автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Усреднение и асимптотические методы в вибрационных задачах оптимального управления

ВВЕДЕНИЕ

1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Динамическая эквивалентность вибрационной и усредненной систем.

1.2 Вибрационная стабилизируемость линейных систем.

1.3 Алгебраическое уравнение Риккати

1.4 Дифференциальное уравнение Риккати.

1.5 #oo алгебраическое и дифференциальное уравнения Риккати

2 УПРАВЛЯЕМОСТЬ ВИБРАЦИОННЫХ СИСТЕМ В СРЕДНЕМ И СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ ВИБРАЦИОННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

2.1 Вибрационная стабилизация по отношению к части переменных. Управляемость в среднем вблизи устойчивого подпространства

2.2 Стабилизируемость вибрационной обратной связью.

3 ОБЛАСТЬ ПРИТЯЖЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

3.1 Предположения и формулировка основного результата.

3.2 Доказательство основного результата.

3.3 Пример.

4 ВИБРАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ И #оо ЗАДАЧАХ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

4.1 Приближенное решение задачи Коши для уравнения Риккати с быстро осциллирующими коэффициентами при помощи метода усреднения.

4.2 Приближенное решение линейно-квадратичной (Дх>) задачи в системе с вибрациями.

4.3 Влияние вибраций на максимальное стационарное решение усредненного уравнения Риккати и минимум целевого функционала

4.4 Линейно-квадратичная задача о вибрационной стабилизации по отношению к части переменных и оптимальном перемещении вблизи устойчивого подпространства.

4.5 Вибрационная стабилизация и оптимальное перемещение тележки с перевернутым маятником.

5 ВИБРАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ И Яоо ЗАДАЧАХ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

5.1 Стабилизирующее периодическое решение уравнения Риккати с быстро осциллирующими коэффициентами. Доказательство существования при помощи метода усреднения.

5.2 Приближенное решение линейно-квадратичной (Д») задачи в системе с вибрациями.

В различных динамических системах часто возникает необходимость изменения их динамических свойств, например, их стабилизации по отношению ко всем или к части переменных или изменения их поведения в присутствии внешних возмущений. Традиционно главным принципом автоматического управления является управление с обратной связью, предусматривающее необходимость измерения состояния системы.

Однако, в некоторых системах, требующих внесения управляющего воздействия, измерение состояния не представляется возможным. В качестве альтернативы управлению с обратной связью С. М. Меерковым в 1980 году [2] был предложен принцип вибрационного управления, заключающийся во внесении в систему высокочастотных параметрических вибраций с целью изменения ее динамических свойств. При этом иногда оказывается возможным добиться нужного изменения поведения системы без измерения ее состояния.

Принцип вибрационного управления может быть проиллюстрирован на следующем примере. Рассмотрим перевернутый маятник, точка подвеса которого совершает колебания вдоль вертикальной линии по закону д sin cot. Данная система описывается уравнением д- fiio2 sineot х + \х----х : 0. (1) L

В случае со 1, используя принцип усреднения [1], мы можем от уравнения (1) перейти к усредненному уравнению

Тривиальное решение последнего уравнения асимптотически устойчиво при ш2ц2/21 > д, что означает, что при достаточно высокой частоте колебаний вибрационное воздействие вызывает стабилизацию неустойчивого положения маятника.

Теория вибрационного управления для линейных систем была представлена S. Меегкоу'ым в [2, 3], ее расширение на нелинейный случай - в работах R. Bellman'a, J. Bentsman'a и S. Meerkov'a [4, 5]. Как было сказано выше, основная идея метода состоит во внесении в систему высокочастотных параметрических вибраций с целью изменения ее динамических свойств. Если при этом оказывается возможным при помощи метода усреднения разделить движение системы на медленное (соответствующее движению усредненной системы) и быстрые колебания, то для анализа динамического поведения вибрационной системы можно использовать только поведение усредненной системы. Необходимо только установить близость траекторий вибрационной и усредненной систем, или, в терминологии [4, 5], их динамическую эквивалентность. Основные утверждения [4, 5], касающиеся динамической эквивалентности вибрационной и усредненной систем, приведены в Главе 1 настоящей диссертации, содержащей предварительные сведения.

Методы усреднения, стабилизации неустойчивых состояний и другие аспекты теории вибрационного управления были также развиты для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (в работах К. Shujaee и В. Lehman'a [6], В. Lehman'a, J. Bentsman'a, S. V. Lunel'a и E. I. Verreist'a [7], J. Bentsman'a, K. S. Hong'a и J. Fakhfakh'a [8]) и уравнений в частных производных (в работах J. Bentsman'a, S. Meerkov'a и X. Shu [9, 10] и J. Bentsman'a и К. S. Hong'a [И]).

Метод вибрационного управления нашел свое применение в решении многих прикладных задач. В [10] и статье Б. Лемана, Дж. Р. Граефа и Д. Шахая [12] описано приложение теории вибрационного управления к управлению популяционной динамикой.

В [5] описано применение вибрационного управления при управлении термохимическим реактором. Показано, что при помощи вибраций может быть стабилизирован ранее неустойчивый режим работы реактора. В работе A. Cinar'c J. Ding'a, S. Meerkov'a и X. Shu [13] данная задача была решена для случая уравнений с запаздывающим аргументом.

Методы вибрационного управления были применены в задачах управления термохимическими системами, освещенными лазером (J. Fakhfakh, J. Bentsman [14]) и других задачах.

В настоящей диссертации представлено применение теории вибрационного управления к задачам управления. Рассмотрены следующие три класса задач:

1. Задачи стабилизации линейной системы по отношению к части переменных и управления при помощи малого управления вблизи устойчивого подпространства, а также стабилизвции нестабилизируемой системы при помощи вибрационной обратной связи;

2. Задачи линейно-квадратичной оптимизации;

3. #оо задачи.

В задачах первого класса вибрации вносятся с целью стабилизации системы по отношению к части переменных и перемещения ее при помощи малого управления вдоль устойчивого подпространства. При этом использовано введенное в книге Э. Б. Ли и JI. Маркуса [18] понятие управляемости со сколь угодно малым управлением.

Линейно-квадратичные задачи являются классическим разделом теории управления и хорошо изучены начиная с 60-х годов. Классическая линейно-квадратичная задача может быть поставлена следующим образом. Рассмотрим линейную систему

A(t)x + B(t)u, ж(0) = х0 х £ Rn - вектор состояния, и G Rr - управление, - начальное условие) с квадратичным целевым функционалом

J (и) = xt(T)Qx(T) + fQT[xT(t)C(t)x(t) + uT(t)D(t)u(t)]dt, (3) на конечном интервале времени или

A0Q

J (и) = / [xT(t)C(t)x(t) + uT(t)D(t)u(t)]dt (4) j о на бесконечном, где А, В, D = DT > О, С = Ст > 0 - непрерывные матричные функции и Q = QT >0.

Известно (например М. Атанс, П. Фалб [19], Н. Н. Красовский [20], В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов [21]), что минимум функционала (3) (или (4)) на траекториях системы (2) реализуется управлением и* - -S~lBT,R*(t)x{t), (5) где R(t) - положительно определенное симметричное решение задачи Коши для матричного дифференциального уравнения Риккати

R = —AT(t)R - RA(t) + RD(t)R - C(t), (6) которое при Т < оо удовлетворяет конечному условию R(T) = Q; при Т = оо таково, что система х = (Ар) - B{t)S~1{t)BT{t)R*{t)) х асимптотически устойчива.

В отличие от классической линейно-квадратичной задачи, в Н^ задачах система находится под воздействием не только управления, но и внешнего возмущения (помех). Целью управления является нахождение управляющего воздействия, при котором влияние помех на выход системы будет минимально. Мерой влияния помех на выход системы при этом является так называемая Яоо-норма, являющаяся нормой оператора, ставящего в соответствие возмущению выход системы при фиксированном управлении.

Начало теории Д^ было положено в 1981 году работой G. Zames'a [56]. В последующие годы основным предметом исследования в данной области было не нахождение управления, минимизирующего До-норму, а описание всех управлений, при которых она достигает определенного уровня. При этом рассмотрение проводилось в частотной области, то есть под До-нормой понималась специально определенная норма передаточной матрицы G(s) от возмущения к выходу

11<2|ко = SUP [p(G*(iw)G(iuj))]1/2, w€R где * обозначает эрмитово сопряжение, р - спектральный радиус. В числе основных трудов в этом направлении были работы В. A. Fancis'a, J. С. Doyle'a, G. Zames'a [57, 58, 59] и др. В дальнейшем было показано, что важную роль в построении До-оптимального управления играет уравнение Риккати, аналогичное тому, которое возникает в линейно-квадратичных играх [60, 61, 62]. Это породило новую ветвь Нтеории, в которой процесс До-оптимизации ассоциируется с линейно-квадратичной дифференциальной игрой, в которой управление является одним из игроков, а возмущение другим. При этом целью оптимизации является нахождение управления и возмущения, являющихся седловой точкой выпукло-вогнутого квадратичного функционала. Введение в До-теорию на основе теории дифференциальных игр содержится в работе Т. Basar'a и P. Bernard'a [64]. Настоящая диссертация в части, касающейся До задач следует данному подходу.

1. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Физматгиз, 1963, 410 с.

2. S. Meerkov, Vibrational control theory // Journal of the Franklin Institute, 1977, V. 303, pp. 117-128.

3. S. Meerkov, Principle of vibrational control: theory and applications // IEEE Transactions on Automatic Control, 1980, V. AC-25, pp. 755-762.

4. R. Bellman, J. Bentsman, and S. Meerkov, Vibrational control of nonlinear systems: Vibrational stabilizability // IEEE Transactions on Automatic Control, 1986, V. AC-31, pp. 710-716.

5. R. Bellman, J. Bentsman, and S. Meerkov, Vibrational control of nonlinear systems: Vibrational controllability and transient behavior // IEEE Transactions on Automatic Control, 1986, V. AC-31, pp. 717-724.

6. K. Shujaee, B. Lehmann, Vibrational feedback control of time delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, V. 42, pp. 1529-1545.

7. J. Bentsman, K. S. Hong, and J. Fakhfakh, Vibrational control of nonlinear time lag systems: vibrational stabilization and transient behavior // Automatica, 1991, V. 27, pp. 491-500.

8. J. Bentsman, S. Meerkov, and X. Shu, Vibrational stabilizability of a class of distributed parameter systems // Proceedings of IV IF AC Symposium on Control of Distributed Parameter Systems, IFAC Proc. Series, Pergamon Press, 1987, V. 3, pp. 453-457.

9. J. Bentsman, S. Meerkov, and X. Shu, Vibrational control of nonlinear parabolic systems // IFAC World Congress, Munich, 1987, V. 9, pp. 285288.

10. J. Bentsman, K. S. Hong, Transient behavior analysis of vibrationally controlled nonlinear parabolic systems with Neumann boundary conditions // IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, V .38, pp. 1603-1607.

11. Дж. P. Граэф, Б. Леман, Д. Сахай, Вибрационное управление моделями одно- и двухвидовых популяций с удалением и запаздываниями // Автоматика и телемеханика, 1996, Т. 57, сс. 34-47.

12. A. Cinar, J. Ding, S. Meerkov, and X. Shu, Vibrational control of an exotermic reaction in a CSTR: Theory and experiments // AIChE Journal, 1987, V. 3, pp. 353-365.

13. J. Fakhfakh, J. Bentsman, Experiment with vibrational control of a laser illuminated thermochemical system // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1990, V. 110, pp. 353-365.

14. Л. А. Сафонов, В. В. Стрыгин, Область притяжения максимального стационарного решения матричного уравнения Риккати в критическом случае // НИИМ Воронеж, 2000. - Препринт №6, август 2000, 19 с.

15. Э. Б. Ли, Л. Маркус, Основы теории оптимпльного управления, М., 1972.

16. М. Атанс, П. Фалб, Оптимальное управление: Введение в теорию и приложения, М., 1968.

17. Н. Н. Красовский, Проблемы стабилизации управляемых движений, М., Наука, 1965.

18. В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов, Математическая теория конструирования систем управления, Высшая Школа, М., 1998.

19. R. Bucy, Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance, Interscience, New York, 1968.

20. B. Anderson and J. Moore, Linear optimal control, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971.

21. R. E. Kalman, Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Matem. Мех., 1960, V. 5, pp. 102-119.

22. R. E. O'Malley, Jr., Introduction to Singular Perturbations, Academic Press, New York, 1974.

23. A. B. VasiFeva, V. F. Butusov, L. V. Kalachev, Boundary Functions Method for Singular Perturbation Problems. Studies in Applied mathematics, 14, SIAM, 1995.

24. P. V. Kokotovic, Applications of singular perturbation techniques to control problems // SIAM Review, 1984, V. 26, pp. 501-550.

25. P. V. Kokotovic, H. Khalil, J. O'Reilly, Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design, Academic Press, London, 1987.

26. Г. А. Курина, Г. В. Мартыненко, О приводимость неотрицательно-гамильтоновой периодической оператор-функции, действующей в вещественном гильбертовом пространстве, к блочно-диагональному виду // Доклады Академии Наук, 2000, Т. 371, N. 5, сс. 594-596.

27. Г. А. Курина, Г. В. Мартыненко, О приводимости неотрицательной гамильтоновой вещественной периодической матрицы к блочно-диагональной форме // Матеметические заметки, 1999, Т. 66, N. 5, сс. 688-695.

28. Г. А. Курина, Асимптотика решения матричного сингулярно возмущенного уравнения Рикати // Доклады Академии Наук СССР, 1988, Т. 301, N. 1, сс. 26-30.

29. Г. А. Курина, Высшие приближения метода малого параметра для сла-боуправляемых систем // Доклады Академии Наук, 1995, Т. 343, N. 1, сс. 28-32.

30. И. А. Бахтин, Об одном критерии нормальности конуса, Труды семинара по функциональному анализу, Воронеж, вып. 6, 1958.

31. А. И. Перов, Дискретное матричное уравнение Лурье: Сингулярный случай // Автоматика и телемеханика, 2000.

32. А. И. Перов, Дискретное матричное уравнение Лурье: Регулярный случай // Автоматика и телемеханика, 1995, №3, с 21.

33. Z. Artstein, V. Gaitsgory, Tracking fast trajectories along a slow dynamics: A singular perturbations approach // SIAM Journal of Control and Optimization, 1997, V. 35, pp. 1487-1507.

34. Z. Artstein, V. Gaitsgory, Linear-quadratic tracking of coupled slow and fast targets // Mathematics of Control and Signal Systems, 1997, V. 10, pp. 1-30.

35. В. В. Стрыгин, Об одной модификации метода усреднения при отыскании высших приближений, Прикладная матеметика и механика, 1984, Т. 48, С. 1042-1045.

36. V. V. Strygin, D. G. Esippenko, Method of separation of movement and higher order averaging for nonlinear systems with quasiperiodic coefficients // Nonlinear World, 1996, No.4, pp. 807-834.

37. C. R. Schneider, Global aspects of the matrix Riccati equation // Math. Systems Theory, 1973, V. 7, pp. 281-286.

38. V. Kucera, A contribution to matrix quadratic equations // IEEE Transactions on Automatic Control, 1972, V. AC-17, pp. 344-347.

39. V. Kucera, Algebraic Riccati equation: hermitian and definite solutions, в "The Riccati Equation", Springer, Berlin, 1991.

40. L. Rodman, On extremal solutions of the algebraic Riccati equation // Lectures in Applied Mathematics, 1980, V. 18, pp. 311-327.

41. P. Lancaster, L. Rodman, Existence and uniqueness theorems for the algebraic Riccati equation // International Journal of Control, 1980, V. 32, pp. 285-309.

42. P. Lancaster, L. Rodman, Algebraic Riccati Equation, Oxford University Press, 1995.

43. J. Rodriguez-Canabal, The geometry of the Riccati equation // Stochastics, V. 1, pp. 544-566.

44. J. С. Willems, Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation // IEEE Transactions on Automatic Control, 1971, V. AC-16, pp. 621-634.

45. В. P. Molinari, The time-invariant linear-quadratic optimal control // Automatica, 1977, V. 13, pp. 347-357.

46. F. M. Callier, J. L. Willems, Criterion for the convergence of the solution of the Riccati differential equation // IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, V. AC-26, pp. 1232-1242.

47. M. A. Shayman, Geometry of the algebraic Riccati equation, Parts I and II // SIAM Journal of Control and Optimization, 1983, V. 21, 375-394 и 395-409.

48. M. A. Shayman, A geometric view of the matrix Riccati equation, в "The Riccati Equation", Springer, Berlin, 1991.

49. M. A. Shayman, Phase portrait of the matrix Riccati equation // SIAM Journal of Control and Optimization, 1983, V. 21, pp. 375-394.

50. А. С. Озиранер, Об асимптотической устойчивости и неустойчивости по отношению к части переменных // Прикладная математика и механика, 1973, Т. 37, сс. 659-665.

51. G. Tadmor, The standard problem and the maximum principle: the general linear case // SIAM Journal of Control and Optimization, 1993, V. 31, pp. 813-846.

52. G. Zames, Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformation, multiplicative seminorms and approximate inverses // IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, V. AC-26, pp. 301-320.

53. B. A. Francis, A course in H^ control theory, Lecture Notes in Control and Information Sciences, V. 88, Springer-Verlag, New York, 1987.

54. В. A. Francis, J. Doyle, Linear control theory with an Hc0 optimality criterion // SIAM Journal of Control and Optimization, 1987, V. 25, pp. 815-844.

55. B. A. Francis, J. W. Helton, G. Zames, ^-optimal feedback controllers for linear multivariable systems // System and Control Letters, 1984, V. 11, pp. 888-900.

56. J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar, B. A. Francis, State-space solutions to standard #2 and Я^ control problems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1989, V. 34, pp. 831-847.

57. K. Glover, J. C. Doyle, State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfy an Яоо-norm bound and relations to risk sensitivity // Systems and Control Letters, 1988, V. 11, 167-172.

58. P. P. Khargonekar, I. R. Petersen, M. A. Rotea, Яоо-optimal control with state-ffedback // IEEE Trnsactions on Automatic Control, 1988, V. AC-33, pp. 786-788.

59. R. Ravi, К. M. Nagpal, P. P. Khargonekar, control of linear time-varying systems: a state-space approach // SIAM Journal of Control and Optimization, 1991, V. 6, pp. 1394-1413.

60. T. Basar, P. Bernard, Яоо-optimal control and related minimax design problems. A dinamic game approach, Birkhauser, Boston, 1991.

61. A. Stoorvogel, The Яоо control problem, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1992.

62. A. Stoorvogel, Stabilizing solutions of the Я^ algebraic equation // Linear Algebra and Its Applications, 1995, V. 240, pp. 153-172.

63. M. А. Красносельский, Вайникко Г. M., Забрейко П. П. Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я., Приближенное решение операторных уравнений, Наука, М., 1969.ЛИТЕРАТУРА log

64. G. Hewer, Existence theorems for positive semidefinite and sign indefinite stabilizing solutions of H^ Riccati equations // SIAM Journal of Control and Optimization, 1993, V. 31, pp. 16-29.

65. P. Bolzern, P. Colaneri, G. De Nicolao, Яоо-differential equations: convergence properties and finite escape phenomena // IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, V. 42, pp. 113-118.

66. P. Bolzern, P. Colaneri, G. De Nicolao, Finite escapes and convergence properties of guaranteed-cost robust filters // Automatica, 1997, V. 33, pp. 31-47.

67. T. Sasagawa, A necessary and sufficient condition for the solution of the Riccati equation to be periodic, IEEE Transactions on Automatic Control, 1980, V. AC-25, pp. 564-566.

68. P. E. Crouch, M. Pavon, On the existence of solutions of the Riccati differential equation // Systems and Control Letters, 1987, V. 9, pp. 203206.

69. H. Kwakernaak, R. Sivan, Linear optimal control systems, Wiley, New York, 1972.

70. JI. А. Сафонов, В. В. Стрыгин, Метод осреднения в линейно-квадратичных задачах управления // Доклады РАН, 2000, Т. 235, №2, сс.158-160.

71. Л. А. Сафонов, Вибрационное управление в Н^ задачах // Воронеж, ун-т., Воронеж, 2001. Деп. в ВИНИТИ 26.03.01 ДО730-В2001.