автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование и разработка алгоритмов кумулятивных сумм в задаче обнаружения разладки при негауссовских решающих функциях

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Р Г Б О Л (техккчесга{й университет)

На правах рукописи

СВИРИДЕНКОВ КОНСТАНТИН ИВАНОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ КУМУЛЯТИВНЫХ СУШ В ЗАДАЧЕ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ ПРИ НЕГАУССОВСКИХ РЕШАКЩХ ФУНКЦИЯХ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: докт. техн.наук профессор ФИЛАРЕТОВ Г.Ф.

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре Управления и Информатики Московского энергетического института.

Научный руководитель ; доктор технически?! наук

профессор

ФИЛАРЕТОВ Геннадий Федорович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук профессор

ОРЛОВ Александр Иванович

кандидат технических паук доцент

Волгин Владимир Владимирович

Ведущая организация : Объединенный институт ядерных исследований

Защита диссертации состоится 16 февраля 1995 г. в аудитории

№ _ в 15 час. 00 мин. на заседании специализированного

Совета К-053.16.09 Московского энергетического института.

Отзывы (в двух экземплярах, заверенных печатью) просим присылать по адресу : 105835 ГСП Москва, Е-250, Красноказарменная ул., д.14 , Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Автореферат разослал 15 января 1995 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЩШМЗИРОВАННОГО СОВЕТА К-053.16.09 к.т.н., доцент

Полотнов М.М.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одной ив практически важных вадач, которые решаются с помощью статистических методов, является задача наискорейшего н наиболее точного определения момента изменения свойств изучаемых объектов, характера протекающих в них процессов. Эта задача, обычно называемая задачей обнаружения разладки, возникает, например, при выявлении случайно появляющихся сигналов, идентификации и управлении динамическими объектами, в технической и медицинской диагностике, организации контролирующих алгоритмов.

Сложность данной задачи порождает многообразие применяемых для ее решения математических методов и алгоритмов, что нашло свое отражение в появлении большого количества работ отечественных и зарубежных специалистов. Вместе с тем, многие важные вопросы теоретического и прикладного плана здесь все еще остаются нерешенными. Это в первую очередь касается наиболее распространенных на практике методов и алгоритмов последовательного обнаружения разладки и, в частности, алгоритмов кумулятивных сумм (АКС), зарекомендовавших себя в качестве эффективного средства решения многих прикладных задач. Поэтому проблема развития методов обнаружения разладки, построения эффективных статистических процедур типа АКС с учетом конкретных особенностей различных предметных областей остается весьма актуальной.

Цель работы. Разработка методов анализа алгоритмов кумулятивных сумм в вадаче обнаруления разладки при негауссовских решающих функциях и их применение для исследования и синтеза контролирующих процедур.

Научная новизна работы:

- разработан аналитический метод анализа АКС в задаче разладки параметра экспоненциального распределения, распределений Лапласа и Релея;

- с помощью подученных аналитических соотношений проведено исследование основных вероятностных характеристик АКС для различных комбинаций параметров до и после разладки.

- разработан усовершенствованный вариант вычислительного алгоритма метода рекуррентных соотношений (MPC) применительно к задачам разладки, связанным с х2 - распределением с произвольным

числом степеней свободы;

- путем сопоставления аналитических и численных результатов проведен анализ точности расчетных процедур MPC и выработаны общие рекомендации по выбору параметров, обеспечивающих необходимую точность результатов;

- получены расчетные соотношения, необходимых для синтеза АКС в случае экспоненциального распределения, распределений Лапласа и Релея, а также, х2 - распределений с числом степеней свободы v = 1 + 4.

Практическая ценность результатов. Разработанный аналитический метод анализа позволяет получать точную информацию о статистических свойствах АКС при обнаружении скачкообразного изменения параметра экспоненциального распределения, распределений Лапласа и Релея.

Предложений модернизированный вариант численной процедуры метода рекуррентных соотношений дает возможность повысить точность конечных результатов и имеет расширенные функциональные возможности.

Для практического использования полученных результатов сформулирована процедура синтеза соответствующего контролирующего алгоритма, удобная для конечного пользователя.

Проведена модернизация диалоговой системы "STATCON", предназначенной для организации и проведения статистического контроля.

Модернизированый вариант диалоговой системы "STATCON" включен в состав программного 'обеспечения автоматизированных систем экологического мониторинга, разрабатываемых во ВНИИХТ. Разработан и внедрен на Смоленской АЭС алгоритм обнаружения аномальных ситуаций в системе регистрации данных. Получены соответствующие акты о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 39-ом Международном научном коллоквиуме , г.Ильменау (ФРГ), 1994 г.; на Московском семинаре по статистическим методам (Орган Российской ассоциации по статистическим методам), г.Москва, 1994 г.; на международной научно-технической конференции "Идентификация, измерение и имитация случайных сигналов", г.Новосибирск, 1994 г.; на научном семинаре центра автоматизации научных исследований МЭИ, 1994 г.; на расширенном заседании кафедры Управле-

ния и Информатики МЭИ.

Публикации . Основное содержание диссертации освещено в шести публикациях.

Объем работы. Диссертация состоит ив введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 60 наименований и приложений. Диссертация содержит 158 ср. машинописного текста, в том числе 124 стр. основного текста, 46 рисунков и 19 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и новизна темы диссертации. указаны ее цель и основные положения, выносимые на защиту. (формулирована математическая постановка задачи о разладке дискретного случайного процесса <Хп> - быть может, векторного. Она состоит в следующем: пусть наблюдается реализация случайного процесса <Хп>. которая до момента Ьо обладает вероятностными свойствами, описываемыми функцией распределения вероятностей (функцией плотности) *о(х), а с момента ^-функцией н(х) ^иоСх). Необходимо, наблюдая реализацию <ХП>. обнаружить изменение свойств контролируемого процесса. Среди различных методов обнаружения разладки большой практический интерес вызывают последовательные параметрические методы, когда *о(х) = и(х,во) ; во некоторый параметр (вектор параметров), характеризующий свойства

данного дискретного процесса XI ,хг..... хп . изменяется на

к(х,9); 9 * 0о- При этом такое обнаружение должно реализовывать-ся в реальном масштабе времени, в темпе с процессом и быть оптимальным, например, в смысле минимивашш среднего времени запаздывания в обнаружении разладки х при фиксированном среднем интервале между ложными тревогами ТЛт • Отмечается, что последнему требованию в наибольшей степени удовлетворяют алгоритмы, которые базируются на видоизмененном последовательном анализе и обычно называются алгоритмами кумулятивных сумм.

В первой главе дается классификация последовательных параметрических алгоритмов обнаружения спонтанного изменения свойств (разладки) дискретных случайных процессов. В зависимости от статистического метода, положенного в основу выбора решающей функции, выделены четыре группы алгоритмов: байесовские алгоритмы; алгоритмы, основанные на подходе Неймана-Пирсона; эвристические

алгоритмы; алгоритмы кумулятивных суш. Указаны основные особенности алгоритмов каждой из групп. Отмечено, что в настоящее время наибольшее распространение получили АКС, что связано с их достаточно хорошими (в некотором смысле оптимальными) свойствами. В этой связи АКС выбраны в качестве предмета исследования диссертационной работы.

Любой алгоритм кумулятивных сумм базируется на рекуррентном вычислении решающей статистики, имеющей для случая независимых наблюдений следующий вид:

еп = тах (0; 8п-1 + - к ). п = 1, 2..........(1)

где го = 0, к - некоторая константа (обычно к =0),

гп - 1п(*х(хп;Э1)Лгх(Хп;во)).

Здесь их(хп;вЬ). *х(Хп;01) ~ функции плотности распределения вероятностей наблюдения хп для значения контролируемого параметра

8 = 9о до разладки и 9 «■ &1 при наличии номинальной разладки. Реально процедура сводится к многократному применению последовательного анализа Вальда для двух простых гипотез Н0; 9 = 9ь Их;

9 = во. когда каждая вальдовская ( элементарная ) проверочная процедура продолжается до тех пор, когда выполняется неравенство:

О < Е 1п (*Х(Х1; ВО/Ми^во)) < Н. (2)

1-1

где 1 отсчитывается•от начала элементарной проверочной процедуры. Если на п-ом шаге будет иметь место неравенство:

Е 1п (*Х(Х1; 81)/И1(*1;еь)) < О, (3)

то данная элементарная проверочная процедура завершается и начинается новая, и так до тех пор, пока не Судет выполнено неравенство:

п

1п (*хОч; в1)/*1(*к9о)) > н. (4)

В этом случае подается сигнал о наличии разладки.

Любой последовательный контролирующий алгоритм может быть охарактеризован количественно с помощью определенных вероятност-

над характеристик. На практике наиболее часто используются следующие характеристики:

- среднее значение интервала между ложными тревогами Тлт=:Ро. т.е. среднее время между подачами сигналов о наличии разладки, когда в действительности ее нет;

- среднее время запаздывания ii в обнаружении номинальной разладки, когда 8 » 6i;

- зависимость среднего времени запаздывания X - X (8) от величины фактической разладки 8 »* во при фиксированном среднем интервале между ложными тревогами ТлТ;

- дискретные функции распределения случайных временных интервалов Тлт, t. Подобные функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками АКС, но в силу сложности своего определения они испольэуются очень редко.

Проанализированы наиболее известные методы анализа вероятностных свойств АКС: приближенные аналитические методы; метод, основанный на решении интегрального уравнения Фредгольма; метод марковских цепей; метод статистического моделирования; метод рекуррентных соотношений (MPC).

Подробно рассмотрен MPC, поскольку этот метод лежит в основе решения основных эадач диссертационной работы.

MPC в своей основе использует некоторые идеи теории случайных блужданий. Рассмотрено простое случайное блуждание с независимыми приращениями zi, когда координата изображающей точки сп

на п-ом шаге определяется соотношением: а

Сп - 2о + Е Zi . 1-1

где Zo - некоторое начальное значение. Движение точки прекращается при первом ее попадании в полубесконечный интервал сп)

- выход 8а нижнюю границу, или же в интервал ( dn. +00 ) - выход sa верхнюю границу. Если обозначить q>n+i(z)dz - вероятность того, что точка в течении первых п шагов не выходила за поглощающие границы, а на (п+1) - ом шаге ее значение заключено в интервале (z, z+dz), т.е.

»n+i(z)dz » P<ci<Zi<di; C2<Z2<<I2; ••• ;cn<Zn<dn, z<Zn+i<z+dz>, то можно записать известную формулу, связывающую значения функции ф на двух последовательных шагах:

Фп+1(г) = ,Г фп(У) -«п+гСг-у) с1у; п = 1/ ...

сп (5)

Ф1(г) = «1(2)

Вероятности выхода изображающей точки ( п + 1 ) - ом такте блужданий за верхнюю границу рп+г или за нижнюю границу Чп+г задаются соотношениями:

+" с1п

Рп+1 = фп+1(г)-<1г = X 9П(У)-С1^п+1(С1П-У)]^У; с!п+1 сп

; рг = 1 - щ(б1)-,

(6)

П = 1, 2, ...;

<1п+1 ¿п

чпм = Г ч>п+г(г)-ог = | фп(у) • с1-мп+1 (сп-у)1 -¿у;

-» сп

п - 1, 2, ...; = Иг(С1)

Значения вероятностей рп+1. Чп+1 ( п = 0, 1, 2, ... ) дают исчерпывающую информацию о свойствах как элементарной проверочной процедуры, так и всей схемы АКС в целом. В частности, среднее время между двумя выходами за верхнюю границу, т.е. среднее время между появлениями сигнала о наличии разладки, определяется формулой:

3(пр) + 3(пч)

>(р)

(7)

где S(p) = Е Рг,;

п-1

S(np) = L n-pn; n-i

S(nq) = E n-qn .

n-i

Значения P(n) функции распределения случайных интервалов t могут определяться с помощью следующих рекуррентных формул:

Р(П) = Рп + Qn-1 Р(1) +• • •+ <51 РСп-1); П = 2,3,. . . ; (8) Р(1) = Pi .

Отмечено, что все перечисленные методы позволяют получать достаточно точные результаты, но не являются по своей сути аналитическими, поскольку фактически решение может быть найдено только с помощью численных процедур.

В этой связи получение точного аналитического решения задачи для какого-либо существенного с точки зрения практики случая

представляется весьма важным.

На основании приведенного анализа произведено уточнение и конкретизация основных направлений исследований диссертационной работы.

Вторая глава посвящена разработке аналитического метода расчета основных вероятностных характеристик АКС, когда контролируемый случайный процесс xi, xg. ... с независимыми отсчетами имеет одномерное экспоненциальное распределение.

Получено выражение для приращений гп решающей функции, имеющее следующий вид:

zn - ln (9i/Bo) - (81 - 0b)-xt ; 0 < xx < + » Показано, что каждая элементарная проверочная процедура в рамках АКС описывается соотношениями;

- если 01 > 8о, 9 > во

' п

сп » - П'С < "jEj*! < h - п-с = dn ; (9)

- если 0i < 9o. 9 < 0o

n

cn - n-c < £ xi < h + n-c = dn . (10)

í-i

ln (0i/6b) И

где с - - ; h - - . (И)

(Si - 9b) I6i - 0ol Проведен аналиэ АКС для малых пороговых значений h i с. Цель такого анализа в первую очередь продемонстрировать аналитические возможности МРС. Для данного случая получены выражения мц функций <Pn(z). вероятностей Рп. Чп. n=l,2.....cyMMS(p), S(np),

S(nq), средних интервалов т. В частности, если Bi > 9q среднее время между появлениями'сигнала о наличии разладки равно .

/4 a -0с -9(c-hk

х - 2 + ( + 6-h)-e - (1 - е ___)

1 - (1 + 9'h)-е"®0

если же 01 < ©о. то

-8(с+Ю

е

Каждая формула позволяет найти средний интервал между ложными тревогами ТЛт. если положить 8 * 9о и среднее время запаздывания при обнаружении номинальной разладки, если считать 9 = 8ь

Анализ вероятностных свойств АКС в случае произвольного и достаточно большого значения h (h>c) чрезвычайно сложен. Задача существенно упрощается, если выбрать h кратным значению с :

h = uve (12)

При этом предполагается, что все основные характеристики АКС достаточно плавно изменяются при вариации порога h и, следовательно, для промежуточных его значений они могут быть найдены с помощью интерполяции . Отдельно рассмотрены вариант 9 > 8о и 9 < 9о- Для каждого из вариантов в первую очередь детально исследованы функции <pn(z). Если 8 > во, то для п < т+1 доказано:

- функция ?п(2) кусочно-непрерывная и содержит п "сшитых" участков Фп1(2) ; 1 = 0,1.....п-1 .соответствующих интервалам изменениям 2:

С0;с), [с;2с].....(1С;(1+1)с).....I(n-2)c;(n-l)c),[(n-l)C;«];

- функции Vni(z) представимы в виде

Фп1(2) = e~z-^ni(z) ; 1 =0, 1.....п-1;

т функция Фпо(2) равна

п-1

. Фп0(2) = 1НЧТГ ;

- функции фш (z) ; 1=1,2.....п-1 записываются как суммы вида

n-1-i en) (z-1с)3

Сп)

где А10 = Фп. i-i(ic)-c m li .

(n+l) (n)

Получены соотношения, связывающие коэффициенты A ij' и Aij на двух последовательных шагах итерационной процедуры, позволяющие в конечном итоге записать все коэффициенты А(п+1) через коэф-

rvi '■>

фициенты вида h ': 10

(П+1) (n+l-J)

ai j = a,o

(n+l) (n+l) n-i+1 Cn-i+l) t13)

Ato = Ai-i,o + E Ai-i.o —r

j «■! j

(n+l) 1

Alo = <lwl.o(c)-c~n = —г .

111 (2) (3)

Показано, что для коэффициентов Aiо. Azo, ■•• справедлива формула:

(п) пп-2

Лп-1.0 - (п . 1}| П - 2, 3. ... ; П < т +1 . (14) Для п > пн-1 доказаны следующие свойства функции <?п(г): - если (п - т - 1)с < г < (п - т)с : 9п(г) - 9по(2) - е"2 ?по(2) =

в

■г.

- если (п-т+к)с < г < (п-т+к+1); к = 0,т-2

Фп(г) - <?п.к+1(2) - е~2-Уп.к+1(г) -

ГСп) т т-к-1 (п)

/(п) т т-к-1 Сп) [2-(П-т+к)С]Д \

ЧВк+1.о-сп 1 + ^ Вк+1.1-сп 1 1---—- | .

<п)

где Вк-и.о-с"-1 - Ущ<Г(п-т+к)с} •

- если г > (п-1)с

9п(г) - <?пт(2) - е"г-,?пт(2) -

- е"г•Вт.о•сп_1-е~г• Уп. т-1£(п-1)с] ;

Найдены формулы связи коэффициентов В(п), вСп+1):

(П+1) <П) ---

Вз1 - Вд+1,;|-1 ; з = 1,т-1 ; J = 1,т-3; (п+1) т (п) ^

Вю « ^В!.!-!-^ ;

(п+1) (п+1) п-з+1 Сп) ^ -

ВзО - Ва-1.о + Е В3.1-1--гг ; з = 2,т

Многократное применение этих формул позволяет выразить все коэффициенты черев значения вЦ^ ■ (п+1) (п+1-л

Вз1 ■ Вв+л.о

и. следовательно,

(п+1) т (п-^+1) А

Вю ЕВ1о ™гг

J "1 л •

(п+1) (п+1) т-з+1 (п-^+1) ^

Вго - В3-1, о + Вз+^-г.о'-^у

з » г.т

При этом для n-j < m следует считать, что : (n-j+l) (n-j+l) Bs+j-1.0 = Aso

Доказано, вероятности Pn, <Ъ выражаются с помощью последовательности коэффициентов В:

(ш+1) (т+2) i Вю У = < Bio . Вю .

(m) (m+1)

i Bzo > = < B20 . B20 .

l&n+l) (2m+2)

. Вю , Вю

>

(2m)

. B20

<2m+l) B20 ,

(2)

i Bmo У = < Bmo

(3) B111O

(m+2) BmO

ím+3) BmO ,

>

(16)

Исследованы свойства последовательности { В >. Доказано, что:

- каждая из последовательностей < В^о >. к = 17т удовлетворяет однородному линейному разностному уравнению т-го порядка с постоянными коэффициентами, т.е. может быть представлена в форме:

(П+1) (П> (П-1) (П-1Ч+1) _

ВкО = Ь1к.-Вко + Ьгк'Вко + ... + Ьтк'Вко ; к = 1,ш ;

- характеристическое уравнение ( полином )

ГШ) = втг-Л"1 + атг-Х"1"1 + ... + а,™-*0 = 0 (17)

одно и тоже для всех последовательностей, а значит каждая из них может быть представлена в форме

(П+1) П+1 П+1 П+1

ВкО = 01к'Х1 + 02к'Х2 + ... + Стк-Ат . (18)

где XI, Хг.....X,,, - корни полинома Рт(Х);

- коэффициенты Вш. 02т. Втт определяются, исходя из

начальных условий, т.е. по первым ш значениям последовательности

Сз+Й) -

< Вщо >, равным А.5+1. о , г = 0,ш-1 , с помощью системы линейных уравнений

э 3 з

01 "XI + 02-Хг + . . . + Вт-\п

- (з+2>

где с^ = Зли , о = 1.ш ; А3+1.о =

(S+?)

= As+i, о ;

(s + 2)s

s = O.m-l

(г + 1)!

- коэффициенты в3к ; 3 = ТТт ; к = 1,т-1 могут быть найдены путем пересчета коэффициентов Вз по формулам :

01к = Рт-к(Л])-Сз ; 3 = ТТт .

С учетом доказанных свойств выражения для вероятностей Рп. cin шгут быть записаны в форме :

m (п-2)

- е"° ; qn - с" 1-е"пс-ДвгХ1 ; п > 2

Р1-Р2-... - Pm = 0; Ртм = Ь ; (19)

Pm+2+s - c3+1-e-cís+1)-J^j-Xj-Dj . s - 0, 1. 2. ...

где Dj = Im + с-Im-rPl(Aj) + ...+• с1"-1-Il-Pm-l(Aj) .

Проведен аналиэ свойств полиномов Рт(Х) для различных порядков а. Выявлено, что полиномы разных порядков сеяваны рекуррентным соотношением:

Pm+l (X) - X-PmU) - L Рт-к(Х)- *,; P0(X) =1, (20) k-0 (K+1)I

порождающим семейство новыхполиномов. Для этого семейства найдена производящая функция *Р(у,Х) :

ао

?<У.Х)-----£ Pmtt)-^ . (21)

еу - Х-у т"°

С помощью производящей функции получены формулы для выраже-

т

юга коэффициентов полинома Pm(X) - £ атя-Х* произвольного по-

к.-о

рядка:

**(n - k) !' «-О- I- 2.... В частности, коэффициент e*nm - 1, а свободный член

amo ■ М)т/ mi . Установлена свяэь между коэффициентами полиномов различных порядков, полезная для практических расчетов:

flmk - a m-l.k-i-(l + 1 / k)m'k

(22)

a m.m-k. - а m-i.n-k-1-Cl " (m + 1) / (m

+ к)] }

Корни характеристического уравнения найдены численным методом с помощью математического пакета Ма^аЬ. Выявлено, что для в < 30 все корни различные, действительные и положительные.

Получены формулы для сумм Б(р), 3(пр), Б(пд), необходимые для расчета средних длительностей X :

Б(р) = 1 - е"с + с-е~с- Е

Ва

1

^ (1-с-е"с-Х,)

Б(пр) = (ш+1)-3(р) + с-е~с-Е

3-1

Б(пд) = е-с- Е

В;

(23)

(24)

(25)

Для расчета ТЛт во всех приведенных формулах следует положить вместо с значение 8 с , при расчете х 81-е, а для произвольного 9 - 8-е .

Аналогичные результаты в полном объеме получены и для варианта, когда 9х < 9о ; 9 < во : - вероятности яп:

41 = 1 - е~с ;

Чп - е

■(п-1)с.

п-3 п-

Е Эг*] -с

.1-1

2 < п < ш ;

т п-3 п-2 Чп и е-(п-1)с. £ д А ,с .

1-1

- вероятности Рп :

п-1 1к Рт-к^з)

И + Е —--

к'2 с^1 РЬ.-г СХЛ)

т Рт-к(Л^) -|

II + Е

к'2 Р^С*,)

, п > т;

т+п-З т Вз'Л^ Рп = е"(т+п)с-сп_1• Е

0-1

п = 1, 2.

Рт-1(Х1)

- суммы

т г во

Б(р) - е~(т+1)с- Е -

р... .

1

Б(пр) = е~(т+1,с-

т г

Рт-1(Х:) (1 - с-е~с-Х,)

т-2

вг*1 1

З(гкг) = (1 - е"с) +

(1 - с-е"с-Х])**

Рт-1(^) (1 - с-е

ш

Е 11-е"1с---

1=1

(26)

Г т Рт-1(>;|) •)

--Е 1-11 -е"1с--(28)

(1 - 0'в"с-А1) I-1"1 Рт-1(^) >

На основании полученных формул разработана вычислительная схема определения основных вероятностных характеристик АКС реализованная в виде специальной программы "РАЗЛАДКА". Программа позволяет рассчитывать зависимости Тдт=Тдт (^с), Х\Ол/с), т(8), распределение вероятностей интервалов т для произвольных 8. С помощью данной программы для различных 9о, 01, 8 построены указанные зависимости. Анализ графиков Тдт=Тдт(^/с) , Х\(Ь/с) подтвердил исходное предположение о достаточно плавном изменении характеристик как функций порогового значения Ь и возможности использования интерполяции для произвольного Ь, не обязательно кратного с.

Выявлена возможность применения всех полученных результатов для решения задачи обнаружения разладки дискретных процессов, подчиняющихся распределению Лапласа и распределению Релея.

Третья глава посвящена анализу АКС в задаче обнаружения разладки при решавших функциях, подчиняющихся х2-распределению с произвольным числом степеней свободы.

Рассмотрена X = I хг.хя.....х 1Т - V - мерная векторная гауссовская случайная последовательность с независимыми отсчетами ( Т - знак транспонирования ). Предполагается, что отдельные

составляющие X некоррелированы и каждая ]-ая из них имеет мате-

2 —

магическое ожидание т^и дисперсию б^ ■ 3 * . Без нарушения общности считается, что т - О ; 3 = ГГ\> • Тогда совместная ^-мерная функция плотности распределения вероятностей вектора X имеет следующий вид:

2 2

N ( X ; б . .. . . 6 ) = V

X

2

1 1 V Xj

---ехр(---Z-),

, 2 2 1/2 (2-*Г/2-(б.....б ) *

IV X:

При пропорциональном изменении дисперсии приращение решающей функции записывается следующим образом

V 1

zn

где

«d =

-•ln 5 2

би

2 6j0

(т

Tlj

V

С

2 6Xi 2 6j0

J = 1, V - козффи-

V о 2

циенты относительного изменения дисперсии; Уп = £ х^щ ~ случайная величина, представляющая собой сумму квадратов V независимых нормированных гауссовских случайных величин, которая - по определению - подчиняется х2-распределению с V-степенями свободы.

Элементарная проверочная процедура вида (2) преобразуется к форме, аналогичной (7): - если в > 1 , Т1 >1

п-с <

п

где

1п «

ц-(1 - 1/8)

< h + п-с

h = v

—-(1 - 1/Ô) г

- если в < 1

- h + v

п-с <

V

. Т1 п

Eïi 1-1

< 1

< п-с

Для исследования характеристик АКС, когда приращения решающей функции zn подчиняются х2 - распределению с v - • степенями свободы , разработан модернизированный вариант вычислительной процедуры MPC. Модернизация включала в себя:

- устранение погрешности в вычислениях функций q>n(z) и вероятностей Рп, Чп. связанной с тем, что при произвольных h^ , с^ граница интегрирования могут не совпадать с узлами дискретной сетки; предложено использовать тот же прием, что и в второй главе, а именно всегда выбирать h кратное с :

h = ш-с (29)

v v

1

с последующей интерполяцией по образующемуся дискретному множеству точек для получения полной зависимости t = t (h^) при произвольных , не обязательно кратных с^ ;

- использование дополнительного нормирования ординат функции <?n(z) на каждой очередной итерации с помощью соотношения:

1 - Е (Pl + qt) * t'1

?n(z) - <Pn(z) • - ; (30)

dn

J* ipn(z) -dz cn

для каждой следующей итерации используется скорректированное значение ç>n(z). Указанная нормировка полностью исключает превышение единицу суммарных вероятностей £ (Pi + qi); 1*1,2,... ;

i-i

- использование нового критерия останова;

- расширение функциональных возможностей за счет включения в рассмотрение х2-распределения с произвольным числом степеней свободы.

Произведено сопоставление аналитических результатов для экспоненциального распределения и численных результатов полученных с помощью вычислительной процедуры MPC.

На основании этого сопоставления выработаны рекомендации по выбору шага интегрирования и критерия останова в итерационной процедуре MPC.

В четвертой главе разработана процедура синтеза контролирующего алгоритма (контрольной карты), удобная для конечного пользователя. Процедура синтеза состоит из ряда последовательных этапов:

1) Определение типа распределения вероятностей контролируемого процесса.

2) Выбор разновидности контролирующей процедуры (односторон-ня или двусторонняя процедура).

3) Задание априорных параметров АКС.

4) Определение параметра настройки АКС-порогового значения h.

5) Оценка быстродействия контролирующего алгоритма.

6) Формирование рабочих соотношений.

При определении параметров настройки - порогового значения h

используются специально построенные зависимости Ь=МТлТ); оценка быстродействия АКС осуществляются путем определения среднего интервала в обнаружении номинальной разладки х\, с помощью ранее построенных зависимостей ^»^(Тл-г) •

Произведена модернизация программного пакета (диалоговой системы) "ЭТАТССИЧ", разработанного в Межвузовском Центре автоматизации научных исследований МЭИ и предназначенного для автоматизации синтеза и практического исследования контролирующих алгоритмов. При модернизации в систему включены дополнительные алгоритмы контроля скачкообразного изменения параметров экспоненциального распределения, распределения Лапласа или Ре-лея, а также дисперсии гауссовского процесса при использовании вспомогательной выборки. Модернизированный вариант диалоговой системы "ЗТАТШГ внедрен в ВНИИХГ в рамках программного обеспечения разрабатываемых для предприятий автоматизированных систем экологического мониторинга.

Один из вариантов контролирующих алгоритмов синтезирован и использован на Смоленской АЭС для диагностики датчиковой системы. Основное назначение - обнаружение аномального состояния датчиковой системы, проявляющегося в увеличении интенсивности сбоев в работе датчиков. Контролирующий рабочий алгоритм представляет собой АКС для обнаружения изменения параметра 8 экспоненциального распределения (8 - в данном случае - интенсивность отказов). Он реализован в виде программы, включенной в состав прикладного программного обеспечения ПЭВМ типа 1ВМ РС/АТ, обслуживающей микропроцессорную систему регистрацию данных.

Сопоставление результатов по обнаружению возникновения аномальной ситуации в системы регистрации, получаемых ранее на основе неформальных представлений и после применения синтезирующего контролирующего алгоритма позволил выяснить, что в последнем варианте время обнаружения момента разладки сокращается в среднем на 10+20% и увеличивается надежность диагностики.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты работы сводятся к следующему.

1. На основе изучения состояния проблемы анализа и синтеза

алгоритмов кумулятивных сумм в задаче параметрической разладки дискретных случайных процессов выявлено отсутствие содержательных аналитических результатов при Исследовании вероятностных свойств АКС, а также слабая изученность алгоритмов длй негаус-совских случайных процессов (негауссовских решающих функций).

2. Получены точные аналитические результаты относительно вероятностных свойств АКС для обнаружения разладки случайных процессов, подчиняющихся экспоненциальному распределению; доказано, что вероятностные характеристики АКС могут быть получены путем определения последовательности коэффициентов, подчиняющихся линейному разностному уравнению, исследованы свойства этого уравнения, выявлены особенности его характеристического уравнения (полинома).

3. Доказана возможность использования полученных результатов для обнаружения изменения параметров распределений Лапласа и Релея.

4. Разработан модифицированный вариант вычислительной процедуры метода рекуррентных соотношений, позволяющий исследовать АКС при параметрической разладке процессов, когда приращения решающей функции подчиняются х2-распределению с произвольным числом степеней свободы.

5. Показана высокая точность и выработаны рекомендации по настройке вычислительной процедуры на основе сопоставления результатов, полученных численным методом, и аналитических результатов для /^-распределения с двумя степенями свободы (экспоненциального распределения).

6. На основе теоретических результатов и созданных программных средств проведено исследование вероятност?¿х характеристик АКС при различных комбинациях параметров до и после разладки, сформулирована методика синтеза АКС (контрольных карт), обладающих необходимыми свойствами.

7. Осуществлена модернизация диалоговой системы "БТАТСОРГ путем включения в нее новых алгоритмов из числа рассмотренных в работе; модернизированный вариант программной системы внедрен во ВНИИХТ.

8. Проведено внедрение АКС, предназначенного для обнаружения изменения параметров экспоненциального распределения в рамках

программного обеспечения системы контроля и диагностики на смоленской АХ на предмет наискорейшего обнаружения аномального функционирования датчиков.

Основные положения диссертационной работы опубликовано в следующих работах.

1. Филаретов Г.Ф., Свириденков К.И. Анализ статистических свойств алгоритма кумулятивных сумм в задаче обнаружения изменения параметра экспоненциального распределения // Труды института / СШЭИ. - 1994 .- N 6.- С. 129-138.

2. Филаретов Г. Ф., Свириденков К.И. Анализ и синтез контролирующих процедур кумулятивных сумм для дискретных процессов с экспоненциальным распределением.// ■ 39-я Международная научно-техническая конференция; тез.докл. - г.Ильменау, ФРГ, 1994.-С. 793-800.

3. Филаретов Г.Ф., Свириденков К.И. Синтез контролирующей процедуры в задаче обнаружения изменения параметра экспоненциального распределения // Международной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных процессов"; Тез. докл. - Новосибирск, 1994.- С.92-93.

4. Аверченков O.E., Свириденков К.И. Локальная система контроля технологических параметров // Труды института / СЯМЭИ. - 1992.- N2.- С.3-6.

5. Аверченков O.E., Свириденков К.И., Полячков A.B.,.Макуш-кин Б.Б., Безверхий В.В. Микропроцессорная система регистрации данных для АХ // Труды института / СЗМЭИ.-1994.- N4.- С.3-8.

6. Аверченков O.E., Свириденков К.И., Полячков A.B., Шерма-ков А.И. Микропроцессорная система регистрации аналоговой информации для АЭС // Труды института / СФМЭИ.-1993,- N5.- С.3-5.

Подпнсам к печати Л— .. jf£/

Печ. л. Тираж (00 Заказ

Типография МЭИ, Красноказарменная, 13.