автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Влияние перекоса на распределение нагрузки в зубчатом зацеплении и между сателлитами в планетарной зубчатой передаче

о

На правах рукописи! \ УДК 621.833 \\

НАХАТАКЯН Филарет Гургенович

ВЛИЯНИЕ ПЕРЕКОСА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ В ЗУБЧАТОМ ЗАЦЕПЛЕНИИ И МЕЖДУ САТЕЛЛИТАМИ В ПЛАНЕТАРНОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧЕ

Специальность: 05.02.18 - Теория механизмов и машин 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата Технических наук

Москва 2009 г.

003460888

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии Наук Институте машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (ИМАШ РАН).

Научные руководители: Лауреат Государственной премии СССР, заслуженный деятель науки и техники Российской федерации, доктор технических наук, профессор

1 Айрапетов ШЦ (ИМАШ РАН) доктор технических наук Косарев О.И. (ИМАШ РАН)

Официальные оппоненты:

Заслуженный деятель науки Российской Федерации и Удмуртской Республики/доктор технических наук, профессор Гольдфарб В,И.

доктор технических наук, профессор Павлов В.Г.

Ведущая организация - ОАО "Калужский турбинный завод" (г. Калуга)

■

Защита диссертации состоится "26" февраля 2009 г., в четверг, в ...... часов на

заседании диссертационного Совета Д002.059.02 в Учреждении Российской Академии Наук Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН по адресу: 101990, г. Москва, Малый Харитоньевский пер., д.4.

(е-та11:ЬЛ.рау1оу@таН.ги)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМАШ РАН по адресу: Москва, ул. Бардина, д.4.

Автореферат разослан "^У^^у'Л 2009 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д002.059.02 / . Л

доктор технических наук, профессор //[ Б.И. Павлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Планетарные передачи имеют ряд неоспоримых достоинств по сравнению с рядными (переборными) передачами, что способствовало их широкому применению в ряде отраслей промышленности, начиная от авиации, судостроения и кончая общемашиностроительными отраслями.

Существующие методы расчета на усталостную прочность зубчатых зацеплений основываются на введении условной удельной расчетной нагрузки, которая теряет физический смысл в условиях начального неприлегания боковых поверхностей зубьев, вызванного перекосом. Тем более она теряет смысл в зубчатых зацеплениях с продольной модификацией, когда нагрузка локализуется в пределах незначительной площадки контакта. Поэтому представляется целесообразным отказ от условной удельной нагрузки и переход к реальным контактным давлениям.

Изгибная деформация зубьев существенно влияет на параметры контакта зубьев (размеры площадки контакта, уровень контактных давлений), причем это влияние различно: при локализации нагрузки на торце или в среднем сечении зубчатого венца. Так, уровень контактных напряжений на зубьях колес зависит не только от погрешностей изготовления и монтажа и деформации элементов передачи, но и от податливости собственно зубьев колес. Например, неравномерная по длине зубьев их изгибная деформация частично компенсирует перекос между зубьями. Поэтому представляется актуальным дальнейшее развитие исследований по учету изгибной деформации зубьев при перекосе.

Одним из ответственных узлов планетарных передач, лимитирующим срок их безаварийной работы, являются также зубчатые соединения (муфты). Характерным условием работы зубчатых соединений с прямо- и криволинейной формой образующей зубьев являются погрешности взаимного расположения осей соединяемых валов- смещение и перекос, '*

которые нарушают идеальные условия контактирования зубьев и приводят к перегрузке контактирующих поверхностей.

Многолетний опыт эксплуатации зубчатых муфт показывает, что основная причина выхода из строя (80-85 %) зубчатых муфт - контактные разрушения, происходящие на зубьях и шлицах и приводящие к необходимости заменять всю муфту. Следовательно, в зубчатых муфтах при их стандартном исполнении нарушается принцип равнопрочности, так как наиболее слабый элемент муфты (зубья, шлицы) выходит из строя раньше, чем другие ее элементы (валы, втулки, обоймы), и поэтому он лимитирует срок службы всего узла в целом, также нерационально используется материал.

В таких условиях актуальным является совершенствование методов расчета нагруженности элементов муфты и поиск конструктивных и технологических мероприятий, обеспечивающих принцип равнопрочности по контактным напряжениям на зубьях и изгибным напряжениям в других элементах муфт. Например, повышая изгибную податливость элементов муфт (в частности обода), удается повлиять на снижение уровня контактных напряжений на поверхностях зубьев, что в результате приведет к обеспечению принципа равнопрочности, повышению долговечности муфты в целом и к более рациональному использованию материала.

Такие вопросы, как корректный учет динамических процессов, происходящих при входе зубьев в зацепление и износ трущихся поверхностей зубьев зубчатых колес с учетом геометрических, точностных и кинематических параметров прямозубых передач, также нуждаются в дальнейшем развитии в силу отсутствия общих методов расчета.

Настоящая работа посвящена решению названных выше проблемных вопросов, чем определяется ее актуальность.

Дель исследования. Совершенствование методов расчета нагруженности элементов планетарных зубчатых передач с целью повышения точности их расчетов на прочность за счет учета влияния на нее

различных факторов: перекоса, вызываемого технологическими погрешностями изготовления и монтажа; продольной модификацией зубьев. Эта цель определяет необходимость решения следующих задач, которым и посвящена настоящая работа:

1. Расчетная и экспериментальная оценка контактных деформаций зубьев колес при перекосе боковых поверхностей.

2. Расчетное определение коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубьях муфт и зубчатых колес и оценка влияния изгибной деформации зубьев на параметры контакта с учетом перекоса.

3. Развитие методов расчетной оценки напряженно- деформированного состояния зубчатых соединений (муфт) при различной геометрии боковых поверхностей зубьев с учетом податливости обода и перекоса.

4. Обобщение квазистатической теории удара твердых тел Г.Герца для расчетного определения силы удара при входе зубьев в зацепление, в том числе и для многопарных передач зацеплением.

5. Расчетная оценка по распределению нагрузки по параллельным потокам мощности в планетарной зубчатой передаче.

6. Разработка рекомендаций по расчету на прочность элементов планетарных передач как основа улучшения их эксплуатационных характеристик.

Общая методика исследования основывалась на общих методах теории механизмов и машин, теории упругости и строительной механики и выполнены в рамках общепринятых допущений и заключалась в теоретическом решении рассматриваемых вопросов с последующей экспериментальной проверкой.

Достоверность_полученных результатов подтверждается

удовлетворительным соответствием полученных результатов теоретических исследований с экспериментальными данными, при этом использовались как результаты специально поставленных экспериментов, так и проведенных другими авторами.

Научная новизна работы заключается в:

разработке аналитического метода определения коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубьях муфт и зубчатых колес и оценке влияния изгибной деформации зубьев конечной длины на параметры контакта зубьев при перекосе;

развитии метода расчетной оценки контактной деформации и напряжений зубьев с учетом перекоса;

- развитии метода расчетной оценки нагруженности зубчатых соединений (муфт) при различной форме боковых поверхностей зубьев с учетом податливости обода и перекоса;

- развитии метода расчета статической нагруженности многопарных передач зацеплением и сателлитов, основанный на раскрытии статической неопределимости упругих систем с односторонними связями;

- развитии квазистатической модели удара твердых тел Г.Герца применительно к динамической нагруженности многопарных передач зацеплением с учетом особенностей контактного взаимодействия зубьев при перекосе;

- экспериментальном определении методом топографической интерферометрии контактной деформации роликов при различной геометрии образующей.

На защиту выносятся научные положения:

1. Результаты теоретических и экспериментальных методов исследования контактной деформации зубьев колес при различной форме их боковых поверхностей с учетом перекоса;

2. Аналитический метод определения коэффициента концентрации изгибных напряжений по длине зубьев ограниченной длины при перекосе и учет влияния изгибной деформации зубьев на параметры контакта.

3. Методика расчетной оценки напряженно- деформированного состояния зубчатых соединений (муфт) при различной форме боковых поверхностей зубьев с учетом перекоса.

4. Теоретический метод расчета ударного взаимодействия зубьев при входе их в зацепление.

5. Расчетный метод оценки статической нагруженности многопарных передач зацеплением.

Практическая ценность работы заключается в:

- расчетной оценке напряженно- деформируемого состояния зубчатых зацеплений планетарных передач с учетом перекоса;

- расчетной оценке нагруженности зубчатых соединений (муфт) с учетом податливости обода и перекоса;

- разработке методических рекомендаций по расчету на прочность зубчатых зацеплений и зубчатых соединений (муфт) планетарных передач;

Внедрение работы. Основные результаты работы легли в основу разработанных с участием автора методических рекомендаций по расчету на прочность цилиндрических и конических зубчатых передач и зубчатых муфт:

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования к расчетам на прочность зубчатых передач. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования и методы расчета на прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых передач. Р54-285-90. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Метод расчета на прочность конических прямозубых эвольвентных передач. - М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Метод расчета на прочность зубчатых муфт. P54-3I3-90, М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

По результатам исследований получены авторские свидетельства на изобретения:

- A.C. 178 83 64. Прямозубая цилиндрическая передача (в соавторстве). Заявка №4824286 от 07.05.90. Зарегистр. 15.09.92г.

- A.C. 1781477. Способ снижения уровня вибрации подшипника качения (в соавторстве). Заявка № 4907999 от 05.02.91г. Зарегистр. 15.08.93г.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались: на республиканской научно- технической конференции "Проблемные вопросы создания средств вибрационной техники для использования в различных технологических процессах машиностроительной отрасли Узбекистана", г. Ташкент, 1990 г.; на всесоюзной научно- технической конференции "Зубчатые передачи: Современность и прогресс", г. Одесса, 1990 г.; на научно- технической конференции "Автоматизированное проектирование механических трансмиссий. САПР—МТ", г. Ижевск, 1990 г; на междунар. научн.- техн. семинара, "Автоматизированное проектирование механических трансмиссий. САПР—МТ", г. Ижевск, 1991 г.; на пятом научном симпозиуме "Теория реальных передач зацеплением", г. Курган, 1993г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 26 печатных работах, получены два авторские свидетельства на изобретения.

Структура н объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав и заключения, а также списка литературы, включающего 89 наименований. Работа изложена на 156 страницах машинописного текста, имеет 28 рисунков и 19 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы проблемные вопросы, нуждающиеся в дальнейшей разработке и развитии, показана научная новизна, практическая значимость работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дан краткий обзор типовых схем планетарных зубчатых передач. Приведены типовые расчеты их нагруженности.

Исследованию нагруженности планетарных зубчатых передач посвящены работы В.Н.Кудрявцева, Ю.А.Державца, М.Д.Генкина, Э.Л.Айрапетова, О.И.Косарева, В.И.Апархова и других. На основании выполненного анализа существующих методов расчета отмечается, что они позволяют в основном рационально проектировать высокоскоростные тяжелонагруженные

планетарные редукторы. Однако дальнейшее совершенствование конструкций планетарных редукторов, повышение срока их безаварийной работы возможны лишь на основе уточнения методов расчета их нагруженности и усталостной прочности. Для совершенствования методов расчета нагруженности элементов планетарных зубчатых передач с целью повышения точности их расчетов на прочность за счет учета влияния на нее различных эксплуатационных и технологических факторов сформулированы задачи, решению которых посвящена диссертация.

Во второй главе приведены результаты теоретических исследований нагруженности зубчатых зацеплений. Исследованы контактная и изгибная деформации зубьев при перекосе.

Проблема заключается в определении контактной деформации зубьев при произвольной их геометрии и взаимном положении. Как правило, зубья колес при линейном касании зубьев в зоне контакта моделируются цилиндрическими параболоидами, и параметры контакта- напряжения и ширина площадки контакта определяются из решения классической контактной задачи Г.Герца. Что касается контактной деформации сжимаемых цилиндров, Г.Герц не привел формулы для ее определения. Для решения проблемы проф. Э.Л.Айрапетовым высказано предположение, что для контактирующих тел ограниченных поперечных размеров в глубине их существует неподвижная, так называемая "базовая" точка, координата которой сама зависит от сжимаемой силы. Это позволило получить зависимость для определения контактной деформации сжимаемых цилиндров. С целью проверки гипотезы о наличии "базовой" точки и вытекающие из нее результаты, в работе проведены экспериментальные исследования методом голографической интерферометрии контактных деформации цилиндрических роликов (стальных и изготовленных из оргстекла) вдоль диаметра. Анализ результатов показал, что модель "базовой" точки не противоречит имеющимся экспериментальным и расчетным данным. На рис.] приведено сопоставление расчетных (линии) и

экспериментальных (точки) данных. Как видно из рис.1 результаты находятся в удовлетворительном соответствии, что говорит о правильности находятся в удовлетворительном соответствии, что говорит о правильности теории.

Рис. 1 .Сопоставление расчетных (линии) и экспериментальных (точки) данных

Однако, ограниченная точность изготовления и монтажа зубчатых колес совместно с упругими деформациями элементов передачи приводят к начальному неприлеганию зубьев (перекосу), и исключают возможность использования решения контактной задачи Г.Герца для определения параметров контакта. Отсутствие точного решения неклассической контактной задачи о сжатии цилиндров с непараллельными осями, предопределило поиск приближенных решений этой задачи.

В результате теоретических исследований получены зависимости для определения: контактных напряжений, деформаций и коэффициента угла перекоса соответственно-

аг=Кг -а,

Г 1¥Г=КГ.ЩНо;

\гп

К =1 + 0,651 ^

; где- у - расчетный угол перекоса;

Получена одночленная зависимость статической характеристики, которая ниже будет использована для определения силы удара при входе зубьев в

Рис.2. Контактная удельная нагрузка

зацепление в следующем виде:

(о

или

а = \Уг =ЬР"°

(1а)

где : !УН = 4'05^ - контактная деформация зубьев при номинальном (при • Ь„Е

отсутствии перекоса) их контакте; К = 1 + 0,65

Кг

Ч^тах ^

%

- коэффициент

угла перекоса; Дтм - расчетное максимальное значение контактной деформации, Дтах=23,18Л([стн]/£)2 , [ан] - допускаемые контактные

напряжения, (для стальных зубчатых колес Дтах=10мкм);

( киэ I

параметр контактной

п, =1-0,4

/ Ч0,07в

Ьу

V ^ тах

Ъ = Д''""К

" "шах ^тах

Ь Е

\ V/

податливости зубьев; у - расчетный угол перекоса между боковыми поверхностями зубьев (будет определен ниже).

При наличии продольной модификации зубьев можно воспользоваться результатами решения пространственной контактной задачи теории упругости, для которой определены все параметры контакта. Сложность практического использования этих зависимостей заключается в том, что в них под знак радикала входит сумма (А + В) главных кривизн, а табулированные числовые коэффициенты зависят от отношения этих кривизн в неявном виде. В связи с этим в работе для зубьев с продольной модификацией получены следующие эмпирические формулы для параметров контакта:

где а, Ь - большая и малая полуоси контактного эллипса; Р0 -максимальное давление; 8- сближение зубьев; 2 А, 2В- — суммарные

материалов контактирующих зубьев; к = 2В.

Исследованию напряженно- деформированного состояния зубьев при изгибе посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных авторов: Mac Gregor С., Wellauer E.I., Seirag А., К.И. Заблонский,

аналитических зависимостей для учета конечных размеров зубьев, а также влияния изгибной деформации зуба на параметры контакта.

Основываясь на дискретно- континуальной модели зуба, из которой следует идентичность функций влияния по изгибным перемещениям и напряжениям, в работе разработан аналитический метод по определению

i ^

кривизны тел в главных нормальных сечениях ; т\- параметр упругости

Э.Л.Айрапетов, О.И.Косарев и др. Однако в них не приведено

коэффициента концентрации изгибных напряжений по длине зубьев. Указанная модель позволила учитывать конечные размеры зубьев и определить влияние изгибной деформации на контактные напряжения.

Согласно этой модели зуб в продольном направлении деформируется подобно балке на упругом основании. Задача об изгибе балки на упругом основании решена у Тимошенко для бесконечной и полубесконечной балки при произвольной нагрузке. Что же касается для балки конечной длины, то у него рассмотрены лишь частные случаи- для симметричной нагрузки (например, сосредоточенная сила посередине балки и т.д.). В связи с этим в работе, предварительно, аналитически решена задача об изгибе балки

Тгтт>. X

и г 1 шнжт.» II

Рис.4. Балка на упругом основании

конечной длины на упругом основании для произвольной нагрузки, после, для полученных зависимостей подобраны простые приближенные расчетные

формулы.

В результате получена следующая зависимость для определения коэффициента изгибных напряжений на зубьях по их длине :

кЛ*)~ КАП = [*.(«)-*. (О] • 0 - Г)'"'-™;

где: ^(ОИ+О(7540б/)о-3(К/-1)"' ^(0=1-2,71 3(/й)-°>7г(Я,-1)'4 - суть коэффициенты концентрации изгибных напряжений на торцах зуба при х=0 (точка начального контакта зубьев ) и х=1 соответственно; х = х/1 -безразмерная текущая координата по длине зуба в долях длины I; показатель степени определяется: п{Кг,р-1)=\+й$>29{Кг-\)"г \ ^-коэффициент

концентрации контактных давлений; здесь п, = 0,34 (уЗ/)0'5; п1 = 1,22 {р1)'г-3; «з = 0,84 (/?/)0 ';При Р1=3, что справедливо для большинства типоразмеров зубчатых колес, эти зависимости упростятся:

Рис.5. Сопоставление расчетных (линии) и экспериментальных (точки) данных

*,(<)) = 1+ 1,05 К,{1) = 1-1,23(К, -1)

"(£,,/70=1+0,029(Я, -1)' ".

0,09;

Для проверки достоверности полученных зависимостей, на рис.5 приведено сопоставление расчетных (линии) и имеющихся в литературе экспериментальных (точки) данных (ЭЛ.Айрапетов, О.И. Косарев). Модели зуба с прямолинейной образующей имели параметры: модуль ш=6 мм, число зубьев г=20; ширина зуба Ь=20 мм нагружались усилием Р=12 кгс при углах взаимного контактирования зубьев втулки и обоймы /=1,0°; 0,5°; 0,25°; материал оргстекло Е=2,7*104 кгс/см3 . Как видно из рис.5 результаты находятся в удовлетворительном соответствии, что говорит о правильности предложенного метода.

При определении параметров контакта необходимо учесть деформативную составляющую угла перекоса между образующими зубьев в продольном направлении. Вследствие неравномерной по длине зубьев их изгибной деформации из-за переменной податливости по длине, частично компенсируется перекос между зубьями, а это в свою очередь влияет на уровень контактных давлений.

С помощью предложенного в работе метода получена аналитическая

Рис.4. Неполное прилегание зубьев при перекосе

зависимость для расчетной оценки деформативной составляющей угла перекоса в следующем виде:

Г--1-1

Уд!Ут= 0,50б(/3/)0,и(И/и /1ут)щ ; где ут - технологический угол перекоса ; уд - деформативная составляющая угла перекоса; ¡$ I- безразмерный параметр длины зуба; показатель степени определяется- т0= 0,391(/?/)~°'25. Коэффициент концентрации контактных давлений Кг с учетом деформативной составляющей угла уд перекоса определяется:

Кг =1 + 0,65

чз/з

кЬн

1-

1± Гт

где расчетный угол перекоса-

у = ут-у1)=ут(1-ул/у-г). Таким образом, учитывается влияние изгибной деформации (уд1ут) на контактные напряжения (Ку). Достоверность полученных зависимостей были проверены (см. рис. 6) по экспериментальным значениям коэффициента концентрации изгибных напряжений, имеющимися в литературе (И.В.Волгин), где представлены результаты экспериментального исследования изгибной деформации зубьев при наличии перекоса с параметрами: ширина зуба Ь=27мм; модуль ш=5мм; угол зацепления а =20°; удельная нагрузка q=324кгc/cм; модуль

расчет - мнил ЭКСиер . точки

Рис.6. Сопоставление расчетных (линии) и экспериментальных (точки) данных

упругости материала Е=2,1*106 кгс/смг; угол перекоса варьировался ут=0-

0,005 рад. Из рис.б видно удовлетворительное соответствие расчетных

(линия) и экспериментальных (точки) данных. Это говорит о том, что

полученные зависимости правильно описывают закономерности взаимного

влияния изгибных и контактных напряжений.

Дальнейшее развитие расчетной схемы зуба с применением дискретно-

континуальной модели позволило получить эмпирические формулы для

¥

оценки собственных коэффициентов влияния в виде:

У(х) = 4[1 + 0,08б(/?/)1,73 ] [1 /4 + Зп(х — 1 / 2)2т ] ;

где х = х/¡ - безразмерная координата по длине зуба.

Развит дискретно- континуальный метод раскрытия статической неопределимости упругих систем с односторонними связями, который приложен к расчету статической нагруженности многопарных передач зацеплением. Суть метода заключается в том, что вместо прямой -определения числа дискретных связей, воспринимающих заданную внешнюю нагрузку- несколько раз решается более простая обратная задача-для принятого (варьируемого) числа дискретных связей определяется внешняя нагрузка, которую воспринимают эти связи. Важным элементом этого метода является то, что полученный указанным образом результат аппроксимируется в безразмерном виде степенной функции, после чего в аналитическом виде может быть получено решение прямой задачи.

В результате для расчета статической нагруженности многопарной передачи получены следующие соотношения:

а = а/ Б0= 9Р"

- безразмерная упругая деформация зацепления;

1

- максимальная нагрузка на зубьях;

N = ЮР"2

- число пар зубьев, воспринимающих заданную внешнюю силу Р\

- безразмерный нагрузочный параметр; 50 = 1у- зазор на противоположном торце по отношению к торцу, где в контакт вступил первая пара зубьев;

й = 0,181 + 0,358-и ; пг =0,175 + 0,286-и ; /( = /£0 - коэффициент зазора на зубьях;

- параметр контактной податливости пары зубьев;

Получена формула для оценки суммарной (изгибной и контактной) податливости зубьев в одночленной форме:

Аг=£>Рв,где£) = 6(1 + С)Р;а;в 5

- параметр суммарной податливости; с = —Р^ -

Ь

- безразмерный коэффициент изгибной податливости в долях контактной;

5=0,632и+0,368 - показатель степени, Р - расчетная максимальная нагрузка, [(Туг] - допускаемые изгибные напряжения; коэффициенты,

учитывающие форму и угол наклона зубьев;КЕг = 1 + 0,225(Ьу/1¥н)0'4 -коэффициент угла перекоса; т- модуль передачи.

В третьей главе исследованы характеристики нагруженности зубчатых зацеплений и соединений (муфт) планетарных зубчатых передач.

Исследованию динамической составляющей нагрузки в зубчатых передачах был посвящен ряд работ отечественных и зарубежных авторов: Бакингем, А.И.Петрусевич, В.М.Абрамов, М.Д.Генкин, Э.Л. Айрапетов, О.И. Косарев, В.И.Апархов и др.

Главным недостатком этих работ является отсутствие в них аналитических формул для определения силы удара при входе зубьев в зацепление с учетом перекоса между боковыми поверхностями зубьев, а также продольной модификации зубьев, когда связь между деформацией и нагрузкой в статической характеристике нелинейная.

С учетом сказанного, в работе для расчетной оценки динамической нагруженности многопарных передач зацеплением, обобщена квазистатическая модель удара твердых тел Г.Герца. Обобщение модели заключается в распространении ее на различные типы соударения в кинематических парах для произвольной статической характеристики.

Получены расчетные зависимости для силы удара при входе зубьев в зацепление при различной геометрии контактирующих поверхностей зубьев с учетом технологических погрешностей.

Дифференциальное уравнение динамического состояния зубчатой пары-

с?а 1 . . —+ -Р(а) = 0 ш т

где- а = х1+хг -сближение центров инерции тел; 1/т- приведенная масса тел; Р(ос)- сила контактного взаимодействия соударяющихся тел.

Получены расчетные формулы для определения силы удара многопарной передачи зацеплением в виде:

а.

сТ У

Ёг. Вс

тп 2г,

п +11 эт а,

вт а,

- для нагруженной передачи, когда Рст > 0 ;

2Г Л + 1

1,8.10 ь(1+и-2)

(о.

2

Б1п а,

I

1/1+п

- когда передача работает на холостом ходу, Рст = 0 ,

где й)2- зубцовая частота (частота пересопряжения зубьев), сос = 4сТМ -частота свободных колебаний системы, С - жесткость пары зубьев,

М- приведенная масса зубчатых колес; т- модуль зацепления, асТ-статическая деформация впереди идущей пары зубьев, /р - разность

Рис. 7.

где Ъ = 950

- параметр контактной податливости

основных шагов зубьев шестерни и колеса, аа1- угол давления на вершине зубьев колеса, - число зубьев шестерни, й>, - угловая скорость шестерни; величины Ъ и п определяются из статической характеристики передачи: <*ст-ьр:т,

^'""(45 + 56,37^)

зубчатого зацепления; и - передаточное число; с/, - диаметр делительной окружности шестерни; ап - угол давления профиля зуба шестерни ап - угол давления профиля зуба шестерни в точке входа в зацепление; ё/ -коэффициент, учитывающий параболическую составляющую зазора.

Получено выражение для отношения сил ударного взаимодействия на холостом ходу и под нагрузкой в следующем виде:

Р^1Ру*= 3,762

(Ю'Ч)Ч

1/1+/1,

где Уе = Я, сос - окружная скорость передачи в случае, если угловая скорость шестерни равна собственной частоте колебаний зубчатой передачи; 5пр - (118 +1 / асТ )"' - приведенная погрешность зацепления. С помощью

последней формулы можно прогнозировать уровень силы ударного взаимодействия зубьев на холостом ходу, если известна сила удара под нагрузкой.

Исследована также нагруженность зубчатых соединений (муфт). Основываясь на работах Э.Л.Айрапетова и О.И.Косарева, оценено влияние перекоса, вызываемого погрешностями изготовления и монтажа, на напряженно- деформированное состояния элементов зубчатых муфт, при различной геометрии боковых поверхностей зубьев.

Для определения зоны нагруженных зубьев получено соотношение:

где Рл = Р0 — - безразмерная средняя нагрузка на зубе; 8г, 58-податливость обода и зуба; 8а - максимальный зазор между зубьями,

Рис. 8. Зубчатое соединение

вызванный перекосом осей полумуфт; а, - числовые константы. Определен коэффициент перегрузки зубьев:

где - вероятная величина зазора между зубьями, вызванная накопленной

5.

погрешностью зубчатых венцов полумуфт; Рг максимальная нагрузка на зубе, для которой получены расчетные формулы:

здесь Р0* =аи((5г/<5у)а" - безразмерная предельная нагрузка на зубе (при

#0=90°); Р) =«|6(5г / - безразмерная предельная нагрузка на зубе. Определены контактные и изгибные напряжения с учетом перекоса:

где: контактные и изгибные напряжения в отсутствии перекоса- <ТНо; аГс;

Известно, что в зависимости от технологических и монтажных погрешностей нагрузка между сателлитами планетарных передач будет

Рис. 9. Схема планетарного механизма

Распределяться неодинаково. Неизбежные погрешности изготовления и монтажа элементов планетарных механизмов приводят к разнозазорности в зацеплениях сателлитов с центральными колесами, и как следствие к неравномерному нагружению сателлитов. Разработанные методы расчета

анг ~кнг 'ано .

позволили получить количественную характеристику о распределении нагрузки по параллельным потокам мощности с учетом угла перекоса у-между боковыми поверхностями зубьев и износа.

Исходной проблемой является решение уравнения совместности деформаций, износа, зазоров и перемещений зубьев для /- го сателлита:

Щ=1У„+1Ъ+[/,+$ где !Уу. -деформация /- го зубчатого зацепления, ; й^,

контактная и изгибная деформации г- го зубчатого зацепления; деформация обода под /'- им сателлитом, ¿7,- износ зубьев 7- го зубчатого зацепления; зазор в /- ом зубчатом зацеплении. После соответствующих подстановок получим- Р? + 6„-Р1+ёо6-Р1 + 6с.-Р™ +5,. (*)

Для идеального механизма (отсутствии перекоса и зазоров) имеем-ТГ0=5,Ра"+5и}Ра+8оЬР0+8сРат; После обозначений- ЫГ1 ■ Р1 = + ЛР - перепишем: ¡¥¡=¿1Р0" + Ра + ¿об Ро + ¿с Рат ; Из (*) легко получить-

4 (Ро + ДР;)"1' + (Ро + АЛ) + <5оа (Ро + АР,) + 4,- (>о + АР,Г + 5,; После ряд преобразований и линеаризации имеем-

8, ■ Рл" + 5„ ■ Р„ + ■ Р„ + • Г + Л^, =

+

= 8 °ч 'о

Р Р

гч ) ч о У

+ $„

откуда получим величину коэффициента неравномерности в виде:

Р Р0+ДР , Д^ „ , Д^ДЛ

— = —-!- = 1 + —1-, или Кмо=\ + - ' - ;

вс?' V Р0 Р0

где Д5, = -ЦдУ, -Ч/Г); здесь:

АЛ ;

+ 5иА + "АЛ"1 +пгдс1р;}, = МУ1-Б1 ;

об О

т=0,614; где (5^- изгибная и контактная податливость зубьев при

номинальном контакте (/=0); = ^""'^.„,(4,05 /Ь„£)"'" контактная податливость зубьев /- го зубчатого зацепления при перекосе; «, = 1-0,4(6,,Г(/Дт)0'016- показатель степени = 1 + 0,65(6,7, -

коэффициент угла перекоса для /- го зубчатого зацепления; 8о6-подагливость обода,; 5С- параметр, учитывающий интенсивность износа боковых поверхностей зубьев при у = 0; деформация (зазор) ¡- го

зубчатого зацепления; 8а- параметр, учитывающий интенсивность износа боковых поверхностей зубьев при перекосе (у # 0) на ¡- том сателлите; расчетная величина деформации для идеально точно изготовленного планетарного механизма, Р0- средняя (расчетная) величина нагрузки на сателлитах.

Знание коэффициента неравномерности нагружения сателлитов Кнер позволило определить нагрузки на сателлитах Р( = К„ер!Р0, где Р0-

средняя (расчетная) величина нагрузки на сателлитах.

В четвертой главе описаны методы и средства экспериментальных исследований контактных деформаций роликов, моделирующих контакт зубьев. Для проверки достоверности полученных во второй главе зависимостей, в работе проведен специальный эксперимент- методом голографической интерферометрии исследованы контактные деформации роликов: цилиндрических, конических и бочкообразных - имитирующие контакт цилиндрических зубьев в отсутствии перекоса и при его наличии, и с продольной модификацией. Ролики были как стальные, так и изготовлены из оргстекла.

Дано описание метода для регистрации, съема и расшифровки информации,

приведены также для них оптические схемы.

В этой же главе приведены результаты экспериментальных исследований контактных деформаций роликов (стальных и изготовленных из оргстекла) с параллельными осями, с начальным неприлеганием (перекосом) и с продольной модификацией, моделирующих контакты зубьев зубчатых передач.

В пятой главе проведен анализ результатов исследований, проведено сопоставление теоретических и экспериментальных данных, при этом использовались как результаты специально поставленных экспериментов, так и проведенных другими авторами (Э.Л.Айрапетов, О.И.Косарев, И.В.Волгин). Разработаны методические рекомендации по расчету на прочность зубчатых зацеплений и соединений (муфт) планетарных зубчатых передач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Обобщены теоретические и экспериментальные методы определения контактной деформации зубьев с учетом влияния перекоса. Экспериментально подтверждена полученная ранее проф. Айрапетовым линейная связь между нагрузкой и перемещением при контакте цилиндра с плоскостью по образующей (без перекоса). Проведены экспериментальные исследования контактных деформаций цилиндрических, конических и бочкообразных роликов, моделирующих контакт зубьев зубчатых колес при перекосе методом голографической интерферометрии. Полученные результаты измерений удовлетворительно согласуются с расчетными данными.

2. С использованием дискретно- континуальной модели зуба разработана математическая модель изгиба балки конечной длины на упругом основании при действии произвольной нагрузки. На основе этой модели предложен аналитический метод определения коэффициента концентрации изгибных напряжений по длине зубьев. Установлена также связь между изгибной

деформацией по длине зубьев и концентрацией контактных напряжений. К наиболее важным результатам относится то, что при торцевом приложении нагрузки (вследствие перекоса) изгибная деформация зуба способствует снижению концентрации контактных напряжений и изгибные деформации по длине зуба частично компенсируют перекос в зацеплении зубьев. При этом точность расчета повышается за счет использования в нем фактического угла перекоса. Сопоставление результатов расчетного исследования с имеющимися в литературе экспериментальными данными показало их удовлетворительное соответствие.

3. Оценено влияние перекоса, вызываемого погрешностями изготовления и монтажа, на напряженно- деформированное состояние зубчатых соединений (муфт). Уточнено влияние податливости обода на зону нагруженных зубьев муфты. Получены расчетные зависимости для расчета зубчатых муфт на прочность при различной форме боковых поверхностей зубьев с учетом перекоса.

4. Обобщена квазистатическая модель удара твердых тел Г.Герца. Получены расчетные зависимости для определения силы удара при входе

зубьев в зацепление при различной геометрии их контактирующих поверхностей с учетом перекоса, которые могут использоваться при расчете на прочность зубчатых передач. Предложены расчетные зависимости для количественной оценки динамической нагруженности зубчатых зацеплений как на холостом ходу, когда скорость удара определяется лишь шаговыми погрешностями зубчатых колес, так и под нагрузкой, когда скорость удара определяется также упругими деформациями зубьев.

5. Предложены расчетные методики оценки влияния перекоса на распределения нагрузки в многопарных зацеплениях и между сателлитами в планетарных передачах.

6. Разработанные рекомендации по расчету на прочность зубчатых зацеплений и соединений (муфт), позволяющие повысить точность расчетов

вошли в ГОСТы:

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования к расчетам на прочность зубчатых передач. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования и методы расчета на прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых передач. Р54-285-90. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Метод расчета на прочность конических прямозубых эвольвентных передач. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Метод расчета на прочность зубчатых муфт. Р54-313-90, М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Влияние изгибной деформации зубьев прямозубых цилиндрических передач на параметры контакта зубьев. Вестник машиностроения, 1990, №8, с.21-23. (соавтор Э.Л.Айрапетов).

2. Расчетная модель износа зубьев неточных и деформируемых прямозубых зубчатых передач. Вестник машиностроения, 1990, №11 с.18-20. (соавтор

3.Л.Айрапетов).

3. Метод расчета статической нагруженности упругих систем с односторонними связями. Доклады АН Уз ССР, 1989, 4, с.19- 21. (соавторы

3.Л.Айрапетов и др.).

4. Расчеты и испытания на прочность. Общие требования к расчетам на прочность зубчатых передач. М., ВНИИНМАШ, Госстандарт СССР, 1989, с. 68. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.В.Брагин, Ю.А.Державец, Н.М.Шоломов и др.).

5. Расчеты и испытания на прочность. Общие требования и методы расчета на прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых передач. Р-54-285-90. М., ВНИИНМАШ, Госстандарт СССР, 1990, с. 105. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.В.Брагин, Ю.А.Державец, Н.М.Шоломов и др.).

6. Метод расчета на прочность конических прямозубых эвольвентных передач. - М., ВНИИНМАШ, Госстандарт СССР, 1990, с.92. (соавторы

Э.Л.Айрапетов, В.И.Ковалевский, Н.М.Шоломов и др.).

7. Метод расчета на прочность зубчатых муфт. Р54-313-90, М., ВНИИНМАШ, Госстандарт СССР, 1991, с.З 9. (соавторы Э.Л.Айрапетов, Б.С.Уткин, Н.М.Шоломов и др.).

8. Статическое нагружение опор качения- Сб. научн. трудов "Повышение работоспособности композиционных материалов, узлов и машин". Ташкент, изд. ТашПИ, 1989, с.88- 94. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.И.Ковалевский и др.).

9. Определение коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубьях колес с учетом упругих деформаций и погрешностей изготовления и монтажа элементов передачи.// Проблемы машиностроения и надежности машин, 2008г. № 4, с. 39-43.

10 А.С. 1788364. Прямозубая цилиндрическая передача (в соавторстве). Заявка №4824286 от 07.05.90. Зарегистр. 15.09.92г.

11. А.С. 1781477. Способ снижения уровня вибрации подшипника качения (в соавторстве). Заявка № 4907999 от 05.02.91г. Зарегистр. 15.08.93г.

12. Метод расчета статической нагруженности многопарных передач зацеплением. Тез. докл. Всесоюзного симпозиума "Теория реальных передач зацеплением, часть 2- я, Прочность и технология реальных передач зацеплением" Курган, 1988, с.45- 47. (соавторы Э.Л.Айрапетов и др.).

13. Голографический метод контроля полного вектора тангенциального перемещения для определения деформации деталей машин в заданном направлении. Тез. докл. Республ. Научно- практ. семинара "Голография в Промышленности и научных исследованиях" Гродно, 1989, с. 9-10. (соавторы Э.Л.Айрапетов, Г.Г.Тертышный).

14. Оптический метод определения контактных деформаций квазистатических поверхностей деталей машин. Тез. докл. Республ. научно-практ. семинара "Голография в промышленности и научных исследованиях" Гродно, 1989, с. 10- 11. (соавторы Э.Л.Айрапетов, Ю.Б.Коровкин, Г.Г.Тертышный).

15. Статическая нагруженность мкогопарных передач зацеплением. Тез. докл. Отрасл. Научно- технич. совещ. "Повышение качества зубчатых колес с моментопередающих деталей сельскохозяйственных машин путем пользования РК- профи лей".Ташкент, 1989. (соавторы Э.Л.Айрапетов и др.).

16. Оптический метод исследования контактных деформаций роликов при моделировании угла перекоса и профильной модификации зубьев цилиндрических зубчатых передач. Тез. докл. отрасл. научн,- техн. совещ. "Повышение качества зубчатых колес и моментопередающих деталей сельскохозяйственных машин путем использования РК- профилей". Ташкент, 1989, с. 11. (соавторы Э.Л.Айрапетов, Г.Г.Тертышный).

17. Деформация опор качения зубчатых передач. Тез. докл. Межреспубл. научн,- техк. конф. "Опыт исследоваяий, проектирования, изготовления и эксплуатации зубчатых передач Новикова" Рига, 1989, с.89. (соавторы Э.Л.Айрапетов, А.С.Мухитдинов).

18. Влияние концентрации контактных давлений на изгибные напряжения в зубьях колес. Тез. докл. Республ. научн.-техн. конф. "Тенденции повышения нагрузочной способности передач зацеплением". Кишикев, 1989, с .45- 47. (соавтор Э.Л.Айрапетов).

19. Расчетная оценка прочности зубьев прямозубых конических передач. Тез. докл. Республ. научн.- техн. конф. "Тенденции повышения нагрузочной способности передач зацеплением", Кишинев, 1989, с.51- 53. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.И.Ковалевский и др.).

20. Снижение виброактивности подшипников качения. Тез. докл. Республ. научн.- техн. конф. "Проблемные вопросы создания средств вибрационной техники для использования в различных технологических процессах машиностроительной отрасли Узбекистана. Ташкент, 1990, с. 99-100. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.И.Ковалевский и др.).

21. Снижение виброактивности прямозубой передачи. Тез. докл. Республ. научн,- техн. конф. "Проблемные вопросы создания средств вибрационной техники для использования в различных технологических процессах

машиностроительной отрасли Ташкент, 1990, с. 100- 101. (соавторы Э.Л.Айрапетов и др.).

22. Влияние изгибной деформации зубьев прямозубых цилиндрических передач на параметры контакта зубьев. Тез. докл. Всесоюзн. научн,- техн. конф. "Зубчатые передачи: Современность и прогресс". Одесса, 1990, с.5- 6. (соавтор Э.Л.Айрапетов).

23. Расчетная модель износа зубьев неточных и деформируемых прямозубых зубчатых передач. Тез. докл. Всесоюзн. научн.- техн. конф. "Зубчатые передачи: Современность и прогресс". Одесса, 1990, с.ПО. (соавтор Э.Л.Айрапетов).

24. Алгоритм расчета статической нагруженности опор качения. Тез. докл. научн,- техн. конф. "Разработка и внедрение САПР и АСТПП в машиностроении", Ижевск, 1990. с. 195-197. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.И.Ковалевский, М.Г.Мамонова и др.).

25. Расчетно- экспериментальная модель износа зубьев прямозубых передач. Тез. докл. Междунар. научн.- техн. семинара "Автоматизированное проектирование механических трансмиссий. САПР-МТ". Ижевск, 1991,с.13-14. (соавторы Э.Л.Айрапетов, В.И.Ковалевский и др.).

26. Расчетная модель износа зубьев цилиндрических и конических передач. Тез. докл. пятого симпозиума "Теория реальных передач зацеплением" Курган, 1993г., с, 7- 8. (соавторы В.И.Ковалевский и др.).

Типография ИМАШ РАН, г.Москва, МХаритоньевский пер., 4 Зак.№ 3 от 19.01.2009 тир. 100 экз.

Введение.

Глава 1. Анализ методов расчета нагруженности планетарных передач.

1.1. Типовые схемы планетарных передач с высокоподатливыми элементами

1.2. Типовые расчеты нагруженности элементов планетарных зубчатых передач.

1.2.1. Нагруженность зубчатых зацеплений.

1.2.2. Нагруженность зубчатых соединений (муфт).

1.3. Цели и задачи исследования.

Глава 2. Теоретическое исследование нагруженности зубчатых зацеплений планетарных передач.

2.1. Расчетная модель контакта зубчатых зацеплений.

2.1.1. Контактная деформация зубьев.

2.1.1.1. Линейный контакт зубьев.

2.1.1.2. Контакт зубьев при перекосе.

2.1.1.3. Точечный контакт зубьев.

2.1.2. Изгибная деформация зубьев.

2.1.2.1. Влияние изгибной деформации зубьев на параметры контакта.

2.1.2.2. Метод определения коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубчатых зацеплениях.

2.1.3. Расчетная модель износа зубьев зубчатых зацеплений.

2.1.4. Ударный вход зубьев в зацепление.

2.2.Расчетная модель нагружения зубчатых зацеплений многосателлитных планетарных передач.

2.2.1. Метод расчета статической нагруженности многопарных передач зацеплением.

2.2.2. Метод расчета динамической нагруженности многопарных передач зацеплением.

Глава 3. Теоретическое исследование характеристик нагруженности зубчатых зацеплений и соединений планетарных передач.

3.1. Динамическая нагруженность зубчатых зацеплений.

3.1.1. Фаза однопарного зацепления.

3.1.2. Фаза двухпарного зацепления.

3.1.3. Многопарная передача зацеплением.

3.2. Нагруженность зубчатых соединений (муфт).

3.2.1. Распределение нагрузки на зубьях муфт.

3.2.2. Контактные и изгибные напряжения на зубьях муфт.

3.2.3. Изгибные напряжения в ободьях муфт.

3.3. Распределение нагрузки между сателлитами.

Глава 4. Экспериментальные исследования контактных деформаций цилиндрических, конических и бочкообразных роликов, имитирующих контакт зубьев зубчатых зацеплений.

4.1. Цели и задачи исследования.

4.2. Методы и средства исследования.

4.3. Результаты экспериментальных исследований.

Глава 5. Анализ результатов исследования и разработка методических рекомендаций по расчету на прочность зубчатых зацеплений и соединений планетарных зубчатых передач.

5.1. Сопоставление результатов расчетных и экспериментальных исследований.

5.2. Разработка рекомендаций по расчету на прочность зубчатых зацеплений и соединений планетарных передач.

Планетарные передачи имеют ряд неоспоримых достоинств по сравнению с рядными (переборными) передачами, что способствовало их широкому применению в ряде отраслей промышленности, начиная от авиации, судостроения и кончая общемашиностроительными отраслями. Их I основным достоинством являются многопоточность, малые габариты, симметрия нагружения элементов, способствующая рациональному управлению статическим и динамическим нагружением высокоподатливых элементов.

Известно, что преимущества планетарных передач будут реализованы в случае, если методами рационального проектирования удастся реализовать симметрию нагружения основных элементов передачи, в противном случае будет частично или полностью потерян эффект от их применения. Например, известные конструктивные решения инж. Штокихта [78], связанные с устранением опор у некоторых элементов (центральные колеса, водило) и повышением податливости ободьев центральных колес будут эффективны только в том случае, если будет сохранена симметрия нагружения центральных колес и будет обеспечена усталостная прочность высокоподатливых элементов планетарных передач.

Кинематическое плавание центральных колес эффективно лишь с точки зрения выравнивания статической нагрузки по параллельным потокам мощности и бесполезно, а иногда и вредно с точки зрения виброакустических характеристик планетарных редукторов. Повышение податливости ободьев центральных колес также эффективно с точки зрения выравнивания статической нагрузки по параллельным потокам мощности, однако, оно может оказаться опасным с точки зрения обеспечения их усталостной прочности, так как достигается, как правило, уменьшением толщины обода центрального колеса.

Многочисленные исследования проф. В.Н.Кудрявцева и его учеников [61,62] позволили в значительной мере продвинуть теорию планетарных передач, при этом расчет их зубчатых зацеплений в значительной мере основывался на отечественном стандарте. В работах проф. Э.Л.Айрапетова и его учеников [3,5,7,10,14,15,17,20,27,31,34,35,36,37] разработаны, по существу, основы строительной механики планетарных механизмов, включая » их точность, жесткость, статику и динамику.

Несмотря на значительные успехи в области расчета и проектирования планетарных передач, нуждаются в дальнейшей разработке и развитии некоторые проблемные вопросы:

1. Одним из узлов планетарных передач, лимитирующих срок их безаварийной работы, являются зубчатые зацепления. Существующие методы их расчета на усталостную прочность основываются на введении условной удельной расчетной нагрузки, которая теряет физический смысл в условиях начального неприлегания боковых поверхностей зубьев, связанного с погрешностями изготовления, монтажа и упругими деформациями элементов передачи. Тем более она теряет смысл в зубчатых зацеплениях с локализованным контактом зубьев (зубья с продольной модификацией, арочные зубья), в которых нагрузка локализуется в пределах незначительной площадки контакта. Кроме того, такой подход может привести к необоснованному повышению коэффициента запаса прочности, нерациональному использованию материала и т.д. Поэтому представляется целесообразным отказ от условной удельной нагрузки и переход к реальным контактным напряжениям.

2. Изгибная деформация зубьев существенно влияет на параметры контакта зубьев (размеры площадки контакта, уровень контактных давлений), причем это влияние различно: при локализации нагрузки на торце или в среднем сечении зубчатого венца. Так/ уровень контактных напряжений на зубьях колес зависит не только от погрешностей изготовления и монтажа и деформации элементов передачи, но и от податливости собственно зубьев колес. Например, неравномерная по длине зубьев их изгибная деформация частично компенсирует перекос между зубьями. Поэтому представляется актуальным дальнейшее развитие исследований по учету изгибной деформации зубьев при оценке нагруженности зубчатых зацеплений. J

3.Одним из ответственных узлов планетарных передач, лимитирующим срок их безаварийной работы, являются также зубчатые соединения.

Многолетний опыт эксплуатации зубчатых муфт показывает, что основная причина выхода из строя (80-85 %) зубчатых муфт - контактные разрушения, происходящие на зубьях и шлицах и приводящие к необходимости заменять всю муфту. Следовательно, в зубчатых муфтах при их стандартном исполнении нарушается принцип равнопрочности, так как наиболее слабый элемент муфты (зубья, шлицы) выходит из строя раньше, чем другие ее элементы (валы, втулки, обоймы), и поэтому он лимитирует срок службы всего узла в целом, также нерационально используется материал.

В таких условиях актуальным является совершенствование методов < расчета нагруженности элементов муфты и поиск конструктивных и технологических мероприятий, обеспечивающих принцип равнопрочности по контактным напряжениям на зубьях и изгибным напряжениям в других элементах муфт. Например, повышая изгибную податливость элементов муфт (в частности обода), удается повлиять на снижение уровня контактных напряжений на поверхностях зубьев, что в результате приведет к обеспечению принципа равнопрочности, повышению долговечности муфты в целом и к более рациональному использованию материала.

4. Важным ответственным параметром зубчатых планетарных передач, лимитирующим срок их безаварийной работы, является также износ трущихся поверхностей зубьев. Расчетной оценке износа контактирующих тел посвящено большое число фундаментальных и прикладных исследований. Однако на практике часто возникает необходимость располагать простыми расчетными формулами для износа контактирующих пар, что пораждает поиск упрощенных подходов к расчетной оценке износа.

5. Важным элементом расчета на прочность зубчатых зацеплений является корректный учет динамических процессов, происходящих при входе зубьев в зацепление. В существующих методах расчета на прочность зубчатых передач, включая отечественный стандарт, это делается на основе известной зависимости проф. А.И.Петрусевича, полученной для прямозубых цилиндрических передач в отсутствии погрешностей взаимного положения контактирующих поверхностей зубьев. Главным недостатком в этих методах является то, что они справедливы для линейной постановки вопроса, т.е. в предположении, когда между деформацией и нагрузкой существует линейная связь- что справедливо при номинальном контакте. Однако при перекосе между боковыми поверхностями зубьев, а также при их продольной модификации, указанная связь нелинейная. Следовательно необходимо поиска путей решения динамической нагрузки с учетом сказанного.

6. Известно, что основное преимущество планетарных редукторов заключается в разделении нагрузки по параллельным потокам мощности. Однако, при проектировании, изготовлении и эксплуатации планетарных редукторов возникает сложная проблема- выравнивание нагрузки по параллельным потокам. Неизбежные погрешности изготовления и монтажа элементов планетарных механизмов приводят к разнозазорности в зацеплениях сателлитов с центральными колесами, и как следствие к неравномерному нагружению сателлитов. Поэтому развитие методов расчетной оценки по разделению мощности по параллельным ветвям с учетом их ограниченной точности изготовления и монтажа, износа и упругих деформаций также становится актуальным.

Настоящая работа посвящена решению названных выше проблемных вопросов, чем определяется ее актуальность. По совокупности и направленности выполняемых исследований она может быть квалифицирована как решение важной научно- технической проблемы развитие методов расчета нагруженности элементов планетарных зубчатых передач с целью совершенствования конструкций планетарных редукторов, повышения их надежности и срока безотказной работы.

Общая методика исследования основывалась на общих методах теории механизмов и машин, теории упругости и строительной механики и выполнены в рамках общепринятых допущений и заключалась в теоретическом решении рассматриваемых вопросов с последующей экспериментальной проверкой.

Достоверностьполученныхрезультатов подтверждается удовлетворительным соответствием полученных результатов теоретических исследований с экспериментальными данными, при этом использовались как результаты специально поставленных экспериментов, так и проведенных другими авторами.

Научная новизна работы заключается в: разработке аналитического метода определения коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубьях муфт и зубчатых колес и оценке влияния изгибной деформации зубьев конечной длины на параметры контакта зубьев при перекосе; развитии метода расчетной оценки контактной деформации и напряжений зубьев с учетом перекоса;

- развитии метода расчетной оценки нагруженности зубчатых соединений (муфт) при различной форме боковых поверхностей зубьев с учетом податливости обода и перекоса;

- развитии метода расчета статической нагруженности многопарных передач зацеплением и сателлитов, основанный на раскрытии статической неопределимости упругих систем с односторонними связями;

- развитии квазистатической модели удара твердых тел Г.Герца применительно к динамической нагруженности многопарных передач зацеплением с учетом особенностей контактного взаимодействия зубьев при перекосе;

- экспериментальном определении методом голографической интерферометрии контактной деформации кинематических пар при различной геометрии контактирующих поверхностей.

Практическая ценность работы заключается в:

- расчетной оценке напряженно- деформируемого состояния нагруженности зубчатых зацеплений планетарных передач с учетом перекоса;

- расчетной оценке напряженно- деформируемого состояния зубчатых соединений (муфт) с учетом податливости обода и перекоса;

- разработке методических рекомендаций по расчету на прочность зубчатых зацеплений и зубчатых соединений (муфт) планетарных передач;

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

1. Результаты теоретических и экспериментальных методов исследования контактной деформации зубьев колес при различной форме их боковых поверхностей с учетом перекоса;

2. Аналитический метод определения коэффициента концентрации изгибных напряжений по длине зубьев ограниченной длины при перекосе и учет влияния изгибной деформации зубьев на параметры контакта.

3. Методика расчетной оценки напряженно- деформированного состояния зубчатых соединений (муфт) при различной форме боковых поверхностей зубьев с учетом перекоса.

4. Теоретический метод расчета ударного взаимодействия зубьев при входе их в зацепление.

5. Расчетный метод оценки статической нагруженности многопарных передач зацеплением.

Внедрение работы. Основные результаты работы легли в основу разработанных с участием автора методических рекомендаций по расчету на прочность цилиндрических и конических зубчатых передач и зубчатых муфт: - Расчеты и испытания на прочность. Общие требования к расчетам на прочность зубчатых передач. - М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования и методы расчета на прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых передач. Р54-285-90. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

-Метод расчета на прочность конических прямозубых эвольвентных передач. - М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

-Метод расчета на прочность зубчатых муфт. Р54-313-90, М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

По результатам исследований получены авторские свидетельства на изобретения:

- А.С. 1788364. Прямозубая цилиндрическая передача (в соавторстве). Заявка №4824286 от 07.05.90. Зарегистр. 15.09.92г.

- А.С. 1781477. Способ снижения уровня вибрации подшипника качения (в соавторстве). Заявка № 4907999 от 05.02.91г. Зарегистр. 15.08.93г.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждалась: на республиканской научно-технической конференции "Проблемные вопросы создания средств вибрационной техники для использования в различных технологических процессах машиностроительной отрасли Узбекистана", г. Ташкент, 1990 г.; на всесоюзной научно—технической конференции "Зубчатые передачи: Современность и прогресс", г. Одесса, 1990 г.; на научно-технической конференции "Автоматизированное проектирование механических трансмиссий. САПР—МТ" , г. Ижевск, 1990 г; на междунар. научн. —техн. семинара, "Автоматизированное проектирование механических трансмиссий. САПР—МТ", г. Ижевск, 1991 г.; на пятом научном симпозиуме "Теория реальных передач зацеплением", г. Курган, 1993г.

Публикации. Основные результаты диссертации полностью отражены в печатных работах. Автором по теме диссертации опубликовано 26 работ.

Результаты исследования цилиндрических стальных роликов приведены в табл.4.3.1. Диаметры роликов варьировались от 7,0 мм до 30,0 мм, длины -от 7,5 мм до 30 мм, диапазон изменения удельной нагрузки составлял от 10 кГ/мм до 100 кГ/мм.

Рис.43.1. Стальной ролик

•о--6

15

У: р = № КГ -7- 1€йо кг

В табл. 4.3.2 приведены результаты исследований цилиндрических роликов из оргстекла, при варьировании диаметров от 10 мм до 40 мм, отношения радиуса к длине от 0,125 до 0,325, удельной нагрузки от 0,25 кГ/мм до 2,50 кГ/мм.

Начальное неприлегание контактирующих цилиндров в эксперименте имитировано специальными стальными роликами (см. рис. 4.3.1), при этом угол перекоса варьировался от 0° до 3° , нагрузка - от 100 кГ до 1600 кГ. В табл. 4.3.3 приведены результаты этих исследований.

В работе также исследовались контактные деформации стальных бочкообразных роликов (рис. 4.3.2), имитирующие контакт зубьев с продольной модификацией, которая является эффективным методом

Рис.4.3.2. Стальной бочкообразный ролик 5

Чо »

-а ь 1 '

Ч. =0203; О/г ¡0.5

I. . / ■ / ' / '

Р= >¡00 КГ 1?ООкГ снижения концентрации контактных напряжении в результате начального неприлегания зубьев цилиндрических зубчатых передач. Исследования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Обобщены теоретические и экспериментальные методы определения контактной деформации зубьев с учетом влияния перекоса. Экспериментально подтверждена полученная ранее проф. Айрапетовым линейная связь между нагрузкой и перемещением при контакте цилиндра с плоскостью по образующей (без перекоса). Проведены экспериментальные исследования контактных деформаций цилиндрических, конических и бочкообразных роликов, моделирующих контакт зубьев зубчатых колес при перекосе методом голографической интерферометрии. Полученные результаты измерений удовлетворительно согласуются с расчетными данными.

2. С использованием дискретно- континуальной модели зуба разработана математическая модель изгиба балки конечной длины на упругом основании при действии произвольной нагрузки. На основе этой модели предложен аналитический метод определения коэффициента концентрации изгибных напряжений по длине зубьев. Установлена также связь между изгибной деформацией по длине зубьев и концентрацией контактных напряжений. К наиболее важным результатам относится то, что при торцевом приложении нагрузки (вследствие перекоса) изгибная деформация зуба способствует снижению концентрации контактных напряжений и изгибные деформации по длине зуба частично компенсируют перекос в зацеплении зубьев. При этом точность расчета повышается за счет использования в нем фактического угла перекоса. Сопоставление результатов расчетного исследования с имеющимися в литературе экспериментальными данными показало их удовлетворительное соответствие.

3. Оценено влияние перекоса, вызываемого погрешностями изготовления и монтажа, на напряженно- деформированное состояние зубчатых соединений (муфт). Уточнено влияние податливости обода на зону нагруженных зубьев муфты. Получены расчетные зависимости для расчета зубчатых муфт на прочность при различной форме боковых поверхностей зубьев с учетом перекоса.

4. Обобщена квазистатическая модель удара твердых тел Г.Герца. Получены расчетные зависимости для определения силы удара при входе зубьев в зацепление при различной геометрии их контактирующих поверхностей с учетом перекоса, которые могут использоваться при расчете на прочность зубчатых передач. Предложены расчетные зависимости для количественной оценки динамической нагруженности зубчатых зацеплений как на холостом ходу, когда скорость удара определяется лишь шаговыми погрешностями зубчатых колес, так и под нагрузкой, когда скорость удара определяется также упругими деформациями зубьев.

5. Предложены расчетные методики оценки влияния перекоса на распределения нагрузки в многопарных зацеплениях и между сателлитами в планетарных передачах.

6. Разработанные рекомендации по расчету на прочность зубчатых зацеплений и соединений (муфт), позволяющие повысить точность расчетов вошли в ГОСТы:

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования к расчетам на прочность зубчатых передач. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Расчеты и испытания на прочность. Общие требования и методы расчета на прочность цилиндрических эвольвентных зубчатых передач. Р54-285-90. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Метод расчета на прочность конических прямозубых эвольвентных передач. М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

- Метод расчета на прочность зубчатых муфт. Р54-313-90, М., ВНИИНМАШ, ИМАШ, Госстандарт СССР.

По результатам исследований получены авторские свидетельства на изобретения:

- А.С. 1788364. Прямозубая цилиндрическая передача (в соавторстве). Заявка

4824286 от 07.05.90. Зарегистр. 15.09.92г.

- A.C. 1781477. Способ снижения уровня вибрации подшипника качения (в соавторстве). Заявка № 4907999 от 05.02.91г. Зарегистр. 15.08.93г.

148

1. Абрамов В.М. Колебания прямозубых зубчатых колес. Харьков. Изд-во Харьковского университета, 1968, 175 с.

2. Айрапетов Э.Л. Контактная деформация цилиндров с параллельными осями. Вестник машиностроения, 1988, № 6, стр. 6-10.

3. Айрапетов Э.Л. Распределение нагрузки в зацеплениях с упругими элементами. В кн. Колебания механизмов с зубчатыми передачами. М.: Наука, 1977, с. 111- 117.

4. Айрапетов Э.Л. Определение контактной деформации зубьев цилиндрических зубчатых колес. Вестник машиностроения, 1967, №1, стр. 32-35.

5. Айрапетов Э.Л., Айрапетов С.Э., Мельникова Т.Н. Расчет контактных перемещений в передачах зацеплением с локализованным контактом зубьев. Вестник машиностроения, 1985, №12, с. 6- 8.

6. Айрапетов Э.Л., Айрапетов Э.Л., Мельникова Т.Н. Расчет контактной нагрузки в зубчатых зацеплениях. Вестник машиностроения. 1982, №10, с.3-6

7. Айрапетов Э.Л., Айрапетов С.Э., Генкин М.Д., Лупандин В.В. Опоры качения зубчатых передач. М.: Наука, 1984, 185 с.

8. Айрапетов Э.Л., Мирзаджанов Д.Б. Зубчатые соединительные муфты. М.: Наука, 1991,251с.

9. Айрапетов Э.Л., Ковалевский В.И., Нахатакян Ф.Г. и др. Расчетная оценка прочности зубьев прямозубых конических передач. Тез . докл . Республ . научн.- техн . конф. "Тенденции повышения нагрузочной способности передач зацеплением", 1989, с. 51- 53.

10. Айрапетов Э .Л., Апархов В.И., Брагин В.В., Державец Ю.А., Нахатакян Ф.Г., Шоломов Н.М. и др. Расчеты и испытания на прочность. Общие требования к расчетам на прочность зубчатых передач. М. : Госстандарт СССР: ВНИИИНМАШ, 1989, 68с.

11. Айрапетов Э.Л., Ковалевский В.И.,Нахатакян Ф.Г. и др. Алгоритм расчета статической нагруженности опор качения. Тез. докл. научн.-техн. конф. Разработка и внедрение САПР и АСТПП в машиностроении. Ижевск, 1990, с. 195- 197.

12. Айрапетов Э.Л., Ковалевский В.И., Нахатакян Ф.Г., Шоломов И.М., и др. Метод расчета на прочность конических прямозубых эвольвентных передач. -М.: Госстандарт СССР, ВНИИИНМАШ 1990, 92 с.

13. Айрапетов Э.Л., Апархов В.И., Нахатакян Ф.Г., Шоломов Н.М., и др. Метод расчета на прочность зубчатых муфт. Р 54-313-90. М.: Госстандарт СССР: ВНИИИНМАШ, 1991, 39 с.

14. Айрапетов Э.Л., Ковалевский В.И., Нахатакян Ф.Г. и др. Статическое нагружение опор качения. -Сб. научн. Трудов- Повышение работоспособности композиционных материалов, узлов, и машин.- Ташкент, изд. ТашПИ, 1989, с. 88-94.

15. Айрапетов Э.Л., Мамонова М.Г., Мухитдинов A.C., Нахатакян Ф.Г. Метод расчета статической нагруженности упругих систем с односторонними связями. Доклады акад. наук Уз. ССР, 1989, №.4, с. 19- 21.

16. Айрапетов Э .Л., Мухитдинов А. С., Нахатакян Ф.Г. Деформация опор качения зубчатых передач. Тез. докл. Межреспуб. науч.- техн. конф. "Опыт исследований, проектирования, изготовления и эксплуатации зубчатых передач Новикова". Рига, 1989, с. 89.

17. Айрапетов Э.Л., Нахатакян Ф.Г., Влияние изгибной деформации зубьев прямозубых цилиндрических передач на параметры контакта зубьев. Вестник машиностроения, 1990, №8, с. 21- 23.

18. Айрапетов Э.Л., Нахатакян Ф.Г. Влияние концентрации контактных давлений на изгибюньие напряжения в зубьях колес. Тез. докл. Республ. научн.- техн. конф. "Тенденции повышения нагрузочной способности передач зацеплением " Кишинев, 1989, с. 45- 47.

19. Айрапетов Э.Л., Нахатакян Ф.Г. Расчетная модель износа зубьев неточных и деформируемых прямозубых зубчатых передач. Вестник машиностроения, 1990, №11, с. 18- 20.

20. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д., Ряснов Ю.А. Статика зубчатых передач. М.: Наука, 1983, 142 с.

21. Айрапаетов Э.Л., Генкин М.Д. Деформативность планетарных механизмов. М.: Наука, 1973, 212 с.

22. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Статика планетарных механизмов. М.: Наука, 1976, 263 с.

23. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Динамика планетарных механизмов. М.: Наука, 1980, 256 с.

24. Айрапетов Э.Л., Косарев О.И. Зубчатые муфты. М.: Наука, 1982, 128 с.

25. Айрапетов Э.Л., Косарев О.И. Расчет податливости элементов зубчатых муфт.- Вестн. машиностроения, 1972, № 3, с. 17-21.

26. Айрапетов Э.Л., Косарев О.И. и др. Возбуждение колебаний в зубчатых передачах // Динамические процессы в механизмах с зубчатыми передачами.-М.: Наука, 1976.- с. 3- 18.

27. Айрапетов Э.Л., Мирзаджанов Д.Б., Уткин Б.С., Шоломов Н.М. и др. Метод расчета на прочность зубчатых муфт: Метод рекомендации. (Первая редакция). М.: Госстандарт СССР: ВНИИИНМАШ, 1987, 23 с.

28. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчет ударных систем. М.: Наука, 1969.

29. Батуев Е.С., Голубков Ю.В., Ефремов А.К., Федосов A.A. Инженерные методы исследования ударных процессов. М.: Машиностроения, 1977, 240 с.

30. Беспальцев И.И., Генкин М.Д., Фридман И.И. Концентрация напряжений в зубьях шестерни.- В сб.: Поляризационно- оптический метод исследования напряжений. АН СССР, 1956.

31. Верховский А.Н., Адронов В.П., Ионов В.А. и др. Определение напряжений в опасных сечениях деталей сложной формы. Машгиз, М.:1958, 146с.

32. Виноградов В.Н., Сорокин Г.М., Албачиев А.Ю. Изнашивание при ударе. М.: Машиностроение, 1982, 192 с.

33. Волгин И.В. К вопросу о влиянии перекосов в зацеплении на долговечность тракторных зубчатых колес.- В кн.: Современные методы оценки качества и пути повышения точности изготовления зубчатых передач. М.: Машгиз, 1962, с. 120- 128.

34. Гольдфарб В.И. и др. Концепция САПР и результаты исследования спироидных передач и редукторов.- Proceedings of the 4th World Congress on

35. Gearing and Power Transmissions, Volume 1, Paris, 1999, p.365-375.

36. Дроздов Ю.Н. К разработке методики расчета на изнашивание и моделирование трения. В кн.: Износостойкость. М.: Наука, 1975, с. 120- 135.

37. Дроздов Ю.Н., Павлов В.Г., Пучков В.Н. Трение и износ в экстремальных условиях.- М.: Машиностроение, 1986.- 223с.

38. Дроздов Ю.Н. и др. Развитие методов расчета на износ зубчатых колес.- Вестник машиностроения-№11, 1990, с. 15- 17.

39. Заблонский К.И. Зубчатые передачи Киев, Техника, 1977, 205 с.

40. Заблонский К.И. Жесткость зубчатых передач. Киев: Техник, 1967, 259 с.

41. Исследование напряжений в бочкообразных зубьях: Отчет/ УПИ. Руководитель темы В.С.Плотников. 562 ГР 72004074; Инв. Б 396520.-Свердловск, 1975, -15 с.

42. Клименко И.С. Голография сфокусированных изображений и спекл- интерферометрия. М.: Наука, 1985.

43. Ковалевский В.И. Разработка и теоретическое обоснование рациональных конструкций прямозубых конических передач: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук.- Ташкент, 1992. 374с.

44. Коровчинский М.В. Локальный контакт упругих тел при изнашивании их поверхностей // Контактное взаимодействие твердых тел и расчет сил трения и износа. М.: Наука, 1971, с. 130- 140.

45. Крагельский И.В. Износ как результат повторной деформации поверхностных слоев (частный случай контактирования деформируемой поверхности с абсолютно жесткой шероховатой).- Известия высш. учеб. заведений. Физика, 1958, №5, с. 119- 127.

46. Крагельский И.В. Некоторые понятия и определения, относящиеся к трению и изнашиванию.- М.: Изд- во АН СССР, 1957, с. 12.

47. Крагельский И.В. Трение и износ. М.: Машиностроение, 1968, с . 480.

48. Крагельский И.В. и др. Основы расчетов на трение и износ. Машиностроение, 1977, с. 528.

49. Кудрявцев В.Н. Планетарные передачи.- М.: Машиностроение, 1966,- с. 308.

50. Кудрявцев В.Н., Державец Ю.А., Глухарев Е.Г. Конструкции и расчет зубчатых редукторов.- М.: Машиностроение, 1971, -с. 328.

51. Нахатакян Ф.Г. Определение коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубьях колес с учетом упругих деформаций и погрешностей изготовления и монтажа элементов передачи.// Проблемы машиностроения и надежности машин, 2008г. № 4, с. 39-43.

52. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчет на прочность. ГОСТ 21354-87. М.: Изд-во стандартов, 1988, с. 125.

53. Петрусевич А.И., Генкин М.Д., Гринкевич В.К. Динамические нагрузки в зубчатых передачах с прямозубыми колесами. Изв. АН СССР, М.: 1956.

54. Повышение несущей способности механического привода/ Под ред. В.Н.Кудрявцева.- Л.: Машиностроение, 1973, с. 223.

55. Попов А.П. Исследование нагрузочной способности зубчатых и упругих муфт в условиях перекоса осей агрегатов. Автореф. дис. канд. техн. наук,1. ИМАШ, M., 1971.

56. Проников A.C. Надежность машин.- M.: Машиностроение, 1978.- 591с.

57. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник/ Под ред. И.А.Биргера, Я.Г.Пановко М.: Машиностроение, 1968, т. 2, с. 463.

58. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета с односторонними связями. М.: Стройиздат, 1975, с. 145.

59. Разработка рекомендаций на метод расчета соединительных зубчатых муфт: Отчет/ ДЛИ: Руководитель темы В.М.Филипов Х-73-122; ГНР 74047105; Инв. Б 337629.- Донецк, 1973, 89 с.

60. Р.Джоунс, К.Уайке. Топографическая и спекл- интерферометрия. М.: Мир, 1986.

61. Робер А.И. Исследование зубчатых шпинделей прокатных станков. Автореферат дис. канд. техн. наук. Свердловск, УПИ, 1972

62. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.2, М., Наука, 1965, с. 480.

63. Тимошенко С.П., Бауд Р.В. Напряжения в зубьях колес.- В кн. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Наукова думка, Киев, 1975, с. 198- 208.

64. Угодчиков А.Г., Длугаи М.Н., Степанов А.Е. Решение краевых задач теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. Высшая школа, 1970, 528 с.

65. Устиненко B.JI. Напряженное состояние зубьев цилиндрических прямозубых колес. Машиностроение, 1972, 91 с.

66. Stoeckight W.G. J. Of the American Society of Naval Engng, 1948, v. 60.

67. Archard I.F. Contact and Rubbing of Flat Surfaces. I.Appl.Phis, vol.24, №8, 1953, p. 981-988.

68. Archard I.F., Hirst W. The Wear of Metals under Lubricated Conditions. Proc. Roy. Soc. Lond. Ser A, vol. 236, 1956, p. 397- 410.

69. Buckinghom E. Dynamic Loads in Gear Teeth. 1931.fö /

70. Burwell I.T., Strang C.D. On the~Empirical Law of Adhesive Wear.I. Appl. Phys, vol.23, №1, 1952, p.18-28.

71. Holl D.L. Консольная пластинка под действием сосредоточенной нагрузки, приложенной на ее свободном конце.- В кн. Сборник переводов по зубчатым зацеплениям. Ростов-на-Дону, 1962, с. 140-152.

72. Holm R. Electrical Contacts. Stockholm. H. Gerbers, 1946, p.398.

73. Jaramillo N.T. Деформации и моменты в консольной пластинке бесконечной длины от сосредоточенной нагрузки.- В кн.: Сборник переводов по зубчатым зацеплениям. Ростов-на-Дону, 1962, с.153- 176.

74. Mac Gregor С. Деформация длинного зуба зубчатой передачи.- В кн.: Сборник переводов по зубчатым зацеплениям. Ростов-на-Дону, 1962, с. 177-185.

75. Tonn W. Beitrag zur Kenntnis des Verschleissvorganges beim Kurzversuch. Ztseh. F. Metallkunde, Bd.29, №6, 1937, S. 196-198.

76. Vartak G.V. Изгибающий момент в заделке пластины, подверженной действию сосредоточенных нагрузок на свободной стороне.- В кн.: Сборник переводов по зубчатым зацеплениям. Ростов-на-дону, 1962, с. 186-212.

77. Wellauer E.I., Seirag А. Исследование напряжений у корня зуба зубчатых колес с использованием консольной пластины в качестве модели зуба. Экспресс- информация. Редукторостроение и детали машин, 1960, 2, с. 1- 14.

78. Плахтин В.Д., Ивочкин М.Ю. Синтез- зацепления зубчатых муфт с повышенными углами перекоса соединяемых валов. //Вестник машиностроения, 2003, №6, стр. 3-9.