автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Задачи оптимизации в непрерывных моделях эксплуатируемых популяций с возрастной структурой

На правах рукописи

Ильин Олег Игоревич

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЯХ ЭКСПЛУАТИРУЕМЫХ ПОПУЛЯЦИЙ С ВОЗРАСТНОЙ

СТРУКТУРОЙ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петропавловск-Камчатский 2009

Работа выполнена в лаборатории морских промысловых рыб Камчатского научно-исследовательского института рыбного хозяйства и океанографии (ФГУП «КамчатНИРО»).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Абакумов Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ащепков Леонид Тимофеевич

кандидат биологических наук Лескова Ольга Алексеевна

Ведущая организация: Институт комплексного анализа

региональных проблем ДВО РАН, г.Биробиджан

Защита состоится « 15 » октября 2009 года в 12°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.092.03 при Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете (ГОУВПО «КнАГ-ТУ») по адресу: 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО «КнАГ-ТУ».

Автореферат разослан « ^ » сентября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук Зарубин М.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из основных проблем экологии является проблема рационального использования биологических ресурсов. Задачи рационального использования биологических популяций приводят к задачам оптимального управления. Оптимальное управление предусматривает выбор такого воздействия на объект управления (биологическую популяцию), которое доставляло бы максимум некоторому функционалу, выражающему пользу для человека — в простейшем случае это может быть доход от вылова рыбы за заданный промежуток времени. Промысловое воздействие вызывает не только количественные, но и качественные изменения в эксплуатируемой популяции. Кроме того, особи разного возраста обладают различными характеристиками размножения и гибели и вносят различный вклад в пополнение популяции. Наконец, многие экономические характеристики особей, такие как масса, плодовитость и т.д., в большой степени зависят от их возраста. В этой связи особи разного возраста могут вносить различный вклад в оптимизируемый функционал. Для понимания механизмов функционирования и решения вопросов рационального использования биологических популяций необходимо построение математической модели, позволяющей получить детальное описание динамики возрастного состава изучаемого вида. Такой моделью может служить непрерывная модель динамики возрастной структуры биологической популяции. Традиционно при решении задач оптимальной эксплуатации в моделях такого типа ограничиваются исследованием задачи оптимизации равновесного улова. Однако, нужды практики требуют решения задач оптимальной эксплуатации в динамике, в том числе при условии поддержания популяции на достаточно высоком уровне продуктивности в течение всего периода эксплуатации. Исследование указанных задач актуально не только с практической, но и с теоретической точек зрения.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является исследование задач оптимального управления биологическими ресурсами в рамках модели эксплуатируемой популяции с непрерывными временем и возрастом. Для достижения этой цели решаются следующие задачи.

1. Выяснение условий существования и единственности решения системы уравнений модели биологической популяции с непрерывными временем и возрастом.

2. Установление необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления.

3. Построение алгоритмов численного решения систем уравнений моделей и задач оптимизации.

4. Реализация полученных результатов на примерах запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая.

Методы исследования базируются на математическом аппарате теории оптимальных процессов, дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов оптимизации.

Предметом исследования являются математические модели эксплуатируемых биологических популяций с непрерывными временем и возрастом.

Научная новизна, полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

1. Выяснены условия однозначной разрешимости системы уравнений непрерывной модели популяции с возрастной структурой.

2. Установлены необходимые условия оптимальности в задачах оптимальной эксплуатации популяций с возрастной структурой и их сообществ.

3. Осуществлено построение алгоритмов численного решения систем уравнений и задач оптимизации в непрерывных моделях биологических популяций с возрастной структурой и их сообществ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносится:

1. Для серии задач оптимального управления в непрерывных моделях популяций с возрастной структурой установлены необходимые условия оптимальности управления, построены вычислительные алгоритмы и проведено численное исследование на примерах запасов дальневосточных рыб.

Научная и практическая значимость работы. Результаты проведенного исследования могут служить основой при оценивании состояния запасов и прогнозировании оптимальной величины изъятия морских промысловых организмов.

Достоверность научных положений и выводов, полученных в работе, является следствием использования классических математических методов построения моделей и их анализа: методов оптимизации, оптимального управления; методов численного анализа.

Апробация результатов работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени Е.В. Золотова (Владивосток, 2007), на семинарах «Математическое моделирование и информационные технологии в исследованиях биоресурсов Мирового океана»

(Владивосток, ТИНРО-центр, 2003, 2007), на отчётных сессиях Камчат-НИРО (Петропавловск-Камчатский, 2006, 2008) и ТИНРО-центра (Владивосток, ТИНРО-центр, 2005).

Личный вклад автора: Все основные результаты и выводы диссертационной работы получены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи в ведущих рецензируемых журналах. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений. Содержание работы изложено на 183 страницах, список литературы включает 158 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы выносимые на защиту основные положения диссертации.

В первом разделе приводится обзор основных результатов и перечень основных направлений исследований, смежных по отношению к настоящей работе, и указывается место, которое она тематически среди них занимает. Первые работы в области управления биологическими популяциями появились в начале 70-х годов прошлого века (Уатт, 1971; Сви-режев, Елизаров, 1972). Задачи оптимального управления для моделей популяций можно разделить на 4 типа по признакам дискретности или непрерывности и учета или неучета внутрипопуляционных структур. Задачи оптимального сбора урожая в моделях однородных популяций достаточно хорошо изучены, как в непрерывной (Clark, 1985; Абакумов, 1987), так и в дискретной (Абакумов, 1980) постановках. При построении оптимального управления в непрерывном случае используется принцип максимума Понтрягина (Понтрягин и др., 1961), в дискретном случае — принцип оптимальности Беллмана (Беллман, 1960). Учёт возрастной структуры в дискретном случае приводит к матричной модели Лесли (Leslie, 1945). Задачи оптимальной эксплуатации популяции с возрастной структурой в дискретной постановке исследовались в работах различных авторов (Rorres, Fair, 1975; Домбровский, 1979; Абакумов, 1979). Их решение строится по схеме динамического программирования. В непрерывной постановке эта задача изучалась в ряде работ (Свирежев, Тимофеев, 1980; Абакумов, Проценко, 1991) при значительных упрощениях и только в стационарном случае.

Второй раздел посвящён моделям биологических популяций и сообществ с непрерывными временем и возрастом.

В подпункте 2.1.1 традиционно выводятся уравнения модели популяции с возрастной структурой (Динамическая теория..., 1974):

% + ^ = r(t,T)x(t,T) - u(t,T)x(t,r), 0t,r) е G = [0; Т] х [0; т],

f

®(0,т) = а;о(т), г £ [0; г]; x(t,0) = Ф(а), в = /a(i,r)®(i,r) dr, t € [0; Т].

о

(1)

Здесь t — время, г — возраст особей, x(t,r) — плотность численности (биомассы) популяции, u(t,r) — интенсивность промысла, функция r(f, т) описывает процессы роста и смертности. Функция рождаемости a(t, т) > 0 характеризует долю особей, готовых к размножению, интеграл s выражает численность (биомассу) родителей. Первое уравнение в (1) называется уравнением выживаемости, а внутреннекраевое условие — уравнением рождаемости. Процессы, происходящие на ранних стадиях жизненного цикла, оказываются «зашитыми» внутри функции Ф) Ф(^) > 0, Ф(0) = 0. Функция Ф определена, ограничена, дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условию Липшица по s на R+. Этим условиям удовлетворяют большинство функций, описывающих процессы воспроизводства (Hilborn and Walters, 1992; Максименко, Антонов, 2003). Начальное распределение численности (биомассы) задано функцией жо(т). Задачи .типа (1) при $(s)=s подробно рассмотрены в работах (Динамическая теория..., 1974; Sinko and Streifer, 1967; Banks et al., 1991).

В подпункте 2.1.2 доказывается теорема об однозначной разрешимости системы уравнений динамики возрастной структуры популяции.

Теорема 2.1 Пусть в задаче (1) a(t,r), r(t,r), u(t, т) — кусочно-непрерывные на множестве G функции, xq(т) £ С([0, т]), функция Ф(в) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по s на R+. Пусть, кроме того, выполнено условие согласования:

т

®о(0) = Ф (J «(0, т) • ®(0, т) dr). (2)

о

Тогда решение x(t,r) € C(G) краевой задачи (1) существует и единственно.

В этом же подпункте доказывается существование и единственность решения сопряженной задачи, которая в общем случае имеет вид:

^ + = ЖгМ*,т) - h(t,r)i>(t,0), (t,r) G G = [0; Т] х [0; г], Тф{Т,т) = а(т), т £ [0; т]; = b(t), t € [0; Т].

Теорема 2.2 Пусть /, Л, а — кусочно-непрерывные на С функции, а(т) е С([0, г]), 6 С([0, Т]). Кроме того, предполагается, что выполнено условие согласования:

а(т) = 6(Т). (4)

Тогда существует единственное решение краевой задачи (3) в классе непрерывных на С? функций.

В подпункте 2.2.1 нами выводится система уравнений модели сообщества биологических популяций с возрастной структурой. Предложенная модель учитывает внутри- и межвидовые конкурентные взаимоотношения и отношения «хищник-жертва» и имеет вид:

+ (п(т) - Е/ха(т,0**(ик) г),

т

0) = / г) • т) ¿т, ж,(0, т) = жю(т), г = 1, ■ • •, п. о

Здесь коэффициенты х)к(т>0 характеризуют взаимоотношения между особями г-го вида в возрасте т и особями ¿-го вида в возрасте Вывод уравнений системы опирается на понятия спектра ресурса, конкуренции, экологической ниши.

Третий раздел посвящён задачам оптимизации.

В подпункте 3.1.1 исследуется общая задача оптимальной эксплуатации (ОЭ) для популяции. Уравнения динамики возрастной структуры популяции, находящейся под воздействием промысла, имеют вид:

дх дх й +в; =

Т (5)

:г(0, т) — х0(т); х(Ь, 0) = Ф^), 5 = / т)х(Ь, т) ¿т.

о

Здесь интенсивность промысла г) является управляющим воздействием. Пусть т, х, и) — заданная функция, характеризующая доход от изъятия особей с возрастом т в момент времени В этой задаче нас не интересует, каким образом на практике будет реализовываться интенсивность промысла. Задача ОЭ состоит в том, чтобы найти такую интенсивность промысла г), которая при условиях (5) доставляет максимум функционалу дохода от изъятия особей с возрастом от 0 до г за период времени от 0 до Т:

т т

Г = ! J т,х,и) йЫт -л вир, (6)

о о

или, что то же самое, минимум функционалу

т т

I = ~J J F0{t,T,x,u) dtdr inf. (7)

о 0

При этом на управляющее воздействие u(t, т) наложено ограничение:

и е D, D = {и: 0 < u(t,r) < [/}, U = Const. (8)

Оптимальное управление u(t, т) ищется в классе кусочно-непрерывных на G функций с конечным числом линий разрыва и со значениями из области D. Управления, удовлетворяющие указанным условиям, считаются допустимыми. Предполагается, что для любого заданного допустимого управления задача (5) имеет единственное непрерывное решение. Для случая / = гх это доказано в подпункте 2.1.2. Составим гамильтониан:

H(t,T,x^,u) = F0 + i>(f-ux) + rP(t,0)d-^ax. . (9) Здесь функция ф = ip(t, т) удовлетворяет сопряженному уравнению

£+£ -к*+* - £ - *> - А - »•

(10)

Будем говорить, что допустимое управление ы(£, т) удовлетворяет условию максимума, если

H(t, т, x(t, т),ф{г, т), u{t, г)) = max H(t, т, x{t, г), V(i, т), v), (11)

0 <v<U

где x,ip — решение краевой задачи (5), (10), соответствующее управлению u(t,r).

Теорема 3.1. Пусть функции а, хо удовлетворяют условиям теоремы 2.1 и, кроме того, f(t, т, х), Ф(ж) дважды непрерывно дифференцируемы по х при х £ [0,+оо), функция Fo{t,r,x,u) кусочно-непрерывна на G по первым двум аргументам и дважды непрерывно дифференцируема по х,и при х G [0,+оо) и всех и £ [О, Щ. Тогда если управление u(t, т) доставляет минимум, функционалу (7), то оно удовлетворяет условию максимума.

Если оптимальное управление u(t, т) в задаче (5), (7), (8) существует, то оно определяется из условия максимума (11). В частном случае

F0{t, т, х, и) = c(t, т) • u(t, т) ■ x(t, г), (12)

где c(t,r) — кусочно-непрерывная на G функция, описывающая стоимость особей, оптимальное управление имеет вид:

Г 0, ф{Ь,т) > c{t,T), u(t, т) = < произвольное v(t, т), 0 < v < U, ф(Ь, т) = c(t, т), (13) ( U, ф{1,т) < c(t,r).

В подпункте 3.1.2 изучается задача ОЭ популяции в равновесном режиме. Уравнение стационарного распределения биомассы имеет вид:

dx f

— = г(т)х - и(т)х, т е [0; f]; z(0) = s = f а(т)х(т) dr. (14) dr о

Требуется найти такую интенсивность промысла и{т), которая при условиях (14) доставляет наибольшее значение функционалу дохода от уравновешенного улова

т

F = j с(т) ■ и(т) • х(т)йт -» sup (15)

о

при условии

0 < и(т) < U. (16)

Алгоритм решения задачи ОЭ популяции в равновесном режиме для случая $(s) = s приведен в работе А.И. Абакумова и Т.А. Проценко (Абакумов, Проценко, 1990).

Задача оптимальной эксплуатации в равновесии сводится к стандартной задаче оптимального управления с подвижными концами. Из принципа максимума J1.C. Понтрягина (Понтрягин и др., 1961) следует, что оптимальное управление и*{т) в задаче (14)-(16) определяется из условия максимума гамильтониана

Н = (г — и)хф — ахХ + сих = гфх + (с — ф)их — ах\

и выражается формулой:

Г 0, ф(т) > с(т),

u*(r) = arg max Н = < произвольное г>(т), 0 < v{t) < U, ф(т) = с(т), ( U, ф(т) < с(т).

(17)

Здесь функции ф, А есть решение сопряженной системы:

% = („ _ г)ф - си + аХ, ф{т) = 0; £ = 0, А(0) = -ф{0)f. (18)

В подпункте 3.1.3 рассматривается задача ОЭ с заданной функцией улавливаемости. Вид интенсивности промысла конкретизируется: u(t,r) = q(r)v(t), где функция q(r) € С([0, г]) характеризует возрастную улавливаемость (Засосов, 1976), a v(t) — интенсивность промыслового усилия. Здесь, в отличие от задачи (5), (7), (8), имеется реальное орудие лова, характеристики которого определяются функцией улавливаемости q(r), а управление осуществляется через интенсивность промыслового усилия v(t), например, количество промысловых операций в

единицу времени. Задача ОЭ с заданной функцией улавливаемости приобретает вид:

Tt + Ъ~т = /(Î'Т'Х) ~ q^v{t)x'> Х(°>Т) = *o(t); 0) = Ф(5)- (19) Г т

I = - J J F0(t, т, х, v) dtdr -> inf, (20)

о 0

0 < v{t) < V. (21)

Функция Fo характеризует доход от изъятия особей с возрастом т в момент времени t. Допустимыми считаются кусочно-непрерывные управления v(t) с конечным числом точек разрыва на отрезке [0, Г], удовлетворяющие условию (21). Гамильтониан задачи (19)-(21) имеет вид (9), где и = qv. Будем говорить, что допустимое управление v(t) удовлетворяет условию максимума, если

т t

J H(I, т, x(t, т), ip(t, r),v(t)) dr = ^max j H(t, T,x(t,r), rj)(t, r), w) dr, о 0

(22)

где х,ф — решение краевой задачи (19),(10), соответствующее управлению v(t).

Теорема 3.2. Пусть функции a, xq удовлетворяют условиям теоремы 2.1, функции f(t,r,x) и Ф(х) дважды непрерывно дифференцируемы по х при х е [0,+оо), функция F()(t, т, х, v) кусочно-непрерывна на G по первым двум аргументам и дважды непрерывно дифференцируема по x,v при х 6 [0,+оо) и всех v е [О, V]. Тогда если управление v{t) доставляет минимум функционалу (20), то оно удовлетворяет условию максимума (22).

В частном случае F0(i, т, x,v) — c(r)q(T)v(t)x(t,T), где с(т) — заданная кусочно-непрерывная функция, оптимальное управление имеет вид:

0, f q(r) ■ (ifi(t, т) - с(т)) • x(t, т) dr > 0, о

т

произвольное w(t), 0 < w(t) < V, f q(— c)xdr = 0, (23)

о

f

V, f g(i/> - cjx dr < 0. о

В подпункте 3.1.4. рассматривается задача ОЭ популяции с возрастной структурной при наличии функциональных ограничений. Из формул (13), (23) следует, что в задачах (5), (7), (8) и (19)-(21) на неко-

тором заключительном отрезке времени Т'], 0 < < Т вся популяция облавливается с максимальной интенсивностью т) = 11. В реальных условиях использование такой стратегии промысла может привести к снижению численности (биомассы) родителей ниже некоторого критического уровня ^о, за которым возрастает вероятность появления неурожайных поколений. Последствиями этого могут быть продолжительная депрессия популяции и утрата ею промыслового значения, что недопустимо. Необходимо поддержание популяции на достаточно высоком уровне продуктивности в течение всего периода эксплуатации. По этой причине привлекаются функциональные ограничения

Sok

т

- j ¡3k(t)x(tk,t) dr < 0, к = 1,... ,N, 0 < <1 < ... < tN < T. (24)

Здесь (Зк(т), к — 1,... ,N — кусочно-непрерывные на [0; Т] функции. В частности, при /3*(т) = a(tk,T) получаем ограничения снизу на численность (биомассу) производителей популяции, при /Зк(т) = 1 — ограничения на общую численность. Моменты времени tk соответствут началу календарного года или сроков нереста. Рассмотрен случай u(t, т) — д(т)ь({), где д(т) — заданная функция улавливаемости. Задача ОЭ популяции с возрастной структурой при наличии функциональных ограничений принимает вид:

дх с) х

Tt + frr = f{t'Т'х) ~ ТУ>

т (25)

х(0, т) = х0(т), x(t, 0) = Ф(я), s = f a(t, r)x{t, т) dr,

о

т f

I = - J J F0{t, t,x,v) dtdr inf, (26)

о 0

т T

Ik = Sok-Jf ¡3k{r)x(t, r)5(t - tk) dt dr < 0, о 0

= 1,...,JV, 0 < il < ... < ¿JV < T,

(27)

0 < < и. (28)

В формуле (27) 6(Ь — — дельта-функция Дирака.

Оптимальное управление ищется в классе кусочно-непрерывных на [0; Т] функций с конечным числом точек разрыва и со значениями, удовлетворяющими условию (28). Функции /, Ф, Ро удовлетворяют условиям теоремы 3.2 из подпункта 3.1.3. Предполагается, что для любого допустимого управления задача (25) имеет единственное непрерывное

решение. Нами показано, что если допустимое управление является решением задачи (25)-(28), то с точностью до величин второго порядка выполняются неравенства

М) = ¡¡(фо-x-q-Av- AVFÀ dr > О,

G ' (29)

Ik + AIk = Ik + l¡ipk-x-q-AvdtdT<0, А = 1,...,ЛГ. '

G

где фа, fio, фь, Цк удовлетворяют системе уравнений:

^ + ^ = о + ^ ~ ff ~ «>«, МТ, г) = о, Mt, г) = 0;

dfJ-o n íL л\ , г. г,\ ^(У^'Т))

— = 0, ^^(t.o).-^-.

(30)

it+ = - + ^kqv ~ ^ ~tk) ~ фк<"т'r) = ^'f *= 0; — = 0, №(í|r)=^(í>0).-^-.

(31)

В подпункте 3.2.1 исследуется общая задача ОЭ биологического сообщества популяций с возрастной структурой:

■■■J xLjr, 0®n(<, 0 df) - Ui(f, r)®i(t, r), (t, r) G G = [0; T] x [0; Í]; 0

f

®i(0,T) = xí0(t), t G [0,f]; z¿(í,0) = fai(t,ç)xi(t,e) d£, t 6 [0;T];

о

г = 1,... ,n.

(32)

t f n

I =-F = - J У ¿ Fw(í, r, иг, a:,-) dtdr -»■ inf, (33) 0 0 i=1

йбД £> = {u = (iti,..., un) : 0 < Ui(t, T) <U¡, i = 1,..., n}. (34)

Здесь функции u,-(í,r) — управляющие воздействия, характеризующие интенсивность изъятия из сообщества особей г-ro вида с возрастом т в момент времени t, коэффициенты Xik описывают внутри- и межвидовые взаимоотношения. Функции a¡(t, т), i = 1,..., п кусочно-непрерывны на G, функции Xik (T>0> j = 1,... ,п, к = 1,...,m¿ кусочно-непрерывны на множестве {т £ [0;т], £ G [0;т]}, и z¿o(t) € С[0,т], г = 1, ...,п. Функции fi(t,T,xh...,x„, J'n,..., J'nm ), г = 1, ...,п непрерывны по

Ь € [О, Г], т £ [0, г] и дважды непрерывно дифференцируемы по остальным аргументам при х; 6 [0,+оо), € (—оо,+оо), а функции ^01) г — 1, • • • | п, характеризующие доход от изъятия г-го вида в сообществе — непрерывны в области по первым двум аргументам и дважды непрерывно дифференцируемы по остальным аргументам при х, й 6 Л"-Функционал (33) выражает с точностью до знака доход от промысла в сообществе.

Допустимые управления й(Ь,т) = т),..., и„(£, г)) принадлежат

классу кусочно-непрерывных на С вектор-функций с конечным числом линий разрыва и со значениями из области И. Предполагается, что для любого заданного допустимого управления задача (32) имеет единственное непрерывное решение. Обозначим для краткости

т т

4 = = / х4(т,о • Д4 = / •

о о

Гамильтониан задачи имеет вид:

, Л г

¿=1|-

Здесь функции ф^ г = 1,..., п удовлетворяют системе уравнений:

дф{ дф{ А/3/,- V ад ,т

- Е Е ¡Ф&лЩ^ЫЬт) ф({Т, т) = 0, ф^т) = о. ¿=1Ь=10 ОУЦ.

(35)

Допустимое управление т) удовлетворяет условию максимума, если Н(г,т,х{1,т),ф^,т),й{1,т)) = (36)

где х,ф — решение задач (32), (35), соответствующее управлению г).

Теорема 3.3 Если управление г) доставляет минимум функционалу (33), то оно удовлетворяет условию максимума (36).

В подпункте 3.2.2 рассматривается задача ОЭ биологического сообщества популяций с возрастной структурой в равновесном режиме. Пусть в системе уравнений (32) функции /¿,«1 не зависят от времени. Стационарное распределение численностей популяций в сообществе, если оно существует, описывается системой уравнений:

¿х- * *

~т~~ = Мт>хЬ-,1х'„тп(т,£)хп(£)с1£) - ЩХ{] ®4(0) = ат о о

Пусть выполнены предположения подпункта 3.2.1 относительно функций задачи. Требуется минимизировать функционал

I = -F = - f Foi(t, щ, xi) dt inf (38)

о i=1

при условиях (37) и ограничениях на управление

й(т) € D, D = {и= (щ,...,«„): О < и4(т) < Щ, i = 1,...,п}. (39)

Допустимое управление й(т) принадлежит классу кусочно-непрерывных на [0, т] вектор-функций с конечным числом точек разрыва и со значениями из области D. Предполагается, что при любом допустимом й задача (37) имеет единственное непрерывное решение. Составим гамильтониан:

Я (г, х(т),ф(т),й(т)) - Xj щ, х{) + fa (ji - щх- ща{ц ,

где функции ф^т), 1и{т) удовлетворяют сопряженной системе уравнений:

ДД,и, dF0

-ЕЁ/ ФЛ0дтХ1(0'Йт;'^Ю'---}х1Л rK, A{r) = 0;

j=1fc=lо О J4

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление определяется из условия максимума гамильтониана

щ{т) = arg max Я(т, x,tp,v), i — 1,..., п.

0<Vi<Ui

В частном случае Foi = г = 1,..., п оптимальное управление

выражается формулой:

Г 0, ф{(т) > а{т), щ(т) = < произвольное г;,-(г), 0 < «¿(т) < ?/,-, ф{(т) = Cj(r), (40) { Uu гр^т) < ф).

В четвертом разделе рассматриваются приближенные методы решения задач, рассмотренных во втором и третьем разделах.

В пункте 4.1 для численного решения уравнений динамики возрастного состава биологической популяции (5) предлагается итерационный метод, базирующийся на методе характеристик. Вдоль характеристик,

определяемых уравнением ^ = 1, уравнение (5) превращается в обыкновенное дифференциальное ^ = /1 г', г')), /1 = / — их, где г' — точка на характеристике. Численное решение задачи Коши для этого дифференциального уравнения ищется явным методом Рунге-Кутта второго порядка (Хайрер и др., 1990). Решение задачи (5) ищется по следующей схеме:

1. В области С? = [0;Т] х [0; т] вводится равномерная сетка с шагом Л по времени и возрасту.

2. Сначала находятся значения х\ = в узлах сетки с индексами, удовлетворяющими условию г < У :

х\ = (/1(^-1, ^Г/НМ^) Т], х^+Ь'/^и-и г,-_1, я-Гг)))>

при этом в качестве начальных значений принимаются Хц = хо(г^).

3. Затем ищется решение в узлах сетки с индексами I > Для каждого г > 1 задаётся первое приближение для внутреннекраевого условия

N2-1 ,

= Ф(5), 5 = * = £ ? № + +1) , ¿ = 1, АГ:.

к—0

4. Внутреннекраевое условие корректируется:

(®?) = Ф(в))в = ^|» = 11..,ЛГ1. (41)

5. Выполняется проверка условия:

|Ф(в)-Ф(в)|<С> (42)

где б — достаточно малое число. Если оно не выполнено, то принимается 5 = яи осуществляется переход к шагу 4.

6. Если условие (42) выполнено, то для всех к > 1, таких что г + к < N1, к < N2, находятся значения

хик = + \ ' (МЬ+к-1, 4-1,

+Ь{и+к, Тк, х{+1-1 + Л • -к-1, Тк-и 1))) •

Для большинства популяций т) = 0 при 0 < т < £(£), £(<) > 0, так как новорожденные особи не сразу готовы к воспроизводству. Это значит, что а® = 0, и метод значительно упрощается, так как шаги 3— 5 заменяются простым вычислением решения в крайнем левом узле по известному решению в остальных узлах на этом слое по формуле (41).

В пункте 4.2 предлагается итерационный численный метод решения систем уравнений модели сообщества популяций с возрастной структурой. В его основе лежит указанный метод характеристик.

В пункте 4.3 построены алгоритмы поиска оптимальных решений на основе метода условного градиента (ЧУГ) (Васильев, 1981). Приведем алгоритм приближенного решения задачи ОЭ биологической популяции (5), (7), (8), в основе которого лежит метод ЧУГ. Пусть известно некоторое текущее приближение управления и3(Ь,т). С заданной функцией и* (t, т) решается задача (5) и определяется текущее значение функционала (7). Формулируется и решается задача определения малой вариации Д«,+1 из условий

т т

dl С С д

min SI = mini —, Au) = min / / Ди • (xJ • ——-) dt dr. (43) Ли Ди \ди J Au J J v du' v '

о о

Auj+1e AUj+1(t,r), (44)

где x^ipi — решения задач (5) и (10) при заданном u3(t, г). Из (44) должно следовать, что u3+1(t, т) = u3(t, т) + AuJ+1 £ D. На каждом шаге процесса решение задачи (43)-(44) позволяет осуществить переход к управлению uJ+1(i, г) 6 D, при этом (43) обеспечивает максимальное понижение целевого функционала I.

При конечномерной апроксимации вводится равномерная по времени и возрасту сетка. В качестве искомого управления u(t, т) в расчётах выступает кусочно-постоянная функция. Вариация управления ищется в том же классе кусочно-постоянных функций. Задача определения малых возмущений (AuJ+ ) ^ сводится к задаче линейного программирования

ДГ2_1 ti+l Т*+1

i=О *=о I ik

< (Д^1)^ < (А+)У. (46)

Числа (Д-)., I, (Д+). I2 ограничивают значения управления uHt,r) + 1+2

Дu3+1 пределами множества D, и должны быть достаточно малыми, чтобы обеспечить достаточную точность формулы (43). Итерационный процесс продолжается, пока не выполняется условие

\Ij+1-Ij\<e, или ^ <£,

где Ij — значение функционала на j-он итерации, е — некоторое заданное малое положительное число. Приближенное решение задач подпунктов 3.1.2, 3.1.3, 3.2.1, 3.2.2 также осуществляется по указанному алгоритму.

В пункте 4.4 предлагается численный метод решения задачи ОЭ при наличии функциональных ограничений. Здесь задача линейного программирования (45)-(46) дополняется неравенствами, возникающими при линеаризации функциональных ограничений, и для её решения применяется симплекс-метод.

В пункте 4.5 представлены примеры численного моделирования.

В подпункте 4.5.1 приведены модельные расчеты оптимальных режимов для серии задач ОЭ популяции трески (Gadus macrocephalus) юго-западной части Берингова моря (трески Карагинского и Олютор-ского заливов) в течение Т = 50 лет с начала 2005 года. Сначала исследуется задача (5), (7), (8). Максимальный возраст рыб принят равным т = 10 лет. Функция / в уравнении выживаемости предполагается равной f(t, т, х) ■= —тпх, где тп(т) — коэффициент элиминации от естественных причин в возрасте т. Функция Ф(з) в уравнении рождаемости имеет вид (Рикер, 1979): Ф(й) = ase~bs (Рикер, 1979), где s — биомасса родителей. Коэффициент рождаемости имеет вид: а(т) ~ ги(т)(3(т), где w(t) — масса, /3(т) — доля половозрелых рыб. Функции m,w,(3 определены по данным промысловой статистики (Приложение 1) методом наименьших квадратов. Начальное распределение численности ж0(т) и коэффициенты Рикера о, b найдены методом наименьших квадратов из оценок биомассы родителей и численности рыб нулевого возраста, полученных при помощи процедуры виртуально-популяционного анализа (Gulland, 1969). Функция стоимости выбрана в виде:

с(т) = со(т)ш(т), со(т) = | ^

и означает, что промысловую значимость имеют рыбы старше двух лет. Функция дохода от изъятия имеет вид (12), а функционал (6) выражает биомассу имеющего промысловую значимость улова за Т=50 лет. Допустимые значения интенсивности промысла принадлежат отрезку [0; 1].

Оптимальное управление в задаче ОЭ трески юго-западной части Берингова моря имеет кусочно-постоянный вид: u(t, т) = 0 в заштрихованной области (рис. 1) и u(t, т) = 1 год-1 в области, свободной от штриховки. Оптимальная эксплуатация позволит за 50 лет изъять 1291495.59 тонн трески. Сначала на отрезке времени 0 < t < 11.8 запас выводится на некоторый равновесный режим, обеспечивающий максимальный устойчивый улов при оптимальной равновесной интенсивности промысла. Это — так называемый «магистральный» режим, при котором изымаются только рыбы с возрастом 5.21 лет и старше. Ему соответствует интервал 11.8 < t < 42.3. На отрезке 42.3 < t < 48 осуществляется

переход от «магистрального» режима к периоду «хищнической» эксплуатации запаса, который имеет место при 48 < 4 < 50. При «хищнической» эксплуатации с максимальной интенсивностью облавливаются все рыбы промысловой части запаса (г > 2). Численные эксперименты показывают, что при Т —> оо будет преобладать «магистральный» равновесный режим, а при малых Т — «хищническая» эксплуатация.

Рис. 1. Интенсивность промысла (слева, год-1) и плотность биомассы г = ых (справа, тонн х год-1) трески при оптимальной эксплуатации.

При оптимальной эксплуатации в равновесном режиме с максимальной интенсивностью V = 1 год-1 изымаются особи старше т* — 5.21 лет, а рыбы моложе т* = 5.21 лет вообще не подвергаются промыслу (рис. 2). Величина максимального равновесного годового улова трески

Рис. 2. Интенсивность промысла (слева, год-1) и плотность биомассы (справа, тонн х год-1) трески при оптимальной эксплуатации в равновесном режиме.

Далее рассматривается задача ОЭ с заданной функцией улавливаемое™ (19)-(21) и функцией дохода (12). Так как коэффициент улавли-ваемости определить не удалось, воспользовались возрастным коэффициентом селективности (избирательности) орудий лова р(т) при современном состоянии промысла трески. Интенсивность промысла имеет вид и{Ь, т) = р(т)г>(£). Управлением V в этой задаче выступает интенсивность промысла рыб с возрастом, соответствующим максимальной (р, = 1) селективности орудий лова.

Рис. 3. Оптимальная интенсивность промысла (слева, год-1) и биомасса производителей (справа, тонн) трески в задаче ОЭ с заданной функцией возрастной селективности.

Расчёты показывают (рис. 3), что в задаче ОЭ с заданной функцией возрастной селективности также проявляются ассимптотические «магистральные» свойства. «Магистральному» режиму соответствует «особое» управление и(£) — 0.3265год-1. Для всех £ из итервала, на котором

т

действует «магистральный» режим, выполняется / дх(ф — с)с1т = 0, по-

о

этому особое управление не может быть однозначно определено из условия (23). За промежуток времени от 0 до и 11.2 запас выводится на «магистральный» режим, продолжительное время (до £ ~ 38.5) удерживается на «магистрали» управлением «(£) = 0.3265 год-1. На «магистрали» ежегодно (до £ и 38.5) изымается Т*1 = 20335.13 тонн. Затем наступает период «хищнической» эксплуатации с максимальной интенсивностью промысла. При современной селективности промысла оптимальный режим эксплуатации позволит за 50 лет выловить 1003621.87 тонн трески.

В реальных условиях недопустимо такое снижение биомассы производителей трески (рис. 3), связанное с «хищнической» эксплуатацией запаса. В этой связи рассмотрена задача оптимальной эксплуатации трески с функциональными ограничениями (25)-(28). Функциональными ограничениями (24) являются требования, чтобы на конец каждого календарного года, начиная с 41-го, т.е. при ^ = 40 + к, к = 1,..., 10, биомасса родителей й(£) была не меньше, чем 501Ь = & = 40000 тонн.

Рис. 4 демонстрирует приближенное решение задачи ОЭ трески юго-западной части Берингова моря с ограничениями на величину биомассы производителей. Относительная погрешность ограничений к — 1,..., 10 не превышает величины £1 = 10_3. На отрезке времени 0 < £ < 38.5 решения задач с ограничениями и без ограничений (рис. 3) согласуются. Согласно оптимальной стратегии промысла в задаче с функциональными ограничениями, за 50 лет эксплуатации изымается 974027.42 тонн трески, при этом в моменты времени £ = 41,42, ...,50 биомасса производителей составляет не менее 40 тыс. тонн.

к

-J

Рис. 4. Оптимальная интенсивность промысла (слева, год-1) и биомасса производителей (справа, тонн) трески в задаче ОЭ с функциональными ограничениями.

В подпункте 4.5.2 проведено численное исследование задачи ОЭ с функциональными ограничениями (25)-(28) на примере с данными по запасу восточноохотоморского минтая. Возраст рыб изменяется в пределах от 0 до т = 11 лет, начало отсчета t = 0 соответствует началу 2007 года, период эксплуатации Т равен 3 годам. Плотность распределения численности описывается уравнением (25), / = —тх, Ф(я) = asexp(—bs), где s — биомасса производителей, а(т) = ги(т)/3(т), w — масса, ß — доля половозрелых рыб. Функции w, тп, ß, коэффициенты Рикера а, Ь, улав-ливаемость q(r) и начальная форма распределения численности xq(t) получены по данным промысловой статистики (Приложение 2). Функция стоимости имеет вид c(t, т) = w(t), значение функционала (26) равно биомассе выловленных рыб с возрастом от 0 до 11 лет за три года. В качестве U взяли максимальное за всю историю промысла значение промыслового усилия [/=46.3 тыс.судосуток в год. Биомасса родителей на конец каждого календарного года s{tk),tk=k, k=1,2,3 из заданного промежутка времени Т должна быть не ниже значения на конец 2006 года: s(0) = 1770.76 тыс.тонн.

Рис. 5. Биомасса родителей (слева, тыс.тонн) и интенсивность промыслового усилия (справа, год-1) при оптимальной эксплуатации минтая.

Численное решение задачи ОЭ минтая представлено на рис. 5. Значение целевого функционала (26) составило I = —1284.455. Функциональные ограничения (27) соблюдаются с относительной погрешностью

< 0.5 • 10 3. Каждому к-иу календарному году из заданного промежутка времени Т соответствует отрезок времени — 1, к = 1,2,3. На каждом таком отрезке времени запас сначала эксплуатируется с максимальной интенсивностью, затем изъятие прекращается, чтобы к моменту времени £ = биомасса производителей восстановилась до уровня й(0). При условии сохранения биомассы производителей минтая к концу каждого года на уровне не ниже 1770.76 тыс.тонн, за 3 года из запаса можно изъять 1284.455 тыс.тонн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследованы следующие задачи.

1. Задача оптимальной эксплуатации в непрерывной модели популяции с возрастной структурой, в том числе в стационарном состоянии и с учетом функциональных ограничений.

2. Задача оптимальной эксплуатации в непрерывной модели сообщества биологических популяций с возрастной структурой.

Выяснены условия однозначной разрешимости системы уравнений непрерывной модели популяции с возрастной структурой. Предложена непрерывная модель сообщества биологических популяций с возрастной структурой, учитывающая внутри- и межвидовые конкурентные взаимоотношения и отношения «хищник-жертва». На примере запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая показана принципиальная возможность использования непрерывной модели динамики возрастной структуры популяции для моделирования различных оптимальных режимов эксплуатации морских промысловых видов рыб дальневосточных морей. В приведенных расчетах проявляются магистральные свойства оптимальных решений, аналогичные таковым свойствам в моделях динамики однородных популяций.

Основные результаты проведенных исследований:

1. Установлены необходимые условия оптимальности управления в задачах оптимальной эксплуатации популяций с возрастной структурой и их сообществ.

2. Осуществлено построение алгоритмов численного решения систем уравнений и задач оптимизации в непрерывных моделях популяций с возрастной структурой и их сообществ.

3. На основе непрерывной модели динамики возрастной структуры найдены оптимальные стратегии изъятия для запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая.

Опубликованные работы по теме диссертации

1. Ильин О.И. К вопросу об оптимальной эксплуатации сообщества пелагических рыб западной части Берингова моря. Математическое моделирование и информационные технологии в исследованиях биоресурсов мирового океана: Тезисы докладов. Материалы отраслевого семинара. Владивосток. ТИНРО-центр. 2004.

2. Ильин О.И. Об одной задаче оптимального управления биологическим сообществом // Сибирский журнал индустриальной математики, т. 9, № 4 (28), 2006. С. 75-81.

3. Ильин О.И. Об оптимальной эксплуатации популяции рыб с возрастной структурой // Сибирский журнал индустриальной математики, т. 10, № 3 (31), 2007. С. 43-57.

4. Ильин О. И. Об оптимальной эксплуатации популяции несколькими типами орудий лова // Сб. науч. тр. Камчат. НИИ рыб. хоз-ва и океанографии. Вып. 9. 2007. с.258-260.

5. Ильин О. И. Об одном методе оценки запасов и оптимального вылова популяции с возрастной структурой // Математическое моделирование и информационные технологии в исследованиях биоресурсов мирового океана: Тезисы докладов. Материалы отраслевого семинара. Владивосток. ОИТ ТИНРО-центра. 2007. с. 13-16.

6. Ильин О. И. О численном решении задачи оптимальной эксплуатации промысловой популяции биологических объектов. Тезисы докладов математической школы-семинара имени академика Е.В.Золотова. — Владивосток, 2007. с.70-71.

7. Ильин О. И. Об одном методе оценки запасов и прогноза ОДУ морских промысловых рыб на основе непрерывной модели динамики возрастной структуры популяции // Сб. науч. тр. Камчат. НИИ рыб. хоз-ва и океанографии. Вып. 13. 2009. с.27-34.

8. Компьютерная программа, реализующая алгоритм численного решения задачи оптимальной эксплуатации популяции для модели МакКендрика-Фон Фёрстера (ПбЬСогЛго!) / Ильин О. И. (Находится на регистрации в Федеральном государственном учреждении «Федеральный институт промышленной собственности Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам»).

Введение

1. Оптимизация в моделях биологических систем

1.1 Модели популяций и сообществ.

Актуальность темы. Исследование любой экосистемы в настоящее время невозможно без учета воздействия на пес человека. Анализ антропогенного воздействия разумно проводить с использованием математического моделирования, так как это не требует больших материальных затрат и дополнительного вторжения в природную среду Одной из основных проблем экологии является проблема рационального использования биологических ресурсов. Настоящая работа посвящена моделированию популяций и сообществ морских промысловых рыб как объектов, непосредственно связанных с деятельностью человека.

Задачи рационального использования биологических популяций и сообществ приводят к задачам оптимального управления. Оптимальное управление предусматривает выбор такого воздействия на объект управления (биологическую популяцию), которое доставляло бы максимум некоторому функционалу, выражающему пользу для человека — в простейшем случае это может быть суммарный вылов рыбы (или доход от пего) за заданный промежуток времени.

Промысел, обладая определенной избирательной способностью, вызывает не только количественные, но и качественные изменения в эксплуатируемой популяции. Кроме того, особи разного возраста обладают различными характеристиками размножения и гибели и вносят различный вклад в пополнение популяции. Наконец, многие экономические характеристики особей, такие, как масса рыбы и т.д., в большой степени зависят от их возраста. В этой связи особи разного возраста могут вносить различный вклад в оптимизируемый функционал. Для понимания механизмов функционирования и решения вопросов рационального использования биологических популяций необходимо построение адекватной математической модели, позволяющей получить детальное описание динамики возрастного состава изучаемого вида. Такой моделью может служить непрерывная модель динамики возрастной структуры биологической популяции. Традиционно при решении задач оптимальной эксплуатации (оптимального сбора урожая) в моделях такого типа ограничиваются исследованием задачи оптимизации равновесного улова. Однако, нужды практики требуют решения задач оптимальной эксплуатации в динамике, в том числе при условии сохранения популяции на достаточно высоком уровне продуктивности и поддержания её на этом уровне в течение всего периода эксплуатации. Исследование указанных задач актуально не только с практической, но и с теоретической точек зрения.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является исследование задач оптимального управления биологическими ресурсами в рамках модели эксплуатируемой популяции с непрерывными временем и возрастом.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи.

1. Выяснение условий существования и единственности решения системы уравнений модели биологической популяции с непрерывными временем и возрастом.

2. Установление необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления.

3. Построение алгоритмов численного решения систем уравнений моделей и задач оптимизации.

4. Реализация полученных результатов на примерах запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая.

Научная новизна, полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

1. Выяснены условия однозначной разрешимости системы уравнений непрерывной модели биологической популяции с возрастной структурой.

2. Установлены необходимые условия оптимальности управления в задачах оптимальной эксплуатации биологических популяций с возрастной структурой и их сообществ.

3. Осуществлено построение алгоритмов численного решения систем уравнений и задач оптимизации в непрерывных моделях биологических популяций и сообществ с возрастной структурой.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносится:

1. Для серии задач оптимального управления в непрерывных моделях популяций с возрастной структурой установлены необходимые условия оптимальности управления, построены вычислительные алгоритмы и проведено численное исследование на примерах с данными по популяциям дальневосточных рыб.

Практическая значимость. Результаты проведенного исследования могут служить основой при оценивании состояния запасов и прогнозировании оптимальной величины изъятия морских промысловых организмов.

Достоверность научных положений и выводов, полученных в работе, является следствием использования классических математических методов построения моделей и их анализа: методов оптимизации, оптимального управления; методов численного анализа.

Апробация результатов работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени Е.В. Золотова (Владивосток, 2007), на семинарах «Математическое моделирование и информационные технологии в исследованиях биоресурсов Мирового океана» (Владивосток, ТИНРО-центр, 2003, 2007), на отчётных сессиях КамчатНИРО (Петропавловск-Камчатский, 2006, 2008) и ТИНРО-центра (Владивосток, ТИНРО-центр, 2005).

Основные результаты проведенных исследований:

1. Установлены необходимые условия оптимальности управления в задачах оптимальной эксплуатации популяций с возрастной структурой и их сообществ.

2. Осуществлено построение алгоритмов численного решения систем уравнений и задач оптимизации в непрерывных моделях популяций с возрастной структурой и их сообществ.

3. На основе непрерывной модели динамики возрастной структуры найдены оптимальные стратегии изъятия для запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая.

Заключение

В диссертационной работе исследованы следующие задачи.

1. Задача оптимальной эксплуатации в непрерывной модели популяции с возрастной структурой, в том числе в стационарном состоянии и с учетом функциональных ограничений.

2. Задача оптимальной эксплуатации в непрерывной модели сообщества биологических популяций с возрастной структурой.

Выяснены условия однозначной разрешимости системы уравнений непрерывной модели популяции с возрастной структурой. Предложена непрерывная модель сообщества биологических популяций с возрастной структурой, учитывающая внутри- и межвидовые конкурентные взаимоотношения и отношения «хищник-жертва». На примере запасов трески юго-западной части Берингова моря и восточноохотоморского минтая показана принципиальная возможность использования непрерывной модели динамики возрастной структуры популяции для моделирования различных оптимальных режимов эксплуатации морских промысловых видов рыб дальневосточных морей. В приведенных расчетах проявляются магистральные свойства оптимальных решений, аналогичные таковым свойствам в моделях динамики однородных популяций.

1. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Гл. редакция физ.-мат. лит-ры изд-ва «Наука», 1978. 352 с.

2. Malthus Т. R. An Essay on the Principle of Population, Johnson, London, 1798. (Русский перевод: Мальтус Т. Опыт закона о народонаселении. СПб., 1908).

3. Verhulst P. F. Recherches mathematiques sur la loi d'accroissement de la population, Nuov. Mem. Acad. Roy. Bruxelles. Vol. 18. P. 3—38.

4. Hutchinson G.E. Circular causal systems in Ecology. — Ann. N.Y. Acad. Sci., 1948. V.50. P. 221-246.

5. Недорезов Л. В., Утюппн Ю. В. Об одной модели системы «хищник — жертва» с запаздыванием // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 6. № 4 (16). 2003. С. 67-75.

6. Бабский В. Г., Мышкис А. Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // Марри Дж. Нелппсйные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

7. Cushing J. М. Time delays in single species growth models // J. Math. Biol. 1977 V.4. № 3. P. 257-264.

8. Рикер У. E. Методы оценки и интерпретация биологических показателей популяций рыб. М., Пищевая промышленность, 1979. 408 с.

9. May R. М. Biological populations obeying difference equations: Stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biol. 1975. V. 51. P. 511-524.

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

11. Kostitzin V.A. La Biologie mathematiquc, A. Colin, Paris. 1937.

12. Kostitzin V.A. Evolution de l'atmosphere, Hermann efc C, Paris. 1935.

13. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.

14. Lotka A.J. Elements of mathematical biology. N.Y.: Dower, 1956. 345 p.

15. Колмогоров A. H. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики, вып. 25, М.: Наука, 1972. с.100-106.

16. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем // Пробл. космич. биологии. М.: Наука, 1972. Т. 20. 160 с.

17. Шапиро А. П. Моделирование биологических сообществ. Владивосток. 1975. 170 с.

18. Шапиро А. П. Математические модели конкуренции // Управление и информация. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1974. Вып. 10. с.5-75.

19. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

20. Уатт К.Е. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971. 498 с.

21. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. JL: Наука, 1971. 196 с.

22. May R. М. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: Univ. press, 1974.

23. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативиые структуры и катастрофы в экологиии. — М.: Наука. Гл. редакция физ.-мат. лит., 1987. 368 с.

24. Тузинкевич А.В. К вопросу о возникновении пятнистости в пространственном распределении двух конкурирующих видов // Мат. физика и мат. моделирование в экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С. 64-76.

25. Суханов В.В. Об автоколебаниях и волнах в структуре древостоев тем-нохвойных лесов // Мат. физика и мат. моделирование в экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С. 47-64.

26. Хаделер К.П. Перенос, реакция и запаздывание в математической биологии и обратная задача для бегущих фронтов // Современная математика. Фундаментальные направления., 2006. Т. 17(2006). С. 57-77.

27. Тютюнов Ю.В., Сапухина Н.Ю., Моргулис А.Б., Говорухин В.Н. Математическая модель активных миграций как стратегии питания в трофических сообществах // Журн. общ. биологии. Т. 62. №3. 2001, С. 253 -262.

28. Тютюнов Ю.В., Сапухина Н.Ю., Сенина И.Н., Ардити Р. Явная модель поискового поведения хищника // Журн. общ. биологии, Т.63. №2. 2002. С. 137-148.

29. Гурли С.А., Дж. В.-Х. Coy, Дж. X. By Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т.1 С. 84-120.

30. Cai-Lin X., Zi-Zhen L. Effect of diffusion and spatially varying predation risk on the dynamics and equilibrium density of a predator-prey system // J. Theor. Biol., 2002. V. 219. p. 73 82.

31. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Полиномиальные модели популяций с автотаксисом: решения «бегущие волны» // Математическое моделирование. 2000. Т.12. т. С. 78-93.

32. Базыкин А. Д., Хибник А.И. Билокальная модель диссипативной структуры // Биофизика, 1982. Т. 27. Вып. 1. с. 132-136.

33. Разжевайкин В. Н. О возникновении диссипативных структур в системе типа «хищиик-жертва» // Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький, 1981. С. 243-249.

34. Абакумов А.И. Математическое моделирование популяционной динамики с учетом адаптивного поведения особей // Журнал общей биологии. Т.34. № 3. 2000. С. 145-156.

35. Абакумов А.И. Казакова М. Г. Пространственная модель сообщества видов // Дальневосточный математический журнал. Т.З. №.1. 2003. С. 102107.

36. Ильичев В. Г. Механизмы адаптации параметров в моделях экологии // Матем. моделирование, Т. 16. № 2. 2004. С. 54-68.

37. Kendal D. Stochastic process and population growth // J.Roy. Statist. Soc. 1949. №11. P.230-264.

38. Карев Г.П. Об интегральном представлении параметров стохастических моделей популяций // Кибернетические модели в биологии. Новосибирск. 1974.

39. Пичугин Б. Ю. Стохастическая модель изолированной популяции с сезонным размножением и самолимитированием // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 6. № 4 (16). 2003. С. 75-81.

40. Клоков С.А., Топчий В.А. Оценки среднего времени фиксации в популяциях постоянного объема // Сибирский математический журнал. Т.47. № 6. 2006. С. 1275-1288.

41. Алексеев В.В., Костин И.К. Устойчивость простейших биоценозов к случайным внешним воздействиям // Биологические системы в земледелии и лесоводстве. М.: Наука. 1974. С.41-48.

42. Сидорин А.П., Свирежев Ю.М. Динамика системы «хищник-жертва» в условиях случайных возмущений // Изв. АН СССР. Сер. биол. 1980. № 4. С. 573-579.

43. Levins R. The effect of random variations of different types on population growth // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1969. V.64. №4. P. 1061-1065.

44. Абакумов А.И. Неопределенность данных в математической экологии // Дальневосточный математический журнал. 2000. Т. 1. № 1. С. 38-42.

45. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р. А. Полу-эктова. М.: Наука, 1974. 456 с.

46. Leslie Р.Н. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. 1945. V. 33 № 3. P. 184-212.

47. Скалецкая E. И., Фрисман E. Я., Шапиро А. П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М. Наука., 1979. 165 с.

48. Логофет Д.О., Клочкова И.Н. Математика модели Лефкови-ча:репродуктивный потенциал и ассимптотические циклы // Математическое моделирование. Т. 14. №10. 2002. С. 116-126.

49. Логофет Д.О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами // Математическое моделирование. Т.14, №12. 2002. С.11-22.

50. Von Foerster Н. Some remarks on changing populations // The Kinetics of cellular proliferation. N.Y., 1959. P.382-407.

51. Sinko J.W., Streifer W. A new model for age-sized structure for population // Ecology. 1967. V.48, P.910-918.

52. Голубятников В. П., Лихошвай В. А. Одномерная модель развития популяции земноводных // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 5. № 2 (10). 2002. С. 53-60.

53. Городилова Л.И., Пак Т.В. Качественное исследование некоторых частных случаев математической модели динамики нерестовой популяции. Тезисы докладов математической школы-семинара имени акдемика Е.В.Золотова. — Владивосток, 2007, с.60-61.

54. Banks Н.Т., Kappel F., Wang С. Weak solutions and differentiability for size-structured population models // Int. Ser. Numer. Math. 1991. V.100. P.35-50.

55. Lotka A.J., Sharpe F. R. A problem of age distribution // Philosophical Magazine, 1911. V.21. P.435-438.

56. Gyori I. Some mathematical aspects of modelling cell population dynamics // Comput. Math. Appl. 1990. V.20. №4-6. P.127-138.

57. Перцев H.B. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций // Вестник Омского университета. 1996. №1. с. 24-26.

58. Пичугина А. Н. Поведение решений нелинейной модели Шарпа-Лотки // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.4. № 3(11). 2002. С.146-154.

59. Пичугина А. Н. Иптегродиффереициальная модель популяции, подверженной воздействию вредных веществ // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 7. № 4(20). 2004. С. 130-140.

60. Тарасов И.А., Перцев Н.В. Анализ решений интегро-дифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций // Вестник Омского университета. 2003. Вып. 2. с. 13-15.

61. Абакумов А.И., Кольев Н.В., Максименко В.П., Горр С.В Матричный метод оценки запаса и прогнозирования вылова популяций морских организмов // Вопросы ихтиологии. 1994. Т.34. №3. с.400-407.

62. Абакумов А.И. Обобщение математических методов оценки запаса для промысловых популяций. Препринт / Интститут прикладной математики ДВО АН СССР. Владивосток. 1991. 11 с.

63. Перцев Н.В. Исследование решений интегральной модели Лотки-Вольтерра // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.2. № 2(4). 1999. С. 153-167.

64. Перцев Н.В., Пичугина А.Н., Пичугин Б.Ю. Поведение решений дисси-пативной интегральной модели Лотки-Вольтерра // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.6. № 2(14). 2003. С. 95-106.

65. Математические модели водных экосистем / Под ред. Ю.М. Свирежева. М.: ВЦ АН СССР, 1984. 148 с.

66. Меншуткин В.В. Об оптимальной стратегии рыболовства // Вопр. ихтиологии. 1966. Т. 6, Вып. I. С. 3-13.

67. Крогиус Ф.В., Крохин Б.М., Меншуткин В.В. Сообщество пелагических рыб озера Дальнего. Опыт кибернетического моделирования. Ленинград: Наука, 1969. 86 с.

68. Кучер А.И. Математическое моделирование рыбопродуктивности водных экосистем на примере озера Ханка: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: Ин-т биофизики СО АН СССР, 1991. 21 с.

69. Засосов А. В. Динамика численности промысловых рыб. М., Пищевая промышленность, 1976. 311 с.

70. Hilborn R., Walters C. J. Quantitative Fisheries Stock Assessment: Choice, Dynamics Sz Uncertainty // Chapman and Hall, New York. 1992. 570 p.

71. Максименко В. П., Антонов Н. П. Количественные методы оценки рыбных запасов / КамчатНИРО. Петропавловск-Камчатский. 2003. 256 с.

72. Баранов Ф.И. К вопросу о биологических основаниях рыбного хозяйства // Изв. отдела рыбоводства и научи.-промысл. исслед. Т.1. Вып.1. С.84 -128.

73. Бивертон Р., Холт С. Динамика численности промысловых рыб. М., Пищевая промышленность, 1969. 248 с.

74. Gulland J. A. Manual of methods for fish assessment. Pt.l // Fish population analysis. FAO. Nan., Fish.Sci. 1969. №4. P. 1-154.

75. Pope J. G., Shepherd J. G. A Comparison of the performance of various methods for tuning VPA's using effort data // J. Cons. Intern. Explor. Mer. 1985. v.42. p. 129 151.

76. Pope J. G., Shepherd J. G. A simple method for consistent interpretation of catch-at-age data // J. Cons. Int. Explor. Mer. 1982. V.40. p. 176 -184.

77. Deriso R.B., P.R.Neal, and T.J. Quinn II. 1985. Catch-age analysis with auxiliary information // Can. J. Fish. Aquat. Sci. 42: 815 824.

78. Methot R. D. Synthesis model: an adaptable framework for analysis of diverse stock assessment data // International North Pacific Fisheries commission. Bui. №50. Vancouver, Canada, 1990. p.259-277.

79. Применение математических методов и моделей для оценки запасов рыб: Метод, рекомендации / Сост. В.К. Бабаян и др. М.: ВНИРО, 1984. 155 с.

80. Schnute J. A general fishery model for a size-structured fish population models // Can. J. Fish. Aquat. Sci. 1987.44:p.924-940.

81. Максименко В. П., Антонов Н. П. Оценка естественной смертности у морских промысловых популяций рыб камчатского шельфа // Вопросы рыболовства. 2002. Т. 3(11). С. 450-462.

82. Bertalanffy, L. von A Quantitative Theory Of Organic Growth // Human Biology. 1938. V. 10. №1. P.181-213.

83. Бабаян В.К. Предосторожный подход к оценке общего допустимого улова (ОДУ). Анализ и рекомендации по применению.М.: Издательство ВНИ-РО. 2000. 190 с.

84. Thompson, W. F. and F.H. Bell Biological statistics of the Pacific halibut fishery.2. Effect of changes in intensity upon total yield and yield per unit of gear // Rep. Int. Fish.(Pacific Halibut) Comm. 1934., p. 8 49.

85. Sissenwine M. P., Shepherd J. G. An alternative perspective on recruitment overfishing and biological reference points // Can. J. Fish. Aquat. Sci. 1987. V. 44: p. 913 918.

86. Левасту Т., Ларкинз Г. Морская промысловая экоситема М.: Агропром-издат, 1987. 165 с.

87. Модели миоговидового управления / Пер. с англ. М.: Изд-во ВНИРО, 2002. 274 с.

88. Бобырев А. Е., Криксунов Е. А., Куга Т. И. Оптимизация многовидового рыбного промысла на основе трофодинамической модели продукционных процессов // Вопросы ихтиологии. Т.45. №.6. М.: Наука, 2005. С. 820-826.

89. Pope J. G., Harris О.С. The South African pilchard and anchovy stock complex — an example of the effects of biological interactions between species on management strategy. ICNAF Res. Doc. 1975. 75/1X/133.

90. Hepgason Т., Gislason H. VPA analysis with species interactions due to predation // ICES CM/1979/G.1979. 52 p.

91. Lleonart J., Salat J., Macpherson E. CVPA, an expanded VPA with cannibalism. Application to a hake population // Fish Res. 1985. V.3. P.61-79.

92. Andersen K.R., Ursin E.A. Multispecies extension to the Beverton and Holt theory of fishing with account of phophorus circulation and primary production // Meddr. Danm. Fisk. og Havunders, N. S. 1977. V.7. P. 317435.

93. Филин А.А. Промышленное рыболовство: моделирование межвидовых отношений промысловых гидробноптов в Баренцевом море с целью оптимизации управления многовидовым промыслом // Вопросы рыболовства, 2004, Т. 5. № 2(18). с. 294-297.

94. Филин А.А. Реализация экосистемного подхода к управлению биоресурсами Баренцева моря // Известия ТИНРО. Т. 137. 2004. С. 67-76.

95. Алексеев В. И., Гинзбург JI.P. О регулировании численности популяции биологическими способами // Журнал общей биологии. 1969. №5.

96. Свирежев Ю.М., Тимофеев Н.Н. О регулировании численности популяции с возрастной структурой // Журн. общ. биологии. 1980. Т. 41. № 2. С. 200-209.

97. Зубер И.Е., Колкер Ю. И., Полуэктов Р. А. Об управлении численностью и возрастным составом популяций // Проблемы кибернетики, Вып. 25. М.: Наука. 1972.

98. Оптимальное управление прпродно-экономическими системами. М.: Наука, 1980. 295 с.

99. Экологические системы. Адаптивная оценка и управление / Под ред. К.С. Холлинга. М.: Мир, 1981. 397 с.

100. Hamalainen R.P., Kaitala V., Haurie A. Bargaining on whales: A differential game model with Pareto optimal equilibria. Oper. Res. Letters, 1984. V. 3. № 1. p. 5-11.

101. Захаров В.В., Петросян А.А. Теоретико-игровой подход к проблеме окружающей среды //Вестник Ленингр. ун-та, Вып. 1. №1. 1981. с.26-32.

102. Реттиева А.Н. Методы динамических игр в задаче управления биоресурсами: подход с введением заповедной зоны: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск: Ин-т прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, 2004. 23 с.

103. Абакумов А.И. Управление и оптимизация в моделях эксплуатируемых популяций. Владивосток: Дальнаука, 1993. 129 с.

104. Беллман Р. Динамическое программирование. М. ИЛ, 1960. 400 с.

105. Абакумов А.И. Магистральные свойства решений дискретной задачи оптимального сбора урожая для биологических систем // Мат. моделирование экол. свойств популяций. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980. С. 47-50.

106. Абакумов А.И. Максимизация дохода при эксплуатации морских биосистем // Методы хоз. освоения ресурсов Океана. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980. С. 51-57.

107. Абакумов А.И. Применение динамического программирования в задачах оптимального сбора урожая для биосистем / Оптимизация и устойчивость. М.: ВЦ АН СССР, 1980. С. 3-10.

108. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 391 с.

109. Ащепков Л.Т., Величенко Б.В. Оптимальное управление. Владивосток: ДВГУ, 1989. 116 с.

110. Clark C.W. Bioeconomic modelling and fisheries management. N. Y.: Wiley Intersc. Pub., 1985. 295 p.

111. Абакумов А.И. Задача оптимального сбора урожая для однородной популяции // Теория и приложения функц.-дифференц. уравнений: Тез докл. всесоюз. конф. Душанбе: ТГУ, 1987. Ч. I. С. 3-4.

112. Абакумов А.И. Разнообразие режимов оптимального сбора урожая в модели однородной популяции // Анализ данных и моделирование природных процессов. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 85-94.

113. Абакумов А.И., Кучер А.И. Об оптимальной эксплуатации ихтиоценоза // Гидробиол. журнал. 1994. Т. 30. Вып. 4. С. 82-90.

114. Гиричева Е.Е. Задача оптимизации рыбного промысла. Тезисы докладов математической школы-семинара имени акдемика Е.В.Золотова. — Владивосток. 2007. С.114-115.

115. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1971.

116. Домбровский Ю.А. Оптимальный сбор урожая в модели популяции с перекрывающимися поколениями // Вопросы кибернетики. М. 1979. Вып. 52. С. 48-59.

117. Rorres С., Fair W. Optimal harvesting policy for an age specific population // Math. Biosci. 1975. V.24 1/2. P. 31-47.

118. Абакумов А.И. Задачи оптимального сбора урожая в популяции с возрастной структурой // Вопр. кибернетики. М.: ВЦ АН СССР, 1979. Вып. 52. С. 27-48.

119. Абакумов А.И. Задачи оптимального сбора урожая в матричных моделях популяций // Мат. исслед. в популяц. экологии. Владивосток: ДВО АН СССР, 1988. С. 19-32.

120. Абакумов А.И. Модельный анализ оптимальных режимов эксплуатации популяций // Управление и оптимизация. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 3-16.

121. Абакумов А.И., Процепко Т. А. Алгоритм поиска оптимального режима эксплуатации популяции с возрастной структурой // Мат. физика и мат. моделирование в экологии. Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С. 76-83.

122. Ильин О. И. Об оптимальной эксплуатации популяции несколькими типами орудий лова // Сб. науч. тр. Камчат. НИИ рыб. хоз-ва и океанографии. Вып. 9. 2007. С.258-260.

123. Ильин О.И. Об оптимальной эксплуатации популяции рыб с возрастной структурой // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.10. № 3(31). 2007. С.43-57.

124. Ильин О. И. О численном решении задачи оптимальной эксплуатации промысловой популяции биологических объектов. Тезисы докладов математической школы-семинара имени академика Е.В.Золотова. — Владивосток. 2007. С.70-71.

125. Ильин О.И. Об одной задаче оптимального управления биологическим сообществом // Сибирский журнал индустриальной математики. Т.9. № 4(28). 2006. С.75-81.

126. Абакумов А.И. Оптимальное управление в распределенных моделях для биосистем. Тезисы докладов математической школы-семинара имени ак-демика Е.В.Золотова. — Владивосток. 2007. С.111-112.

127. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966.

128. Макеев А.С. Методы решения обратных задач для модели популяции // Вести. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 2005. №3. С. 3-16.

129. Денисов А.И., Макеев А.С. Численный метод решения обратной задачи для модели популяции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т.46. №3. С. 490-500.

130. Дегтярев Г. Л., Сиразетдипов Т. К. Об одной задаче оптимального управления системами с распределенными параметрами // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. № 1. 1967.

131. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. Об оптимальном управлении одномерными процессами с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика, Т. XXVIII. № 11, 1967.

132. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1965. Т.29. № 6. С.1205-1260.

133. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

134. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

135. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

136. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1977. 480 с.

137. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. лит., 1975. 568 с.

138. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 400 с.

139. Аргучинцсв А.В. Оптимальное управление гиперболическими системами. М.:Физматлит, 2007. 168 с.

140. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 6. С. 11321139.

141. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления основанного на принципе максимума // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21. № 6. С. 1376-1384.

142. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических систем, основанные на принципе максимума // Вопросы кибернетики. М.:Наука, 1991. С. 17-38.

143. Аргучинцев А.В., Васильев О.В Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 6. С. 797-803.

144. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.:Физматлит, 2000. 160 с.

145. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 552 с.

146. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 296 с.

147. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272с.

148. Ивлев B.C. Экспериментальная экология питания рыб. Киев: Наукова думка. 1977. 272 с.

149. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 299 с. .

150. Габасов Р.,Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. — М.: Наука, 1973. 256 с.

151. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.:Мир, 1974.

152. Федоренко Р.Ф. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

153. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т.1 — М: Высш.шк., 1988. 712 с.

154. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М.: «Высшая школа», 1987. 232 с.

155. Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

156. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Наука, 1980. 616 с.

157. Самарский А.А., Николаев С.Е. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.