автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Последовательное обнаружение моментов разладки случайных процессов

томский государственный университет

На правах рукописи УДК 519.2

г Б од

Воробейников Сергей Эрикович о и г - о п.«,

- и ¿.с]

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ МОМЕНТОВ РАЗЛАДКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов п научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск 2000

Работа выполнена в Томском государственном университете.

Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук,

профессор Воскобойников Ю.Е., доктор физико-математических наук, профессор Демин Н.С., доктор технических наук, профессор Светлаков A.A.

Ведущая организация: Белорусский государственный

университет

Защита состоится ". д^Рь^К_2000г. в. 14 _ часов

заседании Специализированного совета Д 063.53.03 по защите диссерта1 на соискание ученой степени доктора наук при Томском государствен! университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского сударственного университета.

Автореферат разослан " 2 г " <-уг<£р^ Л^_ 2000г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук доцент

Bite.ZO з

в /7/, ¿г, оз

Б.В.Тривоже!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача обнаружения моментов изменения йств случайных сигналов актуальна во многих приложениях, связанных эработкой временных рядов, корреляционным и спектральным анализом [ных. С момента появления основополагающих работ Пенджа и Ширяе-штерес к проблеме обнаружения момента разладки постоянно возрастает, ожняются рассматриваемые модели, которые, в частности, допускают за-имость наблюдений в различные моменты времени.

Известные методы обнаружения разладки случайных процессов можно делить на две группы: методы апостериорного обнаружения л лоследо-ельные методы. При апостериорном обнаружении предполагается, что в ледовательпостп наблюдений в некоторый момент произошло изменение 1актеристик н требуется оценить момент этого изменения, используя все •людення. Обычно в этом случае изучается точность оценивания "отно-■елыюго" момента разладки в схеме серии, предполагая, что отношение лента разладки к длине реализации является величиной постоянной, а .ем наблюдений стремится к бесконечности. При различных предположе-[х относительно моделей наблюдаемого процесса апостериорные методы чались в работах Дарховского и Бродского, Востриковой. Последовательные методы характеризуются тем, что при поступлении юго наблюдения либо принимается решение о наличии разладки к те-цему моменту времени, либо - о продолжении наблюдений. Основными >актеристнкамн последовательных методов являются среднее время межсоседними моментами ложных тревог и среднее время запаздывания в гаружешш разладки после ее появления. Качество различных процедур [аружения сравнивают по следующему критерию: величине среднего вре-ш запаздывания при фиксированном среднем времени между ложными :вогами.

Достаточно хорошо изученной к настоящему времени является задача об-эуження изменения распределения в последовательности случайных вели-I. Для решения этой задачи применяются методы скользящего среднего, поненциального сглаживания, кумулятивных сумм (СиБИМ). Как было гановлено в работах Л орден а, Мустакидеса, Поллака, Ширяева, Боровкова пшальной процедурой является процедура кумулятивных сумм н близкая гей процедура Гиршика-Рубина-Шнрясва. Алгоритм СиВИМ заключая в применении последовательной процедуры отношения правдоподобия

Вальда классификации двух простых гипотез, в которой нижний порог зад ется равным пулю и при достижении логарифмом отношения правдоподоб) этого порога процедура классификации возобновляется. Для метода СIJ.SU Лорден показал, что отношение среднего времени запаздывания к логарш му среднего времени между ложными тревогами стремится к константе п] стремлении среднего времени между ложными тревогами к бссконечност Аналогичное соотношение между основными характеристиками было пол чено Бродским и Дарховскпм для других процедур обнаружения.

Аналитическое исследование характеристик процедуры Си51Ш даже схеме независимых наблюдений весьма затруднительно. В последнее вреь в работах Зигмунда, Поллака и Якира получены асимптотические формул для расчета среднего времени между ложными тревогами, а также форм лы для среднего времени запаздывания, содержащие неизвестные констант] для случая, когда плотности распределения наблюдении принадлежат эксп ненциальному семейству.

К настоящему времени разработан также ряд методов обнаружения м ментов разладки случайных процессов с зависимыми значениями. Часто качестве моделей наблюдаемых процессов используются процессы автор грессионного типа, которые позволяют при небольшом числе параметре хорошо аппроксимировать корреляционную функцию. Задачи обнаружен! скачков параметров в моделях такого типа исследовались в работах Тельк писа, Клпгене, Липеики, Лппейкене, Никифорова, Бассвиль и Бенвенист Сегена и Сандерсона, Дарховского и Бродского, Бородкнна и Моттля и д Исследование свойств предложенных алгоритмов является еще более трудне задачей, чем в случае независимых наблюдений.

Во многих случаях задача обнаружения момента разладки случайнь процессов оказывается тесно связанной с задачей оценивания параметре этих процессов. Для оценивания неизвестных параметров процессов автор грессионного типа применяются методы наименьших квадратов, максимал ного правдоподобия, стохастической аппроксимации. Свойства получаемь оценок изучаются в асимптотике, при неограниченном увеличении объе,\ наблюдений. Это позволяет установить скорость сходимости оценок к и тинным значениям параметров, а также найти предельное аснмптотическс распределение оценок. В то же время представляет интерес получение оц нок по конечной реализации процесса, которые бы имели заданные характ рис/гики. Такая возможность появляется при переходе к последовательное

any оценивания. Впервые такие оценки были предложены Новиковым для енивания параметра скалярного диффузионного процесса. Для процессов с скретным временем оценки были построены Борисовым и Коневым, а зам Коневым и Пергаменщиковым для процессов авторегрессии произвольна порядка и Васильевым и Коневым - для процессов, наблюдаемых па >не помех. При этом использовалась система моментов остановки, а оценки раметра процесса, наблюдаемого на фоне шумов, могут быть построены, ли последний параметр процесса не равен нулю.

В практических задачах часто используется модель наблюдений Калмана->юсн, в которой интересующий нас процесс наблюдается на фоне шумов, >едставляющих собой последовательность независимых гауссовских слу-лшых величин. Построение процедур обнаружения моментов изменения па-1Метров процессов в таких моделях и исследование свойств этих процедур ¡дяется сложной задачей. Имеется небольшое число работ, в которых пред-жен ряд алгоритмов, свойства которых нуждаются в дальнейшем анализе.

Таким образом, актуальной является задача построения процедур обпа-'жсння моментов разладки случайных процессов с независимыми и зависн-:>1мп значениями, для которых удалось бы провести теоретическое иеследо-цшс основных характеристик.

Целью настоящей работы является разработка методов обнаружения эмента разладки и методов оценивания параметров случайных процессов, )сспечнвающцх заданное качество получаемых выводов.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы ис-зльзовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, тети аналитических функций, теории матриц и методы статистического мо-?лнровапия.

Научная новизна.

В работе построены последовательные процедуры обнаружения моментов зменения свойств случайных процессов, отличающиеся от известных тем, го для них проведено теоретическое исследование основных статистических арактеристик, связанных как с ложными тревогами, так и с запаздыванием обнаружении разладки.

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут применяться при обработке дан-ых в задачах технической и медицинской диагностики, телеметрических и гофизических измерений.

Внедрение результатов работы.

По материалам работы получено два авторских свидетельства. Кром того, материалы исследований используются в учебном процессе при выпо; нении курсовых и дипломных работ студентов.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсл ждались на IV-м Всесозном совещании по статистическим методам теорн управления (Фрунзе, 1978), III,IV, V,VI Всесоюзных школах-семинарах по не параметрическим и робастным методам статистики в кибернетике (Томсь 1980; Дивногорск, 1982; Томск, 1983, 1987), Всесозной научно-техническо] конференции "Синтез и проектирование многоуровневых систем у правде ния" (Барнаул, 1982), Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систол и ее применения" (Ленинград, 1983), 1,11, III Всесоюзных семинарах по об паружению изменений свойств случайных процессов (Паланга, 1984; Зелено град, 1988; Воронеж, 1990), Региональной научно-технической конференшп "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микрома шинных средств" (Новосибирск, 1988), Республиканской научной конфереп цни "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск 1990), Всесоюзной научно-технической конференции с международным уча стием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в произвол стве и управлении" (Пермь, 1990), Всесоюзном семинаре по проблемам устой чивостн стохастических моделей (Пермь, 1992), 8-м Всемирном Конгреса ИФАК по автоматическому управлению (Сидней,Австралия, 1993), III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), на семинарах Института математики и кибернетики АН ЛитС CP, Московского авиационного института, Сибирского физико-техническогс института.

По результатам выполненных исследований опубликовано 30 печатни* работ.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертации составляет 250 страниц. Библиография содержит 285 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзор

шовных результатов по рассматриваемой тематике, определяются пели нс-тедования и дается общая характеристика работы.

В первой главе рассматриваются задачи обнаружения момента раз-адки в последовательности независимых случайных величин. Иредполага-гся, что наблюдения yi,...,y#-i имеют функцию распределения Fo(.г), а ),Ув+i-i ■■■ ~ функцию распределения Fi(x), в - момент разладки. Необхо-имо обнаружить момент 0, В случае известных Fo(x) и F\[x) (Моуп < 0> М1Уп > 0) предлагается произвести квантование наблюдений. Для этого адается система порогов

-оо = < <5-лг < •■• < S0 = 0 < ... < 5,у < 6л-+1 = +СО,

■уп преобразуются следующим образом

_ Г к, если 6к < уп < 5¡fc+i, уп > 0, \ + 1, если 6к < Уп < 6к+1, Уп < 0.

Для обнаружения разладки используется алгоритм CUS UM:

Решение о разладке принимается, если > а, а - натуральное число. )сновныс характеристики АКС - среднее время между ложными тревогами о и среднее время запаздывания в обнаружении разладки Т\ находятся из оотношений

Sn = max (5„_ j + vn, iV), So = N, n= 1,2...,

(0.1)

To = ß0(0), Ti = ßi(0),

(0.2)

(0.3)

N

aj - l! H iip-i.j - Pij)> j = 0,1,

•де Xij-корни многочленов

N

(0.4)

i — — N

Uj определяются из условии 2 N

= Ai(N - к) + к = 0,N - 1; (0.5)

1 = 1

2ЛГ

^ с^Х^ + Ага = О, к = + N - 1, } = 0,1, ¿=1

{Рг,к ■ ' = —& = 0,1} обозначают распределение ь„ до и после момен разладки.

Асимптотические формулы для То и Т\ дает

Теорема 1.1. Пусть 8] таковы, что .4о > 0 и А^ < 0, а корпи Ро(Х) Рг(Х) - простые. Тогда

То = «1 (А*)'2 — А^а -+• К2 + о(1) при а —> оо, (0.

Т\ — —.4x0 + кз + о(1) при а —>■ оо, (0.

Тх А!

1ип

7,

(0.

То^со 1пТ0 1пХ* где А" > 1 - корень Ро(А).

Постоянные к-ь К2, «з известны н зависят только от корней Ро(А) и Р\{) В табл. 1.1 приведена зависимость эффективности (по величине 7) п строенной процедуры относительно оптимальной процедуры СЬ'БиМ б квантования наблюдений для случая, когда наблюдения уп имеют гауссо ское распределение с дисперсией (I, а среднее значение изменяется в моме! разладки с —1 на +1.

Таблица 1.1 Зависимость эффективности от N

N 2 3 4 5 6 7 8

<1=4 ¿1 0,895 0,690 0,568 0,477 0,413 0,362 0,350

гэфф 0,908 0,947 0,965 0,975 0,981 0,985 0,988

с1=16 6: 1,710 1,322 1,090 0,929 0,808 0,689 0,660

ГЭфф 0,915 0,952 0,968 0,977 0,983 0,987 0,989

сЫОО «1 4,210 3,280 2,728 2,300 1,975 1,798 1,587

ГЭфф 0,917 0,953 0,969 0,978 0,983 0,987 0,990

Как показали численные расчеты, пороги квантования в этом случае моя но определять по формулам

г£ = (2»-1)бь 5_,- = -<5,-, х — 1, N.

В случае, когда функции распределения ^о(х-) н 1?\{х) неизвестны и в м< мент разладки увеличивается среднее значение наблюдений процедура обн; ружения строится на основе статистик

Уп = в1дп(х„ - хп-п0), гп = [у„ - 8) Лг, & = 8 < А, (ОД

:спользованнем алгоритма СиЬиМ

¿>„ = тах(5„_1 + г„, I), 5„0 = /, / = N + т,

Решение о разладке принимается, если Бп > я-Асимптотические свойства процедуры содержит Теорема 1.2.Если I - нечетно, то при а —> со

Т0 = к,(А*)а - — + к2 + 0(1). т.

ли, кроме того, 0 > по и М\уп > А, то при а —> оо

Тх = —аА\ + кз + о(1), Тг Ах

11пт То —со 1п70

1п Л*

(0.10)

(0.11) (0.12)

Таким образом, свойства неиараметрической процедуры обнаружения зладки (0.9) оказываются аналогичны свойствам процедуры обнаружения лодели с известными распределениями наблюдений. В табл. 1.5 приведены иные расчетов среднего времени между ложными тревогами, полученные го.мощыо решения системы уравнений (0.2,0.3) (СУ), по асимптотической >рмуле (0.6) (АФ) и с помощью имитационного моделирования (МК).

Таблица 1.5 Обнаружение изменения среднего при N = 6

9 СГ- СУ АФ МК СУ АФ МК

25.0 13.6 42.8 13.7 42.8 13.6 43.1 25.4 129.0 25.3 129.0 25.4 129.4

6.25 15.8 57.2 15.9 56.8 15.7 57.8 37.7 173.4 38.1 173.4 38.0 177.0

4.0 21.0 56.9 21.1 57.7 20.9 57.1 35.0 225.7 35.3 225.8 35.1 227.4

1.56 27.6 125.0 27.1 126.6 27.6 126,4 58.7 262.8 59.4 266.1 57.8 263.1

1.0 21.9 145.7 19.2 148.1 21.8 148.0 55.2 390.2 54.5 395.7 55.7 393.2

0.79 29.8 246.6 25.6 252.0 29.6 250.9 82.9 754.0 81.7 768.0 83.4 751.4

В разделе 1.3 приводятся данные численного моделирования построенны процедур обнаружения разладки в последовательности независимых случа] пых величин, которые дают хорошее согласие с результатами теоретически расчетов.

Во второй глапе рассматриваются задачи последовательного оцеш вания параметров случайных процессов рекуррентного типа. В модели ш блюдений

хг+1 = А{г,х)\ + в{1,х)^+и < = 0,1,.... (ол;

в работах Борисова и Конева было установлено, что если существует така матрица. У(1,х), что

АТУА = С = |Му||, АТУВВТУЛ < С (0.1-5

и ряд

то оценка Ai(H)

Y^Ci{t,x) = +оо, Р — п. н. (О.Н

А'(Я) = jf \ Y,^{t)ÁrV{t,x)xt.hl J , (0.16

\í=o ti

т

г,(Я) = inf{Т> 0 : > Я},

<=о

является несмещенной с заданной дисперсией:

МЛА,-(Я) = Аг, Мл (Л,■(//) - А,-)2 < 1/Я.

В разделе 2.1 показано, что построение требуемой весовой матрицы мо жет быть осуществлено только, если выполнено условие А+А = Е. Такид образом, необходимо, чтобы число неизвестных параметров процесса не пре вышало размерности наблюдаемого процесса. При этом ATV = с/1+, гд( с — \/и\ и* - максимальное собственное значение матрицы А+ В(А+ В)т. Теорема 2.1. Пусть для c(t,x)

со

^c(í,x) = +oc, Р-п.н. (0.17

Í —о

Тогда последовательная оценка

А(Я) = jj{j2 ^)A+(t,x)xt+^ , (0.18)

т(Н) = inf |г> 0 : J2c(l'x) > Я| ' (°-19)

меепг свойства

МхХ(Н) = А, М\(\(Н) - А)(А(Я) - А)т < ^Е. (0.20)

В разделе 2.2 рассматривается задача гарантированного оценивания па->аметров процесса

xt+i=Aa(t,x) + B(t,x)St+1, t = 0,1,.... (0.21)

1рсдлагается последовательная оценка:

г0-(Я) = inf{T > 0 : {A2(T)};j < l//f2}, (0.22)

А,-;(Я) =

Y^<xij(t)xt+ivij(t, х)аТ(t, х)

i —о

/ лг

Л'(т,;), (0.23)

''J

-1

Л(ДГ) = <>(*> *)aT(i. x)j ■

Весовой множитель Vjj(t,x) определяется из условий: на интервале I £ 0, <7]

{1/л/с(/, а;), если а(1.,х) линейно не зависит от

а(0, я),.-Х*-!>*)> (°-24)

0, в противном случае,

\дс

с(1,х) = {ВВтЦ,х)}цата{1,х), (0.25)

I а - момент I, когда в последовательности векторов {а(0. ж), а(1, л;),...} по-тится (т —1)-н линейно независимый с предыдущими вектор. На интервале € (<т, т-у] х) определяется из уравнения

1 *

^ С(З,Х)ь2ч(8,Х). (0.26)

ущ1

S=CT + 1

Теорема 2.3. Пусть для величин {i'ij(t,x), t > 0}

lim {A"(t)}jj — 0 п.м.

I—► CO

Тогда

H + m-1 H^ '

(O.i

И Tij < оо п.н.

В разделе 2.3 рассматривается задача последовательного оценнвания г раметра авторегрессионного процесса (АР) по наблюдениям с помехах Предполагается, что процесс хп и наблюдаемый процесс ;/„. описывают уравнениями

я»+1 = Аа-„ + <5£п+ь |А| < 1,

Уп= Хп+СП]п, п> 0,

i7]n, п >0}— независимые случайные величины с нулевым средним, ед ничной дисперсией и конечным четвертым моментом.

Оценка, неизвестного параметра Л имеет вид:

(0.2

Л (Я) =

Уп+iVn

п = 1_

т

71 — 1

(0.2

Здесь г— момент прекращения наблюдений

г(Я) = 1шп |т : ¿(^ _ > Я | ,

а Я - параметр процедуры.

Теорема 2.4.Момент т{Н) конечен п.н.,

Н + <т4(М??о — 1) + 462сг2) МТ +-№-

(0.3

о(1).

ci

с2

( 1

я я3/2 v#3/2

Асимптотические свойства оценки содержит

Теорема 2.G При Н —► со величина л/Я(А — А) ~ Лг{0, Г*2}, ¿4

(0.3 (0.3

d =

1 - А2 б2

1 - А-

+ \2СГ4А1 t)q + <т4( 1 - А2) + 26'а2

(0.3

Г

В разделе 2.4 приведены результаты численного моделирования процедур ценпвання.

Таблица 2.4. Оценки параметров процесса ЛР второго порядка. Н=100

Ai 0,4 0,3 0,1 0,2 0,8 0,7 0,6 0,0

А2 0,4 -0,3 ОД -0,2 -0,8 -0,3 0,2 0,0

0,0066 0,0070 0,0066 0,0060 0,0072 0,0063 0,0075 0,0060

- О 0,0086 0,0072 0,0064 0,0075 0,0056 0,0073 0,0065 0,0086

ñ 160.5 133.5 144.3 139.1 61.1 147.7 195.6 143.6

Ti 161.3 1.34.6 145.9 140.3 61.7 147.6 194.7 144.6

Таблица 2.11. Оценки АР(1), наблюдаемого с помехами

Л 0,9 0,9 -0.3 -0,3 -0,9 -0,9 -0,5 -0,5 0,7

Н 100 200 100 200 100 200 100 200 100

ст 0,5 0,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,0

Dr 1.13 1,13 10,53 10,53 4,38 4,38 10,07 10,07 3,03

Ом 1,11 1,10 10,39 10,21 5,81 5,39 9,50 9,87 3,14

т 31.6 52.2 97.7 188.7 32.1 52.7 81.2 156.8 57.3

В третьей главе рассматриваются задачи обнаружения момента раз-;адкп случайных процессов, описываемых стохастическими разностными равнениями. Предполагается, что /—.мерный процесс x(t) описывается урав-(енпями

x{t+l) = A0(t,x)+B{t,x)Zt+í, t = 0,1, ...,0-1, (0.34)

(о момента разладки в и уравнениями

*(t+ 1)=Л1(<, ж)+ B(t, í = 9,0 + 1,-.., (0.35)

шчипая с момента 0. Необходимо обнаружить момент в по наблюдениям фоцесса х. Процедура обнаружения строится на основе специального накоп-1сния наблюдений. С помощью величин

r(t,x) = <pT(t,x)<p, <р = (В+){А1-А0), (0.36)

характеризующих меру различия возможных моделей процесса, определяются моменты

к

Ti = inf{¿ > rr¿ : -О > Н}, Т0 = -1, (Т, = r,-_i + 1. (0.37)

/ = <7,

На каждом интервале (ту_1,ту] формируется статистика

У,(Ю = | £ (*,*)в+ и + 1) - , (0.38

представляющая собой приращение функционала метода наименьших ква дратов. Статистики Уг- обладают свойством:

у,(я)={ еслпт' ^ (о.з9

( + 1 + £,(Я), если ц > 0.

Решение о наличии разладки принимается, если выполняется неравен ство У',-(Я) > 6, где 6 (—1 < 6 < 1) - заданный порог.

Обозначим Р()(Н,Ь) и Р[(Н,6) - вероятности ложной тревоги и ложноп спокойствия в г—м цикле наблюдений.

Теорема 3.1. Пусть для процесса (0.34), (0.35)

= +оо пл. (0.40

*>о

Тогда

1. Для любой пары (Я, 6), Я > 0, — 1 < 5 < 1,

2. Для

любой пары (с*,/?), 0 < а, /? < 1 иоследосашсльная процедуре (0.36), (0.37), (0.38) с параметрами

у/Р)

имеет вероятность ложной тревоги не больше, чем а, V вероятности ложного спокойствия не больше, чем /3.

3. Для оптимальной пары (Н*,ё') среднее число циклов между соседними моментами ложных тревог N0 и среднее число циклов запаздывания (. обнаружении разладки N1 удовлетворяют неравенствам.

N(,>1 /а, ^<1/(1-/3). (0.43)

В разделе 3.2 решается задача обнаружения момента разладки случайных процессов рекуррентного типа, когда в момент разладки может изменяться ковариационная матрица шумов.

Пусть наблюдаемый процесс x(t) = {xi(t)...., x/(i)}7 описывается урав-еннями

x(t+ 1) =A0(t,x) + B0(t!x)ti+1, ¿ = 0,1, ...,0-1, (0,14)

о момента разладки в и уравнениями

x(t + l) = Al{t,x) +Bl{t,x)Zt+l! t =0,9+1,..., (0.45)

ачиная с момента в. Здесь {£(}- и.о.р.с.в. с нулевым средним, едшшчнон 1атрицей коварнапий и Ai||Gl|4 < 00 • Обозначим

гк(т - 1) = ((Лх - A0f {BjBjy1 (/Ii - .4о)) (m - l,.r),

С, = Bj (BjBjy' Bk- E, к = 0,1, j=l-k, (0.46)

A J(m) = A J(m) + d(m - 1), AJ(m) = (x(m) - /lo^ - 1,.г))Г ОВДТГ' (r(m) - A0(m - l.ar)) -(4m) - Axini - 1, ж))Т (BiB^)~1(m - l,x)(x(m) - A^rn - l,.r)),

d{m - 1) = i(r0 - n)(m - 1) + ljtr(Co - C\)(m - 1).

r(m) = i(r0 + ri)(m) + l-tr{C0 + Ci)(m),

'(m) мера различия моделей процесса х. Зададим // > 0 и определим моменты принятия решения о наличп разладки:

к

(tf) = inf{fc>7i_i: £г(/)>#}, |>1, т-о = -1. (0.47)

t = T„

Решения принимаются с помощью статистики

Е a,(t)AJ{t + 1), (0.48)

Н

t = Т,_1

которая имеет свойства:

Y-(H)~l + если г, < ff,

+1 +£li{H), если Tj > 0\ (U'U)

Решение о разладке принимается, если УДЯ) > 8, (—1 < 6 < 1). Введе функцию

ь

<Э(а,6) = Л/ ]Г а(1)г(1): а < Ь, « = 0+1

определяющую среднее суммарное расхождение между моделями процесс; накапливаемое на интервале наблюдений [а + 1, Ь). Оптимальные знамени параметров II и 6 находятся с использованием критерия: минимизироват среднее суммарное расхождение С}\ моделей процесса, требуемое для обнг ружения разладки после ее появления при заданном уровне среднего суммарного расхождения (¿о между соседними моментами ложных тревог

(¿1 = <Э(т~в,Тд +/3) — ппп при СЦо = <3(г0,<1 ) > <5о. (0.5С

тд - начало цикла наблюдений, первого после разладки. Этот критерий случае, когда расхождение моделей постоянно, совпадает с известным крпте рием: минимизировать среднее время запаздывания в обнаружении разладк при заданном среднем времени между моментами соседних ложных тревог Теорема 3.2. Пусть

1) матрицы £?о(Ая:) и в уравнениях (0.44), (0.45) таковы, чт при некоторых ро > 0 и Р1 > 0 выполняются условия

В? {ВуВ{)Г1В0 < роЕ, В[ {В0В10 ))-'В1 < Р,Е; (0.51

2) с вероятностью единица

Х>(0 =

г>0

Тогда для любой пары (а,(3), 0 < а,/3 < 1, процедура (0.47), (0.48) параметрами

I (^/Щ „ у/Зо$ — \fd\a

имеет вероятности ложной тревоги не более, чем о и вероятности лож ного спокойствия не более, чем /?.

При этом справедливы неравенства

< 1Г/( 1 - В), (?0 > 11*/а. (0.53

Далее рассматривается задача обнаружения момента разладки процесса гвторегрессии:

x(t + 1) = ,710 + А(!0)х(0 + - 1) + ...+ (0.54)

+А{,°la!(i + 1 - р) + <roZ(t +1), 0 < t < О, Ю момента, разладки в и

x{t + ]) = im + A[l)x(t) + А(21}х-(/ - 1) + ...+ (0.55)

+A^a:(i + l- p) + «7^ + 1),

гачиная с момента 0.

Если процесс (0.54). (0.55) устойчив, т.е. все корни полиномов

■рк{::) = z" - A[k)z"-' - ... - А<*>, к = 0, 1,

1ежат внутри единичного круга, то справедлива Теорема 3.3.Пусть £(i) - п.о.р.с.в.,

М(№) = 0, M(e(t)) = 1, M(£3(f)) = о, Д/(£2(0 - I)2 = IX < оо.

Тогда:

1) Вероятности ложной тревоги a и ложного спокойствия ß удовле-пворяют соотношениям

2) средние суммарные расхождения i?o « ßi связаны асимптотическим уавенством

lim = тг^г, |й| < 1; (0.57)

я-со InRo (1 + S)* 4

3) если плотность /(х) с.в. £(t) убывает с ростом |.т| v f(—x) — f{x), по Ту = M\t3 и То = Mot,im

Ti 2hiDa fn

lim ——- = -7ТТГ * (O.o8)

Tq—юэ hi To (1+<5)J

С использованием асимптотической нормальности У] и результатов гл.. предлагается модификация процедуры CUSXJM. Выберем N и зададим поро гп 6;.

Далее произведем квантование Yn и перейдем к величинам vn, для кото рых формируется кумулятивная сумма Sn. Решение о разладке принимается если Sn > а > N.

Теорема 3.4. Пусть пороги квантования 6j таковы, что Ао -— l/Movn > 0 и Ai = —\/Mivn < 0. Тогда имеют место равенства

То = h0 ■ Н ■ («1 (А")'* — А$а + к2) + о(1) при а —<• оо, (Ü.59

Ti = hv ■ II ■ (-Аха+ к3) + о(1) при а — оо, (0.60

lim т^- = -1ц ■ Н ■ = 7. (0.61

Го-оо 1пТ0 InX* ■ у

Постоянные Л; зависят от параметров процесса до и после разладки.

В разделе 3.4 на основе последовательного метода оценивания построен; процедура обнаружения момента разладки процесса авторегрессин первой порядка, наблюдаемого с аддитивной помехой

хп+1 = Ххп + <5£„ + ь 62

Уп~хп+сп]п,

где >0}— последовательности независимых одинаково распреде

ленных случайных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и ко нечным четвертым моментом, распределение которых неизвестно. Предпола гается, что плотности распределения этих случайных величин симметричнь относительно нуля.

В момент разладки в параметры процесса меняют свои значения с {Ао, So на {Ai,<5i}. Величины Ао, ¿о, Ai, ¿1 и а предполагаются известными. Требу ется но наблюдениям за процессом {?/„} обнаружить момент разладки.

Предлагается использовать статистики

II &

П = Т,'_1 +1

(А! - Ао)(2уп+1 - (Ах +А0)Уп)Уп +<т"(>ч ~ Ag)

. (0.63

Здесь {т3, j > 0}— последовательность моментов остановки г,- = гДЯ) = min | m : £ (Al ~ Ао)" -V) > Я i , *о = 0. (0.64

I n = r,_, + l I

Как и в случае наблюдения процесса х без аддитивного шума, среднее начение У, (Я) изменяется после разладки. Если выполняется условие У;- > то принимается решение о наличии разладке.

Оптимальные значения параметров Я и Д можно определить из нера-;енств

+ + Й1-Д + ^

При достаточно больших Я для оценки вероятностей ошибок можно вос-юльзоваться результатом теоремы 2.4. Асимптотические значения вероят-юстей ошибок в этом случае задаются равенствами

Рр = Ф (-7/7(1 + л)/Do),

, \ (0.65)

Р/ = ф(у/Я(А-1)/Пг),

де Ф(х')— функция стандартного нормального распределения.

Рассмотрен также случай неодинаковых дисперсий шумов ¿о /

В разделе 3.5 предлагаются последовательные процедуры обнаружения гомента разлалдки случайных процессов рекуррентного типа, описываемых равнениями (0.13),(0.21), параметры которых после разладки неизвестны. 1ронедуры основаны на использовании оценок неизвестных параметров с арантированным качеством, построенных во второй главе.

В разделе 3.6 приводятся данные моделирования построенных в третьей лаве процедур обнаружения разладки. Приведем некоторые результаты. В *абл. 3.7 указаны параметры процесса авторегресспи до и после разладки, а I табл. 3.8 - результаты моделирования.

Таблица 3.7

Параметры процесса авторегресспи до и после разладки

N т0 Ло о 1П1 А1

1 0,0 0,0 1,0 0, 0,5 1,0

2 0,0 0,0 1,0 0,0 -0,5 1,0

3 0,0 0,0 1,0 0,6 0,0 1,0

4 0,0 0,0 1,0 -0,6 0,0 1,0

5 0,0 0,5 1,0 0,3 0,3 1,0

б 0,0 0,5 1,0 0,3 0,3 0,9

7 0,0 -0,3 1,0 0,3 -0,5 1,0

8 0,0 -0,3 1,0 0,3 -0,5 1,1

9 0,0 -0,3 1,0 0,3 -0,5 0,9

10 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,7

Таблица 3.8

Характеристики процедуры обнаружения

N Тл т 1э а а (3 ,в Я 8

1 4379,7 43,4 0,0081 0,0077 0,336 0,339 8 0,7

4378,5 44,5 0,0081 0,0079 0,336 0,335 8 0,7

2 4631,4 42,9 0,0081 0,0073 0,336 0,328 8 0,7

4320 43,9 0,0081 0,0080 0,336 0,332 8 0,7

3 3091,9 38,6 0,0081 0,0076 0,336 0,338 8 0,7

3040,3 38,8 0,0081 0,0077 0,336 0,343 8 0,7

4 3107,3 38,9 0,0081 0,0076 0,336 0,344 8 0,7

2893,7 38,4 0,0081 0,0081 0,336 0,334 8 0,7

5 8516,0 143,4 0,0081 0,0070 0,336 0,334 8 0,7

7403,8 143,0 0,0081 0,0081 0,336 0,335 8 0,7

6 5636,1 132,1 0,0123 0,0097 0,320 0,323 8 0,7

5448,3 131,2 0,0131 0,0100 0,323 0,319 8 0,7

7 4018,7 94,3 0,0170 0,0160 0,240 0,231 8 0,5

3918,5 94,9 0,0169 0,0164 0,240 0,237 8 0,5

8 5847,5 93,0 0,0107 0,0110 0,253 0,248 8 0,5

4883,0 94,4 0,0114 0,0133 0,259 0,260 8 0,5

9 2787,8 86,7 0,0236 0,0209 0,219 0,217 8 0,5

2709,7 87,7 0,0248 0,0215 0,222 0,214 8 0,5

10 1659,0 69,5 0,0334 0,0296 0,256 0,263 3 0,6

406,7 68,7 0,0123 0,1174 0,339 0,316 3 0,6

При моделировании процедуры обнаружения разладки процесса авторегрессии, наблюдаемого на фоне шумов, параметры процедуры Я и Л определялись из асимптотических соотношений (0.65) таким образом, чтобы вероятности ошибок а и ,в = 0,023. Здесь Т— среднее по тысяче реализаций время запаздывания в обнаружении разладки, Лг— среднее время между ложными тревогами, а- вероятность ложной тревоги в отдельном цикле наблюдений, полученная при моделировании.

Таблица 3.11

Обнаружение разладки при гауссовских шумах

А0 = -0,5, А 1 =0,5 Ао = 0,6,А1 = 0,0

О СГ" Я А Т Аг а Я Д Т N а

1,0 58,0 0,0 47 1856 0,026 58,9 -0,04 162 4237 0,027

0,8 47,2 0,0 39 1506 0,026 48,2 -0,04 134 3546 0,026

0,5 32,1 0,0 25 1105 0,024 32,8 -0,04 89 2331 0,027

0,25 23,1 0,0 19 820 0,024 23,5 -0,03 64 1776 0,025

0,1 18,3 0,0 15 719 0,021 18,5 -0,03 50 1437 0,024

0,0 16,0 0,0 13 702 0,019 16,0 0,00 43 1418 0,022

А0 = -0,7, А 1 =0,1 А0 = 0,1,А! = -0,7

О (Т~ II Д Т N а Я Д Т Л' а

1,0 55,9 -0,07 84 1447 0,029 55,9 0,07 50 4717 0,020

0,8 45,8 -0,07 69 1279 0,031 45,8 0,07 43 3571 0,021

0,5 31,5 -0,06 48 939 0,029 31,5 0,06 31 1795 0,021

0,25 23,0 -0,04 33 737 0,027 23,0 0,04 23 1795 0,021

0,1 18,3 -0,02 27 741 0,022 18,3 0,02 19 1464 0,021

0,0 16,0 0,00 23 724 0,020 16,0 0,00 17 1340 0,020

В четвертой главе рассматривается задача обнаружения момента разладки гаусс.овского процесса авторегрессии в схеме Калмана- Быоси. Предполагается, что ненаблюдаемый процесс хп и наблюдаемый процесс уп описываются уравнениями

.е„ + 1 = /м+ Ахп +£„+ъ (0.66)

уп+\ = и + Схп + 1]„ + г, (0.67)

где гауссовские шумы и ?/,, имеют нулевое среднее и ковариационные матрицы ф и Я соответственно. В момент 0 вектор параметров А =

(//., Л, <5, V, С, Щ изменяется со значения А1 на значение Ат. Предполагается что процесс хп устойчив.

Процедура обнаружения строится на основе прогнозов

Уп+1 = М(уп+1\х0, уи ..., уп). (0.68

При этом прогнозы определяются соотношениями

Уп+у{к) = щ: + СкХп(к),

Тп(к) = Ск1п{к)С1 к = 1,2,

хп{к) = цк + Акхп^{{к)+ +АкУп-1(к)С£ (Кк + Скуп-^С^У1 (уп - П - Сьхп-Лк)), 1п{к) = Ак1п-1(к)Лтк + <Эк-

-АкЪ^1(к)С1: (Л, + СкЪ1-г(к)С[уг Ск7п^(к)А1.

Вычисляются нормированные уклонения прогнозов для каждой из моде-

(0.69 (0.70 (0.71

леи

¿п(к) = [уп+\ - уп+1(к)]Т [Г„(А)] 1 [г/п+1 - Уп + 1(к)], к = 1, 2. и в процедуре обнаружения используются величины

Д 1(т) = гт-1(1) - 2,7,-1(2) + ¿„,-1, гт = 0, 5[гт(1) + гт(2)] + 0, Ыг[Ст(1) + <?,„(2)],

(0.72

(0.73

где

йт = 0, 5[гш(1) - гт(2)] + 0,5ИСт(1) - Ст(2)], г„,_1 (к) = [ут(2) - ут(1)]Т [Гт(Я]~1 [ут{2) - у,п(1)], Сгт(к) = [Гти)]~1Гт(к)-Е, Формируются статистики

У* =

Я

£ Д J(m + 1) + а,-Д 7(т,- + 1)

т = ■+■ 1

, г > 1,

(0.74;

г,- = inf I > ту — i : J2 r("0 > 11 I . (°-75)

\ m = r,_, + l /

оторые имеют свойства:

Г -1 + /?к(Я), если г,-<0,

' I +1 +А»,"(Я)+&,■(//), если 7v_i > 0, J

Показано, что статистики У|- имеют асимптотически нормальное распре-еление. Поэтому далее используются результаты главы 1. Задаются пороги ; и производится переход к квантованным величинам Далее применяется лгоритм CUSUM:

5,- = max (5j_i + .9,: ,N), S0 = N, i> 1. (0.77)

Теорема 4.1. Пусть параметры A*., fc = 1,2 в модели (0.77) таковы, что

Ьк > 0, Д. = lim Ekvl(k), Ьк = lim к = 1,2, j = 3 - fc,

т—*оо ii

Vm(k) = 2 (j/m(2) - j/m(l))T [rm_l(i)]_1 £„, + irDm_ 1 (Cmi - P,„-l) . Тогда

1) Tb = 60Я [/>(А*)Л + kj] + о(1) при —ос

2) Ti = biH [hu? + к.з] + о(1) при hоо Т

3) lim —^-=7, 7 = HbiK'i/ In А*.

— со 111 1 о

[остоянные Ki здесь зависят от выбора порогов Sj и от величины dk = Ьк ■ Д..

В разделе 4.2 предлагается процедура обнаружения, основанная на про-нозах уп по фиксированному числу предшествующих наблюдений. Постро-пие процедуры осуществляется по той же схеме, что и в разделе 4.1.

В разделе 4.3 приводятся результаты численного моделирования процедур-

В пятой главе рассматривается задача обнаружения момента разлад-:п случайных процессов с непрерывным временем.

В разделе 5.1 эта задача решается для обнаружения изменения функции носа диффузионного процесса. Предполагается, что процесс x(t) оппсыва-тся стохастическими дифференциальными уравнениями (в смысле Ито)

dx(t) = A0(t,x(i)) + B{t,x(t))dW(t), 0 < t < В (0.78)

до момента в п уравнениями

dx{t.) = A^t, x{t)) + B{t, x{t))d\V(t),t > 0 (0.79)

начиная с момента 0. Необходимо обнаружить момент разладки по наблюдениям x(t).

Вычисляется дивергенция по Кульбаку между двумя моделями процесса г(8,х) = <р1(8,х)ВВт(8,г)(р(8,£), у={В+)(Л1-А0), (0.80)

п определяется последовательность моментов времени

4

пс: '

о

На каждом интервале формируется статистика

I

i(H) = inf{i > 0 : У r(s,x)ds > i ■ 7/}, ¿ = 0,1,.... (0.81)

Tt

у;'(я)=1 / 9'г{8-£)

dx(s) - +

(0.82)

представляющая собой приращение функционала максимального правдоподобия. Эти статистики имеют гауссовское распределение

у<н\- I -1С«) если Тг < 0

+1(0+£.(я), если т,-_1 > 0 (° ЬЗ)

причем их среднее значение изменяется после разладки. Далее производится квантование статистик:

"I

— 1, если Yi < —<5

0, если \Yt\ < 6 , (0.84)

+1, если Yi > 6.

Решение о разладке принимается, если кумулятивная сумма

= тах(5;_1 + г», 0), 50 = 0.

превысит порог а. Распределение статистик до момента разладки определяется формулами

ро = Р0 (Yi = +1) = 1 - Ф v/я) , (0.85)

7о = Po (Y,. = -1) = 1 - Ф

Основными характеристиками процедуры являются среднее интегральное различие моделей процесса, накапливаемое между соседними моментами

' " Т Т! ' "\

ножных тревог tut : lo = I{t , t ) и среднее интегральное различие, требуемое для обнаружения разладки после ее появления Д = 1(0, 0 4- ¿з),

h

l(ti, U) = М I r(s, x)ds. и

Теорема 5.1. Пусть

сх

r(s, x)d.s = -fос. п.и.

о

Тогда для любого II > 0 справедливы формулы

h = —(- " а), о = 7 = q/p, (0.86)

q — р a 7a — 1

т s 11 ( l~7~a\ ,? 7a - 7 /, <--a — --г , У = --.

ч-р \ 1--Г1/ Уа~1

Лалее в работе рассматривается задача обнаружения разладки в системе динамических объектов.

Расмотрим систему из N объектов, эволюция каждого из которых описывается уравнением

dxi(t) = Aq(í, Xi(t)) + B¡{t, хг(1)ут(1),0 <t<0 (0.87)

до момента разладки 0 и системой уравнений

dxi(t) = A[(t., xi(t)) + B¡(t, xt(t))dWl(t), t > 0, (0.88)

начиная с 0. Предполагается, что в каждый момент времени наблюдению доступен только один объект. Разладка может произойти в любом из объектов. Определяется последовательность моментов времени

t

T¡=r{iH), II > 0, T{h) = mí{t>0: j\\g(s)\\2> II), (0.89)

3(*) = {\{и(1)=\}}\(0. ,

/,(0 - (^(¿.х,) - (В'П+ (*,*/),

и статистики

т,

Здесь ^ обозначает номер объекта, наблюдаемого на интервале [гг-_х, г,]. II\ тем квантования У,: осуществляется переход к случайным величинам при нпмающим значения -2,...,2.

Процедура обнаружения строится на основе суммы 5'п = тах(5п_1 -г„,2). Если ,9„ < 2, то осуществляется переход к наблюдению следующс го объекта. Решение о разладке в наблюдаемом объекте принимается, есл 5„ > а.

Теорема 5.6. Интегральные различия /о и /х(ЛГ) связаны асимптота чсским соотношением

/1(ЛГ) = К1 /п/0 + (М-1)к2 + к3(ЛГ) + О^/0-с». (0.91

В частном случае, когда Ло = —1, А\ = +1, В = \/2 величины /0 и 1\ прс: порциональш>1 среднему времени между ложными тревогами и среднему врс менп запаздывания в обнаружении разладки. Такая модель рассматривала^. А.Н.Ширяевым и К.Ш.Зигангировым и для нее была построена оптимальна процедура обнаружения. Предлагаемая в диссертации процедура с кванте ванием статистик имеет эффективность ~ 90% относительно оптимально!" Это совпадает с эффективностью процедуры обнаружения разладки в схем независимых наблюдений, приведенной в табл. 1.1. Повышение эффектип ности при обнаружении разладки в системе динамических объектов може' быть достигнуто при увеличении числа порогов квантования.

На защиту автором выносятся следующие основные положени

1. Методы построения и исследования свойств эффективных процедур о£ иаружепия момента изменения распределения в последовательности незавп симых случайных величин с известными и неизвестными распределениями

2. Метод последовательного оценивания параметров случайных процес сов рекуррентного типа, гарантирующий заданную точность получаемы

(0.9С

1енок, а также метол гарантированного последовательного оценивания па-1 метр а процесса авторегрессин первого порядка, наблюдаемого на фоне шу-эв.

3. Процедуры обнаружения разладки случайных процессов рекуррентного ша и исследование их характеристик в случаях, когда параметры процесса эсле разладки известны или неизвестны.

4. Метод обнаружения момента изменения параметров процесса авторе-сессии, наблюдаемого на фоне шумов, и исследование его характеристик.

5. Последовательные процедуры обнаружения момента изменения функ-;ш сноса диффузионного процесса, а также процедура обнаружения разлад-I в системе динамических объектов, описываемых стохастическими днффе-мщиальнымн уравнениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Борисов В.З., Воробейчпков С.Э., Конев В.В. Последовательное оценивание параметров процессов с дискретным временем// Статистические методы теории управления. Тезисы докладов 4-го Всесоюзного совещания,Фрунзе: Наука, 1978. - С. 196-198.

2. Буркатовская Ю.Б., Воробейников С.Э. Обнаружение разладки случайного процесса апторегрессионного типа по зашумленным наблюдениям// Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Ч. 4, Новосибирск, Изд-во ин-та математики СОРАН, 1998. - С. 87.

3. Буркатовская Ю.Б., Воробейчпков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессин, наблюдаемого с помехами// Математическое моделирование и теория вероятностей. - 1998. -Томск. - С. 141-146.

4. Буркатовская Ю.Б., Воробейчпков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессин, наблюдаемого с помехами// Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 3. - С.

5. Воробейчпков С.Э. О последовательной идентификации параметров случайных процессов рекуррентного типа// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та. 1983. - вып.9. - С. 42-17.

6. Воробейчпков С.Э.Об обнаружении изменения среднего в последовательности случайных величин// Автоматика и телемеханика. - 1998. -№3. - С. 50-56.

7. Воробейчиков С.Э., Гармаш Ю.М., Конев В.В. Устройство для определения момента изменения свойств случайного процесса. - A.C. 116614! (СССР). - Б.И. 1985. то.

8. Воробейчиков С.Э., Гармаш Ю.М., Конев В.В. Устройство для опреде ления моментов изменения свойств случайного процесса. - 1282159(СС СР). - Б.И. 1987. № 1.

9. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента пзмененш среднего в последовательности независимых случайных величин// Тре тин сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике Ч. 4. Новосибирск, Изд-во ин-та математики СОРАН, 1998, С. 90.

10. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О построении последовательных оцено] параметров процессов рекуррентного типа// Математическая стати стика и се приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1980 - вып.6. - С. 72-81

11. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О последовательной идентифпкацш стохастических систем// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -19S0. - №4. - С. 91-98.

12. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. К обнаружению моментов разлады случайных процессов// Математическая статистика и ее приложения Изд-во Томск, ун-та, 1982. - вып.8. - С. 20-34.

13. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение одним прибором разладю в системе динамических объектов// Синтез и проектирование много уровневых систем управления. Тезисы докладов к первой Всесоюзно! научно-технической конференции. Часть 1. Барнаул: Изд-во Алтайско го ун-та, 1982. -С. 148-149.

14. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение моментов скачкообразны: изменений параметров случайных процессов// Математическая стати стика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1983. - вып.9. - С. 34-41

15. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладок случайных про цессов рекуррентного тина// Статистические проблемы управления. 1984. - выи. 65. - С. 58-66.

16. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательный метод обнаружения разладок случайных процессов рекуррентного тина// Автоматика и телемеханика. - 1984. - JV±5. - С. 27-38.

17. Воробейчиков С.З., Конев В.В. Обнаружение разладки диффузионного процесса// Радиотехника и электроника. - 1986. - т.31, №12. - С. 23702377.

18. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О последовательном методе обнаружения скачкообразных изменений параметров случайных процессов рекуррентного типа// Материалы 6 Совещания-семинара по непараметрическим и робастпым методам статистики в кибернетике, ч.1. -Томск. - 1987. - С. 98-116.

19. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении момента разладки в динамической системе// Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств.ч.1. - Новосибирск. - 1988. -С. 148-149.

20. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение изменения параметров авторегрессионных процессов с неизвестным распределением помех// Статистические проблемы управления. - 1988. - вып. 83. - С.175-180.

21. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О расчете характерпситик процедуры кумулятивных сумм// Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении'1, т.2, Пермь, 1990. - С.213-214.

22. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении изменения режима функционирования динамической системы// Статистические проблемы управления. - 1990. - вып. 89. - С.112-117.

23. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательная процедура обнаружения разладки в многоканальной системе// Радиотехника и электроника. - 1990. - т.35, JV 10. С.2104-2111.

24. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательная процедура обнаружения разладки в системе динамических объектов// Методы и средства статистического анализа. Новосибирск, НЭТИ, 1990. С.154-161.

25. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении разладок в динамических системах// Автоматика и телемеханика. - 1990. - №3. - С. 56-68.

26. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладок частично наблюдаемых авторегрессионных процесов// Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования, Минск, БГУ. - 1991. - С. 26-31.

27. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Характеристики процедуры обнаружения разладки процесса авторегрессии с неизвестным распределением помехи// Автоматика и телемеханика. - 1992. - №3. - С. 68-75.

28. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении разладки в линейной стохастической системе по зашумлепным наблюдениям// Проблемы передачи информации. - 1992. - т.28, вып. 3. - С. 68-75.

29. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. К обнаружению моментов разладки случайных процессов// Теория вероятн. и ее прпмен. - 1992. - т. 37, вып.4.

30. Vorobejchikov S.E., Konev V.V. Detection of disruption of random processes of the recursive type // Detection of Changes in Random Processes. - Optimization Software, New York. - 1986. - P.217-226.

- C. 772.

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1 Последовательное обнаружение момента разладки случайного процесса с независимыми значениями

1.1 Обнаружение момента разладки при известных начальной и конечной моделях процесса.

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Построение процедуры обнаружения.

1.1.3 Исследование асимптотических свойств процедуры

1.1.4 Асимптотические свойства процедуры в стационарном режиме наблюдений.

1.2 Последовательное обнаружение момента скачка среднего в случайной последовательности с неизвестным распределением.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Построение процедуры обнаружения.

1.2.3 Асимптотические свойства последовательной непараметрической процедуры.

1.3 Результаты численного моделирования и аналитического расчета характеристик процедуры.

1.4 Выводы.

2 Последовательное оценивание параметров процессов рекуррентного типа

2.1 Несмещенные последовательные оценки параметров случайных процессов

2.1.1 Последовательное оценивание при наличии априорной информации о параметрах

2.2 Последовательное оценивание параметров процессов авторегрессионного типа с гарантированным среднеквадратическим уклонением.

2.3 Последовательное оценивание параметров авторегрессионных процессов по наблюдениям с помехами

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Построение оценки параметра процесса авторегрессии

2.3.3 Асимптотические свойства оценки.

2.4 Результаты численного моделирования.

2.5 Выводы.

3 Последовательное обнаружение момента разладки случайных процессов рекуррентного типа

3.1 Последовательное обнаружение момента разладки многомерного случайного процесса с неизменной ковариационной матрицей шумов.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Построение процедуры обнаружения.

3.2 Последовательное обнаружение момента разладки многомерного случайного процесса с переменной ковариационной матрицей шумов.

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Построение процедуры обнаружения.

3.3 Последовательное обнаружение момента разладки авторегрессионного процесса.

3.4 Обнаружение момента разладки авторегрессионного процесса, наблюдаемого на фоне помех.

3.5 Обнаружение моментов скачкообразных изменений параметров случайных процессов с неизвестными параметрами

3.5.1 Постановка задачи.

3.5.2 Построение процедуры обнаружения.

3.6 Результаты численного моделирования.

3.7 Выводы.

Обнаружение разладки гауссовского процесса авторегрессии, наблюдаемого на фоне помех

4.1 Процедура обнаружения разладки на основе фильтра Калмана.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Построение процедуры обнаружения.

4.1.3 Свойства процедуры обнаружения.

4.2 Процедура обнаружения разладки на основе прогноза по последним наблюдениям.

4.2.1 Свойства процедуры обнаружения.

4.3 Результаты численного моделирования процедуры обнаружения

4.4 Выводы.

Последовательное обнаружение момента разладки случайных процессов с непрерывным временем

5.1 Обнаружение разладки диффузионного процесса

5.2 Обнаружение разладки в системе динамических объектов

5.2.1 Использование в процедуре обнаружения квантования статистик на три уровня.

5.2.2 Использование в процедуре обнаружения квантования статистик на пять уровней

5.3 Выводы.

Задача обнаружения моментов изменения свойств случайных сигналов актуальна во многих приложениях, связанных с обработкой временных рядов, корреляционным и спектральным анализом данных. С момента появления основополагающих работ Пейджа [240] и Ширяева [164, 165] интерес к проблеме обнаружения разладки постоянно возрастает, усложняются рассматриваемые модели, которые, в частности, допускают зависимость наблюдений в различные моменты времени.

Известные методы обнаружения разладки случайных процессов можно разделить на две группы: методы апостериорного обнаружения и последовательные методы. При апостериорном обнаружении предполагается, что в последовательности наблюдений в некоторый момент произошло изменение характеристик и требуется оценить момент этого изменения, используя все наблюдения. Обычно в этом случае изучается точность оценивания "относительного" момента разладки в схеме серий, предполагая, что отношение момента разладки к длине реализации является величиной постоянной, а объем наблюдений стремится к бесконечности. При различных предположениях относительно моделей наблюдаемого процесса апостериорные методы изучались в работах Дарховского и Бродского [24, 74, 22]. Востриковой [63, 64].

Последовательные методы характеризуются тем, что при поступлении нового наблюдения либо принимается решение о наличии разладки к текущему моменту времени, либо - о продолжении наблюдений. Естественно, для принятия обоснованного решения о разладке необходимо получить некоторое число наблюдений, описываемых новой моделью.

При этом возникает запаздывание в обнаружении разладки. С другой стороны решения о наличии разладки наблюдаемого процесса могут приниматься в ее отсутствие. Это приводит к появлению ложных тревог.

Основными характеристиками последовательных методов являются среднее время между соседними моментами ложных тревог и среднее время запаздывания в обнаружении разладки после ее появления. Качество различных процедур обнаружения сравнивают по следующему критерию: величине среднего времени запаздывания при фиксированном среднем времени между ложными тревогами.

Достаточно хорошо изученной к настоящему времени является задача обнаружения изменения распределения в последовательности слз'чайных величин. Для решения этой задачи применяются методы скользящего среднего [25], экспоненциального сглаживания [137, 138, 162, 191, 233], кумулятивных сумм. Как было установлено в работах Лордена [224], Му-стакидеса [234], Поллака [249, 250], Ширяева [166], Боровкова [18], оптимальной процедурой является процедура кумулятивных сумм (СиБиМ) и близкая к ней процедура Гиршика-Рубина-Ширяева [202, 169]. Алгоритм СиБиМ заключается в применении последовательной процедуры отношения правдоподобия Вальда классификации двух простых гипотез, в которой нижний порог задается равным нулю и при достижении логарифмом отношения правдоподобия этого порога процедура классификации возобновляется. Для метода СиЯиМ Лорден [224] показал, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремится к константе при стремлении среднего времени между ложными тревогами к бесконечности. Значение этой константы равно [139] расстоянию Кульбака-Лейблера между распределениями наблюдений до и после разладки. Аналогичное соотношение между основными характеристиками было получено Бродским и Дарховским [25] для других процедур обнаружения.

Аналитическое исследование характеристик процедуры СиБиМ даже в схеме независимых наблюдений весьма затруднительно. В последнее время в работах Зигмунда [264, 251, 253] , Поллака [249, 250] и Якира [279, 280, 281] получены асимптотические формулы для расчета среднего времени между ложными тревогами, а также формулы для среднего времени запаздывания, содержащие неизвестные константы.

К настоящему времени разработан также ряд методов обнаружения моментов разладки случайных процессов с зависимыми значениями. Часто в качестве моделей наблюдаемых процессов используются процессы авторегрессионного типа, которые позволяют при небольшом числе параметров хорошо аппроксимировать корреляционную функцию. Задачи обнаружения скачков параметров в моделях такого типа исследовались в работах Тельксниса [150, 151, 98], Клигене [95, 96, 97], Липейки [111, 112, 113, 114], Липейкене [115, 116], Никифорова [132, 133, 134], Бас-свиль и Бенвениста [184, 185, 139], Сегена и Сандерсона [266], Дархов-ского и Бродского [22, 23, 24, 25, 26, 75, 76], Бородкина и Моттля [20] и др. Исследование свойств предложенных алгоритмов является еще более трудной задачей, чем в случае независимых наблюдений.

Во многих случаях задача обнаружения момента разладки случайных процессов оказывается тесно связанной с задачей оценивания параметров этих процессов. Для оценивания неизвестных параметров процессов авторегрессионного типа применяются методы наименьших квадратов, максимального правдоподобия, стохастической аппроксимации. Свойства получаемых оценок изучаются в асимптотике, при неограниченном увеличении объема наблюдений. Это позволяет установить скорость сходимости оценок к истинным значениям параметров, а также найти предельное асимптотическое распределение оценок. В то же время представляет интерес получение оценок по конечной реализации процесса, которые бы имели заданные характеристики. Такая возможность появляется при переходе к последовательному плану оценивания, который определяется парой величин - моментом прекращения наблюдений и оценкой, вычисляемой в этот момент. Впервые такие оценки были предложены Новиковым [136] для оценивания параметра скалярного диффузионного процесса. Для процессов с дискретным временем оценки были построены Борисовым и Коневым [16], а затем Коневым и Пергаменщиковым [102] для процессов авторегрессии произвольного порядка и Васильевым и Коневым [35] - для процессов, наблюдаемых на фоне помех. В [35, 102] использовалась система моментов остановки, а оценки [35] могут быть построены, если последний параметр процесса не равен нулю.

В практических задачах часто используется модель наблюдений Калмана-Бьюси, в которой интересующий нас процесс наблюдается на фоне шумов, представляющих собой последовательность независимых гауссовских случайных величин. Построение процедур обнаружения моментов изменения параметров процессов в таких моделях и исследование свойств этих процедур является сложной задачей. Имеется небольшое число работ (Мальцев и Силаев [122], Липейкене [115], Гаджиев [66], Шалтяните [163],Ньюболд и Хо [236], Бассвиль и др. [139]), в которых предложен ряд алгоритмов, свойства которых нуждаются в дальнейшем анализе.

Таким образом, актуальной является задача построения процедур обнаружения моментов разладки случайных процессов с независимыми и зависимыми значениями, для которых удалось бы провести теоретическое исследование основных характеристик.

Целью настоящей работы является разработка методов обнаружения момента разладки и методов оценивания параметров случайных процессов, обеспечивающих заданное качество получаемых выводов.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории аналитических функций, теории матриц и методы статистического моделирования.

Научная новизна

В работе построены последовательные процедуры обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов, отличающиеся от известных тем, что для них проведено теоретическое исследование основных статистических характеристик, связанных как с ложными тревогами, так и с запаздыванием в обнаружении разладки.

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут применяться при обработке данных в задачах технической и медицинской диагностики, телеметрических и геофизических измерений.

Внедрение результатов работы.

По материалам работы получено два авторских свидетельства. Кроме того, материалы исследований используются в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ студентов.

На защиту автором выносятся следующие основные положения.

1. Методы построения и исследования свойств эффективных процедур обнаружения момента изменения распределения в последовательности независимых случайных величин с известными и неизвестными распределениями.

2. Метод последовательного оценивания параметров случайных процессов рекуррентного типа, гарантирующий заданную точность получаемых оценок, а также метод гарантированного последовательного оценивания параметра процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого на фоне шумов.

3. Процедуры обнаружения разладки случайных процессов рекуррентного типа и исследование их характеристик в случаях, когда параметры процесса после разладки известны или неизвестны.

4. Метод обнарз^жения момента изменения параметров процесса авторегрессии, наблюдаемого на фоне шумов, и исследование его характеристик.

5. Последовательные процедуры обнаружения момента изменения функции сноса диффузионного процесса, а также процедура обнаружения разладки в системе динамических объектов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями. Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах:

1У-м Всесозном совещании по статистическим методам теории управления (Фрунзе, 1978),

III,IV, У,У1 Всесоюзных школах-семинарах по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике (Томск, 1980; Дивногорск, 1982; Томск, 1983, 1987),

Всесозной научно-технической конференции "Синтез и проектирование многоуровневых систем управления" (Барнаул, 1982),

Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения" (Ленинград, 1983),

1,11, III Всесоюзных семинарах по обнаружению изменений свойств случайных апрцессов (Паланга, 1984; Зеленоград, 1988; Воронеж, 1990), Региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств" (Новосибирск, 1988),

Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск, 1990),

Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, 1990),

Всесоюзном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Пермь, 1992),

8-м Всемирном Конгрессе ИФАК по автоматическому управлению (Сидней, Австралия, 1993),

III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике

Новосибирск, 1998).

По результатам выполненных исследований опубликовано 30 печатных работ.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

В первой главе предложен метод последовательного обнаружения момента разладки в последовательности независимых случайных величин, основанный на использовании алгоритма кумулятивных сумм и использующий специальное квантование наблюдений. Это дало возможность при сохранении эффективности метода получить аналитические соотношения для основных характеристик: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания в обнаружении разладки. Разработан также метод обнаружения момента разладки в последовательности случайных величин с неизвестным распределением. Проведено исследование асимптотических свойств методов. Результаты этой главы опубликованы в работах [53, 59, 38, 30, 41].

Во второй главе рассматривается задача оценивания параметров случайных процессов, описываемых стохастическими разностными уравнениями. Изучены условия, при которых могут быть построены несмещенные оценки неизвестных параметров. Предложена одноэтапная процедура оценивания любого конечного числа неизвестных параметров с гарантированным среднеквадратическим уклонением, а также процедура гарантированного оценивания параметра авторегрессионного процесса первого порядка, наблюдаемого на фоне помех с произвольным распределением. Результаты этой главы опубликованы в работах [14, 42, 43, 37, 30].

В третьей главе предложены и исследованы процедуры обнаружения момента разладки многомерных авторегрессионных процессов. Результаты этой главы опубликованы в работах

44, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 57, 59, 269, 28, 30].

Вчетвертой главе рассматривается задача обнаружения разладки гауссовского авторегресионного процесса, наблюдаемого на фоне гауссовских помех. С использованием фильтра Калмана-Бьюси построена последовательная процедура обнаружнения момента изменения параметров процесса. Найдены основные характеристики процедуры. Результаты этой главы опубликованы в работах [58, 60, 61].

В пятой главе построена и исследована процедура обнаружения момента изменения вида функции сноса диффузионного процесса. Предложена также процедура обнаружения разладки в системе динамических объектов и исследована ее эффективность. Результаты этой главы опубликованы в работах [45, 49, 51, 55, 56].

5.3 Выводы

1. Построена и исследована последовательная процедура обнаружения момента изменения вида функции сноса диффузионного процесса, использующая квантование статистик. Найдены среднее интегральное различие /о моделей процесса, накапливаемое между соседними моментами ложных тревог, а также среднее интегральное различие Д, требуемое для обнаружения разладки после ее появления. Найдены оптимальные значения параметров процедуры. Установлена логарифмическая зависимость 1\ от /о при 1о —У оо.

2. Построена процедура обнаружения разладки в системе динамических объектов, эволюция которых описывается стохастическими дифференциальными уравнениями. Найдены вероятностные характеристики процедуры. Установлено, что с ростом числа объектов N среднее интегральное различие 1\, требуемое для обнаружения разладки после ее появления, зависит линейно от -У и от логарифма среднего интегрального отличия /о моделей процесса, накапливаемого между соседними моментами ложных тревог.

3. Установлено влияние на характеристики процедуры обнаружения количества порогов квантования для используемых статистик. Показано, что при увеличении числа порогов квантования эффективность предлагаемой процедуры возрастает. Проведено сравнение построенной процедуры с оптимальной процедурой поиска сигнала в многоканальной системе в частном случае, когда разладка состоит в изменении параметра сноса винеровского процесса в одном из процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложены методы последовательного планирования эксперимента в задачах обнаружения разладки и оценивания параметров динамических объектов. Использованный подход позволил впервые исследовать при общих предположениях свойства процедур обнаружения и оценивания в неасимптотической постановке. Остановимся кратко на основных результатах, полученных в работе.

1. Построена последовательная процедура обнаружения момента изменения распределения в последовательности независимых случайных величин. Найдены основные вероятностные характеристики процедуры и для них получены точные асимптотические формулы.

2. Построена последовательная процедура обнаружения момента разладки в последовательности независимых случайных величин с неизвестным распределением и найдены ее характеристики.

3. Предложена одноэтапная последовательная процедура идентификации любого конечного числа параметров процессов рекуррентного типа. Полученные оценки имеют заданную среднеквадратическую точность.

4. Построена последовательная процедура обнаружения разладки многомерного случайного процесса рекуррентного типа. Исследованы вероятностные характеристики процедуры, связанные как с ложными тревогами, так и с запаздыванием в обнаружении разладки. Получены характеристики процедуры для случая, когда наблюдаемый процесс является устойчивым процессом авторегрессии.

5. Построена и исследована процедура обнаружения момента изменения параметров процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого на фоне помех.

6. Построена последовательная процедура обнаружения момента изменения параметров гауссовского авторегрессионного процесса, наблюдаемого на фоне шумов. Найдены ее вероятностные характеристики.

7. Построена и исследована последовательная процедура обнаружения разладки диффузионного процесса. Найдены ее вероятностные характеристики: среднее интегральное различие моделей процесса до и после разладки, накапливаемое между двумя соседними моментами ложных тревог, а также среднее интегральное различие, требуемое для обнаружения разладки после ее появления. Определены оптимальные значения параметров процедуры.

8. Построена и исследована последовательная процедура обнаружения разладки в системе динамических объектов, эволюция которых описывается стохастическими дифференциальными уравнениями. Изучены асимптотические свойства процедуры.

9. Полученные численные результаты показывают эффективность предлагаемых процедур обнаружения разладки и оценивания параметров случайных процессов. Процедуры легко реализуются на ЭВМ, итеративны и могут работать в реальном времени.

1. Абрамович M.С. Оценка мощности спектрального критерия обнаружения момента "разладки" временных рядов// Вестник Белорус, ун-та. Сер. 1. - 1998. - №2. - С. 49-53.

2. Абусев P.A. О применении статистической групповой классификации в задачах обнаружения разладки// Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств.ч.1. -Новосибирск. 1988. - С. 62-63.

3. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание.- М: Наука, 1977. 224 с.

4. Альтшулер C.B. Методы оценки параметров процессов авторегрессии скользящего среднего (обзор) // Автоматика и телемеханика.- 1982. №8. - С. 5-18.

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов.-М: Мир, 1976. 756 с.

6. Аоки М. Введение в методы оптимизации. -М: Наука, 1977. 343 с.

7. Арутюнян Е.А., Сафарян И.А. Непараметрический анализ многократно изменяющейся случайной последовательности// Прогр.-алгоритм. обеспеч. прикл. многомер. статист, анал.: 5 Шк.~-семин. стран СНГ: Тез. докл. М., 1995. - С. 12-13.

8. Асатрян Д., Сафарян И. Пепараметрические методы обнаружения изменений свойств случайных последовательностей// Статистические проблемы управления. 1984. - вып. 65. - С. 9-20.

9. Бабкин В.И. О распределении положения точек максимума диффузионного процесса с переменным параметром // Теория вероятн. и ее примен. 1964. - т. 9, вып. 2. - С. 373-378.

10. Бакиров Н.К., Султанов А.Х. Непараметрический метод поиска многомерной разладки// Автоматика и телемеханика. 1997. -№8,- С. 80-90.

11. Бирюков М.Н. Статистические моменты непараметрических последовательных алгоритмов// Автоматика и телемеханика. 1998.- №5. С. 95-101.

12. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. М :Мир, 1974. - 406 с.

13. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 2. М :Мир, 1974. - 197 с.

14. Борисов В.З., Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательное оценивание параметров процессов с дискретным временем// Статистические методы теории управления. Тезисы докладов 4-го Всесоюзного совещания,Фрунзе: Наука, 1978. -С. 196-198.

15. Борисов В.З., Конев В.В. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов// Автоматика и телемеханика. 1977.- №10. С. 58-64.

16. Борисов В.З., Конев В.В. Последовательное оценивание параметров случайных процессов// Математическая статистика и ее приложения, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1979, вып. 5. С. 4-12.

17. Борисов В.З., Конев B.B. О среднем времени наблюдения при последовательном оценивании параметров рекуррентных процессов// Автоматика и телемеханика. 1981. - №10. - С. 90-97.

18. Боровков A.A. Асимптотически оптимальные решения в задаче о разладке// Теория вероятн. и ее примен. 1998. - т. 43, вып. 4. -С. 625-654.

19. Боровков A.A., Фосс С.Г. Оценки для перескока случайного блуждания через произвольную границу и их применения//Теория вероятн. и ее примен. 1999. - т. 44, вып. 2. -С. 370-374.

20. Бородкин Л.И., Моттль В.В. Алгоритм обнаружения момента изменения параметров уравнения случайного процесса// Автоматика и телемеханика. 1976. - №6. - С. 23-32.

21. Бредихин И. Определение момента изменения режима функционирования радиотехнических систем // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 20-25.

22. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.1.// Автоматика и телемеханика. -1995. №9. - С.60-72.

23. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.II.// Автоматика и телемеханика. 1995. - №10. - С.50-61.

24. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Асимптотический анализ некоторых оценок в апостериорной задаче о разладке// Теория вероятностей и ее примен. 1990. - т.35, вып.З. - С.551-557.

25. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Сравнительный анализ некоторых непараметрических методов скорейшего обнаружения момента "разладки" случайной последовательности// Теория вероятностей и ее примен. 1990. - т.35, вып.4.- С.655-668.

26. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Алгоритм апостериорного обнаружения многократных разладок случайной последовательности// Автоматика и телемеханика. 1993. №1. - С.62-67.

27. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. -М., Наука, 1964. 608 С.

28. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами// Математическое моделирование и теория вероятностей. 1998. -Томск. - С. 141-146.

29. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами// Автоматика и телемеханика. — 1999. №. - С.

30. Буробин Н.В., Моттль В.В., Мучник И.Б. Алгоритм определения моментов многократного изменения свойств случайного процесса на основе метода динамического программирования// Статистические проблемы управления. 1984. - №65. - С. 48-58.

31. Бухалев В.А. Сглаживание сигналов в линейной системе с марковской случайной скачкообразной структурой// Автоматика и телемеханика. 1996, №4. - С. 66-78.

32. Бывайков М.Е. Алгоритм обнаружения изменения вида модели при текущем оценивании // Автоматика и телемеханика. 1993. - №5. - С. 82-93.

33. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

34. Васильев В.А., Конев В.В. Последовательное оценивание параметров динамических систем при неполном наблюдении// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1982. - №6. - С. 145-154.

35. Верулава Ю.Ш. Сходимость алгоритма стохастической аппроксимации для оценки параметра авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 1981. - №7. - С. 115-119.

36. Воробейников С.Э. О последовательной идентификации параметров случайных процессов рекуррентного типа// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1983. вып.9. -С. 42-47.

37. Воробейчиков С.Э.Об обнаружении изменения среднего в последовательности случайных величин// Автоматика и телемеханика. -1998. №3. - С. 50-56.

38. Воробейчиков С.Э., Гармаш Ю.М., Конев В.В. Устройство для определения момента изменения свойств случайного процесса. -A.C. 1166149 (СССР). Б.И. 1985. №25.

39. Воробейчиков С.Э., Гармаш Ю.М., Конев В.В. A.C. Устройство для определения моментов изменения свойств случайного процесса. 1282159(СССР). - Б.И. 1987. №1.

40. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О построении последовательных оценок параметров процессов рекуррентного типа// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1980 -вып.6. С. 72-81.

41. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О последовательной идентификации стохастических систем// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. - №4. - С. 91-98.

42. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. К обнаружению моментов разладки случайных процессов// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1982. вып.8. - С. 20-34.

43. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение моментов скачкообразных изменений параметров случайных процессов// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1983.- вып.9. С. 34-41.

44. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладок случайных процессов рекуррентного типа// Статистические проблемы управления. 1984. - вып. 65. - С. 58-66.

45. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательный метод обнаружения разладок случайных процессов рекуррентного типа// Автоматика и телемеханика. 1984. - №5. - С. 27-38.

46. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладки диффузионного процесса// Радиотехника и электроника. 1986. - т.31, №12.- С. 2370-2377.

47. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении момента разладки в динамической системе// Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств.ч.1. Новосибирск. - 1988. - С. 148-149.

48. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение изменения параметров авторегрессионных процессов с неизвестным распределением помех// Статистические проблемы управления. 1988. - вып. 83. - С.175-180.

49. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О расчете характериситик процедуры кумулятивных сумм// Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении", т.2, Пермь, 1990. С.213-214.

50. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении изменения режима функционирования динамической системы// Статистические проблемы управления. 1990. - вып. 89. - С.112-117.

51. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательная процедура обнаружения разладки в многоканальной системе// Радиотехника и электроника. 1990. - т.35, №10. С.2104-2111.

52. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Последовательная процедура обнаружения разладки в системе динамических объектов// Методы и средства статистического анализа, Новосибирск, НЭТИ, 1990, С.154-161.

53. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении разладок в динамических системах// Автоматика и телемеханика. 1990. - №3. -С. 56-68.

54. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладок частично наблюдаемых авторегрессионных процесов// Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования, Минск, Б ГУ. 1991. -С. 26-31.

55. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Характеристики процедуры обнаружения разладки процесса авторегрессии с неизвестным распределением помехи// Автоматика и телемеханика. 1992. - №3. - С. 68-75.

56. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении разладки в линейной стохастической системе по зашумленным наблюдениям// Проблемы передачи информации. 1992. - т.28, вып. 3. - С. 6875.

57. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. К обнаружению моментов разладки случайных процессов// Теория вероятн. и ее примен. 1992. - т. 37, вып.4. - С. 772.

58. Воробьев С.А. Алгоритмы выделения и классификации фрагментов повторяющейся формы на экспериментальных кривых// Автоматика и телемеханика. 1985. - №8. - С. 89-93.

59. Вострикова Л.Ю. Обнаружение "разладки" винеровского процесса// Теория вероятн. и ее примен. 1981. - т.26 , вып. 2. - С. 362-368.

60. Вострикова Л.Ю. Обнаружение изменений среднего значения в случайном процессе // Теория вероятн. и ее примен. 1981. - т.26 , вып. 4. - С. 867-869.

61. Вострикова Л.Ю. Обнаружение "разладки" в многомерных случайных процессах// ДАН СССР. 1981. - т. 259, №2. - С. 270-274.

62. Гаджиев Ч.М. Диагностирование динамических систем по обновляющей последовательности фильтра Калмана// Автоматика и телемеханика. 1992. - №1. - С. 180-183.

63. Галун С.А., Трифонов А.П. Обнаружение и оценка момента изменения интенсивности пуассоновского потока// Автоматика и телемеханика. 1982. - №6. - С. 95-105.

64. Гальчук Л.И., Розовский Б.Л. Задача о "разладке" для пуассоновского процесса // Теория вероятн. и ее примен. 1971. - т. 16, вып. 3. - С. 729-734.

65. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. - 354 с.

66. Гребенюк Е.А., Кузнецов И.В. Применение методов последовательного анализа для прогнозирования резких скачков случайных временных рядов// Автоматика и телемеханика. 1997. - .№11. - С.65-75.

67. Гришин М. Интервальное оценивание момента разладки // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 38-41.

68. Гришин М.В., Добровидов A.B. Оценивание скачкообразных процессов при неполной информации// Автоматика и телемеханика. -1983. №11. - С. 64-71.

69. Гришин М.В., Добровидов A.B., Полонникова Н. Сегментация изображений // Статистические проблемы управления. -1984. вып. 65. - С. 67-76.

70. Дарховский Б.С. Непараметрический метод для апостериорного обнаружения момента разладки последовательности независимыхслучайных величин// Теория вероятн. и ее примен. 1976. - т.21, №1. -С. 180-184.

71. Дарховский Б.С. Ретроспективное обнаружение "разладки" в некоторых моделях регрессионного типа// Теория вероятн. и ее примен. 1995. - т.40, вып. 4. - С.898-903.

72. Дарховский Б.С. Метод ретроспективного оценивания моментов изменения коэффициентов линейной регрессии// Автоматика и телемеханика. 1998. - №8. -С.185-189.

73. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Апостериорное обнаружение момента разладки случайной последовательности// Теория вероятн. и ее примен. 1980. - т.25, №3. - С. 635-639.

74. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Непараметрический метод скорейшего обнаружения изменения среднего случайной последовательности/ / Теория вероятн. и ее примен. 1987. - т.32. №4. - С.703-711.

75. Дженкинс Р., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения.Т.1-М.:Мир, 1971,- 317 с.

76. Дженкинс Р., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения.Т.2-М. :Мир, 1972,- 288 с.

77. Дочвири В., Шашиашвили М. Об одной задаче разладки со взвешенным критерием// Статистические проблемы управления. -1990. №89. - С. 120-123.

78. Драгалин В.П. Асимптотические решения задачи обнаружения разладки при неизвестном параметре// Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 47-51.

79. Драгалин В.П. Оптимальность обобщенного алгоритма кумулятивных сумм в задаче скорейшего обнаружения разладки// Тр. Мат. ин-та РАН. 1993. - 202. - С. 132-148.

80. Жиглявский A.A., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. JL: Изд-во ЛГУ, 1988.

81. Зигангиров К.Ш. Задача поиска в системе с конечным числом позиций/ / Радиотехника и электроника. 1963. - т.8, №1. - С. 16-23.

82. Зигангиров К.Ш. Об оптимальности поиска в системе с конечным числом позиций// Радиотехника и электроника. 1964. - т.9, №10. - С. 1746-1751.

83. Иванова Т.О., Моттль В.В., Мучник И.Б. Оценивание параметров скрытых марковских моделей шумоподобных сигналов со скачкообразно изменяющимися вероятностными свойствами// Автоматика и телемеханика. 1994. - №9. - С. 75-96.

84. Калинин Л.В. Обнаружение и диагностика нарушений в системах управления// Учен. зап. Ульян, гос. ун-та. Фундам. пробл. мат. и мех. 1996. - №1, 4.1. - С. 122-125.

85. Каминскас В.А., Шидлаускас К.А. Последовательное обнаружение изменения свойств авторегрессионного временного ряда// Статистические проблемы управления. 1984. - вып. 65. - С. 84-89.

86. Каплан Е.И. К задаче о разладке для случайных полей // Теория вероятн. и ее примен. 1990. - т. 35, №2. - С. 353-358.

87. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983. - 384 с.

88. Кирейчиков В.А. Исследование обнаруживаемое™ изменения свойств динамических систем двух типов// Автоматика и телемеханика. 1994. - №3. - С. 76-81.

89. Клигене С.-Н.И. Оценка момента изменения параметров распределения случайных последовательностей// Теория вероятн. и ее примен. 1973. - т.18, вып. 3. - С. 677-678.

90. Клигене С.-Н.И. Точное распределение оценки максимального правдоподобия параметров авторегрессии// Статистические проблемы управления. 1978. - вып. 31. - С. 9-30.

91. Клигене С.-Н.И. Сравнительный анализ оценок моментов изменения параметров авторегрессии// Статистические проблемы управления. 1980. - вып. 44. - С. 9-25.

92. Клигене Н., Телькснис Л. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1983. - №10. - С.5-56.

93. Конев В.В. Границы для среднего числа наблюдений в задачах последовательного оценивания параметров случайных процессов рекуррентного типа // Автоматика и телемеханика. 1983. - №8. -С. 64-73.

94. Конев В.В. Последовательные оценки параметров стохастических динамических систем Томск: Изд-во Том. ун-та, 1985. -267 с.

95. Конев В.В.,Конева Е.С. О достаточных условиях сходимости последовательных оценок параметров нелинейных рекуррентных процессов/ / Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1981. вып.7. - С. 82-92.

96. Конев В.В., Пергаменщиков С.М. Последовательные планы идентификации параметров динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1981. -№7. - С. 84-92.

97. Конев В.В., Пергаменщиков С.М. Об оценивании числа наблюдений при последовательной идентификации параметров динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1984. - №12. - С. 84-92.

98. Коняев К.В. Спектральный анализ случайных океанологических полей. JI.: Гидрометеоиздат. 1981. - 201 с.

99. Коростелев А.П., Лепский О.В. Асимптотически минимаксное оценивание в задаче о разладке// Стат. и упр. случайными процесами.1. М., 1989. С. 87-92.

100. Коростелев А.П., Фрейдлин М.И. Обработка изображений в задачах о разладке площади области// Проблемы передачи информации. 1995. - т.31, №1. - С.33-55.

101. Крутовский А. Некоторые алгоритмы многоальтернативного распознавания, обнаружения и оценки момента изменения свойств составного случайного процесса // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 93-98.

102. Крутовский A.B., Шпилевский Э.К. Многоальтернативное распознавание, обнаруженрю и оценка моментов изменения свойств составного случайного процесса в текущем времени// Статистические проблемы управления. 1985. - №69. - С. 47-59.

103. Кутоянц Ю.А. Оценивание параметров случайных процессов. -Ереван: Изд-во АН Арм. ССР. 1980. 253 с.

104. Лейпус Р. Функциональные предельные теоремы для ранговых статистик в задаче о " разлалдке"// Лит. мат. сб. 1989. - т. 29, №4. - С. 733-744.

105. Липейка А. Классификация авторегрессионных последовательностей с скачкообразно меняющимися параметрами// Статистические проблемы управления. 1978. - вып. 30. - С. 9-28.

106. Липейка А. Определение моментов изменения свойств авторегрессионных последовательностей с неизвестными параметрами// Статистические проблемы управления. 1982. - вып. 54. - С. - С. 9-28.

107. Липейка А. Оценка моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей при не полностью известных параметрах// Статистические проблемы управления. 1990. -вып. 89. - С. 150-155.

108. Липейка А., Липейкене И. Определение нескольких моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей методом динамического программирования // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 193— 197.

109. Липейкене И. Определение момента изменения свойств последовательности авторегрессии-скользящего среднего по суммарной ошибке прогноза // Статистические проблемы управления. 1981. -№51. - С. 33-48.

110. Липейкене И., Телькснис Л. Тестовые задачи и результаты их решения участниками семинара по обнаружению изменений свойств случайных процессов// Статистические проблемы управления. -1984. вып. 68. - С. 107-133.

111. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. -М.: Наука, 1974. -696 с.

112. Лумельский В.Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса// Автоматика и телемеханика. 1972. - №10. - С. 67-73.

113. Майборода P.E. Непараметрическое обнаружение разладки// Укр. мат. журнал. 1991. - т. 43, №5. - С. 706-709.

114. Майборода P.E. Непараметрический метод поиска разладок для многомерных наблюдений// Теория вероятн. и ее примен. 1990. -т. 35, вып. 3. - С. 582-586.

115. Майборода P.E. Медианная оценка разалдки в случае слабозависимых наблюдений// Теория вер. и мат. стат. 1990. - №43. - С. 78-83.

116. Мальцев A.A., Силаев A.M. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1985. - №1.-С.48-58.

117. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978. - с.

118. Мелешко В.И. Применение рекуррентных оптимальных оценок с псевдообращением в задачах идентификации // Автоматикаи телемеханика. 1978. - №9. - С. 79-89.

119. Медведев Г., Казаченок В. Оценивание разрывной функции регрессии// Статистические проблемы управления. 1984. - вып. 65. -С. 128-134.

120. Мельникова E.H., Харин Ю.С. Обнаружение многократных "разладок" и классификация временных рядов с помощью статистическихоценок межклассовых расстояний// Автоматика и телемеханика. -1991. №12. - С. 76-84.

121. Монтвилас A.M. Определение изменения свойств случайных сигналов при неизвестных параметрах этих сигналов // Статистические проблемы управления. 1973. - №7. - С. 9-20.

122. Монтвилас A.M. Слежение за многими изменениями неизвестных состояний динамических систем// Статистические проблемы управления. 1990. - №89. - С. 156-159.

123. Моттль В.В., Мучник И.Б. Алгоритм распознавания потока случайных событий// Автоматика и телемеханика. 1986. - №2. - С. 142-146.

124. Моттль В.В., Мучник И.Б., Яковлев В.Г. Оптимальная сегментация экспериментальных кривых// Автоматика и телемеханика. -1983. №8. - С. 84-95.

125. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.

126. Никифоров И.В. Применение кумулятивных сумм для обнаружения изменения характеристик случайного процесса //Автоматика и телемеханика. 1979. - №2. - С. 48-58.

127. Никифоров И.В. Модификация и исследование процедуры кумулятивных сумм// Автоматика и телемеханика. 1980. - №9. - С. 61-71.

128. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. - 199 с.

129. Николаев А.Ф. Об одной постановке задачи о множественной "разладке"// Теория вероятн. и ее примен. 1998. - т. 43, вып. 2. -С. 370-374.

130. Новиков A.A. Последовательное оценивание параметров диффузионных процессов // Теория вероятн. и ее примен. 1971. - т. 16, вып. 2. - С.394-396.

131. Новиков A.A. О моменте первого выхода процесса авторегрессии за уровень и одно применение в задаче "разладки"// Теория вероятн. и ее примен. 1990. - т. 35, вып. 2. - С. 282-292.

132. Новиков А., Эргашев Б. Аналитический подход к расчету алгоритма экспоненциального сглаживания для обнаружения разладки // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 110-113.

133. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Бассвиль М. и др., М.: Мир, 1989. 278 с.

134. Поздняк A.C. О скорости сходимости стохастической аппроксимации при идентификации параметров динамических объектов // Автоматика и телемеханика. 1979. - №8. - С. 186.190.

135. Потолов А., Якупов Р. Последовательное обнаружение нарушений в резервированных приборах с использованием множественных тестов // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 205-209.

136. Ронжин А.Ф. Предельные теоремы для задачи о "разладке" последовательности независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1987. - т. 32, вып. 2. - С. 308-316.

137. Сафарян И. Непараметрическое оценивание при постепенном изменении свойств случайной последовательности // Статистические проблемы управления. 1988. - №8-3. - С. 121-126.

138. Светник В., Зарицкий В., Поздникин В. Определение апостериорных вероятностей моментов "разладки" частично- наблюдаемых и частично-контролируемых марковских последовательностей // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 210215.

139. Сенкус А. Об оценке момента изменения параметров авторегрессионной последовательности // Статистические проблемы управления. 1973. - №7. - С. 54-64.

140. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.

141. Тартаковский А.Г. Об эффективности обобщенного критерия Неймана-Пирсона при обнаружении разладки в многоканальной системе// Проблемы передачи информации. 1992. - т. 28, №°4. - С. 49-59.

142. Тартаковский А.Г., Иванова И.А. Сравнение некоторых последовательных правил обнаружения разладки// Проблемы передачи информации. 1992. - т.28, №2. - С. 21-29.

143. Телькснис JI.A. О применении оптимального байесова алгоритма обучения при определении момента изменения свойств случайных сигналов// Автоматика и телемеханика. 1969. - №6. - С. 52-58.

144. Телькснис JI.A. Определение наиболее вероятных изменений свойств многомерных динамических систем с неизвестными параметрами// Статистические проблемы управления. 1977. - вып. 24. - С. 9-26.

145. Торговицкий И.Ш. Методы определения момента изменения вероятностных характеристик случайных процессов // Зарубежная радиоэлектроника. 1976. - №1. - С. 3-52.

146. Трифонов А., Бутейко В. Эффективность алгоритмов обнаружения и оценки изменения свойств винеровского процесса // Статистические проблемы управления. 1984. - №65. - С. 188-197.

147. Трифонов А.П., Галун С.А., Деревягина Е.И. Определение момента изменения свойств гауссовского случайного сигнала по наблюдениям, искаженным слабым шумом// Статистические проблемы управления. 1984. - №65. - С. 199-210.

148. Трифонов А.П., Овчинникова Т.М. Обнаружение и оценка момента изменения неизвестной интенсивности пуассоновского потока// Автоматика и телемеханика. 1999. - №1. - С. 66-76.

149. Харин Ю. Выявление многократных разладок и классификация временного ряда с помощью дивергенции Кульбака,// Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 152-157.

150. Хахубиа Ц.Г. Предельная теорема для оценки максимального правдоподобия момента разладки // Теория вероятн. и е примен. 1986.- т. 31, вып. 1. С. 152—155.

151. Хацкевич Г.А. Обнаружение неоднородностей многомерной регрессии по серийным наблюдениям со специальной корреляцией // Про-бл. компьютер, анал. данных и моде лир. Минск, 1991. -С. 193-196.

152. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1.- М.: Мир, 1967. 498 с.

153. Филаретов Г. Контролирующие алгоритмы, основанные на характеристиках выбросов случайных процессов // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 140-145.

154. Фишман М. Байесовская среднеквадратичная оценка момента ступенчатого смещения среднего уровня белого гауссовского шума// Статистические проблемы управления. -1984. №65. - С. 221-223.

155. Фишман М. Оптимизация алгоритма обнаружения разладки, основанного на статистике экспоненциального сглаживания // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 146-151.

156. Шалтяните В. Вычисление моментов изменения авторегрессионной последовательности, измеряемой с помехами// Статистические проблемы управления. 1978. - вып. 31. - С. 31-42.

157. Ширяев А.И. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов// ДАН СССР. -1961. т.138, № 4. - С.794-801.

158. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // ДАН СССР. -1961. -т.138.-№ 5. С.1039-1042.

159. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задаче скорейшего обнаружения // Теория вероятн. и ее примен. -1963. т.8, вып. 1. -С.26-51.

160. Ширяев А.Н. К обнаружению разладок производственного процесса. I // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - т.8, вып. 3. -С.264-281.

161. Ширяев А.Н. К обнаружению разладок производственного процесса.II // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - т.8, вып. 4. -С.431-443.

162. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке // Теория вероятн. и ее примен. -1965. -т. 10, вып. 2. С.380-385.

163. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976. - 272 с.

164. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

165. Ширяев А.Н. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непрерывного времени // Успехи матем. наук. 1996. - т.51, №4. - С.173-174.

166. Шпилевский Э.К. Принципы динамической классификации сто-хастческих процессов и систем// Статистические проблемы управления. 1978. - №28. - С. 134-148.

167. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. - 683 с.

168. Юргутис М.В. Вероятность отклонения оценки среднего правдоподобия от истинного момента изменения параметров уравнения ав-торегресии//Статистические проблемы управления. 1984. - №65. - С. 36-46.

169. Яковлев В.Г. Алгоритм выделения всплесков на физиологических кривых// Автоматика и телемеханика. 1977. - №12. - С.

170. Яковлев В.Г. О выборе порогов в разладочном алгоритме сегментации // Автоматика и телемеханика. 1983. - №9. - С. 95-101.

171. Alwan L.C., Champ C.W., Maragah H.D. Study of average run lengths for supplementary runs rules in the presence of autocorrelation// Commun. Statist, Simul. and Comput. 1994. - v. 23, №2. - P. 373391.

172. Assaf F., Pollak M., Ritov Y., Yakir B. Detection a change of a normal mean by dynamic sampling with a probability bound on a false alarm// Ann. Statist. 1993. - v. 21, №4. - P. 1155-1166.

173. Assaf F., Ritov Y. A double sequential procedure for detecting a change in distribution// Biometrika. 1988. - v. 75, №4. - P. 715-722.

174. Bagshaw M., Johnson R.A. The effect of serial correlation on the performance og CUSUM tests.II// Technometrics. 1975. - v.17, №1.- P.73-80.

175. Bagshaw M., Johnson R.A. Sequential procedures for detecting parameter changes in a time-series model// J. Amer. Stat. Ass. 1977.- v.72, №3. P.593-597.

176. Banzai R.K., Papantoni-Kazakos D. An algorithm for detecting a change in a stochastic process// IEEE Trans, on Inform. Theory. -1983. v.20, №5. - P.709-723.

177. Basseville M. Detecting changes in signals and systems. A Survey// Automatica. 1988. - v. 24, №3. - P. 309-326.

178. Basseville M., Benveniste A. Sequential detection of abrupt changes in spectral characteristics of digital signals// IEEE Trans, on Inform. Theory. 1983. - v. IT-29, №5. - P.709-724.

179. Bhattacharia G.K., Johnson R.A. Non-parametric tests for shift at unknown point// Ann. Math. Stat. 1968. - v.39, №5. - P. 1731-1743.

180. Bhattacharia G.K., Frierson F.J. A nonparametric control chart for detecting small disorders// Ann. Stat. 1981. - v.9, №2. - P.544-554.

181. Blostein S.D. Quickest detection of a time-varying change in distribution// IEEE Trans. Inf. Theory. 1991. - v. 37, №4. -P. 11161122.

182. Box G.E.P., Tiao G.C. A change in level of nonstationary time series// Biometrika. 1965. - v.52, №3. - P.181-192.

183. Cambry O., Genon-Catalot V. Detection de rupture a l'aide d'algorithmes stochastiques// C.r. Acad. sci. Ser. 1. 1989. - v. 309, №17. - P. 937-940.

184. Crowder S.V. A simple method for studuing run-length distributions of exponentially weighted moving average charts // Technometrics. -1987. v. 29, №4. - P. 401-407.

185. Chernoff H., Zacks S. Estimation the current mean of normal distribution which is subjected to change in time// Ann. Math. Stat.- 1964. v.35, №3. - P.999-1018.

186. Cobb G.W. The problem of the Nile: Conditional solution to the change-point problem // Biometrika. 1978. -v. 65, №2. - P. 243251.

187. Csorgo M., Horvath L. Detecting a change in a random sequence// Journ. of Multivar. Analysis. 1987. - v.23, №1. - P. 119-130.

188. Cuplin D. A cost- based sequential test// Sequent. Anal. 1988. -v.7, №4. - P. 265-281.

189. Davis R.A., Huang D., Yao Y. Testing for a change in the parameter values and order of an autoregressive model// Ann. Statist. 1995. -v. 23, №1. - P. 282-304.

190. Fu Yun-xin, Curnow R.N. Maximum likelihood estimation of multiple change points // Biometrika. 1990. - v. 77, №3. - P. 563-573.

191. Gadag V., Balasooriya V. A likelyhood ratio test for a shift in the lifelength distribution// Commun. Statist. Theory and Meth. 1998.- v. 27, №8. P. 1937-1945.

192. Gan F.F. An optimal design of cumulative sum control chart based on median run length// Commun. Statist. Simul. and Comput. 1994. •v. 23, №2. - P. 485-503.

193. Gardner L.A. On detecting changes in mean of normal variates//Ann. Math. Stat. 1964. - v.35, №1. - P.116-126.

194. Ghosh J.K., Joshi S.N. On the asymptotic distribution of an estimate of the change point in a failure rate// Commun. Statist. Theory and Meth. 1992. - v. 21, №12. - P. 3571-3588.

195. Girshilc M.A., Rubin H. A Bayes approach to a quality control models// Ann. Math. Stat. 1952. - v.23, №1. - P.114-125.

196. Goinbay E., Horvath L. Asymptotic distributions of maximum likelihood tests for change in the mean// Biometrika. 1990. - v. 77, №2. - P. 411 -414.

197. Gordon L., Pollak M. Average run length to false alarm for surveillance schemes designed with partially specified pre-change distribution// Ann. Stat. 1997. - v. 25, №3. - P. 1284-1310.

198. Hawkins D. Evaluation of average run lengths of cumulative sum charts for an arbitrary data distribution// Commun. Statist. Simul. and Comput. 1992. -v. 21, №4. -P. 1001-1020.

199. Hines W.G.S. A simple monitor of a system with sudden parameter change// IEEE Trans. Inform. Theory. 1976. - v.22, №2. - P.210-216.

200. Hinkley D.V. Inference about the change-point in a sequence of random variables// Biometrika. 1970. - v.57, №1. - P. 1-17.

201. Hinkley D.V. Inference about the change-point from cumulative sum tests // Biometrika. 1971. - v.58, №3. - P.509-523.

202. Hinkley D.V. Time-ordered classification// Biometrika. 1972, v.59, №3. - P.509-523.

203. Horvath L. Detecting changes in linear regressions// Statistics. 1995. - v. 26, №3. - P. 189-208.

204. Horvath L., Huskova M., Serbinowska M. Estimators for the time of change in linear models // Statistics. 1997. - v. 29, №2. - P. 109-130.

205. Huskova M. Estimators in the location model with gradual changes// Comment, math. Univ. carol. 1998. - v. 39, №1. - P.147-157.

206. Jandhyala V.K., MacNeill I.B. Tests for parameter changes at unknown times in linear regression models// J.Statist.Plann. and Inference. -1991. v. 27, №3. - P. 291-316.

207. Johnson R.A., Bagshaw M. The effect of serial correlation on the performance of CUSUM tests// Technometrics. 1974. - v.16, №1.- P.103-112.

208. Jones R.N., Growell D.H., Kapuniai L.E. Change detection model for serially correlated multivariate data// Biometrics. 1970. - v.26, №2.- P. 347-358.

209. Joseph L., Wolfson D. Estimation in multi-path change-point problems// Commun. Statist. Theory and Meth. 1992. - v. 21, №4.- P. 897-913.

210. Jun D.B. On detecting and estimating a major level or slope change in general exponential smoothing// J. Forecast. v. 8, №1. - P. 55-64.

211. Kander Z., Zacks S. Test procedures for possible changes in parameters of statistical distribution occuring at unknown time points// Ann. Math. Statist. 1966. - v.36, №5. - P. 1196-1210.

212. Kao C., Ross S.L. A cusum test in the linear regression model with serially correlated disturbunces// Econom. Rev. 1995. - v. 14, №3. -P. 331-346.

213. Knoth S. Exact average run lengths of CIJSUM schemes for Erlang distributions // Sequent. Anal. 1998. - v. 43, №2. - P. 137-184.

214. Lai T.Z. Sequential change-point detection in quality control and dynamical systems// J.R.Stastist. Soc. B. 1995. - v. 57, №4. - P.613-658.

215. Lai Т., Siegmund D. Fixed accuracy estimation of an autoregressive parameter // Annals of Statist. 1983. - v.ll, №2. - P. 478-485.

216. Lavielle M. Detection of changes in the spectrum of a multidimensional process// IEEE Trans. Signal Process. 1993. - v. 41, №2. - P. 742-749.

217. Lorden G. Procedures for reacting to a change of distribution// Annals Math. Statistics. 1971. - v.42, №6. - P. 1897-1908.

218. Lucas J.M., Crosier R.B. Fast initial responces for CUSUM quality control schemes: give your CUSUM a heard start // Technometrics. -1982. v. 20, №1. - P. 85-93.

219. McGilchrist G.A., Woodyer K.D. Note on a distribution-free CUSUM technique// Technometrics. 1975. - v.17, №3. - P. 321-325.

220. Messa K.C., Scariano S.M. Searching for change-points using extrema of pooled sample variances// Math, and Comput. Educ. 1992. - v. 26, №3. - P. 254-271.

221. Mevorach Y., Pollak M. A small sample size comparison of the cusum and Shiryayev-Roberts approaches to changepoint detection// Amer. J.Math, and Manag. Sci. 1991. - v. 11, №3-4. - P. 277-298.

222. Miao B.-Q. Nonparametric methods for a model with at most one change point// Xitong kexue yu shuxue=J.Syst. Sci. and Math. Sci. -1993. v. 13, №2. - P. 132-140.

223. Miao В., Zhao L., Krishnaiah P.R. On detection of change points using mean vectors// Acta math. aool. sin. Engl. Ser. 1993. - v. 9, №3. -P. 193-203.

224. Michalek J. Detection of changes in a simple regression model of a random process// Пробл. упр. и теор. инф. 1989. - т. 18, №5. - С. 289-309.

225. Michalek .J., Skrivanek J. A method of detecting changes in the behaviour of a random sequence based on Bayes approach// Kybernetika. 1993. - v. 29, №2. - P. 166-179.

226. Morais M.C., Pasheco A. Two stochastic properties of one-sided exponentially weighted moving average charts//Commun. Statist. Simul. and Comput. 1998. - v. 27, №4. - P. 937-952.

227. Moustakides G.V. Optimal stopping times for detecting changes in distributions// Ann. Statist, 1986. - v. 14, .№4. - P. 1379-1387.

228. Mu Z. Bayes tests for change points of multivariate normal distribution mean vectors// Huadong shifan daxue xuebao—Ziran kexue ban. -J.East China Norm. Univ. Nat. Sci. 1994. -№4. - P. 26-30.

229. Newbold P.M., Ho Yu-Chi. Detection of changes in the characteristics of a Gauss-Markov process// IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 1968. - v. AES-4, №5. -P. 707-718.

230. Nikiforov I. Two strategies in the problem of change detection and isolation // IEEE Trans. Inf. Theory. 1997. - v. 43, №2. - P. 770.

231. Nishina I\. An alternative approach for analysis of performance of one-sided CUSUM charts with variable sampling intervals// Commun. Statist. Simul. and Compyt. 1997. - v. 16, №4. - P. 1329-1345.

232. Padgett C.S., Thombs L.A., Padgett W.J. On the a-risks for Shewhart control charts// Commun. Statist. Simul. and Comput. 1992. - v. 21, №4. - P. 1125-1147.

233. Page E.S. Continuous inspection schemes// Biornetrika,. 1954. -v.42, №1. - P.100-115.

234. Page E.S. A test for a change in parameter occuring at unknown point// Biornetrika. 1955. -v.42, №2. - P.432-438.

235. Pages G. Detection de changements brusques des caractéristiques spectrales d'un signal numerique// Call. CERMA. 1987. - №7. -P. 76-90.

236. Pettitt A.N. A non-parametric approach to the change-point problem// Applied Statistics. 1979. - v.28, №1. -P.126-155.

237. Pettitt A.N. A simple cumulative sum type statistics for the change-point problem with zero-one observations// Biometrika. 1980. - v.67, №1. - P. 79-84.

238. Pettitt A.N. Some results on estimating a change-point using ranks// Biometrika. 1981. - v.68, №2. - P.443-450.

239. Pettitt A.N. Posterior probabilities for a change-point using ranks// Biometrika. 1982. - v.69, №3. - P.623-630.

240. Picard D. Testing and estimating change-point in time series// Advances in Appl. Probab. 1985. - v. 17, №4. - P. 841-867.

241. Ploberger W., Kramer W., Alt R. A modification of the CUSUM test in the linear regression model with lagged dependent variables// Empir. Econ. 1989. - v. 14, №2. - P. 65-75.

242. Pollak M. Optimal detection of a change in disrtibution// Ann. Statist. 1985. - v. 13, №1. - P.206-227.

243. Pollak M. Average run length of an optimal method of detecting a change in distribution// Ann. Statist. 1987. - v. 15, №2. - P. 749779.

244. Pollak M., Siegmund D. Approximations to the expected sample size of certain sequential tests // Ann. Statist. 1975. - v.3, №2. - P. 1267-1282.

245. Pollak M., Siegmund D. A diffusion process and its application to detecting a change in the drift of Brownian motion process// Biometrika. 1985. - v. 72, №2. - P.267-280.

246. Pollak M., Siegmund D. Sequential detection of a change in a normal mean when the initial value is unknown// Ann. Statist. 1991. - v. 19, №1. - P. 394-416.

247. Potzelberger K., Polasek W. Robust Bayesian analysis of a parameter change in linear regression// Empir. Econ. 1989. - v. 14, №2. - P. 123-137.

248. Ritov Y. Asymptotic efficient estimation of the change-point with unknown distributions // Ann. Statist. 1990. - v. 18, №4. - P. 18291839.

249. Roberts S.W. A comparison of some control chart procedures// Technometrics. 1966. - v.8, №2. - P. 411-430.

250. Robinson P.B. Average run length of geometric moving average charts by numerical methoda // Technometrics. 1978. - v. 20, №1. - P. 85-93.

251. Rukhin A., Vajda I. Change-point estimation as a nonlinear regression problem// Statistics. 1997. - v. 30, №3. - P. 181-200.

252. Schechtman E., Wolfe D.A. Distribution-free tests for changepoint problem// Amer. J. Math, and Manag. Sci. 1988. - v. 8, №1-2. - P. 93-119.

253. Segen J., Sanderson A. Detecting change in a time-series// IEEE Trans. Inform. Theory.- 1980. v.48, №1. - P.83-93.

254. Sen A., Srivastava M.S. On tests for detecting change in mean// Ann. Stat. 1975. - v.3, №2!. - P.98-108.

255. Shewhart W.A. The application of statistics as an aid in maintaining quality of a manufactured product// J. Am. Statist. Ass. 1925. -v.20, №3. - P.546-548.

256. Shneeweis H. Consistent estimation of a regression with error in the variables// Metrica. Phvsica-Verlag, Wien. - 1976. - Band 23. -P.101-115.

257. Siegmund D. Sequential Analysis. Tests and Confidence Intervals. -Springer-Verlag, New York Inc., 1985.

258. Smith A.F.M. A Bayessian approach to inference about a change-point in a sequence of random variables// Biometrika. 1975. - v.62, №2. -P.407-416.

259. Smith T.M., Scariano S.M. Change-point estimation using sample means// Math, and Conput. Educ. 1990. - v. 24, №3. - P. 217-224.

260. Srivastava M.S., Wu Y. Comparison of EWMA, CUSUM and Shiryayev-Roberts procedures for detecting a shift in the mean// Ann. Statist. 1993,- v. 21, №2. - P. 645-670.

261. Sullivan J.H., Woodall W.H. Adapting control charts for the preliminary analysis of multivariate observations//Comrnun. Statist. Simul. and Comput. 1998. - v. 27, №4. - P. 953-979.

262. Vorobejchikov S.E., Konev V.V. Detection of disruption of random processes of the recursive type // Detection of Changes in Random Processes. Optimization Software, New York. - 1986. - P.217-226.

263. Waldmann K.-H. Bounds for the distribution of the run length of onesided and two-sided CUSUM quality control schemes // Technometrics. 1986. - v. 28, №1. - P. 61-67.

264. Walker E., Philpot J.W., Clement J. False signal rates for the Shewhart control chart with supplementary runs tests// J.Qual.Technol. 1991.- v. 23, №3. P. 247-252.

265. Wang C.-Y., Lee C.-B. Bayesian analysis for a change in the intercept of simple linear regression// Commun. Statist. Simul. and Meth.- 1993.- v. 22, №11. P. 3031-3050.

266. Weston P.F., Norton J.P. Detection and estimation of abrupt changes in input or state// Int. J. Contr. 1997. - v. 67, №5. - P. 699-711.

267. Willsky A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamic systems// Automática. 1976. - v. 12, №4. - P. 601-611.

268. Wickwire K. On the Poisson disorder problem// Int.J.Syst. Sci. -1979,- v.10, №3. P.275-283.

269. Wolfe D.A., schectman E. Nonparametric statistical procedures for the changepoinr problem // J. of Stat. Plan. Inf. 1984. - v.9, №3. - P. 389-396.

270. Woodall W.H. The distribution of the run length of one-sided CUSUM procedures for continuous random variables // Technometrics. 1983. -v. 25, №2. - P. 295-301.

271. Woodall W.H. On the Markov chain approach to the two-sided CUSUM procedure // Technometrics. 1984. -v. 26, №1. - P. 4146.

272. Yakir B. Dynamic sampling policy for detecting a change in distribution, with a probability bound on false alarms// Ann. Math. Stat. 1996. - v. 24, № 5. - P.2199-2214.

273. Yakir B. A note on optimal detection of a change in distribution // Ann. Math. Stat. 1997. - v. 25, № 5. - P.2117-2126.

274. Yak ir B. On the average run length to false alarm in surveillance problems which possess an invariance structure// Ann. Math. Stat.-1998. v. 26, № 3. - P. 1198-1214.

275. Yao Q. Asymptotically optimal detection of a change in a linear model// Sequent. Anal. 1993. - v. 12, №3-4. - P. 201-210.

276. Yashin E. Weighted cumulative sum technique// Technometrics. -1989. v.31, №3. - P. 321-338.

277. Yoshida M. Probability maximizing approach to a detection problem with continuous Marcov processes // Stochastics. 1984. - v. 11, №1. - P. 173-189.

278. Zhang Q., Basseville M., Benveniste A. Early warning of slight changes in systems// Automatica. 1994. - v. 30, №1. - P. 95-113.