автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обнаружение ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ университет

Р Г Б ОД

УДК 310.27

п ЯНВ 19С:3

ТКАЛИЧ Татьяна Алексеевна

ОБНАРУЖЕНИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ВО ВРЕМЕНИ РАЗЛАДКИ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА

Специальность 03.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов а научных исследованиях.

АВТОРЕвЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Минск - 1Э94

Работа выполнена в НИИ средств автоматизации г. Минска и Санкт-Петербургском государственном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор фиэ. -мат. наук, профессор СПГУ Жиглявский А. А.

официальные оппоненты

Ведущая организация

Апанасович В. В. доктор Ф. -м. наук, профессор БГУ Поттосина С. А. кандидат Ф.-и. наук, доцент БГУРИ Институт математики Академии наук Респувлики Беларусь

Защита диссертации состоится " " Л'сСО '„'<-/ 1993г.

в час. мин. на заседании Специализированного

совета

Адрес: г. Минск, пр. Ф. Скорины, 4 гл. корп. . яуд. 208.

С диссертацией можно ознакомить^ л в еиблиотеке Белгосуниверситета. Автореферат разослан ' > 19Э4 г.

Ученып секретарь Специализированного совета

г.рофсгссор ' Скрипни* В. М.

ОБДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Работа относится к научному направлению применения прикладных задач математической статистики в радиотехнике, радиофизике, технической диагностике и других областях. В частности, рассматривается задача оенаружэния ограниченной во времени разладки пуас-соновского процесса передачи сообщений в системах обмена данными в реальных условиях.

Разладкой называется скачкообразное изменение свойств случайного процесса, происходящее в неизвестный момент времени т. ОС пая постановка задачи обнаружения разладки состоит в проверке гипотезы Ц, о стационарности "лучаяного процесса на интервале

наблюдения С О,п) против альтернативной гипотезы ^ о кусочной стационарности указанного процесса и оценке момента разладки т. где тоСО.п). С учетом приведенной постановки задачи строится вероятностная модель, вид которой зависит от полноты априорной информации и используемого алгоритма оанаруз»ния разладки.

Задача обнаружения момента изменения свойств случайных последовательностей впервые расоатривллась Г. Рубимым и Е. С. Пеяджем как задача обнаружения изменения математического ожидания. В дальнейшем в работах К. Кокпа, Е. С. Пепяка,Л. Н. Ширяева и И. В. Никифорова были развиты оптимально алгоритмы исследования случайных процесс оз. Больпоп вклад в теории обнаружения моментов изменения свойств многомерных последовательностей и сигналов снесли работы в. А. Котэльни-кова. Б.. Р. Левина, Ю. Г. Сое улика и других.

При исследовании случайных процэссса намзолгк» эо»ективиыми и удобно реализуемыми язляотся кэтода апостериорного и г.оследовягольио-го подходов, а также "иеклассическиэ" кнута/ги - локального разложения логариема отношения правдоподобия, мадифяцирозатьыя алгоритм кумулятивных сумм, теста с использованием асикятотичэскоя аппровсикшкн.

Хотя задача обнаружения разладки и является достаточно популярной, появление новых теоретических рвзулътатоэ почти но отражается на методах построения котерэтиьи систем управления, обнаружения сигналов, диагностики и т. д. взиду того, что эта задача Фигурирует как теоретическая для оеовдамиоя пежлояооэггмьмостм независимых одинаково рас преда лгмных случгшнна величии, а з гачоегм примера зачастую используется гауссовсксэ распределение. В сетти с этик актуальным направлением исследования являо-гсч рпзрвйотгл и

исследование алгоритмов обнаружения разладки для конкретной вероятностной модели сложной системы. Это связано с актуальностью задачи изучения свойств процессов в систе :ах передачи данных и динамических систе.«ах, находящихся под воздействием помех. Особый интерес представляет случай, когда процессы в динамической сш теме описываются законами Пуассонг Это относится к системам передачи данных, радиотехническим и радиолокационным системам и т. д.

В диссертации рассматривается задача разработки и исследования методов обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса и применения теоретических результатов для обнаружения ограниченной во времени разладки процесса передачи сообщений, описываемых законом Пуассона, в системах обмена данными ССПДЭ в реальных условиях.

Основные цели работы.

1 Разработка и исследование методов обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса в условиях как полной, так и неполной априорной информации, для потоков различной степени интенсивности.

2. Разработка методов расчета вероятностей ошибок обнаружения и среднего врек-ни наблюдения, расчета оптимальных порогов.

3. Подтверждение преимуществ разработанных методов.

4. Построение ИМ1 гац: жнои модели и разработка пакета прикладных прогрзмм обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоно. ско-го процесса. . •

3. Проверка разработанньюс методик на реальных данных.

•

Для достижения ..оставленных целей в дис. ертации решспись следуктеие з-дачи:

13 сделан обзор существующих алгоритмов ог.чаружения разладки случайных процессов;

23 сФормулирована постановка задачи обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса;

33 построены следующие алгоритмы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса:

- в случае мглэвестного значения интенсивности до и после раз. здки:

- критерий Колмогорова-Смирнова и Крамера-Мизеса;

- метод оценки меняющегося во времени математического ожидания;

- тест с применением асимптотической аппроксимации;

- в случае известных значений интенсивности до и после раэладки>

- логарифм отношения правдоподобия;

- алгоритм кумулятивных сумм с прямым и наклонным порогом;

- в случае близких гипотез;

- метод асимптотического разложения логарифма отношения правдоподобия и модифицированным алгоритм кумулятивных сумм.

ЛЗ построены непрерывные аналоги алгоритма отношения правдоподо-вия и алгоритма кумулятивных сумм для прямого и наклонного порога; ВЭ проведено исследование разработанных алгоритмов обнаружения через вероятности ошиаок обнаружения и среднее время наблюдения; которые расчитываются с учетом трех способов интерпретации вероятности достижения порога пувссоновским процессом:

вероятности достижения прямого, наклонного и двустостороннвго барьеров;

- вероятности достижения экстремальных значений;

- вероятности достижения порога случайным блужданием пуассононс-кого процесса для одного и двух поглощающих уровней.

Расчет вероятностей ошибок обнаружения для апостериорного метода осуществляется для соиэмеримэго с длительностью разладки интервал» наблюдения и случая, когда длительность разладки много меныпе интервала наблюдения.

ОЭ проведен сравнительный анализ зависимости вероятностей ошибок обнаружения от величины порогового уровня для алоетериорного и последовательного подиодов и различных методов расчета лерстткссти достижения порогов;

73 промввно исследование зависимости среднего времени наблюдения от интенсивности потока и величины порогового уровня; 85 проведено исследование разработанных алгоритмов методом Наямане-Пирсона. для каждого из разработанных методов ресчетв вероятноете« ошибок обнаружения приведены способы расчета оптимальных порогов; в? исследована зависимость вероятностей овшбе* обнаружения от величины порога и зависимость значения оптимальных поросое от интенсивности пуассоновского процесса;

105 разработай"пакет прикладных программ применения методов обнаружения ограниченной разладки пуассоновского процесса с испслыо-панием статистического («зделирооания. проведен вмолиэ ееотввттжкя

в

эмпирических распределений пуассоновским. построена д верительная область оценки неизвестного параметра т;

11Э применение разработанных методов для оенару; ния разладки в реальных условиях.

Методы исследования. используемые для решения указанных задач, являются: математическая статистика, статистическое моделирование, предельные теоремы теории вероятностей, теория экстремумов случайных процессов, граничные задачи случайных блуждании, теория планирования эксперимента, численные методы и программирование.

Научная новизна

результатов, полученных в расоте. заключаются в следующем:

1. Разработаны методы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса в условиях как полной, так и неполной априорной информации.

2. Проведено исследование и оптимизация алгоритмов с учетом трех способов интерпретации вероятности достижения порога пуассоновским процессом.

3. Приведены варианты расчета среднего времени наблюдения и вероятностей ошибок обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоново то процесса для прямого и наклонного порогов и различ-личных интервалов наблюдения с учетом трех способов интерпретации вероятности достижения порога пуассоновским процессом, сделан расчет оптимальных порогов.

4. Проведен сравнительный анализ точности предложенных методов расчета вероятностей ошибок обнаружения, среднего времени наблюдения, исследована зависимость от величины порога и интенсивное ги.

3. Разработан пакет прикладных г. эграмм обнаружения ограниченной разладки пуассоновского процесса. При проведении статистического эксперимента для разработанных алгоритмов расчитана вероятность точного под-верждения момента появления разладки, определены доверительные области сценки неизвестного параметра т.

в. Теоретические результаты применены на практике для оценки по-мехоэаиииенности систем передачи данных между подвижными распределенными объектами с пу ссоновским потоком сообщений по каналам евчэи; для оценки помехозащищенности системы связи подвижных колесных тягачей с "едкоследующими потоками сообщений в реальных условиях; оценке помехозащищенности СПД распределенными объектами в высокоскоростных каналах связи для РБ.

Практическая значишсть. работы.

1. Разработаны и исследованы методы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса для полной и неполной априорной информации.

2. Приведен расчет среднего времени наблюдения последовательных алгоритмов обнаружения для прямого и наклонного порогов.

3. Приведены варианты расчета вероятностей ошибок обнаружения для прямого и наклонного порогов, при апостериорном и последовательном подходах, для соизмеримого и несоизмеримого с длительностью разладки интервала наблюдения для трех способов интерпретации вероятности достижения порога пуассоновским процессом, проведен расчет оптимальных порогов.

4. Проведен сравнительный анализ полученных методов расчета вероятностей ошибок обнаружения и среднего времени наблюдения, исследована зависимость от величины порога и интенсивности.

9. Создан пакет программ на языке Паскаль для применения методов обнаружения разладки пуассоновского процесса.

в. Работа выполнялась в соответствии с НИР "Контур", номер госрегистрации N B7Q29, 1090г. , НИИ средств автоматизации г. Минска.

7. Методы обнаружения ограниченной разладки пуассоновского процесса использованы оценки помехозащищенности систем передачи данных между подвижными распределенными объектами' с пуассоновским патокой сообщения по каналам связи; для оценки помехозащищенности системы связи подвижных колесных тягачей с редкоеледуюиини потоками сообщений в реальных условиях; оценке помехозагзитенности СПЛ распределенными объектами в высокоскоростных каналах связи для КВЛ РЕ.

Реализация результатов paft?m,.

Методы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса и пакеты прикладных программ используются в НИР "Контур", номер госрегистрашш 87U2Q НИИ средств автоматизации г. Минска; практическая значимость результатов работы подтверждена также документами Минского завода колесных тягачей и МП "Тодес" при Министерстве Внутренних Дел Республики Беларусь.

Основные завиваем« атшши

1. Методы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесс г-в условиях как полной, так к неполной априорной ни-«ЮринФориации.

2. Нотоды расчета вероятностей ошибок обнаружения.

9. Расчет оптимальных порогов.

Ч. Обзор результатов численного анализа зависимости вероятностей ошибок обнаружения, среднего времени нападения от величины порога.

Я. Анализ результат!, л имитационного эксперимента и применение теоретических результатов для оценки помехозащищенности систем передачи данных в реальных условиях.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на семинаг чх каФедр статистического моделирования Белорусского государственного университета, Санкт-Петербургского государственного университета, на Межреспубликанской конференции "Информатика-Эг" <г. МинскЭ, на Научно-технических советах Нии средств автоматизации. Минского завода колесных тягачей и НП "Тодес" при МВД РБ.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано семь работ, указанных в списке литературы диссертации.

Объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех'глав,содержит 300 страниц машинописного текста, 43 графиков, 34 таблицы, список используемой литера", ры в 115 наименований и два приложения на 24 страницах.

Содержание работы.

Во введении пгчводится обо нование актуальности рассматриваемой задачи, цель проведенных исследований, кратко излагается содержание каждой из глав диссертации.

ГЛАВА I.

Методы обнаружения ограниченной во времени разладки

пуассоновского процесса В данной главе приводится седая Формулировка задачи и рассматриваются области приложения задачи обнаружения ограниченлой во времени разладе:! пуассоновского процесса в радиотехнике, контроле технических процессов, теории сигналов; приведен анагчз существующих м^тсдсо обнаружения разладки случайных процессов.

Постановка задачи обнаружения ограниченной разладки пуассоновского процесса состоит в следух^м:

пусть задан процесс Г СО. значениями которого являются неотрицательные целые величины х , определенные при <1 .<.. <<. , при-

I О 1 г»

рлземия Дх независимы и распределены по закону Пуассона с интен-еиз-честыэ \, причем - постоянно. В этом случае задача

обнаружение ограниченной разладки сводится к лрооорко двух гилотел

II : х , 1*1...... - нозаомсимыо дискретные оди аково распроде-

о 1

лс! нио случаиныо величины СИДОРЭ с законом распределения п IX ДС

г> п I . I

Р П , ' - О 1 »

0 «Ах I

«

х(, ,. .. . г - ПЛОТ с законом распределения

г [\,М,1)Л*1 . ..

Г - П ■•'

1 )-» |Лх З! С1 Э

I

х.,1»г«1.....г*Т - НДОРс законом распределения

I А

г»т А», . 1 » . ..

Р = . П —4-4т-х г ♦» >¿х >1 '

I

х^.|-г«Т<1...... - НДОРс законом распределения

п С\ ЛЪ.]^! . г. ™ «I -к IX..

р » п ---- Г" — е 1 ¿'

1 J^r•I»l 1 Ах Э I '

J

Здосы ^

- интенсивность ра(_ -матрипаомэго пуассоноеского процесса, Х^ - интенсивность пуассоноеского процесса в момент разладки. Т - длительность разладки, О 5 I < п. Тробуется определить т -неизвестный момент появления разладки, 0*г£п~Т.

Зада'и решается методами обнаружения ограниченной разладки случайных процессов и адаптицми их к данной постановке задачи. Для получения »ффоктивных алгоритмов, оптимизации их работы на заданном множество параметров, учета статистических свойств наблюдаемого про» цос с а и априорных данных разработаны конкретно® влогоритми обнаружения ь.~раничснной во времени разладки пуассоноеского процесса в условиях полной и неполной априорной информации:

- непараметрические ^«етодц;.

- критерий Колмогоровагс^ирнора. который в случае спреведлмвостм гипотезы Н имеет вид:

о ....... —

{ *ур |СК С^Л» >. где Ь - / - 0.0 1п~п~,. <2>

- аналогично критерия ДрамерагМизеса имеет сил

о ,

С »ир / СС£_$х5-1^С50ЭГ <Ах 5 Ь>, С3>

Г п

гдо Ь - / - б~.0 1пСа/ЗЭ УтГ~п~ . СХЗЫЧИО оретжмзог в-О.ОЗ; «нпирмчоссна Функции ркливампжня найлевккй >еиюм

1-ги » 4-» I ii.ru I

иьгтол №ия»лргпся ро в{.>е«ени катейчтичесютго озмязюр):

а

iup <' r \ t dt + г к i ai - t Г к t at> >ь, соэ

rJ» ri-г-Т J » T -> i '

г o r»r r

гдо h • X и оценка интенсивности равна

x -x A x-x+x -x ^ e t«t _t_ ^ =_n г<т t o^

i T ' i n - T

- с использованием асимптотической аппроксимации для статисти-тнки, лоллыценея норнярооашюй разностью между средними значениями ннтонсишюсти на интервалах СО.т>,Ст+Т,пЭ и Ст.т+ТЭ:

_ níd-cS nCd-c!>

где s - —. 0£c<s<s.<d£l ;

r> • n 1 '

ПСjD • число сооыгии, которое лучается на интервале tO.nl; г - момент появления разладки.

Определение момента разладки ocnoDUDao-гся на анализе выражения: DC с • d; а, b) "sup <YCs;c,d)/CrKdD - СПСс:>Э«'*>. С7Э

Статистика рассматривается на четырех интервалах времени: t0,пЗ. (О.тЗ. Ст.иТЗ i С т +Т, пЗ. D случае справедливости нулевой гипотезы имоом высорки случайных величин с одинаковым законом распределения длл ос ох интервалов наблюдения, в случав гипотезы Н^ имеем одинаковое распределение статистик на интервалах СО, тЭ и Ст+Т, пЭ. Теорема- П-и п-»а> и т-«ю оценки момента появления разладки

О,- igf{s:YCs;0.1>=sup YCu;0,i:> свэ

" с л " л

К » - • т "£>, ■ п. г «• х v « ч

т 1 i г , i т«т

состоятельны. независимы и имеют асимптотическое распределение:

Л Л Л л СЭЭ

(\7Т Си,.JJC0 13. Вероятность ложной тревоги расчитывается по Формуле:

где с - пороговый уровень, с«,»1 /£<Ь,С1 -/а, С 1 -Ь.Э> ,

где i соо-11 /гепзуот порядковому номеру максимальной из статистик на рас с ьЕэтрипземих интервалах временно).

- логарифм отношения правдоподобия ;

т»т и

»АХ ln ЗСХ ,т5 =ТСХ -п « 1пСХ А) Гх <* h . или СЮ

( i ti a i. ** i н »

i»r»« о '

т« т ¡I

bwx ln IX.v ,тЭ » Г X < * h i г ** v « » 1

.-TU о

rn.ii h » th < тех >Ь1пСХ Э i

i Л t 2 1

iictii-uiieiuiúM аппроксимации пyacооновского процесса еинерогас-

Ii

mim и rayccobcmim процессами г ♦ т и

- УХ Т - D__ "h . С135

т>со < : -УХ т - D

при h » th * ТСХ )]/1пСХ /X

а 2 1 ж 1

CA A3

г -' СТЛ^-ТЛ" #15 H Dr <0.1 - |1 - т|>;

sCtJ - реализация raye с odc к ого процесса с параметрами МСО.Т5.

- алгоритм кумулятивных сумм С ПРЯМЫМ порогом: „

g, - в, —1 п Х-Сх - х 5 -1г> Х.Сх - х > + \,Т - Х.Т. »* С1ЭЭ "к#т к• 1 z ти т 1 г#т т 1 » < h

"о

при h, » th « ТСХ, -X, ЭЬ'1пСХ,/Х, э; или о оидо непрерывного аналога: г « т II .

g « а • ЕзССЭ {* - /> Т- В -h , СЮ

k#i к , II УХ i Г.Т »'

* " Urti О 1

Df / Т <0,1 - |L - т|>;

- алгоритм кумулятивных сумм с наклонным JQporoMp

tu

ПС Ю «maxi ГС О ~,о1л{Ск>) <'h . o£l£r> o<t<r> о

Значения распределения *<х,0 - плотности вероятности достижения

кумулятивной суммой барьеров О и h с учетом трех способов интерпретации вероятности достижения порога пуассомовсккм процессом равны: аЭчороэ плотность вероятности достижения порога

♦<х.О- Î- в"" "Хр iX«1 СХ +х - 1Э> <1в>

А, 1

65с учетом вероятности достижения пуассонооским процессом экстремальных значений:

♦Лх.О - <»'1"\* Ce"1 -l>Cl*lr>aVV 5 »" С17Э

вЭ учо"эм вероятности достижения порога случайный олуждаиивм пувс-соноиского процесса: ^ Xit

С135

, -X.i -i r a>Xi-u „ iiXi-u , X» ClOÏ

f<x.O " о ' о Ce -2X,-e -1J C» -1>#

Для АКС с прямым и наклонным порогом расчет среднего вромюни

наблюдения ос увюс тиля&тся следуюолм образом:

LCX.5 - Е CL|X,5/C1-P СХ,Э5, <10>

г до Р СХ Э - вероятность достижения пороса расчитываются и»| * о h

Р СХ 5 ~ JÏCy3dv * ]>Су5ГСyldy,

- и» о

Е Ct|Х,5- С-Р СХ,> »hCl-Р СХ,Э5^ Б C40t|X*7. В диссертации интегральное урввнони® Фродтолыа алпрожсювсруе-гся следующим образом:

Р СХ, > Ч А"# D о^, <20>

где А <ГСМ PC 05®'"'o"''V' В « СРСОЭ ГОО-1'! - \

ГСОЭ - 1 - о~\\ Оорштюсгк аостмюпип порога РСЬЗ расчитивается рассмотренными

вилю тремя способами. Такжо проводится численник анализ зависимости сродного времени наблюдения от порога и интенсивности. - метод локально-всии.. готического анализа;

в случао близких гипотез и при выполнении гипотезы Н при л -» да

о

логарифм отношения правдоподобия ZCX.O принимает вид: Inz СХ.гЗ - !„«♦ ^Сх^-х^ - -¿"т;

в случае близких гипотез и при l лоливнин гилоггвэы Н^ лрн п Я» м

величине постоянной отношение правдоподобия ZCX,t3 принимает следующий вид: ш ж

Jn Z СХ *,т*3 - 2Х? + х!?2 + ln-Н » • " С\ 3 - С22Э

Г» 2 Aj Т

сх -х Зг* -С\ Vr 2XÍ '

гдо и f - независимые случайные переменные, имеющие соответственно законы i. определений NCO.X 3 и НСО.Х^Э;

)lf» - пуассоновский процесс с интенсивностью Х^на интервале З-оо, 01 и интенсивностью X на интервале Г О. си(,

D случае Mj/jxhx гипопуэ , при п т и CX^-X^Í-» величине

постоянной И"оот мосто следующее выражение для кумулятивной суммы:

zlc х'.х'^х.з* гх \ ♦ х* с + in н « - ^h-?'. сгзз

i i » i í J Хг т Х4

» ex *з*

СХ X Зт - -^г-У , где ¿X - fiWl,

i a X, 1 I »

ft. Г^ , М^.* определены выше.

Дэлыюйтое исследование алгоритмов проводится с использованием вероятностей ошибок обнаружения и методами статистического моделирования.

ГЛАВА. II

Гасчет вероятностей овибок обнаружения и проведение численного эксперимента

Do второй гллво проводится расчет вероятностей ошибок обнаружения.

Воро.тпгость ошибки первого рода определяется следующим образом:

ь оо

c<W - fóCx Эр Сх ЗЫх ♦ f р Сх ЗсЬс СЗ+З

J ъ о о о о J о о о т

О) h

гдо С^Сх^З условная вороятность превышения порогового уровня, poi • ¡muoaeioíi с учетом свойств траекторий пуассоновского процесса. Для A.rapH¡J*W 07!,1С)ен>!Я правдоподобия вероятности ошибок обнаружения гч»счкты&лются для соизмеримого с длительностью разладки интер-

Вала наСлюдения Н- и несоизмеримого Н- "~Т»1 • Вероятность

ошибки первого рода для интервг пов наблюдения Н<1 расчитывается по ело дующим Формулам:

аЭ с учетом плотности вероятности достижения порога:

аСЬ.ГО- Ь е"\М 11 ♦ СЭЗЭ

63 вероятности достижения экстремальных значений: .

-X ы Г СХ ЮЬ -X м МСХ м •>

аСЬ.ГО- Х4Ье * 1г - ехр в 1 ЗС1 - ^ е + 1п2|;С2вЗ

вЗдостижения порога случайным блужданием пуассоноеского процесса:

2СХ4-1Э Ь ,

аСЬЛО - ЬС 2 ---г- е 1 ЭХ, е » . С37Э

oCh.nO % оСЬ. 15 + О-аСЬ^ЗЭС!-/^ *Э> С28Э

Для интервала наблюдения К»1 вероятность ошибки первого рода равна:

oCh.nO % оСЬ где для случая аЗ: V ^ Х4 Ь для случая 63: и А: 1 - е 1 Ь для случая вЗ:

и % X Ь е **С1-Х3 Ь е ^ 1 1 '

С203

р А: 1- в \ Ь Г 1- ехрС! - в\ ЗЬ С1 - в*» + 1пЗ]* СЗОЗ

-.Г, » ---Xе- \а . -X С313

М =2ЬС1 - г--е » 3 X е «

л, 1

Формула расчета вероятности ошибки второго рода имеет вид;

1 - /ХЮ = Р <хСЬЗ>Ь + Вг хотя бы при одном teCO.ii]>. С323

При этом вероятность пересечения порога к уму .г тисной суммой РСхСЪЗ) < также расчитывается с учетом свойств траектории пуассоновского процесса и анализа границ интервала наблюдения. 6 случае с учетом вероятности достижения порогового уровня:

/Xh.M3-.l- е'^ «-т»-Ь»хА1Свг^« С333

+ СЬ-уУТ С1-тЭЗ;

- с учетом вероятности достижения пуассоновскин процессом

экстремальных значений:

, _ . ^г . ы<1-Х.>»1 -Сь-хУг «-ГО/-Х, С343

/КЬ.Ю'Х^е » СЬ-^УТ (1-тОС1+ е * е 1

Г* .Л СХ МЗЬ -X и НС\ ЮгЬ 5х«'

Се 1 1]охр С-Н---¿г о *> С 1--21ТГП---— * 1п2]"»

- с учетом вероятности достижения порога случайным блужданием пуассонооского процесса:

а Сь-^тт и-тОе 1 о «Со

\,-1 ------>-4----и

С Г ______ г. Ч ч

Расчет вероятности ошибки второго рода для ш-порвала н»1

/ЗСЬ.Ю ~ где Р^ - вероятность недостижения порога СЗОЗ

на интервале С т.т +ТЗ расчитывается с учетом свойств траекторий пу-ассоновского процесса. Следовательно имеем:

- для случая аЗ

/За,.Н> - С1 - *+ X, е~Ч> > С37)

< К и «> \с1- \?1 3 3 и .т;

I 1 *

- для случая 63

ftch.it> •= 1-х45х, >-хл «ь«,--/; с за)

, гь -X .

С 1 - --Астст- + 1г»23С 11-/-УГ 3 + Хе »СЬ-у/Г Э> • ! п I 1

- для случая вЗ

^ХЬ.МЗ - <2Ь Х4е ж е »е ' »Се ' 1-11- СЗЭЭ

х1XI-1)

,С1 - о 3 СЬ-мГГ 3 + X СЬ-гУТ 3> •

X» ж

д»X1 - ч

.{ЬьС1 - е 3»)Х,е"Х1}М т.

Л я интервалов наблюдения Ж1 и М>>1 с учетом трех способов интерпретации вероятности достижения порога расчитаки оптимальные пороги,

да да 6Й

удовлетворяющие уравнениям -О и - О :

аЗ Ь»С 1 ■•ЗХ1Э^ЗХ1+Х4^ бЗоптимальныу порогов нет;

вЗ Ь-Х? ^2СХ1-131пСХ;^СХ,-1333. С<405

Исследована юиснмость величины оптимальных порогов от интенсивности. В результате оказалось, что Формулы расчета вероятностей ошибок обнаружен». ■ ч> х>з плотность вероятности достижения порога целесообразно применять для порогов а использование вероятнос-

ти достижения экстремальных значений пригодно для высоких порогов; использование вероятности достижения порога случайным блужданием л уос ооновского процесса целесообразно применять для порогов 1г£3 и в случае обнаружения разладки редкоеледупяих потоков.

ГЬ методу КУМУЛЯТИВНЫХ сумм вероятность ошибки первого рода

- с учетом вероятности достижения порогового уровня равна:

*П.З - 1СХ^ в'МзХ^Ь !1*Х1С1-«\1Зе1а"Х.'м С413

- с учетом вероятности достижения экстремальных значений:

. > _ . . 1 ( -X I . 111-Х . . , ,

-■«.Ш I, Л о 1 СХ,С - е 1 3 с 1 Се «-13» С423

. , ,СХи}' -\1Ц г. ЪСХиЗь ёХ»' .

•л е [1-ехрС-С —-е- >-[1- -—- + 1п21;

с учетом вероятности достижения порога случайным блужданием

XI,.., м-Х, >♦» -Ь^Х. , , С 433

аМ ' Ь I е | СХ^Ъ - е 1 3 е '1 Ге ■ -13. , 21X1-1>ь

• X I , - - ч эя— Ь

■ X о С е 15. 1 X,

Расчет вероятности ошибки второго рода для алгоритма кумулятивных сумм осуществляется по следующей формуле:

/ЗСЬЗ ~ РС1-аСЬЗЗ, где Р- вероятность недостижения ..орога; 2 2

- с учетом вероятности достижения порогового уровня определяется:

Г»-« \ Г* X И1-Х г ... Г А А*\

1- Х4С1-е « Зе 1 [е С443

-с учетом вероятности достижения экстремальных значений:

г, „_, СХиЗ1' -Хп, г, ¿СХ»ОгЬ К1-Х т. -Ь/Х С433

Р2'1 -ехр<-ч -у^у—е > С1--гНПГГ +1"2'в 1 Св 11>

-с учетом вероятности достижения порога случайным влужданием 21X1-1)

„ _ 1 1с1-Х>+1 г -ь/Х ,, С403

Р, = —с- е 1 3 е 1 [е 1-1 ]. 2 л,

С учетом трех способов интерпретации вероятности дости*.Л1ия порога расчитаны оптимальные пороги:

аЗ Ь=Х1/СХ,-13) 63 оптимальных порогов нот; С47Э

ьЗ Ь=1/С1 Х,хХ:2С1-Х1ЭЗЗ.

Исследована зависимость величины оптимальных -орогов от интенсивности. В результате оказалось, что формулы расчета вероятностей ошибок обн. ружония через плотность вероятности достижения порога целесообразно применять для порогов Ь<7, а использование вероятности достижения экстремальных значений пригодно для высоких порогов; использование вероятности достижения порога случайным блужданием пуасооновского процесса целесообразно применять для порогоя Ь<2,3 и в случае обнаружения разллдки редкоеледующих потоков. . Ь

«о

ЭО

го ю

Рис. ». Зависимость значений оптимальных порогов от интенсивности апл логлрн^« стюаюння праодоподобия С1 3 и ЛКС С23 с учотон дпу< спососоо интерпретации вероятности достижения порога 1а, 2а - вероятности достижения порогового урогнл; 1в.Со - ссоолтиости достижения порога слу-иямгл слухсзнисм.

Для АКС С наклонным ророгом расчет вероятности ошибок обнаружения осуществляется с учетом вероятности достижения порога размахом кумулятивной суммы по следующим формулам: аЗдля вероятности достижения порогового уровня

«СЬЗ

1

-XI < I -

гх* в 1 " Л» »

О для вероятности . остижения экстремальных значений

1-Ь^Х **

С403

.. 1 X I. X I

иг|0 ""—а,— е— » [е 1

.Ь -X I

ЬСХ10

•С1- ~— * 1п21Сехр<-1

Ь

СХ»1Э

» , , , СХ»0 -X I С >*хр<-С --е 1

С 403

ТГГ

I.

•в >> ■ II

2Ь -X к

их«сэ

4 1п2);

оЗ вероятности достиже .ия трога случайным блужданием

. ч ч

1-ЬхХ -X I . ""тг®—ь 'а-ьх » '[ I- • » 5 >•

. IX»

, 2<Х1-1> -X I .--ч-э— гЬ

аСЬЗ

1 X I, X I

в— 1 Се 1 -

СВОЗ

1

•С1 - 2ЬХ.о 1 I ^

1

» 3

Расч* г вероятности ошибки второго рода имеет вид

для случая аЗ (КЮ - С1 - -4

• ж ЗС1-

ч-т-

-2Х- в /

-X а-т>

. С31 5 >

для случая бЭ

. . .СХ»0Ь -XII. г, 1СХ»13гЬ ^КЫЗ - е. рС-С --е > -С1- "^¡^р- + 1пГ.)«

Ьм-Х на. -ь/Х

1 [е 1 С323

11 С1

аСЬЗЗ;

для случая вЗ

/ЗСЬЗ

С1 - аСЮЭС! -

о ю до «о

Рис. 2. Зависимость вероятностей ошибок 1 и 2 рода от Ь для логарифма отноаэиия правдоподобия С13, алгори.ма кумулятивных сунн с прямим С2" и наклонным порогом СЗЗ с учетом интерпретации:

1а.2а.За - вероятности достижения пор< -ового уровня;

1б.Сб.36 - вероятности достижения экстремальных значений;

1b.sb.3d - вероятности достижения порога случайным блужданием.

Также в этой главе приводятся сормулы расчь га сраднего вроьюни наб-лиасюп для алгоритма кумулятивных сумм с прямым и наклонным порогом для рассмотреиныа ранее трех вариантов расчета, приведена зави-

симость среднего времени наблюдения от интенсивности и величины порогового уровня. Сделано заключение, что с возрастанием интенсивности сроднео броня наблюдения уменьшается и принимает минимальные значения в области оптимальных порогов.

ГЛАВА 11т

Построение и исследование имитационной модели обнаружения ограниченной разладки пуассоновского процесса. В этой главе проводится разработка пакета приклаг'ых программ для оценки эффективности разработанных алгоритмов обнаружения ограниченной разладки пуассоновского процесса. ППП включает:

- имитационную модель пуассоновского процесса;

- программы статистического анализа эмпирического распределения на соответствие теоретическому согласно существующим стандартам;

- 'Программы, реализующие алгоритмы обнаружения разладки;

- программы расчета вероятностей ошибок обнаружения. Проводится статистический анализ эмпирических распределения с использованием критерия Колмогорова-Смирнова, у? и и*-распределения, метода наименьших квадратов. Эмпирические распределения согласуются с теоретическими с уровнем доверия 0,03; при построении аг-оритмов обнаружения разладки осуществляется проверка уровня точности подтверждения гипотез, который в среднем равен О, 33 и принимает максимальные значения в области оптимальных порогов. Производится расчет доверитэльной области оценки неизвестного момента разладки т. Результаты эксперимента представлены в таблицах и графиках.

Весь программный комплекс разработан в среде ШКВСРАЗСМ. Г 3. Разработанные алгоритмы обнаружения ограниченно" во времени разладки пуассоновского процесса применены:

- в НИР "Контур" НИИ средств автоматизации для анализа помехозащищенности сети передачи данных с подвижными распределенными объектами;

- при решении задачи обеспечения эффективной свя и СПД с редкоело-дующими потоками событий при проведении транспортных испытаний колесных тягачей в реальных условиях СМинский завод колесных тягачейЭ

- при решении задачи обеспечения помехозащищенности СПД с распределенными объектами с высокоскоростными потоками информации в реальных условилх для МВД РБ как а случае воздействия естественны» помех

- гроэошю разряды, так и в случае воздействия искусственных по ех. В результате проведения статистических экспериментов еыли примчноии разработанные алгоритмы обнаружения ограниченной во Бремени разлад-

В результате проведения статистических экспериментов выли применены разработанные алгоритмы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса и подтверждена целесообразность использования различных способов интерпретации вероятности достижения порога, обосновано применение нужных методов расчета вероятностей ошибок обнаружения и рчсчета оптимальных порогов в зависимости от интенсивности потоков сообщений и воздействия естественных или искусственных помех, доказано преимущество разработанных алгоритмов перед способами использования аппроксимации гауссовским процессом.

Таблица результатов статистических экспериментов

N екс Г - 0.8 Т - 33

•ПОП АКС лоп АКС

1 X,- 9,8 X,- 15,4 « -0,28 Р -0,24 Ь -3,0 ор1 а »0.13 р -0,19 Ь -4,3 орг а -о.озе р -0.082 Ь -142 ор 1 а -о.гг Р -0,21 -133 ор 1

X,- 9.0 Ха-12,4 а -0,08 р »0,013 Ь 1.8 ор 1 а -0,29 р «0,19 Ь - 1,3 ор 1 а -о.ога р -0.087 Ь - 330 ор1 а -0.092 Р -0,004 Ь - 333 ор 1

2 X,- 1.8 Х„- 2.4 а -0,12 р -0,083 Ь - 0.3 ор 1 а -О, 09 р -0.099 Ь - 0,3 ОР1 а -0,34 Р -0.22 »1-84 ор 1 а -0.1 р -0.23 Ь - В2 ор1

* X, ^19,0 Х„-19.8 а -0,12 р - 0,18 Ь - 3,3 орг а -0,17 Р -0.22 . Ь - 4.23 ор1 а 0.003 Р -0.189 Ь - 900 ор1 а -0.004 р -0.181 Ь • 800 орг

Практическая значимость результатов статистического эксперимента подтверждена документами.

Основное результаты диссертации.

1. Разработаны и исследованы методы обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса:

«Э при неизвестных интексивностях X до и после изменения - критерии, основанные на использовании тестов;

СЭ для обнаружения малых отклонений параметра интенсивности при гипотезах Но и Н,- метод асимптотического разложения логарифма отношения правдоподобия и модифицированный алгоритм кумуляп.яных сумм.

вЭ при и эестных значениях X, и X, - метод щенки меняющегося во времени математического ожидания, ме.эд отношения правдоподобия и алгоритм кумулятивных сумм с прямым и наклонным порогом.

2. Разработаны аналитические соотношение для расчета вероятностей ооибок обнаружения для соизмеримого и несоизмеримого с длительностью разладки и «Ятервала наблвдения с использованием следующих способов

интерпретации вероятности достижения порога пуассоновским процессом:

- вероятности достижения порогового уровня;

- вероятности достижения экстремальных значений;

- вероятности достижения порога случайным блужданием. Исследована зависимость вероятностей ошибок обнаружения от величины порога, расчитаны оптимальные пороги. Доказано, что

в области высоких порогов целесообразно применять Формулы, использующие вероятноеть достижения экстремальных значений, при обнаружении разладки редк осле дующих потоков событий наилуший результат ресчета вероятностей ошибок обнаружения дает метод с использованием вероятности достижения порога случайным блужданием пуассо-новского процесса.

3. Для последовательных алгоритмов обнаружения расчитано среднее время наблюдения. Исследована зависимость среднего времени обнаружения от порога и интенсивности.

4. Разработан комплекс программ для проведения имитационного эксперимента с использованием разработанных алгоритмов и методов их исследования и опробован на реальных данных. Доказано, -.го

среднее время обнаружения разработанных алгоритмов меньше, чем при использовании аппроксимации гауссовским процессом;

уровень точности подтверждения гипотезы об обнаружении разладки разработанными алгоритмами обнаружения равен С 7; а при использовании аппроксимации - 0,1.

Основные результаты и выводы. приведенные в диссертации. опубликованы в следующих работах:

1. Ткалич Т. А. Определение момента двустороннего изменения интенсивности пуассомовского процесса методом отношения правдоподобия.

// Вопросы радиоэлектроники, серия ОВ°.N 8, 1992г.

2. Ткалич Т. А. Определение момента двустороннего изменения интенсивности пуассоновского процесса методом кумулятивных сумм. // Вопросы радиоэлектроники, серия <?ВР, N 8, 1992г.

3. Ткалич Т. А. Методы обнаружения ограниченной разлада пуассоновского процесса в радиотехнических системах./^" Тезисы докладов Межреспубликанской конференции "ИнФорматика-Э2". Минск- ЕГУ, 1992г.

4-. Ткалич Т. А. Тест для определения момента двустороннего изменения интенсивности пуассоновского процесса . // Известия АН Беларуси, серия физ.-мат. наук, деп. Ы3015-ВЭ2 от 20. 10.92г.

3. Ткалич Т. А. Применение метода локальна-асимптптяческсго анализа для определения момента двустороннего изменения :!ктенскЕнсс ти г. /1С-

ооновского процесса . /V Известия АН Беларуси, серия Ф.-м. наук. дел. N3007-B92 от 21. 10. 92г.

в. Ткалич Т. А. Обнаружение ограниченной во времени разладки пуассо-новского процесса методом оценки меняющегося математического ожидания. // Известия АН Беларуси., серия Ф.-н. наук, деп. NS7-B93 от 14. 03. 93г.

7. НИР "Контур". Гос. per. N 87929 , 1990 г. /V Соавторы -Сысоев В. Д. . Волк об, А. Г. , Шарангович В. И.

"ЕЗВНЕ

Ткалич Т. А. Обнаружение ограниченной во времени разладки пуосооновского процесса.

Ключевые слова: пуасооновский процесс, разладка, длительность разладки, интервал наблюдения, процедура обнаружения разладки, вероятности ошибок обнаружения, среднее время наблюдения, оптимальные пороги.

Разработана процедура обнаружения ограниченной во времени разладки пуассоновского процесса.

Получены аналитические соотношения для расчета вероятностей ошибок обнаружения я зависимости от вида априорной информации, для расчета оптимальных порогов и среднего времени наблюдения.

Разработан пакет прикладных программ, реализующий разработанные алгоритмы. Подтверждена эффективность разработанных методов обнаружения разпадк л пуассоновского процесса. Пакет опробован для реальных данных.

SUMMARY

Hcallch Т.Д. The procedure of observation of the range-change of the Pols son process.

Key words: Polsson process, the time range-change, the moment of range-change. the length of change-range , the Interval of observation, the procedure of the change-range discovery, the average-tine of observation, the optimum levels.

The procedure of observation of the time change-range of the Poisson process has been developed. The anallytlc correlation for

calculating probabilities of errors discovery depending on the variety or a priori lnformarlon, for calculation of optimum levels and average time of observation has been obtained. The packet of applied programs realising the methods proposed has been worked out. It has been tested on real data and has confirmed the efficiency of the methods used.

Р Э 3 Ю H Э

Ткал1ч Т. А. ВыЯуленне часом авиажайанай разладцы пуасонаускага правде у. '

Ключавыя словы: пуасон&у* <1 лрацэс, разладка, час А* Яулення раз-ладды, працягласць разладцы, працягласць наглядання, працэдура вьг-я^глення разладцы, 1мавернасц! пакьшак выявления, сярэдн1 час наз1-рання, аптымальныя узроуШ.

Расирацавана працэдура Еыя$лення часова авмежаванай разладцы пуасо-на^скага працэсу. Атрыманы анал1тычныя суаднос1ны да разл1ку 1мавер-насцей памылак выяулення1 у залеяснасц! ад выгляду апрьйрнай 1нФармацы1, да pasniKy аптымальных" узр4>унйу 1 ся^эдняга часу наглядання.

Распрацавана пакдука прыкладных праграм, 'у Як1х выкарыстоуааны распрацазг 1ыя алгарьггны i апраеаваны на рэальных даных, тын самым пацвярджэна эфектыунасць распрацовак.