автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Простые оценки областей устойчивости в дискретных моделях динамики популяций

На правах рукописи

си

Комиссарова Дарья Амировна

ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2008

Работа выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кипнис Михаил Маркович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Долгий Юрий Филиппович

кандидат физико-математических наук, доцент Малыгина Вера Владимировна

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Тамбовский государственный

университет им. Г Р Державина»

Защита диссертации состоится « » 2008 г в часов

на заседании диссертационного совета Д 212 286 10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им А.М.Горького» по адресу 620083, г Екатеринбург, пр Ленина, 51, коми 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им А М Горького».

Автореферат разослан « » ¿¿¿^^¿Ч 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат наук, профессор

В.Г Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы модели динамики популяций интенсивно изучались в работах таких авторов, как Е С Pielou, С W Clark, К Gopalsamy, J Н Jaroma, S A Kuruklis, G Ladas, V L Kocic, H В Nichols, M Begon, M Mortimer, F R Geil, С M Roberts, JIВ Недорезов, В.Н Новосельцев и многих других

В настоящее время актуальна проблема устойчивости скалярных и матричных разностных уравнений, являющихся линеаризациями дискретных уравнений динамики популяций. Изучению этой проблемы посвящены par боты В Б Колмановского, А М Родионова, Ю П Николаева, А Н Новоселова, А Д Козака, М М Кипниса, L Berezansky, Е Braverman, Е Liz, J В. Ferreira, М. Pituk, F М Dannau, S N Elaydi, К Gopalsamy, К L Cooke, I Gyori, F Härtung, EI Jury, I. Koväcsvolgyi, S A Kuruklis, J P LaSalle, S A Levm, R. May, S Zhang и многих других авторов

При нынешней вычислительной технике любая задача об устойчивости конкретной дискретной системы с точно определенными коэффициентами невысокой размерности решается в секунды Но практически в любой модели динамики популяций коэффициенты не могут быть высчитаны точно (это касается и технических систем, хотя, возможно, в меньшей степени) Поэтому актуальна задача исследования геометрии области устойчивости самых общих дискретных уравнений, чтобы по "облаку" возможных коэффициентов модели динамики популяций оценить, находится ли оно, полностью или частично, в области устойчивости в пространстве параметров Полное описание области устойчивости скалярного разностного уравнения с двумя запаздываниями, например, проведено в работе М М Кипниса и Р М. Нигматулина1 Геометрия области устойчивости для более общих уравнений и систем изучается в работах Б Т Поляка и Е Н Грязиной2

гКишг,и:, М М Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями /ММ Кипвис, РМ Нигматулин // АиТ - 2004 - № 11 - С 25-39

2Грязина, Е Н К теории Л-разбисния / Е Н Грязшга // АиТ - 2004 - № 12 - С 15-28, Gryazma, Е N Stability regions m the parameter space ^-decomposition revisited /EN Gryazma, В T Polyak // Automatica. - 2006 - № 1 - P 13-26

f\

V,

и Ю П Николаева3 Вышеуказанные работы обнаруживают такую изощренность областей устойчивости, что становится очевидной нужда в простых, эффективных, быстро проверяемых (explicit) методах оценки областей устойчивости, причем для самых общих уравнений, которые могут содержать несколько (или много) запаздываний. Именно это и является темой диссертации

Актуальность этой задачи подтверждается публикациями последних лет, наряду со статьями автора диссертации и ее научного руководителя, работ Э Лиза4, JI Березанекого5, К. Кука и И Дьери6, И Дьери и Ф Хартун-га7 Результаты автора диссертации переносят результаты двух первых из вышеназванных работ на более общие системы, и усиливают оценки двух последних работ Об актуальности темы также свидетельствует появление с интервалом в четыре месяца в одном журнале статьи китайских исследователей Танга и Джианга8 и статьи автора диссертации9 (совместно с научным руководителем) Эти две статьи конкурируют в простых оценках областей устойчивости Как показано в диссертации, во многих случаях оценки автора диссертации эффективнее

Цель работы — поиск простых эффективных достаточных признаков асимптотической устойчивости разностных уравнений высших порядков

'^Николаев, Ю П Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома- дискретной системы / Ю П Николаев // АиТ - 2004 - JVS 12 -С 49-61,

Николаев, ЮЛ К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем / Ю11 Николаев // АиТ - 2002 - J» 7 - С 44-54

4Liz, Е Oil explicit conditions for the asymptotic stability of Linear higher order difference equations / E Liz // J Math Anal Appl - 2005 - V 303 - P 492-468

5Berezansky, L Sufficient conditions for the global stability of nonautonomous higher order difference equations / L Berezansky, E Braverman, Б Liz // J Difference Equ Appl - 2005 - V 11, №9 - P 785798

eCooke, К L Numerical approximation of the solutions of delay differential equations on an infinite interval using piesewise constant arguments / К L Cooke, I Gyon // Comp Math Appl - 1994 - V 28 -P 81-92

7Gyori, I Stability m delay perturbed differential and difference equations / I Gyon, F Hartung // Fields Institute Communications - 2001 - V 29 - P 181-194

8Tang, X H Asymptotic behavior of Volterra difference equations / X H Tang, Z Jiang // J Difference Equ Appl - 2007 - V 13, JT° 1 - P 25-40

8Kipms, M M A note on explicit stability conditions for autonomous higher order difference equations / M M Kipnie, D A Komissarova // J Difference Equ Appl - 2007 - V 13, № 5 - P 457-461

для оценки областей устойчивости моделей динамики популяций Цель включает перенос на линейные разностные системы некоторых признаков асимптотической устойчивости соответствующих скалярных уравнений, чтобы они были применимы к многомерным моделям динамики популяций; улучшение известных достаточных признаков асимптотической устойчивости линейных разностных уравнений, чтобы повысить эффективность применения их к моделям динамики популяций с многими запаздываниями

Методика исследования. В работе используются методы ^-преобразования, принцип аргумента, конструирование и анализ годографов систем и уравнений Используется также один из современных методов — удлинение памяти разностных уравнений. Этот метод был применен впервые А Халанаем10 для дифференциальных уравнений, а затем перенесен на разностные уравнения Лизом4 и Лизом, Ивановым и Ферейро11

Научная новизна работы. Новыми являются следующие результаты работы

1. Ослаблены известные ранее достаточные условия асимптотической устойчивости линейных разностных уравнений высоких порядков Получен симплекс устойчивости в пространстве параметров уравнений, принадлежность к которому параметров уравнения гарантирует устойчивость

2 Доказана максимальность найденного симплекса устойчивости

3 Получены достаточные условия асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках для моделей динамики популяций с учетом неограниченной предыстории

4 Найдены достаточные признаки асимптотической устойчивости и неустойчивости линейных разностных систем, аналогичные известным признакам для соответствующих скалярных уравнений

'"Halanay, A Differential equations stability, oscillations, time lags / A Halanay - New York Academic press, 1966

11 Liz, Б Discrete Halanay-type inequalities and applications /Б Liz A Ivanov, J В Ferreiro//Nonlinear Analysis - 2003 - V 55, № 6 - P 669-678

5 Получено характеристическое уравнение линейной разностной системы, позволяющее анализировать поведение демографического вектора в моделях популяций i

Практическая и теоретическая ценность. Изучение динамики популяций — важный раздел прикладной математики, в котором существенную роль играют запаздывания, длинная память, последействие — три названия по существу одного феномена. Те же эффекты возникают и в технических системах Задача выявления устойчивости в таких случаях имеет первостепенную важность.

Чаще устойчивость в динамике популяции является желательным фактом, если речь идет об устойчивости ненулевого уровня популяции тех видов, которые важны для сохранения биологического многообразия Земли Устойчивость нежелательна — если речь идет об устойчивости нулевого уровня популяции, так как в этом случае устойчивость означает ее неизбежную гибель Поэтому для нас важны признаки устойчивости моделей динамики популяций, которые и являются предметом диссертации

В исследовании устойчивости, как показал опыт, разностные модели ничуть не хуже дифференциальных В них выявляются те же эффекты (устойчивость и неустойчивость, бифуркации и тд). но по количеству исследование разностных уравнений значительно уступает исследованию дифференциальных уравнений

Данная работа является вкладом в установление равновесия между исследованиями непрерывных и дискретных моделей

Результаты диссертации используются в университетах в преподавании специальных курсов, посвященных динамике систем

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на Всероссийской научной конференции «Математика Механика Информатика» (Челябинск, 2006 г), XIV Международной конференции «Математика Компьютер Образование» (Пущино, 2007 г.), XII региональной научно-практической конференции «Математика Информатика Технологический подход к обучению в вузе и школе» (Курган, 2007 г.), Международной конференции «Dynamical System Modelling and Stability

Investigation» (Киев, 2007 г), 12-й Международной конференции по разностным уравнениям (ICDE 2007, Лиссабон, Португалия, 2007 г), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007 г), а так же на семинаре профессора В П Тананы в ЮжноУральском государственном университете (Челябинск, 2006 г)

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 10 работах, из них 2 - в изданиях, включенных в перечень ВАК (1 -статья и 1 - тезисы) Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задач и общее руководство

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 113 наименований Материал изложен на 102 страницах машинописного текста, включая 14 рисунков

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цель, задачи и методы исследования, кратко изложены основные результаты диссертации

Первая глава «Устойчивость систем разностных уравнений с запаздываниями, описывающих динамику популяций» посвящена исследованию асимптотической устойчивости линейных разностных систем

В параграфе 1.1 обосновано применение математических моделей для исследования устойчивости биологических систем Изложены основания для рассмотрения разностной системы общего вида, как линеаризованной модели динамики популяции, а также введены основные определения, касающиеся асимптотической устойчивости разностных систем Под асимптотической устойчивостью уравнения

где Аг действительные матрицы размера (тхт) (1 ^ г ^ к),

хп : N —> ®.т, будем понимать асимптотическую устойчивость его нулевого

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

к

(1)

решения. Здесь координаты вектора хп обозначают либо численность j-й популяции (1 < J < т), либо численность различных возрастных страт одной популяции в момент наблюдений п, либо численность особей одной популяции, находящихся в разных ареалах Другие возможные интерпретации координат хп — это отклонения указанных величин от стационарных значений, определяемых условиями обитания популяции

Определение 1. Нулевое решение уравнения (1) устойчиво, если Ve > 0 35 > 0 [ Уг {-к < г < -1) ||жг|| <8 Vn ^ О |К|| < г].

Определение 2. Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и для любого решения (хп) этого уравнения lim хп — О

>оо

В параграфе 1 2 представлены некоторые известные признаки асимптотической устойчивости линейных скалярных уравнений вида

к

хп — ^ агхп-г, (2)

»=i

где а, £ 1 (И ! Й) Для частного случая уравнения (2), а именно уравнения

Хп = xn—i bxn—ki (3)

Левин и Мэй12 нашли следующий критерий асимптотической устойчивости уравнение (3) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда

0<6<25m2(2äby (4)

Поскольку в одной биологической нише обитают различные биологические виды, на динамику популяции неизбежно оказывают воздействие и особи других популяций Поэтому целесообразен переход от уравнения (2) к многомерной модели (1) В работах Л Березанского, Е Браверман, Э Лиза, М Питука, Ж Ферейро (2002 - 2005 гг.), были найдены простые

12Levm, S А А note on difference-delay ecpiatrans /SA Levrn, R May // Theoi Pop Biol - 1976 -V 9, X- 2 -P 178-187

достаточные признаки асимптотической устойчивости уравнения (2), основанные на удлинении памяти уравнения В диссертации эти результаты перенесены на системы (1)

В параграфе 1 3 получено характеристическое уравнение системы (I) и доказан критерий асимптотической устойчивости

Теорема 1. Уравнение (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все корни уравнения

к

de.t(Ezk - Аггк"г) = 0 (5)

г=1

лежат внутри единичного круга. Если хотя бы один корень уравнения (5) лежит вне единичного круга, то система (1) неустойчива

Уравнение (5) мы называем характеристическим для (1) Получен достаточный признак неустойчивости системы (1)

Теорема 2. Если | скЛ А^ > 1, то система (1) неустойчива

В параграфе 1.4 доказан многомерный аналог известного условия устойчивости Кона для скалярных уравнений

Теорема 3. Если

¿НА||<1, (6)

то нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво

В параграфе 1 5 получены достаточные признаки асимптотической устойчивости системы (1), для вывода которых применяются идеи Халаная, ранее использовавшиеся другими авторами4'11 для нахождения признаков устойчивости скалярных уравнений

Теорема 4. Если существуют натуральное число р (1 ^ р ^ к) и множество индексов I С {р,р + 1, . , к}, такие что

2>

+Е 1И.Н+Енл.|1(*-р) -ян+Еш\) < 1,

г0 геТ \ }=2 )

ге!

то уравнение (1) асимптотически устойчиво

Теорема 5. Если существуют натуральное число р (1 < р ^ к) и множество индексов I С {р,р + 1, • , к}, такие что

+Е1МЧ1

геТ

+ ]Г 1ИЖ« -V) (\\Ai + Е\\ + £ Ш) < 1,

iel \ з=2 /

то уравнение (1) асимптотически устойчиво

В параграфе 1 6 произведен перенос полученных признаков устойчивости и неустойчивости на матричное уравнение

хп = Ахп~ 1 + Вхп-к, (7)

где А, В действительные матрицы размера (т х т) , хп N Rm, натуральное число к - запаздывание

На примерах проиллюстрировано применение найденных признаков асимптотической устойчивости.

Здесь же приведен пример, показывающий невозможность сформулировать критерий асимптотической устойчивости системы (7) в терминах ограничений только на собственные числа матриц А и В

В параграфе 1 7 найденные в параграфе 1 6 признаки устойчивости применены для исследования поведения дискретной модели динамики популяций «хищник-жертва»13 с учетом влияния двух поколений непосредственно предшествующего и отстающего на к единиц времени

Хп = OlXn—х(1 Хп—х) Xn—k Уп—кч /с,

_ 1 ^ Уп — Уп—ii

где а ^ 0, ¡3 > 0 - некоторые параметры, хп,уп - численности соответственно жертв и хищников в п-й момент времени Система (8) имеет три стационарные точки Посредством линеаризации получена линейная система, которая проанализирована с помощью полученных автором признаков устойчивости Аналогичным образом изучена дискретная модель

13Murakami, К Stability and bifurcation m a discrete-time predator-prey model / К Murakami // J Difference Equ Appl - 2007 - V 13, № 10 - P 911-925

«хищник-жертва», в которой модель Пиелоу дополнена взаимодействием с хищником

Хп ~ 1+&с11к ~ Чхп-\Уп-ъ ^

Уп = 5хп-1уп-1

Здесь а > 0 — коэффициент прироста популяции жертв, ¡3 > 0 — коэффициент обратной связи, 7 > 0 характеризует возможность гибели жзертвы при встрече с хищниками, 5 > 0 характеризует возможность роста популяции хищников за счет их взаимодействия с жертвами

В параграфе 1 8 изучен частный случай системы (7) при А = —Б, для которого найден критерий асимптотической устойчивости в терминах ограничений на собственные числа матрицы В

Теорема 6. Система

Хп = -хп-1 + Вхп^к (10)

асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В лежат внутри области комплексной плоскости, ограниченной кривой

Г = |геС * = (-1)*2гзт < у» < |} (11)

На рисунке 1 представлены некоторые овалы устойчивости для уравнения (10)

Если запаздывание к — 1, то овал устойчивости - круг радиуса 1 с центром в точке (1+0г) Если к нечетное, то овал устойчивости расположен в правой полуплоскости комплексной плоскости, а если к четное, то он расположен в левой полуплоскости Мы констатируем «прыжки» областей устойчивости при изменении запаздывания на единицу

Таким образом для асимптотической устойчивости уравнения (10) необходимо выполнение условий > 0 при нечетном к или КеА, < 0 при четном к Здесь Аг (1 < г < то) - собственные значения матрицы В

Следствие 1. Если существуют собственные значения Ах и Аг матрицы В такие, что 11е А1 > 0, Ке Аг < 0, то система хп — ~хп-1+Вхп-к неустойчива при любом значении к

02

-02

-0 4

¿=2^--— --- / —._ \ 1т z ---

1 > .1...... 1 1 к У У Кег

-0 8 -06 -0 4 -02 0 02 04 Рис 1 Овалы устойчивости системы (10)

06

06

Применение полученных признаков проиллюстрировано на примерах В параграфе 1 9 приведено сравнение полученных в первой главе результатов с известными признаками асимптотической устойчивости скалярных и матричных разностных уравнений

Во второй главе «Устойчивость линейных разностных уравнений с запаздываниями» изучается область устойчивости линейного разностного уравнения

— 1

£

О/чХ-п

(12)

где а, € К, (1 < г < к) При изучении локальных процессов, уравнение (12) можно рассматривать как модель динамики популяций На больших временных интервалах уравнение (12) рассматривается как линеаризация относительно стационарного решения логистического уравнения Пиелоу с обратной связью по предыстории длины к

ауп-1

Уп

(13)

1 + Е РгУп-г

г=1

Компоненты последовательности уп обозначают численность популяции в момент наблюдений п, а > 1 — коэффициент прироста популяции, Д, > 0 (1 < г < к) — коэффициент обратной связи в момент наблюдений п—г

В свою очередь, модель Пиелоу происходит от модели Бевертона-Холта

-

в которой численность популяции в данный момент наблюдений зависит только от ее численности в предыдущий момент

Модель (13) имеет два стационарных решения, одно из которых нулевое, а второе положительное. В уравнении (12) значения хп интерпретируются как отклонения значений уп от своих стационарных значений Бели уравнение (12) получено линеаризацией уравнения вокруг нулевого решения, то асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (12) означает неизбежность депопуляции Если же (12) получено линеаризацией уравнения вокруг положительного стационарного решения, то асимптотическая устойчивость означает стремление численности популяции к своему стационарному положительному решению

Отсюда ясна важность проблемы исследования устойчивости разностных уравнений для выявления устойчивости биологических систем

В параграфе 2 1 приведены линеаризации различных вариантов логистического уравнения Указана связь между логистическим уравнением Пиелоу (13) и разностным уравнением (12) Поставлена задача поиска простых достаточных условий устойчивости.

В параграфе 2.2 сформулирована гипотеза о симплексе устойчивости в пространстве параметров уравнения (12)

Определение 3. Областью устойчивости уравнения (12) будем называть множество всех таких конечных последовательностей коэффициентов (ах, , о,/-), что уравнение (12) с данными коэффициентами (а^, . , а*) асимптотически устойчиво

С помощью численных экспериментов, основанных на методе О - разбиения и принципе аргумента, может быть построена область устойчивости уравнения

Хп = Яп-1 - а,хп-т - Ьхп-и (14)

Рис 2 1, 2, 3, 4 — область устойчивости уравнения (14) при т = 3,к = 5, 1 - симплекс устойчивости (15)

Сопоставляя рисунок 2 с результатом работы Левина-Мэя (ем условие (4)), и рассматривая только неотрицательные коэффициенты а,Ь, мы пришли к гипотезе, что симплекс

а > О, Ь > 0, 0 < --+ 5-Ц;— < 1 (15)

2 а* ¡фу

является подмножеством области устойчивости уравнения (14)

Расширяя эту гипотезу для уравнения (12), мы выдвинули гипотезу, что симплекс

к

а^О(ЮО), 0<^9 <1

является подмножеством области устойчивости уравнения (12)

Эта гипотеза действительно дает простую оценку области устойчивости уравнения (12), а следовательно, и дискретных одномерных моделей динамики популяций, сколь бы сложными они ни были Ее доказательство является центром главы 2 диссертации

В параграфе 2 3 приведены некоторые вспомогательные леммы, необходимые для дальнейших рассуждений

В параграфе 2 4 представлен основной результат данной главы, в котором определена граница симплекса устойчивости в пространстве положительных параметров уравнения (12)

Теорема 7. Если ах ^ 0 (1 < к) и

то уравнение (12) асимптотически устойчиво

В параграфе 2 5 получены следствия из основной теоремы 7, которые дают еще более простые достаточные признаки асимптотической устойчивости уравнения (12)

Теорема 8. Если ав ^ 0 (1 < в ^ к) и

то уравнение (12) асимптотически устойчиво

Как показано в дальнейшем, в параграфе 2 6, постоянная | в теореме 8 неулучшаема Однако если мы позволим правой части неравенства (17) быть зависимой от порядка уравнения, то ее можно увеличить, что подтверждается следующей теоремой

Теорема 9. Если а., > 0 к) и

то уравнение (12) асимптотически устойчиво

В параграфе 2 6 доказана неулучшаемость полученных в двух предыдущих параграфах результатов Следующая теорема показывает невозможность увеличения хотя бы одного из знаменателей в неравенстве (16) с сохранением устойчивости уравнения (12)

Теорема 10. Пусть А3 > 0 (1 < в < к), пусть существует такое з (1 < в < к),что Ац > 2 вш щИ-х) - Тогда, найдется точка (а\, . ,а&) такая, что ая > 0 (1 < в < к), 0 < ^ < 1 « уравнение (12) с коэффициентами ах,. , а^ неустойчиво

к

(17)

к

(18)

На рисунке 3 показан симплекс устойчивости разностного уравнения с тремя запаздываниями

Хп — Хп—1 (ХтХп^г &тХп—т ®кХп—к•

Далее в параграфе 2 б доказано, что движение констант в правой части неравенства (17)

1 3

1 (Кук-Дьери8) -)■ 1 + - (Дьери-Хартунг7) -)■ - (Танг-Джианг8)

£ а

ж /

-4- — (результат диссертации)

ы

должно быть остановлено на константе §

Теорема 11. Для всякого г > | найдется такое к € N и точка (ах, ,а*) € К* такая, что а5 > 0 $ (1 < 5 < к), 0 < «аэ ^ г и уравнение (12) с коэффициентами аь. ., а^ неустойчиво

Правая часть неравенства (18) также неулучшаема

Теорема 12. Для всякого Л ^ 2/с эш. 2(г|-1) найдется точка (ах, ., а&) такая, что ая ^ 0 (1 ^ « ^ &), 0 < ® аз < й м уравнение (12) с коэффициентами ах, ., а^ неустойчиво

В параграфе 2 7 указаны достаточные условия локальной асимптотической устойчивости логистического уравнения Пиелоу

В параграфе 2 8 приведены некоторые теоретические факты относительно разностного уравнения Вольтерра в свертках

п

хп = ж„_1 - агхп г, п = 1,2, . (20)

г=1

где Ог е К, аг ^ 0 (г = 1,2,. ), и существуют с > 0, д € (0,1) такие, что для всех п € N ап ^ сдп

В параграфе 2 9 доказаны достаточные условия асимптотической устойчивости уравнения (20)

Теорема 13. Пусть а3 ^ 0 для вееж 5 € N Если

оо

то уравнение Вольтерра (20) асимптотически устойчиво

Отсюда вытекает следующий результат

Теорема 14. Пусть а3 ^ 0 для всех в £ N Если

00 ^

2'

то уравнение Вольтерра (20) асимптотически устойчиво

В параграфе 2 10 проведено сравнение полученных во второй главе результатов с известными результатами относительно дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений Показано, что найденные автором достаточные условия устойчивости лучше некоторых известных признаков устойчивости Проведено сравнение найденных признаков асимптотической устойчивости с конкурирующей работой8 в которой границы области гарантированной устойчивости описываются нелинейными уравнениями Сделан общий вывод о частичном взаимном перекрытии признаков, найденных в данной диссертации, с признаком работы Танга и Джианга8 Мы констатируем, что преимущество признака устойчивости автора диссертации - в его простоте Указаны классы разностных уравнений, в которых

признаки автора заведомо лучше признака Танга и Джианга Сравнение проиллюстрировано примерами и рисунками

В заключении суммируются все полученные в диссертации результаты

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах,

определенных ВАК

1 Комиссарова, Д А Простые признаки устойчивости дискретных моделей динамики популяций /ДА Комиссарова // Системы управления и информационные технологии - 2007 - № 2 2(28) - С 240-242

2 Комиссарова, ДА. Об устойчивости дискретных моделей динамики популяций /ДА Комиссарова, М М. Кипнис // Обозрение прикл и иромышл матем - 2007 - Т 14, Вып 4 - С 726-727.

Другие публикации

3 Kipms, М М. Stability of a delay difference system /ММ Kipms, D A Komissarova // Advances in Difference Equ - 2006 - V 2006 - P 1-9 -

http //www hindawi com/GetArticle aspx'doi=10 1155/ADE/2006/31409

4 Комиссарова, Д А Устойчивость некоторых разностных систем /ДА Комиссарова, М М Кипнис / / Изв Челябинского науч центра - 2006 -Вып 1(31) - С 1-4 - http //ese ас ru/ej/issue/ru/34

5 Комиссарова, Д А Устойчивость разностных систем с запаздыванием /ДА Комиссарова // Математика Механика Информатика Тез докл Всерос науч конф, Челябинск, 19-22 сент 2006 - Челябинск ЧелГУ, 2006 - С 71.

6 Комиссарова, Д А Устойчивость линейных многомерных моделей с запаздыванием /ДА Комиссарова // Математика Компьютер Образование Тез докл XIV междунар конф , Пущино, 22-27 янв 2007 -Ижевск . НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" , 2007 - С 65

7 Комиссарова, ДА Простое условие асимптотической устойчивости для разностного уравнения х(п) — х(п — 1) — ах(п — гп)— Ьх(п — к) / Д А Комиссарова, М М Кипнис // Изв. Челябинского науч центра -2007 - Вып 1(35) - С 1-5 - http //ese.ас ru/ej/issue/ru/40

8. Комиссарова, Д.А Достаточные условия асимптотической устойчивости общей разностной системы / ДА Комиссарова // Вестник ЮУрГУ Сер "Математика, физика, химия" -2007 - Вып. 8, № 3(75) -С 24-27

9 Kipms, М М. A note on explicit stability conditions for autonomous higher order difference equations /MM Kipms, D A Komissarova //J Difference Equ Appl. - 2007 - V 13, № 5 - P. 457-461

10 Кипнис, M M Признак устойчивости линейных разностных уравнений /ММ Кипнис, Д А Комиссарова // Математика. Информатика Технологич подход к обучению в вузе и школе Материалы XII региональной научно-практической конф , Курган, 24-25 апреля 2007 -Курган : КГУ, 2007 - С. 8-9

Подписано в печать 07 03 2008 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,0 Уч -изд л 1,0 Бумага офсетная Тираж 100 экз Издательство Южно-Уральского государственного университета 454080, г Челябинск, пр Ленина, 76

Введение

1 Устойчивость систем разностных уравнений с запаздываниями, описывающих динамику популяций

1.1 Биологическая мотивация.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Характеристическое уравнение общей системы

1.4 Многомерный аналог условия устойчивости Кона

1.5 Перенос методов Березанского-Браверман-Лиза на исследование устойчивости систем.

1.6 Признаки устойчивости и неустойчивости уравнения Axn-i 4- Bxn-k.

Постановка задачи. Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка к к 1 ^ ^ QjjXn—i, (0-1) i=1 где Oj 6 N, щ ^ 0, (1 ^ i ^ А;). При изучении локальных процессов, уравнение (0.1) можно рассматривать как модель динамики популяций. На больших временных интервалах уравнение (0.1) рассматривается как линеаризация относительно стационарного решения логистического уравнения Пиелоу [93, 94, 68, 98, 99] с обратной связью по предыстории длины к:

Уп =--к-• (0-2)

1 + Е РгУп-i i=1

Компоненты последовательности уп обозначают численность популяции в момент наблюдений п, а > 1 — коэффициент прироста популяции, fy > 0 (1 ^ i ^ к) — коэффициент обратной связи в момент п — г.

В свою очередь, модель Пиелоу происходит от модели Бевертона-Холта [45, 50, 55] аУп-i /п оч

1 + РУп-1 в которой численность популяции в данный момент наблюдений зависит только от ее численности в предыдущий момент.

Проблема прогнозирования поведения (в частности, устойчивости) биологических систем является одной из основных проблем в экологии. Поэтому необходимы определение признаков устойчивости моделей динамики популяций и установление границ устойчивости в пространстве параметров. Асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (0.1) означает неизбежность депопуляции, если рассматривать это уравнение в качестве модели динамики популяции. Однако, если рассматривать уравнение (0.1) как линеаризацию уравнения (0.2) вокруг его ненулевого стационарного решения, то асимптотическая устойчивость означает стремление популяции к своему ненулевому стационарному решению.

Для частного случая уравнения (0.1), а именнно — уравнения

Хп = CLXn—т -f- (0-4) при <2 — 1, тп — 1 в 1976 г. Левиным и Мэем [75] был найден критерий асимптотической устойчивости. Позднее, в 1994 г., С. Курук-лис определил область устойчивости уравнения (0.4) при m = 1 в пространстве параметров (а, 6). В 2001 г. Ф. Даннан и С. Элайди в работе [51] получили область устойчивости для уравнения (0.4) при m = к — 1. Уравнение (0.4) при произвольных значениях запаздываний mm к изучалось в работах Ю. Николаева [26, 27, 28] (2001 - 2004), Ф. Даннана [52] (2004), М. Кипниса и Р. Нигматулина [10] (2004). В результате была найдена граница области устойчивости уравнения (0.4) в пространстве параметров (а,Ь).

Достаточные признаки асимптотической устойчивости уравнения

0.5) г=1 изучались в работах Л. Березанского, Е. Браверман, Э. Лиза, М. Пи-тука, Б. Феррейро [43, 44, 77, 79, 80] (2002 - 2005 гг.).

Кроме того, к исследованию устойчивости можно отнести работы X. Пуанкаре [95] (1885), О. Перрона [90] (1911) и А. Кона [48] (1922), посвященные изучению расположения корней полинома, поскольку известно, что линейное разностное уравнение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все нули его характеристического многочлена лежат внутри единичного круга. Э.И. Джу-ри [8] (1963) изучал расположение корней полинома на комплексной плоскости относительно единичной окружности и применял полученные результаты для исследования устойчивости линейных дискретных систем. Ю.И. Неймарк [23, 25] (1947, 1948) исследовал расположение корней многочлена с помощью метода D-разбиения, используя этот подход к исследованию устойчивости непрерывных динамических систем управления. Метод D-разбиения применялся в работах А.Н. Вишнякова, Б.Т. Поляка [3, 96] (2000, 2001), Е.Н. Грязиной [5, 61] (2004, 2005) для исследования устойчивости дискретных систем управления.

Поскольку в одной биологической нише обитают различные биологические виды, на динамику популяции неизбежно оказывают воздействие и особи других популяций. Поэтому целесообразен переход от уравнения (0.5) к многомерной модели к хп = ^ ^ AiXni, (0-6) г=1 где Aj действительные матрицы размера (т х т) (—к ^ г ^ — 1); хп : N —> Кт. Здесь компоненты вектора хп обозначают либо численность различных популяций, либо численность различных страт одной популяции [6], либо численность особей одной популяции, находящихся в разных ареалах [88]. Вектор хп в этом случае называется демографическим вектором [45, 50, 55].

Что касается матричных уравнений, И.С. Левицкая [76] в 2005 г. доказала критерий асимптотической устойчивости уравнения хп = жп1 + Вхп^к (0.7) в терминах ограничений на собственные значения матрицы В. Здесь В действительная матрица размера (га х га), хп : N —» lRm, к £ N. Для частного случая уравнения (0.7), в котором действительная матрица В размера (2 х 2) есть матрица поворота, умноженная на положительную константу, критерий асимптотической устойчивости был найден [84] в 1999 г. В работе [101] получены достаточные условия устойчивости уравнения (0.7) с неавтономной матрицей В. Частный случай уравнения хп = Axn-i + Вхп-к, (0.8) в котором матрицы Л, В перестановочны, изучался в работе И. Ди-блика и Д. Хусаинова [53] (2006). И. Петропоулоу и П. Сиафа-рикас в 2005 г. исследовали существование комплексных решений разностных систем с запаздыванием [92]. Автору диссертации не известны другие работы, в которых бы исследовалась асимптотическая устойчивость матричных уравнений (0.6) и (0.8). Поэтому наша задача — перенести признаки асимптотической устойчивости скалярных уравнений (0.4) и (0.5) на матричные уравнения (0.6) и (0.8). Мы, разумеется, ставим задачу указать характеристическое полиномиальное уравнение для системы (0.6) (как ни странно, это, по-видимому, не было сделано до работ автора диссертации). Но основная наша задача состоит в получении достаточных признаков устойчивости, носящих простой, ясный характер, — то, что по-английски называется explicit stability conditions.

Такого же типа задачу мы ставим в связи со скалярным уравнением (0.1). В 1994 г. в работе К. Кука и И. Дьёри [49] был найден достаточный признак устойчивости уравнения (0.1). Именно, доказано, что при любых неотрицательных щ (1 < г < к) условие к

0<]Гга*<1 (0.9) i=i достаточно для асимптотической устойчивости уравнения (0.1). Позже, в 2001 г., И. Дьёри и Ф. Хартунг [62] улучшили этот результат, увеличив константу 1 в правой части (0.9) до 1 Н—. Оценки Кука-Дьёри и Дьёри-Хартунга неоднократно цитировались другими авторами (например, [79],[77],[43]) с целью сравнения с собственными условиями устойчивости. Так естественно возникла задача продол1 жить последовательность констант в правой части (0.9): 1,1+-, • • •, е доведя ее до максимального значения. Это и стало одной из задач диссертации ^оказалось, что максимальное значение равно

Мы поставили (и решили) и более общую задачу, которая естественно вытекает из предыдущей, но не ставилась ранее. А именно, пусть найдены константы . Аь, такие что принадлежность коэффициентов (ai,. ak) симплексу к щ>0, (0.10) г=1 Ai гарантировала бы устойчивость уравнения (0.1). Тогда мы будем говорить, что найден симплекс устойчивости для уравнения (0.1). Следуя Куку-Дьёри [49], мы получаем симплекс вида (0.10) со зна

1 г 1 + 1 чениями Ai — -4, по Дьёри-Хартунгу 62 Ai = --. Задача дисг ^ сертационного исследования - улучшить эти оценки и довести их до л Я" естественного предела (как оказалось, оценка Ai = — лучше двух

2г л . 7Г предыдущих, но естественный предел есть Ai = 2 sin

2(2г - I)7'

И.С. Левицкая [18] в 2004 г. с помощью численных экспериментов построила области устойчивости для частного случая уравнения (0Л), а именно, уравнения с двумя запаздываниями

Хп = к, (0.11) при различных значениях запаздываний к, т (1 ^ т < к) в плоскости действительных параметров (а, Ъ). Наша задача — спроектировать результаты автора диссертации на это более простое, чем (0.1) уравнение, чтобы осветить важную для теории динамики популяций проблему устойчивости уравнения (0.11). Задача также состоит в переносе результатов диссертации на дискретные уравнения Вольтерра в свертках, которые являются бесконечномерными аналогами уравнения (0.1).

Актуальность темы диссертации. В последние годы модели динамики популяций интенсивно изучались в работах таких авторов, как Е.С. Pielou [93, 94], C.W. Clark [47], К. Gopalsamy [59], V.L. Kocic [68], H.B. Nichols [88], M. Begon , M. Mortimer [42], J.H. Jaroma, S.A. Kuruklis, G. Ladas [65, 71], F.R. Gell, C.M. Roberts [58], Л.В. Недорезов [22], B.H. Новосельцев [29] и многих других.

В настоящее время актуальна проблема устойчивости скалярных и матричных разностных уравнений, являющихся линеари-зациями дискретных уравнений динамики популяций. Изучению этой проблемы посвящены работы В.Б. Колмановского [12, 13, 14], A.M. Родионова [34, 35, 36, 37], Ю.П. Николаева [26, 27, 28], А.Н. Новоселова, А.Д. Козака [11], М.М Кипниса [9, 10, 67], L. Berezansky,

E. Braverman [43, 44], Е. Liz, J.В. Ferreiro, М. Pituk [77, 79, 80],

F.M. Dannan [52, 51], S.N. Elaydi, S. Zhang [56, 57,103], K. Gopalsamy [60, 59], K.L. Cooke , I. Gyori, F. Hartung [49, 62, 63], E.I. Jury [8, 66], I. Kovacsvolgyi [69], S.A. Kuruklis [70], J.P. LaSalle [17, 73], S.A. Levin,

R. May [75, 85, 86], M. Chen , J.S. Yu [46, 102] и многих других авторов.

При нынешней вычислительной технике любая задача об устойчивости конкретной дискретной системы с точно определенными коэффициентами невысокой размерности решается в секунды. Но практически в любой модели динамики популяций коэффициенты не могут быть высчитаны точно (это касается и технических систем, хотя, возможно, в меньшей степени). Поэтому актуальна задача исследования геометрии области устойчивости самых общих дискретных уравнений, чтобы по "облаку" возможных коэффициентов модели динамики популяций оценить, находится ли оно, полностью или частично, в области устойчивости в пространстве параметров. Полное описание области устойчивости скалярного разностного уравнения с двумя запаздываниями, например, проведено в работе М.М. Кипниса и P.M. Нигматулина [10]. Геометрия области устойчивости для более общих уравнений и систем изучается в работах Б.Т. Поляка и Е.Н. Грязиной [5, 61] и Ю.П. Николаева [26, 27]. Вышеуказанные работы обнаруживают такую изощренность областей устойчивости, что становится очевидной нужда в простых, эффективных, быстро проверяемых (explicit) методах оценки областей устойчивости, причем для самых общих уравнений, которые могут содержать несколько (или много) запаздываний. Именно это и является темой диссертации.

Актуальность этой задачи подтверждается публикациями последних лет, наряду со статьями автора диссертации и ее научного руководителя, работ Э. Лиза [77], Л. Березанского и Е. Браверман [43, 44], К. Кука и И. Дьери [49], И. Дьери и Ф. Хартунга [62]. Результаты автора диссертации переносят результаты двух первых из вышеназванных работ на более общие системы, и усиливают оценки двух последних работ. Об актуальности темы также свидетельствует появление с интервалом в четыре месяца в одном журнале статьи китайских исследователей [100] и статьи автора диссертации [110] (совместно с научным руководителем). Эти две статьи конкурируют в простых оценках областей устойчивости. Как показано в диссертации, во многих случаях оценки автора диссертации эффективнее.

Методы исследования. В работе используются методы Z-преобразования, принцип аргумента, конструирование и анализ годографов систем и уравнений. Используется также один из современных методов — удлинение памяти разностных уравнений. Этот метод был применен впервые А. Халанаем [39, 64] для дифференциальных уравнений, а затем перенесен на разностные уравнения Э. Лизом, А. Ивановым и Б. Ферейро [77, 78].

Новизна полученных результатов. Новыми являются следующие результаты работы:

1. Ослаблены известные ранее достаточные условия устойчивости разностного уравнения (0.1) посредством построения симплекса устойчивости в пространстве его параметров.

2. Доказана максимальность найденного симплекса устойчивости для (0.1).

3. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках.

4. Для разностных систем (0.6) и (0.8) найдены достаточные признаки асимптотической устойчивости и неустойчивости, аналогичные известным признакам для соответствующих скалярных уравнений.

5. Найден критерий асимптотической устойчивости системы (0.8) при А = —Е, где Е - единичная матрица.

6. Получено характеристическое уравнение для (0.6), на основании которого доказан критерий асимптотической устойчивости системы (0.6).

Теоретическая и практическая значимость. Изучение динамики популяций — важный раздел прикладной математики, в котором существенную роль играют запаздывания, длинная память, последействие — три названия по существу одного феномена. Те же эффекты возникают и в технических системах. Задача выявления устойчивости в таких случаях имеет первостепенную важность.

Чаще устойчивость в динамике популяции является желательным фактом, если речь идет об устойчивости ненулевого уровня популяции тех видов, которые важны для сохранения биологического многообразия Земли. Устойчивость нежелательна — если речь идет об устойчивости нулевого уровня популяции, так как в этом случае устойчивость означает ее неизбежную гибель. Поэтому для нас важны признаки устойчивости моделей динамики популяций, которые и являются предметом диссертации.

В исследовании устойчивости, как показал опыт, разностные модели ничуть не хуже дифференциальных. В них выявляются те же эффекты (проблемы устойчивости, бифуркации и т.д.), но по количеству исследование разностных уравнений значительно уступает исследованию дифференциальных уравнений.

Данная работа является вкладом в установление равновесия между исследованиями непрерывных и дискретных моделей.

Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Математика.

Механика. Информатика" (Челябинск, 2006 г.) [106], XIV Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 2007 г.) [107], XII региональной научно-практической конференции "Математика. Информатика. Технологический подход к обучению в вузе и школе" (Курган, 2007 г.) [111], Международной конференции "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (Киев, 2007 г.), 12-й Международной конференции по разностным уравнениям (ICDE 2007, Лиссабон, Португалия, 2007 г.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007 г.) [113], а также на семинаре профессора В. П. Тананы в Южно-Уральском государственном университете (Челябинск, 2006 г.).

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 113 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение

Исследование устойчивости линейных разностных уравнений и систем остается актуальной проблемой и в настоящее время. Наиболее важными являются результаты, отражающие качественные взаимосвязи между параметрами системы и ее поведением.

В диссертации получены признаки асимптотической устойчивости скалярных и матричных уравнений, представляющих линеаризованную модель динамики популяций с учетом предыстории. Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:

- найдено характеристическое уравнение общей линейной разностной системы (1.1.6), позволяющее анализировать поведение демографического вектора в моделях популяций;

- определены овалы устойчивости для уравнения (1.2.10);

- получены многомерные аналоги известных достаточных признаков асимптотической устойчивости скалярных уравнений;

- найден симплекс устойчивости линейного разностного уравнения (2.1.10) в пространстве неотрицательных коэффициентов;

- доказана максимальность найденного симплекса устойчивости;

- найдены достаточные признаки асимптотической устойчивости разностного уравнения Вольтерра в свертках для моделей динамики популяций с учетом неограниченной предыстории.

1. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук. М. : Мир, 1967.

2. Вагина, М.Ю. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями / М.Ю. Вагина, М.М. Кипнис // Мат. заметки. 2003. - Т. 74, Вып. 5. - С. 786789.

3. Вишняков, А.Н. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений / А.Н. Вишняков, Б.Т. Поляк // АиТ. 2000. - № 9.-С. 112-119.

4. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гель-фонд. М. : Наука, 1967.

5. Грязина, Е.Н. К теории D-разбиения / Е.Н. Грязина // АиТ. 2004. - № 12. - С. 15-28.

6. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М. : Наука, 1967.

7. Кипнис, М.М. Устойчивость некоторых разностных уравнений с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // АиТ. 2003. - № 5. - С. 122-130.

8. Кипнис, М.М. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями / М.М. Кипнис, P.M. Нигматулин // АиТ. 2004. - № И. - С. 25-39.

9. Козак, А.Д. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка / А.Д. Козак, А.Н. Новоселов // Мат. заметки. 1999. - Т. 66, Вып. 2. - С. 211-215.

10. Колмановский, В.Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра / В.Б. Колмановский // АиТ. 1995. - № 11. - С. 50-64.

11. Колмановский, В.Б. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра / В.Б. Колмановский, A.M. Родионов // АиТ. 1995. - №2. - С. 3-13.

12. Колмановский, В.Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием / В.Б. Колмановский // АиТ. 1993. - № 11. -С. 45-59.

13. Колмогоров, А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций / А.Н.Колмогоров // Проблемы кибернетики. М. : Наука, 1972. - Вып. 25. - С. 101-106.

14. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. М. : Наука, 1978.

15. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. М. : Мир, 1964.

16. Левицкая, И.С. Область устойчивости линейного разностного уравнения с двумя запаздываниями / И.С. Левицкая // Изв. Челябинского науч. центра УрО РАН. 2004. - Вып. 3(24). -С. 12-16. - http://csc.ac.ru/news/20043/

17. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов М. : Гостехиздат, 1950.

18. Маркушевич, А.И. Краткий курс теории аналитических функций / А.И. Маркушевич. М. : Наука, 1978. - 416 с.

19. Меныпуткин, В.В. Математическое моделирование популяций и сообщество водных животных / В.В. Меныпуткин. Л. : Наука, 1971.

20. Недорезов, Л.В. Модификация моделей Морана-Риккера динамики численности изолированной популяции / Л.В. Недорезов, Б.Н. Недорезова // Журнал общей биологии. 1994. - Т. 55, № 4/5. - С. 514-521.

21. Неймарк, Ю.И. К задаче распределения корней полиномов / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. 1947. - Т. 58, № 3.

22. Неймарк, Ю.И. О допустимости линеаризации при исследовании устойчивости / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. 1959. -Т. 127, № 5. - С. 961-964.

23. Неймарк, Ю.И. Структура D-разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. 1948. - Т. 59, № 5.

24. Николаев, Ю.П. Анализ геометрии D-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы / Ю.П. Николаев // АиТ. -2004. № 12. - С. 49-61.

25. Николаев, Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем / Ю.П. Николаев // АиТ. 2002. - № 7. - С. 44-54.

26. Николаев, Ю.П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем / Ю.П. Николаев // АиТ. 2001. - № 11. - С. 109-120.

27. Новосельцев, В.Н. Математическое моделирование в биологии: системы, способные жить и умирать / В.Н. Новосельцев // АиТ. 2006. - № 4. - С. 3-25.

28. Полуэктов, Р.А. Динамические модели экологических систем / Р.А. Полуэктов, Ю.А. Пых, И.А. Швытов. JI. : Гидрометео-издат, 1980.

29. Прасолов, В.В. Многочлены / В.В. Прасолов. М. : МЦ MHO, 2001.

30. Разумихин, B.C. Устойчивость по первому приближению систем с запаздываниями / B.C. Разумихин // ПММ. 1958. -Т. 22.- С.155-166.

31. Рехлицкий, З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве / З.И. Рехлицкий // ДАН СССР. 1956. - Т. Ill, № 1. - С. 29-32.

32. Родионов, A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений /A.M. Родионов // АиТ. 1992. - № 9. - С. 86-93.

33. Родионов, A.M. О достаточных условиях абсолютной устойчивости дискретных уравнений / A.M. Родионов // АиТ. 1998. - № 12. - С. 127-131.

34. Родионов, A.M. Об ограниченности решений дискретных уравнений / A.M. Родионов // АиТ. 1994. - № 5. - С. 32-37.

35. Родионов, A.M. Об одной возможности применения второго метода Ляпунова к уравнениям Вольтерра / A.M. Родионов // АиТ. 1998. - № 4. - С. 57-64.

36. Свирежев, Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. М. : Наука, 1978.

37. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Ха-ланай, Д. Векслер. М. : Мир, 1971.

38. Agarwal, R.P. Difference equations and inequalities. Theory, methods and applications / R.P. Agarwal. New York : Marcel Dekker, Inc., 1992.

39. Baker, С.Т.Н. Modelling and analysis of time-lags in some basic patterns of cell proliferation / C.T.H. Baker, G.A. Bocharov, C.A.H. Paul, F.A. Rihan // J. Math. Biol. 1998. - V. 37. - P. 341371.

40. Begon, M. Population ecology: a united study of animals and plants / M. Begon, M. Mortimer. Oxford : Blackwell Sci. Publ., 1981.

41. Berezansky, L. On exponential dichotomy, Bohl-Perron type theorems and stability of difference equations / L. Berezansky, E. Braverman // J. Math. Anal. Appl. 2005. - V. 304, № 2. -P. 511-530.

42. Berezansky, L. Sufficient conditions for the global stability of nonautonomous higher order difference equations / L. Berezansky, E. Braverman, E. Liz // J. Difference Equ. Appl. 2005. - V. 11, № 9. - P. 785-798.

43. Beverton, R.J.H. On the dynamics of exploited fish population / R.J.H. Beverton, S.J. Holt // Fishery invest. 1957. - Ser. 2, № 19.- P. 1-533.

44. Chen, Ming-Po. Oscillations and global attractivity in a delay logistic difference equation / Ming-Po Chen, J.S. Yu // J. Difference Equ. Appl. 1995. - V. 1. - P. 227-237.

45. Clark, C.W. A delay-recruitment model of population dynamics, with an application to baleen whale populations / C.W. Clark // J. Math. Biol. 1976. - V. 3. - P. 381-391.

46. Cohn, A. Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise / A. Cohn // Mathematische Zeitschrift.- 1922. V. 14, № 1. - P. 110-148.

47. Cooke, K.L. Numerical approximation of the solutions of delay differential equations on an infinite interval using piesewise constant arguments / K.L.Cooke, I. Gyori // Сотр. Math. Appl.- 1994. V. 28. - P. 81-92.

48. Cushing, J.M. A periodically forced Beverton-Holt equation / J.M. Cushing, S.M. Henson // J. Difference Equ. Appl. 2002. - V. 8, № 12. - P. 1119-1120.

49. Dannan, F.M. Asymptotic stability of linear difference equations of advanced type /F.M. Dannan, S.N. Elaydi // J. Сотр. Anal. Appl. 2004. - V. 6, № 2. - P. 423-428.

50. Dannan, F.M. The asymptotic stability of x{n + k) + ax{n) + bx{n 0 = 0 / F.M. Dannan // J. Difference Equ. Appl. - 2004.- V. 10, № 6. P. 589-599.

51. Diblik, J. Representation of solutions of discrete delayed system х(к + 1) = Ах{к) Bx(k — m) + /(fc) with commutative matrices / J. Diblik, D.Ya. Khusainov // J. Math. Anal. Appl. 2006. -V. 318, № 1. - P. 63-76.

52. Elaydi, S.N. An introduction to difference equations / S.N. Elaydi.- New York : Springer-Verlag, Inc., 1999.

53. Elaydi, S. Periodic difference equations, population biology and the Cushing-Henson conjectures / S. Elaydi, R.J. Sacker // Mathematical Biosciences. 2006. - V. 201. - P. 195-207.

54. Elaydi, S.N. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems / S.N. Elaydi // J. Math. Anal. Appl. 1994. - V. 181, № 2 - P. 483-492.

55. Elaydi, S. Stability and periodicity of difference equations with finite delay / S. Elaydi, S. Zhang // Funkcialaj Ekvac. 1994. -V. 37. - P. 401-413.

56. Gell, F.R. Benefits beyond boundaries: the fishery effects of marine reserves / F.R. Gell, C.M. Roberts // Trends in Ecology and Evolution. 2003. - V. 18, № 9. - P. 448-455.

57. Gopalsamy, K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics / K. Gopalsamy. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1992.

58. Gopalsamy, K. Time lags and global stability in two-species competition / K. Gopalsamy // Bull. Math. Biol. 1980. - № 42. - P. 729-737.

59. Gryazina, E.N. Stability regions in the parameter space: D -decomposition revisited / E.N. Gryazina, B.T. Polyak // Automatica. 2006. - № 1. - P. 13-26.

60. Gyori, I. Stability in delay perturbed differential and difference equations / I. Gyori, F. Hartung // Fields Institute Communications. 2001. - V. 29. - P. 181-194.

61. Gyori, I. Asymptotic stability in a linear delay difference equation / I. Gyori, M. Pituk // Proc. of SIGDEA, Veszprem, Hungary, August 6-11, 1995. Langhorne, PA : Gordon and Breach Science, 1997.

62. Halanay, A. Differential equations: stability, oscillations, time lags / A. Halanay. New York : Academic press, 1966.

63. Jaroma, J.H. Oscillations and stability of a discrete delay logistic model / J.N. Jaroma, S.A. Kuruklis, G. Ladas // Ukrain. Math. J. 1991. - № 43. - P. 734-744.

64. Jury, E.I. A simplified stability criterion for linear discrete systems / E.I. Jury // ERL Report. Series. 1961. - № 60. - P. 373.

65. Kocic, V.L. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications / V.L. Kocic, G. Ladas. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993.

66. Kovacsvolgyi, I. The asymptotic stability of difference equations / I. Kovacsvolgyi // Appl. Math. Letters. 2000. - № 13. - P. 1-6.

67. Kuruklis, S.A. The asymptotic stability of x(n -f 1) — ax(n) -f bx(n k) = 0 / S.A. Kuruklis // J. Math. Anal. Appl. - 1994. -V. 188, № 3. - P. 719-731.

68. Kuruklis, S.A. Oscillations and global attractivity in a discrete delay logistic model / S.A. Kuruklis, G. Ladas // Quart. Appl. Math. 1992. - № 50. - P. 227-233.

69. Ladas, G. Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations / G. Ladas, Y.G. Sficas, I.P. Stavroulakis // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 88, № 3. - P. 247-253.

70. LaSalle, J.P. The Stability of Dynamical Systems / J.P. LaSalle. -Pennsylvania : SIAM, 1976.

71. Lasunkii, A.V. A remark on the stability theory of linear systems of finite-difference equations / A.V. Lasunkii // Differential Equ.- 1998. V. 34, № 4. - P. 569-572.

72. Levin, S.A. A note on difference-delay equations / S.A. Levin, R. May // Theor. Pop. Biol. 1976. - V. 9, № 2. - P. 178-187.

73. Levitskaya, I.S. A note on the stability oval for xn+i = xn+Axn-k / I.S. Levitskaya // J. Difference Equ. Appl. 2005. - V. 11, № 8. -P. 701-705.

74. Liz, E. On explicit conditions for the asymptotic stability of linear higher order difference equations / E. Liz // J. Math. Anal. Appl.- 2005. V. 303. - P. 492-498.

75. Liz, E. Discrete Halanay-type inequalities and applications / E. Liz, A. Ivanov, J.B. Ferreiro // Nonlinear Analysis. 2003.- V. 55, № 6. P. 669-678.

76. Liz, E. A note on the global stability of generalized difference equations / E. Liz, J.B. Ferreiro // Appl. Math. Letters. 2002. -V. 15, № 6. - P. 655-659.

77. Liz, E. Asymptotic estimates and exponential stability for higher-order monotone difference equations / E. Liz, M. Pituk // Advances in Differernce Equ. 2005. - V. 2005, № 1. - P. 41-55.

78. Liz, E. Global stability in discrete population models with delayed-density dependence / E. Liz, V. Tkachenko, S. Trofimchuk // Math. Biosciences 2006. - V. 199, № 1. - P. 26-37.

79. Liu, P. A discrete analogue of an integrodifferential equation / P. Liu, L. Chen, X. Cui // Сотр. Math. Appl. 1999. - № 37. -P. 41-55.

80. Liu, P. Hyperbolic logistic difference equation with infinitely many delays / P. Liu, X. Cui // Math, and Сотр. in Simulation. 2000.- № 52. P. 231-250.

81. Matsunaga, H. The asymptotic stability of a two-dimensional linear delay difference equation / H. Matsunaga, Т. Hara // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. 1999.- V. 6. P. 465-473.

82. May, R.M. Biological populations obeying difference equations: stable points, stable cycles and chaos / R.M. May //J- Theor. Biol. 1975. - V. 51, № 2. - P. 511-524.

83. May, R.M. Stability and complexity in model ecosystems / R.M. May. Princeton : Princeton Univ. Press, 1973.

84. Murakami, K. Stability and bifurcation in a discrete-time predator-prey model / K. Murakami //J. Difference Equ. Appl.- 2007. V. 13, № 10. - P. 911-925.

85. Nichols, H.B. Canadian east coast marine protected areas / H.B. Nichols // Ocean and Coastal Management. 1998. - V. 39.- P. 87-96.

86. Papanicolaou, V.G. On the asymptotic stability of a class of linear difference equations / V.G. Papanicolaou // Mathematics Magazine. 1996. - V. 69, № 1. - P. 34-43.

87. Perron, O. Uber lineare Differenzengleichungen / O. Perron // Acta Math. 1911. - № 34. - P. 109-137.

88. Perron, O. Uber Stabilitat und Asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen / O. Perron // Math. Zeit. 1929. - № 29. - P. 129-160.

89. Petropoulou, E.N. Existence of complex l2 solutions of linear delay systems of difference equations / E.N. Petropoulou, P.D. Siafarikas // J. Difference Equ. Appl. 2005. - V. 11, № 1. - P. 4962.

90. Pielou, E.C. An introduction to mathematical ecology / E.C. Pielou. New York : Wiley Interscience, 1969.

91. Pielou, E.C. Population and community ecology / E.C. Pielou. -New York : Gordon and Breach, 1974.

92. Poincare, H. Sur Les Equations Lineaires aux Differentielles Ordinaires et aux Differences Finies / H. Poincare // Amer. J. Math. 1885. - V. 7. - P. 203-258.

93. Polyak, B.T. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index / B.T. Polyak, M.E. Halpern // Int. J. Adapt. Contr. and Signal Proc. 2001. - V. 15, № 2. - P. 129-152.

94. Seno, H. A discrete prey-predator model preserving the dynamics of astructurally unstable Lotka-Volterra model / H. Seno // J. Difference Equ. Appl. 2007. - V. 13, № 12. - P. 1155-1170.

95. Skellam, J.G. Random dispersal in theoretical populations / J.G. Skellam // Boimetrika. 1951. - V. 38. - P. 196-218.

96. Skellam, J.G. Seasonal periodicity in theoretical population ecology / J.G. Skellam // Proc. 5th Berkeley. 1967. - V. 4. -P. 179-205.

97. Tang, X.H. Asymptotic behavior of Volterra difference equations / X.H. Tang, Z. Jiang // J. Difference Equ. Appl. -2007. V. 13, № 1. - P. 25-40.

98. Tang, X.H. Stability in m-dimensional linear delay difference system / X.H. Tang, Z. Jiang //J. Difference Equ. Appl. 2007.- V. 13, № 10. P. 927-944.

99. Yu, J.S. Asymptotic stability for a linear difference equation with variable delay / J.S. Yu // Сотр. Math. Appl. 1998. - V. 36, № 10/12. - P. 203-210.

100. Zhang, S. Stability of infinite delay difference systems / S. Zhang // Nonlin. Analysis, Theory, Methods, Applications. -1994. V. 22, № 9. - P. 1121-1129.

101. Kipnis, M.M. Stability of a delay difference system / M.M. Kipnis, D.A. Komissarova // Advances in Difference Equ. 2006. - V. 2006.- P. 1-9. http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/ADE/2006/31409

102. Комиссарова, Д.А. Устойчивость некоторых разностных систем / Д.А. Комиссарова, М.М. Кипнис // Изв. Челябинского науч. центра. 2006. - Вып. 1(31). - С. 1-4.http://csc.ас.ru/еj/issue/ru/34

103. Комиссарова, Д.А. Устойчивость разностных систем с запаздыванием / Д.А. Комиссарова // Математика. Механика. Информатика: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Челябинск, 1922 сент. 2006. Челябинск : ЧелГУ, 2006. - С. 71.

104. Комиссарова, Д.А. Достаточные условия асимптотической устойчивости общей разностной системы / Д.А. Комиссарова // Вестник ЮУрГУ. Сер. математика, физика, химия. -2007. Вып. 8, № 3(75). - С. 24-27.

105. Kipnis, М.М. A note on explicit stability conditions for autonomous higher order difference equations / M.M. Kipnis, D.A. Komissarova //J. Difference Equ. Appl. 2007. - V. 13, № 5. - P. 457-461.

106. Комиссарова, Д.А. Простые признаки устойчивости дискретных моделей динамики популяций / Д.А. Комиссарова // Системы управления и информационные технологии. 2007. -№ 2.2(28). - С. 240-242.

107. Комиссарова, Д.А. Об устойчивости дискретных моделей динамики популяций / Д.А. Комиссарова, М.М. Кипнис // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2007. - Т. 14, Вып. 4. -С. 726-727.