автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивость стационарного уровня численности популяции в дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями

На правах рукописи

0034ЬЬ4^О

Нигматулин Равиль Михайлович

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО УРОВНЯ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ В ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ПИЕЛОУ С ДВУМЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2008

О 5 ДЕК 2008

003456433

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Челябинский государственный педагогический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кипнис Михаил Маркович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Карачик Валерий Валентинович

кандидат физико-математических наук, доцент Чудинов Кирилл Михайлович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Тамбовский государственный

университет им. Г.Р. Державина»

Защита состоится« 17 » декабря 2008 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата паук при ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» по адресу:

454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет».

Автореферат разослан« 15 » ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор V_/? Л.Б. Соколинский

Общая характеристика работы

Цель работы. Целью диссертационного исследования является изучение глобальной и локальной устойчивости стационарных уровней численности популяции обобщенной дискретной модели Пиелоу1

^ ах- а>1 р 0 (1)

1 + 7Хп_т +

с двумя запаздываниями к, тп 6 N. Здесь хп— численность популяции в п-й момент наблюдения, а — коэффициент автоприроста, /?, 7 — коэффициенты, характеризующие жесткость обратной связи по численности популяции в предшествующие периоды.

В диссертации поставлены и решены три задачи. Первая — получить полное описание области локальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в модели (1). Эта задача сводится к исследованию устойчивости линейного уравнения вида

Уп = ауп-т + Ьуп-к, О, Ь е К. (2)

Для уравнения (2) мы намерены исследовать влияние теоретико-числовых характеристик запаздываний к, тп (совпадение четности, наличие общих множителей) на величину области устойчивости в пространстве параметров, а также указать возможности увеличения областей устойчивости посредством управления запаздываниями.

Вторая задача — изучить глобальную устойчивость модели (1). В рамках этой задачи мы намерены найти условия, при которых гарантируется глобальная устойчивость ненулевого стационарного уровня численности популяции в модели (1). Мы намерены также изучить влияние теоретико-числовых характеристик запаздываний к, тп на расширение и сужение области устойчивости в модели (1).

Третья задача — исследовать частные случаи уравнения (2), в которых проявляется эффект возникновения устойчивости, когда одно запаздывание является делителем другого, и потеря устойчивости в противном случае.

Актуальность темы. Исследование модели (1) с двумя запаздываниями актуально потому, что более простые модели менее достоверны, а более сложные в настоящее время не поддаются точному анализу.2

Модель (1) происходит от модели Пиелоу

_ ахп-1 1+РХп-к'

которая в свою очередь является наследницей модели Бевертона-Холта3

1Pielou Е.С. An introduction to mathematical ecology. Wiley Interscience, N.Y. 1969.

2Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003

3Beverton R.J.H., Holt S.J. On the dynamics of exploited fish populations // Fish Invest. Ministry of Agriculture. Fish. Food. London. 1957. Ser. 2. V. 19. P. 1-533.

xn = ---. Впоследствии обобщение модели Пиелоу с несколькими

1 + /?ЖП_1 запаздываниями

- аХп~1 хп — s )

1 + Е ßiXn-ki ¿=1

где а > 1, ßi > 0 (1 ^ i ^ s), исследовали V.L. Kocic и G. Ladas4. Они получили достаточные условия глобальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в виде ограничений на максимальное из запаздываний и коэффициенты. Позже для модели с неограниченной памятью

__аз?п-1_

Хп — оо I

CjXji—j

J=1

где а > 1, ß > 0, Ejli cj — 1' Р- Liu и X. Cui5 дали достаточное условие глобальной устойчивости этой модели в виде ограничений на а и ß.

Многочисленные публикации, посвященные изучению проблемы глобальной устойчивости в моделях динамики популяций, таких авторов как V.L. Kocic, G. Ladas, I. Györi, S.N. Elaydi, M.E. Fisher, P. Liu, X. Cui, J.S. Yu, Chen Ming-Po, S. Zhang и других, также подтверждают актуальность темы диссертации.

Обобщение уравнения Пиелоу с вовлечением в него двух запаздываний в нашей постановке ранее не встречалось. Исследуемая нами модель (1) по сложности находится между моделями Бевертона-Холта, Пиелоу с одной стороны, и моделями Косича-Ладаса, Лью-Сая, с другой. В работах ука-заных выше авторов и других работах не выявлено влияние взаимодействия запаздываний на устойчивость ненулевого стационарного уровня численности популяции, что также подтверждает актуальность темы диссертации.

В научных публикациях последних лет уравнению (2) уделялось больше внимания, чем уравнениям, схожим с (1). Приведем ниже наиболее важные результаты. Впервые уравнение (2) при а = 1, m = 1 исследовали в 1976 г. S.A. Levin и R. May6, связав его с динамикой популяции китов. Они получили необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости нулевого решения. В 1994 г. их результат обобщил S. Kuruklis7. Он указал область устойчивости в пространстве параметров (а, Ь) для уравнения (2) при m = 1. Некоторые варианты уравнения (2) рассматривались в работах

*Kocic V.L., Ladas G. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order

with applications. Kluwer Academic Publishers. 1993.

5Liu P., Сиг X. Hyperbolic logistic difference equation with infinitely many delays // Math, and Comp, in Simulation. 2000. No 52. P. 231-250.

6Levin S.A., May R. A note on difference-delay equations // Theor. Pop. Biol. 1976. V. 9. P. 178-187.

7Kuruklis S.A. The asymptotic stability of x(n + 1) — ax(n) + bx(n — k) = 0 // J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 188. P. 719-731.

B.Б. Колмановского8 и A.M. Родионова9 при изучении систем управления с последействием, а также как результат дискретизации линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями. С помощью дискретных аналогов функций Ляпунова были получены достаточные условия устойчивости для частных случаев уравнения (2).

В 2001-2004 г.г. несколько авторов, в том числе автор диссертации и его научный руководитель, одновременно решают общую проблему устойчивости нулевого решения уравнения (2). В работах Ю.П. Николаева10'11 на основе метода £>-разбиений получены графически области асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (2) для различных запаздываний к, т, и без полного математического обоснования приведены формулы границ этих областей. Уравнение (2) при к = тп — 1 исследовали F.M. Dannan и S.N. Elaydi12. Для этого случая они получили необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (2), прослеживая траектории корней характеристического уравнения. Аналогичным методом F.M. Dannan13 получил решение проблемы асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (2). Однако форма результатов сложна, громоздка и не позволяет получить графическое изображение областей асимптотической устойчивости, проводить их сравнение для различных запаздываний к, т.

Поэтому решаемая в диссертации проблема получения точных формул для границ области асимптотической устойчивости (с указанием точных интервалов изменения параметров на границе) нулевого решения уравнения (2), позволяющих проводить сравнение областей при различных запаздываниях к,т, является актуальной.

Методы исследования. Для исследования устойчивости нулевого решения линейного уравнения (2) использовался геометрический (частотный) критерий (известный в теории непрерывных систем как критерий Михайлова), основанный на известном результате теории функции комплексного переменного - принципе аргумента, а также привлекались идеи метода D-разбиения и теоретико-числовые факты.

Для исследования локальной устойчивости ненулевого стационарного

8Колмановский В.В. Об устойчивости некоторых систем с последействием // АиТ. 1993. № 11. С. 45-59.

9Родионов A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений // АиТ. 1992. № 9. С. 86-93.

10Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // АиТ. 2002. № 7. С. 44-54.

и Николаев Ю.П. Анализ геометрии .D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // АиТ. 2004. Л"? 12.

C. 49-61.

12Dannan F.M., Elaydi S.N. Asymptotic stability of linear difference equations of advanced type // J. Comp. Anal. Appl. 2004. V. 6. No 2. P. 423-428.

13Dannan F.M. The asymptotic stability of x(n + fc) + ax(n) + bx(n — I) = 0 // J. Difference Equ. Appl. 2004. V. 10. No 6. P. 589-599.

решения нелинейного уравнения (1) в работе используется классический метод линеаризации (исследование устойчивости по первому приближению), восходящий к работам О. Перрона и получивший развитие в 50-х годах в работах Ю.И. Неймарка, E.I. Jury и других.

Для исследования глобальной устойчивости стационарного решения уравнения (1) в диссертации используется «метод последовательного сжатия оценок для отклонения траекторий от стационарной». Этот метод применяли G. Seifert, К. Gopalsamy для дифференциальных и интегро-дифферен-циальных уравнений, P. Liu, X. Cui для дискретных аналогов некоторых интегро-дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.

1. Указаны точные границы области асимптотической устойчивости уравнения (2) на плоскости (а, Ь). Границы описываются параметрическими уравнениями с указанием точных промежутков изменения параметра на границе. Этот результат полностью закрывает проблему локальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (1).

2. Проведено сравнение областей асимптотической устойчивости уравнения (2) по квадрантам плоскости (а, Ь) при различных запаздываниях к, т. Такое сравнение стало возможным благодаря точным формулам для границ областей асимптотической устойчивости. Это было невозможно на основе результатов предшественников11-13.

3. Выявлен эффект влияния делимости запаздываний к, m на устойчивость нулевого решения уравнения (2) и его некоторых вариантов.

4. Получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (1), в некоторых случаях расширяющие известные границы областей устойчивости4.

5. Для некоторых комбинаций четности и нечетности запаздываний /с, m получены необходимые и достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (1). Этот факт обнаруживает влияние взаимодействия запаздываний к, m на устойчивость. Это влияние не обнаружено в работах V.L. Kocic, G. Ladas4 и P. Liu, X. Cui5.

Теоретическая значимость. Полученные результаты об асимптотической устойчивости уравнения (2) позволяют исследовать локальную устойчивость широкого класса нелинейных разностных уравнений с двумя запаздываниями, линеаризация которых дает уравнение вида (2). Результаты диссертации полностью закрывают проблему исследования устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в модели (1) относительно малых возмущений. Результаты о глобальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (1) значительно

дополняют известные результаты, расширяя пространство параметров, гарантирующее устойчивость.

Кроме того, полученные в диссертации точные формулы для границ области асимптотической устойчивости с указанием точных промежутков изменения параметра на границе позволяют легко строить области асимптотической устойчивости уравнения (2) и проводить наглядное сравнение областей по квадрантам плоскости (а,&), чего не удавалось сделать другим авторам.

Практическая значимость. Многие дискретные системы являются неточно определенными из-за трудности вычисления параметров или их нестабильности. Поэтому практически значимыми являются предпринятые в диссертации исследования пространства параметров линейных систем с двумя запаздываниями с точным вычислением границ их областей устойчивости. Благодаря этому расширяются возможности предвидения поведения популяции, прогнозирования развития экосистем, понимания влияния взаимодействия времени созревания особей популяции и длительности возобновления кормовых ресурсов на устойчивость популяции. Эти же результаты благодаря разработанной в диссертации программе «Delays & Stability» позволяют уточнить и упростить расчет устойчивости дискретных (импульсных) систем управления8-11 и дискретных моделей динамики популяции с двумя запаздываниями.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на 12-й межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2002), на 12-й всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2003), на 10-й и 12-й международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2003; Пущино, 2005), на международной конференции «Physics and Control» (Санкт-Петербург, 2003), на семинаре проф. Ю.Н. Смолина в Магнитогорском государственном университете (2005 г.), на семинаре проф. В.П. Тананы в Южно-Уральском государственном университете (2008 г.), на семинаре проф. М.М. Кипниса в Челябинском государственном педагогическом университете.

Результаты работы используются также в специальных курсах по разностным уравнениям и методам математической биологии в Челябинском государственном педагогическом университете и Южно-Уральском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 4 - в изданиях, включенных в перечень ВАК. В работах [1, 2, 5, 6, 10] М.М. Кипнису принадлежит постановка задачи и общее руководство, P.M. Нигматулину принадлежат все полученные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 132 страницы печатного текста. Библиография содержит 123 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации

Во введении определяются задачи и формулируются цели исследования. Здесь же обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, указываются методы исследования, кратко излагаются основные результаты.

Первая глава посвящена исследованию асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (2).

В § 1.1 дана биологическая мотивация выбора исследуемой модели. Приводятся примеры конкретных видов популяций, развитие особей которых соответствует сделанным в этом параграфе допущениям.

В § 1.2 приводятся определения устойчивости, характеризуются методы исследования, цитируются необходимые теоремы.

В § 1.3 ставится задача исследования, цитируются теоремы об устойчивости, необходимые для дальнейшего изложения, вводится определение области асимптотической устойчивости уравнения (2).

Определение 1 Область асимптотической устойчивости уравнения (2) — это множество £>(/:, тп) таких пар (а,,Ь), что нулевое решение уравнения (2) с данными коэффициентами о, 6 и запаздываниями к, т асимптотически устойчиво.

В § 1.4 сформулирована и доказана лемма, в которой определяются натуральные числа.?, в, необходимые для полного решения задач первой главы Лемма 1 Пусть натуральные числа к,т взаимно просты и к > т. Тогда существует пара натуральных чисел я), такая что

\rrij — = 1, 3 < к, 5 нечетно. (3)

Если т нечетно, то такая пара единственна; если т четно, то таких пар ровно две: в одной 2 четно, в другой нечетно.

Основной результат первой главы изложен в § 1.5. Здесь сформулирована Теорема 1 Пусть к, т взаимно просты и к > т. Нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда пара (а, Ь) есть внутренняя точка конечной области, ограниченной линиями

I. а + Ь= 1,

тт йш ки> , бш ти

П- а = ~~п-Г~> ь = —~77-г-,

впц/с — т)ш 81п(к — т)ш

III. (-1)та+(-1)*Ь = 1,

IV. а = (-1Г • Тк\ , Ь = -(-В* . ,

бхп^/с — т) а> Б1п(к — т) и

где значения ш изменяются между ^ и ^; здесь з натуральные числа, , удовлетворяющие условию (3).

Здесь же делаются замечания, приводятся примеры, дается иллюстрация областей асимптотической устойчивости для различных четностей запаздываний к,т (см. рис. 1). Область асимптотической устойчивости обладает важным свойством симметрии. А именно, справедлива

Лемма 2 Пусть к, т взаимно просты и к > т. Тогда если (а,Ь) б 0(к,т) (см. определение 1), то ((—1)то, (—1)^6) 6 £>(/;,т).

Рис. 1. Области асимптотической устойчивости уравнения (2); к, тп взаимно просты; к > т. Выделена общая для всех к, т область устойчивости |а| 4- |Ь| < 1.

§ 1.6 содержит леммы, необходимые для доказательства теоремы 1. В лемме 1.6.1 определяются условия неустойчивости нулевого решения уравнения (2), тем самым отсекаются лишние области на плоскости (а, 6). В лемме 1.6.2 фиксируются свойства нулей годографа на действительной оси комплексной плоскости: локализация в интервалах, движение по оси при изменении коэффициента а. В лемме 1.6.3 описано поведение годографа в точках его пересечения с действительной осью на комплексной плоскости, а именно, направление таких пересечений. Лемма 1.6.4 носит сугубо технический характер. В лемме 1.6.5 устанавливается связь между расположением нулей годографа уравнения (2) на действительной оси, их нумерацией и натуральными числами из лемм, изложенных в § 1.4.

В § 1.7 приводится доказательство основной теоремы (теорема 1) первой главы об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (2).

В § 1.8 проводится сравнение областей асимптотической устойчивости для различных запаздываний к,т по квадрантам плоскости (а, Ь). Для этого введено на множестве пар натуральных чисел бинарное отношение >--

„больше".

Определение 2 Будем говорить, что (/¡¡1,1711) >- (/с2,тг) в квадранте

СЭг4 = {(а, Ь) : (—1)га ^ О, (-1)'Ь ^ 0} (г,г = 0,1), если £>(£1,7711) П Э -0(&2,т2) П Будем говорить, что (£1,7711) « {к2,т2) в Qrt, если £>(£1,7711) П С?Г( = £>(£2,7712) П<5г4- Будем говорить, что пары (£1,7711) и (£2,^2) несравнимы в (Зг4, если в (3^ неверна дизъюнкция

{к\,тх))~(к2,ТП2) ОЛИ (£2, )>-(£1,^1) или (к1,ГП1)&(к2,ТП2). (4) Результаты сравнения областей асимптотической устойчивости отражены в следующей теореме.

Теорема 2 Пусть (£1,7711), (£2,7712), (£з,"гз)? (£4,^4) — четыре пары взаимно простых натуральных чисел, пусть кг > тг (1 ^ г ^ 4).

Имеет место соотношение (£1,7711) ~ (£2,7712) в <2оо-2. Пусть £1 ы £2 нечетны, £3 и £4 четны.

2.1. Если £1 < £2, 7711 ^ 7712 ил« £1 ^ £2, ТП1 < 7712, тО (£1,7711) >- (£2,7712) >- (£3,7713) « (£4,7774) в

2.2. Если £1 > £2, 7П1 < тг, то (£1,1711) и (£2,7772) несравнимы в <2ю-5. Пусть £1 + 7711 и £2 + тг нечетны, £3 + 7713 и £4 + 7714 четны.

3.1. Если £1 < £2, 7711 ^ т2 или £1 ^ £2, Ш1 < тп2, то (£1,7711) >- (£2,7712) >- (£з,тз) И (£4,7714) б <2ц.

3.2. .Если £1 > £2, 7711 < 7712, я"? (£1,7711) и (£2,7772) несравнимы в С^п. 4- Пусть 7711 и 7П,2 нечетны, тз и т4 четны.

4-1. Если к\ < £2, 7711 ^ 7712 ИЛ" £1 ^ £г, 1^1 < 7712, 7710 (£1,7711) !>- (£2,7П2) >- (£3,7713) « (£4,7774) в <9о1-

£7сли £1 > £2, 7П1 < тг, (£1,7711) и (к2,т2) несравнимы в (¿01. Эта теорема дает возможность для любых пар запаздываний либо установить, какой член дизъюнкции (4) имеет место, либо констатировать несравнимость пар. Это продемонстрировано на следующем примере.

Пример. Положим, в уравнении (2) мы имеем возможность управлять запаздываниями, выбирая 82 ^ £ ^ 89, 63 < т < 69. Для каждого квадранта укажем такие пары (£, ш), которые доставляли бы максимальные области асимптотической устойчивости. Для этого каждую пару (к,т) из предписанного диапазона сократим на общие делители (см. таблицу 1). Теорема 2 дает следующие результаты. В <5оо все области одинаковы; в <5ю максимальная область устойчивости при (£, т) = (85,68) ~ (5,4); в <2п, так же, как в (¿01, при (£,тп) = (84,63) « (88,66) » (4,3).

В § 1.9 приводятся примеры и даются комментарии к теореме 2. Даются рекомендации по увеличению области асимптотической устойчивости посредством управления запаздываниями.

В § 1.10 проводится сравнение результатов первой главы с ранее известными результатами. Указаны преимущества результатов диссертации перед конкурирующими работами.

В § 1.11 представлена программа <Ше1ауз&81аЫ1И;у», разработанная автором диссертации. Указаны функциональное назначение, область применения, используемые для разработки программы технические средства и рас-

ск,т) 63 64 65 66 67 68 69

82 (82,63) (41,32) (82,65) (41,33) (82,67) (41,34) (82,69)

83 (83,63) (83,64) (83,65) (83,66) (83,67) (83,68) (83,69)

84 (4,3) (21,16) (84,65) (14,11) (84,67) (21,17) (28,23)

85 (85,63) (85,64) (17,13) (85,66) (85,67) (5,4) (85,69)

86 (86,63) (43,32) (86,65) (43,33) (86,67) (43,34) (86,69)

87 (29,21) (87,64) (87,65) (29,22) (87,67) (87,68) (29,23)

88 (88,63) (11,8) (88,65) (4,3) (88,67) (22,17) (88,69)

89 (89,63) (89,64) (89,65) (89,66) (89,67) (89,68) (89,69)

сматриваются примеры применения. В одном из примеров по заданным коэффициентам уравнения (2) находится список всех пар взаимно простых запаздываний к,тп, обеспечивающих асимптотическую устойчивость этого уравнения.

В другом примере по заданной паре запаздываний и приближенным значениям коэффициентов указываются возможные изменения коэффициентов, при которых сохраняется асимптотическая устойчивость уравнения (2).

Листинг основных файлов программы приводится в приложении к диссертации.

Во второй главе рассматривается модель (1) динамики популяций. Для удобства мы изучаем уравнение

__сххп—т__^ ^

1 + + /3х п—к

которое получается из (1) линейной заменой переменной хп и в отношении устойчивости ведет себя в точности так же, как уравнение (1). Здесь получены достаточные условия, а для некоторых комбинаций запаздываний к, т необходимые и достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в этой модели.

В § 2.1 ставится задача и дается определение глобальной асимптотической устойчивости. Это понятие введено следующим образом.

Рассмотрим нелинейное разностное уравнение в-го порядка

хп=Р(хп- 1,...,хп-3), п — 0,1,..., (6)

где Р непрерывная функция своих аргументов, Р : К.^. —► Е+. Каждое решение уравнения (6) однозначно определяется начальными условиями XI = а{ > 0, -5 < г < -1, (7) где а, - заданные константы (положительность требуется для содержательной интерпретации). Пусть хп = х стационарное решение уравнения (6).

Определение 3 Стационарная траектория хп = х уравнения (6) называется глобально асимптотически устойчивой, если она локально асимпто-

тически устойчива и lim хп = х дня любых начальных условий (7).

п—*оо

В § 2.2 излагаются основные результаты второй главы, сформулированные в следующих теоремах.

Теорема 3 Если а > 1, ß ^ 0, то для любых запаздываний к,т Е N условие ß < 1 достаточно для глобальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения уравнения (5). При некоторых запаздываниях k, т указанное в теореме 3 условие глобальной асимптотической устойчивости является неулучшаемым. Этот результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 4 Если а > 1, ß ^ О, запаздывания к и тп взаимно просты, к нечетно, т четно, то условие ß < 1 является необходимым и достаточным для глобальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения уравнения (5).

Замечание 1 Если порядок уравнения (1) большой, а запаздывания не взаимно просты k = dki, т — dm\ (d > 1), то можно понизить порядок уравнения, сократив запаздывания на наибольший общий делитель d, и перейти к исследованию уравнения меньшего порядка.

В § 2.3 доказываются леммы к теоремам 3, 4, отражающие важное свойство перманентности (ограниченности сверху и отделимости от нуля) всех траекторий модели (5).

В § 2.4 приводятся доказательства теорем 3, 4.

В § 2.5 проводится сравнение теорем 3, 4 с ранее известными результатами. Здесь же с привлечением результатов первой главы сравниваются области локальной и глобальной асимптотической устойчивости уравнения (5). В конце параграфа указаны некоторые открытые вопросы, и приводятся рекомендации по управлению западываниями для увеличения области устойчивости в плоскости параметров.

На рисунке 2 проиллюстрированы для сравнения результаты теорем 3, 4 второй главы диссертации, теоремы 1 первой главы диссертации и результаты, которые получили V.L. Kode и G. Ladas (области глобальной устойчивости Gi и G2).

В третьей главе исследуется асимптотическая устойчивость ненулевого стационарного решения двух вариантов дискретного логистического уравнения с двумя запаздываниями.

В § 3.1 ставится задача. Интересным объектом исследования в нелинейной динамике14 является дискретное логистическое уравнение

хп = (а - Ьхп^хп-х. (8)

Запаздывания в (8) введены двумя различными способами. Получены сле-

14,Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир. 1990.

ß

неуст неуст.

неуст глоб. уст.

Gj глоб. уст.

L а а

а) т = 1, = 1,2 6) 771 > 1, т четно

\ ß

\ неуст. неуст.

неуст G2 лок. уст. неуст ^локТусЕ---

глоб. уст. 1 глоб. уст.

1

k-2

в) m = 1, к > 2

1 а

г) тп > 1, тп нечетно

Рис. 2. Области устойчивости уравнения (1) с взаимно простыми запаздываниями к,т. Области глобальной устойчивости G\ = {(a,ß) \ а > 1,ß > 0} я G2 =

j(a, ß) | 1 < а < ß > 01 получили V.L. Kocic и G. Ladas.

дующие уравнения:

(9)

-к- (Ю)

Результатом линеаризации уравнений (9), (10) вокруг их стационарного ре-а — 1

dXn~rn ^^п — к^п—тп j

-bxl.

Xrr ах

шения хп = уп +

являются линейные уравнения вида (2). Это соответ-

ственно уравнения

Уп - Уп — 771 - (а - 1 )уп-к, (11)

Уп = ауп-т - 2(а - 1 )уп-к- (12)

В этой главе представлено независимое от первой главы диссертации решение задачи об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (11), (12). Примененный нами метод исследования позволяет обнаружить качественный эффект: влияние делимости запаздываний к,т в уравнениях (11), (12) на устойчивость. Кроме того, полученные результаты удалось представить в общей для уравнений (11), (12) форме.

Результаты об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (11), (12) позволили получить необходимые и достаточные условия локальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения нелинейных уравнений (9), (Ю).

В § 3.2 доказываются теоремы об асимптотической устойчивости нуле-

1 < а < 1 4- 2 sin -— (13)

вого решения уравнения (11) и о локальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения нелинейного уравнения (9). Ввиду очевидной связи между этими теоремами, приведем текст только одной.

Теорема 5 1) Если а < 1, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво.

2) Если к делится на т, то при выполнении неравенства

7Г

2(2^"- 1)

нулевое решение уравнения (11) асимптотически устойчиво; при

а > 1 + 2 sin —-----(14)

2(2£~1)

оно неустойчиво.

3) Если к не делится на т, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво при любых аф\.

В § 3.3 рассматриваются уравнения (10) и (12). Для этих уравнений здесь решены аналогичные с § 3.2 задачи.

Теорема 6 1) Если |а — 2| > 1, то нулевое решение уравнения (12) неустойчиво.

2) Если 1 < а < 3 и к делится на т, то при выполнении неравенства

i arccos^

т < arceos -3а*+а8а~3 ^ '

нулевое решение уравнения (12) асимптотически устойчиво; при

А . arccos ^

т > arccos -3а2+8°-3 К }

оно неустойчиво.

3) Если к не делится на т, то нулевое решение уравнения (12) неустойчиво при любых аф\.

Далее переформулирован текст теоремы 5, для сближения его с текстом теоремы б.

Теорема 7 1)Если |а — 2| > 1, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво.

2) Если 1 < а < 3 и к делится на т, то при выполнении неравенства

_ -(»-1) ш < (17)

III arr-rrid -i-

к arccos arccos

нулевое решение уравнения (11) асимптотически устойчиво; при

к

— > т

arceos

arccos

2 —(а —I)2

оно неустойчиво.

3) Если к не делится на т, то нулевое решение уравнения (11) неустойчиво при любых а / 1.

В § 3.4 проведено сравнение интервалов устойчивости для уравнений (11), (12) и уравнения

о — 1 . .

Уп = Уп-т--Уп-к, (19)

а

которое происходит от модели Пиелоу с двумя запаздываниями

= (20)

1 + Ьхп-к

В таблице 2 указаны области асимптотической устойчивости нулевого рек

шения уравнений (11), (12), (19) при — £ N. Эти области суть интервалы

тп

(1, а*) тех значений параметра а, при которых нулевое решение соответствующего уравнения асимптотически устойчиво.

Таблица 2.

±eN 1 2 3 4 5 6 7

а* для (11) 3 2 1.6180 1.4450 1.3473 1.2846 1.2410

а* для (12) 3 1.5 1.2743 1.1888 1.1439 1.1163 1.0975

а* для (19) 00 оо 2.6180 1.8019 1.5321 1.3979 1.3176

При одинаковых целых — наибольшие интервалы устойчивости у уравнения (19), наименьшие — у уравнения (12). Таблица дает и области локальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения нелинейных уравнений (9), (10) и (20), из которых получаются линеаризацией уравнения (11), (12) и (19) соответственно.

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты.

1. Получено полное решение проблемы локальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями.

2. На основе результатов диссертации предложен алгоритм для сравнения областей локальной устойчивости модели Пиелоу при различных парах запаздываний.

3. Установлено влияние числовых характеристик запаздываний (делимость одного из запаздываний на другое, наличие общих делителей) на устойчивость вышеуказанной модели.

4. Для дискретной модели Пиелоу получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции.

5. Доказано, что условия устойчивости, указанные в предыдущем пункте, являются и необходимыми для некотрых комбинаций запаздываний.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах,

определенных ВАК

1. Кипнис, М.М. Устойчивость некоторых разностных уравнений с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // Автоматика и телемеханика.- 2003 - № 5 - С. 122-130.

2. Кипнис, М.М. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // Автоматика и телемеханика.- 2004 - № 11,- С. 25-39.

3. Нигматулин, P.M. Глобальная устойчивость дискретной модели динамики популяции с двумя запаздываниями / P.M. Нигматулин // Автоматика и телемеханика.- 2005 — № 12.- С. 105-113.

4. Нигматулин, P.M. Устойчивость стационарного уровня численности популяции в дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями / P.M. Нигматулин // Системы управления и информационные технологии. - 2008,- № 2.3(32).- С. 369-372.

Другие публикации

5. Кипнис, М.М. Дискретные модели динамики популяций с запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // Математическое моделирование и краевые задачи : Труды двенадцатой межвуз. конф. Часть 2, Самара, 2002.- Самара : СамГТУ, 2002,- С. 53-55.

6. Кипнис, М.М. Устойчивость дискретных моделей динамики популяции с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // Математика. Компьютер. Образование : Тезисы докладов X международной конференции, Пущино, 2003.- Ижевск : НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", 2003.- С. 271.

7. Нигматулин, P.M. Глобальная устойчивость разностного уравнения динамики популяции с двумя запаздываниями / P.M. Нигматулин // Математика. Компьютер. Образование : Тезисы докладов XII междуна-

родной конференции, Пущино, 2005 - Ижевск : НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", 2005.- С. 139.

8. Нигматулин, P.M. Устойчивость обобщенной модели Пьелу динамики популяции с запаздываниями / P.M. Нигматулин // Математическое моделирование в естественных науках : Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых, Пермь, 2003.- Пермь : Перм-ГТУ, 2003.- С. 62.

9. Программа нахождения всех пар запаздываний, обеспечивающих устойчивость линейного разностного уравнения с двумя запаздываниями «Delays & Stability»: свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 11551 / P.M. Нигматулин. - № ГР 50200802036; 10.10.08. - М.: ВНТИЦ, 2008.

10. Nigmatulin, R. Stability of the discrete population model with two delays / R. Nigmatulin, M. Kipnis // Proc. Int. Conf. Physics and Control, St. Petersburg : IEEE, 2003, P. 314-316.

Нигматулин Равиль Михайлович

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО УРОВНЯ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ В ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ПИЕЛОУ С ДВУМЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 10 ноября 2008 г. Формат 60x84 1/16. Объем 1,0 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе в типографии ЧГПУ 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 69.

Введение

1 Локальная устойчивость дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями

1.1 Биологическая мотивация выбора модели.

1.2 Предварительные сведения.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Теоретико-числовые факты.

1.5 Основная теорема о локальной устойчивости дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями

1.6 Леммы к основной теореме.

1.7 Доказательство основной теоремы.

1.8 Сравнение областей устойчивости.

1.9 Примеры и комментарии к теореме 1.8. о сравнении областей устойчивости

1.10 Сравнение результатов первой главы с известными результатами.

1.11 Программа «Delays & Stability».

2 Глобальная устойчивость стационарной численности популяции в дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями

2.1 Предварительные сведения и постановка задачи.

2.2 Теоремы о глобальной устойчивости дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями.

2.3 Леммы к теоремам 2.2.1, 2.2.2.

2.4 Доказательство теорем о глобальной устойчивости

2.5 Области локальной и глобальной устойчивости модели Пиелоу: сравнение результатов второй главы с известными результатами.

3 Устойчивость некоторых вариантов дисретного логистического уравнения с двумя запаздываниями

3.1 Постановка задачи.

3.2 Устойчивость первого варианта логистического уравнения с двумя запаздываниями.

3.3 Устойчивость второго варианта логистического уравнения с двумя запаздываниями.

3.4 Сравнение интервалов устойчивости различных вариантов логистического уравнения

Цель работы. Целью диссертационного исследования является изучение глобальной и локальной устойчивости стационарных уровней численности популяции обобщенной дискретной модели Пиелоу [99]

Х"=1 + -уГП7вх (О-1) с двумя запаздываниями к, т £ N. Здесь хп— численность популяции в п-й момент наблюдения, а — коэффициент автоприроста, ¡3,7 — коэффициенты, характеризующие жесткость обратной связи по численности популяции в предшествующие периоды.

В диссертации поставлены и решены три задачи. Первая — полное описание области локальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в модели (0.1). Эта задача сводится к исследованию устойчивости линейного уравнения вида

Уп = 0Уп-т + Ьуп-к, а,Ь € М. (0.2)

Для уравнения (0.2) мы намерены исследовать влияние теоретико-числовых характеристик запаздываний к, т (совпадение четности, наличие общих множителей) на величину области устойчивости в пространстве параметров, а также указать возможности увеличения областей устойчивости посредством управления запаздываниями.

Вторая задача — изучение глобальной устойчивости модели (0.1). В рамках этой задачи мы намерены найти условия, при которых гарантируется глобальная устойчивость ненулевого стационарного уровня численности популяции в модели (0.1). Мы намерены также изучить влияние теоретико-числовых характеристик запаздываний к, т на расширение и сужение области устойчивости в модели (0.1).

Третья задача — исследование частных случаев уравнения (0.2), в которых проявляется эффект возникновение устойчивости когда одно запаздывание является делителем другого, и исчезновение устойчивости в противном случае.

Обзор литературы по исследуемой проблематике. Одной из основных проблем математической биологии является исследование устойчивости биологических сообществ [17, 18, 19, 30, 31, 33, 42]. Существует несколько концепций устойчивости, достаточно полный обзор которых приведен в [17]. Выделяют [32, 33] два основных подхода к решению проблемы устойчивости: имитационное моделирование (компьютерный эксперимент) и построение математических моделей, доступных аналитическому исследованию. Аналитические модели служат теоретической основой имитационного моделирования, позволяют получить качественную картину поведения системы в целом, и в то же время без чрезмерного усложнения могут быть успешно использованы для решения практических задач.

Несмотря на огромное разнообразие живых систем, выделяют [30, 32, 33, 35, 36, 42] некоторые важнейшие присущие им качественные свойства: рост, самоограничение роста, способность к переключениям - существование двух или нескольких стационарных режимов, автоколебательные режимы (биоритмы), пространственная неоднородность. Эти процессы характеризуются общими математическими свойствами: нелинейными зависимостями, пороговыми величинами, эффектами запаздывания и др. Многие свойства живых систем можно продемонстрировать на сравнительно простых нелинейных динамических моделях, которые и выступают в роли базовых моделей математической биологии [30, 35, 36].

Среди огромного множества моделей математической биологии, биофизики, экологии одно из центральных мест занимают модели динамики популяций. В [44] выделено около трех десятков различных попу-ляционных моделей и построено классификационное дихотомическое дерево.

Основы теории популяционной динамики были заложены в работах В. Вольтерры [2] и А. Лотки [88]. В настоящее время огромное количество работ отечественных [19, 31, 32, 33] и зарубежных авторов [30, 43, 44] посвящено построению и исследованию моделей динамики численности популяций, при этом обсуждается вопрос о том, какой математический аппарат является наиболее подходящим для этой цели. В. Фелер [45] отметил: „Нужно всегда помнить, что математика имеет дело с абстрактными моделями и что разные модели могут описывать одно и то же действительное явление с различной степенью приближения и простоты. Способ применения математических теорий не зависит от предвзятых идей и не является предметом логики; это целеустремленная техника, меняющаяся с накоплением опыта".

Часто развитие популяции рассматривают в непрерывном времени и, более того, численность популяции представляется решением дифференциального уравнения, т.е. во всяком случае непрерывной функцией. Такая схема требует определенных допущений относительно самой популяции, в частности, она должна быть достаточно многочисленной, чтобы ее численность можно было аппроксимировать непрерывной кривой. Дифференциальными уравнениями, по-видимому, можно описывать популяции микроорганизмов, некоторых рыб, древесных фитоценозов н т.д. Это те случаи, в которых величина временного шага не имеет явного биологического смысла и может быть выбрана произвольно малой [42, 41].

Однако, более соответствует реальности представление о численности как о дискретной величине, которая принимает некоторые значения в фиксированные моменты времени. Такая схема в точности отражает процесс переписи реальных (лабораторных или естественных) популяций, который осуществляется, как правило, в дискретные моменты времени.

Дискретные модели позволяют описать такие реальные эффекты, как возникновение циклов динамики численности популяций, псевдослучайное поведение экосистем и другие, наблюдаемые в реальных и лабораторных популяциях. Поэтому разработка методов исследования дискретных моделей биологических сообществ необходима для описания качественных эффектов динамики популяции [35, 36].

Естественное предположение, что численность популяции зависит от численностей в некоторые предшествующие моменты времени, -одна из форм учета запаздывания - приводит к использованию математического аппарата разностных уравнений [41, 42, 47, 48]. Особенно заманчивой кажется идея использовать разностные уравнения в случае, когда численность каждого следующего поколения популяции зависит от численности лишь предыдущего. Такая ситуация имеет место, например, для популяций с неперекрывающимися поколениями без длительных диапауз в жизненном цикле. Если же поколения популяции в значительной степени перекрываются или же значительная доля популяции на одной из стадий уходит в диапаузу, длительность которой превышает срок жизни одного поколения (для популяций насекомых характерна смена стадий яйца, личинки и куколки, а размножение происходит на вполне определенной стадии взрослого насекомого - имаго), допущение зависимости п + 1 поколения от п-го уже несправедливо [32, 33, 41, 42].

Существенно отметить, что изменение количества доступных ресурсов, условий среды обитания или внутрипопуляционных характеристик сказывается на рождаемости, смертности и миграции не мгновенно, а только через некоторый промежуток времени, т.е. в моделях необходимо учитывать эффекты запаздывания [32, 33].

На важность учета запаздывания в популяционных моделях и на новые динамические эффекты, возникающие в этом случае, впервые обратил внимание В.А. Костицын [78, 79]. О роли запаздывающего действия факторов динамики популяции и о способах учета запаздывания в моделях указывается в [21, 92].

Наиболее тесная связь с результатами диссертации об устойчивости модели (0.1) прослеживается в цепочке работ: R.J.H. Beverton, S.J. Holt [55] - J.G. Skellam [105, 106] - E.C. Pielou [99, 100] - V.L. Kocic, G. Ladas [77] - P. Liu, X. Cui [86]. Модель Бевертоиа-Холта [55] axn-1 YTftl' (a3) которая изучалась также Скелламом [105] и Пиелоу [99], является одной из базовых моделей динамики популяции. Она считается дискретным аналогом модели Ферхюльста (1848), описывающей ограниченный рост популяции:

M = rrr(i)(l-is(t)), (0.4) где г - мальтузианский коэффициент, Р - емкость экологической ниши популяции, ввиду того, что решение уравнения (0.4) в целочисленных ег — 1 точках совпадает с решением уравнения (0.3), где a = ег, ß = ——— [64, 99]. Все траектории уравнений (0.3) и (0.4) монотонны. Однако монотонный рост популяции не всегда наблюдается на практике [86, 99, 100]. По мнению Пиелоу, "тенденция к колебательности является собственным свойством популяции и не зависит от любых внешних факторов", т.е. численность популяции колеблется, "даже если окружающая среда не изменяется". Пиелоу отметила, что "колебания могут возникать в популяции, если ее коэффициент роста управляется механизмами, зависящими от плотности и если существует задержка в реакции коэффициента роста на изменение плотности популяции" [100].

В моделях (0.3) и (0.4) предполагается, что популяция мгновенно реагирует на изменение своей численности. В действительности имеется запаздывание между изменением внешних условий и реакцией популяции на эти изменения, поэтому динамику популяции реальнее описывают модели с запаздываниями. Учитывая это наблюдение, Пи-елоу [100] предложила рассматривать модель с запаздыванием ш

Впоследствии обобщение модели Пиелоу (0.5) с несколькими запаздываниями хп =-J-, (0.6)

1 + X) ß&n-ki i—1 где а > 1, ßi > 0 (1 < г < s), исследовали V.L. Kocic и G. Ladas [77]. Они получили достаточные условия глобальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в виде ограничений на максимальное из запаздываний и коэффициенты. Позже для модели с неограниченной памятью

-^-, (0.7)

1 + n-„i + /3£

3=1 где а > 1, ß > 0, Y^jLi cj — 1> Р- Liu н X. Cui [86] дали достаточное условие глобальной устойчивости этой модели в виде ограничений на коэффициенты ос и ß.

Исследованию устойчивости линейных разностных уравнений с запаздываниями посвящено огромное число работ, среди которых наиболее известны работы Джури Э.И., Неймарка Ю.И., Hahn W. и др. С результатами диссертации об устойчивости уравнения (0.2) наиболее тесно связана последовательность работ: S.A. Levin и R. May [84] —

S. Kuruklis [81] - F.M. Dannan, S. Elaydi [61] - F.M. Dannan [59] -Ю.П. Николаев [27].

S.A. Levin и R. May в 1976 г. впервые исследовали уравнение (0.2) при а = 1, т = 1, связав его с динамикой популяции китов. В 1994 г. их результат обобщил S. Kuruklis. Он указал область устойчивости в пространстве параметров (а, Ъ) для уравнения (0.2) при т = 1. F.M. Dannan, S. Elaydi в 2001 г. в работе [61] получили область устойчивости для уравнения (0.2) при т — к — 1. Статьи [84], [81], [61] по отношению к результатам диссертации являются предысторией, а работы F.M. Dannan [59] и Ю.П. Николаев [27] является конкурирующими (подробный анализ и сравнение результатов этих авторов с результатами диссертации приведено в п. 1.10).

Устойчивость уравнения (0.2) с переменными запаздываниями и переменными коэффициентами изучалась в [70, 80, 111]. Некоторые варианты уравнения (0.2) рассматривались в работах В.Б. Колмановско-го [11, 12, 13] и A.M. Родионова [37, 38, 39, 40] при изучении автоматических систем управления с последействием, а также как результат дискретизации линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями.

Актуальность темы. Использование разностных уравнений с запаздываниями в настоящее время стало естественным в моделировании динамики биологических популяций. Отправной точкой для многих дискретных моделей динамики популяции стала модель Пиелоу с запаздыванием (0.5).

Исследованию различных свойств обобщенной модели Пиелоу (с несколькими запаздываниями, с неограниченной памятью, с переменными коэффициентами и запаздываниями) посвящены работы таких авторов как V.L. Kocic, G. Ladas, I. Györi, S.N. Elaydi, J.H. Jaroma, S.A. Kuruklis, M.E. Fisher, P. Liu, X. Cui, J.S. Yu, Chen Ming-Po, S. Zhang и других, что подчеркивает актуальность темы диссертации. В работак указаных выше авторов и других работах не выявлено влияние взаимодействия запаздываний на устойчивость ненулевого стационарного уровня численности популяции, что также свидетельствует об актуальности темы диссертации.

Широко известны результаты исследований свойств решений нелинейных уравнений вида хп = хп1/(хп-1,. хп-8), для которых, как правило, найдены простые, но достаточно грубые условия устойчивости. Обобщение уравнения Пнелоу с вовлечением в него двух запаздываний в нашей постановке (рсп = хп-т/(хп-т,хп-к)) ДО сих пор не встречалось. Исследуемая нами модель (0.1) по сложности находится между базовыми моделями Бевертона-Холта, Пиелоу с одной стороны, и моделями Косича и Ладаса, Лью и Сая, с другой.

Базовые модели

Исследуемая в диссертации модель

Более сложные модели, чем изученная в диссертации

Beverton К., Нои Б. ахп-х

1 + /?Жп1

Пе1ои Е.С.

ХСОл—1

Хг,

1 + ¡Зхп-к

Хп

СИХп—т

1 + 1Хп —т п—к обобщенная модель Пиелоу)

УХ.Косш, С. Ьас1аз ахп1

1 + X) А хп-ь ¿=1

Р. Ьш, X. Сш ахп-1

Хг,

1 + 7Х„1 + /3 с^хпЧ з~1

Исследование модели (0.1) с двумя запаздываниями также актуально потому, что более простые модели менее достоверны, а более сложные в настоящее время не поддаются точному анализу [36].

В 2001-2004 г.г. несколько авторов, в том числе автор диссертации и его научный руководитель, одновременно решают общую проблему устойчивости нулевого решения уравнения (0.2). Возникшая конкуренция подчеркивает актуальность темы диссертации, востребованность и важность результатов решения этой проблемы.

В работах Ю.П. Николаева [28, 27] на основе метода D-разбиений получены графически области асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (0.2) для различных запаздываний Ar, т, и без полного математического обоснования приведены формулы границ этих областей, но не найдены существенные для понимания проблемы пределы изменения параметра на границе.

В конкурирующей статье Ф.М. Даннана [59] даются громоздкие условия устойчивости нулевого решения уравнения (0.2), требующие решения трансцендентных уравнений и минимизации некоторых функций на множестве корней этих уравнений. Такая форма результатов не позволяет получить графического изображения областей устойчивости и проводить их сравнение.

Поэтому решаемая в диссертации проблема получения точных формул для границ области асимптотической устойчивости (с указанием точных интервалов изменения параметров на границе) нулевого решения уравнения (0.2), позволяющих проводить сравнение областей при различных запаздываниях к, т, является актуальной.

Методы исследования. Исследование устойчивости линейного уравнения (0.2) сводится к выяснению расположения корней его характеристического полинома (фундаментальные результаты содержатся в работах Н. Poincare [101], О. Perron [96] и А. Cohn [58]). Для локализация корней характеристического полинома на комплексной плоскости в работе использовался геометрический критерий (известный в теории непрерывных систем как критерий Михайлова), основанный на известном факте теории функции комплексного переменного - принципе аргумента, а также привлекались идеи метода D-разбиения (в настоящее время этот метод для исследования технических моделей продуктивно используют Б.Т. Поляк [3, 9, 102], Ю.П. Николаев [29, 27] и E.H. Грязина [5]) и теоретико-числовые факты.

Для исследования локальной устойчивости нелинейных модели (0.1) в работе используется классический метод линеаризации (исследование устойчивости по первому приближению). Метод линеаризации для дискретных систем восходит к работам О. Перрона и получил развитие в 50-х годах в работах Ю.И. Неймарка, E.I. Jury и других. Позднее для разностных уравнений были получены теоремы, аналогичные теоремам Пуанкаре-Ляпунова, Разумихипа-Ляпунова об устойчивости в теории дифференциальных уравнений. В этом направлении значительные результаты получили R.P. Agarwal, S. Elaydi, S. Zhang, V.L. Kocic, G. Ladas, V. Lakshmikantham, D. Trigiante.

Для исследования глобальной устойчивости стационарного решения уравнения (0.1) в диссертации используется метод последовательного сжатия оценок для отклонения траекторий от стационарной. Этот метод применяли G. Seifert, К. Gopalsamy для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений и P. Liu, X. Cui для дискретных аналогов некоторых интегро-дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

1. Получены точные границы области асимптотической устойчивости уравнения (0.2) на плоскости (а, 6). При этом границы описываются параметрическими уравнениями с указанием точных промежутков изменения параметра на границе. Этот результат полностью закрывает проблему локальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (0.1).

2. Проведено сравнение областей асимптотической устойчивости уравнения (0.2) по квадрантам плоскости (а, Ъ) при различных запаздываниях к, т. Такое сравнение стало возможным благодаря точным формулам для границ областей асимптотической устойчивости.

3. Выявлен эффект влияния делимости запаздываний к, m на устойчивость нулевого решения уравнения (0.2) и его некоторых вариантов.

4. Получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (0.1).

5. Для некоторых комбинаций четности и нечетности запаздываний к, т получены необходимые и достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (0.1). Этот факт обнаруживает влияние взаимодействия запаздываний к,т на устойчивость.

Краткое содержание и основные результаты

Во введение определяются задачи и формулируются цели исследования. Здесь же обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, указываются методы исследования, кратко излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию локальной устойчивости дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями. Эта задача сводится к исследованию устойчивости нулвого решения линейного разностного уравнения (0.2).

В § 1.1 обосновывается биологическая мотивация выбора исследуемой модели. Приводятся примеры конкретных видов популяций, развитие особей которых соответствует сделанным в этом параграфе допущениям.

В § 1.2 приводятся определения устойчивости, характеризуются методы исследования, цитируются необходимые теоремы.

В § 1.3 формулируется задача исследования, приводятся формулировки некоторых важных теорем об устойчивости линейных разностных уравнений, вводится определение области устойчивости уравнения (0.2).

Определение 1. Область устойчивости уравнения (0.2) — это множество га) таких пар (а, 6), что уравнение (0.2) с данными коэффициеитами a,b и запаздываниями т асимптотически устойчиво.

В § 1.4 сформулирована и доказана лемма, в которой определяются натуральные числа j, s, необходимые для полного решения задач первой главы

Лемма 1. Пусть натуральные числа к, т взаимно просты и к > т. Тогда существует пара натуральных чисел [j, s), такая что mj — = 1, j < k, s нечетно. (0.8)

Если m нечетно, то такая пара единственна; если т четно, то таких пар ровно две: в одной j четно, в другой нечетно.

Основной результат первой главы содержится в § 1.5. Здесь формулируется основная теорема об устойчивости нулевого решения линейного разностного уравнения с двумя запаздываниями. В ней описывается граница области устойчивости уравнения (0.2) при к > т.

Теорема 1. Пусть к,т взаимно просты и к > т. Нулевое решение уравнения (0.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда пара (а, Ъ) есть внутренняя точка конечной области, ограниченной линиями

I.а + Ь=1, sin kcu 7 sin mu)

II. а = ----г—, b = sin(£: — т)ш' sin(A; — т)ш'

III. (—1)та + (—l)kb = 1,

IV. а = (—l)m . ,¿ = -(-1)* SÍnma; вт(А; — т)ш' ът(к — т)а/ где значения ш изменяются между и —; здесь у, 5 натуральные к 777, числа, удовлетворяющие условию (0.8).

После формулировки теоремы делаются замечания, приводятся примеры. Здесь же дается иллюстрация областей асимптотической устойчивости для различных четностей запаздываний к,т (см. рис. 1).

Рис. 1. Области асимптотической устойчивости уравнения (0.2); к, т взаимно просты; к > т. Выделена общая для всех к, т область устойчивости |а| + |Ь| < 1.

Область асимптотической устойчивости обладает важным свойством симметрии. А именно, справедлива

Лемма 2. Пусть к, т взаимно просты и к > т. Тогда если (а, Ъ) € 0(к,т) (см. определение 1), то ((—1)та, (—1 )кЬ) € £>(А;,т).

§ 1.6 содержит леммы, необходимые для доказательства теоремы 1.5.1. В лемме 1.6.1 определяются условия неустойчивости нулевого решения уравнения (1.3.2), тем самым отсекаются лишние области на плоскости (а,Ъ). В лемме 1.6.2 фиксируются свойства нулей годографа на действительной оси комплексной плоскости: локализация в интервалах, движение по оси при изменении коэффициента а. В лемме 1.6.3 описано поведение годографа в точках его пересечения с действительной осью на комплексной плоскости, а именно, направление таких пересечений. Лемма 1.6.4 носит сугубо технический характер. В лемме 1.6.5 устанавливается связь между расположением нулей годографа уравнения (1.3.2) на действрггельной оси, их нумерацией и натуральными числами из леммы и теоремы, изложенных в § 1.4.

В § 1.7 приводится доказательство основной теоремы (теорема 1.5.1) первой главы об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (1.3.2).

В § 1.8 проводится сравнение областей асимптотической устойчивости для различных запаздываний к, т по квадрантам плоскости (а, Ъ). Для этого введено на множестве пар натуральных чисел бинарное отношение >--„больше".

Определение 2. Будем говорить, что (А^х, ттгх) >- {к2,т2) в квадранте СЭп = {(а, Ъ) : (-1 )га ^ 0, (—^ 0} (г, £ = 0,1), если и(к1,т,1) П (Згг Э £>(/с2,т2) П Будем говорить, что (/¡11,7711) ~ (&2) ^2) в если -0(А:1, тг) П С}^ = т2) П С. Будем говорить, что пары (&1, т\) и (к2, т2) несравнимы в фт-ь если в Сневерна дизъюнкция к^тх) >- (к2,т2) или (к2,т2) >- (£1,7771) или (/¡4,7771) ж (к2,т2).

0.9)

Результаты сравнения отражены в теореме

Теорема 2. Пусть {к^тх), (к2,т2), {к^т^) четыре пары взаимно простых натуральных чисел, пусть кг > тг (1 ^ г ^ 4).

1. Имеет место соотношение (£1,7711) «з (к2,т2) в (^оо (здесь и далее по тексту см. рис. 1).

2. Пусть к\ и к2 нечетны, и £4 четны.

2.1. Если к\ < к2, 7771 ^ 7772 ^и к\ ^ к2, 7711 < ™>2, ™>0 (/¡4,7771) (к2,т2) У (к3,т3) « (£4,т4) в <310.

2.2. Если к\ > к2, гпх < т2, то (Л;1, тх) и {к2,т2) несравнимы в фю

3. Пусть кх+тх и к2-\- т2 нечетны, £3 + 7773 и £4 + 7774 четны. 3.1. Если к\ < к2, 7771 ^ 7722 НЛП к\ ^ к2, 7771 < т2, ™>0 (к\->™>\) >~ (к2, т2) >- (/с3,7773) « (£4,7774) в (¿ц.

3.2. Если к\ > к2, т\ < т2, то (&1,777,1) и (к2,т2) несравнимы в фц. 4- Пусть 7П1 и т2 нечетны, ш3 гг 7714 четны.

4-1. Если < 7711 ^ 777,2 ^./Ш ^ к2, 777,1 < Г77,2, то (£4,7771) (,к2,т2) >- (/сз, 777,3) яа (&4,т4) е <201

Если к\ > к2, 777,1 < то (к\, 777,1) ^ (к2,т2) несравнимы в <5о1

Эта теорема дает возможность для любых пар запаздываний либо установить, какой член дизъюнкции (0.9) имеет место, либо констатировать несравнимость пар.

В § 1.9 приводятся примеры и даются комментарии к теореме 2. Приводятся рекомендации по выбору оптимальной области устойчивости при возможности управления запаздываниями.

В § 1.10 проводится сравнение результатов первой главы с ранее известными результатами. Этот пункт снабжен формулировками ранее известных теорем, рисунками и необходимыми выкладками для сравнения результатов.

В § 1.11 представлена программа «Бе1ауз&^аЫШу», разработанная автором диссертации. На примерах рассматривается применение программы для решения задач. Листинг основных файлов программы приводится в приложении.

Во второй главе решается проблема глобальной устойчивости ненулевого стационарного решения (стационарного уровня численности популяции) модели Пиелоу с двумя запаздываниями (0.1). Здесь получены достаточные условия, а для некоторых запаздываний к,т необходимые и достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости положительного стационарного решения уравнения (0.1) в пространстве параметров, исследуется влияние запаздываний на устойчивость, даются рекомендации по управлению запаздываниями для увеличения области устойчивости. Для удобства рассматривается более простая модель х ¿"п—т I Н^п—к получаемая из (0.1) линейной заменой переменной хп, и которая в отношении устойчивости ведет себя в точности так же, как уравнение (0.1).

В § 2.1 ставится задача и дается определение глобальной асимптотической устойчивости. Мы вводим это понятие следующим образом. Рассмотрим нелинейное разностное уравнение s-ro порядка хп = F(xn-i,. ?г = 0,1,., (0.11) где F непрерывная функция своих аргументов, F : R^. —► Ш+. Каждое решение (хп)™=0 уравнения (0.11) однозначно определяется начальными условиями

Xi = Qj, o>i > 0, — s ^ г ^ —1, (0.12) где числа с^ - заданные константы (положительность требуется для содержательной интерпретации). Пусть хп = х стационарное решение уравнения (0.11).

Определение 3. Стационарная траектория хп = х уравнения (0.11) называется глобально асимптотически устойчивой, если она локально асимптотически устойчива и lim хп — х для любых начальных услоп—>оо вий (0.12).

В § 2.2 сформулированы основные результаты второй главы.

Теорема 3. Если а > 1, ß ^ 0, то для любых запаздываний к, т Е N условие 0 ^ ß < 1 достаточно для глобальной асимптотической устойчивости полооюителъного стационарного решения уравнения (0.10).

При некоторых запаздываниях k, т указанное в теореме 3 условие глобальной асимптотической устойчивости является неулучшаемым. Этот результат сформулирован в следующей теореме

Теорема 4. Если а > 1, ¡3 ^ 0, запаздывания кит взаимно просты, к нечетно, т четно, то условие 0 ^ [3 < 1 является необходимым и достаточным для глобальной асимптотической устойчивости положительного стационарного решения уравнения (0.10).

В теореме 4 запаздывания к, т предполагаются взаимно простыми. Если они не взаимно просты, например, когда к = (1к\, т — <¿777-1 (с? > 1), то сократим запаздывания на наибольший общий делитель с? и перейдем к исследованию уравнения меньшего порядка. Если запаздывания к\) 777-1 удовлетворяют условиям теоремы 4, то ее заключение также будет выполняться и для запаздываний к = йк\, т = <¿777,1 ■

В § 2.3 доказываются леммы к теоремам 3, 4. Наиболее важными являются следующие леммы, в которых фиксируется свойство перманентности (ограниченности и отделимости от нуля) решений уравнения (0.10).

Лемма 3. Если а > 1, /3^0, то любое решение уравнения (0.10) с начальными условиями (0.12) положительно, ограничено и

Итзир:гп < а — 1. п—> оо

Лемма 4. Если а > 1, 0 ^ /3 < 1, то любое решение уравнения (0.10) с начальными условиями (0.12) отделено от нуля и тЫхп^ (а - 1){1 - (3). п—юо

В § 2.4 приводятся доказательства теорем 3, 4.

В § 2.5 проводится сравнение теорем 2.2.1, 2.2.2 с ранее известными результатами. Здесь же с привлечением результатов первой главы сравниваются области локальной и глобальной асимптотической устойчивости уравнения (0.10). В конце параграфа указаны некоторые открытые вопросы, и приводятся рекомендации по управлению западываниями для увеличения области устойчивости в плоскости параметров.

На рисунке 2 проиллюстрированы для сравнения результаты теорем 2.2.1, 2.2.2 второй главы диссертации, теоремы 1.5.1 первой главы диссертации и результаты, которые получили V.L. Kocic и G. Ladas. неуст. глоб. уст. неуст. неуст. глоб. уст.

1 а а) т = 1, к = 1,2

1 а б) т > 1, т четно неуст. L неуст. ---лок. уст. глоб. уст.

М' неуст. неуст. лок. уст] глоб. уст.

1 fe-L ¥=2 а а в) т — 1, к > 2 г) т > 1, т нечетно

Рис. 2. Области устойчивости уравнения (0.10) с взаимно простыми запаздываниями к, т.

В третьей главе исследуется асимптотическая устойчивость двух вариантов дискретного логистического уравнения с двумя запаздываниями.

В § 3.1 даются необходимые предварительные сведения, формулируется задача.

Интересным объектом исследования в нелинейнной динамике [20] является дискретное логистическое уравнение вида хп = (а - Ьхп-1)хп-1. (0.13)

Запаздывания в (0.13) вводятся двумя различными способами, получаем следующие уравнения: п ~ СЬ-Еп—т Ьхп—к^п—т,1 хп = ахп-т - Ьх1к. (0.15)

Уравнения (0.14), (0.15) имеют стационарную траекторию хп = а — 1

Линеаризация хп = уп-\---— уравнения (0.14) вокруг стационарного решения дает уравнение

Уп = Уп-т - (а - 1 )Уп-к- (0-16)

Аналогично, линеаризация (0.15) дает

Уп = аУп~т ~ 2(а - 1 )уп-к. (0.17)

В этой главе мы представляем независимое от первой главы диссертации решение задачи об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (0.16), (0.17). Примененный нами метод исследования позволяет обнаружить качественный эффект: влияние делимости запаздываний к,т в уравнениях (0.16), (0.17) на устойчивость. Кроме того, полученные результаты удалось представить в общей для уравнений (0.16), (0.17) форме.

Результаты об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (0.16), (0.17) позволили получить необходимые и достаточные условия локальной асимптотической устойчивости нетривиального стационарного решения нелинейных уравнений (0.14), (0.15). В § 3.2 получены результаты об устойчивости уравнения (0.16).

Теорема 5. 1) Если а < 1, то нулевое решение уравнения (0.16) неустойчиво.

2) Если к делится на т, то при выполнении неравенства

1 <а< 1 + 2 эт ——т—---(0.18)

2(2^ 1) ^ ' нулевое решение уравнения (0.16) асимптотически устойчиво; при а > 1 + 2 sin ——т^----(0.19)

2(2£ - 1) оно неустойчиво.

3) Если к не делится на т, то пулевое решение уравнения (0.16) неустойчиво при любых а ^ 1.

В § 3.3 получены результаты об устойчивости уравнения (0.17).

Теорема 6. 1) Если \а — 2| > 1, то нулевое решение уравнения (0.17) неустойчиво.

2) Если 1 < а < 3 и к делится на т, то при выполнении неравенства к arceos ^¡^

-ЧД ч 0.20 т arccos ~3fl ¿8а~3 нулевое решение уравнения (0.17) асимптотически устойчиво; при

- > т arccos 0 оно неустойчиво.

3) Если к не делится на т, то нулевое решение уравнения (0.17) неустойчиво при любых а ^ 1.

Далее в § 3.3 переформулируется текст теоремы 5 для сближения его с текстом теоремы 6.

Теорема 7. 1)Если \а — 2| > 1, то нулевое решение уравнения (0.16) неустойчиво.

2) Если 1 < а < 3 и к делится на т, то при выполнении неравенства к arccos "(Г1*

- <-¿чЬуГ 0.22 т arccos 2 (а2 нулевое решение уравнения (0.16) асимптотически устойчиво; при k arccos

- >-Г-Г-Й2 0.23 т arccos оно неустойчиво.

3) Если к не делится на т, то нулевое решение уравнения (0.16) неустойчиво при любых а ф 1.

В § 3.4 проведено сравнение интервалов устойчивости для уравнений (0.16), (0.17) и уравнения а~ 1

Уп — Уп—т Уп—кч а которое происходит от логистического уравнения Пиелоу с двумя запаздываниями О'Я'П—т

0С<п. —

1 + Ьхп-к'

В заключении суммируются основные результаты, полученные в диссертации.

1.10.5 Выводы о сравнении результатов первой главы с известными результатами

По отношению к теореме 1.5.1 диссертации работы Левина-Мэя [84], Куруклиса [81] и Папаниколау [94], а также Даннана-Элайди [61] являются предысторией. С результатами теоремы 1.5.1 диссертации конкурируют работы Ю. Николаева [27, 28] и Ф. Даннана [59]. Хронология представления к иечати и публикации конкурирующих работ представлена в таблице 1.3. Методы всех конкурирующих работ различны: Ю. Николаев - 1)-разбиения, Ф. Даннан - исследование движения корней полиномов на комплексной плоскости, М. Киинис - Р. Нигматулин - исследование годографов, принцип аргумента.

Заключение

Проблема устойчивости дискретных моделей динамики популяции остается одной из центральных проблем в математической биологии. Использование современной вычислительной техники, проведение компьютерных экспериментов позволяет преодолевать значительные трудности при изучении каждой конкретной модели. Однако задачи определения области допустимых параметров модели, гарантирующих устойчивость, выявления качественных взаимосвязей между параметрами модели и поведением ее траекторий остаются трудно решаемыми.

В диссертационном исследовании была изучена обобщенная модель Пиелоу динамики популяции с двумя запаздываниями: д, ^ ^

1 ^Хп—т -Ь

В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1) полностью решена проблема локальной устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции в дискретной модели Пиелоу (4.1): получено полное описание области локальной асимптотической устойчивости, приведены параметрические уравнения границы области, указан промежуток изменения параметра на границе, проведено сравнение областей локальной асимптотической устойчивости при различных запаздываниях в исследуемой модели.

2) получены достаточные условия (в виде ограничений на коэффициенты а, /3,7) глобальной асимптотической устойчивости ненулевого стационарного уровня численности популяции модели (4.1).

3) доказано, что для некоторых вариантов четностей запаздываний к, т эти же условия являются необходимыми и достаточными, что выявляет качественное влияние запаздываний на устойчивость ненулевого стационарного уровня численности популяции в модели (4.1).

1. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

2. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1967.

3. Вишняков А.Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // АиТ. 2000. № 9. С. 112-119.

4. Гелъфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

5. Грязина E.H. К теории D-разбиения // АиТ. 2004. № 12. С. 15-28.

6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

7. Джури Э.И. О корнях полинома с действительными коэффициентами, лежащих внутри единичной окружности, и о критерии устойчивости линейных дискретных систем. Доклад на Втором Международном конгрессе ИФАК, Базель, Швейцария, 1963 г. М.: ВИНИТИ, 1963.

8. Иванов В.А., Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983.

9. Киселев О.Н., Поляк Б. Т. Минимизация перерегулирования в линейных дискретных системах регуляторами низкого порядка // АиТ. 2001. № 4. С. 98-108.

10. Козак А.Д., Новоселов А.Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка // Мат. заметки. 1999. Т.66. Вып. 2. С. 211-215.

11. Колмановский В. Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра // АиТ. 1995. 11. С. 50-64.

12. Колмановский В. Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием // АиТ. 1993. № 11. С. 45-59.

13. Колмановский В.Б., Родионов А.М. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра // АиТ. 1995. № 2. С. 3-13.

14. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. В кн.: Проблемы кибернетики. Вып. 25. М.: Наука, 1972.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

16. Ла-Салль Ж, Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

17. Левин А.П. Понятие устойчивости в биологии. Математические аспекты. В кн.: Человек и биосфера, вып. 1. М.: Изд-во МГУ. 1976. С. 138-174.

18. Ляпунов A.A., Багриновский Г.П. О методологических вопросах математической биологии. В кн. Математическое моделирование в биологии. М.: Наука, 1975.

19. Менъшуткин B.B. Математическое моделирование популяций и сообщество водных животных. JL: Наука, 1971.

20. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир. 1990.

21. Мэйнард Смит Док. Модели в экологии. М.: Мир, 1976.

22. Недорезов Л.В., Недорезова Б.Н. Модификация моделей Морана Риккера динамики численности изолированной популяции // Журнал общей биологии. 1994. Т.55. № 4-5. С. 514-521.

23. Неймарк Ю.И. К задаче распределения корней полиномов // ДАН СССР. 1947. Т.58, № 3.

24. Неймарк Ю.И. О допустимости линеаризации при исследовании устойчивости // ДАН СССР. 1959. Т.127. № 5. С. 961-964.

25. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста // ДАН СССР. 1948. Т.59. № 5.

26. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем управления. Л.: ЛКВВИА, 1949.

27. Николаев Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // АиТ. 2004. № 12. С. 49-61.

28. Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // АиТ. 2002. № 7. С. 44-54.

29. Николаев Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // АиТ. 2001. № 4. С. 98-108.

30. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир. 1975.

31. Полетаев И.А. О математических моделях элементарных процессов в биогеоценозах. В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 16. М.: Наука, 1966.

32. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Д.: Гидрометеоиздат, 1980.

33. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983.

34. Разумихин Б. С. Устойчивость по первому приближению систем с запаздываниями // ПММ. 1958. Т.22. С. 155-166.

35. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2002.

36. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

37. Родионов A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений // АиТ. 1992. № 9. С. 86-93.

38. Родионов A.M. О достаточных условиях абсолютной устойчивости дискретных уравнений // АиТ. 1998. № 12. С. 127-131.

39. Родионов A.M. Об ограниченности решений дискретных уравнений // АиТ. 1994. № 5. С. 32-37.

40. Родионов A.M. Об одной возможности применения второго метода Ляпунова к уравнениям Вольтерра // АиТ. 1998. № 4. С. 57-64.

41. Свирео/сев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. В кн.: Проблемы космической биологии, Т.20. М.: Наука, 1972.

42. Свирежев Ю.М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

43. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976.

44. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971.

45. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир, 1967.

46. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

47. Шапиро А.П., JJynnoe С.П. Рекуррентные уравнения в популяци-онной биологии. М.: Наука, 1982.

48. Шапиро А.П., Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я. Дискретные модели численности локальной популяцрш // Математические модели популяций. Владивосток. 1979.

49. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986.

50. Agarwal R.P. Difference equations and inequalities. Theory, methods and applications. Marcel Dekker Inc., New York, 1992.

51. Agarwal R.P., Wong P.J.Y. Advanced topics in difference equations. Kluwer Academic Publishers. 1997.

52. Banks H.T., Mathffy J.M. Stability of cicle gene models for systems involving repression // J. Theor. Biol. 1978. No 74. P. 323-334.

53. Begon M., Mortimer M. Population ecology: a united study of animals and plants. Oxford: Blackwell Sci. Publ., 1981.

54. Bergh M.O., Getz W.M. Stability of discrete age-structured and aggregated delay-difference population models //J. Math. Biol. 1988. V. 26. P. 551-581.

55. Beverton R.J.H., Holt S.J. On the dynamics of exploited fish populations // Fish Invest. Ministry of Agriculture. Fish. Food. London. 1957. Ser. 2. V. 19. P. 1-533.

56. Chen Ming-Po, Yu J.S. Oscillations and global attractivity in a delay logistic difference equation //J. Difference Equ. Appl. 1995. V. 1. P. 227-237.

57. Clark C. W. A delay-recruitment model of population dynamics, with an application to baleen whale populations //J. Math. Biol. 1976. V. 3. P. 381-391.

58. Cohn A. Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise // Math. Zeitschrift. 1922. V. 14. P. 110-148.

59. Dannan F.M. The asymptotic stability of x(n + k) -\-ax(n) -\-bx(n — l) = 0 // J. Difference Equ. Appl. 2004. V. 10. No 6. P. 589-599.

60. Dannan F.M., Elaydi S.N. Asymptotic stability of linear difference equations of advanced type //J. Comp. Anal. Appl. 2004. V. 6. No 2. P. 423-428.

61. Dannan F.M., Elaydi S.N. Asymptotic stability of linear difference equations of advanced type // Technical report No 60. 2001. P. 1-15. htpp://www.trinity.edu/departments/ mathematics.

62. El-Morshedy H.A., Liz E. Convergence to equilibria in discrete population models //J. Differ. Equ. Appl. 2005. V. 11. P. 117-131.

63. El-Morshedy H.A., Liz E. Globally attracting fixed points in higher order discrete population models //J. Math. Biol. 2006. V. 53. P. 365384.

64. Elaydi S.N. An introduction to difference equations. Springer. 1999.

65. Elaydi S., Zhang S. Stability and periodicity of difference equations with finite delay // Funkcial. Ekva. 1994. Vol. 37. P. 401-413.

66. Fisher M.E. Stability of a class of delay-difference equations // Nonlinear Anal. 1984. V. 8. P. 645-654.

67. Fisher M.E., Goh B.S. Stability results for delayed-recruitment models in population dynamics //J. Math. Biol. 1984. V. 19. P 147156.

68. Fisher M.E., Goh B.S., Vincent T.L. Some stability conditions for discrete-time single species models // Bull. Math. Biol. 1979. V 41. P. 861-875.

69. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publishers. 1992.

70. Györi I., Pituk M. Asymptotic stability in a linear delay difference equation, Proc. of SICDEA, Veszprem, Hungary, August 6-11, 1995. Gordon and Breach Science, Langhorne, PA, 1997.

71. Györi /., Trofimchuk S. Global attractivity and persistence in a discrete population model //J. Differ. Equ. Appl. 2000. V. 6. P. 647665.

72. Hahn W. Zur Stabilität der Lösungen von linearen DifferentialDifferenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten // Math. Ann. 1956. V. 131. P. 151-166; V. 132. P. 94.

73. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology // Ann. N.Y. Acad. Sei. 1948. No 50. P. 221-246.

74. Ivanov A.F. On global stability in a nonlinear discrete model // Nonlinear Anal. 1994. V. 23. P. 1383-1389.

75. J aroma J.H., Kuruklis S.A., Ladas G. Oscillations and stability of a discrete delay logistic model // Ukrain. Math. J. 1991. No 43. P. 734744.'

76. Jury E.I. A simplified stability criterion for linear discrete systems // 1961. ERL Report. Series No 60. No 373.

77. Kocic V.L., Ladas G. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications. Kluwer Academic Publishers. 1993.

78. Kostitzin V.A. Symbiose, parasitisme et evolution. P., Herman, 1934.

79. Kostitzin V.A. Mathematical Biology. London: liar rap. 1939.

80. Kovdcsvolgyi I. The asymptotic stability of difference equations // Appl. Math. Letters. 2000. No 13. P. 1-6.

81. Kuruklis S.A. The asymptotic stability of x(n + 1) — ax(n)-\-bx(n -k) = 0 // J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 188. P. 719-731.

82. Kuruklis S.A., Ladas G. Oscillations and global attractivity in a discrete delay logistic model // Quart. Appl. Math. 1992. No 50. P. 227-233.

83. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. Academic Press Inc., New York, 1988.

84. Levin S.A., May R. A note on difference-delay equations // Theor. Pop. Biol. 1976. V. 9. P. 178-187.

85. Liu P., Chen L., Cui X. A discrete analogue of an integrodifferential equation // Comp. Math. Appl. 1999. No 37. P. 41-55.

86. Liu P., Cui X. Hyperbolic logistic difference equation with infinitely many delays // Math, and Comp. in Simulation. 2000. No 52. P. 231250."

87. Liz E., Tkachenko V., Trojimchuk S. Global stability in discrete population models with delayed-density dependence // Math. Biosci. 2006. V. 199. P. 26-37.

88. Lotka A. Elements of phisical biology. Baltimora: Williams and Wilkins, 1925.

89. Marry J.D. Mathematical Biology. Springer, 1993.

90. May R.M. Biological populations obeying difference equations: stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biol. 1975. V. 51. No 2. P. 511-524.

91. May R.M. Qualitative stability in model ecosystems // Ecology. 1973. V. 54. No 3. P. 638-641.

92. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: Princeton Univ. Press, 1973.

93. Moran P.A.P. Some remarks on animal population dynamics // Biometrica. 1950. V. 6. No 3. P. 250-258.

94. Papanicolaou V.G. On the asymptotic stability of a class of linear difference equations // Mathematics Magazine. 1996. V. 69. P. 34-43.

95. Perron 0. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme // Mat. Zeitschr. 1930. No 31. P. 748-766.

96. Perron O. Uber lineare Differenzengleichungen // Acta Math. 1911. No 34. P. 109-137.

97. Perron 0. Über Stabilität und Asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen // Math. Zeit. 1929. No 29. P. 129160."

98. Perron 0. Uber Summengleichungen und Poincarésche Differenzengleichungen // Math. Annalen. 1921. V 84. No 1.

99. Pielou E.G. An introduction to mathematical ecology. Wiley Interscience, N.Y. 1969.

100. Pielou E.C. Population and community ecology. Gordon and Breach. N.Y. 1974.

101. Poincaré H. Sur Les Equations Linéaires aux Différentielles Ordinaires et aux Différences Finies // Amer. J. Math. 1885. V. 7. P. 203-258.

102. Polyak B.T., Halpern M.E. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index // Int. J. Adapt. Contr. and Signal Proc. 2001. V.15. No 2. P. 129-152.

103. Ricker W.E. Stock and rectruitment //J. Fish. Res. Board of Canada. 1954. V. 11. No 5. P. 559-623.

104. Seifert G. On a delay-differential equation for single specie population variations // Nonlinear Analysis, TMA. 1987. Vol. 11. No 9. P. 1051-1059.

105. Skellam J.G. Random dispersal in theoretical populations // Boimetrika. 1951. V. 38. P. 196-218.

106. Skellam J.G. Seasonal periodicity in theoretical population ecology. In: Proc. 5th Berkeley, 1967, V. 4, P. 179-205.

107. Thierne H.R. Mathematics in Population Biology. Princeton University Press. New Jersey, 2003.

108. Watt K.E.F. How closely does the model mimic reality? // Canad. Entom. Mem. 1963. V. 31. P. 109-111.

109. Wright E.M. A nonlinear difference-differential equation //J. Reine Angew. Math. 1955. No 494. P. 66-87.

110. Wright E.M. Stability criteria and the real roots of a transcendental equation // SIAM J. 1961. V. 9, No 1. P. 136-148.

111. Yu J.S. Asymptotic stability for a linear difference equation with variable delay // Сотр. Math. Appl. 1998. V. 36, No 10-12. P. 203210.

112. Zhang S. Stability of infinite delay difference systems // Nonlin. Analysis, Theory, Methods, Applications. 1994. V. 22. No 9. P. 11211129.

113. Zhang S., Chen Мгпд-Po. A new Razumikhin theorem for delay difference equations // Сотр. Math. Appl. 1998. Vol. 36. No 10-12. P. 405-412.

114. Кипнис M.M., Нигматулин P.M. Дискретные модели динамики популяций с запаздываниями // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды двенадцатой межвуз. конф. Часть 2. Самара: СамГТУ, 2002. С. 53-55.

115. Кипнис М.М., Нигматулин P.M. Устойчивость дискретных моделей динамики популяции с двумя запаздываниями // Тезисы докладов X международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Пущино, 2003, С. 271.

116. Кипнис М.М., Нигматулин P.M. Устойчивость некоторых разностных уравнений с двумя запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 2003. № 5. С. 122-130.

117. Кипнис М.М., Нигматулин P.M. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 2004. № 11. С. 25-39.

118. Нигматулин P.M. Глобальная устойчивость дискретной модели динамики популяции с двумя запаздываниями. Автоматика и телемеханика. 2005. № 12. С. 105-113.

119. Нигматулин P.M. Глобальная устойчивость разностного уравнения динамики популяции с двумя запаздываниями // Тезисы докладов XII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Пущино, 2005, С. 139.

120. Нигматулин P.M. Устойчивость обобщенной модели Пиелоу динамики популяции с запаздываниями // Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь, 2003, С. 62.

121. Нигматулин P.M. Устойчивость стационарного уровня численности популяции в дискретной модели Пиелоу с двумя запаздываниями // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 2.3(32). С. 369-372.

122. Nigmatulin R., Kipnis М. Stability of the discrete population model with two delays. Proc. Int. Conf. Physics and Control. St. Petersburg: IEEE, 2003, P. 314-316.