случаев несимметричных относительно центра тяжести профиля моделей (типа 5, 9, 10, 13+16, 19) У^,-,, хорошо повторяет характер поведения %

Епня

Рис. I. Примеры минимально-фазового восстановления моделей.

(см. рис.2) и, как следствие, хорошо соответствует^,.

Было отмечено, что первым восстанавливается самый интенсивный •компонент профиля. Это подсказало идею "репера" /в/ - узкого компонента большой амплитуды, вводимого в начало профиля для улучшения восстановления: на рис Л модели 8 (без репера) и 9 (с репером). 1

На рис.2 показан пример влияния конечности интервала задания модуля |Г0-0|на качество восстановления. Результат исследования позволяет предложить итерационную методику для улучшения характеристик восстанавливаемых по-малым фрагментам модуля 1Г(и)| профилей источников и, как следствие, повышения разрешающей способности в интерферометрии с небольшими ¿азами /7/.

Одним из результатов проведённых экспериментов является возможность модельного исследования фазы Блашке без необходимости определения комплексных нулей функции Г(и) /5/. Такая во-

I - ;

оможность следует из уравнения (I :

ЙОЛ- (и) С9)

На рис.3 представлены примеры линейного и нелинейного поведения фазы фурье-образов моделей 5 и 6 рисЛ. По оценкам работы /5*/ функции Г(с-0 моделей, изображённых на рис Л, имеют кули в верхней полуплоскости комплексной ¿1 -плоскости, которые должны были бы существенно сказаться на результатах восстановления. Однако, как правило, этого не наблюдается. Таким образом, можно сказать, что основная информация о характере поведения аргумента функции Г содержится именно в минимальней фаэз, связанной через преобразования Гильберта вида (2)

Рис.2. функция Г(и) (а) и профили Е(х) (б), соответствующие фрагментам модуля | Г"(0-иГр)| .

Рис. 3. Примеры линейного (а) и нелинейного (б) поведения фазы Блашке для двух зеркально-симметричных моделей (профили 5 и 6 на Рис. I).

клн (3) о модулем I ПаО| . Важность этого обстоятельства, подтвержденная на втором этапе исследований, нашла отражена© в названии диссертации и является ключем s поншашш встречающиеся в литературе и в тексте данной работы выражений "минимальная фаза", "нишшальпо-фаэозып профиль", "шшимальпо-фаво-Dufi метод" решения в задаче восстановления. В этом увяом смысле выражения "гильбертова фаза", "гильбертов профиль", "гп-льберт-фазовый иетод" являются адентнчншн вышеприведенный, я, возможно, были бы более удачными.

2. На Еторил этапе работы проводились эксперименты по восстановлению профилей РРЯ косштаееетх редиоисг'очшжов. На риз.4 приведены профили некоторых источников, восстановленных по данным о модуле |Г(л01 из каталога Фомалона /Í /, в которое имеются данные и о фазе фуизцнп ввдпостп Г (и) , а такав профили Е (9) , восстановленные фурье-инверснеЕ экспериментальных данных (£р.$) п методом подбора . Это позволило провести сравнительный анализ трех мотодов восотановлешш, описанный в //9.20 /. Здесь отаетсм только, что eco основные особенности иинЕкалыю-фазового ыэтсда МФМ , отазечопяш прп восстановлении моделей, проявились п прп восстановлении профилей космических источников. При ятоа в целей наблодазтея зорошьа взатгаоо соответствие гюсстаясвлэштх тремя методами профЕлаЕ. В ряде случаев ¡№J показывает бодьшув чувствительность в точность в восстановления тонкой структуры профилей, что подтверждается сравнением с двумерными картами радаояр-костн источников pzc.4,6 .

Ka рис.5 приведены результаты восстановления профилей не-

-н-

z ап<ое.еЬ»

а: б -¡1 '■

ЗСЗ*

б а

Р00'У5-25"

РОВ {9-20

30331

ЗС135"

УчбйТо

<о

зсмзо

Рис.4. Примеры минимально-фазовых распределений радиояркости космических источников на частоте 1425 МГц.

-лг-

ЭС338

лпш^ки о 1.Х 5 4 5 Х/О»

О,ос

О !«» $000 »«в <<9К> Я>0« 40»

! С Б

1

•г^ги

Рис.5. Кинкыально-фазовые профили £(х) и функции Г(и) для некоторых источников (объяснения в тексте).

которых источников /5,12, 15"/ в зависимости от условий, с-которыми приходится иметь дало на практике: а)- количества отсчетов^ 29, 15, 11, 8) модуля IГ | на интервала частот (0 * + 7000) Л ; б)- фрагментов модуля ¡Г(и)[, взятых на четырех интервалах (о + Ьгр") , указанных цифрами С 1 - 1У) на (в) (ср. с рнс.2) ; г) - способа интерполяции кривой ¡Г(и)|, указанном цифрами на (д); е)- о набок измерения модуля | Г) . В измеренный модуль пространственного спектра источника РО 349-27 при численном счете методом «лучаЯной ЕЫборки бшш введены ошибки со срвднеквадратичнниз отклонения:«! ¿Г =0,02; 0,05; 0,07. Крестиками показаны значения Е(в) для б =0,02, близкие к значениям Е (9) при б* =0.

Особенно наглядно достоинства М4М проявляются При работе с данншн интерферометра интенсивностей, в котором фаза функции видностн не измеряется в принципе. 1Ш позволяет найти "утерянную" фазу в квадрата модуля |Г1г=ГГ*л использовать ее для восстановления профиля источника. На рис.6 изображена восстановленные тажш цвтодогл РРЯ космических радиоисточников 1ебедь-А и Кассиопэя-А, не противоречащие современна данным (111 .

Результаты проведанных исследований можно воплотить в схему универсального измерительного автоматизированного комплекса -минимально-фазового пространственно-временного интерферометра (рис.7), позволявшего получать распределения интенсивности источников излучения по пространственным координатам £"(*} к временным частотам Е(^)(1Ч,1б1 . Схема представляет собой сов-' чещенный вариант радноаяалогов интерферометров Майкельеока и Юнга,

^»nlrt

S \

1 6 V

/ << N.

J 2 \ jn . е JK irt——Г..-1.

Jcco

""low JOM ban I*- о J<00 300 12ОН Ыво

Рис.б, Функции lm;n(u) и Е№;„(б) » восстановленные по данным интерферометра интенсивностей, для источников X 405 (Суд . А) (а) и ЗС 461 (Cc/SA) (б) на частоте 127 МГц.

а г—

"Uer

А.И-

j4.

л

н

■j

1г1 . j emioiiij

"1.

iopJL

Т'

„I

ЭВМ

Рис. 7. Схема пространственно-временного минимально-фазового интерферометра

3. Б работе //8/ мы предлозили метод решения фазовой проблемы, обходящгй вопроси, связанные с использованием логарифмического преобразования Гильберта вида (2)/3). Воспользовавшись связы) Rc Г и От Г через преобразования Гильберта в обычной форме, на основании соотношений (5) г (7) приходим к четырем интегральным уравнениям типа:

<P(U) = О а de, Г211 С , ¡1 Щ

Т 4^1 u*J Re rw j

Определяются Re Г пли Г по известным |ГМ1 пли •

На рис.8 приведены все представления комплексной функции когерентности Г(Ч) для двух моделей. Рисунок иллюстрирует однозначную связь между компонентами

»Tlirt . r«. г; Зт г.

Эта связь выражается соотношениями (2) ,(.3) ,(5),(6) ,(7) ,(10), (П) • •

Разложение искомой функции по ортогональным полиномам приводит уравнение типа (10) к системе L +1 уравнения третьего порядка относительно' искомых коэффициентов разложения. Анализ, проведенный для ряда типичных моделей, показал, что L^ 10.'На рисунке 8 крестиками обозначены результаты аппроксимации ReF десятью членема разложения по полиномам Леяандра (а") и 10 членами ряда Фурье {&).

Р и с. 8. Компоненты фурье-образа Р(и) для моделей :

£.(*) = ехр/Чх-з)*] Е(х)=£Х^>м)>о^ар[-(х41 (О

Основные выводы н положения, выносимые на защиту.

1. Получены двумя методами минимально-фазовна решения в задаче определения фазы функции видности по ее модуле в последующего восстановления распределений радиояркости в космических источниках излучения.

2. Проведен сравнительный анализ результатов восстановления РРЯ хосмических источников тремя методами - фурьв-инвэрсивй ' измеренных данных о функции ГС 1-0 С"главное решение"'), подбором (и н МФМ. На конкретных примерах показана эффективность М<Ш в задаче восстановления реачьных РРЯ по фрагментам модуля функции видности, представленным ограниченным числом неравномерных дискретных отсчетов, отягощенных шумами .

3. Еа конкретных примерах РРЯ космических источников показана возможность восстановления аргумента функции Г (и) и профилей В(х) по данным интерферометра интенсивностей, пропорцво-

-172,

нальни/. | Г(м')1 •

4. Показана принципиальная возможность решения фазовой проблемы с помощью использования связи через преобразования Гиль-борта меаду вещественной и мнимой часть® функции гм.

В целом, на конкретном примере минималыго-фазового решения обратной задачи восстановления в радиоастрономии показана эффективность использования аналитических свойств фурье-образа искомой финитной функции в качестве фактора, регуляризирующего получаемые решения.

Степень новизны, натчное и практическое значение работы. Основные результаты исследований, выносимые на защиту, получены впервые. Впервые проведено систематическое исследование воЕмояностей применения минимально-фазовых решений в конкретной области науки - радиоастрономии. Исследование проведено на мо-. долях и реальных распределениях радиояркости. Полученные результаты позволяет ввести в радиоастрономию новый эффективный метод решения важной задачи - получения распределений интенсивности излучения по космическим радиоисточникам. С помощью этого нового -"минимально-фазового" или "гильберт-фазового" -метода успешно восстанавливаются РРЯ по одному надежно измеряемому интерферометрами с переменной базой параметру - модулю или квадрату модуля функции пространственной когерентности. Метод использования гильбертовой фазы обладает рядом уникальных достоинств, позволяя достигать "сверхразрешения" в интерферометрии, определять неизмеряемую в принципе фазу в кнтер-

фврометрах интвнсивностей или неизмеряемую в силу технических сложностей фазу в существующих схемах амплитудных интерферометров в пространственных и временных областях - причем, определять фазу по достаточно малым фрагментам модуля функции когерентности, измеренного с небольшим набором баз (т.е., с небольшим количеством отсчетов) , отягощенного ошибками измерений.

МФМ могет применяться как самостоятельно, так к в комплексе, например, с методами подбора или максимальной энтропия / 2*/ , для которых полученные профили E^i-n могут служить в качестье исходной модели. Это упрощает и ускоряет получение надежных результатов в случаях сложных многокомпонентных РРЯ. Вопросы о порядке следования компонентов в профиле н определения координат источников можно решить из дополнительных экспериментов.

Предложенная схема минимально-фазового интерферометра позволяет в значительной степени автоматизировать наблюдения космических источников в пространственной и временной областях с привлечением вычислительной техники. Это унифицирует, ускоряет в удешевляет эксперимент и должно привести к существенному повышению достоверности получаемой информация.

Новым результатом является полученная нами форма базовых выражений преобразований Гильберта (2) и(3)с улучшанной сходимостью за счет повышения степени разности частот в знаменателе.

Впервые получена система интегральных уравнений типа (10) а (11) и сформулировано предложение об использовании этой системы уравнений для корректного решения фазовой проблемы.

Новыми результатами являются модельный метод исследования фазы Блашг.е, метод использования репера для улучшения качества

Еосстановленття, а так яе итерационная методика, предложенная , для повышения разрешающей способности интерферометров и улучшения качества восстановления при использовании небольших баз.

Рассматриваемая задача восстановления относится к классу обратных задач. Результаты проведенных исследований полезны в тооретическом и практическом аспектах в качестве одного из но-ешс подходов к решении этого класса задач; они полезны также для таорчн и практики использования преобразований Оурье и Гильберта в пространственной а временной областях в разных разделах наука я техники - в голография, томографии, фурье-спектроскопйи п др.

В целом работа моает быть полезна при обосновании принципов передачи, распространения, приема, преобразования и обработки информации. Известно, что использование некоторых идей, на которых базируется фазовая проблема ( например, принципов причинности л аналитичности), приводит к существенному пересмотру, уточнении л обобщению основных понятий радиофизики л радиотехники, теории тголебанпй / б*( .

Личный вклал. В работе отраден период исследований 1965 -- 1985гг. Автор непосредственно участвовал в установке, наладке и наблюдениях на первом в стране радиоинтерферометре с ретрансляцией метрового диапазона волн на Радиоастрономической станции Физического института им П.Н.Лебедева РАН в 1965 -1975гг. / { + 71 В начале 70- х годов возникла идея извлечения информации о фазе из модуля функции видности, получаемого

из измерений на инструменте | б |. Автор разработал и организовал программу исследований применимости минимально-фазового метода в радиоастрономии. Расчеты на ЭВМ осуществлялись в сотрудничестве с И.Г.Косаревым (ОИЯИ), А.А.Гальченко и Л.Ф.Моге-льницкой (НИЩ РАН) . Большая часть работ по анализу результатов расчетов и подготовке материалов исследований в печать выполнена под руководством и в соавторстве с доктором физико-математических наук И.Ф.Маловым. Своему руководителю и всем участникам совместных исследований автор считает свочм долгом выразить глубокую благодарность.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации докладывались на 7, 8, 14 и 17-й Всесоюзных конференциях по радиоастрономии (Горький, 1972г.; Пущино, 1975г.; Ереван, 1982г., 1985г.), на Всесоюзной конференции молодых астрономов, посвященной 250-летию АН СССР (Ленинград, 1974г."), на сессии Международного астрономического союза (Триест, Италия, 1974г.), на 1 Международной школе по автоматизации научных исследований (Пущино, 1982г^ на научных семинарах институтов РАН: ФИАН хм. П.Н.Лебедева, ИПМ им. М.В.Келдыша, ИЛСАН, НИВЦ х др. организациях - и опубликованы в 20 печатных работах, которые приводятся ниже.

1. Влткевич В.В., Добыт Г.И., Артюх B.C.', Дагкесамаяскхй Р.Д., Извеков Б.К., Суходольский С.А., Фролов В.А. Некоторые результаты наблюдений радиоистотанков с интерферометром о ретрансляцией на волне 3,5м. - В кн.: Пути развития я послед-нхе достижения в области радиоастрономических исследований: Тез. докл. У11 Всесоюзной конф. по радиоастрономии, Горький,

1972, с.9.

2. Виткевнч В.В., Добыз Г.И., Артюх B.C., Дагкесаманский Р.Д., м Извеков Б.К., Сухододьский С.А., Фролов В.А. Первые результаты игчерений на радиоинтерферометре с ретрансляцией метрового диапазона = 3,5м. . - Радиофизика, 1973, т.16, й 9,

с. 1320-1324.

3. Добнш Г И., Илясов Ю.П., Извеков Б.К., Солодков В.Т., Сухо-дольскчй 0.А., Фролов В.А., Щербинин В.Я. Радиоинтерфврометр на частоте 85,5 МГц с ретрансляцией. - Радиофизика, 1973,

т. 16, JS 12, с. 1853-1856.

4. Володин Ю.В., Дагкесаманский Р.Д., Извеков Б.К., Суходольс-кий С.А., Фролов В.А. Исследование структуры внегалактичес ких радиоисточников на волне 3,5м. - Тез. докл. Всесоюзн. конф. молодых астрономов, поев. 250-летию АН СССР, Л., 1974, с.23-24.

5. Votodih ЗиУ^ J)aqkesaman$KÎi RE, LosovSKÙ

. ß.%., SuKhodo^SKii 5 Av RoCov V. A. 3iwesti-gaicûn oÇ -the sixuetute o{ ех-1гадаСасйс. iu-cilo jouxces ai 3.5m - /Hem Soc. aslion. Jiaг., I974, <f.4S, Aft 3-4, p 603-606

6. Фролов В.А., Болодин Ю.В. О сохранении информации о фазе в интерферометре интенсивностей. - Тез. докл. 8 Всесоюзн. конф. по радиоастрономии, Пущино, 1975, с.163.

7. Васильев М.Ю., Володгн Ю.В., Губанов Г., Дагкесаманский Р. Д., Дагкесаманская И.М., Добыш Г.И., Иванов В.В., Извеков Б.К., Суходольский С.А., Фролов В.А. Наблюдения радиоисточни-

ков на радиоинтерферометре метрового диапазона с переменной базой. - М., 1976. - 41с. (Препринт/ШАН: физика коцлоса, JS 179) .

8. Косарев И.Г., Малов И.Ф., Фролов В.А. О восстановлении распределения радиояркости с помощью преобразований Гильберта. - М., 1980. - 20с. (Препринт/ФИАН: физика космоса, Js SO) ,

9. Гальченко A.A., Малов И.Ф., Могильницкая Л.Ф., Фролов В.А. О роли фазы Бланке при восстановлении распределении радиояркости. - Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1932, ¡5 2, о.8 - 12.

10. Гальченко A.A., Малов И.Ф., Могильницкая Л.Ф., Фролов В.А. О степени близости минимально-фазовых профилей модельным.-Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1982, ß 9, с. 23 - 29.

11. ГальченкоА.А., Малов И.Ф., Могильницкая Л.Ф., Фролов В.А. Минимально-фазовое восстановление распределения раднояркостп по сигналу на выходе интерферометра интенсивностей. - Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1982, й 2, с. 24-28.

12. Косарев И.Г., Малов И.Ф., Фролов В.А. О восстановлении распределения яркости по фрагментам модуля его фурье-обРаза' ~ Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1982, й 7, с. 15-20.

13. Малов И.Ф., Фролов В.А. О восстановлении распределения яркости по источнику с помощью преобразований Гильберта. -

Тез. докл. 14 Всесоюзн. конф. по радиоастрономии, Ереван, 1982, с. 339.

14. Гальченко A.A., Малов И.Ф., Могильницкая Л.Ф., Фролов ¿.А. Измерительный автоматизированный комплекс для определения пространственных и временных профилей источников излучения. - Тез. докл. 1 Международн. школе по автоматизации научных

исследовачиЗ, Пущнно, 1982, с. 36-37.

15. ГальчешсоА.А., Малов И.Ф., Могильницкая Л.Ф., Фролов В.А. Минимально-фазовые распределения радиояркости космических источников. - Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1984, № 3, с. 11-15.

16. Малов И.Ф., Фролов В.А. Минимально-фазовый пространственно-временной интерферометр. - Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1985, » 7, о. 8-11.

17. Малов И.Ф., Фролов В.А. Применение минимально-фазового метода в радиоинтерферометрии. - В кн.: Радиоастрономическая аппаратура: Тез. докл. 17 Всесоюзн. конфер. по радиоастрономии, Ереван, 1985, с. 351.

18. Малов И.Ф., Фролов В.А. Использование связи вещественной и мнимой частей комплексной функции когерентности в решении фазовой проблемы. - Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1985, № 12, С. 44-48.

19. Малов И.Ф., Фролов В.А. О возможности получения стрип-расп-роделения яркости радиоисточников минимально-фазовым методом. - Астрофизика, 1987, т.26, № 2; о. 351-361.

20. Малов И.Ф.', Фролов В.А. Сравнение трех методов восстановления профилей космических радиоисточников. - Кр. сообщ. по физике ФИАН, 1986, Д 9, с. 3-5.

Цитируемая литература

i. F о та don I £.В. The. eaisi -we.si situcéuze ef la-dtо sources ai 142S МНг. ~ Asinophys yowin.

"Suppí si-i.^ssg; VAS, v* m, р. 1оъ~11ч.

2. Построение изображений в астрономии по функциям когерентности / Под ред. К. Ван Схонвелда. - М.; Мир, 1982. - 320о.

&

3. Тихонов А.Н. Об обратных задачах. В кн.: Некорректные задачи математической физики п анализа. Новосибирск, Наука, 1984, с. 161-171.

4*.\Jotf Е. h Q compCcíe deieiminaiLon o^-lke. e.neigy spe.cíium of¡ -¿¿gAl possií£e. footn mt~ ctsuiimenís of ¿he. с/еугее. cohenгпсг.? -Pao с phyf. soc.(í-Ondon)l f v. 20, p. /269-/2 72 .

5?. IVunemivzíg H M. Phcist рюв^ем cohtitnni í heoay .-^jou-ги. malheibaL. pU^sLcS-j (96?, v.8, Afi 3, p.S-(,1-S"?2.

6. Вакман Д.Е., Вайнштейн Л.А. Амплитуда, фаза, частота - основные понятия теории колебаний. - Усп. физич. наук, 1977, т. 123, вып. 4, с. 657-682.