автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Точные сверху дифференциальные включения в задачах усреднения

Введение

1 Усреднение дифференциальных включений

1.1 Основные понятия и классы отображений

1.2 Постановка задачи аппроксимации сверху, известные результаты

2 Построение аппроксимирующего сверху дифференциального включения для задач с полунепрерывной правой частью

2.1 Леммы.

2.2 Теорема о построении аппроксимирующего сверху дифференциального включения.

2.3 Примеры построения аппроксимирующего сверху дифференциального включения.

3 О точном сверху дифференциальном включении для задач с непрерывной правой частью

3.1 Основная теорема.

3.2 Следствия о точных сверху дифференциальных включениях

3.3 Примеры построения точного сверху дифференциального включения

4 Анализ одной макроэкономической модели

4.1 Постановка задачи.

4.2 Примеры одно- и многопродуктовых моделей

При решении различных проблем современного естествознания часто возникают модели, которые можно описывать дифференциальными включениями. В настоящее время теория дифференциальных включений используется в задачах оптимального управления, физики, экономики [6, 15, 16, 17, 37, 43, 46, 48, 70].

Дифференциальные включения являются естественным обобщением дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения как средство описания детерминированных физических процессов использовались еще И.Ньютоном [2, 42]. Но такие модели не принимают во внимание некоторую неопределенность в описании различных процессов, неточность задания и неполноту информации о системе. Это особенно характерно для систем, полученных, например, в макроэкономике, социологии, биологии [85]. Но в отличие от стохастических дифференциальных уравнений дифференциальные включения позволяют описывать динамику системы, не используя вероятностные характеристики модели, что во многих случаях позволяет избежать априорных предположений о таких характеристиках. Аппарат дифференциальных включений является удобным и общим средством для описания недетерминированных процессов.

В первых исследованиях по дифференциальным уравнениям с многозначной правой частью (дифференциальным включениям), которые были проведены С.Зарембой [92] и А.Маршо [89], была предпринята попытка обобщить существовавшие в то время результаты по теории дифференциальных уравнений. Доказанные теоремы не имели в то время применений и были забыты.

Своим вторым рождением дифференциальные включения обязаны математической теории оптимального управления.

В начале шестидесятых годов появился цикл работ Т.Важевского [90, 91] и А.Ф.Филиппова [71, 72, 73], в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью, а также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления, что привело к бурному развитию теории дифференциальных включений.

Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Обширная библиография этих исследований содержится, например, в [6, 8, 74, 85]. Необходимый для данной работы математический аппарат (элементы выпуклого анализа, теория опорных функций, сведения из теории многозначных отображений) изложен, например, в [4, 5, 62].

•Многие математические модели описываются дифференциальными включениями. При изучении эволюции моделей, где имеет место медленное изменение параметров, соответствующая формализация приводит к дифференциальным включениям с быстрыми и медленными переменными. В прикладных исследованиях часто основную информацию об эволюционных процессах системы несут медленные движения. Математически это связано с подходящим выбором системы координат. Для таких задач естественно воспользоваться приближенным анализом свойств системы, обращая внимание только на медленные переменные, которые характеризуются малым параметром /г, рь << 1, при многозначном векторном поле скоростей части переменных. Остальные переменные носят название быстрых. При анализе исходная задача заменяется другой, более простой, которая описывает эволюцию медленных переменных, как правило, на асимптотически большом промежутке времени: T(fi) = [0,1///], fi —> 0. Утверждение о близости решений исходной системы и аппроксимирующей (усредненной) по медленным переменным в промежутке T(/i) принято называть принципом усреднения.

В той или иной форме метод усреднения применялся еще основоположниками небесной механики для анализа нелинейных систем, содержащих медленные переменные.

К 30-м годам уже было исследовано значительное число задач нелинейной механики на основании интуитивно ясного подхода аппроксимации медленных движений системы движениями упрощенной, так называемой усредненной, системы. Ван-дер-Поль использовал по существу принцип усреднения для изучения нелинейных проблем в радиотехнике на примере модели лампового генератора [12].

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными переменными принцип усреднения был доказан Н.Н.Боголюбовым в 30-е годы [7].

В работе [43] первая теорема Боголюбова [7, 39, 40, 46, 53, 77] была обобщена на случай дифференциальных включений. Эффективные результаты, полученные в прикладных задачах, а главное, актуальные постановки еще нерешенных проблем стимулировали развитие теории усреднения во всех направлениях [1, 13, 14, 18, 19, 39, 43, 52, 69, 77, 78, 79, 81]. В частности, В.М.Волосов разработал общую схему усреднения, доказал теоремы, дающие строгое обоснование для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными и рассмотрел многочисленные частные случаи. В [18, 21, 36] рассматривалась проблема непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров.

Более общий класс задач, описываемых дифференциальными включениями, потребовал и соответствующего развития математического аппарата, которое произошло в конце 50-х годов прошлого столетия в связи с появлением классических результатов теории оптимального управления [50, 71].

В задачах усреднения дифференциальных включений с медленными переменными первые результаты были получены В.А. Плотниковым в конце 70-х годов [43, 44]. Этот результат был затем перенесен на различные схемы частичного усреднения [45], интегро-дифференциальные включения [46, 49], дифференциальные включения с быстрыми и медленными переменными [17, 68, 70, 80], функционально-дифференциальные включения [9, 88], дифференциальные включения в банаховом пространстве [82, 83], дифференциальные уравнения с разрывной правой частью [46, 75, 76], дифференциальные включения с запаздыванием [47], дифференциальные включения с управлением [59, 63], дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями [10], дифференциальные включения с нелипшицевой правой частью [46, 48, 86, 87]. В книгах [46, 48] имеется достаточно подробная библиография по вопросам усреднения дифференциальных уравнений и включений.

Традиционная область применения дифференциальных включений — теория управления [6, 46, 48]. В настоящей работе задачи теории управления непосредственно не рассматриваются. Основной результат связан с принципом усреднения для дифференциальных включений.

Применительно к дифференциальным включениям принцип усреднения целесообразно формулировать в виде трех самостоятельных задач: аппроксимации снизу, аппроксимации сверху и взаимной аппроксимации.

Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы аппроксимации, позволяющие ответить на вопрос: может ли некоторое дифференциальное включение аппроксимировать данное по медленным переменным, доказаны в [66, 67, 68, 69, 70].

Мы будем рассматривать задачу аппроксимации сверху. В ней требуется, чтобы любое решение системы приближалось по медленным переменным некоторым решением аппроксимирующего дифференциального включения. То есть для любого решения исходной задачи должно существовать решение аппроксимирующего дифференциального включения, которое отличается по медленным переменным от указанного решения аппроксимирующего включения не более чем на заданное число е > 0, по меньшей мере, в промежутке Т(ц). Величина малого параметра fi зависит от точности аппроксимации е и принадлежит некоторому промежутку (0,/го], ц0 = ^(е).

В [54, 70] рассматривались вопросы построения аппроксимирующих дифференциальных включений для систем с быстрыми и медленными переменными. Поскольку для работы с многозначными отображениями удобно использовать опорные функции многозначного поля скоростей медленных переменных, то было введено понятие усредненной опорной функции. Показано, что с помощью такой функции можно строить правые части аппроксимирующего дифференциального включения [54, 55, 58, 64, 65, 70].

Мы будем строить аппроксимирующие дифференциальные включения для задач с медленными переменными.

Отметим, что аппроксимирующее сверху дифференциальное включение можно построить всегда: достаточно в качестве множества допустимых векторов скоростей в каждой точке фазового пространства взять все пространство скоростей. Разумеется, такое тривиальное построение аппроксимирующего сверху дифференциального включения не дает какой-либо информации о свойствах системы.

Кроме того, задачи построения односторонних аппроксимирующих дифференциальных включений могут быть решены, вообще говоря, неоднозначно. Поэтому возникает проблема выбора «наилучшего» в определенном смысле аппроксимирующего дифференциального включения, что приводит к понятию точных дифференциальных включений.

В связи с возможностью выбора аппроксимирующего дифференциального включения в данном классе задач в [70] было введено понятие точного дифференциального включения. Будем говорить, что дифференциальное включение является точным в задаче аппроксимации сверху, если любая другая, аппроксимирующая сверху исходное включение, задача аппроксимирует сверху также и точное включение.

Вопросы построения точных дифференциальных включений рассмотрены в [57, 61, 70].

Любое точное включение в задаче аппроксимации сверху при заданной погрешности приближения дает исчерпывающее описание эволюции переменных системы на множестве аппроксимирующих сверху включений. Другими словами, если дано аппроксимирующее сверху дифференциальное включение, то оно обязано аппроксимировать сверху точное включение.

Основное положение, доказанное в [61, 70], которое используется в данной работе, сводится к тому, что усредненная опорная функция при естественных предположениях позволяет конструктивно определять точные сверху дифференциальные включения в задаче аппроксимации сверху. Но, если в [57, 61, 70] рассматривались задачи с липшицевой правой частью, то в предлагаемой работе решается проблема построения точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью.

В последней главе работы рассматривается задача построения точного сверху дифференциального включения для макроэкономической модели, описывающей влияние основных фондов на скорость роста валового продукта.

Различные примеры экономических моделей, для описания которых используются дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, приведены соответственно в [51], [33].

Дифференциальные включения для описания экономических моделей использовались в [16, 15].

Макроэкономические модели, характеризующие влияние основных фондов на скорость роста валового продукта, для описания которых используются дифференциальные уравнения, рассмотрены в [11, 35, 41]. О том, что макроэкономические модели можно описывать дифференциальными включениями, говорилось, например, в [85].

При анализе экономической модели с помощью точного сверху дифференциального включения существенным образом используется основной результат данной диссертационной работы. Правые части, полученных в результате формализации, дифференциальных включений не обязательно удовлетворяют условию Липшица. Поэтому требование непрерывности, накладываемое на правые части исследуемых задач, оказывается естественным в экономических исследованиях.

Содержание диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертации

В ходе исследований, выполненных в диссертационной работе, получены следующие основные результаты.

1. Сформулирована и доказана теорема о построении аппроксимирующего сверху дифференциального включения для задач с медленными переменными и полунепрерывной сверху правой частью.

2. Сформулирована и доказана теорема о построении точного сверху дифференциального включения для задач с медленными переменными и непрерывной правой частью.

3. Приведены примеры построения аппроксимирующих сверху дифференциальных включений, точных сверху дифференциальных включений, а также пример, показывающий существенность условия равномерности верхнего предела в определении усредненной опорной функции.

4. Приведен пример аппроксимации макроэкономической модели, описывающей влияние основных фондов на скорость роста валового продукта, точным сверху дифференциальным включением.

Заключение

1. Арнольд В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы// Доклады АН СССР. - 1965. - Т.161. № 1. - С. 9-12.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевск, респ. типография, 2000. 368 с.

3. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во МГУ, 1981. 128 с.

4. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. 4.1. М.: Изд-во МГУ, 1979. 89 с.

5. Благодатских В.И. Оптимальное управление. М. : Высш. шк., 2001. 239 с.

6. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление// Труды Математического института АН СССР. 1985. - Т.169. - С. 194-252.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

8. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 104 с.

9. Булгаков А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений// Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. № 10.- С. 1678-1690.

10. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36. № 12. - С. 15871598.

11. Булинский В.А. К вопросу математического прогнозирования результатов экономического соревнования / / Экономико-математические модели. Сб. 4. М.: Экономика, 1972. С. 3-14.

12. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат, 1935. 42 с.

13. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи математических наук. 1962. - Т.17. № 6.- С. 66-72.

14. Волосов В.М., Моргунов В.О. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: МГУ, 1971. 508 с.

15. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. ун-та. Саран, фил., 1990. 224 с.

16. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск:СВМО, 2001,- 300 с.

17. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука, 1991. 224 с.

18. Гихман И.И. По поводу одной теоремы Н.Н. Боголюбова// Украинский математический журнал. 1952. - Т.4. № 2. - С. 215-219.

19. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем. М.: Наука, 1992. 224 с.

20. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986. 225 с.

21. Демидович Б.П. Об одном обобщении принципа усреднения Н.Н. Боголюбова// Доклады АН СССР. 1954. - Т.96. № 4. - С. 693-694.

22. Зайчикова Н.А. Теорема о существовании точного сверху дифференциального включения// Нелинейное моделирование и управление: Материалы Международного семинара.- Самара, 2000. С. 42-43.

23. Зайчикова Н.А. Усреднение дифференциальных включений с полунепрерывной правой частью// Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. Самара, 2001. - С. 34-42.

24. Зайчикова Н.А. Усреднение дифференциальных включений с полунепрерывной правой частью// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. Вып. 1.- С. 398.

25. Зайчикова Н.А. Построение точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью // Вестник Сам-ГУ. Естественнонаучная серия. 2002. - № 2(24). - С. 24-30.

26. Зайчикова Н.А. Построение точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т.9. Вып. 1С. 192-193.

27. Зайчикова Н.А. Построение точного сверху дифференциального включения для задач с непрерывной правой частью // Понтрягинс-кие чтения-XIII. Сборник материалов. Воронеж, 2002. - С. 59-60.

28. Зайчикова Н.А. Аппроксимация одной экономической макромодели точным сверху дифференциальным включением// Понтрягинские чтения-XIV. Сборник материалов. Воронеж, 2003. - С. 56-57.

29. Зайчикова Н.А. Аппроксимация одной экономической макромодели точным сверху дифференциальным включением// Вестник ТГУ. Естественные и технические науки. 2003. - Т.8. Вып. 3. - С. 386-387.

30. Зайчикова Н.А. Аппроксимация одной макроэкономической модели точным сверху дифференциальным включением// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2003. - Специальный выпуск. -С. 120-130.

31. Зайчикова Н.А. Построение точных дифференциальных включений в задачах усреднения. Саранск, 2003. 16 с. (Препринт СВМО, Мордовский госуниверситет: 59).

32. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 335 с.

33. Казанцев С.В. Макромоделирование расширенного воспроизводства. Новосибирск: Наука, 1980. 208 с.

34. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. М.: Экономика, 1982. 480 с.

35. Красносельский М.А., Крейн С.Г. О принципе усреднения в нелинейной механике// Успехи математических наук. 1955. - Т. 10. № 3(65). - С. 147-152.

36. Красс И.А. Математические модели экономической динамики. М.: Сов. Радио, 1976. 279 с.

37. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. 365 с.

38. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

39. Митропольский Ю.А., Хома Г.Н. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. Киев: Наукова думка, 1983. 215 с.

40. Мэнеску М. Экономическая кибернетика. М.: Экономика. 1986. 230 с.

41. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989.- 690 с.

42. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. № 8. - С. 1427-1433.

43. Плотников В.А. Усреднение дифференциальных включений// Украинский математический журнал. 1979. - Т.31. № 5. - С. 573-576.

44. Плотников В.А. Частичное усреднение дифференциальных включений// Математические заметки. 1980. - Т.27. № 6. - С. 947-952.

45. Плотников В.А. Метод усреднения в задачах управления. Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. 188 с.

46. Плотников В.А., Желтиков В.П. Усреднение дифференциальных включений с запаздыванием//Известия ВУЗов. Математика. 1983. - № 9(256). - С. 42-45.

47. Плотников В.А., Плотников А.В., Витюк А.И. Дифференциальные уравнения с многозначными правыми частями. Асимптотические методы. Одесса: Астропринт, 1999. 355 с.

48. Плотников В.А., Рудык О.Г. Об одной схеме усреднения интегро-дифференциальных включений// Известия ВУЗов. Математика. -1989. № 5. С. 78-81.

49. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. -392 с.

50. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

51. Филатов А.П. Усреднение в системах дифференциальных, интег-родифференциальных и интегральных уравнений. Ташкент: ФАН, 1967. 107 с.

52. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных. Ташкент: ФАН, 1974. 216 с.

53. Филатов О.П. О существовании усредненного дифференциального включения// Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. № 12. -С. 2118-2127.

54. Филатов О.П. Об оценках опорных функций усредненных дифференциальных включений// Математические заметки. 1991. - Т. 150. № 3. - С. 135-142.

55. Филатов О.П. О движении гироскопа в неконтактном подвесе при многозначном возмущении основания// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1992. - № 2. - С. 18-24.

56. Филатов О.П. О точных дифференциальных включениях в задачах усреднения// Дифференциальные уравнения. 1995. - Т.31. № 1. -С. 54-62.

57. Филатов О.П. Вычисление пределов максимальных средних// Математические заметки. 1996. - Т. 59. № 5. - С. 759-767.

58. Филатов О.П. Усреднение дифференциальных включений с управлением// Дифференциальные уравнения. 1997. - Т.33. № 6. - С. 782785.

59. Филатов О.П. К задаче построения усредненных дифференциальных включений// Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. № 6. -С. 764-771.

60. Филатов О.П. Точные дифференциальные включения в теории усреднения// Труды Средневолжского математического общества. 1999. - Т.2. № 1. - С. 28-33.

61. Филатов О.П. Лекции по многозначному анализу и дифференциальным включениям. Самара: Самарский университет, 2000. 116 с.

62. Филатов О.П. О свойстве периодичности оптимальных управлений в задаче вычисления пределов максимальных средних// Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36. № 5. - С. 618-623.

63. Филатов О.П. Существование пределов максимальных средних// Математические заметки. 2000. - Т. 67. № 3. - С. 433.

64. Филатов О.П. Пределы максимальных средних. Самара: Самарский университет, 2000. 100 с.

65. Филатов О.П. Доказательство теорем усреднения для дифференциальных включений// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2001. № 2(20). - С. 20-33.

66. Филатов О.П. Необходимые и достаточные условия в теоремах усреднения дифференциальных включений// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2002. - № 2(24). - С. 48-54.

67. Филатов О.П., Хапаев М.М. О взаимной е— апппроксимации решений системы дифференциальных включений и усредненного включения// Математические заметки. 1990. - Т.47. Вып. 5. - С. 127-134.

68. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение дифференциальных включений с «быстрыми» и «медленными» переменными// Математические заметки. 1990. - Т.47. Вып. 6. - С. 102-109.

69. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во МГУ, 1998. 160 с.

70. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования// Вестник МГУ. 1959. - № 2. - С. 25-32.

71. Филиппов А.Ф. Приложение теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью к нелинейным задачам автоматического регулирования. М.: Изд-во АН СССР, 1960. 7 с.

72. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью// Вестник МГУ. 1967. - № 3. - С. 16-26.

73. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

74. Филиппов В.В. Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с разрывными правыми частями// Дифференциальные уравнения. -1994. Т.ЗО. № 8. - С. 1299-1306.

75. Филиппов В.В. О теории задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывами по пространственным переменным// Дифференциальные уравнения. 1997. - Т.33. № 7. - С. 885891.

76. Хапаев М.М. О методе усреднения и некоторых задачах, связанных с усреднением// Дифференциальные уравнения. 1966. - Т.2. N° 5. - С. 600-608.

77. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986. -192 с.

78. Хапаев М.М., Филатов О.П. Об усреднении и устойчивости в системах с особенностями// Доклады АН СССР. 1981. - Т.261. № 1. -С. 67-70.

79. Хапаев М.М., Филатов О.П. О принципе усреднения для систем с «быстрыми» и «медленными» переменными// Дифференциальные уравнения. 1983. - Т.19. № 9. - С. 1640-1643.

80. Хацкевич B.JI. Усреднение диссипативных дифференциальных включений //Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1992. - Вып. 4. № 22. - С. 6167.

81. Хоанг З.Т. Одна теорема о непрерывной зависимости по параметру множества решений дифференциальных включений в банаховом пространстве с замкнутой правой частью // Украинский математический журнал. 1991. - Т.43.№ 4. - С. 562-565.

82. Хоанг З.Т. Теорема об усреднении дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными в банаховом пространстве// Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28. № 2. - С. 360 - 363.

83. Чуканов С.В. Экономическое поведение и метод динамического программирования на бесконечном временном интервале// Математическое моделирование. 2003. - Т.15. № 3. - С. 109-121.

84. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. P.: Univ. Paris IX Dauphine, 1983.

85. Donchev T. Lower semicontinuous differential inclusions// Discussiones Mathematicae. Differential inclusions. 1998. - № 18. - P. 19-25.

86. Donchev Т., Farkhi E. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions// SIAM J. Control Optim. 1998. - Vol. 36. № 2. - P. 780-796.

87. Janiak Т., Luczak-Kumorek E. Method of averaging for the system of functional-differential inclusions// Discussiones Mathematicae. Differential inclusions. 1996. - № 16. - P. 137-151.

88. Marchaud A. Sur les champs de demi-cones et equations differentielles du premier order// Bull. Soc. Math. France. 1934. - № 62. - P. 1-38.

89. Wazewski T. Systemes de comande et equations au contingent// Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1961. V. 9. № 3. -P. 151-155.

90. Wazewski T. Sur une condition equvalente l'equation an contingent// Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1961. V. 9. № 12. - P. 865-867.

91. Zaremba S.K. Sur une extention de la notion d'equation differentielle// C. P. Acad. Sc. Paris. 1934. - № 99. - P. 545-548.