автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стохастические имитационные модели системы считающих процессов с разладками

На правах рукописи

Волков Артем Анатольевич

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ СЧИТАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ С РАЗЛАДКАМИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

[-1 окт

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2009

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Бутов Александр Александрович

Официальные оппоненты

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Журавлев Виктор Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Чунаева Марианна Сергеевна

ГОУ ВПО Ульяновский государственный технический университет

Защита диссертации состоится «14» октября 2009 года в 13~ часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная реки Свияга, 106, корп.1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом на сайте вуза http://www.uni.ulsu.ru.

Просьба прислать отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном печатью организации по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан « а » сентября 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета ✓ Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В прикладных исследованиях часто возникает необходимость определять, в какой момент времени произошла смена характеристик изучаемого объекта. Решение такого рода задач сводится к обнаружению моментов разладок случайного процесса. Методики подобных исследований представляет собой стохастическое описание и компьютерную имитацию. Для изучения отдельных механизмов и систем в целом применяется математическое имитационное моделирование.

Классическая задача с разладками сформулирована еще в 60-е годы А. Вальдом' и А.Н. Ширяевым2. Далее это направление развивалось в работах Э.Л. Пресмана3, Г. Роббинса4, а на сегодняшний день развитие этой задачи отражено в работах М.Л. Николаева5, В.В. Мазалова6, Г.И. Салова7 и др. В качестве прикладного применения традиционно рассматриваются технические области науки. Также в последнее десятилетие появился ряд статей, посвященных применению задач о разладке в биологии и медицине. Принято выделять следующие два класса теоретических задач:

• анализ основной и альтернативной гипотез о наступлении момента разладки;

• численное определение вероятности появления момента разладки ко времени /.

В диссертационной работе сформулированы задачи, относящиеся к другому типу - системы обнаружения моментов разладок считающего процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров на основе минимизации функционала, диффузионных методов и аппроксимации. В качестве объекта применения рассматривается организационно-техническая система. Такого рода задачи являются новыми и недостаточно исследованными как теоретически, так и в прикладных

' Вальд А. Последовательный анализ, пер. с английского.-М., I960

1 Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке. // Теория вероятностей и ее применение.-М.:

ТВП, т. 10, в. 2, 1965, с. 380-385

3 Пресман Э.Л., Сонян И.М. Последовательное управление по неполным данным.-М.: Наука, 1982.

4 Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановУи.-М.: Наука, 1977

5 Николаев М.Л. Оптимальные правила многократной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 5, вып.-2, М.-.ТВП, 1998, с. 309-348

6 Мазалов В.В., Домбровский Ю.А., Перрин H. Теория оптимальной остановки: приложения к экологии поведения // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия «Математические методы в экологии» - том 1, вып.-б, М.:ТВП, 1994, с. 893-900

' Salov G. 1. The disorder problem for pure jump Markov processes. // Proc. of the Second IASTED International Multi-Conference on SIGNAL AND IMAGE PROCESSING. June 20-24,2005, Novosibirsk, Russia. P. 205-209.

работах. Актуальность этих задач также обоснована востребованностью в широком круге практических исследований.

Традиционно проблеме безопасности полетов в гражданской авиации уделяют большое внимание. Важную роль в обеспечении безопасности полетов играют такие организации, как ICAO (ИКАО, Международная организация гражданской авиации), МАК (Межгосударственный авиационный комитет), IATA (ИАТА, Международная ассоциация воздушного транспорта). Каждый авиационный инцидент и происшествие расследуется специализированными комиссиями, выявляющими неточности и необходимые дополнения в летных инструкциях, правилах, допусках и т.п. На основании этих результатов и по состоянию безопасности полетов в мире предлагаются меры, направленные на снижение аварийности в будущем. Однако возникает вопрос - насколько эффективны были те или иные меры. Достаточно сложно судить о качественном влиянии таких нововведений как до их принятия, так и после. Часто мнение экспертов дает лишь частичное представление об эффекте от планируемых или принимаемых мер, тогда как в диссертационной работе разработаны методы как количественной, так и качественной оценки. Целью всех мероприятий по повышению безопасности полетов является снижение числа или полное исключение авиационных инцидентов и происшествий. Таким образом, показателем результативности мер или отсутствия таковой может быть снижение или, соответственно, увеличение авиационной аварийности, т.е. изменение скорости роста числа авиационных инцидентов и происшествий. В таком случае моментом смены характеристик является момент разладки.

В качестве статистического материала в прикладном исследовании данной {заботы рассматривается авиационная аварийность в гражданской авиации за 1899-2006гг. по данным службы ASN (Aviation Safety Network).

Разработанные в данной работе математические и имитационные модели позволяют оценить моменты разладок случайных процессов, а для рассматриваемой статистики - судить о качественном влиянии мероприятий по повышению безопасности полетов, и, следовательно, позволяют определять их эффективность.

Таким образом, объектом исследования являются точечные процессы с разладками, которые могут в приложениях играть роль считающих процессов. Математическое и имитационное моделирование и решение задачи оптимального оценивания моментов разладок случайного процесса и

их характеристик на основе разработанных численных методов является предметом исследования.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка стохастических математических и имитационных моделей процессов с разладками и их анализ для построения оценок моментов разладок и их характеристик, а также разработка численных методов и алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня . Для достижения поставленной цели исследования рассматриваются три модели. Первая модель основана на задаче с одной разладкой, для которой построена оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка. Вторая и третья - модели со множественными разладками и, соответственно, известной и неизвестной группой параметров исследуемого объекта. Проводится также теоретическое и численное исследование, посвященное альтернативному изучению второй модели методами диффузионной аппроксимации для оценки числа разладок точечного процесса.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического моделирования дискретных систем, методы математического анализа, методы объектно-ориентированного программирования. Математические модели и методы разрабатываются в семимартингальных терминах. Выбор параметров моделей осуществляется исходя из известной информации о моделируемом объекте. Определение неизвестных коэффициентов проводится с использованием методов аппроксимации и оптимального оценивания. Для программной реализации алгоритмов используется аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ компьютерной математики.

Научная новизна. Все основные результаты настоящей диссертационной работы являются актуальными и новыми. В работе предложены новые модели определения оценок моментов разладок. Доказаны новые теоремы и утверждения об оценке и приближениях моментов разладок. Разработаны численные методы оценки числа разладок, а также самих моментов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теорема об оптимальной оценке момента разладки точечного процесса.

2. Оценки числа разладок точечного процесса с помощью минимизации функционала потерь и методами диффузионной аппроксимации.

3. Математические модели систем обнаружения моментов множественных разладок случайного процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров.

4. Численные методы вычисления оценок моментов разладок и алгоритм, их реализующий. Разработанный комплекс программ для исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики.

Достоверность результатов. Достоверность результатов

обеспечивается строгостью постановок задач и доказательств теорем, использованием аналитических и численных методов расчета, методов математического моделирования и применением современных методик экспериментальных исследований. Результаты прикладного применения диссертационной работы привели к выводам, совпадающим или близким к открыто публикуемым мнениям экспертов ICAO, IATA и др., что также является косвенным подтверждением достоверности разработанных моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут найти применение в исследованиях организационно-технических систем. Разработанные программные процедуры численного моделирования могут быть использованы для исследования различных математических моделей задач с разладками считающих процессов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.), XIII Всероссийской школа-коллоквиуме по стохастическим методам и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 16-22 декабря 2006 г.), Международной молодежной научной конференции «XV Туполевские чтения» (Казань, 9-10 ноября 2007 г.), Международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 22-24 ноября 2007 г.), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике и Региональном макросимпозиуме «Насущные задачи прикладной математики в Ставрополье» (Кисловодск, 1-8 мая 2008 г.),

Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем профессором Бутовым A.A. Доказательство теорем и утверждений, разработка стохастических моделей и их компьютерное исследование, анализ полученных результатов и выводы из них выполнены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 6 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, их список помещён в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 81 наименования источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика современного состояния проблемы обнаружения момента разладки и используемых при этом методов, также обоснована актуальность темы диссертации. Приводится аннотация работы.

В первой главе в разделе 1.1 содержится обзор подходов к моделированию, а в разделе 1.2 даны постановка и решение задачи с одной разладкой точечного процесса, сформулированы и доказаны теоремы о приближениях и оптимальной в среднеквадратическом смысле оценке момента разладки.

Для числа Т (0 < Т < +оо) определим стохастический базис Вг =(□, F, Г = Р) с обычными условиями Деллашери8, на котором

зададим точечный процесс А = (Л1 )(>0. В случайный момент времени т

происходит разладка с вероятностью /3(г<х| = < о <0 н с

вероятностью е~" разладка не происходит. Предположим, что точечный процесс Л = (Д )е0 имеет компенсатор

Д = |0' +а-/(г <«))<&. (1)

о

Задача состоит в оценивании момента разладки, решения которой сформулированы в Теореме 1 и Теореме 2.

Теорема 1. Приближение момента разладки т процесса А~(А1)а0 при г е [о,Г], определяемое формулой (2)

, Лг + а)Т-Ат | (2)

' а А

8 Деллашери К. Емкости и случайные процессы.-М.'.МИР,1975

7

является несмещенным, т.е. выполняется условие: = Ет.

Следствие 1. Приближение момента разладки г процесса Л = (Л, ),,0 при Г е [о,Г], определяемое формулой (3)

„ (у + а)Т - Ат . , , .

г2=^---,т = т2(т) (3)

а

является асимптотически несмещенным при Г—>оо, т.е. выполняется условие: Ет2 - Ет—

В следующей теореме приведена оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка момента разладки:

Теорема 2. Условное математическое ожидание момента разладки т является оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой для т процесса А = (Л,),г1) при (е [0,г] определяется формулой (4):

(4)

где л, =р(г</[^/).

Теорема 2 дает представление об общем виде оценки момента разладки точечного процесса, но не о способе её вычисления в силу сложности точного подсчета л1 = р(т </1^/). Поэтому при численной оценке целесообразно использовать приближения из теоремы 1 и следствия 1.

При этом в Утверждении 1 представляется возможным сравнить дисперсию ошибки приближений г, и г2.

Утверждение 1. Пусть г, и г2 определены по формулам (2) и (3), тогда справедливы следующие неравенства:

2) е[{Г~т,)2\Т<Т\>Е[{Т-Т2)2\Т<Т\.

Для достижения наибольшей точности данный результат позволяет в зависимости от полноты располагаемой информации об исследуемом объекте использовать одну из приведенных выше оценок.

Вторая глава посвящена построению математических моделей задач со множественными разладками с известной и неизвестной группой переключаемых параметров случайного процесса.

В разделе 2.1 построена оценка числа разладок процесса с известными коэффициентами интенсивности. Дан процесс А = (Л )<г0 со множественными разладками на стохастическом базисе Вг = (П, Е, Г = (/г;)/г|_) Г], Р) с обычными

условиями Деллашери. Задан считающий процесс числа разладок р = (р1 )1>Г1, представляющий собой пуассоновский процесс с интенсивностью Я. Выбор параметра Я зависит от цели исследования и описан в Главе 4. Компенсатор процесса А = (Д )(Ь(| имеет вид:

Я = ](Ха'/(т' 2 5 < )) г» = 0' (5)

где г. = тГ(г:р, >г) - моменты разладок, г0=0; а0,а1,ое2,...,ак - известные коэффициенты интенсивности.

Перед оцениванием моментов разладок требуется оценить их количество. После каждой разладки компенсатор процесс А = (А1 ),г0 меняет «угол наклона», что заключается в смене характеристики - коэффициента «\.

Введем аппроксимирующую ломаную / = 1,{к\ хй,хи...,хк) для процесса А — (Д )(г0, где каждому излому будет соответствовать момент разладки, т.е. ломаная с к изломами и прямыми под «углами» х,.

Вид такой аппроксимирующей ломаной:

/,(к; х0,х1,...,хк)=^1х1\1{т1 <5<Г1>1)&, (6)

(-0 о

где г,,г2,...,г( - оценочные моменты разладок, а г0 = 0, гА+, = Т.

Введем функционал потерь, который будет учитывать ошибку в оценивании числа разладок и ошибку отклонения ломаной / от траектории процесса А. Обозначим Ф, - плата за неверное число разладок, а Ф2 - плата за «плохую» аппроксимацию при заданном числе разладок. Тогда функционал потерь Ф{(рх,ср2\к) примет вид:

Ф(р1)972;£)=?>, -Ф, +<р2-Ф2, где <р,,<р2 - параметры управления; к - количество изломов для рассматриваемой аппроксимации / (к; а0, а,,..., ак).

При обработке данных всегда существует компромисс между выбором точности того или иного параметра. Данный функционал потерь позволяет переходить к оптимальности с двояким смыслом, т.к. в зависимости от значения параметров можно добиться большей точности в определении числа моментов разладок или в аппроксимации процесса А = (Д )(г0.

В итоге функционал потерь имеет вид:

-{рт-к)7+срг-Е Ы )(А,{р)-/,Ус11. (7)

Следовательно, оценить число разладок процесса А = [А,) , значит решить задачу поиска такого значения к, что:

ф{ф„(рг-,к)^>т!: £ = argmin Ф(p^tp^k). (8)

к к

Так как при оценке к приходится перебирать большое число значений, становится целесообразным определить границы для поиска. Для этого доказано Утверждение 1.

Утверждение 1. Если Ерт = DpT = ЛТ, то справедливо:

> 1 _Г2=_>-, 1 e4d II -i-d > 0 [Vir j

Таким образом, зная распределение р = (р: )ii0, можно задать с вполне

определенной точностью задать границы поиска к. В данной работе принят параметр а = 6, тогда:

J \Рт~Щ > б1 Л * e^dy + [-4= e?Tdy «2-10-'. [ л/ЯГ J lj2x

Следовательно,

lim б1»1-2-10'' = 0.999999998,

{ JÄT J

и выполняется:

ЛТ - 6л/1г < рт < ЛТ + в4ЯТ . (9)

Однако по условию задачи р > 0, поэтому выражение для оценки к выражение (9) примет вид:

\лт - бЛт)" j< к й [лт + 61.

В Разделе 2.2 приведена альтернативная оценка числа разладок в задаче с известной группой параметров a„,a1,a2,...,at.

Пусть аналогично разделу 2.1 задан процесс А = (/1, со множественными разладками на стохастическом базисе Вг. Рассмотрим частично наблюдаемую линейную схему с ненаблюдаемой компонентой = (*,М),г0 и наблюдением у^ = (у,(г'),г0 • Задан считающий процесс числа разладок p = (pi)ao.

Введем точечный процесс Y = (Yi)/10, определяемый следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

dY, = ß(Zt + wf )dt + dm],

где Д(г)=Д0 - Д -х, причем хе[0;т], Д, > Д-(ЛГ); - мартингал в разложении пуассоновского процесса р; ш,1" - мартингал процесса )' = (У) . Функция /? = /?(х) является аппроксимацией убывающих с ростом к коэффициентов а0,ара2,...,а4.

Частично наблюдаемая схема имеет вид:

Процесс х(т) = (х,(г))<>о интерпретируется как ошибка оценки фактического числа разладок в сравнении со средним их числом, а Уг) = О-'71),.,, - ошибка аппроксимации коэффициентов интенсивности. При этом:

рт = 4т-х(? + (Ю)

Тогда схема Калмана-Бьюси для данной частично-наблюдаемой схемы описывается следующим образом:

'Лг, = -Дг,Г(</у,+Д;г,А)

где я, =£(*, гД0 = Ф.(')-*,(0Х*/0-*,('))]•

Таким образом, оценка в классе линейных для х<г) = (х'г,)10 примет вид: л-,м = (П)

В силу (10) и (11) получена оценка числа разладок рассматриваемого точечного процесса:

РТ=4Т -х{? + ЛТ. В Разделе 2.3 дается сравнительная характеристика двух приведенных выше методов оценки числа разладок. В результате эксперимента оценка на основе минимизации функционала потерь оказалась наилучшей в силу возможности управления (в зависимости от целей исследования) параметрами и <р2.

В Разделе 2.4 описан подход к оценке моментов разладок в задаче с известными коэффициентами интенсивности.

Дан процесс А = (А1)Ггй с условиями, описанными в разделе 2.1, и

компенсатором (5). Поиск оптимального числа разладок, т.е. оценки к, идет по методу, изложенному в разделе 2.1 или 2.2.

Для реализации данного способа оценки моментов разладки потребуется аппроксимирующая ломаная вида (6):

где а0,а„...,а1 - известные коэффициенты интенсивности; к - оценка числа разладок. Введем понятие эмпирической функции распределения /^''(г), 1 = \...к, построив которые для каждой тп1 = \...к, на основе п испытаний, можно ранжировать оценки моментов разладок по наибольшему числу появления в фиксированных диапазонах.

В Разделе 2.5 построена модель задачи со множественными разладками и неизвестной группой параметров.

Во многих случаях коэффициенты а0,ах,а1,...,ак изначально неизвестны, т.к. сложно предсказать, насколько сильным будет влияние на рассматриваемый процесс того или иного фактора. Так, например, в мировой гражданской авиации до или после проведения каких-либо мероприятий по повышению безопасности полетов, трудно сказать о степени их влияния на снижение числа авиационных инцидентов и происшествий. Однако, глядя на статистику авиационной аварийности в целом за определенный период, можно косвенно судить об эффективности этих мероприятий. Таким образом, момент смены скорости роста тренда статистики можно считать моментом разладки (необходимо отметить, однако, что разладка параметров в этом примере не означает ухудшение ситуации и аварийности, а как раз наоборот - ее заметное улучшение).

В силу отсутствия информации о коэффициентах а0,а!,а1,...,а1 и, следовательно, возможности построения функции р(х) = Д, - Д • х, для данной модели не подходит использование метода оценивания числа разладок, описанного в разделе 2.2. Однако возможно использование результатов раздела 2.1 с некоторыми модификациями.

Рассмотрим процесс А = (А1)1г0 с условиями, описанными в разделе 2.1 и компенсатором (5) с неизвестными коэффициентами а0,а,,а2,...,ак. Введем модифицированную аппроксимирующую ломаную (6) для процесса А = (л,\г0, где каждому излому /, а,...,ак) будет соответствовать

момент разладки компенсатора. Однако, поскольку процесс а не наблюдается, то необходимо осуществлять аппроксимацию А (т.е. А + мартингал). Дано значение А, отсеивающее случаи с большими значениями at, что реализуется ограничением min(r tl - г.) > А.

По аналогии со случаем известных коэффициентов a0,al,a2,...,at (раздел 2.4) введем функционал потерь (7) с модифицированной ломаной /, = f,{k> ä,...,at). Следовательно, определить число разладок процесса А = (Д )(г[), значит решить задачу вида (8).

В данном случае также справедливо утверждение 1, тогда границы поиска к установливаются в пределах:

\лт - з 4лт)\<к< [лт + 3-Яг]+1.

При найденном числе разладок к аппроксимирующая ломаная примет вид: ft Аналогично случаю с известными коэффициентами

a0,a,,a1,...,ai, введено понятие эмпирической функции распределения построив которую для каждой г, г = 1... А:, на основе п испытаний, можно ранжировать оценки моментов разладок по наибольшему числу их появлений в фиксированных диапазонах времени. В том числе подсчитывается Аа; = а, - аы, позволяющее оценить степень изменения углового коэффициента ломаной ft.

В Главе 3, состоящей из трех разделов, приводится рассматриваемый статистический материал по авиационным инцидентам и происшествиям, основанный на данных службы ASN, а также построены и проанализированы имитационные модели.

В Разделе 3.1 описывается используемый в диссертационной работе материал по авиационной аварийности за 1988-2006гг. по данным службы ASN (Aviation Safety Network).

Раздел 3.2 посвящен анализу имитационной модели для статистики авиационных инцидентов и происшествий за 1988-2006гг без учета числа полетов на основе результатов раздела 2.5 и численных методов, приведенных в Главе 4.

По методу модифицированного скользящего среднего построен процесс А = (А: )j>0 . Причем изначально можно сделать первое приближение числа разладок с помощью параметра чувствительности модели Л. Процессы /?,"' и pf с параметрами

Л, =2,8-10 4, (12)

Л, = 5,8-Ю-1 (13)

дают в среднем значение Я,Г = 1.94, Л2Т = 4.02, т.е., соответственно, две и четыре разладки.

В результате минимизации функционала потерь (7)-(8) с параметрами #>,=85%, <рг =15% и (12), получена оценка числа разладок к = 2, что свидетельствует о выдлении 2 мероприятий по повышению безопасности полетов за рассматриваемый период времени, а в случае (13) число к-4. В виду низкой чувствительности Л, имитационная модель рассматривает только наиболее крупные и вложившие наибольший вклад в обеспечение безопасности полетов мероприятия и меры. Здесь приведены значения ср1 = 85%, (р2 = 15%, т.к. они показали лучшее приближение к экспертам по количеству разалдок. В диссертационной работе приведены исследования всех иных соотношений , <р2 с шагом 15%.

Результаты моделирования соотнесены с экспертными оценками и представлены в Таблице 1.

Таблица 1. Сравнение оценок моментов разладок для траектории авиационной аварийности без учета числа полетов.

N2 мероприятия Оценки имит. модели без учета числа полетов с параметрами вида (12) Оценки имит. модели без учета числа полетов с параметрами вида (13) Экспертные оценки

оценка (дата) Д а. оценка (дата) Aaí дата +/-

' 1 н/д н/д 2329 (12.07.94) -6,9-10 2 1992-1995 -

2 3314 (10.10.97) +2,4-10"2 3431 (15.08.97) +3,9-Ю-2 1996-1998 +

3 н/д н/д 5496 (05.06.03) -3,9-10"2 2003 -

4 5635 (01.11.04) -6,1-10"2 5703 (07.01.04) -4,6-10"2 2004 -

В таблице даны экспертные оценки следующих мероприятий и событий:

1. По словам эксперта Б.В. Зубкова: «Провальными для гражданской авиации стали 1992-1995 годы, когда объемы перевозок уменьшились в три раза». Следовательно, снизилось число авиационных инцидентов и происшествий.

2. Значительное влияние на функционирование всей авнационно-транспортной системы оказал безудержный рост количества эксплуатантов (авиакомпаний), особенно в 1996-1998 гг. Это не только обусловило прямое несовпадение интересов коммерции и безопасности полетов, но и привело к появлению новых факторов аварийности.

3. В 2003г. приведен в действие первый всемирный стандарт безопасности полетов, внедренный Международной ассоциацией воздушного транспорта, ИАТА (IATA - International Air Transport Association). Этот стандарт был назван IOSA (IATA Operational Safety Audit) и предназначен для оценки систем эксплуатационного управления и контроля воздушных перевозчиков. По словам вице-президента ИАТА Г. Матчингга: «Это самые совершенные стандарты и более продвинутые даже по отношению к стандартам ИКАО».

4. В 2004г. в стандарт IOSA интегрирована новая система управления безопасностью SMS (Safety Management System). По мнению вице-президента IATA Г. Матчнигга, вместо того чтобы искать недостатки в обеспечении безопасности полетов только после нежелательных событий, SMS является упреждающей системой, которая обеспечивает непрерывное улучшение эксплуатационной безопасности, опережает события, а не следует за ними. Также службой NTSB зафиксировано снижение авиационной аварийности в 2004г. по сравнению с 2003 г. на 7%. По словам представителя FAA Грега Мартина: «Индустрия авиации перенесла уроки безопасности с воздушных судов высокой тоннажности на малую авиацию».

В Разделе 3.3, проводится анализ имитационной модели для статистики авиационных инцидентов и происшествий за 1988-2006гг. с учетом числа полетов. Иным подходом к оцениванию качества предполетных мероприятий может служить суждение об оценках моментов разладок процесса, учитывающего налет воздушных судов. Увеличение или снижение числа парка авиационных компаний напрямую влияет на траекторию роста авиационных инцидентов и происшествий. Таким образом, положительные

результаты общемировых мероприятий по повышению безопасности полетов, вводимые ИКАО, ИАТА и др., могли быть перекрыты отрицательным воздействием от быстррго роста числа эксплуатангов и, как следствие, парка воздушных судов.

По методу модифицированного скользящего среднего построен процесс А = (А,);20. Аналогично разделу 3.2 введем следующую группу значений параметров:

Л, =2,9-Ю"4,

А, =300. (14)

Я2=5,8'10"\

Аг =100. (15)

В результате минимизации функционала потерь (7)-(8) с параметрами <р, =85%, <р2 =15% и вида (14), получаем оценку числа разладок к = 2, что свидетельствует о наличии двух мероприятий по повышению безопасности полетов за рассматриваемый период времени. В случае параметров с/?, = 70%,

<р2=30% и (15) число к = 4. В виду низкой чувствительности Я, имитационная модель рассматривает только наиболее крупные и вложившие наибольший вклад в обеспечение безопасности полетов мероприятия и меры.

Результаты моделирования соотнесены с экспертными оценками и представлены в Таблице 2. Описание экспертных оценок приведено выше.

Таким образом, основываясь на данных, представленных в Таблицах 1 и 2, можно утверждать о совпадении результатов имитационного моделирования и экспертного мнения при оценивании четырьмя разладками. Противоречия в пункте 2 таблиц обусловлено тем, что с увеличением аварийности также повысилось число полетов, поэтому относительно часов налета доля инцидентов и происшествий стала меньше. Для пункта 4 в таблице 2 не определена разладка, что может свидетельствовать о недостаточной эффективности системы SMS, либо том, что эффект появился за пределами рассматриваемой статистики. Также помимо количественной оценки моментов в модели вычислены значения, позволяющие судить о степени изменений, произошедших после момента разладки.

Таблица 2. Сравнение оценок моментов разладок для траектории авиационной аварийности с учетом числа полетов.

№ мероприятия Оценки имит. модели с учетом числа полетов с параметрами вида (14) Оценки имит. модели с учетом числа полетов с параметрами вида (15) Экспертные ог^енки

оценка (дата) А а. оценка (дата) Да,. дата +/-

0 600 (10.09.89) -0.55 500 (24.05.89) -0,18 н/д н/д

1 н/д н/д 2700 (09.08.95) -0,5 1992-1995 -

2 3000 (01.06.96) -0,5 3200 (27.12.96) -0,15 1996-1998 +

3 н/д н/д 5600 (25.09.03) -0,36 2003 -

4 н/д н/д н/д н/д 2004 -

В Разделе 3.4 приведены выводы Главы 3.

Глава 4 посвящена выводу используемых в работе численных методов, описанию алгоритма и программного комплекса, используемого в моделировании и исследовании экспериментальных данных.

Приведена методика выбора параметров Л и А, описан способ построения аппроксимации Д(х) = Д0 - Д • х. Разработан модифицированный метод скользящего среднего для аппроксимации траектории рассматриваемой статистики. Реализован переход к дискретной модели и способ оценки эффективности рассматриваемых мероприятий, обоснованы процедуры дискретизации. Программный комплекс представлен в виде блок-схем.

В Заключении кратко перечислены основные новые результаты диссертационной работы.

В Приложении приведен используемый статистический материал, описан комплекс программ для построения и-исследования математических моделей и структура баз данных.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Сформулирована и доказана теорема об оптимальной оценке момента разладки точечного процесса.

2. Построены оценки числа разладок точечного процесса с помощью минимизации функционала потерь и методами диффузионной аппроксимации.

3. Разработаны математические модели систем обнаружения моментов множественных разладок случайного процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров.

4. Выведены численные методы вычисления оценок моментов разладок и описан алгоритм, их реализующий. Реализован комплекс программ для исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору доктору физико-математических наук Александру Александровичу Бутову за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и всестороннюю поддержку.

Список публикаций по теме диссертации.

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК:

1. Бутов A.A., Волков М.А., Волков A.A. Стохастическая модель возникновения и развития опухоли в условиях разладки параметров // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 13, вып.З, М.: ТВП, 2006, с.477 - 478.

2. Волков A.A., Зорин М.В., Хрусталев С.А. Оптимизация управления базами данных со стохастической структурой // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 13, вып.З,М.: ТВП, 2006, с. 482.

3. Волков A.A. Стохастическая имитационная модель многостадийного старения // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 14, вып.1, М.: ТВП, 2007, с.99.

4. Волков A.A., Штраус А.Л. Задача управления наблюдаемостью временно наблюдаемых систем // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 14, вып.6, М.: ТВП, 2007, с. 10851087.

5. Волков A.A., Гисметулина A.A. Оценивание параметров распределения среды для процессов случайного блуждания с

отражением II Обозрение прикладной и промышленной математики -том 14, вып.6, М.: ТВП, 2007, с.1074-1075.

6. Митрофанов А.А„ Митрофанов И.А., Волков A.A. Оценивание параметров разладок процессов с финитными носителями // Обозрение прикладной и промышленной математики - том 15, вып.6, М.: ТВП, 2008, с.1111-1112.

Публикации в прочих изданиях:

1. Волков A.A. Задача оптимизации управления питанием в условиях опухолевого роста // XV ТУПОЛЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ, том 2, К.: КГТУ, 2007, с. 77-79.

2. Волков A.A. Подходы к оцениванию моментов разладок точечного процесса // Ученые записки УлГУ. Сер. «Математика и информационные технологии». - Ульяновск. - 2009. Вып.2. - с. 124-132.

Подписано в печать 8.09.09. Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1041^36

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение.

Глава 1. Задача о разладке точечного процесса.

1.1. Обзор приложений математического моделирования для задачи о разладке.

1.2. Модель задачи с одной разладкой.

Глава 2. Задачи со множественными разладками точечного процесса.

2.1. Оценка числа разладок в задаче со множественными разладками и известными коэффициентами интенсивности.

2.2. Альтернативная оценка числа разладок в задаче со множественными разладками и известными коэффициентами интенсивности.

2.3. Сравнительная характеристика двух методов оценки числа разладок точечного процесса.

2.4. Оценка моментов разладок в задаче со множественными разладками и известными коэффициентами интенсивности.

2.5. Модель задачи со множественными разладками и неизвестными коэффициентами интенсивности.

Глава 3. Имитационная модель расчета эффективных мероприятий по повышению безопасности полетов в гражданской авиации.

3.1. Статистика авиационных инцидентов и происшествий и безопасность полетов.

3.2. Анализ имитационной модели для статистики авиационных инцидентов и происшествий за 1988-2006гг.

3.3. Анализ имитационной модели для статистики авиационных инцидентов и происшествий за 1988-2006гг. относительно числа полетов.

3.4. Выводы главы 3.

Глава 4. Численные методы и комплекс программ.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость определять, в какой момент времени произошла смена характеристик изучаемого объекта. Решение такого рода задач сводится к обнаружению моментов разладок случайного процесса. Методики подобных исследований представляет собой стохастическое описание и компьютерную имитацию. Для изучения отдельных механизмов и систем в целом применяется математическое имитационное моделирование.

Классическая задача с разладками сформулирована еще в 60-е годы А. Вальдом [8] и А.Н. Ширяевым [53]. Далее это направление развивалось в работах Э.Л. Пресмана [45], Г. Роббинса [47], а на сегодняшний день развитие этой задачи отражено в работах M.JT. Николаева [42], В.В. Мазалова [35], Г.И. Салова [79] и др. В качестве прикладного применения традиционно рассматриваются технические области науки. Также в последнее десятилетие появился ряд статей, посвященных применению задач о разладке в биологии и медицине. Принято выделять следующие два класса теоретических задач:

• анализ основной и альтернативной гипотез о наступлении момента разладки;

• численное определение вероятности появления момента разладки к определенному времени.

В диссертационной работе сформулированы задачи, относящиеся к другому типу - системы оценивания самих моментов и уровней разладок считающего процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров на основе минимизации функционала, диффузионных методов и аппроксимации. В качестве объекта применения рассматривается организационно-техническая система. Такого рода задачи являются новыми и недостаточно исследованными как теоретически, так и в прикладных работах. Актуальность этих задач также обоснована востребованностью в широком круге практических исследований.

Традиционно проблеме безопасности полетов в гражданской авиации уделяют большое внимание. Важную роль в обеспечении безопасности полетов играют такие организации, как ICAO (ИКАО,

Международная организация гражданской авиации) [38], МАК

Межгосударственный авиационный комитет) [36], IATA (ИАТА,

Международная ассоциация воздушного транспорта) [37]. Каждый авиационный инцидент и происшествие расследуется специализированными комиссиями, выявляющими неточности и необходимые дополнения в летных инструкциях, правилах, допусках и т.п.

На основании этих результатов и по состоянию безопасности полетов в мире предлагаются меры, направленные на снижение аварийности в будущем. Однако возникает вопрос — насколько эффективны были те или иные меры. Достаточно сложно судить о качественном влиянии таких нововведений как до их принятия, так и после. Часто мнение экспертов дает лишь частичное представление об эффекте от планируемых или принимаемых мер, тогда как в диссертационной работе разработаны методы как количественной, так и качественной оценки. Целью всех мероприятий по повышению безопасности полетов является снижение числа или полное исключение авиационных инцидентов и происшествий.

Таким образом, показателем результативности мер или отсутствия таковой может быть снижение или, соответственно, увеличение авиационной аварийности, т.е. изменение скорости роста числа авиационных 5 инцидентов и происшествий. В таком случае моментом смены характеристик является момент разладки.

В качестве статистического материала в прикладном исследовании данной работы рассматривается авиационная аварийность в гражданской авиации за 1899-2006гг. по данным службы ASN (Aviation Safety Network) [63].

Разработанные в данной работе математические и имитационные модели позволяют оценить моменты разладок случайных процессов, а для рассматриваемой статистики - судить о качественном влиянии мероприятий по повышению безопасности полетов по оцениваемым уровням разладок, и, следовательно, позволяют определять их эффективность.

Таким образом, объектом исследования являются точечные процессы с разладками, которые могут в приложениях играть роль считающих процессов. Математическое и имитационное моделирование и решение задачи оптимального оценивания моментов разладок случайного процесса и их характеристик на основе разработанных численных методов является предметом исследования.

Целью диссертационной работы является разработка стохастических математических и имитационных моделей процессов с разладками и их анализ для построения оценок моментов разладок и их характеристик, а также разработка численных методов и алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня. Для достижения поставленной цели исследования г" рассматриваются три модели. Первая модель основана на задаче с одной разладкой, для которой построена оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка. Вторая и третья - модели со множественными разладками 6 и, соответственно, известной и неизвестной группой параметров исследуемого объекта. Проводится также теоретическое и численное исследование, посвященное альтернативному изучению второй модели методами диффузионной аппроксимации для оценки числа разладок точечного процесса.

В работе используются методы математического моделирования дискретных систем, методы математического анализа, методы объектно-ориентированного программирования. Математические модели и методы разрабатываются в семимартингальных терминах. Выбор параметров моделей осуществляется исходя из известной информации о моделируемом объекте. Определение неизвестных коэффициентов проводится с использованием методов аппроксимации и оптимального оценивания. Для программной реализации алгоритмов используется аппарат численного математического моделирования и пакеты прикладных программ компьютерной математики.

Все основные результаты настоящей диссертационной работы являются актуальными и новыми. В работе предложены новые модели определения оценок моментов разладок и их значений. Доказаны новые теоремы и утверждения об оценке и приближениях моментов разладок. Разработаны численные методы оценки числа разладок, а также самих моментов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теорема об оптимальной оценке момента разладки точечного процесса.

3. Математические модели систем обнаружения моментов множественных разладок случайного процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров.

4. Численные методы вычисления оценок моментов разладок и алгоритм, их реализующий. Разработанный комплекс программ для исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и доказательств теорем, использованием аналитических и численных методов расчета, методов математического моделирования и применением современных методик экспериментальных исследований. Результаты прикладного применения диссертационной работы привели к выводам, совпадающим или близким к открыто публикуемым мнениям экспертов ICAO, IATA и др., что также является косвенным подтверждением достоверности разработанных моделей.

Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут найти применение в исследованиях организационно-технических систем. Разработанные программные процедуры численного моделирования могут быть использованы для исследования различных математических моделей задач с разладками считающих процессов.

По теме диссертации опубликовано 8 работ [7,11-18], в том числе 6 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Диссертационные исследования проводились при поддержке грантов РФФИ: проекты 06-01-00338 и 08-01-97009.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 81 наименования источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту:

2. Выведены оценки числа разладок точечного процесса с помощыс**" минимизации функционала потерь и методами диффузионной: аппроксимации.

3. Реализованы математические модели систем оценивания значений самих моментов и уровней множественных разладок случайного процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров.

4. Разработаны численные методы вычисления оценок моментов разладок и алгоритм, их реализующий, а также комплекс программ для исследования созданных моделей и рассматриваемой статистики.

Выводы и заключение

В диссертационной работе разрабатывались и исследовались модели точечных процессов с разладками, численные методы оценок количества произошедших разладок за рассматриваемый период, а также оценки самих моментов и их уровней. Проведен анализ по выявлению эффективных мероприятий по повышению безопасности полетов на основе статистики авиационных инцидентов и происшествий за 1988-200бгг. по данным службы ASN (Aviation Safety Network).

Традиционно проблеме безопасности полетов в гражданской авиации уделяют большое внимание. Важную роль в обеспечении безопасности полетов играют такие организации, как ICAO (ИКАО, Международная организация гражданской авиации), МАК (Межгосударственный авиационный комитет), IATA (ИАТА, Международная ассоциация воздушного транспорта). Каждый авиационный инцидент и происшествие расследуется специализированными комиссиями, выявляющими неточности и необходимые дополнения в летных инструкциях, правилах, допусках и т.п. На основании этих результатов и по состоянию безопасности полетов в мире предлагаются меры, направленные на снижение аварийности в будущем. Однако возникает вопрос - насколько эффективны были те или иные меры. Достаточно сложно судить о качественном влиянии таких нововведений как до их принятия, так и после. Часто мнение экспертов дает лишь частичное представление об эффекте от планируемых или принимаемых мер, тогда как в диссертационной работе разработаны методы как количественной, так и качественной оценки. Целью всех мероприятий по повышению безопасности полетов является снижение числа или полное исключение авиационных инцидентов и происшествий. Таким образом, показателем результативности мер или отсутствия таковой может быть снижение или, соответственно, увеличение авиационной аварийности, т.е. изменение скорости роста числа авиационных инцидентов и происшествий. В таком случае моментом смены характеристик является момент разладки.

В диссертационной работе сформулированы задачи, относящиеся к новому типу — системы оценивания значений самих моментов и уровней разладок считающего процесса с известными и неизвестными множествами переключаемых параметров на основе минимизации функционала, диффузионных методов и аппроксимации. В качестве объекта применения рассмотрена организационно-техническая система. Такого рода задачи являются новыми и недостаточно исследованными как теоретически, так и в прикладных работах. Актуальность этих задач также обоснована востребованностью в широком круге практических исследований.

Адекватность модели достигнута не только за счет строгости постановок задач и доказательств теорем, использования аналитических и численных методов расчета, методов математического моделирования и применения современных методик экспериментальных исследований, но также результаты прикладного применения диссертационной работы привели к выводам, совпадающим или близким к открыто публикуемым мнениям экспертов 1С АО, IATA и др. Модели разрабатывались в семимартингальных терминах. На основе приведенного алгоритма разработан комплекс программ рассмотренных моделей и методов.

1. Авиационный форум Электронный ресурс. : форум. - Режим доступа: http://aviaforum.ru

2. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. -М.-Наука, 1977.-351 с.

3. Васильченко, С. Г. Алгоритм обнаружения моментов разладки случайной последовательности / С. Г. Васильченко // Фундаментальная и прикладная математика. - Том 8, вып. 3. -МГУ, 2002.-С. 655-665.

4. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Главный редактор Прохоров, Ю.В. - М. : Большая Российская энциклопедия - 1999. - 910 с.

5. Волков, А. А. Подходы к оцениванию моментов разладок точечного процесса / А. А. Волков // Ученые записки УлГУ. Сер. «Математика и информационные технологии». - Вып. 2 -Ульяновск, 2009. - С. 124-132.

6. Волков, А. А. Стохастическая имитационная модель многостадийного старения / А. А. Волков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Том 14, вып. 1. - М. : ТВП, 2007. - С. 99.

7. Воробейников, С. Э. Процедура обнаружения разладки процесса авторегрессии с неизвестной дисперсией шумов / С. Э. Воробейников, Н. А. Медер // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Том 8, вып. 2. - М. : ТВП, 2001. -С. 560-561.

8. Все авиакомпании России будут проходить аудит IOSA, независимо от их членства в IATA Электронный ресурс. : новости. - Режим доступа:http://www.aviakompas.ru/news/307.html

9. Робине, Г. Теория оптимальных правил остановки / Г. Робине, Д. Сигмунд, И. Чао. - М. : Наука, 1977. - 168 с.

10. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. - М. : Наука, 1977. •

11. Гориянова, Е. Р. Знаковые критерии в модели скользящего среднего / Е. Р. Гориянова, В. Б. Гориянов // Вестник МГТУ, 2008.-№1.-С.76-86.

12. Деллашери, К. Емкости и случайные процессы / К. Деллашери. -М. : Мир, 1975.- 192 с.26.27.28.29.30.31.32.33.

13. Дынкин, Е. Б. Управляемые марковские процессы и их приложения / Е. Б. Дынкин, А. А. Юшкевич. - М. : Наука, 1975. -172 с.

14. Жакод, Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. - Том 1, вып. 2. - М. : Физматлит, 1994. - 544 с.

15. Жданов, Д. А. Моделирование порога в последовательной задаче о разладке / Д. А. Жданов, Г. Ю. Сафронов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Том 10, вып. 1. - М. : ТВП, 2003.-С. 151-152.

16. Крылов, Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа / Н. В. Крылов. - М. : Наука, 1977. - 400 с.

17. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов / Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. - М.: Наука - 1974. - 696 с.

18. Липцер, Р. Ш. Теория мартингалов / Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. - М.: Наука, 1986. — 511 с.36.37.38.39.

19. Николаев, М. Л. Об оптимальной многократной остановке марковских последовательностей / М. Л. Николаев // Теория вероятностей и ее применения. - Том 43, вып. 2. - М. : ТВП, 1998. - С. 374-382.

20. Универсальная программа ИКАО по проведению проверок организации контроля за обеспечением безопасности полетов Электронный ресурс. : Министерство транспорта Российской Федерации. - Режим доступа:http://www.mintrans.ru/pressaЯKAO2.htш

21. Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. - М. : Наука - 1989. —-640 с.

22. Ширяев, А. Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке. / А. Н. Ширяев // Теория вероятностей и ее применение. - Том 10,49505255.56.57.58.59.60.61.62.63.вып. 2. - М.: ТВП, 1965. - С. 380-385.

23. Aviation Safety Электронный ресурс. : журнал. - Режим доступа: http://www.aviationsafetymagazine.com/

24. Nedumaran, Cunabushanam Identifying the time of a step-change with x2 control charts. / Cunabushanam Nedumaran, Joseph J. Pignatiello, James A. Calvin // Qual. Engl. - 2000-2001.- 13(2). - P. 153-159.

25. NTSB - Aviation Электронный ресурс. - Режим доступа:http 7/www.ntsb. gov/AVI ATION/Aviation.htm

26. NTSB reports decrease in aviation accidents in 2004 Электронныйресурс. : Airline Industry Information Articles. - Режим доступа:http://findarticles.eom/p/articles/mimOCWU/

27. Yoshida, Y. Optimal stopping problems in a stohastic and fuzzy system / Y. Yoshida, M. Yasuda, J. Nakagami, M. Kurano // Mathematics, Analysis and Applications. - 2000. - 264(1).