автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Статистический анализ эффективности прогноза временных рядов методами обнаружения разладки и сбоя

На правах рукописи

МИККА Константин Васильевич

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АШЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОГНОЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТОДАМИ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2004

Работа выполнена в Марийском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Николаев Михаил Леонидович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор Павлов Игорь Викторович

доктор технических наук,

профессор Захаров Вячеслав Михайлович

Ведущая организация:

Казанский государственный университет (г. Казань)

Защита состоится

_часов на заседании

диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. Карла Маркса, 10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан " МЩЛ 200Уг.

Ученый секретарь диссертационного совета д-р физ.-мат. наук, профессор

П.Г. Данилаев

3,001-к 49878

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известен ряд областей, связанных с обработкой временных рядов (в.р.), широко применяемых в настоящее время. К данным областям, в частности, относятся анализ в.р., прогнозирование, текущий анализ прогноза и автоматизация обработки данных. Для решения задач анализа данных при наличии случайных воздействий предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. При определении моментов неэффективности сделанных прогнозов предлагается использовать последовательные методы обнаружения изменений свойств в.р.: алгоритм кумулятивных сумм при полной информации о векторе параметров (АКС ПИ), алгоритм кумулятивных сумм при неполной информации о векторе параметров (АКС НИ), метод, основанный на модуле ошибки (МОНМО), метод, основанный на вероятностных пределах прогноза (МОВПП).

Известны основополагающие работы ученых по анализу в.р. и последовательным методам обнаружения изменения их свойств. Среди них - Айвазян С.А., Бокс Дж., Бэстенс Д.-Э., Вальд А., Ван Ден Берг В.-М., Воробей-чиков С.Э., Вуд Д., Гиршик М., Горбань А.Н., Дженкинс Г., Кемп К., Клейнен Дж., Колмогоров А.Н., Нейлор Т., Никифоров И.В., Николаев М.Л„ Пейдж Е.С., Петере Э., Прохоров Ю.В., Рубин Г., Россиев Д.А., Ширяев А.Н., Элдер А..

Несмотря на большое количество работ по указанным направлениям, задача анализа эффективности прогноза в.р. с упреждением I (l> 2), далее просто I, путем анализа ошибок прогнозирования изучена недостаточно. Скорейшее обнаружение неэффективности (разладки) прогноза дает возможность сократить потери при изменении динамики развития в.р.. Особый интерес представляет настройка методов обнаружения в случае АКС ПИ через моделирование оценок порогов обнаружения разладки. Такой подход обладает определенными достоинствами: учитывается фактор ложных тревог и влияние белого шума на значения последовательности, тем самым, делая' по-

лученную оценку порога более достоверной. Использование других методов для обнаружения изменений закономерности позволяет провести сравнительный анализ их работоспособности и на его основе вывести обобщенную аддитивную функцию подачи сигнала об изменении свойств. Для приложений большое значение имеет задача о временной неэффективности (сбое) прогноза. Эта задача может быть решена модифицированными методами обнаружения разладки. В связи с отмеченным выше актуальна задача анализа эффективности прогноза на несколько шагов вперед в.р. последовательными методами обнаружения разладки/сбоя. Решению данной задачи посвящена настоящая диссертация.

Цель и задачи исследований. Объектом исследований является прогноз в.р. на несколько шагов вперед. Прогноз осуществляется предиктором из класса моделей АШМА. Выбор предиктора производится методами корреляционного анализа, оценивания параметров, множественного сравнения и ранжирования.

Предмет исследования - методы, способные обнаруживать момент разладки/интервал сбоя эффективности прогноза. Целью работы является разработка процедуры скорейшего обнаружения момента разладки или интервала сбоя прогноза в.р..

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие научные задачи:

1) методами описательной статистики, критериями проверки "наличия-отсутствия" тренда, корреляционным анализом статистически исследовать в.р.;

2) идентифицировать и оценить параметры рассматриваемых для прогноза в.р. моделей из класса АШМА;

3) методами сравнительного анализа и ранжирования выбрать наилучший из имеющегося набора предиктор (НП) и сделать прогноз с упреждением I;

4) статистически исследовать ряд ошибок, построить (если это необходимо) корреляционные и ковариационные матрицы ошибок прогноза на момент 1„р с упреждениями т И т + где т = 1,1, ;' = 0,1,2,...,т-1;

5) смоделировать случайную последовательность с параметрами ряда ошибок, допускающую разладку/сбой в среднем, и найти оценки порогов нахождения разладки/интервала сбоя в случае применения для обнаружения изменения закономерностей АКС ПИ;

6) получить оценки параметров настройки для АКС НИ, МОНМО, МОВПП;

7) провести последовательный анализ эффективности прогноза с упреждением I и, по необходимости, осуществить коррекцию прогнозного значения, применяемой модели, и/или момента начала прогноза;

8) провести сравнительный анализ используемых в данной работе методов обнаружения разладки/сбоя.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей и математической статистики, имитационного моделирования, стохастической и финансовой математики, последовательного обнаружения изменения свойств в.р..

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1) впервые рассмотрена задача сбоя эффективности прогноза, сделанного в момент времени г„р с упреждением I, при использовании модели из класса АИМА;

2) предложена новая процедура получения состоятельных оценок для оптимальных порогов обнаружения момента разладки/моментов сбоя в случае АКС ПИ;

3) разработана новая методика обнаружения момента разладки/моментов сбоя эффективности прогноза для независимой случайной последовательности в случае АКС ПИ - "скользящее окно" (СО);

4) предложена и модифицирована на случай сбоя новая модель обнаружения разладки для зависимой последовательности ошибок прогноза моде-, лей ДЫМА;

5) выведены верхние оценки порога обнаружения разладки в АКС ПИ для определения изменений закономерности на величину, превышающую искомую;

6) впервые сделан сравнительный анализ применяемых в работе методов обнаружения.с позиции эффективности прогноза на несколько шагов вперед, на основе которого предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое;

7) на языках VB .NET, С# разработан комплекс программ "Эффективное прогнозирование" (КПЭП), позволяющий исследовать в.р., прогнозировать динамику его развития и анализировать эффективность сделанного прогноза различными методами. :

Достоверность полученных результатов определяется корректностью математического изложения и методов исследования. Кроме того, они подтверждаются математическим моделированием с использованием современных компьютерных технологий.

Практическая значимость. Практическая значимость .работы определяется тем, что полученные результаты могут быть использованы в различных прикладных областях, где существует возможность получить достаточную статистику по некоторому показателю и на ее основе сделать прогноз его динамики ршвития. Наиболее ярким примером области приложения результатов может служить финансовый рынок, для которого свойственна сильная волатильность его финансовых инструментов. Поэтому в подобных случаях говорить о долгосрочной эффективности прогноза не приходиться. Следовательно, имеет смысл применять методы обнаружения неэффективности при прогнозе на несколько шагов вперед.

Реализация результатов работы. Диссертационные исследования были использованы для обработки реальных в.р..

На защиту выносятся следующие результаты, полученные лично:

1) состоятельные оценки порогов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ошибок прогнозирования моделями типа ARMA;

2) модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ, учитывающие особенности последовательности ошибок прогнозирования на несколько шагов вперед методами АШМА;

3) верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ, используемые при определении изменения закономерности на величину, превышающую искомую;

4) алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением I, метод СО, упрощающий данный алгоритм;

5) комплекс прикладных программ для реализации алгоритма прогноза с упреждением I и последующего его анализа;

6) обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на Всероссийской

междисциплинарной конференции "Седьмые Вавиловские чтения" (Йошкар-Ола 2003г.); У-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2004г.); Международной школе-семинаре по геометрии памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); V-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия, Сочи, 2004г.); П-ой Международной конференции "Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство" (Татранска Ломница, 2004г.); Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004г.); научных семинарах кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (Йошкар-Ола, 2004г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, их список помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 179 страницах, содержит 24 рисунка и 54 таблицы. Библиографический список включает 83 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, приводится перечень основных результатов выносимых на защиту. Дана структура диссертации.

В первой главе "Обзор основных методов прогнозирования и обнаружения разладки и сбоя временного ряда" приведены понятие в.р. и особенности его строения. Сформулированы прикладные области в.р. относительно поставленной в работе задачи и фундаментальные предположения о его природе, в рамках которых примёняется та или иная схема прогнозирования при исследовании процесса. Рассмотрены наиболее распространенные на сегодняшний день методы прогнозирования: индикаторы,'модели кривых роста, линейные стохастические модели, нелинейные стохастические условно-гауссовские модели, модёли динамического хаоса, нейронные сети. В качестве базовых предикторйв-для исследования определены модели типа АИМА. Кратко описаны применяемые для анализа эффективности прогноза с упреждением I методы обнаружения разладки/сбоя: АКС ПИ; АКС НИ; МОНМО; МОВПП. Показака практическая значимость решаемых в работе задач. Дана математическая 'постановка задачи диссертационной работы. Пусть известно I значений в.р. х\,х2,—,х,, описывающего динамику поведения рассматриваемого объекта (Д( - месяц, неделя, день и т.д.). Располагая набором предикторов, необходимо спрогнозировать значение в.р. на момент ¡ + 1 и, анализируя разности между прогнозируемыми и наблюдаемыми величинами на промежутке (/,/ + /], найти:

- момент разладки прогноза с целью замены предиктора и/или начала прогноза;

- интервал сбоя прогноза. В этом случае предиктор и значение прогноза не изменяются.

Под моментом разладки прогноза понимается момент, в который происходит изменение среднего значения наблюдаемой последовательности ошибок моделирования и прогнозирования.

Под интервалом сбоя прогноза подразумевается интервал, где среднее значение последовательности ошибок отличается от первоначального среднего. '

Во второй главе "Состоятельные оценки порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем гауссовской последовательности независимых случайных величин" приведены соотношения, определяющие состоятельные оценки порогов при использовании соответствующих статистик для методов обнаружения разладки/сбоя, исходя из предположения о независимости ошибок прогнозирования моделями типа ARIMA.

Порог, определяемый рекуррентным способом через математическое ожидание решающей функции при заданном среднем допустимом времени запаздывания в обнаружении момента разладки/моментов сбоя, в случае АКС ПИ не зависит от длины исследуемой последовательности до момента разладки/моментов сбоя, которая влияет на число ложных тревог. Кроме того, сознательно опускается влияние шума на значения последовательности и решающая функция в момент разладки/моменты сбоя приравнивается к нулю. В связи с этими причинами предлагается смоделировать значения порога обнаружения разладки k /сбоя hcB.

Пусть наблюдается последовательность fi,^,...,^, которая в момент t0 скачком меняет свои свойства, однозначно определяемые параметрами ¿и = Е£, и D=DÇj = const. Последнее означает, что до момента /0 -1 включительно а, начиная с /0 ц = иг- Наблюдая последовательность; необходимо обнаружить момент разладки <0 •

Естественным обобщением задачи о разладке является задача о "сбое", которая рассмотрена в следующей математической постановке. Пусть наблюдается последовательность независимых гауссовских случайных величин (ПНГСВ) которая в момент /0i скачком меняет свои свойства,

определяемые параметрами ц-Е^ и D=DÇ, = const, а в момент г02 возвращается к своему прежнему состоянию. Будем называть /01 и /0г ~ моментами

сбоя или моментами начала сбоя и начала возврата соответственно. Наблюдая последовательность, необходимо обнаружить интервал сбоя [г0Ь(02).

Для решения задачи о разладке/сбое требуется гарантированное обнаружение момента разладки/интервала сбоя, в то время как ложные тревоги не будут слишком частыми при самых неблагоприятных вариациях характеристик фона, а время запаздывания не будет слишком большим. Поэтому в АКС ПИ предложена и исследована процедура получения "оптимального порога" обнаружения разладки/сбоя с точки зрения следующего набора критериев: минимально возможной частоты обнаружения, максимально приемлемой доли ложных тревог, максимально допустимой задержки в обнаружении, минимально возможной доли обнаружения без запаздывания.

Моделирование ПНГСВ, допускающей разладку по среднему значению в момент ¿о (рис.1), осуществлено следующим образом: •

= ¡ль +-%/гОЛ/-21па] соз(27га2), (1)

где ць - оценка среднего значения (далее просто среднее), В -

оценка дисперсии (далее просто дисперсия); 6 = 1 при / </0, 6 = 2 при г ¿/0; ^ и а2 - непрерывные случайные величины, равномерно распределенные на промежутке [од) с плотностью распределения:

Рис. 1. ПНГСВ из ста наблюдений, у которой: =о.оо, цг = 5.00, о = 1.00, <„ =77. Под моделированием ПНГСВ со сбоем по среднему значению (рис.2) имелось ввиду следующее

где

|1,при« «01 илнг £<02

& 7

в

v 5

с

3 ^

1 о -1 '

Рис.2. ПНГСВ из ста наблюдений, у которой: л, = о.оо, ^ = 5.00, D=1.00, /м = 55 и = 77.

Предполагается, что момент разладки и моменты сбоя априори распределены по заданному закону рк = P^û = è},i=ïjV: равномерному, геометрическому, биномиальному; или заданы вручную,

В силу того, что анализируется последовательность гауссовских случайных величин, решающая функция для определения разладки в среднем имеет вид

где £0 =0, t=\N.B свою очередь, правило подачи сигнала о разладке будет /e=inf(ril:gf йй).

f

При исследовании ПНГСВ на сбой в среднем решающая функция задается как

Û -<*н -(*„

где go =g/ai =0, t-ÏN. Следует отметить, что правило подачи сигнала в этом" случае определено следующим образом: ta} =inf|:g/+£ 1аг =inf}:g/->Ac6JnpH t>tav g, =0.

Исходя из природы задачи о разладке/сбое, каждому порогу соответствует свой набор, состоящий из: частоты обнаружения, доли ложных тревог, среднего времени запаздывания и доли обнаружения без запаздывания.

Предположено, что у одних к/ксб будет слишком маленькая частота обнаружения момента разладки/интервала сбоя, при других к/ксб слишком большая вероятность получения сигнала ложной тревоги; третьи обнаруживают разладку/интервал сбоя с большим запаздыванием и так далее. Следовательно, возникает необходимость фильтрации значений порога обнаружения разладки/сбоя по установленным критериям оптимальности.

> В работе принято, что только пороги, удовлетворяющие сразу всем вышеприведенным четырем критериям, относятся к классу оптимальных порогов }* 1к*сб.

Проведено статистическое моделирование процедуры обнаружения, на основе которого выведены зависимости состоятельных оценок порогов от исследуемых параметров последовательности и разладки/сбоя.

На практике нередки случаи, когда параметры изменяются на значение, превосходящее ожидаемое. Поэтому для определения размера разладки в качестве дополнительного порога предлагается верхняя оценка функции £г0+ш (ю>0), превышение которой будет сигнализировать об изменении среднего на величину В >\/42

Теорема 2.1 Пусть последовательность задается соотношением (1), тогда

2^2-/4 (2)

тах|£<„+тГ 20

где

81 '

0,?е[1,г0)

=1 Р1\Ь10+к\Ь!1)+к-1.....91)

к=1 к=

Таким образом, для оценки минимальной величины разладки сверху следует использовать правую часть неравенства (2).

В третьей главе "Состоятельные оценки порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем гауссовской последовательности зависимых случайных величин" показано соотношение для определения степени зависимости ошибок прогнозирования и получения оценок элементов ковариационной и корреляционной матриц. Приведены выражения для используемых статистик и порогов обнаружения разладки/сбоя соответствующих методов в зависимых последовательностях.

По тем же причинам, что и для независимого случая рассмотрена процедура моделирования порога обнаружения к/кс6 при использовании АКС ПИ и предложена модель обнаружения разладки, которая учитывает особенности прогнозирования моделями АММА в следующей формулировке.

Пусть исследуется последовательность .........., далее

с ¡0>1„р+1, где гпр - момент, в который делается прогноз с упреждением I. Свойства задаются плотностью После момента ¡„р последо-

вательность не зависит от последовательности до него. До неизвестного момента разладки свойства задаются условной плотностью

^ {'='пР +1.'о -1). а после него свойства - условной плот-

ностью (г=г0.'«/> + ')■

При временной неэффективности прогноза НП, момент 1пр и само значение прогноза остаются неизменными. Вследствие этого корреляция ошибок прогноза также не меняется. Поэтому для сбоя новая модель отличается от модели для разладки тем, что до неизвестного момента начала сбоя свой-

и после неизвестного момента начала возврата свойства

ства

задаются соответствующими условными плотностями р

{( = 1„р +1,/01 -1) и ('='02.'02 +4 а в интервале от г01 ДО <02 свой-

ства

^1 ~ условной плотностью (' = 'оь'02

Согласно предложенной модели рассмотрены два способа моделирования зависимой последовательности, допускающей разладку/сбой. Первый способ представляет собой моделирование гауссовского случайного вектора (рис. За):

где /=и„р+г, ць - среднее значение ПЗГСВ, 6 = 1 при г</0, Ь = 2 при г>/0,

менты нижней треугольной матрицы С, ненулевые значения которой определяются из оценок элементов у у ковариационной матрицы ]Г:

где 1

Второй способ базируется на предположении, что многие процессы в реальных системах могут быть достаточно хорошо аппроксимированы процессами авторегрессии. Тогда для исследуемой задачи моделируемая последовательность имеет рекурсивный вид (рис. 36): - до момента гт включительно

1-1

./=1

(3)

ц = (??,)е +/ - стандартный гауссовский случайный вектор; с,у и си - эле-

& = ¡1\ +-/5т1п - после момента х„р до момента г0

(4)

с момента г0

'-'я,

I, тг-й+ы+л Е г+лНН*''

I =2 11 1=1 -^п У-^П

где К =

ги

и - и

- матрица нормированных корреляционных моментов

после 1„р, Кц - алгебраическое дополнение элемента гц матрицы нормиро-

ванных корреляционных моментов г = 1,/, / = 1,1 „р + /.

& 1

05 в ■05 -1

б)

1 =

Рис.3. ПЗГСВ с параметрами: N = 10, ¿и, =0.00, /хг =1.00, £> = 1.00, /пр + 1 = 5, / = б, /0 =7,

'1,00 0.00 0.00 0.00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00'

0.00 1,00 0.00 0.00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0.00 0.00 1,00 0.00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0.00 0.00 0.00 1,00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0,87 0,76 0,68 0,61 0,56

0.00 0.00 0.00 0.00 0,87 1.00 0,94 0,87 0,80 0,73

0.00 0.00 0.00 0.00 0,76 0,94 1.00 0,96 0,91 0,85

0.00 0.00 0.00 0.00 0,68 0,87 0,96 1.00 0,98 0,93

0.00 0.00 0.00 0.00 0,61 0,80 0,91 0,98 1.00 0,98

1^0.00 0.00 0.00 0.00 0,56 0,73 0,85 0,93 0,98 1.00у

а) ПЗГСВ, смоделированная первым способом; б) ПЗГСВ, смоделированная вторым способом. Способы построения ПЗГСВ, допускающей разладку, с некоторыми изменениями присущи для моделирования зависимой последовательности со сбоем.

Первый способ

/-1

- до /01 И с /02:£, =М\ + + СцТ],

у=1

- с % до г02: + ^СцЛ] +с„п,.

М

Второй способ

- до ¡„р -включительно: +*[5т],;

■»Р Кт ■»" Лг

- с 1пр +1 до /01 и с ¿02: 6 =- е -тг- +

,=2 1=1 А11 V 11

- с г01 до ¿02: £,=- е ттч+ы +/<2 е тг!-+акм'?» •

/=2 ,=1 ЛЦ V Л-п

Примеры обоих вариантов моделирования сбоя показаны на

рис.4.

3 4 5 6 7 8 9 1 б)

Рис.4. ПЗГСВ с параметрами: N =10, ¡и, = 0-00, цг =4.00,23=1.00, <„,,+1=2,2=9, *0] =4, ги =6,

'1,00 0.00 0.00 0.00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00'

0.00 1,00 0.87 0.76 0.68 0,61 0,56 0,51 0,47 0,44

0.00 0.87 1,00 0.94 0.87 0,80 0,73 0,68 0,63 0,59

0.00 0.76 0.94 1,00 0.96 0,91 0,85 0,80 0,75 0,71

у _ 0.00 0.68 0.87 0.96 1.00 0,98 0,93 0,89 0,84 0,79

0.00 0.61 0.80 0.91 0,98 1.00 0,98 0,95 0.91 0,87 '

0.00 0.56 0.73 0.85 0,93 0,98 1.00 0,99 0,96 0,92

0.00 0.51 0.68 0.80 0,89 0,95 0,99 1.00 0,99 0,96

0.00 0.47 0.63 0.75 0,84 0,91 0,96 0,99 1.00 0,99

ч0.00 0.44 0.59 0.71 0,79 0,87 0,92 0,96 0,99 1.00,

а) ПЗГСВ, смоделированная первым способом; б) ПЗГСВ, смоделированная вторым способом. При моделировании ПЗГСВ, изображенных на рис.3 и 4, использована одна и та же последовательность ошибок. Следовательно, выбранный способ

моделирования зависимои последовательности оказывает существенное влияние на ее значения после момента ¡„р.

Момент разладки и моменты сбоя в ПЗГСВ устанавливаются также как для независимой последовательности.

В зависимости от способа моделирования ПЗГСВ получены различные соотношения для решающей функции при общем условии, что = 0 •

При моделировании последовательности с использованием (3) логарифм отношения правдоподобия, который будет решающей функцией, принимает вид

г, =

гм +тт г 4

г-1

№

\2

(-1

2-

№

где 1 = 1,1„р+1.

Для второго способа (4)-(4") решающая функция, выраженная через логарифм отношения правдоподобия, в силу независимости ошибок моделирования для определения доли ложных до момента 1„р включительно, рассчитывается как

8, = 81-1 +-

(мг-пМа С"1 +М2)

, где / = 1, ¡„р ;

П 2

а с момента 1„р +1 из-за коррелированности ошибок прогнозирования на несколько шагов вперед определяется следующим образом:

81 =

*М + 2ЩХ'

1=2

■л I

у

/=2 Лп /=]' Лп

где/ = ^+1,г„р+/, 1 = 1,/.

Наиболее интересным с точки зрения практического применения является случай, когда известна только степень зависимости значений модели-

руемой последовательности. Тогда рассмотрено отношение условных плотностей распределения вероятностей. Последовательность ошибок подчинена нормальному закону распределения, тем самым маргинальные и условные плотности являются нормальными. Поэтому

gl =

п

Ек+1 =

Е>к+1 = Ук+\,ы - 2(к) X* ;

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

2(к)=

'й] М II у м

Лк, мР'-Ъ \ У

Уч у12 Уг\ У 22

У\к У2к

Ик = (^+М.....Ук+1,к)> к = \,1пр+1-\.

\Ук\ Ук2 ••• Укк)

Проведено статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки/сбоя ПЗГСВ, в котором исследовались оба способа моделирования последовательности и общий метод построения решающей функции. На основе результатов моделирования выведены зависимости полученных оценок порогов обнаружения разладки/сбоя от способа моделирования последовательности, параметров самой последовательности и разладки/сбоя.

В гл. 2 было получено соотношение для верхней оценки порога обнаружения разладки в среднем ПНГСВ. Определим подобные оценки для зависимых последовательностей, рассматриваемых в данной главе. Теорема 3.1 Пусть последовательность задается соотношениями (3), тогда

"»Ч&в+и фг-я! Е~2-

I т 1

«О +£,<0+/с ^

(10)

где

!

0,/в[1,/о]

т

Л=1

Теорема 3.2 Пусть последовательность задается соотношениями (4)-(4'% тогда

Г'0+4 У

Е^и /=1

^ККи Цы /=1

№

(П)

где

81 =

0, /е[1,/0]

т ¿=1

Кроме того, выведем верхнюю оценку для решающей функции, определяемой согласно (5) и (6). Теорема 3.3 Пусть

где Ь = 1 при г <г0, 6 = 2 при г £ ((>, т^ рассчитываются по (7) и (8) соответственно, - по (9), г/, е Л'(0,1). Тогда

тах&0+т<

•К».-ЧУ

Ы1 2Е>10+к

л/2тн

(12)

где

0, ге[1,г0]

т

Т,А8и+к, 1 = <0+>", т = 1, 2,. А=1

Таким образом, для оценки минимальной величины разладки сверху в зависимости от способа моделирования ПЗГСВ следует использовать правые части неравенств (10), (11), (12).

В четвертой главе "Комплекс прикладных программ и применяемые в нем численные методы" разработан комплекс программ "Эффективное прогнозирование", который работает под Windows 2000, ХР, 2003; реализован в среде VisualStudio .NET 2002 и имеет MDI архитектуру. Предлагаемый комплекс программ (КП) предназначен для повышения эффективности (качество, скорость) принимаемых управленческих решений при исследовании и прогнозе одномерных в.р.. Он состоит из шести математических модулей: "Разладка в случайных последовательностях", "Сбой в случайных последовательностях (независимый случай задания параметров)", "Сбой в случайных последовательностях (зависимый случай задания параметров)", "Описательная статистика временного ряда", "Подбор модели временного ряда", "Последовательный анализ временного ряда".

КПЭП разработан для решения следующих задач:

1) статистическая проверка на стационарность в.р.;

2) оценивание параметров моделей прогнозирования;

3) выбор НП из имеющегося набора моделей;

4) статистический анализ ряда ошибок НП;

5) оценивание параметров настройки методов обнаружение разладки/сбоя;

6) обнаружение момента неэффективности/интервала временной неэффективности прогноза на несколько шагов вперед с последующей его коррекцией.

При решении первой задачи в КПЭП использованы корреляционный анализ и критерии проверки "наличия-отсутствия тренда": критерий "восходящих и нисходящих" серий; критерий, основанный на медиане выборки; метод Фостера-Стюарта.

В случае нестационарности исходного в.р. {х,}"=1> предоставлена возможность рассмотреть: а) ряд {V*,}",, где Ь) ряд {й,}^,, где h, = ln-^—.

Оценивание параметров модели прогнозирования осуществлено при помощи метода наименьших квадратов. Кроме того, предусмотрен случай задания параметров вручную.

При решении задачи выбора НП из имеющегося набора моделей в первую очередь необходимо определить его составляющие. В данной работе подбор НП не является основной целью, а служит лишь средством, позволяющим показать необходимость анализа эффективности прогноза с упреждением I. Поэтому для прогнозирования предложен набор, состоящий из наиболее распространенных в прикладных эконометрических исследованиях моделей типа ARMA, которые имеют порядки р, g и d не превышающие значение два. Непосредственный выбор НП осуществлен с применением методов дисперсионного анализа: критерий F, метод Тьюки, метод Даннета и метод множественного упорядочения по сумме квадратов ошибок.

Для статистического оценивания параметров ряда ошибок НП предназначены такие элементы описательной статистики как: среднее, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал для среднего, скошенность, эксцесс, медиана, мода, минимум, максимум, ранг, количество данных и стандартная ошибка среднего.

Оценивание параметров настройки методов обнаружения разладки/сбоя осуществлено с помощью методов и процедур предложенных в главе 2 и главе 3 для независимых и зависимых последовательностей ошибок прогнозирования соответственно с параметрами ряда, определенными в модуле "Описательная статистика".

Разработан алгоритм прогноза и анализа эффективности (АПАЭ), реализованный в последней задаче КПЭП:

1. Сбор данных необходимых для исследования.

2. Проверка собранных данных на стационарность.

3. Приведение ряда к стационарному виду (если это необходимо).

4.Подбор НП к стационарному ряду методами оценивания параметров, множественного сравнения и ранжирования.

5. Осуществление прогноза с упреждением I при использовании НП.

6. Расчет статистических характеристик последовательности ошибок моделирования.

7. Выбор методов обнаружения и определение порога, при достижении которого подается сигнал о разладке/сбое.

8. Последовательный анализ эффективности прогноза, сделанного в момент !пр на I шагов вперед.

9. При подаче сигнала о разладке производится коррекция прогноза на момент г„р +1, которая заключается в:

a) замене только модели прогнозирования,

b) замене только старта прогноза,

c) замене старта прогноза и модели прогнозирования одновременно. Далее повторяются пункты 2-9, но уже с новыми данными.

В задаче о сбое коррекция прогноза не осуществляется, а при обнаружении момента начала сбоя выполняется поиск момента начала возврата. При этом ни модель прогнозирования, ни момент старта прогноза, никакие другие характеристики не меняются.

В задаче о разладке предложен метод СО с целью упрощения АПАЭ при условии независимости ошибок прогнозирования.

Реализация АПАЭ показана на примере в.р. рыночных цен обыкновенных акций с применением различных методов обнаружения разладки/сбоя.

Проведен сравнительный анализ предлагаемых в работе методов анализа эффективности прогноза. На основе анализа предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое

О/ ,

/=1

где МО, - метод обнаружения разладки/сбоя

[0, если I - ым методом разладка не обнаружена

МО:={

(1, в обратном случае

- соответствующий 1-му методу коэффициент, устанавливаемый в зависимости от доверия аналитика данному методу

=1 ; и - общее число V;=i )

используемых методов обнаружения. Сигнал о разладке/сбое подается в момент га/моменты гЛ| и г„2 при Gj >Hj, где Яу e(0,l] - величина, определяемая по усмотрению аналитика.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Поставлена и решена задача настройки методов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ошибок прогнозирования моделями типа ARMA. Результатами решения являются: рекуррентные соотношения для порогов обнаружения разладки/сбоя в предлагаемых методах, процедура получения оптимального порога обнаружения разладки/сбоя в AICC ПИ. Используя процедуру получения оптимального порога обнаружения, выведены статистические зависимости смоделированных оценок порогов от параметров последовательности и разладки/сбоя.,.

2. Предложены модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ при прогнозировании предикторами типа ARMA для зависимой последовательности ошибок. Показана их работоспособность при моделировании состоятельных оценок порогов обнаружения и анализе реальных данных..

3. Предложены верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ при изменении закономерности на величину, превышающую искомую. Показана возможность их применения на примере реальных данных.

4. Разработан алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением I. На реальных в.р. показана работоспособность предлагаемого алгоритма. Применение АПАЭ возможно в различных сферах жизнедеятельности человека, где необходим прогноз на несколько шагов вперед. Предложен метод СО, упрощающий АПАЭ при предположении независимости ошибок прогнозирования.

5. Разработан КПЭП для реализации АПАЭ с целью решения следующих задач: статистической проверки на стационарность в.р.; оценивания параметров моделей прогнозирования; выбора НП из имеющегося набора моделей; статистического анализа ряда ошибок НП; оценивания параметров настройки методов обнаружение разладки/сбоя; обнаружение момента неэффективности/интервала временной неэффективности прогноза с последующей (при необходимости) его коррекцией. Комплекс программ апробирован на анализе реальных данных.

6. Предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое на основе сравнительного анализа рассматриваемых в работе методов обнаружения разладки/сбоя.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Микка К. В. Моделирование временного ряда и обнаружение момента "разладки" // Тезисы всероссийской НК "Седьмые Вавиловские чтения", -Йошкар-Ола: МарГТУ. - 2003. - С. 254-256.

2. Николаев М. Л., Микка К. В. Об одном способе оценки порога обнаружения разладки по среднему гауссовской последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. - 11, №2. - С. 382-383.

3. Микка К. В. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки в среднем гауссовской последовательности независимых случайных величин // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. - 2004. - №3(16). - С. 17-21.

4. Микка К. В. Об одном способе оценки порога обнаружения сбоя по среднему в гауссовской последовательности // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализа памяти Н. В. Ефимова. -Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР". - 2004. - С. 262-263.

5. Микка К. В. Статистическое моделирование процедуры обнаружения сбоя в среднем гауссовской последовательности независимых случайных величин // Сб. Международной научной конференции "Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство". - М.: РУДН. - 2004. - С. 165-169.

6. Микка К. В. Об одной модели обнаружения разладки эффективности прогноза с упреждением I, осуществляемого методами АШМА // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского Т.25. Материалы международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики". - Казань: Изд. Казанского мат. общества. - 2004. - С. 183-184.

7. Микка К. В. О верхних оценках порога обнаружения разладки в среднем случайных последовательностей // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. -11, №4.-С. 871-872.

8. Микка К. В. Об одной модели сбоя в среднем зависимой последовательности ошибок прогнозирования моделями АЫМА // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. - 11, №4. - С. 872-873.

РНБ Русский фонд

2007-4 19878

\ ■■ о 19 НОЯ 200Г

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

И ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА

1.1. Основные прикладные области временного ряда

1.2. Описание методов, используемых для прогноза на несколько шагов вперед

1.3. Методы обнаружения разладки и сбоя

1.4. Виды практических задач, решаемых с помощью методов обнаружения разладки и сбоя

1.5. Нерешенные проблемы и постановка задачи исследований

2. СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПОРОГОВ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ В СРЕДНЕМ ГАУССОВСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.1. Постановки задач нахождения порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем для АКС ПИ 53 2.1.1 .Постановка задачи нахождения порога обнаружения разладки

2.1.2.Постановка задачи обнаружения моментов сбоя

2.2. Моделирование ПНГСВ, допускающих разладку и сбой в среднем

2.2.1. Моделирование ПНГСВ, допускающей разладку

2.2.2.Моделирование ПНГСВ, допускающей сбой

2.3. Описание АКС ПИ для обнаружения разладки и сбоя в среднем

2.3.1. Описание АКС ПИ для обнаружения разладки

2.3.2. Описание АКС ПИ для обнаружения сбоя

2.4. Рекуррентный расчет порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем ПНГСВ

2.5. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки и сбоя ПНГСВ

2.5.1.Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки

2.5.2.Статистическое моделирование процедуры обнаружения сбоя

2.6. Выводы по обнаружению разладки и сбоя с использованием АКС ПИ

2.7. Верхние оценки порога обнаружения разладки в среднем ПНГСВ для АКС ПИ

Актуальность темы. Известен ряд областей, связанных с обработкой временных рядов (в.р.), широко применяемых в настоящее время. К данным областям, в частности, относятся анализ в.р., прогнозирование, текущий анализ прогноза и автоматизация обработки данных. Для решения задач анализа данных при наличии случайных воздействий предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. При определении моментов неэффективности сделанных прогнозов предлагается использовать последовательные методы обнаружения изменений свойств в.р.: алгоритм кумулятивных сумм при полной информации о векторе параметров (АКС ПИ), алгоритм кумулятивных сумм при неполной информации о векторе параметров (АКС НИ), метод, основанный на модуле ошибки (МОНМО), метод, основанный на вероятностных пределах прогноза (MOB 1111).

Известны основополагающие работы ученых по анализу в.р. и последовательным методам обнаружения изменения их свойств. Среди них -Айвазян С.А., Бокс Дж., Бэстенс Д.-Э., Вальд А., Ван Ден Берг В.-М., Воробейчиков С.Э., Вуд Д., Гиршик М., Горбань А.Н., Дженкинс Г., Кемп К., Клейнен Дж., Колмогоров А.Н., Нейлор Т., Никифоров И.В., Николаев М.Л., Пейдж Е.С., Петере Э., Прохоров Ю.В., Рубин Г., Россиев Д.А., Ширяев А.Н., Элдер А.

Несмотря на большое количество работ по указанным направлениям, задача анализа эффективности прогноза в.р. с упреждением I (/> 2), далее просто путем анализа ошибок прогнозирования изучена недостаточно. Скорейшее обнаружение неэффективности (разладки) прогноза дает возможность сократить потери при изменении динамики развития в.р. Особый интерес представляет настройка методов обнаружения в случае АКС ПИ через моделирование оценок порогов обнаружения разладки. Такой подход обладает определенными достоинствами: учитывается фактор ложных тревог и влияние белого шума на значения последовательности, тем самым, делая полученную оценку порога более достоверной. Использование других методов для обнаружения изменений закономерности позволяет провести сравнительный анализ их работоспособности и на его основе вывести обобщенную аддитивную функцию подачи сигнала об изменении свойств. Для приложений большое значение имеет задача о временной неэффективности (сбое) прогноза. Эта задача может быть решена модифицированными методами обнаружения разладки. В связи с отмеченным выше актуальна задача анализа эффективности прогноза на несколько шагов вперед в.р. последовательными методами обнаружения разладки/сбоя. Решению данной задачи посвящена настоящая диссертация.

Цель и задачи исследований. Объектом исследований является прогноз в.р. на несколько шагов вперед. Прогноз осуществляется предиктором из класса моделей ARIMA. Выбор предиктора производится методами корреляционного анализа, оценивания параметров, множественного сравнения и ранжирования.

Предмет исследования - методы, способные обнаруживать момент разладки/интервал сбоя эффективности прогноза. Целью работы является разработка процедуры скорейшего обнаружения момента разладки или интервала сбоя прогноза в.р.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие научные задачи: 1) методами описательной статистики, критериями проверки "наличия-отсутствия" тренда, корреляционным анализом статистически исследовать в.р.;

2) идентифицировать и оценить параметры рассматриваемых для прогноза в.р. моделей из класса ARIMA;

3) методами сравнительного анализа и ранжирования выбрать наилучший из имеющегося набора предиктор (НП) и сделать прогноз с упреждением /;

4) статистически исследовать ряд ошибок, построить (если это необходимо) корреляционные и ковариационные матрицы ошибок прогноза на момент tnp с упреждениями т и т + У, где т = \,1, / = 0, 1,2,.,т-1;

5) смоделировать случайную последовательность с параметрами ряда ошибок, допускающую разладку/сбой в среднем, и определить оценки порогов нахождения разладки/интервала сбоя в случае применения для обнаружения изменения закономерностей АКС ПИ;

6) получить оценки параметров настройки для АКС НИ, МОНМО, МОВПП;

7) провести последовательный анализ эффективности прогноза с упреждением / и, по необходимости, осуществить коррекцию прогнозного значения, применяемой модели, и/или момента начала прогноза;

8) провести сравнительный анализ используемых в данной работе методов обнаружения разладки/сбоя.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей и математической статистики, имитационного моделирования, стохастической и финансовой математики, последовательного обнаружения изменения свойств в.р.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1) впервые рассмотрена задача сбоя эффективности прогноза, сделанного в момент времени tnp с упреждением /, при использовании модели из класса

ARIMA;

2) предложена новая процедура получения состоятельных оценок для оптимальных порогов обнаружения момента разладки/моментов сбоя в случае АКС ПИ;

3) разработана новая методика обнаружения момента разладки/моментов сбоя эффективности прогноза для независимой случайной последовательности в случае АКС ПИ - "скользящее окно" (СО);

4) предложена и модифицирована на случай сбоя новая модель обнаружения разладки для зависимой последовательности ошибок прогноза моделей ARIMA;

5) выведены верхние оценки порога обнаружения разладки в АКС ПИ для определения изменений закономерности на величину, превышающую искомую;

6) впервые сделан сравнительный анализ применяемых в работе методов обнаружения с позиции эффективности прогноза на несколько шагов вперед, на основе которого предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое;

7) на языках VB .NET, С# разработан комплекс программ "Эффективное прогнозирование" (КПЭП), позволяющий исследовать в.р., прогнозировать динамику его развития и анализировать эффективность сделанного прогноза различными методами.

Достоверность полученных результатов определяется корректностью математического изложения и методов исследования. Кроме того, они подтверждаются математическим моделированием с использованием современных компьютерных технологий.

Практическая значимость. Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты могут быть использованы в различных прикладных областях, где существует возможность получить достаточную статистику по некоторому показателю и на ее основе сделать прогноз его динамики развития. Наиболее ярким примером области приложения результатов может служить финансовый рынок, для которого свойственна сильная волатильность его финансовых инструментов. Поэтому в подобных случаях говорить о долгосрочной эффективности прогноза не приходиться. Следовательно, имеет смысл применять методы обнаруженйя неэффективности при прогнозе на несколько шагов вперед.

Реализация результатов работы. Диссертационные исследования были использованы для обработки реальных в.р.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные лично:

1) состоятельные оценки порогов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ошибок прогнозирования моделями типа ARIMA;

2) модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ, учитывающие особенности последовательности ошибок прогнозирования на несколько шагов вперед методами ARIMA;

3) верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ, используемые при определении изменения закономерности на величину, превышающую искомую;

4) алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением /, метод СО, упрощающий данный алгоритм;

5) комплекс прикладных программ для реализации алгоритма прогноза с упреждением l и последующего его анализа;

6) обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на Всероссийской междисциплинарной конференции "Седьмые Вавиловские чтения" (Йошкар-Ола 2003г.); V-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2004г.); Международной школе-семинаре по геометрии памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); V-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия, Сочи, 2004г.); П-ой Международной конференции "Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство" (Татранска Ломница, 2004г.); Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004г.); научных семинарах кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (Йошкар-Ола, 2004г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, включая 5 статей и 3 тезиса.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 179 страницах, содержит 24 рисунка и 54 таблицы. Библиографический список включает 83 наименования.

8. Основные результаты последовательного анализа эффективности прогноза по всем методам обнаружения разладки представлены в табл. 4.28.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрен комплекс теоретических и практических вопросов, связанных с анализом, прогнозированием, обнаружением неэффективности и последующей коррекцией прогноза в.р. В работе получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Поставлена и решена задача настройки методов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ошибок прогнозирования моделями типа ARIMA. Результатами решения являются: рекуррентные соотношения для порогов обнаружения разладки/сбоя в рассматриваемых методах, процедура получения оптимального порога обнаружения разладки/сбоя в АКС ПИ. Используя процедуру получения оптимального порога обнаружения, выведены статистические зависимости смоделированных оценок порогов от параметров последовательности и разладки/сбоя.

2. Предложены модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ при прогнозировании предикторами типа ARIMA для зависимой последовательности ошибок. Показана их работоспособность при моделировании состоятельных оценок порогов обнаружения и анализе реальных данных.

3. Предложены верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ при изменении закономерности на величину, превышающую искомую. Показана возможность их применения на примере реальных данных.

4. Разработан алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением /. На реальных данных в.р. показана работоспособность предлагаемого алгоритма. Применение АПАЭ возможно в различных сферах жизнедеятельности человека, где необходим прогноз на несколько шагов вперед. Предложен метод СО, упрощающий АПАЭ при предположении независимости ошибок прогнозирования.

5. Разработан КПЭП для реализации АПАЭ с целью решения следующих задач: статистической проверки на стационарность в.р., оценивания параметров моделей прогнозирования, выбора НП из имеющегося набора моделей, статистического анализа ряда ошибок НП, оценивания параметров настройки методов обнаружение разладки/сбоя, обнаружения момента неэффективности/интервала временной неэффективности прогноза с последующей его коррекцией. Комплекс программ апробирован на анализе реальных данных.

6. Предложена обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое на основе сравнительного анализа рассматриваемых в работе методов обнаружения разладки/сбоя.

1. Айвазян С. А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов М.: Юнити, 1998. - 1022 с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 500 с.

3. Батуро А. П. Кусочное прогнозирование и проблема обнаружения предвестников существенного изменения закономерности // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы IX Всероссийского семинара / А. Н. Горбань. Красноярск: ИПЦ КГТУ - 2001. - С. 15-16.

4. Батуро А. П. Метод для обнаружения "разладок" предвестников критических явлений во временном ряде. // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы VIII Всероссийского семинара. - Красноярск: ИПЦ КГТУ. - 2000. - С. 15.

5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1. -М.: Мир, 1974.-406 с.

6. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.2. М.: Мир, 1974. - 197 с.

7. Болыпев JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. -М.: Мир, 1983.-416 с.

8. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 1999. 384 с.

9. Бродский Б. Е., Дарховский Б. С. Априорные оценки в задачах, о "разладках" случайной последовательности // Докл. РАН 2000. - 370, №6.-С. 731-734.

10. Буркатовская Ю. Б. Обнаружение разладки процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого с помехами // Математическое моделирование: Кибернетика. Информатика: Сб. научных статей / Томск, гос. ун-т. Томск: ТГУ. - 1999. - С. 18-26.

11. Бэстенс Д.-Э., Ван Ден Берг В.-М., Вуд Д. Нейронные сети и финансовые рынки: принятие решений в торговых операциях. М.: ТВП, 1997.-236 с.

12. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

13. Воробейчиков С. Э. Последовательное обнаружение моментов разладки случайных процессов: Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук / Томск, гос. ун-т. Томск, 2000. 30 с.

14. Воробейчиков С. Э., Кабанова Т. В. Обнаружение момента изменения среднего значения процесса авторегрессии // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2003. - 10, № 1. - С. 122-123.

15. Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М.: Наука, 1965. - 227 с.

16. Горбань А. Н., Россиев Д. А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996.-276 с.

17. Домрачев Д. В. Задача о "сбое" временного ряда // Тезисы всероссийской НК "Седьмые Вавиловские чтения", Йошкар-Ола: МарГТУ. - 2003. - С. 233-234.

18. Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования: Учебно-практическое пособие. М.: МЭСИ, 1999. - 96 с.

19. Ерохов Д.Н. Концепция повышения эффективности оценивания экономических показателей: Автореф. дис. канд. экон. наук / Международная академия информатизации. М., 2000. 23 с.

20. Жданов Д. А., Софронов Г. Ю, Моделирование значений порога в последовательной задаче о разладке // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения.-2003.- 10, № 1.-С. 151-152.

21. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. Вып.2. М.: Статистика, 1975. - 335 с.

22. Клигене Н. Телькснис JI. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов // Автоматика и телемеханика. 1983. -№ 10.-С. 5-56.

23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 542 с.

24. Кох И. А. Аналитические модели рынка ценных бумаг: Учебное пособие. Казань: КФЭИ, 2001. - 92 с.

25. Лумельский В. Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса // Автоматика и телемеханика.- 1972.-№Ю.-С. 67-73.

26. Микка К. В. Моделирование временного ряда и обнаружение момента "разладки"// Тезисы всероссийской НК "Седьмые Вавиловские чтения".- Йошкар-Ола: МарГТУ. 2003. - С. 254-256.

27. Микка К. В. О верхних оценках порога обнаружения разладки в среднем случайных последовательностей // Обозрение прикладной ипромышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. - 11, №4. - С. 871-872.

28. Микка К. В. Об одной модели сбоя в среднем зависимой последовательности ошибок прогнозирования моделями ARIMA // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. — 11, №4. - С. 872-873.

29. Микка К. В. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки в среднем гауссовской последовательности независимых случайных величин // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. 2004. - №3(16). - С. 17-21.

30. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. Вып.1. М.: Финансы и статистика, 1982. - 319 с.

31. Найман Э. Л. Малая энциклопедия трейдера. 4-е издание. М.: Альпина, 2004. - 400 с.

32. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975. - 504 с.

33. Никифоров И. В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. -М.: Наука, 1983. 197 с.

34. Никифоров И. В. Применение кумулятивных сумм для обнаружения изменения характеристик случайного процесса // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 2. - С. 48-58.

35. Никифоров И. В. Применение последовательного анализа к процессам авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 8. - С. 174— 177.

36. Николаев М. Л. Задача о "сбое" технологического процесса IKM, XII. Internationaler KongreB tiber Anwendungen der Mathematik in den Ingenieurwissenschaften.Berichte Weimar. - 1990. - № 3. - P. 46-47.

37. Николаев М.Л. Задача о сбое в стохастической последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2002. - 9, № 1. - С. 128.

38. Николаев М.Л., Микка К.В. Об одном способе оценки порога обнаружения разладки по среднему гауссовской последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики М.: Теория вероятностей и ее применения. - 2004. - 11, №2. - С. 382-383.

39. Оптимальные моменты остановки для решения нелинейных стохастических дифференциальных уравнений и их применение к одной задаче финансовой математики / Мишура Ю. С., Ольцик Я. О. // Укр. мат. ж. 1999. - 51, № 6. - С. 804-809.

40. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982. - 428 с.

41. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. - 333 с.

42. Савельев В. Электронный учебник по статистике компании StatSoft Russia / В. Савельев. Режим доступа http://downloads.ru/win/5381.hts 17.02.2001.

43. Харин Ю. С., Степанова М. Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. Мн.: Университетское, 1987. - 304 с.

44. Ширяев А. Н. Вероятность М.: Наука, 1980. - 576 с.

45. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. Факты. Модели М.: Фазис, 1998. - 512 с.

46. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1969.-231 с.

47. Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже. М.: Крон-пресс, 1996. -336 с.

48. Bollerslev Т. Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity // Journal of Econometrics. 1986. - V. 31. - P. 307-327.

49. Chen J., Gupta A. K. On change point detection and estimation // Commun. Statist. Simul. and Comput. 2001. - 30, № 3. - P. 665-697.

50. Dacorogna M. M., Muller U. A., Embrechts P., Samorodnitsky G. Moment Condition for the HARCH(Ar) Models. Preprint. Zurich: Olsen & Associates, May 30, 1995.

51. Dudding B. P., Jennet W. J. Quality control charts, British Standard 600R, 1942.

52. Dunnett C. W. A Multiple Comparison Procedure for Comparing Several Treatments with a Control // Journal of the American Statistical Association. 1955.-50.-P. 1096-1121.

53. Engle R. F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. - V. 50, №4.-P. 987-1008.

54. Forecasting exchange rates using general regression neural networks / Leung Mark Т., Chen An-Sing, Daouk Hazem // Comput. and Oper. Res. 2000. -27, № 11-12.-P. 1093-1110.

55. Gourieroux Ch. Modeles ARCH et applications financieres. Paris: Econometrica, 1992.

56. Granger С. W. J., Terasvirta T. Modelling Nonlinear Economic Relationships. Oxford: Oxford'Univ. Press, 1993.

57. Grillenzont C. Time-varying parameters prediction // Ann. inst. Statist. Math.- 2000. 52, № 1. - P. 108-122.

58. Grosh В. K. Sequential tests of statistical hypothesis. Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1970.

59. Hansson P. A. Chaos: implications for forecasting // Futures. 1991. - № 1. -P. 50-58.

60. Jackson J. E., Bradley R. A. Sequential x1 and т2 -tests // Ann. Math. Statist.- 1961. 32, № 4. - P. 1063-1077.

61. Jones R. H., Crowell D. H., Kapuniai L. E. A method for detecting change in a time series applied to newborn EEG // Electroencephalography and Clinical Neurophysiology. 1969. - V. 27. - P. 436 - 440.

62. Jones R. H., Crowell D. H., Kapuniai L. E. Change detection model for serialy correlated multivariate data // Biometrics. 1970. - V. 26, № 2. - P. 269-280.

63. Jones R. H., Crowell D. H., Kapuniai L. E., Nakagawa I. K. An adaptive method for testing for change in digitized cardiotachometer data // IEEE, Trans, on Bio-Medical Engineering. 1971. - V. BME-18, № 5. - P. 360365.

64. Lorden G. Procedures for reacting to a change in distribution // Ann. Math. Statist. 1971. - 42, N 6. - P. 1897-1908.71 Microsoft Excel Help.

65. Page E.S. Comparison of process inspection schemes // Industr. Quality Contr. 1964. - 21, N 5. - P. 245-249.

66. Peitgen H.-O., Jiirgens H., Saupe D. Chaos and Fractals. New York: Springer-Verlag, 1992.

67. Pesaran M. H., Potter S. M. (Eds). Nonlinear Dynamics, Chaos and Econometrics. New York: Wiley, 1993.

68. Pollock A. C., Macaulay A., Onkal-Atay D., Wilkie-Thomson M. E. Evaluating predictive performance of judgmental extrapolation from simulated currency series // Eur. J. Oper. Res. 1999. - 114, № 2. - P. 281— 293.

69. Rabemananjara R., Zakoian J. M. Threshold ARCH Models and Asymmetries in Volatility // Journal of Applied Econometrics. 1993. - V 8, № l.-P. 31^9.

70. Shewhart W. A. The Economic control of the Quality of Manufactured Product, Macmillan, New York, 1931.

71. Takens F. Distinguishing deterministic and random systems // Nonlinear dynamics and turbulence. Ed. G. I. Barenblatt, G. Joose, D. D. Joseph, N. Y. Pitman. 1983.-P. 314-333.

72. The modeling and analysis of financial time series / C. James // Amer. Math. Mon. 1998. - 105, № 5. - P. 401-411.

73. Tong H. Nonlinear Times Series. Oxford: Oxford Univ. Press, 1990.

74. Tsuyoshi S. Optimal stopping problem with finite-period reservation. // Eur. J. Oper. Res. 1999. - 118, № 3. - P. 605-619.

75. Winer В,J. Statistical principles in experimental design. New York, 1962