автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Верификация мезоскопической модели в реологии полидисперсных вязкоупругих полимерных сред

На правах рукописи

□ОЗ163196

Макарова Мария Александровна

ВЕРИФИКАЦИЯ МЕЗОСКОПИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В РЕОЛОГИИ ЛОЛИДИСПЕРСНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПОЛИМЕРНЫХ СРЕД

05 13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул 2007

003163196

Работа выполнена на кафедре высшей математики в ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им И.И. Ползунова»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Алтухов Юрий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сагалаков Анатолий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Бубенчиков Алексей Михайлович

Ведущая организация:

Институт теплофизики СО РАН им С С. Кутателадзе

Защита состоится 14 ноября 2007 г в 10 час на заседании диссертационного совета Д212 005 04 при ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу 656049, г Барнаул, пр Ленина, 61

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу 656049, г Барнаул, пр Ленина, 61

Автореферат разослан Э октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

С А Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Рост производства синтетических смол и пластических масс в нашей стране в 2006 году составил 107,4% к уровню 2005 года, при этом достигнут рост производства практически всех видов крупнотоннажных пластмасс В соответствии со «Стратегией развития химической и нефтехимической промышленности РФ на период до 2015 года», к указанному сроку планируется увеличить объемы производства полимерных материалов примерно вдвое

Таким образом, интерес к полимерам не ослабевает, а поток научных исследований и практических результатов в этой области все увеличивается

Однако, полимерные материалы - это сырье, которое необходимо переработать, чтобы сформовать из него изделие В настоящее время большое значение приобрели методы формования путем перевода материала в текучее состояние, придание раствору или расплаву требуемой формы и последующего затвердевания в форме изготовляемого изделия Технология получения изделий из полимерных материалов при этом непрерывно меняется. Поэтому изучение технологических процессов переработки полимеров является важной практической задачей Это, в свою очередь, невозможно без привлечения аппарата физики и математики для описания течений полимерных жидкостей в различных узлах технологического оборудования, то есть для решения конкретных технологических задач требуется формулировка закона поведения перерабатываемой полимерной системы

При этом полимерная жидкость, или в общем случае сплошная среда, описываемая поведением бесконечного числа точек, и, следовательно, имеющая бесконечное число степеней свободы, не может быть рассмотрена в рамках классической динамики Для ее описания требуется обобщение основных понятий и положений классической динамики Таким путем приходят к уравнениям сохранения в механике сплошных сред. Уравнения законов сохранения механики сплошных сред образуют замкнутую систему уравнений с точностью до некоторых неизвестных функций, характеризующих физические свойства материала Конкретизация этих функций, называемых реологическими определяющими соотношениями, осуществляется в рамках одного из двух научных направлений-феноменологического подхода и статистического или микроструктурного подхода

При статистическом подходе описание объекта строят, учитывая в некотором приближении молекулярное строение вещества и достаточно сложные процессы межмолекулярного взаимодействия Затем, применяя вероятностные методы, вводятся средние по ансамблю всевозможных реализаций характеристики, которые отождествляются с величинами, определяемыми на опыте. Основы такого подхода к описанию полимерных жидкостей были заложены в работах Флори, Кирквуда, Каргина,

Слонимского, Рауза и многих других исследователей. Достоинствами этого подхода является возможность проследить связь между макро- и микрохарактеристиками объекта, а также лучшая по сравнению с феноменологическим подходом прогностическая способность получаемых теорий, подробность описания. Недостатками - необходимость использования не всегда достаточно обоснованных моделей элементов структуры и их взаимодействия, т.е привлечение дополнительных гипотез, а также большие математические трудности при постановке и решении проблемы, сложность получаемых уравнений.

В настоящее время наиболее результативным является микроструктурный подход, основанный на обобщении реологической модели Виноградова-Покровского.

Выполненные ранее исследования показали, что эта реологическая модель позволяет непротиворечиво описывать стационарные вискозиметрические течения растворов и расплавов линейных полимеров, демонстрируя наличие таких эффектов, как аномалия сдвиговой вязкости, первая и вторая разности нормальных напряжений, возрастание вязкости при одноосном растяжении Также показано существование универсальной зависимости отношения вязкости при растяжении к сдвиговой вязкости, найденных как функции первого инварианта тензора дополнительных напряжений При расчетах неустановившихся течений модель предсказывает немонотонное установление сдвиговых и растягивающих напряжений, а также качественное различие при описании наложения малых осциллирующих колебаний на сдвиговое течение, в параллельном и ортогональном сдвигу направлениях Обнаруженный эффект наблюдается и в экспериментах Во всех рассмотренных случаях тензоры градиентов скорости считаются известными и поэтому соответствующие математические модели приводят либо к исследованию нелинейных алгебраических уравнений, либо к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений Достигнутые при этом успехи позволяют обратить внимание на более сложные типы течений, когда компоненты тензоров градиентов скорости неизвестны и подлежат определению из решения полной гидродинамической проблемы Одним из таких течений является течения Пуазейля, которые реализуются либо в бесконечной круглой трубе, либо между двумя бесконечными параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления

Несмотря на достигнутый в настоящее время прогресс, следует отметить, что большинство полученных ранее моделей основывались на предположении, что все макромолекулы в рассматриваемом объеме имеют одинаковую длину, т е. рассматривались монодисперсные полимеры Так как большинство используемых на практике полимерных материалов обладают полидисперсностью, т е. образованы макромолекулами различной длины, то возникает необходимость модификации имеющихся реологических моделей на случай учета этого фактора. Ранее было исследовано влияние

полидисперности на реологические свойства полимерного образца в случае стационарного однородного сдвигового течения, а также получены уравнения для составляющих комплексного модуля сдвига в режиме простого осциллирующего сдвигового течения для двухкомпонентных смесей линейных полимеров Эта модель может быть взята за основу для последовательного учета влияния полидисперсности полимерного образца на его реологические свойства

Цель исследования. Обоснование реологического определяющего соотношения полидислерсных растворов и расплавов линейных полимеров в режиме течения их между параллельными плоскостями в случае, когда одна из плоскостей покоится, а другая движется по заданному гармоническому закону, и в случае, когда плоскости покоятся, а течение происходит под действием постоянного перепада давления.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе требовалось решить следующие задачи:

1 Построение модели, учитывающей полидисперсность полимерных образцов;

2 Проверка модели на адекватность путем расчета динамических характеристик линейной вязкоупругости текучих полимерных сред,

3 Расчет неоднородного течения нелинейной вязкоупругой жидкости между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления,

4 Найти зависимость перепада давления от расхода и на основе этой зависимости получить значения профиля скорости вязкоупругой жидкости в плоском канале от ее расхода

Научная новизна:

1 Найдена зависимость составляющих динамического модуля сдвига от частоты для различного фракционного состава смеси полимера одного гомологического ряда,

2 Выполнено обобщение закона Пуазейля на случай плоскопараллельного течения под действием постоянного перепада давления,

3. Найдены зависимости профиля скорости и составляющих тензора напряжений от перепада давления,

4 Определена зависимость удельного расхода от перепада давления;

5 Найдена зависимость профиля скорости и составляющих тензора напряжений от удельного расхода жидкости

6 Обнаружен ненулевой перепад давления в направлении, перпендикулярном скорости течения, который, тем не менее, не приводит к появлению вторичных потоков

Достоверность. Применяемый в диссертации подход в части построения и обоснования реологических соотношений основывается на широко известных представлениях о молекулярной структуре и поведении полимеров на молекулярном уровне и использует достаточно широко применяемые

физические модели, учитывающие строение полимера Это определяет в рамках сделанных допущений и предположений адекватность полученных соотношений реальным полимерным жидкостям.

Полученные результаты при упрощении сводятся к известным результатам, которые используются как в теоретических, так и в экспериментальных исследованиях полимеров Результаты расчетов, для всех исследованных процессов не противоречили, по крайней мере, качественно известным экспериментам Это подтверждает достоверность полученных в работе выводов

Практическая ценность. Показана возможность учета влияния полидисперсности на реологические свойства полимеров на основе результатов, полученных для полимерных систем с многомодальным молекулярно-массовым распределением. Описан непараболический профиль скорости в зазоре между параллельными пластинами, что не противоречит экспериментальным данным Найдены зависимости профиля скорости и составляющих тензора напряжений от удельного расхода жидкости Полученные зависимости могут быть использованы при разработке численных методов 2-мерных и 3-мерных течений в качестве начального приближения На основе полученных в работе результатов можно сделать вывод о пригодности реологической модели для описания реальных течений полимерных сред в различных узлах технологического оборудования

Вклад автора Участие в постановке задач, получении результатов и их обсуждении. Составление программ для расчета и сравнения теоретических результатов с описанными в литературе экспериментальными данными

На защиту выносятся следующие положения:

1 Методика расчета и результаты численного исследования составляющих комплексного модуля сдвига для многокомпонентных смесей линейных полимеров одного гомологического ряда,

2 Аналитические выражения для компонент тензора напряжений и продольной скорости и их численные зависимости от удельного расхода жидкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на следующих конференциях: Межрегиональная конференция по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 2004), «22 Симпозиум по реологии» (Валдай, 2004), Ежегодная европейская конференция по реологии, АЕЯС 2005 (Франция, 2005), Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) (Екатеринбург, 2005), Региональная научно-методическая конференция МОНА-2005 (Барнаул,

2005), «23 Симпозиум по реологии» (Валдай, 2006), Региональная конференция по математическому образованию на Алтае (Барнаул, 2006), 3 Ежегодная европейская конференция по реологии, АЕЯС 2006 (Греция,

2006), Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) (Пермь,

2007), 4 Ежегодная европейская конференция по реологии, АЕЛС 2007

(Италия, 2007), Десятая региональная конференция по математике МАК-2007 (Барнаул, 2007)

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения Работа изложена на 134 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, 1 таблицу, список литературы состоит из 104 наименований

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 03-01-00035, 06-01-00402)

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю в аспирантуре д ф -м н , профессору Пышнограю Г В

г

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе «Микроструктурные представления в динамике растворов и расплавов линейных полимеров», которая носит обзорный характер, приведены уравнения динамики макромолекулы для модели Слонимского-Каргина-Рауза, сформулированные ранее

«^ = Г,- + х - 2Тикр" + ФГ -

ш

У

Здесь т ~ масса броуновской частицы, / - время, р" и цг* - / -компонента радиус-вектора и вектора скорости частицы с номером а в нормальных координатах, Г," и Т° - силы гидродинамического увлечения и внутренней вязкости, 27/* - коэффициент упругости модельной пружинки, Ла -собственные значения силовой матрицы, ф" - случайная сила, г - время релаксации, - тензор градиентов скорости, у и а>ц - симметризованный и антисимметризованный тензоры градиентов скорости, р - некоторый параметр, £ - коэффициент сопротивления частицы в растворителе, Е -коэффициент «внутреннего» трения макромолекулы в неразбавленной системе, В - мера усиления коэффициента трения £, Д° и -безразмерные тензорные коэффициенты трения

В этой модели воздействие среды на реальную макромолекулу полимера аппроксимируется воздействием на линейную цепочку из N + 1 броуновских частиц, каждая из которых представляет собой достаточно большую часть

макромолекулы Броуновские частицы, часто называемые «бусинками», связаны между собой последовательно упругими силами - «пружинками». При этом приведен краткий обзор наиболее известных моделей линейных макромолекул Окружение выбранной макромолекулы рассматривается как некоторая «эффективная» среда, образованная всеми остальными макромолекулами и растворителем, если он имеется, т е. путем одномолекулярного приближения.

Во второй главе «Реологическое определяющее соотношение» осуществлен переход от уравнений динамики макромолекулы (1) к выражениям для тензора напряжений системы взаимодействующих броуновских частиц в симметризованном виде через корреляционные моменты переменных системы уравнений динамики макромолекулы

^ а ос ос сс ос

>к~ ХV?пк~Х кпУя/-

1

Ч' У (г

2Вт?

V4-

1

Аг^8* К

(2)

В

1

с°и°л=

1

= —и,

т

Лк~2ВтХг^ап

где сг1к — тензор напряжений, п - плотность числа молекул, Т - температура в энергетических единицах, д1к - дельта-символ Кронекера,

х^ = рак^, и°к = - безразмерные корреляционные

3 Т

моменты, А*« =~х° -апха1к-сок1х"

- производная Яумана

тензорной величины х"к ; г* = - набор времен релаксации Рауза,

ц/ - мера внутренней вязкости; Ъ"к, с"к, , с/," - тензорные коэффициенты трения

Вид корреляционных моментов в выражении для тензора напряжений установлен непосредственным усреднением уравнений динамики макромолекулы

Система уравнений (2) представляет собой реологическое уравнение состояния нелинейной анизотропной вязкоупругой жидкости и может быть

использована для математического моделирования различных течений полимерной среды

В случае простого осциллирующего сдвигового течения, когда ~ ехр(-/е>/), где о) - частота периодического деформирования, выражения для безразмерных корреляционных моментов (2) принимают вид

х« = }-8 | + гАа>>0

* 3 " 3 1 -ша'

(3)

ЪТ[\-1(0Т)(\-1С0Т а) Здесь та = г / 2 + (1 + и г^ = 2гга /(г + 2та )

В этом случае поведение полимерной системы характеризуется динамическим модулем сдвига, который определяется как СО) = -¡йхтп (со, 0 / у,2 (б), 0,

и уравнение (2) приводит к следующему выражению для С(а>)

в(со) _ 1

\рт + 2Вт") -шта (

(4)

пТ 2

{ ^ВтКа{рт + 2Вт«а) -штва — 1Сота

ТТа \-16)Т*\-1й)Та

где п - число субцепей в модели макромолекулы

В (4) удобно выделить действительную и мнимую части (7(й>) = С (со) - Ю" (со), получив при этом выражения для нахождения С(са) - модуля упругости и С (со) - модуля потерь

Таким образом, в монодисперсном случае поведение полимерной жидкости характеризуется четырьмя параметрами двумя безразмерными -X, у/ и двумя размерными ~ Вт', пТ Параметр пТ определяется по значениям молекулярной массы и весовой концентрации полимера, величина начальной сдвиговой вязкости т]0 пропорциональна Л/34, где М -

молекулярная масса, значения параметра Вт' и безразмерных параметров % и у/ - из соотношений

о . 6т70 л-2 Ме 4я2

Вт = "/■, У =---, ш--,

л пТ 12 М 9%

где Ме - длина цепи между «зацеплениями» в неразбавленной системе

Далее проведена проверка соответствия полученной модели реальным течениям полимерных жидкостей путем сравнения с описанными в литературе экспериментальными данными Сопоставление

экспериментальных и теоретических зависимостей для С (а) и С (со) показало, что предложенный микроструктурный подход к описанию динамики полимерных жидкостей не противоречит имеющимся экспериментальным данным по линейной вязкоупругости растворов и расплавов линейных полимеров и может служить основой для описания нелинейных эффектов в этих системах, что будет рассмотрено далее.

Система определяющих уравнений (3) очень сложна Поэтому ранее были сформулированы, используя малость параметров % и у/, модели нулевого и первого приближения Полученные при этом результаты приводят к необходимости более подробного рассмотрения модели нулевого приближения по % и ц/. В этом случае и уравнения (2 12), (2 19)

принимают вид

/г

л

1 л{к-р)а% Вт*

(5)

3/3

2Вт1

ха-~8 " Ъ 3

■ 1к

Х1к ~ &\к

а,

Для медленно меняющихся течений соотношений можно ещё упростить, взяв Л^ = I.

/

систему определяющих

= -Р5,к +3

По

а

¡к

(6)

1 + {к-Р)1 2 3/3 -ал=-Га--<*ча]к.

Здесь т]0-пТт0 и г0 - начальные значения сдвиговой вязкости и времени

релаксации, I =а п

В третьей главе «Реологическая модель нулевого приближения» на основе модели (6) сначала рассмотрены вискозиметрические течения полимерных сред, когда тензоры градиентов скорости являются известными функциями времени

Из проведенного сравнения с описанными в литературе экспериментальными данными можно сделать вывод о применимости реологической модели нулевого приближения (6) для описания

стационарного и нестационарного сдвигового течения растворов и расплавов линейных полимеров в достаточно широком диапазоне скоростей сдвига, а также о том, что параметры модели /3 и к слабо зависят от молекулярного веса и концентрации, что может служить основой для учета в этой модели эффектов, связанных с полидисперсностью полимерного материала

Далее рассмотрены течения в каналах прямоугольного сечения Описанные в литературе эксперименты показывают, что течение вязкоупругой жидкости, возникающее под действием перепада давления вдоль канала, не однонаправленное, в отличие от ньютоновской жидкости В поперечном сечении канала возникает слабый вторичный поток, который вовлекает частицы жидкости в спиралевидное течение вниз по каналу Расчеты были выполнены на модели, полученной путем добавления в базовую реологическую модель уравнений сохранения массы и импульса Рассмотрена структура вторичного потока при отсутствии вращения и при вращении канала

Таким образом, модель нулевого приближения может быть рекомендована для расчетов неоднородных течений, что будет выполнено в главе 5

Модель (2) по сути является моделью монодисперсного полимера Так как большинство используемых на практике полимерных материалов обладают полидисперсностью, те образованы макромолекулами различной длины, то в четвертой главе «Зависимость динамических характеристик линейной вязкоупругости многомодального полидисперсного расплава линейных полимеров от частоты» выполнена модификация реологической модели на случай учета этого фактора

Чтобы учесть вклад всех фракций, необходимо проводить суммирование по всем макромолекулам (индекс V) и по всем «бусинкам» (индекс а) А в случае непрерывного молекулярно-массового распределения вместо суммирования по макромолекулам необходимо проводить интегрирование Тогда выражение для тензора напряжений многомодальной полимерной системы в нормальных координатах принимает вид

стл=-пТ6л +37-5Х -\(<+<)\

где пу — число молекул фракции V в единице объема

Для простого осциллирующего сдвигового течения вычисление модуля упругости и модуля потерь для полидисперсных полимеров с многомодальным молекулярно-массовым распределением проводилось по формулам, которые следуют из выражений для тензора напряжений полимерной системы (7) с учетом фракционного состава полимера

=Хпг^-с;, с=• <«>

7=1 7=1

где К - количество фракций в полидисперсном полимере, с, - весовая

концентрация фракции в полимере, п, - число макромолекул в единице

объема, и О" - значения модуля упругости и модуля потерь для фракций

с молекулярными массами М,

Для устранения наблюдающихся при этом флуктуаций полидисперсных кривых в расчетах учтена остаточная полидисперсность. Предполагается, что фракции, входящие в состав полидисперсного полимера, содержат цепочки, молекулярные массы которых не одинаковы, а распределены по нормальному закону с малой дисперсией и средним - молекулярной массой «монодисперсной фракции»

В расчетах принято отношение среднемассовой молекулярной массы к среднечисловой Мш/Мп= 1,05 Значение среднеквадратичного отклонения получено из выражения

К ' м1'

где Мфр - заданная молекулярная масса фракции. Предполагается, что цепочки, из которых состоит фракция, имеют молекулярные массы, входящие в интервал {Мфр - За, Мфр + Зсг) Для расчетов взято 100 монодисперсных

составляющих, разбивающих этот интервал на равные части Для каждой составляющей вычислена ее концентрация в составе фракции

, (м,-мфр)2

с. = —е 2<т (Ту}ЪГ

Далее для каждой составляющей, определив значения параметров модели, вычислен динамический модуль сдвига по формуле (4) Из полученных величин складываются модуль сдвига и модуль потерь для сложной фракции по формулам (8), как для полидисперсного образца (здесь К - количество составляющих фракции)

Сглаженные кривые, полученные с учетом остаточной полидисперсности, и их сравнение с экспериментальными данными представлены на рисунках 1 и 2

Wasserman S Н Effects of polydispersity on linear viscoelasticity in entangled polymer melts / S H Wasserman, W.W Graessley // J Rheol 36(4), 1992 -P. 543-572

|д

2 4

|д и, [с-1]

Рис. 1. Сравнение экспериментальных данных (точки) и результатов расчета модуля упругости С'{со)А. полидисперсный (сплошная линия) и монодисперсный (пунктир) случаи

1д Ъ'ЧЪ'р

-21

-4-2 0 2 4

1д«,[с-1]

Рис. 2. Сравнение экспериментальных данных (точки) и результатов расчета модуля потерь Сг"(й>): полидисперсный (сплошная линия) и монодисперсный (пунктир) случаи

Из рисунков видно, что учет фракционного состава полидисперсного полимера позволяет более точно описывать частотные зависимости модулей упругости и потерь для со < 1.

В случае со»1 наблюдается отклонение результатов расчета от экспериментальных данных, т к. модель гауссовых субцепей не работает для быстрых течений

Таким образом, в рамках последовательной теории микровязкоупругости можно удовлетворительно описать динамические характеристики полидисперсных полимеров с многомодальным молекулярно-массовым распределением, что является основой для учета влияния полидисперсности полимерных образцов на их реологические свойства при простом сдвиге и одноосном растяжении, а также при расчетах более сложных типов течений

Для вискозиметрических течений установлено удовлетворительное соответствие теории с экспериментальными данными Поэтому в пятой главе «Неоднородные течения полимерных жидкостей» исследованы более сложные течения

В этом случае значения тензора градиентов скорости неизвестны и должны определяться при решении полной гидродинамической задачи Тогда полная модель примет вид

Г" " Л дсг. „ ди.

дук ду\ — + у, —'

К дг дх, ;

дх, дхк

а 2 1 3/?

-т°л - ^А* ~= —а.к--аиа^ - <9)

ш 3 т т0

г =

1 + (*"-/?)/) 770

где О = 31, Рк - вектор массовых сил, который в дальнейшем полагаем равным нулю

Система уравнений (9) может быть использована для описания изотермических течений растворов и расплавов линейных полимеров в областях с произвольной геометрией Решение таких задач сопряжено с большими математическими трудностями, и исследование нужно начинать с наиболее простых Ранее было рассмотрено стационарное течение в гладкой круглой трубе под действием постоянного перепада давления.

В настоящей работе определен профиль скорости нелинейной вязкоупругой жидкости, подчиняющейся закону (9), движущейся в зазоре между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления.

Выбрана следующая система координат, начало координат в нижней плоскости, ось Ох направлена вдоль потока, ось Оу перпендикулярна плоскостям, ось Ог перпендикулярна осям Ох и Оу Окончательные выражения не зависят от переменных х а г. В силу граничных условий Уу (0) = Уу(и) = У1 (0) = Ух (И) = 0 получено, что Уу{у) = 0, а система уравнений (9) в стационарном случае принимает вид

др

— —л. . т--—

сх

3%да*у = др= Л

ду

т0 ду ду

а„ =

/О Г2 Щ ¿(2 2) 1 + (/с-/?)Д ху ду т0 39[

(10)

^ 1 + (д:-/?)/

°№ Ъ\ + (к-р)1

Решение системы (10) найдено методом последовательных приближений с точностью до членов первого порядка по к и р

К(у)=/-Л* - уЬ +Ц-и - уЬ - у)2 + /).

2т,

6т0{2

4 )

СП)

"7 ЛТП

где А - —-Щ

Причем из (10) и (11) имеем

Ф ду

= /ЗА{И-2У)фО,

Таким образом, обнаружен ненулевой перепад давления в направлении, перпендикулярном скорости течения, который, тем не менее, не приводит к появлению вторичных потоков Этим обусловлен эффект разбухания струи на выходе из канала

Однако, при использовании формул (11) могут возникать трудности с определением параметра А . Поэтому найдена зависимость профиля скорости и составляющих тензора напряжений от удельного расхода объема жидкости, протекающей в единицу времени через единицу длины зазора, определить значение которого достаточно легко. Для этого из выражения

о»

о 12г0 60гД2 4 )

найдена зависимость перепада давления А от удельного расхода .

Соответствующие графики для различных значений представлены на рисунке 3. Из него видно, что с ростом величины Q растет максимальное значение скорости и ее отклонение от параболического профиля, соответствующего Пуазейлевскому профилю.

У

0 9 0.7 0.5 0.3 0.1

Г ч X ■ч.

\ *ч, >

1 \ 1 ч

О = 1 | 0=5 0=10 I 1

1 1 1 1 1

1 1 / /

Г / к=0,36 3=0.3

/ У

V1 1

0 2 4 6 8 10 12 ]/

х

Рис. 3. Влияние удельного расхода полимерной жидкости на профиль скорости

Последнее утверждение наглядно демонстрируется на рисунке 4, где построено отношение продольной скорости к ее максимальному значению. При этом расчеты показывают, что для (9 > 10 форма профиля скорости меняется незначительно.

О 0.2 0.4 о"б 08 ^Г/у

х таи

Рис. 4. Влияние удельного расхода полимерной жидкости на отношение продольной скорости к ее максимальному значению

Так как при оценке параметра модели т0 допускается существенные

расхождения (до 10 раз), то исследовано влияние этого параметра на вид профиля скорости при фиксированном расходе Q. Соответствующие зависимости приведены на рисунке 5.

На рисунках 6-9 представлены профиль скорости и зависимости для составляющих тензора дополнительных напряжений для типичных значений удельного расхода <2=\0ммг/с (что соответствует массовому расходу 21,6 кг/час через щель 0,5 мм) и И = 0,5 мм, в качестве типичных значений для т0 выберем 0,1 и 0,03. Значения лт = 0,36 и /? = 0,3 выбирались из условия наилучшего соответствия кривых для сдвиговой вязкости и условия к = 1,2/3.

Рис. 5. Влияние начального времени релаксации на профиль скорости

:

— V0'1 .... ,0=о.оз ,........ \ 1 1

1 1 : : .............1 I : I

____ .

Рис. 6. Профиль скорости для типичного значения удельного расхода

0.4

0.3

0.2

0.1

У / / / / ^

Г ( 1 X / / 1 / 1 / |/

— V0-1 .... ,0=о,оз

Д » \ 1 \ 1 \

\ \ Ч \ N Ч N Ч V ^—

0

10

20

30

Рис. 7. Зависимость составляющей тензора напряжений ахх для типичного значения удельного расхода

0.4

0.3

о.:

0.1

......V.......... ч ч \ ч \ ч \ V \ ч \ ч

\ * \ ч \ ч \ ч \ 1 \ \ \ ч \ ч

\ч \

— V0'1 .... х0=0.03

ч\ ч \ % \ ч \ ч \ ч \ \ \ % \

ч \ ч \ ч \ ч \ ч \ ч \ ч Ч

-1

о

1

ху

Рис. 8. Зависимость составляющей тензора напряжений а для типичного значения удельного расхода

У

0.4

0.3

0.2 0.1

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 а

уу

Рис. 9. Зависимость составляющей тензора напряжений ауу для типичного значения удельного расхода

Результаты расчетов профиля скорости сравнивались с экспериментальными данными . Сравнение показано на рисунке 10, из которого видно удовлетворительное соответствие теоретических кривых и значений, полученных в ходе эксперимента.

Таким образом, в рассмотренном случае течения Пуазейля, система уравнений модифицированной модели Виноградова-Покровского описывает непараболический профиль скорости в зазоре между параллельными пластинами, что не противоречит экспериментальным данным. Полученные зависимости могут быть использованы при разработке численных методов 2-мерных и 3-мерных течений в качестве начального приближения.

Решение системы уравнений (10) было получено методом последовательных приближений с точностью до членов первого порядка по к и /3. Для проверки точности полученных выражений (11), (12), система уравнений (10) с соответствующими граничными условиями решалась численным методом. Полученные результаты численного исследования системы (10) указывают на применимость полученных аналитических формул в исследованном диапазоне значений параметров к и ¡3 в описании поведения полимерной среды.

*" Munstedt H. Stick and slip phenomena during extrusion of polyethylene melts as investigated by laser-Doppler velocimetry / H. Munstedt, M. Schmidt, E. Wassner // J. Rheoi. 44(2), 2000. - P. 413-427.

X

Рис. 10. Сравнение результатов расчета (сплошные линии) профиля скорости с экспериментальными данными (точки)

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации:

1. На основе базового реологического определяющего соотношения проведено обобщение реологического определяющего соотношения для многокомпонентных смесей и для простого осциллирующего сдвигового течения получена зависимость составляющих комплексного модуля сдвига смесей линейных полимеров от весовой концентрации и молекулярной массы входящих в смесь компонентов.

2. На основе полученной модели проведен расчет динамического модуля многокомпонентных смесей (11 и 13 компонент) в режиме простого осциллирующего сдвигового течения и выполнено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и сделан вывод о пригодности реологической модели для описания течения растворов и расплавов линейных полимеров и их смесей и возможности учета в модели влияния полидисперсности на динамические свойства полимеров.

3. Выполнен расчет неоднородного течения нелинейной вязкоупругой жидкости между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления.

Найдена зависимость перепада давления от расхода и на ее основе получены зависимости профиля скорости и составляющих тензора напряжений вязкоупругой жидкости в плоском канале от ее расхода Выполнено сравнение результатов расчета профиля скорости с экспериментальными данными Это позволило сделать вывод, что в рассмотренном случае течения Пуазейля, система уравнений модифицированной модели Виноградова-Покровского описывает непараболический профиль скорости в зазоре между параллельными пластинами, что не противоречит экспериментальным данным

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Гусев А С Новая реологическая модель в теории микровязкоупругости линейных полимеров / АС Гусев, М.А. Макарова, Г В Пышнограй // Математическое образование в регионах России тезисы межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России - Барнаул • Изд-во БГПУ,2004 -С 29-30

Макарова М.А. Модификация закона «внутреннего» трения в модели Виноградова-Волкова-Покровского / М.А. Макарова, Г В Пышнограй // 22 Симпозиум по реологии. Материалы 21-26 июня» / Реологическое общество им Г В Виноградова Российская академия наук Институт нефтехимического синтеза им А В Топичева - Валдай, 2004 - С 86

Makarova М. The Mesoscopic Theory of Linear Polymer Solution and Melts Dynamics / M. Makarova, G Pyshnograi // HSR 2004 Hellenic society of rheology June 27-29, 2004 / Athens, Greece Programme & Abstracts -P 33

Altukhov Y The mesoscopic constitutive equations for polymeric fluids and some examples of flows / Y Altukhov, M. Makarova, G Pyshnograi // Annual European Rheology Conference, AERC 2005 -Grenoble, France, 2005 -P 171

Гусев А С Мезоскопическое уравнение состояния полимерных сред и описание динамических характеристик на его основе /АС Гусев, М.А. Макарова, Г В Пышнограй // Инженерно-физический журнал - Минск Изд-во института тепло и массообмена Белорусской АН, 2005 -Т 78 - №5. - С 55-61

Макарова М.А. Динамические характеристики растворов и расплавов линейных полимеров в мезоскопической теории вязкоупругости / М.А. Макарова, Г В Пышнограй // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) тезисы докладов -Екатеринбург УрО РАН, 2005 -С 216

7 Макарова М.А. Зависимость динамического модуля сдвига многокомпонентных смесей полистирола от частоты / М.А. Макарова, Г.В Пышнограй // МОНА-2005 труды региональной научно-методической конференции - Барнаул Изд-во Алтайского государственного технического университета, 2005 - С 132-134

8 Афонин Г JI Нелинейные свойства расплавов линейных полимеров при одноосном растяжении / Г JI Афонин, М.А. Макарова, Г В Пышнограй // 23 Симпозиум по реологии 19-24 июня • материалы / Реологическое общество им. Г.В Виноградова Российская академия наук. Институт нефтехимического синтеза им. А В Топичева - Валдай, 2006 -С 19

9 Макарова М.А. Влияние полидисперсности на динамические характеристики линейной вязкоупругосги растворов и расплавов линейных полимеров / М.А. Макарова, Г В. Пышнограй П Математическое образование на Алтае • тезисы региональной конференции - Барнаул • Изд-во БГПУ, 2006 - С 57

10 Makarova М. The mesoscopic theory of linear polymer solutions and melts dynamics / M. Makarova, G Pyshnograi // 3rd Annual European Rheology Conference Hersomsos, Crete, Greece - April 27—29, 2006. — P. 186

11 Афонин Г JI Мезоскопическое уравнение состояния полимерных сред и описание динамических характеристик на его основе / Г JI Афонин, А С Гусев, М.А. Макарова, Г В Пышнограй И Сборник статей зимней школы по механике сплошных сред (пятнадцатой) -Пермь, 2007 -Ч 1 -С 58-61

12 Gusev A The structural-kinetic theory of linear polymer solutions and melts flows / A Gusev, M. Makarova, V. Pokrovskn, G. Pyshnograi // Book of abstract 4th Annual European Rheology Conference (AERC 2007), Napoli, Italy, April, 12-14,2007 - P 97.

13 Афонин Г JI. Некоторые неоднородные течения полимерных сред, как следствие структурно-кинетической теории релаксационного взаимодействия в линейных полимерах / Г JL Афонин, А С. Гусев, М.А. Макарова, Г В Пышнограй // МАК-2007 материалы десятой региональной конференции по математике - Барнаул Изд-во Алт ун-та,2007 -С 90-91

14 Макарова М.А. Зависимость динамических характеристик линейной вязкоупругосги многомодального полидисперсного расплава линейных полимеров от частоты / М.А. Макарова, Г В Пышнограй // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2007. — Т 13 -№3 -С 323-330.

Подписано в печать 03 10 2007 Формат 60x84 1/16 Печать - ризография Уел печ. л. 1,16 Тираж 100 экз Заказ 2007 ~3>4Ь

Отпечатано в типографии АлтГТУ им И И Псшзунова, 656038, Барнаул, пр-т Ленина, 46

Введение

1. Микроструктурные представления в динамике растворов и расплавов линейных полимеров

1.1. Уравнения динамики деформируемых сплошных сред

1.2. Модели линейных полимеров

1.3. Уравнения динамики макромолекулы

1.3.1. Модель гауссовых субцепей

1.3.2. Нелинейные уравнения динамики макромолекулы

1.4. Анизотропия подвижности в уравнениях динамики макромолекулы

2. Реологическое определяющее соотношение

2.1. Тензор напряжений системы взаимодействующих броуновских частиц

2.2. Релаксационные уравнения для моментов

2.3. Линейная вязкоупругость

2.3.1. Зависимость вязкоупругости линейных полимеров от концентрации полимера и длины макромолекул

2.3.2. Динамический модуль полуразбавленных растворов линейных полимеров

2.4. Базовая реологическая модель

3. Реологическая модель нулевого приближения

3.1. Вискозиметрические течения полимерных жидкостей

3.2. Нелинейные стационарные эффекты при простом сдвиге и одноосном растяжении

3.2.1. Влияние параметров наведенной анизотропии

3.3. Исследование вторичных течений полимерных жидкостей в каналах прямоугольного сечения

4. Зависимость динамических характеристик линейной вязкоупругости многокомпонентного расплава линейных полимеров от частоты

4.1. Тензор напряжений полидисперсной системы перепутанных макромолекул

4.2. Динамические характеристики линейной вязкоупругости полидисперсных систем

4.3. Учет остаточной полидисперсности

5. Неоднородные течения полимерных жидкостей

5.1. Реологическая модель в цилиндрических координатах

5.2. Стационарное течение в круглой трубе

5.3. Стационарное течение между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления

Актуальность работы. Прошло немногим более ста лет с тех пор, как Вант Гофф установил закон, который связал значения осмотического давления, концентрации, температуры и молекулярной массы, что дало возможность определять молекулярную массу растворенного вещества путем измерения физических свойств раствора без привлечения данных о химическом составе молекул. Тогда было установлено, что вещества, называемые полимерами (натуральные каучуки, некоторые белки и др.), имеют очень высокие (тысячи и десятки тысяч) молекулярные массы. В начале 20-х г. Штаудингер предположил, что эти вещества образованы большими цепными молекулами, которые он назвал макромолекулами. Эта идея в течение целого десятилетия оставалась предметом дискуссий и была признана благодаря работам Штаудингера, Флори, Майера, Марка и др. [1,2]. С тех пор интерес к полимерам не ослабевает, а поток научных исследований и практических результатов в этой области все увеличивается.

По данным [3] рост производства синтетических смол и пластических масс в нашей стране в 2006 году составил 107,4% по сравнению с 2005 годом, при этом достигнут рост производства практически всех видов крупнотоннажных пластмасс. Произведено 1075 тысяч тонн (102,4% к уровню 2005 года) полиэтилена. Рост производства полипропилена составил 107,8%. Производство поливинилхлорида и сополимеров винилхлорида в 2006 году составило 592 тысячи тонн (102,1%). В 2006 году рост производства полистирола и сополимеров стирола составил 122,2%.

В целом рост производства полимерных материалов и изделий из них способствует развитию сельского хозяйства, жилищного строительства, коммунального хозяйства, автомобилестроения и других отраслей промышленности. Деятельность в этом направлении полностью соответствует национальным проектам «Доступное и комфортное жилье гражданам России», который предусматривает резкое увеличение производства изделий из полимерных материалов для строительства, водо- и газоснабжения, а также национальному проекту «Здоровье», в соответствии с которым химическому комплексу необходимо нарастить в том числе производство химических волокон и нитей.

В соответствии со «Стратегией развития химической и нефтехимической промышленности РФ на период до 2015 года», к указанному сроку планируется увеличить объемы производства полимерных материалов примерно вдвое.

Однако, полимерные материалы - это сырье, которое необходимо переработать, чтобы сформовать из него изделие. В настоящее время большое значение приобрели методы формования путем перевода материала в текучее состояние, придание раствору или расплаву требуемой формы и последующего затвердевания в форме изготовляемого изделия. Технология получения изделий из полимерных материалов при этом непрерывно меняется. Поэтому изучение технологических процессов переработки полимеров является важной практической задачей. Это, в свою очередь, невозможно без привлечения аппарата физики и математики для описания течений полимерных жидкостей в различных узлах технологического оборудования, то есть для решения конкретных технологических задач требуется формулировка закона поведения перерабатываемой полимерной системы.

Определение законов поведения различных физических систем, исходя из некоторых общих принципов, является одной из фундаментальных проблем естествознания. В классической механике [4] в основу положен принцип наименьшего действия. После применения этого принципа к системам с конечным числом степеней свободы получаются уравнения движения в форме Лагранжа или после преобразований - в форме Гамильтона. Из уравнений движения, воспользовавшись основными свойствами пространства и времени - их однородностью и изотропностью, получаются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые облегчают интегрирование уравнений движения.

Однако полимерная жидкость, или в общем случае сплошная среда, описываемая поведением бесконечного числа точек, и, следовательно, имеющая бесконечное число степеней свободы, не может быть рассмотрена в рамках классической динамики. Для ее описания требуется обобщение основных понятий и положений классической динамики. Таким путем приходят к уравнениям сохранения в механике сплошных сред [5-7]. Уравнения законов сохранения механики сплошных сред образуют замкнутую систему уравнений с точностью до некоторых неизвестных функций, характеризующих физические свойства материала. Конкретизация этих функций, называемых реологическими определяющими соотношениями, осуществляется в рамках одного из двух научных направлений: феноменологического подхода [8-11] и статистического или микроструктурного подхода [12-26].

При феноменологическом подходе, в реализацию которого для полимерных сред внесли свой вклад Максвелл [5, 27], Олдройд [28] и ряд других исследователей [9-11, 29], теория движения макроскопических тел строится на основании общих, найденных из опыта, закономерностях. Достоинства этого подхода заключаются в сравнительной простоте получаемых соотношений и в том, что проведенные на его основе расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Недостатками является то, что нельзя проследить связь между макро- и микрохарактеристиками объекта исследования и, хотя феноменологические теории и согласуются с опытом, они обладают малой прогностической способностью. Ещё один недостаток феноменологического подхода связан с тем, что часто его применение к реальным полимерным системам превращается в неразрешимую математическую проблему.

При статистическом подходе описание объекта строят, учитывая в некотором приближении молекулярное строение вещества и достаточно сложные процессы межмолекулярного взаимодействия. Затем, применяя вероятностные методы, вводятся средние по ансамблю всевозможных реализаций характеристики, которые отождествляются с величинами, определяемыми на опыте. Основы такого подхода к описанию полимерных жидкостей были заложены в работах Флори, Кирквуда, Каргина, Слонимского, Рауза и многих других исследователей. Достоинствами этого подхода является возможность проследить связь между макро- и .микрохарактеристиками объекта, а также лучшая по сравнению с феноменологическим подходом прогностическая способность получаемых теорий, подробность описания. Недостатками - необходимость использования не всегда достаточно обоснованных моделей элементов структуры и их взаимодействия, т.е. привлечение дополнительных гипотез, а также большие математические трудности при постановке и решении проблемы, сложность получаемых уравнений.

Полученные любым из этих подходов реологические определяющие соотношения или реологические модели должны проверяться на соответствие реальным свойствам полимерных жидкостей. Эта проверка может быть выполнена как путем сравнения новых моделей с уже имеющимися, так и сопоставлением расчетных и экспериментальных данных.

Оба отмеченные подхода используются для более полного и всестороннего описания полимерных жидкостей. Можно считать правомерным сравнение полученных статистическими методами моделей с феноменологическими, чтобы упростить первые, а также привлечение феноменологических теорий, как при математической постановке задачи исследования, так и в процессе ее решения статистическими методами для более полного описания объекта исследования.

В настоящее время наиболее результативным является микроструктурный подход, основанный на обобщении реологической модели Виноградова-Покровского.

Выполненные ранее исследования показали, что эта реологическая модель позволяет непротиворечиво описывать стационарные вискозиметрические течения растворов и расплавов линейных полимеров, демонстрируя наличие таких эффектов, как аномалия сдвиговой вязкости, первая и вторая разности нормальных напряжений, возрастание вязкости при одноосном растяжении. Также показано существование универсальной зависимости отношения вязкости при растяжении к сдвиговой вязкости, найденных как функции первого инварианта тензора дополнительных напряжений. При расчетах неустановившихся течений модель предсказывает немонотонное установление сдвиговых и растягивающих напряжений, а также качественное различие при описании наложения малых осциллирующих колебаний на сдвиговое течение, в параллельном и ортогональном сдвигу направлениях [30]. Обнаруженный эффект наблюдается и в экспериментах. Во всех рассмотренных случаях тензоры градиентов скорости считаются известными и поэтому соответствующие математические модели приводят либо к исследованию нелинейных алгебраических уравнений, либо к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Достигнутые при этом успехи позволяют обратить внимание на более сложные типы течений, когда компоненты тензоров градиентов скорости неизвестны и подлежат определению из решения полной гидродинамической проблемы. Одним из таких течений является течения Пуазейля, которые реализуются либо в бесконечной круглой трубе [31], либо между двумя бесконечными параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления.

Несмотря на достигнутый в настоящее время прогресс, следует отметить, что большинство полученных ранее моделей основывались на предположении, что все макромолекулы в рассматриваемом объеме имеют одинаковую длину, т.е. рассматривались монодисперсные полимеры. Так как большинство используемых на практике полимерных материалов обладают полидисперсностью, т.е. образованы макромолекулами различной длины, то возникает необходимость модификации имеющихся реологических моделей на случай учета этого фактора. В работе [32] было исследовано влияние полидисперности на реологические свойства полимерного образца в случае стационарного однородного сдвигового течения. В [30] получены уравнения для составляющих комплексного модуля сдвига в режиме простого осциллирующего сдвигового течения для двухкомпонентных смесей линейных полимеров. Эта модель может быть взята за основу для последовательного учета влияния полидисперсности полимерного образца на его реологические свойства.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать цель работы. Обоснование реологического определяющего соотношения полидисперсных растворов и расплавов линейных полимеров в режиме течения их между параллельными плоскостями в случае, когда одна из плоскостей покоится, а другая движется по заданному гармоническому закону, и в случае, когда плоскости покоятся, а течение происходит под действием постоянного перепада давления.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построение модели, учитывающей полидисперсность полимерных образцов;

2. Проверка модели на адекватность путем расчета динамических характеристик линейной вязкоупругости текучих полимерных сред;

3. Расчет неоднородного течения нелинейной вязкоупругой жидкости между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления;

4. Найти зависимость перепада давления от расхода и на основе этой зависимости получить значения профиля скорости и составляющих тензора напряжений вязкоупругой жидкости в плоском канале от ее расхода.

Научная новизна.

1. Найдена зависимость составляющих динамического модуля сдвига от частоты для различного фракционного состава смеси полимера одного гомологического ряда;

2. Выполнено обобщение закона Пуазейля на случай плоскопараллельного течения под действием постоянного перепада давления;

3. Найдены зависимости профиля скорости и составляющих тензора напряжений от перепада давления;

4. Определена зависимость удельного расхода от перепада давления;

5. Найдена зависимость профиля скорости и составляющих тензора напряжений от удельного расхода жидкости.

6. Обнаружен ненулевой перепад давления в направлении, ? перпендикулярном скорости течения, который, тем не менее, не приводит к появлению вторичных потоков.

Достоверность. Применяемый в диссертации подход в части построения и обоснования реологических соотношений основывается на широко известных представлениях о молекулярной структуре и поведении полимеров на молекулярном уровне и использует достаточно широко применяемые физические модели, учитывающие строение полимера. Это определяет в рамках сделанных допущений и предположений адекватность полученных соотношений реальным полимерным жидкостям.

Полученные результаты при упрощении сводятся к известным результатам, которые используются как в теоретических, так и в экспериментальных исследованиях полимеров. Результаты расчетов, для всех исследованных процессов не противоречили, по крайней мере, качественно известным экспериментам. Это подтверждает достоверность полученных в работе выводов.

Практическая ценность.

Показана возможность учета влияния полидисперсности на реологические свойства полимеров на основе результатов, полученных для полимерных систем с многомодальным молекулярно-массовым распределением. Описан непараболический профиль скорости в зазоре между параллельными пластинами, что не противоречит экспериментальным данным. Найдены зависимости профиля скорости и составляющих тензора напряжений от удельного расхода жидкости. Полученные зависимости могут быть использованы при разработке численных методов 2-мерных и 3-мерных течений в качестве начального приближения. На основе полученных в работе результатов можно сделать вывод о пригодности реологической модели для описания реальных течений полимерных сред в различных узлах технологического оборудования.

Вклад автора. Участие в постановке задач, получении результатов и их обсуждении. Составление программ для расчета и сравнения теоретических результатов с описанными в литературе экспериментальными данными. и

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методика расчета и результаты численного исследования составляющих комплексного модуля сдвига для многокомпонентных смесей линейных полимеров одного гомологического ряда.

2. Аналитические выражения для компонент тензора напряжений и продольной скорости и их численные зависимости от удельного расхода жидкости.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены на следующих научных конференциях: Межрегиональная конференция по математическому образованию в регионах России (Барнаул, 2004), «22 Симпозиум по реологии» (Валдай, 2004), Ежегодная европейская конференция по реологии, AERC 2005 (Франция, 2005), Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) (Екатеринбург, 2005), Региональная научно-методическая конференция МОНА-2005 (Барнаул, 2005), «23 Симпозиум по реологии» (Валдай, 2006), Региональная конференция по математическому образованию на Алтае (Барнаул, 2006), 3 Ежегодная европейская конференция по реологии, AERC 2006 (Греция, 2006), Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) (Пермь, 2007), 4 Ежегодная европейская конференция по реологии, AERC 2007 (Италия, 2007), Десятая региональная конференция по математике МАК-2007 (Барнаул, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ [33-46] в отечественных и зарубежных изданиях.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения. Работа изложена на 134 страницах машинописного текста,

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. На основе базового реологического определяющего соотношения проведено обобщение реологического определяющего соотношения для многокомпонентных смесей и для простого осциллирующего сдвигового течения получена зависимость составляющих комплексного модуля сдвига смесей линейных полимеров от весовой концентрации и молекулярной массы входящих в смесь компонентов.

2. На основе полученной модели проведен расчет динамического модуля многокомпонентных смесей (11 и 13 компонент) в режиме простого осциллирующего сдвигового течения и выполнено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и сделан вывод о пригодности реологической модели для описания течения растворов и расплавов линейных полимеров и их смесей и возможности учета в модели влияния полидисперсности на динамические свойства полимеров.

3. Выполнен расчет неоднородного течения нелинейной вязкоупругой жидкости между параллельными плоскостями под действием постоянного перепада давления.

4. Найдена зависимость перепада давления от расхода и на ее основе получены зависимости профиля скорости и составляющих тензора напряжений вязкоупругой жидкости в плоском канале от ее расхода.

5. Выполнено сравнение результатов расчета профиля скорости с экспериментальными данными. Это позволило сделать вывод, что в рассмотренном случае течения Пуазейля, система уравнений модифицированной модели Виноградова-Покровского описывает непараболический профиль скорости в зазоре между параллельными пластинами, что не противоречит экспериментальным данным.

Заключение

1. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М. : Наука, 1986.-736 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. : 2-е изд., испр. и дополн. М. : Наука, 1973.-Т. 1-2.

3. Российская газета. 2007. - №38 (4301). - С. 2-3.

4. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий -М.: Наука, 1978. -136 с.

5. Oldroyd J.G. On the Formulation of Rheological Equation of State// Proc. Roy. Soc. 1950. - V. A200. - P. 523-541.

6. АстаритаДж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Маруччи М.: Мир, 1978. - 309 с.

7. Леонов А.И. Об описании реологического поведения упруго-вязких сред -при больших упругих деформациях : Препринт №34. М. : ИПМ АН СССР, 1973.-63 с.

8. Покровский В.Н. К теории медленных релаксационных процессов в линейных полимерах / В.Н. Покровский, B.C. Волков // Высокомолек. соед. 1978. - Т. А20. -№2. - С.255-264.

9. Ландау Л.Д. Статистическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц М. : Наука, 1976.-583 с.

10. Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1985.- 194 с.

11. Флори П. Статистическая физика цепных молекул. М. : Мир, 1971. — 440 с.

12. Алтухов Ю.А. К теории уравнений движения концентрированных растворов полимеров / Ю.А. Алтухов, В.Н. Покровский // ИФЖ. 1985. - Т. XIX. - №3. - С. 384-390.

13. Алтухов Ю.А. Определяющее уравнение растворов полимеров на основе динамики невзаимодействующих релаксаторов // ЖПМТФ. 1986. - №3. -С. 101-105.

14. КаргинВ.А. О деформации аморфно-жидких линейных полимеров /

15. B.А. Каргин, Г.А. Слонимский // Докл. АН СССР. 1948. - Т. 62. - №2.1. C. 239-242.

16. Rouse Р.Е. A Theory of the Linear Viscoelastic Properties of Dilute Solutions of Coiling Polymers // J. Chem. Phys. 1953. -V. 21. -№7. - P. 1271-1280.

17. Де Жен П. Идеи скейлинга в физике полимеров. М. : Мир, 1982. -368 с.

18. Graessley W.W. The Entanglement Concept in Polymer Rheology // Adv. Polym. Sci.- 1974.-V. 16.-№i.-P. 1-179.

19. Покровский В.Н. Динамика слабосвязанных линейных макромолекул // Успехи физ. наук 1992. Т. 162, №5. - С. 87-121.

20. Покровский В.Н. Низкочастотная динамика разбавленных растворов линейных полимеров // Успехи физ. наук 1994. - Т. 164. - №4. -С. 397-414.

21. Pokrovskii V.N. Mathematical Structure of the Theory of Viscoelastisity of the Linear Polymers. Malta.

22. Pokrovskii V.N. Letter to the Editor : On the attempt of impro-vement of the self-consistent approach to the linear viscoelasticity of polymer melts // J. Rheol. 1995. - V. 39. - №3. - P. 655-656.

23. Kulicke W.-M. Determination of First and Second Normal Strees Differences in Polymer Solutions in Steady Shear Flow and Limitations Caused by Flow1.regularities / W.-M. Kulicke, U. Wallbaum // Chem Eng. Sci. 1985. -V. 40.-№6.-P. 961-972.

24. MenezesE.V. Nonlinear Rheological Behavior of Polymer Systems for Several Shear-Flow Histories / E.V. Menezes, W.W. Graessley // J. Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed. 1982. - V. 20. - P. 1817-1833.

25. Ito Y. Critical Molecular Weight for Onset of Non-Newtonian Flow and Upper Newtonian Viscousity of Polydimethylsiloxane / Y. Ito, S. Shishido // J. Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed. 1972. - V. 10. - P. 2239-2248.

26. Трапезников А.А. Исследование структурных превращений в растворах полиизобутилена / А.А. Трапезников, А.Т. Пылаева // Высокомолек. соед. 1970. - Т. А12. - №6. - С. 1294-1307.

27. Gennes P.G. de. Reptation of a Polymer Chain in the Presence of Fixed Obstacles // J. Chem. Phys. 1971. - V. 55. - №2. - P. 572-579.

28. Edwards S.F. The effect of entanglements on the viscousity of a polymer melt / S.F. Edwards, J.W.V. Grant // J. Phys. A: Math., Nucl., Gen. 1973. - V. 6. -P. 1186-1195.

29. ПрокунинА.Н. О нелинейных определяющих уравнениях максвелловского типа для описания движений полимерных жидкостей // ПММ. 1984. - Т. 48. - №6. - С. 957-965.

30. Гусев А.С. Математическое моделирование динамических характеристик растворов и расплавов линейных полимеров и их смесей в различных режимах деформирования : Дис. канд. физ.-мат. наук. -Барнаул, 2003. 96 с.

31. Головичева И.Э. Обобщение закона Пуазейля для одного класса нелинейной вязкоупругой жидкости : Дис. канд. физ.-мат. наук. -Барнаул, 1999.- 104 с.

32. ЗиновичС.А. Полидисперсность в мезоскопической теории вязкоупругости линейных полимеров : Дис. канд. физ.-мат. наук. -Барнаул, 2001.-98 с.

33. Makarova М. The Mesoscopic Theory of Linear Polymer Solution and Melts Dynamics / M. Makarova, G. Pyshnograi // HSR 2004 Hellenic society of rheology. June 27-29, 2004 / Athens, Greece. Programme & Abstracts. -P. 33.

34. Altukhov Y. The mesoscopic constitutive equations for polymeric fluids and some examples of flows / Y. Altukhov, M. Makarova, G. Pyshnograi. // Annual European Rheology Conference, AERC 2005. Grenoble, France, 2005.-P. 171.

35. Makarova М. The mesoscopic theory of linear polymer solutions and melts dynamics / M. Makarova, G. Pyshnograi // 3rd Annual European Rheology Conference Hersonisos, Crete, Greece. April 27-29,2006. - P. 186.

36. Gusev A. The structural-kinetic theory of linear polymer solutions and melts flows / A. Gusev, M. Makarova, V. Pokrovskii, G. Pyshnograi // Book of abstract 4th Annual European Rheology Conference (AERC 2007), Napoli, Italy, April, 12-14,2007.-P. 97.

37. Покровский В.Н. Одномолекулярное приближение в теории вязкоупругости линейных полимеров / В.Н.Покровский, В.С.Волков, Г.В. Виноградов//Мех. полимеров. 1977. -№5. - С. 781-785.

38. Волков B.C. Влияние малых полимерных добавок на поведение линейной вязкоупругой жидкости / B.C. Волков, В.Н. Покровский,

39. B.А. Рожнев // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1976. - №6.1. C. 3-12.

40. Волков B.C. Теория релаксационного взаимодействия в каучуках // Препринты Международной конференции по каучуку и резине. М., 1984.-А67.

41. Volkov V.S. Relaxational interactions and viscoelasticity of polymer melts. Pt. I. Model development / V.S. Volkov, V.N. Vinogradov // J. Non-Newton. Fluid Mech.- 1985.-V. 18.-P. 163-172.

42. Volkov V.S. Relaxational interactions and viscoelasticity of polymer melts. Pt. II. Rheological properties in shear and elongational flows / V.S. Volkov, V.N. Vinogradov // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1987. - V. 25. - P. 261275.

43. Покровский В.Н. Теория вязкоупругости разбавленных смесей линейных полимеров / В.Н. Покровский, Ю.К. Кокорин // Высокомолек. соед. -1984. Т. Б26. -№8. - С. 573-577.

44. Покровский В.Н. Влияние зацеплений на подвижность макромолекулы / В.Н. Покровский, Ю.К. Кокорин // Высокомолек. соед. 1985. - Т. Б27. -№10.-С. 794-798.

45. Покровский В.Н. Теория Осциллирующего двойного лучепреломления растворов линейных полимеров. Разбавленные и концентрированные системы / В.Н. Покровский, Ю.К. Кокорин // Высокомолек. соед. 1987. -Т. А29. -№10. - С. 2173-2179.

46. Кокорин Ю.К. Молекулярная теория неравновесных явлений в линейных аморфных полимерах с зацеплениями : Дис. канд. физ.-мат. наук. -Барнаул, 1989. 177 с.

47. Яновский Ю.Г. Сверхмедленные релаксационные процессы в аморфных линейных полимерах и их интерпретация / Ю.Г. Яновский, В.Н.Покровский, Ю.К.Кокорин и др. // Высокомолек. соед. 1988. -Т. А30. -№5. - С. 1009-1016.

48. Volkov V.S. Theory of dilute polymer solutions in viskoelastic fluid with a single relaxational time / V.S. Volkov, V.N. Vinogradov // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. - V. 15. - № 1. - P. 29-44.

49. Volkov V.S. Theory of Relaxational Interaction in Linear Polymers / V.S. Volkov, V.N. Vinogradov // J. Polym. Sci. : Part В : Polym. Phys. -1986.-V. 24.-P. 2073-2085.

50. Волков B.C. Нелинейная реоптика концентрированных растворов и расплавов плимеров / B.C. Волков, В.Г. Куличихин, В.Н. Виноградов // Высокомолек. соед.- 1988.-Т. АЗО.-С. 1771-1777.

51. Волков B.C. Нелинейная релаксация напряжений в расплавах полимеров при сдвиге и одноосном растяжении // Высокомолек. соед. 1989. -Т. А31.-С. 2178-2184.

52. Покровский В.Н. Зависимость вязкоупругости концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров от концентрации полимераи длины макромолекул / В.Н. Покровский, Г.В. Пышнограй // Высокомолек. соед. -1988. Т. БЗО. -№1. - С. 35-39.

53. Пышнограй Г.В. Зависимость стационарной сдвиговой вязкости линейных полимеров от напряжения в теории молекулярного поля / Г.В. Пышнограй, В.Н.Покровский // Высокомолек. соед. 1988. -Т. АЗО. - №11. - С. 2447-2452.

54. Покровский В.Н. Нелинейные эффекты в динамике концентрированных растворов и расплавов полимеров / В.Н. Покровский, Г.В. Пышнограй // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1990. - №4. - С. 88-96.

55. Покровский В.Н. Простые формы определяющего уравнения концентрированных растворов и расплавов полимеров как следствие молекулярной теории вязкоупругости / В.Н. Покровский, Г.В. Пышнограй // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. — 1991. — № 1. — С. 71-77.

56. Пышнограй Г.В. Влияние анизотропии макромолекулярных клубков на нелинейные свойства полимерных жидкостей при стационарном одноосном растяжении // Прикладная механика и техническая физика. -1994.-№4.-С. 147-152.

57. Алтухов Ю.А. Анизотропия подвижности и нелинейные эффекты в молекулярной теории вязкоупругости линейных полимеров / Ю.А.Алтухов, Г.В.Пышнограй // Изв. АН. Мех. жидкости и газа.1995.-№4.-С. 3-12.

58. Пышнограй Г.В. О выборе начального и первого приближений в теории вязкоупругости линейных полимеров // Механика композиционных материалов и конструкций. 1995. - Т. 1. - №2. - С. 31-43.

59. Пышнограй Г.В. Начальное приближение в теории микровязкоупругости линейных полимеров и нелинейные эффекты на его основе // Прикладная механика и техническая физика. 1996. - Т. 37. - №1. -С. 145-151.

60. Алтухов Ю.А. Микроструктурный подход в теории течения линейных полимеров и нелинейные эффекты на его основе / Ю.А. Алтухов, Г.В. Пышнограй // Высокомолекуляр. соединения 1996. - №7.

61. Pokrovskii V.N. The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics. Kluwer Academic Publisher, 2000.

62. Пышнограй Г.В. Структурно-кинетический подход в теории течения растворов и расплавов линейных полимеров // ПМТФ. 1997. - Т. 38. -№3. - С. 122-130.

63. Altukhov Yu.A. On the difference between weakly and strongly entangled linear polymers / Yu.A. Altukhov, V.N. Pokrovskii, G.V. Pyshnograi // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics.-№121.-2004.-P. 73-86.

64. ГребневВ.Л. Вязкоупругость линейных полимеров: эффекты второго порядка / B.JI. Гребнев, В.Н. Покровский // Высокомолек. соед. 1987. -Т. Б26.-№9.-С. 704-710.

65. Файтельсон JT.A. Составляющие комплексного модуля при периодическом сдвиге текущей вязкоупругой жидкости /

66. JI.А. Файтельсон, Э.Э. Якобсон Механика композитных материалов. -1981.- №2. - С. 277-286.

67. Simmons J. М. Dinamic modulus polyisobutylene solutions in superposed steady shear flow. -Rheol. Acta. 1968. -V. 7. - P. 184-188.

68. Thangam S. Non-newtonian secondary flows in ducts of Rectangular Cross-Section / S. Thangam, C.G. Speziale. Acta mechanica. 1987. - №68. -P. 121-138.

69. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен : В 2-х т. Т. 1, 2. : Пер. с англ. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер М. : Мир, 1990.-384 е., ил.

70. Дой М. Динамическая теория полимеров : Пер. с англ. / М. Дой, С. Эдварде-М., 1998.

71. Doi М. The Theory of Polymer Dynamics / M. Doi, S. Edwards Oxford : Oxford Univ. Press. - 1986.

72. Schieber .D. Kinetic theory of polymer melts // J. Chem. Phys. 1987. -V. 87.-№8. -P. 4917-4936.

73. Wasserman S.H. Effects of polydispersity on linear viscoelasticity in entangled polymer melts / S.H. Wasserman, W.W. Graessley // J. Rheol. -36(4).-199.-P. 543-572.

74. Виноградов Г.В. Реология полимеров / Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин -М.: Химия, 1976.-438 с.

75. Чанг Дей Хан Реология в процессах переработки полимеров М. : Химия, 1979.-366 с.

76. Энциклопедия полимеров: в 3 т. // Под ред. В.М. Сахарова. М.: Изд-во Советская энциклопедия, 1972.-Т. 1-3.

77. Colby R.H. Melt viscousity-molecular weight relationship for linear polymers / R.H. Colby, L.J. Fetters, W.W. Graessley // Macromolecules. 1987. -V. 20.-P. 2226-2237.

78. Munstedt H. Elongational properties and molecular structure of polyethylene melts / H. Munstedt, H.M. Laun // Rheol. Acta. 1981. - V. 20. - №3. - P. 211-221.

79. Doyle P. Relaxation of dilute polymer solutions following extensional flow / P. Doyle, E. Shaqufeh, G. Mikinley, S. Spliegelberg // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1998. - V. 76. - №1-3. - P. 79-110.

80. Kelly A.L. On line rheometry: sher and extensional flows / A.L. Kelly, P.O. Coates, T.W. Dobbie, D.J Fleming // Plast., Rubberand Conpos. Process. And Appl. Plast. And Rubber Process. And Appl.. 1996. - V. 25. - №7. -P. 313-318.

81. Ahmed R. Experimental centerline planar extension of polyethylene melt flowing in toaslit die / R. Ahmed, M.R. Mackley // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1995. - V. 56. - №2. - P. 127-149.

82. Orr N.V. Stress relaxation in uniaxial extension / N.V. Orr, T. Sridhar // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1996. - V. 67. - P. 77-103.

83. Hungman R. Shear and elongational flow properties of polypropylene melts / R. Hungman, B.L. Marczinke // J. Rheal. 1994. - V. 38. - №3. -P.573-587.

84. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория М. : Высш. Шк., 1983.-399 с.

85. Головичева Н.Э. Обобщение закона Пуазейля на основе реологического определяющего соотношения полимерных жидкостей / Н.Э. Головичева, Г.В.Пышнограй, В.И.Попов // Приклад, механика и теор. физика. -1999. Т. 40. - №5. - С. 158-163.

86. Эренбург В.Б. Неоднородные сдвиговые течения линейных полимеров / В.Б. Эренбург, В.Н. Покровский // Инж.-физич. Ж. 1981. - Т. 41. - №3. -С. 449-456.

87. Аристов С.Н. Аналитическое решение задачи течения неньютоновских жидкостей в каналах / С.Н. Аристов, О.И. Скульский : Тез. докладов /

88. Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) Пермь. -1999.-С. 73.

89. Элиас Г.-Г. Мегамолекулы. Л.: Химия, 1990. - 272 с.

90. Жиганов Н.К. Нелинейная динамика течения расплавов полимеров // Ж. физ. химии. 1995. - Т. 69. - №8. - С. 1509-1512.

91. Munstedt Н. Stick and slip phenomena during extrusion of polyethylene melts as investigated by laser-Doppler velocimetry / H. Munstedt, M. Schmidt, E. Wassner // J. Rheol. №44(2). - 2000. - P. 413-427.

92. Schwetz M. Investigations on the temperature dependence of the die entrance flow of various long-chain branched polyethylenes using laser-Doppler velocimetry / M. Schwetz, H. Munstedt, M. Heindl, A. Merten // J. Rheol. -№46(4).-2002.-P. 797-815.

93. Schmidt M. Setup and test of a laser Doppler velocimeter for investigations of flow behaviour of polymer melts / M. Schmidt, E. Wassner, H. Munstedt // Mechanics of Time-Dependent: Materials. №3 - 1999. - P. 371-393.

94. Wassner E. Entry flow of a low-density-polyethylene melt into a slit die: An experimental study by laser-Doppler velocimetry / E. Wassner, M. Schmidt, H. Munstedt // J. Rheol. №43(6). -1999. - P. 1339-1353.

95. Munstedt H. Influence of molecular structure on secondary flow of polyolefin melts as investigated by laser-Doppler velocimetry / H. Munstedt, M. Schwetz, M. Heindl, M. Schmidt // Rheol Acta. №40. - 2001. - P. 384394.