автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение аппроксимирующих дифференциальных включений

Введение

Основные обозначения .Ю

О Основные понятия и теоремы

0.1 Множества в евклидовом пространстве

0.1.1 Метрика Хаусдорфа.

0.1.2 Выпуклые множества, выпуклые оболочки

0.1.3 Опорные функции.

0.2 Многозначные отображения.

0.2.1 Классы многозначных отображений.

0.2.2 Селекторы многозначных отображений.

0.2.3 Интегралы от многозначных отображений

0.3 Задачи аппроксимации.

0.3.1 Дифференциальные включения.

0.3.2 Аппроксимация сверху, снизу, взаимная.

0.4 Посторение аппроксимирующих дифференциальных включений.

0.4.1 Аппроксимация сверху.

0.4.2 Взаимная аппроксимация.

0.5 Точные аппроксимирующие дифференциальные включения 26 0.5.1 Основные определения и свойства аппроксимирующих задач

0.5.2 Теорема существования точного сверху дифференциального включения и теорема единственности

Вычисление пределов максимальных средних

0.6.1 Основная теорема.

0.6.2 Оценки опорной функции.

1 Итерационный метод вычисления пределов максимальных средних

1.1 Постановка задачи

1.2 Основные леммы.

1.3 Теорема о неподвижной точке.

1.4 Теорема о дифференцируемости.

1.5 Примеры вычислений.

2 Построение аппроксимирующих дифференциальных включений для некоторых моделей

2.1 Механические системы.

2.1.1 Диск на упругом валу

2.1.2 Колебания под действием периодического сжатия

2.1.3 Проводник в упругом подвесе.

2.2 Система экстремального регулирования.

2.3 Гироскоп в неконтактном подвесе.

2.3.1 Вступительные замечания.

2.3.2 Постановка задачи.

2.3.3 Решение порождающей задачи.

2.3.4 Опорная функция множества

2.3.5 Основное утверждение.

2.3.6 Анализ поведения ротора с помощью усредненного дифференциального включения.

Общеизвестно, что математической моделью физических явлений и процессов называют описание их на формальном языке. Со времен Ньютона основным математическим средством изучения задач физики, механики, гидродинамики и т.д. служат дифференциальные уравнения. Сравнительно недавно в связи с потребностями физики и техники стал использоваться аппарат теории дифференциальных включений, которые являются естественным обобщением дифференциальных уравнений. Широкое развитие теории дифференциальных включений связано и с задачами оптимального управления. Основным преимуществом дифференциальных включений является то, что они позволяют описывать динамику системы с неточно заданными параметрами.

В настоящее время опубликовано огромное количество работ, относящихся к теории дифференциальных включений. Несмотря на это здесь нет широкого обзора литературы, названы только те работы, которые имеют прямое и непосредственное отношение к теме диссертации.

К данному моменту для систем дифференциальных включений так же, как для систем дифференциальных уравнений, разработан метод усреднения. Основные результаты по усреднению дифференциальных включений с медленными переменными принадлежат В.А. Плотникову [9] - [11]. Для систем дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными принцип усреднения обоснован в работах

О.П. Филатова и М.М. Хапаева [12] - [19], [22].

Принцип усреднения является одним из часто применяемых асимптотических методов, позволяющий существенно упрощать исходную систему. Сущность этого принципа для систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными состоит в следующем. Пусть изучаемое явление описывается системой дифференциальных включений вида х е ж(о) = ж0, ^ у 2/(0) = 2/о, где х е Р С Ят,У е Я С Яп, Р, С - многозначные отображения области = х Р х <5 х [0,> 0, ( /х - малый параметр) в пространства Ку(Кт), Ку(Ип) соответственно. Переменные х -медленные, у - быстрые. Поскольку в прикладных задачах часто основные сведения об эволюционных процессах системы несут медленные переменные, то систему (1) естественно заменить дифференциальным включением е £(о) = *о, (2) где £ е -Кт, а -ро(£) е Ку(Кт). Так, чтобы решения задачи (2) были достаточно близки в некотором смысле к решениям исходной системы (1) на асимптотически большом промежутке = (0,1/^], ¡1 0, по медленным переменным.

Принцип усреднения формулируется в виде трех задач: аппроксимации снизу, аппроксимации сверху, и взаимной аппроксимации [13], [17],[21].

В задаче аппроксимации снизу отображение Рд ищется так, чтобы для любого решения включения (2) существовало решение системы (1), которое отличается от первого по медленным переменным не более чем на заданное чило £ > 0 в промежутке Т(/л), где 0 < < /¿о(г).

В задаче аппроксимации сверху необходимо, чтобы для любого решения системы (1) существовало решение задачи (2) близкое к нему по медленным переменным в вышеуказанном смысле.

И последнее, в задаче о взаимной аппроксимации для системы (1) требуется построить такое дифференциальное включение (2), чтобы одновременно решала задачи аппроксимации сверху и снизу.

Теперь остановимся на проблемной ситуации, которая решается в этой работе. Предположим, что исследуемый объект формализован в виде следующей системы дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными [17] где х Е Р С Ят, 2/ 6 ^ С 7 Е Л, Р - многозначное отображение области Р = х й х Р х <5 х [0,/х°], > 0, в пространство Ку(Кт), С : Р —у Т1Ш - однозначное отображение; и>2 (<¿>1 > (¿2 > 0) - постоянные; переменные х -медленные, у, 7 - быстрые. В [17] показано, что для построения аппроксимирующих дифференциальных включений с помощью опорной функции ф) множества Р вычисляется усредненная опорная функция где супремум находится по всем решениям порождающей задачи при произвольно заданных начальных условиях, = 0, х(0) = ' V = ^7(0) = 770, (5)

7 £ [u;i,a;2], 7(0) = 70.

При этом предполагается, что предел (4) зависит только от начальных данных по медленным переменным. Тем самым задача построех £ fJ>F(t, 7, ж, у, /¿), ж(0) = ж0, У = у(0) = уо,

7(0) = 7о,

3) с(*,7(*По (4) ния аппроксимирующих дифференциальных включений сводится к задаче вычисления пределов вида (4). В общем случае возможны большие трудности при вычислении пределов (4).

В данной работе рассматривается частная ситуация, когда в (4) под знаком интеграла находится Т - периодическая по переменной 7 при фиксированных жо, ф функция Л - локально интегрируемая по Лебегу с нулевым средним и не зависящая явно от времени

Таким образом, ставится задача вычисления пределов максимальных средних

Здесь верхняя грань берется по всем решениям дифференциального включения

Существование таких пределов и их независимость от начальных данных доказаны в [17], более того, в [18] данная задача была сведена к задаче анализа - нахождения верхней границы множества значений некоторой функции, которая для каждой / определяется единственным образом.

Основная цель диссертации - разработать теоретические основы численного метода вычисления пределов максимальных средних (6). Применить полученные результаты к исследованию ряда моделей теории колебаний и решению конкретных задач.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В гл.О приведены все основные понятия и результаты, которые используются в главах 1,2.

Заключение

В завершение кратко сформулируем основные результаты диссертации:

1. Обоснован итерационный метод вычисления пределов максимальных средних для периодических функций, который может служить основой численных алгоритмов построения аппроксимирующих дифференциальных включений.

2. Построены аппроксимирующие дифференциальные включения для ряда математических моделей, каждая из которых содержит неопределенный параметр.

1. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. 4.1. -М: Изд - во МГУ, 1979.

2. Благодатских В.И., Филлипов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Мат. инстит. АН СССР. -1985. Т.169.

3. Волосов В.М., Моргунов Ю.А. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд - во МГУ, 1971.

4. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд - во Иностран. лит -ры, 1961.

5. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1988.

6. Меерков С.М. Асимптотические методы исследования квазистационарных режимов в непрерывных системах автоматической оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1967, 11, с. 119 - 139.

7. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1966.

8. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.

9. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложения к задачам оптимального управления // Дифференциальные уравнения. 1979. - N8. - С.1427 - 1433.

10. Плотников В.А. Усреднение дифференциальных включений // Укр. матем. журнал 1979. Т.31. - N5. - С.573 - 576.

11. Плотников В.А. Метод усреднения в задачах управления. Киев; Одесса, 1992.

12. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение дифференциальных включений с "быстрыми" и "медленными" переменными // Мат. заметки. 1990. - Т.47. - Вып.6. - С.102 - 109.

13. Филатов О.П., Хапаев М.М. О взаимной е аппроксимации решений системы дифференциальных включений и усредненного включения // Мат. заметки. - 1990. - Т.47. - Вып.5. - С.127 - 134.

14. Филатов О.П. О существовании усредненного дифференциального включения // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т.25. - N12.- С.2118 2127.

15. Филатов О.П. Об оценках опорных функций усредненных дифференциальных включений // Мат. заметки. 1991. - Т.50. - Вып.З. С.135 - 142.

16. Филатов О.П. О движении гироскопа в неконтактном подвесе при многозначном возмущении основания // Известия АН СССР. МТТ.- 1992. N2 - С.18 - 24.

17. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во МГУ, 1998.

18. Филатов О.П. Вычисление пределов максимальных средних // Матем. заметки. 1996. - Т.59. - Вып.5. - С.759 - 767.

19. Филатов О.П. Критерий существования пределов максимальных средних в задачах усреднения дифференциальных включений // Труды третьей международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" Саранск, 1998. - С.67.

20. Филатов О.П. О точных дифференциальных включениях в задачах усреднения // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т.31 - N1.

21. Филшгаов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

22. Хапаев М.М., Филатов О.П. О принципе усреднения для систем с "быстрыми" и "медленными" переменными // Диффер. уравнения. 1983. - Т.19. - N9. - С.1640 - 1643.