автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Уравнения состояния и алгоритмы расчета стержневых систем, содержащих жесткие и линейно-упругие элементы

На правах рукописи

НАЗАРЬЕВ Петр Павлович

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ЖЕСТКИЕ И ЛИНЕЙНО-УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

У//У

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Петрозаводск 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Научный руководитель:

к. т. н., профессор Гольдштейн Юрий Борисович

Официальные оппоненты:

д. т. н., профессор Михайлов Борис Кузьмич

к. т. н., доцент Питухин Евгений Александрович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится " " 2006 г. в ^ часов

на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 при Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан " " ¿И 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Поляков В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность. В инженерной практике и биомеханике встречаются задачи, решение которых традиционными методами затруднительно, а порой невозможно. Такие задачи возникают при расчете некоторых деревянных конструкций с металлическими элементами, анализе усилий и перемещений скелетно-мышечных систем, силовом расчете механизмов. Общим для таких систем является наличие в расчетной схеме элементов существенно различной жесткости, а также большое влияние на распределение усилий и перемещений податливо-стей узлов. Поэтому создание механо-математической модели систем указанного типа, получение на ее основе полной системы уравнений задачи и создание соответствующих вычислительных алгоритмов весьма актуально.

Цель исследования. В настоящей работе преследуются следующие цели:

1. построение математической модели систем, состоящих из абсолютно жестких стержневых элементов, соединяемых податливыми и жесткими связями;

2. вывод полной системы уравнений для указанной модели и получение разрешающих систем уравнений двух типов;

3. анализ условий разрешимости задачи;

4. разработка численных алгоритмов решения задачи и анализ ее вычислительной устойчивости;

5. создание компьютерной программы, реализующей указанные алгоритмы.

Научная новизна исследований. Для пространственных систем, представляющих собой набор бесконечно жестких стержневых элементов, произвольным образом соединяемых в узлах:

1. предложена механо-математическая модель, в которой, в отличие от традиционной модели, податливыми являются не стержневые элементы, а. узловые соединения;

2. выведена полная система уравнений для указанной модели и на ее основе получены разрешающие уравнения;

3. разработаны вычислительные алгоритмы и предложен способ регуляризации и оценки точности решения в случае его неустойчивости;

4. ноказана возможность использования предложенной модели для решения ряда традиционных задач, решаемых другими способами (например, задачи о равновесной форме гибкой нити);

Методы исследования. При создании математической модели, построении алгоритмов решения задачи, анализе вычислительной устойчивости использовались методы линейной алгебры, теории графов, вариационного исчисления и строительной механики.

Практическая значимость. На практике могут быть использованы:

1. механо-математическая модель, в которой стержневые элементы

• обладают абсолютной жесткостью, а податливость сосредоточена

в узлах;

2. алгоритмы решения задач в линейной и геометрически нелинейной постановке с использованием указанной в и.1 модели;

3. рекомендации по двусторонним оценкам точности получаемого решения.

Кроме того, практическую ценность имеет разработанная методика построения решения задачи различными вариантами прямого метода, тогда как в промышленных программах предусматривается один вариант.

Основные научные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся:

1. модель системы, состоящей из абсолютно жестких стержневых элементов, соединенных податливыми и жесткими связями в узлах;

2. полная система уравнений состояния модели и полученные на ее основе разрешающие уравнения;

3. алгоритмы решения задачи для систем указанного типа;

4. методика анализа вычислительной устойчивости и оценки точности решения задачи.

Достоверность и обоснованность положений, выводов и рекомендаций. Достоверность обеспечивается корректным последовательным применением методов механики твердого деформируемого тела и математических методов. Результаты моделирования, полученные с помощью численных экспериментов, согласуются с результатами, установленными другими методами при решении тестовых задач, а также с данными натурных измерений.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были представлены в докладах на 50-й, 51-й, 52-й международной конференции молодых ученых и студентов, СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 1996, 1997, 1998 гг., V юбилейной международной конференции но вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Переславль-Залесский, 1999 г., международной научно-технической конференции «Вычислительная механика твердого деформируемого тела», Москва, 2006 г., на семинарах кафедры механики Петрозаводского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложений. Объем диссерта-

ционной работы составляет 170 страниц. Список литературы включает 147 наименования.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели исследования и научные положения, выносимые на защиту. Рассмотрено развитие расчетных методов механики стержневых систем, в особенности тех, которые касаются конструкций, содержащих элементы со значительно отличающейся жесткостью и построения алгоритмов расчета, ориентированных на компьютерные вычисления. Приводится обзор литературы.

В первой главе рассматриваются отдельные абсолютно жесткие стержневые элементы, узлы и узловые связи трех типов: абсолютно жесткие, абсолютно податливые и упругие линейно-податливые. Последовательно выводятся уравнения равновесия, кинематические уравнения и физические уравнения для каждого стержня.

Если стержень абсолютно жесткий, то очертание его оси не сказывается на перемещениях узлов конструкции и на усилиях по концам стержней. Это позволяет при выводе полной системы уравнений конструкции описать кинематическое состояние стержня вектором Ьс, направленным из начала стержня в его конец (рис. 1 а). В качестве начального торца может быть выбран любой торец стержня. Кроме того, можно не обращать внимание на эксцентриситеты в местах прикрепления стержней к узлам и проводить вектор Ьс не между центрами торцевых сечений стержня, а между узлами, к которым этот стержень крепится (рис. 1 б). Учесть же влияние эксцентриситета на распределение усилий в стержне можно будет уже после того, как определены силы в торцах всех элементов конструкции.

При абсолютно жестких стержнях не нужно вычислять геометрические характеристики поперечных сечений элементов, а потому не

а) е(епф

Ь(Ье$)

Рис. 1.

требуется вводить локальные базисы стержней (т. е. указывать, как ориентированы главные центральные оси инерции поперечных сечений). Глобальная система координат, конечно же, необходима. Будем считать, что ее оси ОХ, ОУ, OZ образуют левую тройку. Ориентация вектора Ьс в этом базисе определяется направляющими косинусами 1С, тс, пс. Длина вектора Ьс будет обозначаться через Сс.

Перемещение стержня с номером с может быть охарактеризовано векторами перемещений И^ и его торцов. Верхний индекс, помещенный в скобки, указывает на то, к какому торцу стержня (начальному или конечному) относятся перемещения. Компоненты IV IVвектора представляют собой линейные перемещения торца вдоль осей глобального базиса, а компоненты являются поворотами торца относительно этих осей. Таким образом,

На рис. 2 показаны положительные перемещения торцов стерж-

Рис. 2.

ня с. Векторы поворотов торцов имеют при своих изображениях две стрелки. Поворот считается положительным, если при взгляде с острия соответствующего вектора вращение осуществляется против часовой стрелки.

Поворот жесткого стержня в начале приведет к линейному перемещению конечного торца на величину

-С

1Г т

сб Пг

где г, у, к. - орты глобального базиса, а 1С, тс, пс - направляющие косинусы вектора стержня Ьс в указанном базисе. Тогда в качестве кинематических уравнений недеформируемого стержня можно записать следующее равенство в матричной форме:

И^ = {Е +

(1)

¿сб

Здесь Е - единичная матрица, Ьс - матрица поворота. Ее элементами являются направляющие косинусы стержней.

Статические параметры стержня Бы вводятся в соответствии с рис. 3. На нем изображены положительные комио-ненты векторов Ьс. и Ьс' торцевых усилий в начале и в конце стержня. Векторы 1УсЬ\ сопряжены с векторами

по работе, а потому матрицу статических уравнений стержня можно получить, транспонируя матрицу кинематических уравнений и заменяя в ней компоненту Ьс на —Ь(:. Стало быть, при отсут-

ствии нагрузки на стержень будем иметь:

(Е - - 5(.е) = 0. (2)

Если же пролетная нагрузка имеется, то в левую часть только что записанного равенства вводится вектор Яс, компонентами которого являются составляющие ЯС1, Яс2, Ясз главного вектора и ДС4, Яс$, Ясц главного момента заданного воздействия на стержень, отнесенные к его концу:

— (Е — Ьс)г + Яс. (3)

Именно это уравнение и является уравнением равновесия стержня.

Далее описывается присоединение стержня к узлам. Параметрами состояния узла с номером к являются перемещения, показанные на рис. 4. Они составляют вектор ик- Прикрепление стержня к к узлу к описывается в локальных ортогональных базисах с осями

Рс\1 Рс2, Рс 3 " Рс4, РсЬ, Рев- (4)

При описании связей используются характеристические диагональные

матрицы 6-го порядка Вкс, Вкс и Вкс в начале стержня и Екс, Екс и

Екс. Элемент, равный единице, записывается на главной диагонали в

том случае, если прикрепление стержня к узлу осуществляется соот-

тт 4 икЛ ветственно с помощью абсолютно жесткой, упруго ик6 I /

у ! податливой связей или связь вообще отсутствует.

07Г~

И

Такие матрицы позволяют единообразно записы-

X

вать уравнения задачи при любом прикреплении стержня к узлу. С их помощью можно также дс-Рис. 4. лать некоторые выводы о разрешимости задачи до се решения.

Введем векторы р^ и реакций связей, компоненты которых (реакции линейных и поворотных связей) вычисляются в базисах (4). Соотношение

= £с(Е - Ьс)трс(Вкс + ВкМЬ) + £сЯс, (5)

устанавливает зависимость между реакциями связей в начале и в конце стержня с номером с. В абсолютно податливых связях реакции отсутствуют, т. е.

Вь,Р?=0, 1

[ес{Е - Ьс)трЛВкс + Вкс)р? + есЯс] = 0. ] Н

Число нетривиальных решений здесь будет равно числу связей, соединяющих торцы стержня с узлами. Остальные из 12 равенств (6) являются линейно зависимыми либо представляют из себя тождества типа 0 = 0. Их целесообразно исключить. Для этого используется оператор {...}, который удаляет в матрице, записанной между фигурными скобками, нулевые или линейно зависимые строки и запоминает их номера:

{В_кс}р? = 0, 1

[ес{Е - Ьс)т0ЛВкс + Вк()р^ + есЯс] = 0. / { '

Верхней группе формул здесь отвечают связи в начале стержня, нижней - в его конце.

Пусть и ¿с^ - столбцы, содержащие интегральные деформации, т. е. полные удлинения ¿{'^ или абсолютные углы поворота <5^, податливых связей, расположенных соответственно между начальным и конечным торцами стержня с и инцидентными к этим торцам узлами. Теперь можно записать кинематические уравнения задачи, представляющие условия совместности перемещений торцов стержней и перемещений инцидентных к ним узлов:

+ = + - ЛссУУЮ + А$иг. (7)

Для компактности записи здесь использованы обозначения:

А(;} = (Вкс + Вкс)рс, == -рс(Е - Ьс)е£(Е]С + Ё,с)ес,

Аас = Вксрс ~ Рс(Е - Ьс)£тсЕ^ес{Е + Ьс), А^ - рс(Е - Ьс)е?.

Этому матричному равенству отвечают 6 скалярных соотношений. Некоторые из них могут оказаться линейно зависимыми либо представлять собой тождества типа 0 = 0. Число же содержательных уравнений в системе (8) равно наибольшему из количества связей, примыкающих к одному из торцов стержня. Неизвестными являются векторы и к и Пу. Исключим из уравнений (8) перемещения торцов стержня 1УС, получая в итоге следующее равенство:

А%ик + РСТА%(73 = Р? (б^ + АС36[К) + А$иг) . (9)

Помимо узловых перемещений и и^ в них входят /с интегральных деформаций податливых связей, присоединяющих стержень с к узлам к и ]. Матрица Рс удовлетворяет уравнению

Л>с = о, (10)

а потому она является фундаментальной матрицей для матрицы А^с.

Далее записываются уравнения равновесия узла конструкции. К любому неопорному узлу конструкции может быть приложено заданное воздействие, характеризуемое вектором силы и вектором момента с составляющими, отнесенными к осям главного (глобального) базиса. Индекс к отвечает номеру узла. Указанные компоненты образуют вектор Р},.. Отделим узел к от конструкции, выполнив разрезы но связям, соединяющим узел с торцами примыкающих к нему стержней, и приложим по направлениям устраненных связей реактивные силы и моменты. Ясно, что интерес представляют те из реакций , которые отвечают существующим связям. Именно они и учитываются при записи условия равновесия узла к, образуя базисные решения р*. Прийти к содержательным уравнениям можно, используя оператор {...}:

В уравнения (11) входят базисные компоненты векторов р^ для тех стержней, которые инцидентны к узлу к.

В качестве физических уравнений запишем соотношения, связы-

.. (Ь) (е)

вающие реакции податливых связей г с и гс , присоединяющих стержень с к узлам к и j, и интегральными деформациями указанных связей. Величины г^ для абсолютно жестких и абсолютно податливых связей принимаются равными нулю. Введем обозначения

= {вксУЯь){вкс}, = [ЁзсуПе){ЩЛ {ЕС}, йё = {Е^}тЛе){Ё5с} [ес{Е - Ьс)т0с(Вкс + £А:с)} .

Тогда искомые физические уравнения имеют вид:

3» = + л2>рс°;

£е> = £><г>г,.Р; + оёР» + о» дс.

Во второй главе получена полная система уравнений для конструкции в целом. В эту систему входят:

а) уравнения равновесия узлов, которые получаются объединением уравнений (11) и имеет вид:

ар*=С?, (14)

где а - топологическая матрица размерности п х т, п - число независимых уравнений равновесия, т - число независимых реакций связей, р * - столбец независимых реакций связей, С} - столбец свободных членов, определяемый заданным воздействием.

б) кинематические уравнения, представляющие собой условия совместности перемещений неонорных узлов конструкции и торцов примыкающих к этим узлам стержней, получаемые объединением уравнений (9):

аТи = А + У, (15)

где ат - транспонированная по отношению к матрице а, А - столбец деформаций податливых связей, V - столбец заданных перемещений опорных узлов.

(13)

в) физические уравнения, связывающие деформации податливых связей и реакции в этих связях, получаемые объединением уравнений (13):

А — И*р* + О°р0 + ЗР, (16)

где Ю *, D 0 - матрицы податливости, отвечающие соответственно независимым и зависимым реакциям связей р* и р°, О - матрица иодат-ливости, отвечающая заданному внешнему воздействию на стержень Р.

Полная система уравнений конструкции, состоящей из абсолютно жестких стержней, соединенных в узлах при помощи упруго податливых, абсолютно жестких и абсолютно податливых связей, получена. Эту систему сразу же можно свести к двум группам уравнений, исключив из кинематического равенства (15) интегральные деформации податливых связей при помощи физического закона (16). Далее используется обычная для строительной механики идеология перехода от полной системы уравнений к разрешающей системе.

При решении задачи в перемещениях преобразование полной системы приводит к разрешающей системе вида:

Ми = М, (17)

где М - квадратная симметричная невырожденная матрица, порядок которой равен числу перемещений неонорных узлов. Однако преобразование, приводящее к виду (17), возможно лишь тогда, когда существует фундаментальное решение системы кинематических уравнений (15) (т. е. нетривиальное решение при нулевой правой части этих уравнений Аналогично при помощи известных преобразований получена разрешающая система уравнений в силах:

Нр * = Н°, (18)

где Н - также квадратная симметричная невырожденная матрица, порядок которой равен числу линейно независимых реакций связей. Решение этой системы всегда существует, если ранг а максимален или в

частном случае, когда ранг а не максимален, но ранг присоединенной матрицы такой же, как и у а.

При любой схеме решения в дальнейшем определяются величины, не входящие в разрешающие уравнения. Важно отметить, что при формировании систем разрешающих уравнений могут встретиться такие конструкции, когда решение в перемещениях невозможно, а решение в силах может быть получено.

В третьей главе обсуждаются вопросы, связанные с оценкой точности решения задачи.

Решение в силах можно трактовать как задачу нахождения некоторого вектора а конечномерного эвклидова пространства размерностью п, метрика которого определяется заданием квадратичной формы, называемого функционалом Кастильяно К. Можно считать, что вектор а имеет разложение в ковариантном базисе рассматриваемого пространства. Уравнения Эйлера данного функционала представляют собой систему линейных алгебраических уравнений порядка п с коэффициентами, являющимися элементами определителя Грама. Тогда решение методом перемещений представляет собой задачу отыскания того же вектора а в сопряженном с указанным выше пространством. Квадратичная форма, определяющая метрику сопряженного пространства, называется функционалом Лагранжа Ь. Здесь искомый вектор раскладывается по ортам контравариантного базиса. Обе задачи имеют одно и то же решение, и это решение единственно.

Если же говорить о численной реализации методов сил и перемещений, то надо иметь в виду, что вектор а, найденный двумя разными методами, может оказаться различным. Объясняется это вычислительными погрешностями, величина которых зависит от исходного базиса соответствующего пространства. Чем более разведены его орты по норме Грама, тем решение точнее. Выбор хорошего базиса для конкретной задачи - дело достаточно сложное. При этом заранее нельзя сказать, решение с каким базисом (ко- или контравариантным) ока-

жется лучшим. На точность решения влияют также вычислительные операции, выполняемые над свободными членами разрешающих уравнений.

Таким образом, возникает задача о решении систем линейных уравнений высокого порядка, матрицы которых могут оказаться плохо обусловленными. Обусловленность матрицы характеризуются различными мерами обусловленности. В задачах строительной механики обычно используются 2-3 различные меры. Но оценка обусловленности по любой мере довольно условна. Например, система уравнений с диагональной матрицей всегда имеет точное решение, хотя мера обусловленности, вычисленная по характеристическим числам, может говорить об обратном. Поэтому более надежна следующая оценка качества решения: выполняется несколько решений системы с возмущенными коэффициентами и свободными членами и результаты сопоставляются. Поскольку весь расчет стержневых конструкций занимает при использовании современной вычислительной техники сравнительно мало времени, то указанный выше анализ обусловленности не обременителен.

Решение считается удовлетворительным, а матрица А - хорошо обусловленной, если малые возмущения коэффициентов и свободных членов уравнений Эйлера приводят к малому же возмущению неизвестных. Если порядок относительной погрешности решения намного превышает порядок возмущения исходных данных, то надо принимать меры по обеспечению получения качественного решения. Возможны два подхода к решению этой проблемы. Первый - это переход к альтернативному методу расчета. Второй подход - это регуляризация. Специалистам-прикладникам первый способ известен лучше, и потому он широко используется на практике, хотя удовлетворительный результат удается получить далеко не всегда. Кроме того, нет строгих доказательств принципиальной реализуемости этого подхода.

Второй подход менее популярен, хотя в специальной литературе

он изложен подробно. В частности, возможна регуляризация при помощи малого параметра, добавляемого к элементам главной диагонали матрицы линейных уравнений (метод М. М. Лаврентьева). Основная сложность решения заключается в том, что параметр регуляризации, обеспечивающий приемлемое решение, можно подобрать лишь при наличии некоторой дополнительной информации о решаемой задаче. Но как раз для задач строительной механики такал информация имеется. Дело в том, что по найденному вектору а можно вычислить энергетические функционалы, характеризующие метрики исходного и сопряженного пространств, которым этот вектор принадлежит. При этом на точном решении должно выполняться равенство К = Ь (равенство функционалов Лагранжа и Кастильяно). Кроме того, эти величины должны равняться потенциалу внешней нагрузки П:

Функционал Лагранжа вычисляется по найденному в результате решения задачи вектору рс:

Известно, что на точном решении он достигает минимума. Достигающий на точном решении максимума функционал Кастильяно имеет вид:

В этих формулах интегралы вычисляются по осевому контуру конструкции 5", матрица связана с физическими характеристиками системы, столбец 6 содержит деформации податливых связей конструкции.

Потенциал внешних сил дается формулой:

К = Ь = П.

(19)

(20)

(21)

в которой - внешние силы, а С/* - отвечающие им перемещения.

Из сказанного выше следует, что величина Ь(6) может рассматриваться как верхняя оценка энергии системы, а К(рс) - как нижняя оценка этой же энергии.

Для примера расчета пространствен. ной конструкции, приведенного в главе 2, по полученным векторам рс и 6 найдены:

к = ь = п

В этой задаче, очевидно, регуляризация не требуется.

Для изображенной на рис. 5а системы искомый вектор р представлен на рис. 5Ь. Этот вектор принадлежит двухмерному пространству в разложении по ортогональному контравариантному базису. Но если этот базис взять в виде двух очень плохо разведенных векторов, то матрица Грама Л уже не будет диагональной. При одном из таких базисов:

1

0,9996667

Решение системы уравнений с матрицами А и В приводит в конечном счете к вектору р, приведенному на рис.5с. Вычисления выполнялись с удержанием 8 значащих цифр. При этом К — 0,3592990, Ь — 0.1243597, П = 0.2301428. Большая разница между этими числами говорит о необходимости выполнения регуляризации, .регуляризация проводится путем добавления малых чисел а к диагональным элементам матрицы Л. Ее результаты представлены в таблице. Оптимальным является решение при параметре а = 3 • 10~8(см. также

■ 0,5-«+•-0,5-

4,761

Фр^_^

1,047

Рис. 5.

А= 1 °'9" Э =

0,999 0,9980013 '

рис. 5с1).

а К П Ь

0 0,3592990 0,2301428 0,1243597

1 • ю-8 0,2551787 0,2037262 0,1522736

2 • Ю-8 0,2064170 0,184814 0,1632156

3 • 10"8 0,1748728 0,1706875 0,1665021

4 • Ю-8 0,1531112 0,1596270 0,1661427

Точное решение 0,1666667 0,1666667 0,1666667

Таким образом, идея, изложенная выше, может быть реализована в вычислительной программе следующим образом: рассматривается некоторая последовательность чисел, близких по величине к наименьшему характеристическому числу матрицы системы разрешающих уравнений. Для каждого из них вычисляются энергетические функции (19 ), входящие в формулы. Выбирается решение, наиболее сближающее указанные величины.

В четвертой главе рассматриваются примеры, иллюстрирующие работу с этой моделью при расчете конструкций, податливость которых сосредоточена в ее узлах. Кроме того, ставилась цель убедится в достоверности результатов, получаемых при помощи предложенной модели.

Первый пример посвящен расчету деревянной срубовой конструкции. Данная задача возникла при рассмотрении концепции реставрации Преображенской церкви на о. Кижи. Требовалось дать экспертную оценку проекту реставрации, разработанному научно-производственным центром строительных конструкций г. Кирова. Сотрудниками этого центра были экспериментально установлены коэффициенты податливости узлов. Проектировщиками был выполнен расчет несущих конструкций церкви методом конечных элементов. В ходе экспертизы выполнялся расчет одного из фрагментов расчета на основе предлагаемой в диссертации модели. Стержневые элементы в этой

модели приняты бесконечно жесткими, а поворотные связи - податливыми. Бревна венцов считаются контактирующими друг с другом только по торцам. В качестве фиктивных элементов были включены абсолютно жесткие стойки.

Результаты решения качественно согласуются с решением Кировского научно-производственного центра (расхождение по перемещениям 20-30%, расхождение по усилиям 15-20%). Таким образом, подтверждается возможность использования предложенной модели для расчета деревянных срубов, а) Ь) с)

ШШ1 шп.

: (

; {

: !

, 1

! |

Рис. 6.

Второй пример иллюстрирует возможность применения данной модели для расчета весьма распространенных в инженерной практике вантовых конструкций, в частности, гибких нитей. Характерной особенностью этой задачи является геометрическая нелинейность, причем наибольшие вычислительные проблемы возникают при конечных перемещениях. Традиционные итерационные методы (например, Ньютона или его модификации) в последнем случае практически неприменимы, поскольку геометрически окончательная конфигурация конструкции может кардинально отличаться от принятой в качестве начального приближения. В этом случае сходимость итерационных методов бу-

дет отсутствовать. Альтернативой является использование шаговых методов, один из которых - а именно метод последовательного нагру-жения и используется. Кроме того, специфика нелинейной задачи при больших перемещениях затрудняет построение удобной для численного расчета модели в рамках метода конечных элементов. Именно поэтому в популярных промышленных программных комплексах возможности расчета гибкой нити ограничены.

Предлагается принципиально новая модель для расчета гибкой нити. Эта модель представляет собой шарнирную цепь, состоящую из абсолютно жестких звеньев-стержней, прикрепленных друг к другу при помощи линейно-податливых и идеальных связей - новоротных и линейных. Введением податливых линейных связей моделируется растяжимая нить. Все расчетные соотношения, необходимые при решении задачи следуют из уравнений, полученных в главах 1 и 2. Обсуждается специфика использования метода последовательного нагружения для решения этой существенно нелинейной задачи.

а) Ь)

Рис. 7.

На рис. 6а рассчитываемая нить изображена в исходном состоянии. Точки се закрепления и длина нити фиксированы. В качестве

нагрузки принят собственный вес и горизонтальная сила, жестко связанная с одной из внутренних точек нити. Податливости всех поворотных связей заданы существенно превышающими осевые податливости. На рис. бЪ показаны положения нити после каждого шага расчета. Окончательная форма нити приведена на рис. 6с. На рис. 7 приведены фотографии наблюдаемых форм нити в натурном эксперименте: исходная и конечная. Видно очень хорошее совпадение с расчетными формами положений нити.

Данный пример иллюстрирует возможность расчета при сильной нелинейности.

Основные выводы и рекомендации.

1. Построена математическая модель для систем, состоящих из абсолютно жестких стержневых элементов, соединяемых податливыми и жесткими связями.

2. Получена полная и разрешающие системы уравнений для указанной модели, на их основе построены алгоритмы решения задачи.

3. Предложены средства для оценки вычислительной устойчивости.

4. Предложена схема расчета, с помощью которой на основе предварительного анализа можно установить принципиальную возможность применения того или иного метода (в силах или перемещениях) с последующим выбором наиболее подходящего с точки зрения точности для данной задачи метода решения.

5. Математическая модель апробирована на ряде задач, в том числе для расчета деревянных срубов и гибких нитей. При этом показана как принципиальная применимость указанной модели, так и адекватность традиционным моделям.

Публикации по теме диссертации

1. Назарьев П. П. Использование модели стержневой конструкции с бесконечно жесткими элементами при расчете деревянных срубов. //Материалы 50-й международной конференции молодых ученых и студентов, ч. 1, СПб., 1996 г., с. 45-49.

2. Назарьев П. П. К определению спектра частот систем, состоящих из бесконечно жестких элементов. // Материалы 52-й международной конференции молодых ученых и студентов. СПб, ч. 1,1998, с. 113-116.

3. Гольдштейн Ю. Б. Конструкция с абсолютно жесткими элементами. /Гольдштейн Ю. Б., Назарьев Г1. П.//Деи. в ВИНИТИ 17.06.99 № 1949-В99, с. 1-67.

4. Назарьев П. П. Шаговый метод расчета гибкой нити на произвольное статическое нагружение. // Труды международной научно-технической конференции "Вычислительная механика твердого

'деформируемого тела". Москва, МИИТ, 2006, т.2, с.301-303.

5. Назарьев П. П. Полная система уравнений шарнирной цепи и ее решение. //Ден. В ВИНИТИ 10.05.06 №613-В2006, с. 1-37.

Тезисы докладов

1. Гольдштейн Ю. Б. Численная реализация расчета конструкций, состоящих из бесконечно жестких стержней и упруго-податливых связей. /Гольдштейн Ю. В., Назарьев П. П.//У юбилейная международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Тезисы докладов. Переславль-Залесский, 1999, с. 190-192.

Подписано в печать 18.06.2006. Формат 60 х 84 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Изд. № 215

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет

Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ 185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

ВВЕДЕНИЕ.

1. Историческая справка

2. Обзор литературы по классической строительной механике.

3. Литературный обзор исследований по некоторым направлениям биомеханики.

4. Расчетная модель системы несущих конструкций.

5. Состав диссертации

ГЛАВА 1. Система абсолютно жестких тел, соединенных податливыми связями. Пространственная задача.

1. Жесткий стержень как элемент конструкции.

1.1. Кинематические уравнения стержня

1.2. Статические уравнения стержня

2. Присоединение стержня к узлам

2.1. Характер присоединения

2.2. Соотношения между реакциями связей и торцевыми усилиями стержней

3. Топология конструкции.

4. Условия совместности перемещений торцов стержней и перемещений инцидентных к ним узлов

5. Уравнения связей. Преобразование кинематических уравнений.

6. Уравнения равновесия узлов конструкции

7. Физические уравнения .s.

ГЛАВА 2. Полная система уравнений конструкции

1. Состав полной системы.

2. Уравнения равновесия

3. Кинематические уравнения конструкции

4. Физические уравнения конструкции

5. Разрешающие уравнения задачи.

5.1. Решение в перемещениях

5.2. Решение в силах.

5.3. Определение величин, не входящих в разрешающие уравнения.

6. Усилия и перемещения в текущих поперечных сечениях стержня.

ГЛАВА 3. Решение задач высокой размерности.

1. Введение

2. Оценки качества решения.

3. Однопараметрическая регуляризация неустойчивых решений линейных алгебраических уравнений.

ГЛАВА 4. Примеры расчета конструкций, содержащих абсолютно жесткие элементы.

1. Расчет деревянной срубовой конструкции

2. Расчет гибкой нити.

1. Историческая справка. В этом пункте рассматривается состояние строительной механики как раздела механики твердого деформируемого тела, в котором изучаются алгоритмы и методы расчета самого широкого класса силовых конструкций. Сегодня аппарат строительной механики находит широкое применение и в биомеханике, о чем еще речь будет идти ниже. Основные этапы развития строительной механики рассматриваются в хронологической последовательности.

К 60-м годам прошлого века теоретическая база строительной механики по существу уже сформировалась. Был не только завершен важный этап совершенствования теории, но и удалось предложить алгоритмы решения краевых задач, многие из которых работают и сегодня. К таковым относятся детально разработанные алгоритмы расчета многократно статически неопределимых стержневых конструкций. Основное внимание при этом уделялось расчету линейно деформируемых конструкций, что существенно упрощало вычислительный аппарат. Решение сложных физически и геометрически нелинейных задач, как правило, выполнялась итеративными методами, т. е. сводилось к рассмотрению определенной серии линейных задач.

Правда, в те времена грядущие возможности вычислительной техники представить себе было трудно, а потому зачастую вычислительные алгоритмы предлагались для упрощенных расчетных схем, например, плоских, а не пространственных. В упрощенных вариантах рассматривались и узловые соединения, в том числе и опорные. Утвердилось и вошло в нормативную литературу представление узловых сопряжений элементов -в виде одной из двух идеализированных схем: абсолютно жестких либо абсолютно податливых. Еще одна черта, характерная для рассматриваемого периода - выделение из сложной пространственной системы отдельных элементов, узлов или подконструкций, отражающих в наибольшей мере характер работы конструкции в целом. Такое выделение осуществлялось на основе экспериментальных многолетних исследований, а также при обобщении опыта проектирования и эксплуатации реальных сооружений.

Указанные направления перехода от реальной системы к ее расчетной схеме имели целью представить алгоритмы расчета в наиболее простом и по возможности в замкнутом виде, пригодном для применения специалистами различной квалификации без привлечения сложного математического аппарата. В строительной области такая методика традиционно закладывалась в нормативные документы - «Строительные нормы и правила» (СНИП).

Вместе с тем развивались и алгоритмы расчета силовых конструкций, ориентированные на применение вычислительной машин недалекого, как затем выяснилось, будущего. Более того, именно задачи механики твердого деформируемого тела стали одним из наиболее мощных стимулов появления и развития электронной вычислительной техники, включая как аппаратную, так и программную части. Первым шагом, ведущим к формализации вычислительного аппарата механики, было предложенное в конце 40-х годов Аргиросом представление классических методов расчета стержневых конструкций в матричной форме. В дальнейшем эти схемы были логически завершены рядом исследователей таким образом, чтобы пользователю не приходилось вручную выполнять промежуточные .вычисления, часто весьма трудоемкие, связанные с обработкой входных данных. Таким громоздким этапом, например, является построение эпюр в основной системе при расчете статически неопределимых стержневых систем. Но указанные алгоритмы были по-прежнему ориентированы на использование упрощенных линейных схем с идеализированными узловыми сопряжениями и рассмотрением отдельных частей сооружений. Обобщение таких хорошо формализованных методов расчета на более сложные случаи, приближенные к реальным конструкциям, было реализовано для ряда частных задач в основном на теоретическом уровне, поэтому ни в нормативную литературу, ни в массовую расчетную практику эти методы не вошли.

Важным этапом был переход от чисто физического представления механических систем к абстрактным математическим, осуществлявшийся в 60-е и 70-е годы прошлого века. Именно тогда получили распространение формулировки расчетных задач в терминах теории графов и линейной алгебры, сетевые методы. Тогда же в основном сложилась современная терминология вычислительной механики, существенным образом опиравшаяся на лексикон уже упоминавшихся разделов математики и функционального анализа (метрика пространства состояний, скалярное произведение эпюр, инциденции, смежность, матрицы достижимости и др.), что свидетельствовало о самом широком применении при решении задач строительной механики аппарата теории графов и линейной алгебры.

Следующий этап развития прикладной механики твердого деформируемого тела, берущий начало в 80-е годы XX века, связан как с массовым распространением вычислительной техники, так и с повсеместным 'обращением в расчетной практике к методу конечных элементов. Последний предполагает безусловную компьютерную реализацию. В библиотеках конечноэлементных программных комплексов в настоящее время реализован весьма широкий набор отдельных типов конечных элементов для моделирования различных видов конструкций, материалов и узловых соединений.

Серьезное развитие к началу 90-х годов прошлого века испытала такая область механики, как биомеханика, в частности, механика опорно-двигательного аппарата человека. Выяснилось, что сложившийся классический, аппарат механики твердого деформируемого тела не вполне пригоден для анализа в столь специфичной области, поэтому биомеханика создала важный стимул к развитию теоретической части вычислительной механики. Ниже будет сосредоточено внимание на том аспекте биомеханики, который связан с механикой твердого деформируемого тела. С начала 70-х годов в многочисленных публикациях обсуждалась проблема моделирования скелетно-мышечного аппарата человека. Естественным было применить для этого хорошо разработанный аппарат классической вычислительной механики. Поэтому с ростом интереса к этой междисциплинарной отрасли и приходом в нее большого числа квалифицированных специалистов-механиков резко увеличилось количество публикаций по биомеханике человека. Развитие информационных технологий сделало популярным в этой области компьютерное моделирование (преимущественно с использованием метода конечных элементов).

Отдельно следует упомянуть о вычислительных аспектах задач механики. Весьма важная составляющая современного состояния механики - это ветвь вычислительной математики, ориентированная на компьютерное применение и тесно связанная с ним специфическая проблема компьютерного представления как исходных данных, так и результатов расчета (визуализация). Традиционным для механики стало представление данных как разреженных матриц. Соответствующий математический аппарат, ориентированный на такие структуры данных, получил название «технология разреженных матриц». Программные реализации соответствующей технологии сейчас имеются во всех промышленных конеч-ноэлементных программных комплексах, например, в таких средах, как Cosmos/M, Ansys, MSC/Nastran, Staad Pro, ЛИРА, SCAD и т. д. Глядя на предельные размерности систем линейных алгебраических уравнений, которые способны решать эти программы на персональных компьютерах (для Cosmos/M, например, - более 1 ООО ООО уравнений), можно сказать, что именно такой аппарат позволил решать задачи очень большой размерности на широко распространенной вычислительной технике, а не только на специализированных ЭВМ. Оборотной стороной увеличения размерности является совершенно необозримый объем как входных, так и выходных данных. Поэтому к настоящему времени немыслимы программные реализации решения задач механики, не обладающие средствами манипулирования с числовыми массивами сколь угодно большой размерности. К подобным средствам относятся, в первую очередь, средства ввода информации о геометрии и материале конструкции (преимущественно стержневой) и внешних воздействиях на нее. Во-вторых, максимально автоматизирована процедура генерации сетки конечных элементов. Эта возможность актуальна, в основном, для нестержневых конструкций. Основополагающие результаты, позволяющие получить гарантированно качественную сетку, были опубликованы только в середине 90-х годов прошлого •века, а компьютерные реализации появились только в конце названного десятилетия (можно сравнить генерацию сетки в разных версиях какой-либо из наиболее развитых программ, упомянутых выше, например, в версиях Cosmos/M). Алгоритмы генерации сеток в настоящее время чрезвычайно популярны, о чем можно судить, например, по количеству издаваемой литературы и объему материалов в системе Internet. В-третьих, визуализация результатов позволяет быстро оценить как адекватность модели представлениям о ее поведении, так и найти области, важные для оценки напряженно-деформированного состояния системы. Поэтому в качестве стандартных средств анализа результатов расчета используются изображения деформированной схемы конструкции, анимация параметров состояния (перемещений, напряжений, форм собственных колебаний, форм потери устойчивости), цветовые поля напряжений и деформаций и другие.

Несмотря на то, что во всех рассмотренных выше разделах механики получены впечатляющие результаты, считать, что решены все проблемы, представляющие практический интерес, нельзя. По-прежнему остается острой проблема ввода информации о системе сложной структуры (смешанной), проблема отслеживания неустойчивых решений и их коррекция и другие. Более подробно об этом, как и о задаче, поставленной в настоящей диссертации, говорится в п. 1.3, т. е. после того, как будет дан ретроспективный обзор наиболее важных, с нашей точки зрения, публикаций.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ.

1. Построена математическая модель для систем, состоящих из абсолютно жестких стержневых элементов, соединяемых податливыми и жесткими связями.

2. Получена полная и разрешающие системы уравнений для указанной модели, на их основе построены алгоритмы решения задачи.

3. Предложены средства для оценки вычислительной устойчивости.

4. Предложена схема расчета, с помощью которой на основе предварительного анализа можно установить принципиальную возможность применения того или иного метода (в силах или перемещениях) с последующим выбором наиболее подходящего с точки зрения точности для данной задачи метода решения.

5. Математическая модель апробирована на ряде задач, в том числе для расчета деревянных срубов и гибких нитей. При этом показана как принципиальная применимость указанной модели, так и адекватность традиционным моделям.

1. Архангельский А. В. Конечномерные векторные пространства. М.,МГУ, 1982.-248 с.

2. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М., Мир, 1969.

3. Бате К., Вильсон Р. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., 1982.

4. Бахвалов Н. С. Численные методы. М., Наука, 1975., 632 с.

5. Безухов Н. И. К теории статически неопределимых систем // Труды Московского автомобильно-дорожного института. Вып. 3. 1936.

6. Безухов Н. И. Основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука // Труды Московского автомобильно-дорожного института. Вып. 4. Автотрансиздат. 1936.

7. Бендолл Дж. Мышцы, молекулы и движение. Очерк по мышечному сокращению.-М., Мир, 1970.

8. Бернштейн Н. А. Биомеханика и физиология движений: избранные психологические труды. М.; Воронеж, 1998.

9. Бернштейн С. А. Основы расчета статически неопределимых систем. M.-JL, Главн. ред. строительной литературы, 1936.

10. Верещагин А. Н. Новые методы расчета статически неопределимых систем // Строительная промышленность. № 9. 1925.

11. Галеркин Б. Г. К расчету жестких рам // Вестник инженеров и техников. 1924. № 10.

12. Галеркин Б. Г. К вопросу о выборе лишних неизвестных в строительной механике // Вестник инженеров и техников. 1925. № 5.

13. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М., Мир, 1984.

14. Гвоздев А. А. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем. М., МИИТ, 1927.

15. Гвоздев А. А., Мурашов В. И. Инструкция по расчету железобетонных рам и каркасов. М., Стройиздат. 1932.

16. Герман Дж., Либовиц Г. Механика разрушения кости//В кн. Разрушение. Том 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Часть 2. Органические материалы. М., Мир, 1976. - С. 391 - 463.

17. Гольдштейн 10. Б. Локальные единичные состояния метода сил и циклический базис графа стержневой конструкции. // Деп. в ВИНИТИ 29.05.85, №4207-85, Петрозаводск, 1985.

18. Гольдштейн Ю.Б. Статика стержневых конструкций. Петрозаводск: Издательство ПетрГУ, 1997.

19. Гольдштейн Ю. В., Шулькин 10. Б. Геометрический анализ методов расчета статически неопределимых стержневых систем. // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1971.

20. Гольдштейн Ю. Б., Шулькин Ю. Б. К построению методов расчета статически неопределимых стержневых систем на основе представлений геометрии конечномерных пространств. // Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. Л., Стройиздат, 1973.

21. Горбунов Б. Н. К расчету пространственных замкнутых контуров. // Сб. «Рамы и фермы пространственные и плоские» под ред. проф. И. М. Рабиновича, М., Госстройиздат, 1933.

22. Городецкий А. С., Олин А. И., Батрак Л. Г., Домащенко В. В., Мас-нуха А. М. «ЛИРА-ПК» программный комплекс для расчета и проектирования конструкций на персональных компьютерах. Киев, вып. НИИАСС, 1988.

23. Городецкий А. С., Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Интеллектуальная расчетная программная система. Прогноз новых возможностей. // Системы автоматизированного проектирования объектов строительства (САПР-ОС).-Киев, Будивэльник, 1989.-С.43-56.

24. Гофман Ш. М. Способы группового и секционного уравновешивания // Доклады АН Узб. ССР, вып. I, 1950.

25. Гребень Е. С. Вопросы матричного расчета многократно статически неопределимых систем //Прочность и колебания конструкций:Сб. тр., Вып. 172/ЛИИЖТ.Л., 1960.

26. Гребень Е. С. Расчет на подвижную нагрузку неразрезного балочного пролетного строения моста. // Прочность и колебания конструкций. Л., Изд-во ЛИИЖТ, Вып. 190, 1962.

27. Гутьеррес П. О применении теории n-мерного линейного пространства к расчету статически неопределимых систем // Строительная механика и расчет сооружений, № 5, 1966.

28. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. 8-е изд., М., Высшая школа, 1986.

29. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М., 1976.

30. Домерщиков П. П. Методы расчета каркасов многоэтажных зданий // Стальные каркасы многоэтажных зданий. М., Госстройиздат, 1939.

31. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения систем нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.- 440 с.

32. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.,-528 с.

33. Жемочкин Б. Н. Расчет рам. М., Госстройиздат, 1933.

34. Жемочкин Б. Н. О решении системы линейных уравнений. М., Изд. ВИА, 1947, 1957.

35. Зациорский В. М., Аруин А. С., Селуянов В. Н. Биомеханика двигательного аппарата человека. М.: Физкультура и спорт, 1981.

36. Зациорский В.М., Прилуцкий Б.И. Нахождение усилий мышц человека по заданному движению // Современные проблемы биомеханики. Нижний Новгород: Институт прикладной физики РАН, 1992,-Вып. 7.-С. 81-123.

37. Зенкевич О. Применение метода конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

38. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М., Мир, 1986.

39. Исследование и реставрация Преображенской церкви на о.Кижи. Отчет по научно-исследовательской работе научно-производственного центра строительных конструкций.- Киров.:, 1994.

40. Карпиловский В. С., Кудашов В. И., Цветков Д. Н. Библиотека изопараметрических конечных элементов вычислительного комплекса «ЛИРА».// Известия ВУЗов. Строительство и архитектура., 1987, Ж, с.28-32.

41. Карпиловский В. С., Криксунов Э. 3., Перельмутер А. В., Перельму-тер М. А. Интегрированная система анализа конструкций Structure CAD (SCAD). // САПР и графика.- 1998.- №10.-с.15-18.

42. Клемперт Ю. 3., Филин А. П. О связи между сетевым и матричным подходом в строительной механике // Расчет пространственных конструкций на прочность и жесткость. Л., Стройиздат, 1973., с.233-244.

43. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулгозис Ю.Ж. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. Рига: Зинатне, 1980.

44. Колесников Г. Н. Трехмерная модель скелетно-мышечной системы опорно-двигательного аппарата человека. // Тезисы докладов V Всероссийской конференции по биомеханике. Н. Новгород, 29 мая - 2 июня 2000 г. - С. 84.

45. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. JI., 1977.

46. Криксунов Э. 3., Перельмутер А. В. О расчетных моделях сооружений и возможностях их анализа.// http://www.cadmaster.ru/articles/ 03methods ofanalysysbuildig^ projects.cfm

47. Крон Г. Исследования сложных систем по частям диакоптика. М., Наука, 1972. 544 с.

48. Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом'основании. М., изд. АН СССР, 1930.

49. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962.

50. Масленников А. Н. Расчет строительных конструкций методом конечных элементов. Л., Изд-во Ленингр. инж.- строит, института, 1977.

51. Матевосян Р. Р. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория). Госстройиздат, 1961.

52. Мацелинский Р. П. Статический расчет гибких висячих конструкций. М., Стройиздат, 1950.

53. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити.-М., Наука, 1980.-240 с.

54. Методические рекомендации по использованию дополнительных возможностей вычислительного комплекса «ЛИРА». Киев, НИИ-АСС Госстроя УССР, 1984.

55. Методические рекомендации по использованию возможностей вычислительного комплекса "ЛИРА"при описании и решении задач. Киев, НИИАСС Госстроя УССР, 1988.

56. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М., 1981.

57. Назарьев П. П. Полная система уравнений шарнирной цепи и ее решение. // Деп. В ВИНИТИ 10.05.06 №613-В2006, с. 1-37.

58. G2. Нарец Jl. К. Расчет статически неопределимых систем машинными методами // Труды Таллинского политехнического института, серия А, № 54, 1954.

59. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М., Мир, 1981.

60. Нудельман Я. Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. Техтеоретиздат, 1949.

61. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М., 1976.

62. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

63. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. II. Сложный изгиб и устойчивость стержней. Изгиб и устойчивость пластин. Л., Гос. изд. судостроительной промышленности, 1941.

64. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. I, т. I, Подбор профилей. Расчет статически неопределимых балок. Расчет плоских рам, составленных из прямых стержней. М., Морской транспорт, 1945.

65. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, ч. I. т. II, Криволинейные рамы. Перекрестные связи. М.-Л., Морской транспорт, 1947.

66. Перельмутер А. В. Основы расчета вантово-стержневых систем. М., Стройиздат, 1969.-190 с.

67. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учете дополнительных связей. //Метод конечных элементов и строительная механика. Ленинград, 1976.

68. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев, ВПП «Космос», 2001.

69. Перелынтейн Н. Л. Приближенные методы расчета рам. Промстрой-проект. Справочник инженера-проектировщика промышленных сооружений, т. II, М.-Л., Госстройиздат, 1934.

70. Подлубная З.А. Состав, структура и структурные переходы в толстых нитях поперечно-полосатых мышц позвоночных. Биофизика, 1999, том 44, вып.4, с.700-707.

71. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов. Л., 1974.

72. Постнов В. А. и др. Метод суперэлементов. Л., 1979.

73. Рабинович И. М. О некоторых соотношениях между перемещениями точек упругого тела // Труды МИИТ. Вып. 3. 1927.

74. Рабинович И. М. Методы расчета рам. М., Госстройиздат, 1931-1937. т. 1, 2, 3.

75. Рабинович И. М. К расчету многоярусных рам // Труды Высшего инж.-строит, училища, М., Гостехиздат, 1931.

76. Рабинович И. М. Обобщения метода сил // Рамы и фермы пространственные и плоские. М., Госстройиздат, 1933.

77. Рабинович И. М. Курс строительной механики стержневых систем, ч. 1. Статически определимые системы. 1938.

78. Рабинович И. М. Об одном способе решения системы линейных уравнений в задачах строительной механики // Исследования по теории сооружений, вып. VI, М., Гос. изд. литературы по строительству и архитектуре, 1954.

79. Рабинович И. М. Инварианты статически неопределимых систем и некоторые их приложения // Исследования по теории сооружений. Вып. 12. Госстройиздат, 1963.

80. Радциг Ю. А. Применение общих положений теории форм при расчете статически неопределимых систем строительной механики // Сборник трудов Казанского авиационного института. № 10. 1940.

81. Ратов И.П., Попов Г.И. ,Иванов В.В. Этапы и основные показатели работы лаборатории биомеханики ВНИИФК.-Теория и практика физической культуры, 1998.

82. Резников Р. А. Решение задач строительной механики на ЭЦМ. М., Стройиздат, 1971.

83. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига, Зинатне, 1988.

84. Розин JI. А. Автоматизация алгоритма метода сил в строительной механике. //Строительная механика и расчет сооружений, №4,1976.

85. Розин П. А. О методе сил в строительной механике. //Тр. ЛПИ им. М. И. Каланина, Ленинград, №349, 1976.

86. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М., 1977.

87. Сегаль А. И. Упрощения при расчете циклических систем. // Проект и стандарт. № 3, 1937.

88. Сегаль А. И. Расчет замкнутого кольца как статически определимой системы // Исследования по теории сооружений. № 3, М.-Л., Гос. изд. строительной литературы, 1949.

89. Сегаль А. И. Некоторые итоги решения циклических задач // Расчет пространственных конструкций. Вып. Ill, М., Гос. изд. литературы по строительству и архитектуре, 1955.

90. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М., 1975.

91. Сеппо А.И. Металлический остеосинтез переломов костей на основе точных клинико-технических наук. Таллинн: Периодика, 1978.

92. Сергеев Н. Д. К вопросу формализации расчета статически непреде-лимых систем методом сил // Статические и динамические расчеты конструкций с учетом нелинейных свойств материалов: Межвуз. те-мат. сб. тр./ЛИСИ. Л., 1991. с.56-70.

93. Сергеев Н. Д. О формировании системы локализованных базисных циклов непланарного графа в связи с формализацией метода сил //

94. Статические и динамические расчеты конструкций с учетом нелинейных свойств материалов: Межвуз. темат. сб. тр./ЛИСИ. Л., 1991. с.70-83.

95. Локализация координатных функций метода сил для систем с подвижными соединениями // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр./СПбГАСУ. Санкт-Петербург., 1997. с.Зб-44.

96. Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М., Трансжелдориздат, 1947.

97. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. Трансжелдориздат, 1958.

98. Смирнов А. Ф., Александров А. В. Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. Стержневые системы. М., Стройиз-дат, 1981. ' '

99. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Под ред. А. П. Филина. М., Судпромгиз, 1961.

100. Сосис П. М. Методы и приемы расчета статически неопределимых инженерных конструкций. Киев, Изд. Киевского инж.-строит. института, 1951.

101. Сосис П. М. Расчет рам способом перераспределения начальных значений неизвестных. Киев, Гостехиздат УССР, 1952.

102. Стрелецкий Н. С. К расчету сложных статически неопределимых систем. М., Изд. Высшего технического комитета НКПС, 1921.

103. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., Мир, 1977.

104. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980.

105. Тананайко О. Д., Шварц М. А. Смешанный метод расчета стержневых систем на прочность, колебания и устойчивость. //Тр. ЛИИЖТ, вып. 40. Ленинград, 1976.

106. Тананайко О. Д., Шварц М. А. О выборе системы замкнутых контуров и их рациональной нумерации при расчете стержневых конструкций методом сил. //Автоматизированное оптимальное проектирование конструкций. Хабаровск, Изд-во ХабИИЖТ, 1977.

107. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979. Изд. 2-е.-285 с.

108. Уманский А. А. О решении трехчленных уравнений // Рамы и фермы пространственные и плоские. М., Госстройиздат, 1933.

109. Уманский А. А. О расчете конструкций с большим числом одинаковых пролетов // Исследования по теории сооружений. Вып. 3. М.-Л., Гос. изд. строит, литературы, 1939.

110. Уманский А. А. Пространственные системы. М., Стройиздат, 1948.

111. Филин А. П. Алгоритм построения матрицы b при расчете произвольных пространственных (с жесткими контурами) систем методом сил. // Строительная механика., М., Стройиздат, 1966.

112. Филин А. П., Гребень Е. С. Расчет многократно статически неопределимых систем при помощи ортонормированных функций // Исследования по теории сооружений, вып. 8,Госстройиздат, 1959.

113. Филин А. П., Тананайко О. Д., Чернева И. М., Шварц М. А. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. Ленинград, Стройиздат, 1983.

114. Хечумов Р. А., Кепплер X., Прокопьев В. И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. Издательство ассоциации строительных ВУЗов, М., 1994.

115. Хилл А. Механика мышечного сокращения. Старые и новые опыты. М., Мир, 1972.

116. Чирас А. А. Строительная механика. М., Стройиздат, 1989.

117. Шардаков И. Н., Труфанов Н. А., Матвеенко В. П. Метод геометрического погружения в теории упругости. Екатеринбург, 1999.

118. Шестаков Д.А., Цатурян А.К. Математическая модель механических свойств волокон скелетной мышцы с учетом растяжимости ак-тиновых нитей. Биофизика, 1998, том 43, вып.2, с.329-334.

119. Шулькин 10. Б. Теория упругих стержневых конструкций. М., «Наука», Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984.

120. Шулькин 10. Б., Кунцевич А. О. Численный анализ равновесия упругой нити // Исследования по механике строительных конструкций и материалов: Межвуз. темат. сб. тр., Ленингр. инж.-стр. ин-т. Л., 1991. с. 75-85.

121. Янсон X. А. Биомеханика нижней конечности человека. Рига: Зи-натне, 1975.

122. Argyris J. Н. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engineering, 26, 1954.

123. Argyris J. H. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engineering, 27,1955.

124. Argyris J. H. The matrix theory of statics // Ingr. Arch., 25, 1957.

125. Argyris J. H., Kelsey S. Structural analysis by the matrix force method with applications to aircraft wings // Wiss. Ges. Luftfahrt Jahrb., 1956.

126. Energy theorems and structural analysis. Butterworth,London, 1960.

127. Argyris J. H., Kelsey S., Kamel H. Recent advances in matrix methods of structural analysis // Progress in the Aeronautical Sciences, vol.4, Pergamon Press, Oxford,1964.

128. Chao, E. Y. and An, K. N. (1978) Graphical interpretation of the solution to the redundant problem in biomechanics. J. biomech. Eng. 100, 159-167.

129. Clough R. W. The Finite Element in Plane Stress Analysis 11 Proceedings 2nd A. S. С. E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg Pa. Sept. 1060.

130. Courant R. Variational methods for the solutions of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 49, № 1, 1943.

131. Crowninshield, R. D. and Brand, R. A. (1981) A physiologically based criterion of muscle force prediction in locomotion. J. Biomechanics 14, 793-801.

132. Dostal W.F., Andrews J.G. A three-dimensional biomechanical model of hip musculature// J. Biomechanics, v. 14, 1981, pp. 803-812.

133. Gentaro Taga(1998) A model of the neuro-musculo-skeletal system for anticipatory adjustment of human locomotion during obstacle avoidance. Biological Cybernetics, v.78, pp. 9-17.

134. Hughes, R. E. (2000) Effect of optimization criterion on spinal force estimates during asymmetric lifting. Journal of Biomechanics 33, pp. 225-229.

135. Keyak JH, Rossi SA, Jones KA, Skinner HB (1997) Prediction of femoral fracture load using automated finite element modeling. J. Biomech. 31:125-133.

136. Kron G. Tensor analysis of networks. John Wiley and sons, N. Y., 1939.

137. Marsh A.P., Martin P. E., Sanderson D.J. (2000) Is a joint moment-based cost function associated with preferred cycling cadence? Journal of Biomechanics 33, pp.173-180.

138. Martins J.A.C., Pires E.B., Salvado L.R., Dinis P.B. (1998) A numerical model of passive and active behavior of skeletal muscles, Сотр. Methods Appl. Mechs. Eng., Vol. 151 (3-4), pp.419-433.

139. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. P. Stiffness and deflection analysis of complex structures // J. Aeron. Sci.,23, № 9, 1956.

140. Watermann Pamela J. FEA Over the Web. //http://www.deskeng.com/articles/01/mar/FEA/index.htm

141. Yamaguchi G.T., Moran D.W.,Si J. (1995) A computationally efficient method for solving the redundant problem in biomechanics. J. Biomechanics, Vol.28, No.8, pp.999-1005.