автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Последовательное обнаружение скачка среднего значения случайного процесса

На правах рукописи

Кабанова Татьяна Валерьевна

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СКАЧКА СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

05.13.01 - "Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)"

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в Томском государственном университете на кафедре высшей математики и математического моделирования.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Воробейчиков Сергей Эрикович доктор физико-математических наук, доцент Дмитриев Юрий Глебович, кандидат технических наук, доцент Шелестов Александр Андреевич

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН, г. Москва

Защита состоится 25 марта 2004 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 20 февраля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

В.И.Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Данная диссертационная работа посвящена проблеме обнаружения разладки. Под обнаружением разладки попимается класс задач обнаружения изменения вероятностных характеристик случайной последовательности.

Впервые задача обнаружения разладки была сформулирована в 30-е годы XX века в работе Шьюхарта и нашла применение в промышленном производстве, экономике, медицинских исследованиях, геофизике, задачах технической диагностики, обработке сигналов.

С развитием информационных технологий и необходимостью автоматизации процессов накопления, обработки и анализа данных в науке, производстве и бизнесе появляются новые области применения данной задачи.

Таким образом, класс задач обнаружения разладки является очень широким. Эти задачи отличаются одна от другой предположениями о модели наблюдаемого процесса и подходами к ее решению. Существует два основных метода решения задачи разладки: методы апостериорного обнаружения по выборке фиксированной длины и последовательные методы обнаружения. В первом случае предполагается, что в имеющейся последовательности наблюдений в некоторый момент произошло изменение характеристик и на основе полученных наблюдений необходимо оценить момент изменений. При этом свойства получаемых оценок изучаются в асимптотической постановке при объеме наблюдений, стремящимся к бесконечности. Для различных моделей наблюдаемых процессов апостериорные методы обнаружения рассматривались Дарховским Б.С, Бродским Б.Е. и др.

При последовательном обнаружении на каждом шаге при поступлении нового наблюдения гипотеза о наступлении разладки либо принимается и наблюдения прекращаются, либо отклоняется и наблюдения продолжаются дальше. Поскольку для принятия решения о наличии разладки необходимо получить определенное количество наблюдений, описываемых новой моделью, возможно возникновение

запаздывания в обнаружении. Но возможна и другая ситуация, когда решение о наличии разладки принимается тогда, когда реально изменение еще не произошло, т.е. имеет место ложная тревога. Ширяевым были введены показатели качества процедуры обнаружения: малое число ложных тревог или, что то же самое, большое среднее время между ложными тревогами и малое среднее время запаздывания. Требование одновременного выполнения этих условий является противоречивым, т.к. чем чувствительнее процедура к возможным изменениям, тем больше вероятность возникновения ложных тревог и наоборот, чем менее чувствителен детектор к шуму, тем больше среднее время запаздывания в обнаружениях. Процедура обнаружения считается оптимальной, если при фиксированном среднем времени между ложными тревогами запаздывание в обнаружении минимально.

Хорошо изученной является задача обнаружения изменения распределения в последовательности независимых случайных величин, для решения которой применяются методы скользящего среднего, метод экспоненциального сглаживания, методы, основанные на алгоритме кумулятивных сумм, предложенном Пейджем и метод усредненного отношения правдоподобия Гиршика-Рубина-Ширяева.

Лорденом было установлено, что оптимальной в классе последовательных процедур обнаружения (в смысле минимума среднего времени запаздывания при заданном среднем времени между ложными тревогами) в случае известного распределения наблюдаемого процесса является процедура кумулятивных сумм, представляющая собой многократно возобновляемую процедуру Вальда с нулевым нижним порогом. Там же было показано, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремиться к константе при стремлении среднего времени между ложными тревогами к бесконечности.

Многие работы, посвященные последовательному обнаружению разладки, рассматривают обнаружения изменения функции распределения в последовательности независимых случайных величин в

предположении, что известны начальная и конечная модели процесса. Большой интерес на практике представляют случаи, когда распределение наблюдаемого процесса до и после момента разладки не известно.

Даже в случае независимых наблюдений аналитическое исследование характеристик процедуры кумулятивных сумм является довольно трудной задачей. В работах Поллака, Зигмунда, Якира получены асимптотические формулы для среднего времени между ложными тревогами и формулы для среднего времени запаздывания, содержащие неизвестные константы.

В работах таких авторов как Бассвиль, Бенвенист , Бородкин, Моттль, Никифоров, Клигене, Липейка, Липейкене, рассмотрены процедуры обнаружения момента разладки случайных процессов с зависимыми значениями. В большинстве этих работ в качестве моделей наблюдаемых процессов чаще всего используются процессы авторегрессионного типа. Аналитическое исследование качественных характеристик и свойств подобных процедур является очень сложной и порой невыполнимой задачей.

Таким образом, актуальным является разработка последовательных методов обнаружения произвольного скачка среднего значения в последовательности независимых случайных величин с неизвестным законом распределения и процессов с зависимыми значениями, а также анализ предложенных методов.

Целью настоящей работы является построение последовательных процедур обнаружения разладки, позволяющих обнаруживать как увеличение, так и уменьшение среднего значения наблюдаемого процесса для последовательности независимых наблюдений с неизвестным законом распределения и процесса авторегрессии с неизвестными параметрами с возможностью аналитического исследования характеристик данной процедуры.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовался аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории аналитических функций, теории матриц и методы

статистического моделирования.

Научная новизна. В данной работе построены последовательные процедуры обнаружения разладки, позволяющие обнаруживать как положительное так и отрицательное изменение среднего значения наблюдаемого процесса для последовательности независимых наблюдений с неизвестным законом распределения и процесса авторегрессии с неизвестными параметрами. Получены формулы для расчета основных характеристик процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в медицинских исследованиях, в экономике и финансовом анализе, геофизике, задачах климато-экологического мониторинга, технической диагностике, обработке сигналов.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации.

Постановка, изложенных в диссертации задач, была сделана научным руководителем, д.ф.-м.н., доц. Воробейчиковым С.Э. Результаты, полученные в диссертации, доказывались и обосновывались лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 128 страниц, библиография содержит 91 наименование.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения в последовательности независимых случайных величин с неизвестным законом распределения.

2. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения устойчивого процесса авторегрессии первого порядка с нормальным и произвольным распределениями шумов.

3. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения устойчивого процесса авторегрессии р—того порядка с нормальным распределением шумов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, изложены цель исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность результатов, методика исследования, дается общая характеристика диссертационной работы.

В первой главе предлагается последовательная процедура, позволяющая обнаруживать как увеличение, так и уменьшение среднего в наблюдениях. При построении процедуры используется метод обнаружения разладки в многоканальной системе. Получены формулы для определения среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания в обнаружении разладки.

Постановка задачи

Предполагается, что наблюдается последовательность независимых случайных величин {X,-} с функцией распределения 1:(х) до момента разладки. Появление сигнала в некоторый момент в (момент разладки) приводит к тому, что среднее значение наблюдений изменяется на неизвестную величину а. Наблюдения имеют распределение

Предполагается, что 1'(х) имеет отличную от нуля производную /(я) = Р'(х) для ¡гей. Требуется по наблюдениям {Х*} обнаружить момент разладки

Предлагается процедура обнаружения изменения среднего, основанная на алгоритме кумулятивных сумм (АКС), предложенном Пей-джем.

Случай положительного сдвига среднего значения наблюдаемого процесса был изучен в работе Воробейчикова С.Э. Когда параметр сдвига а > 0, в качестве величии, реагирующих на изменение, в процедуре использовались величины

если £ < 9, если г > в.

(1)

У1 = sign(xi -

(2)

где к-натуральное число (параметр процедуры, характеризующий глубину памяти).

МЫ I < 6} = М0{Уг} = О, МЫ г >6} = Мв{У1} > 0.

(3)

М0 обозначает усреднение по распределению Б(х), а Мв - по распределению ¥(х — а).

Лорденом было показано, что АКС является оптимальным в классе последовательных процедур обнаружения в смысле минимума среднего времени запаздывания (Тзап) при заданном среднем времени между ложными тревогами (Тлт) в случае известной модели наблюдаемого процесса. Для оптимальной работы процедуры необходимо, чтобы до момента разладки математическое ожидание было меньше нуля, а после - больше нуля. Поскольку у^ имеют нулевое среднее до момента разладки 0, для эффективного использования процедуры кумулятивных сумм вводится параметр и полученная последовательность преобразуется следующим образом:

Параметр 6 необходимо выбирать таким образом, чтобы мат. ожидание после разладки осталось положительным. Отсюда получаем условие на параметр :

Для упрощения последующих вычислений параметр выбирается в виде

6 > 0.

Тогда

М0{г{) = -6 < 0,

Мв{гг} = Мд{у{} -5 = р-(1-р)-6 = 2р-1-6.

(4)

0 < <5 < 2р — 1.

(5)

(6)

где - натуральные числа, причем Обозначим

N = I + т,п = I - т.

(7)

Далее осуществляется переход к статистикам

Величины z} могут принимать значения п и (-N). Среднее значение этих величин до и после разладки определяется равенствами

К величинам zj применяется алгоритм кумулятивных сумм (АКС) [10]

Si = max{N, z\ + Si-1), S0 = N. (10)

Решение о наличии разладки принимается, если кумулятивная сумма Si достигнет целочисленного порога h > N.

Переход от величин yi к zj приводит к тому, что до момента разладки в среднее значение zj меньше нуля. Это обеспечивает экспоненциальный рост Т0 при увеличении порога h.

В случае, когда параметр сдвига а меньше нуля (это соответствует уменьшению среднего значения наблюдений после разладки), процедуру обнаружения можно построить аналогичным образом, заменяя величины

Для обнаружения уменьшения среднего значения наблюдений используется вторая процедура АКС:

z1- sign(xi-k -Xi)-l~m,

yoUi + m, Si = max(l + m,z? + Sí-i).

В общем случае параметр сдвига а может быть как положительным, так и отрицательным. Одновременное использование двух АКС, один из которых ориентирован на обнаружение увеличения среднего, а другой - на уменьшение, приводит к появлению значительных трудностей при нахождении характеристик. Поэтому предлагается процедура, в которой АКС применяются поочередно. Переход от одного из них к другому происходит в моменты времени, когда соответствующая кумулятивная сумма достигает одного из крайних значений: N или h.

Процедуру кумулятивных сумм будем применять к последовательностям zf, изменяя номер j последовательности z{ в определенные ниже моменты времени.

Будем считать ту последовательность, в которой после разладки среднее значение наблюдений увеличивается, первой, а ту, в которой среднее уменьшается - второй. Обозначим через Z{ статистики zj, используемые в текущий момент времени i в АКС; P0- распределение величин Zi до момента разладки, а через P1 и Р- распределения этих величин после разладки соответственно в первой и второй последовательностях. Тогда до момента разладки для обеих последовательностей распределения одинаковы

После разладки распределения изменяются

Зависимость вероятности р от параметра сдвига о определяется соотношением

р = 1 - J F(x- a)dF{х). (14)

Если в наблюдаемой последовательности кумулятивная сумма Si (10) достигает верхнего порога h, то принимается решение о наличии разладки. Если сумма Si становится меньше N, то значение Si полагается равным N и величины Zi выбираются далее из другой последовательности.

В работе производится расчет и анализ основных характеристик процедуры: обнаружения являются среднее время между ложными тревогами и среднее время запаздывания.

Для этих характеристик в работе были построены уравнения, получены асимптотически точные формулы для расчета данных характеристик при любом фиксированном значении порога h и исследо-

ваны асимптотические свойства полученных соотношений. Данные результаты сформулированы в Теореме 1.1.

Теорема 1.1. Если параметр процедуры обнаружения 8 удовлетворяет неравенству вероятность, соответствующая изменению среднего значения наблюдаемого процесса а, то характеристики процедуры определяются соотношениями

Тцт = Ьх АЛ + + ¿3+0(1), (15)

где - корень уравнения

- + 1 = 0, (16)

Гзаш = КН + К^оЩ,

Тзаш = Кк + К3 + о(1), ( )

где -константы известного вида.

Из теоремы 1.1 следует, что среднее время между ложными тревогами Тлт растет экспоненциально при к -> со, а Тзап! и Тзал2 — линейно по И, что характерно для оптимальных процедур в случае известных моделей наблюдаемого процесса до и после момента разладки.

Соотношения теоремы 1.1 позволяют находить среднее время запаздывания в обнаружении разладки в предположении, что в момент разладки применяется процедура обнаружения, ориентированная соответственно на увеличение или уменьшение среднего. При этом реально время запаздывания в обнаружении будет зависеть от того, в каком состоянии находилась сумма в момент разладки (чем ближе она к пороговому значению к, тем меньше будет запаздывание). Если же моменту разладки предшествует длительный период наблюдения, то в системе устанавливается стационарный режим, что позволяет получить точные формулы для среднего времени запаздывания Тзап в обнаружении разладки с учетом того, с какой вероятностью сумма будет находится в том или ином состоянии.

Запаздывание в стационарном режиме определяется формулой 1 Л"1

Гзап = ^ £ + (18)

где через обозначены стационарные вероятности того, что в момент времени к сумма Бк имеет значение у.

Т3ап = ^Л + ^1+0(1), (19)

где К, К - константы известного вида.

В таблице 1.3 приведены результаты, показывающие хорошее совпадение теоретических результатов для нахождения характеристик процедуры в соответствии с соотношениями теоремы 1.1 с результатами численного моделирования.

Таблица 1.3. Характеристики процедуры.

ъ Теоретические Экспериментальные

Глт ^зап1 тзап'2 Тлт Гзап1 Тзап2

150 100 50 765.824 116.524 119.162 205.177 69.186 71.824 32.316 26.766 29.389 754 114 116 204 69 70 32 21 23

Таблицы 1.4, 1.5 иллюстрируют влияние параметров процедуры на ее характеристики.

ТЫ)лица 1.4. Влияние параметра 6. (а — 2, г — 0.2)

6 = _ 1 " 8 <5 = 1 1(1 5 = 1

Ь Клт Ззап Клт ?зап К"лт ?зап

30 253 15 292 10 575 6

50 56 35 107 24 171 17

100 6 102 17 60 30 44

Таблица 1.5. Влияние параметра а. (5 = 0.1, г = 0.2)

ь а = = 1 а = = 3 о = = 5

Клт 2зап Кдт Тзап Клт

30 293 14 291 8 288 7

50 108 42 107 15 106 10

100 17 122 17 27 16 19

В работе было проведено сравнение качества построенной процедуры для случая неизвестного распределения наблюдаемого процесса с оптимальными процедурами для случаев известных распределений.

Случаи известного распределения

Для процедур обнаружения момента разладки, когда известны начальная и конечная модели наблюдаемого процесса, значение отношения известно и равно

Тзап 1

Нт

7дТ-юо тТлт

где

К{в) = Мв1п

К(в)'

(Ш\

(20)

(21)

- информация по Кульбаку. В работе найдено значение этого отношения для различных типов распределения. Соответствующее значение параметра а определяется из уравнения (14). ГАУСОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

К(в) =

а

ф I — I = р.

ДВОЙНОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ К(в) = е"Ав + Аа - 1, р = 1--

^(Ла + 2)е-Ла.

(22)

(23)

(24)

(25)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОШИ

(27)

Случай неизвестного распределения В соответствии с теоремой 1.1

Тзап

1ш1

=■ const,

причем данная константа определяется соотношением 1пТЛ1 (рп - дМ) • 1п\

(28)

(29)

Для сравнения полученных результатов было проведено численное моделирование, результаты которого представлены в таблице 1.6. Таблица 1.6.

р Неизвест. Распред. Двойн. эксп. Нормал.

распред. Коши распред. распред.

0.51 4272.0 3183.0 1591.0 1266.0

0.60 49.6 31.3 15.5 13.6

0.70 12.6 7.4 3.6 3.4

0.80 5.4 2.9 1.4 1.4

0.90 2.7 1.3 0.61 0.67

0.99 1.70 0.45 0.19 0.23

Во второй главе рассматривается задача обнаружения момента изменения среднего значения процесса авторегрессии первого порядка с неизвестными параметрами. Предлагается последовательная процедура обнаружения как положительного, так и отрицательного сдвига среднего наблюдаемого процесса. При этом на первом этапе производится оценивание неизвестных (мешающих) параметров авторегрессионной части. Далее осуществляется преобразование наблюдаемого процесса с целью ослабления влияния этих параметров.

К полученному процессу применяется модифицированная процедура обнаружения. Получены формулы для нижней границы для среднего времени между ложными тревогами и верхней границы для среднего времени запаздывания в обнаружении разладки.

Постановка задачи.

Наблюдается устойчивый процесс авторегрессии первого порядка

где

М - неизвестное среднее значение наблюдаемого процесса, - неизвестный параметр процесса авторегрессии,

{&}»>о - последовательность независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону с М^ = 0 и = 1.

В некоторый момент в происходит изменение среднего значения наблюдаемого процесса на неизвестную величину а. Требуется по наблюдениям процесса оценить момент разладки

Уравнение (30) можно записать в виде

Х;+1 = /! + \Хг + £+1, (31)

где

В момент времени происходит изменение значения на величину

Поскольку значение неизвестно, в данной модели он является мешающим параметром. Для того, чтобы уменьшить его влияние на качество процедуры обнаружения, на начальном этапе наблюдений строится оценка этого параметра А методом, предложенным Воро-бейчиковым С.Э.

Построенная оценка обладает свойством равномерной ограниченности среднеквадратичекого уклонения при любых распределениях шумов

(34)

где Я- порог процедуры оценивания.

Построение процедуры обнаружения

На основе исходных наблюдений с использованием полученной оценки строится новая вспомогательная последовательность

Рассмотрим сначала случай положительного сдвига среднего, когда параметр а >0.

Предлагается процедура обнаружения увеличения среднего (а>0) для процесса авторегрессии, аналогичная случаю независимых наблюдений. Осуществляется переход к последовательности z\ по формуле

Здесь 1,т,к - натуральные числа (т </),£> 0— вспомогательный параметр. К построенной последовательности применяется АКС

Si = maz(l + т, z\ + S¡_i), S0 = l + m. (37)

Решение о наличии разладки принимается при достижении суммой Si порога h.

Для обнаружения уменьшения среднего значения наблюдений, то есть для случая а < 0, используется вторая процедура АКС, в которой величины x¿ заменяются на :

So = l + т, Si = тпах{14-тп,г? + 5¿_i). (38)

Процедуры АКС применяются последовательно, изменяя номер j последовательности zf, если значение Si становится меньше 1 + т.

Основными характеристиками построенной процедуры являются среднее время между ложными тревогами Тлт и среднее время

М( А-А)2<1

запаздывания Тзап][, Гзап2 при наблюдении первой и второй последовательности соответственно. В работе получены асимптотически точные формулы для расчета этих характеристик при любом фиксированном значении порога процедуры к, а также исследованы асимтотические свойства. Соотношения для нахождения этих характеристик представлены в теоремах 2.1-2.4.

Теорема 2.1. Пусть существует такое р0» для которого выполнено следующее условие

Ро& > 0| < ро <

1 + 6

(39)

Тогда для среднего времени между ложными тревогами справедлива оценка

Тцт > Тлт,

где Тлт растет экспоненциально при увеличении порога к :

Глт = £1Ал + £2А + ЬЗ + о(1), (40)

где - известные константы, - корень уравнения

Оценим вероятность Ро(г» > 0| 2,-1). Рассмотрим последовательность

(43)

Обозначим Д„ = (А — А)(х„ - !„_*) и Р(Д„ > Ь) — Рд.

Теорема 2.2. Пусть параметры процедуры Н (34), ей Ь такие, что выполняется условие

где Ф(х)- функция стандартного нормального распределения. Тогда для вероятностей Ро(гп+1 > 0 | 2„) выполнены условия теоремы 2.1,

где ро

+

Ра

Ф

ш

Теоремы 2.1,2.2 показывают, что при подходящем выборе параметров процедуры имеет место экспоненциальный рост среднего времени между ложными тревогами при увеличении порога к.

Теорема 2.3. Пусть существует такое дх, для которого выполнено следующее условие

Рг(гп < 0| -г„_г) < ^ <

1-6

(45)

Тогда для среднего времени запаздывания справедлива оценка

гзап1 ^ ^зап1> (46)

где ^зап! растет линейно при увеличении порога к : Тзал1=КИ + К1+о{1),

(47)

где К, К1 - известные константы.

Теорема 2.4. Пусть сдвиг а (33) и параметры процедуры Н (34), такие, что выполняется условие

(48)

где а - параметр сдвига, определенный в (33). Тогда для вероятностей выполнены условия теоремы 2.3, где

./Ь-а + А^ РА

Теоремы 2.3 и 2.4 показывают, что при подходящем выборе параметров процедуры имеет место линейный рост среднего времени запаздывания при увеличении порога к.

Аналогичные результаты справедливы для среднего времени запаздывания при наблюдении второй последовательности.

Таблица 2.1 показывает, на сколько модификация процедуры обнаружения улучшает ее характеристики.

Таблица 2.1. Сравнение результатов работы немодифицирован-ной и модифицированной процедур. Параметры процедур

Для модифицированной процедуры е = 0.1

Немодифицированпая Модифицированная

Ь Клт ?зап Ь ■Клт Тзап

30 303 16 30 263 14

50 94 79 50 86 38

100 И 203. 100 10 157

В таблицах 2.4, 2.7 представлено влияние параметров на характеристики процедуры.

Таблица 2.4. а = 1, 5 = 0.1, е = 0.1

А = 0.5 А = -0.5

Ь Клт Тзап Клт Тзап

30 251 9 254 3

50 85 37 84 8

100 10 60 10 15

. А = 0.7, ¿ = 0.1, е = 0.1

а = 2 а = -2

Ь Клт Тзап Клт Тзал

30 258 8 261 7

50 87 18 87 17

100 11 42 9 45

В третьей главе рассматривается задача обнаружения момента сдвига среднего значения процесса авторегрессии р—того порядка с неизвестными параметрами. На первом этапе производится оценивание неизвестных (мешающих) параметров авторегрессионной части.

Далее осуществляется преобразование наблюдаемого процесса с целью ослабления влияния этих параметров. Предлагается последовательная процедура обнаружения на основе алгоритма кумулятивных сумм. Получены формулы для среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания в обнаружении разладки.

Постановка задачи.

Пусть наблюдается процесс авторегрессии

хп-М = Л1(х„_1-М)+Л2(яп-2-М)+...+Ар(хп_р-М)+£,, п > О,

(49)

где М - неизвестное среднее значение наблюдаемого процесса, Л», г = 1 ,р - неизвестные параметры, {£п}п>о - последовательность независимых гауссовских случайных величин с М£п = 0 и = 1.

В некоторый момент в происходит изменение среднего значения наблюдаемого процесса на неизвестную величину а. Требуется по наблюдениям процесса оценить момент разладки Исходный процесс представим в виде

р + + гДе Р = М (* (50)

¿=1 \ <=1 /

В момент происходит сдвиг на неизвестную величину

Для уменьшения влияния мешающих параметров А* на качество процедуры обнаружения, аналогично тому, как это было сделано в предыдущей главе для случая авторегрессии первого порядка, по первым наблюдениям процесса строятся их оценки

Построенные оценки обладают свойством равномерной ограниченности среднеквадратичекого уклонения при любых распределениях шумов

где Я- порог процедуры оценивания.

Построение процедуры обнаружения.

Для решения задачи обнаружения, как и в предыдущей главе, используем модификацию алгоритма кумулятивных сумм для обнаружения момента изменения среднего в последовательности независимых случайных величин. На основе исходных наблюдений с использованием полученной оценки формируется вспомогательная последовательность

Процедура обнаружения выглядит следующим образом:

(54)

к — порог,

где к,1,тп натуральные числа, причем т < I, Л- порог, при достижении которого суммой 5П принимается решение о наличии разладки. Этот алгоритм кумулятивных сумм ориентирован на обнаружение увеличения среднего значения процесса (а > 0). Для обнаружения момента уменьшения среднего (а < 0) используется аналогичная последовательность Бп с заменой величин Xi на —х».

(55)

к — порог.

Два алгоритма кумулятивных сумм используются поочередно.

Для построенной процедуры справедливы теоремы, аналогичные Теоремам 2.1 - 2.4 главы 2, дающие вычислительные формулы характеристик построенной процедуры.

Таблицы 3.1-3.3 показывают влияние параметров процедуры на ее характеристики.

Таблица 3.1. а = 1, 8- ОД, е = 0.1

а1 = = 0.1 а1 = = 0.1 а1 = = 0.8

ь а2 = = 0.1 а2 = = 0.8 а2 = = 0.1

#лт ?зап кдт ?зап ■кдт Ззап

30 66 5 73 25 68 26

50 12 9 18 94 14 98

100 1 20 3 202 1 233

Таблица 3.2

а1 = = 0.6 аг = = 0.6

ь а2 = = 0.3 а2 = -0.3

кцт Тзап клт Ззап

30 65 35 61 5

50 10 141 11 12

100 1 339 1 22

Таблица 3.3

а1 = -0.6 аг = -0.5

Ь а2 = = 0.3 а2 = -0.4

Клт ?зап ■Клт

30 64 4 67 2

50 12 8 12 6

100 1 18 1 13

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента изменения среднего в последовательности независимых случайных величин // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Ч. 4, Новосибирск, Изд-во ин-та математики СОРАН. - 1998. - С.90.

2. Воробейников С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента изменения среднего последовательности независимых случайных величии // Всероссийская научно - практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск: Изд-во "Твердыня". - 2002.- С. 69-71.

3. Кабанова Т.В. Сравнительный анализ процедур обнаружения момента разладки последовательности независимых случайных величин // Четвертая региональная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Научные основы АПК". Томск, ТСХИ НГАУ: Изд-во ИРО-ргезз. - 2002. - С. 162-171.

4. Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии первого порядка // Региональная паучная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации"(НТИ-2002). Новосибирск, НГТУ: Изд-во НГТУ. -2002.- С. 50

5. Воробейников С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки последовательности независимых случайных величин // Радиотехника и электроника, РАН- 2002. - Т.47, № 10.- С. 1198-1203.

6. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента изменения среднего процесса авторегрессии // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва.- 2003. - Т. 10, Вып.1.- С. 122.

7. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - № 280. - С. 170-174.

15-4

Тираж 120. Заказ 147 Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 1ф. Ленина, 40

ВВЕДЕНИЕ

1 Последовательное обнаружение момента изменения среднещ го значения последовательности независимых случайных величин

1.1 Постановка задачи.

1.2 Процедура обнаружения разладки.

1.3 Расчет основных характеристик процедуры.

1.3.1 Среднее время между ложными тревогами.

1.3.2 Среднее время запаздывания.

1.3.3 Результаты моделирования.

1.4 Исследование свойств процедуры.

1.5 Сравнительный анализ процедуры обнаружения разладки для последовательности с неизвестным распределением со случаями известного распределения . . . •.

1.5.1 Случай неизвестного распределения.'

1.5.2 Случаи известного распределения.

1.5.3 Моделирование.

1.6 Среднее время запаздывания в стационарном режиме.

1.7 Асимптотические соотношения для среднего времени запаздывания в стационарном режиме.

1.8 Выводы.

2 Обнаружение момента изменения среднего значения процесса авторегрессии первого порядка г

2.1 Постановка задачи.

2.2 Оценка параметров авторегрессионной части.

2.3 Построение процедуры обнаружения.

2.4 Расчет основных характеристик процедуры.

2.4.1 Нахождение характеристик процедуры для случая неизвестного распределения шумов.

2.4.2 Моделирование и анализ полученных результатов

2.5 Выводы.

3 Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии р—того порядка'

- 3.1 Постановка задачи.•.

3.2 Оценка параметров авторегрессионной части.

3.3 Построение процедуры обнаружения.

3.4 Результаты моделирования.

3.5 Выводы.

Данная диссертационная работа посвящена проблеме обнаружения разладки. Под обнаружением разладки понимается класс задач обнаружения изменения вероятностных характеристик случайной последовательности.

Впервые задача обнаружения разладки была сформулирована в 30-е годы XX века в работе Шыохарта [85] и с этого момента начала интенсивно развиваться. Первоначально задача получила применение в промышленном производстве, медицинских исследованиях, геофизике, задачах технической диагностики, обработке сигналов.

• За прошедшие годы развитие науки и техники ставит все новые научные, технологические и сугубо прикладные задачи, о существовании многих их которых невозможно было даже подумать во время опубликования первых работ по данной тематике. Тем не менее оказывается, что многие из этих задач можно свести к задаче обнаружения разладки, воспользоваться уже существующим аппаратом. Кроме того, этот процесс стимулирует появление новых работ в данной области, исследующих всевозможные модификации существующих методов для новых приложений в зависимости от постановки конкретных задач. В качестве примера подобных новых приложений можно привести интернет-технологии. Развитие информационных технологий также сыграло важную роль в возникновении новых приложений. Необходимость автоматизации процессов накопления, обработки и анализа данных в науке, производстве и бизнесе предоставляет широкое поле для применения аппарата математической статистики, в том числе методов обнаружения разладки.

Таким образом, класс задач обнаружения разладки является очень широким. Эти задачи отличаются одна от другой предположениями о модели наблюдаемого процесса и подходами к ее решению. Существует два основных метода решения задачи разладки: методы апостериорного обнаружения по выборке фиксированной длины и последовательные методы обнаружения. В первом случае предполагается, что в имеющейся последовательности наблюдений в некоторый момент произошло изменение характеристик и на основе полученных наблюдений необходимо оценить момент изменений. При этом свойства получаемых оценок изучаются в асимптотической постановке при объеме наблюдений, стремящимся к бесконечности. Для различных моделей наблюдаемых процессов апостериорные методы обнаружения рассматривались Дарховским Б.С, Бродским Б.Е. [3, 5, 20] и др.

При послёдовательном обнаружении на каждом шаге при поступлении нового наблюдения гипотеза о наступлении разладки либо принимается и наблюдения прекращаются, либо отклоняется и наблюдения продолжаются дальше. Поскольку для принятия решения о наличии разладки необходимо получить определенное количество наблюдений, описываемых новой моделью, возможно возникновение запаздывания в обнаружении. Но возможна и другая ситуация, когда решение о наличии разладки принимается тогда, когда реально изменение еще не произошло, т.е. имеет место ложная тревога. Понятно, что на практике желательно свести к минимуму количество ложных тревог и время запаздывания. Ширяевым [54, 55] были введены показатели качества процедуры обнаружения: малое число ложных тревог или, что то же самое, большое среднее время между ложными тревогами и малое среднее время запаздывания. Требование одновременного выполнения этих условий является противоречивым, т.к. чем чувствительнее процедура к возможным изменениям, тем больше вероятность возникновения ложных тревог и наоборот, чем менее чувствителен детектор к шуму, тем больше среднее время запаздывания в обнаружениях. Процедура обнаружения считается оптимальной, если при фиксированном среднем времени между ложными тревогами запаздывание в обнаружении минимально.

Хорошо изученной является задача обнаружения изменения распределения в последовательности независимых случайных величин, для решения которой применяются методы скользящего среднего, например в работе Бродского Б.Е., Дарховского Б.С. [6], метод экспоненциального сглаживания в работах таких авторов как Новиков А., Эргашев Б., [43, 44], Фишман М. [51], а также [70, 77] и др. Работы [55, 58, 76, 81, 86, 78] основаны на алгоритме кумулятивных сумм, предложенном Пейджем [79] и методе усредненного отношения Правдоподобия Гиршика-Рубина-Ширяева [69, 58].

В работе Лордена [76] было установлено, что оптимальной в классе последовательных процедур обнаружения (в смысле минимума среднего времени запаздывания при заданном среднем времени между ложными тревогами) является процедура кумулятивных сумм, представляющая собой многократно возобновляемую процедуру Вальда [7] с нулевым нижним порогом. Там же было показано, что отношение среднего времени запаздывания к логарифму среднего времени между ложными тревогами стремиться к константе при стремлении среднего времени между ложными тревогами к бесконечности.

Многие работы, посвященные последовательному обнаружению разладки, рассматривают обнаружения изменения функции распределения в последовательности независимых случайных величин в предположении, что известны начальная и конечная модели процесса [59]. Большой интерес на практике представляют случаи, когда распределение наблюдаемого процесса до и после момента разладки не известно [21, 22, 46]. В работе [6] проводится сравнительный анализ различных непараметрических методов для обнаружения различных величин скачка среднего значения наблюдаемого процесса.

Даже в случае независимых наблюдений аналитическое исследование характеристик процедуры кумулятивных сумм является довольно трудной за> дачей. Подобные исследования описаны в работах Поллака, Зигмунда [83, 84], Якира [87, 88, 89], где получены асимптотические формулы для среднего времени между ложными тревогами и формулы для среднего времени запаздывания, содержащие неизвестные константы.

• В работах таких авторов как Бассвиль, Бенвенист [63, 64], Бородкин, Моттль [2], Никифоров [40, 41, 42], Клигене [28, 29], Липейка [31, 32, 33], Липейкене [35, 36], рассмотрены процедуры обнаружения момента разладки случайных процессов с зависимыми значениями. В большинстве этих работ в качестве моделей наблюдаемых процессов чаще всего используются процессы авторегрессионного типа. Известны результаты, связанные с нахождением либо среднего времени между ложными тревогами [2], либо среднего времени запаздывания в обнаружении [37]. Аналитическое исследование качественных характеристик и свойств подобных процедур является очень сложной и порой невыполнимой задачей.

Широкое применение задача обнаружения изменения свойств наблюдаемого процесса получила в экономике и финансовом анализе. В работах

66, 68, 71, 73, 74] предложено ее применение для анализа временных рядов, описываемых ARCH и GARCH моделями.

В последнее время интерес к этой проблеме не угасает, о чем свидетельствует большое количество работ в этой области [47, 48, 90, 72, 75, 67, 62, 66] и многие другие.

Таким, образом, актуальным является разработка последовательных методов обнаружения произвольного скачка среднего значения в последовательности независимых случайных величин с неизвестным законом распределения и процессов с зависимыми значениями, а также анализ предложенных методов.

Целью настоящей работы является построение последовательных процедур обнаружения разладки, позволяющих обнаруживать как увеличение, так и уменьшение среднего значения наблюдаемого процесса для последовательности независимых наблюдений с неизвестным законом распределения и процесса авторегрессии с неизвестными параметрами с возможностью аналитического исследования характеристик данной процедуры.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовался аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории аналитических функций, теории матриц и методы статистического моделирования.

Научная новизна. В данной работе построены последовательные процедуры обнаружения разладки, позволяющие обнаруживать как положительное, так и отрицательное изменение среднего значения наблюдаемого процесса для последовательности независимых наблюдений с неизвестным законом распределения и процесса авторегрессии с неизвестными параметрами. Получены формулы для расчета основных характеристик процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в медицинских исследованиях, в экономике и финансовом анализе, геофизике, задачах климато-экологического мониторинга; технической диагностике, обработке сигналов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения в последовательности независимых случайных величин с неизвестным законом распределения.

2. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения устойчивого процесса авторегрессии первого порядка с нормальным и произвольным распределениями шумов.

3. Последовательная процедура обнаружения изменения среднего значения устойчивого процесса авторегрессии р—того порядка с нормальным распределением шумов.

Аппробация и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной матема-тике( ИНПРИМ - 98, Новосибирск, 1998);

Четвертой региональной научно - практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Научные основы АПК"(Томск, 2002);

Всероссийской научно - практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002);

Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации"(НТИ-2002, Новосибирск, 2002); ' Четвертом Всероссийском симпозиуме по Прикладной и промышленной математике (Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва, 2003)

По теме диссертации опубликована две печатные работы, в том числе в академическом журнале:

Радиотехника и электроника, РАН'(2002, 47 (10), с. 1198-1203).

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации предлагается последовательная процедура обнаружения момента изменения среднего значения последовательности независимых случайных величин, построенная на основе алгоритма кумулятивных сумм. Получены формулы для нахождения основных характеристик процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания. Получены асимптотические соотношения для этих характеристик при неограниченном возрастании порога процедуры. Проведен анализ оптимальных (в смысле минимума среднего времени запаздывания при заданном среднем времени между ложными тревогами) процедур обнаружения изменения среднего для последовательностей с известным распределением (гауссовское, двойное экспоненциальное и распределение Коши) до и после момента разладки и сравнение с ними посторенной процедуры, когда распределение считается не известным. Приведены результаты численного моделирования. Найдено среднее время запаздывания в стационарном режиме. Результаты данной главы опубликованы в работах [10, 11, 12, 25].

Во второй главе решается задача обнаружения произвольного скачка среднего для устойчивого процесса авторегрессии первого порядка. Рассматриваются два случая: случай нормального распределения шумов и случай, когда распределение шумов неизвестно. На первом этапе производится оценивание неизвестных (мешающих) параметров авторегрессионной части. Далее осуществляется преобразование наблюдаемого процесса с целью ослабления * » влияния этих параметров. Строится последовательная процедура обнаружения на основе алгоритма кумулятивных сумм. Получены формулы для среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания в обнаружении разладки. Приведены результаты численного моделирования. Результаты этой главы опубликованы в работах [26].

В третьей главе результаты предыдущей главы распространяются на случай многомерного авторегрессионного процесса. Предлагается и исследуется аналогичная процедура обнаружения разладки, результаты иллюстрируются моделированием. Результаты главы опубликованы в работе [13].

3.5 Выводы $

1. В третьей главе построена процедура обнаружения момента изменения среднего значения процесса авторегрессии р—го порядка с неизвестными параметрами. Предложенный подход позволяет контролировать статистические свойства процедуры, связанные как с ложными тревогами, так и с запаздыванием в обнаружении разладки.

2. Найдены характеристики процедуры: среднее время между ложными тревогами и среднее время запаздывания в обнаружении.

3. Проведенное численное моделирование подтверждает работоспособность предлагаемой процедуры и иллюстрирует влияние параметров процесса на значения характеристик процедуры.

Заключение

В данной диссертационной работе предложены последовательные процедуры обнаружения неизвестного скачка среднего наблюдаемого процесса. Исследованы свойства построенных процедур, полученные результаты проиллюстрированы численным моделированием. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Построена последовательная процедура обнаружения как положительного так и отрицательного скачка среднего последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с неизвестным законом распределения, основанная на поочередном использовании двух АКС.

2. Получены формулы для расчета основных характеристик построенной процедуры: среднего времени между ложными тревогами и среднего времени запаздывания. 3. Проведен анализ асимптотических свойств процедуры. Показано, что среднее время между ложными тревогами растет экспоненциально, а среднее время запаздывания линейно при неограниченном возрастании порога процедуры h.

4. Произведено сравнение построенной процедуры для случая, когда распределение наблюдаемой последовательности до и после момента разладки неизвестно, с аналогичными оптимальными процедурами обнаружения в случаях, когда распределение известно.

5. Найдено среднее время запаздывания в стационарном режиме.

6. Построена последовательная процедура обнаружения разладки, исследованы свойства и получены характеристики процедуры для случая, когда наблюдаемый процесс является устойчивым процессом авторегрессии перI вого порядка.

7. Построена и исследована процедура обнаружения момента изменения параметров процесса авторегрессии р—того порядка.

8. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы и подтверждены результатами численного моделирования.

1. Асатрян Д., Сафарян И. Непараметрические методы обнаружения изменений свойств случайных последовательностей // Статистические проблемы управления. - 1984. - Вып. 65. - С. 9-20.

2. Бородкин Л.И., Моттль В.В. Алгоритм обнаружения момента изменения параметров уравнения случайного процесса // Автоматика и телемеханика. 1976. - № 6. - С. 23-32.

3. Бродский Б.Б. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.1. // Автоматика и телемеханика. 1995.- №. С. 60-72

4. Бродский Б.Е. Асимптотически оптимальные методы в задаче скорейшего обнаружения разладки.Н. // Автоматика и телемеханика. 1995.- №10. С. 50-61.

5. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Асимптотический анализ некоторых оценок в апостериорной задаче о разладке // Теория вероятностей и ее примен. 1990. - Т.35, Вып.З. - С. 551-557.

6. Бродский Б.Е., Дарховский Б.С. Сравнительный анализ некоторых непараметрических методов скорейшего обнаружения момента "разладки"случайной последовательности // Теория вероятностей и ее примен. 1990. - Т.35, Вып.4. - С. 655-668.

7. Вальд А. Последовательный анализ. М.: Физматгиз, 1960. - 328 с.

8. Воробейников С.Э. О последовательной идентификации параметров случайных процессов рекуррентного типа // Математическая статистика и ее приложения. Изд-во Томск, ун-та, 1983. Вып.9. - С. 42-47.

9. Воробейчиков С.Э.Об обнаружении изменения среднего в последовательности случайных величин // Автоматика и телемеханика. 1998. -№ 3. - С. 50-56.

10. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки последовательности независимых случайных величин // Радиотехника и электроника, РАН. 2002. - Т.47, № 10. - С. 1198-1203.

11. Воробейников С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента изменения среднего процесса авторегрессии // Обозрение прикладной и промышленной математики, Москва. 2003. - том 10, Вып.1. - С. 122.

12. Воробейников С.Э., Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии первого порядка // Вестник Томского государственного университета. 2003. - № 280. - С. 170-174.

13. Воробейников С.Э., Конев В.В. Последовательная процедура обнаружения разладки в многоканальной системе // Радиотехника и электроника. 1990. - Т.35, № 10. С. 2104-2111.

14. Вострикова Л.Ю. Обнаружение "разладки"винеровского процесса // Теория вероятн. и ее примен. 1981. - Т.26 , Вып. 2. - С. 362-368.

15. Вострикова Л.Ю. Обнаружение изменений среднего значения в случайном процессе // Теория вероятн. и ее примен. 1981. - Т.26 , Вып. 4. - С. 867-869.

16. Вострикова Л.Ю. Обнаружение "разладки"в многомерных случайных процессах // ДАН СССР. 1981. - Т. 259, № 2. - С. 270-274.

17. Гельфонд А.О., Исчисление конечных разностей./ изд 3-е, М.:Наука, 1967. 376 е., ил.

18. Дарховский B.C. Непараметрический метод для апостериорного обнаружения момента разладки последовательности независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1976. - Т.21, № 1. - С. 180-184.

19. Дарховский Б.С., Бродский Б.Е. Непараметрический метод скорейшего обнаружения изменения среднего случайной последовательности // Теория вероятн. и ее примен. 1987. - Т.32. № 4. - С. 703-711.

20. Драгалин В.П. Асимптотические решения задачи обнаружения разладки при неизвестном параметре // Статистические проблемы управления. 1988. - № 83. - С. 47-51.

21. Зигангиров К.Ш. Задача поиска в системе с конечным числом позиций // Радиотехника и электроника. 1963. - Т.8, Jf21. - С. 16-23.

22. Зигангиров К.Ш. Об оптимальности поиска в системе с конечным числом позиций // Радиотехника и электроника. 1964. - Т.9, № 10. - С. 1746-1751.

23. Кабанова Т.В. Обнаружение момента разладки процесса авторегрессии первого порядка // Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации"(НТИ-2002). Новосибирск, НГТУ: Изд-во НГТУ. 2002.- С. 50

24. Клигене С.-Н.И. Оценка момента изменения параметров распределения случайных последовательностей // Теория вероятн. и ее примен. 1973. - Т. 18, Вып. 3. - С. 677-678.

25. Клигене С.-Н.И. Точное распределение оценки максимального правдоподобия параметров авторегрессии // Статистические проблемы управления. 1978. - Вып. 31. - С. 9-30.

26. Клигене С.-Н.И. Сравнительный анализ оценок моментор изменения параметров авторегрессии // Статистические проблемы управления. -1980. Вып. 44. - С. 9-25.

27. Клигене Н., Телькснис JI. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов (обзор) // Автоматика и телемеханика. -1983. № 10. - С. 5-56.

28. Липейка А. Классификация авторегрессионных последовательностей с скачкообразно меняющимися параметрами // Статистические проблемы управления. 1978. - Вып. 30. - С. 9-28.

29. Липейка А. Определение моментов изменения свойств авторегрессионных последовательностей с неизвестными параметрами // Статистические проблемы управления. 1982. - Вып. 54. 7 С. 9-28.

30. Липейка А. Оценка моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей при не полностью известных параметрах // Статистические проблемы управления. 1990. -Вып. 89. - С. 150-155.

31. Липейка А., Липейкене И. Определение нескольких моментов изменения свойств многомерных авторегрессионных случайных последовательностей методом динамического программирования // Статистические проблемы управления. 1988. - JY2 83. - С. 193-197.

32. Липейкене И. Определение момента изменения свойств последовательности авторегрессии-скользящего среднего по суммарной ошибке прогноза // Статистические проблемы управления. 1981. - № 51. - С. 33-48.

33. Липейкене И., Телькснис Л. Тестовые задачи и результаты их решения участниками семинара по обнаружению изменений свойств случайных процессов // Статистические проблемы управления. 1984. - Вып. 68.г- С. 107-133.

34. Лумельский В.Я. Один алгоритм обнаружения момента времени изменения свойств случайного процесса // Автоматика и телемеханика. -1972. № 10. - С. 67-73.

35. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978. - С.

36. Новиков А.А. О моменте первого выхода процесса авторегрессии зауровень и одно применение в задаче "разладки"// Теория вероятн. и ее примен. 1990. - Т. 35, Вып. 2. - С. 282-292.

37. Никифоров И.В. Применение кумулятивных сумм для обнаружения изменения характеристик случайного процесса //Автоматика и телемеханика. 1979. - № 2. - С. 48-58.

38. Никифоров И.В. Модификация и исследование процедуры кумулятивных сумм // Автоматика и телемеханика. 1980. - № 9. - С. 61-71

39. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. - 199 С.

40. Новиков А.А. О моменте первого выхода процесса аЁторегрессии за уровень и одно применение в задаче "разладки"// Теория вероятн. и ее примен. 1990. - Т. 35, Вып. 2. - С. 282-292.

41. Новиков А., Эргашев Б. Аналитический подход к расчету алгоритма экспоненциального сглаживания для обнаружения разладки // Статистические проблемы управления. 1988. - № 83. - С. 110-113.

42. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Бассвиль М. и др., М.: Мир, 1989. 278 С.

43. Сосулин Ю.Г., Фишман М.М. Теория последовательных решений и ее применения. М.: Радио и связь, 1985. - 272 С.

44. Телькснис JT.A. Определение изменений свойств случайных процессов при неполных априорных данных // Статистические проблемы управления. Вильнюс:1977. - Вып. 12. - С. 10-26.

45. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир, 1967. - 498 С.

46. Фишман М. Оптимизация алгоритма обнаружения разладки, основанного на статистике экспоненциального сглаживания // Статистические проблемы управления. 1988. - К2 83. - С. 146-151.

47. Хахубиа Ц.Г. Предельная теорема для оценки максимального правдоподобия момента разладки // Теория вероятн. и е примен. 1986. - Т. 31, Вып. 1. - С. 152-155.

48. Ширяев А.Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов // ДАН СССР. -1961. Т. 138, № 4. - С. 794-801.

49. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // ДАН СССР. 1961. - Т.138. - № 5. - С. 1039-1042.

50. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задаче скорейшего обнаружения // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - Т.8, Вып. 1. - С. 26-51.

51. Ширяев А.Н. К обнаружению разладок производственного процесса. I // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - Т.8, Вып. 3. - С. 264-281.

52. Ширяев А.Н. К обнаружению разладок производственного процесса.И // Теория вероятн. и ее примен. 1963. - Т.8, Вып. 4. - С. 431-443.

53. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке // Теория вероятн. и ее примен. 1965. - Т.10, Вып. 2. - С. 380-385.

54. Ширяев А.Н. Статистический Последовательный анализ. М.: Наука, 1976. - 272 С.

55. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 С.

56. Ширяев А.Н. Минимаксная оптимальность метода кумулятивных сумм (CUSUM) в случае непрерывного времени // Успехи матем. наук. -1996.- Т.51, № 4. С. 173-174.

57. Bai J. Estimating multiple breaks one at a time // Economics Theory. -1997. V.14. - P. 315-352.

58. Basseville M. Detecting changes in signals and systems. A Survey // Automatica. 1988. - V. 24, № 3. - P. 309-326.

59. Basseville M., Benveniste A. Sequential detection of abrupt changes in spectral characteristics of digital signals // IEEE Trans, on Inform. Theory.- 1983. V. IT-29, № 5. - P. 709-724.

60. Basseville M., Nikiforov I. Detection of Abrupt Changes, Theory and Applications // Englewood Cliffs. NY.: Prentice-Hall. - 1993.

61. Berkes I., Horvath L. Limit results of the empirical process of squared residuals in GARCH models // Stochastic Processes and their Applications.- 2003. V.105. - P. 271-298.

62. Carlstein E., Muller H., Siegmund D., Eds. Change-point Problems // Hayward. CA: Inst. Math. Stat. - 1994.

63. Chu C.-S.J. Detecting parameter shift in GARCH models // Econometric Reviews. 1995. - V.14. - P. 241-266.

64. Girshik M.A., Rubin H. A Bayes approach to a quality control models // Ann. Math. Stat. 1952. - V.23, № 1. - P. 114-125

65. Hunter J.S. The exponentially weighted moving average // Journal of Quality Technology. 1986. - V.18. - P. 19-25.

66. Kokoszka P.S., Leipus R., Testing for parameter changes in ARCH models // Lithuanian Mathematical Journal. 1999. - V.39 - P. 231-247.

67. Kokoszka P.S., Leipus R., Detection and estimation of changes in regime, in: Doughan P., Oppenheim G., Taqqu M.S., Eds., Long-Range Dependence: Theory and Applications. Birkhauser, Boston. 2002. - P. 325-337:

68. Kokoszka P.S., Leipus R., Change-point estimation in ARCH models // Bernoulli, 6 2002. - P. 513-539.

69. Kokoszka P.S., Teyssiere G. Change-point detection in GARCH models: asimptotic and bootstrap test. Under revision for the Journal of Business and Economics Statistics. 2002.

70. Lavielle M. Detection in multiple changes in a sequence of dependent variables // Stochastic Processes and their Applications. 1999. - V.83. - P. 79-102.

71. Lorden G. Procedures for reacting to a change of distribution // Annals Math. Statistics. 1971. - V.42, № 6. - P. 1897-1908

72. Lucas J.M., Saccucci M.S. Exponentially weighted moving average control schemes: properties and enhancements // Technometrics. -1990. V.32.-P. 1-12.

73. Moustakides G.V. Optimal stopping times for detecting changes in distributions // Ann. Statist. 1986. - V.14, № 4. - P. 1379-1387

74. Page E.S. Continuous inspection schemes // Biometrika,. 1954. - V.42, № 1. - P. 100-115

75. Picard D. Testing and estimating change-point in time series j J Adv. in Appl. Probab. 1985.- V.17.- P. 841-867.

76. Pollak M. Optimal detection of a change in disrtibution // Ann. Statist. -1985. V. 13, № 1. - P. 206-227

77. Pollak M. Average run length of an optimal method of detecting a change in distribution // Ann. Statist. 1987. - V. 15, № 2. - P. 749-779

78. Pollak M., Siegmund D. Approximations to the expected sample size of certain sequential tests // Ann. Statist. -1975. V.3, № 2. - P. 1267-1282.

79. Pollak M., Siegmund D. Sequential detection of a change in a normal mean when the initial value is unknown // Ann. Statist. 1991. - V. 19, №1,-P. 394 - 416.

80. Shewhart W.A. The application of statistics as an aid in maintaining quality of a manufactured product // J. Am. Statist. Ass. 1925. - V.20, № 3. - P-. 546-548

81. Siegmund D. Sequential Analysis. Tests and Confidence Intervals. -Springer-Verlag, New York Inc., 1985.

82. Yakir B. Dynamic sampling policy for detecting a change in distribution, with a probability bound on false alarms // Ann. Math. Stat. 1996. - V.24, № 5. P. 2199-2214

83. Yakir B. A note on optimal detection of a change in distribution // Ann. Math. Stat. 1997. - V. 25, № 5. - P. 2117-2126

84. Yakir В. On the average run length to false alarm in surveillance problems which possess an invariance structure // Ann. Math. Stat. 1998. - V. 26, № 3. - P. 1198 - 1214.

85. Xiao Z., Phillips P.C.B. A CUSUM test for cointegration using regression residuals // Journal of Econometrics. 2002. - V.108. - P. 43-61.

86. Yao Y. Estimating the number of change-point via Schwarz criterion // Statistics and Probability Letters. 1988. - V.6. - P. 181-189.