автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Последовательные процедуры обнаружения момента разладки случайных процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью

На правах рукописи

Сергеева Екатерина Евгеньевна

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОБНАРУЖЕНИЯ МОМЕНТА РАЗЛАДКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИОННОГО ТИПА С УСЛОВНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

3 МАЯ 2012

Томск - 2012

005018856

005018856

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Национальный исследовательский Томский государственный университет" на кафедре высшей математики и математического моделирования

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Воробейчиков Сергей Эрикович

Официальные оппоненты:

Кошкин Геннадий Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор,

кафедра теоретической кибернетики

Томского государственного университета, профессор

Якупов Рафаэль Тимирович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро - Судженск, заведующий кафедрой

Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники" , г. Томск

Защита состоится: 16 мая 2012 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при ГОУ ВПО "НИ Томский государственный университет" по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, 2-ой уч. корп., ауд. 212 "б".

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34 а.

Автореферат разослан: 13 апреля 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

П.Ф. Тарасенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задачи обнаружения момента изменения статистических свойств наблюдаемого процесса (момента разладки) возникают при обработке телеметрических данных, в задачах технической диагностики, в задачах распознавания образов, при использовании алгоритмов контроля за состоянием системы управления (например, для обнаружения разладки в датчиках). Процессы авторегрессионного типа с условной неоднородностью, а именно процессы AR/ARCH и GARCH, позволяют адекватно описывать многие явления. Основное отличие данных процессов состоит в различии между условными и безусловными моментами второго порядка. Условные моменты данных процессов зависят от прошлых состояний.

В настоящее время задача построения последовательных процедур обнаружения моментов разладки процессов AR/ARCH и GARCH остается актуальной, о чем свидетельствует большое количество работ в данной области. Для нахождения момента разладки используются различные модификации метода наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, робастные методы оценивания, численные методы. Существуют методы, позволяющие обнаруживать как одно, так и несколько изменений параметров процесса. Свойства оценок момента разладки, получаемых при использовании известных методов обнаружения, изучаются в асимптотике, при этом не проводится теоретического исследования характеристик процедур - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия. Однако, на практике время наблюдения системы всегда конечно, поэтому важной является проблема исследования качества используемых процедур при неасимптотической постановке задачи. Представляет интерес разработка алгоритмов, обеспечивающих заданную вероятность принятия верного решения по конечному объему выборки.

Целями настоящей работы являются:

• построение последовательных процедур оценивания неизвестных параметров процессов AR/ARCH и GARCH с заданной среднеквадратической точностью;

• построение последовательных процедур обнаружения момента разладки процесов AR/ARCH и GARCH, обеспечивающих заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия;

• проведение численного моделирования, с целью подтверждения работоспособности построенных процедур.

Для достижения вышеуказанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

• формализация и решение задач построения последовательных процедур гарантированного оценивания неизвестных параметров процессов AR/ARCH и GARCH;

• построение процедур обнаружения разладки процессов AR/ARCH и GARCH и нахождение верхних границ для характеристик процедур - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия;

• исследование статистических свойств построенных оценок, таких как среднеквадратическая точность оценки и асимптотическое распределение отклонения оценки от истинного значения параметров;

• доказательство работоспособности разработанных методов и процедур посредством обработки информации, получаемой в результате вычислительных экспериментов.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы системного анализа, теории управления, теории вероятностей, теории случайных процессов, теории аналитических функций, теории матриц, методы обработки информации и имитационного моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработана последовательная процедура гарантированного оценивания неизвестных авторегрессионных параметров процесса AR(p)/ARCH(q), основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов, в предположении, что все параметры процесса являются неизвестными. Предложенная процедура отличается от известных тем, что позволяет строить оценки неизвестных авторегрессионных параметров процесса с любой заданной среднеквадратической точностью;

• построена процедура обнаружения момента изменения параметров процесса AR(p)/ARCH(q). Предложенная процедура отличается от известных тем, что решает задачу обнаружения в предположении, что все параметры процесса являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Построенная процедура позволяет обеспечить заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия, что не удается обеспечить для известных

процедур обнаружения;

• разработана последовательная процедура гарантированного оценивания неизвестных параметров процесса САШИЩр^), основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов. Предложенная процедура отличается от известных тем, что позволяет строить оценки неизвестных параметров процесса САЯСН(р^) с любой заданной среднеквадратической точностью;

• построена процедура обнаружения момента изменения параметров процесса СА11СН(р,я). Построенная процедура отличается от известных тем, что позволяет обеспечить заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия, что не удается обеспечить для известных процедур обнаружения;

• разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий методы обработки информации.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в том, что впервые разработаны процедуры обнаружения момента разладки процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью, а именно А11/А11СН и САШИН, в предположении, что параметры рассматриваемых процессов являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Построенные процедуры позволяют таким образом выбирать параметры процедуры, чтобы обеспечивать заданные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия, что не удается обеспечить для известных процедур обнаружения.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут применяться при обработке информации в таких областях, как геофизика, медицинская и техническая диагностика, а также при управлении технологическими процессами и при анализе сигналов. Рассматриваемые в работе модели АК/АИСН и САШИН являются наиболее часто используемыми для описания эконометрических данных. Полученные в работе результаты могут использоваться при обработке информации, получаемой на рынке инвестиций, управлении финансовыми рисками и формировании портфеля инвестиций. Кроме того, полученные теоретические результаты могут быть использованы в соответствующих курсах лекций на математических факультетах университетов.

Достоверность полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое доказательство. Качество

построенных процедур подтверждено проведенным имитационным моделированием.

Положения, выносимые на защиту.

1. Процедура последовательного гарантированного оценивания неизвестных авторегрессионных параметров процесса AR(p)/ARCH(q), гарантирующая заданную среднеквадратическую точность получаемых оценок.

2. Процедура обнаружения момента изменения параметров процесса AR(p)/ARCH(q), позволяющая обеспечивать заданные значения вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия.

3. Процедура последовательного гарантированного оценивания неизвестных параметров процесса GARCH(p,q), гарантирующая заданную среднеквадратическую точность получаемых оценок.

4. Процедура обнаружения момента изменения параметров процесса GARCH(p,q), позволяющая обеспечивать заданные значения вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия.

Реализация и внедрение результатов работы. Рассмотренные в диссертации процедуры оценивания и обнаружения моментов разладки процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью используются в учебном процессе факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета при выполнении курсовых и квалификационных работ.

Апробация работы. Работа выполнялась в рамках нучно - исследовательской работы при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант РФФИ № 09-01-00172, в рамках ФЦП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы", ГК №07.514.11.4069.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры высшей математики и математического моделирования ФПМК ТГУ, а также на следующих конференциях: X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи - Дагомыс, 2009 г.); XII Международном симпозиуме по непараметрическим методам в кибернетике и системному анализу (г. Красноярск, 2010г.); "The 6th international conference on electrical and control technologies"(г. Kar унас, Литва, 2011г.); "The 11th international conference on pattern recognition

and information processing" (г. Минск, Беларуссия, 2011г.); XII Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (Казань, 2011г.).

Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 5 печатных работах, в том числе 2 - в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад. Основные научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Постановка задачи для каждого раздела была выполнена совместно с научным руководителем. В публикации [2] асимптотические результаты для построенной оценки неизвестных параметров процесса GARCH(p,q) были получены совместно с кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры вычислительной техники Томского политехнического университета Ю.Б. Буркатовской. Численные расчеты выполнялись автором самостоятельно, и программа имитационного моделирования разработана автором единолично.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 153 страницы, 35 рисунков, 18 таблиц, библиографический список включает 165 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность исследуемой проблемы построения процедур обнаружения момента разладки, приводится обзор известных результатов, формулируются цели и задачи исследований, обозначены основные пункты научной новизны и практической значимости результатов исследований, представлена структура диссертации.

В первой главе рассматривается задача обнаружения момента разладки процесса AR(1)/ARCH(1) в предположении, что все параметры процесса являются неизвестными как до, так и после момента разладки. Рассмотрение данной задачи выделено в отдельную главу, так как исследуемый процесс записывается в скалярном виде, что позволяет получить желаемый результат при менее жестких требованиях, налагаемых на процесс. При исследовании асимптотических свойств оценки неизвестного авторегрессионного параметра процесса используется подход, отличающийся от подхода для процесса

А11(р)/А11СН^) и позволяющий упростить анализ. В первом разделе первой главы приводится обзор известных процедур оценивания неизвестных параметров процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью.

Во втором разделе первой главы осуществляется постановка задачи. Предполагается, что случайный процесс хп описывается уравнениями

%п+1 = Ая„ + ап£п+1, сгп = у/а+Ьх^, (1)

где {гп}п>1 - последовательность н.о.р.с.в. с нулевым средним, единичной

дисперсией и известным распределением, причем для некоторого N величи-

ну

на Е ^ < оо. Все параметры процесса являются неизвестными.

Процесс (1) является устойчивым при каждом наборе параметров. Предполагается, что значение авторегрессионного параметра А изменяется в момент времени в с Ао на А1, причем |Ао — А112 > Д > 0, где Д является известным значением. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям процесса хп обнаружить момент разладки.

Для построения процедуры обнаружения разладки процесса необходимо построить статистику, поведение которой после разладки существенно изменится. Предлагается строить процедуру обнаружения с использованием последовательных оценок с гарантированной точностью неизвестного авторегрессионного параметра процесса. Это позволяет определять характеристики процедуры - вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия.

В третьем разделе первой главы предлагается последовательная процедура оценивания, основанная на модифицированном взвешенном методе наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами, гаг рантирующая заданную среднеквадратическую точность вычисляемой оценки. Оценка неизвестного авторегрессионного параметра процесса имеет вид

1 т(н) г -г

А*(я) = тг Х> т* = тах & I**!)' (2)

где случайный момент остановки при построении оценки определяется из условия

т = т(Я) = т/|/>п+1 : ^ -Я}'

(3)

Параметр процедуры оценивания Н определяет точность получаемой оценки. Весовые коэффициенты Ук выбираются в виде

а последний весовой коэффициент ут находится из условия

k=N+l 4 '

Свойства построенной оценки формулируются и доказываются в следующих теоремах.

Теорема 1.1 Для любого Н > 0 момент прекращения наблюдений т(Н) конечен с вероятностью единица, и среднеквадратическое отклонение оценки А*(Н) от истинного значения параметра А оценивается сверху величиной

Е{Х(Н)-\}2<± (6)

Теорема 1.1 устанавливает свойство гарантированности построенной оценки в среднеквадратическом смысле.

Теорема 1.2 Если процесс (1) является устойчивым, случайные величины еп имеют плотность f, такую, что выполняется Е {1п (6 е|)} < О, |А| < 1, Ее* = С < оо, то для достаточно больших Н

Р{\Х*(Н) - А|2 > х} < 2 {1 - Ф (уШ) } . (7)

В четвертом разделе первой главы предлагается последовательная процедура обнаружения разладки процесса (1). Процедура обнаружения состоит в следующем: на первом этапе определяются интервалы [т,_1 + 1,75], » > 1. На каждом из этих интервалов строится оценка А* (Я) (2) процесса (1). На втором этапе составляется статистика соответствующая интервалу [Тг-1 + 1,7}], для г > тп

4 = (А?(Я)-Аи(Я))2. (8)

Эта статистика характеризует квадрат отклонения оценок с номерами г и I — тп. На третьем этапе задается пороговое значение 6 : 0 < 6 < А и решение о наличии разладки принимается при превышении статистикой ^ порогового

-1

значения 6. Если ^>5 и принимается решение о наличии разладки, а при этом Т{ < в, то имеет место ложная тревога. Если ^ > 5 и принимается решение о наличии разладки, а при этом Т;_т < 9 < п-1, то имеет место запаздывание в обнаружении.

Верхние границы для характеристик процедуры обнаружения - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия при неасимптотической постановке задачи формулируются и доказываются в теореме 1.3, при асимптотической - в теореме 1.4.

Теорема 1.3 Пусть 0 < 5 < А, тогда вероятность ложной тревоги Рй{Н, 5) и вероятность ложного спокойствия Р\{Н, 6) на любом интервале наблюдений [г,_1 + 1,т*] ограничены сверху величинами

Р0 = Р0(Н, ё) <^,Рг= Рг(Н, < 4

. 2'

(9)

Я (^-л/д)

Оценки сверху для вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия (9) были получены при помощи неравенства Чебышева. Так как неравенство Чебышева является довольно общим, то полученные оценки оказываются достаточно грубыми. Более точные, асимптотические оценки для вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия можно получить, используя неравенство (7), доказанное в теореме 1.2.

Теорема 1.4 Пусть 0 < 6 < Л и выполнены условия Теоремы 1.2. Для достаточно больших Н вероятность ложной тревоги Ро{Н, 5) и вероятность ложного спокойствия Р\{Н, 5) ограничены сверху величинами

Ро(Н,5)< 4 1-Ф л/ —

(

Рг(Н,8)< 4

1-Ф

\

(у/А-ТДУ

Н

\

/

(10)

где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения.

В пятом разделе первой главы представлены результаты моделирования процедур оценивания неизвестного авторегрессионного параметра процесса АН(1)/АИСН(1) и обнаружения момента разладки данного процесса. Моделировался случайный процесс АН(1)/АГ1СН(1) следующего вида

хп = Ах„_1 + у/а + Ьх^Еп, п = 0,1,..., (И)

шумы {£п}п> 1 - гауссовские с нулевым средним и единичной дисперсией. Моделировалось тысяча реализаций процесса, длина реализации - 10000 значений, момент разладки в = 5000. Результаты моделирования приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Характеристики процедуры обнаружения разладки.

в Pop РаА Р0С То PiP Pi А PlC Ті

Я = 150 S = 0.03 5154 0.051 0.267 0.88 7585 0.001 0.009 0.25 446

Я = 150 ¿ = 0.06 5248 0.007 0.067 0.444 56442 0.006 0.054 0.41 483

Я = 150 ¿ = 0.1 5326 0.0008 0.012 0.267 777444 0.02 0.222 0.79 493

Я = 200 ¿ = 0.1 5555 0.0005 0.003 0.2 914455 0.009 0.132 0.59 643

Здесь в - среднее значение момента разладки, То - среднее время между ложными тревогами, Ту среднее время запаздывания в обнаружении разладки; PqA, PqC и Pop - вероятности ложной тревоги, полученные из соотношений (10), (9) и в результате моделирования соответственно. Соответствующие вероятности ложного спокойствия обозначены через Р\А, Р\С и Р\р.

На рисунке 1 приведена иллюстрация работы процедуры обнаружения. В верхнем левом углу изображена реализация моделируемого процесса, момент

разладки 9 = 5000. Ниже изображена последовательность моментов остановки для построения оценки неизвестного авторегрессионного параметра с гарантированной точностью. В верхнем правом углу приведена последовательность построенных оценок с гарантированным качеством. Ниже представлена схема принятия решения о наличии разладки.

Во второй главе рассматривается задача обнаружения момента разладки процесса АК(р)/А11СН^). В первом разделе разделе второй главы формулируются основные цели и приводятся основные этапы исследования процесса А11(р)/А11СН(я). Во втором разделе второй главы осуществляется постановка задачи. Случайный процесс хп описывается уравнениями

Хп+1 = + \2Xj1~1 + ... + ЛрХ„_р+1 + (Тп£п+\. (12)

Условная вариация процесса хп представляет собой случайный процесс вида

ап = уа + Ьгх1 + Ь2х1_1 + ... + Ь,х1_1+1.

{еп}„>1 - последовательность н.о.р.с.в. с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распределением, причем для некоторого N величина

(/» V1]

Е < ( ^^ 4 > < оо. Предполагается, что все параметры процесса явля-

(Ды1 / )

ются неизвестными, а сам процесс является устойчивым при каждом наборе параметров. Вектор авторегрессионных параметров Л = [Ах,..., Ар]7 изменяет свое значение в момент времени в с Ло на Л1 не менее, чем на заданную величину, т.е. |Ло — Л1Р > Д > 0. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям процесса хп обнаружить момент разладки.

Процедура обнаружения разладки строится с использованием последоваг тельных оценок с гарантированной точностью вектора неизвестных параметров Л.

В третьем разделе второй главы предлагается последовательная процедура оценивания, гарантирующая заданную среднеквадратическую точность вычисляемой оценки. Оценка Л* вектора неизвестных параметров:

Л*(Я) = ( £ А-\т), А(т) = £ Укгкг1 (13)

\*=ЛГ+1 / >¡=N+1

где

/,11 I |\ ЛГ Х„+1 I Хп Хп—\ Яп-р+1 \

тпп = тпах(1, \хп\,..., \хп-ч+\\), уп+1 = ——, ¿п = I —,——>-. ———I •

ТПп \ТПп ТПп Шп J

Случайный момент остановки г (Я), где Я - параметр процедуры оценивания, определяющий точность оценки, вычисляется следующим образом

Т = Т(Н) = т/{к >N + 1: итЫ(к) > Я}. (14)

Весовые функции Ук на интервале А;€[Л\Г + 1,.ЛГ+1 + ст — 1] задаются:

1

Ук =

_ ^ (|з*-ц| + Ы + - + \Хк-]й-1\)2Е к=лг0 гпгп (1,х1,...,

а - наименьшее число наблюдений, для которых матрица А(Ы+1 +сг) невырождена. Специальные неотрицательные весовые функции Ук на интервале А; е [./V + 1 + сг, г — 1] находятся из условий

£ «№,, (15)

к /=лг+ст+1

ут{п(к) - минимальное собственное значение А(к).

Последняя весовая функция ит выбирается из условий:

Утт(т)

> £ "гтп(т) = я. (16)

Свойства построенной оценки формулируются и доказываются в следующих теоремах.

Теорема 2.1 Для любого Я > 0 момент прекращения наблюдений т(Н) конечен с вероятностью единица, и квадрат нормы отклонения оценки Л* (Я) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

Д|А*(Я)-А|а< (17)

В теореме 2.1 устанавливается свойство гарантированности построенной оценки в среднеквадратическом смысле.

Теорема 2.2 Пусть плотность распределения величин {е/} такова, что Е | | < °°> Е (£1 ~ < 00■ Тогда для достаточно больших

значений параметра процедуры Я > 0 вероятность отклонения оценки

А* (Я) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

-1^1 , (18)

Р{|Л*(Я)-Л|2><5}<1-^2Ф^

8Н2

Н+р-

где Ф (а;) - функция стандартного одномерного нормального распределения.

В четвертом разделе второй главы предлагается последовательная процедура обнаружения разладки процесса (12). Процедура обнаружения строится аналогично процедуре, рассмотренной в первой главе, и основывается на тестовой статистике вида

•Л = (Лі (Я) - А1т(Н))Т (Л*(Я) - Л1п(Н)),

(19)

которая определяет квадрат нормы отклонения оценок с номерами гиг —т.

Верхние границы для характеристик процедуры обнаружения - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия при неасимптотической постановке задачи формулируются и доказываются в теореме 2.3, при асимптотической - в теореме 2.4.

Теорема 2.3 Пусть 0 < 5 < А, тогда вероятность ложной тревоги Ро(Я, 6) и вероятность ложного спокойствия Р\(Н, 5) на любом интервале наблюдений + 1, т;] ограничены сверху величинами

ОД,„ < ОД О < (20)

Я2 (ч/д - уД)

Теорема 2.4 Пусть 0 < <$ < А и выполнены условия Теоремы 2.2. Для больших значений параметра Н вероятность ложной тревоги А (Я, 5) и вероятность ложного спокойствия Р\{Н,8) удовлетворяют неравенствам

ч \ Р\

Р0(Н,6) < 2 1 - 2Ф

6Н2

2(Я+р — 1)

-1

/

Рі(Н,6)<2

1 -

2Ф

\

N

(уЕ-у/б) я2 2(Я+р-1)

(21)

\

/

/

где Ф (х) - функция стандартного одномерного нормального распределения.

В пятом разделе второй главы представлены результаты моделирования процедур оценивания неизвестных авторегрессионных параметров процесса AR(2)/ARCH(2) и обнаружения момента разладки данного процесса. Моделировался случайный процесс AR(2)/ARCH(2) следующего вида

хп = \\xn-i + Мхп-2 + yja + bixl^ + b2x2n_2en, п = 1,2,..., (22)

шумы {£„}„> 1 - гауссовские с нулевым средним и единичной дисперсией. Моделировалось 1000 реализаций процесса, длина каждой 10000 значений, момент разладки в = 5000. Результаты моделирования приведены в таблице 2, где в обозначено среднее значение момента разладки, PqA, PqC и Pop - вероятности ложной тревоги, полученные из соотношений (21), (20) и в результате моделирования соответственно. Соответствующие вероятности ложного спокойствия обозначены через Р\А, Р\С и Р\р.

Таблица 2 - Характеристики процедуры обнаружения разладки.

в РоР РоА Р0С То Pip PiA PiC Ті

Я = 160 6 = 0.053 6130 0.017 0.157 0.475 58244 0.009 0.206 0.534 1710

Я = 200 6 = 0.053 6397 0.006 0.085 0.379 171541 0 0.12 0.427 2177

Я = 240 6 = 0.053 6438 0 0.047 0.316 1000000 0 0.07 0.355 2674

Я = 240 6 = 0.04 6266 0.004 0.113 0.418 309778 0 0.027 0.274 2652

Л' л і / і /

У/У: 3SK VIA Wv <М КК

УЯГ, Ж»

Рисунок 2 - Процедура обнаружения момента разладки процесса AR(2)/ARCH(2)

На рисунке 2 приведена иллюстрация работы процедуры обнаружения момента разладки процесса АР(2)/АРСН(2). В верхнем левом углу изображена

реализация моделируемого процесса, момент разладки в = 5000. В верхнем правом углу приведена схема принятия решения о наличии разладки. В нижней части рисунка изображена последовательность оценок неизвестных авторегрессионных параметров процесса с гарантированным качеством.

В третьей главе рассматривается задача обнаружения момента разладки процесса СА11СН(р^). В первом разделе третьей главы приводится обзор существующих методов оценивания неизвестных параметров процесса САНСН(рд). Во втором разделе третьей главы осуществляется постановка задачи. Рассматривается устойчивый случайный процесс СА11СН(р^)

Хп = (ТпЕ„, п = 1, 2...,

(23)

al=а+X) X¡xl-i+X

t=l i=l

где {en}n>i - последовательность н.о.р.с.в. с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распределением, причем для некоторого N выпол-

((* у2}

няется Е < | ) > < оо. Параметры {о, А,} предполагаются неизвестными, а параметры Hj - известными, причем параметры процесса удовлетворяют условиям:

р í

а > О, А, > 0, fij > 0, 1 < i < р, 1 <j<q, 0 < ^ А. + Х^' < h (24)

i=i j=i

Вектор параметров А = [a, Ai,..., Ар] меняет свое значение с Ао на Ai в неизвестный момент времени в и выполняется условие |Ао — Al |2 > Д > 0. Требуется по наблюдениям за процессом хп обнаружить момент разладки.

Процедура обнаружения разладки строится с использованием последовательных оценок с гарантированной точностью вектора неизвестных параметров А.

В третьем разделе третьей главы предлагается последовательная процедура оценивания неизвестного вектора параметров процесса. Оценка А* вектора неизвестных параметров процесса имеет вид

А*(Я)= ( ¿ VkVkUl \ А-1 (г); А(т) = ¿ vkUkUTk. \*=ЛГ+1 / k=N+1

где

2 Зр"

тп = тах{Ра{п,11,х),...,Рр{п,ц,х)}-, В2 = Е (е2 — 1) ; Уп = ~г,

ТПп

Ппл= 0 < г <р ; = К,о,• • •,Ип,р]Т, Л = [а,Ль...,ЛР];

т„

я

Г0 (п, р, х) = 1 + ]Г] (п - з, /х, х); ¿=1

« _

Я (п, ц, х) = х2п_{ + нЪ (п - з> л > 1 = !>р;

3=1 _

Р {по ~ 3, /А *) = [1, • • ■» ^по-р-Ц . 3 = о, д ~ 1-

Момент остановки т(#) для фиксированного значения параметра процедуры оценивания Н > 0, определяющего точность получаемой оценки, задается следующим образом

г = т(Я) = Ы{к >N + 1: и^(к) > Н}. (26)

Здесь - минимальное собственное значение матрицы А(к). Положи-

тельные весовые функции Ук на интервале [./V + 1, N + <т — 1], сг — наименьшее значение к для которого А(к) не вырождена, задаются следующим образом

1

ук =

К

/ I \1=М0 ™п (п, д, я),..., ^р (п, ц,х)} ]

(27)

Веса Ук на интервале [ЛГ + а, г — 1] находятся из условий

Е (28)

Последняя весовая функция уТ находится из условий

£ ^п(г) = Я. (29)

Свойства построенной оценки формулируются и доказываются в следующих теоремах.

Теорема 3.1 Для любого значения параметра процедуры Н > 0 момент прекращения наблюдений т(Н) конечен с вероятностью единица, и средний

квадрат нормы отклонения оценки Л* (Я) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

Теорема 3.1 устанавливает свойство гарантированности построенной оценки в среднеквадратическом смысле.

Теорема 3.2 Пусть плотность распределения величин {е/} такова, что

значений параметра процедуры Н > О вероятность отклонения оценки Л* (Я) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

где Ф (х) - функция стандартного одномерного нормального распределения.

В четвертом разделе третьей главы предлагается последовательная процедура обнаружения разладки процесса (23). Процедура обнаружения строится аналогично процедуре, рассмотренной во второй главе, и использует тестовую статистику, которая определяет квадрат нормы отклонения оценок с номерами г и г — т.

Верхние границы для характеристик процедуры обнаружения - вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия при неасимптотической постановке задачи формулируются и доказываются в теореме 3.3, при асимптотической в теореме 3.4.

Теорема 3.3 Пусть 0 < 5 < Д, тогда вероятность ложной тревоги Р0(Н, <$) и вероятность ложного спокойствия Р\{Н, 5) на любом интервале наблюдений [т,_1 + 1,т<] ограничены сверху величинами

Я|Л*(Я)-Л|2<^.

(30)

Е (е\ — I)4 < оо. Тогда для достаточно больших

р{|Л'(Я)-Л|'>*}< ^Ф^Щ-!)"1,

(31)

Ро(Н,6)<

4 (Н + р) НЧ

Р1(Н,д)<

4 (Н + р)

(32)

Теорема 3.4 Пусть 0 < <5 < Д и выполнены условия теоремы 3.2. Для больших значений параметра Н вероятность ложной тревоги Ро(Н, 6) и вероятность ложного спокойствия Р\(Н, <5) ограничены сверху величинами

Р0{Н,ё) <2(1-^ 6"2 - 1

2(Н + р)

РЛН,6)< 2 / 1- / 2Ф / ^ (уж-уДун2' 2 (Н+р) \ -1 р+1\

V \ V )

(33)

где Ф (х) - функция стандартного одномерного нормального распределения.

В пятом и шестом разделах третьей главы представлены результаты моделирования процедур оценивания неизвестных параметров процессов СА11СН(1,1), САЯСН(2,2) и обнаружения момента разладки данных процессов. Приведем результаты моделирования процесса САИСН(2,2). Моделировался случайный процесс следующего вида

Хп —

2 . , л _2 , \ _2 , ____2 , .. _2

(34)

ОІ = а + АІ4-1 + ^2Х2п-2 + +

шумы {г„}„>1 - гауссовские с нулевьм средним и единичной дисперсией. Моделировалось 1000 реализаций процесса (34), длина каждой 20000, момент разладки в = 10000. Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Характеристики процедуры обнаружения разладки в | Pop РоА Р0с То Pip \ РіА РіС Ті

Я = 120 5 = 0.035

Я = 150 S = 0.035

Я = 180 S = 0.025

Я= 180 S = 0.035

10084

10783

11240

11680

0.045

0.02

0.018

0.014

0.774

0.578

0.709

0.43

0.968

0.772

0.899

0.642

24294

66482

50380

114411

0.023

0.774

0.578

0.238

0.43

0.968

0.772

0.481

0.642

1440

1599

2023

2052

В верхнем левом углу рисунка 3 изображена реализация моделируемого процесса СА11СН(2,2), момент разладки в = 10000. В нижней части рисунка

Рисунок 3 - Процедура обнаружения момента разладки процесса САІІСН(2,2)

изображены последовательности оценок неизвестных авторегрессионных параметров процесса с гарантированным качеством.

Анализируя результаты моделирования процедур обнаружения моментов разладки процессов А11(1)/А11СН(1), А11(2)/А11СН(2) и САЯСН(2,2), можно сделать следующие выводы: с ростом параметра Н уменьшается ошибка оценивания, при этом увеличивается интервал оценивания; с ростом параметра процедуры 5 уменьшается вероятность ложной тревоги, и увеличивается интервал между ложными тревогами, при этом увеличивается среднее время запаздывания; при фиксированном параметре 6 с ростом Н увеличивается среднее время запаздывания в обнаружении, и увеличивается время между ложными тревогами; во всех случаях полученные практические вероятностные характеристики процедуры обнаружения не превышают теоретических. Для проверки работоспособности предложенных в работе процедур обнаружения было проведено сравнение результатов работы процедур обнаружения момента разладки процессов А11(2)/А11СН(2), СА11СН(1,1) с неизвестными значениями параметров как до, так и после момента разладки с процедурами обнаружения разладки тех же процессов с известными параметрами. Дня обоих процессов среднее время запаздывания в обнаружении, полученное при применении нашей процедуры обнаружения, больше среднего времени запаздывания, полученного для процессов с известными параметрами, и отличается примерно на среднюю длину интервала оценивания неизвестных параметров.

В заключении диссертации приведены основные результаты, которые изложены в пунктах научной новизны, теоретической значимости и практической ценности. В приложении представлен акт внедрения результатов исследований в учебный процесс.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сергеева Е.Е. Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(1,1) - процесса/ Е.Е. Сергеева, С.Э. Воробейников //Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. — 2011. - № 3. - С. 31-42.

2. Буркатовская Ю.Б. Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(p,q) - процесса/ Ю.Б. Буркатовская, Е.Е. Сергеева, С.Э. Воробейчиков //Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника, информатика. - 2012. - № 1. - С. 48-57.

3. Буркатовская Ю.Б. Обнаружение скачка параметров процесса ARCH(l)/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков, Е.Е. Сергеева Е.Е. //Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010 - Т. 17, Вып. 1. - С. 96-97.

4. Буркатовская Ю.Б. Гарантированная оценка авторегрессионных параметров процесса AR(p)/ARCH(q)/ Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков, Е.Е. Сергеева Е.Е. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011 - Т. 18, Вып. 3-С. 481-482.

5. Sergeeva К. An efficient algorithm for detecting a change point of autoregressive parameters of AR(p)/ARCH(q) process/ K. Sergeeva, S. Vorobejchikov //Proceedings of the 11th International Conference of Pattern Recognition and Information Processing - Minsk, Belarus, May 18-20, 2011. -Belarus: Minsk. PRIP'2011. p.156-159

Тираж 130. Заказ №432. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел.:53-30-18

61 12-1/965

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Сергеева Екатерина Евгеньевна

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОБНАРУЖЕНИЯ МОМЕНТА РАЗЛАДКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ АВТОРЕГРЕССИОННОГО ТИПА С

УСЛОВНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент Сергей Эрикович Воробейчиков

Томск 2012

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Е — математическое ожидание, Р — вероятность,

1(1 — единичная матрица размера д, х (¿, |У| — норма вектора У, х(А) — индикатор события А,

Т = а{-} — сг-алгебра, порожденная величинами в фигурных скобках, н.о.р.с.в. - независимые одинаково распределенные случайные величины,

л.н. - линейно независимые векторы.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

1 Оценка параметров и обнаружение момента разладки процесса А11(1)/А11СН(1) 25

1.1 Введение............................. 25

1.2 Постановка задачи обнаружения момента разладки процесса А11(1)/А11СН(1)....................... 31

1.3 Построение процедуры оценивания авторегрессионного параметра процесса АГ1(1)/АКСН(1).............. 32

1.4 Построение процедуры обнаружения момента разладки процесса АЯ(1)/АКСН(1)................... 45

1.5 Моделирование процедуры обнаружения момента разладки процесса А11(1)/А11СН(1)................... 49

1.6 Выводы............................. 57

2 Оценка параметров и обнаружение момента разладки процесса АК(р)/АИСН(д) 59

2.1 Введение............................. 59

2.2 Постановка задачи обнаружения разладки процесса АЩрУАЫСН^) ........................ 60

2.3 Построение последовательной процедуры оценивания авторегрессионных параметров процесса А11(р)/АКСН(д) ... 61

2.4 Асимптотические свойства оценки.............. 70

2.5 Построение процедуры обнаружения момента разладки процесса AR(p)/ARCH(q)......................................80

2.6 Моделирование процедур оценивания и обнаружения момента разладки процесса AR(2)/ARCH(2) ....................83

2.7 Выводы..........................................................92

3 Оценка параметров и обнаружение момента разладки процесса GARCH(p,q) 94

3.1 Введение..........................................................94

3.2 Постановка задачи..............................................97

3.3 Построение последовательной процедуры оценивания параметров процесса GARCH(p,q)..................................98

3.4 Асимптотические свойства оценки............................105

3.5 Построение процедуры обнаружения момента разладки процесса GARCH(p,q)..........................................109

3.6 Моделирование процедур оценивания и обнаружения разладки процесса GARCH (1,1) .......................113

3.7 Моделирование процедур оценивания и обнаружения разладки процесса GARCH(2,2) ..................................121

3.8 Выводы..........................................................129

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 131

ЛИТЕРАТУРА 133

ПРИЛОЖЕНИЕ 152

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Любая деятельность человека, какой бы профессиональный характер она ни носила, состоит в решении постоянно и последовательно возникающих перед ним проблем. Важная особенность прикладного системного анализа состоит в учете различия между проблемами осознанно формализованными (описанными математическими моделями) и слабоструктурированными, излагаемыми в терминах разговорного или описательного профессионального языка [32]. При этом созданы методы постепенного развития, продвижения описания рассматриваемой слабоструктурированной проблемы к доступному в заданных условиях формализованному варианту. Задача системного анализа состоит в представлении мира как мира систем, взаимодействующих между собой, содерщащих в себе меньшие системы, входящие как части в большие системы, каждая из которых непрерывно изменяется и стимулирует к изменению другие системы. Каждая отдельная система отличается от всех других. И системный анализ нацелен не на отыскание общих закономерностей систем, а на решение конкретной проблемы с ее уникальной спецификой.

В диссертационной работе рассматривается проблема обнаружения момента изменения значений параметров процессов авторегрессионного типа с условной неоднородностью, а именно процессов AR/ARCH и GARCH. Проблема обнаружения момента изменения статистических свойств наблюдаемого процесса является одной из классических задач математической статистики и известна в литературе как задача обнаружения разладки. Такие задачи возникают при использовании алгоритмов контроля за состоянием системы управления (например, для обнаружения разладки в датчиках), при обработке информации, получаемой при технической диагностике, при решении задач распознавания образов, при обработке данных измерений. Также обнаружение изменения свойств яв-

ляется способом улучшения адаптивной способности алгоритмов идентификации и управления нестационарных систем.

Развитие науки и техники ставит перед исследователями все новые научные, технологические и сугубо прикладные задачи, о существовании которых невозвожно было даже подумать во время опубликования первых работ по данной тематике. Многие из этих задач можно свести к задаче обнаружения разладки и воспользоваться уже существующим статистическим аппаратом. Однако, процесс развития науки стимулирует появление новых работ в данной области, исследующих всевозможные модификации существующих методов для новых приложений в зависимости от рассмотрения конкретных проблем. Так как в системном анализе под моделью понимается системное отображение оригинала, то можно заметить, что усложняются и сами рассматриваемые модели, которые, в частности, допускают зависимость наблюдений в различные моменты времени [32].

Впервые задача обнаружения изменения вероятностных характеристик случайной последовательности была поставлена Е.С. Пейджем [137] в 1954г. Она решалась в рамках классической теории различения гипотез, в качестве статистики использовался критерий кумулятивных сумм, представляющий собой многократно возобновляемый из нуля последовательный критерий отношения вероятностей А. Вальда.

Класс задач обнаружения моментов изменения является широким. Данные задачи различаются предположениями о модели наблюдаемого процесса, методами и подходами к решению конкретной задачи. Существует два основных метода решения задач обнаружения разладки: методы апостериорного обнаружения по выборке фиксированной длины и последовательные методы обнаружения [57]. При решении задач обработки информации исследуются последовательности наблюдений, полученные в результате эксперимента. В первом случае предполагается, что в последовательности наблюдений в некоторый момент времени произошло из-

менение характеристик и, используя полученные наблюдения, необходимо оценить момент изменения. Обычно в этом случае изучается точность

II II

оценивания относительного момента разладки в схеме серии, предполагая, что отношение момента разладки к длине реализации является величиной постоянной, а объем наблюдений стремится к бесконечности. Для различных моделей наблюдаемых процессов апостериорные методы обнаружения рассматривались, например, Дарховским Б.С., Бродским Б.Е. [5, 6, 7], Basseville и Nikiforov [56], Csorgo и Horvath [74]. Большинство авторов рассматривали такую постановку задачи для последовательности независимых и одномерных случайных величин. В частности Yao [162] оценивал количество моментов изменения среднего значения последовательности независимых нормально-распределенных случайных величин, используя критерий Шварца. Lombard [128] и Mia и Zhao [132] предложили процедуры обнаружения, основанные на ранговой статистике, для нахождения одной или нескольких разладок. Некоторые авторы рассматривали задачу нахождения нескольких моментов разладки для последовательностей с зависимыми величинами. Бродский и Дарховский [65] предложили алгоритм для оценки момента разладки в смешанной последовательности наблюдений.

В последовательных методах обнаружения на каждом шаге гипотеза о наступлении разладки либо принимается, и наблюдения прекращаются, либо отклоняется, и наблюдения продолжаются дальше [57]. Наиболее полно проблема обнаружения разладки исследована для схемы независимых наблюдений, когда в момент разладки изменяется плотность распределения наблюдений. При этом начальная и конечная плотности могут быть известными или неизвестными. Задача обнаружения изменения распределения в последовательности независимых случайных величин рассматривалась многими авторами, например, Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. в [7] для решения данной задачи применяют методы скользящего среднего. Работы [35, 38, 129, 144] основаны на алгоритме кумулятивных

сумм, предложенном Пейджем и методе усредненного отношения правдоподобия Гиршика-Рубина-Ширяева [38, 86]. В работах Бассвиль [57], Клигене [21] рассмотрены процедуры обнаружения разладки для случайных процессов с зависимыми значениями.

Системный анализ рассматривает выбор решения проблемы, как стремление реализовать цель [32]. Для формализованных задач проблема выбора состоит в разработке строгой формальной методики нахождения наилучшего в данных условиях (оптимального) решения. В последовательных методах для принятия решения о наличии разладки необходимо накопить определенное количество наблюдений, описываемых новой моделью. Поэтому возможно возникновение запаздывания в обнаружении. С другой стороны, возможна ситуация, когда решение о наличии разладки принимается тогда, когда реально изменение не произошло, то есть имеет место ложная тревога. Показатели качества для процедуры обнаружения разладки случайного процесса были введены и исследованы в работах [38, 39] А.Н. Ширяева. Главная задача, которую необходимо решить в реальном масштабе времени - скорейшее обнаружение скачка. Таким образом, алгоритм обнаружения разладки должен обладать следующими показателями качества:

- малое число ложных тревог. Действительно, хороший алгоритм должен быть нечувствителен к шуму. Так, для эффективности алгоритма требуется большое среднее время между ложными тревогами;

- малое запаздывание в обнаружении. Среднее время запаздывания является важным вероятностным показателем в обнаружении скачка. Это очень важно для того, чтобы определение разладки происходило без задержки.

Одновременное выполнение данных условий невозможно. Чем чувствительнее процедура к возможным изменениям, тем больше вероятность возникновения ложных тревог и наоборот, чем менее чувствителен детектор к шуму, тем больше среднее время запаздывания в обнаруже-

нии [19]. Одной из возможностей оптимизации алгоритма обнаружения является выбор таких значений параметров, при которых среднее время между ложными тревогами не меньше заданной величины, а среднее время запаздывания при этом минимально (минимаксный критерий).

Процедура кумулятивных сумм основана на использовании критерия обобщенного правдоподобия. Алгоритм СиЭиМ заключается в применении последовательной процедуры отношения правдоподобия Валь-да классификации двух простых гипотез, в которой нижний порог задается равным нулю и при достижении логарифмом отношения правдоподобия этого порога процедура классификации возобновляется [57]. Данная процедура впервые была предложена Е.С.Пейджем и впоследствии усовершенствована Д.В.Хинкли [99]. Тестовая статистика типа СШиМ является наиболее часто используемой статистикой для нахождения моментов разладки, о чем свидетельствует большое количество работ [46, 77, 159, 160]. С. Ьогс1еп [129] доказал оптимальность этой процедуры в минимаксном смысле для схемы независимых наблюдений. Там же было показано, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремится к константе при стремлении среднего времени между ложными тревогами к бесконечности. Таким образом, алгоритм типа СиБИМ минимизирует запаздывание в обнаружении при заданном среднем времени между ложными тревогами. Однако этот результат не переносится на процессы с зависимыми значениями, - и вопрос об оптимальности процедуры остается открытым. Поэтому обычно в случае зависимых наблюдений выбор параметров процедуры СШиМ производится эвристически.

Выбор структуры модели является ключевым вопросом при исследовании систем в системном анализе. Знание структуры модели необходимо как для аналитического, так и для синтетического методов построения моделей. Таким образом, ключевым воросом в задаче обнаружении разладки является выбор структуры модели и контролируемых параметров.

Для последовательных методов следует различать четыре случая для нахождения параметра модели после изменения [57] :

• параметр после момента разладки является известным - случай редко встречающийся на практике. Этот подход часто используют в качестве отправной точки при определении качества метода обнаружения, ориентированного на более сложные ситуации;

• параметр после момента разладки принимает значения в известном конечном множестве. Это стандартная ситуация для обнаружения разладки, когда известен перечень разладок. В данном контексте представляют интерес многомодельные подходы;

• известна некоторая априорная информация о значениях параметра после момента разладки;

• о параметре после момента разладки нет никакой информации. Тогда можно использовать два подхода: "одномодельные методы", при которых осуществляется поиск значительного отклонения от опорной модели параметра без явного оценивания параметра после момента, или "дву-модельные методы", при которых в каждый момент времени параметры до и после момента разладки должны оцениваться для предполагаемого момента изменения.

Наиболее часто встречается ситуация, когда величина скачка неизвестна. Если начальное значение параметра модели неизвестно, его можно оценить с помощью подходящего адаптивного алгоритма. Таким образом неизвестными остаются только величина скачка (или значение параметра модели после момента изменения) и сам момент скачка.

Классической является постановка задачи определения момента изменения среднего значения в последовательности случайных величин или скачка значений какой - либо другой вероятностной характеристики случайного процесса Х^, происходящего в случайный момент времени 9, называемый моментом разладки. При байессовской постановке задачи, предложенной в [149], предполагается что момент разладки 9 имеет апри-

орное распределение, в то время как само значение в является неизвестным, так как не может наблюдаться непосредственно. При различных предположениях о наблюдаемых моделях данная постановка задачи рассматривалась в работах [68, 70, 91, 111, 146].

При решении задач обработки информации исследователь имеет дело с анализом временных рядов. Статистические тесты для определения структурных единичных изменений в функции тренда временных рядов изучались в работах [48, 51, 71, 141, 143]. В работах [50, 52, 123] решалась задача обнаружения нескольких моментов изменений.

Задачи обнаружения произвольного скачка среднего значения последовательности случайных величин рассматривались многими авторами [95, 96, 100, 107, 127, 161, 165]. Hinkley [100], Yao [161] and Hawkins [96] оценивали разладку в среднем в последовательности независимых случайных величин. Для зависимых наблюдений Bai [53] оценил изменение среднего в стационарном линейном процессе с короткой памятью. Horvath и Kokoszka [106] рассмотрели задачу обнаружения разладки в последовательности наблюдений с большой степенью зависимости. Kokoszka и Leipus [113] оценили момент разладки в ARCH модели. Рассматриваемые модели имеют ограниченную дисперсию. Однако многие ряды имеют распределение с медленно убывающим хвостом по сравнению с нормальным распределением. В таких случаях более подходящими являются модели с бесконечной вариацией. Han и Tian [95] использовали метод усечения для нахождения оценки момента разладки для зависимых наблюдений, имеющих маргинальное распределение с медленно убывающим хвостом. Однако, усеченная последовательность в данной работе включает зависимость от неизвестного индекса маргинального распределения. И, более того, отсечение всех наблюдений с одинаковыми значениями может привести к информационным потерям. Ling [127] предложил взвешенную оценку наименьшего отклонения для моделей AR с бесконечной дисперсией. Основная идея взвешенного метода оценки наименьшего отклонения

состоит в нормировке и уменьшения влияния чрезмерно больших наблюдений. Аналогичная идея уменьшения веса чрезмерно больших значений величин рассматривали Horvath и Liese [107] для оценки момента разладки процесса ARCH с медленно убывающим хвостом. В [165] предлагается взвешенный метод наименьших квадратов для обнаружения момента разладки в среднем процесса A