автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Вероятностно-статистическое прогнозирование случайных процессов в измерительно-вычислительных системах

РГЗ од

1 6 МАР 1333

На правах рукописи

Гридина: Елена Георгиевна

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.11.16. - Информационно-измерительные

системы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических

наук

Санкт-Петербург — 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном электротехническом университете

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Кноринг В.Г.; доктор технических наук, профессор Русинов Л.А.; доктор технических наук, профессор Цветков Э.И.

Ведущее предприятие — НИЦЭВТ, г. Москва.

Защита диссертации состоится 1998 г. в

часов на заседании диссертационного Совета Д 063.36.02 Санкт-Петербургского Государственного электротехнического

университета по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан

УЛ> О л

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Исаков А.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современные информационно-измерительные системы (ИИС) и измерительно-вычислительные комплексы (ИВК) — это сложные объекты, состоящие из различных многочисленных взаимосвязанных звеньев с последовательными, параллельными и обратными связями. Поведение отдельных звеньев таких объектов, их воздействие друг на друга и функционирование объекта в целом могут иметь детерминированный, случайный и смешанный детерминированно-стохастический характер.

Конструирование и исследование таких

сложноорганизованных систем требует системного подхода к решению различных задач, возникающих в процессе синтеза и анализа. Сущность системного подхода состоит прежде всего в предвидении, прогнозировании, предсказании возможных последствий.

Прогнозирование — это процесс формирования прогноза. Прогноз — это научно предсказанное состояние, поведение, развитие, функционирование некоторого объекта, основанное на знании его предыстории (т. е. знания состояния, поведения, развития, функционирования объекта в настоящем и прошлом) и соответствующих объективных закономерностях.

Прогнозирование в измерительно-вычислительной технике чаще всего сводится к предсказанию значений случайных процессов — режимов работы технических устройств, либо воздействий на них со стороны среды.

В настоящее время существует огромное количество методов и способов прогнозирования, однако все они основаны на двух крайних подходах: эвристическом и математическом.

Математические методы прогнозирования в зависимости от вида математического описания объектов прогнозирования и способов определения неизвестных параметров модели часто в литературе разделяют на методы моделирования процессов движения (развития) и экстраполяции (статистические методы). К первой группе относятся методы, использующие в качестве модели прогнозируемого объекта его дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями. Ко второй группе относятся

методы, определяющие на основании статистических данных о прогнозируемом объекте (процессе) его детерминированную основу и вычисляющие ее значения для заданного момента времени.

Большой интерес представляет и большое значение имеет при прогнозировании случайных процессов определение их вероятностных характеристик и реализаций. Задача определения вероятностных характеристик возникает в случаях преобразования одних. случайных процессов в другие. При этом вероятностные характеристики (математические ожидания, дисперсии, корреляционные функции и спектральные плотности), преобразованных случайных процессов приходится определять по характеристикам преобразуемых случайных процессов. Особенно сложным решение этой задачи оказывается для переходного режима функционирования соответствующих преобразователей.

Что касается методов прогнозирования случайных процессов, то они все относятся к математическим методам и могут быть временными или не временными, но в большинстве случаев используются временные методы. Практически все математические методы прогнозирования можно классифицировать на методы прогнозирования случайных процессов с детерминированным математическим ожиданием или постоянным во-первых, и, во-вторых, содержащих чисто случайную составляющую. Последнюю группу методов можно разделить на прогнозирование реализаций с известными корреляционными функциями и с использованием законов распределения. Перечисленные методы могут быть использованы при прогнозировании случайных процессов в условиях недостаточной априорной информации.

Все указанные согласно классификации методы рассматриваются в диссертационной работе. В известных методах предлагаются разработанные рациональные методики. К новым методам можно отнести методы прогнозирования по оптимальному полиному (новый вид полинома), по модифицированному фильтру Калмана, по нормированному одномерному закону распределения и применение всех методов в условиях недостаточной исходной информации.

Задача прогнозирования, реализующая случайные процессы за пределы временного интервала, их наблюдение и фиксацию, встречается во многих областях знаний, науки, техники и т. д.

В их числе прогнозирование погодных условий (в области метеорологии), прогнозирование речных стоков и уровней подводных вод (в области гидрологии), прогнозирование реакций динамических систем с целью компенсации запаздывания (в области автоматического управления), прогнозирование урожайности (в области сельского хозяйства), прогнозирование спроса на медикаменты (в области здравоохранения), прогнозирование развития науки и техники, прогнозирование состояния окружающей среды (в области экологии).

Эти обстоятельства обуславливают актуальность исследуемой в работе проблемы вероятностно-статистического прогнозирования случайных процессов средствами и для средств ИВС.

Цель работы. Критическое исследование известных и разработка новых машинно-ориентированных методов, алгоритмов, позволяющих осуществлять прогнозирование случайных процессов с применением известной корреляционной функции, с использованием законов распределения и в условиях недостаточной исходной информации на основе проведенного метрологического анализа вероятностно-статистического прогнозирования.

Методы исследования. Включаемые в диссертацию результаты основаны на системном подходе, к рассматриваемой проблеме, и получены методами научной эвристики, путем аналитических выкладок, теоретических и машинных расчетов, цифрового моделирования с привлечением теории вероятностей и математической статистики, теории непрерывных и цифровых систем автоматического управления, теории идентификации, теории цифровой фильтрации, методов и средств измерительной и вычислительной техники, теории нечетких множеств.

Обработка реальных экспериментальных данных проводилась в процессе работы на базе кафедры информационно-измерительной техники СПГЭТУ, в ряде промышленных и научно-исследовательских организаций: ГИПЭ, АО ПНПП «Эра», ОП НИКТИТ АООТ «Невский завод», НИИ РЭС ПЧС «Прогноз».

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что автором дано обобщение и получены новые теоретические и практические результаты в области прогнозирования случайных процессов, используя данные динамических и статистических измерений. Разработаны

аналитический и машинный методы определения вероятностных характеристик случайных процессов на выходе линейных систем в переходном режиме.

Разработаны методики прогнозирования случайных процессов по корреляционным уравнениям, по оптимальному полиному, и прогнозирование по закону распределения крайних членов выборки. Предложен и разработан метод прогнозирования случайных процессов, основанный на использовании одномерного закона распределения. Предлагается разработанный модифицированный фильтр Калмана и его применение для прогнозирования систем случайных процессов. Разработан новый метод прогнозирования систем случайных процессов, основанный на теории нечетких множеств. Проведен метрологический анализ вероятностно-статистических методов прогнозирования.

Совокупность полученных результатов, представляющих научно обоснованные теоретические решения в задачах вероятностно-статистического прогнозирования случайных процессов, вносит значительный вклад в развитие и ускорение научно-технического прогресса.

Практическая ценность. Практическая ценность результатов работы заключается в том, что:

- результаты теоретических исследований могут быть положены в основу конкретных программных разработок;

- предложенные методы прогноза позволяют осуществить создание, разработку, проектирование более совершенных ИВК и ИИС с адаптацией к изменяющимся условиям;

- в целях повышения достоверности результатов моделирования поведения ИВК и ИИС, под действием случайных воздействий, предлагается разработанный метод цифрового моделирования, основанный на аппроксимации случайных процессов системами случайных величин, обеспечивающий высокую точность машинных исследований;

- результаты исследования в области теории нечетких множеств позволяют прогнозировать случайные процессы, когда реализация процесса зафиксирована в равноотстоящих точках, число которых менее пяти;

- разработанный метрологический анализ методов позволяет повысить качество проектирования измерительных приборов.

Разработанные методы прогнозирования случайных процессов нашли практическое применение в исследовательских и проектных работах различных предприятий страны.

Реализация результатов. Реализация результатов заключается во внедрении их при непосредственном участии автора:

- при создании информационной структуры поддержки системы экологического мониторинга и решении проблем экологического прогнозирования в рамках программы «Экологическая безопасность России» (ГИПЭ г. Москва);

- при испытаниях тренажера самолета ТУ-204, при прогнозирования вертикальной перегрузки, действующей на конструкцию системы (АО ПНПП «Эра» г. Пенза);

- при создании блоков импульсной разгрузки турбин энергетических газотурбинных установок (ОП НИКТИТ АООТ «Невский завод» г. Санкт-Петербург);

- при создании аппаратно-программных средств для синтеза и применения измерительных информационных систем (НИИ РЭС ПЧС г. Санкт-Петербург).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались хг обсуждались на международных симпозиумах и конференциях, на Европейском конгрессе по моделированию (1МСО), г. Прага (ЧССР, 1987 г.); III Международном симпозиуме по системному анализу и моделированию, г. Берлин (ГДР, 1988 г.); IX Международном координационном совещании «Автоматизация процессов управления техническими средствами исследования и использования Мирового океана», Санкт-Петербург (Россия, 1994 г.); XVII —XXIII Международной конференции и школы молодых ученых и специалистов «САПР — новейшие информационные технологии в науке, образовании, медицине и бизнесе», г.Гурзуф (Крым. Украина, 1991-1996 г.); IV Международном форуме «Стратегия здоровья: информационные технологии и интеллектуальное обеспечение медицины — 97», г. Анталья. (Турция, 1997 г.); Международной научно-технической конференции «Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность — 97», г. Санкт-Петербург (Россия), а также на 28 всесоюзных, всероссийских и краевых конференциях, совещаниях и семинарах в университетах и институтах Кибернетики и

электродинамики АН Украины, КНИГА, КПИ ВГТУ, ПГТУ, ТГТУ, СПГЭТУ и ряде других научных и учебных заведений.

Публикации. Основные положения и результаты диссертации изложены в 58 научных работах, в том числе, в двух монографиях; десяти депонированных монографиях, пяти статьях в центральных журналах, 3 статьях в международных изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников, включающего 259 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 224 страницах машинописного текста. Работа содержит 26 таблиц и 19 рисунков. Приложение включает акты внедрения результатов работы.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность, сформулированы цель, научная новизна, основные защищаемые положения, практическая значимость работы.

В первой главе предлагается концепция вероятностно-статистического прогнозирования случайных процессов (СП), определяющая выполнение следующих этапов:

- сбор и анализ исходных данных;

- выбор и обоснование математической модели прогнозируемого объекта (процесса);

- обработка статистических данных для определения неизвестных параметров модели прогнозирующего алгоритма;

- собственно прогнозирование, т. е. вычисление значений реализаций процесса в заданный момент времени;

- метрологический анализ результатов прогнозирования.

Согласно вышеизложенной процедуре проведен метрологический анализ вероятностно-статистического

прогнозирования и определена полная группа составляющих погрешности.

Одна из целей проведения анализа заключается в определении предельно достижимой точности и установлении параметров прогнозирующего алгоритма.

Необходимо отметить, что основной составляющей погрешности прогнозирования является погрешность неадекватности алгоритма прогнозирования.

Она обусловлена неизбежной неидеальностью любого используемого метода прогнозирования реализаций случайного процесса или неадекватностью реального алгоритма идеальному неосуществимому.

Погрешность неадекватности — это наименьшая погрешность теоретически точно, а практически приближенно достижимая в рамках конкретного метода прогнозирования. Поэтому погрешность неадекватности характеризует так называемую потенциальную точность конкретного метода прогнозирования в конкретных условиях его применения.

Потенциальная точность прогнозирования определяется согласно выражению

А'Ч1)/ ^прогн I >

F-+F"

У-veo

где ©„„„, — вероятностная характеристика, характеризующая потенциальную точность, полученную при условии, что алгоритм прогнозирования реализован идеально, измеряемая величина ЛГ •(/,•)

также получена идеально и объем выборочных данных состоятелен. Определение потенциальной точности позволяет решать задачу оптимизации прогнозирующих алгоритмов.

На первом этапе определяются вероятностные характеристики прогнозируемого СП. При решении этой задачи возможны различные варианты. ПрежДе всего такие характеристики могут быть определены по экспериментальной реализации СП известными статистическими методами.

Если прогнозируемый СП представляет реакцию линейной системы на входное случайное воздействие с известными вероятностными характеристиками (ВХ), то его ' ВХ можно получить преобразованием характеристики входного воздействия. Основные трудности при этом вызывает преобразование корреляционной функции (КФ) в переходном режиме работы системы. В связи с этим в работе рассматриваются четыре задачи: определение корреляционных функций выходных случайных

процессов в переходном режиме работы системы; определение дисперсий выходных случайных процессов в переходном режиме работы системы; определение корреляционных функций выходных случайных процессов в установившемся режиме работы системы; определение дисперсий выходных случайных процессов в установившемся режиме работы системы.

Оригинальным является решение этих задач аналитическим методом для дискретных СП на основе двухмерных прямого и обратного г-преобразований по схеме

Лг [*,, *2 ] -» Д, (г,, г2) Л, (г,, ) = )Г(г2 х(г,, ) Яу[к, ,к2),

где , г2) — это двухмерное г-изображение

корреляционных функций, а W{z} — дискретная передаточная функция Лапласа системы.

Наконец возможен случай, когда аналитическое выражение корреляционной функции входных воздействий линейной системы неизвестно и эта функция задана таблично.

В этих условиях для определения корреляционной функции рекомендуется цифровое моделирование. Для получения алгоритма моделирования входных случайных воздействий с табулированными корреляционными функциями предлагается оригинальный метод, основанный на аппроксимации СП и систем СП системами случайных величин. В отличие от известной аппроксимации СП элементарными случайными временными функциями предлагается метод, лишенный алгоритмической погрешности.

Этим методом осуществляется реализация входного воздействия, которое подается на вход дискретной системы с известной передаточной функцией, а на выходе получаем выходной сигнал у]к\ с корреляционной функцией которая

определяется статистически. Если необходимо прогнозировать в дальнейшем у[к\, то могут быть использованы любые методы

прогноза.

Во второй главе предлагается общая методика исследования стационарности или нестационарности СП по математическому ожиданию.

В общем случае решетчатый случайный процесс представляет сумму

где /[/с] — детерминированная составляющая, a —

центрированная случайная функция.

Наличие нестационарного математического ожидания / [&] const устанавливается либо визуально по графику реализации либо усреднением двух одинаковых частей этой

реализации.

Автором рассмотрены две основные универсальные формы описания нестационарного математического ожидания — периодического в виде суммы т гармонических составляющих и непериодического в виде многочлена степени т.

В первую очередь рекомендуется исследовать реализацию х[к] прогнозируемого СП на периодичность математического ожидания.

Это исследование начинается с ориентировочно приближенного определения периода

Ко «-¿0,-,

где 0,. — отстояние ближайших друг к другу локальных максимумов и минимумов и |*Mlmin модулей

реализации

Более точное значение периода математического ожидания получается методом проб и ошибок.

При этом для каждого пробного периода К вычисляется величина

V1 + W2

U = л"

К2

причем

^ = яг

А=0 ¿=0

= , и^Л:] == sign^cos2^r-^

При пробном значении равном периоду математического ожидания f\k\ наблюдается резко выраженный максимум и > 0.

Пробные значения К выбираются ближними к ориентировочному значению Кй.

Определение периода К у матожидания /[/:] позволяет

воспользоваться известными методами приближенного гармонического анализа, получить выражение /[£]»/[#] и

выделить из составляющую ■*[£].

Если при пробных значениях К максимум и выражен не резко, то принимается гипотеза о полиномиальном характере /[£] и возможности его аппроксимации полиномом степени т

т /У т

9=0 11=0

где ^[А:] — табулированные решетчатые многочлены Чебышева Ч»о[к-] = Ло

[*] = !■ +В1К Т2[лг]= Л2 +В2к + Сж2

[*-] = Ад + ВдК + Сдк2 + Очкъ +...

Уи[лг] = Ат +ВтК+ СтК1 + О тК% + ...

Аналитические выражения полиномов [£] весьма сложны.

Поэтому автором предлагается простой метод определения их на основании вспомогательной таблицы, путем решения систем линейных алгебраических уравнений специфической формы, облегчающей их решение.

- и -

Например, для полинома второй степени составляется и решается система трех уравнений

'

¥2[0 ]=А2 % [!] = Л + С2 ^ [2] = Аг +2 Вг +4 С2.

Значения ^[О], ^О] - ^'г [2] берутся из вспомогательной таблицы, представленной в диссертационной работе.

Аналогично определяются коэффициенты других полиномов Чебышева ^[А:].

Погрешность аппроксимации матожидания /[£] полиномом /я[к\ характеризуется дисперсией Оц определяют согласно формуле

г-

К

После определения 113 выделяется

реализация центрированной случайной функции А'[/с].

В третьей главе рассмотрены методы алгоритма прогнозирования реализаций центрированных стационарных СП с известной корреляционной функцией.

Методы прогноза, указывая прогнозируемое значение, должны быть связаны с предысторией процесса и его вероятностными характеристиками. В качестве точностного критерия используется дисперсия погрешности неадекватности алгоритма.

Задача прогнозирования значения, которое примет случайная величина при условии, что случайно связанные с ней величины примут некоторые определенные значения, может быть решена с помощью теории корреляции.

Метод прогноза, в котором прогнозируемое значение линейно связано с предысторией и в которое входят вероятностные характеристики, основывается на применении корреляционного уравнения. Он рассматривается в этой главе первым.

В данном случае алгоритм предполагает знание отклонения процесса от среднего в момент т. е. одной точки предыстории, значения нормированной корреляционной функции и математического ожидания. Исследования этого известного метода показали, что если КФ прогнозируемого процесса имеет простейшую экспоненциальную форму, то стремление повысить точность прогноза за счет увеличения числа предшествующих отсчетов оказалось несостоятельным, так что в этих условиях этот метод прогнозирования можно использовать по единственному предшествующему отсчету.

При другой форме КФ точность прогноза может быть повышена за счет увеличения числа предшествующих отсчетов. Достоинство данного метода — простота алгоритма прогнозирования.

Вторым является метод прогнозирования на основе оптимальной передаточной функции.

Задача отыскания передаточной функции фильтра сводится к следующему: подавая на вход данного фильтра стандартный случайный процесс Х((), на выходе получаем такую величину х(*+ А г), при которой дисперсия погрешности

представляет собой разность между величиной >>(;) в момент времени г и величиной случайного процесса'на входе х(/ + Дг) в момент времени t + &t, минимальная. Таким образом, прогнозирующий фильтр сдвигает все сигналы формирователя на Д/ влево по временной оси и в момент времени на его выходе наблюдается предсказанное значение.

Прогнозирование реализаций непрерывных процессов по оптимальной передаточной функции в литературе известно, а в работе автором этот метод распространен на прогнозирование реализаций дискретных процессов по оптимальной дискретной передаточной функции.

Реализация метода требует выполнения следующих операций:

1) Определяется двустороннее г-преобразование решетчатой

ОО

корреляционной функции Ях(г) = , которому придается

вид

2) Функции У (г) придается вид суммы

¿=1

г-а.

3) Формируется функция

Л*) =

/=1

г-а,

4) Определяется • оптимальная дискретная передаточная функция

Оптимальность передаточной функции понимается в том смысле, что

= А/[Д2[а:]] = Л/[{У[/С]- Х[к + £]}2

оказывается наименьшей.

5) Для определения этой дисперсии находится функция

V

г [*■] = !>,<

(=1

и дисперсия рассчитывается по формуле

*=0

Если прогнозируемый решетчатый СП сопровождается помехой, то процедура получения оптимальной дискретной передаточной функции

гг(2\__= Ж

о[> х(2)+п(2) и(г)

несколько изменяется. Соответствующие формулы приводятся в работе.

Данный метод сложнее предыдущего, но точность его выше, т. к. практически используется вся предыстория прогнозируемого процесса, что подтверждено экспериментом.

Третьим методом является прогнозирование по оптимальному полиному.

При решении задач прогнозирования, когда априорно неизвестно, насколько связаны упрежденные значения процесса с предыдущими значениями, устанавливают зависимость этих значений с помощью аппроксимирующей функции X ~ F(X¡, Х2,. ■ ■, Хп), которая представляет из себя оптимальный

полином, коэффициенты которого находятся из условия минимума погрешности.

В работе исследовался полином вида

п п

F(Xl, Х2,..., Хп) = Y,aKXK + ТиакчХ>сХ<1+Иа™Х1 +

к= I «"=1

п

+ 2 акЧк Хк XqXk + X °ккк Х1 + '' • •

Оказалось, что применение данного полинома не позволяет повысить точность прогнозирования за счет увеличения числа предшествующих отсчетов, в случае простейшей КФ.

Автором предлагается более простой оригинальный полином

вида

п

F{X\> Х2> ■■■> Хп)= ^LaK-\{XK-\ ~Хк)~ ХУ

/с=2

Для определения коэффициентов ак, в общем случае требуется решение систем линейных уравнений

Ахах +Л2а2 +Аъаг +... + А„_,а„_, =-Ь"'1 , A2a¡ + А2а2 + A¡a3 +... + Ап_гап_, = -Ь"'2 , А3а, + А2а2 + Л,а3 +... + А„_3а„_, = -Ъп'ъ,

А„-2а1 + Ап-га1 + Ап-заз + ■•• + = -Ъ2 -

Л-1^1 + 4,-1а2 + Л-2аЗ + ••• + V«-! = -Ь ■

где коэффициенты Ап определяются следующим образом

А,= 1, А, = 2, Лз=6(А-1), Л4 = 62(>-1),

а минимальная дисперсия равна

А™, _азЛ-2 - --о-г^з]-

Применение этого полинома позволяет увеличить точность прогноза за счет увеличения числа предшествующих отсчетов, хотя при этом усложняется алгоритм определения коэффициентов ак.

Недостатком метода является то, что при неудачной комбинации отсчетов х,- может оказаться, что определитель системы линейных уравнений равен нулю и решение системы невозможно.

Четвертым методом является прогнозирование по модифицированному фильтру Калмана.

Как известно, фильтр Калмана предназначается для оптимальной фильтрации случайных сигналов, искаженных случайными помехами.

Функционирование дискретного фильтра Калмана описывается рекуррентными выражениями

Хк = 90ик +0А-1 + ¿^-2 + •■• + 1 + + ••••

Гк=хк+Ук,

хк = Акхк-1 +вкУк ■

и позволяет реализовать сигнал Хк приближенно равный Хк.

Для определения коэффициентов Ак, Вк требуется знание КФ В работе предлагается модифицированный фильтр

Калмана, который функционирует согласно тем же рекуррентным соотношениям для Ук и Хк.

Только коэффициенты Ак, Вк в данном случае не зависят от КФ процесса и определяются из условия минимума

дисперсии. Если

А = 1),

то дисцерсия погрешности равна

Ок = А2кОк+ В2кВ„ = АгкОк_, + (1 - Ак)2 Д . Значение Ак = А, минимизирующее Ик, равно

А=-^-, 0<А<1.

А-, +А.

Соответственно этому значение второго коэффициента Вк = В

равно

В=—^—, 0 < Б < 1.

Ам+Ц,

Минимум дисперсии определить

А-1 + Д.

Исходными данными для определения А и В являются дисперсия Д, и допустимое значение />га!л. При этом находятся

А

Предлагаемый модифицированный фильтр далее используется для прогнозирования, причем прогнозируемое значение принимается равным

хк+1 = •

Дисперсия погрешности Êi+I = Хм - Хы выражается формулой

Au. = [л* +(АВ? + +(АВ)2 Д + - 1)й„ -2А2Ях2.

В данном методе прогнозирования определение алгоритма прогноза не требует знания корреляционной функции, но при определении погрешности это знание необходимо.

Следует отметить, что с помощью данного метода можно осуществлять прогнозирование только на один шаг.

В четвертой главе предложен подход к использованию известных законов распределения для прогнозирования реализаций случайных процессов, который заключается в определении границ доверительных интервалов с заданной вероятностью.

Первый метод прогнозирования основан на законах распределения крайних членов выборки Хт и Х^. Он заключается

в следующем: законы распределения крайних членов выборки не зависят от законов распределения случайной величины.

С учетом этого максимальное хт и минимальное хц значения

определяются

хт = vin р + Ь хц = а - v ln р

Параметры а, Ъ, v определяются через тх и ах прогнозируемого процесса.

С вероятностью р можно утверждать, что прогнозируемое значение заключено в пределах хр < хпП < хт .

Исследования показали, что данный метод прост в применении, интервал прогнозирования широк, поэтому прогноз может иметь длинную реализацию. Его можно применять когда не требуется высокая точность.

Второй метод оригинальный, он основан на исследовании нормализованного одномерного закона распределения.

Если одномерный закон распределения случайного процесса X(t) нормальный, то дисперсия прогнозируемого значения Dx

определяется

Хм Xn |„| '

а математическое ожидание

Л-1

D

x„

где И — определитель вида

К = Y\n =

1 r\i ■■■ r,„

Г21 1 Г2„

Г,л Г-

— тот же определитель, окаймленный значениями реализации

прогнозируемого процесса при Хп = 0.

Если эти значения определены, то с вероятностью 0,999 можно утверждать, что

Прогнозирование реализации x(f) любой случайной функции X(t), стационарной по Мх = const, Dx, Rx(г), fx(x), Fx(x) может быть сведено к прогнозированию соответствующей реализации х{1) случайной функции Z(t) с характеристиками

Мх= 0,

Ш

42л

Преобразование Х(/) с функцией распределения Рх(х) в случайную функцию с нормальной функцией распределения Рх(х) осуществляется нелинейным преобразованием х в Ч'(х) = X,

которое осуществляется функцией Лапласа. Это преобразование называется нормализацией закона распределения прогнозируемого случайного процесса.

Осуществив прогноз реализации 7(7) можно перейти обратно к реализации х(/) и получить прогноз последней. Данный метод является сложным, причем сложность возрастает с увеличением числа предшествующих отсчетов реализации прогнозирования, но он позволяет получить высокую достоверность прогнозирования.

В пятой главе излагаются результаты, полученные автором при исследовании возможностей прогнозирования реализаций центрированных СП в условиях недостаточной исходной информации.

Все методы прогнозирования, рассмотренные в главах третьей и четвертой, могут показаться непригодными, если реализация х(/) процесса подлежащая прогнозированию, зафиксирована

всего в трех, пяти точках.

Несмотря на такую ограниченность данных прогнозирование возможно с применением теории нечетких конечных дискретных множеств.

Дискретное нечеткое множество — это множество случайных элементов X = [х1,..., хк,..., хы } или соответствующих случайных чисел X = {1,..., к,..., М], описываемое решетчатой функцией принадлежности цх = ¡л .

Функция принадлежности выражает степень принадлежности элементов к или хк , равную субъективной вероятностной оценке этого элемента.

Символически нечеткое множество записывается в виде

х = МХ] /*■ + ... + //,,/** +...+/1Хк1хы =

N

при этом в общем случае * 1 •

I

Для определения предложен разработанный автором

метод, основанный на оценивании плотности вероятности непрерывной случайной величины по выборке малого объема.

Процедура получения ИХ\Щ сводится к следующим операциям.

1) Экспериментально определяется малая выборка случайных значений Хх, Z2, Хъ, ..., 2,, ... соответствующей случайной величины.

2) Определяются прямоугольные вклады

X е[Х,-<1,Х1-и1], О, X й[х1-(1,Х1+(1),

шириной 2с1 и высотой к = —, для каждого Х1.

7.(1

1) Определяется сумма вкладов, рассматриваемая как оценка

N

плотности вероятности /(х) ~ Х^(^) непрерывной случайной величины.

2) Интервалу |д, Х^ возможных значений непрерывной случайной величины ставятся в соответствие значения хк дискретной величины X и определяются их субъективные вероятностные оценки, т. е. степени принадлежности /*,[*] =

Метод автора значительно проще известного весьма громоздкого метода Ягера.

Когда приходится иметь дело с двумя связанными нечеткими множествами X = {1,..., к,..., п) и У = (1,..., д,..., т) в качестве математической модели их связи используется нечеткая система, входом и выходом которой являются соответственно X и У.

Нечеткая система определяется декартовым произведением.

Д=*хГ={(1,1),...,(1,9),...,(1, т),...

... (к, 1),..., <7), ...,{к, т),..., ...(и, 1),.,.,(п, ц),...,(п,т)).

Это нечеткое множество описывается функцией принадлежности = ^ и символически представляется в

виде

Задача идентификации нечеткой системы заключается в определении множества Я и матрицы = степеней

принадлежности элементов (к, q).

Известный в литературе по нечетким множествам метод идентификации нечетких систем сложен и громоздок прежде всего потому, что требует определения двух пар множеств на входе и выходе

п т _п т

Ы\ <? = 1 к=1 9=1

и сложного анализа совместимости (непротиворечивости) этих пар X', 7' и X", 7".

Метод идентификации разработанный автором требует определения только одной пары входного и выходного множеств, например X' и 7'.

Вторая пара множеств X" и 7" принимается в виде дополнений X' и 7', т. е. как множества X" = IX', 7" = 17' с функциями принадлежности /л"к = 1 - , = 1 - .

Пары X', У и IX', 17' заведомо совместны и анализ непротиворечивости их не требуется.

Выходное множество У = ..., ...,ут| и матрица-строка

степеней принадлежности его элементов Ц/^Ц = ,...,/л^,..., | определяется через входное множество X = {х,,..., хк,..., хп} и матрицу-строку степеней принадлежности

1К II = [а. ' ■'■ •' Рн' • • ■■ ]' выражениями

7=Х«Л, =

где знак « • » — это символ максиминной композиции. Согласно этому

Ру, = таХ(^| Л А + ... Ай? +...+//,,

причем цч л//^

Для двух пар А", У'и X", 7" аналогично имеем

= тах Е ^ Л Ч) ■ ^ = тах Е К л Ч

Анализируя эти выражения можно определить допустимые значения и /г^ согласно неравенствам

Искомое значение выбирается таким, чтобы оно

удовлетворяло условиям для и для .

В применении теории нечетких множеств приходится иметь дело с нечеткими числами. В связи с этим в главе излагаются алгоритмы выполнения бинарных арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления нечетких чисел.

Решение любой задачи с помощью теории нечетких множеств, в том числе и задачи прогнозирования состоит из трех этапов.

Первым этапом является фаззификация, т. е. переход от четкости к нечеткости, когда исходные данные представляются в виде нечетких множеств.

На втором этапе осуществляется преобразование исходных нечетких множеств в результирующее X = /лХ] /х} + /лХ1 /х2 + ....

Третьим этапом является дефаззификация, т. е. переход от нечеткости к четкости, когда в качестве окончательного решения принимается элемент хт =р множества X с наибольшей степенью принадлежности

цх = тах|

Результирующее нечеткое множество X состоит из случайных элементов х], степени принадлежности которых являются

своеобразным выражением их вероятности Р и могут быть

преобразованы в эти вероятности путем так называемой

нормализации, в результате которой сумма * 1 преобразуется

в Е^ =' 11 множество принимает вид

X = {лг,,х2>...} = РХх!хх + + ...,

М,,

где Рх = ^-.

7 ¿А,

Располагая функцией вероятности = Р^у] можно найти

Приняв Бх »Л) получаем грубую интервальную доверительную оценку р в виде

Рдм = Вер(/> - < р< р + 3^) « 0,9 .

Принципиально все методы прогнозирования реализаций СП могут быть использованы в условиях недостаточной исходной информации с применением теории нечетких множеств.

Однако, наиболее целесообразно использовать простейшие из них по корреляционному уравнению и по законам распределения крайних членов выборки.

Так, например, прогнозирование по корреляционному уравнению осуществляется следующим образом.

Если — это стационарный случайный процесс, то

согласно корреляционному уравнению

хм = * + г{хк ~ х) = (1 - г)х + гхк = с + гхк, хк =с + гхк_х,

где г — коэффициент корреляции для любых двух смежных сечений Xи Х[к +1], * — матожидание. Отсюда

Хк+1 ~Хк ~ Г(Хк ~ ^/ы) Вводятся обозначения

А* — хк ~ Хк-1 ' = ~Хк

и далее

Хк + \~Хк _ _ „ — - гк.

Хк ~ Хк-\

Прогнозируемое значение имеет вид

~ хк+ +1 = хк +гк&к ■

Здесь гк можно рассматривать как экспериментальное значение непрерывной случайной величины г. Располагая короткой реализацией х[А] при к = 1,п, например, при п = 5 можно получить четыре значения Ак, а по ним три значения гк. Малая выборка {'\' гг> 'з) позволяет найти оценку /(г) плотности вероятности /(г). Дискретизация /(г) и г дает нечеткое множество или нечеткое число г. Искомое прогнозируемое значение хп+1 получается по

Хл+) = Хп + КХ1 ~ ) •

В работе методы прогнозирования с применением теории нечетких множеств рассмотрены автором подробно на примерах.

В шестой главе приводятся результаты теоретических исследований задач метрологического анализа прогнозирования случайных процессов.

В общем случае задача прогнозирования случайных процессов состоит в получении совокупности дискретных реализаций случайных процессов и выполнении над ними математических операций для получения прогнозируемого значения измеряемой величины, поэтому погрешность прогнозирования можно рассматривать как частный случай косвенных измерений.

Если истинная прогнозируемая величина определяется как

я( г) = /[х(0],

при г [О, Г]; — случайный процесс, г — интервал усреднения. Реальная прогнозируемая величина определяется как

где 9" — неидеальный алгоритм прогнозирования.

Отличие реальной процедуры получения прогнозируемого значения от идеальной приводит к появлению погрешности

АЯ'(т) = Г(т)-1(т).

Погрешность прогнозирования ЛЛ*( г) можно разложить следующим образом:

ДА'(г) = ДТф+ДМ'^),

где Л™Л* (г) — погрешность неидеальности реализации алгоритма прогнозирования, а ДаЛ.*(г) — погрешность алгоритма прогнозирования.

Составляющая погрешности А™ Я* (г) обусловлена погрешностями измерения величины Х^) в измерительном канале и погрешностью округления при выполнении математических операций вычисления на ЦВМ.

Составляющая погрешности А" Я* (г) обусловлена неадекватностью алгоритма прогнозирования.

Погрешность неидеальности определяется как

Атл\х) = <ри[х](г;), ¡ = Щ-<р[х^), / = 1777],

где ^Л^-г = 1, Л^ — алгоритм прогнозирования, не

содержащий компьютерные погрешности округления.

Погрешность неадекватности алгоритма или алгоритмическая определяется как

А'Х (г) = ), / = 1777) - Л(г), -

причем предполагаем, что истинное значение равно Я(т)= \\.т<Р°[х^), 1=Ш,

/V —►оо I Л

где <Р° / = 1, Л'| — идеальный адекватный алгоритм

прогнозирования.

Распишем более подробно погрешность неидеальности, которая состоят из трех слагаемых

А™ А* (г) = Д7Х (г) + А™ Я' (г) + л;"кря* (г). Первое слагаемое — А""Я*(г),

Эта составляющая погрешности обусловлена погрешностью фиксации моментов времени г.

Второе слагаемое — А™А*(г),

Эта составляющая погрешности обусловлена погрешностью измерения величины X. Эти две составляющие погрешности — А1"А*(г) и Л™/*(г) — характеризуют погрешность исходных данных.

Третье слагаемое — Ао"крЯ* (г),

где г = 1, Л^ — алгоритм вычисления прогнозируемой

величины Х(1 +1) с бесконечной точностью.

Эта составляющая погрешности обусловлена погрешностью усечения разрядной сетки ЦВМ.

Алгоритмическая погрешность содержит два слагаемых:

Первое слагаемое — Д°квА*(г),

А°кял'(т) = <Р[Х^), ¡ = / = 1777].

Эта составляющая погрешности обусловлена ограниченностью объема выборочных данных значений Xy(f,). Погрешность

конечности объема выборки влияет на определение параметров прогнозирующего алгоритма.

Второе слагаемое — Д°аЯ'(г),

Л",X(т) = lim <p[Xj(г,), / = Ш - lim <Р" [Xj(/,), / = Ш.

,V—► со «■ J i N —>со l J

Эта составляющая погрешности обусловлена погрешностью неадекватности алгоритма прогнозирования, на нее нельзя воздействовать, в отличие от других составляющих.

Таким образом, полная группа составляющих погрешности имеет вид

Д-Я(г)=А7Г(г) + Д™Д*(г) + А1рГ(т) + АаквГ(г) + ДанаГ(г).

Вся структура погрешности расписана для любого метода прогнозирования случайных процессов и является общей.

В силу объективных причин погрешность прогнозирования А X (г) случайная величина и ее свойства определяются с помощью вероятностных характеристик ©|дЛ*(г)|.

В диссертационной работе для проверки результатов метрологического анализа рекомендуется использовать имитационное моделирование. Методика экспериментального определения вероятностных характеристик погрешности прогнозирования методами машинного моделирования позволяет решить задачу аттестации алгоритмов прогнозирования.

Основные результаты работы

1. Сформулирована направленность исследований, как разработка методов прогнозирования реализаций случайных процессов и их систем на единой метрологической основе. В рамках данной концепции введена обобщенная процедура вероятно-статистического прогнозирования и определены ее основные этапы.

2. Разработаны, исследованы и практически опробованы методы определения вероятностных характеристик выходных случайных процессов дискретных систем в переходном режиме

функционирования, что обеспечивает повышение точности проектируемых ИИС, работающих в условиях влияния случайных факторов, и их машинное моделирование.

3. Предложен, разработан и опробован метод цифрового моделирования отдельных случайных процессов и систем случайных процессов, основанный на аппроксимации случайных процессов и систем случайных процессов системами случайных величин, обладающей высокой точностью, что необходимо при дальнейшем определении вероятностных характеристик случайных процессов.

4. Предложены новые методы прогнозирования реализаций систем случайных процессов, основанные на знании корреляционной функции, на специальных законах распределения, которые позволяют прогнозировать случайные процессы при динамических исследованиях и испытаниях ИВС и ИВК, а также в изменяющихся условиях эксплуатации.

5. Разработаны инженерные методики предварительного анализа на стационарность; методики экстраполяции полиномиальных и периодических матожиданий; методики прогнозирования реализаций по корреляционным уравнениям, по оптимальным передаточным функциям, по оптимальному полиному; а также методики прогнозирования по одномерному закону распределения и по закону распределения крайних членов выборки. Методики машинно-ориентированы, что позволяет расширить их практическое использование и улучшить результаты прогнозирования.

6. Обоснован и разработан модифицированный фильтр Калмана и методика его использования для прогнозирования случайных процессов. Фильтр универсален, т. к. его параметры не зависят от вида корреляционной функции измеряемого сигнала, что значительно упрощает алгоритм прогнозирования.

7. Разработаны некоторые элементы теории нечетких множеств, необходимые для прогнозирования систем случайных процессов, что обеспечивает использование существующих и предложенных методов прогнозирования в условиях недостаточной априорной информации. Получен простой метод определения функций принадлежности нечетких множеств, основанный на малой выборке и простой метод идентификации нечетких систем по одной паре входного и выходного множеств. Разработаны методы

получения доверительных интервалов и вероятностей для оценивания точности и надежности результатов, полученных на основании теории нечетких множеств.

8. Проведен метрологический анализ методов прогнозирования, который позволяет получить полную группу составляющих погрешности прогнозирования случайных процессов. Получены аналитические выражения для определения потенциальной точности, которая обусловлена погрешностью неадекватности алгоритма прогнозирования. Сформулированы пути метрологической аттестации результатов прогноза, позволяющие повысить точность прогнозирования.

9. Разработаны и внедрег л на 4 предприятиях страны различные программные ср детва, позволяющие решать разнообразные практические задачи прогнозирования из различных областей науки и производства.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

книгах и брошюрах

1. Цифровое моделирование систем стационарных случайных процессов /Е.Г. Гридина, А.Н. Лебедев, Д.Д. Недосекин, Е.А. Чернявский. - Л.: Энергоатомиздаг, 1991. - 144 с.

2. Гридина Е.Г. Преобразование случайных процессов линейными системами. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1997. -118 с.

3. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Методы получения рекуррентных выражений для цифрового моделирования реализаций систем случайных стационарных процессов /Ленингр. электротехн. ин-т. - Л., 1986. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ -25.06.86 №4648.

4. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н., Недосекин Д.Д. Линейный механизм формирования системы непрерывных случайных процессов и ее цифровое применение /Ленингр. электротехн. ин-т. - Л., 1987. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.04.87, №2383- В87

5. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Корреляционная теория случайных величин и функций /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1995. - 42 с. - Деп. во ВИНИТИ 14.04.95., №1039-В95.

6. Гридина Е.Г. Прогнозирование случайных стационарных процессов с помощью оптимальных линейных систем. /Санкт-

Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1995. - 37 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.07.95., №2701-В95.

7. Недосекин Д.Д., Гридина Е.Г., Антонюк П.Е. Непараметрические методы фильтрации и прогнозирования нестационарных случайных процессов на основе фильтра Калмана. /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1995. - 14 с.

- Деп. в ВИНИТИ 28.02.95, №543-В95.

8. Гридина Е.Г. Разведочный анализ случайных процессов по экспериментальным данным /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1996. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.04.96., №1120-В96.

9. Гридина Е.Г. Определение периодических матожиданий случайных процессов по экспериментальным данным /Санкт-Петербург. гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1996. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.04.96., №1119-В96.

статьях

1. Гридина Е.Г. Прогнозирование стационарных случайных процессов методом полиномиальной экстраполяции //Метрология. -

1994. - №12. - С. 14-25.

2. Гридина Е.Г., Недосекин Д.Д., Лебедев А.Н. Модифицированный фильтр Калмана //Измерительная техника. -

1995. - №5. - С. 13- 16.

3. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Идентификация нечетких систем по нечетким множествам на входе и выходе. //Метрология.

- 1997. - №8. -С. 3- 10.

4. Гридина Е.Г. О статистическом прогнозировании в экологии //Мониторинг. Безопасность жизнедеятельности. - 1996.

- №3. - С. 15 - 16

5. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Новый метод определения функций принадлежности нечетких множеств. //Новые информационные технологии. - 1997. - №7. - С. 30 - 33.

6. Гридина Е.Г. Метод полиномиальной экстраполяции при прогнозировании случайных процессов //Синтез, передача и прием сигналов управления и связи. - Воронеж., ВГТУ. - 1994. - С. 168

- 172. - Межвуз. сб. научн. тр.

7. Гридина Е.Г. Прогнозирование реализаций случайных функций с помощью законов распределения крайних членов выборки //Высокие технологии в технике, медицине и образовании.

- Воронеж, - 1995. - ч. II., - С. 201 - 212. - Межвуз. сб. научн. тр.

8. Гридина Е.Г. Аппроксимация случайных функций детерминированными функциями при цифровом моделировании

//Цифровые модели в производстве и проектировании РЭС: -Пенза: Пенз. гос. техн. ун-т, 1995. - С. 124 - 127. - Межвуз. сб. научн. тр.

9. Недосекин Д.Д., Гридина Е.Г., Еид М. Статистические свойства гармонических моделей стационарных случайных форм //Вопросы проектирования измерительных систем. - С-Пб.: 1995. -С. 20 - 24. - Изв. ГЭТУ; Вып. 479.

10. Гридина Е.Г. Аппроксимация тренда случайных процессов по Чебышеву //Известия ТРТУ. - Таганрог, - 1996. - №3. - С. 91

- 94.

11. Гридина Е.Г. Создание экспертной системы прогнозирования случайных процессов //Интеллектуальные САПР

- Таганрог: ТГРУ, 1995. - С. 168 - 169. - Межведомст. тематический научн. сб.

12. Гридина Е.Г. Вопросы моделирования и прогнозирования случайных процессов //Вопросы проектирования измерительных систем, - С-Пб.: 1996. - С. 65 - 68. - Изв. ГЭТУ; Вып. 496.

13. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Обеспечение заданных значений дисперсий при цифровом моделировании систем случайных процессов //Цифровые модели в проектировании и производстве РЭС - Пенза: ПГТУ, 1995. - С. 65 - 68. - Межвуз. сб. научн. тр. к

14. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н., Недосекин Д.Д., Чернявский Е.А. Методология цифрового моделирования многомерных случайных процессов /Труды Европейского конгресса по моделированию. Прага, 1987. - том С. - С. 35 - 39.

15. Гридина Е.Г., Недосекин Д.Д. Информационное обеспечение интерактивного моделирования динамических систем. //Системный анализ и моделирование: Труды III Междунар. симпозиума. - Берлин: ГДР, 1988. - С. 78-83.

16. Гридина Е.Г., Недосекин Д.Д., Хан С.Г. Воспроизведение случайных процессов с заданными вероятностными характеристиками для испытания сложных систем //Методы и средства измерения механических параметров в системах контроля и управления: докл. Всесоюзн. научн.-техн. конф. - Пенза, 1986, С. 114- 115.

17. Недосекин Д.Д. Гридина Е.Г., Антогаок П.Е.' Байесовский подход к прогнозированию поведения взаимосвязанных случайных явлений //Автоматизация процессов управления техническими средствами исследования и использования Мирового океана. Тез. докл. IX Международ, коорд. совещания. - С-Пб., 1994. - С. 66 -67.

18. Недосекин Д.Д., Гридина Е.Г., Антонюк П.Е. Прогнозирование зависимостей случайных последовательностей //Методы и средства оценки и повышения надежности приборов, устройств и систем: тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. -Пенза, 1995. - С. 59 - 60.

19. Гридина Е.Г. Применение законов распределения крайних членов выборки для прогнозирования случайных процессов //Новые информационные технологии в науке, образовании, медицине и бизнесе. САПР-95: Тез. докл. XXII Междунар. конф.

- Гурзуф, 1995. - С. 314 - 315.

20. Гридина Е.Г. Проблемы статистического прогнозирования в измерительно-вычислительных системах //Новые информационные технологии в науке, образовании и бизнесе: Тез. докл. XXIII Междунар. конф. - Гурзуф, 1996. - С. 255 - 258.

21. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Нечеткие системы с нечеткими входными и выходными множествами. //Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97): Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. - Санкт-Петербург, 1997. - С. 196- 198.

22. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н. Основные методы обработки нечеткой числовой информации //Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97): Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. - Санкт-Петербург, 1997. - С. 199

- 200.

23. Гридина Е.Г. Прогнозирование случайных процессов в условиях нечеткой исходной информации. //Стратегия здоровья: Информационные технологии и интеллектуальное обеспечение медицины - 97: Тез. докл. IV Междунар. форума - Турция, 1997. - С. 72 -74.

Подписано к печати 26.12.97 г. Зак. 29. Объём 2 п.л. Тир. 100.

MTÏÏSM. Москва, ул. М. Пионерская, 12

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ.

1.1 Постановка задачи вероятностно-статистического прогнозирования.

1.2 Определение вероятностных характеристик для статистического прогнозирования случайных процессов.

1.2 Л Аналитическое определение вероятностных характеристик непрерывных случайных процессов.

1.2.2 Аналитическое определение вероятностных характеристик решетчатых случайных процессов.

1.2.3 Аналитическое определение вероятностных характеристик системы непрерывных случайных процессов.

1.2.4 Аналитическое определение вероятностных характеристик системы решетчатых случайных процессов.

1.3 Цифровое моделирование случайных процессов с заданными вероятностными характеристиками.

1.4 Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ

СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА.

2.1 Предварительный анализ случайных процессов по экспериментальным данным.

2.2 Экстраполяция тренда.

2.3 Прогнозирование периодического математического ожидания.

2.4 Выводы по главе.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РЕАЛИЗАЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ИЗВЕСТНЫМИ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ.

3.1 Прогнозирование реализаций случайных процессов по корреляционному уравнению.

3.2 Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальной передаточной функции.

3.3 Прогнозирование реализаций случайных процессов по оптимальному полиному.

3.4 Прогнозирование реализаций случайных процессов по модифицированному фильтру Калмана.

3.5 Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

4.1 Прогнозирование с помощью законов распределения крайних членов выборки.

4.2 Прогнозирование с помощью нормализованного одномерного закона распределения.

4.3 Выводы по главе.

ГЛАВА 5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ НЕДОСТАТОЧНОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ.

5.1 Элементы теории нечетких множеств.

5.2 Методы прогнозирования случайных процессов в условиях нечеткой исходной информации.

5.3 Выводы по главе.

ГЛАВА 6. МЕТРОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ВЕРОЯТНОСТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ ПРИ ЦИФРОВОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ИВС.

6.1 Классификация и анализ погрешностей прогнозирования случайных процессов.

6.2 Вопросы цифрового моделирования ИВС среди комплекса задач которой предусматривается прогнозирование случайных процессов.

6.3 Выводы по главе.

Прогнозирование — это процесс формирования прогноза. Прогноз — это научно предсказанное состояние, поведение, развитие, функционирование некоторого объекта, основанное на знании его предыстории (т. е. знания состояния, поведения, развития, функционирования объекта в настоящем и прошлом) и соответствующих объективных закономерностях [1].

В настоящее время в отечественной и зарубежной литературе имеется большое количество работ, посвященных различным частным аспектам проблемы прогнозирования. Так теория прогнозирования характеристик случайных процессов достаточно широко представлена работами А.Н. Колмогорова [2], Н. Винера [3], B.C. Пугачева [4], Ю.В. Чуева [5], Е.М. Четыркина [6] и других авторов. Имеются работы, посвященные некоторым вопросам прогнозирования нестационарных случайных процессов (B.C. Пугачев [4], Р. Калман, Р. Бьюси [7] и др. [8]). В книге А.Т. Ивахненко и В.Т. Лапы [9] основное внимание уделяется использованию кибернетических систем распознавания образов для решения задач прогнозирования. Имеются работы, посвященные усовершенствованию существующих методов прогнозирования. Сюда прежде всего можно отнести монографию Р. Брауна [10], посвященную вопросам экспоненциального сглаживания, и последующие за ней работы по этому вопросу [11,12]. В последнее время вышло в свет большое количество работ, посвященных вопросам прогнозирования научно-технического прогресса (С.М. Ямпольский, Ф.М. Хилюк [13], В.А. Лисичкин [14, 15], М.Л. Башин [16], Э. Янч [17]и др. [18-26]). Однако они имеют скорее философскую, а не математическую направленность.

В ряде областей имеются отработанные частные методики прогнозирования. По оценкам [27] в настоящее время имеется порядка 20 апробированных методик. В большинстве своем они относятся к отдельным прогнозным задачам или основаны на частных подходах, например, используют определенную группу методов, количественную или качественную информацию, охватывают отдельные этапы процесса прогнозирования.

В целом большинство методик прогнозирования основано на применении математических методов, экспертных оценок и процедур принятия решений при сравнении прогнозных вариантов и рассчитаны на использование ЭВМ. Из сравнительно общих, надежно апробированных методик следует выделить: PATTERN (США) — помощь в планировании посредством количественной оценки техники [28, 29]; PROFILE (США) — программированные функциональные показатели для оценки лабораторий [30,31]; QUEST (США) — количественная оценка полезности для науки и техники [19, 32]; методика FORECAST (США) [33]; методика ЦПО (Франция) — центр перспектив и оценок [34]; методика Hindsight (США) [18, 31].

К методикам более частного характера относятся методики типа SRDR (выбор программ исследования и разработок) [32, 35], методика SEER (обзор и анализ событий) [36], методика SIA (оценка взаимовлияния и вероятности наступления событий) [35, 37, 38].

Из отечественных общих методик следует отметить методику программного прогнозирования развития науки и техники (Россия). Методика позволяет строить структуру прогноза и оценивать вероятности и время достижения целей. Также следует отметить методику параметрического прогнозирования [38]. Сравнительно недавно разработана методика прогнозирования предельных значений параметров [39].

Прогнозирование в технике чаще всего сводится к предсказанию значений случайных процессов — режимов работы технических устройств, либо воздействий на них со стороны среды.

В настоящее время существует огромное количество методов и способов прогнозирования [5,40,41], однако все они основаны на двух крайних подходах: эвристическом и математическом. Эвристические методы основаны на использовании мнения специалистов в данной области знания и, как правило, используются для прогнозирования процессов, формализацию которых нельзя провести к моменту прогнозирования.

Математические методы прогнозирования в зависимости от вида математического описания объектов прогнозирования и способов определения неизвестных параметров модели часто в литературе разделяют на методы моделирования процессов движения (развития) и экстраполяции (статистические методы). К первой группе относятся методы, использующие в качестве модели прогнозируемого объекта его дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями. Ко второй группе относятся методы, определяющие на основании статистических данных о прогнозируемом объекте (процессе) его детерминированную основу и вычисляющие ее значения для заданного момента времени.

Большой интерес представляет и большое значение имеет при прогнозировании случайных процессов определение их вероятностных характеристик. Задача определения вероятностных характеристик возникает в случаях преобразования одних случайных процессов в другие. При этом вероятностные характеристики (математические ожидания, дисперсии, корреляционные функции и спектральные плотности), преобразованных случайных процессов приходится определять по характеристикам преобразуемых случайных процессов. Особенно сложным решение этой задачи оказывается для переходного режима функционирования соответствующих преобразователей.

Что касается методов прогнозирования случайных процессов, то они все относятся к математическим методам и могут быть временными или невременными [5], но в большинстве случаев используются временные методы. Практически все математические методы прогнозирования можно классифицировать на методы прогнозирования случайных процессов с детерминированным математическим ожиданием или постоянным во-первых, и, во-вторых, содержащих чисто случайную составляющую. Последнюю группу методов можно разделить на прогнозирование реализаций с заданными вероятностными характеристиками и с использованием законов распределения. Перечисленные методы могут быть использованы при прогнозировании случайных процессов в условиях недостаточной априорной информации. Все указанные согласно классификации методы рассматриваются в диссертационной работе. В известных методах предлагаются разработанные рациональные методики. К новым методам можно отнести методы прогнозирования по оптимальному полиному (новый вид полинома), по модифицированному фильтру Калмана, по нормированному одномерному закону распределения и применение всех методов в условиях недостаточной исходной информации.

Задача экстраполяции, реализующая случайные процессы за пределы временного интервала, их наблюдение и фиксацию встречается во всех областях знаний, науки, техники, народного хозяйства и т. д.

В их числе прогнозирование погодных условий (в области метеорологии [42-48]), прогнозирование речных стоков и уровней подводных вод (в области гидрологии [49-53]), прогнозирование реакций динамических систем с целью компенсации запаздывания (в области автоматического управления [54-64]), прогнозирование урожайности (в области сельского хозяйства [65-69]), прогнозирование спроса на медикаменты (в области здравоохранения [70]), прогнозирование состояния окружающей среды (в области экологии [71-74]), прогнозирование в экономике [75-79], прогнозирование развития науки и техники [80-83].

Актуальность. Прогнозирование случайных процессов может быть высоко эффективно использовано, во-первых, при создании информационно-измерительных систем (ИИС) и измерительно-вычислительных средств (ИБС), способных экстраполировать изменения условий функционирования соответствующих объектов и, обеспечивающих адаптацию к этим изменениям [84, 85], во-вторых, для качественного проектирования измерительных приборов при прогнозировании их метрологических свойств [86, 87].

Состояние проблемы. К настоящему времени в области определения вероятностных характеристик случайных процессов известны только методы прогнозирования математических ожиданий (в переходных и установившихся режимах). В области прогнозирования реализаций случайных процессов известны некоторые способы получения прогноза, требующие знания математических ожиданий и корреляционных функций, а также способы приближения функций, пригодные для определения периодических и непериодических математических ожиданий и их прогнозирования. Совершенно отсутствуют работы по прогнозированию реализаций случайных процессов в условиях неопределенности, при недостаточной информации, исходной для осуществления прогнозирования.

Цель работы. Критическое исследование известных статистических методов и на их базе разработка новых машинно-ориентированных методов прогнозирования случайных процессов с заданными корреляционными функциями, с использованием законов распределения, прогнозирование в условиях недостаточной исходной информации, а также метрологический анализ вероятностно-статистического прогнозирования.

Основные задачи диссертационной работы:

- разработка методов определения корреляционных функций и дисперсий выходных случайных процессов дискретных систем в переходном режиме функционирования системы при воздействии входных систем случайных процессов;

- разработка методики предварительного анализа случайных процессов на стационарность и экстраполяция прогнозирования полиномиальных и периодических математических ожиданий;

- разработка методики прогнозирования центрированных реализаций систем случайных процессов по корреляционным уравнениям, по оптимальным и разностным уравнениям, по оптимальному полиному;

- разработка новых методов экстраполяции реализаций систем случайных процессов;

- экстраполяция случайных процессов методами теории нечетких множеств в условиях недостаточной исходной информации;

- метрологический анализ методов вероятностно-статистического прогнозирования случайных процессов.

Методы и методика исследования. Включаемые в диссертацию результаты основаны на системном подходе, к рассматриваемой проблеме, и получены методами научной эвристики, путем аналитических выкладок, теоретических и машинных расчетов, цифрового моделирования с привлечением теории вероятностей и математической статистики, теории непрерывных и цифровых систем автоматического управления, теории идентификации, теории цифровой фильтрации, методов и средств измерительной и вычислительной техники, теории нечетких множеств.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что автором дано обобщение и получены новые теоретические и практические результаты в области прогнозирования случайных процессов, используя данные динамических и статистических измерений. Разработаны аналитический и машинный методы определения вероятностных характеристик случайных процессов на выходе линейных систем в переходном режиме.

Разработаны методики прогнозирования случайных процессов по корреляционным уравнениям, по оптимальному полиному и прогнозирование с использованием законов распределения крайних членов выборки. Предложен и разработан метод прогнозирования по одномерному закону распределения для оценивания достоверности прогноза. Предлагается разработанный модифицированный фильтр Калмана и его применение для прогнозирования систем случайных процессов. Разработан новый метод прогнозирования систем случайных процессов, основанный на теории нечетких множеств. Проведен метрологический анализ вероятностно-статистических методов прогнозирования.

Совокупность полученных результатов, представляющих научно обоснованные теоретические решения в задачах вероятностностатистического прогнозирования случайных процессов, вносит значительный вклад в развитие и ускорение научно-технического прогресса.

Научные результаты:

- исходя из системного подхода, предложен и разработан метод аналитического определения вероятностных характеристик дискретных случайных процессов и их систем, основанный на двухстороннем z-преобразовании;

- проведено теоретическое обобщение и разработаны новые методы цифрового моделирования случайных процессов и систем на основе моделей случайных величин;

- на основе предварительного анализа усовершенствованы методы экстраполяции полиномиальных и периодических случайных процессов;

- на основе обобщения методов, основанных на измерении корреляционной функции, предлагается метод прогнозирования реализаций случайных процессов по модифицированному фильтру Калмана;

- на основе разработки фундаментальных вопросов теории нечетких множеств предлагается метод экстраполяции случайных процессов в условиях недостаточной априорной информации;

- на основе метрологического анализа методов предлагается процедура определения полной группы составляющих погрешностей прогнозирования.

Практическая ценность результатов работы заключается в том, что:

- результаты теоретических исследований могут быть положены в основу конкретных программных разработок;

- предложенные методы прогноза позволяют осуществить создание, разработку, проектирование более совершенных ИВК и ИИС с адаптацией к изменяющимся условиям;

- в целях повышения достоверности результатов моделирования поведения ИВК и ИИС, под действием случайных воздействий, предлагается разработанный метод цифрового моделирования, основанный на аппроксимации случайных процессов системами случайных величин, обеспечивающий высокую точность машинных исследований;

- результаты исследования в области теории нечетких множеств позволяют прогнозировать случайные процессы, когда реализация процесса зафиксирована в равноотстоящих точках, число которых менее пяти;

- разработанный метрологический анализ методов позволяет повысить качество проектирования измерительных приборов;

- разработанные методы прогнозирования случайных процессов нашли практическое применение в исследовательских и проектных работах различных предприятий страны.

Реализация результатов заключается во внедрении их при непосредственном участии автора:

- при создании информационной структуры поддержки системы экологического мониторинга и решении проблем экологического прогнозирования в рамках программы «Экологическая безопасность России»;

- при испытаниях тренажера самолета ТУ-204, при прогнозирования вертикальной перегрузки, действующей на конструкцию системы;

- при создании блоков импульсной разгрузки турбин энергетических газотурбинных установок;

- при создании аппаратно-программных средств для синтеза и применения измерительных информационных систем.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на международных симпозиумах и конференциях:

- Европейском конгрессе по моделированию (IMCO), г. Прага (ЧССР, 1987 г.);

- III международном симпозиуме по системному анализу и моделированию, г. Берлин (ГДР, 1988 г.);

- IX Международном координационном совещании «Автоматизация процессов управления техническими средствами исследования и использования Мирового океана», Санкт-Петербург (Россия, 1994 г.);

- XVII — XXIII Международной конференции и школы молодых ученых и специалистов «САПР — новейшие информационные технологии в науке, образовании, медицине и бизнесе», г. Гурзуф (Крым. Украина, 1991-96 г.);

- IV Международном форуме «Стратегия здоровья: информационные технологии и интеллектуальное обеспечение медицины — 97», г. Анталья. (Турция, 1997 г.);

- Международной научно-технической конференции «Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность — 97», г. Санкт-Петербург (Россия); а также на 28 всесоюзных, всероссийских и краевых конференциях, совещаниях и семинарах в университетах и институтах Кибернетики и электродинамики АН Украины, КНИГА, КПИ, ПГТУ, ВГТУ, ТГТУ, СПбГЭТУ и ряде других научных и учебных заведений.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях: 2 монографиях; 10 депонированных монографиях общим объемом 418 с, 5 статьях в центральных журналах, 42 статьях в межвузовских сборниках, материалах и тезисах докладов международных, всероссийских, республиканских и краевых конференциях, симпозиумов, совещаний и семинаров.

Личный вклад автора. Во всех работах, опубликованных в соавторстве, автором дана постановка задачи, предложены основные идеи методов, получены аналитические выкладки и теоретические результаты.

Соавторство, в основном, относится к конкретизации и детализации теоретических результатов и идей для частных случаев.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованных источников (259 наименований) и

Результаты работы были использованы для исследования точности прогнозов при выборе критериев качества статистического прогнозирования.

Зав. лабораторией

Шенфинкель И.Ю.

1Ь9 . fl г Утверждаю - > директор ОП НИКТИТ

• • ДЭДТ^Невский завод" /•',/ М.И.Новиков //" so 1997 г.

АКТ внедрения результатов докторской диссертации Гридиной Е.Г. "Вероятностно - статистическое прогнозирование случайных процессов в измерительно - вычислительных системах" в n научном и производственном процессах ОП НИИКТИТ АООТ "Невский завод"

Настоящий акт подтверждает использование результатов диссертационной работы при выполнении хоздоговорных работ по созданию блоков импульсной разгрузки турбин (БИРТ) энергетических газотурбинных установок (ЭГТУ).

При разработке и проектировании системы управления газовыми турбинами были использованы методы црогнозирования случайных процессов, основанные на применении оптимальных полиномов и оптимальных перрдатичных функций, а также метод, основанный на модифицированной фильтрации Калмана. Разработанные согласно перечисленным методам методики и рекомендации приняты к освоению. Они позволяют создать систему управления, способную к адаптации в реальных условиях эксплуатации при отклонении скоростей текущих изменений нагрузки, и обладающую возможностью осуществления прогноза изменения этой нагрузки. Это позволяет повысить эффективность работы автоматической системы управления для энергетическийх турбин и соответственно увеличить ресурс ЭГТУ,а также уменьшить количество ложных срабатываний (остановок ЭГТУ).

Начальник отдела fj 'сГ' кин B.H.

V V1997 r.

J'/' д \L r ■ ' ■ . '•■

Ь ' Т ТТЙ Й Ы'КТРГ ъ-пнгтруктор

Акт внедрения результатов докторской диссертации Гридиной Е. Г. "Вероятностно - статистическое прогнозирование случайных процессов в измерительно-вычислительных системах" в научно-исследовательском и производственном

Настоящий акт подтверждает использование результатов диссертационной работы Гридиной Е.Г., которые были получены при выполнении хоздоговорных тем "Отель-М", КТС ТУ-204.

При разработке программы испытания сложных систем были использованы методы цифрового моделирования случайных процессов, предложенные Гридиной Е.Г., методы прогнозирования вероятностных характеристик случайных процессов, при прохождении их через систему автоматического управления в различных режимах работы.

По результатам использования разработанных методов можно сделать следующие выводы: 1) использование методов моделирования и прогнозирования систем и процессов при проектировании и испытаниях сложных систем позволило значительно повысить эффективность процесса проектирования; 2) методы прогнозирования процессов, основанные на теории нечетких множеств, нашли практическое применение и являются перспективными для дальнейшего развития.

При испытаниях тренажера самолета ТУ-204 прогнозировалась вертикальная перегрузка, действующая на конструкцию системы визуальной обстановки с помощью метода, основанного на применении распределения крайних членов выборки. процессах АО ПНПП "Эра".

Начальник НИС-4

Дегтярев Е.А.

1. Прогностика. Общие понятия. Объект прогнозирования. Аппарат прогнозирования. Терминология. - М.: Наука, 1978, вып. 92 - 32 с.

2. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. - «Известия АН СССР. Сер. матем.», 1941. т. 5, №1 - 3 - 7.

3. Winer N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. John Willy, N.Y., 1949.

4. Пугачев B.C. Теория случайных функций. - М.: Физматгиз, 1960. - 833 с.

5. ЧуевЮ.В., Михайлов Ю.Б., Кузьмин В.И. Прогнозирование количественных характеристик процессов. - М.: Сов. радио, 1975. - 400 с.

6. ЧетыркинЕ.М. Статистические методы прогнозирования. - М.: Статистика, 1975. 184 с.

7. Kalman R.E., Вису R.S. New results in linear filtering and prediction theory. - J. of Basic. Eng. Traus. ASME., 1960, №60 - С 75 - 88.

8. Ефимов А.Н. Предсказание случайных процессов. - М.: Знание, 1976. - 6 4 с.

9. Ивахненко А.Г., ЛапаВ.Г. Предсказание случайных процессов. - Киев: Наукова думка, 1971. - 132 с.

10. Brown R. - G. Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series. - N.Y. - Prentice Hall, Englewood Elifss, 1963.

11. Прогнозирование на основе временных рядов //Сб. статей - Минск, 1974.-14 с.

12. Кильдяшев Т.е., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. - М.: Статистика, 1973. - 326 с.

13. Ямпольский СМ., ХилюкФ.М., Лисичкин В.А. Проблемы научно- технического прогнозирования. - М.: Экономика, 1969. - 96 с.

14. Лисичкин В.А. Теория и практика прогностики. - М.: Наука, 1972. - 224 с. - 2 4 7 -

15. Гвишиани Д.М., Лисичкин В.А. Прогностика. - М.: Знание, 1968 - 89 с.

16. Башин М.Л. Прогнозирование научно-технического прогресса. - М.: Московский рабочий, 1970. - 114 с.

17. ЯнчЭ. Прогнозирование научно-технического прогресса. - М.: Прогресс, 1974.-584 с.

18. Научно-техническое прогнозирование для промышленности и правительственных учреждений. /Под общей ред. Т.М. Доброва. - М.: Прогресс, 1972.-270 с.

19. ХилюкФ.М. Экономическое и научно-техническое прогнозирование за рубежом. - Киев: Знание, 1970. - 172 с.

20. Методика программного прогнозирования науки и техники. - М.: ГКНТ, 1971.-58 с.

21. Рабочая книга по прогнозированию /Под ред. И.В. Бестужева-Лада. -М. : Мысль, 1982.-430 с.

22. Мартино Дж. Технологическое прогнозирование. - М.: Прогресс, 1977.-592 с.

23. ГмощинскийВ.Г., ФлиорентГ.И. Теоретические основы инженерного прогнозирования. - М.: Наука, 1973. - 303 с.

24. Добров Г.М. Прогнозирование науки и техники. - М.: Наука, 1977. - 209 с.

25. Чабровский В.А. Прогнозирование развития науки и техники. - М.: Экономика, 1983. - 152 с.

26. Романов Прогнозирование развития метрологии. - М.: Изд-во стандартов, 1989. - 176 с.

27. Лопухин М.М. Паттерн-метод планирования и прогнозирования научных работ. -М. : Сов. радио, 1971. - 145 с. - 2 4 8 -

28. SigfordJ.V., ParvinR.H. Project PATTERN: A metodology for Determining Relevance in Complex Decision Making. //IEEE Trans, on Engineering management, 1965, vol. EM-12, №1.

29. CentronM.J. PROFILE - Programmed Functional Indices for 1.aboratory Evaluation. - Papes of 16-th Military Operational Research Symposium, Seattle, Wash., Oktober, 1965.

30. Sherwin Ch. W., IsensonR.S. Le programme Hindsight. // Le progres Scientifigue, 1968, №120.

31. Centron M.J. QUEST States Report. //IEEE Trans, on Eng. management, 1967, vol. EM-14, №1.

32. Schriever A. Forecast. - Air University Review, 1963, vol. 16 №3. 34. de L'Estoile. La Programmation de la recherche appligue. //Le progres Scientifigue, 1968, №118.

33. Centron M.J., Ralph Ch.A. Industrial applications of technological forecasting: its untilization in R and D management. - N.Y.; London: Wiley-Interscience, 1971.

34. Bernstein G.B., CetronM.J. Seer: a Delphis approach applied to information processing and Social change, 1969, Vol. 1, №1.

35. Wood D., Fildes R. Forecasting for business: methods and applications. - 1.ondon, N.Y., 1976.

36. Gordon T.J., Hayward H. Inital Experiments for the Cross-Impact Matrix Method of Forecasting.// Future, 1968, Vol. 1, №2.

37. Тимофеева H.M. Методика статистической обработки патентных массивовдля прогноза перспективности конкурирующих направлений исследований. - В сб.: Материалы учебно-теоретического семинара «Изучение основ прогностики». - Л.: Судостроение, 1974. - 132 с.

38. Александров В.А. Классификация методов прогнозирования. //В сб.: Материалы учебно-теоретического семинара «Изучение основ программирования». /Под ред. В.А. Чабровского. - Л.: Судостроение, 1974. -128 с.

39. Теория прогнозирования и принятия решений. /Под ред. А. Саркисяна. -М. : Высш. школа, 1977. - 351 с. - 2 4 9 -

40. Казакевич Д.И. Основы теории случайных функций и её применение в гидрометеорологии. - Л.: Гидрометеоиздат, 1977. - 319 с.

41. Уланова Е.С., Сиротенко О.Д. Методы статистического анализа в астрометеорологии. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. - 200 с.

42. ГлушковаН.И. Прогноз опасных явлений погоды. - Л.: Гидрометеоиздат, 1973, вып. 116. - 39 с.

43. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. - М.: Статистика, 1979. - 256 с.

44. Константинов Б.А., СербиновскийГ.В. Прогнозы потребления электроэнергии //Электричество. - 1967. - №12. - 74 - 77.

45. Белов П.Н. Практические методы численного прогноза погоды. - Л.: Гидрометеоиздат, 1963. - 260 с.

46. Bates A.M., Grander C.N. The combination of forecasts. - Oper. Res. Quart., 1969. V. 20. P. 451 -468.

47. Картвелишвили H.A. Статистическая гидрология. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981. - 167 с.

48. Маматканов Д.М. Моделирование и предсказание речного стока. - Фрунзе.: Киргизстан, 1973. - 239 с.

49. Аполлон Б.А., Калинин Г.П., Комаров В.П. Гидрологические прогнозы. Л.: Гидрометеоиздат, 1960.-406 с.

50. Дружинин И.П., СмагаВ.Р., ШевнинА.Н. Динамика многолетних колебаний речного стока - М.: Наука, 1991. - 176 с.

51. BordleyR.F. The combination of Forecasts: A Bayesian Approach. - Ope. Res. Soc. 1982, V. 33, №2. P. 171 - 174.

52. Применение автоматизированных систем для управления воздушным движением. /Под ред. СМ. Федорова - М.: Транспорт, 1979. -397 с.

53. Силин В.Б., Заковряшкин A.M. Автоматическое прогнозирование состояния аппаратуры управления и наблюдения - М.: Энергия, 1973. - 336 с.

54. Мот Ж. Статистические предвидения и решения на предприятиях. - М.: Прогресс, 1966. - 512 с. - 2 5 0 -

55. Прогнозирование развития сложных систем /Ю.Н. Астахов, В.А. Веников, В.В. Ершевич и др. /Под ред. В.А. Веникова. - М.: МЭИ, 1985. -228 с.

56. Прогнозирование научно-технического и экономического развития основных звеньев народного хозяйства. /Под ред. В.А. Чабровского. - Л.: ЛДНТП, 1990. - 88 с.

57. Разевич В.Д. Цифровое моделирование многомерных динамических систем при случайных воздействиях. //Автоматика и телемеханика. - 1980. -Х24.-С. 177-180.

58. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда. Методы и модели. - М.: Статистика - 1989. 213 с.

59. Гельдфандбейн Я.А. Методы кибернетической диагностики динамических систем. - Рига: Знание, 1967. -542 с.

60. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. - Киев: Техника, 1975. - 311 с.

61. ЭйресР. Научно-техническое прогнозирование и долгосрочное планирование. - М.: Мир, 1973. - 216 с.

62. Sheares Р. Business forecasting and planning. Englewood Cliffs. (N.Y.): Prentice Hall, 1994.-184 p.

63. Перегудов B.H. Статистические методы обработки данных полевого опыта. - М.: Сельхозгиз, 1948. - 296 с.

64. Доспехов Б.А. Методы полевого опыта. - М.: Колос, 1968. - 336 с.

65. Меркурьева Е.К. Биометрия в селекции и генетика сельскохозяйственных животных. - М.: Колос, 1970. - 424 с.

66. Ларченко Е.Г. Вычислительная техника и экономо-математические методы в землеустройстве. - М.: Недра, 1973. - 399 с.

67. УслановаЕ.С. Методы агрометеорологических прогнозов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1959. -280 с.

68. Мартиненко В.Ф., Латоцкий В.А., Попов Ю.В., МандельА.С. Применение методов управления в аптечной службе. - М.: Медицина, 1989. -272 с. - 2 5 1 -

69. Прогнозирование экологических процессов /Л.Я. Ащепкова, А.Е. Кузьмина и др. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-е., 1986. - 216 с.

70. Гридина Е.Г. О статистическом прогнозировании в экологии //Мониторинг. Безопасность жизнедеятельности. - 1996. - №3. - 15-16

71. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование заражения атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1985. -272 с.

72. Trigg D.W. Monitoring а forecasting systems. Oper. Res. Quart. 1964. V. 15. № 3 - P . 271-274.

73. Прогнозирование экономических процессов. - М.: Акад. изд-во МЭГУ, 1995.-28 с.

74. Романовский B.C. Применение математической статистики в опытном деле. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 247 с.

75. Петровский А. Прогнозирование на проблемных сетях. - В кн.: Комплексное прогнозирование в экономике и международных отношениях. -М.: ИМЭКО, 1975. - 115 - 128.

76. Batty М. Monitory and Exponential Smoothing System. Oper. Res. Quart. 1969. V. 20. №3. - P . 319 -325

77. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. - М.: Статистика, 1971. -488 с.

78. Кузьмин В.Р., ИшкеевА.М. Прогнозирование хладостойкости конструкций и работоспособности техники на севере. - М.: Машиностроение, 1996.-304 с.

79. Чуев Ю.В., Михайлов Ю.Б. Прогнозирование в военном деле. - М.: Воениздат, 1975. - 279 с.

80. ЦыркинЕ.Б. Прогнозирование новой технологии //Эко. - 1979 - №11.-С. 13-18.

81. Montgomery Р.С, Conterras L.E. А Note on Forecasting with Adaptive Filtering. Oper. Res. Quart. 1977. V. 28. №1. - P. 87 - 91.

82. Чернявский E.A., Недосекин Д.Д., Алексеев B.A. Измерительно- вычислительные средства автоматизации производственных процессов. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-е., 1989. - 272 с. - 2 5 2 -

83. Капиев Р.Э. Измерительно-вычислительные комплексы. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-е, 1988. - 185 с.

84. Кавалеров Г.И. Измерительно-вычислительные комплексы //Приборы и системы управления. - 1977. - №11 - 23 - 27.

85. Цветков Э.И. Методические погрешности статистических измерений. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние., 1984. - 144 с.

86. Вероятностные методы в вычислительной технике /Под ред. А.Н. Лебедева, Е.А. Чернявского. - М.: Вые. шк., 1986. - 312 с.

87. Лебедев А.Н., Стеклова Г.А. Вероятностные спектральные характеристики случайных процессов./ - Л.; Ленингр. электротехн. ин-т. -1982. - 70 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.06.1982, №8789.

88. Цифровое моделирование систем стационарных случайных процессов /Е.Г. Гридина, А.Н. Лебедев, Д.Д. Недосекин, Е.А. Чернявский. -Л.: Энергоатомиздат, 1991. - 144 с.

89. ВенцельЕ.С, Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.

90. Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. - Минск.: Вые. шк., 1976. - 256 с.

91. Лебедев А.Н. Решетчатые функции в автоматическом управлении и цифровом моделировании. - Л.; Ленингр. электротехн. ин-т. - 1983. - 124 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.05.1993., №2883.

92. Левинштейн М.Л. Операционное исчисление в задачах электротехники. - Л.: Энергия, 1972. - 360 с.

93. Скляревич А.Н. Операторные методы в статистической динамике автоматических систем. - М.: Наука, 1965. - 460 с.

94. Гусев В.Г. Методы исследования точности цифровых автоматических систем. -М. : Наука, 1973. 400 с.

95. Методы цифрового моделирования и идентификации стационарных случайных процессов /А.Н. Лебедев, Д.Д. Недосекин, Г.А. Стеклова, Е.А. Чернявский -Л . : Энергоатомиздат, Ленингр. отд-е, 1988. - 64 с.

96. Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. - М.: Наука, 1968. - 368 с. - 2 5 3 -

97. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.:Мир, 1971.-458 с.

98. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1.-м.: Мир, 1971.-316 с.

99. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. - М.: Мир, 1969.-398 с.

100. Давенпорт В.Б., РутВ.Л. Введение в теорию случайных сигналови шумов. М.: Иностранная литература, 1960. - 315 с.

101. Траксел Дж. Синтез систем автоматического регулирования. - М.: Машгиз, 1959-216 с.

102. Гридина Е.Г. Преобразование случайных процессов линейными системами. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1997. - 118 с.

103. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. - М.: Наука, 1973. - 464 с.

104. Смит Д. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. - М.: Машиностроение, 1980. - 274 с.

105. Гридина Е.Г. Аппроксимация случайных функций детерминированными функциями при цифровом моделировании //Цифровые модели в производстве и проектировании РЭС: - Пенза: Пенз. гос. техн. ун-т, 1995. - 124 - 127. - Межвуз. сб. научн. тр.

106. Недосекин Д.Д., Гридина Е.Г., Еид М. Статистические свойства гармонических моделей стационарных случайных форм. //Вопросы проектирования измерительных систем. - С-Пб.: 1995. - 20 - 24. - Изв. ГЭТУ; Вып. 479.

107. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. - М.: Машиностроение, 1966. - 248 с.

108. Недосекин Д.Д., Гридина Е.Г., АнтонюкП.Е. Прогнозирование зависимостей случайных последовательностей //Методы и средства оценки и повышения надежности приборов, устройств и систем: тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. - Пенза, 1995. - 59 - 60.

109. Гридина Е.Г., Лебедев А.Н., Недосекин Д.Д. Линейный механизм формирования системы непрерывных случайных процессов и ее цифровое - 2 5 4 -применение /Ленингр. электротехн. ин-т. - Л., 1987. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.04.87, №2383-В87

110. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. - М.: Физматгиз, 1963. - 284 с.

111. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. - М.: Наука, 1974.-696 с.

112. Ермаков СМ., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982.-296 с.

113. Иванова В.М. Случайные числа и их применение. - М.: Финансы и статистика, 1984. - 111 с.

114. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. - Л.: Машиностроение, 1986. - 320 с.

115. ГридинаЕ.Г., Лебедев А.Н., Недосекин Д.Д., ЧернявскийЕ.А. Методология цифрового моделирования многомерных случайных процессов /Труды Европейского конгресса по моделированию. Прага, 1987. - том -С. 35 -39 .

116. ГридинаЕ.Г., Лебедев А.Н. Методы получения рекуррентных выражений для цифрового моделирования реализаций систем случайных стационарных процессов /Ленингр. электротехн. ин-т. - Л., 1986. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ - 25.06.86 №4648.

117. Недосекин Д.Д., ЯнФ.В. Применение микро-ЭВМ для формирования образцовых случайных сигналов с заданными спектральными характеристиками //Тез. докл. Всесоюзн. конф. по информационно-измерительным системам, ИИС-83. - Куйбышев, 1983. - 143 - 144.

118. БоксДж., ДженкисГ. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. -вып. 1. -400 с; вып. 2. -200 с. - 2 5 5 -

119. Советов Б.Я., Яковлев А. Моделирование систем. - М.: Высш. школа, 1985. -271 с.

120. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. - М.: Наука, 1972. - 304 с.

121. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. - М.: Наука, 1974. - 696 с.

122. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М.: Радио и связь, 1989. - 224 с.

123. ГридинаЕ.Г., Лебедев А.Н. Корреляционная теория случайных величин и функций /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1995. - 42 с. - Деп. во ВИНИТИ 14.04.95., №1039-В95.

124. Цветков Э.Н. Основы теории статистических измерений. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-е, 1986. - 256 с.

125. Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и её применение. - М.: Наука, 1965.-463 с.

126. Котельников Р.Б. Анализ результатов наблюдений. - М.: Энергопромиздат, 1986.- 144с.

127. Бендат Дж., ПирсолА. Применение корреляционного и спектрального анализа. - М.: Мир, 1983. - 312 с.

128. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. - М.:Мир, 1973.-957 с.

129. Тьюки Дж. У. Анализ результатов наблюдений. - М.: Мир, 1981. - 693 с.

130. Романовский В.И. Применение математическое статистики в опытном деле. - М.-Л.: ГИТЛ, 1947. - 247 с.

131. Худсон Д. Статистика для физиков. - М.: Мир, 1970. - 296 с.

132. Длин A.M. Математическая статистика в технике. - М.: Советская наука, 1958.-466 с. - 2 5 6 -

133. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. - М.: Наука, 1968. - 288 с.

134. Смирнов Н.В., Дунин-БарковскийИ.В. Краткий курс математической статистики. - М.: Физматгиз, 1959. - 436с.

135. Лакин Г.Ф. Биометрия. - Высшая школа, 1980. - 293 с.

136. Гришин В.К. Статистические методы анализа и планирования экспериментов. - М.: Изд. МГУ, 1975. - 128 с.

137. ГридинаЕ.Г. Разведочный анализ случайных процессов по экспериментальным данным /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1996. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.04.96., №1120-В96.

138. Алехин Ю.М. Статистические прогнозы в геофизике. - Л.: Изд. ЛГУ, 1963.-85 с.

139. Ванштейн Л.А., ЗубаковВ.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. - М.: Сов. радио, 1960. - 447 с.

140. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 248 с.

141. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. - М.: Физматгиз, 1961. -479 с.

142. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука. - 656 с.

143. Анго А. Математика для электро и радиоинженеров. - М.: Наука, 1967.-779с.

144. Тимофеев В.А. Инженерная методика расчета динамических систем. -Л . : Энергия, Ленингр. отд-е., 1975. - 320с.

145. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: ГИТП, 1956.-608с.

146. Численные методы /Данилина Н.И., Дубровская Н.С, КвашаО.П. и др. - М.: Высшая школа, 1976. - 368 с. - 2 5 7 -

147. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей. - М.: Геодезиздат, 1958. - 606 с.

148. Чебышев П.Л. О разложении функции одной переменной. Полное собрание сочинений, т. П. - М.: АН. СССР, 1947. - 335 - 341.

149. Хотимский В.И. Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов, способ Чебышева. - М.: Госстатиздат, 1959. - 87 с.

150. ГридинаЕ.Г. Аппроксимация тренда случайных процессов по Чебышеву //Известия ТРТУ. - Таганрог, - 1996. - №3. - 91 - 94.

151. MilnW.E. Numerical calculus. - New Jersey. Princeton, Princeton university press, 1949.

152. Серебренников М.Г., Первозванский А.Л. Выявление скрытых периодичностей. - М.: Наука, 1965. - 244 с.

153. УорсингА., ГеффнерДж. Методы обработки экспериментальных данных. - М.: Иностранная литература, 1953. - 348 с.

154. Галушкин А.И., Зотов Ю.А., Шикунов Ю.А. Оперативная отработка экспериментальной информации. - М.: Энергия, 1972. - 360 с.

155. Жовинский А.И., Жовинский В.И. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов. - М.: Энергия, 1988. - 113 с.

156. АфифиА., Айзен Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. - М.: Мир, 1982. - 488 с.

157. Отнес Р., ЭноксонЛ. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. - М.: Мир, 1982. - 428 с.

158. ГридинаЕ.Г. Определение периодических матожиданий случайных процессов по экспериментальным данным /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1996. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.04.96., №1119-В96.

159. БерезинИ.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Физматиздат, 1959. - 620 с.

160. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.:Мир, 1980.-536 с.

161. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976.-759 с. - 2 5 8 -

162. Чупров А.А. Основные проблемы теории корреляций. - М.: Госстатиздат, 1960. - 176 с.

163. ЛифшицИ.А., Пугачев В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления. - М.: Сов. радио, 1963. - 896 с.

164. Романовский В.И. Применение математической статистики в опытном деле. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 247 с.

165. Митропольский А.К. Техника статистического исчисления. - М.- Л.: Сельская хозгиз, 1931. - 632 с.

166. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. - М.: Сов. радио, 1975. - 320 с.

167. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления, - М. - Л.: Энергия, 1966.-372 с.

168. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. - М.: Наука, 1971. - 744 с.

169. ГридинаЕ.Г. Прогнозирование случайных стационарных процессов с помощью оптимальных линейных систем. /Санкт-Петербург, гос. электротехн. ун-т. - С-Пб., - 1995. - 37 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.07.95., №2701-В95.

170. Венцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 572 с.

171. Кондратьев А.П., Шестопалов Е.В. Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений. - М.: Атомиздат, 1977. - 200 с.

172. Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - 847 с.

173. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. - М.: Физматгиз, 1962. - 300 с.

174. Глудкин О.П., Обычкин Ю.Г., Блохин В.Г. Статистические методы в технологии производства радио-электронной аппаратуры. - М.: Энергия, 1977.-296 с.

175. Рао СР. Линейные статистические методы и их применения. - М.: Наука, 1968.-547 с. - 2 5 9 -

176. Медил Дж. Статистические оптимальные линейные оценки и управление. - М.: Энергия, 1973. - 440 с.

177. ГридинаЕ.Г. Метод полиномиальной экстраполяции при прогнозировании случайных процессов //Синтез, передача и прием сигналов управления и связи. - Воронеж., ВГТУ. - 1994. - 168 - 172. - Межвуз. сб. научн. тр.

178. ГридинаЕ.Г. Прогнозирование стационарных случайных процессов методом полиномиальной экстраполяции //Метрология. - 1994. -№12.-С. 14-25.

179. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана. - М.: Мир, 1988. - 167 с.

180. Применение автоматизированных систем для управления воздушным движением. /Под ред. СМ. Федорова. - М.: Транспорт, 1979. -379 с.

181. ДерусоП., Рой Р., Клоуз У. Пространство состояний в теории управления. - М.: Наука, 1970. - 620 с.

182. Современная теория систем управления /Под ред. М.Т. Леонидиса. -М. : Наука, 1970.-510 с.

183. SorensonH.W. Kalman Filtering Techniques Advances in Control Systems. Academic Press, N.Y. - L. 1966.

184. Сергеев Э.В. Основы статистической динамики линейных систем управления. - Л.: ЛЭТИ, 1981. - 75 с.

185. ГридинаЕ.Г., Недосекин Д. Д., Лебедев А.Н. Модифицированный фильтр Калмана //Измерительная техника. - 1995. - №5. - 13-16.

186. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Краткий курс математической статистики для технических приложений. - М.: Физматгиз, 1959.-436 с. - 2 6 0 -

187. ГридинаЕ.Г. Прогнозирование реализаций случайных функций с помощью законов распределения крайних членов выборки //Высокие технологии в технике, медицине и образовании. - Воронеж, - 1995. - ч. П., -С. 201 - 212. - Межвуз. сб. научн. тр.

188. АбезгаузГ.Г., Тронь А.П., Коровина И.А. Справочник по вероятностным расчетам. - М.: Воениздат, 1980. - 536 с.

189. Кендалл М.Дж., СтьартА. Теория распределений. -М.: Наука, 1966.-587 с.

190. КораблинМ.А. Об оценке плотности вероятности //Автоматика и вычислительная техника. - 1975. - №5. - 73 - 75.

191. Лебедев А.Н. Подобие и моделирование случайных величин и процессов. /Ленингр. электротехн. ин-т. - Л.; 1980. - 43 с. - Деп. в ГОСНИТИ 20.06.1980, №120-80.

192. Хофман А. Введение в теорию нечетких множеств. Пер. с фр. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

193. Орловский Л. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. -М.: Наука, 1981. - 240 с.

194. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. /Под ред. Д.А. Поспелова. -М. : Наука, 1986. - 312 с.

195. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. /Под ред. А.Н. Борисова. - Рига: Зинатне, 1988. - 256 с.

196. Недосекин Д.Д., Прокопчина СВ., Чернявский Е.А. Информационные технологии интеллектуализации измерительного процесса. -С-Пб.: Энергоатомиздат, 1995. - 178 с.

197. Шапиро Д.И. Принятие решений в системах организационного управления: Использование расплывчатых категорий. - М.: Энергоатомиздат, 1982.-184 с. -261-

198. Дюбуа Д., ПрадА. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. Пер. с фр. - М.: Радио и связь, 1990. -286 с.

199. Алиев Р.А. Интеллектуальные работы с нечеткими базами данных. - М.: Радио и связь, 1995. -176 с.

200. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А., Меркурьева Г.В., Попов В.А. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. - Рига: Зинатне, 1982. - 256 с.

201. Zadeh L.A. Fussy sets. Information and Control, 1965, V. 8, P. 338 - 353.

202. Terano R. Failure diagnosis by using logic //Proc. IEEE Cong. Decis. and contr. New Orleans, LA, 1977, Vol. 1. - New York (N.Y.), 1977. - С 1390 -1395.

203. Analysis and coastal of fuzzy systems using finite discrete relations //Int. J. Man-Mach. Stud. - 1978 - 27. С 431 - 440.

204. Dubois D., Prade H. Operations fuzzy numbers. - Int. J. Syst. Sci. 1978, V. 9, №6, P. 613-626.

205. Prade H. Using fuzzy set theory in scheduling problem.: a case study. - Fuzzy sets and Systems, 1979, V. 2, №2, P. 153 - 165.

206. ГридинаЕ.Г., Лебедев A.H. Новый метод определения функций принадлежности нечетких множеств. //Новые информационные технологии. -1997.-№7.-С. 3 0 - 3 3 .

207. Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. - М.: Статистика, 1978.-248 с.

208. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. /Под ред. P.P. Ягера. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1986. -408 с.

209. Прикладные нечеткие системы. Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. Пер. с яп. - М.: Мир, 1993. - 368 с.

210. ГридинаЕ.Г., ЛебедевА.Н. Идентификация нечетких систем по нечетким множествам на входе и выходе. //Метрология. - 1997. - №8 - 3 -- 2 6 2 -

211. ГридинаЕ.Г., Лебедев А.Н. Нечеткие системы с нечеткими входными и выходными множествами. //Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97): Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. - Санкт-Петербург, 1997. - 196 - 198.

212. Перфильева И.Г. Приложение теории нечетких множеств. //Итоги науки и техники. Сер. Теории вероятностей. Мат. стат. теор. киберн.. /ВИНИТИ. - 1990. - 26. - 83 - 151.

213. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. Т. 2. - М.: Энергия, 1979. - 584 с.

214. Борисов А.Н., Крумберг О.А., И.П. Федоров. Принятие решений на основе нечетких моделей.: Примеры использования. - Рига: Зинатне, 1990. -184 с.

215. АверкинА.Н. Нечеткие множества в моделях искусственного интеллекта. - В кн.: Вопросы кибернетики. Проблемы искусственного интеллекта. Вып. 61. М.: АНСССР, 1980. - 79 - 86.

216. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 165 с.

217. Миленький А.В. Классификация сигналов в условиях неопределенности. - М.: Сов. радио, 1975. - 328 с.

218. ГридинаЕ.Г., Лебедев А.Н. Основные методы обработки нечеткой числовой информации //Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность - 97 (ДИМЭБ-97): Тез. докл. Междунар. научно-техн. конф. -Санкт-Петербург, 1997. - 199 - 200.

219. Fiedes R., Jalland М., Wood D. Forecasting in conditions of uncertanity. - Long Range Planning, 1978, vol. 11, №4.

220. ГридинаЕ.Г. Прогнозирование случайных процессов в условиях нечеткой исходной информации. //Стратегия здоровья: Информационные технологии и интеллектуальное обеспечение медицины - 97: Тез. докл. IV Междунар. форума - Турция, 1997. - 72 -74.

221. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы: Учеб. пособие. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 439 с. - 2 6 3 -

222. Романов В.Н., Соболев B.C., Цветков Э.И. Интеллектуальные средства измерений /Под ред. Э.И. Цветкова. - М.: РИЦ «Татьянин день», 1994.-280 с.

223. Цветков Э.И. Применение имитационного моделирования в составе метрологического обеспечения. //Проблемы метрологического обеспечения систем обработки информации. - М.: 1984. - 7 - 9

224. Нормируемые метрологические характеристики средств измерения: Нормативно-технические документы. - М.: Изд. стандартов, 1985. -150 с.

225. Селиванов М.Н., Фридман А.Э., Кудряшова Ж.Ф. Качество измерений. Метрологическая справочная книга. - Л.: Лениздат. - 1987. -235 с.

226. Земельман М.А. К вопросу о косвенных измерениях и метрологических методах //Измерительная техника. - 1976. - №8. - 13-19.

227. Шеннон Р. Имитационное моделирование системы данных в реальном масштабе времени. - М.: Знание, 1972. - 138 с.

228. ГридинаЕ.Г., Лебедев А.Н. Обеспечение заданных значений дисперсий при цифровом моделировании систем случайных процессов //Цифровые модели в проектировании и производстве РЭС - Пенза: ПГТУ, 1995. - 65 - 68. - Межвуз. сб. научн. тр.

229. КиреевВ.А., Скобелев О.П. Имитационные модели элементов подсистем сбора и преобразования измерительной информации. //Автоматизация экспериментальных исследований.- Куйбышев: КПИ, 1982. -С. 17 -21. - Сб. научн. Трудов.

230. Имитационное моделирование сложных систем. /П.Н.Богомолов, Ф. Гайстеров, В.А. Ермолов, И.П. Снерский. //Моделирование сложных систем. Сб. статей - Рига: Зикатне, 1975. - Вып. 4 21 - 26. - 264 -

232. Чернявский Е.А., Недосекин Д.Д., Алексеев В.В. Задачи проектирования измерительно-вычислительных систем и сетей.: Тез. докл. Всесоюзн. конф. по информационно-измерительным системам. ИИС - 83. -Куйбышев, 1983. 33-34 .

233. Чернявский Е.А., Недосекин Д.Д., Алексеев В.В. Измерительно- вычислительные средства автоматизации производственных процессов: Учеб. пособие -Л . : Энергоатомиздат, 1989. - 396 с.

234. Борисов Ю.П. Математическое моделирование радиосистем: Учебное пособие для вузов. - М.: Сов. радио, 1976. - 296 с.

235. Михалевич B.C., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. - М.: Наука, 1982. - 286 с.

236. Мартин Ф. Моделирование на вычислительных машинах. - М.: Сов. радио, 1972.-288 с.

237. ПоллякЮ.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. - М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

238. ГридинаЕ.Г. Проблемы статистического прогнозирования в измерительно-вычислительных системах //Новые информационные технологии в науке, образовании и бизнесе: Тез. докл. XXIII Междунар. конф. - Гурзуф, 1996. - 255 - 258.

239. ГридинаЕ.Г. Создание экспертной системы прогнозирования случайных процессов //Интеллектуальные САПР - Таганрог: ТГРУ, 1995. -С. 168 - 169. - Межведомст. тематический научи, сб.

240. Горелик Н.Н. Основные проблемы автоматизации метрологического проектирования измерительных приборов. //Приборы и системы управления. - 1977. - №2. - 17 - 19.

241. Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем. - М.: Сов. радио, 1975. - 304 с.

242. Математическое обеспечение сложного эксперимента /Ю.А. Белов, В.П. Диденко, Н.Н. Козлов и др. - Киев: Наукова думка, 1982, т. 1. - 304 с. - 2 6 5 -

243. Илюхин А.Г., Коваленко В.П. Численные методы обработки информации при исследовании динамических систем. - Киев.: Наукова думка, 1971.-176 с.

244. Лемен Э. Проверка статистических гипотез. - М.: Наука, 1979, - 408 с.

245. Клейн Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. - М.: Статистика, 1978, Вып. 1, - 222 с.

246. Грановский В.А. Динамические измерения: Основы метрологического обеспечения. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-е, 1984. -224 с.

247. ГридинаЕ.Г., Недосекин Д.Д. Информационное обеспечение интерактивного моделирования динамических систем. //Системный анализ и моделирование: Труды III Междунар. симпозиума. - Берлин: ГДР, 1988. -С. 78-83.

248. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных устройств. - М.: Машиностроение, 1976. - 310 с.

249. Чеголин П.М., ПойдаВ.Н. Методы, алгоритмы и программы статистического анализа. - Минск: Наука и техника, 1971. - 315 с.

250. Соболев B.C., Цветков Э.И. Проблемы метрологического и алгоритмического обеспечения интеллектуальных средств измерений //Известия ЛЭТИ; вып. 403. - Л.: ЛЭТИ. - 1988. - 64 - 72.

251. Данилевич СБ. Построение рациональных методик поверхности СИ с помощью метода имитационного моделирования. - //Метрология. - 1980. - № 5 - С . 31-33. -266