автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обнаружение разладок и оценивание параметров авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям

о л

п С- И Л '1 г'"! л

I 1; (ЛЬ: I

Иа правах рукописи УДК 519.2

Буркатовская Юлия Борисовна

ОБНАРУЖЕНИЕ РАЗЛАДОК И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ЗАШУМЛЕННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2000

Работа выполнена на кафедре высшей математики н математического моделирования Томского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент Воробейников Сергей Эрикович.

Защита, состоится "15" декабря 2000г. в 14 часов на заседании Специализированного совета Д 063.53.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "15" ноября 2000г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Демин U.C., кандидат технических наук, доцент Константинова Л.И.

Ведущая организация:

Белорусский государственный университет

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических нау доцент

Б. Е .Тривоженко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Процессы авторегрессни широко используются в анализе временных рядов для описания динамических систем. При зтом на практике встречаются ситуации, когда случайный процесс наблюда-зтся на фоне помех. Наблюдаемый процесс является процессом авторегрессни - скользящего среднего.

Одной из важных задач является оценка параметров авторегрессни. Возможны два подхода к оцениванию параметров процесса: оценивание по выборке фиксированной длины и последовательное оценивание. В первом случае свойства получаемых оценок изучаются в асимптотической постановке, когда объем наблюдений стремится к бесконечности. Представляет интерес получение характеристик оценок, построенные по выборке конечной длины. Это стало возможным с применением для задачи оценивания теории последовательного анализа Вальда, которая штерпые была использовала в работах Л.Л. Новикова, Р.Ш. Липцеран А.Н. Ширяева. Основным преимуществом последовательных методов перед апостериорными является возможность достижения гарантированной точности оценивания по конечной выборке. В.З. Борисовым и В.В. Коневым была предложена последовательная гарантированная оценка параметра авторегрессии, которая строится на интервале случайной длины. Оценка является несмещенной и обладает свойством равномерной ограниченности дисперсии. Этот метод является модификацией метода наименьших квадратов, следовательно, для построения оценки не требуется знание функции распределения шумов. Существенным ограничением предложенного метода, является то, что размерность вектора неизвестных параметров не должна превышать размерности наблюдаемого процесса. Кроме гого, непосредственное применение данного метода к процессу c. зависимыми шумами приводит к смещению оценки. В.А. Васильевым и В.В. Коневым эыла предложена двухэтапная оценка параметров процесса авторегрессии порядка р по зашумленным наблюдениям, основанная на корреляционном методе Юла-Уокера. Построенные оценки являются гарантированными. Однако, если последний параметр процесса равен нулю, процедура теоретически неприменима.

Таким образом, задача построения непараметрических гарантированных оценок параметров авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям является актуальной.

Одной из важных задач оценивания параметров является задача оцепи-

вания момента изменения параметров (момента разладки) случайных процессов. Существующие методы обнаружения разладки можно разделить на два типа: апостериорные и последовательные. При апостериорном подходе предполагается, что имеется реализация случайного процесса конечной длины, по которой необходимо обнаружить изменения свойств процесса либо оценить момент изменения. Как правило, характеристики предлагаемых алгоритмов изучаются в предположении, что объем наблюдений стремится к бесконечности. При последовательном подходе предполагается, что процесс наблюдается в реальном времени, и при поступлении каждого наблюдения принимается решение о наличии разладки к данному моменту времени. Г1рп этом возможны ошибки двух видов: принятие решения о наличии разладки до ее появления - ложная тревога, и запаздывание в обнаружении разладки. В данной работе изучаются последовательные методы.

Для решения задачи обнаружения разладки случайных авторегрессионных процессов разработаны различные методы: кумулятивных сумм, Гнршика-Рубана-Ширяепа, скользящей выборки. Существенным преимуществом метода скользящей выборки является его устойчивость к неточности априорной информации о распределении процесса. Свойства этих процедур изучены в асимптотической постановке, при неограниченном запаздывании в обнаружении разладки. С.Э. Воробейчиковым и В.В. Коневым разработана модифицированная последовательная процедура обнаружения разладки процесса авторегрессиц. Суть этого метода заключается в том, что решения о наличии разладки либо отсутствии принимается не па каждом шаге, а в случайные моменты времени. Выбор этих моментов гарантирует заданную вероятность принятия верного решения в каждом цикле наблюдений. Метод не требует знания распределения шумов процесса, так как решающие статистики строятся исходя из критерия наименьших квадратов. Непосредственное применение этого метода к зашумленным наблюдениям невозможно из-за зависимости между шумами процесса.

Таким образом, задача обнаружения разладок авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям является актуальной. При этом особенно важной является проблема качества этих процедур в неасимптотическон постановке. Представляет интерес разработка алгоритмов, обеспечивающих заданную вероятность принятия верного решения по конечному объему выборки.

Целью настоящей работы является разработка последовательных ме-

голов обнаружения момента разладки с заданными вероятностями принятия зерного решения и методов гарантированного последовательного оценивания тараметров случайных процессов авторегресспонного типа по зашумленным ¡аблюдениям.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы ис-юльзовались ме'шды теории вероятностен, теории случайных процессов, те-jpim матриц и методы статистического моделирования.

Научная новизна. В работе построена гарантированная последователь-гая оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка, наблюдасмо-о с помехами. Разработана последовательная процедура обнаружения раз-1адки авторегресспонного процесса по зашумленным наблюдениям, характеризующаяся заданными вероятностями ложной тревоги и ложного спокой-твия.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть применены таких областях, как геофизика, медицинская и техническая диагностика, оптроль технологических процессов, обработка сигналов.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсу-сдались на следующих конференциях:

III и IV Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной матема-ике (Новосибирск. 1998, Новосибирск, 2000);

Конференции молодых ученых Сибирского физико-технического инс.ти-ута имени академика В.Д. Кузнецова при Томском госуниверситете, носвя-(енной 70-летню института (Томск, 1998).

По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Структура диссертации. >

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, бишй объем диссертации составляет 138 страниц. Библиография содержит )9 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзо] основных результатов по рассматриваемой тематике, определяются цели не следования и дается общая характеристика работы.

В первой главе решается задача оценивания параметра устойчпвогс скалярного процесса авторегрессиц по зашумленным наблюдениям. Рассматривается процесс авторегрессии первого порядка, наблюдаемый с аддитивной помехой

*n+i = Аа:„ + , .

Уп + <riU >

где {£п,Чп,п > 0} - последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, обладающих следующими свойствами

М£п = Мцп = 0, Меп = Mi,l = 1, М& = Си Мп* = Со.

Предполагается, что плотности распределения шумов в процессе и в канале наблюдения удовлетворяют условиям

!)/«(-*) = /€(*). /п(~*) = Ш, ,.г

2(ж), f,,(r.) не убывают на (—оо, 0]. '

Процесс (1) предполагается устойчивым, то есть |Л| < 1. Требуется по наблюдениям за процессом {уп} построить оценку параметра А. Предлагается следующая последовательная оценка

т

Уп+1Уп

--. (з;

£ (vi - О

п = 1

Здесь т - момент остановки

Г = Г(Л) = min jm : ¿(^ - а2) > Я j , (4]

II - положительный параметр процедуры.

В работе показано, что момент т(Н) конечен с вероятностью 1, и найдены верхняя и нижняя границы средней длительности процедуры.

G

Теорема 1.2. При условиях (2) математическое ожидание момента остановки г (4) процедуры оценивания параметра А процесса (1) ограничено сверху величиной

Теорема 1.3. Математическое ожидание момента остановки г (4) процедуры оценивания параметра А процесса (1) ограничено снизу величиной

Мт>( 1-А2)//. (6)

Путем выбора параметра Н можно по конечной выборке получить оценку •заданной точности, что показывает следующая

Теорема 1.4. При условиях (2) математическое ожидание квадрата отклонения оценки (3) от истинного значения параметра А ограничено сверху величиной

+ о(^), (7,

где К\,К2~ постоянные, определяемые соотношениями 2 б4 + сг ЛС2 + 5 (г2 6

«1 =

к2 = 2\/2М(52 +3<т2).

62

Для уточнения границ доверительных интервалов представляет интерес асимптотическое распределение оценки. Пусть величины г]п имеют конечный восьмой момент

М{ч1 - I)4 < оо.

Тогда при больших II справедлива

Теорема 1.5. При Н —► оо величина \/~Н(А — А) имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами {0,1)2}, где

О2 = + + (С2 - 1)А2) + 262«х2) . (8)

Для изучения свойств предложенного алгоритма оценивания параметра процесса авторегрессин были поставлены компьютерные эксперименты. В таблице 1.1 приведены данные о времени оценивания параметра. Здесь N -средняя по 1000 реализаций длительность процедуры, Д - отклонение N от

нижней границы (6). Шумы и 77,, моделировались гауссовскимн, параметры б2 — 1, сг2 — 1. Среднее число наблюдений N незначительно превышает нижнюю границу математического ожидания времени оценивания (6) даже для малых Я, равных 100 н 200. С увеличением порога Н число наблюдений приближается к нижней границе.

Таблица 1.1. Среднее время оценивания параметра Л

Я

100 200 п 1000 2000 5000

А N А N А N А N А N А

-0,9 20 1 39 1 191 1 380 0 950 0

-0,7 53 2 104 2 510 0 1023 3 2550 0

-0,4 88 4 170 2 839 -1 1685 5 4204 4

-од 103 4 202 4 995 5 1979 -1 4951 1

Были построены оценки для различных значений параметра Л при разных порогах Я и дисперсиях шума в канале наблюдения а2. Дисперсия шума в процессе 6" = 1. Результаты моделирования для гауссовских шумов приведены в таблице 1.2. Здесь О2 - теоретическая асимптотическая дисперсия (8), Л - средняя по 1000 реализаций, 52 - выборочная дисперсия оценки, умноженная на Я.

Таблица 1.2. Оценивание параметра Л при гауссовских шумах

Я

А <72 О2 100 500 1000

А Б2 А б"2 А 52

1,0 1,88 -0,9009 1,97 -0,8997 1,92 -0,8983 1,93

-0,9 0,5 1,31 -0,8997 1,29 -0.9024 1,22 -0,8990 1,32

0,1 1,04 -0,8982 0,93 -0,8991 1,02 -0,8995 1,05

1,0 3,79 -0,3833 3,45 -0,4017 3,67 -0,4012 3,98

-0,4 0,5 2,09 -0,4017 1,95 -0,4013 2,10 -0,3989 2,05

од 1,16 -0,3933 1,17 -0,3997 1,14 -0,4016 1,06

1,0 4,00 -0,0051 3,70 0,0042 4,03 -0,0030 4,28

0,0 0,5 2,22 -0,0030 2,09 -0,0002 2,38 -0,0017 2,15

0,1 1,19 -0,0040 1,33 -0,0008 1,22 -0,0020 1,22

Численные эксперименты показывают достаточно хорошее качество получаемой оценки. Отклонение средней оценки А от истинного параметра пре-

вышает 0,01 в единичных случаях при Я = 100. Дисперсия оценки, как и показано теоретически, обратно пропорциональна Н и убывает при снижении уровня шума в канале наблюдения. При этом отклонение выборочной дисперсии от теоретической асимптотической дисперсии О2/Я не превосходит 10%, а в 89% случаев составляет не более 5%.

Во второй глаио решается задача обнаружения разладки устойчивого скалярного процесса авторегрессин (1) по зашумленным наблюдениям. Пусть в момент 0 параметры процесса // = (А, <5, <т) меняют свои значения с /¡о = (Ао^сьСо) на/^1 = (А1, сгх). Величины предполагаются

известными. Момент разладки 0 является детерминированным. До и после разладки процесс {а-п} является устойчивым, то есть |А^| < 1. Требуется по наблюдениям за процессом {уп} обнаружить момент разладки.

Для решения задачи строится последовательность статистик {Yj(II),j > 0}, среднее значение которых претерпевает скачок после разладки. Статистики строятся на интервалах случайной длины + 1,7}]. Момент 7} определяется как момент превышения заданного порога Я суммарным расстоянием между возможными моделями процесса. Благодаря такому выбору интервалов дисперсия статистик >} ограничена величиной, обратно пропорциональной Я.

у}{Н) = ± у (^ - А°»»>2 - + у,? + уЛ , (9)

2 \г,1 '"о/

\ 1'о / 2 и0/

'Здесь весовые коэффициенты г;^ являются дисперсиями случайных величин (Уп + 1 ~ Акуп) при /X = цк

vk=6¡ + <ri(l +\1). (10)

Последовательность моментов остановки {тр./ > 0} определяется следующим образом

г, = т¡(11) = 1шп | т > г,-_1 + 1 : ^ (йу^ + й) > Я 1 : г0 = 0. (11) I п = т,_,+1 I

Здесь

2 V «1 г/'о

2 (12)

VI и0 / / '-'и,

Подставляя в (9) уравнения процесса (1) при /г = /Ло и // = //х и учитывая определение момента г, (11), получаем следующее соотношение для решающих статистик

у. _ Г + Я°) + ' ССЛН Т3 <

3 \ + + если г,-_1 + 1 > 0,

= 4 у; (((¿^г>+1+^»/«+1 - А^сг^,,)2 - (-—-) +

(33)

2(Д1 _ д0) 4

1'1-А-

Здесь ,к = 0, 1} - случайные величины с МЕ^ =0, а1- >0.

Процедура обнаружения разладки строится следующим образом. Выбирается порог Д : — 1 < А < 1. Статистики У} будем сравнивать с порогом Д. Как только выполняется условие > Д, принимается решение о наличии разладки.

В работе получены условия конечности с вероятностью 1 моментов остановки т^

Теорема 2.1 .Если

¿ = 0,1, (14)

где Л, Л определены соотношениями (12), то все моменты г,-, ,7 < 1 конечны с вероятностью 1.

В некоторых частных случаях условие (14) имеет более простой вид. В случае разладки в параметре авторегрессии при постоянных дисперсиях шумов <5д = ¿1, Од = а\ моменты остановки конечны, если Ао ф Ль В случае разладки в дисперсиях шумов при Ао = Ах длина цикла наблюдений +1, т^]

является детерминированной величиной. Обнаружение разладки возможно при ьо ^ VI, где VI- определены в (10).

Вероятности принятия верного решения в отдельном цикле наблюдений определяются свойствами случайных величин (13). В следующей теореме найдена верхняя граница для дисперсии 7^.

Теорема 2.3. При условиях (2) для дисперсии величин (13) имеет место неравенство

. + ^ + (15)

Здесь к^к? - известные константы, которые не приводятся в автореферате по причине нх громоздкой записи.

Теорема 2.3 позволяет получить оценки сверху вероятностей ложной тревоги « и запаздывания в обнаружении разладки /? в отдельном цикле наблюдении

«(1 + Д)^ <

2 ^ К0

Ц Я3/*' (1б)

Р( 1 - ДГ < 77 +

к ^ /с 2

н я3/2'

Из неравенств (16) можно определить параметры процедуры Н и Д, гарантирующие заданную вероятность принятия верного решения.

Важными характеристиками последовательных процедур обнаружения разладки является время между ложными тревогами 5 и время запаздывания в обнаружении разладки Т. В работе получена нижняя граница среднего времени между ложными тревогами и верхняя граница среднего времени запаздывания

-М5 2" (й (А + *«)+ «)

где -- известная константа.

Оценки для вероятностен ошибок (16) получены из неравенства Чебыше-ва и поэтому являются завышенными, что приводит к увеличению запаздывания в обнаружении разладки при практической реализации алгоритма. В связи с чтим представляет интерес асимптотическое распределение решающих статистик, которое найдено в теореме 2.4.

Теорема 2.4. Если шумы имеют конечный восьмой момент

- I)4 < оо, М(^-1)4<оо,

то при Н оо величина (13) имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами {0,2?|}, где - известные константы.

Из результата теоремы 2.4 следуют соотношения для оптимальных параметров процедуры //, Д при заданных вероятностях ошибок

1Г = (РоФ-1 (о)+ Р1Ф-1 (/?))'

ДоФ-Ч«)-^^-1^) (17)

Д"

где Ф(а;) - функция стандартного нормального распределения.

Для изучения свойств предложенного алгоритма обнаружения разладки параметров процесса были проведены компьютерные эксперименты. В таблице 2.1 представлены результаты обнаружения изменения параметра авторегрессии А при постоянном значении дисперсии шума в процессе ¿5 = $1 = 1, и в канале наблюдения сг^ = а2 = с2. Для каждого набора параметров проводилось 5000 экспериментов с моментом разладки 2500. Параметры процедуры Л, Д определялись из асимптотических соотношений (17) при заданных вероятностях ложной тревоги а и ложного спокойствия /3. Подсчи-тывались среднее запаздывание Т, максимальное запаздывание ТП1, среднее время между ложными тревогами Я, выборочные вероятности ложной тревоги а и ложного спокойствия (3.

Таблица 2.1. Обнаружение изменения параметра А __(ос =0,01, 13 = 0,03)_

А0 Ах <г2 Н А Т тт 3 а Р

1,0 13,49 0,173 39 198 15464 0,007 0,042

0,4 0,9 0,5 14,75 0,130 32 166 10634 0,008 0,040

ОД 17,00 0,107 26 133 7800 0,009 0,030

1,0 32,16 0,106 181 546 17046 0,010 0,031

0,3 -0,3 0,5 24,54 0,106 101 333 9208 0,011 0,031

0,1 18,89 0,106 55 179 5367 0,010 0,030

1,0 23,32 0,071 319 991 18814 0,012 0,027

0,0 0,2 0,5 20,48 0,091 201 666 12219 0,011 0,033

ОД 18,29 0,105 123 366 8098 0,010 0,031

Эксперименты показали работоспособность процедуры. Среднее и максимальное время запаздывания уменьшаются со снижением уровня шума в канале наблюдения при фиксированных параметрах процесса, до и после разладки. Это связано с возможностью снижения порога II и, следовательно, уменьшения средней длины цикла наблюдений при фиксированной вероятности ,8. В связи с этим при фиксированной вероятности а уменьшается и время между ложными тревогами. Выборочные вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия близки к теоретическим значениям. Оценки сверху вероятностей ошибок (16) (в таблицах не приводятся) на порядок превышают выборочные значения.

В таблице 2.2 представлены компьютерные эксперименты по обнаружению изменения дисперсий шумов, когда параметр авторегрессии Л остается постоянным. В этом случае длина никла наблюдений является неслучайной величиной.

Таблица 2.2. Обнаружение изменения дисперсий шумов ______(о- = 0, 02, р = 0, 05) _

А ¿Г О Я А Т тт 5 а /?

0,7 0,5 1,0 0,5 1,0 12,15 -0,241 39 168 1688 0,027 0,043

0,7 1,0 0,5 1,0 0,5 14,13 0,436 64 200 4695 0,012 0,050

0,7 1,0 1,0 0,5 1,0 11,02 -0,094 157 635 6794 0,025 0,053

0.7 1,0 1,0 1,0 0,5 12,05 0,306 203 740 12420 0,015 0,051

0,7 0,5 1,0 1,0 1,0 11,62 0,004 487 1469 21469 0,023 0,041

0,7 1,0 0,5 1,0 1,0 12,18 0,214 522 1658 31237 0,016 0,038

0,1 0,5 1,0 0,5 1,0 10,12 -0,241 37 152 1609 0,024 0,035

0,1 1,0 0,5 1,0 0,5 11,77 0,436 58 200 3480 0,013 0,054

0,1 0,5 1,0 1,0 1,0 9,33 -0,047 214 755 10150 0,022 0,045

ОД 1,0 1,0 0,5 1,0 9,30 -0,050 228 665 10447 0,022 0,047

0,1 1,0 1,0 1,0 0,5 9,98 0,266 238 678 13194 0,017 0,049

од 1,0 0,5 1,0 1,0 10,00 0,263 276 748 14752 0,017 0,047

Время запаздывания Т минимально, когда дисперсия шумов и в процес-;е, н в канале наблюдения уменьшается или увеличивается одновременно. В случае изменения одного из параметров длина цикла наблюдений увеличивается, что влечет за собой увеличение запаздывания и времени между южными тревогами. При сильной авторегрессионной зависимости для обнаружения изменения дисперсии шума в канале наблюдения а1 требуется

значительно меньшая длина цикла наблюдений, чем при таком же скачке дисперсии шума в процессе 52. При слабой авторегрессионной зависимости этот фактор оказывается менее важным, чем величина скачка дисперсии.

В таблице '2.3 приведены результаты компьютерных экспериментов для случая изменения всех параметров процесса. В отличие от частных случаев, здесь в некоторых ситуациях при фиксированных вероятностях ошибок и одинаковых параметрах Ао и А1 при изменении характера скачка дисперсий шумов происходит одновременно и уменьшение запаздывания, и увеличение среднего времени между ложными тревогами.

Таблица 2.3. Обнаружение изменения всех параметров _(а = 0,01, Р = 0,03)_

До = 0,7, Ai = 0 9

ч <5? 0о н Д Т Гт S á Р

0,5 1,0 0,5 1,0 12,11 -0,192 31 117 3076 0,014 0,025

0,5 1,0 1,0 0,5 9,77 0,149 78 362 19992 0,007 0,033

1,0 1,0 0,5 1,0 10,78 0,006 78 372 12685 0,010 0,029

1,0 1,0 0,5 0,5 12,00 0,111 128 626 30181 0,010 0,028

1,0 0,5 0,5 0,5 19,86 0,289 218 776 31957 0,007 0,036

Ао = 0,5, А i = -0,5

Ч 'Ъ °7 Н Д Т Тт S а Р

1,0 1,0 0,5 1,0 23,01 0,002 27 117 2904 0,014 0,033

1,0 1,0 0,5 0,5 21,44 0,106 28 115 2104 0,013 0,030

1,0 0,5 0,5 0,5 24,85 0,222 46 179 2309 0,011 0,0.32

1,0 0,5 0,5 1,0 26,75 0,064 51 192 3207 0,014 0,031

1,0 0,5 1,0 0,5 27,94 0,277 64 184 2575 0,009 0,027

В третьей главе предложенный метод обнаружения разладки обобщается на случай векторного процесса. Рассматривается векторный процесс авторегрессни первого порядка, наблюдаемый с аддитивной помехой

хп+: - Ахп + ££„+1, Уп - хп + Di]n.

Здесь хП1 уп,£п, ч]п ~ вектор-столбцы размерности р, A,B,D - неслучайные матрицы размерности р х р. Шумы £„ - (€k---€n)T и Чп = (vh---V?i)T представляют собой последовательности независимых случайных векторов, для которых выполняется

MSn = о, MSng = Ер, M(ii )4 = С\ < оо,

Мцп = 0, МчпГ!п = Ер■ МШЛ = Са < с«.

Пусть в момент О параметры = (А, В, Б) меняют спои значения с /¡о = (До, Во,Оо) на /¡1 = Ох). Требуется по наблюдениям за процессом

{уп} обнаружить момент 0.

Для решения задачи строится система статистик таким образом,

чтобы их среднее значение претерпевало скачок после момента разладки в

!

У, -jj X] + 1 ~ ЛоУп)Т V0(yn + l - А0уп)-

П = Т,-1+1

(Уп+i - Aiy„)TV'i(yn+1 - Л\уп) + -ylÄTVÄyn + У),

(19)

V = Vi — Vb, A = Ai-A0.

Весовые матрицы 14 определяются следующим образом

Vk = [ВкВтк + DkDj + AkDkDTkATk}-\ (20)

Последовательность случайных моментов остановки Tj,j > О

Ъ = min |л' : + Vi )Äyn + л) > H | , r0 = 0. (21)

'Здесь Y, R - известные константы, зависящие от параметров процесса.

Благодаря выбору моментов остановки решающие статистики обладают свойством

v _ / -(1 + а]) + Z}', если г,- < 9, ij — s .. ,. „,

(1 + aj) + Zj, если > i>.

[Zj . ¿ = 0,1} - случайные величины с .\4Zj = 0, ак- > 0. Теорема 3.1. Если

1 'IT,

-tr [А (V0 + Vi)АFk] + И > 0, (22)

где 14 определяются соотношением (20), матрица /4 = Ск + Ок , где Ск - решение уравнения

ак - АкскАТк = вкв1,

то все моменты ^(Н) (21) конечны с вероятностью 1.

Рассмотрим некоторые частные случаи разладки. В случае разладки в матрице А при постоянных ковариационных матрицах шумов £?п = В\, Па =

П1, моменты остановки конечны, если А о ф Л). В случае разладки в ковариационных матрицах шумов при Ао = Л\ длина цикла наблюдений [г, _] + 1, т^] является детерминированной величиной. Обнаружение разладки возможно при Vo ф Уг, где 14 определены в (20).

Пусть плотность распределения Д шумов процесса такова, что

1)/сН0 = ДОО, ,

2)мпожество = {г : > и} выпукло Уи : 0 < и < оо.

Пусть также для параметров процесса до п после разладки верно следующее

^г В1АТ(У0 + \\)ЛВ, + Я, к = 0,1. (24)

При этих предположениях для решающих статистик (19) в диссертации доказана теорема, аналогичная теореме 2.3. Следовательно, для вероятностей ложной тревоги и запаздывания имеют место соотношения (16). Также показана асимптотическая нормальность решающих статистик, откуда следуют соотношения для оптимальных параметров процедуры Н, А при заданных вероятностях ошибок, аналогичные (17).

Были проведены компьютерные эксперименты по обнаружению разладки векторного процесса авторегрессии первого порядка размерности 3. Шумы £„ и т]п моделировались гауссовскими с независимыми компонентами. Ковариационные матрицы шумов в канале наблюдения Оо = Их = Ез. Параметры продедуры Я, А определялись из соотношений (17) при заданных вероятностях ложной тревоги и пропуска сигнала а — (3 — 0,023. Момент разладки в — 1000. Для каждого набора параметров проводилось 1000 экспериментов. Подсчитывались Т - среднее запаздывание в обнаружении разладки, 5 -среднее время между ложными тревогами, а п /3 - выборочные вероятности ошибок. Эксперименты показали работоспособность процедуры как в частных случаях (примеры 3.1 и 3.2), так и в общем случае, даже при слабых изменениях авторегрессионной матрицы А (пример 3.3).

Пример 3.1. Обнаружение изменения в матрице А.

" 0,5 -0,6 0,1" "0,3 -0,9 -0,1 " ' 1 0 0 "

1 0 0 Ах = 1 0 0 В - 0 1 0

0 1 0 0 1 0 . 0 0 1 .

н А Т ,9 а Р

55,24 -0,041 41 7983 0,014 0,014

Пример 3.2. Обнаружение изменения в матрице В.

А =

-0,3 -0,5 0,1 1 0 0 О 1 О

Во =

I О О О 0,5 О О 0 0,7]

В1 =

0,5 О О

О О 0,7 О О 1

Я Д Т 5 а 0

15,89 0,144 173 12218 0,016 0,022

Пример 3.3. Обнаружение изменения всех параметров.

А0

0,7 -0,4 0,1 1 О О О 1 О

0,8 О О О 1 О О 0 1

/1, =

В! =

0,8 -0,3 -0,1 1 О О О 1 О

1 О О

О 1 О О О 0,7

Н Д Т 5 а Р

19,72 -0,083 179 23688 0,024 0,016

На защиту автором выносятся:

1. Метод гарантированного последовательного оценивания параметра процесса авторегрессни первого порядка, наблюдаемого на фоне шумов.

2. Метод обнаружения момента изменения параметров процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого на фоне шумов, и исследование его характеристик для скалярного и векторного случаев.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Буркатовская Ю.Б. Оценивание параметра процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого с помехами// Тезисы докладов конференции молодых ученых СФТИ имени академика В.Д. Кузнецова при Томском -осуниверситете, посвященной 70-летию института. Томск, 1998. - С. 37-38.

2. Буркатовская Ю.Б., Воробенчпков С.Э. Обнаружение разладки скаляр-юго процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами// Математическое лоделированне и теория вероятностей. - 1998. -Томск. - С. 141-146.

3. Буркатовская Ю.Б., Воробенчпков С.Э. Обнаружение разладки слу-1апного процесса авторегрессионного типа по зашумленным наблюдениям// Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике.

4. Новосибирск, Изд-во ин-та математики СОР АН, 1998. - С. 87.

4. Буркатовская Ю.Б. Обнаружение разладки процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого с помехами// Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сборник статей. Томск, Изд-во Том. ун-та, 1999. - С. 18-26.

5. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами// Автоматика и телемеханика. - 2000. - N>3. - С. 76-89.

6. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки векторного процесса авторегрессиопного типа по зашумленным наблюдениям// Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Ч. 3, Новосибирск, Изд-во ин-та математики СОРАН, 2000. - С.79-80.

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРА ПРОЦЕССА АВТОРЕГРЕССИИ

1.1 Постановка задачи.

1.2 Построение оценки.

1.3 Свойства момента остановки.

1.4 Гарантированность оценки.

1.5 Асимптотические свойства оценки.

1.6 Численные результаты.

1.7 Выводы по главе

2 ОБНАРУЖЕНИЕ РАЗЛАДКИ СКАЛЯРНОГО ПРОЦЕССА

2.1 Постановка задачи.

2.2 Построение процедуры обнаружения разладки.

2.3 Свойства процедуры обнаружения разладки.

2.4 Некоторые частные случаи разладки.

2.5 Асимптотические свойства решающих статистик.

2.6 Численные результаты.

2.7 Выводы по главе.

3 ОБНАРУЖЕНИЕ РАЗЛАДКИ ВЕКТОРНОГО ПРОЦЕССА

3.1 Постановка задачи.

3.2 Построение процедуры обнаружения разладки.

3.3 Свойства процедуры обнаружения разладки.

3.4 Некоторые частные случаи разладки.

3.5 Асимптотические свойства решающих статистик.

3.6 Численные результаты.

3.7 Выводы по главе.

Актуальность проблемы. Процессы авторегрессии часто используются в анализе временных рядов для описания динамических систем. При этом на практике встречаются ситуации, когда случайный процесс наблюдается на фоне помех. Наблюдаемый процесс является процессом авторегрессии - скользящего среднего [6].

Одной из важных задач является оценка параметров авторегрессии. Для этого используются различные методы: максимального правдоподобия, наименьших квадратов, автокорреляции, стохастической аппроксимации [2, 6]. Метод максимального правдоподобия требует априорной информации о виде распределения процесса. Между тем на практике эти требования, как правило, трудно выполнимы. В связи с этим представляют интерес непараметрические методы оценивания, не требующие знания функции распределения процесса. Таким методом является метод наименьших квадратов и его различные модификации.

Для устойчивого процесса авторегрессии оценки МНК являются состоятельными и асимптотически нормальными, что доказано Т. Андерсоном в [3]. Для процессов авторегрессии - скользящего среднего непосредственное получение оценок МНК связано с решением нелинейной задачи оптимизации. Различные подходы к получению оценок МНК для процессов АРСС предлагаются Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [6]. В работе Дж. Дурбана [115] предлагается двухэтапная процедура оценивания, в которой на первом этапе проводится аппроксимация процесса АРСС процессом авторегрессии, а затем производится оценивание параметров скользящего среднего. Эти оценки являются простыми в вычислении, однако неэффективными, то есть их дисперсия не достигает нижней границы. В [128] рассматривается модификация этого метода, обеспечивающая асимптотическую эффективность и состоятельность оценок. В [40] этот метод применяется для процесса АРСС, наблюдаемого на фоне белого шума. Получаемые оценки являются смещенными и чувствительными к выбору порядка авторегрессии на первом этапе. В работе Р. Джонса [122] для решения этой задачи используются рекуррентные уравнения Калмана. В [146] X. С акай и М. Apace для процесса авторегрессии, искаженного белым шумом, предлагается модифицированный МНК, который асимптотически компенсирует смещение. Получена асимптотическая матрица ковариаций ошибки оценки. В [144] Д.Л. Прагер и P.E. Велстед сводят нелинейную задачу оптимизации к решению большого числа линейных задач наименьших квадратов, полученных при фиксированных значениях параметров скользящего среднего из допустимой области.

Работа Т.О. Ивановой, В.В. Моттля и И.Б. Мучника [46, 47] связана и с обнаружением разладок, и с оцениванием параметров случайных процессов. Авторы рассматривают стационарный гауссовский процесс авторегрессии, параметры которого определяются состоянием ненаблюдаемой марковской цепи. Предполагается, что смена параметров происходит достаточно редко. Строятся оценки параметров и порядка авторегрессии, матрицы переходных вероятностей и числа состояний марковской цепи. Для оценивания предлагается метод максимального правдоподобия, обеспечивающий состоятельность оценок, и метод обратной связи. Оценки, полученные методом обратной связи, не являются состоятельными, но просты в вычислении и показывают достаточно высокую точность при компьютерном моделировании.

Следует отметить, что во всех подобных работах оценивание проводится по выборке фиксированной длины, и свойства получаемых оценок изучаются в асимптотической постановке, когда объем наблюдений стремится к бесконечности. Представляет интерес получение характеристик оценок, построенных по выборке конечной длины. Это стало возможным с применением для задачи оценивания теории последовательного анализа Вальда [23], которая впервые была использована в работах A.A. Новикова, Р.Ш. Липцера и А.Н. Ширяева [62, 77]. Основным преимуществом последовательных методов перед апостериорными является возможность достижения гарантированной точности оценивания по конечной выборке. В работе Т. Лая и Д. Зигмунда [125] задача гарантированного оценивания решается для скалярного процесса авторегрессии первого порядка. В [8] В.З. Борисовым и В.В. Коневым предложена последовательная гарантированная оценка параметра авторегрессии, которая строится на интервале случайной длины. Оценка является несмещенной и обладает свойством равномерной ограниченности дисперсии. Для построения оценки не требуется знание функции распределения шумов, так как данный метод является модификацией метода наименьших квадратов.

Существенным ограничением метода [8, 28] является то, что размерность вектора неизвестных параметров не должна превышать размерности наблюдаемого процесса. Кроме того, непосредственное применение данного метода к процессу с зависимыми шумами приводит к смещению оценки. Для решения таких задач В.В. Коневым и С.М. Пергаменщи-ковым была предложена двухэтапная процедура оценивания параметров [54], которая может применяться к процессам с т - зависимыми шумами без ограничений на размерность вектора неизвестных параметров. Построенные оценки являются гарантированными. Однако, для их построения требуется большой объем наблюдений, что затрудняет их применение на практике. Кроме того, для некоторых значений параметров процесса процедура теоретически неприменима. В [24] В.А. Васильевым и В.В. Коневым предлагается двухэтапная процедура оценивания параметра процесса авторегрессии порядка р по зашумленным наблюдениям, которая может быть построена, если последний параметр процесса не равен нулю.

Таким образом, актуальной является задача построения непараметрических гарантированных оценок параметров авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям, не требующих большого объема выборки.

Одной из важных задач оценивания параметров является задача оценивания момента изменения параметров (момента разладки) случайных процессов. Существующие методы обнаружения разладки можно разделить на два типа: апостериорные и последовательные. При апостериорном подходе предполагается, что имеется реализация случайного процесса конечной длины, по которой необходимо обнаружить изменения свойств процесса либо оценить момент изменения. Как правило, характеристики предлагаемых алгоритмов изучаются в предположении, что объем наблюдений стремится к бесконечности. При последовательном подходе предполагается, что процесс наблюдается в реальном времени, и при поступлении каждого наблюдения принимается решение о наличии разладки к данному моменту времени. При этом возможны ошибки двух видов: принятие решения о наличии разладки в ее отсутствие - ложная тревога, и запаздывание в обнаружении разладки. В данной работе изучаются последовательные методы.

Наиболее изученной является задача обнаружения изменения свойств последовательности независимых случайных величин. Впервые такая задача была поставлена Е.С. Пейджем в 1954 г. в работе [134]. При этом задача обнаружения изменения среднего в последовательности независимых случайных величин решалась с помощью критерия кумулятивных сумм, основанном на применении отношения правдоподобия для двух простых гипотез о виде распределения. А.Н. Ширяев [100] и Г. Лорден [127] показали, что этот критерий минимизирует запаздывание при заданном среднем времени между ложными тревогами. Более того, Г. Лорден показал, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремится к константе, когда среднее время между ложными тревогами стремится к бесконечности. В дальнейшем критерий кумулятивных сумм изучался и усовершенствовался в работах И.В. Никифорова [73, 74], Д.В. Хинкли [120], М. Бассвиль [111] и других. Однако исследование характеристик процедуры в неасимптотической постановке является сложной задачей. Эта задача решалась в работах Зигмунда [150, 141, 143] , Поллака [139, 140] и Якира [155, 156, 157] , где были получены приближенные формулы, содержащие неизвестные константы. С.Э. Воробейчиковым [27] была предложена, модификация метода кумулятивных сумм, которая позволила получить среднее время запаздывания и среднее время между ложными тревогами в явном виде. Также для обнаружения разладки в последовательности независимых случайных величин испольу-ются методы Гиршика-Рубана-ТПиряева [102, 117], экспоненциального сглаживания [79, 97], скользящей выборки [42]. В [14] Б.Е. Бродским и Б.С. Дарховским проведено асимптотическое сравнение этих методов по времени запаздывания при одинаковой предельной вероятности ложной тревоги для задачи обнаружения скачка среднего в последовательности независимых случайных величин. Авторы отмечают, что предложенный ими метод скользящей выборки [42] минимизирует время запаздывания при достаточно больших значений скачка среднего. Кроме того, этот метод не требует точной информации о виде распределения процесса, что позволяет использовать его для более широкого класса практических задач.

Для процессов с зависимыми значениями обнаружение момента разладки является еще более сложной задачей. Для ее решения применяются модификации методов, упомянутых ранее.

В [39] М.В. Гришиным и A.B. Добровидовым ставится задача выделения з^частков стационарного процесса авторегрессии, когда параметры процесса принимают определенные значения. Предполагается известной функция распределения шумов процесса. Для решения задачи предлагается метод скользящего окна. Найдено асимптотическое распределение решающей статистики, из которого предлагается определять параметры процедуры. Обобщенный на случай зависимых наблюдений метод скользящей выборки Б.Е. Бродского и Б.С. Дарховского [12] не требует точного знания распределения шумов.

Процедура кумулятивных сумм в применении к процессам авторегрессии - скользящего среднего изучалась И.В. Никифоровым [75]. Для случая изменения среднего в скалярном процессе получены приближенные выражения для среднего запаздывания и среднего времени между ложными тревогами. Также алгоритм кумулятивных сумм применяется в работах Л.И. Бородкина и В.В. Моттля [11], Дж. Сегена и А. Сандерсо-на [148], В.Я. Лумельского [6-3].

В работе Б.Е. Бродского [12, 13] проведено асимптотическое сравнение методов кумулятивных сумм, Гиршика - Рубана - Ширяева и скользящей выборки для случая зависимых наблюдений в асимптотической постановке. Сравнивалось среднее время запаздывания при фиксированной предельной вероятности ложной тревоги. Методы методов кумулятивных сумм и Гиршика - Рубана - Ширяева обладают преимуществом при большом скачке среднего. Они являются асимптотически оптимальными при точном знании распределений процесса, но не обладают этим свойством при неточности информации. Метод скользящей выборки устойчив к неточности информации и превосходит другие методы в диапазоне малых разладок. Теоретическое исследование характеристик процедур в неасимптотической постановке является еще более сложной задачей, чем в случае независимых наблюдений.

Еще более сложной задачей является обнаружение скачка параметров по неполным наблюдениям. Рассмотрим некоторые работы, посвященные этой проблеме.

A.A. Мальцев и A.M. Силаев в [66, 67] используют для решения этой задачи апостериорные плотности появления скачка. При этом распределения процесса, шума и момента разладки предполагаются известными. Метод связан с решением нелинейных уравнений. В работе П.Х. Нью-болда и Ю Чи Хо [133] рассматривается задача обнаружения разладки векторного гауссовского процесса авторегрессии. Наблюдаемой является скалярная случайная величина, которая представляет собой линейную комбинацию компонент вектора исходного процесса с аддитивной гаус-совской помехой. Используется последовательный алгоритм отношения правдоподобия с применением фильтра Калмана. В работе С.Э. Воро-бейчикова и В.В. Конева [35] предложена модифицированная процедура кумулятивных сумм для обнарушения разладки гауссовского авторегрессионного векторного процесса по неполным наблюдениям, обеспечивающая заданное качество получаемых выводов. Во всех этих работах распределения процесса предполагаются известными, что является существенным ограничением, не всегда выполнимым на практике.

Таким образом, задача обнаружения разладок авторегрессионных процессов по зашумленным наблюдениям является актуальной. При этом особенно выжной является проблема качества этих процедур в неасимптотической постановке. Представляет интерес разработка алгоритмов, обеспечивающих заданную вероятность принятия верного решения по конечному объему выборки.

Целью настоящей работы является разработка последовательных методов обнаружения момента разладки с заданными вероятностями принятия верного решения и методов гарантированного последовательного оценивания параметров случайных процессов авторегрессионного типа по зашумленным наблюдениям.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории матриц и методы статистического моделирования.

Научная новизна. В работе построена гарантированная последовательная оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка, нан блюдаемого с помехами. Разработана последовательная процедура обнаружения разладки авторегрессионного процесса по зашумленным наблюдениям, характеризующаяся заданными вероятностями ложной тревоги и ложного спокойствия.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть применены в таких областях, как геофизика, медицинская и техническая диагностика, контроль технологических процессов, обработка сигналов.

На защиту автором выносятся:

1. Метод гарантированного последовательного оценивания параметра процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого на фоне шумов.

2. Метод обнаружения момента изменения параметров процесса авторегрессии, наблюдаемого на фоне шумов, и исследование его характеристик.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

III и V Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998, Новосибирск, 2000);

Конференции молодых ученых Сибирского физико-технического института имени академика В.Д. Кузнецова при Томском госуниверситете, посвященной 70-летию института (Томск, 1998).

По результатам выполненных исследований опубликовано шесть печатных работ.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе предложен метод последовательного оценивания параметра устойчивого скалярного процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого с аддитивной помехой. При достаточно общих предположениях о распределении шумов в процессе и в канале наблюдения Хполучена верхняя граница математического ожидания отклонения оценки от истинного значения параметра и верхняя и нижняя границы средней длительности процедуры. Исследованы асимптотические свойства предложенной оценки. Результаты этой главы опубликованы в работах [15, 19].

Во второй главе рассматривается задача обнаружения разладки устойчивого скалярного случайного процесса авторегрессии первого порядка по зашумленным наблюдениям. Предлагается последовательная процедура обнаружения разладки, в которой решение о разладке принимается в случайные моменты времени, определяемые по наблюдениям за процессом и по априорной информации о параметрах до и после разладки. Получены условия конечности процедуры, найдена оценка сверху длины цикла наблюдений и вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия в каждом цикле. Изучены асимптотические свойства решающих статистик. Исследованы некоторые частные случаи разладки. Результаты этой главы опубликованы в работах [16, 17, 18, 19].

В третьей главе предложенный метод обнаружения момента разладки обобщен на случай векторного процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами. Результаты этой главы опубликованы в работе [20].

3.7 Выводы по главе

1. Предложен метод обнаружения момента изменения параметров векторного процесса авторегрессии первого порядка по зашумленным наблюдениям. Найдены условия конечности процедуры (теорема 3.1).

2. При дополнительных ограничениях на распределение шумов (3.3.3) и параметры процесса (3.3.4) получены верхние границы средней длины цикла наблюдений (теорема 3.2) и вероятностей ошибок в каждом цикле наблюдений (3.3.7). а также соотношения для параметров процедуры, гарантирующих заданную вероятность принятия верного решения (3.3.38).

3. Доказана асимптотическая нормальность решающих статистик (теорема 3.4).

4. Проведены компьютерные эксперименты, показывающие работоспособность процедуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение еще раз перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Разработан непараметрический последовательный метод оценивания параметра скалярного процесса авторегрессии первого порядка по зашзгмленным наблюдениям. Выбор параметра процедуры гарантирует достижение заданной точности оценивания по конечному числу наблюдений для всех параметров из области устойчивости. Получены верхняя и нижняя границы средней длительности процедуры. Доказана асимптотическая нормальность предложенной оценки.

2. Разработаны последовательные алгоритмы обнаружения разладки скалярного и векторного процесса авторегрессии по зашумленным наблюдениям. Найдены условия конечности процедуры. Получены соотношения для параметров процедуры, гарантирующих заданную вероятность принятия верного решения. Доказана асимптотическая нормальность решающих статистик. Использование асимптотических результатов позволяет снизить среднее время запаздывания в обнаружении разладки при заданных вероятностях ошибок.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание.- М: Наука, 1977. 224 с.

2. Альтшулер C.B. Методы оценки параметров процессов авторегрессии скользящего среднего (обзор)// Автоматика и телемеханика.- 1982. №8. - С. 5-18.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов.-М: Мир, 1976. 756 с.

4. Бакиров Н.К., Султанов А.Х. Непараметрический метод поиска многомерной разладки// Автоматика и телемеханика. 1997. -№8.~ С. 80-90.

5. Бирюков М.Н. Статистические моменты непараметрических последовательных алгоритмов// Автоматика и телемеханика. 1998.- №5. С. 95-101.

6. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. M :Мир, 1974. - 406 с.

7. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 2. M :Мир, 1974. - 197 с.

8. Борисов В.Т, Конев В.В. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов// Автоматика и телемеханика. 1977.- №10. С. 58-64.

9. Борисов В.З., Конев B.B. Последовательное оценивание параметров случайных процессов// Математическая статистика и ее приложения, Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1979, вып. 5. С. 4-12.

10. Боровков A.A. Асимптотически оптимальные решения в задаче о разладке// Теория вероятн. и ее примен. 1998. - т. 43, вып. 4. -С. 625-654.

11. Бородкин Л.И., Моттль В.В. Алгоритм обнаружения момента изменения параметров уравнения случайного процесса// Автоматика и телемеханика. 1976. - №6. - С. 23-32.

12. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.1.// Автоматика и телемеханика. -1995. №9. - С.60-72.

13. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.II.// Автоматика и телемеханика. 1995. - №10. - С.50-61.

14. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Сравнительный анализ некоторых непараметрических методов скорейшего обнаружения момента "разладки" случайной последовательности// Теория вероятностей и ее примен. 1990. - т.35, вып.4.- С.655-668.

15. Буркатовская Ю.Б. Обнаружение разладки процесса авторегрессии первого порядка, наблюдаемого с помехами// Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сборник статей. Томск, Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 18-26.

16. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки скалярного процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами// Математическое моделирование и теория вероятностей. 1998. -Томск. - С. 141-146.

17. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами// Автоматика и телемеханика. 2000. - №3. - С. 76-89.

18. Буробин Н.В., Моттль В.В., Мучник И.Б. Алгоритм определения моментов многократного изменения свойств случайного процесса на основе метода динамического программирования// Статистические проблемы управления. 1984. - №65. - С. 48-58.

19. Бывайков М.Е. Алгоритм обнаружения изменения вида модели при текущем оценивании // Автоматика и телемеханика. 1993. - №5. - С. 82-93.

20. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

21. Васильев В.А., Конев В.В. Последовательное оценивание параметров динамических систем при неполном наблюдении// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1982. - №6. С. 145-154.

22. Верулава Ю.Ш. Сходимость алгоритма, стохастической аппроксимации для оценки параметра авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 1981. - №7. - С. 115-119.

23. Воробейчиков С.Э. О последовательной идентификации параметров случайных процессов рекуррентного типа// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1983. вып.9. -С. 42-47.

24. Воробейчиков С.Э.Об обнаружении изменения среднего в последовательности случайных величин// Автоматика и телемеханика. -1998. №3. - С. 50-56.

25. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. О построении последовательных оценок параметров процессов рекуррентного типа// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1980 -вып.6. С. 72-81.

26. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение моментов скачкообразных изменений параметров случайных процессов// Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун- та, 1983.- вып.9. С. 34-41.

27. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладок случайных процессов рекуррентного типа// Статистические проблемы управления. 1984. - вып. 65. - С. 58-66.

28. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Обнаружение разладок частично наблюдаемых авторегрессионных процесов// Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования, Минск, Б ГУ. 1991. -С. 26-31.

29. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Характеристики процедуры обнаружения разладки процесса авторегрессии с неизвестным распределением помехи// Автоматика и телемеханика. 1992. - №3. - С. 68-75.

30. Воробейчиков С.Э., Конев В.В. Об обнаружении разладки в линейной стохастической системе по зашумленным наблюдениям// Проблемы передачи информации. 1992. - т.28, вып. 3. - С. 6875.

31. Воробьев С.А. Алгоритмы выделения и классификации фрагментов повторяющейся формы на экспериментальных кривых// Автоматика и телемеханика. 1985. - №8. - С. 89-93.

32. Гребенюк E.A., Кузнецов И.В. Применение методов последовательного анализа для прогнозирования резких скачков случайных временных рядов// Автоматика и телемеханика. 1997. - №11. - С.65-75.

33. Гришин М. Интервальное оценивание момента разладки // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 38-41.

34. Гришин М.В., Добровидов A.B. Оценивание скачкообразных процессов при неполной информации// Автоматика и телемеханика. -1983. №11. - С. 64-71.

35. Гроп Д. Методы идентификации систем. М., Мир, 1979.

36. Дарховский Б.С. Метод ретроспективного оценивания моментов изменения коэффициентов линейной регрессии// Автоматика и телемеханика. 1998. - №8. -С.185-189.

37. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Непараметрический метод скорейшего обнаружения изменения среднего случайной последовательности/ / Теория вероятн. и ее примен. 1987. - т.32. №4. - С.703-711.

38. Дочвири В., Шашиашвили М. Об одной задаче разладки со взвешенным критерием// Статистические проблемы управления. -1990. №89. - С. 120-123.

39. Драгалин В.П. Оптимальность обобщенного алгоритма кумулятивных сумм в задаче скорейшего обнаружения разладки// Тр. Мат. ин-та РАН. 1993. - 202. - С. 132-148.

40. Жиглявский A.A., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.

41. Иванова Т.О., Моттль В.В., Мучник И.Б. Оценивание параметров скрытых марковских моделей шумоподобных сигналов со скачкообразно изменяющимися вероятностными свойствами// Автоматика и телемеханика. 1994. №9. - С. 75-96.

42. Каминскас В.А., Шидлаускас К.А. Последовательное обнаружение изменения свойств авторегрессионного временного ряда// Статистические проблемы управления. 1984. - вып. 65. - С. 84-89.1. A4

43. Клигене С.-H.И. Оценка момента изменения параметров распределения случайных последовательностей// Теория вероятн. и ее при-мен. 1973. - т. 18, вып. 3. - С. 677-678.

44. Клигене С.-Н.И. Точное распределение оценки максимального правдоподобия параметров авторегрессии// Статистические проблемы управления. 1978. - вып. 31. - С. 9-30.

45. Клигене С.-Н.И. Сравнительный анализ оценок моментов изменения параметров авторегрессии// Статистические проблемы управления. 1980. - вып. 44. - С. 9-25.

46. Клигене Н., Телькснис Л. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов (обзор)// Автоматика и телемеханика. 1983. - №10. - С.5-56.

47. Конев В.В. Последовательные оценки параметров стохастических динамических систем Томск: Изд-во Том. ун-та, 1985. -267 с.

48. Конев В.В., Пергаменгциков С.М. Последовательные планы идентификации параметров динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1981. -т. - С. 84-92.

49. Коростелев А.П., Лепский О.В. Асимптотически минимаксное оценивание в задаче о разладке// Стат. и упр. случайными процесами. М., 1989. - С. 87-92.

50. Коростелев А.П., Фрейдлин М.И. Обработка изображений в задачах о разладке площади области// Проблемы передачи информации. 1995. т.31, №1. - С.33-55.

51. Крутовский А. Некоторые алгоритмы многоальтернативного распознавания, обнаружения и оценки момента изменения свойств составного случайного процесса // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 93- 98.

52. Крутовский A.B., Шпилевский Э.К. Многоальтернативное распознавание, обнаружение и оценка моментов изменения свойств составного случайного процесса в текущем времени// Статистические проблемы управления. 1985. - №69. - С. 47 59.

53. Кутоянц Ю.А. Оценивание параметров случайных процессов. -Ереван: Изд-во АН Арм. ССР. 1980. 253 с.

54. Лейпус Р. Функциональные предельные теоремы для ранговых статистик в задаче о "разладке"// Лит. мат. сб. 1989. - т. 29, №4. -С. 733-744.

55. Липейка А., Липейкене И. Определение нескольких моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей методом динамического программирования // Статистические проблемы управления. 1988. - .№83. - С. 193 197.

56. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. -696 с.

57. Лумельский В.Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса// Автоматика и телемеханика. 1972. №10. - С. 67-73.

58. Майборода P.E. Непараметрическое обнаружение разладки// Укр. мат. журнал. 1991. - т. 43, №5. - С. 706-709.

59. Майборода P.E. Непараметрический метод поиска разладок для многомерных наблюдений// Теория вероятн. и ее примен. 1990. т. 35, вып. 3. - С. 582-586.

60. Мальцев A.A., Силаев A.M. Обнаружение скачкообразных изменений параметров и оптимальное оценивание состояния дискретных динамических систем// Автоматика и телемеханика. 1985. - №1,-С.48-58.1. YJs?

61. Мальцев A.A., Силаев A.M. Оптимальное оценивание момента изменения характеристик случайной марковской последовательности// Автоматика и телемеханика. 1992. - №1.-С.63-71.

62. Мельникова E.H., Харин Ю.С. Обнаружение многократных "разладок" и классификация временных рядов с помощью статистических оценок межклассовых расстояний// Автоматика и телемеханика. -1991. №12. - С. 76-84.

63. Монтвилас A.M. Определение изменения свойств случайных сигналов при неизвестных параметрах этих сигналов // Статистические проблемы управления. 1973. - №7. - С. 9-20.

64. Монтвилас A.M. Слежение за многими изменениями неизвестных состояний динамических систем// Статистические проблемы управления. 1990. - №89. - С. 156-159.

65. Моттль В.В., Мучник И.Б. Алгоритм распознавания потока случайных событий// Автоматика и телемеханика. 1986. - №2. - С. 142-146.

66. Моттль В.В., Мучник И.В., Яковлев В.Г. Оптимальная сегментация экспериментальных кривых// Автоматика и телемеханика. -1983. №8. - С. 84-95.

67. Никифоров И.В. Применение кумулятивных сумм для обнаружения изменения характеристик случайного процесса //Автоматика и телемеханика. 1979. - №2. - С. 48-58.

68. Никифоров И.В. Модификация и исследование процедуры кумулятивных сумм// Автоматика и телемеханика. 1980. - №9. - С. 61-71.

69. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. - 199 с.

70. Николаев А.Ф. Об одной постановке задачи о множественной "разладке"// Теория вероятн. и ее примен. 1998. - т. 43, вып. 2. -С. 370-374.

71. Новиков A.A. Последовательное оценивание параметров диффузионных процессов // Теория вероятн. и ее примен. 1971. - т. 16, вып. 2. - С.394-396.

72. Новиков A.A. О моменте первого выхода процесса авторегрессии за уровень и одно применение в задаче "разладки"// Теория вероятн. и ее примен. 1990. - т. 35, вып. 2. - С. 282-292.

73. Новиков А., Эргашев Б. Аналитический подход к расчету алгоритма экспоненциального сглаживания для обнаружения разладки // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 110 -113.

74. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Бассвиль М. и др., М.: Мир, 1989. 278 с.

75. Поздняк A.C. О скорости сходимости стохастической аппроксимации при идентификации параметров динамических объектов // Автоматика и телемеханика. 1979. - №8. - С. 186-190.

76. Ронжин А.Ф. Предельные теоремы для задачи о "разладке" последовательности независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1987.т. 32, вып. 2. - С. 308-316.

77. Сафарян И. Непараметрическое оценивание при постепенном изменении свойств случайной последовательности // Статистические проблемы управления. 1988. - №°83. - С. 121 126.

78. Светник В., Зарицкий В., Поздникин В. Определение апостериорных вероятностей моментов "разладки" частично-наблюдаемых и частично-контролируемых марковских последовательностей // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 210215.

79. Сенкус А. Об оценке момента изменения параметров авторегрессионной последовательности // Статистические проблемы управления. 1973. - №7. - С. 54-64.

80. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.

81. Тартаковский А.Г. Об эффективности обобщенного критерия Неймана-Пирсона при обнаружении разладки в многоканальной системе// Проблемы передачи информации. 1992. - т. 28, №4. - С. 49-59.

82. Тартаковский А.Г., Иванова И.А. Сравнение некоторых последовательных правил обнаружения разладки// Проблемы передачи информации. 1992. - т.28, №2. - С. 21-29.

83. Телькснис Л.А. О применении оптимального байесова алгоритма обучения при определении лдомента изменения свойств случайных сигналов// Автоматика и телемеханика. 1969. - №6. - С. 52-58.

84. Телькснис Л.А. Определение наиболее вероятных изменений свойств многомерных динамических систем с неизвестными параметрами// Статистические проблемы управления. 1977. - вып. 24. - С. 9-26.

85. Торговицкий И.Ш. Методы определения момента изменения вероятностных характеристик случайных процессов // Зарубежная радиоэлектроника. 1976. - №1. - С. 3-52.

86. Трифонов А., Бутейко В. Эффективность алгоритмов обнаружения и оценки изменения свойств винеровского процесса // Статистические проблемы управления. 1984. - Д^бБ. - С. 188-197.

87. Трифонов А.П., Галун С.А., Деревягина Е.И. Определение момента изменения свойств гауссовского случайного сигнала по наблюдениям, искаженным слабым шумом// Статистические проблемы управления. 1984. - ,№65. - С. 199-210.

88. Харин Ю. Выявление многократных разладок и классификация временного ряда с помощью дивергенции Кульбака// Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 152-157.

89. Филаретов Г. Контролирующие алгоритмы, основанные на характеристиках выбросов случайных процессов // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 140-145.

90. Фишман М. Оптимизация алгоритма обнаружения разладки, основанного на статистике экспоненциального сглаживания // Статистические проблемы управления. 1988. - №83. - С. 146-151.

91. Шалтяните В. Вычисление моментов изменения авторегрессионной последовательности, измеряемой с помехами// Статистические проблемы управления. 1978. - вып. 31. - С. 31-42.

92. Шалтяните В. Оценка параметров авторегрессионной последовательности, измеряемой в присутствии аддитивных помех// Статистические проблемы управления. 1979. - вып. 39. - С. 47-62.

93. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // ДАН СССР. -1961. -т.138.-№ 5. С.1039-1042.

94. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задаче скорейшего обнаружения // Теория вероятн. и ее примен. -1963. т.8, вып. 1. -С.26-51.

95. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке // Теория вероятн. и ее примен. 1965. т.10, вып. 2. С.380-385.

96. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976. - 272 с.

97. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

98. Шпилевский Э.К. Принципы динамической классификации стохастических процессов и систем// Статистические проблемы управления. 1978. - №28. - С. 134 148.

99. Яковлев В.Г. О выборе порогов в разладочном алгоритме сегментации // Автоматика и телемеханика. 1983. - №9. - С. 95-101.

100. Alwan L.C., Champ C.W., Maragah H.D. Study of average run lengths for supplementary runs rules in the presence of autocorrelation// Commun. Statist. Simul. and Comput. 1994. - v. 23, №2. - P. 373391.

101. Assaf F., Pollak M., Ritov Y., Yakir B. Detection a change of a normal mean by dynamic sampling with a probability bound on a false alarm// Ann. Statist, 1993. - v. 21, №4. - P. 1155-1166.

102. Assaf F., Ritov Y. A double sequential procedure for detecting a change in distribution// Biometrika. 1988. - v. 75, №4. - P. 715-722.

103. Bagshaw M., Johnson R.A. Sequential procedures for detecting parameter changes in a time-series model// J. Amer. Stat. Ass. 1977. - v.72, №3. - P.593-597.

104. Basseville M. Detecting changes in signals and systems. A Survey// Automatica. 1988. - v. 24, №3. - P. 309-326.

105. Basseville M., Benveniste A. Sequential detection of abrupt changes in spectral characteristics of digital signals// IEEE Trans, on Inform. Theory. 1983. - v. IT-29, №5. - P.709-724.

106. Blostein S.D. Quickest detection of a time-varying change in distribution// IEEE Trans. Inf. Theory. 1991. - v. 37, JNM. -P. 11161122.

107. Davis R.A., Huang D., Yao Y. Testing for a change in the parameter values and order of an autoregressive model// Ann. Statist. 1995. -v. 23, №1. - P. 282-304.

108. Durbin J. Estimation of parameters in time-series regression models// J. Roy. Stat. Soc. 1960 - v. 22 - P. 139-153.

109. Ghosh J.K., Joshi S.N. On the asymptotic distribution of an estimate of the change point in a failure rate// Commun. Statist. Theory and Meth. 1992. v. 21, №12. - P. 3571-3588.

110. Girshik M.A. Rubin H. A Bayes approach to a quality control models// Ann. Math. Stat. 1952. - v.23, №1. - P.114-125.

111. Hawkins D. Evaluation of average run lengths of cumulative sum charts for an arbitrary data distribution// Commun. Statist. Simul. and Comput. 1992. -v. 21, №4. -P. 1001-1020.

112. Hinklev D.V. Inference about the change-point in a sequence of random variables// Biometrika. 1970. - v.57, №1. - P.l 17.

113. Hinkley D.V. Inference about the change-point from cumulative sum tests // Biometrika. 1971. - v.58, №3. - P.509-523.

114. Hinkley D.V. Time-ordered classification// Biometrika. 1972, v.59, №3. - P.509-523.

115. Jones R.N. Maximum likelyhood fitting of ARMA models to time series with missing observations// Tehnometrics. 1980. - v.22 - P. 389-395.

116. Kao C., Ross S.L. A cusum test in the linear regression model with serially correlated disturbunces// Econom. Rev. 1995. - v. 14, №3. -P. 331-346.13V

117. Lai T.Z. Sequential change-point detection in quality control and dynamical systems// J.R.Stastist. Soc. B. 1995. - v. 57, №4. - P.613-658.

118. Lai T., Siegmund D. Fixed accuracy estimation of an autoregressive parameter // Annals of Statist. 1983. - v.ll, №2. - P. 478-485.

119. Lavielle M. Detection of changes in the spectrum of a multidimensional process//IEEE Trans. Signal Process. 1993. - v. 41, №2. P. 742-749.

120. Lorden G. Procedures for reacting to a change of distribution// Annals Math. Statistics. 1971. - v.42, №6. - P.1897-1908.

121. Mayne D.Q., Firoozan F. Linear estimation of ARMA systems// A link between science and applications of automatic control. Oxford, Pergamon Press 1979 - v. 3 - p. 1907-1912.

122. Messa K.C., Scariano S.M. Searching for change-points using extrema of pooled sample variances// Math, and Comput. Educ. 1992. - v. 26, №3. - P. 254-271.

123. Michalek J., Skrivanek J. A method of detecting changes in the behaviour of a random sequence based on Bayes approach// Kybernetika. 1993. - v. 29, №2. - P. 166-179.

124. Morais M.C., Pasheco A. Two stochastic properties of one-sided exponentially weighted moving average charts//Commun. Statist. Simul. and Comput. 1998. - v. 27, №4. - P. 937-952.

125. Moustakides G.V. Optimal stopping times for detecting changes in distributions// Ann. Statist. 1986. - v.14, №4. - P.1379-1387.

126. Newbold P.M., Ho Yu-Chi. Detection of changes in the characteristics of a Gauss-Markov process// IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 1968. - v. AES-4, №5. -P. 707-718.

127. Page E.S. Continuous inspection schemes// Biometrika,. 1954. -v.42, №1. - P. 100-115.

128. Page E.S. A test for a change in parameter occuring at unknown point// Biometrika. 1955. -v.42, №2. - P.432-438.

129. Pettitt A.N. A non-parametric approach to the change-point problem// Applied Statistics. 1979. - v.28, №1. -P.126-155.

130. Picard D. Testing and estimating change-point in time series// Advances in Appl. Probab. 1985. - v. 17, №4. - P. 841-867.

131. Ploberger W., Kramer W., Alt R. A modification of the CUSUM test in the linear regression model with lagged dependent variables// Empir. Econ. 1989. - v. 14, №2. - P. 65-75.

132. Pollak M. Optimal detection of a change in disrtibution// Ann. Statist. 1985. - v. 13, №1. - P.206-227.

133. Pollak M. Average run length of an optimal method of detecting a change in distribution// Ann. Statist. 1987. - v. 15, №2. - P. 749779.

134. Pollak M., Siegmund D. Approximations to the expected sample size of certain sequential tests // Ann. Statist. 1975. - v.3, №2. - P. 1267-1282.

135. Pollak M., Siegmund D. A diffusion process and its application to detecting a change in the drift of Brownian motion process// Biometrika. 1985. - v. 72, №2. - P.267-280.

136. Pollak M., Siegmund D. Sequential detection of a change in a normal mean when the initial value is unknown// Ann. Statist. 1991. - v. 19, №1. - P. 394-416.

137. Prager D.L., Wellstead P.E. Interactive maximum likelihood estimation// Int. J. Control 1980 - v. 32 - P. 1005-1030.

138. Ritov Y. Asymptotic efficient estimation of the change-point with unknown distributions // Ann. Statist. 1990. - v. 18, №4. P. 18291839.

139. Sakai R., Arase M. Recursive parameter estimation of an autoregressive process disturbed by white noise// Int. J. Control -■ 1979 v. 30 - P. 949-966.

140. Schechtman E., Wolfe D.A. Distribution free tests for changepoint, problem// Amer. J. Math, and Manag. Sci. 1988. - v. 8, №1-2. - P. 93-119.

141. Segen J., Sanderson A. Detecting change in a time-series// IEEE Trans. Inform. Theory.- 1980. v.48, №1. P.83-93.

142. Shneeweis H. Consistent, estimation of a regression with error in the variables// Metrica. Physica-Verlag, Wien. - 1976. - Band 23. -P.101-115.

143. Siegmund D. Sequential Analysis. Tests and Confidence Intervals. -Springer-Verlag, New York Inc., 1985.

144. Walker E., Philpot J.W., Clement J. False signal rates for the Shewhart control chart with supplementary runs tests// J.Qual.Technol. 1991. - v. 23, №3. - P. 247-252.

145. Weston P.F., Norton J.P. Detection and estimation of abrupt changes in input or state// Int. J. Contr. 1997. - v. 67, №5. - P. 699-711.

146. Willslvy A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamic systems// Automatica. 1976. - v. 12, №4. - P. 601-611.

147. Wolfe D.A., Schectman E. Nonparametric statistical procedures for the changepoinr problem // J. of Stat. Plan. Inf. 1984. - v.9, №3. -P. 389 396.

148. Yakir B. Dynamic sampling policy for detecting a change in distribution, with a probability bound on false alarms// Ann. Math. Stat. 1996. - v. 24, № 5. - P.2199-2214.

149. Yakir B. A note on optimal detection of a change in distribution // Ann. Math. Stat. 1997. - v. 25, № 5. - P.2117-2126.

150. Yakir B. On the average run length to false alarm in surveillance problems which possess an invariance structure// Ann. Math. Stat,.-1998. v. 26, № 3. - P. 1198-1214.

151. Yao Q. Asymptotically optimal detection of a change in a linear model// Sequent. Anal. 1993. - v. 12, №3-4. - P. 201-210.

152. Zhang Q., Basseville M., Benveniste A. Early warning of slight changes in systems// Automatica, 1994. - v. 30, №1. - P. 95-113.