автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вероятностный метод дискретных ординат: развитие алгоритмов и программная реализация

?Г5

1 3 ЛИВ 1937

На правах рукописи

УДК 621.039.51

КОНДАКОВ ВЛАДИМИР ВЕНИАМИНОВИЧ

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ: РАЗВИТИЕ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат диссертации на сонскание ученой степени кандидата физико—матемдтспеских наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Московском государственном инженерно—физичес» интитуте (техническом университете).

Научный руководитель:

доктор физико—математических наук, професс В. В. Хромов .

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, БП. Кочуров -

кандидат физико - математических наук Н.С. Кеышн

Ведущая организация:

Российский научный центр 'Курчатовский инстит

Защита состоится "Р.? >99?г. в /Учас. (ЗОмин. па заседш

специализированного совета Д053.03.08 в аул- 202 главного корпуса в МИФИ адресу. 115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел.324 - 84 —98. С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МИФИ. Автореферат разослан *.,,," 1996.Г- .

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в од! экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.—м.н., профессор

А.С.Леонов

Подписано в печать ^ (/6 Заказ '¡'- У"!-

Тираж

Типография МИФИ, Каширское шоссе, 31

Актуальность работы. Основное шшмашю конструкторов ЯЭУ в последнее время направлено на разработку проектов установок, обладающих . естественной безопасностью и самозащпщенностыо. Надежный анализ проектируемых реакторов, а также расчет защити ¡г блаикетов гибридных термоядерных реакторов приводит к необходимости . создания, и совершенствования программ для прецизионных расчетов нейтронных полей в системах со сложной трехмерной геометрией.

Цель работы. Целью диссертационной работы является развитие вероятностного метода дискретных ординат для систем со сложной ■ трехмерной геометрией, разработка двухуровневых нелинейных алгоритмов для ускорения расчетов . с использованием вероятностного метода дискретных . ординат, исследование эффективности его применения для различных задач, теории переноса нейтронов. В соответствии с этой целью ставятся и решаются следующие задачи:

: . — формулировка вероятностного - метода дискретных ординат и уравнений восстановления тонкой структуры поля для областей со сложной трехмерной геометрией;

— разработка алгоритмов быстрого распета факторов влияния в уравнениях вероятностного метода дискретных ординат для" сложных трехмерных геометрий; ..

— разработка алгоритма сведения трехмерных расчетов к квази — одномерным для симметричных ячеек с условиями зеркального отражения на внешних границах;

— разработка двухуровневого итерационного глобально — локального алгоритма вероятностного метода дискретных ординат;

— создание комплексов программ для распета нейтронных полей с помощью нелинейных итерационных алгоритмов ВМДО для одно— и трехмерных геометрий;

— исследование эффективности предложенных' алгоритмов и верификация программных комплексов на основе решения тестовых "benchmark" задач.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые: — сформулирован вероятностный метод дискретных ординат для сложных трехмерных .геометрий с возможностью восстановления тонкой структуры поля нейтронов;

— создан алгоритм расчета . факторов влияния, позволяющий учитывать конструктивные особенности реакторов различных типов;

— разработан алгоритм сведения расчетов ячейки гексагональной формы с условиями зеркального отражения на внешних границах к квази— одномерным;

— сформулирован глобально—локальный алгоритм вероятностного метода дискретных- ординат; . .

— проведена верификация и продемонстрирована эффективность глобально —локальной схемы вероятностного метода дискретных ординат па основании расчетов тестовых "benchmark" задач.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

— разработанные методики могут служить основой для написания программ нейтронно—физического расчета широкого круга задач;

— создан универсальный комплекс программ для. решения 'задач теории переноса в одномерной плоской геометрии;

— создан программный блок пространственного .расчета ячейки реактора в мультигрупповом приближении;

— создан комплекс программ для нейтронно —физических расчетов реакторов в трехмерной сложной геометрии;

— эти программные комплексы могут быть использованы для прецизионных расчетов нейтронно —физических параметров ядерных реакторов.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов и списка литературы (96 наименований), содержит 125 страниц, в том числе 24 рисунка и 8 таблиц.

Апробация работы и публикации

Основные результаты, изложенные в диссертации докладывались; на семинаре по проблемам физики реакторов (Москва, б/о Волга, 1993 г.); на семинаре, посвященном алгоритмам и программам для нейтронно — физических расчетов ядерных реакторов (Обнинск, 1994 г.). По результатам исследований, составившим основу диссертации опубликовано 5 печатных работ и выпущено 2 научно —технических отчета.

Автор выносит на защиту:

— Вероятностный метод дискретных. ординат с возможностью восстановления тонкой структуры поля для областей со сложной трехмерной геометрией;

— алгоритм расчета факторов влияния в ячейках сложной формы, позволяющий учитывать конструктивные особенности реакторов различных типов;

— алгоритм сведения трехмерных расчетов ячейки гексагональной формы с условиям зеркального отражения на внешних границах к квази— одномерным;

— глобально—локальный итерационный алгоритм ускоряющий расчеты с помощью вероятностного метода дискретных ординат;

— комплексы программ, реализующие двухуровневые нелинейные алгоритмы вероятностного метода дискретных ординат для случая одно — и трехмерных геометрий;

— результаты расчетов тестовых "benchmark" задач.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации проведен обзор методик и программ, используемых при решении уравнения переноса нейтронов в системах со сложной трехмерной геометрией. Перечислены проблемы, возникающие при использовании различных методик и программ. Проведен сравнительный анализ предлагаемой методики с существующими. Особое внимание уделено методам ускорения итерационных процессов с использованием приближения низкого порядка аппроксимации решения. Сделан вывод об актуальности предлагаемой методики.

Далее приводится вывод основных уравнений вероятностного метода дискретных ординат для сложных не ортогональных трехмерных геометрий рассматриваемых систем. Рассматривается стационарное нейтронное поле в трехмерной системе, имеющей объем ^ ограниченный кусочно—гладкой поверхностью dV. Распределение потока нейтронов в системе будем описывать в многогрупповом приближении функцией

<р,(/,0) {g = 1.....Ng), где g — номер энергетической группы, а (г,Й) —

точка фазового пространства.

С целью перехода к дискретному описанию нейтронного поля по пространственной переменной, объем V предствляется в виде совокупности

непересекающихся объемов V, (т = 1.....Nm) с кусочно—гладкими

поверхностями 0Vm. Каждая такая поверхность состоит из конечного множества {£„} поверхностей Г, (I е {¿м}), которые являются границами двух соседних объемов. На каждой поверхности 5V, определены внешняя по отношению к объему Vn нормаль nmJ = «„(¿5) поверхности Г, в точке г,, распределение г„п) вытекающих из Vm токов и распределение /т'х втекающих в этот объем токов через границу Г, :

J"

Поскольку на попсрхностях Г, , лежащих внутри глобального объема . V, отсутствуют внешние источники нейтронов,-'.то справедливо условие • непрерывности: /„¿(г,,п) = ГА° '»О- обозначает номер соседнего

с объема, имеющего с ним общую грань Г, .

В качестве исходного при переходе к дискретным- аналогам, рассматривается интегральное уравнение для потока нейтронов в объеме Уя:

<рг(г,П) = ¡¿ГС,(г «-г\Й)у{(г\Й)+.

К . ■ (1)

где функция С/г <~ г',0) (функция Грина) точечных монопаправлепных источников определяет поток непровзаимодействовавших нейтронов от точечного мопопаправленого источника.

Функция ч'г(?',П) характеризует распределение ингенснвностей объемньус источников, включая источники рассеяния, деления и внешние, а _/!*(!■ ,,„('!.") — интенсивность поверхностных источников, которые по существу являются токами нейтронов, вытекающими из соседних объемов.

Наряду с уравнением (1) формулируются уравнения . для односторонних токов на поверхностях Г, лежащих В1гутри объема К Эти уравнения выгекшот из уравнения (I) н определения тока нейтронов:

]с/Г1 ¡Й-п„г',г■, + •

(2)

, Для перехода к дискретным уравнениям переноса вся 4тс — сфера направлений полета нейтронов разбивается на непересекающиеся угловые диапазоны (к = 1,...,А'). Тем самым вводятся подобласти

"пл = е К,." еЛО^} и <Ь = {'П с /",;' <Л е Д01,±(Ш„,,)> б},, в

которых рассматриваются интегральные характеристики поля нейтронов.

Посредством тождественного преобразования уравнение (1) представляется в виде:

■ б

Ы'.)

Здесь VmfJt = (¿"b-;-,• ИНАСКС принадлежит

множеству {JV} = х {к-}, где множества индексов

энергетических грудп и угловых диапазонов, соответственно. Функции влияния интегральных источников в уравнении (3) определяются выражениями:

Gs(f,Û*- «„,t) = 7~~ j'Ir'G/r <-г\П)ч/,(г\П), (4)

т,т Va

с,(Кй f Ou.,) = Jdfp,{r <- г„й)]мп.,(Гг ft)- (5)

■/»<M."j г,

Из физического смысла функции влияния Gt(r ?',iî) и квадратурной формула (4) следует, что функция Gt(Jr,Ù *-"mt) удовлетворяет а объеме V,,, уравнению:

«м

с вакуумными граничными условиями ira <5V'm.

Формула <5) является квадратурной формой записи решения в Vm однородного уравнения

(£2V+Si(r))G«(f,n<~wl;lftu) = 0 (7)

при краевом условии

G«(iî,n ч:,!ш)=

— AU?-")- (г7.П) G

(¿¡,0) g

Интегрирование уравнения (1) по , а уравнения (2) по и^ , приводит результирующую систему равенств к виду соотношений, связывающих между собой интегральные потоки, токи и интенсивности источников в выделенных фазовых подобластях:

У

Ф,„„ = Г(т <- т,п)Ч>яп + У F(m *- l\n)j„ ' rföl

<!>„„ = — интегральный поток нейтронов, а матричные

коэффициенты в уравнениях названы нами факторами влияния. Факторы /■"(»)<- ш,н) и /•"(»!*-'.") определяют, соответственно, влияние интегральных объемных и поверхностных источников на интегральный по нт1 поток непровзанмодсйствовавших нейтронов, а факторы /'(/ <— т,п) и /'(!<-Г,п) — на интегральный в подобласти ^„{j • ток испровзаимодействовавшнх нейтронов. Для факторов влияния выполняются следующие балансные соотношения:

£ Р(1 <- т,п) + £„/(/« <- ш,и) = 1,

(10)

£>(/<-/'.«) +£„/•('«<-/', «О = I,

ше!^,,}, и 6 {м}.

Из уравнения (9) с учетом балансных соотношений (10) вытекает соотношение баланса процессов в фазовой области ит1:

'-Ю ' М'.(

На основе дискретного аналога исходных шггегрлльных уравнений (8), (9) и формул!.! восстановления поля в элементарной области (3) можно построить широкий класс приближенных методов решения уравнения переноса нейтронов.

Ключевой проблемой при реализации алгоритмов ВМДО является расчет факторов влияния. Простейший алгоритм ВМДО с замкнутой системой уравнений формулируется в приближении плоских потоков при расчете факторов:

Ф^г.П) = Сои.у/, (г,О) е »,„,; Ф4.0;,С1) ^ Сон.«, (г„П)ен%'и. В этом случае можно показать следующую связь факторов:

1- £

М<,| Ри1 г

где = Используя данное выражение и уравнения баланса (10),

все факторы в уравнениях ВМДО могут быть выражены через вероятность

В приближении плоского потока, используя определенно факторов влияния и вид функции Грина для точечного мононаправленого источника, для вычисления вероятности Р{1 <- Г;я,к) получено следующее выражение:

' г-,8,к) = —I <10 |<й>|а»,|схр(-|,; - гг\г„х).

Для вычисления такого рода интегралов предложена методика, заключающаяся в численном получении внешнего интеграла по угловому диапазону и аналитическому вычислению поверхностного интеграла для каждого значения направления полета нейтронов. При этом были созданы алгоритмы нахождения областей ГДС1), в которые попадают нейтроны летящие в направлении О. Для повышения эффективности алгоритмов форма пространственных областей была ограничена прямыми призмами, имеющими в основании ряд симметричных многоугольников.

В ряде случаев при анализе систем с нейтронным полем удобно использовать упрощенные двумерные или даже одномерные модели систем. В этих случаях можно воспользоваться преобразованиями трехмерных факторов на основе уравнений ВМДО. Поясним алгоритм таких преобразований на примере перехода от элементарного объема в форме призмы конечной высоты к бесконечным по высоте призмам. Существо алгоритма преобразования в этом случае составляет постановка условий зеркального отражения нейтронов на торцах призмы. Тогда решение дискретного ВМДО —аналога задачи (6) совместно с условиями отражения на торцах позволяет определить факторы влияния объемного источника на поток и. боковые токи вытекающих нейтронов в бесконечной по высоте призмы. Аналогичным образом дискретный ВМДО —аналог задачи (7) позволяет определит!, факторы влияния поверхностного источника на поток нейтронов и вытекающие токи через боковые гран» бесконечной по высоте призмы. Такого рода алгоритм преобразования вероятностей был использован Л^я получения квазн —одномерных фактороп л^ элементарных

объемов в симметричной шестигранной ячейке с условиями отражения на торцах призмы и плоскостях симметрии ячейки и применен в задаче расчета мультигруппового спектра нейтронов в ячейке реактора типа ВВЭР. Такой подход подразумевает отказ от перехода к эквивалентной цилиидричесой ячейке, что позволяет корректно устанавливать условия зеркального отражения на внешних границах.

В диссертации развит двухуровневый алгоритм расчета нейтронного поля, когда тонкая структура распределения нейтронов внутри макрообъема описывается миогогрупповыми уравнениями ВМДО, а глобальный поток нейтронов во всем объеме определяется малогрупповыми уравнениями ВМДО сформулированные для интегральных по углу потоков и токов. Для вывода дискретных уравнений глобально —локального алгоритма определяются два уровня промранствснной, угловой и энергетической дискретизации. Объём системы представляется совокупностью непересекающихся макрообъемов Ум ограниченных поверхностями дУм', каждая из которых будет составлена из некоторого множества поверхностей Г, , I. е {£.„}. Каждая макрообласть при этом будет содержать множество {Л'„} элементарных объемов достаточно малых для того, ■чтобы можно было использовать приближение плоских потоков. Точно также каждая поверхность Г, будет содержать множество {л/,л,} элементарных хранен Г. С целью перехода к малогрупповому представлению макроиоля, вводятся неперекрывающиеся групповые диапазоны, каждый из которых Содержит множество {А/, } последовательно расположенных поморов £ групп исходной задачи. Это множество будем называть макрогруппон О.

Тем самым определены числовые множества

¿Лм, = I'" 6 {N>1 }.£ е {Л« 6 где }К} — множество номеров угловых

диапазонов на сфере направлений, и числовые Подмножества

= {/ е{/У, ,,},;; 6{л/,;},^ е{/С,*}}. Здесь {/С*} - подмножество номеров угловых диапазонов, для которых существуют вытекающие токи через поверхность Г,. Вводя Ч\1С = (Ч', Л —суммарные но иис интенсивности

объемных источников, JыaL — суммарные по \\'ии1 вытекающие токи, и используя уравнение восстановления нейтронного поля (3) в дискретной форме решение уравнения ВМДО в выделенных макрообъемах

40.

представляется через суммарные объемные и поверхностные источники и дискретные функции влияния этих источников:

V (И)

- 1 I12)

(Ж .«ЛОбУад-

Здесь и далее обозначение А/(Л) — номер макрообласти гра1гичащей с У„.

—IV) —(V)

Функции влияния Ф»,1>л(Л/,6') и описывают распределение

несоударившихся нейтронов в каждом объеме и на его поверхности. Они вычисляются в каждой макрообласти, как решение основных уравнений ВМДО, где объемный источник представляется нормированным

распределением —, а на поверхности ставится однородное

краевое условие. При такой формулировке эти уравнения являются дискретной ВМДО —формой задачи по определению функций влияния (4).

В то же время, функции влияния суммарных поверхностных

—(Г) —(Г)

источников Ф,п,Кх(М{Ц,С,Ц и .1„,,,.,:(М(Ц,С>,1Л определяются как решения тех же' уравнений с объемным источником Ч', г, равным нулю / для е и „л , а на границе Г^ используется' краевое условие:

- 1 ■'ми.).сл

[О, ■ г^

Очевидно, что такую задачу надо решать столько раз, сколько существует границ раздела между соседними макрообъемами. Аналогично предыдущему данная задача является дискретной ВМДО —формой задачи по определению функций влияния (5).

Суммируя равенство (И) по множеству и.,,. , а равенство (12) — по и7,,,,,, приходим к малогрупповому аналогу уравнений ВМДО:

н

= «- М.О^ + ^^ЛГ <- (13)

г ,■-..•

(14)

I-

где макрофакторы определены следующим образом:

ЯМ «- М.О = ; <- £\С) = /ф!.",Л ;

V '»'»« » '»мял

Данный алгоритм реализован в виде численной двухуровневой итерационной схемы, когда глобальное распределение нейтронов является решением уравнений (13) и (14), а микроструктура нейтронного потока внутри каждой макрообласти и микроструктура односторонних токов иа их поверхностях восстанавливается посредством уравнений (11), (12). Поскольку уравнения (13), (14) являются ребалансными по отношению к уравнениям на локальном' уровне дискретизации, такая схема позволяет ускорить процедуру получения решения на локальном уровне. Кроме того, глобально—локальный алгоритм можно интерпретироваать, как высокоточную процедуру подготовки малогрупповых гомогенизированных констант для ячеек со сложной геометрией.

Предложенные алгоритмы реализованы в ряде программ и программных модулей. Для оценки эффективности глобально—локальных алгоритмов ВМДО создана программа одномерного расчета РМЕЮ — Ш. Она предназначена как для расчета условно критического реактора, так и для расчета полей нейтронов в системах с внешним источником. Программа позволяет проводить расчеты с использованием как одноуровневого алгоритма ВМДО, так и с использованием глобально—локальной схемы. Факторы влияния для ячеек локального уровня вычисляются аналитически.

На основании глобально—локального алгоритма вероятностного метода дискретных ординат составлена компьютерная программа СЬБЗ, предназначенная для расчета условно — критического реактора со сложной трехмерной геометрией. Программа позволяет использовать форму ячеек, учитывающую конструктивные особенности реакторов различных типов. Расчетные ячейки представляют собой прямые призмы, имеющие в основании выпуклые многоугольники: прямоугольник, равносторонний

п

треугольник, правильный шестигранник и равнобедренные трапеции с утлом у основания и радиан. Данное множество фигур и их ориентаций предоставляет достаточно возможностей для дискретизации глобальных ячеек на локальном микроуровне и для последовательного учащения расчетной пространственной сетки. Для вычисления факторов влияния в программе С1£3 используется алгоритм прямого расчета. Для каждой фигуры существует свой эффективный программный модуль.

Алгоритм преобразования трехмерных факторов влияния к квази — одномерным для задачи нахождения нейтронного распределения в симметричных гексагональных ячейках с условиями отражения на внещпих границах был реализован в программные модули, используемые в качестве блока пространственного расчета при решении мультигрупповой спектральной задачи. Для предварительного расчета квази —одномерных факторов написан программный блок, который на основании мультигрупповой системы констант вычисляет трехмерные факторы влияния, используя соответствующие модули программы С 1^3, и вычисляет мультигрупповые квази — одномерные факторы для каждой расчетной области. Непосредственно во время решения спектральной задачи используется блок пространственного расчета, разрешающий квази — одномерные уравнения ВМДО. Для проверки работоспособности и оценки эффективности описанных алгоритмов и программ были проведены расчеты ряда тестовых задач.

Возможности ВМДО при решении задач на глубокое проникновение тестировались па решении проблемы Милна. Этот тест используется для валидации численных алгоритмов при вычислении нейтронного потока в достаточно протяженных плоских средах в отсутствии поглощения нейтронов при облучении 1гх внешним источником на левой границе и условиями границы с вакуумом справа. Вдали от границ устанавливается асимптотическое распределение одпоскоростных нейтронов, . которое описывается линейной зависимостью Ф(х) ~ С(х - х„). Установливая границу с вакуумом при .г = 0, параметр л„ определяет длипу экстраполяции. Его значение равно Д710446Х, где X — средняя длина свободного пробега нейтронов.

При расчетах^ размеры среды брались равными 15Я., что позволяло выделить область асимптотического решения и с помощью метода наименьших квадратов определить параметры функции потока. Уже при числе пространственных и угловых областей равных соответственно А1=250 и К= 48 ошибка определения длины экстраполяции составила 0,1%.

ИЗ

Увеличение параметров разбиения до М=500 и К= 48 привело к уменьшению ошибки до 0,03%.

На примере проблемы Милна изучалась также эффективность глобально—локальной схемы по сравнению с прямым алгоритмом ВМДО. На рисунке 1 представлена зависимость относительного врсмепи решения задачи в зависимости от- числа NM элементарных объемов в одном глобальном при фиксированных параметрах локального разбиения и равномерном разбиении на глобальные объемы. Время счета по прямому алгоритму ВМДО принималось за 1, При NH=50 ускоряющий эффект оценивается в 24,5 раза по сравнению с прямым алгоритмом ВМДО. Столь большой ускоряющий эффект объясняется в данной задаче отсутствием итераций по интегралу рассеяния в глобально—локальном алгоритме.

Для исследования эффективности глобально—локальной схемы ВМДО для реакторных задач рассматривалась одномерная, модель реактора с компактной активной зоной из высокообогащенной двуокиси урана, окруженный эффективным берилиевым отражателем в восьмигрупповом приближении. Проводились исследования оптимального соотношения размеров глобальных и локальных я еек. На рис. 1 приводится зависимость относительного времени расчета от пространственного фактора огрубления CF=NL/"NG, где NL и NC полное'число пространсгрешшх микро- и макроячеек соответственно, - для различных для различных значений энергетического фактора огрубления CFG=NGL/NGG, где NGL — полное число энергетических микрогрупп, NGG — число макрогрупп. Оптимальным явилось сохранение структуры разбиения по энергии, т.е. CFG- 1, и CF—3. При этом было достигнуто ускорение в 29 раз. Для оценки влияния рассеивающих свойств среда на степень ускорения, были проведены расчеты одномерной плоской модели реактора без отражателя с тем же составом активной зоны, размеры которой увеличивались до достижения критичности. Для такой задачи двухуровневая схема обеспечила ускорение в 8,5 раза. Расчеты продемонстрировали отсутствие ускоряющего эффекта при объединении энергетических групп. Естественным объяснением этого факта может служить достаточно сложная пространственно — энергетическая зависимость плотности потока нейтронов и, как следствие, плохое начальное приближения спектра.

Для тестирования программы и оценки эффективности двухуровневой схемы в трехмерной геометрии был проведен расчет одной из задач [3|, представляющей собой "benchmark" для тестирования программ решения уравнения переноса нейтронов. Проводились расчеты К^ и распределения

н

плотности потока нейтронов в модели реактора типа ЬА/УИ в трехмерной прямоугольной геометрии. Эта кубическая модель содержит две зоны (активная зона и отражатель) и вставленный (случай 1) или извлеченный (случай 2) регулятор. На рисунке 3 представлены расположение и размеры физических зон этой модели. На внешних границах ставится условие границы с вакуумом, на внутренних границах — условие отражения. Оценивались: Ке^г для двух случаев и эффективность регулятора,

определяемая как

I

К,

«у

К.,

. средние по физическим зонам (активная

зона, отражатель, управляющий стержень) двухгрупповые потоки нейтронов.

' При расчетах сравнивались результаты полученные с использованием программ СиЗЗ, РШгМА [3], реализующая одноуровневый алгоритм ВМДО в приближении плоского потока, и результаты полученные в РНЦ "Курчатовский институт" по программе МСи (метод Монте-Карло). Результаты расчетов приведены в таблицах 1 и 2.

Расчеты проводились при предложенных размерах пространственной сетки. Локальные, пространственные ячейки представляли собой куб размерами 1 смх1 смх1 см. Количество угловых диапазонов во всей сфере изменения угловой переменной менялось от 8 до 80. Пространственные ячейки глобального уровня из —за особенностей геометрии системы были выбраны в виде кубов размерами 5 см х5 см х5 см и объединяли в себе, соответственно, 125 локальных Ячеек. Следует отметить близость результатов, полученных при различных приближениях по программам СЬБЗ и РШ2МА. Некоторые отличия в результатах возникают вследствие накопления численных ошибок округления в . процессе итерационного решения на двух уровнях дискретизации. •

Таблица 1. Эффективный коэффициент размножения системы

Программа Вариант к = 8 ¿ = 24 А = 48 ¿ = 80

ршгмА 1 1,026 0,9872 . 0,9776 0,9738

2 1,009 0,9725 0,9612 0,9573

сьэз 1 ' 1,026 0,9879 0,9782 0,9743

2 1,009 0,9727 0,9632 0,9573

мси \ ■ 0,975+0,002

2 0,961+0,002

Таблица 2. Средний по зонам поток нейтронов, 10' (к=80)

Зона Группа Вариант MCU PRIZMA GLS3

Активная 1 1 4.778Ю.008 4,772 4,769

2 4,90710,007 4.910 4,881

2 i 0.875±0,003 0,872 0,868

2 0,871±0,001 0,868 0,867

Отражатель 1 i 0,59810,001 0,584 0,596

2 0,59310,001 0,582 0.591

.2 1 0,91810,003 0.794 0,815

2 0,88710,003 0,763 0.752 •

Стержень 1 . 1 1,44410,008 1,527 1,442

2 1,22910,007 1,307 1.239

I 0,96510,009 0,852 0,865

2 0,24310,002 0,261 0,261

Для случая 80 угловых диапазонов, что соответствует квадратурам S8 приближения метода дискретных ординат, была оценена эффективность

л

регулятора. Результаты расчетов вероятностным методом дискретных ординат дают величину 0,0177. Для сравнения результат, полученный по методу Мопте—Карло, дает значение 0,014410,0040. Таким образом, результат расчетов с использованием вероятностного метода дискретных ординат укладывается в размер статистической погрешности, полученной по методу Монте-Карло. Был оценен ускоряющий эффект использования двухуровневой схемы: при сохранении энергетического разбиения на глобальном уровне для приближений с различным числом угловых диапазонов степень ускорения составляла 3 — 4 раза.

Тестирование программных модулей . квази—одномерного пространственного расчета для ячеек гексагональной . формы осуществлялось на примере теста известного, как NB—2. В данном тесте для расчетов, предлагается бесконечный по высоте цилиндр, разделенный на концентрические зоны с различным изотопным составом. Выделяют топливную зону, содержащую уран—плутониевое окисиое топливо, оболочку из циркония и замедлитель — воду с добавлением изотопа На поверхности цилиндра предполагаются условия зеркального отражения. Расчитывался коэффициент размножения и мультигрупповой спектр. Физические константы формировались по программе АМРХ в 171 — групповом приближении на основе библиотеки VITAMIN—С. По пространству вся область делилась на три элементарных объема, совпадающих с физическими зонами. Результаты сравнивались с расчетом

16

спектра в £>2 приближении со 100 расчетами токами по пространству по одномерному цилиндрическому модулю АМРХ. В таблице 3 и па рис.4 приведены результаты расчетов с использованием различных программ. Видно, что расчет по кбази—одномерному алгоритму ВМДО адекватно отразил поведение энергетической зависимости поля нейтронов. Таким образом, результаты тестового расчета демонстрируют возможность использования квази—одномерного алгоритма ВМДО для спектральных расчетов с числом" пространственных зон, равных числу зон с различным физическим составом. . .

Таблица 3. Значение коэффициента размножения для N8—2 теста,

получешюго по разным п рограммам.

Метод ВМДО . Sje АМРХ • плоек. S2 АМРХ циллиидр. Monte-Carlo

Кос 1,17467 ' 1,19421 1,18231 1,1748

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ .

1. Сформулированы алгоритмы вероятностного метода дискретных ординат (ВМДО) для систем со сложной трехмерной геометрией:

а) Получен дискретный аналог газокинетического уравнения Больцмаиа, с возможностью восстановления тонкой структуры поля;

б) Создан алгоритм расчета вероятностей пролета пейтронов без взаимодействия из одной области фазового пространства в другую для трехмерных ячеек, учитывающих конструктивные особенности реакторов различных типов.

в) Сформулирован алгоритм нелинейной двухуровневой глобально— локальной итерационной схемы.

2. Создан. и реализован алгоритм квази — одномерного пространственного расчета нейтронных распределений в симметричной ячейке гексагональной формы с условиями зеркального отражения па внешних границах

3. Созданы комплексы программ для расчета нейтронных полей с помощью нелинейных итерационных алгоритмов ВМДО:

а) Программа РМОО — 10 предназначена для расчета распределения нейтронов в одномерной геометрии, позволяющая решать как условно — критическую задачу, так и задачу с внешними объемными и поверхностными источниками нейтронов.

77

6) Программа GLS3 предназначена Для ^ решения условно — критической задачи для систем со сложной трехмерной геометрией. Она реализует глобально— локальную итерационную схему ВМДО.

4. Проведено численное исследование эффективности предложенных алгоритмов и верификация программных комплексов иа основе решения широкого круга тестовых задач. Исследована зависимость ускорения итерационного процесса , от соотношения параметров глобального и локального уровней: дискретизации фазового пространства переменных.

В целом подтверждена эффективность предложенных в работе методик, созданы программные комплексы, которые могут быть использованы ' для прецизионных . расчетов ; нейтронно—физических параметров ядерно —энергетических установок. Намечены направления развития нелинейных многоуровневых алгоритмов на базе вероятностного метода дискретных ординат для детального описания геометрии системы и корректного перехода к малогрупповым крупносеточпым алгоритмам расчета нейтронных полей. '•'}■.- - .Г - - -

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. V.V.Khromov, L.A.Goncharov, E.F. Kruchkov, V.Y.Kondakov, G.V.Tikhomirov. Probabilistic Diskrete Ordinates Method for neutron distribution modelling in complex geometry. Тезисы докладов 8—го семинара по проблем-мам физики реакторов, том 1, М., 1993, с. 6—7.

2. Хромов В.В., Кондаков В.В., Гончаров Л.А., Крючков Э.Ф., Дворов В.А. Двухуровневый итерационный алгоритм вероятностного метода дискретных ординат. В журнале Атомная энергия, 1995, т.78, вып.2, стр.71 —78.

3. Хромов В.В., Крючков Э.Ф., Тихомиров Г.В., Гончаров A.A., Кондаков В.В., Семенцов В.В. Новый численный алгоритм расчета распределения нейтронов в задачах физики реакторов и радиационной защиты. Часть I В журнале Известия вузов. Ядерная энергетика. Обнинск: ИАТЭ. 1995, N1, стр.20—31.

4. Хромов В.В., Крючков Э.Ф., Тихомиров Г.В., Гончаров A.A., Кондаков В.В., Семенцов В.В. Новый численный алгоритм расчета распределения нейтронов в задачах физики реакторов и радиационной защиты. Часть I В журнале Известия вузов. Ядерная энергетика. Обнинск: ИАТЭ! 1995,N2, стр.24-34.

5. V.Khromov, E.Kruchkov, G.Tikhómirov, LGoncharov, V.Kondakov Probabilistic Method of Diskrete Ordinates in Neutron Transport Problem. В журнале Nuclear Science and Engineering, v.121, N2, 1995, p.264 —276.

и

080 —«

-

-

020 -

-

1 Г » 1 1 » » 1 г 1 1 1 пи

1 10 100 1000 число локальных объемов в одном глобальном

Рис. 1 Зависимость времени счета при решении проблемы Милна от числа локальных ячеек в одной глобальной.

Пространственный фактор огрубления Рис. 1 Зависимость времени счета от пространственного фактора огрубления при расчете условно — критического реактора.

У(см)

ж (см)

25

25

15

15

15 20 25 * (см) 15 20 25 х(см)

□ —активная зона; ЕЦ -отражатель; [3 —управляющий стержень.

Рис. 3 Конфигурация физических зон в модели малого (тест Такес1а).

з я а х

о С

0.016

0.012 -

0.008 -

0.004 ■

0.000

— — - «МАО

иПш|—I нинц 1НИ11Ц—I I ЧГ|<1[—I I111111]—I ищи) I пит) I I ппщ I щшц

1.00Е-1 1.00Е+0 1.00Е+1 1.00Е+2 100Е+3 100&4 1.00Е+5. 1.00Е+6 ШЕ+7 1.00Е+8 Энергия нейтронов (зВ)

Рис. 4 Мультигрупповые спектры в топливной зоне ячейки N8 — 2 теста

рассчитанные в различных приближениях.

+