автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вибрационно-волновое движение вязкой несжимаемой жидкости в канале с упругими стенками

»9 № 1аа5

на правах рукописи

Ожерелкова Лилия Мухарамовна

Вибрационно-волновое движение вязкой несжимаемой жидкости в канале с упругими стенками

35.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях. 31.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

на правах рукописи

Ожерелкова Лилия Мухарамовна

Вибрационно-волновое движение вязкой несжимаемой жидкости в канале с упругими стенками

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях. 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Работа выполнена на кафедре высшей и прикладной математики Московской государственной академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители:заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Карташов Э.М. кандидат физико-математических наук, доцент Куксенко Б.В.

Официальные оппоненты: академик Международной академии информатизации, доктор технических наук, профессор Кор-нюшко В.Ф.

доктор физико- математических наук, профессор Баранов A.B.

Ведущая организация: НПО "Стеклопластик"

Защита диссертации состоится 21 мая 1996 г. в 15 ч. на заседании специализированного совета К 063.41.02 в " Московской государственной академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова, по адресу: 117571, Москва, пр. Вернадского, дом. 86, учебный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИТХТ им. М.В. Ломоносова ( Москва, ул. М. Пироговская, 1)

Автореферат разослан "19 " апреля 1996 г.

Ученый секретарь, специализированного совета К 063.41.02, к.т.н.

Бурляева Е.В.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Взаимодействие потока жидкости с подвижной гибкой границей возникает во многих' физических и биологических системах. Прежде всего, отметим механизмы типа перистальтического прокачивания в трубках. Перистальтическое прокачивание представляет собой способ переноса жидкости, создаваемого воздействием бегущей волны деформации стенок трубы. Физиологически перистальтическая деятельность есть неотъемлемое свойство всякой гладко-мышечной структуры: работа желудочно-кишечного тракта, желчных протоков, мочеточника; существуют модели аналогичного переноса крови по кровеносным сосудам. Существенной особенностью здесь представляется активное внешнее возбуждение и последующее воздействие стенок трубы на поток и перемешивание жидкости.

Техническими реализациями механизма перистальтического прокачивания являются роликовые, пальцевые насосы. В этом случае собственно трубка пассивна, но она сжимается катящимися роликами или системой механических пальцев. Такого рода устройства используются для прокачивания крови, глин, коррозийных жидкостей, пищевых продуктов и т. д , когда надо предохранить транспортируемую жидкость от контакта с механическими частями насоса. Обычно трубка пережимается полностью или почти полностью, и насос путем положительных перемещений "доит" жидкость через трубку.

Целью работы является изучение вибрационно-волнового движения жидкости в плоском и осесимметричном каналах с упругими стенками, постановка соответствующих математических моделей и решение полученных систем уравнений, а также поиск количественных характеристик движения, имеющих прикладное значение.

Научная новизна. Интерес к перистальтическому прокачиванию возник в 60-е годы в связи с исследованием деятельности мочеточника. Наиболее ранние модели работы мочеточника были очень идеализированными и представляли перистальтику как бесконечную последовательность синусоидальных волн в двумерном канале.В дальнейшем поставленнги проблема развивалась, и во многих работах исследовались различные модели движения вязкой жидкости при заданных бегущих колебаниях гибкой стенки

трубы. В настоящей работе представлена математическая модель, з которой учитывается взаимное влияние стенок канала и вязкой жидкости, заполняющей канал, причем форма стенок не задана заранее в виде бегущей волны, а только один из концов канала подвергается периодическому воздействию. В этом суть новизны исследований в работе. Рассмотрены случаи плоского и осесимметричного каналов, выписаны аналитические решения полученных систем уравнений и дисперсионные соотношения (зависимость волнового числа от частоты колебаний). Для плоского случая приведен расчет поля скорости массопереноса и получены выражения для расхода жидкости в канале. Для относительно небольших амплитуд колебания стенки найдены основные режимы массопереноса при развитом течении. Показано, что расход жидкости для всех найденных мод волнового течения прямо пропорционален квадрату амплитуды колебаний и относительной длине изгибной волны в стенке. Показано также, что повышение жесткости стенки канала уменьшает затухание по длине канала, увеличивает длину волны в стенке и массоперенос жидкости.

Практическое значение работы. Изучаемый вибрационно-волновой механизм на практике может использоваться для перекачивания различных жидкостных сред в условиях полной герметичности и стерильности; для интенсификации процессов тепломассопереноса и создания компактных термонапряженных теплотехнических устройств; в серии разнообразных аппаратов для получения сверхвысоких частот вращения в быстроходных виброприводах (моторах, гидромоторах), а также во многих других областях.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертационной работы докладывались:

- на научных семинарах кафедры высшей и прикладной математики МИТХТ им. М.В. Ломоносова.

- на I Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, 1994 /

- на городском семинаре по прикладной математике и механике | МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 1994-1995.

Публикации- По материалам диссертации опубликовано три печатные работы.

Объем и структура работы. Диссертация Состоит из введения, литературного обзора, четырех глав, выводов и приложения. Работа изложена на 111 страницах, содержит 41 рисунков, 2 таблицы. Список использованных источников включает 36 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, указана новизна полученных результатов, дано крат-; кое изложение глав диссертации.

В первой главе приведен детальный обзор литературы по перистальтическому прокачиванию жидкости в трубах. Проанализированы критерии различных возможных режимов течения жидкости, влияние нелинейности, внешнего перепада давлений на входе и выходе канала, различных определяющих параметров задачи на структуру потока. Анализируются существующие представления о механизме прокачивания жидкости в трубе с активно возбуждаемыми стенками. Лонге-Хиггинсом (1953, 1983) исследовано движение жидкости при бегущих колебаниях гибкой стенки трубы в упрощенной линейной постановке задачи. Установлено, что вблизи стенок трубы образуется вязкий пограничный слой Стокса толщины 6 = v/2v/o , где v - коэффициент кинематической вязкости, а - частота колебаний границы, вне которого продольная скорость течения испытывает синфазные со стенкой колебания и постоянна по поперечному сечению. Структура течения в сильной степени зависит от отношения р = а/8 , где а - невозмущенная толщина трубки. Для значений р > 6 пограничные слои не пересекаются и формируют тонкую струю жидкости вдоль стенок трубки; с уменьшением значений р (0 < р <.6) пограничные слои взаимодействуют между собой и формируют одномодовый режим течения типа Пурзейля.

Анализ линейной задачи приводит к следующей оценке величины массопереноса во всем интервале изменения чисел Рейнольде? (Re'«5_i): объемный расход М жидкости в трубе имеет порядок М ~Ьгс/a , где с -фазовая скорость бегущей волны по стенке. Интересно, что два асимптотически предельных режима течения: пуазейлевского типа (р = 0) и режима

тонкого пограничного слоя со струей у стенки (р = ®) дают веаинту пшика! массы, отличающуюся менее, чем на 17%: М = ЗЬгс/2а и 5йгсг/4;а соответственно.- Тот же порядок величины массопереноса при прокачивании июра-няется и для осесимметричной трубки. Садя по результатам зюттевшямен-тальных исследований, область применимости линейного решения оказывается неожиданно велика: порядок скорости массопераадсаг подтверждается в довольно широкой области изменения физичесш значимых параметров системы. В работах, представленных в обзоре, также проведены многочисленные аналитические и численные исследования, в том числе и нелинейных моделей, в широкой области изменения определяющих параметров задачи, найдены новые возможные режимы течения с ббластями осевого и неосевого "захвата" жидкости (образование замкнутых линий тока, прилегающих к оси канала), обратных течений и т. п.

Во второй главе представлена математическая модель совместного движения упругих стенок плоского канала и жидкости, заполняющей канал.

О х

рис. 1.

Плоский канал длины I и ширины 2а с упругими стенками толщинь 2Нс,заполнен жидкостью,' движение которой возбуждается колебагиям1 стенок (см. рис. 1). Предполагается, что давление с внешних боковых сто рон стенок постоянно по времени и координате х. Вибрационный процесс создается поперечными колебаниями обоих левых концов канала по задан ному гармоническому временному закону с амплитудой В и частотой <а Рассматриваемая система является двухфазной: жидкость-твердое тело следовательно, постановка задачи должна включат^ уравнения движени:

кахдай ¡из «фаз, э также 'кинематическое и динамическое условия на межфазной ¡тдааниде.

¡Здгщвм прямоугольную;декартову систему координат: ось х направим по ¡таи канала, <ть — л сортогональном направлении. Для жидкости принимается ¡модель шязкйй кшсжимаемой жидкости в условиях ламинарности рагока. '¿{равнение сгагдоанения массы и уравнения количества движения в фирме 1ЙЕтщмСггоксада¡проекциях,на.оси координат записываются в виде:

ъ.и :d'V

—+-—=©„ (1) ■9 х д ;у

:Вш д iU дм :1 -dip 8ги аги, .„,

-44 и---I-V-----+ --------,- +--Х-), (2)

.Sit дх д <у р,3х б \х д,у2

d.v d'V д-.v -;1 dp 02v S'v, ,„, --+,ц--+ v------+.v j(---+-¡-I. .(3)

.д't Id x э.у рж 8 у ' д.хг д у2

Здесь и и V- компоненты скорости жидкости а направлениях х и у соответственно, ггтотность ¿жидкости, уж - коэффициент кинематической пязкости, f - время, :р-,даотомие.

Динамика движения упругих стенок канала .описывается уравнением, .нерушимым ,-для линейно-упругой .пластины, нагрузкой на которую служат .дагодшш'жидкости.и силы инерции:

ß.и d v д h d.v 2Н3стЕ ...

~pcrJffr=~P - ^+ T¿Tx-J~xh И)

где iE — -модуль Юнга, vcr- коэффициент ¡Пуассона, ц«- коэффициент ди-.намичесхой ^вязкости,рст - позерхностная .плотность стенки (на единицу пгаидзди).

Ол; -и:к.ают. постановку задачи условия на-межфазной границе, а именно:

,q) кинематическое - условие прилипания вязкой жидкости к поверхности вибрирующей стенки

äh/0:t = v,, и-0 ори y = h(t,x) '(5)

б) динамическое - сохранение потока импульса на межфазкой границе

-ст^Э Л/5 x+a^p^q при у = ft(f,x) • (.6)

Здесь а.„',а„— компоненты тензора вязкий; напряжений в жидкости.

Движение левого' конца стенки канала задается гармоническим соотношением:

Л(0,Г) = а + Ьсоз(ю 0- (7)

Предположение о симметрии потока позволяет рассматривать только одну из половин двухфазной системы. Условие симметрии потока жидкости имеет вид: 8 и

-= у = 0 при у = 0 . (8)

д у

Задача линеаризуется с помощью малого параметра, равного отношению амплитуды колебаний стенки к ширине канала, после чего находятся аналитические решения полученной системы уравнений и дисперсионное соотношение (зависимость волнового числа от частоты колебаний). Выражения для нахождения функций продольной и поперечной скоростей, а также функций боковой стенки трубы и градиента давления имеют вид: и,(х,у,0 = ¿"С(х)(еа,и1>у - е',м> + е'а,м,у - е"а(,+"), (9)

'■Мх.У.О = -в" — (е°(ы» -в-,ы,*)-(е°,и'» +е-°,Ы|)у)., (10)

С1х а(1 + /)

/>.(х,у,0 = /в" —1— (еа1и,) - е~"|ы>) - (е°(Ы1 + е~а(ь°)) + Л0(х), (11) ах а(1 + 0

5 Р,Ш) = ¡ПеС(х)е"(е°™ + е-'™). (12)

8 х

Здесь функция С(х) определяется из уравнения:

с^С(х) с1*С{х) С(х)а( 1 + /) с/х6 У бх2 ~ (1+ /))-а(1 + /)

где йе = агсо/у, - число Рейнольдса, основной определяющий параметр

задачи, а = ТЙё/2,|5=-----!., у = £".1.

Зцж(1-усг2)ш а3 Ре Рж а

Характеристическое уравнение для данного обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка является дисперсионным соотношением:

Корни уравнения (14) представляют собой выражение дисперсионных свойств рассматриваемых волновых движений двухфазной системы и определяют в целом характер процесса. Оно легко сводится к бикубическому и решается с помощью формул Кардано.

Рассмотрены асимптотически предельные случаи стремления числа Рейнольдса к бесконечности и к нулю. В первом случае волновые числа находятся в следующем виде:

/<,г=±(Р Г^К^+^О, (15)

1 V, 2 <2

\агш,& 1

/<,,4 =±№) 2«. <16>

*м=±(Р (17)

\ у ж

Физически возможными представляются первые две пары решений, т. к. для третьей пары решений не выполняется обычное требование затухания' амплитуды волны по мере распространения в диссипирующей среде. Знак "-" соответствует обращенной вперед волне, знак "+" - обращенной назад. Мнимые части корней описывают чисто волновые свойства системы, действительные - степень затухания волн по мере их распространения.

Из (15) - (17) видно, что обе моды обладают одинаковой длиной затухания, определяемой выражением:

а. (18)

73 \а о

С помощью (!5)-(17) можно получить оценку фазовой и групповой скорости для каждой моды волнового движения:

=8, У(Фаз)м = (19)

а . а

1/(гр)и =24^/си2, У(гр)з,4 = (20)

а а

Сравнивая групповые и фазовые скорости, видим, что групповая скорость для данной модели и йе -> да в три раза больше фазовой для всех мод'волнового движения.

Более детальное -ознакомление со структурой течения и динамикой стенки для отдельных мод волнового движения двухфазной системы приводит к следующим выражениям для функций смещения стенки и продольной скорости движения (к0 и /<, - действительная и мнимая части волнового

числа к, аф определяется из условия к = |/с)е'*):

Л,(*,0 = в вм соэЦ+к,х). (21)

Соответствующее распределение продольной скорости в канале имеет вид:

ц(х, у,() = тгг е^ЧсоЕ^ + V+"/2 -ч> + а (у - - ак(/ + +я/2 - ф) +

М (22)

схв(Г + /с,х+я/2-<р-а (у+1))в"а"'"*-схв(Г + к|*+я/2-9-а1 )

Из выражения (22) видно, что вблизи стенок располагается пограничный слой Рэлея толщины 6 = 72/Яе, в котором продольная скорость возрастает от нуля у стенки до значения

в'Ьсновном ядре потока.

В центральной части канала жидкость совершает колебательные движения, отличающиеся от колебаний стенки только по фазе. Интересна зависимость сдвига фазы между основным течением и колебаниями стенки в зависимости от степени затухания волны. На рисунке 2 продемонстрирована закономерность сдвига фаз для стенки и скорости по оси канала. При малом затухании (ф =Зл/2) и скорость жидкости в потоке находится в фазе со стенкой (кривая I), с увеличением затухания (л <<р < Зл/2) фаза продольной скорости жидкости сдвигается вперед (кривая II), так что жидкость как бы проталкивается передним фронтом волны в стенке. На рис. 3 приведены типичные профили продольной скорости при некоторых значениях числа йе (1Че=18 и Ве=180).

В другом асимптотически предельном случае стремления Ие к нулю получились следующие значения волновых чисел:

и = - е* С05(< + к,х+л/2 -ф)

(23)

рис.2. Закономерность сдвига фаз для стенки и продольной скорости по оси

канала.

рис.3. Типичные профили продольной скорости при Ре=18 (сплошная линия) и Ие=180 (пунктирная линия).

k3t = ±VAo) -— +1—

(25)

(26)

С помощью (24) - (26) можно получить оценку фазовой скорости распространения моды, ее затухания, групповой скорости для каждой моды.

Сравнивая групповые и фазовые скорости, видим, что групповая скорость для данной модели и Re «О в 6 раз больше фазовой для всех мод волнового движения.

Длина затухания определяется выражениями:

i1=a-7=£==(Aofi L,=a-=£==(Aa)"i L3=aT2(Aa)"i , (29)

%/2+л/З л/2->/3

для I, II и 111 мод соответственно.

Из (29) видим, что все пары мод обладают достаточно сильным затуханием, причем 2-ая пара обладает длиной затухания приблизительно в 4 раза больше первой и в 3 раза больше третьей пары мод.

Ниже приведены графики зависимости безразмерной длины затухания L/a (рис. 4), действительной (рис. 5) части волнового числа от безразмерной частоты колебаний ю = Аа для трех мод волнового движения (кривые 1, 2, 3 - соответственно).

С помощью графиков можно оценивать эффективность конструкции перекачивающего механизма, так как реальная длина конструкции не должна превышать нескольких длин затухания. Если конструкция имеет малую толщину стенки, невысокий модуль упругости и перекачивает жидкость большой вязкости, то при такой комбинации характерное время А может оказаться достаточно большим. В силу этого средние по числовым значе-

(27)

(28)

рис.4. Зависимость безразмерной длины затухания /_/а от частоты колебаний о.

рис.5. Зависимость действительной части волнового числа от частоты колебаний <о.

и

ниям частоты могут оказаться относящимися к рассматриваемому ассимп-тотическому случаю.

Течения при малых числах Ре характеризуются тем, что пограничные слои срослись между собой и асимптотически предельным здесь является хорошо известный профиль Пуазейля по поперечному сечению канала:

ц (х.у.Г) = - щ е"°" соз(1 + кхх + я/2 - Ф)(1 - у2), (30)

а функция колебаний стенки имеет вид:

/1,(х,1) - 1 + е вк°" соэ^ + к,х). (31)

Соотношения фаз колебаний продольной скорости и стенки полностью аналогично течению при больших Ре: находясь в фазе при малом затухании (ф «Зя/2), колебания скорости сдвигаются вперед по фазе с увеличением затухания.

В этой главе также приведен расчет поля скорости массопереноса пс трубе во всем диапазоне чисел Ре и получены выражения для нахождени? расхода жидкости в канале. Для значений Ре, стремящихся к бесконечности, указанная скорость равна:

Щх.У) = ^-|ва'"(/(,(4е"1Н1 сова(у -1) - 25 - 115е2а<)",)) + 1*1

к„(<х2 - 2а - ОД + 0,5е2а"'-" + 2^ауеа,'-,) СОв(а(у - 1) - л/4) (32)

- 51П(а(у -1)) -а2у2)) Для малых значений числа Ре :

. 1Л/(х,у) = ^вг^/с,(|у4-4у2+|). (33)

Полный расход жидкости дается интегрированием выражений (32) (33) по поперечному сечению канала.

Типичные профили продольной скорости массопереноса по попереч ному сечению канала для различных значений числа Ре при заданном л приведены на рис. 6, 7 при нулевом перепаде давления Ар = 0. Видно, что для больших значений Ре, превосходящих 50, у стенок трубы в погранич ном слое образуется положительно направленная струя жидкости, профил! скорости при этом бимодален. С уменьшением значений числа Ре погра

-1.Т

рис.6,7. Профили продольной скорости массопереноса для различных значений числа Ре (при к0 = -1 , к, = -0.66).

ничные слои у стенок начинают сильно взаимодействовать между собой, кривизна профиля по оси трубы меняет знак и течение становится одномо-довым типа Пуазейля.

Изучаемая двухфазная среда является довольно сложной многопараметрической системой. Основными определяющими параметрами задачи являются: йе = а2ш/уж - число Рейнольдса.е =Ь/а - относительная амплитуда колебаний стенки, О = 2ЕНСГ/3(1 - усг2) - жесткость стенки, //а - относительная длина трубы, Нсг/а - относительная толщина стенки, рсг/рж -отношение плотностей жидкости и стенки. Теоретически получены различные моды движения, волновые свойства которых зависят от всей совокупности указанных параметров нетривиальным образом. Тем не менее, можно указать некоторые общие свойства для всех мод.

Несомненным является необходимость осуществления режима бегущей волны по упругой стенке канала. Выражения для скорости массопере-носа (32), (33) однозначно указывают на это. Согласование активной нагрузки на выходном торце трубы для режима бегущей волны может быть получено по решению для каждой выбранной моды течения. Это теоретически идеальный вариант, исключающий появление отраженных волн. В более приземленном варианте с использованием пружины, вязкости, утолщения трубки и т. д., структура потока без труда может быть определена на основе полученного общего решения задачи.

Полный расход жидкости для всех мод течения прямо пропорционален квадрату относительной амплитуды колебаний стенки и относительной длине изгибной волны в стенке. Повышение жесткости стенки канала уменьшает затухание по длине канала, увеличивает длину волны в стенке и массоперенос жидкости.

Третья глава посвящена исследованию вибрационно-волнового движения вязкой несжимаемой жидкости в двухфазной системе жидкость-упругая стенка в случае осесимметричной трубы.

Введем цилиндрическую систему координат: ось х направим по оси трубы, ось у- по радиусу трубы. Уравнение сохранения массы и уравнения количества движения в форме Навье-Стокса в цилиндрической системе координат записываются в виде (все обозначения главы 2 здесь сохранены):

д и 1 9 уу

—- + -—!- = 0, (34) 9 X у д у

ди ди ди 19)5 е2и дги. 19 и

-+ и-+ 4-=----- + -+ -—г --, (35)

а Г 9 х 9 у рж 9 х ж 9 х2 9 у2 у 9 у к '

д V ду а V 1 д Р . а »

— + и— + 1/— = -■—■ — +уж(—т +-—(—). (36)

9 Г 9 х с) у рж 9 у 9 х 9 у жЗуУ * '

Свойства стенки заданы методами сопротивления материалов как свойства линейно-упругой пластины:

а2/? 9*л ^.а2/? щд ' . л ..

-р„—5 = 4+-—+7—---- —1). 37

На подвижной межфазной границе ставятся граничные условия (см. гл.2) Задача линеаризуется с помощью малого параметра. Поиск аналитического решения приводит к уравнению Бесселя, что позволяет выписать функции для продольной и поперечной скоростей, колебания стенки трубы и градиента давления.

Здесь также рассмотрены асимптотически предельные случаи Яе -> О и Йе -> да. В первом случае имеем 6 корней характеристического уравнения:

*,2=±2 -«(р^з^ЛЛ/), (38)

И. 2 г

ки-± г^рГ'^ф-!'), (39)

V ^ ж ^ ^

| V,

Сравнивая эти экачек:-:?: волновых чисел с полученными для плоского канала (см.(1£)-(17)), гмдим, что отличия не столь существенны, а именно, волновые ч лг.тг, дгя осчсимметричной трубы в 1,12 больше волновых чисел для плоского < = -ал», а разовые и групповые скорости будут приблизительно на 1' % меньше в случае осесимметричной трубы. Этого следовало ожидать, так как если в области внимания находится волновая структура течения зсзле стенки, и при этом характерные размеры решения (например, длины волны или радиуса кривизны) удерживаются порядка единицы, то радиус трубки стремится к бесконечности, следовательно, стенка эффективным

образом выпрямляется,и потоки плоский и цилиндрический'перестают ^различаться.

Стенка в этом случае совершает колебания по закону h¡{x,t) = е eMco's(t + k,*), а продольная скорость имеетшид:

u(x,y,f) = "*»>(е» cos(a + л/8)—^.eQ),'jCDs(ay+;п/В)).. (41)

V2|/c| .д/у

Из выражения (41.) видно, что вблизи стенок располагается пограничный

слой Рэлея толщины 5 =1/а , в котором продольная скорость возрастает сот

нуля у стенки до значения

и(х, t) = ~ е-" cos(a + я/8) (42)

в основном ядре потока.

Непосредственно на оси канала жидкость совершает'шлейательные движения, отличающиеся от колебаний стенки только по фазе:

u(x,f) = cos(f + к,х + Зл/2-ф). ((ИЗ)

Рассмотрим, как меняется скорость по у впгдоиотенвннвмзслпетшлщи-ны 6. Для этого введем (с "помощью преобразований) функцию ажргрппти, зависящую от 8 ='1-,у следующим образом:

и(1 - у) ~ е" cos(a +.3я'/в). ЦЩ)

72л v Re

Видим, что продольная скорость вблизи стенки меняется tío линейному .закону при достаточно больших-числах Рейнольдса.'Можно получить'порядок рассматриваемых при этом чисел Re: Re < 2/íüOv62.

В случае Re-»'0 получены две слабозатухающие и одна: сильнозатухающая моды волнового движения:

AlXv„ 2

Аггг = - '(45)

Ь'ж >• Р

= + 4 f^. (#/). '(47)

- Р X

Длима затухания определяется выражениям«::

для* I-, № ют Ш: мод соответственно-

Выведены оценки фазовой и групповой, скоростей для каждой моды воянааога течения:

(49)

4а [5

Сравнивая групповые и фазовые скорости, видим, что групповая скорость для первой пары решения в 2 раза больше фазовой. Т. к-, для третьей моды волновое число пропорционально ь> , т. е. групповая скорость равна фазовой, то дисперсия в данном случае отсутствует. Вторая мода в этом смысле не представляет интереса, так как волновое число не зависит от о и групповая скорость равна нулю.

Течения при малых числах йа характеризуются тем, что пограничные слой срослись между собой и асимптотически предельным здесь является хорошо известный профиль Пуазейля по поперечному сечению канала:

и,[х,у,1) = ~ще"''С05(1+ /2у2), а функция колебаний стенки имеет вид:

Соотношения фаз колебаний продольной скорости и стенки полностью совпадает с плоским случаем и при больших, и малых йе: находясь в фазе при малом затуханиии (ц>мЗя/2), колебания скорости сдвигаются вперед по фазе с увеличением затухания.

В четвертой глава представлена математическая модель, являющаяся синтезом моделей, рассмотренных в главах 2 и 3. Изучение пульсирующего поля скоростей и давлений в плоском канале методом, изложенным в главе 2, показало, что привогчщий к появлению расхода нелинейный механизм накопления малых несоответствий в перемещениях и малых неравенств градиента давления на траектории движения лагранжевой частицы, прояп-

ао

ляющихся в пределах каждого периода, работает в пристеночной области, а не у середины плоского канала. Приступая к рассмотрению течения в осе-симметричной трубе, мы ожидаем, что этот же механизм будет работать в коаксиальной цилиндрической области потока вблизи стенки и вдали от его оси. Поэтому при описании упругих свойств стенки будем считать ее круговой цилиндрической оболочкой, а уравнения гидродинамики оставим такими же, как и в плоском случае. При этом будем иметь ошибку в описании течения возле оси трубы, но на эффекте перекачки эта ошибка будет сказываться слабо.

Анализ получившихся при этом мод волнового движения в асимптотически предельных случаях показывает, что такая модель может представлять интерес, поскольку полная постановка осесимметричной задачи приводит к громоздким выкладкам и практической неосуществимости расчета и анализа поля скорости массопереноса по трубе. В случае Яе -> м использование решения синтетической задачи оправдано, учитывая, что различия в волновых числах, полученных при этом, составляют чуть более 10% по сравнению с полной постановкой осесимметрической задачи главы 3. В случае Ре -» 0 волновые числа отличаются приблизительно в два раза и эта модель вполне пригодна для исследования качественных эффектов.

Основные выводы по работе.

1. Представлены математические модели, описывающие совместное движение упругих стенок канала и вязкой жидкости, заполняющей канал (так называемое перистальтическое прокачивание). Рассмотрены последовательно случаи плоского и цилиндрического каналов.

2. Считается, что течение жидкости описывается решениями уравнений Навье-Стокса, а динамика движения упругих стенок описывается уравнениями, полученным для линейно-упругой пластины, нагрузкой на которую служат давление жидкости и силы инерции. Движение левого конца стенки канала задается гармоническим соотношением. Граничные условия ставятся на подвижной межфазной границе.

3. Выписаны аналитические решения полученных систем уравнений для всех моделей и дисперсионные соотношения (зависимость волнового числа от частоты колебаний).

а

4. Рассмотрены ассимптотически предельные случаи стремления чис-па Рейнольдса к нулю и к бесконечности, выписаны моды волнового движения, оценки фазовой и групповой скоростей, а также длины затухания.

5. Для плоского случая приведен расчет поля скорости массоперено-:а и получены выражения для расхода жидкости в канале. Для относительно небольших амплитуд колебания стенки найдены основные режимы массо-тереноса при развитом течении. Показано, что расход жидкости для всех найденных мод волнового течения прямо пропорционален квадрату ампли-гуд колебаний и относительной длины изгибной волны в стенке. Показано также, что повышение жесткости стенки 'канала уменьшает затухание по [умне канала, увеличивает длину волны в стенке и массоперенос жидкости.

6. Анализ моделей показывает, что в случае йе -> « вблизи стенок эбразуется вязкий пограничный слой, вне которого жидкость испытывает синфазные со стенкой колебания с постоянной почти по всему сечению скоростью. Установлено, что для значений Ре ~ 25 пограничные слои не пересекаются и формируют тонкую струю жидкости вдоль стенок канала. С уменьшением значений Ре пограничные слои взаимодействуют и формируют хорошо известный профиль Пуазейля.

7. При объединении плоского и осесимметричного случаев в рамках обобщенной модели установлена практическая пригодность указанной модели, так как различия в волновых числах, полученных для полной постановки осесимметричной задачи, составляют около 10% в случае Ре-* аз , э в случае Яе -> 0 волновые числа отличаются приблизительно в два раза, и для исследования качественных эффектов обобщенная модель оказывается вполне пригодна.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Ожерелкова Л.М. Оценочная теория вибрационно-волнового движения вязкой несжимаемой жидкости в осесимметричном канале с упругими стенками.// Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Вып. 9. М.:Изд-во МОПИ, 1995, С. 121-131.

2. Ожерелкова Л.М., Карташов Э.М. О движении вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с упругими стенками. Известия вузов. Авиационная техника. Казань, 1995. № 4.

3. Шуган И.В., Куксенко Б.В., Ожерелкова Л.М. Вибрационно-волновое движение вязкой жидкости в плоском канале с упругими стенками.// Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей. № 16. Уфа, 1994. С. 132-138.

Сдано в печать 13.04.1996 Бумага офсетн. Печать офсетн. Формат 60x90/16 уч. изд. л 1,0

Тираж 80 экз. заказ 50

Издательско-полиграфический центр МИТХТ Москва, пр-т Вернадского, 86 Типография ООО "Полинор-М" Москва, пр-т Вернадского, 86